3.4 互斥事件
名师导航
三点剖析
一、互斥事件
1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.
我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C，那么这里的事件A、事件B、事件C中的任何两个是不可能同时发生的.事件A与事件B、事件B与事件C都是互斥事件.
从集合的角度来看，事件A与事件B是互斥事件，则事件A所包含的基本事件构成的集合与事件B所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.
2．互斥事件有一个发生的概率
设A、B为互斥事件，当事件A、B有一个发生时，我们把这个事件记作A+B．事件A+B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和,即P（A+B）=P（A）+P（B），此公式也称概率和公式.?
例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A，则P（A）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B，则P（B）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D，则D=A+B，此时P（D）=?P（A）?+P（B）=0.7+0.2=0.9.
3．一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.
一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.
二、对立事件
对立事件的定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为A．从集合的角度看，由事件A的对立事件A所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A和它对立事件的交集为空集，而并集为全集.
若对立事件A与必有一个发生，则A+是必然事件，从而P（A）+P（）=
P（A+）=1
.
由此我们可以得到一个重要公式：
P（）=
1-
P（A）.
由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.
例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？
此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.
解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面，由于三次都是反面的概率为，则出现正面的概率为
=.
三、互斥事件和对立事件的区别与联系
两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件.
四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤
（1）确定这些事件是互斥事件；
（2）这些事件有一个发生；
（3）分别求每一个事件的概率，再相加.
前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点就不能用概率和公式.
问题探究
问题1:
某人把外形相似的4把钥匙串在一起，其中两把是房门钥匙，但他忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，试后不放回.请你探究思考如下的问题：（1）此人一次就能打开房门的概率是多少？（2）此人在两次内能打开房门的概率是多少？
探究：第（1）问显然是古典概型，每次拿哪把钥匙是等可能的，因此，此人一次就能打开房门的概率是.在第（2）问中，记“恰好第i次打开房门”为事件Ai（i=1，2），显然题设事件A=A1+A2.
A1表示第1次打开房门的事件，A2表示第1次未打开，第2次打开房门的事件.
对事件A1来说，其概率已由第（1）问求出来，但对事件A2来讲，用我们现有的知识不容易求出，因而用这种方法做有一定难度.
不妨换个角度来想，从反面入手，如果把“在两次内能打开房门”记为事件，则对立事件A就表示“在两次内不能打开房门”.
设a、b、c、d分别表示四把钥匙，其中a、b表示能打开房门的那两把钥匙，显然，共有24种基本事件，它们分别为
a，b，c，d；a，b，d，c；a，c，b，d；a，c，d，b；a，d，b，c；a，d，c，b；b，a，c，d；b，a，d，c；b，c，a，d；b，c，d，a；b，d，a，c；b，d，c，a；c，a，b，d；c，a，d，b；c，b，a，d；c，b，d，a；c，d，a，b；c，d，b，a；d，a，b，c；d，a，c，b；d，b，a，c；d，b，c，a；d，c，a，b；d，c，b，A．而包含4个基本事件，分别为c，d，a，b；c，d，b，a；d，c，a，b；d，c，b，A．
因而P（）==，进而所求概率P（A）=.
问题2:
有3个1
g砝码，3个3
g砝码和2个5
g?砝码，任意取出2个砝码，请探究如下的问题：
（1）两个砝码重量相同的概率是多大？
（2）两个砝码总重为6
g的概率是多大？
（3）两个砝码总重量不超过8
g的概率是多大？
探究：（1）记“两个砝码重量相同”为事件A．
“两个砝码重量都是1g”为事件A1，“两个砝码重量都是3g”为事件A2，“两个砝码重量都是5g”为事件A3，A1、A2、A3是互斥的.
显然A=A1+A2+A3，由前面知识得P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.
由互斥事件的加法公式，有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.
（2）记“两个砝码总重量为6
g”为事件B．
“两个砝码中一个砝码为1g，另一个砝码为5g”为事件B1，“两个砝码重量都为3g”为事件B2，B1、B2互斥.
显然B=B1+B2.
P（B1）==，P（B2）=.
∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=.
（3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件.记“两个砝码总重量不超过8g”为事件C，设其对立事件为D，则D表示“两个砝码总重量超过8g”，则只有两个砝码都取5g的，而由上可知“两个砝码重量都是5g”为事件A3，P（A3）=.所以，P（C）=1-=.?
精题精讲
例1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么下列事件中互斥事件的个数是( )
①至少有一个白球；都是白球 ②至少有一个白球；至少有一个红球 ③恰有一个白球；恰有两个白球 ④至少有一个白球；都是红球
?A．0
B．1
C．2
D．3
思路解析
①当取出的两球都是白球时，两个事件同时发生，故①中的两个事件不是互斥事件.②当取出的两球为一红一白时，两个事件同时发生，故②中两个事件不是互斥事件.③中的两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.④中的两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.
答案：C
例2．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表：
年降水量(单位:mm)
［100,150)
［150,200)
［200,250)
［250,300)
概 率
0.12
0.25
0.16
0.14
（1）求年降水量在［100，200)（mm）范围内的概率；
（2）求年降水量在［150，300)（mm）范围内的概率.
思路解析
这个地区的年降水量在各范围内是彼此互斥的，故可根据互斥事件的概率加法公式求解.
答案：（1）记这个地区的年降水量在［100，150)，［150，200)，［200，250)，［250，300)（mm）范围内分别为事件A、B、C、D．这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在［100，200)（mm）范围内的概率是P（A+B）=
P（A）+P（B）=
0.12+0.25=0.37
.
由于热切地想要躲避过错，我们却常常更易陷入荒谬。——贺拉斯 加几个空格，居中排
（2）年降水量在［150，300)（mm）范围内的概率是
P（B+C+D）=
P（B）+P（C）+P（D）=0.25+0.16+0.14=0.55
.
绿色通道
在用互斥事件的概率加法公式求概率时，一定要明确公式的前提是事件彼此互斥，否则就可能出错.因此判断事件是否互斥就显得特别重要.?
例3．在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：
（1）取得两个红球的概率；
（2）取得两个绿球的概率；
（3）取得两个同颜色的球的概率；
（4）至少取得一个红球的概率.
思路解析
首先知道各事件中的基本事件有多少，再确定事件之间是互斥事件，故可根据互斥事件的概率加法公式求解.
答案：记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4，三个绿玻璃球为b1、b2、b3，第一次抽取有7种结果，对第一次抽取时的每种结果，第二次抽取时又有6种结果，故共有7×6=42种结果.
（1）记“取得两个红球”为事件A1，A1有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（a2，a1），（a3，a1），（a4，a1），（a3，a2），（a4，a2），（a4，a3）12种结果.
∴P（A1）==.
（2）记“取得两个绿球”为事件A2，
A2有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），（b2，b1），（b3，b1），（b3，b2）6种结果.
∴P（A2）==.
（3）记“取得两个同颜色的球”为事件A．
A=A1+A2，A1、A2互斥.
由互斥事件的概率加法公式得P（A）=P（A1）+P（A2）=+=.
（4）记“至少取得一个红球”为事件B，显然事件B是事件A2的对立事件.
∴P（B）=1－P（A2）=1－=.
绿色通道
袋中摸球问题是概率中的重要题型，课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析.本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析，目的是加强知识的综合应用，通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概率，再通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目的.
例4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出的点数，若把点P（a，b）落在不等式
所表示的平面区域的事件记为A，求P（A）.
思路解析
分析各事件中的基本事件有多少，各基本事件的发生是等可能的，利用公式计算即可.
图7-13
答案：如图7-13，用直角坐标系中的点表示基本事件，落在不等式组所表示的平面区域内的点共有6个，所以?P（A）==.
绿色通道
如果随机事件可能发生的结果比较多时，可以把基本事件用直角坐标系中的点表示，利用数形结合的思想方法，更容易找到所求基本事件及总的基本事件的个数.3.1 随机事件及其概率
共同成长
见仁见智
一个口袋中有8个黑球和若干个白球，若不将球倒出来，则怎样才能估计出其中白球的个数？理由是什么？以下是两名同学的做法和理由.
李晓明：我的做法是：从口袋中随机地摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断地重复上述过程.我共摸了200次，其中有57次摸到了黑球，因此我估计袋中大约有20个白球.理由是：假设袋中有白球x个，通过多次试验，我们可以估计出从袋中随机摸出一个球是黑球的概率，另一方面，由古典概型的计算公式，这个概率应为，据此可估计出白球的个数约为20个.
刘萌萌：我的办法是利用抽样调查的方法，从口袋中摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回袋中，不断地重复上述过程.我总共摸了20次，黑球数与10的比值的平均数为0.25．因此，我估计袋中大约有24个白球.我的理由是：假设袋中有x个白球，通过多次的抽样调查，求出样本中黑球与总球数比值的平均数，这个平均数应近似于.据此，我们可以估计出x的值约为24个.
你的方法呢？理论依据是什么？
合作共赢
请与同学、朋友一起阅读下面的材料，然后根据材料回答问题.
频率的稳定性，可以从人类的生育中得到生动的例子.一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1∶1，可事实并非如此.
公元1814年，法国数学家拉普拉斯(Laplace
1794～1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了以下有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22∶21，即在全体出生婴儿中，男婴占51.2%，女婴占48.8%.可奇怪的是，当他统计1745～1784年整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25∶24，男婴占51.02%，与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯对此感到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素.于是，他深入进行调查研究，终于发现:当时巴黎人“重女轻男”，有抛弃男婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22∶21．
和你的同学一起讨论，如何设计一个调查方案来估计你所在地区男、女婴的出生比率？3.4 互斥事件
共同成长
见仁见智
关于互斥事件和等可能事件，几个同学各自发表了自己的看法.
甲：互斥事件是指不能同时发生的2个或多个事件.
乙：在一次试验中，由于某种对称条件，使得若干个随机事件发生的可能性相同，这些事件称为等可能事件，在数量上可为2个或多个.
丙：互斥事件在实际生活中大量存在，如在十字路中“向左拐”与“向右拐”是互斥事件，“去学校”与“不去学校”也是互斥事件.由于在十字路中“向左拐”与“向右拐”可能性相等，它也是等可能事件，因此有些互斥事件也是等可能事件.
丁：互斥事件和等可能事件是意义不同的两个概念.
你对互斥事件和等可能事件的看法如何呢？
合作共赢
请你和你的同学先阅读下列资料，然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.
一次梅某和赌友掷骰子，各押赌注32个金币.双方约定，如果梅某先掷出三次6点或赌友先掷出三次4点，就算赢了对方.赌博进行了一段时间，梅某已经两次掷出了6点，赌友已经一次掷出了4点.这时梅某接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌博只好中断了.
（1）如果再掷一次骰子，赌友掷得了一个4点.请问两个人应该怎样分这64个金币？
（2）如果赌博就此中断了，请问两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？3.2 古典概型
共同成长
见仁见智
某商场为了促进销售，搞了一次抽奖活动，规定顾客只要在商场一次消费100元就可获得一次抽奖机会.抽奖规则如下：在抽奖箱内有100个大小、形状都相同的标签，其上标有1到100这100个自然数，抽到数字8或末位数字是8的可获20元购物券，抽到数字是88的可获200元购物券，抽到66或99这两个数字的可获100元购物券.小明一心想得到一张200元的购物券，他粗懂概率知识，于是他采用消费多，抽奖机会也多的策略，一次性购物10
000元，因而获得100次抽奖机会.
李明：小明一定能获得一张200元的购物券.这是因为，在1～100的自然数中，数字8和末位数是8的数除88之外有10个，所以，从中任意取出一个数，则抽到数字8和末位数是8的数（除88之外）的概率为，抽到88的概率为，抽到66或99的概率为，他一次性购物10
000元，因而获得100次抽奖机会.所以一定有1次能抽到88这个数字.?
王宇：小明不一定能获得一张200元的购物券.这是因为，抽奖100次相当于做了100次试验，由于每次试验的结果都是随机的，所以这100次结果也是随机的，这就是说，每次既有可能抽到奖也有可能抽不到奖.在这100次抽奖中他也有可能一次奖也抽不到.
你有什么样的想法呢？
合作共赢
下面是17世纪中期的故事.请你和你的同学先阅读下面的故事，然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.
喜欢赌博的贵族梅莱一次又一次不厌其烦地将骰子弄转，他一边考察结果，一边记在本子上，最后他得出了这样一种考虑，如果将一个骰子投四次当中至少有一次（即一次以上）出现6点时，赌6点出现1次以上是有利的.
按照他的考虑“投6次骰子中有一次是6点，所以投1次骰子出现6点的期望概率应该是”.以上梅莱的考虑是正确的.“于是，投四次骰子概率是四倍，就是或，所以自己不应该输”，的确与很多人这样进行赌博他总是胜者.梅莱更加相信自己的考虑是正确的.但他的考虑实际上是错误的，幸好没因为这种赌博使梅莱破产，正确的概率是0.517
7.
不幸的是梅莱没有察觉自己的错误又开始了新的赌博.改换用两个骰子投24次，其中至少投出一次12点的赌博.按照他的考虑“投两个骰子出12点，是两个骰子的点数相乘，有6×6＝36种可能，其中两个骰子都出6点的期望概率应该是”,此时梅莱的考虑是正确的.梅莱又考虑“按照以上的计算若投24次期望概率是24倍，和前面同样的道理应该是＝”.梅莱这样的考虑就错了，这是因为前面的成功对自己的考虑过于自信，即使是一直在输也坚持认为“应该总有赢的时候”.由于他一直继续赌博，终于输得连一分钱都没有了.
（1）和你的朋友一起讨论一下,梅莱的错误出在了哪里？
（2）利用你所学的概率的知识，分析一下梅莱破产的原因.3.3 几何概型
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三点剖析
一、几何概型的定义
在古典概型中，利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率；不过，古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制，人们当然要竭力突破这个限制，以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D，又区域d包含在区域D内（如图7-3所示），而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等），现随机地向D内投掷一点M，假设点M必落在D中，且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.
图7-3
二、几何概型的概率计算
1．几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D中随机地抽取一点，记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率
P(A)=
这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.
2．几何概型的概率的取值范围
同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1．这是因为区域d包含在区域D内，则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时，事件A是不可能事件，此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时，事件A是必然事件，此时P(A)=1．
3．求古典概型概率的步骤：
（1）求区域D的“测度”；
（2）求区域d的“测度”；
（3）代入计算公式.
问题探究
问题1:利用几何概型求概率应注意哪些问题？
探究：应该注意到:
（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；
（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；
（3）公式为P(A)=
；
（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.
问题2:如图7-4所示,设M为线段AB的中点，在AB上任取一点C，则AC、CB、AM三个线段能否构成三角形？若能构成三角形，则构成三角形的概率是多少？
图7-4
探究：由于C点是线段AB上的任意点，所以这三条线段有可能构成三角形.又由于点C落在AB上的哪个位置都是随机的、等可能的，故此问题属于几何概型.
把“能构成三角形”记为事件A．由于构成三角形的条件是两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，而点C在线段AB上，则AC+CB=AB>AM，所以要AC、CB、AM三个线段能构成三角形只需|AC-BC|
AB．所以，在AB上任取一点C，AC、CB、AM三个线段能构成三角形的概率为.
图7-5
问题3:
两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，这两人能会面的概率是多少呢？
探究：本题中两人在8点到9点之间任意一个时刻会面是等可能的，所以本题的概率模型是一个几何概型.本题解题的关键是找出两人能会面的条件，并根据条件将两人能会面的区域的面积求出.以x、y分别表示两人到达的时刻，则两人能会面的条件为|x-y|≤20.这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如图7-6所示）.正方形的面积可视为区域D，阴影部分的面积可视为区域d,所求概率为.?
图7-6
精题精讲
例1．公共汽车每隔15分钟来一辆，假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达停车站，试求乘客候车不超过5分钟的概率.
思路解析
因为公共汽车每隔15分钟来一辆，乘客在0～15分钟之间任何一个时刻到达车站是等可能的，所以乘客在哪个时间段到达车站的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关.这符合几何概型的条件.
答案：设A=｛候车的时间不超过5分钟｝，我们所关心的事件A恰好是乘客到达车站的时刻,位于10～15时间段内，因而由几何概型的概率公式得,即“乘客候车不超过5分钟”的概率是.
绿色通道
分清“古典概型”与“几何概型”的区别和联系.古典概型和几何概型中的基本事件的发生都是等可能的，所不同的是古典概型中基本事件的个数是有限多个，而几何概型中的基本事件的个数是无穷多个.
例2．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
思路解析
利用几何概型正概率公式求解.
图7-7
答案：如图7-7所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件，根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前得到报纸，即事件A发生，所以=87.5%.
例3．已知关于x的方程ax2－ax+a－3=0.
（1）若方程有两实根，求a的范围；
（2）在（1）的前提下，任取一实数a，方程有两正根的概率是多少
思路解析
先利用判别式和韦达定理分别求出方程有两个根、两个正根时a的范围，再根据几何概型的概率公式求解.
答案：（1）方程有两实根的条件是a≠0，a2－4a（a－3）≥0，即0（2）方程有正根的条件是a≠0，a2－4a（a－3）≥0，
>0，即3设数轴上与数0、3、4对应的点分别是A、B、C，由于实数与数轴上的点是一一对应的，可以认为几何区域是线段AC，“方程有正实根”的几何区域为线段BC
.故所求概率为.
绿色通道
把“几何区域”推广到“区间”，这点是容易理解的，因为一个数的集合的区间与数轴上的线段是一一对应的，几何测度就是区间的长度.3.1 随机事件及其概率
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三点剖析
一、确定性现象和随机现象
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.我们再看以下两个简单的试验.
试验1：一个盒中有10个完全相同的白球，搅拌均匀后从中任意摸取一个球.
试验2：一个盒中有10个完全相同的球，其中有5个白的，另外5个是黑色的，搅拌均匀后从中任意摸取一球.
对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球.这种试验，根据试验开始时的条件，就可以确定试验的结果，而对试验2来说，在球没有取出以前，我们从试验开始时的条件，不能确定试验的结果是白的还是黑的，也就是说这一试验的结果，出现白球还是出现黑球，在试验之前是无法确定的，这就具有了随机性.于是，试验1在试验之前就能断定它是一个确定的结果，这种试验所对应的现象就称为确定性现象.确定性现象非常广泛，例如：“早晨，太阳必然从东方升起”“边长为a、b的矩形的面积必为ab”“如果a、b都是实数，那么a·b=?b·a”等等.试验2所代表的类型，它有多于一种可能的试验结果，但试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果.就一次试验而言，看不出什么规律，这种试验所代表的现象就称为随机现象.在客观世界中随机现象也是极为普遍的，如：“某一地区的年降雨量”“打靶射击时，弹着点到靶心的距离”“校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字10个”等等.
对于试验1或试验2取出白球或取出黑球这一现象，若让其条件实现一次，就进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果都是一个事件.如试验1中,从盒中取出一个白球就是一个事件.
二、必然事件、不可能事件与随机事件
必然事件是指在一定的条件下，必然会发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，肯定不会发生的事件.必然事件与不可能事件反映的就是在一定条件下的确定性现象.
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件,随机事件反映的是随机现象.
必然事件、不可能事件与随机事件统称为事件，一般用大写英文字母A、B、C……表示.
例如：异性电核，相互吸引；电阻不为0的导线通电后发热等是必然事件.在常温常压下，石墨能变成金刚石；实心铁球丢入水中，铁球浮起等是不可能事件.掷一枚硬币，国徽朝上；明天进行的某场足球赛的比分为3∶1等是随机事件.
对于随机事件，虽然知道会出现哪些结果，却事先不能确定具体会发生哪一种结果，即无法确定某个随机事件是否发生.但是，如果在相同条件下大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性.概率论正是研究随机现象这种数量规律性的一个数学分支.
这三种事件是根据一件事情在发生前能否预知结果来划分的.必然事件和不可能事件都是在一定的条件下，结果能否发生是可以预知的，而随机事件却是在这一定的条件下，结果能否发生是无法确定的，即可能发生，也可能不发生.
三、随机事件的概率
1．随机事件的概率的定义
一般地，如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈.
随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，它的发生具有不确定性，但随着试验次数的大量增加，随机事件发生的频率逐渐趋于稳定，这个稳定值我们把它叫做概率.概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，要得到它必须进行大量的重复试验，因而，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.若掷15次硬币，正面出现5次就断定正面出现的概率是，显然是错误的.因为它不是从大量重复的试验统计出来的.对单次试验来说，随机事件的发生是随机的，如某种子的发芽率为80%，随机选取10粒种子检测，若前2粒种子都未发芽，能不能说以下的8粒种子都发芽呢？不能，对任何一粒种子来说它不发芽的可能性都是20%.因而在做题时要重点把握概率的意义.
2．随机事件的概率的基本性质
必然事件和不可能事件分别用Ω和来表示.不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况.用这种对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系.由概率的定义，显然有P（Ω）=1；P（）=0.又如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则m≤n.所以，我们可以得出概率的基本性质.
随机事件的概率有两个基本性质：
（1）对于任意一个事件A，都有0≤P(A)≤1；（2）必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
问题探究
问题1:
下列有三种说法：①概率就是频率；②某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品；③从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为.我们应该怎样看待这些说法呢？
探究：我们知道在实验中，某一事件出现的次数与总实验次数的比例叫频率，它是一个确定的值，描述的是已经发生了的事件的特征.但是对于尚未发生的事件，我们只能描述它发生的可能性的大小.不同的人做同一实验的结果不一定相同，即便是同一人在两次相同实验中的结果也可能不同，因而不同的人或同一人做两次相同实验，某一事件发生的频率可以不同，但随着实验次数的增多，在大量重复进行同一实验时，某一事件发生的频率总是接近于某一常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，它实质上是频率的近似值，所以说法①是错误的；对第②种说法，次品率是3%，只能说明任意抽取一只灯泡进行检测，检测出是次品的可能性或概率是3%，并不一定是抽取100件，其中一定有3件次品.在这100件产品中可能一件次品也没有，可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至这100件全是次品，所以说法②是错误的;从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明抽样灯泡中次品的频率为，而并非这批灯泡的次品概率.实际上从这一批灯泡中随机抽取15只进行质量检验相当于进行了15次随机试验，而每次试验的结果也是随机的，所以这15次试验的结果也是随机的.“从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品”这只是多个随机结果中的一个，它只能说明这次抽样检验的次品的频率为，而次品的概率则可能比高或比低，并不一定是，所以说法③也是错误的.
问题2:
我们知道，当试验次数n很大时，事件A发生的频率的近似值就可以看为事件的概率，那么概率和频率之间有着怎样的区别和联系？
探究：随机事件的频率，是事件A发生的次数与试验次数的比值，若它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，摆动的幅度将会减小，这时频率所趋近的常数就是事件A发生的概率.因此概率可以看作是频率在理论上的期望值，它从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.而频率是不能脱离具体的n次试验的试验值的，在相同的条件下做两组相同的试验所得的频率就可能不同.从概率的定义可知：频率是概率的近似值，而概率则是频率的稳定值.
精题精讲
例1．试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：
（1）抛一块石块，下落；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃?时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果a＞b，那么a－b＞0；
（5）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（6）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（7）没有水分，种子能发芽；
（8）在常温下，焊锡熔化.
思路解析
（1）中抛一块石块,由于受重力的作用必然下落；（2）中由物理学知识,可知在标准大气压下且温度低于0℃?时，冰不会融化；（3）中某人射击一次可能中靶也可能不中靶；（4）中由不等式的基本性质可知,如果a＞b，那么a－b＞0；（5）中从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张,这5个数字都有被抽到的可能；（6）中某电话机在1分钟内收到呼叫的次数也是随机的；（7）由生物学知识知没有水分，种子不可能发芽；（8）由物理学知识可知在常温下，焊锡不可能熔化.
答案：由于（1）（4）这两个事件肯定会发生，所以（1）（4）是必然事件；而（3）（5）（6）这三个事件可能发生也可能不发生，所以（3）（5）（6）是随机事件；而（2）（7）（8）这三个事件肯定不会发生，所以（2）（7）（8）是不可能事件.
绿色通道
判断一个事件是随机事件、必然事件或不可能事件的依据，主要是利用它们的定义.随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.应注意，事件的结果是相应于“一定条件”而言的.要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果.
例2．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年后的考试成绩分布情况：
成 绩
人 数
90分以上
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率：
（1）90分以上；
（2）60～69分；
（3）60分以上.
思路解析
利用概率的计算公式求解即可.如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈.由于参加考试的人数较多，则各组数据的频率可以近似地看作是这一组数据的概率.
答案：利用计算器计算可得（1）0.067.
(2)0.140.
(3)0.891．
绿色通道
如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈.
例3．为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分.然后作了统计，下表是统计结果.
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
（3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.
思路解析
首先利用频率的计算公式计算出各组数据的频率，再由此估计出概率，再对数据进行比较和分析.
答案：（1）贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.53
0.54
0.52
0.51
0.51
0.50
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
（2）概率分别为0.5和0.55．
（3）经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别.
例4．检查某工厂产品，其结果如下：
抽出产品数（n）
5
10
60
150
600
900
1200
1800
2400
次品数（m）
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
（1）计算表中的次品频率；
（2）利用所学知识对表中数据作简要的数学分析.
思路解析
计算次品出现的频率，再对这些数据进行比较、归纳和分析，与所学内容联系起来.
答案：（1）根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：
抽出产品数（n）
5
10
60
150
600
900
1200
1800
2400
次品数（m）
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
0
0.3
0.117
0.127
0.087
0.111
0.104
0.099
0.103
（2）从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，但随着抽样的大量进行，抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率呈现稳定现象，即在0.1附近.
由此可估计该厂产品的次品率约为0.1．
绿色通道
本题重在考查对概念的理解程度，体现了数学知识的实际应用，突出了数学知识的实践性；与什么样的数学知识联系起来，怎样联系，如何建立数学模型，对学生的数学水平有较高的要求，这是今后数学命题的趋势.3.1.2
随机事件的概率
互动课堂
疏导引导
1.随机事件的概率的定义
一般地,如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次,当试验的次数ｎ很大时,我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值,即P(A)≈.
疑难疏引
（1）频率与概率有本质的区别.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象：当试验次数越来越大时频率向概率靠近.
（2）正确理解频率与概率之间的关系.随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字,叫做这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
因而,概率是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.若掷15次硬币,正面出现5次就断定正面出现的概率是,显然是错误的.因为它不是从大量重复的试验统计出来的.对单次试验来说,随机事件的发生是随机的,如某种子的发芽率为80%,随机选取10粒种子检测,若前2粒种子都未发芽,能不能说以下的8粒种子都发芽呢？不能,对任何一粒种子来说它不发芽的可能性都是20%.因而在做题时要重点把握概率的意义.
（3）概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的,也就是说：单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.
(4)概率的这种定义叫做概率的统计定义
有了概率的统计定义,我们就可以比较不同事件发生的可能性的大小了.
（5）由概率的统计定义可知,求一个事件概率的基本方法,是通过大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
2.随机事件的概率的基本性质
必然事件和不可能事件分别用Ω和来表示.不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件,但它们可以看作是随机事件的两个极端情况.用这种对立又统一的观点去看待它们,有利于认识它们的内在联系.由概率的定义,显然有P（Ω）=1；P（）=0.又如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则m≤n.所以,我们可以得出概率的基本性质.
随机事件的概率有两个基本性质：
（1）对于任意一个事件A,都有0≤P(A)≤1；（2）必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
案例1
下列有三种说法：①概率就是频率；②某厂产品的次品率为3%,是指“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有3件次品；③从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品,说明这批灯泡中次品的概率为.我们应该怎样看待这些说法呢？
【探究】我们知道在实验中,某一事件出现的次数与总实验次数的比例叫频率,它是一个确定的值,描述的是已经发生了的事件的特征.但是对于尚未发生的事件,我们只能描述它发生的可能性的大小.不同的人做同一实验的结果不一定相同,即便是同一人在两次相同实验中的结果也可能不同,因而不同的人或同一人做两次相同实验,某一事件发生的频率可以不同,但随着实验次数的增多,在大量重复进行同一实验时,某一事件发生的频率总是接近于某一常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,它实质上是频率的近似值,所以说法①是错误的；对第②种说法,次品率是3%,只能说明任意抽取一只灯泡进行检测,检测出是次品的可能性或概率是3%,并不一定是抽取100件,其中一定有3件次品.在这100件产品中可能一件次品也没有,可能有2件次品,也可能有3件次品,甚至这100件全是次品,所以说法②是错误的;从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品,说明抽样灯泡中次品的频率为,而并非这批灯泡的次品概率.实际上从这一批灯泡中随机抽取15只进行质量检验相当于进行了15次随机试验,而每次试验的结果也是随机的,所以这15次试验的结果也是随机的.“从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品”这只是多个随机结果中的一个,它只能说明这次抽样检验的次品的频率为,而次品的概率则可能比高或比低,并不一定是,所以说法③也是错误的.
规律总结
正确理解概率的定义,把握好频率与概率的关系是解题的关键.
案例2
射手甲中靶的概率是0.9,因此,我们认为,即使射手甲比较优秀,他射击10发子弹也不会全中,其中必有一发不中,试判断这种认识是否正确.
【探究】射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次试验,而每次试验的结果都是随机的,所以他10次的结果也是随机的.这10次射击可以一次也不中,也可能中一次、二次……甚至10次都中.
虽然中靶是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9说明在多数次的试验中,中靶的可能性稳定在0.9.实际上,他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349,这是有可能发生的.
案例3
延边人民出版社对某教辅教材的写作风格进行了5次“读者问卷调查”,结果如下：
被调查人数n
1
001
1
000
1
004
1
003
1
000
满意人数m
999
998
1
002
1
002
1
000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
（2）读者对某教辅教材满意的概率P（A）约是多少？
【探究】（1）表中各个频率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,1.
（2）由第（1）问的结果,知延边人民出版社在5次“读者问卷调查”中,收到的反馈信息是“读者对某教辅教材满意的概率约是P（A）=0.998.”
用百分数表示就是P（A）=99.8%.
规律总结
(1)概率的本质属性是：从数量上反映出一个事件发生的可能性的大小,它的范围是［0,1］,即任何一个事件A的概率都满足0≤P(A)≤1.
（2）本例中,读者对某教辅教材满意的概率可用下图直观地表示出来.
从图中可以看出,这个概率值取为0.998,是因为5个频率数0.998,0.998,0.999,1中有3个（接近亦可）0.998,而5个频率数中0.999和1都只有1个.另外,从上图还可以看出,读者对某教辅教材的满意程度呈上升趋势.
活学巧用
1.下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小.②做n次随机试验.事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件的概率.③百分率是频率,但不是概率.④频率是不能脱离具体的n次的试验值,而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值.⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法是____________________.
解析：本题概括了概率与频率的定义、联系和区别.由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,是事件A发生的频率,由于概率是与频率接近一个常数,所以概率不一定等于频率,故②是错误的.概率虽是与频率接近的常数,但不时与频率相等（如必然事件）,所以③是不正确的.由概率定义知④⑤是正确的.
答案：①④⑤
2.从一批准备出厂的电视机中,随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,能否说这批电视机中次品的概率是0.10
解析：不能说这批电视机的次品的概率是0.10,因为这仅是10台电视机中次品的频率,由概率的定义可知,频率值可能等于概率值,也可能只接近于概率.
3.某厂产品的次品率为2%,问“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？
解析：这种说法不对.因为产品的次品率为2%,是指产品为次品的可能性为2%,所以从该厂产品中任意地抽取100件,其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品.
4.试解释下面情况中概率的意义：
（1）某商场为促进销售,实行有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20.
（2）一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
解析：概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.
答案：（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.
（2）是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.
5.事件A的概率P(A)满足（
）
A.P（A）=0
B.P（A）=1
C.0≤P(A)≤1
D.P(A)＜0或P(A)＞1
解析：由概率定义易得0≤P(A)≤1.
答案：C
6.下列说法正确的是（
）
A.任一事件的概率总在（0,1）之间
B.不可能事件的概率为0
C.概率为1的事件并不一定会发生
D.以上均不对
解析：∵P（A）∈［0,1］,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
答案：B
7.某位同学做四选一的选择题,由于不会,只能随机选取一个选项,你认为他做对的概率大约为（
）
A.0.5
B.0.25
C.0
D.0.4
解析：P=14=0.25
答案：B
8.从含有20个次品的1
000个显像管中任取一个,则它是正品的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：P=.
答案：C
9.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下：
抽取件数
50
100
200
300
500
1
000
合格件数
47
92
192
285
478
954
请估计该种产品合格的概率.
解析：由概率的定义可知,检测次数越多越接近概率值.
故概率P==0.954.
10.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次,进球的概率是多少？
解析：(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为:
,.
(2)由(1)知,每场比赛进球的频率虽然不同,但频率总是在附近摆动,可知该运动员进球的概率为.
11.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成
绩
人
数
90分以上
43
80—89分
182
70—79分
260
60—69分
90
50—59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）.
（1）90分以上；
（2）60—69分；
（3）60分以上.
解析：利用概率的计算公式求解即可.如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次,当试验的次数ｎ很大时,我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值,即P(A)≈.由于参加考试的人数较多,则各组数据的频率可以近似地看作是这一组数据的概率.
答案：利用计算器计算可得（1）0.067；
(2)0.140；
(3)0.891.3.2 古典概型
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疏导引导
1.基本事件
基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同,则称这些基本事件为等可能基本事件.
例如：在掷硬币试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中,随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.
案例1
从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.
（1）写出这个试验的基本所有事件；
（2）下列随机事件由哪些基本事件构成：
事件A：取出的两件产品都是正品；
事件B：取出的两件产品恰有1件次品.
【探究】(1)基本事件（a1,a2）,(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)共有6个基本事件.
（2）事件A包含2个基本事件（a1,a2）,(a2,a1).
事件B包含4个基本事件（a1,b1）,(b1,a1),(a2,b1)(b1,a2).
规律总结
(1)在求基本事件时,一定要注意结果的机会是均等的,这样不会漏写.其次要按规律去写.
（2）在这个试验中（a1,a2）和（a2,a1）,(a1,b1)和（b1,a1）,(a2,b1)和（b1,a2）是不同的基本事件,在取第1件产品时,a1,a2,b1被取到的机会一样,假设第一次取出a1,那么第2次取时,a2,b1的机会也是一样的.
2.古典概型的定义
古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：
（1）所有的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的.
疑难疏引
（1）一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.②并不是所有的试验都是古典概型,例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本事件为“发芽”,“不发芽”,而种子“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般不是均等的,这个试验就不属于古典概型.
(2)古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
3.古典概型概率的计算
如果一次试验的等可能基本事件共有n个,则每一个等可能事件发生的概率为.若某个事件A包含了其中m个等可能事件,则事件A发生的概率为P（A）==.
疑难疏引
（1）古典概型概率的取值范围
在古典概型中,若基本事件的总数为n,某个事件A包含了其中m个基本等可能事件,则必有0≤m≤n,所以事件A发生的概率的取值范围是0≤P(A)≤1.其中,当m=0时,事件A是不可能事件,它发生的概率为0,当m=n时,事件A是必然事件,它发生的概率是1,当0＜m＜n时,事件A是随机事件,此时它发生的概率的取值范围是0＜P(A)＜1.
（2）解决古典概型的问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中所包含的结果数,因此要注意以下三个方面：①本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件A是什么.只有清楚了这三个方面的问题,解题才不至于出错.
（3）求古典概率应按下面四个步骤进行：
第一,仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意.
第二,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A.
第三,分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.
第四,利用公式P（A）=求出事件A的概率.
可见在运用公式计算时,关键在于求出m、n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.例如,先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正,正”“正,反”“反,正”“反,反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.在乘m时,可利用列举法或者结合图形采取了列举的方法,数出事件A发生的结果数.
（4）用集合的观点去审视概率
在一次试验中,等可能出现的n（例如n=5）个结果可组成一个集合I,这n个结果就是集合I的n个元素.各个基本事件都对应于集合I的含有1个元素的子集,包含m（例如m=3）个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.
从集合的角度看,事件A的概率是I的子集A的元素个数card（A）与集合I的元素个数card(I)的比值,即P（A）=(例如).
案例2
抛掷两颗骰子,求
（1）点数之和是4的倍数的概率；
（2）点数之和大于5小于10的概率.
【探究】抛掷两颗骰子,基本事件总数为36.但所求事件的基本事件个数不易把握,很容易出现遗漏或重复,故可借助直观图形,以便更准确地把握基本事件个数.
作图,从下图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个：（1,3）,（2,2）,（3,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（6,6）.所以,P（A）=.
（2）记“点数之和大于5小于10”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个,即（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（3,6）,（4,5）,（5,4）,（6,3）.
所以P（B）=.
规律总结
（1）计算这种概率一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n
；②算出事件A中包含的基本事件的个数m；③算出事件A的概率,即P（A）=.应注意这种结果必须是等可能的.
（2）在求概率时,常常可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示,以便准确地找出某事件所含的基本事件个数.
案例3
一个口袋内有大小相等的一个白球和已编有不同号码的3个黑球.
(1)若从中摸出一球后放回,再摸一球,求两次摸出的球都是黑球的概率.
(2)若从中一次摸出2球,求2球都是黑球的概率.
【探究】(1)第一次摸球有4种不同的结果,每一种结果是等可能的,第二次摸球也有4种不同的结果,每一种结果也是等可能的,所以共有4×4=16种不同的结果.这16种结果是等可能的,所以一次试验是古典概型,它的基本事件总数为16.
第一次摸出黑球有3种不同的结果,第二次摸出黑球也有3种不同的结果,故摸出的球都是黑球的基本事件数为3×3=9,设A=“有放回摸2球的黑球”,则P（A）=.
（2）一次摸出2球,可以看作不放回抽样2次.
第一次抽取有4种不同的结果,第二次抽取有3种不同的结果,且它们都是等可能的,所以一次试验共有4×3=12种不同的结果,并且是等可能的,是古典概型.共有12个基本事件.
第一次摸出黑球有3种结果,第二次摸出黑球有2种不同的结果,故摸出的2球,都是黑球的基本事件数为3×2=6.
设B=“一次摸出2时为黑球”,则P（B）=.
规律总结
(1)为有放回抽取问题,此类问题每次抽取的球可以重复,每次抽取的结果个数相同,可以无限地进行下去.
（2）是不放回抽取问题,此类问题每次摸出的球不出现重复,每次抽取的结果个数不同,只能抽取有限次.
案例4
甲、乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就取胜,求甲取胜的概率.
【探究】首先列举出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件,再根据古典概型的概率公式进行计算.
解法一:甲将骰子抛掷一次,出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,对甲掷得的每个结果,乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果,于是共有6×6=36种不同的结果.
把甲掷得i点,乙掷得j点（1≤i,j≤6）记为（i,j）.
事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）.
故甲取胜的概率为=.
解法二：两人掷出相同的点数有（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）六种结果,“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件,都有=15种结果.故甲取胜的概率为=.
规律总结
掷骰子是典型的题型,本题与解析几何知识相联系,在如下图所示的直角坐标系中,若x表示甲掷得的点数,y表示乙掷得的点数,本题实质就是求点（x,y）落在直线y=x下方的概率.
活学巧用
1.写出下列试验的基本事件：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果（包括平局）________________；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数__________________.
答案：（1）胜、平、负
（2）0,1,2,3,4
2.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现的正面还是反面.
（1）写出这个试验的所有基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
解析：（1）这个试验的基本事件
（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（正,反,反）,（反,正,正）,（反,正,反）,（反,反,正）（反,反,反）.
（2）基本事件的总数是8.
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）.
3.作投掷2颗骰子试验,用（x,y）表示结果,其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数,写出：
（1）事件“出现点数之和大于8”；
（2）事件“出现点数相等”；
（3）事件“出现点数之和大于10”.
解析：（1）（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,6）.
（2）（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）.
（3）（5,6）,（6,5）,（6,6）.
4.下列试验中,是古典概型的有（
）
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从规格直径为250
mm±0.6
mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d
C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
解析：C项中试验满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
答案：C
5.向一圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗？为什么？
解析：不是古典概型.因为该试验虽具有古典概型的特征——等可能性,但不具有有限性,而具有无限性.
6.同时掷相同的两枚硬币,
观察正、反面出现的情况,这个试验的基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,反）,它共有3个基本事件,故出现（正,正）的概率是.这个题目解法是否正确.
解析：基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,它有4个基本事件,故出现（正,正）的概率为.
答案：不正确
7.将1枚硬币抛2次,恰好出现1次正面的概率是（
）
A.
B.
C.
D.0
解析：抛2次恰好出现1次正面包含2个基本事件,这个试验的基本事件总数为4,
∴恰好出现1次正面的概率是.
答案：A
8.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育二胎,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件,即（男,男）、（男,女）、（女,男）、（女,女）,故两胎均为女孩的概率是.
答案：C
9.在一次问题抢答的游戏中,要求找出对每个问题所列出的4个答案中唯一正确的答案.其抢答者随意说出了其中一个问题的答案,这个答案恰好是正确答案的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：P=.
答案：B
10.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问：
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解析：（1）分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件（摸到1,2号球用（1,2）表示）：
（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）
（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）
因此,共有10个基本事件.
（2）如下图,上述10个基本事件发生的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到两只白球（记为事件A）,即（1,2）,（1,3）,（2,3）,故P（A）=.
答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率为.
11.将骰子先后抛掷2次,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的数之和是5的概率是多少？
分析：将骰子先后抛掷2次,实际上是分两个步骤完成,第一次抛掷骰子出现的点数有6种结果,第二次抛掷骰子出现的点数也有6种结果.只有将这两个步骤依次全部完成才算是将骰子先后抛掷两次这件事完成.因此将骰子先后抛掷两次试验的基本事件数为6×6=36.
解：（1）将骰子抛掷1次,它落地时向上的数有1,2,3,4,5,6这6种结果,根据题意,先后将骰子抛掷2次,一共有6×6=36种不同的结果.
（2）在上面所有结果中,向上的数之和为5的结果有（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）4种,其中括弧内的前、后两个数分别为第1、2次抛掷后向上的数.上面的结果可用下图表示,其中不在虚线框内的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和.
（3）由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和是5的结果（记为事件A）有4种,因此,所求的概率
P（A）=.
答：先后抛掷骰子2次,一共有36种不同的结果；向上的数之和为5的结果有4种,概率是.
12.有红、黄两种颜色的小旗各2面,从中任取2面挂在一根旗杆上,
求：（1）2面旗子同色的概率；
（2）2面旗子颜色各不相同的概率.
解析：设两面红旗和两面黄旗分别记为红1、红2和黄1、黄2,则基本事件共有（红1,红2）,（红1,黄1）,（红2,黄1）,（红1,黄2）,（红2,黄2）,（黄1,黄2）计6个.
（1）设2面旗子同色这一事件为A,则A为（红1,红2）,（黄1,黄2）共2个,所以2面旗子同色的概率为P=.
（2）设2面旗子不同色这一事件为B,则B为（红2,黄1）,（红2,黄1）,（红1,黄2）,（红1,黄2）,B包含4个基本事件,所以2面旗子颜色不相同的概率为.
13.从1,2,3,…,50中任取一个数,求下列事件的概率.
（1）它是奇数；
（2）它能被5整除；
（3）它是奇数且能被5整除.
解析：（1）设从50个数中任取一数,取得奇数为事件A,则A包含25个基本事件,故P（A）=.
（2）设取得一数,该数被5整除为事件B,B包含10个基本事件,故P（B）=.
（3）设取得一数,该数是奇数且被5整除为事件C,则C包含5个基本事件,故P（C）=.3.2 古典概型
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三点剖析
一、基本事件
基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.
例如：在掷硬币试验中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.
二、古典概型
1．古典概型的定义
古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：
（1）所有的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的.
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，则每一个等可能事件发生的概率为.若某个事件A包含了其中m个等可能事件，则事件A发生的概率为P（A）=.这就是古典概型概率的计算公式.
古典概型概括了许多实际问题，有很广泛的应用.如“体育彩票”“社会福利彩票”和抓奖等活动中就蕴涵着古典概型的应用.此外它也提供了一种求概率问题的崭新的方法，也就是说不需要通过大量重复的试验，而只要对一次试验可能出现的结果进行分析，就可以求得概率.
2．古典概型概率的取值范围
在古典概型中，若基本事件的总数为n，某个事件A包含了其中m个基本等可能事件，则必有0≤m≤n，所以事件A发生的概率的取值范围是0≤P(A)≤1．其中，当m=0时，事件A是不可能事件，它发生的概率为0，当m=n时，事件A是必然事件，它发生的概率是1，当03．古典概型概率的集合意义
在古典概型中，所有的n个基本事件可以构成一个含有n个元素的集合I，而事件A包含的m个基本事件可以构成一个集合B．由古典概型概率的计算公式可知：P(A)=
.
4．古典概型概率的求法与步骤
求古典概型概率的方法有两种：（1）P（A）=，其中n是古典概型中所包含的基本事件的总数，m则是事件A包含的基本事件数.
（2）P(A)=
，其中集合I是古典概型中所有基本事件构成的集合，集合B则是事件A包含的基本事件构成的集合.
求古典概型概率的步骤：
（1）求基本事件的总数（或集合I中元素的个数）；
（2）求事件A包含的基本事件的个数（集合B中元素的个数）
（3）代入计算公式.
问题探究
问题1:
甲、乙两人做掷骰子游戏，他们同时各掷一枚骰子一次，然后计算两个骰子向上的数字之积，若得到的积为偶数，则甲得到1分，否则乙得2分.他们各掷10次，记录得分情况，得分多者获胜，问这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？
探究：这个游戏对甲、乙双方是否公平，就看两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率是不是为奇数概率的2倍.由于掷一次骰子点数为奇数的有3种，点数为偶数也有3种情况，而两次掷得点数之积为偶数有以下几种可能：甲掷得偶乙奇、偶均可，有6种可能；甲掷得奇而乙掷得偶，此时有3种可能.所以两人掷得的骰子向上点数之积为偶数有9种可能；而奇数只有6种.所以两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率不是掷得的骰子向上点数之积为奇数的概率的2倍，故该规则对他们来说是不公平的.
问题2:
成语词典上对“万无一失”的解释是“比喻有绝对的把握”，从数学的角度应如何看待“万无一失”这一成语呢？
探究：从数学的角度，虽然“万无一失”，但是第一万零一次就失败了呢？尽管是“亿无一失”，但十亿次、百亿次后出现失误的可能性还是有的.因此“万无一失”只能说出现失败的可能性很小，其含义绝对不能和“有绝对把握”画等号.
在概率论中我们常把发生概率很小的事件称为“小概率事件”，因此“万无一失”这一成语在某种意义上可以看作发生失误是小概率事件.
问题3:
多大概率是“小概率”？如何看待“小概率事件”？
多大概率是“小概率”这是因人、因事、因地而定的，没有统一的衡量标准.
中国古代军事学有“六十庙算”的说法.意思是说只要有六成把握就应攻打，实际上就把0.4看成了小概率.我们平时做一件事经常说“十拿九稳”,即成功的概率为0.9，失败的概率为0.1，这里我们把失败的概率0.1看成了小概率.但是不可一概而论，比如一台设备有1
000个零件是很常见的，假设每个零件的合格率为0.999，而且其中一个零件失效，则整套设备就不能正常工作，则按照相互独立事件的概率计算，整套设备能正常工作的概率为0.9991
000=0.368.
这就意味着这台机器有的时间能正常工作，这样的机器如何能卖得出去.如果是发射宇宙飞船或航天飞机，涉及到零件和部件非常之多，其可靠性的要求必须非常严格，0.000
1的次品率已经很高了，不再是小概率了.除此之外，事件发生的概率是不是小概率还与人的心理素质有关.比如，有的人觉得自己买福利彩票一定会中大奖（中奖率为几十万分之一），却绝对不会出车祸（概率约为五万分之一）.
确实，如何看待小概率事件是人们处理工作和生活问题必备的科学素质.完全忽视小概率事件，会因麻痹大意而酿成大祸.例如美国“哥伦比亚号”航天飞机惨剧的发生,不断发生的交通事故以及工厂、矿山等发生的生产事故无不与忽视小概率事件有关.但也不必过分地害怕小概率事件，以致于谨小慎微，裹步不前，只要对具体的小概率事件作出具体的分析，科学的处理，就能在“十拿九稳”“万无一失”“绝对把握”之间作出正确的抉择.
精题精讲
例1．同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
思路解析
将两个骰子掷一次，它出现的点数有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、…、（6，5）、（6，6）这36种结果，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
答案：（1）掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1、2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种.
（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）,
其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果.
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上的点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得
P(A)=
=.
绿色通道
计算这种概率一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n
；②算出事件A中包含的基本事件的个数m
；③算出事件A的概率，即P（A）=.应注意这种结果必须是等可能的.
黑色陷阱
类似于（1，2）和（2，1）这样的结果是不同的基本事件，是有区别的,不要以为是同一个事件,要注意加以区分.
例2．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中有3只白球，2只黑球.从中摸出两只球，求下列事件发生的概率.
（1）事件A：摸出的两只球都是白球；
（2）事件B：取出的两只球一只是白球，一只是黑球.
思路解析
首先列举出所有可能的基本事件，列出所求事件包含的基本事件，再根据古典概型的概率公式进行计算.
答案：分别记白球为1、2、3，黑球为4、5，从中摸出2只球有如下基本事件：
（摸到1、2号球用（1，2）表示）
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个基本事件.
上述10个基本事件发生的可能性相同.
（1）“摸出的两只球都是白球”包含3个基本事件：（1，2），（1，3），（2，3）.
故P（A）=.
（2）“摸出的两只球一只是白球，一只是黑球”包含6个基本事件：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）.
故P（B）==.
例3．假设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性.纯显性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性，
问：（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少
（2）2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少
思路解析
列举出基因组合的所有可能及其发生的概率，它满足几何概型的特征，按几何概型的概率公式计算即可.
答案：孩子的一对基因为?dd、rr、rd?的概率分别为、、，孩子有显性基因决定的特征是具有dd、rd?基因，所以
（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率为
+＝.
（2）因为2个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即2个孩子都具有rr基因的纯隐性特征，其概率为×
=,所以2个孩子中至少有一个显性基因决定的特征的概率为1－＝.
例4．甲、乙两人做掷骰子游戏，两人各掷一次，谁掷得的点数多谁就取胜，求甲取胜的概率.
思路解析
首先列举出所有可能的基本事件，列出所求事件包含的基本事件，再根据古典概型的概率公式进行计算.
答案：解法一:甲将骰子抛掷一次，出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，对甲掷得的每个结果，乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果，于是共有6×6=36种不同的结果.
把甲掷得i点，乙掷得j点（1≤i，j≤6）记为（i，j）.
事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）.
故甲取胜的概率为=.
解法二：两人掷出相同的点数有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）六种结果，“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件，都有=15种结果.故甲取胜的概率为
=.
绿色通道
掷骰子是典型的题型，本题与解析几何知识相联系，在如图7-1所 示的直角坐标系中，若x表示甲掷得的点数，y表示乙掷得的点数，本题实质就是求点（x，y）落在直线y=x下方的概率.
图7-13.3 几何概型
共同成长
合作共赢
请你和你的同学一起阅读下列材料，然后讨论回答下列问题.
在图7-12所示的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值.
图7-12
随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
.
假设正方形的边长为2，则
.
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
这样就可以得到圆周率的近似值了.
（1）在此题中求圆周率近似值的理论是什么？
（2）请你和你的同学一起，再设计几个求圆周率近似值的方法，并写出其过程和理论依据.
读书做人
祖冲之
祖冲之（公元429～500年）是我国南北朝时期河北省涞源县人.他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家.
祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算.秦汉以前，人们以“径一周三”作为圆周率，这就是“古率”.后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一.直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法——“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.141
592
6与3.141
592
7之间,并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，它是分子分母在1
000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查.若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16
384边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做“祖率”.
祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元.
祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异”.意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为“祖暅原理”.
（1）作为我国古代杰出的数学家，祖冲之最可贵之处是什么？
（2）通过阅读材料，你感悟出些什么？3.1.1
随机现象
互动课堂
疏导引导
1.确定性现象和随机现象
确定性现象是指在一定条件下,事先就能断定发生或不发生某种结果,而随机现象是指事先不能断定出现哪种结果,在自然界和人类社会的生产与活动中,存在着大量的确定性现象和随机现象.
疑难疏引
（1）我们把在一定条件下必然发生的现象叫必然现象,把必然不发生的现象叫不可能现象.必然现象和不可能现象统称为确定性现象.由此可见,确定性现象实际上就是事前可从预言结果的现象,通常我们对某个现象可以“未卜先知”,指的就是确定性现象.
（2）随机现象绝不是杂乱无章的现象.这里的随机有两方面的意思：①这种现象的结果不确定,发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性.但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性,我们称这种规律性为统计规律性.统计规律性说明了随机现象具有必然性或规律性的一面.统计和概率就是从量的侧面去揭示和研究随机现象的这种规律性,从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.
（3）为了探索随机现象发生的规律,就要对随机现象进行观察和模拟.对于某个现象,如果让其条件实现一次,就是进行了一次试验,而试验的每一种可能的结果,都是一个事件.
一个试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有结果是明确可知的,但不止一种；
③每次试验总是出现这些结果中的一种,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果.
这样的试验是一个随机试验.
2.必然事件、不可能事件与随机事件
必然事件是指在一定的条件下,必然会发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,肯定不会发生的事件.必然事件与不可能事件反映的就是在一定条件下的确定性现象.
随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,随机事件反映的是随机现象.
必然事件、不可能事件与随机事件统称为事件,一般用大写英文字母A、B、C……表示.
例如：异性电核,相互吸引；电阻不为0的导线通电后发热等是必然事件.在常温常压下,石墨能变成金刚石；实心铁球丢入水中,铁球浮起等是不可能事件.掷一枚硬币,国徽朝上；明天进行的某场足球赛的比分为3∶1等是随机事件.
对于随机事件,虽然知道会出现哪些结果,却事先不能确定具体会发生哪一种结果,即无法确定某个随机事件是否发生.但是,如果在相同条件下大量重复试验时,可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性.概率论正是研究随机现象这种数量规律性的一个数学分支.
这三种事件是根据一件事情在发生前能否预知结果来划分的.必然事件和不可能事件都是在一定的条件下,结果能否发生是可以预知的,而随机事件却是在这一定的条件下,结果能否发生是无法确定的,即可能发生,也可能不发生.
案
例
试判断下列事件是随机事件、必然事件,还是不可能事件：
（1）我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；
（2）若x为实数,则x2≥0;
（3）某出租车司机驾车通过10个交通路口都将遇到绿灯；
（4）一个电影院某天上座率超过50%；
（5）抛一石块,下落；
（6）一个正六面体的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6,将此正六面体抛掷两次,朝上面的数字之和大于12.
【探究】本题主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的概念,必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象,而随机事件反映的是在一定条件下的随机现象.解决此类问题的关键是根据题意明确条件,正确判断在此条件下事先能否断定出现某种结果.
【解】由题意可知：
（2）（5）是必然事件；
（6）是不可能事件；
（1）（3）（4）是随机事件.
规律总结
解此类判断题,主要在于明确三种事件的概念,尤其应注意事件是指在一定条件下所出现的某种结果是对应于某个条件而言的.特别需要指出的是：对于一个事件,如果叙述不明确,则容易导致不同的理解.比如把“在标准大气压下,0℃以下的冰不可能融化”说成是一个事件,那么事件的结果可以认为是指“冰融化”（因而它是不可能事件）.
活学巧用
1.判断下列现象是随机现象还是必然现象
（1）早晨,太阳从东方升起；
（2）某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数；
（3）检查流水线上一件产品是合格品还是不合格品；
（4）一个盒子中有十个完全相同的白球,搅匀后从中任意摸取的一球的颜色.
解析：（1）是必然现象,早晨太阳必然从东方升起.
(2)是随机现象,在单位时间内收到的呼唤次数可以是0次、1次,也可以是2次、3次……,但是在这个时间之前,我们无法预料是哪一种结果,即无法预料在该单位时间内收到的呼唤次数是多少,因而这是一种随机现象.
（3）是随机现象,每次试验即检查一件产品有两种可能的结果,即合格和不合格,但在检查之前,我们无法预料是哪一种结果,因而这是一种随机现象.
（4）是必然现象,在球没有取出之前,我们就能确定取出的必定是白球.
2.下列随机事件中,一次试验是指什么？它们各有几次试验？
（1）一天中,从北京开往沈阳的7列列车,全部正点到达；
（2）抛10次质地均匀的硬币,硬币落地时,有5次正面向上.
解析：(1)一列列车开出,就是一次试验,共有7次试验.
(2)抛一次硬币,就是一次试验,共有10次试验.
3.指出下列事件哪些是必然事件、不可能事件、随机事件.
（1）在标准大气压下,温度低于0
℃时,冰融化；
（2）平面三角形的内角和是180
℃；
（3）骑车到十字路口遇到红灯；
（4）某人购买福利彩票5注,均未中奖；
（5）某地1月1日刮大风；
（6）手电筒的电池没电,灯泡发亮.
解析：根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义,在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件,可知（3）（4）（5）是随机事件.在一定条件下不可能发生的事件叫做不可能事件,可知（1）（6）是不可能事件.在一定条件下,必然发生的事件叫必然事件,可知（2）是必然事件.
4.指出下列事件哪些是必然事件、不可能事件、随机事件
（1）一个三角形的大边对的角小,小边对的角大；
（2）集合{x||x|＜0}是空集；
（3）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军.
解析：（2）是必然事件；（1）是不可能事件；（3）是随机事件.
5.下列给出了四个事件,其中随机事件的个数是（
）
①明天天晴
②在常温下,焊锡熔化
③自由下落的物体做匀加速直线运动
④函数y=ax(a＞0,且a≠1)在定义域上为增函数
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①④为随机事件,因为事件有可能发生,有可能不发生.
答案：C
6.从12个同类产品（其中10个正品,2个次品）中,任意抽取3个的必然事件是（
）
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3个都是次品
D.至少有1个是正品
解析：由于产品中仅有2个次品,故抽3件,至少有1个正品是必然发生的.
答案：D
7.在1,2,3,…,10这10个数字中,任取3个数字,那么“这3个数字之和大于6”这一事件是（
）
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
解析：由于任取3个数；之和可能等于6,也可能大于6,故为随机事件.
答案：C3.4 互斥事件
互动课堂
疏导引导
1.互斥事件
如果事件A和事件B不可能同时发生（即事件A发生,事件B不发生,事件B发生,事件A不发生）,那么称事件A与B为互斥事件.互斥事件也叫做互不相容事件.
例如,事件A：甲班明天第一节课是数学课；事件B：甲班明天第一节课是语文课.显然这两个事件是不可能同时发生的,故称事件A与事件B彼此互斥.
疑难疏引
(1)两个事件A与B互斥,是指由A、B所包含的结果所组成的集合的交集是空集.
（2）若事件A与B是互斥事件,那么在事件讨论的全过程中,A与B同时发生的机会一次都没有.即A与B发生与否有三种可能：A发生,B不发生；A不发生,B发生；A、B都不发生.
（3）互斥事件的概率加法公式
设A、B为互斥事件,当事件A、B有一个发生时,我们把这个事件记作A+B.事件A+B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和,即P（A+B）=P（A）+P（B）,此公式也称概率和公式.
一般地,如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,…,An彼此互斥.从集合的角度看,几个事件彼此互斥是指由各个事件所包含的结果组成的集合彼此没有公共元素,即两两交集都是空集.
一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.
疑难疏引
①应用加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）的前提条件是：事件A与事件B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不能成立.
例如：抛掷一颗骰子,观察掷出的点数,记事件A=“出现奇数”,事件B=“出现的数不超过3”,那么A与B就不互斥.因为如果出现1或3,都表示A与B同时发生了.现在再看A+B这一事件,这个事件包括4种结果,出现1,2,3和5,∴P（A+B）=,而P（A）=,P（B）=,显然P（A+B）≠P(A)+P(B)
②在求某些复杂的事件的概率时,利用公式P（A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2)+…+P（An）,可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件,化整为零,化难为易.
案例1
向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中其余两个军火库的概率各为0.1,只要炸中一个,另外两个也要发生爆炸.求军火库发生爆炸的概率.
【探究】设以A,B,C分别表示炸中第一,第二,第三个军火库这三个事件,于是
P（A）=0.025,P（B）=P(C)=0.1,
又设D表示军火库爆炸这个事件,
则有D=A+B+C,其中A,B,C是彼此互斥事件（因为只投掷了一颗炸弹,不会同时炸中两个以上军火库）.
∴P(D)=P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=0.025+0.1+0.1
=0.225.
规律总结
投掷的一颗炸弹,只要炸中了其中的一个军火库,其余两个也要发生爆炸,所以“军火库发生爆炸”这一事件,就是炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件之和,且它们彼此互斥,于是可依互斥事件的概率的有限可加性进行求解.
从本例可以看出,解答概率应用题一般包括三个步骤：
①用字母表示题中的事件；
②依题设条件建立事件间的联系；
③利用概率的定义、性质或有关公式进行相应的数字计算.
2.对立事件
对立事件是概率中又一重要概念,要做到准确理解.要清楚对立事件是对两个事件而言的,这两个事件中必须有一个发生.事件A的对立事件记作.
对立事件的概率公式
若事件A与事件是对立事件,则P（）=1-P（A）
疑难疏引
（1）两个对立事件的关系,如右图所示.关于“对立事件”,应从以下三个方面加深对它的理解.
①强调语句
对立事件的定义强调了两条：对立事件是以互斥事件为前提的；必有一个发生.
②A与
用表示A的对立事件.从集合的角度看,A和所含的结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合,这时A和的交是不可能事件,A和的并是必然事件.
③互斥事件的发生情况
a.设A和B是互斥事件,则A、,B,的发生有三种可能：
A发生,发生；
发生,B发生；
,发生.
b.设A和B是对立事件,则A、、B、的发生情况是：
A发生,发生；发生,B发生.
（2）互斥事件与对立事件的区别和联系
在一次实验中,不可能同时发生的事件是互斥事件,两个互斥事件,可能发生一个,也可能都不发生.而两个对立事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以两个事件互斥,不一定对立,反之,两个事件对立,它们一定互斥.
（3）在求稍微复杂的概率时,通常有两种方法：
一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是直接求P（A）有困难时,转化为求P（）.
案例2
在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,试求：
（1）取得两个红球的概率；
（2）取得两个绿球的概率；
（3）取得两个同颜色的球的概率；
（4）至少取得一个红球的概率.
【探究】首先知道各事件中的基本事件有多少,再确定事件之间是互斥事件,故可根据互斥事件的概率加法公式求解.
【解析】记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4,三个绿玻璃球为b1、b2、b3,第一次抽取有7种结果,对第一次抽取时的每种结果,第二次抽取时又有6种结果,故共有7×6=42种结果.
（1）记“取得两个红球”为事件A1,A1有（a1,a2）,（a1,a3）,（a1,a4）,（a2,a3）,（a2,a4）,（a3,a4）,（a2,a1）,（a3,a1）,（a4,a1）,（a3,a2）,（a4,a2）,（a4,a3）12种结果.
∴P（A1）==.
（2）记“取得两个绿球”为事件A2,
A2有（b1,b2）,（b1,b3）,（b2,b3）,（b2,b1）,（b3,b1）,（b3,b2）6种结果.
∴P（A2）==.
（3）记“取得两个同颜色的球”为事件A.
A=A1+A2,A1、A2互斥.
由互斥事件的概率加法公式得P（A）=P（A1）+P（A2）=+=.
（4）记“至少取得一个红球”为事件B,显然事件B是事件A2的对立事件.
∴P（B）=1-P（A2）=1-=.
规律总结
袋中摸球问题是概率中的重要题型,课本中举了一些例子,主要考查概念,作定性分析.本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析,目的是加强知识的综合应用,通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数,利用等可能性事件求出概率,再通过互斥事件的概率公式,达到巩固概念的目的.
（2）当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率.
案例3
有3个1
g砝码,3个3
g砝码和2个5
g砝码,任意取出2个砝码,请探究如下的问题：
（1）两个砝码重量相同的概率是多大？
（2）两个砝码总重为6
g的概率是多大？
（3）两个砝码总重量不超过8
g的概率是多大？
【探究】（1）记“两个砝码重量相同”为事件A.
“两个砝码重量都是1
g”为事件A1,“两个砝码重量都是3
g”为事件A2,“两个砝码重量都是5
g”为事件A3,A1、A2、A3是互斥的.
显然A=A1+A2+A3,由前面知识得P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=.
由互斥事件的加法公式,有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.
（2）记“两个砝码总重量为6
g”为事件B.
“两个砝码中一个砝码为1
g,另一个砝码为5
g”为事件B1,“两个砝码重量都为3
g”为事件B2,B1、B2互斥.
显然B=B1+B2.
P（B1）==,P（B2）=.
∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=.
（3）正面去求比较复杂,故可考虑其对立事件.记“两个砝码总重量不超过8
g”为事件C,设其对立事件为D,则D表示“两个砝码总重量超过8
g”,则只有两个砝码都取5
g的,而由上可知“两个砝码重量都是5
g”为事件A3,P（A3）=.所以,P（C）=1-=.
规律总结
（1）在用互斥事件的概率加法公式求概率时,一定要明确公式的前提是事件彼此互斥,否则就可能出错.因此判断事件是否互斥就显得特别重要.
（2）在利用P（）=1-P（A）求概率,一定要找准,否则易出错.
活学巧用
1.判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明道理.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生.
解析：判断两个事物是否为互斥事件,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,不然就不是互斥事件.
解：（1）是互斥事件
道理是：在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”,它有“恰有2名男生”,不可能同时发生,所以是一对互斥事件.
（2）不可能是互斥事件
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.
（3）不可能是互斥事件
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”,可同时发生.
（4）是互斥事件
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.
2.甲、乙两射手同时射击一目标,甲命中的概率是0.65,乙命中的概率为0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么？
解析：不能.甲命中目标的同时,乙也有可能命中目标.两个事件可以同时发生,故甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.
3.某战士射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9对吗？为什么？
解析：不对.因该战士击中环数大于7与击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率公式计算.
4.高二·十九班派两名同学参加万米赛跑,他们夺取冠军的概率分别是和,则高二·十九班夺取该项冠军的概率是多少？
解析：两人分别夺取冠军是互斥事件,所以两人至少一人夺冠,即该班取得该项冠军的概率是..
5.盒子里装有6只红球,4只白球,从中任取三只球.设事件A表示“三只球中有1只红球,2只白球”,B表示“三只球中有2只红球,1只白球”.已知P（A）=,P（B）=,求这三只球中既有红球又有白球的概率.
分析：本题是求A+B的概率,而A与B是互斥事件,所以P（A+B）=P（A）+P（B）.
解：P（A+B）=P（A）+P（B）==0.8.
6.判断下列给出的条件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明道理.
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张）中,任取一张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解析：（1）是互斥事件,不是对立事件.
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,两者不是对立事件.
（2）既是互斥事件,又是对立事件.
道理是：从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
（3）不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,两者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
点评：判断是否为互斥事件,主要是看两事件是否同时发生；判断是滞为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生,则为对立事件；否则,不是对立事件.
7.下列几对事件中是对立事件的是(
)
A.a＞1或a≥1
B.a＜1或a＞2
C.0＜a＜1或0＜a＜3
D.a＜1或a≥1(a∈R)
解析：由对立事件的定义易知选D.
答案：D
8.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地上向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（
）
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.C与D
解析：由对立事件与互斥事件的定义知选C.
答案：C
9.一枚硬币连掷3次,则出现正面的概率是多少？
分析：此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面两次反面.虽然它们是互斥事件,可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解,但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解,则简单得多.
解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面,由于三次都是反面的概率为,则出现正面的概率为1-=.
10.抽查10件产品,设A={至少两件次品},则A等于（
）
A.{至多两件次品}
B.{至多两件正品}
C.{至少两件正品}
D.{至多一件次品}
答案：D
11.战士甲射击一次,问：
（1）若事件A（中靶）的概率为0.95,的概率为多少？
（2）若事件B（中靶环数大于5）的概率为0.7,那么事件C（中靶环数小于6）的概率为多少？事件D（中靶环数大于0且小于6）的概率是多少？
解析：（1）A与互为对立事件.
∵P（A）+P（）=1,
∴P（）=1-P（）=1-0.95=0.05.
（2）事件B与C也是对立事件,所以P（C）=1-P（B）=1-0.7=0.3.
事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率,即P（D）=P（C）-P（）=0.3-0.05=0.25.
12.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.4,摸出黄球的概率是0.35,那么摸出白球的概率是______________________.
解析：记“摸出白球”为事件A,则为“摸出红球或黄球”,由于P（）=0.4+0.35=0.75,所以P（A）=1-P（）=1-0.75=0.25.
答案：0.25
13.某人把外形相似的4把钥匙串在一起,其中两把是房门钥匙,但他忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,试后不放回.请你探究思考如下的问题：（1）此人一次就能打开房门的概率是多少？（2）此人在两次内能打开房门的概率是多少？
解析：第（1）问显然是古典概型,每次拿哪把钥匙是等可能的,因此,此人一次就能打开房门的概率是.在第（2）问中,记“恰好第i次打开房门”为事件Ai（i=1,2）,显然题设事件A=A1+A2.
A1表示第1次打开房门的事件,A2表示第1次未打开,第2次打开房门的事件.
对事件A1来说,其概率已由第（1）问求出来,但对事件A2来讲,用我们现有的知识不容易求出,因而用这种方法做有一定难度.
不妨换个角度来想,从反面入手,如果把“在两次内能打开房门”记为事件A,则对立事件A就表示“在两次内不能打开房门”.
设a、b、c、d分别表示四把钥匙,其中a、b表示能打开房门的那两把钥匙,显然,共有24种基本事件,它们分别为
a,b,c,d；a,b,d,c；a,c,b,d；a,c,d,b；a,d,b,c；a,d,c,b；b,a,c,d；b,a,d,c；b,c,a,d；b,c,d,a；b,d,a,c；b,d,c,a；c,a,b,d；c,a,d,b；c,b,a,d；c,b,d,a；c,d,a,b；c,d,b,a；d,a,b,c；d,a,c,b；d,b,a,c；d,b,c,a；d,c,a,b；d,c,b,a.而包含4个基本事件,分别为c,d,a,b；c,d,b,a；d,c,a,b；d,c,b,a.
因而P（）==,进而所求概率P（A）=.3.3 几何概型
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疏导引导
1.几何概型的定义
在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.
2.几何概型的概率计算
一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率
P(A)=.
这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.
疑难疏引
（1）几何概型的概率的取值范围
同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1.
（2）求古典概型概率的步骤：
①求区域D的“测度”；
②求区域d的“测度”；
③代入计算公式.
（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.
案例1
某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.
【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t-5,t］内来到车站,于是D={x|t-5＜x≤t}.
若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t}据几何概率公式得P（A）==0.6
规律总结
（1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.
（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内.
案例2
甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.
【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.
设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形.
事件A发生的条件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.
∴P（A）=.
规律总结
(1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.
（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.
（3）这一类问题我们称为约会问题.
案例3
在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率.
【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x＞0,y＞0且x+y＜a,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.
要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y＞(如图阴影部分).
又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.
解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即△DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.
解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y＜,z＜）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的.
所以所求的概率为.
规律总结
解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.
3.随机数的产生与随机模拟方法
（1）随机数的产生
利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1
(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.
（2）随机模拟试验
用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：
①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.
②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.
③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.
（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.
案例4
取一根长度为3
m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1
m的概率有多大？
【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3
］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点
的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1
m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A发生的频率.
【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1
m}.
①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.
②经过伸缩变换,a=a1
3.
③统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.
④计算频率fn(A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.
规律总结
用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.
案例5
利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分）的面积.
【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.
【解析】（1）利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,
a1=RAND,b1=RAND.
（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1
2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.
（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b＜2a的点（a,b））.
（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.
（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.
∴≈.
∴S≈即为阴影部分面积的近似值.
规律总结
解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.
活学巧用
1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？
（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.
(2)在500
mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.
2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？
解：应该注意到:
（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；
（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；
（3）公式为P(A)=；
（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.
3.有一杯1
L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1
L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（
）
A.0
B.0.1
C.0.01
D.1
解析：1个细菌在1
L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1
L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）==0.1.
答案：B
4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（
）
A.50
B.100
C.150
D.200
解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支×=100支.
答案：B
5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.
解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.
①P（A）==.
②P（A）==.
答案：
6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.
解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.
（1）P==；
（2）P==；
（3）P===.
7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为.
答案：A
8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______.
解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.
答案：
9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A发生,所以
P(A)==87.5%.
10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落∠xOT内的概率.
分析：以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.
解：设事件A“射线OA落在∠xOT内”.事件A的角度是60°,区域D的角度是360°,所以,由几何概率公式得P（A）=.
11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.
解析：设事件A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.
（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
（2）经过伸缩变换,x=x1
24,y=y1
24得到两组［0,24］上的均匀随机数.
（3）统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点（x,y）的个数N1.
（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.
12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.
解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.
（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
（2）经过伸缩平移变换,x=x1
4-2,y=y1
2.
（3）统计出试验总数N和满足条件x2+y2＜4的点（x,y）的个数N1.
（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.
半圆的面积为S1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得
P（A）=,所以=.所以即为π的近似值.
13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形）的面积.
解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.
（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
（2）经过伸缩平移变换,x=x1
3,y=y1
3.得到两组［0,3］的均匀随机数.
（3）统计出试验总次数N和满足条件y＜log3x的点（x,y）的个数N1.
（4）计算频率fn(B)=,即为频率P（A）的近似值.
设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P（A）=.
所以=,故S=即为阴影部分面积的近似值.