3 探究摆钟的物理原理 探究单摆振动的周期
[学习目标定位] 1.理解单摆模型及其振动特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.知道相位的概念，知道同相振动与反相振动的步调特点.4.会用控制变量法探究单摆的周期与哪些因素有关.5.掌握单摆的周期公式，掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．
1．一个做往复运动的物体，当它所受到的回复力满足F＝－kx，则这个物体做简谐运动．
2．物理学中对于多变量的问题，常采用控制变量法把多变量的问题变成单变量的问题．
3．如图1所示，细线上端固定，下端系一小球，如果细线的伸缩可以忽略，细线的质量与小球相比可以忽略，小球的直径与细线的长度相比也可以忽略，这样的装置就可看成单摆．单摆在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．
图1
4．相是描述振动步调的物理量．两个单摆振动步调一致，我们称为同相；两个单摆振动步调正好相反，叫做反相．
5．单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，周期公式T＝2π
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一、探究摆钟的物理原理
[问题设计]
一阵风吹过，大厅里的吊灯微微摆动起来，久久不停……，伽利略就是通过观察教堂吊灯摆动发现了吊灯摆动的等时性，惠更斯按照伽利略的构想，发明制作了一个摆钟．摆钟的往复运动是简谐运动吗？你能用所学的知识证明吗？
答案 是简谐运动．
证明：把摆钟等效成一个小球，当小球运动到图中的任意位置P时，小球受到的回复力是小球所受重力G沿着圆弧切线方向的分力G1，F＝G1＝mgsin
θ.若摆角θ很小，则有sin
θ≈θ＝，并且位移x≈，考虑了位移和回复力的方向后，有F＝－mg(“－”表示回复力F与位移x的方向相反)，m是小球的质量，l是摆长，g是重力加速度，它们都有确定的数值，可以用一个常数k来表示，则上式又可以写成F＝－kx，也就是说，在摆角很小时，小球所受到的回复力跟位移大小成正比而方向相反，所以小球做简谐运动．
[要点提炼]
1．单摆
(1)模型：摆线是不可伸长，且没有质量的细线，摆球是没有大小只有质量的质点，这样的装置叫单摆，它是实际摆的理想化模型．
(2)实际摆看作单摆的条件：①摆线的形变量与摆线的长度相比小得多，摆线的质量与摆球的质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线．
②摆球直径的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点．
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在摆角很小时，F＝－x.
(3)运动规律：在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．
[延伸思考]
单摆经过平衡位置时，合外力为零吗？
答案 不为零．单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在法线方向(摆线方向)的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力的．因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)．
例1 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大摆角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大摆角处最大，平衡位置处为零，故应选C.
答案 C
二、研究振动的步调问题
[问题设计]
1．如图2所示，在铁架台上悬挂两个相同的单摆，将两个摆球拉离平衡位置且保证摆角相同，然后同时放开，可观察到什么现象？
答案 它们的运动总是一致的，也可以说是步调一致，即同时沿相同方向经过平衡位置，并同时达到同一侧最大位移处．
图2
图3
2．如图3所示，再将两个摆球拉开相同的摆角，先放开一个，等它摆到另一边最大位移处时，再放开第二个，又可观察到什么现象？
答案 它们的运动总是相反的，也可以说是步调相反，即同时沿相反方向经过平衡位置，并同时达到两侧最大位移处．
[要点提炼]
1．相(或相位、位相、周相)：描述振动步调的物理量．
(1)两个单摆振动步调一致，称为同相；
(2)两个单摆振动步调不一致，就说它们存在着相差；
(3)两个单摆振动步调正好相反，叫做反相．
2．相差：指两个相位之差．
在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．
例2 如图4所示是在同一个坐标系里画出的三个振动系统的振动图像，下列说法正确的是( )
图4
A．a、b、c三个振动系统的频率相同
B．a、b两个系统振动时存在着相差
C．a、b两个系统振动同相
D．a、c两个系统振动反相
解析 由题图可知，三个振动系统的周期相同，故频率相同，A正确；a、b两个系统振动的振幅不同，但总是同时来到正向(或负向)的最大位移处，同时同方向经过平衡位置，故a、b同相，B错误，C正确；a、c两个系统总是同时来到反向的最大位移处，同时以相反方向经过平衡位置，故a、c反相，D正确．
答案 ACD
三、探究单摆振动的周期
[问题设计]
1．如图5所示，两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同．影响周期的因素可能有单摆的质量、振幅、摆长，这么多因素我们应采用什么方法研究？
图5
答案 控制变量法．具体做法为：
(1)只让两摆的质量不同．(2)只让两摆的振幅不同(都在小摆角下)．(3)只让两摆的摆长不同．
比较以上三种情况下两摆的周期，可以得到周期与质量、振幅、摆长之间的定性关系．
2．具体做法是什么？得出影响周期的因素是什么？
答案 首先，研究周期和质量有没有关系，就应控制其他条件不变．
做法：用两个摆长相同，摆球质量不同的单摆．将它们拉到同一个高度(注意摆角要小)释放，观察两摆的运动．
现象：两摆球摆动总是同步的，说明两摆球周期相同，即周期与摆球质量无关．
其次，研究单摆的周期和振幅的关系．
做法：用一个单摆，分两次从不同高度释放(振幅不同)，用秒表测量单摆振动30次所用时间并比较两次所用时间．
结论：两次所用时间近似相等，故周期与振幅无关．
再次，研究单摆的周期和摆长的关系．
做法：取两个摆长不同，质量相同的两个摆球从同一高度同时释放，观察两摆的运动．
现象：两摆振动不同步，摆长大的振动慢，说明单摆的周期与摆长有关．
由此可知单摆的周期与摆球质量、振幅无关，与摆长有关．
[要点提炼]
1．单摆的周期公式T＝2π.
2．摆长l
(1)实际的单摆的摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径．
(2)等效摆长：如图6所示，甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin_α，这就是等效摆长，所以其周期为T＝2π.
图6
3．重力加速度g
若系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所处地表的位置和高度的变化而变化．另外，在不同星球上，M和R一般不同，g也不同，g取9.8
m/s2只是在地球表面附近时的取值．
例3 如图7所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )
图7
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
解析 A做自由落体运动，到达C所需时间tA＝
，R为圆弧轨道的半径．
因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝
>tA，所以A球先到达C点．
答案 A
四、测定当地的重力加速度
[问题设计]
在地球表面，不同纬度重力加速度不同，不同高度重力加速度不同，利用本学案的知识怎样测出当地的重力加速度？
答案 由单摆周期公式得g＝，如果测出单摆的摆长l、周期T，就可以求出当地的重力加速度g.
[要点提炼]
1．原理：测出摆长l、周期T，代入公式g＝，求出重力加速度g.
2．器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1
m左右)、米尺、游标卡尺．
3．实验步骤
(1)让细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
(3)用米尺量出悬线长l′(准确到mm)，用米尺和三角板(或游标卡尺)测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋即为摆长．
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5°，再释放小球．当小球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．
(5)改变摆长，反复测量三次，算出周期T及测得的摆长l代入公式g＝，求出重力加速度g的值，然后求g的平均值，即为当地的重力加速度的值．
4．五点注意
(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1
m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2
cm.
(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．
(4)小球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将小球拉到一定位置后由静止释放．
(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
例4 下表是“用单摆测定重力加速度”实验中获得的有关数据：
摆长l/m
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
周期平方T2/s2
1.6
2.2
2.4
3.2
4.0
4.8
(1)利用上述数据，在图8中描出l－T2的图像．
图8
(2)利用图像，取T2＝5.2
s2时，l＝________
m，重力加速度g＝________
m/s2.
解析 (1)描点作图如图所示
(2)由图可知，当T2＝5.2
s2时，l＝1.3
m，将它代入g＝得：g＝＝
m/s2≈9.86
m/s2.
答案 (1)见解析图 (2)1.3 9.86
单摆
1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
答案 ABC
解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动，故正确答案为A、B、C.
2．单摆振动的回复力是( )
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力
C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
答案 B
解析 摆球振动的回复力是其重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确．
3．已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6
m，则两单摆长la与lb分别为( )
A．la＝2.5
m，lb＝0.9
m
B．la＝0.9
m，lb＝2.5
m
C．la＝2.4
m，lb＝4.0
m
D．la＝4.0
m，lb＝2.4
m
答案 B
解析 设两个单摆的周期分别为Ta和Tb，由题意10Ta＝6Tb，得Ta∶Tb＝3∶5.
根据单摆周期公式T＝2π
，可知l＝T2，
由此得la∶lb＝T∶T＝9∶25.则
la＝×1.6
m＝0.9
m，
lb＝×1.6
m＝2.5
m.
4．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )
A．由g＝看出，T一定时，g与l成正比
B．由g＝看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
答案 C
解析 g是由所处的地理位置的情况来决定的，与l及T无关，故只有C正确．
[基础题]
1．当单摆的摆球摆到最大位移处时，摆球所受的( )
A．合外力为零
B．回复力为零
C．向心力为零
D．摆线中张力为零
答案 C
解析 当摆球摆到最大位移处时，回复力最大，不为零，合外力不为零，所以选项A、B均错；由向心力公式F＝可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心力也为零，此时摆线中的张力等于重力沿摆线方向上的分力，所以选项C对，D错．
2．将秒摆(周期为2
s)的周期变为1
s，下列措施可行的是( )
A．将摆球的质量减半
B．将振幅减半
C．将摆长减半
D．将摆长减为原来的
答案 D
解析 由单摆周期公式T＝2π可以看出，要使周期减半，摆长应减为原来的.
3．如图1所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面方向做简谐运动时，周期为( )
图1
A．2π
B．2π
C．2π
D．2π
答案 D
解析 这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的l与题中的绳长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．此题中单摆的等效摆长为lsin
α，代入周期公式，可得T＝2π
，故选D.
4．利用单摆测重力加速度时，若测得g值偏大，则可能是因为( )
A．单摆的摆球质量偏大
B．测量摆长时，只考虑了悬线长，忽略了小球的半径
C．测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动
D．测量周期时，把n次全振动误认为是(n－1)次全振动
答案 C
解析 由单摆周期公式知T＝2π，得g＝，而T＝，所以g＝，由此可知C正确．
5．人在平直路面上匀速行走时，关于两臂和两腿的摆动，下列说法中正确的是( )
A．左臂和右臂的摆动始终是反相的
B．左臂和左腿的摆动始终是反相的
C．左臂和右腿的摆动始终是反相的
D．左臂和右臂的摆动始终是同相的
答案 AB
[能力题]
6．如图2所示为甲、乙两单摆的振动图像，则( )
图2
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝4∶1
D．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4
答案 BD
解析 由题图可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故B正确，A错误；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故D正确，C错误．
7．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大
B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小
C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大
D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大
答案 D
解析 在最大位移处，雨滴落到摆球上，质量增大，同时摆球获得初速度，故振幅增大，但摆球质量不影响周期，周期不变．选项D正确．
8．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图3所示，则该摆球的直径为________cm.
图3
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
答案 (1)0.97 (2)C
解析 (1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9
cm＋7×0.01
cm＝0.97
cm
(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度值误差较小，故A、D错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是，B错；摆长应是l＋，若用悬线的长度加直径，则测出的重力加速度值偏大．
[探究与拓展题]
9．(2014·江苏单科·12B(2))在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正．
答案 ①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)4 受迫振动与共振
[学习目标定位] 1.知道阻尼振动和无阻尼振动并能从能量的观点给予说明.2.知道受迫振动的概念，知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关.3.理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害．
1．振幅是表示振动强弱的物理量．对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．
2．简谐运动是一种理想化的振动状态，没有考虑阻力做功，即没有能量损失．弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断转化，机械能守恒(忽略阻力的作用)．
3．振动系统在振动过程中由于受到介质阻力作用而不断损失机械能，致使振幅不断减小，这种振动叫做阻尼振动．
4．振动系统在周期性变化的外力作用下，得到了能量补偿，使振动持续下去，这种外力叫做驱动力，系统在周期性变化的驱动力作用下的振动叫做受迫振动．
5．振子做自由振动时的频率叫做振动系统的固有频率．
6．物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体自身的固有频率无关．
7．当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，物体做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振.
一、振动中的能量损失
[问题设计]
1．在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力的影响，它们做的振动都属于简谐运动．如图1所示，置于空气中的弹簧振子振动时，它的振幅有没有变化？它会一直振动下去吗？
图1
答案 振子在空气中振动时，振幅缓慢减小，最终会停止振动．
2．若将振子浸没在水中，振子的振动情况有什么明显变化？
答案 振子在水中振动时，会发现振幅明显减小，振动很快停止．
[要点提炼]
1．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅的大小确定．
(2)阻尼振动中振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快．
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当作简谐运动来处理．
2．阻尼振动和无阻尼振动的比较
振动类型比较内容
阻尼振动
无阻尼振动
产生条件
受到阻力作用
不受阻力作用或受到阻力作用，但外界补充能量
振幅
如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小
振幅不变
振动图像
实例
用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动
弹簧振子的振动，单摆的振动
例1 一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．在振动过程中，机械能不守恒，周期不变
解析 该题考查阻尼振动的能量和周期．因单摆做阻尼振动，所以振幅越来越小，机械能越来越小，振动周期不变．
答案 BD
二、受迫振动
[问题设计]
如图2所示，若把弹簧振子挂在曲轴上，然后均匀转动曲轴，等到振动稳定后发现振幅不会减小，而且弹簧振子的频率与曲轴转动频率相等．当改变曲轴转动频率时，振子的频率也随之发生变化．
图2
(1)为什么振子的振幅不会减小？
(2)振子受迫振动的频率与振子的固有频率、驱动力的频率之间有什么关系？
答案 (1)因为驱动力对其做功，周期性的补充能量，故振子的振幅不会减小．(2)振子受迫振动的频率与驱动力的频率相等，与振子的固有频率无关．
[要点提炼]
1．受迫振动
加在振动系统上的周期性外力，叫做驱动力．系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动．
2．受迫振动的周期和频率
物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关．
例2 如图3所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2
Hz，然后匀速转动摇把，转速为240
r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为( )
图3
A.
s
B.
s
C．2
s
D．4
s
解析 受迫振动的周期等于驱动力的周期，故T＝
s＝
s.
答案 B
三、共振及其产生的条件
[问题设计]
如图4所示，几个不同的单摆悬挂在同一根较粗的绳子上，其中A、D摆长相等，使A摆摆动起来后，A摆的振动带动绳子做同样频率的晃动，就给了其他几个摆周期性变化的驱动力，使它们都振动起来．
图4
(1)B、C、D、E摆振动的频率是否相等？等于什么？
(2)可观察到D的振幅最大，由此得出什么结论？
答案 (1)B、C、D、E摆振动的频率都相等，等于A的振动频率．(2)当驱动力频率跟物体固有频率相等时，物体做受迫振动的振幅最大．
[要点提炼]
1．共振的条件
驱动力的频率与物体的固有频率相等，即f＝f固．
2．共振曲线
如图5所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动物体的振幅．
图5
由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
3．共振的利用与防止
(1)利用：由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．如：共振筛、荡秋千、共振转速计等．
(2)防止：由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率与固有频率不相等，而且相差越大越好．如：部队过桥应便步走．
4．固有振动、受迫振动、共振的比较
振动类型比较内容
固有振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力作用
周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T＝T固或f＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机器运转时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
例3 铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长L为12.6
m，列车固有振动周期T为0.315
s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40
m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
解析 对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝＝40
m/s，A正确．为了防止共振现象发生，过桥时需要减速，B正确．为了保证列车行驶的安全，应使其振动频率和列车的固有频率不相等，C错．由v＝可知，L增大，T不变，v变大，所以D正确．
答案 ABD
受迫振动与共振
1．如图6所示，当A振动起来后，通过绷紧水平绳迫使B、C振动起来，下列说法正确的是( )
图6
A．A、B、C三个单摆的周期均相同
B．只有A、C两个单摆周期相同
C．A、B、C三个单摆的振幅相同
D．B的振幅比C的振幅小
答案 AD
解析 B、C两个单摆都在A的作用下做受迫振动．故B、C的周期都与A的周期相等，故A正确；A与C摆长相等，即固有频率相等，C摆达到共振所需的条件，振幅比B的大，故选项D正确．
2．2011年3月11日，日本发生了里氏9.0级大地震，导致很多房屋坍塌，场景惨不忍睹，就此事件，下列说法正确的是( )
A．所有建筑物振动周期相同
B．所有建筑物振幅相同
C．建筑物的振动周期由其固有周期决定
D．所有建筑物均做受迫振动
答案 AD
解析 地面上的所有建筑物都在同一驱动力作用下做受迫振动，它们的振动周期都与驱动力的周期相同，与其固有周期无关，故A、D正确，C错误．由于不同的建筑物固有周期不一定相同，所以做受迫振动时，它们的振幅不一定相同，B错误．
[基础题]
1．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
答案 B
解析 受迫振动是振动物体在驱动力作用下的运动，故只有B对．A、C是阻尼振动，D是简谐运动．
2．下列说法正确的是( )
A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关
B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关
C．某物体发生共振时的频率等于其自由振动的频率
D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动
答案 ABC
3．下列说法正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅可以保持不变
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件有关
答案 A
解析 实际的自由振动必须不断克服外界阻力(如空气等)做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，所以选项A正确；只有在驱动力(周期性)作用下的振动才是受迫振动，选项B错误；阻尼振动的振幅一定越来越小，所以选项C错误；受迫振动稳定时的频率由驱动力频率决定，与自身物理条件无关，选项D错误．
4．A、B两个单摆，A摆的固有频率为f，B摆的固有频率为4f，若让它们在频率为5f的驱动力作用下做受迫振动，那么A、B两个单摆比较( )
A．A摆的振幅较大，振动频率为f
B．B摆的振幅较大，振动频率为5f
C．A摆的振幅较大，振动频率为5f
D．B摆的振幅较大，振动频率为4f
答案 B
解析 A、B两摆均做受迫振动，其振动频率应等于驱动力的频率即5f，因B摆的固有频率接近驱动力的频率，故B摆的振幅较大，B正确，A、C、D错误．
5．正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱．在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从零较缓慢地增大到ω0，在这一过程中( )
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈的振动
C．若机器发生强烈振动，强烈振动发生时飞轮的角速度等于ω0
D．若机器发生强烈振动，强烈振动发生时飞轮的角速度肯定小于ω0
答案 BD
6．下列现象中，利用共振现象的是________，防止共振产生危害现象的是________．
A．秋千越荡越高
B．火车过桥时要慢开
C．喇叭常放在音箱内
D．建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别
答案 AC BD
解析 当物体发生共振时，驱动力的频率等于物体的固有频率，此时振动物体的振幅最大，能量最大，因此利用共振的是A、C，防止共振的是B、D.
[能力题]
7．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
答案 AD
解析 单摆振动过程中，会不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能，A、D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．动能转化为势能时，动能逐渐减少，势能逐渐增加，而势能转化为动能时，势能逐渐减少，动能逐渐增加，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故B、C错．
8．如图1所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
图1
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
答案 ABC
解析 由题图知，当驱动力频率为f2时，振子的振幅最大，可确定振子的固有频率为f2，当振子自由振动时其频率为固有频率，故选项A、C正确，D错误；由受迫振动的特点可知选项B正确．
9．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子在做自由振动时，20
s内完成了10次全振动．在某电压下电动偏心轮转速是36
r/min，已知如果增大电压可以使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么，要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压
B．降低输入电压
C．增加筛子质量
D．减少筛子质量
答案 BD
解析 筛子的固有频率f固＝
Hz＝0.5
Hz，偏心轮的转速n＝36
r/min＝0.6
r/s，故f＝0.6
Hz，可见f固10．如图2所示是用来测量各种电动机转速计的原理图．在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为80
Hz、60
Hz、40
Hz、20
Hz的四个钢片a、b、c、d.将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅最大，
图2
(1)电动机的转速为多大？
(2)四个钢片a、b、c、d的振动频率分别是________、________、________、________.
答案 (1)60
r/s (2)60
Hz、60
Hz、60
Hz、60
Hz
解析 (1)b钢片发生了共振，由共振发生的条件可知f＝f固，因此电动机的转动频率为60
Hz，即转速为60
r/s.
(2)四个钢片a、b、c、d都是做受迫振动，其振动频率与固有频率无关，都等于驱动力的频率，即都等于电动机的转动频率60
Hz.
11．如图3所示是一个单摆的共振曲线．
图3
(1)若单摆所处环境的重力加速度g取9.8
m/s2，试求此摆的摆长．
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的峰将怎样移动？
答案 (1)2.8
m (2)向左移动
解析 (1)由题图知，单摆的固有频率f＝0.3
Hz.
由f＝得l＝＝
m≈2.8
m
(2)由f＝知，单摆移到高山上，重力加速度g减小，其固有频率减小，故共振曲线的峰将向左移动．
[探究与拓展题]
12．如图4为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
图4
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．若图线Ⅱ是在地面上完成的，则该摆摆长约为1
m
D．若摆长均为1
m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
答案 ABC
解析 图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆固有频率fⅠ＝0.2
Hz，fⅡ＝0.5
Hz.
根据周期公式可得f＝＝
①
当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大．由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝∶＝，所以B正确；若图线Ⅱ是在地面上完成的，将g＝9.8
m/s2、fⅡ＝0.5
Hz，代入①式可得l2≈1
m，所以C正确，D错误．第1章
机械振动
一、简谐运动的图像及作用
简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律．从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律．
例1 如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A．振动图像上的A、B两点振动物体的速度相同
B．在t＝0.1
s和t＝0.3
s时，质点的加速度大小相等，方向相反
C．振动图像上A、B两点的速度大小相等，方向相反
D．质点在t＝0.2
s和t＝0.3
s时的动能相等
解析 A、B两点位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A错，C对．在t＝0.1
s和t＝0.3
s时，质点离开平衡位置的位移最大，方向相反，由F＝－kx，a＝－可知B对．t＝0.2
s时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大，而t＝0.3
s时，物体在最大位移处，速度为零，动能最小，故D错．
答案 BC
二、简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移相同而速度可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．
2．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等．
例2 物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过1
s后物体第一次以相同速度v通过B点，再经过1
s物体紧接着又通过B点，已知物体在2
s内所走过的总路程为12
cm，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？
解析 物体通过A点和B点时的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称．依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A向右运动到B，即图中从1运动到2，时间为1
s，从2运动到3，又经过1
s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T＝2
s，T＝4
s,2A＝12
cm，A＝6
cm.
在图乙中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从1运动到2时，时间为1
s，从2运动到3，又经过1
s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T，即1.5T＝2
s，T＝
s，1.5×4A＝12
cm，A＝2
cm.
答案 T＝4
s，A＝6
cm或T＝
s，A＝2
cm
针对训练 如图2所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上．两木块的质量均为m.竖直向下的力F作用在A上，A、B均静止．将力F瞬间撤去后，A、B共同运动到最高点时，B对A的支持力多大？
图2
答案 mg－F/2
解析 撤去力F后，A、B将共同沿竖直方向做简谐运动．撤去力F的瞬间，A、B整体受到回复力的大小为F，方向竖直向上；A、B处在振动过程中位移的大小等于振幅．由牛顿第二定律可得，此时A受到的回复力大小为F/2，方向竖直向上．由回复力的对称性可知，在最高点时A(位移的大小也等于振幅，与撤去外力F时的位置对称)受到的回复力F回的大小也为F/2，方向竖直向下．又因为A受到的回复力是其重力与B对它的支持力N的合力，所以在最高点处，对A有F回＝mg－N，得N＝mg－F回＝mg－F/2.
三、单摆周期公式的应用
单摆的周期公式T＝2π
是在当单摆的最大偏角小于5°，单摆的振动是简谐运动的条件下才适用的，单摆的周期与振幅无关，与质量也无关，只与摆长和重力加速度有关．另外由公式的变形式g＝还可以测重力加速度．
例3 一个摆长为l1的单摆，在地面上做简谐运动，周期为T1，已知地球质量为M1，半径为R1.另一摆长为l2的单摆，在质量为M2，半径为R2的星球表面做简谐运动，周期为T2.若T1＝2T2，l1＝4l2，M1＝4M2，则地球半径与星球半径之比R1∶R2为( )
A．2∶1
B．2∶3
C．1∶2
D．3∶2
解析 在地球表面单摆的周期T1＝2π
.①
在星球表面单摆的周期T2＝2π
.②
又因为＝g，③
G＝g′④
由①②③④联立得＝
··＝.
答案 A
1．一质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A．质点振动频率是4
Hz
B．在10
s内质点经过的路程是20
cm
C．第4
s末质点的速度为零
D．在t＝1
s和t＝3
s两时刻，质点位移大小相等，方向相同
答案 B
解析 振动图像表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由题图可看出，质点运动的周期T＝4
s，其频率f＝＝0.25
Hz，A错误；10
s内质点运动了T，其运动路程为s＝T×4
A＝×4×2
cm＝20
cm，B正确；第4
s末质点在平衡位置，其速度最大，C错；t＝1
s和t＝3
s两时刻，由题图可看出，位移大小相等，方向相反，D错．
2．关于简谐运动的周期，下列说法正确的是( )
A．间隔一个周期的两个时刻，物体的振动情况完全相同
B．间隔半个周期奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同
C．半个周期内物体动能的变化一定为零
D．一个周期内物体势能的变化一定为零
答案 ACD
解析 根据周期的意义知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，所以A、D正确；当间隔半个周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等、方向相反，故B选项错误；由于间隔半个周期各矢量大小相等，所以物体的动能必定相等，没有变化，所以C也正确．
3．站在升降机里的人发现，升降机中摆动的单摆周期变大，以下说法正确的是( )
A．升降机可能加速上升
B．升降机一定加速上升
C．升降机可能加速下降
D．升降机一定加速下降
答案 C
解析 由单摆周期公式T＝2π知，周期变大，则等效重力加速度g′变小，故升降机的加速度方向向下，故可能加速下降，也可能减速上升，故选项C正确．
4．光滑水平面上的弹簧振子，质量为50
g，在弹簧振子被拉到最大位移处释放并开始计时，在t＝0.2
s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4
m/s.则在t＝1.2
s末，弹簧的弹性势能为________J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1
min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
答案 0.4 2.5 150
解析 根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8
s，振子的最大速度为4
m/s，则最大动能Ekmax＝mv2＝0.4
J；根据振子振动的周期性判定在t＝1.2
s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekmax＝0.4
J，物体的振动周期为0.8
s，则其动能的变化周期为＝0.4
s，所以动能的变化频率为2.5
Hz；在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)，弹力两次做正功，根据其周期性可求得1
min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
5．摆长为1
m的单摆，如图4甲所示挂在天花板上．静止时摆球刚好与竖直墙壁接触而不相互挤压．将摆球拉离竖直墙壁很小角度后释放，则摆球会在竖直墙壁和开始释放处之间做周期性的往复运动，设摆球与墙壁碰撞后按原速率弹回且碰撞时间极短(可以忽略)．
(1)求振动的周期．
(2)取碰撞处为坐标原点，试画出两个周期的振动图像．
图4
答案 (1)1
s (2)见解析
解析 (1)此振动装置的周期应为单摆周期的.所以T′＝T＝π≈1
s.
(2)取向右为正，摆球摆动将没有负位移，其图像如图所示．2 探究物体做简谐运动的原因
[学习目标定位] 1.掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念.2.知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况.3.理解简谐运动在一次全振动过程中，位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．
1．在弹性限度内，弹力的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度成正比，即F＝－kx.
2．机械能守恒定律：在只有重力(或弹力)做功的物体系统内，动能与势能(可以相互转化，但总的机械能保持不变．
3．回复力：振动物体受到的方向总是指向平衡位置，作用总是要把物体拉回到平衡位置的力．
4．当物体受到跟位移的大小成正比，方向始终指向平衡位置的合力的作用时，物体的运动就是简谐运动．
5．简谐运动的能量，一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程.
一、回复力使物体做简谐运动
[问题设计]
如图1所示为弹簧振子的模型，请分析并回答下列问题：
图1
1．请分别讨论振子在平衡位置右侧和左侧时，所受的弹力F的方向是怎样的？位移x的方向是怎样的？F与x的方向有什么关系？
答案 当振子在平衡位置右侧时，弹力F的方向向左，位移x的方向向右，F与x的方向相反；当振子在平衡位置左侧时，弹力F的方向向右，位移x的方向向左，F与x的方向相反．
2．由胡克定律知，弹簧的弹力F的大小与位移x的大小之间有怎样的关系？
答案 由胡克定律知，弹力F的大小与位移x的大小的关系为F＝kx.
3．振子在运动过程中，弹力F与位移x之间存在着什么样的关系？
答案 弹力F与位移x的关系为F＝－kx.
[要点提炼]
1．回复力
(1)回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是其他力(包括摩擦力)，或几个力的合力，或某个力的分力．
(2)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
2．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx.
(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子做简谐运动时k为劲度系数)．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与位移的方向相反．
[延伸思考]
做简谐运动的物体，在运动的过程中，加速度是如何变化的？
答案 加速度a＝－，故加速度随位移的变化而变化(简谐运动是一种变速的往复运动)．
例1 如图2所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
图2
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析 回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力．故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
答案 AD
二、研究简谐运动的能量
[问题设计]
如图3所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间做往复运动，在一个周期内振子的能量是如何变化的？请完成下表：
图3
过程
弹力做功(正、负)
能量转化
说明
A→O
正功
弹性势能转化为动能
不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒
O→B
负功
动能转化为弹性势能
B→O
正功
弹性势能转化为动能
O→A
负功
动能转化为弹性势能
[要点提炼]
1．弹簧振子在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化，经过平衡位置时，动能最大，势能最小，经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
2．弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒，所以振幅保持不变．
3．简谐运动忽略阻力造成的损耗，即没有能量损失，因此简谐运动是一种理想化的振动状态．
例2 如图4所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图4
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时________能和________能相互转化，总______守恒．
(2)在振子振动过程中，下列说法正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减小
解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；回到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上质量为m的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
答案 (1)振幅 动 弹性势 机械能
(2)ABD (3)AC
三、简谐运动中各物理量的变化规律
[问题设计]
如图5所示，水平弹簧振子在A、B之间做往复运动，请分析振子的运动情况并完成下表．
图5
振子的运动
位移
加速度(回复力)
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→A
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
A
最大
最大
0
0
最大
A→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
[要点提炼]
1．简谐运动中，位移、回复力、加速度三者的变化周期相同，变化趋势相同，均与速度的变化趋势相反，平衡位置是位移、回复力和加速度方向变化的转折点．
2．最大位移处是速度方向变化的转折点．
3．在一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化．
例3 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图6所示，下列结论正确的是( )
图6
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确．小球衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此B、C、D选项不正确．
答案 A
四、判断一个振动为简谐运动的方法
例4 如图7所示，在劲度系数为k，原长为l0的一端固定的弹簧下端挂一质量为m的小物块，释放后小物块做上下振动，此时弹簧没有超出弹性限度．证明：小物块的振动是简谐运动．
图7
解析 如图所示，物块在平衡位置O时，弹簧形变量为x0，且mg＝kx0，物块向下运动x时，物块所受重力与弹簧弹力的合力提供物块所需的回复力．
设向下为正方向，F＝mg－k(x＋x0)＝－kx
可见物块所受回复力的大小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反，指向平衡位置，因此小物块的振动是简谐运动．
答案 见解析
1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是( )
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是方向变化而大小不变的力
D．一定是变力
答案 D
2.如图8所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图8
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案 D
解析 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．
3．关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A．加速度方向与位移方向有时相同，有时相反
B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反
C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反
D．加速度方向总是与位移方向相反
答案 BCD
解析 回复力的方向与位移的方向始终相反，而加速度的方向与回复力的方向始终一致，选项A错误，D正确；当离开平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确．
4．关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是( )
A．在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反
B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D．在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小
答案 AD
解析 如图所示，设O为质点做简谐运动的平衡位置，它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A正确；质点的位移的方向与加速度的方向总相反，B不正确；质点振动过程中，当回复力增大时，其势能增大，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C不正确；当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力大小减小，质点的加速度大小也减小，D正确．
[基础题]
1．一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
答案 D
2．一个做简谐运动的物体，每次势能相同时，下列说法中正确的是( )
A．有相同的动能
B．有相同的位移
C．有相同的加速度
D．有相同的速度
答案 A
解析 做简谐运动的物体机械能守恒，当势能相同时，动能一定相同，A正确；当势能相同时，物体位移的大小相同，但方向无法确定，同理，加速度与速度的方向关系也无法确定，故B、C、D错误．
3．做简谐运动的物体，其加速度a随位移x变化的规律应是下图中的( )
答案 B
解析 以弹簧振子为例，F＝－kx＝ma，所以a＝－，故a＝－k′x，故正确选项应为B.
4．物体做简谐运动的过程中，下列物理量中保持不变的是( )
A．振幅
B．动能
C．势能
D．机械能
答案 AD
解析 物体做简谐运动的过程中，机械能守恒，振幅不变，选项A、D正确；当物体向平衡位置运动时，动能增加，势能减少；当物体远离平衡位置运动时，动能减少，势能增加，选项B、C错误．
5．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为( )
A．2T
B．T
C.
D.
答案 C
解析 振动中动能、势能相互转化，在一个周期内完成两次周期性的变化，故动能、势能的变化周期为，C正确．
6．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2
kg，当它运动到平衡位置左侧20
cm时受到的回复力为4
N；当它运动到平衡位置右侧40
cm时，它的加速度为( )
A．20
m/s2，向右
B．20
m/s2，向左
C．40
m/s2，向右
D．40
m/s2，向左
答案 D
解析 当振子运动到平衡位置右侧40
cm时，加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系F＝－kx可知，当x＝40
cm时，F＝－8
N，a＝＝－40
m/s2，故加速度大小为40
m/s2.
[能力题]
7．质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则( )
A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期
答案 D
解析 若从最大位移处开始计时，当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期，若从其他位置开始计时，则小于一个周期，故A错误；当速度再次与零时刻的速度相同时，有可能是经过关于平衡位置对称的两个点，故B错误；当加速度再次与零时刻的加速度相同时，有可能是在同一侧运动，两次经过平衡位置该侧的某个点，故C错误；一个周期的路程为振幅的4倍，D正确．
8．一质点做简谐运动的图像如图1所示，则该质点( )
图1
A．在0～0.01
s内，速度与加速度同向
B．在0.01
s～0.02
s内，速度与回复力同向
C．在0.025
s时，速度为正，加速度为正
D．在0.04
s时，速度最大，回复力为零
答案 AC
解析 F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负便可确定v的正负，由此判断A、C正确．
9．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图2所示，则可知( )
图2
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
答案 CD
解析 从题图中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D选项正确．弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误．由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误．由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从题图中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确．
10．(2014·浙江·17)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20
cm，周期为3.0
s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10
cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5
s
B．0.75
s
C．1.0
s
D．1.5
s
答案 C
解析 由振动周期T＝3.0
s、ω＝、A＝20
cm知，游船做简谐运动的振动方程x＝Asin
ωt＝20sin
t(cm)．在一个周期内，当x＝10
cm时，解得t1＝0.25
s，t2＝1.25
s．游客能舒服登船的时间Δt＝t2－t1＝1.0
s，选项C正确，选项A、B、D错误．
11．甲、乙两弹簧振子的劲度系数相等，且水平放置，其振动图像如图3所示，则它们振动的机械能大小关系是E甲______E乙(选填“>”“＝”“<”)；振动频率的大小关系是f甲______f乙(选填“>”“＝”“<”)；在0～4
s内，甲的加速度为正向最大的时刻是______，乙的加速度为正向最大的时刻是______．
图3
答案 > < 3
s末 0.5
s末和2.5
s末
解析 振动的机械能是由振幅决定的．由题图可知A甲＝10
cm，A乙＝5
cm，因此E甲>E乙．由题图可知：T甲＝4
s，T乙＝2
s．则f甲＝＝Hz，f乙＝＝Hz，故f甲正比且方向相反，加速度为正向最大的时刻也就是位移为负向最大的时刻．对于甲，加速度正向最大的对应时刻应为t＝3
s；对于乙，加速度正向最大的对应时刻应为t1＝0.5
s和t2＝2.5
s.
[探究与拓展题]
12．如图5所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
图5
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
答案 AD
解析 设m在平衡位置O处时，两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图所示．设在A处m的位移为x，则在A处m所在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到回复力F与x方向关系有：F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，选项D正确，C错误；可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．1 研究简谐运动
[学习目标定位] 1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型.2.借助弹簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的振动图像为正弦曲线(或余弦曲线)，知道描述简谐运动的常用物理量及意义.4.会利用简谐运动的图像分析有关问题．
1．s－t图像是描述物体的位移与时间关系的图像，由图像可知任意时刻物体的位移，那么，某时刻物体的速度等于这一时刻图像的斜率．
2.弹簧振子模型：如图1所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．
图1
3．弹簧振子的位移—时间图像
以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．
4．简谐运动
(1)定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动．
(2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
5．描述简谐运动的物理量除了位移、速度、加速度等力学量外，还需要周期、频率、振幅等物理量．
一、什么是简谐运动 简谐运动的图像
[问题设计]
如图2所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．
图2
(1)小球的运动有哪些特点？为什么小球最终停止运动？
(2)如果把小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多即也忽略不计，其结果如何？
(3)如图3为弹簧振子在一次全振动过程中间隔相等的8个相继时刻的位置，请用曲线连接各时刻小球球心的位置，并猜想一下，小球在各时刻的位移跟时间之间存在着怎样的关系？
图3
答案 (1)小球在中心两侧往复运动，即具有周期性．小球因为受到摩擦阻力的作用最终停止运动．
(2)小球将持续振动．
(3)小球的位移随时间可能按正弦(或余弦)规律变化．
[要点提炼]
1．弹簧振子
(1)组成：如图4所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型．
图4
(2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略．
(3)平衡位置：小球原来静止时的位置．
(4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动．
(5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动．
(6)位移—时间图像
①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图5所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．
图5
②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．
③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)．
2．简谐运动
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．
[延伸思考]
我们在研究直线运动时，可以由s－t图像得出运动物体的速度或速度的变化规律．由简谐运动的振动图像，我们可以判断振子速度的变化情况吗？
答案 可以．研究直线运动时，在s－t图像上，图线的斜率为运动物体的速度．同样，在振动图像上，图线的斜率仍然代表振子的运动速度．由振动图像可知，在振子经过平衡位置时，图线的斜率最大，即振子的速度大小达到最大；离开平衡位置的过程中，图线的斜率逐渐变小，即速度逐渐减小，在最大距离处图线的斜率为零，速度为零．
例1 如图6甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图像如图乙所示．则下列说法中正确的是( )
图6
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
解析 振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点是正向最大位移，运动到B点是负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．
答案 AC
二、描述简谐运动的物理量及其位移公式
[问题设计]
1．用锤敲锣一下，锣发出响亮的声音，锣声很快变小，但音调没变，锣声变小是什么发生了变化？音调没变又是为什么？
答案 锣声变小是锣面的振动强度变弱了，即振幅变小了．音调没变是锣的振动快慢没变，即频率没变．
2．我们知道做简谐运动的物体的振动位移随时间是按正弦(余弦)函数规律变化，在数学课上我们学习过正弦函数为y＝Asin
ωt，你知道A、ω与简谐运动的基本物理量之间的关系吗？
答案 A代表简谐运动的振幅；ω叫做简谐运动的圆频率，它与周期T的关系为ω＝.
[要点提炼]
1．振幅A
(1)振幅是标量，在数值上等于振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值．
(2)物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．
2．周期和频率
内容
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期
单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率
单位
单位为秒(s)
单位为赫兹(Hz)
物理含义
振动周期是表示物体振动快慢的物理量
频率是表示物体振动快慢的物理量
决定因素
物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关
关系式
T＝或f＝
3.简谐运动的位移公式：x＝Asin_ωt或x＝Acos
ωt.
(1)式中x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动时间．
(2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大位移，即振幅．
(3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.
所以表达式也可写成：x＝Asin
t或x＝Asin_2πft.
例2 弹簧振子在A、B间做简谐振动，O为平衡位置，A、B间的距离是20
cm，振子由A运动到B的时间是2
s，如图7所示，则( )
图7
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2
s，振幅是10
cm
C．从B开始经过6
s，振子通过的路程是60
cm
D．从O开始经过3
s，振子处在平衡位置
解析 振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2
s，所以振动周期是4
s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，振幅A＝10
cm，B选项错误；t＝6
s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60
cm，C选项正确；从O开始经过3
s，振子处在位置A或B，D选项错误．
答案 C
三、对振动图像的理解
例3 如图8所示，是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
图8
(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？振幅、周期、频率各是多少？
(2)在1.5
s和2.5
s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？
解析 由图像上的信息，结合质点的振动过程可知：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值为10
cm；振幅为10
cm，周期为4
s，频率为0.25
Hz.(2)在1.5
s后质点位移逐渐减小，因此是向平衡位置运动，在2.5
s后质点位移逐渐增大，因此是背离平衡位置运动．
(3)质点第2秒末在平衡位置，因此位移为零．质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10
cm×4＝40
cm.
答案 见解析
针对训练 如图9所示，是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )
图9
A．振动周期是2×10－2
s
B．第2个10－2
s内物体的位移是－10
cm
C．物体的振动频率为25
Hz
D．物体的振幅是10
cm
答案 BCD
解析 振动周期是物体完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2
s．又f＝，所以f＝25
Hz，则A项错误，C项正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10
cm，则D项正确；第2个10－2
s的初位置是10
cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10
cm，则B项正确．
研究简谐运动
1．如图10所示，下列振动系统不可看作弹簧振子的是( )
图10
A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统
B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统
C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小钢球组成的系统
D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统
答案 D
解析 A、B、C中都满足弹簧振子的条件，D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作质点，故不可看作弹簧振子．
2．下列关于振幅的各种说法中正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
答案 A
解析 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强，但振幅的大小与周期无关，故选A.
3．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8
cm，完成30次全振动所用时间为60
s，则( )
A．振子的振动周期是2
s，振幅是8
cm
B．振子的振动频率是2
Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16
cm
D．从振子通过O点时开始计时，3
s内通过的路程为24
cm
答案 CD
解析 A、B之间的距离为8
cm，则振幅是4
cm，故A错；T＝2
s，f＝0.5
Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16
cm,3
s内运动了1.5个周期，故总路程为24
cm，C、D正确．
4．如图11甲所示，是一个弹簧振子的示意图，O是它的平衡位置，振子在B、C之间做简谐运动，规定向右为正方向．图乙是它的速度v随时间t变化的图像．下列说法中正确的是( )
甲 乙
图11
A．t＝2
s时刻，它的位置在O点左侧4
cm处
B．t＝3
s时刻，它的速度方向向左，大小为2
m/s
C．t＝4
s时刻，它的加速度为方向向右的最大值
D．振子在一个周期内通过的路程是16
cm
答案 C
[基础题]
1．下列运动性质属于简谐运动的是( )
A．匀变速运动
B．匀速直线运动
C．非匀变速运动
D．匀加速直线运动
答案 C
2．如图1所示，是两人合作模拟振动曲线的记录装置．先在白纸中央画一条直线OO1使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴．一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x－t图像．下列说法中正确的是( )
图1
A．白纸上OO1轴上的坐标代表速度
B．白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅
C．匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化
D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长
答案 C
解析 白纸上OO1轴上的坐标代表时间，故A错误；白纸上与OO1垂直的坐标代表笔尖的位移，故B错误；匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化，故C正确；拖动白纸的速度与笔尖的振动周期无关，故D错误．
3．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看作是简谐运动
C．物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线
D．只要振动图像是正弦曲线，物体一定做简谐运动
答案 D
解析 物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不是正弦曲线，C错；若物体振动的图像是正弦曲线，则其一定是做简谐运动，D对．
4．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向
答案 BCD
解析 振动图像表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由图像可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确．
5．手机是常用的通信工具，当来电话时，它可以用振动来提示人们．振动的原理是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动．当叶片转动后，电动机就跟着振动起来．其中叶片的形状你认为是下图中的( )
答案 A
解析 B、C、D中图形均为中心对称图形，转动起来不会引起振动．
6．如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
图2
A．大小为OC，方向向左
B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左
D．大小为AC，方向向右
答案 B
解析 振子离开平衡位置的位移是以O点为起点，C点为终点，大小为OC，方向向右．
7．如图3表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
图3
A．t1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
答案 BC
解析 从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D选项错误；t1～t3时刻振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，C选项正确．
[能力题]
8．图4是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )
图4
A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图像可以看出弹簧振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示弹簧振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，可让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中弹簧振子的疏密显示出相同时间内弹簧振子位移变化的快慢不同
答案 ACD
解析 从图像中能看出坐标原点在平衡位置，A对．横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，弹簧振子只在x轴上振动，所以B错，C对．因图像中相邻弹簧振子之间时间间隔相同，密处说明位移变化慢，D正确．
9．物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin
(100t＋)
m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin
(100t＋)
m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6
m，B的振幅是10
m
B．周期是标量，A、B周期相等为100
s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的振幅是3
m，B的振幅是5
m
答案 CD
解析 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6
m、10
m，但振幅分别为3
m、5
m，A错，D对；A、B的周期T＝＝
s＝6.28×10－2
s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对．
10.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10
cm的A、B两点，历时0.5
s(如图5所示)．过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
图5
A．0.5
s
B．1.0
s
C．2.0
s
D．4.0
s
答案 C
解析 该题考查的是振动的对称性．根据题意，由振动的对称性可知：A、B的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5
s＝0.25
s．质点从B向右到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD＝×0.5
s＝0.25
s．所以，质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25
s＋0.25
s＝0.5
s．所以T＝2.0
s.
11．如图6所示，简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中
图6
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)b点离开平衡位置的最大距离是多大？
答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2
cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)b点离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小．由题图知最大距离为2
cm.
[探究与拓展题]
12．一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13
s质点第一次通过M点，再经0.1
s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？
答案 0.72
s或0.24
s
解析 质点的振动周期共存在两种可能性．设质点在AA′范围内运动．
如图甲所示，由O→M→A历时0.13
s＋0.05
s＝0.18
s，则周期T1＝4×0.18
s＝0.72
s.
如图乙所示，由O→A′→M历时t1＝0.13
s，由M→A→M历时t2＝0.1
s，设由O→M或由M→O历时为t，则0.13
s－t＝2t＋0.1
s，故t＝0.01
s，所以周期T＝t1＋t2＋t＝0.24
s.
甲 乙
