方程的根与函数的零点（两课时） 学案

方程的根与函数的零点（两课时）
知识梳理：
1.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
与x轴交点个数
____
____
____
方程的根的个数
____
____
0
2.函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与______的交点的______就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有______ 函数y＝f(x)的图象与x轴有______ 函数y＝f(x)有______．
3.函数零点的判定定理
条
件
结
论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b) 内有零点
(1)图象是__________的曲线
(2)f(a)f(b)______0
[知识点拨]　判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
二、预习1.函数f(x)＝的零点是
(　　)
A．(1,0)　　　　
　
B．0
C．1
D．0和1
2．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为
(　　)
A．－6
B．8
C.
D．－
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是
(　　)
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
4．函数y＝2x－6的零点是________.
5．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有________个根.
三、典例分析
例1.（求函数的零点）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
变式1.(1)指出下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为________．
②g(x)＝lgx＋2零点为________．
已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝________.
例2.（判断零点所在区间）函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是
(　　)
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
变式2.函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的一个区间是(　　)
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
例3.(判断零点个数)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数
变式3判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
例4.（二次函数零点问题）已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围
[规律总结]　1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，一般为下面两个方面的问题：
(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.
根的分布(m＜n＜p)
图象
满足条件
一个区间只有一个根
x1＜m＜x2
f(m)＜0
m＜x1＜n＜x2＜p
根的分布(m＜n＜p)
图象
满足条件
一个区间只有一个根
x1＜m＜x2
f(m)＜0
m＜x1＜n＜x2＜p
根的分布(m＜n＜p)
图象
满足条件
在(m，n)内有且只有一个根
或
f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－∈(m，n)或或
另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件来解决；x1，x2一正一负也可通过满足来解决．
变式4.．求实数的范围，使关于的方程：
(1)
无实数根；
（2）有两个实数根，且满足；
（3）有两个实根，且一个大于2，一个小于2；
（4）有两个实根，且一个比
1小，一个比4大.
（5）有两个负根；
（6）有一个正根和一个负根，且正根的绝对值较大.
(7)
有两个实数根，且都在（0,5）内.