九年级数学上册第20章解直角三角形单元测试含答案解析

第二十章解直角三角形单元测试
一.单选题（共10题；共30分）
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（

）
A. 2 B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90o
，
AC=4，AB=5，则sinB的值是
(


)
A. B. C. D.
3.如果∠A为锐角，sinA=，
那么（　　）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
4.已知：∠A为锐角，且cosA≥，
则（　　）
A. 0°＜∠A≤60° B. 60°≤∠A＜90° C. 0°＜∠A≤30° D. 30°≤∠A＜90°
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
7.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，∠C=90°，tanA=，那么sinA的值为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，
P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（　　）

A. B. C. D. 2
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=，
则tanB的值为（　　）

A. B. C. D.
二.填空题（共8题；共24分）
11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=________
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=255；③tanA=2；④sinB=12
，
其中正确的是________
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=，
则BC的长是________
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为________
15.如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是________
．（填写所有符合条件的序号）

①AC=13；②tan∠ACB=125；
③连接AC，△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，BC=________．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
16.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________．
17.如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=________度．
18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为________．
三.解答题（共6题；共36分）
19.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，
AD=4．
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,
]
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan
C＝12，AC＝3，AB＝4，求BD的长．(结果保留根号)
21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，AB=10，求cos∠BCD的值．
22.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=8，AB=10，求∠B的三个三角函数值．
23.求满足下列条件的锐角α（精确到0.01°）．
（1）sinα=；
（2）cosα=0.2；
（3）tanα=3．
24.已知：如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长．
四.综合题（共1题；共10分）
25.用计算器求下式的值：
(1)tan75°；
(2)tan54°45′.
答案解析部分
一.单选题
1.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
【解答】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA=．
故选B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】正弦的定义：角A的正弦=角A的对边：斜边
【解答】由题意得，
故选D.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成.
3.【答案】A
【考点】计算器—三角函数
【解析】解：∵sin30°=，
0＜＜，
∴0°＜∠A＜30°．
故选A．
【分析】首先明确sin30°=，
再根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°=，
余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≥时，∠A≤60°．
又∠A是锐角，
∴0°＜A≤60°．
故选A．
【分析】首先明确cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
5.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB=，
由余角的性质，得∠ACD=∠B，
由正弦函数的定义，得
sin∠ACD=sin∠B= ，
故选：B．
【分析】根据勾股定理，可得AB，根据余角的性质，可得∠ACD=∠B，再根据等角的三角函数相等，可得答案．
6.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，
∴tanA﹣=0，﹣cosB=0，
∴tanA=，
cosB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，
故选B．
【分析】先根据非负数的性质求出tanA及cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
7.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
根据网格特点可知，AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=
=5，则cosα=
=
，
故选：D．
【分析】根据网格特点和勾股定理分别求出AC、AB，根据余弦的定义计算即可．
8.【答案】A
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，tanA=
，
∴设a=3k，b=4k，
∴c=
=5k，
∴sinA=
．
故选A．
【分析】利用正切的定义得到tanA=，则可设a=3k，b=4k，再根据勾股定理计算出c=5k，然后根据正弦的定义求解．
9.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在△OPA中，当∠OPA取最大值时，OA⊥AP，
∴PA取最小值，
又∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=，
OP=3，
∴PA=
．
故选B．
【分析】当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
10.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACM中，sin∠CAM=
，
设CM=3x，则AM=5x，
根据勾股定理得：AC=
=4x，
又M为BC的中点，
∴BC=2CM=6x，
在Rt△ABC中，tanB=
．
故选B
【分析】在直角三角形ACM中，利用锐角三角函数定义表示出sin∠CAM，由已知sin∠CAM的值，设CM=3x，得到AM=5x，根据勾股定理求出AC=4x，由M为BC的中点，得到BC=2CM，表示出BC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将表示出的AC与BC代入即可求出值．
二.填空题
11.【答案】75°
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵|sinα﹣12|+(tanβ-1)2=0
，
∴sinα=12
，
tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
【分析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
12.【答案】②③
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，
∴AB=5
，
∴①sinA=BCAB=25=255
，
故此选项错误；
②cosB=BCAB=25=255
，
故此选项正确；
③tanA=BCAC=2，故此选项正确；
④sinB=ACAB=15=55
，
故此选项错误．
故答案为：②③．
【分析】首先求出AB的长，进而利用锐角三角函数关系分别判断得出答案．
13.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAB
，
∴BC8=34
，
解得BC=6．
故答案为：6．
【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
14.【答案】32
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB=2BC，
∴AC=2BC2-BC2=3BC，
∴sinB=ACAB=3BC2BC=32
．
故答案为32
．
【分析】利用勾股定理求出AC的长（用BC表示），然后根据正弦函数的定义求比值即可．
15.【答案】②③；21
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）②③；
（2）方案一：选②
作AD⊥BC于D，
则∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，
∴AD=AB sinB=12，BD=AB cosB=16，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴CD=ADtan∠ACB=5，
∴BC=BD+CD=21．
方案二：选③
作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，
由S△ABC=12AB CE得CE=12.6，
在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，
∴BC=CEsinB=21．
【分析】根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长，得到（1）（2）的答案．
16.【答案】32
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=
32
；
故答案为：
32
．
【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
17.【答案】70
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，
∴∠α+20°=90°，
即∠α=90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
18.【答案】23
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，
∴AB=2CM=6，
∴∠B=∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB=∠CAN，
∴∠B=∠CAN，
∴△CAN∽△CBA，
∴
CNAC=ANAB
=
46
=
23
，
∴tan∠CAN=
CNAC
=
23
．
故答案为：
23
．
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到
CNAC=ANAB
=
46
=
23
，根据三角函数的定义即可得到结论．
三.解答题
19.【答案】（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，
∴DC=AD=4．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，
AD=4，
∴AB=
∴BD=，
∴BC=BD+DC=
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE=BC=，
∴DE=CE-CD=，
∴tan∠DAE=．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=2，
然后根据BC=BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
20.【答案】解：AD是BC边上的高．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，
∵tan
C＝12，∴ADCD＝12.
∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(35)2
，
∴AD＝3，
∴在Rt△ADB中，BD＝42-32＝7.
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】考查解直角三角形。
21.【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵AB=10，AC=8，
∴cos∠BCD=cosA=ACAB=810=45．
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠A，得出cos∠BCD=cosA，求出cosA即可．
22.【答案】解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=AB2-AC2=6，
则sinB=ACAB=45，
cosB=BCAB=35，
tanB=ACBC=43．
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．
23.【答案】解：（1）∵sinα=12，∴α=30°；
（2）∵cosα=0.2，
∴α≈78.45°；
（3）∵tanα=3，
∴α≈71.6．
【考点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）直接利用计算器求出α的角度即可；
（2）直接利用计算器求出α的角度即可；
（3）直接利用计算器求出α的角度即可．
24.【答案】解：∵∠A=105°，∠B=30°．
∴∠C=45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2．
∴∠DAC═∠C=45°．
∵sinC=
，
∴AD=
．
∴AD=CD=
．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．
∵AD=
，
∴AB=2
．
∴由勾股定理得：BD=
．
∴BC=BD+CD=
．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
四.综合题
25.【答案】（1）解答：tan75°≈3.732，
（2）解答：tan54°45′=tan54.75°≈1.415.
故答案是3.732；1.415.
【考点】计算器—三角函数
【解析】直接利用计算器计算即可.