九年级数学上册第22章圆（下）单元测试含答案解析

第22章圆（下）单元测试
一.单选题（共10题；共30分）
1.一个钢管放在V形架内，下是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25
cm，∠MPN
=
60°，则OP
的长为
A. 50
cm B. 25cm C. cm D. cm
2.如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（　　
）
A. 6 B. 8 C. 9.6 D. 10
3.⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
4.（2015 黔西南州）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（　　）

A. 150° B. 130° C. 155° D. 135°
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF为（　　）
A. 55° B. 60° C. 75° D. 80°
6.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（　　）
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
7.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于（　　）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
8.已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
9.（2013 盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
10.下列说法中，不正确的是（　　）
A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D. 垂直于半径的直线是圆的切线
二.填空题（共8题；共24分）
11.△ABC中，∠C=90°，I为内心，则∠AIB=________度
12.如图，在三角形ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，则∠BOC=________
13.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于________ ．
14.如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切．
15.矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为________ ．

16.（2016 孝感）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
17.如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是________ cm．
18.如图所示，PA、PB切⊙O于点A、B，连接AB交直线OP于点C，若⊙O的半径为3，PA=4，则OC的长为________．
三.解答题（共6题；共36分）
19.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB2＝∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线
（2）求证：BC＝12AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN
·MC的值．
20.如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.
(1)求证：直线BD与⊙O相切；
(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．
21.已知△ABC，求作内切圆（保留作图痕迹，不写作法）
22.已知：如图，⊙O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．求：⊙O的半径是多少cm？
23.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=3
，
∠BAC=60°，求⊙O的半径．
24.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=，
CE：EB=1：4，求CE的长．
四.综合题（共1题；共10分）
25.小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．(1)请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；(2)求所得直角三角形内切圆的半径长．
答案解析部分
一.单选题
1.【答案】A
【考点】切线的性质
【解析】
【分析】钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM=∠OPN=30°，根据三角函数就可求出OP的长．
【解答】∵圆与V形架的两边相切，
∴△OMP是直角三角形中∠OPN=∠MPN=30°，
∴OP=2ON=50cm
故选A．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，解题的关键是将此问题转化为解直角三角形的问题来解决．
2.【答案】C
【考点】切线的性质
【解析】
【分析】如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．
【解答】如图，设GH的中点为O，
过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，
在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，
∴AC==10，
由面积法可知，BN AC=AB BC，
解得BN=4.8，
∵∠B=90°，
∴GH为⊙O的直径，点O为过B点的圆的圆心，
∵⊙O与AC相切，
∴OM为⊙O的半径，
∴BO+OM为直径，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN=4.8，
同理可得：EF的最小值为4.8，
∴EF+GH的最小值是9.6．
故选C．
3.【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．
【解答】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，
∴直线l与O的位置关系是相交．
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
4.【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
5.【答案】C
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OD、OF，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵⊙O是△ACB的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠DOE=360°﹣90°﹣30°﹣90°=150°，
∴∠DEF=∠DOF=75°，
故选C．
【分析】连接OD、OF，根据三角形内角和定理求出∠A，根据切线的性质求出∠ADO=∠AEO=90°，求出∠DOF，根据圆周角定理求出即可．
6.【答案】C
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=10cm，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA=EC，
同理得到FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF
=PE+EA+FB+PF
=PA+PB
=10+10
=20（cm）．
故选C．
【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA=EC，FC=FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB．
7.【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；
故△PCD的周长是6cm．
故选：B．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
8.【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个交点．
故选C．
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
9.【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∴AM×BC=AC×AB，
∴AM==4.8，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=5，
∴AN=MN=AM，
∴MN=2.4，
∵以DE为直径的圆半径为2.5，
∴r=2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选：A．
【分析】首先根据三角形面积求出AM的长，进而得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
10.【答案】D
【考点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线这是切线的定义同时也是切线的一种判定方法，故本选项说法是正确的；
B、经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线是切线的判定定理，故本选项说法是正确的；
C、与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线即d=r，故本选项说法是正确的；
D、垂直于半径的直线是圆的切线也有可能是圆的割线，故本选项说法是不正确的；
故选D．
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
二.填空题
11.【答案】135
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABI=12∠ABC，∠BAI=12∠ACB，
∴∠ABI+∠BAI=12（∠CBA+∠CAB）=45°，
∴∠AIB=180°﹣（∠ABI+∠BAI）=135°．
故答案为：135°．
【分析】根据直角三角形的性质和内心的性质得出∠ABI+∠BAI=45°，进而利用三角形内角和定理得出∠AIB的度数．
12.【答案】125°
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，
∴O到△ABC三边的距离相等，
∴O在三角形的角的平分线上，即O是△ABC的内心．
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），
又∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°．
∴∠OBC+∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．
故答案是：125°．
【分析】根据弦相等，则对应的弦心距相等，即O到△ABC的三边相等，则O是△ABC的内心，然后根据内心的性质求解．
13.【答案】40°　
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠COB，
∴∠COB=2∠A=50°，
∴∠D=180°﹣∠DCO﹣∠COB=40°，
故答案为：40°．
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠COB，根据切线性质得出∠OCD=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
14.【答案】43或6
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当直线与圆相切时，点C在圆的左侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，
即2（1+t）=10﹣4t，
解得：t=43
，
当直线与圆相切时，点C在圆的右侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，
即2（1+t）=4t﹣10，
解得：t=6，
故答案为：43 或6．
【分析】根据直线与圆相切和勾股定理，圆的半径与BC的关系，注意有2种情况解答即可．
15.【答案】512
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，
∵AB为直径，
∴AD、BC与半圆相切，
而DE切⊙O于点E，
∴DA=DE=3，BF=EF，
设CF=x，则BF=EF=3﹣x，
∴DF=DE+EF=6﹣x，
在Rt△DCF中，∵CF2+CD2=DF2
，
∴x2+42=（6﹣x）2
，
解得x=53
，
∴tan∠CDF=534=512
．
故答案为512
．

【分析】根据矩形的面积得∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，则可判断AD、BC与半圆相切，根据切线长定理得到DA=DE=3，BF=EF，设CF=x，则BF=EF=3﹣x，在Rt△DCF中利用勾股定理得到x2+42=（6﹣x）2
，
解得x=53
，
然后根据正切的定义求解．
16.【答案】6
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：斜边为
=17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=
=3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=
是解题的关键．
17.【答案】3
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F；
连接WE，WF，CW，OC，OW，则OW=CF，WF=1，∠WCF=
12
∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF=WF cot∠WCF=WF cot30°=
3
．
【分析】根据题意画图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OWC是矩形；构造直角三角形利用直角三角形中的30°角的三角函数值，可求得点O移动的距离为OW=CF=WF cot∠WCF=WF cot30°=
3
．
18.【答案】
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接AO，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∵AP=4，AO=3，
∴OP=
=5，
∴AC=
=
，
∴OC=
=
．
故答案为：
．
【分析】由PA、PB是⊙O的两条切线，可得OA⊥PA，△PAB是等腰三角形，即可得AB⊥OP，然后由勾股定理求得OP长，再利用三角形面积的求解方法即可求得AC长，继而求得答案．
三.解答题
19.【答案】解：（1）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO
又∵∠COB＝2∠A,
∴∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥CP，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AC＝PC,∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P，
又∵∠COB＝∠A+∠ACO,
∠CBO＝∠P+∠PCB
∴∠COB＝∠CBO,
∴BC＝OC,
∴BC＝12AB
（3）连接MA、MB
∵点M是AB的中点，AM＝BM，
∴∠ACM＝∠BCM
而∠ACM＝∠ABM,
∴∠BCM＝∠ABM,而∠BMN＝∠BMC
∴△MBN～△MCB,
BMMC=MNBM
∴MN·MC＝BM·BM
又∵AB是⊙O的直径，AM＝BM
∴∠AMB＝90°，AM＝BM
∵AB＝4,BM＝22
∴MN·MC＝BM2＝8
【考点】切线的判定
【解析】【解答】(1)证明PC为切线，只需证明半径OC垂直于CP,
(2)根据相应的角的关系得出BC=OC=OB,最后得出BC＝12AB,
(3)通过证明△MBN～△MCB，得出对应边成比例进而求出MN·MC＝BM2＝8。
【分析】考查切线的判定，利用三角形以及圆的性质，求得线段的长度。
20.【答案】(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
又∵∠A＋∠CDB＝90°
∴∠ODA＋∠CDB＝90°，
∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，
∴BD与⊙O相切．
(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC.
又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.
∴△AED∽△ABC.
∴AC∶AB＝AD∶AE.
∵AC∶AB＝4∶5，
令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.
∵BC＝6，∴AB＝10，
∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.
【考点】切线的判定
【解析】【分析】考查切线的判定。
21.【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】首先作出三角形的内角平分线，进而得出交点即为圆心位置，再向角的一边作垂线得出半径长，进而画出即可．
22.【答案】解：设⊙O半径是rcm，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，如图所示：
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点是D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，
∵AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=10，
根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB
，
∴12AC×BC=12AC×r+12BC×r+12AB×r，
即：12×6×8=12×6r+12×8r+12×10r，
解得：r=2；
即：⊙O的半径是2cm．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设⊙O半径是rcm，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB
，
代入求出即可．
23.【答案】（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=3，
∴AE=23．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x2+12=4x2
，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=23
，
在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
24.【答案】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB=90°，
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2
，
即（）2=x2+（3x）2
，
∴x=2．
∴CE=2．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（）2=x2+（3x）2求得答案．
四.综合题
25.【答案】
（1）解：依照题意画出图形，如下图所示：
4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）解：设直角三角形内切圆的半径长x．
①
当4倍单位长度为直角边时，有（2﹣x）+（4﹣x）=
，
解得：x=3﹣
；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2﹣x）+（
﹣x）=4，
解得：x=
﹣1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3﹣
或
﹣1．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．