1.2.2“非”（否定）
自我小测
1．命题“x＞0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．x＞0，使得x2－x≤0
B．x＞0，使得x2－x＞0
C．x＞0，使得x2－x＞0
D．x≤0，使得x2－x＞0
2．关于命题p：“x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )
A．p：x∈R，x2＋1≠0
B．p：x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，p是假命题
D．p是假命题，p是真命题
3．命题：存在n∈N,2n＞1
000的否定是( )
A．任意n∈N,2n≤1
000
B．任意n∈N,2n＞1
000
C．存在n∈N,2n≤1
000
D．存在n∈N,2n＜1
000
4．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
5．已知全集S＝R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.(A∩B)
D.∈(SA)∩(SB)
6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，x＞”，命题p的否定为命题p，则命题p是“______________________”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C
3.
答案：A
4.
解析：因函数y＝sin
2x的最小正周期T＝＝π，故p为假命题．
因y＝cos
x的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题．所以p∧q为假．
答案：C
5.
解析：p：∈(A∪B)，p：∈S(A∪B)＝(SA)∩(SB)．
答案：D
6.
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
7.
解析：利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，x≤.当x＞1时，x＞，故知p为假命题．
答案：x∈R，x≤ 假
8.
解析：因为p为假命题，所以p为真命题，故－(a－1)≥4，所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9.
解：(1)p：x∈R，x2－x＋＜0.因为x2－x＋＝2≥0，所以p为假命题．
(2)q：存在正方形不是矩形，假命题．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0.
因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以r为真命题．
10.
分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A
(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．第一章
常用逻辑用语
测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4)
x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是( )
A．若a＞b，则a－1≤b－1
B．若a≥b，则a－1＜b－1
C．若a≤b，则a－1≤b－1
D．若a＜b，则a－1＜b－1
3．已知p：{1}{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“
p”中，真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知命题p：x∈R，x＋6＞0，则p是( )
A．x∈R，x＋6≥0
B．x∈R，x＋6≤0
C．x∈R，x＋6≥0
D．x∈R，x＋6≤0
5．已知命题p：x∈R，使tan
x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是( )
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
6．下列命题正确的是( )
A．“a＝b”是“a·c＝b·c”的必要条件
B．a，l是直线，α是平面，a 平面α，则“l∥a”是“l∥α”的充要条件
C．在△ABC中，“a＞b”是“sin
A＞sin
B”的充分不必要条件
D．“x∈R，x2＋≥m”恒成立的充要条件是m≤3
7．对下列命题的否定错误的是( )
A．p：负数的平方是正数；p：负数的平方不是正数
B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；p：任意一个整数，它是合数或质数
C．p：x∈N，x3＞x2；p：x∈N，x3≤x2
D．p：2既是偶数又是质数；p：2不是偶数或不是质数
8．在锐角△ABC中，“A＝”是“sin
A＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．下列命题是真命题的是( )
A．π是有理数
B．sin
30°＝
C．若a＞b＞0，则a2＞b2
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
10．已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为( )
A．a≤－1或a≥6
B．a≠－1或a≥6
C．－1≤a≤6
D．－1＜a＜6
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．“函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是__________．
12．已知命题p：x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
13．已知命题p：x∈R，x2＋≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是__________．
14．命题p：x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定p是__________．
15．下列结论：
①若命题p：x∈R，sin
x＝1；命题q：x∈R，x2－x＋1＞0，则命题“p∧p”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)给出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0都有实根；
(2)q：x∈{六边形}，x是正六边形．
分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断命题的真假．
17．(6分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)·(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．(6分)已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
求当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围．
19．(7分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？
参考答案
1.
解析：(1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．
答案：B
2.
解析：因为命题“若p，则q”的否命题既否定条件，又否定结论，所以命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是“若a≤b，则a－1≤b－1”．
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：D
5.
解析：命题p：x∈R，使tan
x＝1正确，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也正确，所以①正确，“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题，故应选D.
答案：D
6.
解析：应对各选项逐一进行判断．A中，由a＝ba·c＝b·c，但a·c＝b·ca＝b.例如，当a与b不共线时，若a⊥c，b⊥c，有a·c＝b·c，但a≠b，故“a＝b”是“a·c＝b·c”的充分不必要条件；B中，“l∥a”是“l∥α”的既不充分也不必要条件；C中，“a＞b”是“sin
A＞sin
B”的充要条件．故A，B，C均不正确．D中，因为x2＋＝x2＋1＋－1≥3，故x2＋≥m恒成立的充要条件是m≤3.
答案：D
7.
解析：A中p应为：有些负数的平方不是正数．
答案：A
8.
解析：因为0＜A＜，所以当sin
A＝时，A＝，所以在锐角△ABC中，“A＝”是“sin
A＝”的充要条件．
答案：C
9.
解析：π是无理数，故A是假命题；sin
30°＝，故B是假命题；显然C是真命题；垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，故D是假命题．故选C.
答案：C
10.
解析：可将条件关系转化为集合间的包含关系求a的范围．p：|x－a|＜4a－4＜x＜a＋4，记为A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，q：(x－2)(x－3)＜02＜x＜3，记为B＝{x|2＜x＜3}，因为p是q的充分不必要条件，由命题间的关系有q是p的充分不必要条件，转化为集合关系即为BA，
所以且等号不能同时成立，得－1≤a≤6.
答案：C
11.
答案：c＜0
12.
解析：因为命题p是假命题，故p是真命题，即对x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立，故Δ＝4a2－4a＜0.解得0＜a＜1.
答案：0＜a＜1
13.
解析：应结合逻辑知识，先判断命题p，q的真假，对命题p：x∈R，x2＋≤2，如x＝1时，命题成立，故p为真命题．又q与命题p的否定p真假相同，故q为假命题．结合真值表知p∧q为假命题，p∨q为真命题．
答案：p，p∨q
14.
答案：x∈R，f(x)＜m
15.
解析：①中命题p为真，q为真，故p为假，则p∧q为假，所以①正确；②当a＝b＝0时，l1⊥l2，故②不正确；③正确，逆否命题为条件、结论全否定再变换位置，故①③正确．
答案：①③
16.
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．(假命题)
q：x∈{六边形}，x不是正六边形．(假命题)
17.
分析：化简集合，实行等价转化即将条件“p是q的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件”转化为“AB”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．
解：p：A＝{x||x－2|≤4}＝{x|－2≤x≤6}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m＞0)，
因为p是q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件．
利用数轴分析可得
两等号不能同时成立，
解得m≥5.故m的取值范围为[5，＋∞)．
18.
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1.①
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.②
甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假，即＜a≤1；甲假乙真，即－1≤a＜－，
所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为.
19.
解：(1)欲使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．
(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．1.1
命题与量词
课堂探究
探究一命题及其真假判断
判断某个语句是否是命题的方法是先看句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断其真假．
判定一个命题真假的方法：判定一个命题为真，要经过证明；判定一个命题为假，则只需举一反例即可．
【典型例题1】
下列语句是不是命题？如果是，说明其真假：
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？
(2)偶数的平方仍是偶数；
(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；
(4)两个向量的夹角可以等于π.
思路分析：(1)该语句是疑问句，不能判断其真假，故不是命题；
(2)因所有偶数的平方都是偶数，无一例外，故该语句是命题且为真命题；
(3)根据空间立体几何知识知，垂直的两条直线不一定相交，故所给语句是命题且为假命题；
(4)根据两个向量夹角的定义知，两个向量反向时夹角为π，故所给语句是命题且为真命题．
解：(1)不是；(2)是，真命题；(3)是，假命题；(4)是，真命题．
探究二全称命题与存在性命题真假的判定
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．
【典型例题2】
指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)p：所有正方形都是矩形；
(2)q：x∈R，x2－x＋≥0；
(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0；
(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.
思路分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．
(1)利用正方形的定义进行判定；
(2)将不等式的左边配方后进行判定；
(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；
(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．
解：(1)命题p是全称命题，
因为正方形是邻边相等的矩形，所以命题p是真命题；
(2)命题q是全称命题，
因为x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；
(3)命题r是存在性命题，
因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0成立，所以命题r是真命题；
(4)命题s是存在性命题，
因为由x3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有正整数满足x3＋1＝0，所以命题s是假命题．
规律小结全称命题与存在性命题的不同表述方法：
命题
全称命题“x∈A，p(x)”
存在性命题“x∈A，p(x)”
实质
全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素都具有某种性质的命题
表述方式
①所有x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任选一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立
探究三
易错辨析
易错点 全称命题理解不全面
【典型例题3】
若关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0对任意实数x都成立，求a的取值范围．
错解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则有解得0＜a＜4.
错因分析：这是一个全称命题，意味着每个x都满足ax2＋ax＋1＞0.本题错解中，只考虑了a≠0时的情况，忽视了a＝0时的判断．
正解：当a＝0时，1＞0，显然成立．
当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则即0＜a＜4.
综上，a的取值范围是0≤a＜4.1.2
基本逻辑联结词
课后导练
基础达标
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )
A.简单命题
B.“p或q”形式的命题
C.“p且q”形式的命题
D.“非p”形式的命题
解析：因“相等且平分”包含两个同时成立的结论，所以它是“p且q”形式的命题，且p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分.
答案：C
2.如果命题“p∨q”与命题“p”都是真命题，那么( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定为真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真假相同
解析：p为真命题，则p为假命题，又p∨q是真命题，
∴q为真命题.
答案：B
3.已知全集S=R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.A∩B
D.∈(SA)∩(SB)
解析：因为p:∈(A∪B),所以p:(A∪B),即A且B.
所以∈SA且∈SB.
故∈(SA)∩(SB).
答案：D
4.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是( )
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
答案：C
5.命题p：a2+b2＜0(a、b∈R)，命题q：a2+b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.“p”为假
D.“q”为真
解析：因为p为假q为真，所以“p∧q”为假：“p∨q”为真；“p”为真；“q”为假.
答案：A
6.已知命题p、q，则“命题p∨q为真”是“命题”p∧q为真的_________条件.
解析：p∨q为真包括p、q中有且只有一个为真，推不出p∧q为真，反之能推出来.
答案：必要不充分
7.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中，假命题是_________，真命题是_________.
解析：因为命题p假，命题q真，所以“p∧q”假，“p∨q”真，“p”真，“q”假.
答案：“p∧q”，“q”，“p∨q”，“p”
8.若命题p：不等式ax+b＞0的解集为{x|x＞}，命题q：关于x的不等式(x-a)(x-b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”“p”中真命题是__________.
解析：因命题p、q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“p”为真命题.
答案：p
9.已知命题p：|x2-x|≥6，q：x∈Z，且“p∧q”与“q”同时为假命题，求x的值.
解析：∵“p∧q”为假.
∴p、q至少有一命题为假.又“q”为假.
∴q为真，从而可知p为假.由p为假且q为真，可得｜x2-x｜＜6且x∈Z,
即
∴
∴
故x的值为-1，0，1，2.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)3=2；
(2)5＞4；
(3)对任意实数x，x＞0；
(4)每个正方形都是平行四边形.
解：（1）的否定：3≠2，真命题.
(2)的否定：5≤4,假命题.
(3)的否定：存在实数x，使x≤0,真命题.
(4)的否定：存在正方形不是平行四边形，假命题.
11.(2004福建高考，文)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充要条件.命题q：函数y=的定义域是(-∞,-1］∪［3,+∞).试判断p与q的真假性，及“p∨q”“p∧q”的真假性.
解析：命题p的判断可举反例：a=2,b=-3,则｜a｜+｜b｜＞1,但｜a+b｜=1,故命题p是假命题.
命题q：由函数解析式知｜x-1｜-2≥0.
解得x≤-1或x≥3,所以命题q真.
∴p∨q为真，p∧q为假.
12.已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
解：函数y=cx在R上单调递减?0＜c＜1.
不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R函数y=x+｜x-2c｜在R上恒大于1.
因为x+｜x-2c｜=所以函数y=x+｜x-2c｜在R上的最小值为2c.所以不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R2c＞1c＞.
若P正确，且Q不正确，则0＜c≤;若P不正确，且Q正确，则c≥1.所以c的取值范围为（0，］∪［1，+∞).
拓展探究
13.已知命题p：不等式|x|+|x-3|＞m的解集为R，命题q：f(x)=-(5-2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.
解：由不等式｜x｜+｜x-3｜＞m的解集为R，由绝对值的几何意义知m＜3；由f(x)=-(5-2m)x是减函数知5-2m＞1,∴m＜2.
又p∧q为假，p∨q为真，∴p、q一真一假.若p假q真可得m无解；
若p真q假，可得2≤m＜3.由以上两种情况可得，实数m的取值范围是2≤m＜3.
14.判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数x，使不等式x2-(a+1)x+a＞0成立
(2)对任意实数x，不等式|x+2|≤0成立.
解析：（1）Δ=（a+1)2-4a=(a-1)2任取a≠1,有Δ＞0，则不等式成立.∴命题为真命题它的否定为：对任意实数x，使x2=(a+1)x+a≤0成立
（2）存在实数x=1，使｜x+2｜＞0，所以命题是假命题.它的否定为：存在实数x，使｜x+2｜＞01.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后导练
基础达标
1.设集合M={x|0＜x≤3},N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：易见NM，则“a∈M”/“a∈N”，但有“a∈N”“a∈M”.故选B.
答案：B
2.设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是( )
A.x＞1
B.x＜1
C.x＞3
D.x＜3
解析：x＞2x＞1,但x＞1/x＞2.
答案：A
3.条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，条件q：“直线l的斜率为-2”，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：由p成立可知q不一定成立，但q成立，p也成立.故p是q的必要不充分条件.
答案：B
4.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( )
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
解析：ac＞bc/a＞b,例如a＜b＜0,c＜0时.有ac＞bc但a＜b;反之，a＞b?/ac＞bc,例如a＞b＞0,c＜0时不成立.
答案：B
5.“cosα=-”是“α=2kπ+，k∈Z”的( )
A.必要不充分条件
B.充植槐匾?跫
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：∵cosα=-,∴α=2kπ+或α=2kπ+.
∴cosα=-/α=2kπ+,
反之由α=2kπ+cosα=-.
答案：A
6.函数y=x2+bx+c,x∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是_________.
解析：若b≥0，设x1＜x2,x1、x2∈(0,+∞）.
f(x2)-f(x1)=x22+bx2+c-(x21+bx1+c)=(x2-x1)(x2+x1+b)＞0.
∴f(x2)＞f(x1).
∴y=f(x)是单调函数,即b≥0是y=f(x)为单调函数的充分条件.
若f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x1+x2+b)＞0,
∵x2-x1＞0,x2+x1＞0,
∴此时必有b≥0,即b≥0是f(x)为单调函数的必要条件.
故答案是b≥0.
7.设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_________条件，r是t的_________条件.
解析：由题意可画出图形：
由图形可看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.
答案：充分 充要
8.“tanα=1”是α=的_________.
解析：“∵tanα=1a=kπ+”，α不一定为,
α=tanα=1,
∴tanα=1为α=的必要不充分条件.
答案：必要不充分条件
9.已知：p：|5x-2|＞3;q：＞0，则p是q的什么条件.
解：p:｜5x-2｜＞3.
所以5x-2＞3,或5x-2＜-3,
所以x＞1,或x＜-,
所以p:-≤x≤1.
因为q:＞0.
所以x2+4x-5＞0.
即x＞1,或x＜-5.
所以q:-5≤x≤1(如图所示）.
所以p是q的充分非必要条件.
10.已知a、b、c均为实数，证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.
证明：（1）充分性：若ac＜0.
则Δ=b2-4ac＞0.方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根，设为x1、x2.
∵ac＜0,∴x1·x2=＜0,即x1、x2的符号相反，方程有一个正根和一个负根.
(2)必要性：若方程ax2+bx+c=0.有一个正根和一个负根，设为x1、x2，不妨设x1＜0,x2＞0,则x1x2=＜0,∴ac＜0.
由（1）（2）知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件.
解析：若a2+b2=0,即a=b=0,
此时f(-x)=(-x)｜x+0｜+0=-x｜x｜=-f(x).
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件.
又若f(x)=x｜x+a｜+b为奇函数，即
f(-x)=-f(x)
∴(-x)｜-x+a｜+b=-x｜x+a｜-b,则必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
12.设p：x2-x-20＞0,q：＜0，则p是q的什么条件？
解析：p:x2-x-20＞0,化简p:x＞5或x＜-4.
q:＜0,化简q:-1＜x＜1或x＜-2或x＞2.
作数轴易得pq但qp.
∴p是q的充分不必要条件
13.设a、b∈R，已知命题p：a=b；命题q：()2≤，则p是q成立的什么条件？
解析：充分性：当a=b时，,即
故当a=b时，
必要性：当,
展开得,即（a-b)2≥0,a=b.
∴p:a=b:q:,p是q的充分不必要条件.1.1
命题与量词
课后训练
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列语句是命题的是( )
A．|x＋a|
B．{0}∈N
C．元素与集合
D．真子集
3．命题“存在实数x，使x＋1＜0”可写成( )
A．若x是实数，则x＋1＜0
B．x∈R，x＋1＜0
C．x∈R，x＋1＜0
D．以上都不正确
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题中的假命题是( )
A．x∈R，lg
x＝0
B．x∈R，tan
x＝1
C．x∈R，x3＞0
D．x∈R,2x＞0
6．下列语句是命题的是__________．
①地球上有四大洋；②－2∈N；③π∈R；④同垂直于一条直线的两个平面平行．
7．命题①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________．
8．下列命题中，是真命题的是__________．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为空集．
9．判断下列命题的真假：
(1)a∈R，函数y＝logax是单调函数；
(2)a∈{向量}，使a·b＝0.
10．求使命题p(x)：为真命题的x的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：B 由存在性命题的表示形式可知，选项B正确．
4.
答案：D 由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
5.
答案：C 对于A选项，当x＝1时，lg
x＝0，为真命题；
对于B选项，当时，tan
x＝1，为真命题；
对于C选项，当x＜0时，x3＜0，为假命题；
对于D选项，由指数函数性质知，x∈R,2x＞0，为真命题，故选C.
6.
答案：①②③④ 所给语句均能判断真假，故都是命题．
7.
答案：①③④ 根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
8.
答案：①②③⑤ 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
9.
答案：分析：根据全称命题与存在性命题的真假法则判断．
解：(1)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题；
(2)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．
10.
答案：分析：要使命题p(x)：为真命题，就是要使x的取值满足，只需解不等式即可．
解：由得x(2x＋1)≥0且2x＋1≠0，
解得x≥0或，
故x的取值范围为.1.2.1“且”与“或”
课后训练
1．下列命题中不是“p∧q”形式的命题是( )
A．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象一定过(0,1)
B．＋3和－3是方程x2－9＝0的实数根
C．1不是质数且不是合数
D．正方形的四条边相等且四个角相等
2．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
3．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是( )
A．x＝0且y＝0
B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0
D．x≠0或y≠0
4．以下判断正确的是( )
A．命题“p∨q”是真命题时，命题p一定是真命题
B．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是真命题时，命题“p∨q”一定是真命题
5．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
6．命题“n∈R，n≤n”的构成形式是__________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
7．命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是__________，组成该命题的两个命题是__________________，__________________.
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知c＞0且c≠1，设命题p：函数y＝x2＋cx＋1的图象与x轴有两个交点；q：当x＞1时，函数y＝logcx＞0恒成立．如果p∨q为假，求c的取值范围．
10．已知命题p：函数y＝x2＋mx＋1在区间(－1，＋∞)上是单调增函数；q：函数y＝4x2＋4(m－2)＋1的函数值恒大于零．若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：B 选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
3.
答案：A 因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
4.
答案：D 利用真值表可以判断选项D正确．
5.
答案：C 因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
6.
答案：p∨q 真
7.
答案：p∧q 所有正多边形都有一个内切圆 所有正多边形都有一个外接圆
8.
答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.
答案：分析：先由p，q为真，分别求出c的范围；再由p∨q为假知p，q都假；然后列出关于c的不等式组来解决．
解：若p为真，则Δ＝c2－4＞0(c＞0且c≠1)，
解得c＞2.
若q为真，则c＞1.
因为p∨q为假，所以p，q都为假，
当p为假时，0＜c≤2且c≠1，
当q为假时，0＜c＜1，
所以当p，q都为假时，0＜c＜1，即c的取值范围为(0,1)．
10.
答案：分析：先由p，q为真，分别求出m的取值范围；再由p∧q为假，p∨q为真知，命题p，q一真一假；然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决．
解：若p为真，则，解得m≥2；
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3，
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p，q一真一假．
当p真q假时，得到解得m≥3；
当p假q真时，得到解得1＜m＜2.
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2}．第一章
常用逻辑用语
本章测评
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1下列命题中是全称命题的是( )
A．圆有内接四边形
B.＞
C.＜
D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形
2已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.
其中正确的两个命题的序号是( )
A．①与②
B．③与④
C．②与④
D．①与③
3设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的充分不必要条件是( )
A．|a＋b|≥1
B．|a|≥且|b|≥
C．a≥1
D．b＜－1
5在下列结论中，正确的为( )
A．“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分必要条件
B．“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分非必要条件
C．“p∨q”为真是“p”为假的必要非充分条件
D．“p”为真是“p∧q”为假的必要非充分条件
6命题“至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上”的否定是( )
A．至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上
B．至少有一个点不在函数y＝kx(k≠0)的图象上
C．所有点都在函数y＝kx(k≠0)的图象上
D．所有点都不在函数y＝kx(k≠0)的图象上
7下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
8设有两个命题：①关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；②函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若命题有且只有一个真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(2，)
9
“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
10函数y＝x2＋bx＋c在x∈(0，＋∞)上是单调函数的充要条件是( )
A．b≥0
B．b≤0
C．b＞0
D．b＜0
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11下面命题：
①“x＋y＝5”是“x2－y2－3x＋7y＝10”的充分条件；②“a－b＜0”是“a2－b2＜0”的充分条件；③“a－b＜0”是“a2－b2＜0”的必要条件；④“两个三角形全等”是“两边和夹角对应相等”的充要条件．
其中是真命题的有________．
12给出下面两个命题：
①如果集合P，Q满足P∩Q＝P，则PQ；②已知集合S＝{x|x2－x－2＝0}，集合T＝{x|tx－1＝0}，且TS，则t＝－1，t＝.那么这两个命题的真假情况为________．
13填写下列命题的否定形式：
(1)a＞0，或b≤0.________.
(2)三条直线两两相交．________.
14设全集为U，在下列条件中：
①A∪B＝A；②CUA∩B＝；③CUACUB；④A∪CUB＝U.
能作为BA的充要条件的有________．
15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲未获奖，丙也未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话中有两句是对的，则获奖的歌手是________．
三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(9分)写出下列命题的“p”命题，并判断它们的真假．
(1)p：x，x2＋4x＋4≥0；
(2)p：x，x2－4＝0.
17(10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
18(10分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
19(11分)给出下列命题：
p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2＞0的解集是R，
q：函数y＝lg(2a2－a)x是增函数．
(1)若p∨q为真命题，求a的取值范围．
(2)若p∧q为真命题，求a的取值范围．
参考答案
1解析：A中隐含全称量词“对任意一个”．
答案：A
2解析：①成立．若l⊥α，α∥β则l⊥β.又因为mβ，故l⊥m.②不成立，l与m也可能异面或相交．③成立，若l∥m，l⊥α，则m⊥α.又mβ，则α⊥β.④不成立，举反例即可知α与β可能相交．
答案：D
3解析：∵A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴A≠B.当m∈A时，必有m∈B；而当m∈B时，m∈A不一定成立．
答案：A
4解析：当b＜－1时，显然有|a|＋|b|＞1，反过来则不一定成立．
答案：D
5解析：“p∧q”为真?“p∨q”为真，反之不然，“p∧q”为假?/
“p∨q
”为真，“p
”为假?p为真?p∨q为真，“p∧q
”为假，p可真可假p真．
答案：C
6答案：D
7解析：∵p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d，
∴p
D?/q，q
?p.
对于选项B：pq，qp，p是q的充分不必要条件．
对于选项C：p
q，q
p，p是q的充分不必要条件．
对于选项D：pq，p是q的充要条件．
故选A.
答案：A
8解析：若x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，则－2＜a＜2.若f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则a＜2.若①真②假，则α∈，若①假②真，则a≤－2.故选A.
答案：A
9答案：C
10解析：用特殊值法求解：取b＝0，y＝x2＋c，它在(0，＋∞)显然递增，排除C、D；取c＝0，b＝－2，则y＝x2－2x，则它在[0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，因而在[0，＋∞)上不单调，排除B.
答案：A
11解析：应用定义进行判断．
答案：①④
12解析：①是假命题，它忽略了P＝Q这一特殊情况；②是假命题，它忽略了T＝时，也满足TS，此时t＝0.
答案：①②为假命题
13答案：(1)a≤0，且b＞0 (2)三条直线不都两两相交
14答案：①②③④
15解析：如果乙获奖，则甲、乙、丁所说的都是对的，这与只有两句是对的矛盾，所以乙未获奖．如果丙获奖，则只有甲和丙所说的是对的，符合题意．如果甲获奖，四人说的都是错的，所以甲未获奖．如果丁获奖，则仅有乙一人说的是对的，因此获奖的歌手是丙．
答案：丙
16分析：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定为全称命题．
解：(1)
p：?x，x2＋4x＋4＜0.
因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，
所以“p”命题为假命题；
(2)
p：?x，x2－4≠0， 因当x＝2时，22－4＝0， 所以“p”命题为假命题．
17分析：根据四种命题的定义写出命题，判断真假时应注意命题间的关系．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18分析：先求出方程有两个实根的充要条件．再讨论x2的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件．
解：(1)方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
即?即a≥10或a≤2且a≠1.
设此时方程的两实根为x1、x2，有两个正根的充要条件是
?
即1＜a≤2或a≥10是方程有两个正根的充要条件．
(2)由(1)知当1＜a≤2或a≥10时方程有两个正根，当a＝1时，方程化为3x－4＝0，有一正根x＝，又方程有一正根一负根的充要条件是a＜1，故方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10.
19分析：先求出p为真时，a的取值范围及q为真时a的取值范围，然后再求解(1)(2)两问题．
解：若p为真，则Δ＝(a－1)2－4a2＜0，而3a2＋2a－1＞0，a＞或a＜－1.
若q为真，则2a2－a＞1，a＞1或a＜－.
(1)若p∨q为真命题，则p真q假，或p假q真，或p真q真，设A＝{a|p真}，B＝{a|q真}，
则p∨q为真的范围为A∪B＝{a|a＞或a＜－}．
(2)若p∧q为真，则p真，q真，
则p∧q为真的范围为A∩B＝{a|a＞1或a＜－1}．1.3.2
命题的四种形式
自我小测
1．有下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若a＞1，则ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R”的逆否命题；
③“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．命题a的逆命题是b，命题b的否命题是c，则a与c互为( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．不能确定
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若整数a能被2整除，则a是偶数”的逆命题是：“若整数a是偶数，则a能被2整除”
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0”的逆命题是________________________________________________________________________．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果sin
α＋cos
α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________(填序号)．
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝”是假命题，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
解析：①中命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②中，由ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R知，a＞0，且[－2(a＋1)]2－4a(a－3)＜0，而满足条件的a不存在，故②中命题为假命题．③中命题为真命题．
答案：B
2．解析：设命题a是“若p，则q”，则命题b为“若q，则p”，命题c为“若q，则p”．故a与c互为逆否命题．
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：C
5.
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假，故选C.
答案：C
6.
答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.
答案：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集
8.
解析：命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果sin
α＋cos
α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin
α＋cos
α＝≠，故知其否命题为假命题．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
答案：③④
9.
分析：依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
10.
解：因为A∩B＝是假命题，
所以A∩B≠，设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有
即
解得m≥.
又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．1.3.2
命题的四种形式
课后导练
基础达标
1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的( )
A.逆否命题
B.逆命题
C.否命题
D.原命题
解析：设p为“若A，则B”，则r、s、t分别为“若A，则B”“若B，则A”“若B，则A”，故s是t的否命题.
答案：C
2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是( )
A.若q，则p
B.若p，则q
C.若q，则p
D.p且q
解析：因原命题与逆否命题等价，故选C.
答案：C
3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A.真命题的个数一定是奇数
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D.以上判断均不正确
解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.
答案：B
4.有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“相似三角形的周长相等”的否命题 ③“若b≤0，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题 ④“若A∪B=B，则AB”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案：C
5.用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是( )
A.假设2是有理数
B.假设3是有理数
C.假设2或3是有理数
D.假设2+3是有理数
答案：D
6.命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是___________，逆否命题是___________.
答案：若a＞0,则a＞1 若a≤0,则a≤1.
7.(经典回放)命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
解析：顶点在底面的射影为底面的中心，也就是要求棱锥顶点到正三角形三个顶点的距离相等，所以原命题A的等价命题B是底面为正三角形，且顶点到底面三角形三个顶点距离相等的三棱锥是正三棱锥.
答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等.
8.已知a、b都是实数，命题“若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆否命题是___________
(用“若p则q”的形式写出这一逆否命题)
答案：若a,b全为0,则a+b≤0
9.写出命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.
解：原命题：若a2＞b2,则a＞b.
逆命题：若a＞b,则a2＞b2.
否命题：若a2≤b2,则a≤b.
逆否命题：若a≤b,则a2≤b2.
取a=-1,b=0,有a2＞b2,但a＞b不成立，所以原命题为假，取a=-2,b=-3,有a＞b,但a2＞b2不成立，所以逆命题为假.
根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质,这四种命题全为假命题.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)m＞时，mx2-x+1=0无实根；
(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.
解析：（1）原命题：“若m＞,则mx2-x+1=0无实根”，是真命题；
逆命题：“若mx2-x+1=0无实根，则m＞”,是真命题；
否命题：“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”是真命题；
逆否命题：“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”，是真命题；
（2）原命题：“若abc=0,则a=0或b=0或c=0”，是真命题；
逆命题：“若a=0或b=0或c=0，且abc=0”是真命题；
否命题：“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；（注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”）
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0,”是真命题.
综合运用
11.证明：如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明：如右图，不妨设直线a、b、l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交.
假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.
若l与b相交，这与已知矛盾；
若l与b平行，即l∥b,又a∥b，得l∥a，这与l与a异面相矛盾.
综上可知，l与b是异面直线.
12.求证两条相交直线有且只有一个交点.
证明：假设结论不成立，即有两种可能.
①无交点；②不止一个交点.
①若直线a、b无交点，这与已知矛盾.②若a、b不止一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点只有一条直线相矛盾，综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.
13.判断命题：“若c＞0，则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.
解析：∵c＞0,∴Δ=1+4c＞0
∴y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点,即命题为真
∴其逆否命题也为真
拓展探究
14.(经典回放)已知函数f(x)=ax+(a＞1).
(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
解析：(1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1,且＞0,
∴＞0.
又∵x1+1＞0,x2+1＞0.
∴
=
=
于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数.
（2）设存在x0＜0(x0≠-1),满足f(x0)=0,则,且0＜＜1.
∴0＜-＜1,即＜x0＜2.与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.第一章 常用逻辑用语
单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4)
x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．设p，q是两个命题，则命题“p∨q”为真的充要条件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．q，p中有且只有一个为真
D．p为真，q为假
3．已知p：{1}{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“p”中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．命题p：x∈R，x＋6＞0，则p是( )
A．x∈R，x＋6≥0
B．x∈R，x＋6≤0
C．x∈R，x＋6≥0
D．x∈R，x＋6≤0
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．(2010·广东高考)“”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
7．已知p是r的充分条件，q是r的必要条件，那么p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
9．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＝3”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：x∈R，使x2＋x＋1＜0，则p：x∈R，均有x2＋x＋1≥0
10．下列命题中，真命题是( )
A．m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．“函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是__________．
12．命题“存在x∈R，使得x2－3x＋10＝0”的否定是__________．
13．若命题p：x∈R，x2＋2x＋3＞0，则p：________________.
14．在一次射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，用p，q及逻辑联结词“或”“且”“非”(或∨，∧，)表示下列命题：
两次都击中目标可表示为：__________；
恰好一次击中目标可表示为：__________.
15．下列四个命题：
①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；
②若命题p：x∈R，x2＋x＋1＜0，则p：x∈R，x2＋x＋1≥0；
③若命题“p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④命题“若0＜a＜1，则loga(a＋1)＜loga”是真命题．
其中正确命题的序号是__________(把所有正确的命题序号都填上)．
三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)给出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0都有实根；
(2)q：x∈{三角形}，x是等边三角形．
17．(15分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
答案：B (1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．
2.
答案：A
3.
答案：B
4.
答案：D
5.
答案：B 由幂函数的图象知，x＞0时，图象在第一象限，不在第四象限，故原命题正确，其逆否命题也正确；逆命题：“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，例如：函数y＝x＋1的图象不过第四象限，但它不是幂函数，故其逆命题是假命题，从而其否命题也是假命题．
6.
答案：A ∵当时，Δ＝1－4m＞0，
∴x2＋x＋m＝0有实数解；
当一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解时，Δ＝1－4m≥0，解得.
故“”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分非必要条件．
7.
答案：A 由已知prq，故p是q的充分条件．
8.
答案：A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为，
于是m＝－2.
9.
答案：C 根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3|x|＞0，但|x|＞0x＝3，知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．
10.
答案：A 当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故选A.
11.
答案：c＜0
12.
答案：对任意x∈R，都有x2－3x＋10≠0
13.
答案：x∈R，x2＋2x＋3≤0
14.
答案：p∧q (p∧q)∨(p∧q) “两次都击中目标”即“第一次击中目标且第二次也击中目标”，故“两次都击中目标”可表示为p∧q；“恰好一次击中目标”即“第一次击中目标且第二次没击中，或第一次没击中且第二次击中”，故“恰好一次击中目标”可表示为(p∧q)∨(p∧q)．
15.
答案：②③
16.
答案：分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．
(假命题)q：x∈{三角形}，x不是等边三角形．(假命题)
17.
答案：分析：化简集合，实行等价转化即将条件“分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．
(假命题)q：x∈{三角形}，x不是等边三角形．(假命题)
p是分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．
(假命题)q：x∈{三角形}，x不是等边三角形．(假命题)
q的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件”转化为“AB”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．
解：p：A＝{x||x－2|≤4}＝{x|－2≤x≤6}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m＞0)，
∵分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“p”真假性相反判断真假．
解：p：m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实根．
(假命题)q：x∈{三角形}，x不是等边三角形．(假命题)
p是q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
利用数轴分析可得两等号不能同时成立，
解得m≥5.故m的取值范围为[5，＋∞)．1.2.2“非”（否定）
课后训练
1．命题“2不是质数”的构成形式是( )
A．p∧q
B．p∨q
C．p
D．以上答案都不正确
2．若命题“p”与“p∧q”都是假命题，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题q是真命题，命题p是假命题
3．a，b不全为0是指( )
A．a，b全不为0
B．a，b中至多有一个为0
C．a，b中只有一个不为0
D．a，b中至少有一个为0
4．命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是__________．
5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
6．命题“所有人都晨练”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，”，命题p的否定为命题p，则命题是“______________”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．命题p：0不是自然数，命题q：是无理数，则在命题(1)“p∧q”；(2)“p∨q”；(3)“p”；(4)“q”中，真命题的序号是__________，假命题的序号是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)集合A是集合A∪B的子集；
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin
x.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：有些菱形的对角线不互相垂直
5.
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
6.
答案：有些人不晨练
7.
答案：x∈R， 假 利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，.
当x＞1时，，故知p为假．
8.
答案：(2)(3) (1)(4) 先判断命题p，q的真假，其真假为p假q真；再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法(真值表)进行判断，其中(2)(3)为真，(1)(4)为假．
9.
答案：解：它们的否定及真假如下：
(1)集合A不是集合A∪B的子集；(假)
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)≠sin
x．(假)
10.
答案：分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”，“p∧q”，“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．第一章
常用逻辑用语
测评B
(高考体验卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．
“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是( )
A．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
5．已知命题p：x∈R,2x＜3x；命题q：x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧q
C．p∧q
D．p∧q
6．原命题为“若＜an，n∈N
，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
7．已知命题p：x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则p为( )
A．x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．x＞0，总有(x＋1)ex≤1
D．x≤0，总有(x＋1)ex≤1
8．下列命题中，真命题是( )
A．x0∈R，ex0≤0
B．x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
9．给定两个命题p，q.若p是q的必要而不充分条件，则p是q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．若α∈R，则“α＝0”是sin
α＜cos
α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知p：|x|＜1，q：x2＋x－6＜0，则q是p的__________条件．
12．已知命题p：x∈R，使＝2；命题q：“a＝2”是“函数y＝x2－ax＋3在区间[1，＋∞)上单调递增”的充分但不必要条件．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“(p)∧q”是真命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“p∨(p)”是假命题．
其中正确说法的序号是__________．
13．命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是__________．
14．已知命题
p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是__________．
①p∧q
②p∧q
③p∧q
④p∧q
15．已知p：－1≤x≤5，q：|x|＜a(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：不等式2x2＋x＞2＋ax，对x∈(－∞，－1)恒成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
17．(6分)若“x满足：2x＋p＜0”是“x满足：x2－x－2＞0”的充分条件，求实数p的取值范围．
18．(6分)已知p：≤0，q：(x－m)(x－m＋3)≥0，m∈R，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．(7分)设集合A＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，关于x的不等式(x－2a)(x＋a)＞0的解集为B(其中a＜0)．
(1)求集合B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
参考答案
1.
解析：由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.
故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．
答案：B
2.
解析：当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．
反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．
综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.
答案：D
3.
解析：点(2，－1)在直线l：x＋y－1＝0上，而直线l上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．
答案：A
4.
解析：全称命题的否定为存在性命题，即
若p为“x∈M，q(x)”，
则p为“x∈M，q(x)”，故选C.
答案：C
5.
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
因为h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
所以x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
所以x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.
答案：B
6.
解析：由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an，
所以当＜an时，必有an＋1＜an，
则{an}是递减数列；
反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，
从而有＜an.
所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均为真命题，故选A.
答案：A
7.
解析：由全称命题x∈M，p(x)的否定为x0∈M，p(x)，可得p：x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1.故选B.
答案：B
8.
解析：因为a＞1＞0，b＞1＞0，所以由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1ab＞1.
答案：D
9.
解析：由题意：qp，pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于p所以p是q的充分而不必要条件．故选A.
答案：A
10.
解析：当α＝0时，sin
α＜cos
α成立；若sin
α＜cos
α，α可取等值，所以“α＝0”是“sin
α＜cos
α”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
11.
解析：因为p：|x|＜1，即－1＜x＜1，而q：x2＋x－6＜0中，－3＜x＜2，所以q是p的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12.
解析：对于命题p：＝2，则x2＋3＝2，两边平方得x4＋6x2＋9＝4x2＋8，即x4＋2x2＋1＝0，(x2＋1)2＝0不成立，故而p为假；对于命题q，若a＝2，则函数y＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上单调递增成立；反之不成立，故而q为真，所以p∧q为假，(p)∧q为真，所以正确说法序号为②③④.
答案：②③④
13.
解析：全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0.
答案：x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0
14.
解析：由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，所以p为假，q为真．所以p∧q为真，p∧q为假，p∧q为假，p∧q为假．
答案：①
15.
解析：易知q：－a＜x＜a.
又因为p是q的充分不必要条件，
所以所以a＞5.
答案：a＞5
16.
解：若p真，则Δ＜0，且a＞0，故a＞2；
若q真，则a＞2x－＋1，对x∈(－∞，－1)恒成立，y＝2x－＋1在(－∞，－1]上是增函数，ymin＝1，此时x＝－1，故a≥1.
“p∨q”为真，“p∧q”为假，等价于p，q一真一假，故1≤a≤2.
17.
解：由2x＋p＜0，得x＜－，令A＝.
由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，
令B＝{x|x＞2，或x＜－1}．
由题意，知AB，即－≤－1，即p≥2.
故实数p的取值范围是[2，＋∞)．
18.
解：对于p：≤0，得所以－1＜x≤1.
对于q：(x－m)(x－m＋3)≥0，m∈R，
得x≥m或x≤m－3.
又因为p是q的充分不必要条件，所以pq，qp.
所以m－3≥1或m≤－1，所以m≥4或m≤－1.
故实数m的取值范围是m≥4或m≤－1.
19.
解：(1)因为a＜0，所以2a＜－a，所以B＝{x|x＜2a，或x＞－a}＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)．
(2)由(1)知p：RA＝(－2,3)，q：RB＝[2a，－a]．
由p是q的充分不必要条件知RARB，
故解得a≤－3，
所以a的取值范围为(－∞，－3]．1.3.1
推出与充分条件、必要条件
自我小测
1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
3．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β.p：a与b无公共点；q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
7．a＝0是直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．设p：关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相同，q：＝＝，则q是p的__________条件．
10．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11．设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析p：a＞2，且b＞1是q：两根α，β均大于1的什么条件．
12．若方程x2－mx＋3m－2＝0的两根x1，x2满足：1＜x1＜8,1＜x2＜8，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
解析：因为x2＋(y－2)2＝0，即x＝0，且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：A
2.
解析：函数f(x)的对称轴为x＝－，于是－＝1m＝－2.
答案：A
3.
解析：由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos
2α＝.
由cos
2α＝，得2α＝2kπ±(k∈Z)，
所以α＝kπ±(k∈Z)．
由cos
2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)，故选A.
答案：A
4.
解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1，且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
5.
解析：α∥βα，β无公共点a，b无公共点；a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即不能推出α∥β，则p是q的必要不充分条件．
答案：B
6.
答案：C
7.
解析：判定直线与直线平行的必要条件时要分a＝0与a≠0两种情况．
(1)因为a＝0，所以l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0.
所以l1∥l2，即a＝0l1∥l2；
(2)若l1∥l2，
当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－，
所以＝，无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
答案：充要
8.
解析：a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9.
解析：条件判定时，不一定非是充分或必要条件，因此情况有4种．
当＝＝＝－1，即a1＝－a2，b1＝－b2，c1＝－c2时，a1x2＋b1x＋c1＞0a2x2＋b2x＋c2＜0，所以解集不同，即qp；
当a1＝a2＝0时，b1＝2，c1＝4，b2＝4，c2＝8，解集相同，但无意义，即pq.
答案：既不充分也不必要
10.
分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，得关于a的不等式，求解即可．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，q：B＝{x||x|＜a}，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使B?A，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
11.
解：由韦达定理，得α＋β＝a，αβ＝b.
先看由q是否推出p，因为α＞1，且β＞1，
所以a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，即由qp；
再看由p是否推出q，不妨取α＝4，β＝，a＝α＋β＝4＋＞2，b＝αβ＝4×＝2＞1，但q不成立，即pq.
所以a＞2，且b＞1是α＞1，且β＞1的必要不充分条件．
12.
解：令f(x)＝x2－mx＋3m－2.
由题意，根的分布的图象如图中的抛物线①所示，则f(x)满足：图象与x轴有交点，所以Δ≥0.
又由图象可知f(1)＞0，且f(8)＞0；而仅满足这些，原方程的两根不一定在1到8之间，如图中的抛物线②.因此还必须有对称轴x＝落在1到8之间．而反过来，满足“Δ≥0，且f(1)＞0，f(8)＞0,1＜＜8”的抛物线与x轴必有交点且交点在1到8之间．
所以方程f(x)＝0的两根在1到8之间的充要条件是
即
解得6＋2≤m＜.
故所求的m的取值范围是6＋2≤m＜.1.2.1“且”与“或”
自我小测
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
2．下列命题为假命题的是( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0，且y＝0
3．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
4．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的点P(x，y)可能是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
5．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0，且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，那么函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )
A．“p∧q”为真
B．“p∨q”为假
C．p真q假
D．p假q真
6．“3≥3”是__________形式的命题，它是__________命题(填“真”或“假”)．
7．设命题p：3≥2，q：3∈[2，＋∞)，则命题“p∨q”“p∧q”中，真命题是__________．
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知命题p：x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1＞0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
10．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
参考答案
1.
解析：选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
答案：B
2.
解析：选项A是由“3是7的约数”与“3是9的约数”构成的“或”命题，其中“3是9的约数”为真，故是真命题；B为真命题；C是由“菱形的对角线相等”与“菱形的对角线互相垂直”构成的“且”命题，其中，“菱形的对角线相等”为假，故是假命题；D为真命题．
答案：C
3.
解析：因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
答案：C
4.
解析：由解得或
答案：C
5.
解析：命题p显然为真，而对命题q，当函数y＝f(x－3)关于原点对称时，函数y＝f(x)的图象应关于点(－3,0)对称，所以为假．
答案：C
6.
答案：p∨q 真
7.
答案：p∨q，p∧q
8.
答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.
解：因为p∧q为真命题，所以命题p，q都为真命题．
由p是真命题，得m≤x2在[1,2]上恒成立．
因为x∈[1,2]，所以m≤1.
由q是真命题，得Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以－2＜m≤1，
即所求实数m的取值范围是(－2,1]．
10.
解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p真q假或p假q真．
①若p真，且q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于相异两点，则a∈.
②若p假，且q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点，则a∈.
综上所述，a的取值范围为∪.1.2.2“非”（否定）
课堂探究
探究一“p”形式的命题及其真假判断
“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．UA＝{x∈U|(x∈A)}＝{x∈U|xA}．
“p”与“p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有(p)＝p.
【典型例题1】
写出下列命题p的否定，并判断其真假：
(1)p：周期函数都是三角函数；
(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；
(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.
思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．
解：(1)p：周期函数不都是三角函数．
命题p是假命题，p是真命题．
(2)p：偶函数的图象不关于y轴对称，
命题p是真命题，p是假命题．
(3)p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.
命题p是真命题，p是假命题．
规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
探究二
存在性命题与全称命题的否定
解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“p(x)成立”．
【典型例题2】
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2＋1＜0；
(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；
(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；
(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．
思路分析：命题p，r是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．
命题q，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．
解：(1)
p：x∈R，x2＋1≥0.(真)
(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)
(3)r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)
(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)
探究三易错辨析
易错点 否定不全面
【典型例题3】
若“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是__________．
错解：由于“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，则其否定“x∈，sin
x＋cos
x＞m”为真命题．
令f(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin，x∈，可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，且f(0)＝，f＝1，所以f(x)min＝1.故有m＜1，即实数m的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
错因分析：原命题的否定应为“x∈，sin
x＋cos
x≥m”，漏掉了等号成立的情况，导致m的范围被缩小．
正解：令f(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin，x∈，
可知f(x)在上为增函数，在上为减函数．
由于f(0)＝，f＝2，f＝1，
所以1≤f(x)≤2.
由于“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，
则其否定“x∈，sin
x＋cos
x≥m”为真命题，
所以m≤f(x)min＝1.
答案：(－∞，1]1.2.1“且”与“或”
课堂探究
探究一“p∧q”形式的命题及其真假的判定
判断“p∧q”命题真假的方法是：如果p，q都是真命题，则命题p∧q是真的；如果p，q中至少有一个是假命题，则命题p∧q是假的，因此要先判断每一个命题的真假，再利用真值表来判断．
【典型例题1】
分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数；
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等；
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是方程x＋1＝0的根．
思路分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
探究二“p∨q”形式的命题及其真假判定
判断“p∨q”命题真假的方法是：当两个命题p，q中至少有一个是真命题时，p∨q就为真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q为假．
【典型例题2】
将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假：
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：正弦函数是奇函数，q：正弦函数是增函数．
解：(1)p∨q：9是奇数或9是素数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
(2)p∨q：正弦函数是奇函数或是增函数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
探究三
应用逻辑联结词求参数的范围
含有逻辑联结词的命题p∧q，p∨q的真假可以用真值表来判断；反之，根据命题p∨q，p∧q的真假也可以判断命题p，q的真假．
【典型例题3】
已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
思路分析：这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．它可以先利用命题知识判定p，q的真假，再求m值，也可以先化简p，q的范围，再利用命题知识求解．
解：p：
解得m＞2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假，或p为假，q为真．
即
或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
规律小结
应用逻辑联结词求参数范围的步骤第一章
常用逻辑用语
本章检测
（时间120分钟,满分150分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1.命题“若A?B，则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A.0
B.2
C.3
D.4
答案：B
2.在下列结论中，正确的结论为( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件 ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件 ③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件 ④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
解析：利用p∧q、p∨q,p之间的关系.
答案：B
3.已知命题p：若实数x、y满足x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则.给出下列四个命题：①p∧q；②p∨q；③p；④q.其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
4.下列全称命题为真命题的是( )
A.所有的素数是奇数
B.x∈R,x2+1≥1
C.对每一个无理数x，x2也是无理数
D.所有的平行向量均相等
答案：B
5.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p：能被3整除的整数是奇数，p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B.p：每一个四边形的四个顶点共圆；p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C.p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形都不是正三角形
D.p：x∈R，x2+2x+2≤0；p：当x2+2x+2＞0时，x∈R
答案：D
6.设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且lα，mβ，有如下两个命题：①若a∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么( )
A.①是真命题，②是假命题
B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题
D.①②都是假命题
解析：本题考查线面的位置关系，是一道基础题，易判断①②都是假命题，故选D.
答案：D
7.证明命题“如果a＞b，那么”的逆否命题时，条件应是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
8.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：依题意有pr,rs,sq,∴prsq.但由于rp,∴qp.
答案：A
9.给出下列三个命题，其中假命题的个数为( )
①若a≥b＞-1，则 ②若正整数m和n满足m≤n，则 ③设P(x1,y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1，当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：本题共给出三个命题，要求确定假命题的个数，涉及到的知识点是不等式性质、有关不等式的定理以及解析几何中圆的位置关系等.对命题①，在a≥b＞-1,∴a+1≥b+1＞0,∴≥0,结论正确，对②，∵正整数m、n满足m≤n,∴,也是正确的，对③，圆O1上的点到O2的圆心距离为1，两圆不一定相切.
答案：B
10.(2006福建高考，理7文10)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( )
A.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若m?α，n∥α，则m∥n
D.若m、n与α所成的角相等，则m∥n
解析：A错，因为n可能为a上的一直线.
B错，因为平行于同一平面的两直线可能平行，可能相交，也可能异面.
D错，和同一平面所成角相等的两直线可能平行、异面、相交.
答案：C
11.设集合A、B是全集U的两个子集，则A?B是(UA)∪B=U的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：AB（UA）∪B=U.反之，（UA）∪B=UAB，（UA）∪B=U也成立，故选A.
答案：A
12.已知命题p：函数y=loga(ax+2a)(a＞0且a≠1)的图象必过定点(-1,1)；命题q：如果函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，那么函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )
A.“p且q”为真
B.“p或q”为假
C.p真q假
D.p假q真
解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.
由于p真，q假（可举反例y=x+3）,因此正确答案为C.
答案：C
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的_________.
解析：当a=3时，l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,
∴l1∥l2,反之若l1∥l2，则a(a-1)=6,即a=3或a=-2,但a=-2时，l1与l2重合.
答案：充要条件
14.“相似三角形的面积相等”的否命题是，它的否定是_________.
答案：若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 相似三角形的面积不一定相等
15.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是_________.(把符合要求的命题序号都填上)
解析：我们熟知原命题为真，其逆命题不一定为真，故须将逆命题写出来再做定论.①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，此命题为假.②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，由异面直线的定义知此命题为真.故答案为②.
答案：②
16.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于_______对称，则函数g(x)=
_______.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
解析：本题考查两函数的对称性、函数解析式的求法等，答案不唯一.
答案：①x轴，-3-log2x;或②y轴，3+log2(-x)；或③原点，-3-log2(-x)；或④直线y=x,等.
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)写出下列命题的非(否定)：
(1)满足条件C的点都在直线l上；
(2)线段AB与CD平行且相等；
(3)设集合M={1，2，3，4}，n是质数，n∈M.
答案：（1）满足条件C的点不都在直线l上.
（2）线段AB与CD不平行或不相等.
（3）设集合M={1,2,3,4},n是质数，nM.
18.(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
(1)若a=b，则a2=b2；
(2)若|2x+1|≥1，则x2+x＞0；
(3)若△ABC≌△PQR，则S△ABC=S△PQR.
解析：（1）的逆命题为：若a2=b2，则a=b.该命题是假命题，否命题为：若a≠b,则a2≠b2,该命题是假命题.逆否命题为：若a2≠b2,则a≠b.该命题是真命题.
（2）的逆命题为：或x2+x＞0,则|2x+1|≥1.这是真命题.否命题为：若|2x+1|＜1,则x2+x≤0.这是真命题.逆否命题为：若x2+x≤0，则|2x+1|＜1.这是假命题.
（3）的逆命题为：若S△ABC=S△PQR，则△ABC≌△PQR.这是假命题.否命题为：若△ABC与△PQR不全等，则S△ABC≠S△PQR.这是假命题.逆否命题为：若S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△PQR不全等.这是真命题.
19.(12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：A＞B，q：BC＞AC；
(2)p：a=3，q：(a+2)(a-3)=0；
(3)p：a＜b，q：＜1.
解：（1）在△ABC中，A＞BBC＞AC，∴p是q的充要条件.
（2）a=3(a+2)(a-3)=0,(a+2)(a-3)=0a=3，所以p是q的充分不必要条件.
（3）a＜b＜1,＜1/a＜b,
所以p是q的既不充分也不必要条件.
20.(12分)在直角坐标系中，求点(2x+3-x2，)在第四象限的充要条件.
解：该点在第四象限-1＜x＜或2＜x＜3,
所以该点在第四象限的充要条件是-1＜x＜或2＜x＜3.
21.(12分)已知p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1≤m2(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的范围.
解：由|4-x|≤6,得-2≤x≤10,所以p:x＜-2或x＞10.由x2-2x+1≤m2，得1-m≤x≤1+m(m＞0)，所以q：x＞1+m或x＜1-m(m＞0).因为p是q的充分不必要条件，所以AB，结合数轴有m＞0,1+m≤10且1-m≥-2.解得0＜m≤3.
点评：本题p是q的充分不必要条件，求实数m，还可用它的等价命题，q是p的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.
22.(14分)已知：命题p：f-1(x)是f(x)=1-3x的反函数，且|f-1(a)|＜2.命题q：集合A={x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=.求实数a的取值范围，使命题p、q中有且只有一个为真命题.
解：因为f(x)=1-3x,所以f-1（x）=.
由|f-1(a)|＜2得||＜2,解得-5＜a＜7.
设x2+(a+2)x+1=0的判别式为Δ，当Δ＜0时，A=，此时Δ=（a+2）2-4＜0,-4＜a＜0;
当Δ≥0时，由A∩B=，得
解得a≥0,综上，a＞-4.
(1)要使p真q假，则
解得-5＜a≤-4.
(2)要使p假q真，则解得a≥7.
所以当a的取值范围是（-5，-4］∪［7，+∞）时，命题p、q中有且只有一个为真命题.
导学乐园
袋鼠与笼子
一天动物园管理员发现袋鼠从笼子里跑出来了，于是开会讨论，一致认为是笼子的高度过低。所以他们决定将笼子的高度由原来的10米加高到20米。结果第二天他们发现袋鼠还是跑到外面来，所以他们又决定再将高度加高到30米。
没想到隔天居然又看到袋鼠全跑到外面，于是管理员们大为紧张，决定一不做二不休，将笼子的高度加高到100米。一天长颈鹿和几只袋鼠们在闲聊，“你们看，这些人会不会再继续加高你们的笼子？”长颈鹿问。
“很难说。”袋鼠说：“如果他们再继续忘记关门的话！”
心得：事有“本末”、“轻重”、“缓急”，关门是本，加高笼子是末，舍本而逐末，当然就不得要领了。管理是什么？管理就是先分析事情的主要矛盾和次要矛盾，认清事情的“本末”、“轻重”、“缓急”，然后从重要的方面下手。1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要
B．既不充分也不必要
C．必要不充分
D．充要
5．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，①
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
参考答案
1.
答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2.
答案：C
3.
答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1＝k2.故选B.
4.
答案：A
5.
答案：C 因{an}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{an}是递增数列，数列{an}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{an}是递增数列的充要条件．
6.
答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
7.
答案：必要不充分
8.
答案：充分不必要 a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
9.
答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，最后利用数轴分析，得关于a的不等式求解．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，
∵p是q的必要不充分条件，∴BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10.
答案：分析：方程①②的根都是整数即方程①②有实数根且为整数，因此先求出方程①②有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．
解：方程①有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，
方程②有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，
所以①②同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程①无整数根；
当m＝0时，方程①②都有整数根；
当m＝1时，方程②无整数根．
综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝0.1.1.2
量词
课后导练
基础达标
1.下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
2.下列存在性命题中真命题的个数是( )
①?x∈R,x≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数 ③x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
3.下列全称命题中假命题的个数是( )
①2x+1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x＞3 ③对任意一个x∈Z，2x2+1为奇数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
4.下列命题为存在性命题的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案：D
5.下列命题正确的是( )
A.对于实数q＜1，方程x2+2x+q=0有实数根
B.有一个实数大于0且小于0
C.不存在一个实数其相反数是它本身
D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形
答案：A
6.(1)命题“x∈R,x2-x+3＞0”的否定是_______.
(2)命题“x∈R,x2+1＜0”的否定是_______.
答案：(1)?x∈R,x2-x+3≤0 (2)x∈R,x2+1≥0
7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_______.
答案：x∈{x|x是有理数}，x2∈{x|x是有理数}
8.下列叙述正确的命题序号是_______.
①x,y∈N，如果+y2=0，则x=0∧y=0；②设P(x)：2x＞x2，则P(4)是真命题；③“每一个向量都有方向”是命题；④若P(x)：sinx＞cosx为真命题，则x∈(,).
解析：①中由+y2=0x=0且y=0,正确.
②中P（4）：24＞43错误.
③正确.
④中x的范围是（2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
答案：①③
9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0；
(2)存在一对实数，使2x+3y+3＜0成立；
(3)勾股定理.
解：（1）x∈R,x2≥0.
(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.
(3)以a、b、c为三条边，c为斜边的直角三角形，a2+b2=c2
.
10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？判断它的真假.
解析：是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°,这与内角和定理矛盾，原命题为真.
11.命题“存在实数k＜0，使方程x2+(2k+1)x+k=0有两相异实根”是存在性命题吗？判断其真假.
解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k+1)2-4k=4k2+1＞0恒成立.
12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解：∵f(x)的图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1,
故有a+b+c=1.
∴b=,c=-a.
∴f(x)=ax2+x+-a,故应x≤ax2+
x+-a≤对一切x∈R成立.
即
∴a=.∴c=-a=.
∴存在一组常数：a=,b=,c=.
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
13.(2005辽宁高考，7)在R上定义运算：xy=x(1-y)，若不等式(x-a)(x+a)＜1对x∈R成立，求a的取值范围.
解析：（x-a)(x+a)＜1
(x-a)［1-(x+a)］＜1
-x2+x+a2-a-1＜0
x2-x-a2+a+1＞0.
∵不等式对任意实数x成立，
∴Δ=1-4(-a2+a+1)＜0,
∴-＜a＜.
14.(经典回放)已知a＞0，函数f(x)=ax-bx2.
(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2;
(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.
证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,
∵f(x)=-b(x-)2+,
∴f()=
≤1.
又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.
（2）必要性：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≥-1,
∴f(1)≥-1，即a-b≥-1.∴a≥b-1.
对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≤1,
∵b＞1,可以推出f(）≤1,即a·-1≤1.
∴a≤2.
∴b-1≤a≤2.
充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1.
∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,即ax-bx3≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.1.3.2
命题的四种形式
课后训练
1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )
A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角
B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角
D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
3．下列说法正确的是( )
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真
C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真
D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真
4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
5．下列命题中，是真命题的为( )
A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题
B．“正方形的四条边相等”的逆命题
C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果sin
α＋cos
α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________．
9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．
10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．
4.
答案：B
5.
答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．
6.
答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.
答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真
8.
答案：③④ 命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果sin
α＋cos
α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin
α＋cos
α＝，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
9.
答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．
解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
10.
答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)1.1
命题与量词
自我小测
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列4个命题中，设U为全集，则假命题是( )
A．若A∩B＝，则(UA)∪(UB)＝U
B．若A∩B＝，则A＝B＝
C．若A∪B＝U，则(UA)∩(UB)＝
D．若A∪B＝，则A＝B＝
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β.给出下列4个命题，其中真命题的个数是( )
①若l∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中全称命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
6．命题：①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________(填序号)．
7．下列命题中，是真命题的是__________(填序号)．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式＜0的解集为空集．
8．已知p(x)：x2－2x－m＞0，如果p(1)不成立，p(2)成立，则实数m的取值范围是__________．
9．用符号“”与“”表示下列命题，并判断其真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0.
10．求使命题p(x)：≥0为真命题的x的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
解析：A∩B＝只说明A与B无公共元素，如U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{3,4}，此时A与B都不是，故B错误．
答案：B
3.
解析：①中，l∥β，m β，l与m平行或异面，故①错；
②中，l⊥m，m β，无法确定l与β的位置关系，故α与β不一定平行，所以②错误；
③中，l与m可平行、相交、异面，故③错误；
④中，l∥m，l⊥α，则m⊥α，又因为m β，所以α⊥β，正确．
答案：A
4.
解析：由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
答案：D
5.
答案：B
6.
解析：根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
答案：①③④
7.
解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
答案：①②③⑤
8.
解析：若p(1)不成立，则1－2－m≤0，所以m≥－1，
若p(2)成立，则22－2×2－m＞0，所以m＜0，
故－1≤m＜0.
答案：[－1,0)
9.
解：(1)
m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，故该命题为假命题．
(2)
x∈R，使x2＋x＋1≤0.
因为x2＋x＋1＝2＋＞0，故该命题为假命题．
10.
分析：要使命题p(x)：≥0为真命题，就是要使x的取值满足≥0，只需解不等式≥0即可．
解：由≥0得x(2x＋1)≥0，且2x＋1≠0，
解得x≥0或x＜－，
故x的取值范围为.1.3.2
命题的四种形式
课堂探究
探究一
四种命题及其真假的判断
写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断命题的真假时，要借助：原命题与逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假．
【典型例题1】
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc；
(3)若x＞9，则x＞0.
思路分析：先分清各命题的条件和结论，再根据定义写出即可．
解：(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0；假命题．
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0无实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0无实数根，则mn≥0；真命题．
(2)逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b；真命题．
否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc；真命题．
逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b；真命题．
(3)逆命题：若x＞0，则x＞9；假命题．
否命题：若x≤9，则x≤0；假命题．
逆否命题：若x≤0，则x≤9；真命题．
探究二
命题的否定与否命题
命题的否定一般来说只否定命题的结论，而否命题则既要否定条件又要否定结论．
【典型例题2】
写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假．
(1)若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
解：(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
命题的否定：若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．假命题．
命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数．真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零．真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a，b，c全不为零，假命题．
探究三
等价命题及其应用
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有难度时，可以转化为证明其逆否命题的真假性，以间接地证明原命题的真假．
【典型例题3】
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
思路分析：判断原命题的逆否命题的真假，可以先写出逆否命题，然后判断，也可以利用“互为逆否命题的两个命题的真假性相同”来直接判断原命题的真假．
解：因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7≥0，
所以a≥≥1.
所以原命题是真命题．
由原命题和它的逆否命题等价，故它的逆否命题为真命题．
点评
在判断命题的真假时，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，再由等价命题的真假来确定原命题的真假．1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课堂探究
探究一
充分条件、必要条件的判断
要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
【典型例题1】
在下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．
解：(1)因为x－2＝0
(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为pq，
而qp，
所以p是q的充分不必要条件．
探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围
解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．
【典型例题2】
已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．
解：令命题p对应的集合为A，
命题q对应的集合为B，
由x2－8x－20＜0，
得(x－10)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜10，
所以A＝{x|－2＜x＜10}．
又由x2－2x＋1－m2＜0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，
因为m＞0，
所以1－m＜x＜1＋m，
所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．
因为q是p的充分不必要条件，
所以BA.
所以且两等号不能同时成立．
解得0＜m≤3.
经检验知m＝3时符合题意．
所以m的取值范围是(0,3]．
规律小结
用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：
首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
探究三
充要条件的证明与探求
要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：
(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；
(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．
【典型例题3】
已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．
证明：先证必要性：
因为a＋b＝1，即b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0，且b≠0，
所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【典型例题4】
求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．
解：①a＝0时，方程有一个负实根．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号的实根，则a＜0；
若方程有两个负实根，则
解得0＜a≤1.
综上知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，
若a≤1，则方程至少有一个负实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
点评
若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．
探究四
易错辨析
易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价
【典型例题5】
已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件AB”，而错解用了“p是q的充分条件AB”，导致丢掉等号的错误．
正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即AB，
故2a≥6，即a≥3，所以a的取值范围为a≥3.1.1
命题与量词
课后导练
基础达标
1.下列语句中能作为命题的一句是( )
A.3比5大
B.太阳和月亮
C.高一年级的学生
D.x2+y2=0
解析：紧扣命题的概念，逐一对四个选择项给出的语句进行判断，对开语句可以直接否认.一般语句主要从是否能判断其真假的角度来进行分析.
由于可以明确地肯定，3比5大这一语句为假，根据命题的概念，故选?A?.
答案：A
2.下列语句中不是命题的是( )
A.台湾是中国的领土
B.两军相遇勇者胜
C.上海是中国最大的城市
D.连接A、B两点
解析：D是描述性语句.
答案：D
3.若A、B是两个集合，则下列命题中的真命题是( )
A.如果AB，那么A∩B=A
B.如果A∩B=A，那么(UA)∩B=
C.如果AB，那么A∪B=A
D.如果A∪B=A，那么AB
解析：可用文氏图进行解答.
答案：A
4.下列命题中是假命题的是( )
A.若a·b=0，则a⊥b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若ac2＞bc2，则a＞b
D.a2+b2≥2ab
答案：B
5.设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c=(c·a)b；②|a|-|b|＜|a-b|；③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直；④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知｜a｜、｜b｜、｜a-b｜恰为一个三角形的三条边长.由“两边之差小于第三边”.故②真；
③因为［(b·c)a-(c·a)b］·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=0.所以垂直.故③假；
④（3a+2b)(3a-2b)=9·a·a-4b·b=9｜a｜2-4｜b｜2成立.故④真.
答案：D
6.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”，条件p：_________，结论q：_________，是_________命题(填真、假).
答案：一元二次方程ax2+bx+c=0；有两个不相等的实根；假
7.(2004湖北高考，理)设A、B为两个集合，下列四个命题：①AB对任意x∈A，有x∈B;②ABA∩B=；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB.其中真命题的序号是___________.(把符合要求的命题的序号都填上)
解：依据A?B的定义.
答案：④
8.设U为全集，下面三个命题中真命题的序号为.
①若A∩B=，则（UA）∪（UB）=U ②若A∪B=U,则（UA）∩（UB）= ③若A∪B=，则A=B=
答案：①②③
9.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除；
(3)方程x2-x+1=0有两个实根；
(4)“6是12和24的公约数”.
答案：
（1）若n(n≥3)边形是正多边形.则它的n个内角全相等.真命题.
(2)若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除.真命题.
(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.
(4)若6是12和24的约数，则是12和24的公约数.真命题.
10.设有两个命题：p：不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R；q：函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围.
解析：若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7-3m＞1，所以m＜2.若p真q假，则m∈?.若p假q真，则1＜m＜2.
综上所述，1＜m＜2.
综合运用
11.(1)已知下面命题是真命题，求a、b满足的条件.
ax2+bx+1=0有解
(2)已知下面命题是假命题，求a满足的条件.
若x1＜x2＜0则
解析：（1）当a=0,b≠0时；方程ax2+bx+1=0有解.当a≠0,b2-4a≥0时，方程ax2+bx+1=0有解.
∴a=0时，b≠0;
a≠0时，b2-4a≥0.
（2）由题意得a>0
12.把下列命题改写为“若p，则q”的形式
(1)负数的平方是正数
(2)菱形的两条对角线互相垂直
(3)方程x2-2x+1=0的解是x=1
解析：（1）若一个数是负数，则它的平方是正数.（2）若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直.
(3)若x2-2x+1=0，则x=1
13.判断下列命题真假并说明理由：
(1)合数一定是偶数
(2)设a·b＞0且a+b＞0则a＞0且b＞0
解析：（1）假命题，例如9是合数，但不是偶数.(2)真命题∵a·b＞0,∴a、b同号，又a+b＞0,∴a、b不能同负，故a、b只能同正.
拓展探究
14.某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现知道以下两个事实：
①这100人中，至少有1名是诚实的
②其中任何两人中，至少有1名是虚伪的
请判断有多少名诚实的？多少名虚伪的？
解析：既然参加会议的人至少有一名是诚实的，就让这名诚实的人都与其余99人每人组成一对，根据“任何两人中至少有一名是虚伪的”可以推知剩下的99人都是虚伪的.
结论：1名诚实的，99名虚伪的.
