第二章
圆锥曲线与方程
测评B
(高考体验卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
2．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C．1
D.
5．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
6．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2
B．2
C.
D．1
7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m＞
B．m≥1
C．m＞1
D．m＞2
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．
12．双曲线－＝1的离心率为__________．
13．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________．
14．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.
15．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
17．(6分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
18．(6分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．
19．(7分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．
参考答案
1.
解析：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.
答案：A
2.
解析：∵0＜k＜5，
∴5－k＞0,16－k＞0，
∴对于双曲线－＝1，实轴长为8，虚轴长为，焦距为＝；对于双曲线－＝1，实轴长为，虚轴长为，焦距为＝，因此两双曲线的焦距相等，故选D.
答案：D
3.
解析：因为e＝，所以＝，即＝.
因为c2＝a2＋b2，所以＝.所以＝.
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以渐近线方程为y＝±x.故选C.
答案：C
4.
解析：x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，顶点坐标为(±1,0)，点(±1,0)到y＝±x的距离为＝＝.
答案：B
5.
解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.
又离心率等于，则＝，得a＝2.
由b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
6.
解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－y＝0的距离d＝＝1.故选D.
答案：D
7.
解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
由tan
30°＝＝＝，得x＝c.
而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，
所以a＝x＝c，所以e＝＝＝.
答案：D
8.
解析：如图，|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2，
由椭圆定义得|AF1|＝2a－.①
在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22.②
由①②得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1，应选C.
答案：C
9.
解析：如图所示，根据余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6，又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5.又根据椭圆的对称性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，所以a＝7，|OF|＝5＝c，所以离心率为，故选B.
答案：B
10.
解析：该双曲线离心率e＝，由已知＞，故m＞1，故选C.
答案：C
11.
解析：如图所示，
因为PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，
可得|PF2|＝c.
由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，
由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得
4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0，
即e2－2e－2＝0，
所以e＝，所以e＝1＋.
答案：＋1
12.
解析：在双曲线－＝1中，a＝4，b＝3，
则c＝＝5，所以e＝＝.
答案：
13.
解析：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点．
又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|.
∴|AF1|＝2|AF2|.
设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|＝n.
∴e＝＝＝＝.
答案：
14.
解析：
如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知|AN|＝2|PF1|.
同理可得可知|BN|＝2|PF2|.
∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．
根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|AN|＋|BN|＝12.
答案：12
15.
解析：抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
16.
解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，
整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
从而|x1－x2|＝4.
由
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|
＝
＝8
＝.
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t＞0时，|MN|＝＞.
当t＜0时，|MN|＝≥.
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.
17.
(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝，
化简得＋＝1，
∴动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)解法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，
有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，
由求根公式得，x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又∵A是PB的中点，故x2＝2x1，③
将③代入①，②得x1＝－，x21＝，
可得eq
\b\lc\(\rc\)()2＝，且k2＞，
解得k＝－或k＝，
∴直线m的斜率为－或.
解法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①，②，③，④解得?x2＝2，,y2＝0或?x2＝－2，,y2＝0，
即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，
∴直线m的斜率为－或.
18.
分析：(1)由条件求出|AB|，|F1F2|，用a，b，c表示，结合平方关系，求出离心率e＝的值．
(2)利用(1)中离心率的值，可将椭圆方程中a2，b2用c2表示，设出P点坐标(x0，y0)，表示出，，利用以线段PB为直径的圆过点F1，可得·＝0，得出x0，y0的关系，结合P在椭圆上，解出x0，y0用c表示．从而求出圆心、半径，并用c表示，再利用l与圆相切及|MF2|＝2，结合勾股定理求出c，得椭圆方程．
解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝.
所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．
由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
因为点P在椭圆上，故＋＝1.②
由①和②可得3＋4cx0＝0.
而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，
代入①得y0＝，
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝，故有2＋2＝8＋c2，解得c2＝3.
所以，所求椭圆的方程为＋＝1.
19.
解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．
设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝.
所以b＝2＝.
由
得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.
设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
于是a＝
＝
＝
＝
＝.
从而ab＝
＝
＝
≤＝2.
当且仅当＝，即m＝±时等号成立．
故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，
即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.2.2.1
双曲线及其标准方程
课后训练
1．双曲线的方程为，则它的两焦点坐标是( )
A．(2,0)，(－2,0)
B．(4,0)，(－4,0)
C．(0,2)，(0，－2)
D．(0,4)，(0，－4)
2．方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
4．已知方程ax2－ay2＝b，且ab＜0，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
5．与双曲线共焦点，且过点(，2)的双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
7．已知F是双曲线的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
8．已知双曲线－y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积是__________．
9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且经过点(2，－5)．求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
参考答案
1.
答案：B 因为c2＝a2＋b2＝10＋6＝16，焦点在x轴上，所以两焦点坐标为(4,0)，(－4,0)．
2.
答案：A 因为方程表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
3.
答案：A 由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有，解得m＝1.
4.
答案：C 原方程可变形为，即，可知它表示的是焦点在y轴上的双曲线．
5.
答案：D 由题意知，c2＝16＋4＝20，设所求的双曲线的方程为(a＞0，b＞0)．则a2＋b2＝20，且，解得a2＝12，b2＝8.所以双曲线的标准方程为.
6.
答案： 令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为.
7.
答案：9 设右焦点为F1，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
8.
答案：1 设P为左支上的点，F1为左焦点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
，得r1r2＝2.
∴.
9.
答案：分析：由焦点坐标可知，焦点在y轴上，可设方程为(a＞0，b＞0)，又知c＝6，再把点代入即可求得．
解：设所求的双曲线方程为(a＞0，b＞0)，则有解得故所求的双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：由于不知道焦点在哪个轴上，所以需分两种情况来讨论，然后再把两点代入即可．此题还可以设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，然后再把两点代入即可．
解：解法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为(a＞0，b＞0)．因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，所以解得，b2＝7.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为(a＞0，b＞0)，同理，有解得a2＝－7，，不合题意，舍去．
故所求的双曲线的标准方程为.
解法二：设所求的双曲线方程为Ax2＋By2＝1.
因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，代入上述方程有解得
故所求的双曲线的标准方程为.2.3.2
抛物线的几何性质
课堂探究
探究一
由抛物线的性质求标准方程
确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
【典型例题1】
求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；
(3)抛物线上点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.
思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量．
解：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2)，知4＝－2p1·(－3)或9＝2p2×2，得p1＝，p2＝，故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．
依题意＝6，所以2p＝24.
所以抛物线方程为y2＝±24x.
(3)由已知＝6，
整理得x2＋10x＋9＝0，即(x＋1)(x＋9)＝0，
所以x＝－1或x＝－9.
所以F(－1,0)，p＝2，y2＝－4x；
或F(－9,0)，p＝18，y2＝－36x.
显然，若抛物线为y2＝－36x，则它的准线方程为x＝9.
由抛物线的定义，点A(－5,2)到F(－9,0)的距离是6，而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，矛盾．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.
探究二
抛物线的实际应用
涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．
【典型例题2】
河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5
m时，水面宽为8
m，一条小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？
思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．
解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝1.6.
所以x2＝－3.2y.
当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．
由22＝－3.2yA，得yA＝－.
又知船面露出水面部分为
m，
所以h＝|yA|＋＝2(m)．
答：水面上涨到距抛物线拱顶2
m时，小船不能通航．
探究三
直线与抛物线相交问题
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
【典型例题3】
设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小．
(2)求证：·是一个定值．
思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．
(1)解：依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一：所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝5.
方法二：所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，所以·是一个定值．
【典型例题4】
已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．
解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
由题意知y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由方程组
得ky2－6y－24k＋6＝0.
设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝.
因为P1P2的中点为(4,1)，所以＝2.所以k＝3.
所以所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值，这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．
探究四
易错辨析
易错点 不理解抛物线的标准方程的形式
【典型例题5】
设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解：由y＝mx2(m≠0)可知其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2，解得m＝8，
故所求抛物线的标准方程为y＝8x2.
错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解．
正解：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.2.2.2
双曲线的几何性质
课后训练
1．双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，那么它的离心率为( )
A．
B．
C．2
D．3
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A．
B．
C．
D．
3．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．
B．
C．
D．
4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
7．双曲线的渐近线方程为__________．
8．若双曲线的离心率为2，则k的值是__________．
9．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，)，离心率；
(2)F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，，离心率为2.
10．如图所示，已知F1，F2为双曲线(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
参考答案
1.
答案：B 因为双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，所以4b＝2a＋2c，即a＋c＝2b，再由a2＋b2＝c2即可求得离心率.
2.
答案：B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为.
3.
答案：A 由题意可设双曲线方程为－y2＝k，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为.
4.
答案：A 由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，
故必有|F1F2|＝|PF2|，
即，从而得c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，解之得，
∵e＞1，∴.
5.
答案：D 双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点，一条渐近线3y－mx＝0，由题意知，m＝4.
6.
答案：(4,0)，(－4,0) ∵椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
∴双曲线的焦点坐标也为(4,0)，(－4,0)，
∴c＝4，又，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，
∴双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为，即.
7.
答案： 利用公式可求得渐近线方程为.
8.
答案：－31
9.
答案：解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设为所求．由，得.①
由点P(3，)在双曲线上，得.②
又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，.
若双曲线的焦点在y轴上，设为所求．
同理有，，a2＋b2＝c2.解之，得(舍去)．
故所求双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线的标准方程为，因|F1F2|＝2c，而，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的标准方程为.
10.
答案：分析：由于双曲线的渐近线方程为，故只需求出的值即可，可以通过已知解Rt△F1F2P求得．
解：解法一：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)代入方程得，
∴|PF2|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，
即.
又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝2a2.
∴.
故所求双曲线的渐近线方程为.
解法二：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|.
∴，c2＝3a2＝a2＋b2.
∴2a2＝b2.
∴，
故所求双曲线的渐近线方程为.2.2.1
双曲线及其标准方程
自我小测
1．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4
B．2
C．10
D．与m有关
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16
B．18
C．21
D．26
3．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
4．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
6．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；
②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4.
以上命题正确的是( )
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.
10．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.
11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
参考答案
1．解析：由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，
所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，
所以c＝5，所以2c＝10.
答案：C
2.
解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26.
答案：D
3.
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
答案：A
4.
解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．
答案：D
5.
解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有＝，解得m＝1.
答案：A
6.
解析：①若C为椭圆，则
解得2＜t＜4，且t≠3.
②若C为双曲线，
则(4－t)(t－2)＜0，
所以t＞4或t＜2.
③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则
解得3＜t＜4.
答案：C
7.
解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8.
解析：根据题意可知|PB|＝|PA|＋rB，
所以|PB|－|PA|＝rB，即|PB|－|PA|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，且2a＝4，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，故所求的方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9.
解析：由椭圆、双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，①
|PF1|－|PF2|＝±2，②
由①2－②2得|PF1|·|PF2|＝m－s.
答案：m－s
10.
解：因为||PF1|－|PF2||＝6，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.
又因为|F1F2|＝2c＝10，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
所以∠F1PF2＝90°.
11.
解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由|PM|－|PN|＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为－＝1.
12.
解法一：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上，即－＝1.
解方程组
得
所以所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线与椭圆有一个交点纵坐标为4，
所以它们的一个交点为A(，4)．
因为||AF1|－|AF2||＝2a，
所以将A，F1，F2的坐标代入得a＝2.
又因为c＝3，
所以b2＝c2－a2＝5.
所以所求双曲线的方程为－＝1.2.2.2
双曲线的几何性质
课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=-x，则双曲线方程为( )
A.x2-y2=96
B.y2-x2=160
C.x2-y2=80
D.y2-x2=24
解析：由椭圆=1得其焦点坐标为(0,-4)、（0，4）.
∴双曲线的焦点在y轴上.
∵双曲线的一条渐近线为y=-x,
∴a=b，而c=4.
∴a2+b2=(4)2,2a2=48.
∴a2=24,b2=24.
∴双曲线的方程为y2-x2=24.
答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析：∵2a=4,∴a=2.
∵双曲线的焦点在x轴上时，双曲线上的点的横坐标x应满足|x|≥2,而A点的横坐标为2，不满足|x|≥2.
∴双曲线的焦点应在y轴上.
设双曲线的方程为
∵点A(2,-5)在双曲线上，
∴.
∴b2=16.
∴双曲线的方程为
答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
解析：∵
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案：D
4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析：设所求双曲线的方程为
∵双曲线的一个焦点为(0,6)在y轴上，
∴λ<0.∴-λ-2λ=36,λ=-12.
∴所求双曲线方程是
答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=,则b=2ac2-a2=4a2e=
答案：C
6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为_________，离心率为_________.
解析：∵a2=5,b2=4,
∴2a=2,2b=4,c=a2+b2=3.
∴e=
又双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±
答案：25 4 y=±
7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是_________.
解析：等轴双曲线的离心率e=2，由双曲线的第二定义，得方程为,化简得xy=.
答案：xy=
8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为_________.
解析：设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.
则有
解得
又设点P到右准线的距离为d，则
∴d=6,即点P到右准线的距离为6.
答案：6
9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.
解：直线y=kx-1过（0，-1）点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±.
10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
解：∵点A与圆心O的连线的斜率为-,
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2-=λ.
∵点A（4，-1）在双曲线上，
∴16-=λ,λ=.
∴双曲线的标准方程为
综合运用
11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求｜PF1｜·｜PF2｜的最小值.
解析：设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-
∵|x0|≥a,∴x≥a2.
∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.
∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.
12.在双曲线=-1的上支上有不同的三点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)，与焦点F(0，5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值；
(2)求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.
(1)解：∵=e,
∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，
∴2(ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a).
∴y1+y3=2y2=12.
(2)证明：由题意，得
①-②，得(y1-y3)(y1+y3)-(x1-x3)·(x1+x3)=0.
∴
若x1+x3=0.
则kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C三点共线，这是不可能的.
∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=
即y=.因此，AC的中垂线过定点(0,).
13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.
解：∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，
∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.
∵
∴a=2,c=8.
∴b2=82-22=60.
∴双曲线的方程是
拓展探究
14.已知双曲线=1,F为其右焦点，A(4，1)为平面上一点，点P为双曲线上一点，求｜PA｜+｜PF｜的最小值(如右图).
解：由双曲线的第二定义可知=e,其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.
∴|PF|=ed=d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+×d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+d,则求|PA|+|PF|的最小值，就是在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l:
x=的距离之和最小（如题图），由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线AB，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PE|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.
15.已知点M(-2，0)、N(2，0)，动点P满足条件｜PM｜-｜PN｜=22.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值.
解：（1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=
所以W的方程为=1,x≥.
(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时，x1=x2,y1=-y2.
从而·=x1x2+y1y2=x-y=2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得（1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
故x1+x2=，x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=
又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而·>2.
综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.2.1.2
椭圆的几何性质
自我小测
1．已知k＜0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的( )
A．顶点
B．焦点
C．离心率
D．长轴长
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
5．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为∶的两段，则其离心率e为__________．
8．在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点，且离心率e＝，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长等于短半轴长的，求该椭圆的离心率．
11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
参考答案
1.
解析：c21＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c22＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．
答案：B
2.
答案：C
3.
解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝，所以c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，
所以＝1－＝，
所以a2＝4b2＝16.
所以方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
4.
解析：依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因为b2＝a2－c2，所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
所以3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选B.
答案：B
5.
解析：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.
所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.
又b＝2，所以点P为短轴的两个端点．
答案：B
6.
解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a＝c，所以e＝＝.
答案：
7.
解析：由题意，得(a＋c)∶(a－c)＝∶，即＝，解得e＝5－2.
答案：5－2
8.
解析：如图，根据题意可知F1B1⊥F1B2，|OF1|＝3.
可知|OB2|＝|OB1|＝3，
所以b＝c＝3，a2＝b2＋c2＝18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9.
分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程．
解：由题意知椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.
又点在椭圆上，
所以＋＝1，所以c2＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
10.
解法一：设椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设M点坐标为，
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
所以|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a.
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a，＝，
所以e2＝＝＝1－＝，
所以e＝.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件设M，
依题意得＋＝1，
所以＝，＝，即e＝.
11.
(1)解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由余弦定理得
cos
60°＝
＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，所以e≥.
又因为椭圆中0＜e＜1，
所以所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.
(2)证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin
60°
＝×b2×＝b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．2.3.1
抛物线及其标准方程
自我小测
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3．若A是定直线l外的一个定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
5．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝12x
C．y2＝16x
D．y2＝20x
6．抛物线y2＝12x的准线方程是__________，焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．
9.
动圆P与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心P的轨迹．
10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为直线x－2y－4＝0与x轴的交点．
(2)过抛物线y2＝2mx(m＞0)的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝6.
参考答案
1.
解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y2＝2px的焦点坐标为，椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p＝4.故选D.
答案：D
2.
解析：设P(x，y)，因为点P到焦点的距离为2，所以点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，所以x＝，所以y＝±.所以选B.
答案：B
3.
解析：设圆心为P，由圆过点A且与直线l相切可知，动点P到点A的距离等于它到直线l的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．
答案：D
4.
解析：设点P到抛物线y2＝16x的准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知＝4.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
答案：B
5.
解析：准线方程为l：x＝－6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x，故选A.
答案：A
6.
解析：由y2＝12x知，＝3，所以准线方程为x＝－3，焦点坐标为(3,0)．
答案：x＝－3 (3,0)
7.
答案：y2＝8x
8.
解析：因为抛物线方程为y2=4x，
则准线方程为x=-1.
设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM|=x0+1=5.所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x，解得y0=±4，
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
答案：10
9.
解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x=-2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连结PA.
因为动圆与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，
所以|PA|=1+|PD|，
即点P到点A的距离比它到直线l：x＝－1的距离大1.
所以点P到点A的距离与它到直线l′：x＝－2的距离相等，即|PA|＝|PD′|.
根据抛物线的定义，点P的轨迹是以点A为焦点，直线l′：x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
10.
解：(1)令y＝0得x＝4，
故抛物线焦点为(4,0)，＝4，p＝8，
抛物线方程为y2＝16x.
(2)设抛物线的准线为l，交x轴于点K，则l的方程为x=-，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，
则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝m，
同理|BF|＝|BB′|＝|FK|＝m.
又|AB|＝6，则2m＝6，所以m＝3.
故抛物线方程为y2＝6x.2.3.1
抛物线及其标准方程
课后训练
1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是( )
A．(12,0)
B．(6,0)
C．(3,0)
D．(0,3)
2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A．
B．
C．
D．y2＝4x
3．抛物线的准线方程是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝
B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
5．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
6．设定点与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P的坐标为( )
A．(0,0)
B．(1，)
C．(2,2)
D．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．
9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程．
10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)为定值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：D
4.
答案：C
5.
答案：B 设点P到抛物线准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
6.
答案：C 连结PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值是|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为，与y2＝2x联立求得x＝2，y＝2；，
(舍去)，此时，点P的坐标为(2,2)．
7.
答案：y2＝8x
8.
答案：
9.
答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．
解：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－，与y2＝2px联立得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p.由题意知y1＋y2＝4，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得y1＋y2＝4，y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减，得，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
10.
答案：分析：设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．
解：(1)∵焦点，
当k存在时，设直线AB的方程为(k≠0)，
由
消去x得ky2－2py－kp2＝0.①
由一元二次方程根与系数的关系得y1y2＝－p2.
当k不存在时，直线AB的方程为，
则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
∴总有y1y2＝－p2，.
(2)当k存在时，由抛物线的定义知，
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②
又，
∴，
∴x1＋x2＝(y1＋y2)＋p.由①知y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋p，代入②得
|AB|＝＋2p＝.
当k不存在，即时，，，|AB|＝2p＝＋＋p＝.
综上，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)，
将，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得．
故为定值．2.2.1
双曲线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A.-1
B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
解析：∵方程=1表示双曲线，
∴（1+k）(1-k)>0.∴(k+1)(k-1)<0.
∴-1答案：A
2.已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0，-)，则k的值等于( )
A.-2
B.1
C.-1
D.-
解析：∵焦点(0,-)在y轴上，∴k<0.
将原方程变形得
∴a2=
∴k=-1.
答案：C
3.已知双曲线=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，
则||PF1|-|PF2||=6.
设|PF2|=3，由3<5知P在右支上.
∴|PF1|=6+3=9.
答案：C
4.在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
解析：把方程mx2-my2=n写成标准方程
∵mn<0,∴<0,->0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
答案：D
5.已知双曲线的方程为=1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，｜AB｜=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A.2a+2m
B.4a+2m
C.a+m
D.2a+4m
解析：∵A、B在双曲线的右支上，
∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a.
∴|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a.
∴|BF1|+|AF1|=4a+m.
∴△ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.
答案：B
6.F1、F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上且满足｜PF1｜·｜PF2｜=32，则∠F1PF2=__________.
解析：设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2.
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2=r+r-2r1r2cosα,
∴cosα=
∴α=90°.
答案：90°
7.过点(3，4)及双曲线=1的两个焦点的圆的标准方程是__________.
答案：x2+(y-2)2=13
8.已知θ是三角形的一个内角，且sinθ-cosθ＝，则方程x2sinθ-y2cosθ=1可能表示下列曲线中的__________.(填上所有可能情况)
①焦点在x轴上的椭圆 ②焦点在y轴上的椭圆
③焦点在x轴上的双曲线 ④焦点在y轴上的双曲线
解析：由sinθ-cosθ=，得sin(θ-)=.
∴sin(θ-)=
又∵θ为三角形的内角，∴0<θ<π.
∴-<θ-<.
而sin(θ-)=<,
∴0<θ-<.
∴<θ<.
∴sinθ>0,cosθ>0且sinθ≠cosθ.
∴方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线.
答案：③
9.根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线=1有共同的渐近线，且过点(-3，23)；
(2)与双曲线=1有公共焦点，且过点(32，2).
解：（1）设双曲线的方程为=1,
由题意，得
解得a2=,b2=4.
所以双曲线的方程为
(2)设双曲线方程为
由题意易求c=25.
又双曲线过点(32,2),∴
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为=1.
10.已知定点A(3，0)和定圆C：(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
解：设P的坐标为(x,y).
∵圆C与圆P外切且过点A，
∴|PC|-|PA|=4.
∵|AC|=6>4,
∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=4的双曲线的右支.
∵a=2,c=3,
∴b2=c2-a2=5.
∴=1(x>0)为动圆圆心P的轨迹方程.
综合运用
11.过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少？
解：∵双曲线方程为=1,
∴c==13.
于是焦点坐标为F1（-13，0）、F2（13，0）.设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A（-13，y）(y>0).
∵
∴y=,
即|AF1|=.
又∵|AF2|-|AF1|=2a=24,
∴|AF2|=24+|AF1|=24+
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为
12.经过双曲线x2-=1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB.
(1)求｜AB｜；
(2)求△F2AB的周长l(其中F2是双曲线的右焦点).
解：(1)F1(-2,0),F2(2,0).
直线AB的方程为y=(x+2),
将其代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2).
∴x1+x2=,x1·x2=-.
∴|AB|=
(2)a=1,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2
①
|BF2|-|BF1|=2a=2
②
①+②,得
|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4.
|AF2|+|BF2|-3=4,
|AF2|+|BF2|=7,
∴△F2AB的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.
13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1
km).若A地炮兵炮击P地，求炮击的方位角.
解：以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)、B（-3，0）、C（-5，2）.
∵|PB|-|PA|=4,
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是=1(x≥2)
①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x-y+7=0
②
将②代入①得11x2-56x-256=0,得x=8或x=-(舍).
于是可得P(8,5).
又kPA=tanα=,∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
拓展探究
14.(2006江苏高考，17)已知三点P(5，2)、F1(-6，0)、F2(6，0).
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.
解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),
其半焦距c=6.
2a=||PF1|+|PF2||=.
∴a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为
(2)点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F1′(0,-6)、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为
=1(a1>0,b1>0).
由题意知，半焦距c1=6,
2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=.
∴a1=2,b=c-a=36-20=16.
∴所求双曲线的标准方程为=1.2.3.2
抛物线的几何性质
课后训练
1．已知抛物线的焦点坐标是(2,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝8y
B．x2＝－8y
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
2．抛物线y2＝－4mx(m＞0)的焦点为F，准线为l，则m表示( )
A．F到l的距离
B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标
D．F到l的距离的
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,)
B．(3，)
C．(3,)或(3，)
D．(－3，)
4．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
6．抛物线ax2＝y的焦点坐标是______．
7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点______．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p＝________.
9．已知直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为2，求直线l的斜率．
10．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点M的坐标．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：C
4.
答案：B 点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为.
5.
答案：C 抛物线y2＝2px的准线方程为，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有，所以p＝2.
6.
答案：
7.
答案：(2,0) 直线x＋2＝0即x＝－2是抛物线y2＝8x的准线，由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的准线的距离，即动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的焦点的距离．故动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
8.
答案：2 过点B，M分别作准线的垂线，垂足分别为点B1，M1，由|AM|＝|MB|得|BB1|＝2|MM1|＝|AM|＝|BM|，所以点M恰为抛物线的焦点，即，p＝2.
9.
答案：分析：利用“设而不求”和“点差法”解决．
解：由题意，直线斜率显然存在．设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y2＋y1＝4.
将A，B的坐标代入方程y2＝4x得y12＝4x1，①
y22＝4x2，②
②－①得：y22－y12＝4(x2－x1)，
即(y2－y1)(y2＋y1)＝4(x2－x1)．
所以.
故直线l的斜率为.
10.
答案：分析：如图，线段AB的中点M到y轴距离的最小值，就是横坐标的最小值，这是中点坐标的问题，因此只要研究A，B两点的横坐标之和最小即可．
解：F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AC|，|BD|＝|BF|，
∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设M点为(x，y)，则|MN|＝x＋，则.当弦AB过F点时，等号成立，此时点M到y轴的最小距离为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x，当时，y1·y2＝－p2＝.
∴(y1＋y2)2＝y12＋y22＋2y1y2＝2x－＝2.
∴y1＋y2＝，即.
∴M的坐标为或.2.1.2
椭圆的几何性质(一)
课后导练
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( )
A.(-1,0)、(1，0)
B.(-6，0)、(6，0)
C.(-，0)、(，0)
D.(0，-)、(0，)
答案：D
2.椭圆=1(0＜k＜4)的关系为( )
A.有相等的长、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的顶点
解析：∵20-k-(4-k)=16,∴焦距相等.
答案：B
3.已知椭圆C：=1与椭圆=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是( )
A.(m≠0)
B.
C.
D.以上都不可能
解析：把方程=1,则a2=8m2,b2=4m2.
∴c2=4m2.∴
而椭圆=1的离心率为.
答案：A
4.曲线
( )
A.仅关于x轴对称
B.仅关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对
答案：C
5.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则( )
A.a2=25，b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
解析：∵椭圆=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆=1的短轴长为6，
∴a2=25,b2=9.
答案：D
6.若椭圆经过原点，且焦点为F1(-1，0)，F2(-3，0)，则其离心率是________.
解析：由F1,F2的坐标知2c=(-1)-(-3)=2
∴c=1
∵椭圆过原点a-c=1,a=1+c=2
∴e==
答案：
7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是________.
解析：设椭圆标准方程为=1(a>b>0).
由题意知=2,即a=2b,且c=2，
由a2=b2+c2，解得∴椭圆的标准方程为=1.
答案：=1
8.如右图，直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B.该椭圆的离心率为________.
解析：∵x-2y+2=0y=x+1,∴,即.∴
答案：
9.椭圆过(3，0)点，离心率e=,求椭圆的标准方程.
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3,
∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3.
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b=3,
∴∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为
10.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离的，求这个椭圆的方程.
解析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是=1(a>b>0),再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.
设椭圆方程为=1(a>b>0).
由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F,
因此△B1FB2为等腰直角三角形.
于是|OB2|=|OF|，即b=c.
又|FA|=,即a-c=,且a2=b2+c2.
将以上三式联立，得方程组
解得a2=10,b2=5.
∴椭圆方程为=1.
综合运用
11.已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.
解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c;
且a-c=.
∴c=,a=2,b2=a2-c2=9.
当焦点在x轴上时，所求的方程为=1;
当焦点在y轴上时，所求的方程为=1.
对后一个方程，离心率e=,焦点坐标为（0,±）.
12.已知F1、F2是椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=,求此椭圆方程.
解析：由题意可得
a=4,c=2,∴b2=16-12=4.
所求椭圆方程为=1.
13.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，求的值.
解：令A(x1,y1)、B(x2,y2),则
由
a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0.
拓展探究
14.设P是椭圆+y2=1(a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.
解：依题意可设P(0,1),Q(x,y)则
|PQ|=
又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2).
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1
=(1-a2)y2-2y+1+a2.
=(1-a2)(y-+1+a2.
因为|y|≤1,a>1.
若a≥,则||≤1,当y=时，|PQ|取最大值
若1单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹有以下说法：①点P的轨迹一定是椭圆；②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；③2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；④点P的轨迹一定存在；⑤点P的轨迹不一定存在．则上述说法中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A．
B．3
C．4
D．2
3．抛物线y＝4ax2(a＞0)的焦点坐标是( )
A．
B．
C．
D．
4．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，若抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k等于( )
A．4或－4
B．5
C．5或－3
D．－5或3
5．若椭圆的离心率为，则实数m＝( )
A．或
B．
C．
D．或
6．双曲线(a＞0，b＞0)，过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|＝m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为( )
A．4a
B．4a－m
C．4a＋2m
D．4a－2m
7．设点P是椭圆上的动点，F1，F2是焦点，设k＝|PF1|·|PF2|，则k的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．P是椭圆上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM的中点的轨迹方程为( )
A．
B．
C．
D．
9．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
10．双曲线的虚轴长为4，离心率，F1，F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，则|BF1|等于( )
A．
B．
C．
D．8
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．若双曲线(b＞0)的渐近线方程为，则b等于__________．
12．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝______，∠F1PF2的大小为______．
13．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为______________．
14．过点(，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程是________________．
15．以下命题：
①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．
②过点(x0，y0)与圆x2＋y2＝r2相切的直线方程是x0x＋y0y＝r2.
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
④抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准线的距离．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)已知抛物线y2＝8x，过点M(2,1)的直线交抛物线于A，B两点，如果点M恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．
17．(15分)已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，若点A的坐标为(－a,0)，，求直线l的倾斜角．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：A
5.
答案：A
6.
答案：C 由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a.
所以|AF2|＋|BF2|－|AF1|－|BF1|＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝|AF2|＋|BF2|－m＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.故|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
7.
答案：D 因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
所以4＝|PF1|＋|PF2|≥，
故|PF1|·|PF2|≤4.
8.
答案：B 用代入法，设点P的坐标为(x1，y1)，PM的中点的坐标为(x，y)，则x1＝x，y1＝2y，代入椭圆方程即得PM的中点的轨迹方程．
9.
答案：D 设双曲线方程为(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝，双曲线的渐近线方程为，
∴，即b2＝ac，c2－a2＝ac，
∴e2－e－1＝0，解得.又e＞1，∴，故选D.
10.
答案：C 由题意，b＝2，，，
由|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|＝a.
11.
答案：1 由双曲线渐近线方程知，所以b＝1.
12.
答案：2 由椭圆定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
由余弦定理可得cos∠F1PF2＝，
又∠F1PF2是三角形的内角，故∠F1PF2＝.
13.
答案：．y2＝4x或y2＝36x 设该点坐标为(x，y)．由题意知x＝10－，|y|＝6.代入抛物线方程得，
解得p＝2或p＝18.
14.
答案： 设双曲线方程为－y2＝m(m≠0)，将已知点的坐标代入可得m＝－3.
故所求双曲线方程为.
15.
答案：④ ①中斜率不一定存在；②点(x0，y0)不一定在圆上；③当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段．
16.
答案：分析：利用“设而不求”和“点差法”解决．
解：由题意知，直线斜率显然存在．设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线斜率为k，则y2＋y1＝2.
将A，B两点坐标代入抛物线方程得
y12＝8x1，①
y22＝8x2，②
②－①得(y2－y1)(y2＋y1)＝8(x2－x1)
故.
所以所求直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.
17.
答案：分析：(1)由离心率和连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积2ab＝4可求得a，b的值．
(2)用“设而不求”的方法和“弦长公式”解题．
解：(1)由，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得a＝2，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0)．设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.解得k＝±1.
所以直线l的倾斜角为或.2.3.1
抛物线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是( )
A.x2=-28y
B.y2=28x
C.y2=-28x
D.x2=28y
解析：∵=7,∴p=14.
∵抛物线的焦点在x轴正半轴上.
∴抛物线的方程是y2=28x.
答案：B
2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是( )
A.x2=72y
B.x2=144y
C.y2=-48x
D.x2=144y或y2=-48x
解析：令x=0得y=36,令y=0得x=-12,
∴抛物线的焦点为(0,36)或（-12，0）.
∴所求抛物线的标准方程为x2=144y或y2=-48x.
答案：D
3.已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：抛物线的焦点为(,0),
由得p=4.
答案：A
4.若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=16x或y=0(x＜0)
解析：∵点F（4，0）在直线x+5=0的右侧，且P点到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，∴点P到F（4，0）的距离与到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p=8，故P点的轨迹方程为y2=16x.
答案：C
5.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A.(0，)或(0,-)
B.(0,-)
C.(0,)
D.(,0)
解析：把方程写成x2=ay.若a>0，则p=,焦点为F（0,）;若a<0，则p=，开口向下，焦点为F（0，）.
答案：C
6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_________.
解析：由题设可知，圆与x轴的切点为抛物线的焦点
∴圆心为（,±1）,半径为1.
∴圆的方程为(x-)2+(y±1)2=1.
答案：(x-)2+(y±1)2=1
7.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_________.
解析：所求抛物线方程为x2=y,
其准线方程是y=-.
答案：y=-
8.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是_________.
解析：设P点的坐标为(x,y).
∵|PF|=10,∴1+x=10.∴x=9.把x=9代入方程y2=4x中，解得y=±6.
∴P点的坐标是(9,±6).
答案：(9,±6)
9.抛物线的焦点F在x轴上，A(m,-3)在抛物线上，且｜AF｜=5，求抛物线的标准方程.
解：设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵A点在抛物线上，
∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.
∴m=±.
①
又|AF|=+|m|=5.
②
把①代入②可得+
=5,即p2-10p+9=0.
∴p=1或p=9.
∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
解：设M(x,y)为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得=|y|.
平方整理，得y=x2-x+3，为所求抛物线的方程.
点评：当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.
综合运用
11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.
解：方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.
抛物线方程可化为x2=y,其中2p=,
∴p=，焦点在y轴上.
当a>0时，焦点坐标为(0,),准线方程为y=-;
当a<0时，焦点坐标为(0,)，准线方程为y=-.
综上所述，可知：抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.
12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.
解：设点P（x,y）,则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d=|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=［(x-1)2+3］.
∴当x=1时，d最小，此时y=1.
∴P(1,1)为所求.
13.A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足·=0(O是原点)，求证：
(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；
(2)直线AB过定点.
证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2),
(1)∵·=0，∴OA⊥OB.
∴.∴x1x2=-y1y2
①
由
∴(y1y2)2=4p2(x1x2) ④
由①④得y1y2=-4p2且x1x2=4p2.
∴结论成立.
（2）在（1）中②-③，得（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2).
∴
∴直线AB方程为y-y1=(x-x1).
∴y=
=
∴直线AB过定点(2p,0).
拓展探究
14.(经典回放)过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m，交抛物线于P1、P2两点.
求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
证明：设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，重足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义，得|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|.
∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,
∴|P0Q0|=
(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切.
15.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
解：(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,
于是，4+=5,∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A的坐标是（4，4），
由题意得B（0，4），M（0，2）.
又∵F（1，0），∴kFA=.
又MN⊥FA,∴k
MN=-,
则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2=-x,
解方程组
∴N().
(3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2，
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.
当m≠4时，直线AK的方程为y=(x-m),
即为4x-(4-m)y-4m=0.
圆心M（0，2）到直线AK的距离
d=
令d>2，解得m>1，
∴当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m<1时，直线AK与圆M相交.2.1.1
椭圆及其标准方程
课堂探究
探究一
利用椭圆的定义解题
椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
【典型例题1】
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值．
解：因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
所以有
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
探究二
求椭圆的标准方程
解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
【典型例题2】
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
所以2a＝＋＝10.
所以a＝5，所以a2＝25.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
因为点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．
探究三
求与椭圆有关的轨迹方程
求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定．(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．
【典型例题3】
如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
思路分析：根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10.由于点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题．
解：设|PB|＝r.
因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10,2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
探究四易错辨析
易错点 对椭圆的标准方程认识不清
【典型例题4】
若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
错解：由得3＜k＜5.
错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
正解：由题意，得
所以k的取值范围是3＜k＜4或4＜k＜5.第二章圆锥曲线与方程
测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y
B．y2＝28x
C．y2＝－28x
D．x2＝28y
2．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0)
B.或
C．(0,3)或(0，－3)
D.或
5．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2
B.
C.
D.
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1)
B．(1,2)
C．(2,1)
D．(－1,2)
7．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
8．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦点为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝y－
B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1
D．x2＝2y－2
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．若双曲线－＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于__________．
12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为__________．
13．椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为__________．
14．已知过点(－2,0)的直线l和抛物线C：y2＝8x有且只有一个公共点，则直线l的斜率取值集合是__________．
15．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
17．(6分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
18．(6分)已知椭圆方程为＋＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．
19．(7分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．
参考答案
1.
解析：由条件可知＝7，所以p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.
答案：B
2.
解析：由题可知a＝5，P为椭圆上一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案：D
3.
解析：当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝，双曲线方程为－＝1.
答案：C
4.
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝25.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.
答案：C
5.
解析：双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·＝－1，故＝1，所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
答案：C
6.
解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
所以|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A，P，N三点共线时取等号，
所以P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
即可排除A，C，D项，故选B.
答案：B
7.
解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.
由题意，得解得a2＝3，b2＝6，
故所求双曲线的方程为－＝1.
答案：C
8.
解析：直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
答案：B
9.
解析：由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，
又由d1,2c，d2成等差数列，
所以4c＝d1＋d2＝2a，
所以e＝＝.
答案：A
10.
解析：由y＝x2x2＝4y，焦点F(0,1)，
设PF中点Q(x，y)，P(x0，y0)，
则所以x2＝2y－1.
答案：C
11.
解析：由题意知＝，解得b＝1.
答案：1
12.
解析：若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝，可得c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝4，
由e＝，可得＝，
所以c2＝a2.
又a2－c2＝b2，
所以a2＝16，a2＝64.
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
13.
解析：由题意知
解得
所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
14.
解析：设直线l的方程为y＝k(x＋2)，将其与抛物线方程联立，得①
消去y，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.②
(1)当k＝0时，x＝0，从而y＝0，方程组①只有一组实数解，从而直线l与抛物线只有一个公共点；
(2)当k≠0时，令判别式Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64＝0，可解得k＝±1，此时方程②有两个相等的实数解，代入方程组①中的第二个方程，知方程组①仅有一组实数解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．
综上知直线l的斜率的取值集合是{－1,0,1}．
答案：{－1,0,1}
15．解析：如图，设双曲线一个焦点为F，
则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
所以c＝2a，所以e＝＝2.
答案：2
16.
解：把方程4x2＋9y2＝36写成＋＝1，
则其焦距2c＝，
所以c＝.
又e＝＝，
所以a＝5，b2＝a2－c2＝52－5＝20.
故所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
17.
解：设直线上任意一点坐标为(x，y)，
弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
因为y1＋y2＝2，所以k＝＝＝3.
所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－22.
所以|P1P2|＝×＝.
18.
解：设存在点P(x，y)满足题设条件，
则|AP|2＝(x－a)2＋y2.
因为＋＝1，所以y2＝4.
所以|AP|2＝(x－a)2＋4＝2＋4－a2.
因为|x|≤3，又0＜a＜3，当≤3，
即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2.
依题意，得4－a2＝1，所以a＝±.
当a＞3，即＜a＜3时，
此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.
依题意，得(3－a)2＝1，所以a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)．
故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．
19.
解：(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，
则由题意易知，△OED为直角三角形，
且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，
所以|ED|＝＝c(c为椭圆C的半焦距)．
所以椭圆C的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，
所以可设a＝2m(m＞0)，则c＝m，b＝m，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
所以A(0，m)，所以|AF|＝2m.
直线AF的斜率kAF＝，所以∠AFB＝60°.
在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，
所以B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)．
因为△AFB为直角三角形，
所以过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m.
因为圆Q与直线l：x＋y＋3＝0相切，所以＝2m.
因为m是大于0的常数，所以m＝1.
故所求的椭圆C的方程为＋＝1.第二章
圆锥曲线与方程
本章检测
（时间120分钟,满分150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.以=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析：∵双曲线=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2），
∴所求椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±2）.
∴在椭圆中，a=4,c=2.∴b2=4.
∴椭圆的方程为=1.
答案：D
2.(a＞b＞0)的渐近线( )
A.重合
B.不重合，但关于x轴对称
C.不重合，但关于y轴对称
D.不重合，但关于直线y=x对称
解析：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，双曲线=1的渐近线方程为y=±x.
y=x与y=x关于直线y=x对称，y=-x与y=-x关于直线y=x对称.
因此，选项D正确.
答案：D
3.(2005全国高考Ⅱ，文5)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：由x2=4y知其准线方程为y=-1，据抛物线定义，点A与焦点的距离等于A与准线的距离，显然A的纵坐标为4.其距离为5.
答案：D
4.已知定点A、B，且｜AB｜=4，动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3，则｜PA｜的最小值是( )
A.
B.
C.
D.5
解析：由题作出示意图.
分析得出P在P′点处｜PA｜最小.
∴｜AO｜=2,｜OP′｜=.
∴｜PA｜min=2+=.
答案：C
5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=4,那么｜AB｜等于( )
A.10
B.8
C.6
D.4
解析：｜AB｜=x1++x2+=x1+x2+p=4+2=6.
答案：C
6.设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( )
A.1
B.
C.2
D.
解析：由
得
∴｜PF1｜·｜PF2｜=2.
∴△F1PF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜=1.
答案：A
7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点( )
A.(4，0)
B.(2，0)
C.(0，2)
D.(0，-2)
解析：直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.
答案：B
8.(2006安徽高考，5)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为…( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
解析：椭圆=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4,故选D.
答案：D
9.过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且｜AB｜=｜BC｜，则双曲线M的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：据题意如图
设lAB:y=x+1,
lOC:y=bx,
lOB:y=-bx,
由得C点纵坐标是,B点纵坐标是.
∵｜AB｜=｜BC｜,
∴
∴b=3,
∴e=
答案：A
10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60
cm,灯深40
cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A.y2=x
B.y2=x
C.x2=-y
D.x2=-y
解析：如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则抛物线过点（40，30），302=2p×40,2p=,所以所求抛物线方程应为y2=x.
所给选项中没有y2=x，但方程x2=-y中的“2p”值为45
2，所以C选项符合题意.
答案：C
11.已知两点M(-2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足｜｜·｜｜+·=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=4x
D.y2=-4x
解：依题意可知P（x,y）,
则｜｜·｜｜+·=0
+(4,0)·(x-2,y)=0
+4(x-2)=0
化简整理得,y2=-8x.
答案：B
12.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.3
解：设（x0,y0）为抛物线y=-x2上任意一点，
∴y0=-x,
∴d=
∴dmm=
答案：A
二、填空题(本小题共4小题，每小题4分，共16分)
13.双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为___________.
解析：∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴
答案：
14.抛物线y=x2的焦点坐标是___________.
解析：y=x2=4y,p=2，其焦点为（0，1）.
答案：（0，1）
15.点P(6，1)平分双曲线x2-4y2=1的一条弦，则这条弦所在直线方程是___________.
解析：设弦的两端点分别为A（x1,y1）、B(x2,y2)，则x21-4y21=1,x22-4y22=1.
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵AB的中点为P（6，1），
∴x1+x2=12,y1+y2=2.∴
∴直线AB的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.
答案：3x-2y-16=0
16.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率en=()n(n∈N)，且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为___________.
解析：因故所有椭圆的长轴之和为
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，满分74分)
17.(12分)已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.
证法一：将y=x-2代入y2=2x中，得(x-2)2=2x,
化简得x2-6x+4=0,∴x=3±.
∴x=3+时，y=1+5,x=3-时，y=1-.
∴kOA·kOB==-1.∴OA⊥OB.
证法二：同证法一得方程x2-6x+4=0.
∴x1+x2=6,x1·x2=4.
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4=-4.
∴kOA·kOB==-1.∴OA⊥OB.
18.(12分)A、B为椭圆x2+y2=a2(a＞0)上的两点，F2为右焦点，若｜AF2｜+｜BF2｜=a,且AB的中点P的横坐标为，求该椭圆的方程.
解析：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得
｜AF2｜=ed1=d1,｜BF2｜=d2,
d=
又2d=d1+d2,a-3=2d,
a=|AF2|+|BF2|=(d1+d2),
∴d1+d2=2a,∴a-3=2a,
∴a=6,
∴该椭圆的方程为x2+y2=36.
19.(12分)已知双曲线x2-=1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程；
(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.
(1)解：设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线方程并整理得（2-k2）x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=-.
由已知=1,
∴=2,解得k=1.
又k=1时，Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=16>0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.
(2)证明：设过Q（1，1）点的直线方程为y-1=k(x-1),
代入双曲线方程并整理，得（2-k2）x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.
由题知=2,解得k=2.
而当k=2时，Δ=［-2k(1-k)］2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0.
∴这样的直线不存在.
20.(12分)(2006江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1，-2)和点B，其中B在第一象限，且｜AB｜=3.
(1)求点B的坐标；
(2)若直线l与双曲线C：-y2-1(a＞0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为(4，1)，求实数a的值.
解：（1）直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y）,
由及x>0，y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为（4，1）.
（2）由得
（-1）x2+6x-10=0.
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则x1+x2==8,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
21.(12分)(2006上海高考，20)过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？
解：抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）.设直线MN的方程为y=k(x+1).
由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
∵直线与抛物线交于M、N两点，∴Δ=4(k2-2)2-4k4>0,即k2<|k2-2|,k2<1,-1设M(x1,y1),N(x2,y2)，抛物线焦点为F（1，0）.
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，
∴MF⊥NF.
∴,即y1y2+x1x2-(x1+x2)+1=0.
∴k=±,
即直线的倾斜角为arctan或π-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
22.(14分)已知两定点F1(-，0)、F2(，0)，满足条件｜｜-｜｜=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(1)求k的取值范围；
(2)如果｜AB｜=6，且曲线E上存在点C，使+=m,求m的值和△ABC的面积S.
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（-，0）、F2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=2,a=1,易知b=1.
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).
设A(x1,y1)，B(x2,y2),由题意建立方程组
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有
解得-(2)
因为|AB|=|x1-x2|
2
依题意得=63.
整理后得28k4-55k2+25=0.
∴k2=或k2=.
但-故直线AB的方程为x+y+1=0.
设C（xc,yc），由已知+=m,得（x1,y1）+(x2,y2)=(mxC,myC),
∴(xC,yC)=(m≠0).
又x1+x2==-4,y1+y2=k(x1+x2)-2=-2==8,
∴点C().
将点C的坐标代入曲线E的方程，得=1.
得m=±4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.
∴m=4,C点坐标为（-，2）.
C到AB的距离为
∴△ABC的面积S=
导学乐园
曲突徒薪
有位客人到某人家里做客，看见主人家的灶上烟囱是直的，旁边又有很多木材。客人告诉主人说，烟囱要改曲，木材须移去，否则将来可能会有火灾，主人听了没有作任何表示。
不久主人家里果然失火，四周的邻居赶紧跑来救火，最后火被扑灭了，于是主人烹羊宰牛，宴请四邻，以酬谢他们救火的功劳，但并没有请当初建议他将木材移走，烟囱改曲的人。
有人对主人说：“如果当初听了那位先生的话，今天也不用准备筵席，而且没有火灾的损失，现在论功行赏，原先给你建议的人没有被感恩，而救火的人却是座上客，真是很奇怪的事呢！”主人顿时省悟，赶紧去邀请当初给予建议的那个客人来吃酒。管理心得：一般人认为，足以摆平或解决企业经营过程中的各种棘手问题的人，就是优秀的管理者，其实这是有待商榷的，俗话说：“预防重于治疗”，能防患于未然之前，更胜于治乱于已成之后，由此观之，企业问题的预防者，其实是优于企业问题的解决者。2.1.2
椭圆的几何性质
课后训练
1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
2．方程，化简的结果是( )
A．
B．
C．
D．
3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点是(0，－4)，则k的值为( )
A．
B．8
C．
D．32
4．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A．
B．
C．或
D．
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为的两段，则其离心率为__________．
8．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________．
9．如果椭圆的离心率为，求k的值．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(2,0)和(－2,0)之间的距离，又两定点之间的距离为4,4＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝4，从而可求得b2＝21.
3.
答案：A 先化成标准方程为，又焦点是(0，－4)，可知焦点在y轴上，所以，又c＝4，所以，解得.
4.
答案：C
5.
答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，
∴4b2＝a2＋2ac＋c2.
∵b2＝a2－c2，
∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得或e＝－1(舍去)．故选B.
6.
答案： 椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得，所以.
7.
答案： 由题意得(a＋c)∶(a－c)＝，即，解得e＝5－.
8.
答案： 由题意可设该椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，由已知得解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆的标准方程为.
9.
答案：分析：所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论，利用离心率的定义解题．
解：当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，，
∴，∴，解得k＝4，符合k＞1的条件．
当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，，∴，
∴，解得，符合－8＜k＜1的条件．综上所述，k＝4或.2.2.2
双曲线的几何性质
自我小测
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
2．已知双曲线＋＝1的离心率e＜2，则k的取值范围是( )
A．k＜0或k＞3
B．－3＜k＜0
C．－12＜k＜0
D．－8＜k＜3
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则这个双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
4．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．－＋＝1
B.－＝1
C．－＋＝1
D.－＝1
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2
B．3
C.
D.
6．双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如图，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，交MF1于点H，交MF2于点N，则双曲线的离心率为( )
A．1＋
B．4＋2
C．2－2
D．2＋2
7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．
8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率e＝__________.
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．
10．求以过原点且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切的两直线为渐近线，且过椭圆y2＋4x2＝4两焦点的双曲线的方程．
11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，离心率为2，求此双曲线的标准方程．
12．已知双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求此双曲线的离心率．
参考答案
1.
解析：由－＝1得渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(±4,0)，则焦点F(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝2.
答案：A
2.
解析：由题意知k＜0，
所以e＝＜2，
解得－12＜k＜0.
答案：C
3.
解析：由于4x2＋y2＝1的焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，由2＝a2＋b2得a2＝，b2＝，再结合焦点在y轴上，故选C.
答案：C
4.
解析：由题意可设双曲线方程为－y2＝k(k∈R，且k≠0)，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为－＋＝1.
答案：A
5.
解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，
所以a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，
即3c2－2ac－5a2＝0，
所以3e2－2e－5＝0，所以e＝或e＝－1(舍)．
答案：D
6.
解析：由题意知，|F1N|＝c，|NF2|＝c，
又|NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
答案：A
7.
解析：因为＝2，c＝4，所以a＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x.因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2知＝，解得e2＝，所以e＝.
答案：
9.
解析：因为双曲线上存在一点使|PF1|=2|PF2|，如图．
又因为|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a，
即在双曲线右支上必存在点P使得|PF2|=2a.
所以|AF2|≤2a.
所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a，
所以c≤3a，所以≤3.
又因为e＞1，所以1＜e≤3.
答案：1＜e≤3
10.
解：圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2,0)，半径r＝1.设过原点的圆的切线方程为y＝kx.
由圆的切线的性质，可得＝r＝1.
解得k＝±.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
从而所求的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．①
将椭圆y2＋4x2＝4化为标准形式为＋x2＝1.
所以焦点坐标为(0，±)．
将点(0，)代入①，得－＝λ，
所以λ＝－1.
故所求双曲线的方程为－＝1.
11.
解：设双曲线的标准方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，
所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，所以c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
12.
解法一：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，即ab＝c2.
所以16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0.
所以32－10＋3＝0.
解得＝或＝3.
又0＜a＜b，所以＝3.
所以e＝＝2.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.
令∠BAO＝α，则cos
α＝＝，sin
α＝＝e.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.
所以e2＝或e2＝4，即e＝或e＝2.
又0＜a＜b，所以＞1，所以e＝＞.
所以离心率e为2.第二章
圆锥曲线与方程
本章测评
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
2已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的( )
A．焦距为10
B．实轴与虚轴分别为8和6
C．离心率是或
D．离心率不确定
3P是椭圆＋＝1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM的中点的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
4与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝8x(x＞0)或y＝0(x＜0)
C．y2＝8x或y＝0
D．y2＝8x(x≠0)
5已知点A为双曲线x2－y2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
A.
B.
C．3
D．6
6双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF1|、|AF2|的等差中项，则|BF1|等于( )
A．8
B．4
C．2
D．8
7设A、B∈R，A≠B，且A·B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一坐标系下的图象大致是图中的( )
8设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )
A.
B.
C.
D.
9已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值为( )
A.
B．4
C.
D．5
10双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点为F1、F2，|F1F2|＝2c，P为双曲线上一点，PF1⊥PF2，则P到实轴的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11椭圆x2＋＝1的离心率为________．
12若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率是________．
13直线l：x－y＋1＝0和椭圆＋＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
14已知双曲线－y2＝1的虚轴的上端点为B，过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l的斜率的取值范围是________．
15以下命题：
①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．
②过点(x0，y0)与圆x2＋y2＝r2相切的直线方程是x0x＋y0y＝r2.
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
④抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准线的距离．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(9分)动点P(x，y)到定点A(2,0)与到定直线l：x＝4的距离之和为6，求点P的轨迹．
17(10分)已知双曲线的方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
18(10分)设抛物线y2＝4px(p＞0)的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
(1)求线段AB中点的轨迹方程；
(2)若线段AB的垂直平分线交对称轴于N(x0,0)，求证：x0＞3p.
19(11分)已知椭圆C1的方程＋y2＝1.
(1)F1，F2为C1的左右焦点，求椭圆上满足·＝0的点P的轨迹方程C2；
(2)若过曲线C2内一点P0(－1,1)作弦AB，当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程；
(3)双曲线C3的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C3的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，若直线l：y＝kx＋与双曲线C3恒有两个不同的交点M和N，且·＞2(其中O为原点)．求k的取值范围．
参考答案
1解析：a＝，c＝，＝＝，所以＝.又m＞0，所以m＝.所以选B.
答案：B
2解析：由双曲线渐近线方程y＝±x，所以＝或＝.
e＝＝＝＝或.所以选C.
答案：C
3解析：用代入法，设P(x1，y1)，中点(x，y)，则x1＝x，y1＝2y，代入椭圆方程即得．
答案：B
4解析：设圆心(x，y)(x≠0)，则＝2＋|x|，化简得y2＝4x＋4|x|，当x＞0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0.
答案：B
5解析：由双曲线关于x轴对称，可知BC⊥x轴．
设△ABC边长为a，则B点坐标(a－1，)，
代入双曲线方程，得(－1)2－＝1，得a＝2或a＝0(舍去)．
所以S△ABC＝(2)2＝3.
答案：C
6解析：由题意，b＝2，a＝2，c＝2，
由|AB|是|AF1|、|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|＝a.
答案：C
7解析：方程Ax2－By2＝AB可变为－＝1，令x＝0，直线可变为y＝A.结合A、B、C选项可知A＜0，故不选C.令y＝0，直线可变为x＝－，由选项A可知－＜0，则＞0，与A图矛盾．对于D，A＞0，－＝1表示焦点在x轴的双曲线，故与D矛盾．所以选B项．
答案：B
8解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离(＋)知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得y2＝3，则B(，－)〔另一种可能是(，)〕，那么此时直线AC的方程为＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(＋)∶(2＋)＝4∶5.
答案：A
9解析：设抛物线焦点为F，连结AF，AF与抛物线的交点P为所求P点，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－≥|AF|－＝.
答案：C
10解析：由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.又∵||PF1|－|PF2||＝2a，∴|PF1||PF2|＝2b2.∴点P到实轴的距离为＝.
答案：A
11答案：
12解析：e1＝＝＝，＝，双曲线的离心率e2＝＝＝＝＝＝.
答案：
13解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得7x2＋8x－8＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由弦长公式可得
|AB|＝|x2－x1|
＝·＝.
答案：
14解析：因为B(0,1)，设过点B的直线l：y＝kx＋1，与－y2＝1联立，消去y得(－k2)x2－2kx－2＝0.
当－k2＝0，即k＝±，有一个交点；
当－k2≠0时，若有两个不同的交点，则
得＜k＜.
综上所述得k的取值范围为＜k＜.
答案：(，)
15解析：①中斜率不一定存在；②点(x0，y0)不一定在圆上；③当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段．
答案：④
16分析：应用直接法求点P的轨迹方程即可．
解：作PQ⊥l，垂足为Q，则P点的轨迹就是集合{P||PA|＋|PQ|＝6}，
即＋|x－4|＝6.
当x≥4时，方程为y2＝－16(x－6)(x≤6)；
当x＜4时，方程为y2＝8x(x≥0)．
故P点的轨迹为两条抛物线弧
y2＝8x(0≤x＜4)和y2＝－16(x－6)(4≤x≤6)．
17分析：由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p.
解：∵双曲线－＝1的右顶点坐标是(3,0)，
∴＝3，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上．
∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y2＝12x和x＝－3.
18分析：应用点斜式设出l的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB中点的轨迹方程．将x用k表示出来，通过k的范围求得x0的范围．
解：(1)抛物线y2＝4px(p＞0)的准线为x＝－p
∴M(－p,0)．
设l：y＝k(x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得
k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0，
由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0)，
设线段AB的中点为Q(x，y)，
则
消去k，得y2＝2p(x＋p)(x＞p)，这就是所求的轨迹方程．
(2)由(1)知线段AB的中点Q((－1)p，)，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－[x－(－1)p]，令y＝0得x0＝(＋1)p，因为0＜k2＜1，所以x0＞3p.
19解：(1)设点P(x，y)，由＋y2＝1，知F1(－，0)，F2(，0)，
由·＝0得所求轨迹方程为x2＋y2＝3.
(2)当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，
∵kOP0＝－1，∴kAB＝1，
故直线AB的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
(3)设双曲线C3的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3.
再由a2＋b2＝c2得b2＝1.
故C3的方程为－y2＝1.
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
解得k2≠且k2＜1.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由·＞2，
得x1x2＋y1y2＞2，
而x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.
于是＞2，即＞0，
解此不等式，得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，且k≠，故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．2.2.1
双曲线及其标准方程
课堂探究
探究一
双曲线的定义及应用
若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．
【典型例题1】
已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．
解：由－＝1，知a＝3，b＝4，
所以c＝5.
由双曲线定义及勾股定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
探究二
求双曲线的标准方程
解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.
【典型例题2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(4)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．
解：(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设方程为－＝1.
又因为过点(－5,2)，
所以－＝1.
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以方程为－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线方程为－＝1.
(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
因为P，Q两点在双曲线上，
所以
解得
所以所求双曲线方程为－＝1.
点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1有公共焦点的双曲线系方程－＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．
探究三
易错辨析
易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号
【典型例题3】
已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.
由题意知焦点在y轴上，
所以a2＝，b2＝，
所以c＝＝＝3，
即＝9，
所以k＝.
错因分析：上述解法有两处错误：一是a2，b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a，b，c的关系式用错了，在双曲线中应为c2＝a2＋b2.
正解：将双曲线方程化为kx2－y2＝1，
即－＝1.
因为一个焦点是(0,3)，
所以焦点在y轴上，
所以c＝3，a2＝－，b2＝－，
所以a2＋b2＝－－＝c2＝9，
所以k＝－1.2.1.2
椭圆的几何性质
课堂探究
探究一
利用标准方程研究几何性质
解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a，b的值，并求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
【典型例题1】
求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．
解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
探究二
利用椭圆的几何性质求它的方程
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：
【典型例题2】
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为＋＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．
解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得
所以椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
探究三
与离心率有关的问题
求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程由焦点的位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用定义e＝求解或构造关于a，c的齐次方程求解；要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的不等式求解．
【典型例题3】
设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
思路分析：由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．
解：如图所示，
由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2+y2=c2上，
又点P在椭圆上，
所以圆x2+y2=c2与椭圆＋=1有公共点，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2-c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤＜1，所以e∈.
点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e＜1.
探究四
易错辨析
易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上
【典型例题4】
若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
错解：由已知得a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝＝，
所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
错因分析：忽视了椭圆的焦点在y轴上的情况．
正解：(1)若焦点在x轴上，即当k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8.
又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，
解得k＝－.
综上知，k＝4或k＝－.2.2.2
双曲线的几何性质
课堂探究
探究一
由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据a，b的值(注意分母分别为a2，b2，而不是a，b)求出c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．
【典型例题1】
求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．
思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．
解：把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程－＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e＝＝；渐近线方程为y＝±x.作草图．
探究二
利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a，b，c的方程，解方程组求出待定系数．
【典型例题2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(3)与椭圆＋＝1有公共焦点，且率心率e＝.
思路分析：根据题设条件确定a，b的关系式，利用解方程的方法求得a，b的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．
解：(1)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.
由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.
又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
解法二：由渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.
由a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，
所以|λ|＝5，所以λ＝±5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
所以可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又因为双曲线过点M，
所以λ＝4×－9＝72.
所以双曲线方程为4x2－9y2＝72，
即标准方程为－＝1.
(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5.
又e＝＝，
所以a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线方程为－＝1(24＜λ＜49)．
又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．
探究三
双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．
【典型例题3】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为__________．
思路分析：分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．
解析：方法1：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，故e＝＝.当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，即e＝＝.方法2：由e＝＝得：当＝时，e＝；当＝时，e＝.
答案：或
规律小结
求双曲线的离心率的常用方法：
(1)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)利用a，b求．若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程(p，q，r为常数，且p≠0)，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．
探究四
双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程±＝0或y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上．
【典型例题4】
已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的渐近线方程．
思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a，b间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求a，b间的关系．
解：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±，
所以|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
所以|F1F2|＝|PF2|，
即2c＝×.①
将c2＝a2＋b2代入①式，
解得b2＝2a2或b2＝－a2(舍去)，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.2.3.2
抛物线的几何性质
自我小测
1．设抛物线y2＝2x与过焦点F的直线交于A，B两点，则·的值是( )
A.
B．－
C．3
D．－3
2．抛物线y＝ax2(a＜0)的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.，x＝－
B.，x＝－
C.，y＝－
D.，y＝－
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,)
B．(3，－)
C．(3,
)或(3，－)
D．(－3，±)
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
5．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A.
B.
C.
D.
6．抛物线y2＝2x上点P(1，－)到其焦点的距离为__________．
7．抛物线y2＝8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
8．已知抛物线y＝ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P(1,2)，作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为__________．
9．如图，已知抛物线的焦点为F(5,1)，准线方程为x＝1.
(1)求抛物线方程；
(2)求焦点到顶点的距离；
(3)求顶点坐标；
(4)已知A(6,2)，在抛物线上求一点Q，使得|QA|＋|QF|最小．
10．求顶点在原点、焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．
参考答案
1.
解析：抛物线y2＝2x的焦点坐标为.设过焦点F的直线AB为x＝ay＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2ay－1＝0，所以y1y2＝－1，x1x2＝·＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－.
答案：B
2.
解析：方程为x2＝y＝－y，则2p＝(p＞0)，则焦点F，准线方程为y＝－.
答案：C
3.
解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3.代入抛物线方程得y2＝12，所以y＝±.
答案：C
4.
解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有3＋＝4，所以p＝2.
答案：C
5.
解析：点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为＝＝.
答案：B
6.
解析：抛物线y2＝2x的准线为x＝－，根据抛物线的定义P点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以d＝1＋＝.
答案：
7.
解析：设所求点为(x0，y0)．因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，根据条件可知x0＋2＝，又因为y＝8x0，
所以x0＋2＝，解得x0＝1，所以y0＝±.
所以所求点的坐标为(1，－)和(1,
)．
答案：(1，－)和(1,
)
8.
解析：将P(1,2)代入y＝ax2得a＝2.
所以y＝2x2，即x2＝y.
所以|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，
所以S＝×1＝.
答案：
9.
解：(1)该抛物线方程不是标准形式，应根据抛物线定义求它的方程．
设抛物线上任意一点M(x，y)，据定义，可得＝|x－1|，
整理得(y－1)2＝8(x－3)．
这就是所求的抛物线方程．
(2)根据抛物线的几何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5－1＝4，故焦点到顶点的距离为2.
(3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式，顶点坐标为(3,1)．
(4)过点A作准线的垂线，垂足为R，交抛物线于点Q，则点Q即为所求．设抛物线上另有一点Q′(异于点Q)，点Q′到准线的距离为|Q′R′|，
则|Q′A|＋|Q′F|＝|Q′A|＋|Q′R′|≥|QA|＋|QR|＝|AR|.
由解得
故取最小值时点Q坐标为.
10.
解：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝＝.
解得a＝12或a＝－4.
所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.2.1.1
椭圆及其标准方程
课后导练
基础达标
1.椭圆上一点到两个焦点的距离和为( )
A.26
B.24
C.
D.
解析：由a2=13,得2a=2.
答案：D
2.下列说法中正确的是( )
A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段
答案：D
3.已知椭圆的方程为=1,焦点在x轴上，则m的范围是( )
A.-4≤m≤4且m≠0
B.-4＜m＜4且m≠0
C.m＞4或m＜-4
D.0＜m＜4
解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以0答案：B
4.设P是椭圆=1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.
又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=2c=2=4,∴△PF1F2
为直角三角形.
答案：B
5.椭圆=1的焦距等于2，则m的值为( )
A.5或3
B.8
C.5
D.16
解析：当焦点在x轴上时，c2=m-4,即1=m-4,
∴m=5.
当焦点在y轴上时，c2=4-m,即1=4-m,
∴m=3
答案：A
6.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是__________.
解析：因为椭圆的焦点在x轴上，a2=,b2=,所以c=，椭圆的焦点坐标为（±,0）.
答案：（±,0）
7.过点(-3，2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是__________.
解析：因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的方程为=1.
由点（-3,2）在椭圆上知=1,所以a2=15.
所以所求椭圆的方程为=1.
答案：=1
8.若方程=-1表示椭圆，则实数k的取值范围是__________.
解析：由题意
k必须满足
∴3答案：39.过原点的直线与椭圆=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，若F(c,0)是椭圆右焦点，则△FAB的最大面积是多少？
解析：∵S△FAB=S△OAF+S△OBF=c·|yA|+c·|yB|=c·(|yA|+|yB|).而（|yA|+|yB|）max=2b,
∴(S△FAB)max=bc.
10.点P是椭圆=1上的一点，F1、F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积.
解析：在椭圆=1中，a=,b=2,∴c=a2-b2=1.
∵点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a=2.|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=20
①
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos30°=|F1F2|2=4
②
①-②得(2+)|PF1||PF2|=16,
∴|PF1||PF2|=16(2-),
∴=|PF1||PF2|·sin30°=8-4.
综合运用
11.F1、F2是椭圆C：=1的焦点，在C上求满足PF1⊥PF2的点P的个数？
解析：a=2,c=2,e=,
设P(x0,y0),则|PF1|=2+x0,|PF2|=2-x0.
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即=16,解得x0=0.
故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF1⊥PF2.
12.已知圆C1：(x+1)2+y2=1和圆C2：(x-1)2+y2=9,求与圆C1外切而内切于圆C2的动圆圆心P的轨迹方程.
解析：圆C1的圆心C1坐标为（-1，0），半径r1=1,
圆C2的圆心C2坐标为（1，0），半径r2=3.动点P满足
|PC1|=r+1,|PC2|=3-r(r为动圆半径)，
∴|PC1|+|PC2|=4
∴动点P的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为4的椭圆.
故点P的轨迹方程为=1
13.已知P为椭圆=1上的点，设F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
解析：∵|PF1|+|PF2|=20
又∠F1PF2=
由余弦定理知：
∴|PF1|·|PF2|=
∴
拓展探究
14.已知椭圆的焦点是F1(-1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2.
解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,∴2a=4,又2c=2,∴b=.
∴椭圆的方程为
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°-θ.
由正弦定理得
由等比定理得
∴整理得5sinθ=3(1+cosθ).
∴tanF1PF2=tanθ=2.3.2
抛物线的几何性质
课后导练
基础达标
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y=kx-k过点（1,0），点（1，0）在抛物线y2=2px的内部，
∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
答案：C
2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则( )
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为-4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
解析：∵抛物线x2=-4y,
∴2p=4,即通径长为4，
△AOB的面积为×2p×=×4×1=2.
答案：D
3.过点(0，-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则｜AB｜等于( )
A.2
B.
C.2
D.
解析：设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2).
由得k2x2-4(k+2)x+4=0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.
又
∴k=2或k=-1(舍).
∴｜AB｜=｜x1-x2｜
答案：C
4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
解析：∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
∴A、B两点的坐标分别为（2p,2p）和(2p,-2p).
∴｜AB｜=4p.
∴S△AOB=×4p×2p=4p2.
答案：B
5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A.8
B.16
C.32
D.61
解析：由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2.
代入y2=8x,得（x-2）2=8x,即x2-12x+4=0.
∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.
答案：B
6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：由题可知抛物线y2=8x的准线过（-2，0）,故过此点的直线l:y=k(x+2).
将直线方程代入抛物线方程可得k2(x+2)2=8x,
化简得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.
当k=0时，x=0成立；当k≠0时，
解得-1≤k≤1且k≠0.
综上所述，故-1≤k≤1.
答案：-1≤k≤1
7.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是________.
解析：∵点（x,y）在抛物线y2=4x上，∴x≥0.
∵z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴当x=0时，z最小，其值为3.
答案：3
8.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若｜AB｜=4，则焦点到AB的距离为.
解析：不妨设A（x,2），则（2）2=4x.
∴x=3.
∴AB的方程为x=3,抛物线的焦点为（1，0）.
∴焦点到准线的距离为2.
答案：2
9.已知抛物线y2=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P1（x1,y1）、P2(x2,y2).
∵P1、P2在抛物线上，∴y21=6x1,y22=6x2.
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①
∵y1+y2=2,代入①得k=
∴直线的方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).
由方程组得ky2-6y-24k+6=0.
设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1,y1）(x2,y2)，则y1+y2=.
∵P1P2的中点为（4，1），∴=2.∴k=3.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
10.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
证明：∵抛物线的焦点为F（,0）,
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2）.
∴直线OC的斜率为k=即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
综合运用
11.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若｜AB｜=2，OC的斜率为，求随圆的方程.
解法一：设A（x1、y1）、B(x2,y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.
而代入上式可得b=a.
再由｜AB｜=｜x2-x1｜=2,其中x1、x2是方程（a+b）x2-2bx+b-1=0的两根.
故
将b=a代入得a=,
∴b=,∴所求椭圆的方程是x2+y2=3
12.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证：“如果直线l过点T(3，0)，那么·=3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1+y2=2t,y1·y2=-6,
·=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2
=-6t2+3t·2t+9-6=3.
∴·=3,故为真命题.
（2）（1）中命题的逆命题是：若·=3,则直线l过点（3，0）,逆命题是假命题.
设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b.
∵·=x1x2-y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)-y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b,
令b2-2b=3,得b=3或b=-1.
此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.
故逆命题为假命题.
拓展探究
13.已知椭圆C1：=1,抛物线C2：(y-m)2=2px(p＞0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(2)若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称.
所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）.
因为点A在抛物线上，所以=2p,即p=.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（2）当C2的焦点在AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).
由
消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2),
则x1、x2是方程①的两根，x1+x2=.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以｜AB｜=（2-x1）+(2-x2)=4-(x1+x2),
且｜AB｜=（x1+）+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+.
从而x1+x2+=4-(x1+x2).所以x1+x2=,即
解得k2=6,即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上，所以m=-k,即m=或m=-.
当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时，直线AB的方程为y=
(x-1).2.1.3
椭圆的几何性质（二）
课后导练
基础达标
1.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是( )
A.椭圆的短轴的端点
B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的顶点
D.以上都不对
答案：B
2.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8，则动点M的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.无法确定
答案：B
3.已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,则椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由,得a2=16,b2=4.
答案：D
4.椭圆=1(a＞b＞0)的焦点到直线x=的距离为( )
A.２
B.
C.
D.
解析：焦点到直线x=的距离为-c或,即.
答案：C
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.2-
D.
-1
解析：∵|F1F2|=2c,|PF2|=2c,∴|PF1|=2c.
∴|PF1|+|PF2|=2c+2c.
又|PF1|+|PF2|=2a,∴2c+2c=2a.
∴=-1,即e=-1.
答案：D
6.椭圆=1的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为.
解析：分两种情况：①a2>a时，据题意有a=2a=4;②当a2答案：4或
7.椭圆=1上一点P到右焦点(1，0)的距离为，则点P到x轴的距离为_____________.
解析：|PF|=a-exp=,又a=2,e=,故xp=-1,
|yp|=.
答案：
8.椭圆=1(a＞b＞0)上任意一点，到两个焦点的距离分别为r1、r2，焦距为2c,若r1、2c、r2成等差数列，则椭圆的离心率为_____________.
解析：由题意，2×2c=r1+r2=2a,∴2c=a,,即e=.
9.求中心在原点，过点(1，)，一条准线为x-4=0的椭圆方程.
解析：由准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为=1(a>b>0),
将点(1,)代入椭圆方程，得b2=
①
由一条准线方程是3x-4=0.∴
②
又a2-b2=c2
③
由①②③消去b,c可得a2=4或a2=，相应地，b2=1或b2=,
故所求椭圆方程为+y2=1或=1.
10.点P(-3，1)在椭圆=1(a＞b＞0)的左准线上，过点P且方向为a=(2,-5)的光线，经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为多少？
解析：如右图所示.kPA=-.∴lPA：5x+2y+13=0.
则交点A的坐标为（-,-2）,据光的反射知识知kAF=-kPA=.
∴lAF：5x-2y+5=0.
∴与x轴交点即左焦点F(-1,0),即c=1.
又左准线x=-=-a2=-3,∴a=.
∴e=.
综合运用
11.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439
km，远地点B(离地面最远的点)距地面2
384
km，并且F2、A、B在同一条直线上，地球半径约为6
371
km.求卫星运行的轨道方程.(精确到1
km)
解：建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点（记F1为左焦点）.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为=1(a>b>0),
则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6
371+439=6
810,
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6
371+2
384=8
755.
∴a=7
782.5,c=972.5.
∴b2=a2-c2=7
782.52-972.52≈7
7222.
∴卫星运行的轨道方程是
12.已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：
(1)焦点F1的坐标为(3，0)；
(2)长半轴长为5.
则可求得此椭圆方程为=1(※),问可用其他什么条件代替条件(2)，使所求得的椭圆方程仍为(※)？请写出两种替代条件，并说明理由.
解析：①短半轴长为4；②右准线方程为x=;③离心率为e=;④点P(3,)在椭圆上；⑤椭圆上两点间的最大距离为10；……（答案是开放的）
拓展探究
13.椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=故椭圆的半焦距c=.
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
（2）设A、B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1）,
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A、B关于点M对称，
所以
解得k=.
所以直线l的方程为y=(x+2)+1,
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：（1）同解法一.
（2）已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1).
设A、B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2且
①
②
由①-②得
③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-4,y1+y2=2.
代入③得
即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)2.1.1
椭圆及其标准方程
课后训练
1．椭圆的焦点坐标是( )
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
D．(12,0)，(－12,0)
2．在椭圆的标准方程中，下列选项正确的是( )
A．a＝100，b＝64，c＝36
B．a＝10，b＝6，c＝8
C．a＝10，b＝8，c＝6
D．a＝100，c＝64，b＝36
3．已知a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程是( )
A．＋y2＝1
B．x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．x2＋＝1
4．化简方程为不含根式的形式是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
6．设F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
7．椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D．
8．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
10．已知椭圆上一点P，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
参考答案
1.
答案：B 由题易知焦点在y轴上，a2＝169，b2＝144，
则.
2.
答案：C
3.
答案：C
4.
答案：C 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6,6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
5.
答案：D 因为焦点在y轴上，所以6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
6.
答案：B
7.
答案：B 设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
8.
答案：[2,) ∵点P(x0，y0)满足，
∴点P在椭圆内且不过原点，
∴2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又∵a2＝2，b2＝1，
∴，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
∴2≤|PF1|＋|PF2|＜.
9.
答案：分析：利用椭圆定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意可得，|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆．其中
2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为.
10.
答案：分析：计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为＝|PF1|·|PF2|·sin
θ，所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算．
解：如图，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4c2，即4(a2－c2)＝3|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝.2.1.1
椭圆及其标准方程
自我小测
1．化简方程＋＝10为不含根式的形式是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．椭圆＋＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是坐标原点)的值是( )
A．4
B．2
C．8
D.
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
6．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝__________.
8．P是椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值是__________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
11．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任意一点，求AQ的中点M的轨迹方程．
12．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
参考答案
1.
解析：由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
答案：C
2.
解析：设另一个焦点为F2，则|MF1|＋|MF2|＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8.而ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：A
3.
解析：因为|AC|＋|BC|＋|AB|＝18，所以|CA|＋|CB|＝10＞|AB|＝8.所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1，且y≠0.
答案：D
4.
解析：因为焦点在y轴上，所以6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
答案：D
5.
答案：B
6.
答案：C
7.
解析：分两种情况：焦点在x轴上或焦点在y轴上．
答案：3或5
8.
解析：当点P为(0，)或(0，－)时∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，故△PF1F2为等边三角形．
答案：60°
9.
解析：因为点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，
所以点P在椭圆内且不过原点，
所以2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又因为a2＝2，b2＝1，
所以a＝，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
所以2≤|PF1|＋|PF2|＜2.
答案：[2,2)
10.
分析：利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆P的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意，可得|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
11.
解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，利用中点公式，得所以
因为Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y20＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是2＋4y2＝1.
12.
解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
把②代入①解得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.2.3.1
抛物线及其标准方程
课堂探究
探究一
抛物线的定义及应用
抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点F；一条定直线l；一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．
【典型例题1】
设P为抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路．
解：(1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
因为点P到准线x＝－1的距离等于点P到F(1,0)的距离，
所以问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．
连接AF，如图(1)所示，
图(1)
显然P是AF与抛物线的交点，
最小值为|AF|＝.
图(2)
(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等．
如图(2)所示，
过B作BQ⊥准线于Q，交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|＝|P1F|，
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
所以|PB|＋|PF|的最小值为4.
点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．
探究二
求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数p即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p的值后，再写出焦点和准线方程．
【典型例题2】
已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值．
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出p的关系式，求出p的值，再用代入法求m的值．
解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，则
3＋＝5，解得p＝4.
因此抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，
所以m2＝24，
解得m＝±2.
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
(2)因为p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，
准线方程是x＝－2.
探究三
易错辨析
易错点 忽略抛物线中变量的取值范围
【典型例题3】
设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝4x上的点到点A的距离的最小值为多少？
错解：设曲线上的任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
因为a∈R，
所以当x＝a－2时，d2取最小值4a－4.
所以dmin＝2.
错因分析：在求与抛物线有关的最值时，要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围．错解中既忽略了抛物线中x的取值范围，也忽略了对a的讨论．
正解：设曲线上任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
由题意知x∈[0，＋∞)，
所以当a≥2时，d＝4a－4，dmin＝2；
当a＜2时，d＝a2，dmin＝|a|.