3.3.3
导数的实际应用
课堂探究
探究一
与几何有关的最值问题
解决与面积、体积等与几何有关的最值问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值．
【典型例题1】
用总长为14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5
m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．
思路分析：设出容器底面一边长为x
m，表示出容器的另一边及高，利用长方体的体积公式，将其表示为x的函数，利用导数求解．
解：设容器底面一边长为x
m，
则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x.
由解得0＜x＜1.6.
设容器的容积为y
m3，
则y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，则15x2－11x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
在定义域(0,1.6)内只有x＝1使y′＝0，
即x＝1是函数y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．
因此，当x＝1时y取得最大值ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2.
故容器的高为1.2
m时容积最大，最大值为1.8
m3.
探究二
利润最大(成本最低)问题
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢，通常以产量或单价为自变量建立函数关系，从而利用导数来分析、研究．
【典型例题2】
某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？
思路分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．
解：设利润为L(p)，由题意可得
L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8
300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000(p＞0)，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(舍去)．
则L(30)＝23
000.
因为0＜p＜30时，L′(p)＞0；p＞30时，L′(p)＜0，
所以p＝30时，L(p)取得极大值．根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23
000元．1.2.2“非”（否定）
课堂探究
探究一“p”形式的命题及其真假判断
“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．UA＝{x∈U|(x∈A)}＝{x∈U|xA}．
“p”与“p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有(p)＝p.
【典型例题1】
写出下列命题p的否定，并判断其真假：
(1)p：周期函数都是三角函数；
(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；
(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.
思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．
解：(1)p：周期函数不都是三角函数．
命题p是假命题，p是真命题．
(2)p：偶函数的图象不关于y轴对称，
命题p是真命题，p是假命题．
(3)p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.
命题p是真命题，p是假命题．
规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
探究二
存在性命题与全称命题的否定
解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“p(x)成立”．
【典型例题2】
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2＋1＜0；
(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；
(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；
(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．
思路分析：命题p，r是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．
命题q，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．
解：(1)
p：x∈R，x2＋1≥0.(真)
(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)
(3)r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)
(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)
探究三易错辨析
易错点 否定不全面
【典型例题3】
若“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是__________．
错解：由于“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，则其否定“x∈，sin
x＋cos
x＞m”为真命题．
令f(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin，x∈，可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，且f(0)＝，f＝1，所以f(x)min＝1.故有m＜1，即实数m的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
错因分析：原命题的否定应为“x∈，sin
x＋cos
x≥m”，漏掉了等号成立的情况，导致m的范围被缩小．
正解：令f(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin，x∈，
可知f(x)在上为增函数，在上为减函数．
由于f(0)＝，f＝2，f＝1，
所以1≤f(x)≤2.
由于“x∈，sin
x＋cos
x＜m”为假命题，
则其否定“x∈，sin
x＋cos
x≥m”为真命题，
所以m≤f(x)min＝1.
答案：(－∞，1]3.2.1
常数与幂函数的导数
3.2.2
导数公式表
课堂探究
探究一
利用导数公式求函数的导数
利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y＝可以写成y＝等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导．
【典型例题1】
求下列函数的导数：
(1)y＝x7； (2)y＝x； (3)y＝log3x；
(4)y＝2sin·cos；(5)y＝.
思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．
解：(1)y′＝7x6；
(2)因为y＝x＝，所以y′＝＝；
(3)y′＝；
(4)因为y＝2sin·cos＝sin
x，所以y′＝cos
x；
(5)因为y＝＝x－2，所以y′＝－2x－3＝－.
探究二
导数的应用
利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．
【典型例题2】
若曲线y＝在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x轴、y轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a.
解：y′＝－(x＞0)，故在点(a，)处的切线的斜率k＝－，
所以切线方程为y－＝－
(x－a)，
易得切线在x轴、y轴上的截距分别为3a，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×＝＝18.
所以a＝64.1.1
命题与量词
课堂探究
探究一命题及其真假判断
判断某个语句是否是命题的方法是先看句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断其真假．
判定一个命题真假的方法：判定一个命题为真，要经过证明；判定一个命题为假，则只需举一反例即可．
【典型例题1】
下列语句是不是命题？如果是，说明其真假：
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？
(2)偶数的平方仍是偶数；
(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；
(4)两个向量的夹角可以等于π.
思路分析：(1)该语句是疑问句，不能判断其真假，故不是命题；
(2)因所有偶数的平方都是偶数，无一例外，故该语句是命题且为真命题；
(3)根据空间立体几何知识知，垂直的两条直线不一定相交，故所给语句是命题且为假命题；
(4)根据两个向量夹角的定义知，两个向量反向时夹角为π，故所给语句是命题且为真命题．
解：(1)不是；(2)是，真命题；(3)是，假命题；(4)是，真命题．
探究二全称命题与存在性命题真假的判定
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．
【典型例题2】
指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)p：所有正方形都是矩形；
(2)q：x∈R，x2－x＋≥0；
(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0；
(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.
思路分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．
(1)利用正方形的定义进行判定；
(2)将不等式的左边配方后进行判定；
(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；
(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．
解：(1)命题p是全称命题，
因为正方形是邻边相等的矩形，所以命题p是真命题；
(2)命题q是全称命题，
因为x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；
(3)命题r是存在性命题，
因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0成立，所以命题r是真命题；
(4)命题s是存在性命题，
因为由x3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有正整数满足x3＋1＝0，所以命题s是假命题．
规律小结全称命题与存在性命题的不同表述方法：
命题
全称命题“x∈A，p(x)”
存在性命题“x∈A，p(x)”
实质
全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素都具有某种性质的命题
表述方式
①所有x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任选一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立
探究三
易错辨析
易错点 全称命题理解不全面
【典型例题3】
若关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0对任意实数x都成立，求a的取值范围．
错解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则有解得0＜a＜4.
错因分析：这是一个全称命题，意味着每个x都满足ax2＋ax＋1＞0.本题错解中，只考虑了a≠0时的情况，忽视了a＝0时的判断．
正解：当a＝0时，1＞0，显然成立．
当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则即0＜a＜4.
综上，a的取值范围是0≤a＜4.1.2.1“且”与“或”
课堂探究
探究一“p∧q”形式的命题及其真假的判定
判断“p∧q”命题真假的方法是：如果p，q都是真命题，则命题p∧q是真的；如果p，q中至少有一个是假命题，则命题p∧q是假的，因此要先判断每一个命题的真假，再利用真值表来判断．
【典型例题1】
分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数；
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等；
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是方程x＋1＝0的根．
思路分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
探究二“p∨q”形式的命题及其真假判定
判断“p∨q”命题真假的方法是：当两个命题p，q中至少有一个是真命题时，p∨q就为真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q为假．
【典型例题2】
将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假：
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：正弦函数是奇函数，q：正弦函数是增函数．
解：(1)p∨q：9是奇数或9是素数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
(2)p∨q：正弦函数是奇函数或是增函数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
探究三
应用逻辑联结词求参数的范围
含有逻辑联结词的命题p∧q，p∨q的真假可以用真值表来判断；反之，根据命题p∨q，p∧q的真假也可以判断命题p，q的真假．
【典型例题3】
已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
思路分析：这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．它可以先利用命题知识判定p，q的真假，再求m值，也可以先化简p，q的范围，再利用命题知识求解．
解：p：
解得m＞2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假，或p为假，q为真．
即
或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
规律小结
应用逻辑联结词求参数范围的步骤2.3.2
抛物线的几何性质
课堂探究
探究一
由抛物线的性质求标准方程
确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
【典型例题1】
求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；
(3)抛物线上点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.
思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量．
解：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2)，知4＝－2p1·(－3)或9＝2p2×2，得p1＝，p2＝，故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．
依题意＝6，所以2p＝24.
所以抛物线方程为y2＝±24x.
(3)由已知＝6，
整理得x2＋10x＋9＝0，即(x＋1)(x＋9)＝0，
所以x＝－1或x＝－9.
所以F(－1,0)，p＝2，y2＝－4x；
或F(－9,0)，p＝18，y2＝－36x.
显然，若抛物线为y2＝－36x，则它的准线方程为x＝9.
由抛物线的定义，点A(－5,2)到F(－9,0)的距离是6，而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，矛盾．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.
探究二
抛物线的实际应用
涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．
【典型例题2】
河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5
m时，水面宽为8
m，一条小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？
思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．
解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝1.6.
所以x2＝－3.2y.
当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．
由22＝－3.2yA，得yA＝－.
又知船面露出水面部分为
m，
所以h＝|yA|＋＝2(m)．
答：水面上涨到距抛物线拱顶2
m时，小船不能通航．
探究三
直线与抛物线相交问题
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
【典型例题3】
设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小．
(2)求证：·是一个定值．
思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．
(1)解：依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一：所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝5.
方法二：所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，所以·是一个定值．
【典型例题4】
已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．
解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
由题意知y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由方程组
得ky2－6y－24k＋6＝0.
设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝.
因为P1P2的中点为(4,1)，所以＝2.所以k＝3.
所以所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值，这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．
探究四
易错辨析
易错点 不理解抛物线的标准方程的形式
【典型例题5】
设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解：由y＝mx2(m≠0)可知其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2，解得m＝8，
故所求抛物线的标准方程为y＝8x2.
错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解．
正解：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.2.2.1
双曲线及其标准方程
课堂探究
探究一
双曲线的定义及应用
若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．
【典型例题1】
已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．
解：由－＝1，知a＝3，b＝4，
所以c＝5.
由双曲线定义及勾股定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
探究二
求双曲线的标准方程
解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.
【典型例题2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(4)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．
解：(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设方程为－＝1.
又因为过点(－5,2)，
所以－＝1.
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以方程为－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线方程为－＝1.
(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
因为P，Q两点在双曲线上，
所以
解得
所以所求双曲线方程为－＝1.
点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1有公共焦点的双曲线系方程－＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．
探究三
易错辨析
易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号
【典型例题3】
已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.
由题意知焦点在y轴上，
所以a2＝，b2＝，
所以c＝＝＝3，
即＝9，
所以k＝.
错因分析：上述解法有两处错误：一是a2，b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a，b，c的关系式用错了，在双曲线中应为c2＝a2＋b2.
正解：将双曲线方程化为kx2－y2＝1，
即－＝1.
因为一个焦点是(0,3)，
所以焦点在y轴上，
所以c＝3，a2＝－，b2＝－，
所以a2＋b2＝－－＝c2＝9，
所以k＝－1.2.1.2
椭圆的几何性质
课堂探究
探究一
利用标准方程研究几何性质
解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a，b的值，并求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
【典型例题1】
求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．
解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
探究二
利用椭圆的几何性质求它的方程
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：
【典型例题2】
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为＋＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．
解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得
所以椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
探究三
与离心率有关的问题
求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程由焦点的位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用定义e＝求解或构造关于a，c的齐次方程求解；要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的不等式求解．
【典型例题3】
设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
思路分析：由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．
解：如图所示，
由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2+y2=c2上，
又点P在椭圆上，
所以圆x2+y2=c2与椭圆＋=1有公共点，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2-c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤＜1，所以e∈.
点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e＜1.
探究四
易错辨析
易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上
【典型例题4】
若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
错解：由已知得a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝＝，
所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
错因分析：忽视了椭圆的焦点在y轴上的情况．
正解：(1)若焦点在x轴上，即当k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8.
又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，
解得k＝－.
综上知，k＝4或k＝－.3.3.2
利用导数研究函数的极值
课堂探究
探究一
求函数的极值
解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f′(x)＝0只是函数在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x0处取得极值．函数f(x)在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的．
【典型例题1】
求下列函数的极值：
(1)y＝f(x)＝3x3－x＋1； (2)f(x)＝x2ex.
思路分析：首先对函数求导，求得f′(x)，然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
解：(1)y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－.
当x变化时，y′和y的变化情况如下表：
x
－
y′
＋
0
－
0
＋
y
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝.
而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值0
单调递增
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝.
探究二
求函数的最值
利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值．
【典型例题2】
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]；
(2)f(x)＝－x3＋2x2＋3，x∈[－3,2]．
思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝－3(x2－1)＝0,
得x＝±1，
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0.
故f(x)的最大值为2，最小值为－2.
(2)f′(x)＝－3x2＋4x，
由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，或x＝.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3,0)
0
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
48
极小值3
极大值
3
故当x＝－3时，f(x)取最大值48；
当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3.
探究三
求参数的取值
已知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题．解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
【典型例题3】
设函数f(x)＝2ax－＋ln
x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a，b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．
思路分析：(1)可以由条件列出关于a，b的方程组求解；(2)存在x0使不等式c≥f(x0)成立，含义是函数f(x)的图象上至少有一点在直线y＝c的下方，也就是说只需c≥f(x)min.
解：(1)因为f(x)＝2ax－＋ln
x，
所以f′(x)＝2a＋＋.
因为f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
所以f′(1)＝0，f′eq
\b\lc\(\rc\)()＝0.
即解得
所以a，b的值分别为－，－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由(1)知f(x)＝－x＋＋ln
x.
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
所以当x∈eq
\b\lc\(\rc\)()时，f′(x)＜0，故f(x)在eq
\b\lc\(\rc\)()上单调递减；
当x∈eq
\b\lc\(\rc\)()时，f′(x)＞0，故f(x)在eq
\b\lc\(\rc\)()上单调递增；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(1,2)上单调递减．
所以feq
\b\lc\(\rc\)()是f(x)在上的极小值，
而feq
\b\lc\(\rc\)()＝＋ln＝－ln
2，
f(2)＝－＋ln
2，且feq
\b\lc\(\rc\)()－f(2)＝－ln
4＝ln－ln
4，
又e3－16＞0，
所以ln－ln
4＞0，
所以在上f(x)min＝f(2)，
所以c≥f(x)min＝－＋ln
2.
所以c的取值范围为eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－＋ln
2，＋∞))，
所以c的最小值为－＋ln
2.
探究四
易错辨析
易错点 忽视对极值点的验证
【典型例题4】
已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值．
错解：f′(x)＝3x2－2ax－b.
由题意得3－2a－b＝0，
1－a－b＋a2＝10，
解得或
错因分析：在x＝1处有极值10，则x＝1是f′(x)＝0的根．但f′(x)＝0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x＝1处有极值．
正解：f′(x)＝3x2－2ax－b.
由题意得3－2a－b＝0,1－a－b＋a2＝10，
解得或
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，
所以f(x)单调递增，不存在极值，故应舍去．
当a＝－4，b＝11时，满足题意．
所以a＝－4，b＝11.2.2.2
双曲线的几何性质
课堂探究
探究一
由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据a，b的值(注意分母分别为a2，b2，而不是a，b)求出c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．
【典型例题1】
求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．
思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．
解：把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程－＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e＝＝；渐近线方程为y＝±x.作草图．
探究二
利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a，b，c的方程，解方程组求出待定系数．
【典型例题2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(3)与椭圆＋＝1有公共焦点，且率心率e＝.
思路分析：根据题设条件确定a，b的关系式，利用解方程的方法求得a，b的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．
解：(1)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.
由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.
又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
解法二：由渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.
由a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，
所以|λ|＝5，所以λ＝±5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
所以可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又因为双曲线过点M，
所以λ＝4×－9＝72.
所以双曲线方程为4x2－9y2＝72，
即标准方程为－＝1.
(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5.
又e＝＝，
所以a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线方程为－＝1(24＜λ＜49)．
又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．
探究三
双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．
【典型例题3】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为__________．
思路分析：分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．
解析：方法1：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，故e＝＝.当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，即e＝＝.方法2：由e＝＝得：当＝时，e＝；当＝时，e＝.
答案：或
规律小结
求双曲线的离心率的常用方法：
(1)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)利用a，b求．若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程(p，q，r为常数，且p≠0)，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．
探究四
双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程±＝0或y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上．
【典型例题4】
已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的渐近线方程．
思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a，b间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求a，b间的关系．
解：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±，
所以|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
所以|F1F2|＝|PF2|，
即2c＝×.①
将c2＝a2＋b2代入①式，
解得b2＝2a2或b2＝－a2(舍去)，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.1.3.2
命题的四种形式
课堂探究
探究一
四种命题及其真假的判断
写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断命题的真假时，要借助：原命题与逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假．
【典型例题1】
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc；
(3)若x＞9，则x＞0.
思路分析：先分清各命题的条件和结论，再根据定义写出即可．
解：(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0；假命题．
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0无实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0无实数根，则mn≥0；真命题．
(2)逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b；真命题．
否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc；真命题．
逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b；真命题．
(3)逆命题：若x＞0，则x＞9；假命题．
否命题：若x≤9，则x≤0；假命题．
逆否命题：若x≤0，则x≤9；真命题．
探究二
命题的否定与否命题
命题的否定一般来说只否定命题的结论，而否命题则既要否定条件又要否定结论．
【典型例题2】
写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假．
(1)若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
解：(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
命题的否定：若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．假命题．
命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数．真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零．真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a，b，c全不为零，假命题．
探究三
等价命题及其应用
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有难度时，可以转化为证明其逆否命题的真假性，以间接地证明原命题的真假．
【典型例题3】
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
思路分析：判断原命题的逆否命题的真假，可以先写出逆否命题，然后判断，也可以利用“互为逆否命题的两个命题的真假性相同”来直接判断原命题的真假．
解：因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7≥0，
所以a≥≥1.
所以原命题是真命题．
由原命题和它的逆否命题等价，故它的逆否命题为真命题．
点评
在判断命题的真假时，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，再由等价命题的真假来确定原命题的真假．3.1.1
函数的平均变化率
课堂探究
探究一
求函数的平均变化率
求函数的平均变化率应按照定义应用公式来求．第一步，计算自变量的改变量：Δx＝x－x0；第二步，计算函数值的改变量：Δy＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)；第三步，计算平均变化率：＝.
【典型例题1】
已知函数f(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．
思路分析：先由题目条件求出自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy，再根据定义代入公式求解．
解：(1)Δx＝－1－(－3)＝2，
Δy＝f(－1)－f(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
所以＝＝－8，
即f(x)在－3到－1之间的平均变化率为－8.
(2)因为Δx＝1＋Δx－1＝Δx，
Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx，
即f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为4＋Δx.
探究二
平均变化率的比较
函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度．函数在某点附近的平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”．
比较平均变化率的方法步骤：
(1)求出两不同点处的平均变化率；
(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)；
(3)下结论．
【典型例题2】
已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大．
思路分析：先求f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论．
解：函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝
＝＝－2x0－Δx.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－.
因为－＞－＞－，
所以函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大．1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课堂探究
探究一
充分条件、必要条件的判断
要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
【典型例题1】
在下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．
解：(1)因为x－2＝0
(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为pq，
而qp，
所以p是q的充分不必要条件．
探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围
解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．
【典型例题2】
已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．
解：令命题p对应的集合为A，
命题q对应的集合为B，
由x2－8x－20＜0，
得(x－10)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜10，
所以A＝{x|－2＜x＜10}．
又由x2－2x＋1－m2＜0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，
因为m＞0，
所以1－m＜x＜1＋m，
所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．
因为q是p的充分不必要条件，
所以BA.
所以且两等号不能同时成立．
解得0＜m≤3.
经检验知m＝3时符合题意．
所以m的取值范围是(0,3]．
规律小结
用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：
首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
探究三
充要条件的证明与探求
要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：
(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；
(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．
【典型例题3】
已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．
证明：先证必要性：
因为a＋b＝1，即b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0，且b≠0，
所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【典型例题4】
求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．
解：①a＝0时，方程有一个负实根．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号的实根，则a＜0；
若方程有两个负实根，则
解得0＜a≤1.
综上知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，
若a≤1，则方程至少有一个负实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
点评
若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．
探究四
易错辨析
易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价
【典型例题5】
已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件AB”，而错解用了“p是q的充分条件AB”，导致丢掉等号的错误．
正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即AB，
故2a≥6，即a≥3，所以a的取值范围为a≥3.2.1.1
椭圆及其标准方程
课堂探究
探究一
利用椭圆的定义解题
椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
【典型例题1】
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值．
解：因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
所以有
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
探究二
求椭圆的标准方程
解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
【典型例题2】
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
所以2a＝＋＝10.
所以a＝5，所以a2＝25.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
因为点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．
探究三
求与椭圆有关的轨迹方程
求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定．(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．
【典型例题3】
如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
思路分析：根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10.由于点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题．
解：设|PB|＝r.
因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10,2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
探究四易错辨析
易错点 对椭圆的标准方程认识不清
【典型例题4】
若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
错解：由得3＜k＜5.
错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
正解：由题意，得
所以k的取值范围是3＜k＜4或4＜k＜5.2.3.1
抛物线及其标准方程
课堂探究
探究一
抛物线的定义及应用
抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点F；一条定直线l；一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．
【典型例题1】
设P为抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路．
解：(1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
因为点P到准线x＝－1的距离等于点P到F(1,0)的距离，
所以问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．
连接AF，如图(1)所示，
图(1)
显然P是AF与抛物线的交点，
最小值为|AF|＝.
图(2)
(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等．
如图(2)所示，
过B作BQ⊥准线于Q，交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|＝|P1F|，
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
所以|PB|＋|PF|的最小值为4.
点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．
探究二
求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数p即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p的值后，再写出焦点和准线方程．
【典型例题2】
已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值．
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出p的关系式，求出p的值，再用代入法求m的值．
解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，则
3＋＝5，解得p＝4.
因此抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，
所以m2＝24，
解得m＝±2.
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
(2)因为p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，
准线方程是x＝－2.
探究三
易错辨析
易错点 忽略抛物线中变量的取值范围
【典型例题3】
设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝4x上的点到点A的距离的最小值为多少？
错解：设曲线上的任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
因为a∈R，
所以当x＝a－2时，d2取最小值4a－4.
所以dmin＝2.
错因分析：在求与抛物线有关的最值时，要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围．错解中既忽略了抛物线中x的取值范围，也忽略了对a的讨论．
正解：设曲线上任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
由题意知x∈[0，＋∞)，
所以当a≥2时，d＝4a－4，dmin＝2；
当a＜2时，d＝a2，dmin＝|a|.3.2.3
导数的四则运算法
课堂探究
探究一
应用求导法则求导数
要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．
在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．
例如求函数y＝的导数，先化简为y＝－·，再求导，使问题变得更简单．
【典型例题1】
求下列函数的导数：
(1)y＝xeq
\b\lc\(\rc\)()＋2；
(2)y＝cos
x·ln
x；
(3)y＝；
(4)y＝＋.
思路分析：(1)是函数和差求导；(2)是函数积求导；(3)是函数商求导；(4)先进行分母有理化化简函数式，再求导．
解：(1)y′＝eq
\b\lc\(\rc\)()′
＝(x3)′－eq
\b\lc\(\rc\)()′－(6x)′＋(2)′
＝3x2－3x－6.
(2)y′＝(cos
xln
x)′
＝(cos
x)′ln
x＋cos
x(ln
x)′
＝－sin
xln
x＋.
(3)y′＝eq
\b\lc\(\rc\)()′＝
＝＝.
(4)y＝＋
＝＝－2，
y′＝eq
\b\lc\(\rc\)()′＝
＝.
探究二
利用导数求切线方程
求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．
【典型例题2】
已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f′(x)＝－1有唯一解确定a的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．
解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，
所以f′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.
所以f′(x)＝x2－4x＋3＝－1可化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝，
所以切线l的方程为y－＝(－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0.
所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
探究三导数的综合应用
对于一个具体的初等函数，可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来，已知某些条件及其导函数，也可以确定参数，求出函数解析式．
【典型例题3】
已知函数f(x)是关于x的二次函数，f′(x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函数f(x)的解析式．
思路分析：利用待定系数法，设出f(x)的解析式，根据条件列出方程组求出参数值．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.3.1.2
瞬时速度与导数
3.1.3
导数的几何意义
课堂探究
探究一
求导数
求函数在点x0处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，求解过程中要注意对式子的变形和约分，变形不彻底可能会导致不存在，得出错误结论．
【典型例题1】
已知函数y＝，求y′，y′|x＝1.
思路分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．
解：因为Δy＝－，
所以＝＝＝
.
所以y′＝
＝
＝
.
所以y′|x＝1＝.
点评
函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．
探究二
利用导数求曲线的切线方程
求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程，需要先求出f′(x0)，即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程后化简，但要注意分清“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”两者的不同．
【典型例题2】
如图，已知曲线y＝x3上一点Peq
\b\lc\(\rc\)()，
求：(1)点P处的切线方程．
(2)满足斜率为1的曲线的切线方程．
思路分析：(1)先利用导数的几何意义求斜率，然后写出切线方程．
(2)设出切点坐标，利用斜率求出切点坐标，从而得切线方程．
解：因为y＝f(x)＝x3，
所以y′＝＝
＝
＝
＝x2.
(1)因为y′|x＝2＝4，
所以在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
(2)设切点坐标为M，
由于切线斜率k＝，
则＝1，x0＝±1，那么切点坐标Meq
\b\lc\(\rc\)()或M′eq
\b\lc\(\rc\)()，所以所求切线方程为y＋＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋＝0或x－y－＝0.
探究三
导数几何意义的应用
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
【典型例题3】
已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝－2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
思路分析：要求直线l的方程，只需求y′|x＝－2，要求抛物线C的方程，可以利用抛物线的定义求解．
解：(1)设曲线y＝f(x)，
因为y′|x＝－2＝
＝0，
所以直线l的斜率为0，其方程为y＝－1.
(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，
所以可设抛物线方程为x2＝2py，
则有＝1，p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
探究四
易错辨析
易错点 混淆切点与切线经过的点
【典型例题4】
试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线的方程．
错解：因为函数y＝x2的导数为y′＝2x，
所以y′|x＝3＝2×3＝6.
所以切线方程为y－5＝6(x－3)，即y＝6x－13.
错因分析：没有注意到点P不在曲线上，点P不是切点，错解中把点P当成了切点，从而导致错误．
正解：直线的斜率不存在时显然不成立．
函数y＝x2的导数为y′＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则y0＝x20，切线斜率为y′|x＝x0＝2x0.
因为切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
所以其斜率为＝，所以2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5，从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x0＝10.
所以所求切线有两条，方程分别为
y－1＝2(x－1)或y－5＝10(x－3)，
即y＝2x－1或y＝10x－25.
点评
求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，点P也不一定在已知曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．若点P在曲线上，要分点P是切点和不是切点两种情况解决．3.3.1
利用导数判断函数的单调性
课堂探究
探究一
函数图象的升降与导数的关系
要解决函数图象的升降与导数的关系问题，主要从两方面入手：一是观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；二是观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
【典型例题1】
设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(
)
思路分析：根据给出的函数图象分析函数图象的升降情况，确定导数的正负，得出导数图象的情况．
解析：观察原函数图象可知，在y轴左侧，函数f(x)图象是上升的，因此对应导数为正，图象在x轴上方，在y轴右侧，函数f(x)的图象是先升、再降、最后上升，故对应导数应为先正、再负、最后为正，图象自左向右依次在x轴上方、下方、再上方，故选D.
答案：D
探究二
求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间，但要特别注意的是，不能忽视函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．
利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)求函数定义域；
(2)对函数求导；
(3)令导函数大于零，解不等式得递增区间；令导函数小于零，解不等式得递减区间．
【典型例题2】
求下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
(2)f(x)＝x2－ln
x.
思路分析：利用函数单调性的判定法则，转化为关于导数的不等式求解．
解：(1)y′＝(x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
所以y＝x3－9x2＋24x的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)．
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.
所以y＝x3－9x2＋24x的递减区间是(2,4)．
(2)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，
因为f′(x)＝2x－＝，
所以令f′(x)＞0，则x＞，
令f′(x)＜0，则0＜x＜，
所以函数f(x)＝x2－ln
x的递减区间为eq
\b\lc\(\rc\)()，
递增区间为eq
\b\lc\(\rc\)().
探究三
利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求参数的取值范围问题往往转化为不等式恒成立问题，其常用方法有两种：一是f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，要注意验证等号是否成立；二是利用集合的包含关系处理，f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
【典型例题3】
已知函数f(x)＝xeq
\b\lc\(\rc\)()(a∈R)，若函数f(x)在(1,2)内是增函数，求a的取值范围．
思路分析：本题先求导，转化为f′(x)≥0在(1,2)上的恒成立问题．
解：因为函数f(x)在(1,2)内是增函数，
所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈(1,2)恒成立，所以a≤－，x∈(1,2)．
令g(x)＝－，x∈(1,2)，g′(x)＝＋＞0恒成立，
所以g(x)＝－在(1,2)上是增函数，当x＝1时，g(x)＝－，所以a≤－.
探究四
易错辨析
易错点 恒成立问题漏掉等号
【典型例题4】
已知f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
错解：f′(x)＝1－.
由题意得1－＞0在[1，＋∞)上恒成立，
即a＜x2在[1，＋∞)上恒成立．
因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，
所以a＜1，即a的取值范围为(－∞，1)．
错因分析：f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，导函数f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立；而错解用了f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，f′(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．
正解：f′(x)＝1－.由题意，得1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[1，＋∞)上恒成立．
因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，
所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
