1.3.1
推出与充分条件、必要条件
自我小测
1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
3．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β.p：a与b无公共点；q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
7．a＝0是直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．设p：关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相同，q：＝＝，则q是p的__________条件．
10．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11．设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析p：a＞2，且b＞1是q：两根α，β均大于1的什么条件．
12．若方程x2－mx＋3m－2＝0的两根x1，x2满足：1＜x1＜8,1＜x2＜8，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
解析：因为x2＋(y－2)2＝0，即x＝0，且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：A
2.
解析：函数f(x)的对称轴为x＝－，于是－＝1m＝－2.
答案：A
3.
解析：由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos
2α＝.
由cos
2α＝，得2α＝2kπ±(k∈Z)，
所以α＝kπ±(k∈Z)．
由cos
2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)，故选A.
答案：A
4.
解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1，且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
5.
解析：α∥βα，β无公共点a，b无公共点；a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即不能推出α∥β，则p是q的必要不充分条件．
答案：B
6.
答案：C
7.
解析：判定直线与直线平行的必要条件时要分a＝0与a≠0两种情况．
(1)因为a＝0，所以l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0.
所以l1∥l2，即a＝0l1∥l2；
(2)若l1∥l2，
当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－，
所以＝，无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
答案：充要
8.
解析：a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9.
解析：条件判定时，不一定非是充分或必要条件，因此情况有4种．
当＝＝＝－1，即a1＝－a2，b1＝－b2，c1＝－c2时，a1x2＋b1x＋c1＞0a2x2＋b2x＋c2＜0，所以解集不同，即qp；
当a1＝a2＝0时，b1＝2，c1＝4，b2＝4，c2＝8，解集相同，但无意义，即pq.
答案：既不充分也不必要
10.
分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，得关于a的不等式，求解即可．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，q：B＝{x||x|＜a}，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使B?A，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
11.
解：由韦达定理，得α＋β＝a，αβ＝b.
先看由q是否推出p，因为α＞1，且β＞1，
所以a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，即由qp；
再看由p是否推出q，不妨取α＝4，β＝，a＝α＋β＝4＋＞2，b＝αβ＝4×＝2＞1，但q不成立，即pq.
所以a＞2，且b＞1是α＞1，且β＞1的必要不充分条件．
12.
解：令f(x)＝x2－mx＋3m－2.
由题意，根的分布的图象如图中的抛物线①所示，则f(x)满足：图象与x轴有交点，所以Δ≥0.
又由图象可知f(1)＞0，且f(8)＞0；而仅满足这些，原方程的两根不一定在1到8之间，如图中的抛物线②.因此还必须有对称轴x＝落在1到8之间．而反过来，满足“Δ≥0，且f(1)＞0，f(8)＞0,1＜＜8”的抛物线与x轴必有交点且交点在1到8之间．
所以方程f(x)＝0的两根在1到8之间的充要条件是
即
解得6＋2≤m＜.
故所求的m的取值范围是6＋2≤m＜.1.2.2“非”（否定）
自我小测
1．命题“x＞0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．x＞0，使得x2－x≤0
B．x＞0，使得x2－x＞0
C．x＞0，使得x2－x＞0
D．x≤0，使得x2－x＞0
2．关于命题p：“x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )
A．p：x∈R，x2＋1≠0
B．p：x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，p是假命题
D．p是假命题，p是真命题
3．命题：存在n∈N,2n＞1
000的否定是( )
A．任意n∈N,2n≤1
000
B．任意n∈N,2n＞1
000
C．存在n∈N,2n≤1
000
D．存在n∈N,2n＜1
000
4．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
5．已知全集S＝R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.(A∩B)
D.∈(SA)∩(SB)
6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，x＞”，命题p的否定为命题p，则命题p是“______________________”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C
3.
答案：A
4.
解析：因函数y＝sin
2x的最小正周期T＝＝π，故p为假命题．
因y＝cos
x的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题．所以p∧q为假．
答案：C
5.
解析：p：∈(A∪B)，p：∈S(A∪B)＝(SA)∩(SB)．
答案：D
6.
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
7.
解析：利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，x≤.当x＞1时，x＞，故知p为假命题．
答案：x∈R，x≤ 假
8.
解析：因为p为假命题，所以p为真命题，故－(a－1)≥4，所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9.
解：(1)p：x∈R，x2－x＋＜0.因为x2－x＋＝2≥0，所以p为假命题．
(2)q：存在正方形不是矩形，假命题．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0.
因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以r为真命题．
10.
分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A
(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．1.2.1“且”与“或”
自我小测
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln
x是减函数
2．下列命题为假命题的是( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0，且y＝0
3．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
4．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的点P(x，y)可能是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
5．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0，且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，那么函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )
A．“p∧q”为真
B．“p∨q”为假
C．p真q假
D．p假q真
6．“3≥3”是__________形式的命题，它是__________命题(填“真”或“假”)．
7．设命题p：3≥2，q：3∈[2，＋∞)，则命题“p∨q”“p∧q”中，真命题是__________．
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知命题p：x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1＞0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
10．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
参考答案
1.
解析：选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
答案：B
2.
解析：选项A是由“3是7的约数”与“3是9的约数”构成的“或”命题，其中“3是9的约数”为真，故是真命题；B为真命题；C是由“菱形的对角线相等”与“菱形的对角线互相垂直”构成的“且”命题，其中，“菱形的对角线相等”为假，故是假命题；D为真命题．
答案：C
3.
解析：因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
答案：C
4.
解析：由解得或
答案：C
5.
解析：命题p显然为真，而对命题q，当函数y＝f(x－3)关于原点对称时，函数y＝f(x)的图象应关于点(－3,0)对称，所以为假．
答案：C
6.
答案：p∨q 真
7.
答案：p∨q，p∧q
8.
答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.
解：因为p∧q为真命题，所以命题p，q都为真命题．
由p是真命题，得m≤x2在[1,2]上恒成立．
因为x∈[1,2]，所以m≤1.
由q是真命题，得Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以－2＜m≤1，
即所求实数m的取值范围是(－2,1]．
10.
解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p真q假或p假q真．
①若p真，且q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于相异两点，则a∈.
②若p假，且q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，且曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于相异两点，则a∈.
综上所述，a的取值范围为∪.3.3.2
利用导数研究函数的极值
自我小测
1．在下面函数y＝f(x)图象中，既是函数的极大值点又是最大值点的是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
2．函数y＝f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数y′＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(
)
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为( )
A．2
B．4
C．18
D．20
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(
)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
6．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：
(1)f(x)是增函数，无极值；
(2)f(x)是减函数，无极值；
(3)f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；
(4)f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值－4.
其中正确命题是________．(填序号)
7．已知函数f(x)＝2x3＋3(a＋2)x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是__________．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值．
(2)求g(x)的单调区间与极值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值．
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是单调递增的，求a的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
解析：由y′＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
答案：A
3.
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1或x2＝1，
f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
答案：C
4.
解析：令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1.
又x∈[0,3]，所以x＝1.
则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.
又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，
所以M＝18－a，N＝－2－a，所以M－N＝20.
答案：D
5.
解析：由题意，得f(1)＝0，所以p＋q＝1.①
f′(1)＝3－2p－q＝0，所以2p＋q＝3.②
由①②得p＝2，q＝－1.
所以f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，feq
\b\lc\(\rc\)()＝，f(1)＝0.
答案：A
6.
答案：(3)(4)
7.
解析：f′(x)＝6x2＋6(a＋2)x＋3a.
因为x1，x2是f(x)的两个极值点，
所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，
即x1，x2是6x2＋6(a＋2)x＋3a＝0的两个根，
从而x1x2＝＝2，所以a＝4.
答案：4
8.
解析：从图象可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．
答案：①
9.
解：(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
又g(x)是奇函数，
所以g(0)＝－c＝0.
由g(－x)＝－g(x)得b－3＝0，
所以b＝3，c＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x3－6x，
所以g′(x)＝3x2－6.
令g′(x)＝0，得x＝±；
令g′(x)＞0，得x＜－或x＞；
令g′(x)＜0，得－＜x＜.
所以(－∞，－)，(，＋∞)是函数g(x)的递增区间，(－，)是函数g(x)的递减区间，函数g(x)在x＝－处取得极大值为；在x＝处取得极小值为－.
10.
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，
所以a＋b＋c＝－1.③
由①，②，③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
11.
解：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
所以f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)·eq
\b\lc\(\rc\)()，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝，或x＝－1.
又feq
\b\lc\(\rc\)()＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，
即所以－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2]．2.2.2
双曲线的几何性质
自我小测
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
2．已知双曲线＋＝1的离心率e＜2，则k的取值范围是( )
A．k＜0或k＞3
B．－3＜k＜0
C．－12＜k＜0
D．－8＜k＜3
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则这个双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
4．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A．－＋＝1
B.－＝1
C．－＋＝1
D.－＝1
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2
B．3
C.
D.
6．双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如图，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，交MF1于点H，交MF2于点N，则双曲线的离心率为( )
A．1＋
B．4＋2
C．2－2
D．2＋2
7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．
8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率e＝__________.
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．
10．求以过原点且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切的两直线为渐近线，且过椭圆y2＋4x2＝4两焦点的双曲线的方程．
11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，离心率为2，求此双曲线的标准方程．
12．已知双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求此双曲线的离心率．
参考答案
1.
解析：由－＝1得渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(±4,0)，则焦点F(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝2.
答案：A
2.
解析：由题意知k＜0，
所以e＝＜2，
解得－12＜k＜0.
答案：C
3.
解析：由于4x2＋y2＝1的焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，由2＝a2＋b2得a2＝，b2＝，再结合焦点在y轴上，故选C.
答案：C
4.
解析：由题意可设双曲线方程为－y2＝k(k∈R，且k≠0)，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为－＋＝1.
答案：A
5.
解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，
所以a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，
即3c2－2ac－5a2＝0，
所以3e2－2e－5＝0，所以e＝或e＝－1(舍)．
答案：D
6.
解析：由题意知，|F1N|＝c，|NF2|＝c，
又|NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
答案：A
7.
解析：因为＝2，c＝4，所以a＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x.因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2知＝，解得e2＝，所以e＝.
答案：
9.
解析：因为双曲线上存在一点使|PF1|=2|PF2|，如图．
又因为|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a，
即在双曲线右支上必存在点P使得|PF2|=2a.
所以|AF2|≤2a.
所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a，
所以c≤3a，所以≤3.
又因为e＞1，所以1＜e≤3.
答案：1＜e≤3
10.
解：圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2,0)，半径r＝1.设过原点的圆的切线方程为y＝kx.
由圆的切线的性质，可得＝r＝1.
解得k＝±.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
从而所求的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．①
将椭圆y2＋4x2＝4化为标准形式为＋x2＝1.
所以焦点坐标为(0，±)．
将点(0，)代入①，得－＝λ，
所以λ＝－1.
故所求双曲线的方程为－＝1.
11.
解：设双曲线的标准方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)，
所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，所以c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
12.
解法一：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，即ab＝c2.
所以16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0.
所以32－10＋3＝0.
解得＝或＝3.
又0＜a＜b，所以＝3.
所以e＝＝2.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.
令∠BAO＝α，则cos
α＝＝，sin
α＝＝e.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.
所以e2＝或e2＝4，即e＝或e＝2.
又0＜a＜b，所以＞1，所以e＝＞.
所以离心率e为2.3.3.3
导数的实际应用
自我小测
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(
)
2．用边长为36
cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四个角截去的正方形的边长为( )
A．6
cm
B．8
cm
C．10
cm
D．12
cm
3．容积为108
L的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( )
A．2
dm
B．3
dm
C．4
dm
D．6
dm
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．
5．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x
t与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p＝24
200－x2，且生产x
t的成本为R＝50
000＋200x(元)，则该厂利润达到最大时的月产量为(
)
A．100
B．20
C．400
D．200
6．圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为__________．
7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．
8．一张1.4
m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8
m，问观察者应站在距离墙__________处看图，才能最清晰(即视角最大)．
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？
10．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：A
3.
解析：设水箱的底面边长为a
dm，高为h
dm，则V＝a2h＝108，即h＝.
用料最省，即表面积最小．
S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋.
S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(dm)．
答案：B
4.
解析：设底面边长为x，则表面积S(x)＝x2＋V(x＞0)，S′(x)＝(x3－4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点x＝.
答案：C
5.
解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝eq
\b\lc\(\rc\)()·x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)．
令f′(x)＝－x2＋24
000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．
答案：D
6.
解析：设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，
则表面积S＝2πRh＋2πR2.
由V＝πR2h，得h＝，
则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2.
令S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得R＝，从而h＝＝＝＝2，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，
所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．
答案：2∶1
7.
解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，
则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)
＝－0.15m2＋3.06m＋30，
所以y′＝－0.3m＋3.06.
令y′＝0，得m＝10.2.
当0≤m＜10.2时，y′＞0；
当10.2＜m≤15时，y′＜0.
故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．
又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；
当m＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
答案：45.6
8.
解析：如图所示，设OD＝x，∠BOA＝α，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，则α＝γ－β，tan
γ＝，tan
β＝，
tan
α＝tan(γ－β)＝＝＝(x＞0)．
令(tan
α)′＝＝0，
解得x＝2.4.在x＝2.4附近，导数值由正到负，在x＝2.4
m处，tan
α取得最大值，即视角最大．
答案：2.4
m
9.
解：设速度为每小时v千米时的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10时，p＝6，解得k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为小时，所以行1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.q′＝0.012v－＝(v3－8
000)，令q′＝0，解得v＝20.
因当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值．
即当速度为20千米/时时，航行1千米所需费用总和最小．
10.
解：(1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.
故C(x)＝.
所以f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，
即6－＝0，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x＜10时，f′(x)＞0.
故当x＝5时，有f(x)最小值＝f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．3.3.1
利用导数判断函数的单调性
自我小测
1．函数y＝x＋ln
x的单调递增区间为(
)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，－1)，(1，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－1,1)
2．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是(
)
A．b2－4ac＞0
B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0
D．b2－3ac＞0
3．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(
)
4．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，则a的值为(
)
A．1
B．2
C．－6
D．－12
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
6．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
7．若f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是__________．
8．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是__________．
9．求证：函数y＝xsin
x＋cos
x在区间eq
\b\lc\(\rc\)()上是增函数．
10．设函数f(x)＝ax－－2ln
x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1.
解析：函数y＝x＋ln
x的定义域为(0，＋∞)．
令f′(x)＝1＋＝＞0，得x＞0.
答案：A
2.
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，又a＞0，所以当b＝0，c＞0时，f′(x)＞0恒成立．
答案：C
3.
解析：因为导函数f′(x)是增函数，
所以切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大．
而B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．
答案：A
4.
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax＜0，
当a＞0时，解得－＜x＜0，不合题意；
当a＜0时，解得0＜x＜－.
由题意，－＝2，所以a＝－6.
答案：C
5.
解析：由函数y＝xf′(x)的图象，知在(－∞，－1)上，f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数；在(－1,0)上，f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(0,1)上，f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(1，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数．结合所给选项知应选C.
答案：C
6.
解析：令y′＝3x2＋2x－5＞0，得x＜－或x＞1.
答案：eq
\b\lc\(\rc\)()，(1，＋∞)
7.
解析：因为f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，
所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
即3ax2＋1＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝－12a＞0，所以a＜0.
答案：a＜0
8.
解析：y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥x在区间(0,2)上恒成立，所以a≥3.
答案：[3，＋∞)
9.
证明：y′＝sin
x＋xcos
x－sin
x＝xcos
x.
因为x∈eq
\b\lc\(\rc\)()，所以cos
x＞0.
所以y′＞0，即函数y＝xsin
x＋cos
x在eq
\b\lc\(\rc\)()上是增函数．
10.
解：(1)因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋－，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
由f′(x)＞0结合x＞0，
得0＜x＜或x＞2；
由f′(x)＜0及x＞0，得＜x＜2.
所以f(x)在区间eq
\b\lc\(\rc\)()和(2，＋∞)内是增函数，
在区间eq
\b\lc\(\rc\)()内是减函数．
(2)若f(x)在定义域上是增函数，
则f′(x)≥0对x＞0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立．
化为a≥对x＞0恒成立．
因为＝≤1，当且仅当x＝1时取等号，
所以a≥1.2.2.1
双曲线及其标准方程
自我小测
1．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4
B．2
C．10
D．与m有关
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16
B．18
C．21
D．26
3．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
4．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或3或－2
D．3
6．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；
②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4.
以上命题正确的是( )
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.
10．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.
11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
参考答案
1．解析：由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，
所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，
所以c＝5，所以2c＝10.
答案：C
2.
解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26.
答案：D
3.
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
答案：A
4.
解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．
答案：D
5.
解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有＝，解得m＝1.
答案：A
6.
解析：①若C为椭圆，则
解得2＜t＜4，且t≠3.
②若C为双曲线，
则(4－t)(t－2)＜0，
所以t＞4或t＜2.
③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则
解得3＜t＜4.
答案：C
7.
解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8.
解析：根据题意可知|PB|＝|PA|＋rB，
所以|PB|－|PA|＝rB，即|PB|－|PA|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，且2a＝4，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，故所求的方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9.
解析：由椭圆、双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，①
|PF1|－|PF2|＝±2，②
由①2－②2得|PF1|·|PF2|＝m－s.
答案：m－s
10.
解：因为||PF1|－|PF2||＝6，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.
又因为|F1F2|＝2c＝10，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
所以∠F1PF2＝90°.
11.
解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由|PM|－|PN|＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为－＝1.
12.
解法一：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上，即－＝1.
解方程组
得
所以所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线与椭圆有一个交点纵坐标为4，
所以它们的一个交点为A(，4)．
因为||AF1|－|AF2||＝2a，
所以将A，F1，F2的坐标代入得a＝2.
又因为c＝3，
所以b2＝c2－a2＝5.
所以所求双曲线的方程为－＝1.2.1.2
椭圆的几何性质
自我小测
1．已知k＜0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的( )
A．顶点
B．焦点
C．离心率
D．长轴长
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
5．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为∶的两段，则其离心率e为__________．
8．在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点，且离心率e＝，求此椭圆的方程．
10．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长等于短半轴长的，求该椭圆的离心率．
11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
参考答案
1.
解析：c21＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c22＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．
答案：B
2.
答案：C
3.
解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝，所以c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，
所以＝1－＝，
所以a2＝4b2＝16.
所以方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
4.
解析：依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因为b2＝a2－c2，所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
所以3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选B.
答案：B
5.
解析：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.
所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.
又b＝2，所以点P为短轴的两个端点．
答案：B
6.
解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a＝c，所以e＝＝.
答案：
7.
解析：由题意，得(a＋c)∶(a－c)＝∶，即＝，解得e＝5－2.
答案：5－2
8.
解析：如图，根据题意可知F1B1⊥F1B2，|OF1|＝3.
可知|OB2|＝|OB1|＝3，
所以b＝c＝3，a2＝b2＋c2＝18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9.
分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程．
解：由题意知椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.
又点在椭圆上，
所以＋＝1，所以c2＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
10.
解法一：设椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设M点坐标为，
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
所以|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a.
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a，＝，
所以e2＝＝＝1－＝，
所以e＝.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件设M，
依题意得＋＝1，
所以＝，＝，即e＝.
11.
(1)解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由余弦定理得
cos
60°＝
＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，所以e≥.
又因为椭圆中0＜e＜1，
所以所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.
(2)证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin
60°
＝×b2×＝b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．3.2
导数的运算
自我小测
1．函数f(x)＝的导数是(
)
A.
B.
C.
D.
2．函数y＝(2＋x3)2的导数为(
)
A．6x5＋12x2
B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2
D．2(2＋x3)·3x
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(
)
5．若函数f(x)＝x3＋x＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋2，则a＝__________，b＝__________.
6．若函数f(x)＝，则f′(π)＝__________.
7．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
8．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Qeq
\b\lc\(\rc\)().
求：(1)曲线在点P处，点Q处的切线斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
9．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案
1.
解析：f′(x)＝＝.
答案：C
2.
解析：因为y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
所以y′＝6x5＋12x2.
答案：A
3.
解析：因为y′＝，所以k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为y＝2x＋1.
答案：A
4.
解析：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题图知，a＜0，b＝0，c＞0，所以其解析式可表示为y＝ax2＋c.
而y′＝2ax，由于a＜0，所以B正确．
答案：B
5.
答案：1 2
6.
解析：f′(x)＝＝，所以f′(π)＝＝.
答案：
7.
解析：设P(x0，y0)(x0＜0)，
由题意知：y′|x＝x0＝3－10＝2，
所以＝4.
所以x0＝－2，
所以y0＝15，
所以P点的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
8.
解：因为－1＝，所以t＝1，所以y＝，
所以y′＝.
(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1；
当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝.
(2)当P为切点时，切线方程为x－y－3＝0；
当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.
9.
解：(1)y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，eq
\b\lc\(\rc\)()，
所以，所求三角形的面积S＝××＝.2.3.1
抛物线及其标准方程
自我小测
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3．若A是定直线l外的一个定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
5．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝12x
C．y2＝16x
D．y2＝20x
6．抛物线y2＝12x的准线方程是__________，焦点坐标是__________．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．
9.
动圆P与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心P的轨迹．
10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为直线x－2y－4＝0与x轴的交点．
(2)过抛物线y2＝2mx(m＞0)的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝6.
参考答案
1.
解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y2＝2px的焦点坐标为，椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p＝4.故选D.
答案：D
2.
解析：设P(x，y)，因为点P到焦点的距离为2，所以点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，所以x＝，所以y＝±.所以选B.
答案：B
3.
解析：设圆心为P，由圆过点A且与直线l相切可知，动点P到点A的距离等于它到直线l的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．
答案：D
4.
解析：设点P到抛物线y2＝16x的准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知＝4.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
答案：B
5.
解析：准线方程为l：x＝－6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x，故选A.
答案：A
6.
解析：由y2＝12x知，＝3，所以准线方程为x＝－3，焦点坐标为(3,0)．
答案：x＝－3 (3,0)
7.
答案：y2＝8x
8.
解析：因为抛物线方程为y2=4x，
则准线方程为x=-1.
设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM|=x0+1=5.所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x，解得y0=±4，
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
答案：10
9.
解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x=-2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连结PA.
因为动圆与定圆A：(x-2)2+y2=1外切，且与直线l：x=-1相切，
所以|PA|=1+|PD|，
即点P到点A的距离比它到直线l：x＝－1的距离大1.
所以点P到点A的距离与它到直线l′：x＝－2的距离相等，即|PA|＝|PD′|.
根据抛物线的定义，点P的轨迹是以点A为焦点，直线l′：x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
10.
解：(1)令y＝0得x＝4，
故抛物线焦点为(4,0)，＝4，p＝8，
抛物线方程为y2＝16x.
(2)设抛物线的准线为l，交x轴于点K，则l的方程为x=-，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，
则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝m，
同理|BF|＝|BB′|＝|FK|＝m.
又|AB|＝6，则2m＝6，所以m＝3.
故抛物线方程为y2＝6x.1.1
命题与量词
自我小测
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列4个命题中，设U为全集，则假命题是( )
A．若A∩B＝，则(UA)∪(UB)＝U
B．若A∩B＝，则A＝B＝
C．若A∪B＝U，则(UA)∩(UB)＝
D．若A∪B＝，则A＝B＝
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β.给出下列4个命题，其中真命题的个数是( )
①若l∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中全称命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
6．命题：①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________(填序号)．
7．下列命题中，是真命题的是__________(填序号)．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式＜0的解集为空集．
8．已知p(x)：x2－2x－m＞0，如果p(1)不成立，p(2)成立，则实数m的取值范围是__________．
9．用符号“”与“”表示下列命题，并判断其真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0.
10．求使命题p(x)：≥0为真命题的x的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
解析：A∩B＝只说明A与B无公共元素，如U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{3,4}，此时A与B都不是，故B错误．
答案：B
3.
解析：①中，l∥β，m β，l与m平行或异面，故①错；
②中，l⊥m，m β，无法确定l与β的位置关系，故α与β不一定平行，所以②错误；
③中，l与m可平行、相交、异面，故③错误；
④中，l∥m，l⊥α，则m⊥α，又因为m β，所以α⊥β，正确．
答案：A
4.
解析：由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
答案：D
5.
答案：B
6.
解析：根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
答案：①③④
7.
解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
答案：①②③⑤
8.
解析：若p(1)不成立，则1－2－m≤0，所以m≥－1，
若p(2)成立，则22－2×2－m＞0，所以m＜0，
故－1≤m＜0.
答案：[－1,0)
9.
解：(1)
m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，故该命题为假命题．
(2)
x∈R，使x2＋x＋1≤0.
因为x2＋x＋1＝2＋＞0，故该命题为假命题．
10.
分析：要使命题p(x)：≥0为真命题，就是要使x的取值满足≥0，只需解不等式≥0即可．
解：由≥0得x(2x＋1)≥0，且2x＋1≠0，
解得x≥0或x＜－，
故x的取值范围为.1.3.2
命题的四种形式
自我小测
1．有下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若a＞1，则ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R”的逆否命题；
③“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．命题a的逆命题是b，命题b的否命题是c，则a与c互为( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．不能确定
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若整数a能被2整除，则a是偶数”的逆命题是：“若整数a是偶数，则a能被2整除”
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0”的逆命题是________________________________________________________________________．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0；
②“如果sin
α＋cos
α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________(填序号)．
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝”是假命题，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
解析：①中命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②中，由ax2－2(a＋1)x＋a－3＞0的解集为R知，a＞0，且[－2(a＋1)]2－4a(a－3)＜0，而满足条件的a不存在，故②中命题为假命题．③中命题为真命题．
答案：B
2．解析：设命题a是“若p，则q”，则命题b为“若q，则p”，命题c为“若q，则p”．故a与c互为逆否命题．
答案：C
3.
答案：B
4.
答案：C
5.
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假，故选C.
答案：C
6.
答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.
答案：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集
8.
解析：命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg
x＋lg
y无意义．对于②，其否命题为“如果sin
α＋cos
α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin
α＋cos
α＝≠，故知其否命题为假命题．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
答案：③④
9.
分析：依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
10.
解：因为A∩B＝是假命题，
所以A∩B≠，设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有
即
解得m≥.
又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．3.1.1
函数的平均变化率
自我小测
1．已知函数y＝f(x)＝，那么当自变量x由2变到时，函数值的增量Δy为(
)
A.
B．－
C.
D．－
2．在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么为( )
A．2＋Δx
B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋5
D．5Δx＋(Δx)2
3．某地某天上午9：20的气温为23.40
℃，下午1：30的气温为15.90
℃，则在这段时间内的气温变化率为(
)
A．0.03
℃/min
B．－0.03
℃/min
C．0.003
℃/min
D．－0.003
℃/min
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．3
B．4
C．4.1
D．0.41
5．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(
)
A．k1＜k2
B．k1＞k2
C．k1＝k2
D．无法确定
6．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝__________.
7．已知函数y＝x3，当x＝1时，＝__________.
8．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1
000个单位时总成本的平均变化率为__________．
9．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)．
(2)比较体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
参考答案
1.
答案：Δy＝feq
\b\lc\(\rc\)()－f(2)＝－＝.
答案：C
2.
解析：因为Δy＝(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－6＝(Δx)2＋5Δx，所以＝Δx＋5，故选C.
答案：C
3.
解析：＝－0.03.
答案：B
4.
解析：利用求平均变化率的方法和步骤来解决．
Δs＝(3＋2.12)－(3＋22)＝0.41，
Δt＝2.1－2＝0.1，所以＝4.1.
答案：C
5.
解析：k1＝＝＝Δx＋2x0，
k2＝＝＝2x0－Δx，
k1－k2＝(Δx＋2x0)－(2x0－Δx)＝2Δx，Δx符号不确定，故无法确定k1与k2谁大．
答案：D
6.
解析：平均变化率＝＝＝a＝3.
答案：3
7.
解析：因为Δy＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
所以＝(Δx)2＋3Δx＋3.
答案：(Δx)2＋3Δx＋3
8.
解析：＝＝.
答案：
9.
解：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
10.
解：(1)因为V＝πr3，
所以r3＝，r＝，
所以r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．3.1.2
瞬时速度与导数
3.1.3
导数的几何意义
自我小测
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则t＝3时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
2．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值是(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
3．若＝1，则f′(x0)等于(
)
A.
B.
C．－
D．－
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为(
)
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
5．曲线y＝x3＋2在点eq
\b\lc\(\rc\)()处切线的倾斜角为(
)
A．30°
B．45°
C．135°
D．60°
6．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则＝__________.
7．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则＝__________.
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用＞连接)
9．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，求x0的值．
10．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
参考答案
1.
解析：Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，＝18＋3Δt，当Δt→0时，→18.
答案：B
2.
解析：k＝y′|x＝2＝＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，
所以过点(2,8)的切线方程为y－8＝12(x－2)，
即y＝12x－16，所以a＝1.
答案：B
3.
解析：＝
＝－＝－f′(x0)＝1.
所以f′(x0)＝－.
答案：D
4.
解析：根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.
答案：C
5.
解析：Δy＝(1＋Δx)3－×13＝Δx＋(Δx)2＋(Δx)3，＝1＋Δx＋(Δx)2，＝
＝1，所以曲线y＝x3＋2在点eq
\b\lc\(\rc\)()处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
答案：B
6.
解析：＝2＝2f′(x0)＝8.
答案：8
7.
答案：－2
8.
解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，由图象易知k1＞k3＞k2.
答案：k1＞k3＞k2
9.
解：对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝(2x0＋Δx)＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝[－3－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3.
又曲线y＝1－x3与曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线互相平行，
所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－.
10.
解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝
＝＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为li
＝li
(3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.2.3.2
抛物线的几何性质
自我小测
1．设抛物线y2＝2x与过焦点F的直线交于A，B两点，则·的值是( )
A.
B．－
C．3
D．－3
2．抛物线y＝ax2(a＜0)的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.，x＝－
B.，x＝－
C.，y＝－
D.，y＝－
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,)
B．(3，－)
C．(3,
)或(3，－)
D．(－3，±)
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
5．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A.
B.
C.
D.
6．抛物线y2＝2x上点P(1，－)到其焦点的距离为__________．
7．抛物线y2＝8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
8．已知抛物线y＝ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P(1,2)，作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为__________．
9．如图，已知抛物线的焦点为F(5,1)，准线方程为x＝1.
(1)求抛物线方程；
(2)求焦点到顶点的距离；
(3)求顶点坐标；
(4)已知A(6,2)，在抛物线上求一点Q，使得|QA|＋|QF|最小．
10．求顶点在原点、焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．
参考答案
1.
解析：抛物线y2＝2x的焦点坐标为.设过焦点F的直线AB为x＝ay＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2ay－1＝0，所以y1y2＝－1，x1x2＝·＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－.
答案：B
2.
解析：方程为x2＝y＝－y，则2p＝(p＞0)，则焦点F，准线方程为y＝－.
答案：C
3.
解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3.代入抛物线方程得y2＝12，所以y＝±.
答案：C
4.
解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有3＋＝4，所以p＝2.
答案：C
5.
解析：点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为＝＝.
答案：B
6.
解析：抛物线y2＝2x的准线为x＝－，根据抛物线的定义P点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以d＝1＋＝.
答案：
7.
解析：设所求点为(x0，y0)．因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，根据条件可知x0＋2＝，又因为y＝8x0，
所以x0＋2＝，解得x0＝1，所以y0＝±.
所以所求点的坐标为(1，－)和(1,
)．
答案：(1，－)和(1,
)
8.
解析：将P(1,2)代入y＝ax2得a＝2.
所以y＝2x2，即x2＝y.
所以|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，
所以S＝×1＝.
答案：
9.
解：(1)该抛物线方程不是标准形式，应根据抛物线定义求它的方程．
设抛物线上任意一点M(x，y)，据定义，可得＝|x－1|，
整理得(y－1)2＝8(x－3)．
这就是所求的抛物线方程．
(2)根据抛物线的几何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5－1＝4，故焦点到顶点的距离为2.
(3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式，顶点坐标为(3,1)．
(4)过点A作准线的垂线，垂足为R，交抛物线于点Q，则点Q即为所求．设抛物线上另有一点Q′(异于点Q)，点Q′到准线的距离为|Q′R′|，
则|Q′A|＋|Q′F|＝|Q′A|＋|Q′R′|≥|QA|＋|QR|＝|AR|.
由解得
故取最小值时点Q坐标为.
10.
解：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝＝.
解得a＝12或a＝－4.
所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.2.1.1
椭圆及其标准方程
自我小测
1．化简方程＋＝10为不含根式的形式是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．椭圆＋＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是坐标原点)的值是( )
A．4
B．2
C．8
D.
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4
B．5
C．7
D．8
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10
B．12
C．16
D．不确定
6．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝__________.
8．P是椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值是__________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
11．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任意一点，求AQ的中点M的轨迹方程．
12．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
参考答案
1.
解析：由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
答案：C
2.
解析：设另一个焦点为F2，则|MF1|＋|MF2|＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8.而ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：A
3.
解析：因为|AC|＋|BC|＋|AB|＝18，所以|CA|＋|CB|＝10＞|AB|＝8.所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1，且y≠0.
答案：D
4.
解析：因为焦点在y轴上，所以6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
答案：D
5.
答案：B
6.
答案：C
7.
解析：分两种情况：焦点在x轴上或焦点在y轴上．
答案：3或5
8.
解析：当点P为(0，)或(0，－)时∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，故△PF1F2为等边三角形．
答案：60°
9.
解析：因为点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，
所以点P在椭圆内且不过原点，
所以2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又因为a2＝2，b2＝1，
所以a＝，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
所以2≤|PF1|＋|PF2|＜2.
答案：[2,2)
10.
分析：利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆P的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意，可得|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆．
其中2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
11.
解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，利用中点公式，得所以
因为Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y20＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是2＋4y2＝1.
12.
解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
把②代入①解得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.3.2.1
常数与幂函数的导数
3.2.2
导数公式表
自我小测
1．下列命题正确的是( )
A．(logax)′＝
B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x
D．(3x)′＝3xln
3
2．若y＝ln
x，则其图象在x＝2处的切线斜率是(
)
A．1
B．0
C．2
D.
3．若y＝sin
x，则y′|x＝＝(
)
A.
B．－
C.
D．－
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
5．函数f(x)＝，则f′(x)＝__________.
6．曲线y＝ln
x与x轴交点处的切线方程是__________．
7．设点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．
8．已知点P在曲线y＝cos
x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
参考答案
1.
答案：D
2.
解析：因为y′＝，所以y′|x＝2＝，
故图象在x＝2处的切线斜率为.
答案：D
3.
解析：y′＝cos
x，y′|x＝＝cos＝.
答案：A
4.
解析：观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．
答案：D
5.
解析：因为f(x)＝＝，所以f′(x)＝.
答案：
6.
解析：因为曲线y＝ln
x与x轴的交点为(1,0)，
所以y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为y＝x－1.
答案：y＝x－1
7.
解：根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，因为y′＝(ex)′＝ex，
所以由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.
8.
分析：(1)点P在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a；
(2)利用导数先求直线l的斜率，即可得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．
解：(1)因为P在曲线y＝cos
x上，
所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin
x，
所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
