3.3.1
利用导数判断函数的单调性
课后导练
基础达标
1.已知f(x)=x2+2xf′(-1)，则f′(0)等于…( )
A.0
B.+4
C.-2
D.2
解析：f′(x)=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(-1)=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f′(0)=+4.
答案：B
2.设f(x)在(a,b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的________条件( )
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
答案：A
3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则( )
A.b2-4ac>0
B.b>0,c>0
C.b=0,c>0
D.b2-3ac<0
解析：f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立.因为a>0,则Δ=4b2-4·3ac<0,即b2-3ac<0.
答案：D
4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A.
B.(π,2π)
C.
D.(2π,3π)
解（直接法）：y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时，sinx<0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0);
x<0时，sinx>0,则x∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目知应选B.
答案：B
5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1］
C.(0,1)
D.(0,1］
解法一(直接法)：g′(x)=,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在［1,2］上为减函数，则有a≤1.再由条件知g′(x)=<0,∴a>0.
综上，0
解法二(排除法)：若a=1,f(x)=-x2+2x,g(x)=,易知f(x)与g(x)在［1,
2］上为减函数，排除A、C.
又若a=-,g(x)=-,在［1，2］上为增函数，排除B
，故选D.
答案：D
6.函数f(x)=ln(3x-b)(b>0)的增区间为__________.
答案：(,+∞)
7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是__________.
解析：f′(x)=3x2+2x+m.
∵f(x)在R上是单调递增函数，
∴f′(x)>0在R上恒成立，即3x2+2x+m>0.
由Δ=4-4×3m<0,得m>.
答案：m>
8.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0，3)，则m=__________.
解析：f′(x)=3x2-2mx,
∵f(x)的递减区间是(0，3)，
∴0，3是3x2-2mx=0的根，
∴0+3=,
∴m=.
答案：
9.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P(x,y)在该曲线上移动，过P的切线设为l.
(1)求证：此函数在R上单调递增；
(2)求l的斜率的范围.
答案：
(1)证明：y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R上递增.
(2)解：由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l的斜率的范围是k≥3.
10.(2004全国高考Ⅱ，文19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
解：f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.
3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.
所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.
(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.
(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.
综合运用
11.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a2+a+1)解：∵在(-∞,0)上f′(x)>0
∴f(x)在(-∞，0)上为增函数
又f(x)为偶函数
∴f(x)在(0，+∞)上为减函数
且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1)
∴原不等式可化为f(2a2+a+1)又∵2a2+a+1>0
3a2-2a+1>0恒成立
∴2a2+a+1>3a2-2a+1
解得012.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
解：f′(x)=3ax2+1,若a>0,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间，与原条件矛盾，若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+)(x-),综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(-∞,-)和(,+∞),增区间为(-,).
13.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1，求f(x)的单调区间.
解：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,
令f′(x)=0,
解得x1=0,x2=a-1.
(1)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞，+∞)上单调递增.
当a>1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0
(0,a-1)
a-1
(a-1,+
∞)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
从上表可知，函数f(x)在（-∞,0）上单调递增；在（0,a-1）上单调递减；在（a-1,+
∞）上单调递增.
拓展探究
14.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.
(1)求b、c的值；
(2)求g(x)的单调区间.
解析：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx,∴(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,
所以g(0)=0得c＝0,由奇函数定义得b=3.
(2)由（1）知g(x)=x3-6x,从而(x)=3x2-6,由此可知,
(-∞,-)和(,+∞)是函数g（x）的单调递增区间；
（-,）是函数g(x)的单调递减区间.1.1.2
量词
课后导练
基础达标
1.下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
2.下列存在性命题中真命题的个数是( )
①?x∈R,x≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数 ③x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
3.下列全称命题中假命题的个数是( )
①2x+1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x＞3 ③对任意一个x∈Z，2x2+1为奇数
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
4.下列命题为存在性命题的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案：D
5.下列命题正确的是( )
A.对于实数q＜1，方程x2+2x+q=0有实数根
B.有一个实数大于0且小于0
C.不存在一个实数其相反数是它本身
D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形
答案：A
6.(1)命题“x∈R,x2-x+3＞0”的否定是_______.
(2)命题“x∈R,x2+1＜0”的否定是_______.
答案：(1)?x∈R,x2-x+3≤0 (2)x∈R,x2+1≥0
7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_______.
答案：x∈{x|x是有理数}，x2∈{x|x是有理数}
8.下列叙述正确的命题序号是_______.
①x,y∈N，如果+y2=0，则x=0∧y=0；②设P(x)：2x＞x2，则P(4)是真命题；③“每一个向量都有方向”是命题；④若P(x)：sinx＞cosx为真命题，则x∈(,).
解析：①中由+y2=0x=0且y=0,正确.
②中P（4）：24＞43错误.
③正确.
④中x的范围是（2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
答案：①③
9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0；
(2)存在一对实数，使2x+3y+3＜0成立；
(3)勾股定理.
解：（1）x∈R,x2≥0.
(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.
(3)以a、b、c为三条边，c为斜边的直角三角形，a2+b2=c2
.
10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？判断它的真假.
解析：是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°,这与内角和定理矛盾，原命题为真.
11.命题“存在实数k＜0，使方程x2+(2k+1)x+k=0有两相异实根”是存在性命题吗？判断其真假.
解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k+1)2-4k=4k2+1＞0恒成立.
12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解：∵f(x)的图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1,
故有a+b+c=1.
∴b=,c=-a.
∴f(x)=ax2+x+-a,故应x≤ax2+
x+-a≤对一切x∈R成立.
即
∴a=.∴c=-a=.
∴存在一组常数：a=,b=,c=.
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
13.(2005辽宁高考，7)在R上定义运算：xy=x(1-y)，若不等式(x-a)(x+a)＜1对x∈R成立，求a的取值范围.
解析：（x-a)(x+a)＜1
(x-a)［1-(x+a)］＜1
-x2+x+a2-a-1＜0
x2-x-a2+a+1＞0.
∵不等式对任意实数x成立，
∴Δ=1-4(-a2+a+1)＜0,
∴-＜a＜.
14.(经典回放)已知a＞0，函数f(x)=ax-bx2.
(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2;
(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.
证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,
∵f(x)=-b(x-)2+,
∴f()=
≤1.
又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.
（2）必要性：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≥-1,
∴f(1)≥-1，即a-b≥-1.∴a≥b-1.
对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≤1,
∵b＞1,可以推出f(）≤1,即a·-1≤1.
∴a≤2.
∴b-1≤a≤2.
充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1.
∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,即ax-bx3≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.2.2.2
双曲线的几何性质
课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=-x，则双曲线方程为( )
A.x2-y2=96
B.y2-x2=160
C.x2-y2=80
D.y2-x2=24
解析：由椭圆=1得其焦点坐标为(0,-4)、（0，4）.
∴双曲线的焦点在y轴上.
∵双曲线的一条渐近线为y=-x,
∴a=b，而c=4.
∴a2+b2=(4)2,2a2=48.
∴a2=24,b2=24.
∴双曲线的方程为y2-x2=24.
答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析：∵2a=4,∴a=2.
∵双曲线的焦点在x轴上时，双曲线上的点的横坐标x应满足|x|≥2,而A点的横坐标为2，不满足|x|≥2.
∴双曲线的焦点应在y轴上.
设双曲线的方程为
∵点A(2,-5)在双曲线上，
∴.
∴b2=16.
∴双曲线的方程为
答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
解析：∵
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案：D
4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析：设所求双曲线的方程为
∵双曲线的一个焦点为(0,6)在y轴上，
∴λ<0.∴-λ-2λ=36,λ=-12.
∴所求双曲线方程是
答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=,则b=2ac2-a2=4a2e=
答案：C
6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为_________，离心率为_________.
解析：∵a2=5,b2=4,
∴2a=2,2b=4,c=a2+b2=3.
∴e=
又双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±
答案：25 4 y=±
7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是_________.
解析：等轴双曲线的离心率e=2，由双曲线的第二定义，得方程为,化简得xy=.
答案：xy=
8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为_________.
解析：设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.
则有
解得
又设点P到右准线的距离为d，则
∴d=6,即点P到右准线的距离为6.
答案：6
9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.
解：直线y=kx-1过（0，-1）点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±.
10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
解：∵点A与圆心O的连线的斜率为-,
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2-=λ.
∵点A（4，-1）在双曲线上，
∴16-=λ,λ=.
∴双曲线的标准方程为
综合运用
11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求｜PF1｜·｜PF2｜的最小值.
解析：设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-
∵|x0|≥a,∴x≥a2.
∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.
∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.
12.在双曲线=-1的上支上有不同的三点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)，与焦点F(0，5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值；
(2)求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.
(1)解：∵=e,
∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，
∴2(ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a).
∴y1+y3=2y2=12.
(2)证明：由题意，得
①-②，得(y1-y3)(y1+y3)-(x1-x3)·(x1+x3)=0.
∴
若x1+x3=0.
则kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C三点共线，这是不可能的.
∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=
即y=.因此，AC的中垂线过定点(0,).
13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.
解：∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，
∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.
∵
∴a=2,c=8.
∴b2=82-22=60.
∴双曲线的方程是
拓展探究
14.已知双曲线=1,F为其右焦点，A(4，1)为平面上一点，点P为双曲线上一点，求｜PA｜+｜PF｜的最小值(如右图).
解：由双曲线的第二定义可知=e,其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.
∴|PF|=ed=d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+×d.
∴|PA|+|PF|=|PA|+d,则求|PA|+|PF|的最小值，就是在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l:
x=的距离之和最小（如题图），由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线AB，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PE|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.
15.已知点M(-2，0)、N(2，0)，动点P满足条件｜PM｜-｜PN｜=22.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值.
解：（1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=
所以W的方程为=1,x≥.
(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时，x1=x2,y1=-y2.
从而·=x1x2+y1y2=x-y=2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得（1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
故x1+x2=，x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=
又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而·>2.
综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.2.1.3
椭圆的几何性质（二）
课后导练
基础达标
1.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是( )
A.椭圆的短轴的端点
B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的顶点
D.以上都不对
答案：B
2.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8，则动点M的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.无法确定
答案：B
3.已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,则椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由,得a2=16,b2=4.
答案：D
4.椭圆=1(a＞b＞0)的焦点到直线x=的距离为( )
A.２
B.
C.
D.
解析：焦点到直线x=的距离为-c或,即.
答案：C
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.2-
D.
-1
解析：∵|F1F2|=2c,|PF2|=2c,∴|PF1|=2c.
∴|PF1|+|PF2|=2c+2c.
又|PF1|+|PF2|=2a,∴2c+2c=2a.
∴=-1,即e=-1.
答案：D
6.椭圆=1的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为.
解析：分两种情况：①a2>a时，据题意有a=2a=4;②当a2答案：4或
7.椭圆=1上一点P到右焦点(1，0)的距离为，则点P到x轴的距离为_____________.
解析：|PF|=a-exp=,又a=2,e=,故xp=-1,
|yp|=.
答案：
8.椭圆=1(a＞b＞0)上任意一点，到两个焦点的距离分别为r1、r2，焦距为2c,若r1、2c、r2成等差数列，则椭圆的离心率为_____________.
解析：由题意，2×2c=r1+r2=2a,∴2c=a,,即e=.
9.求中心在原点，过点(1，)，一条准线为x-4=0的椭圆方程.
解析：由准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为=1(a>b>0),
将点(1,)代入椭圆方程，得b2=
①
由一条准线方程是3x-4=0.∴
②
又a2-b2=c2
③
由①②③消去b,c可得a2=4或a2=，相应地，b2=1或b2=,
故所求椭圆方程为+y2=1或=1.
10.点P(-3，1)在椭圆=1(a＞b＞0)的左准线上，过点P且方向为a=(2,-5)的光线，经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为多少？
解析：如右图所示.kPA=-.∴lPA：5x+2y+13=0.
则交点A的坐标为（-,-2）,据光的反射知识知kAF=-kPA=.
∴lAF：5x-2y+5=0.
∴与x轴交点即左焦点F(-1,0),即c=1.
又左准线x=-=-a2=-3,∴a=.
∴e=.
综合运用
11.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439
km，远地点B(离地面最远的点)距地面2
384
km，并且F2、A、B在同一条直线上，地球半径约为6
371
km.求卫星运行的轨道方程.(精确到1
km)
解：建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点（记F1为左焦点）.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为=1(a>b>0),
则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6
371+439=6
810,
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6
371+2
384=8
755.
∴a=7
782.5,c=972.5.
∴b2=a2-c2=7
782.52-972.52≈7
7222.
∴卫星运行的轨道方程是
12.已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：
(1)焦点F1的坐标为(3，0)；
(2)长半轴长为5.
则可求得此椭圆方程为=1(※),问可用其他什么条件代替条件(2)，使所求得的椭圆方程仍为(※)？请写出两种替代条件，并说明理由.
解析：①短半轴长为4；②右准线方程为x=;③离心率为e=;④点P(3,)在椭圆上；⑤椭圆上两点间的最大距离为10；……（答案是开放的）
拓展探究
13.椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=故椭圆的半焦距c=.
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
（2）设A、B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1）,
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A、B关于点M对称，
所以
解得k=.
所以直线l的方程为y=(x+2)+1,
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：（1）同解法一.
（2）已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1).
设A、B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2且
①
②
由①-②得
③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-4,y1+y2=2.
代入③得
即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)3.3.2
利用导数研究函数的极值
课后导练
基础达标
1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
2.函数y=1+3x-x3有( )
A.极小值-2，极大值2
B.极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值1
D.极小值-1，极大值3
解析：y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.
当x<-1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数；
当-10,函数y=1+3x-x3是增函数；
当x>1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.
∴当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；
当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3.
答案：D
3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解法一：(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以a=5.
故选D.
解法二：(验证法)当a=2时，f′(x)=3x2+4x+3=0,无解，排除A；
当a=3时，f′(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件，排除B；
当a=4时，f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C，故选D.
答案：D
4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的( )
A.极大值为，极小值为0
B.极大值为0，极小值为-
C.极小值为-，极大值为0
D.极小值为0，极大值为
解析：∵f(x)与x轴切于(1，0)点，
∴f′(x)=3x2-2px-q.
∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,
∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.
∴fmax=,fmin=f(1)=0.故选A.
答案：A
5.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A.y=x3+6x2+9x
B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x
D.y=x3+6x2-9x
解析：三次函数过原点，可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,∴b=-6,c=9.
∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
当x=1时，f(x)max=4;
当x=3时，f(x)min=0,满足条件.
答案：B
6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是_______________.
解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0，1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0答案：07.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是_______________.
解析：f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),
令f′(x)=0,得x=±a,
当-a当x>a或x<-a时，f′(x)>0，函数递增.
∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.
答案：a>
8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为_______________.
解析：x=2是f(x)的极大值点，
∵f(x)=x(x2-2cx+c2),
∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.
∴f′(2)=c2-8c+12=0.∴c=2或c=6.
当c=2时，不能取极大值，∴c=6.
答案：6
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1,
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
解：(1)由f′(-1)=f′(1)=0，得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0.
又f(1)=-1，∴a+b+c=-1.
∴a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x，
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1)；
当x<-1或x>1时，f′(x)>0；
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数，在(-1,1)上为减函数.
∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.
10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
解：(1)∵f(x)=alnx+bx2+x，
∴f′(x)=+2bx+1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0，
∴a+2b+1=0且+4b+1=0，
解方程组得a=-，b=-.
∴f(x)=-lnx-x2+x.
(2)f′(x)=-x-1-x+1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，故在x=1处函数f(x)取得极小值，在x=2处函数取得极大值ln2.
综合运用
11.求下列函数的极值
(1)y=x4-2x2-1
(2)y=(x+2)2(x-1)3
解：(1)y′=4x3-4x=0，x=0或x=-1或x=1.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
-
0
+
0
-
0
+
y
极小
极大
极小
当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=1时，函数有极小值-2.
(2)f′(x)=2(x+2)(x-1)3+3(x+2)2(x-1)2
=(x+2)(x-1)2(5x+4).
令f′(x)=0，解得x=-2，或x=-，或x=1.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
y′
+
0
-
0
+
0
+
y
极大
极小
无
当x=-2时，有极大值0；当x=-时，有极小值-
12.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图所示.求：
(1)x0的值；
(2)a、b、c的值.
答案：
(1)解：由图象可知，在(-∞,1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0.在(2,+∞)上f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.
(2)解法一：f′(x)=3ax2+2bx+c，
由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5，
得
解得a=2,b=-9,c=12.
解法二：设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m，
又f′(x)=3ax2+2bx+c，
所以a=,b=-m,c=2m,
f(x)=
x3-mx2+2mx.
由f(1)=5,即-m+2m=5,
得m=6，所以a=2,b=-9,c=12.
13.(2005全国高考Ⅱ，21)设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
解：(1)f′(x)=3x2-2x-1.
若f′(x)=0，则x=-,1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表.
x
(-∞,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的极大值是f(-)=+a，极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.
由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0.
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
结合f(x)的单调性可知.
当f(x)的极大值+a<0，即a∈(-∞,-)时，它的极大值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1,+∞)上；
当f(x)的极小值a-1>0，即a∈(1,+∞)时，它的极小值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(-∞,-)上.
所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
拓展探究
14.已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R为常数.若b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性.
解析：求导得f′(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex.
因b2>4(c-1)，故方程f′(x)=0，
即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；
x1=
令f′(x)>0，解得xx2；
又令f′(x)<0，解得x1故当x∈(-∞,x1)时，f(x)是增函数；
当x∈(x2,+∞)时,f(x)是增函数；
但当x∈(x1,x2)时，f(x)是减函数.2.1.2
椭圆的几何性质(一)
课后导练
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( )
A.(-1,0)、(1，0)
B.(-6，0)、(6，0)
C.(-，0)、(，0)
D.(0，-)、(0，)
答案：D
2.椭圆=1(0＜k＜4)的关系为( )
A.有相等的长、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的顶点
解析：∵20-k-(4-k)=16,∴焦距相等.
答案：B
3.已知椭圆C：=1与椭圆=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是( )
A.(m≠0)
B.
C.
D.以上都不可能
解析：把方程=1,则a2=8m2,b2=4m2.
∴c2=4m2.∴
而椭圆=1的离心率为.
答案：A
4.曲线
( )
A.仅关于x轴对称
B.仅关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对
答案：C
5.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则( )
A.a2=25，b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
解析：∵椭圆=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆=1的短轴长为6，
∴a2=25,b2=9.
答案：D
6.若椭圆经过原点，且焦点为F1(-1，0)，F2(-3，0)，则其离心率是________.
解析：由F1,F2的坐标知2c=(-1)-(-3)=2
∴c=1
∵椭圆过原点a-c=1,a=1+c=2
∴e==
答案：
7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是________.
解析：设椭圆标准方程为=1(a>b>0).
由题意知=2,即a=2b,且c=2，
由a2=b2+c2，解得∴椭圆的标准方程为=1.
答案：=1
8.如右图，直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B.该椭圆的离心率为________.
解析：∵x-2y+2=0y=x+1,∴,即.∴
答案：
9.椭圆过(3，0)点，离心率e=,求椭圆的标准方程.
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3,
∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3.
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b=3,
∴∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为
10.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离的，求这个椭圆的方程.
解析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是=1(a>b>0),再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.
设椭圆方程为=1(a>b>0).
由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F,
因此△B1FB2为等腰直角三角形.
于是|OB2|=|OF|，即b=c.
又|FA|=,即a-c=,且a2=b2+c2.
将以上三式联立，得方程组
解得a2=10,b2=5.
∴椭圆方程为=1.
综合运用
11.已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.
解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c;
且a-c=.
∴c=,a=2,b2=a2-c2=9.
当焦点在x轴上时，所求的方程为=1;
当焦点在y轴上时，所求的方程为=1.
对后一个方程，离心率e=,焦点坐标为（0,±）.
12.已知F1、F2是椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=,求此椭圆方程.
解析：由题意可得
a=4,c=2,∴b2=16-12=4.
所求椭圆方程为=1.
13.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，求的值.
解：令A(x1,y1)、B(x2,y2),则
由
a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0.
拓展探究
14.设P是椭圆+y2=1(a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.
解：依题意可设P(0,1),Q(x,y)则
|PQ|=
又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2).
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1
=(1-a2)y2-2y+1+a2.
=(1-a2)(y-+1+a2.
因为|y|≤1,a>1.
若a≥,则||≤1,当y=时，|PQ|取最大值
若1命题的四种形式
课后导练
基础达标
1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的( )
A.逆否命题
B.逆命题
C.否命题
D.原命题
解析：设p为“若A，则B”，则r、s、t分别为“若A，则B”“若B，则A”“若B，则A”，故s是t的否命题.
答案：C
2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是( )
A.若q，则p
B.若p，则q
C.若q，则p
D.p且q
解析：因原命题与逆否命题等价，故选C.
答案：C
3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A.真命题的个数一定是奇数
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D.以上判断均不正确
解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.
答案：B
4.有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“相似三角形的周长相等”的否命题 ③“若b≤0，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题 ④“若A∪B=B，则AB”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案：C
5.用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是( )
A.假设2是有理数
B.假设3是有理数
C.假设2或3是有理数
D.假设2+3是有理数
答案：D
6.命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是___________，逆否命题是___________.
答案：若a＞0,则a＞1 若a≤0,则a≤1.
7.(经典回放)命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
解析：顶点在底面的射影为底面的中心，也就是要求棱锥顶点到正三角形三个顶点的距离相等，所以原命题A的等价命题B是底面为正三角形，且顶点到底面三角形三个顶点距离相等的三棱锥是正三棱锥.
答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等.
8.已知a、b都是实数，命题“若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆否命题是___________
(用“若p则q”的形式写出这一逆否命题)
答案：若a,b全为0,则a+b≤0
9.写出命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.
解：原命题：若a2＞b2,则a＞b.
逆命题：若a＞b,则a2＞b2.
否命题：若a2≤b2,则a≤b.
逆否命题：若a≤b,则a2≤b2.
取a=-1,b=0,有a2＞b2,但a＞b不成立，所以原命题为假，取a=-2,b=-3,有a＞b,但a2＞b2不成立，所以逆命题为假.
根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质,这四种命题全为假命题.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)m＞时，mx2-x+1=0无实根；
(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.
解析：（1）原命题：“若m＞,则mx2-x+1=0无实根”，是真命题；
逆命题：“若mx2-x+1=0无实根，则m＞”,是真命题；
否命题：“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”是真命题；
逆否命题：“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”，是真命题；
（2）原命题：“若abc=0,则a=0或b=0或c=0”，是真命题；
逆命题：“若a=0或b=0或c=0，且abc=0”是真命题；
否命题：“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；（注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”）
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0,”是真命题.
综合运用
11.证明：如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明：如右图，不妨设直线a、b、l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交.
假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.
若l与b相交，这与已知矛盾；
若l与b平行，即l∥b,又a∥b，得l∥a，这与l与a异面相矛盾.
综上可知，l与b是异面直线.
12.求证两条相交直线有且只有一个交点.
证明：假设结论不成立，即有两种可能.
①无交点；②不止一个交点.
①若直线a、b无交点，这与已知矛盾.②若a、b不止一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点只有一条直线相矛盾，综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.
13.判断命题：“若c＞0，则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.
解析：∵c＞0,∴Δ=1+4c＞0
∴y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点,即命题为真
∴其逆否命题也为真
拓展探究
14.(经典回放)已知函数f(x)=ax+(a＞1).
(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
解析：(1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1,且＞0,
∴＞0.
又∵x1+1＞0,x2+1＞0.
∴
=
=
于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数.
（2）设存在x0＜0(x0≠-1),满足f(x0)=0,则,且0＜＜1.
∴0＜-＜1,即＜x0＜2.与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.2.3.2
抛物线的几何性质
课后导练
基础达标
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y=kx-k过点（1,0），点（1，0）在抛物线y2=2px的内部，
∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
答案：C
2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则( )
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为-4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
解析：∵抛物线x2=-4y,
∴2p=4,即通径长为4，
△AOB的面积为×2p×=×4×1=2.
答案：D
3.过点(0，-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则｜AB｜等于( )
A.2
B.
C.2
D.
解析：设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2).
由得k2x2-4(k+2)x+4=0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.
又
∴k=2或k=-1(舍).
∴｜AB｜=｜x1-x2｜
答案：C
4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
解析：∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
∴A、B两点的坐标分别为（2p,2p）和(2p,-2p).
∴｜AB｜=4p.
∴S△AOB=×4p×2p=4p2.
答案：B
5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A.8
B.16
C.32
D.61
解析：由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2.
代入y2=8x,得（x-2）2=8x,即x2-12x+4=0.
∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.
答案：B
6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：由题可知抛物线y2=8x的准线过（-2，0）,故过此点的直线l:y=k(x+2).
将直线方程代入抛物线方程可得k2(x+2)2=8x,
化简得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.
当k=0时，x=0成立；当k≠0时，
解得-1≤k≤1且k≠0.
综上所述，故-1≤k≤1.
答案：-1≤k≤1
7.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是________.
解析：∵点（x,y）在抛物线y2=4x上，∴x≥0.
∵z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴当x=0时，z最小，其值为3.
答案：3
8.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若｜AB｜=4，则焦点到AB的距离为.
解析：不妨设A（x,2），则（2）2=4x.
∴x=3.
∴AB的方程为x=3,抛物线的焦点为（1，0）.
∴焦点到准线的距离为2.
答案：2
9.已知抛物线y2=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P1（x1,y1）、P2(x2,y2).
∵P1、P2在抛物线上，∴y21=6x1,y22=6x2.
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①
∵y1+y2=2,代入①得k=
∴直线的方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).
由方程组得ky2-6y-24k+6=0.
设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1,y1）(x2,y2)，则y1+y2=.
∵P1P2的中点为（4，1），∴=2.∴k=3.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
10.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
证明：∵抛物线的焦点为F（,0）,
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,
代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，
∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，
∴点C的坐标为（-,y2）.
∴直线OC的斜率为k=即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
综合运用
11.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若｜AB｜=2，OC的斜率为，求随圆的方程.
解法一：设A（x1、y1）、B(x2,y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.
而代入上式可得b=a.
再由｜AB｜=｜x2-x1｜=2,其中x1、x2是方程（a+b）x2-2bx+b-1=0的两根.
故
将b=a代入得a=,
∴b=,∴所求椭圆的方程是x2+y2=3
12.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证：“如果直线l过点T(3，0)，那么·=3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1+y2=2t,y1·y2=-6,
·=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2
=-6t2+3t·2t+9-6=3.
∴·=3,故为真命题.
（2）（1）中命题的逆命题是：若·=3,则直线l过点（3，0）,逆命题是假命题.
设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b.
∵·=x1x2-y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)-y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b,
令b2-2b=3,得b=3或b=-1.
此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.
故逆命题为假命题.
拓展探究
13.已知椭圆C1：=1,抛物线C2：(y-m)2=2px(p＞0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(2)若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称.
所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）.
因为点A在抛物线上，所以=2p,即p=.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（2）当C2的焦点在AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).
由
消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2),
则x1、x2是方程①的两根，x1+x2=.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以｜AB｜=（2-x1）+(2-x2)=4-(x1+x2),
且｜AB｜=（x1+）+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+.
从而x1+x2+=4-(x1+x2).所以x1+x2=,即
解得k2=6,即k=±.
因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上，所以m=-k,即m=或m=-.
当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);
当m=-时，直线AB的方程为y=
(x-1).2.1.1
椭圆及其标准方程
课后导练
基础达标
1.椭圆上一点到两个焦点的距离和为( )
A.26
B.24
C.
D.
解析：由a2=13,得2a=2.
答案：D
2.下列说法中正确的是( )
A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段
答案：D
3.已知椭圆的方程为=1,焦点在x轴上，则m的范围是( )
A.-4≤m≤4且m≠0
B.-4＜m＜4且m≠0
C.m＞4或m＜-4
D.0＜m＜4
解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以0答案：B
4.设P是椭圆=1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.
又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=2c=2=4,∴△PF1F2
为直角三角形.
答案：B
5.椭圆=1的焦距等于2，则m的值为( )
A.5或3
B.8
C.5
D.16
解析：当焦点在x轴上时，c2=m-4,即1=m-4,
∴m=5.
当焦点在y轴上时，c2=4-m,即1=4-m,
∴m=3
答案：A
6.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是__________.
解析：因为椭圆的焦点在x轴上，a2=,b2=,所以c=，椭圆的焦点坐标为（±,0）.
答案：（±,0）
7.过点(-3，2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是__________.
解析：因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的方程为=1.
由点（-3,2）在椭圆上知=1,所以a2=15.
所以所求椭圆的方程为=1.
答案：=1
8.若方程=-1表示椭圆，则实数k的取值范围是__________.
解析：由题意
k必须满足
∴3答案：39.过原点的直线与椭圆=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，若F(c,0)是椭圆右焦点，则△FAB的最大面积是多少？
解析：∵S△FAB=S△OAF+S△OBF=c·|yA|+c·|yB|=c·(|yA|+|yB|).而（|yA|+|yB|）max=2b,
∴(S△FAB)max=bc.
10.点P是椭圆=1上的一点，F1、F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积.
解析：在椭圆=1中，a=,b=2,∴c=a2-b2=1.
∵点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a=2.|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=20
①
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos30°=|F1F2|2=4
②
①-②得(2+)|PF1||PF2|=16,
∴|PF1||PF2|=16(2-),
∴=|PF1||PF2|·sin30°=8-4.
综合运用
11.F1、F2是椭圆C：=1的焦点，在C上求满足PF1⊥PF2的点P的个数？
解析：a=2,c=2,e=,
设P(x0,y0),则|PF1|=2+x0,|PF2|=2-x0.
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即=16,解得x0=0.
故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF1⊥PF2.
12.已知圆C1：(x+1)2+y2=1和圆C2：(x-1)2+y2=9,求与圆C1外切而内切于圆C2的动圆圆心P的轨迹方程.
解析：圆C1的圆心C1坐标为（-1，0），半径r1=1,
圆C2的圆心C2坐标为（1，0），半径r2=3.动点P满足
|PC1|=r+1,|PC2|=3-r(r为动圆半径)，
∴|PC1|+|PC2|=4
∴动点P的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为4的椭圆.
故点P的轨迹方程为=1
13.已知P为椭圆=1上的点，设F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
解析：∵|PF1|+|PF2|=20
又∠F1PF2=
由余弦定理知：
∴|PF1|·|PF2|=
∴
拓展探究
14.已知椭圆的焦点是F1(-1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2.
解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,∴2a=4,又2c=2,∴b=.
∴椭圆的方程为
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°-θ.
由正弦定理得
由等比定理得
∴整理得5sinθ=3(1+cosθ).
∴tanF1PF2=tanθ=1.1
命题与量词
课后导练
基础达标
1.下列语句中能作为命题的一句是( )
A.3比5大
B.太阳和月亮
C.高一年级的学生
D.x2+y2=0
解析：紧扣命题的概念，逐一对四个选择项给出的语句进行判断，对开语句可以直接否认.一般语句主要从是否能判断其真假的角度来进行分析.
由于可以明确地肯定，3比5大这一语句为假，根据命题的概念，故选?A?.
答案：A
2.下列语句中不是命题的是( )
A.台湾是中国的领土
B.两军相遇勇者胜
C.上海是中国最大的城市
D.连接A、B两点
解析：D是描述性语句.
答案：D
3.若A、B是两个集合，则下列命题中的真命题是( )
A.如果AB，那么A∩B=A
B.如果A∩B=A，那么(UA)∩B=
C.如果AB，那么A∪B=A
D.如果A∪B=A，那么AB
解析：可用文氏图进行解答.
答案：A
4.下列命题中是假命题的是( )
A.若a·b=0，则a⊥b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若ac2＞bc2，则a＞b
D.a2+b2≥2ab
答案：B
5.设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c=(c·a)b；②|a|-|b|＜|a-b|；③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直；④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知｜a｜、｜b｜、｜a-b｜恰为一个三角形的三条边长.由“两边之差小于第三边”.故②真；
③因为［(b·c)a-(c·a)b］·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=0.所以垂直.故③假；
④（3a+2b)(3a-2b)=9·a·a-4b·b=9｜a｜2-4｜b｜2成立.故④真.
答案：D
6.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”，条件p：_________，结论q：_________，是_________命题(填真、假).
答案：一元二次方程ax2+bx+c=0；有两个不相等的实根；假
7.(2004湖北高考，理)设A、B为两个集合，下列四个命题：①AB对任意x∈A，有x∈B;②ABA∩B=；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB.其中真命题的序号是___________.(把符合要求的命题的序号都填上)
解：依据A?B的定义.
答案：④
8.设U为全集，下面三个命题中真命题的序号为.
①若A∩B=，则（UA）∪（UB）=U ②若A∪B=U,则（UA）∩（UB）= ③若A∪B=，则A=B=
答案：①②③
9.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除；
(3)方程x2-x+1=0有两个实根；
(4)“6是12和24的公约数”.
答案：
（1）若n(n≥3)边形是正多边形.则它的n个内角全相等.真命题.
(2)若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除.真命题.
(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.
(4)若6是12和24的约数，则是12和24的公约数.真命题.
10.设有两个命题：p：不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R；q：函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围.
解析：若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7-3m＞1，所以m＜2.若p真q假，则m∈?.若p假q真，则1＜m＜2.
综上所述，1＜m＜2.
综合运用
11.(1)已知下面命题是真命题，求a、b满足的条件.
ax2+bx+1=0有解
(2)已知下面命题是假命题，求a满足的条件.
若x1＜x2＜0则
解析：（1）当a=0,b≠0时；方程ax2+bx+1=0有解.当a≠0,b2-4a≥0时，方程ax2+bx+1=0有解.
∴a=0时，b≠0;
a≠0时，b2-4a≥0.
（2）由题意得a>0
12.把下列命题改写为“若p，则q”的形式
(1)负数的平方是正数
(2)菱形的两条对角线互相垂直
(3)方程x2-2x+1=0的解是x=1
解析：（1）若一个数是负数，则它的平方是正数.（2）若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直.
(3)若x2-2x+1=0，则x=1
13.判断下列命题真假并说明理由：
(1)合数一定是偶数
(2)设a·b＞0且a+b＞0则a＞0且b＞0
解析：（1）假命题，例如9是合数，但不是偶数.(2)真命题∵a·b＞0,∴a、b同号，又a+b＞0,∴a、b不能同负，故a、b只能同正.
拓展探究
14.某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现知道以下两个事实：
①这100人中，至少有1名是诚实的
②其中任何两人中，至少有1名是虚伪的
请判断有多少名诚实的？多少名虚伪的？
解析：既然参加会议的人至少有一名是诚实的，就让这名诚实的人都与其余99人每人组成一对，根据“任何两人中至少有一名是虚伪的”可以推知剩下的99人都是虚伪的.
结论：1名诚实的，99名虚伪的.2.3.1
抛物线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是( )
A.x2=-28y
B.y2=28x
C.y2=-28x
D.x2=28y
解析：∵=7,∴p=14.
∵抛物线的焦点在x轴正半轴上.
∴抛物线的方程是y2=28x.
答案：B
2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是( )
A.x2=72y
B.x2=144y
C.y2=-48x
D.x2=144y或y2=-48x
解析：令x=0得y=36,令y=0得x=-12,
∴抛物线的焦点为(0,36)或（-12，0）.
∴所求抛物线的标准方程为x2=144y或y2=-48x.
答案：D
3.已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：抛物线的焦点为(,0),
由得p=4.
答案：A
4.若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=16x或y=0(x＜0)
解析：∵点F（4，0）在直线x+5=0的右侧，且P点到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，∴点P到F（4，0）的距离与到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p=8，故P点的轨迹方程为y2=16x.
答案：C
5.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A.(0，)或(0,-)
B.(0,-)
C.(0,)
D.(,0)
解析：把方程写成x2=ay.若a>0，则p=,焦点为F（0,）;若a<0，则p=，开口向下，焦点为F（0，）.
答案：C
6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_________.
解析：由题设可知，圆与x轴的切点为抛物线的焦点
∴圆心为（,±1）,半径为1.
∴圆的方程为(x-)2+(y±1)2=1.
答案：(x-)2+(y±1)2=1
7.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_________.
解析：所求抛物线方程为x2=y,
其准线方程是y=-.
答案：y=-
8.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是_________.
解析：设P点的坐标为(x,y).
∵|PF|=10,∴1+x=10.∴x=9.把x=9代入方程y2=4x中，解得y=±6.
∴P点的坐标是(9,±6).
答案：(9,±6)
9.抛物线的焦点F在x轴上，A(m,-3)在抛物线上，且｜AF｜=5，求抛物线的标准方程.
解：设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵A点在抛物线上，
∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.
∴m=±.
①
又|AF|=+|m|=5.
②
把①代入②可得+
=5,即p2-10p+9=0.
∴p=1或p=9.
∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
解：设M(x,y)为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得=|y|.
平方整理，得y=x2-x+3，为所求抛物线的方程.
点评：当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.
综合运用
11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.
解：方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.
抛物线方程可化为x2=y,其中2p=,
∴p=，焦点在y轴上.
当a>0时，焦点坐标为(0,),准线方程为y=-;
当a<0时，焦点坐标为(0,)，准线方程为y=-.
综上所述，可知：抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.
12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.
解：设点P（x,y）,则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d=|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=［(x-1)2+3］.
∴当x=1时，d最小，此时y=1.
∴P(1,1)为所求.
13.A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足·=0(O是原点)，求证：
(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；
(2)直线AB过定点.
证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2),
(1)∵·=0，∴OA⊥OB.
∴.∴x1x2=-y1y2
①
由
∴(y1y2)2=4p2(x1x2) ④
由①④得y1y2=-4p2且x1x2=4p2.
∴结论成立.
（2）在（1）中②-③，得（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2).
∴
∴直线AB方程为y-y1=(x-x1).
∴y=
=
∴直线AB过定点(2p,0).
拓展探究
14.(经典回放)过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m，交抛物线于P1、P2两点.
求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
证明：设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，重足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义，得|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|.
∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,
∴|P0Q0|=
(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切.
15.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
解：(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,
于是，4+=5,∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A的坐标是（4，4），
由题意得B（0，4），M（0，2）.
又∵F（1，0），∴kFA=.
又MN⊥FA,∴k
MN=-,
则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2=-x,
解方程组
∴N().
(3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2，
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.
当m≠4时，直线AK的方程为y=(x-m),
即为4x-(4-m)y-4m=0.
圆心M（0，2）到直线AK的距离
d=
令d>2，解得m>1，
∴当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m<1时，直线AK与圆M相交.3.3.3
导数的实际应用
课后导练
基础达标
1.用边长为48
cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
解析：设截去的小正方形的边长为x
cm，铁盒的容积为V
cm3，由题意，得V=x(48-2x)2(0答案：B
2.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( )
A.
B.
C.r
D.r
解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，因为h=
令S′=0，得x=,h=r.
当x∈(0,)时，S′>0；
当∴当x=时，S取极大值.当梯形的上底长为r时，它的面积最大.
答案：A
3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设底面边长为x，侧棱长为l，则V=x2·sin60°·l，
∴l=.∴S表=2S底+3S侧=x2·sin60°+3·x·l=x2+.
∴V′==0.∴x3=4V，即x=.
又当x∈(0,)时y′<0，x∈(,V)时，y′>0，∴当x=时，表面积最小.
答案：C
4.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A.10
B.15
C.25
D.50
解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ×2×5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故S
max=25.
答案：C
5.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.无最大值，但有最小值
答案：C
6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为x米，则长为米.
因此新墙总长度L=2x+(x>0),
则L′=2-.
令L′=0，得x=±16.∵x>0,∴x=16.
当x=16时，L极小值=Lmin=64，
∴堆料场的长为=32米.
答案：32米和16米.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0,3］上的最大值、最小值分别是________.
答案：5，-15
8.函数y=sin2x-x,x∈［-,］的最大值是________，最小值是________.
答案：,-
9.将一段长为100
cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.
解析：设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x，设正方形与圆的面积之和为S，则S=π()2+()2(0所以S′=(100-x),
令S′=0，得x=≈44
cm.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为0的点，故当x=时S最小，此时S=
所以截成圆的一段铁丝长为时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为
10.货车欲以x
km/h的速度行驶，去130
km远的某地.按交通法规，限制x的允许范围是40≤x≤100.假设汽油的价格为5元/升，而汽车耗油的速率是(2+)升/小时.司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？
解析：汽车运行的时间为小时，耗油量为升，耗油费用为2·元，司机的工资为14×元.
故这次行车的总费用为
y=5×
∴y′=130
由y′=0，得40≤x≤100内的唯一解为x=243≈42
km/h.
∴最经济的车速为42
km/h，最低费用为130×≈150(元).
综合运用
11.如图，一艘渔船停泊在距岸9
km的A处，今需派人送信给距渔船3
km处的海岸渔站C，若送信人步行速度为每小时5
km，船速为每小时4
km，问在何处上岸，可以使抵站的时间最省？［参考导数公式()′=·f′(x)］
解析：设上岸点为D，BD=x,BC=15,AD=,所用时间t(x)=
∴t′(x)=解得x=12.
∴15-x=15-12=3
km.
∴上岸点在距渔站3
km处.
12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大.
解析：设被切去的全等四边形的一边长为x，如图，则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,
∴正六棱柱的体积V=6×(1-2x)2×3x(0又V′=（12x2-8x+1),由V′=0，得x=或x=.
∵当x∈(0,
)时，V′>0,V是增函数；
当x∈(,）时V′<0，V是减函数.
∴当x=时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为.
13.甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2
000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)，
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
解：（1）由题意，得ω=2
000-st=-s(t>0).
∴当吨时，ω取得最大值为元.
∴乙方获得最大利润的年产量为t=吨.
（2）设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为v元，则t=吨，v=st-0.002t2=
v′=
令v′=0,得s=20.当s>20时，v′<0,所以v在
(20,+∞)上单调递减；当s<20时，v′>0,所以v在（0，20）上单调递增.所以s=20时，v取得极大值，也就是最大值.所以在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是20元.
拓展探究
14.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
①当每辆车的月租定为3
600元时，能租出多少辆车？
②每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为多少？
解：（1）当每辆车的月租金为3
600元时，未出租的车辆数为
所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益
f(x)=
f′(x)=-+162 由f′(x)=0得
∴当x=4
050时，f(x)最大，最大值为f(4
050)=307
050.1.3.1
推出与充分条件、必要条件
课后导练
基础达标
1.设集合M={x|0＜x≤3},N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：易见NM，则“a∈M”/“a∈N”，但有“a∈N”“a∈M”.故选B.
答案：B
2.设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是( )
A.x＞1
B.x＜1
C.x＞3
D.x＜3
解析：x＞2x＞1,但x＞1/x＞2.
答案：A
3.条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，条件q：“直线l的斜率为-2”，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：由p成立可知q不一定成立，但q成立，p也成立.故p是q的必要不充分条件.
答案：B
4.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( )
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
解析：ac＞bc/a＞b,例如a＜b＜0,c＜0时.有ac＞bc但a＜b;反之，a＞b?/ac＞bc,例如a＞b＞0,c＜0时不成立.
答案：B
5.“cosα=-”是“α=2kπ+，k∈Z”的( )
A.必要不充分条件
B.充植槐匾?跫
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：∵cosα=-,∴α=2kπ+或α=2kπ+.
∴cosα=-/α=2kπ+,
反之由α=2kπ+cosα=-.
答案：A
6.函数y=x2+bx+c,x∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是_________.
解析：若b≥0，设x1＜x2,x1、x2∈(0,+∞）.
f(x2)-f(x1)=x22+bx2+c-(x21+bx1+c)=(x2-x1)(x2+x1+b)＞0.
∴f(x2)＞f(x1).
∴y=f(x)是单调函数,即b≥0是y=f(x)为单调函数的充分条件.
若f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x1+x2+b)＞0,
∵x2-x1＞0,x2+x1＞0,
∴此时必有b≥0,即b≥0是f(x)为单调函数的必要条件.
故答案是b≥0.
7.设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_________条件，r是t的_________条件.
解析：由题意可画出图形：
由图形可看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.
答案：充分 充要
8.“tanα=1”是α=的_________.
解析：“∵tanα=1a=kπ+”，α不一定为,
α=tanα=1,
∴tanα=1为α=的必要不充分条件.
答案：必要不充分条件
9.已知：p：|5x-2|＞3;q：＞0，则p是q的什么条件.
解：p:｜5x-2｜＞3.
所以5x-2＞3,或5x-2＜-3,
所以x＞1,或x＜-,
所以p:-≤x≤1.
因为q:＞0.
所以x2+4x-5＞0.
即x＞1,或x＜-5.
所以q:-5≤x≤1(如图所示）.
所以p是q的充分非必要条件.
10.已知a、b、c均为实数，证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.
证明：（1）充分性：若ac＜0.
则Δ=b2-4ac＞0.方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根，设为x1、x2.
∵ac＜0,∴x1·x2=＜0,即x1、x2的符号相反，方程有一个正根和一个负根.
(2)必要性：若方程ax2+bx+c=0.有一个正根和一个负根，设为x1、x2，不妨设x1＜0,x2＞0,则x1x2=＜0,∴ac＜0.
由（1）（2）知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件.
解析：若a2+b2=0,即a=b=0,
此时f(-x)=(-x)｜x+0｜+0=-x｜x｜=-f(x).
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件.
又若f(x)=x｜x+a｜+b为奇函数，即
f(-x)=-f(x)
∴(-x)｜-x+a｜+b=-x｜x+a｜-b,则必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
12.设p：x2-x-20＞0,q：＜0，则p是q的什么条件？
解析：p:x2-x-20＞0,化简p:x＞5或x＜-4.
q:＜0,化简q:-1＜x＜1或x＜-2或x＞2.
作数轴易得pq但qp.
∴p是q的充分不必要条件
13.设a、b∈R，已知命题p：a=b；命题q：()2≤，则p是q成立的什么条件？
解析：充分性：当a=b时，,即
故当a=b时，
必要性：当,
展开得,即（a-b)2≥0,a=b.
∴p:a=b:q:,p是q的充分不必要条件.2.2.1
双曲线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A.-1B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
解析：∵方程=1表示双曲线，
∴（1+k）(1-k)>0.∴(k+1)(k-1)<0.
∴-1答案：A
2.已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0，-)，则k的值等于( )
A.-2
B.1
C.-1
D.-
解析：∵焦点(0,-)在y轴上，∴k<0.
将原方程变形得
∴a2=
∴k=-1.
答案：C
3.已知双曲线=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，
则||PF1|-|PF2||=6.
设|PF2|=3，由3<5知P在右支上.
∴|PF1|=6+3=9.
答案：C
4.在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
解析：把方程mx2-my2=n写成标准方程
∵mn<0,∴<0,->0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
答案：D
5.已知双曲线的方程为=1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，｜AB｜=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A.2a+2m
B.4a+2m
C.a+m
D.2a+4m
解析：∵A、B在双曲线的右支上，
∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a.
∴|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a.
∴|BF1|+|AF1|=4a+m.
∴△ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.
答案：B
6.F1、F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上且满足｜PF1｜·｜PF2｜=32，则∠F1PF2=__________.
解析：设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2.
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2=r+r-2r1r2cosα,
∴cosα=
∴α=90°.
答案：90°
7.过点(3，4)及双曲线=1的两个焦点的圆的标准方程是__________.
答案：x2+(y-2)2=13
8.已知θ是三角形的一个内角，且sinθ-cosθ＝，则方程x2sinθ-y2cosθ=1可能表示下列曲线中的__________.(填上所有可能情况)
①焦点在x轴上的椭圆 ②焦点在y轴上的椭圆
③焦点在x轴上的双曲线 ④焦点在y轴上的双曲线
解析：由sinθ-cosθ=，得sin(θ-)=.
∴sin(θ-)=
又∵θ为三角形的内角，∴0<θ<π.
∴-<θ-<.
而sin(θ-)=<,
∴0<θ-<.
∴<θ<.
∴sinθ>0,cosθ>0且sinθ≠cosθ.
∴方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线.
答案：③
9.根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线=1有共同的渐近线，且过点(-3，23)；
(2)与双曲线=1有公共焦点，且过点(32，2).
解：（1）设双曲线的方程为=1,
由题意，得
解得a2=,b2=4.
所以双曲线的方程为
(2)设双曲线方程为
由题意易求c=25.
又双曲线过点(32,2),∴
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为=1.
10.已知定点A(3，0)和定圆C：(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
解：设P的坐标为(x,y).
∵圆C与圆P外切且过点A，
∴|PC|-|PA|=4.
∵|AC|=6>4,
∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=4的双曲线的右支.
∵a=2,c=3,
∴b2=c2-a2=5.
∴=1(x>0)为动圆圆心P的轨迹方程.
综合运用
11.过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少？
解：∵双曲线方程为=1,
∴c==13.
于是焦点坐标为F1（-13，0）、F2（13，0）.设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A（-13，y）(y>0).
∵
∴y=,
即|AF1|=.
又∵|AF2|-|AF1|=2a=24,
∴|AF2|=24+|AF1|=24+
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为
12.经过双曲线x2-=1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB.
(1)求｜AB｜；
(2)求△F2AB的周长l(其中F2是双曲线的右焦点).
解：(1)F1(-2,0),F2(2,0).
直线AB的方程为y=(x+2),
将其代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2).
∴x1+x2=,x1·x2=-.
∴|AB|=
(2)a=1,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2
①
|BF2|-|BF1|=2a=2
②
①+②,得
|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4.
|AF2|+|BF2|-3=4,
|AF2|+|BF2|=7,
∴△F2AB的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.
13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1
km).若A地炮兵炮击P地，求炮击的方位角.
解：以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)、B（-3，0）、C（-5，2）.
∵|PB|-|PA|=4,
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是=1(x≥2)
①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x-y+7=0
②
将②代入①得11x2-56x-256=0,得x=8或x=-(舍).
于是可得P(8,5).
又kPA=tanα=,∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
拓展探究
14.(2006江苏高考，17)已知三点P(5，2)、F1(-6，0)、F2(6，0).
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.
解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),
其半焦距c=6.
2a=||PF1|+|PF2||=.
∴a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为
(2)点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F1′(0,-6)、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为
=1(a1>0,b1>0).
由题意知，半焦距c1=6,
2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=.
∴a1=2,b=c-a=36-20=16.
∴所求双曲线的标准方程为=1.3.2
导数的运算
课后导练
基础达标
1.下列运算正确的是( )
A.(ax2-bx+c)′=a(x2)′+b(-x)′
B.(sinx-2x2)′=(sinx)′-(2)′(x2)′
C.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′·cosx
D.
答案：A
2.y=cotx的导数是( )
A.y′=
B.y′=
C.y′=-
D.y′=
答案：C
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )
A.(1,0)或(-1，-4)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(1,4)
答案：A
4.设y=-2exsinx,则y′等于( )
A.-2excosx
B.-2exsinx
C.2exsinx
D.-2ex(sinx+cosx)
解析：y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).
答案：D
5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于( )
A.100
B.0
C.100×99×98×…×3×2×1
D.1
解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),
∴f′(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+x·［（x-1)·(x-2)…(x-100)］′.
∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.
答案：C
6.(2005北京高考，12)过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.
解析：将y=ex求导知（ex）′=ex.
设切点坐标为（x0,）,则过该切点的直线的斜率为.
∴直线方程为y-=（x-x0）.
∴y-=·x-x0·.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程.
∴x0·=,∴x0=1.
∴切点为（1，e），斜率为c.
答案：（1，e） e
7.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为，则a=___________.
解析：∵y=x3,
∴y′=3x2.
∴y=x3在（a,a3）点的切线斜率k为k=3a2.
∴切线方程为y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.
令3a2x-2a3=0，得x=a,即y=3a2x-2a3与x轴交点横坐标为a.
令x=a,得y=3a2×a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3与x=a交点纵坐标为a3.于是有×a3,
解得a=±1.
答案：±1
8.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是___________.(以弧度数作答)
解析：
(x-2)(x2+4x+8)=0x=2.
∴两曲线只有一个交点.
∵y′=(2-x2)′=-x,
∴当x=2时，y′=-2.
又∵y′=(-2)′=x2,
∴当x=2时，y′=3.
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2，3.
∴夹角的正切值的绝对值为
∴夹角为.
答案：
9.求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);
(2)f(x)=xtanx-
(3)f(x)=.
解：（1）∵f′(x)=［2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5］′,
∴f′(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
(2)f′(x)=
(3)f′(x)=
10.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).
解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f′(x)=g′(x)，得2x+a=2x+c,∴a=c. ③
由f(5)=30,得25+5a+b=30.
④
∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=-.
∴g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=.
综合运用
11.曲线y=x2+1上点P处的切线与曲线y=-2x2-1也相切，求点P的坐标.
解：设P点坐标为（a,a2+1）,由y=x2+1,得y′=2x.
过P点的切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a)，
即y=2ax-a2+1,由
由相切知Δ=0，即a=±,
∴P点为（，7
3），（-，）.
12.当常数k为何值时，直线y=x指出与函数y=x2+k相切？并求出切点.
解：设切点A（x0,x20+k）
∵y′=2x
故当k=时，直线y=x与函数y=x2+的图象相切于点A且坐标为（，）.
13.设直线l1与曲线y=相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K，求KQ的长.
解：先确定l2的斜率，再写出方程，设P(x0,y0),
则
由l2和l1垂直，故,于是
l2:y-y0=-2(x-x0),
令y=0,则：
-y0=-2(xQ-x0)
即：-=-2(xQ-x0)
解得：xQ=+x0
易得：xK=x0
∴|KQ|=|xQ-xK|=.
拓展探究
14.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2：y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.
(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.
(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
答案：
（1）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x21+2x1)的切线方程是y-(x21+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21. ①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).
由Δ=0，得a=-,解得x1=-,此时P与Q重合，即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线.
由①得公切线方程为y=x-.
(2)证明：由（1）可知，当a＜-时，C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1,y1+y2=x21+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a，线段PQ的中点为（）.
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（）,
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.3.1
导数
课后导练
基础达标
1.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间［1,1+Δt］内相应的平均速度为( )
A.3Δt+6
B.-3Δt+6
C.3Δt-6
D.-3Δt-6
答案：D
2.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1，2)及附近一点(1+Δx,2+Δy)，则为( )
A.Δx++2
B.Δx--2
C.Δx+2
D.2+Δx-
解析：即为（1，2）与（1+Δx,2+Δy)两点连线的斜率.
答案：C
3.设f(x)在x处可导，则等于( )
A.2f′(x)
B.f′(x)
C.f′(x)
D.4f′(x)
答案：B
4.设f(x)为可导函数，且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
解析：利用定义.
答案：B
5.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增加值Δy约等于( )
A.R3ΔR
B.4πR2ΔR
C.4πR2
D.4πRΔR
解析：利用Δy=
答案：B
6.若f′(x0)=2,则=___________.
解析：利用导数的定义：
f′(x0)=
答案：-1
7.已知P(1，2)为函数f(x)=1+x3图象上一点，以P点为切点的切线的斜率为___________.
解析：k=f′(1)=
=(Δx2+3Δx+3)=3.
答案：3
8.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2,则t=2秒时，汽车的瞬时速度是___________.
解析：汽车在t=2秒时的瞬时速度为s(t)在t=2处的导数，利用导数的定义即可.
答案：4
9.已知y=f(x)=,求y′及y′|x=1.
解：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
10.抛物线y=x2在哪一点处的切线平行于直线y=4x-5
解：
令2x=4,x=2,即在点（2，4）处的切线平行于直线y=4x-5.
综合运用
11.设函数f(x)在x=a处可导，求下列各极限.
(1)
(2)
解：（1）原式
(2)原式=
12．已知函数f(x)及f(x)的导函数f′(x),求［f(x)+3］2的导数.
解：{［f(x)+3］2}′
拓展探究
13．试求过P(3,5)且与曲线y=x2相切的切线方程.
解：
设所求切线的切点为A（x0,y0).
∵点A在曲线y=x2上，∴y0=x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率y′｜x=x0=2x0.
∵所求的切线过P（3，5）和A（x0,y0)两点，
∴其斜率又为
∴2x0=
解之得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）.
当切点为（1，1）时，切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为（5，25）时，切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),
即y=2x-1和y=10x-25.1.2
基本逻辑联结词
课后导练
基础达标
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )
A.简单命题
B.“p或q”形式的命题
C.“p且q”形式的命题
D.“非p”形式的命题
解析：因“相等且平分”包含两个同时成立的结论，所以它是“p且q”形式的命题，且p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分.
答案：C
2.如果命题“p∨q”与命题“p”都是真命题，那么( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定为真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真假相同
解析：p为真命题，则p为假命题，又p∨q是真命题，
∴q为真命题.
答案：B
3.已知全集S=R，AS，BS，若命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.A
B.∈SB
C.A∩B
D.∈(SA)∩(SB)
解析：因为p:∈(A∪B),所以p:(A∪B),即A且B.
所以∈SA且∈SB.
故∈(SA)∩(SB).
答案：D
4.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是( )
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
答案：C
5.命题p：a2+b2＜0(a、b∈R)，命题q：a2+b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.“p”为假
D.“q”为真
解析：因为p为假q为真，所以“p∧q”为假：“p∨q”为真；“p”为真；“q”为假.
答案：A
6.已知命题p、q，则“命题p∨q为真”是“命题”p∧q为真的_________条件.
解析：p∨q为真包括p、q中有且只有一个为真，推不出p∧q为真，反之能推出来.
答案：必要不充分
7.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中，假命题是_________，真命题是_________.
解析：因为命题p假，命题q真，所以“p∧q”假，“p∨q”真，“p”真，“q”假.
答案：“p∧q”，“q”，“p∨q”，“p”
8.若命题p：不等式ax+b＞0的解集为{x|x＞}，命题q：关于x的不等式(x-a)(x-b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”“p”中真命题是__________.
解析：因命题p、q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“p”为真命题.
答案：p
9.已知命题p：|x2-x|≥6，q：x∈Z，且“p∧q”与“q”同时为假命题，求x的值.
解析：∵“p∧q”为假.
∴p、q至少有一命题为假.又“q”为假.
∴q为真，从而可知p为假.由p为假且q为真，可得｜x2-x｜＜6且x∈Z,
即
∴
∴
故x的值为-1，0，1，2.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)3=2；
(2)5＞4；
(3)对任意实数x，x＞0；
(4)每个正方形都是平行四边形.
解：（1）的否定：3≠2，真命题.
(2)的否定：5≤4,假命题.
(3)的否定：存在实数x，使x≤0,真命题.
(4)的否定：存在正方形不是平行四边形，假命题.
11.(2004福建高考，文)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充要条件.命题q：函数y=的定义域是(-∞,-1］∪［3,+∞).试判断p与q的真假性，及“p∨q”“p∧q”的真假性.
解析：命题p的判断可举反例：a=2,b=-3,则｜a｜+｜b｜＞1,但｜a+b｜=1,故命题p是假命题.
命题q：由函数解析式知｜x-1｜-2≥0.
解得x≤-1或x≥3,所以命题q真.
∴p∨q为真，p∧q为假.
12.已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
解：函数y=cx在R上单调递减?0＜c＜1.
不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R函数y=x+｜x-2c｜在R上恒大于1.
因为x+｜x-2c｜=所以函数y=x+｜x-2c｜在R上的最小值为2c.所以不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R2c＞1c＞.
若P正确，且Q不正确，则0＜c≤;若P不正确，且Q正确，则c≥1.所以c的取值范围为（0，］∪［1，+∞).
拓展探究
13.已知命题p：不等式|x|+|x-3|＞m的解集为R，命题q：f(x)=-(5-2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.
解：由不等式｜x｜+｜x-3｜＞m的解集为R，由绝对值的几何意义知m＜3；由f(x)=-(5-2m)x是减函数知5-2m＞1,∴m＜2.
又p∧q为假，p∨q为真，∴p、q一真一假.若p假q真可得m无解；
若p真q假，可得2≤m＜3.由以上两种情况可得，实数m的取值范围是2≤m＜3.
14.判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数x，使不等式x2-(a+1)x+a＞0成立
(2)对任意实数x，不等式|x+2|≤0成立.
解析：（1）Δ=（a+1)2-4a=(a-1)2任取a≠1,有Δ＞0，则不等式成立.∴命题为真命题它的否定为：对任意实数x，使x2=(a+1)x+a≤0成立
（2）存在实数x=1，使｜x+2｜＞0，所以命题是假命题.它的否定为：存在实数x，使｜x+2｜＞0