三、直线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A．(1，－2)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程和下列结论正确的是( )
A．是倾斜角为30°的两平行直线
B．是倾斜角为150°的两重合直线
C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程
可化为标准形式
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．
答案：B
3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝( )
A.
B．－6
C．6
D．－
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－，
由题意得直线4x＋ky＝1的斜率为－，
故－×＝－1，解得k＝－6.
答案：B
4．直线(t是参数，0≤θ<π)与圆(α是参数)相切，则θ＝
( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：直线为y＝xtan
θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan
θ－y＝0的距离等于半径2，即＝2，解得tan
θ＝±，易知θ＝或.
答案：C
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心
B．相交而不过圆心
C．相切
D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是＝＝
<2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos
θ＝－，sin
θ＝(θ为倾斜角)，
所以tan
θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，则圆心C到直线l的距离为________．
解析：直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C到直线l的距离为＝.
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3
三、解答题
9．在直线坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin
θ－2cos
θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
因为ρ2＝4ρsin
θ－2ρcos
θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，
所以t1t3＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：直线ρcos
θ＋ρsin
θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为(t为参数)．①
椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②
将①代入②中，得5t2－2t－6＝0，③
因为Δ＝128>0，根据参数t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
B级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：曲线C1和C2的普通方程分别为
x2＋y2＝5，①
x－y＝1，②
其中0≤x≤，0≤y≤，
联立①②解得
所以C1与C2的交点坐标为(2，1)．
答案：(2，1)
2．已知直线C1的参数方程(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：代入，得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，则|AB|＝|t1－t2|＝·＝×
＝.
答案：
3．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos
θ＋11＝0.
(2)由直线l的参数方程(t为参数)，
消去参数得y＝x·tan
α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得
＝，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，
即l的斜率为±.
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1一、曲线的参数方程
第1课时
参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A级 基础巩固
一、选择题
1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A．(1，1)
B.
C.
D.
解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．
答案：C
2．曲线与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，0)
D．(±2，0)
解析：设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
所以曲线与x轴的交点的直角坐标为(2，0)．
答案：C
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)
答案：A
4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是( )
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．
答案：D
5．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)
解析：x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，
由得0≤t≤1，
从而0≤x≤1，0≤y≤2.
答案：D
二、填空题
6．若x＝cos
θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos
θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，
得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin
θ.
由于参数θ的任意性，
可取y＝－1＋sin
θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．
解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，
得y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝______．
解析：由ρcos
θ＝4，知x＝4.
又所以x3＝y2(x≥0)．
由得或
所以|AB|＝＝16.
答案：16
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
解：由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，
所以3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
10．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得
解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得
即无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以
解得t＝2，
a＝9.所以a＝9.
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3)
B．(1，5)
C.
D．(2，0)
解析：先将P(2cos
θ，3sin
θ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．
解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＝0，
即ρ＝2cos
θ＋4sin
θ.
答案：ρ＝2cos
θ＋4sin
θ
3．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
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1模块综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
解析：点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是.
答案：C
2．极坐标方程cos
θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )
A．两条相交直线
B．两条射线
C．一条直线
D．一条射线
解析：由cos
θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
答案：A
3．曲线ρcos
θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )
A．ρsin
θ＋1＝0
B．ρcos
θ＋1＝0
C．ρsin
θ＝2
D．ρcos
θ＝2
解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N，从而所求曲线方程为ρcos＋1＝0，即ρsin
θ＋1＝0.
答案：A
4．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3)
B．(－，3)
C．(，－3)
D．(3，－)
解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得＋＝16，
所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
答案：D
5．化极坐标方程ρ2cos
θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
解析：ρ(ρcos
θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos
θ＝x＝1.
答案：C
6．极坐标方程分别是ρ＝2cos
θ和ρ＝4sin
θ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B. C．5 D.
解析：ρ＝2cos
θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin
θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.
答案：D
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
答案：B
8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标为.
答案：A
9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、射线和圆
B．圆、射线和双曲线
C．两直线和椭圆
D．圆和抛物线
解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．
答案：B
10．已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是( )
A.∪(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C.
D.
解析：由已知得
则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，
即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，
Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．
直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，
即a≥－.
答案：C
11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为( )
A．ρcos
θ＋ρsin
θ＝
B．ρcos
θ－ρsin
θ＝
C.ρcos
θ＋ρsin
θ＝
D.ρcos
θ－ρsin
θ＝
解析：圆锥曲线为椭圆，c＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x＋＝1，即x＋y＝，化为极坐标方程就是ρcos
θ＋ρsin
θ＝.
答案：C
12．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin
θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，
即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以直线l与圆C相交所得弦长为2＝
2＝4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，点关于直线ρcos
θ＝1的对称点的极坐标为________．
解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos
θ＝1的对称点的极坐标为.
答案：
14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，
得
x＝＋，y＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.
答案：
15．若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
解析：直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
答案：3＋1
16．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.
解析：椭圆C的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x－y－＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝，所以c＝，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，
所以a＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2，2)，.
18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
解：(1)由ρ＝cos
θ＋sin
θ，可得ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，
由l：ρsin＝，得：ρsin
θ－ρcos
θ＝，
ρsin
θ－ρcos
θ＝1，
又代入得：x－y＋1＝0.
(2)由解得
又得ρ＝1，tan
θ不存在，
又因为θ∈(0，π)，则θ＝，
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
19．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos
θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos
θ，
得：ρ2＝2ρcos
θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，
即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，
则圆心到直线l的距离为d＝＝.
所以|AB|＝2
＝.
因此|AB|的值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos
θ＋ρsin
θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值．
解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.
(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝，
点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan
α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin
θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin
θcos
θ＋1－a2＝0，
由已知tan
θ＝2，得16cos2θ－8sin
θcos
θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
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1(共30张PPT)
预习导学思维启动
Ma,
y)
核心突破讲练互动
B
课
结二、圆锥曲线的参数方程
第2课时
双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.
答案：D
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，
且x＝et＋e－t≥2＝2，
所以表示双曲线的右支．
答案：B
3．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1
B.－＝－1
C.－x2＝1
D.－x2＝－1
解析：双曲线的普通方程为－y2＝1，
离心率为＝，渐近线为y＝±x.
B中－＝－1，即－＝1.
其离心率为，渐近线为y＝±x，故选B.
答案：B
4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0
B．1
C.
D．2
解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.
由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.
答案：B
5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0，1)
D．[0，1)
解析：将曲线化为普通方程得(y＋1)
2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，
由数形结合知0≤m<1.
答案：D
二、填空题
6．双曲线的顶点坐标为________．
解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
8．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：化为普通方程为y＝x2，
由于ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，
所以化为极坐标方程为ρsin
θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin
θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin
θ＝0
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为
所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①
同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.
10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝eq
\f(8t2－8t1,8t－8t)＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t＋8t,2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))
所以kAP＝eq
\f(4（t1＋t2）,4（t＋t）－1).
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4（t＋t），,y＝4（t1＋t2），))
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
B级 能力提升
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5，0)，F2(5，0)，
设P(4sec
θ，3tan
θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec
θ，
y＝＝tan
θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
3．已知直线l过点A(1，0)，抛物线C的方程为y2＝8x，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝eq
\f(8t2－8t1,8t－8t)＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t＋8t,2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))
所以kAP＝eq
\f(4（t1＋t2）,4（t＋t）－1).
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4（t＋t），,y＝4（t1＋t2），))
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
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1二、极坐标
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：ρ＝2，tan
θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，
故取θ＝－，所以点P的极坐标为.
答案：C
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0)
B．(π，2π)
C．(－π，0)
D．(－2π，0)
解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
答案：A
3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
5．在极坐标系中，已知点P1，P2，则|P1P2|等于( )
A．9
B．10
C．14
D．2
解析：∠P1OP2＝－＝，所以△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
答案：B
二、填空题
6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．
解析：因为A，B两点的极坐标为，，
所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，
所以线段AB中点的直角坐标是.
答案：
7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．
解析：点B的极坐标可表示为，
则∠AOB＝－＝，
故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin
＝3.
答案：3
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r，0)，因为A，
所以
＝5，
即r2－8r＋7＝0，
解得r＝1或r＝7，
所以点M的坐标为(1，0)或(7，0)．
10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，
F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600
m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．
解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.
又|OA|＝600×cos
＝300，
|OD|＝600×sin
＝300，
|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.
故A(300，0)，D，E，
F(300，π)，G.
B级 能力提升
1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为ρ＝－2<0，
所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案：B
2．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P的极坐标为________．
解析：因为点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，
所以x＝－2，且y＝－2，
所以ρ＝＝2，
又tan
θ＝＝1，且θ∈[0，2π)，所以θ＝.
因此点P的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图所示，由A，B(2，π)，C.
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形．
(2)由
(1)可知，
|AC|＝2|OA|sin＝2×2×＝2.
所以S△ABC＝×(2)2＝3.
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1第一章
坐标系
复 习 课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．关于伸缩变换的定义的易错点．
对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式要区分(x，y)与(x′，y′)的意义．在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．关注直角坐标与极坐标互化的疑难点．
由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定θ的大小．
3．处理极坐标系问题中的两个易错点．
(1)当极坐标方程中仅含θ(不含ρ)时，常常忽略ρ的正负导致判断错误．
(2)平面直角坐标系中两点A(x1，
y1)，B(x2，y2)之间的距离|AB|＝，极坐标系中两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝eq
\r(ρ＋ρ－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
专题一 平面上的伸缩变换
1.点P(x，y)变为点Q(x′，y′)的伸缩变换为：
2．变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个．但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x，y)是变换前的坐标，Q(x′，
y′)是变换后的坐标．
[例1] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变成曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
点拨：考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线方程．
解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：
(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，
化简得曲线C的方程为＋(y＋3)2＝，
则该曲线是以为圆心，为半径的圆．
归纳升华
函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
[变式训练] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求曲线y2＝2x经过φ变换后所得的曲线方程．
解：设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得
代入y2＝2x，得y′2＝x′，
即y′2＝x′，
因此变换后曲线的方程为y′2＝x′.
专题二 直线和圆的极坐标方程
直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点满足的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理．应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程，如ρ＝2acos
θ(a≠0)，ρ＝2asin
θ(a≠0)，ρ＝r(r>0)及ρcos
θ＝a，ρsin
θ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．
[例2] 在直角坐标系Oxy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝2，
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)，
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)点M的直角坐标为(2，0)，
点N的直角坐标为，
所以MN的中点P的直角坐标为，
所以点P的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
归纳升华
此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法．
[变式训练] 在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：因为ρ＝12sin
θ，所以ρ2＝12ρsin
θ，
所以x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.
又因为ρ＝12cos，
所以ρ2＝12ρ，
所以x2＋y2－6x－6y＝0，
所以(x－3)2＋(y－3)2＝36，
所以|PQ|max＝6＋6＋＝18.
专题三 极坐标与直角坐标互化
如图所示，互化公式为：
对于tan
θ＝中θ值的确定，还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度．
[例3] ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－4sin
θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．
过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
归纳升华
极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度．
[变式训练] (2016·北京卷)在极坐标中，直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0与圆ρ＝2cos
θ交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以直线的直角坐标方程为x－y－1＝0.
因为ρ＝2cos
θ，所以ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos
θ，
所以x2＋y2＝2x.
所以圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
因为圆心(1，0)在直线x－y－1＝0上，
所以AB为圆的直径，所以|AB|＝2.
答案：2
专题四 数形结合思想
运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现．坐标系的建立，使直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决．
[例4] 在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，求直线l的极坐标方程．
解：设直线l与极轴相交于点C.如图所示，在Rt△OAC中，
|OC|＝
＝
＝2.
设直线l上的任意一点为M(ρ，θ)，
则直线l的极坐标方程为ρcos
θ＝2.
归纳升华
求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
[变式训练] 在极坐标系中，求半径为2，圆心为C的圆的极坐标方程．
解：由题意知圆经过极点O，OA为圆的一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图所求，
则|OA|＝2×2，OM⊥MA，
在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos，故ρ＝－4sin
θ.
经验证知点O(0，0)，A的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin
θ.
专题五 转化与化归思想
“化归”是转化与归结的简称，是对数学知识的迁移与数学解题方法的形象概括，表现为化此为彼，化难为易，化隐为显，具体地说，就是化抽象为具体，化未知为已知，化一般为特殊等．转化有等价转化与非等价转化两种，非等价转化常用于证明题或不等式，等价转化常用于解方程或不等式．在ρ≥0，0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化也属于等价转化，同时要注意以下两点：
(1)互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，单位长度相同．
(2)互化公式：或θ由点(x，y)所在的象限确定．
[例5] 已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6.
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1，C2交点间的距离．
解：(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
所以x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0，0)，半径等于10的圆．
由C2：ρsin＝6，
得ρ＝6，
所以y－x＝12，即x－y＋12＝0，所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0，0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线被圆截得的弦长，即C1，C2交点间的距离为
|C1C2|＝2＝2＝16.
归纳升华
将极坐标化为直角坐标，确定圆的直角坐标方程，再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐标方程．
[变式训练] 在极坐标系中，求圆ρ＝8sin
θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．
解：圆ρ＝8sin
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．
圆心(0，4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，
所以圆上的点到直线的最大距离为6.
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1(共58张PPT)
预习导学思维启动
S
a
PM(P,
0)
2,0
核心突破讲练互动
A
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M(p,)
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M
6
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y人
3T
B
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结(共31张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结(共40张PPT)
预习导学思维启动
y
M
o
M
核心突破讲练互动
Q(6,0)3
课
结评估验收卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.
答案：D
2．圆ρ＝2cos的圆心为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由ρ＝2cos得ρ2＝ρcos
θ－ρsin
θ，
所以x2＋y2＝x－y，
所以＋＝1，
圆心的直角坐标为，极坐标为.
答案：D
3．将曲线y＝sin
2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A．y′＝3sin
x′
B．y′＝3sin
2x′
C．y′＝3sinx′
D．y′＝sin
2x′
解析：由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin
2x，有＝sin
x′，即y′＝3sin
x′.
答案：A
4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(－2，2，－2)
B．(－2，2，2)
C．(－2，－2，2)
D．(2，2，－2)
解析：
答案：A
5．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由A与B，知∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
答案：B
6．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
解析：由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos
θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋，
所以该方程表示抛物线．
答案：D
7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为( )
A．ρ＝－4cos
θ
B．ρcos
θ－1＝0
C．ρsin
θ＝－
D．ρ＝－sin
θ
解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos
θ＝2·cos
，则ρcos
θ＝1，经检验符合方程．
答案：B
8．极坐标系内曲线ρ＝2cos
θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.－1
B.－1
C．1
D.
解析：将曲线ρ＝2cos
θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.
答案：A
9．在极坐标系中，直线ρcos
θ＝1与圆ρ＝cos
θ的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
解析：直线ρcos
θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos
θ，即ρ2＝ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．
答案：A
10．若点P的柱坐标为，则点P到直线Oy的距离为( )
A．1
B．2
C.
D.
解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面Oxy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案：D
11．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
A B
C D
解析：法一 圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin
θ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为，选C.
法二 圆ρ＝2sin的直角坐标方程为＋＝1，圆心为，半径为1.
因此选项C正确．
答案：C
12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin
θ＋ρcos
θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，
由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．
解析：因为A，B，所以∠BOA＝，
又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，
所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．
解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin
θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos
θ＋sin
θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9和y＝0，
所以弦长＝2＝2×＝2.
答案：2
16．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________．
解析：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.
在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.
将代入x2＋y2＝a2，得a＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
解：因为ρsin＝，所以ρsin
θ＋ρcos
θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又因为极点的直角坐标为(0，0)，
所以极点到直线的距离d＝＝.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝
＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得·3ρsin
θ＋ρsin
θ＝×3×1×sin
2θ，化简得ρ＝cos
θ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos
θ.
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，
得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，
即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆心到直线的距离d＝＝>，
所以曲线C1与C2相离．
21．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝
交于不同的两点A，B.求：
(1)|AB|的值；
(2)过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
解：(1)因为ρ＝2，
所以x2＋y2＝4.
又因为ρsin＝，
所以y＝x＋2，
所以|AB|＝2＝2＝2.
(2)因为曲线C2的斜率为1，
所以过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
所以直线l的极坐标为ρsin
θ＝ρcos
θ－1，
故ρcos＝.
22．(本小题满分12分)从极点O作直线与另一直线l：ρcos
θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．
解：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
因为ρ0cos
θ＝4，
所以ρ＝3cos
θ，即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cos
θ化为直角坐标方程，
得x2＋y2＝3x，
即＋y2＝.
知点P的轨迹是以为圆心、半径为的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.
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1一、平面直角坐标系
A级 基础巩固
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，
所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
答案：A
2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：C
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos
x′
B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′
D．y′＝cos
3x′
解析：由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′，
所以y′＝cos
x′.
答案：A
5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．2x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x＋y＝1
D．4x＋3y＝1
解析：将代入曲线＋＝1.
得x2＋y2＝1.
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.
答案：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x＋1＝0
7．若点P(－2
016，2
017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________．
解析：因为P(－2
016，2
017)经过伸缩变换
得
代入x′y′＝k，得k＝－1.
答案：－1
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．
解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
答案：
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为
M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，
得＋＝1，
所以x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．
B级 能力提升
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D.x2＋y2＝1
解析：将代入2x′2＋8y′2＝2中，
得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.
答案：A
2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，由题意可知＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
由||·||＋·＝0，
可知4＋4(x－2)＝0，
化简，得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．已知A，B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸的轨迹方程．
解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2
s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680
m.
因为|AB|>680
m，
所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上．
以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
所以2a＝680，a＝340，
因为|AB|＝800，
所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44
400，
因为800>|PA|－|PB|＝680>0，
所以x>0，
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
－＝1(x>0)．
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1(共37张PPT)
预习导学思维启动
y
M
核心突破讲练互动
课
结(共45张PPT)
预习导学思维启动
P(p,0,z)
P(r,q,θ)
核心突破讲练互动
B1
(D/
o6
课
结评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1，2)
B．(2，－1)
C．(3，－2)
D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
解析：由xcos
θ＝a，所以cos
θ＝，
代入y＝bcos
θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos
θ，知y∈[－|b|，|b|]，
所以曲线应为双曲线的一部分．
答案：D
3．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A.
B.π
C.π
D.π
解析：因为点Q(－2，2)在圆上，
所以且0≤θ<2π，所以θ＝π.
答案：B
4．设r>0，那么直线xcos
θ＋ysin
θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1|
B．2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析：点P1与点P之间的距离为
＝eq
\r(t＋t)＝|t1|.
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π
B．3π
C．4π
D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
所以e＝.
答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为( )
A．[，5]
B．[－，5]
C．[－5，－]
D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos
φ，sin
φ)，因此S＝x＋y＝cos
φ＋sin
φ＝(cos
φ＋sin
φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan
γ＝，所以S的取值范围是[－，
]，故选D.
答案：D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2两点，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
解析：将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C：(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝
＝，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－.
答案：3－
14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，
又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，
联立这两个方程得x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
解：(1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos
θ＝1，y＝2sin
θ＝－，
所以点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离为
d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos(a>0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，
直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立解得或(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，
即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．
由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.
21．(本小题满分12分)已知直线l：
(t为参数)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为＋＝1，
则F的坐标为(－1，0)，
又直线l过点(m，0)，故m＝－1.
(2)把x＝m＋tcos
α，y＝tsin
α代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos
α－9＝0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，
则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝＝，
故当sin
α＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sin
α＝1时，|FA|·|FB|取最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
解：(1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.
由ρsin＝，得ρsin
θ－ρcos
θ＝2，(
)
将代入(
)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.
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1第二章
参数方程
复 习 课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．参数方程化为普通方程的易错点
将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致．
2．圆锥曲线中的三点注意事项
(1)注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆．
(2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x(或y)的变化．
(3)利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值．
3．关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件
t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式．
4．圆的渐开线和摆线的两个易错点
(1)对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误．
(2)弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误.
专题一 求曲线的参数方程
用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．
[例1] 过点P(－2，0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
解：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－2.
由消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0.
所以y1＋y2＝，得y＝.
x＝ty－2＝－2＝，
由Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0，得t2>3.
所以M的轨迹的参数方程为(t为参数且t2>3)．
归纳升华
求曲线参数方程的五步
1．建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；
2．写出适合条件的点M的集合；
3．选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程；
4．将方程化为最简形式；
5．证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
注意：最后一步可以省略，但一定要注意所求的方程所表示的点是否都在曲线上，要注意那些特殊的点．
[变式训练] 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
由题知C点的直角坐标为(0，4)，圆C的半径为4，
所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，
将代入，得圆C的极坐标方程为ρ＝8sin
θ.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，
圆心C到l的距离为d＝＝>4，
所以直线l与圆C相离．
专题二 参数方程及其应用
(1)求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
(2)能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
[例2] 已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)若α＝，求曲线C2的普通方程，并说明它表示什么曲线；
(2)曲线C1和曲线C2的交点分别记为M，N，求|MN|的最小值．
解：(1)因为α＝，所以(t为参数)，
所以x－1＝y＋1，
所以曲线C2的普通方程是y＝x－2，它表示过点(1，－1)，倾斜角为的直线．
(2)曲线C1的普通方程为x2＋y2＝4，
将(t为参数)代入x2＋y2＝4中得(1＋tcos
α)2＋(－1＋tcos
α)2＝4，
所以t2＋2(cos
α－sin
α)t－2＝0，
设t1，t2为方程的两个根，则有
|MN|＝|t1－t2|＝＝
＝，
所以当sin
2α＝1时，|MN|的最小值为2.
归纳升华
1．曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参，可以通过加减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的等价性．
2．把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想．
3．求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时，使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题．
4．直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的几何意义．
[变式训练] 直线l过点P0(－4，0)，它的参数方程为(t为参数)，与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解：将直线l的参数方程代入圆的方程，
得＋＝7，
整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
所以切线长|P0T|＝3.
专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用
把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化．一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题．在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现．
[例3] 已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cos
θ等价于ρ2＝2ρcos
θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos
θ＝x代入ρ2＝2ρcos
θ即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)将(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，
得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
归纳升华
1．先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论．
2．参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．
3．解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决．
[变式训练] (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，
由于曲线C2的方程为ρsin＝2，
所以ρsin
θ＋ρcos
θ＝4，
因为曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
α，sin
α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
又d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
专题四 数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较强的综合性．加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节．
[例4] 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________．
解析：将(t为参数)消参得y2＝2px，则抛物线的焦点为F，准线为直线x＝－.
将x＝3代入y2＝2px得y＝±.
如图，不妨令M的坐标为(3，)，所以E.
因为|EF|＝|MF|，所以
＝
，
化简得p2＋4p－12＝0，因为p>0，所以p＝2.
答案：2
归纳升华
1．化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程．
2．根据两点距离的定义，得关于p的方程，从而求得p值，再结合抛物线的图象，确定p的范围，体现了转化与数形结合思想的应用．
[变式训练] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos
θ－ρsin
θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos
θ，4sin
θ)，坐标原点O(0，0)，
设点P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得
x＝(0＋4cos
θ)＝2cos
θ，
y＝(0＋4sin
θ)＝2sin
θ，
所以点P的坐标为(2cos
θ，2sin
θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)中，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
从而点P的轨迹为圆心在原点、半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为.
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1四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面Oyz内．
答案：A
2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为，
所以x＝1·sin
cos
＝，
y＝1·sin
sin
＝，
z＝1·cos
＝.
所以M的直角坐标为.
答案：B
3．设点M的直角坐标为
(2，0，2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2，0，2)
B．(2，π，2)
C．(，0，2)
D．(，π，2)
解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
所以ρ＝＝2，tan
θ＝＝0，
所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，
2)．
答案：A
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos
＝，y＝3sin
＝，z＝3，
所以M点的直角坐标为.
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝
＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，
可知cos
θ＝＝＝，
所以θ＝，
所以M点的球坐标为.
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，
则ρ＝＝2，tan
θ＝＝＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝，
所以所求柱坐标为.
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2)
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
8．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，
z)，
则由(r，φ，θ)＝，
知x＝4sincos＝－2，
y＝4sinsin＝2，
z＝4cos＝2，
所以点M的直角坐标为(－2，2，2)．
故点M到Oz轴的距离为＝2.
答案：2
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，
tan
θ＝＝1，
θ＝
(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝＝＝2.
由rcos
φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos
φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，球坐标为.
10．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，求点M到原点O的距离．
解：设点M的直角坐标为(x，y，z)．
由(ρ，θ，z)＝知
x＝ρcos
θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，
因此|OM|＝＝＝3.
B级 能力提升
1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，点P关于点O(0，0，0)的对称点的坐标为(0<θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z)
B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z)
D．(ρ，π－θ，－z)
解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．
答案：C
2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
答案：
3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．
解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
所以V＝Sh＝πr2h＝2π.
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1三、简单曲线的极坐标方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．极坐标方程ρcos
θ＝－6表示( )
A．过点(6，π)垂直于极轴的直线
B．过点(6，0)垂直于极轴的直线
C．圆心为(3，π)，半径为3的圆
D．圆心为(3，0)，半径为3的圆
解析：将ρcos
θ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．
答案：A
2．圆ρ＝(cos
θ＋sin
θ)的圆心的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.
答案：A
3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
解析：将圆ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos
θ＝2.
答案：A
4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝－
D．ρ＝
解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．
答案：C
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：由ρ＝2cos
θ，得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
答案：B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
解析：因为直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．
解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cos.
答案：ρ＝6cos
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin
θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
解析：极坐标系中的圆ρ＝4sin
θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0，2)．
直线θ＝在直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
所以圆心(0，2)到直线x－3y＝0的距离为
＝.
答案：
三、解答题
9．(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解：圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin
θ－2ρcos
θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为.
10．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，
l：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ2，θ)，
则|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos
θ＋sin
θ)(ρ≠0)．
B级 能力提升
1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4
B.
C．2
D．2
解析：ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)．
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，
由勾股定理，得切线长为＝2.
答案：C
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin
θ与ρcos
θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
ρcos
θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.
联立解得
点(－1，1)的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
OA＝ODcos或OA＝ODcos，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin
θ＋cos
θ)＝1，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心．
因此直线l被圆C所截得的弦长为2.
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1(共41张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
D(b-a,
c)
C(b,
c
A
M
2
y
M
N
归纳升华
1.求轨迹方程的一般步骤
①建系设点/建立适当的平面直角坐标系,设动点
找等量关系根据题目条件,找出动点M所满足
的等量关
利用x,y表示上述等量关系
简上述方程为最筒形
验证所得到的方程与曲线
是否满足一一对应关系
y
B
课
结四、渐开线与摆线
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是( )
A．(π，0)
B．(π，1)
C．(2π，2)
D．(2π，0)
答案：B
4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π C．6π D．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin
φ＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
所以|AB|＝
＝.
答案：C
二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
答案：(π，2)
三、解答题
9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
(φ为参数)．
10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
(φ是参数)．
B级 能力提升
1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos
t)得cos
t＝0.
因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．
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1(共51张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
P
A
t
B
Q
y
T2
B
课
结二、圆锥曲线的参数方程
第1课时
椭圆
A级 基础巩固
一、选择题
1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1
C．y2＋＝1
D．y2＋＝1
解析：易知cos
θ＝x，sin
θ＝，
所以x2＋＝1.
答案：A
2．椭圆(θ为参数)的焦距为( )
A. B．2 C. D．2
解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，
所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，
所以2c＝2.
答案：B
3．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点P的坐标是( )
A．(3，4)
B.
C．(－3，－4)
D.
解析：因为＝tan
θ＝tan＝1，
所以tan
θ＝，所以cos
θ＝，sin
θ＝，
代入得点P的坐标为.
答案：D
4．当参数θ变化时，动点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2，3)
B．点(2，0)
C．点(1，3)
D．点
解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．
答案：B
5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x－y－a＝0过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过椭圆的右顶点(3，0)．
则3－0－a＝0，所以a＝3.
答案：A
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，
即M(1，2)，同理N(，2)．
kMN＝＝－2.
答案：－2
7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．
解析：设P(4cos
θ，2sin
θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得 即(θ为参数)，
消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos
θ，4sin
θ)，
则|PA|＝＝
＝
＝|3cos
θ－5|≤8，
当cos
θ＝－1时，|PA|最大，
此时，sin
θ＝0，点P的坐标为(－5，0)．
答案：(－5，0)
三、解答题
9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，
所以交点坐标为.
10．已知直线l的极坐标方程是ρcos
θ＋ρsinθ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
解：由题意知直线和椭圆方程可化为
x＋y－1＝0，①
＋y2＝1，②
①②联立，消去y得5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A，B两点，
则A，B两点的直角坐标分别为(0，1)，，
则|AB|＝＝，
故所求的弦长为.
B级 能力提升
1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2
B．4
C.＋
D．2
解析：椭圆为＋＝1，设P(cos
θ，2sin
θ)，
x＋y＝cos
θ＋sin
θ＝2sin≤2.
答案：D
2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．
解析：因为消去参数t得2x＋y－3＝0.
又消去参数θ得＋＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，
将代入＋＝1，得＝1.
又a>0，所以a＝.
答案：
3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos
α，sin
α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝＝
cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
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1(共43张PPT)
预习导学思维启动
M(p,θ)
M(a,y
核心突破讲练互动
6
6
2
3
2
43
B
0分
T44
A
课
结一、曲线的参数方程
第2课时
圆的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆P：(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是( )
A．P(1，3)，r＝10
B．P(1，3)，r＝
C．P(1，－3)，r＝
D．P(1，－3)，r＝10
解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝.
答案：C
2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：由x＝cos
θ，y＋1＝sin
θ知参数方程为(θ为参数)．
答案：D
3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意(0≤θ<2π)，
所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.
答案：D
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.
答案：B
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，
y＝，
所以参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
7．已知曲线方程(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝＝
，
故|PA|min＝＝2－1.
答案：2－1
8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
解得1－≤a≤1＋.
答案：x2＋(y＋1)2＝1 [1－，1＋]
三、解答题
9．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
解：方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos
θ＋sin
θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan
φ＝2确定)，
所以1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos
θ＋sin
θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
因为－(cos
θ＋sin
θ＋1)的最大值是－1，
所以当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos
t，sin
t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan
t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
B级 能力提升
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：设P(2＋cos
α，sin
α)，代入得
(2＋cos
α－5)2＋(sin
α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos
α＋8sin
α
＝26＋10sin(a－φ)，
所以最大值为36.
答案：A
2．已知圆C：(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos
θ＝0，则cos
θ＝0，因为θ∈[0，2π)，
故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，
当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，
故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4
3．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：ρ＝2cos
θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)．
答案：(α为参数)
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1(共50张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结