2017_2018学年高中数学全一册课时作业（打包25套）新人教B版必修3

第一章
1.1
1.1.1算法的概念
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A级　基础巩固
一、选择题
1．下列语句中是算法的是(　A　)
A．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
B．吃饭
C．做饭
D．写作业
[解析]　选项A是解一元一次方程的具体步骤，故它是算法，而B、C、D是说的三个事实，不是算法．
2．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是(　B　)
①S＝1＋2＋3＋…＋100；
②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N)．
A．①②　　
B．①③
C．②
D．②③
[解析]　由算法的确定性、有限性知选B．
3．早上从起床到出门需要洗脸、刷牙(5
( http: / / www.21cnjy.com )min)，刷水壶(2
min)，烧水(8
min)，泡面(3
min)，吃饭(10
min)，听广播(8
min)几个过程，下列选项中最好的一种算法是(　C　)
A．第一步，洗脸刷牙；第二步，刷水壶；第三步，烧水；第四步，泡面；第五步，吃饭；第六步，听广播
B．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭；第五步，听广播
C．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播；第二步，泡面；第三步，烧水同时洗脸刷牙；第四步，刷水壶
[解析]　因为A选项共用时36
min，B
( http: / / www.21cnjy.com )选项共有时31
min，C选项共用时23
min，选项D的算法步骤不符合常理，所以最好的一种算法为C选项．
4．对于一般的二元一次方程组，在写求此方程组解的算法时，需要我们注意的是(　C　)
A．a1≠0
B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0
D．a1b1－a2b2≠0
[解析]　由二元一次方程组的公式算法即知C正确．
5．下面是对高斯消去法的理解：
①它是解方程的一种方法；
②它只能用来解二元一次方程组；
③它可以用来解多元一次方程组；
④用它来解方程组时，有些方程组的答案可能不准确．
其中正确的是(　A　)
A．①②
B．②④
C．①③
D．②③
[解析]　高斯消去法是只能用来解二元一次方程组的一种方法，故①②正确．
6．一个算法步骤如下：
S1　S取值0，i取值2；
S2　如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；
S3　计算S＋i并将结果代替S；
S4　用i＋2的值代替；
S5　转去执行S2；
S6　输出S.
运行以上步骤输出的结果为(　B　)
A．25
B．30
C．35
D．40
[解析]　按算法步骤一步一步地循环计算替换，该算法作用为求和S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.
二、填空题
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，求斜边长c的算法如下：
S1　输入两直角边长a、b的值．
S2　计算c＝的值；
S3　____________.
将算法补充完整，横线处应填__输出斜边长c的值__．
[解析]　算法要有输出，故S3应为输出c的值．
8．一个算法步骤如下：
S1　S取值0，i取值1；
S2　如果i≤12，则执行S3，否则执行S6；
S3　计算S＋i并将结果代替S；
S4　用i＋3的值代替i；
S5　转去执行S2；
S6　输出S.
运行以上步骤输出的结果为S＝__22__.
[解析]　由以上算法可知：S＝1＋4＋7＋10＝22.
三、解答题
9．某年青歌赛流行唱法个人组决赛中，某歌手
( http: / / www.21cnjy.com )以99.19分夺得金奖．青歌赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法.
[解析]　S1　先假定其中一个为“最高分”；
S2　将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；
S3　如果还有其他分数，重复S2；
S4　一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．
10．一个人带三只狼和三只
( http: / / www.21cnjy.com )羚羊过河，只有一条船，同船最多可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法.
[解析]　算法如下：
S1　人带两只狼过河；
S2　人自己返回；
S3　人带一只羚羊过河；
S4　人带两只狼返回；
S5　人带两只羚羊过河；
S6　人自己返回；
S7　人带两只狼过河；
S8　人自己返回；
S9　人带一只狼过河．
B级　素养提升
一、选择题
1．算法：
S1　输入n；
S2　判断n是否是2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3；
S3　依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则满足条件．
上述满足条件的数是(　A　)
A．质数
B．奇数
C．偶数
D．4的倍数
[解析]　根据算法可知，如果n＝2直接
( http: / / www.21cnjy.com )就是满足条件的数．n不是2时，验证从2到n－1有没有n的因数，如果没有就满足条件．显然，满足这个算法中条件的数是质数．故选A．
2．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是(　B　)
A．4
B．5
C．6
D．8
[解析]　按各放3张，可以算出答案是5，各放x张答案也是一样的．
二、填空题
3．下面算法运行后输出结果为__720__.
S1　设i＝1，P＝1；
S2　如果i≤6则执行S3，否则执行S5；
S3　计算P×i，并将结果代替P的值；
S4　用i＋1的值代替i的值，转去执行S2；
S5　输出P.
[解析]　该算法包含一个循环结构，计数变量i的初值为1，每次循环它的值增加1.由1变到6.
P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，并用新的结果替代原值．
第一次循环i＝1，P＝1.第二次循
( http: / / www.21cnjy.com )环i＝2，P＝2.第三次循环i＝3，P＝6.第四次循环i＝4，P＝24.第五次循环i＝5，P＝120.第六次循环i＝6，P＝720.
4．下面是解决一个问题的算法：
S1　输入x；
S2　若x≥4，转到S3；否则转到S4；
S3　输出2x－1；
S4　输出x2－2x＋3.
当输入x的值为__1__输出的数值最小值为__2__.
[解析]　所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值的问题
当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2
( http: / / www.21cnjy.com )×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.所以f(x)min＝2，此时x＝1.即当输入x的值为1时，输出的数值最小，且最小值是2.
三、解答题
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积.
[解析]　S1　取S＝16π；
S2　计算R＝(由于S＝4πR2)；
S3　计算V＝πR3；
S4　输出运算结果．
6．设火车托运行李，当行李重量为m(kg)时，每千米的费用(单位：元)标准为y＝，试写出当托运路程为S千米时计算运费的算法.
[解析]　算法如下：
S1　输入m；
S2　若m≤30，则执行S3，若m>30，则执行S4；
S3　输出0.3m×S；
S4　输出[0.3×30＋0.5(m－30)]×S.
C级　能力拔高
1．已知函数y＝，请设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值.
[解析]　算法如下：
S1　输入x的值；
S2　当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行S3；
S3　当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行S4；
S4　计算y＝x2；
S5　输出y.
2．试描述判断圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0的位置关系的算法.
[解析]　S1　输入圆心的坐标(x0，y0)，直线方程的系数A，B，C和半径r；
S2　计算z1＝Ax0＋By0＋C；
S3　计算z2＝A2＋B2；
S4　计算d＝；
S5　如果d>r，则相离；如果d＝r，则相切；如果d2.2
2.2.1用样本的频率分布估计总体
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A级　基础巩固
一、选择题
1．一个容量为80的样本的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成(　B　)
A．10组　　
B．9组　　
C．8组　　
D．7组
[解析]　∵＝＝8.9，∴可分成9组.
2．(2015·湖南文，2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：min)的茎叶图如图所示.
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若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　B　)
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析]　成绩在区间[139,15
( http: / / www.21cnjy.com )1]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×＝4(人)，故选B．
3．某班的全体学生参加英语测试，成绩
( http: / / www.21cnjy.com )的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　B　)
A．45
B．50
C．55
D．60
[解析]　根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是＝50.
4．在样本的频率分布直方图中，
( http: / / www.21cnjy.com )共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为(　A　)
A．40
B．0.2
C．50
D．0.25
[解析]　设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，
所以x＝0.2.
故第8组的频率为200×0.2＝40.
5．一个容量为30的样本数据，分组后组距
( http: / / www.21cnjy.com )与频数如下：(10,20]，3；(20,30]，4；(30,40]，6；(40,50]，7；(50,60]，6；(60,70]，4.则样本在区间(0,50]上的频率约为(　C　)
A．5%
B．25%
C．67%
D．70%
[解析]　样本落在(0,50]上的频数为3＋4＋6＋7＝20，所以频率＝≈67%.
6．为了解电视对生活的影
( http: / / www.21cnjy.com )响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10
000名居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示).为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10
000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5,3)(h)时间段内应抽出的人数是(　A　)
A．25
B．30
C．50
D．75
[解析]　在[2.5,3)上频率为0.5×0.5＝0.25，应抽100×0.25＝25人，故选A．
二、填空题
7．今年5月海淀区教育网开通了网上教学，某
( http: / / www.21cnjy.com )校高一八班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据(取整数)整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20,0.05，则根据直方图所提供的信息，这一天上网学习时间在100～119分钟之间的学生人数是__14__人，如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天上网学习时间，这样推断是否合理？__不合理__(填“合理”或“不合理”)
[解析]　由频数＝样本容量×频率＝40×0.35＝14(人)
因为该样本的选取只在高一(8)班，不具有代表性，所以这样推断不合理.
8．容量为60的样本的频率分布直方图共有n
( http: / / www.21cnjy.com )(n>1)个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n－1个小距形面积和的，则这个小矩形对应的频数是__10__.
[解析]　设其余n－1个小矩形面积和为x，由题意得x＋x＝1，
∴x＝.∴这个小矩形对应的频数为××60＝10.
三、解答题
9．有同一型号的汽车100辆，为了解这
( http: / / www.21cnjy.com )种汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机地抽出10辆，在同一条件下进行耗油1L所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7、12.7、14.4、13.8、13.3、12.5、13.5、13.6、13.1、13.4，并分组如下：
分组
频数
频率
[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45)
合计
10
1.0
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图.
[解析]　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.45,12.95)
2
0.2
[12.95,13.45)
3
0.3
[13.45,13.95)
4
0.4
[13.95,14.45)
1
0.1
合计
10
1.0
(2)频率分布直方图如图所示：
B级　素养提升
一、选择题
1．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：g)：
125　120　122　105　130　114　116　95　120　134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为(　C　)
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
[解析]　该题考查频率的计算公式.
在[114.5,124.5)范围内的频数m＝4，样本容量n＝10，∴所求频率为＝0.4.
2．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
(0，10]
(10，20]
(20，30]
(30，40]
(40，50]
(50，60]
(60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为(　C　)
A．0.13
B．0.39
C．0.52
D．0.64
[解析]　本小题主要考查统计等基础知识.
在(10,40]上的频率为＝0.52，故选C．
3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生
( http: / / www.21cnjy.com )，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　B　)
A．588
B．480
C．450
D．120
[解析]　不少于60分的学生的频率为(0
( http: / / www.21cnjy.com ).030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.
4．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(　B　)
A．0.2
B．0.4
C．0.5
D．0.6
[解析]　由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，∴其频率为＝0.4，故选B．
二、填空题
5．某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄
( http: / / www.21cnjy.com )影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字(茎叶图中的x)无法看清.若记分员计算无误，则数字x应该是__1__.
[解析]　若x≤4，则由平均
( http: / / www.21cnjy.com )分为91知总分应为91×7＝637.故637＝89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x，得x＝1；若x>4,637≠89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640不合题意.
6．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行
( http: / / www.21cnjy.com )员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为__48__.
[解析]　设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，
所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝，所以n＝48.
三、解答题
7．某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91
( http: / / www.21cnjy.com ),92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45，
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数
( http: / / www.21cnjy.com )在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
[解析]　(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111)
2
(2)频率分布直方图，如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有
( http: / / www.21cnjy.com )2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月
( http: / / www.21cnjy.com )天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善.
C级　能力拔高
1．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
(1)分别求出a、b、x、y的值；
(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？
[解析]　(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为＝25，再结合频率分布直方图可知
n＝＝100，
∴a＝100×0.01×10×0.5＝5，
b＝100×0.03×10×0.9＝27，
x＝＝0.9，y＝＝0.2.
(2)第2、3、4组回答正确的共有54人.
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2(人)；第3组：×6＝3(人)；第4组：×6＝1(人).
2．2017年高考已经结束，山东省为了了解和掌握高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下(单位：分)
135　98　102　110　99　12
( http: / / www.21cnjy.com )1　110　96　100　103　125　97　117　113　110　92　102　109　104　112　105　124　87　131　97　102　123　104　104　128　109　123　111　103　105　92　114　108　104　102　129　126　97　100　115　111　106　117　104　109　111　89　110　121　80　120　121　104　108　118　129　99　90　99　121　123　107　111　91　100　99　101　116　97　102　108　101　95　107　101　102　108　117　99　118　106　119　97　126　108　123　119　98　121　101　113　102　103　104　108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图；
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
[解析]　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－82＝55.
把100个数据分成11组，这时组距＝＝＝5.
(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
注：表中加上“”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示.
(3)从频率分布表中可知，这100名
( http: / / www.21cnjy.com )考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%(0.60＝60%).第三章
3.3
3.3.1几何概型
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)>2成立的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　这是一个几何概型，其中基本事件的
( http: / / www.21cnjy.com )总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)>2成立的概率为.
2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P(A)＝＝.
3．已知ABCD为长方形，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为(　B　)
A．
B．1－
C．
D．1－
[解析]　如图所示，设取到的点P到O的距
( http: / / www.21cnjy.com )离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－×π×12＝2－，所以P(M)＝＝1－.
4．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意知，这是一个与面积
( http: / / www.21cnjy.com )有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为.故选C．
5．平面上有一组平行线且相邻平行线
( http: / / www.21cnjy.com )的距离为3
cm，把一枚半径为1
cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(　B　)
A．　　　　
B．　　　　
C．　　　　
D．
[解析]　如图，要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P＝.
6．某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要
( http: / / www.21cnjy.com )过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为(　B　)
A．16
m
B．20
m
C．8
m
D．10
m
[解析]　物品在途中任何一处丢失的
( http: / / www.21cnjy.com )可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)．
二、填空题
7.如图，在边长为1的正方形中随机撒1
000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__0.18__.
[解析]　由几何概型的概率可知，所求概率P＝＝＝0.18，∴.S阴＝0.18.
8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上
( http: / / www.21cnjy.com )均匀地刻上区间
[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率是　　.
[解析]　由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于”．设圆的周长为C，则P(A)＝＝.
三、解答题
9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率.
[解析]　由于是随机投掷飞镖
( http: / / www.21cnjy.com )，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．
记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A)＝＝.
10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析]　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个
( http: / / www.21cnjy.com )：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}即如右图的阴影区域所示，
所以所求的概率为P(A)＝＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．在1
000
mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率(　B　)
A．0
B．0.002
C．0.004
D．1
[解析]　由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．
∴P(A)＝＝＝0.002.
2．在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　本题考查几何概型．
设AC＝x
cm，则BC＝(12－x)
cm，∴x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，故所求概率P＝＝.
3．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自
( http: / / www.21cnjy.com )由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　根据几何概型知识，概率为体积之比，即P＝＝.选A．
4．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由几何概型的概率公式知，所求概率P＝＝.
二、填空题
5．如果在一个5万平方千米的海域里有
( http: / / www.21cnjy.com )表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是__0.000_8__.
[解析]　如图，设Ω为海域，
( http: / / www.21cnjy.com )A为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即P＝＝＝0.000
8.
6．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是　　.
[解析]　由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，＝.
三、解答题
7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10
min的概率.
[解析]　∵假设他在0
min～60
min
( http: / / www.21cnjy.com )这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“等待时间不多于10
min”，
( http: / / www.21cnjy.com )事件A发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P(A)＝＝＝.
8．设有一个正方形网络，其中每个
( http: / / www.21cnjy.com )最小正方形的边长都等于6
cm.现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.
[解析]　如图所示，硬币落
( http: / / www.21cnjy.com )下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4
cm的正方形)内，其概率为＝，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－＝.
C级　能力拔高
在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
[解析]　如图设事件A＝“作射线OC，
( http: / / www.21cnjy.com )使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，μA＝90－30－30＝30，μΩ＝90，由几何概率公式得P(A)＝＝＝.第一章
1.2
1.2.1赋值、输入和输出语句
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列给出的赋值语句正确的是(　B　)
A．5＝M　　　　　
B．x＝－x
C．B＝A＝3
D．x＋y＝0
[解析]　赋值号左边只能是变量，而不能是表达式，故选项A、D错误；在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”，故C错．
2．执行“print(%io(2)，3＋5)”的输出结果是(　C　)
A．3＋5＝3＋5
B．3＋5＝8
C．8
D．8＝8
[解析]　输出语句有计算功能，∴3＋5＝8.
3．下列输入、输出语句正确的是(　D　)
A．输入语句input　a；b；c
B．输入语句input　x＝3
C．输出语句print　A＝4
D．输出语句print(%io(2)，x)
[解析]　A中，变量之间应用逗号“，”隔开；
B中，input语句中只能是变量，而不能是表达式；
C中，print语句中不能再用赋值号“＝”；
D中，print语句可以输出变量、表达式的值，故选D．
4．将两个数A＝9，B＝15交换使得A＝15，B＝9，下列语句正确的一组是(　D　)
　　　　　　　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　
　C　　　　　　D
[解析]　此语句功能是交换两个变量的值，要找一个中间变量来过渡．
5．以下程序运行后输出结果是(　D　)
A．58
B．88
C．13
D．85
[解析]　∵x＝58，a为58除以10的整数商，∴a＝5.
又∵b为58除以10的余数，∴b＝8.
∴x＝10×8＋5＝85.
6．下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是(　D　)
A．1
B．－3
C．－1
D．1或－3
[解析]　依题意，得x2＋2x＝3，∴x＝1或x＝－3，即输入的x的值可能是1或－3.
二、填空题
7．下列程序的运行结果是__12,4__.
[解析]　∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝4；b＝b
a＝3×4＝12，故输出结果为12,4.
8．执行下列程序：
运行结果为__720__.
[解析]　∵A＝20，B＝15，∴
( http: / / www.21cnjy.com )A＝A＋B＝35，B＝A－B＝20，∴A＝A×B＝35×20＝700，∴B＝A＋B＝700＋20＝720.故运行结果为720.
三、解答题
9．在一次数学考试中，小
( http: / / www.21cnjy.com )明、小亮、小强的成绩分别为a、b、c，后来发现统计错了．小亮的成绩记在了小明的名下，小强的成绩记在了小亮的名下，而小明的成绩记在小强的名下了．设计程序更正成绩单，并输出.
[解析]　程序如下：
10．求下列赋值语句各变量的值：a＝2；b＝5；c＝a＋b2；a＝a＋c；b＝a＋b.
[解析]　c＝a＋b2，a为2，b为5，故c＝27.
a＝a＋c，a为2，c为27，故a＝29.
b＝a＋b，a为29，b为5，故b＝34.
故a、b、c的值为29、34、27.
B级　素养提升
一、选择题
1．给出下列程序：
此程序的功能为(　B　)
A．求点到直线的距离
B．求两点之间的距离
C．求一个多项式函数的值
D．求输入的值的平方和
[解析]　输入的四个实数可作为两个
( http: / / www.21cnjy.com )点的坐标，程序中的a、b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m、n分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s是横、纵坐标之差的平方和，d是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．
2．给出下面一个程序：
此程序运行的结果是(　C　)
A．5,8
B．8,5
C．8,13
D．5,13
[解析]　先将A的值赋给X，此时
( http: / / www.21cnjy.com )X＝5，再将B的值8赋给A，此时A＝8，再将X＋A(即5＋8＝13)的值赋给B，此时B＝13，最后出A、B，则A＝8，B＝13.
二、填空题
3．下列程序的运行结果是__10__.
[解析]　∵a＝2，b＝3，c＝4，
∴a＝b＝3，b＝a＋c＝7，c＝b＋a＝10，
a＝＝＝10.
故运行结果为10.
4．如图的程序框图所对应的程序是　　.
[解析]　输入x、输出y分别转化为输入语句、输出语句，y＝2x转化为赋值语句．
三、解答题
5．编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出ab与ba的值.
[解析]　解法一：程序为：
解法二：程序为：
C级　能力拔高
1．以下是用Scilab语言编写的一个程序，解释每步程序的作用.
[解析]　x＝input(“x＝”)的作用是输入x的值，
y＝input(“y＝”)的作用是输入y的值，
print(%io(2)，x/2)的作用是输出的值，
print(%io(2)，3
y)的作用是输出3y的值，
x＝x＋1的作用是将x的值增加1，
y＝y＋1的作用是将y的值增加1，
print(%io(2)，y，x)的作用是顺次输出x、y的值．
2．编写一个程序，求用长度为l的细
( http: / / www.21cnjy.com )铁丝分别围成一个正方形和一个圆时所围成的正方形和圆的面积．要求输入l的值，输出正方形和圆的面积(π取3.14).
[解析]　程序如下：1.1.2
程序框图
1.1.3
算法的三种基本逻辑结构和框图表示（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是(　D　)
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
[解析]　一个算法可以含有一种逻辑结构，也可以含有两种逻辑结构，还可以含有三种逻辑结构，故选D．
2．下列判断正确的是(　B　)
A．条件结构中必有循环结构
B．循环结构中必有条件结构
C．顺序结构中必有条件结构
D．顺序结构中必有循环结构
[解析]　由循环结构的定义知B正确．
3．下面关于当型循环结构和直到型循环结构的说法，不正确的是(　D　)
A．当型循环结构是先判断后循环，条件成立时执行循环体，条件不成立时结束循环
B．直到型循环结构要先执行循环体再判断条件，条件成立时结束循环，条件不成立时执行循环体
C．设计程序框图时，两种循环结构可以任选其中的一个，两种结构也可以相互转化
D．设计循环结构的程序框图时只能选择这两种结构中的一种，除这两种结构外，再无其他循环结构
[解析]　循环结构的程序框中必须包含条件结构，故选项D的说法是错误的．
4．(2015·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为(　C　)
A．2　　
B．7　　
C．8　　
D．128
[解析]　由题意得，该程序是求分段函数y＝的函数值，则f(1)＝9－1＝8，故选C．
二、填空题
5．执行下面的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝__4__.
[解析]　第一次循环后：S＝，n＝2；第二次循环后：S＝＋＝，n＝3；第三次循环后：S＝＋＋＝，n＝4，此时循环结束．
6．(2016·山东文)执行下面的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为__1__.
[解析]　第一次运行，i＝1，S＝－1；第二次运行，i＝2，S＝－1；第三次运行，i＝3，S＝1，符合判断条件，故输出的S的值为1.
三、解答题
7．用直到型和当型两种循环结构写出求1＋3＋5＋…＋99的算法，并画出各自的算法流程图.
[解析]　直到型循环算法：
第一步，S＝0.
第二步，i＝1.
第三步，S＝S＋i.
第四步，i＝i＋2.
第五步，如果i不大于99，转第三步，否则，输出S.
相应流程图如图①所示．
当型循环算法如下：
第一步，S＝0.
第二步，i＝1.
第三步，当i≤99时，转第四步，否则，输出S.
第四步，S＝S＋i.
第五步，i＝i＋2，并转入第三步．
相应流程图如图②所示．
8．设计一个算法，求1×22×33×…×100100的值，画出程序框图.
[解析]　算法步骤如下：
S1　S＝1；
S2　i＝1；
S3　S＝S×ii；
S4　i＝i＋1；
S5　判断i>100是否成立，若成立，则输出S，结束算出；否则，返回S3.
该算法的程序框图如图所示：
B级　素养提升
一、选择题
1．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　B　)
A．－10　　
B．6　　
C．14　　
D．18
[解析]　输入S＝20，i＝1；
i＝2×1＝2，S＝20－2＝18,2>5不成立；
i＝2×2＝4，S＝18－4＝14,4>5不成立；
i＝2×4＝8，S＝14－8＝6,8>5成立．
输出6，故选B．
2．(2017·山东文，6)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　B　)
A．x>3
B．x>4
C．x≤4
D．x≤5
[解析]　输入x＝4，若满足条件，则y
( http: / / www.21cnjy.com )＝4＋2＝6，不合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4，故选B．
二、填空题
3．执行下面的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝　　.
[解析]　输入x＝9，则y＝
( http: / / www.21cnjy.com )5，|y－x|＝4>1，执行否，x＝5，y＝，|y－x|＝>1，执行否，x＝，y＝，|y－x|＝<1，执行是，输出y＝.
4．如图所示，程序框图中输出S的值为__94__.
[解析]　该程序框图的运行过程是：i＝1，S＝1
i＝1＋1＝2
S＝2×(1＋1)＝4
i＝2＞5不成立
i＝2＋1＝3
S＝2×(4＋1)＝10
i＝3＞5不成立
i＝3＋1＝4
S＝2×(10＋1)＝22
i＝4＞5不成立
i＝4＋1＝5
S＝2×(22＋1)＝46
i＝5＞5不成立
i＝5＋1＝6
S＝2×(46＋1)＝94
i＝6＞5成立，输出S＝94.
三、解答题
5．经过市场调查分析得知，
( http: / / www.21cnjy.com )2017年第一季度内，北京市海淀区居民对某种商品的需求量为18
000件．为保证商品不脱销，商家在月初时将商品按相同数量投放市场．已知年初商品的库存量为50
000件，用K表示商品的库存量，请设计一个程序框图，求出第一季度结束时商品的库存量.
[解析]　设置出判断框中的条件，再由第一季
( http: / / www.21cnjy.com )度每个月份结束时商品的库存量，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，用循环结构实现这一算法．程序框图如下：
C级　能力拔高
1．数学课上，老师为了提高同学们的兴趣，先让
( http: / / www.21cnjy.com )同学们从1到3循环报数，结果最后一个同学报2；再让同学们从1到5循环报数，最后一个同学报3；又让同学们从1到7循报数，最后一个同学报4.请你设计一个算法，计算这个班至少有多少人，并画出程序框图.
[解析]　算法如下：
第一步，选择一个起始数x＝7.
第二步，判断这个数是否满足除以3余2.如果不满足，则加1后再判断，直至满足，转入第三步．
第三步，判断第二步得到的数是否满足除以5余3.如果不满足，则加1后再转入第二步判断，直至满足，转入第四步．
第四步，判断第三步得到的数是否满足除以7余4.如果不满足，则加1后再转入第二步判断，直至满足，转入第五步．
第五步，输出第四步得到的数，即为所求的最小值．
程序框图如图所示：
2．某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，画出解决此问题的程序框图.
[解析]　程序框图如图所示．第二章
2.1
2.1.1简单随机抽样
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．在“世界读书日”前夕，
( http: / / www.21cnjy.com )为了了解某地5
000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居名的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5
000名居民的阅读时间的全体是(　A　)
A．总体
B．个体
C．样本容量
D．从总体中抽取的一个样本
[解析]　由条件知，5
000
( http: / / www.21cnjy.com )名居民的阅读时间的全体是总体，其中1名居民的阅读时间是个体；从5
000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200，故选A．
2．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为(　D　)
A．150　　
B．200　　
C．100　　
D．120
[解析]　由＝0.25得N＝120.故选D．
3．下列抽样实验中，适合用抽签法的有(　B　)
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件产品中取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
[解析]　A、D中个体的总数较大，不适
( http: / / www.21cnjy.com )于用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看做是搅拌均了.
4．高三某班有34位同学
( http: / / www.21cnjy.com )，座位号记为01,02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为(　D　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87　35　20
96　43　84　26　34　91　64　57　24　55　06　88　77
04　74　47　67　21　76　33　50　25　83　92　12　06
A．23　　
B．09　　
C．02　　
D．16
[解析]　从随机数表第一行的第6列和第
( http: / / www.21cnjy.com )7列数字35开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21,32,09,16,17，第四个志愿者的座号为16.
二、填空题
5．从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的
( http: / / www.21cnjy.com )样本，采用简单随机抽样的方法，当总体中的个体数不多时，一般采用__抽签法__(填“抽签法”或“随机数表法”)进行抽样.
[解析]　当总体中的个体数不多时，制作号签比较方便，也利于“搅拌均匀”，所以一般采用抽签法进行抽样.
6．为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，则样本的容量是__100__.
[解析]　样本容量是指样本中个体的个数.
三、解答题
7．某省环保局有各地市报送的空气质量材料
( http: / / www.21cnjy.com )15份，为了了解全省的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作.
[解析]　总体容量小，样本容量也小，可用抽签法.
步骤如下：
(1)将15份材料用随机方式编号，号码是1、2、3、…、15；
(2)将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上，揉成团，制成号签；
(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；
(4)从容器中逐个抽取5个号签，每次抽取后要再次搅拌均匀，并记录上面的号码；
(5)找出和所得号码对应的5份材料，组成样本.
8．某车间工人加工了一批零件共40件，为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本？写出抽样步骤.
[解析]　抽样步骤是：
第一步，先将40件零件编号，可以编为00,01,02，…，38,39.
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，
( http: / / www.21cnjy.com )例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数5开始.为便于说明，我们将随机数表中的第6行至第10行摘录如下：
16
22
77
94
39　49
54
( http: / / www.21cnjy.com )
43
54
82　17
37
93
23
78　87
35
20
96
43　84
26
34
91
64
84
42
17
53
31　5
( http: / / www.21cnjy.com )7
24
55
06
88　77
04
74
47
67　21
76
33
50
25　83
92
12
06
76
63
01
63
78
5
( http: / / www.21cnjy.com )9　16
95
55
67
19　98
10
50
71
75　12
86
73
58
07　44
39
52
38
79
33
21
12
34
29　78
( http: / / www.21cnjy.com )
64
56
07
82　52
42
07
44
38　15
51
00
13
42　99
66
02
79
54
57
60
86
32
44
( http: / / www.21cnjy.com )　09
47
27
96
54　49
17
46
09
62　90
52
84
77
27　08
02
73
43
28
第三步，从选定的数5开始向
( http: / / www.21cnjy.com )右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59>39，将它去掉；继续向右读，得到16，将它取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，随后的两位数字号码是12，由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体.
B级　素养提升
一、选择题
1．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为(　C　)
A．36%
B．72%
C．90%
D．25%
[解析]　×100%＝90%.
2．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人
( http: / / www.21cnjy.com )分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为(　C　)
A．
B．k＋m－n
C．
D．不能估计
[解析]　设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
二、填空题
3．要考察某公司生产的500克袋装
( http: / / www.21cnjy.com )牛奶的蛋白质含量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001、002、…、800，利用随机数表法抽取样本，从第6行第1组数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右，每组数取前3位.请问选出的第七袋牛奶的标号是__594__(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行).
81500　13219　57941　74927　32798　98600　55225　42059
59408　66368　36016　26247　25965　49487　26968　86021
77681　83458　21540　62651　69424　78197　20643　67297
76413　66306　51671　54964　87683　30372　39469　97434
48306　32560　19098　13843　70490　19383　21278　90912
[解析]　从第6行第1组开始，得到的数依次是132、579、749、327、552、420、594，故第7个数为594.
4．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象.若每位工人被抽到的可能性为，则n＝__100__.
[解析]　由＝，得n＝100.
三、解答题
5．从20名学生中抽取5名进行阅卷调查，写出抽取样本的过程.
[解析]　总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：
①先将20名学生进行编号，从1编到20；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.
6．某校有学生1
200人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何获得？
[解析]　解法一：抽签法：首先，把该校学生都
( http: / / www.21cnjy.com )编上号码：0001、0002、0003、…、1
200.如用抽签法，则做1
200个形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌.抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取50次，就得到一个容量为50的样本.
解法二：随机数表法：首先
( http: / / www.21cnjy.com )，把该校学生都编上号码：0001,0002,0003，…，1
200.如用随机数表法，使用各个5位数组的前四位，任意取第5行第4组数开始，依次向后截取，所得数字如下：
9
038、1
212、6
( http: / / www.21cnjy.com )404、5
132、2
298、8
150、1
321、5
794、7
492、3
279、9
860、5
522、4
205、5
940、6
636、3
601、2
624、2
596、4
948、2
696、8
602、7
768、8
345、…
所取录的4位数字如果小于或等于1
2
( http: / / www.21cnjy.com )00，则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所取录的4位数字大于1
200而小于或等于2
400，则减去1
200剩余数即是被抽取的号码；如果大于2
400而小于3
600，则减去2
400；依次类推.如果遇到相同的号码，则只留第一次取录的数字其余的舍去.经过这样处理，被抽取的学生所对应的号码分别是：
0
638、0
012、0
404
( http: / / www.21cnjy.com )、0
332、1
098、0
950、0
121、0
994、0
292、0
879、0
260、0
722、0
605、1
140、0
636、0
001、0
224、0
196、0
148、0
296、0
202、0
568、1
145、…一直到取够50人为止.
C级　能力拔高
为了迎接2018年6月8号至7月
( http: / / www.21cnjy.com )8号第21届俄罗斯足球世界杯，现要在全球征集筛选的50个吉祥物中抽取6个参加最后的筛选.每个吉祥物被选中的机会均等，若采用抽签法，该如何进行？
[解析]　①将50个吉祥物标号，号码为01,02，…，50；
②将50个吉祥物的编号分别写在一张小纸条上，并揉成完全相同的小球，制成号签；
③将制成的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
④从容器中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号，如：02,21,27,08,46,11；
⑤对应上面6个编号的吉祥物就是参加最后筛选的吉祥物.第一章
1.3中国古代数学中的算法案例
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．在秦九韶算法中用到的一种方法是(　B　)
A．消元
B．递推
C．回代
D．迭代
[解析]　秦九韶算法中用到的是递推法．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为(　C　)
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析]　(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为(　D　)
A．x3－(3x＋2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
[解析]　f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D．
4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是(　B　)
A．15
B．17
C．51
D．85
[解析]　204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17，
∴204和85的最大公约数是17，故选B．
5．根据递推公式，其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为(　B　)
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2
C．v2＝(anx＋an－1)x
D．v2＝anx＋an－1x
[解析]　根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋an－2，v1＝anx＋an－1，故选B．
6．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算
( http: / / www.21cnjy.com )多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　C　)
A．7
B．12
C．17
D．34
[解析]　该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．
由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．
二、填空题
7．117与182的最大公约数等于__13__.
[解析]　(117,182)→(1
( http: / / www.21cnjy.com )17,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.
8．245与75两数的最小公倍数为__3_675__.
[解析]　先求245与75的最大公
( http: / / www.21cnjy.com )约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→
(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．
故245与75的最大公约数为5，
∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3
675.
三、解答题
9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数.
[解析]　319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.
即(319,261)→(26
( http: / / www.21cnjy.com )1,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.
10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.
[解析]　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2
369，
v6＝2
369×3＋1＝7
108，
v7＝7
108×3＝21
324.
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21
324.
B级　素养提升
一、选择题
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为(　B　)
A．－57
B．220
C．－845
D．3
392
[解析]　由秦九韶算法，得
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋5＝－7，
v2＝－7×(－4)＋6＝34，
v3＝34×(－4)＋79＝－57，
v4＝－57×(－4)－8＝220.
2．三个数390、455、546的最大公约数是(　D　)
A．65
B．91
C．26
D．13
[解析]　对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.
3．已知f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(　A　)
A．－
B．
C．
D．－
[解析]　∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.
4．(2015·新课标Ⅱ理，8)
( http: / / www.21cnjy.com )下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为14、18，则输出的a＝(　B　)
A．0
B．2
C．4
D．14
[解析]　程序在执行过程中，a、b的
( http: / / www.21cnjy.com )值依次为a＝14，b＝18；b＝4；a＝10；a＝6；a＝2；b＝2，此时a＝b＝2程序结束，输出a的值为2，故选B．
二、填空题
5．4
830与3
289的最大公约数为__23__.
[解析]　(4
830,3
289)
( http: / / www.21cnjy.com )→(1
541,3
289)→(1
541，1
748)→(1
541,207)→(1
334,207)→(1
127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92,115)→(92,23)→(69,23)→(46,23)→(23,23)．
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值的算法：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步：f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法、5次加法．
④需要计算9次乘法、5次加法．
以上说法中正确的是__②③__(填序号)．
[解析]　①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确．
三、解答题
7．求1
356和2
400的最小公倍数.
[解析]　(1
356,2
400
( http: / / www.21cnjy.com ))→(1
356,1
044)→(312，1
044)→(312,732)→(312,420)→(312，108)→(204,108)→(96,108)→(96,12)→…→(12,12)．
∴1
356和2
400的最大公约数为12.
∴1
356和2
400的最小公倍数为(2
400×1
356)÷12＝271
200.
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2
( http: / / www.21cnjy.com )＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，vt＝v5x＋a0，求v3的值.
[解析]　f(x)＝(((((x－
( http: / / www.21cnjy.com )5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，v0＝1，v1＝v0x－5＝－6，v2＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝－15.
C级　能力拔高
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值.
[解析]　将f(x)写为：
f(x)＝x5＋0×x4＋0.11x3＋0×x2－0.15x－0.04.
由秦九韶算法的递推公式，得
v0＝1，
v1＝v0×0.3＋0＝0.3，
v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2，
v3＝v2×0.3＋0＝0.06，
v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132，
v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079
6，
所以当x＝0.3时，多项式的值为－0.079
6.
2．有甲、乙、丙三种溶液
( http: / / www.21cnjy.com )，质量分别为147
g,343
g,133
g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每个小瓶最多装多少溶液？
[解析]　每个小瓶内溶液的质量应是147,343,133三种溶液质量的公约数，最大质量即是其最大公约数.
先求147和343的最大公约数．
343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，
所以147和343的最大公约数是49.
再求49和133的最大公约数．
133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14，
35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以49和133的最大公约数是7.
所以147、343、133的最大公约数是7，
即每个小瓶最多装7
g溶液．第三章
3.2
3.2.2概率的一般加法公式（选学）
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　记3名男生分别为A1，A2，A3,
( http: / / www.21cnjy.com )2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝.
2．下列命题中是错误命题的个数为(　C　)
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　互斥不一定对立，对立必互斥①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)
( http: / / www.21cnjy.com )＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．
3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　将骰子(均匀的)
( http: / / www.21cnjy.com )连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)、(6,4,2)、(5,4,3)、(5,3,1)、(4,3,2)、(3,2,1)、(1,3,5)、(1,2,3)、(2,3,4)、(2,4,6)、(3,4,5)、(4,5,6)、(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)、(4,4,4)、(5,5,5)、(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为＝.
4．从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从数字1、2、3中任取两个不同数字
( http: / / www.21cnjy.com )组成一个两位数，基本事件为12、13、21、23、31、32共6个．其中大于21的有23、31、32共3个，∴所求概率为＝.
二、填空题
5．从甲口袋中摸出一白球的概率为，从乙口袋中摸出一白球的概率为，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为　　.
[解析]　“至少有一个白球”是事件A＝
( http: / / www.21cnjy.com )“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
6．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人
( http: / / www.21cnjy.com )击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为__0.64__.
[解析]　目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，∴P(甲且乙)＝0.64.
三、解答题
7．100个产品中有93个产品长度合格
( http: / / www.21cnjy.com )，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率.
[解析]　P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝0.98.
B级　素养提升
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记
( http: / / www.21cnjy.com )事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为(　B　)
A．A∪B
B．A∩B
C．A B
D．A＝B
[解析]　A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B．
2．对于任意事件M和N，有(　D　)
A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N)
B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)
C．P(M∪N)D．P(M∪N)≤P(M)＋P(N)
[解析]　本题主要考查对概率
( http: / / www.21cnjy.com )加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)二、填空题
3．100张卡片上分别写有1、2、3、…、100，计算下列事件的概率.
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为　　；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为　　；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为　　；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为　　.
[解析]　从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为.
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是＝.
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级
( http: / / www.21cnjy.com )均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为__0.96__.
[解析]　本题主要考查对立事件的概率．记
( http: / / www.21cnjy.com )“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
三、解答题
5．甲，乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，甲、乙同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率.
[解析]　设事件A为：“甲击中
( http: / / www.21cnjy.com )敌机”，事件B为：“乙击中敌机”，则A∪B为：“敌机被击中”＝“甲，乙至少有一门击中敌机”，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.6＋0.8－0.48＝0.92.
C级　能力拔高
从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：
(1)它是偶数；
(2)它能被3整除；
(3)它是偶数且能被3整除的数；
(4)它是偶数或能被3整除．
[解析]　基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m＝10.
(1)设“是偶数”为事件A，即A＝{2,4,6,8,10}，
∴P(A)＝＝.
(2)设“能被3整除”为事件B，即B＝{3,6,9}，
∴P(B)＝.
(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝{6}，
∴P(C)＝.
(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D，即D＝A∪B，根据概率的加法公式得
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝P(A)＋P(B)－P(C)＝＋－＝.第一章
1.2
1.2.3循环语句
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．在循环语句的一般形式中有“while　A”，其中A是(　C　)
A．循环变量
B．循环体
C．开始循环的条件
D．终止条件
[解析]　根据while循环语句可知当满足A时，开始循环，所以A是开始循环的条件，故选C．
2．关于下面一段程序，其中正确的说法是(　C　)
A．语句中的循环体共执行了10次
B．循环体是无限循环的
C．语句中的循环体一次也不执行
D．语句中的循环体只执行了一次
[解析]　由于k＝10，则k＝0不成立，则不执行循环体．
3．下列程序运行后输出的结果为(　C　)
A．1
B．3
C．5
D．7
[解析]　该程序的执行过程是
i＝1，i＝1<5是
i＝1＋2＝3
i＝3<5是
i＝3＋2＝5
i＝5<5否
输出i的值为5.
4．阅读下面的程序，该程序执行的循环次数是(　D　)
A．30次
B．31次
C．29次
D．32次
[解析]　循环变量i的初值为－5，终值是150，步长是5，因此当i＝－5,0,5,10，…，150时，执行循环体，共有32次．
二、填空题
5．在求1＋2＋3＋…＋50的值时，在Scilab中的文本编辑中写出的程序如下：则横线上应填写的语句是__S＝S＋i__.
[解析]　横线上的内容是循环体，即对变量S进行累加，所以S＝S＋i.
6．对于下面一个程序：
运行后输出的结果为__0__.
[解析]　执行过程如下：M＝5，N＝0；
当N＝0<15时　N＝0＋5＝5　M＝5－1＝4；
当N＝5<15时　N＝5＋4＝9　M＝4－1＝3；
当N＝9<15时　N＝9＋3＝12　M＝3－1＝2；
当N＝12<15时　N＝12＋2＝14　M＝2－1＝1；
当N＝14<15时　N＝14＋1＝15　M＝1－1＝0；
当N＝15时不小于15，终止循环．最后输出M的值为0.
三、解答题
7．高一(3)班共有54名同学参加了数学竞赛
( http: / / www.21cnjy.com )，现在已知这54名同学的竞赛分数．请设计程序．要求计算竞赛成绩优秀的同学的平均分并输出(规定90分以上(不含90分)为优秀).
[解析]　程序如下：
8．设计一个程序，输出落在圆x2＋y2＝100内且在第一象限的所有整数点的坐标，并画出程序框图.
[解析]　由题意知1≤x<10,1≤y<10.
故设计算法时可先确定x，让y由1至10逐一验证条件，然后再改变x的值，直至验完．
程序框图如下：
程序如下：
B级　素养提升
一、选择题
1．下面程序的作用是(　B　)
A．求1＋3＋…＋9＋11
B．求1＋2＋3＋…＋10
C．求1×3×5×…×11
D．求1×2×3×4×…×10
[解析]　i的初值为1，sum的初值为0，
( http: / / www.21cnjy.com )步长为1.程序的处理过程为：第1轮的结果为：sum＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第2轮的结果为sum＝1＋2，i＝2＋1＝3；第3轮的结果为：sum＝1＋2＋3，i＝3＋1＝4；…；第10轮(最后一轮)的结果为：sum＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10，i＝10＋1＝11.i＝11>10，跳出循环．故选B．
2．以下程序运行后的输出结果为(　A　)
A．21
B．13
C．17
D．25
[解析]　执行第一次后，i＝3，S＝9；
执行第二次后，i＝5，S＝13；
执行第三次后，i＝7，S＝17；
执行第四次后，i＝9，S＝21.
二、填空题
3．下面是一个用于计算＋＋＋…＋的程序，试填上适当的语句.
[解析]　累加求和需用赋值语句“s＝s＋1/(i
(i＋1))”．
4．如果以下的程序运行的结果为240，那么在程序中while后面的“表达式”应为i>__14__.
[解析]　该程序使用了while循环语句，当
( http: / / www.21cnjy.com )表达式为真时，执行循环体；当表达式为假时，退出循环．由于输出的结果为240＝16×15，所以执行了两次循环，因此表达式应为i>14.
三、解答题
5．标有1、2、3、4、5、6六个号码球，有一个最重的，写出模拟挑出最重球的程序.
[解析]　程序如下：
C级　能力拔高
1．根据以下给出的程序，画出其相应的程序框图，并指明该算法的功能.
[解析]　该算法的程序框图如图所示：
该算法的功能是求使1×2×…×n<5
000的最大正整数．
2．设计求满足1＋3＋5＋…＋n>2
014的最小自然数n的程序.
[解析]　程序框图如图所示：
程序为：第三章
3.1
3.1.4概率的加法公式
( http: / / www.21cnjy.com )
一、选择题
1．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述各对事件中，是对立事件的是(　C　)
A．①　　　　　　　
B．②④
C．③
D．①③
[解析]　两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知③正确．
2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　B　)
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
[解析]　对于A，“至少有
( http: / / www.21cnjy.com )一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
3．若把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是(　D　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但非对立事件
D．以上都不对
[解析]　由题意，对一次试验(即分一次牌)，有可能“甲分到红桃K”和“乙分到梅花K”同时发生．
4．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中为互斥事件的是(　C　)
A．①
B．②④
C．③
D．①③
[解析]　所取两个数可能都是奇数，也可能都是偶数，还可能一个奇数一个偶数，故只有③中两个事件互斥．
二、填空题
5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲胜的概率为　　，甲不输的概率为　　.
[解析]　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件
( http: / / www.21cnjy.com )，所以甲胜的概率为1－(＋)＝，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－＝.
6．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为__0.8__.
[解析]　根据题意有P(A∪B)＝P(A)
( http: / / www.21cnjy.com )＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.
三、解答题
7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2
800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%
( http: / / www.21cnjy.com )，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4
000元的概率．
[解析]　(1)设A表示事件“赔付金额为3
000元”，B表示事件“赔付金额为4
000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2
800元，赔付金额大于投
( http: / / www.21cnjy.com )保金额对应的情形是3
000元和4
000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机
( http: / / www.21cnjy.com )获赔4
000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000＝100辆，而赔付金额为4
000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
8．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方片(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件C)的概率是多少？
[解析]　(1)因为取到红心(事件A
( http: / / www.21cnjy.com ))与取到方片(事件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，具有C＝A∪B，故由互斥事件的概率的加法公式得P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)因为取一张牌时，取到
( http: / / www.21cnjy.com )红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件．又由于事件C与事件D必有一者发生，即C∪D为必然事件，所以C与D为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．一个战士在一次射击中，命中环数大于8，大于5，小于4，小于6这四个事件中，互斥事件有(　B　)
A．2对　
B．4对　
C．6对　
D．3对
[解析]　按照互斥事件的定义，两个事件
( http: / / www.21cnjy.com )不可能同时发生，所以命中环数大于8与命中环数小于4是互斥事件；命中环数大于8与命中环数小于6是互斥事件；命中环数大于5与命中环数小于4是互斥事件．命中环数大于5与命中环数小于6也是互斥事件，故选B．
2．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定
( http: / / www.21cnjy.com )这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客需要在5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟内能乘到所需要的车的概率是(　C　)
A．0.20
B．0.60
C．0.80
D．0.12
[解析]　由题意知他乘3路和乘6路是互斥事件，故5分钟内能乘到所需要的车的概率是0.20＋0.60＝0.80.
3．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时
( http: / / www.21cnjy.com )被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　电话在响前四声内被接的概率为P＝＋＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：mm)进行
( http: / / www.21cnjy.com )抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　D　)
A．0.09
B．0.20
C．0.25
D．0.45
[解析]　由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
二、填空题
5．口袋内装有一些大小相同的红球、
( http: / / www.21cnjy.com )白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__0.3__.
[解析]　P＝1－0.42－0.28＝0.3.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会
( http: / / www.21cnjy.com )乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　.
[解析]　设事件A为“甲夺
( http: / / www.21cnjy.com )得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
三、解答题
7．在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．
[解析]　记河流年最高水位在“
( http: / / www.21cnjy.com )[8,10)”为事件A，“[10,12)”为事件B，“[12,14)”为事件C，“[14,16)”为事件D，“[16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得
(1)最高水位在[10,16)的概率为
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)最高水位在[8,12)的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)最高水位在[14,18]的概率为
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
C级　能力拔高
1．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险.
(1)求该地1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解析]　记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
2．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.
(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．
[解析]　(1)设“从中
( http: / / www.21cnjy.com )任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，事件A与B互斥，则
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D，则事件D与事件C是对立事件．
由(1)，知P(C)＝，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－＝.第二章
2.2
2.2.2用样本的数字特征估计总体
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．在发生某公共卫生事件期间，有
( http: / / www.21cnjy.com )专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　D　)
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
[解析]　根据信息可知，连续10天
( http: / / www.21cnjy.com )内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D．
2．某校举行歌咏比赛，7位
( http: / / www.21cnjy.com )评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65、9.70、9.68、9.75、9.72、9.65、9.78，则这个班节目的实际得分是(　B　)
A．9.66
B．9.70
C．9.65
D．9.67
[解析]　＝(9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋9.72)＝9.70.
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(　B　)
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A．
B．
C．3
D．
[解析]　∵＝
＝＝3，
∴s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
＝×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]
＝＝.
∴s＝，故选B．
4．样本中共有5个个体，其值分别为a、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本的方差为(　D　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析]　由题意得＝1，∴a＝－1.
∴样本的方差s2
＝＝2.
5．(2016·全国卷Ⅲ理)某旅游城
( http: / / www.21cnjy.com )市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　D　)
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
[解析]　由图形可得各月的平均最低气
( http: / / www.21cnjy.com )温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃时月份只有3个，D错误.
二、填空题
6．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__6.8__.
(注：方差s2＝[(x1－)2－(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
[解析]　本题考查茎叶图、方差的概念.
由茎叶图知＝＝11，
∴s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8
7．某医院急诊中心其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间(min)
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
人数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值＝__9.5min__，病人等待时间标准差的估计值s＝__5.34min__.
[解析]　＝(2.5×4
( http: / / www.21cnjy.com )＋7.5×8＋…＋22.5×1)＝9.5(min)；s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋…＋(22.5－9.5)2]＝28.5，s＝≈5.34(min).
三、解答题
8．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：
甲：27、38、30、37、35、31；
乙：33、29、38、34、28、36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀.
[解析]　这显然是要计算两组数据的与s2，然后加以比较并作出判断.
甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33，
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]
＝×94≈15.7；
乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33，
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]
＝×76≈12.7.
∴甲＝乙，＞.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.
9．为了比较两种治疗失眠症
( http: / / www.21cnjy.com )的药(分别称为A药、B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h).试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2
3．5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1
2．3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3
1．4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2
2．7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
[解析]　(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得
＝(0.6＋1.2＋1.2
( http: / / www.21cnjy.com )＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3.
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0
( http: / / www.21cnjy.com ).8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可看出，A药
( http: / / www.21cnjy.com )疗药的试验结果有的叶集中在茎“2”、“3”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0”、“1”上，由此可看出A药的疗效更好.
B级　素养提升
一、选择题
1．某校为了了解学生的课外阅读情况
( http: / / www.21cnjy.com )，随机抽查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(　B　)
A．0.6
h
B．0.9
h
C．1.0
h
D．1.5
h
[解析]　＝0.9(h).
2．中央电视台“梦想星搭档”节目中
( http: / / www.21cnjy.com )，八组选手获得观众的“赞”数统计如茎叶图所示，由于不慎有两个数残缺，但是统计人员记得这些数据的平均数与方差分别为293与33.5，则所残缺的两个数从小到大分别为(　B　)
A．0,2
B．1,2
C．2,3
D．4,5
[解析]　设残缺的两个数分别为a与b(0290＋＝293，
[122＋(－3)2＋02＋12＋32＋(a－3)2＋(b－3)2＋(－10)2]＝33.5，
a＋b＝3，由03．某人5次上班途中所花的时间(
( http: / / www.21cnjy.com )单位：分钟)分别为x、y、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为(　D　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　由题意可得＝10，[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，解得x＝12，y＝8.|x－y|＝4，选D．
4．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是(　C　)
A．和s2
B．3和9s2
C．3＋2和9s2
D．3＋2和12s2＋4
[解析]　3x1＋2,3x2＋2，…，3xn
( http: / / www.21cnjy.com )＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2，所以选择C．
二、填空题
5．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为__46__.
[解析]　根据频数分布直方图，可
( http: / / www.21cnjy.com )估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1
380，平均数＝＝46.
6．一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下：
工资xi(元)
1
600
1
440
1
320
1
220
1
150
980
人数ni
2
4
5
5
2
2
则该班组工人月工资的平均数为__1_296__.
[解析]　＝(1
600×2＋
( http: / / www.21cnjy.com )1
440×4＋1
320×5＋1
220×5＋1
150×2＋980×2)÷20＝25
920÷20＝1
296.
三、解答题
7．(2016·四川文)
( http: / / www.21cnjy.com )我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数.
[解析]　(1)由频率分布直方图，可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，
( http: / / www.21cnjy.com )[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
(3)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
C级　能力拔高
1．一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由.
[解析]　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.
(2)s＝×[2×(50－
( http: / / www.21cnjy.com )80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.
s＝×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.
因为s＜s，所以甲组成绩较乙组成绩稳定.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是8
( http: / / www.21cnjy.com )0分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好.
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大
( http: / / www.21cnjy.com )于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好.
2．对某校高三年级学生参加社区服
( http: / / www.21cnjy.com )务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数.
[解析]　(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，
所以样本中位数是15＋≈17.1，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1，
样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，
估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.第二章
2.3
2.3.1变量间的相关关系
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．以下关于相关关系的说法正确的个数是(　B　)
①相关关系是函数关系
②函数关系是相关关系
③线性相关关系是一次函数关系
④相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
A．0　
B．1
C．2　
D．3
[解析]　根据相关关系的概念可知，只有④正确，故选B．
2．下列关系属于线性负相关的是(　C　)
A．父母的身高与子女身高的关系
B．农作物产量与施肥量的关系
C．吸烟与健康的关系
D．数学成绩与物理成绩的关系
[解析]　若以吸烟量为横轴，健康为纵轴画出
( http: / / www.21cnjy.com )散点图，则由生活常识知，这些点散布在从左上角到右下角的区域内.
因此，吸烟与健康的关系属于线性负相关.
3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是(　C　)
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
[解析]　给出一组样本数据，总可以作出相应散点图，但不一定分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系.
4．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1
L汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸咽量和其身体健康情况；
④立方体的棱长和体积；
⑤汽车的重量和行驶100
km的耗油量.
其中两个变量成正相关的是(　C　)
A．①③
B．②④
C．②⑤
D．④⑤
[解析]　②⑤中的两个变量成正相关.
二、填空题
5．有下列关系：
①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系.
其中具有相关关系的是__①③④__.
[解析]　②⑤为确定性关系.
6．据两个变量x、y之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)__否__.
[解析]　如图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系.
三、解答题
7．5名学生的数学和化学成绩见下表：
学生学科
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
化学成绩(y)
78
65
71
64
61
画出散点图，并判断它们之间是否有相关关系.
[解析]　散点图如图所示：
由图可知，它们之间具有相关关系.
8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系.
[解析]　(1)散点图如下，
(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系.
B级　素养提升
一、选择题
1．如下图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系(　B　)
A．E
B．D
C．B
D．A
[解析]　去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系.
2．图中的两个变量是相关关系的是(　D　)
A．①②　　　
B．①③　　　
C．②④　　　
D．②③
[解析]　相关关系所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们是相关关系，故选D．
二、填空题
3．在下列各量与量的关系中，是相关关系的是__②__.
①正方体的体积与棱长间的关系；
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③角度和它的余弦值；
④某户家庭用电量与电价间的关系.
[解析]　①是函数关系，其中f(x)＝x3，②是相关关系，③是函数关系，④不是函数关系也不是相关关系，因为电价是一个定值.
4．给出下列x、y值的数据如下：
y
3
5
9
17
x
1
2
4
8
则根据数据可以判断x和y的关系是__确定关系__.(填：“确定关系”“相关关系”或者“没有关系”)
[解析]　由表中数据可以得到x、y之间是一种函数关系：y＝2x＋1，所以x、y是一种确定的关系，即函数关系.
三、解答题
5．某老师为了了解学生的计算能力，对曲胜仁同学进行了10次测试，收集数据如下：
题数x(个)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
做题时间y(分钟)
9
19
26
37
48
52
61
73
81
89
画出散点图，并判断该同学的做题时间与题数是否有相关关系.若有，是正相关还是负相关？
[解析]　散点图分如图所示
由散点图可见，该同学的做题时间与题数之间具有相关关系且是正相关.
6．对某种珍稀动物胚胎的生长进行研究，测得9～20日龄动物的胚胎的质量如下：
日龄/天
9
10
11
12
13
14
胚重/g
1.656
2.662
3.100
4.579
6.518
7.486
日龄/天
15
16
17
18
19
20
胚重/g
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
[解析]　(1)以动物胚胎的日龄为x轴，以胚重为y轴，作出散点图如图所示：
(2)从图象观察，许多点在同一曲线附近，且可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以两变量具有相关关系.
C级　能力拔高
1．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积(m2)
61
70
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
12.2
15.3
24.8
21.6
18.4
29.2
22
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
[解析]　散点图如下：
由散点图知销售价格与房屋面积这两个变量是正相关的关系.
2．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析]　(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额
( http: / / www.21cnjy.com )之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系.第三章
3.3
3.3.2随机数的含义与应用
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数(　D　)
A．不是等可能的
B．0出现的机会少
C．1出现的机会少
D．是均匀分布的
[解析]　用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．
2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为(　C　)
A．
B．
C．
D．
3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为(　C　)
A．a2＝a1
8
B．a2＝a1
8＋2
C．a2＝a1
8－2
D．a2＝a1
6
[解析]　将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需进行的变换为a2＝a1
[6－(－2)]＋(－2)＝a1
8－2.
4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　P＝＝.
5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　记事件“x是负数”为事件A，∵x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，∴UΩ＝6，UA＝4，
∴P(A)＝＝.
6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋
( http: / / www.21cnjy.com )mx－m＋＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是(　A　)
A．
B．
C．0
D．1
[解析]　Δ＝m2－4≤0，∴－5≤m≤3.
∴集合P＝{x|－5≤x≤3}，对于x∈P，
当0二、填空题
7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是　　.
[解析]　设⊙O的半径为R，则⊙O的面积为πR2，即
μΩ＝πR2.
记事件A为“黄豆落到阴影区域”，
μA＝×2R×R＝R2.
∴由几何概型求概率的公式，得
P(A)＝＝＝.
8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为__计算机随机模拟法或蒙特卡罗法__.
三、解答题
9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积.
[解析]　如图所示，作矩形，设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；
S2：用变换rand(
)
3产生0～3
( http: / / www.21cnjy.com )之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand(
)产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要判断试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，矩形的面积为3.由几何概型计算公式得P(A)＝，所以＝.所以S＝即为阴影部分面积的近似值．
B级　素养提升
一、选择题
1．利用抛硬币产生随机数1和2
( http: / / www.21cnjy.com )，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　抛掷硬币两次，所发生的情况有(正，
( http: / / www.21cnjy.com )正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)共4种情况．其中出现的随机数之和为3的情况有2种，故所求概率P＝＝.
2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线
( http: / / www.21cnjy.com )y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数(　B　)
A．[－1,1]，[0,1]
B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2]
D．[0,1]，[0,1]
[解析]　用变换rand
( http: / / www.21cnjy.com )()
2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()
2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
二、填空题
3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边
( http: / / www.21cnjy.com )长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__9__.
[解析]　由于每个点落在正方形内每个位置的可能性相同，则＝，所以＝，所以S阴影＝9.
4．两艘轮船都要停靠同一泊位，
( http: / / www.21cnjy.com )它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1
h与2
h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是　　.
[解析]　用两个变量代表两船时间
( http: / / www.21cnjy.com )，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24,0≤y≤24，y－x≤1，x－y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P＝＝
三、解答题
5．在长为24
cm的线
( http: / / www.21cnjy.com )段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25
cm2与64
cm2之间的概率.
[解析]　设事件A＝“正方形的面积介于25
cm2与64
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝rand(
)；
(2)经过伸缩变换a＝a1
24得到一组[0,24]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[5,8]内的随机数个数N1(即满足5≤a≤8的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
C级　能力拔高
1．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形中的概率.
[解析]　产生的随机数在0～1之间，
( http: / / www.21cnjy.com )是一维的；而大正方形内所有点的集合为Ω＝{(x，y)|－2＜x＜2，－2＜y＜2}，点为二维数组，矛盾非常尖锐，为此，需要产生两个随机数x，y，且－2＜x＜2，－2＜y＜2.当－1＜x＜1且－1＜y＜1时，认为飞镖落入中央小正方形内．
由几何概型概率计算公式得P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
S1　用计数器n记录了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n＝0，m＝0；
S2　用函数rand(
)
4－2产生两个－2～2的随机数x、y，x表示所投飞票的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3　判断(x，y)是否落在中央的小正方形内
( http: / / www.21cnjy.com )，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
S4　表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率作为概率的近似值．
2．在长为14
cm的线段AB上任取
( http: / / www.21cnjy.com )一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间的概率.
[解析]　设事件A表示“圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．第一章
1.2
1.2.2条件语句
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．对条件语句的描述正确的是(　C　)
A．else后面的语句不可以是条件语句
B．两个条件语句可以共用一个end
C．条件语句可以没有else后的语句
D．条件语句中，if和else后的语句必须都有
[解析]　如果作二次判断else后的语句可以是条件语句，每一个条件语句都有自己的if与end，不可共用，else后可以没有语句．
2．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段程序后x的值是(　C　)
A．1　　
B．3　　
C．4　　
D．－2
[解析]　∵1<3满足a3．给出以下四个问题：①
( http: / / www.21cnjy.com )输入一个数x，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a、b、c中的最大数；④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有(　B　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析]　①②直接用顺序结构即可，不需用条件语句；而③需要判断三个数的大小，④是分段函数求值问题，故需用到条件语句．
4．若如图程序运行后的结果是3，那么输入的x的值是(　C　)
A．30　　　　
B．2　　　　
C．0.3　　　　
D．4
[解析]　当x≥0时，由10x＝3解得x＝0.3，符合题意；
当x<0时，由x－1＝3解得x＝4，不合题意，舍去，故输入的x的值是0.3.
5．读程序
当输出的y值的范围大于1时，则输入的x的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析]　该程序的功能是求分段函数
y＝的函数值大于1时，对应的x值的取值范围．
当x>0时，由>1，得x>1，∴x>1；
当x≤0时，由0.5x－1>1，得x<－1，∴x<－1.
综上可知，x>1或x<－1，故选C．
6．当a＝3时，下列程序的输出结果是(　D　)
A．9
B．3
C．10
D．6
[解析]　∵a＝3<10，∴y＝2a＝2×3＝6，故选D．
二、填空题
7．下边的程序运行后输出的结果为__3__.
[解析]　∵x＝5不满足x<0，
∴x＝y＋3＝－12＋3＝－9，
∴输出的结果为x－y＝－9－(－12)＝3.
8．读下面的程序：
这个程序的意义是　已知函数y＝，输入x的值输出对应的y值　.
三、解答题
9．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.
( http: / / www.21cnjy.com )2
m，则无需购票；若身高超过1.2
m但不超过1.5
m，可买半票，若超过1.5
m，应买全票．试写出一个购票的算法程序.
[解析]　程序如下：
B级　素养提升
一、选择题
1．运行下面程序：
在两次运行这个程序时，第一次输入8和4，第二次输入2和4，则两次运行后输出的结果分别为(　C　)
A．8,2
B．8,4
C．4,2
D．4,4
[解析]　第一次A＝8，B＝4，A>B成立，则C＝＝4；第二次A＝2，B＝4，A>B不成立，则C＝＝2.
2．阅读下列程序：
如果输入x＝－2，则输出结果y为(　B　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　本程序是求分段函数y＝的函数值，∵x＝－2，∴y＝－2＋3＝1，故选B．
二、填空题
3．运行下面的程序时，若输入的值为100、99，则输出的结果为__1__；若输入的值为1、2，则输出的结果为__2__.
[解析]　该程序中if执行的是：若A4．读下面的程序，如果输出y的值是20，则通过键盘输入的变量x的值是__2__.
[解析]　该程序的功能是求分段函数
y＝的函数值．
若x≤5时，10x＝20，∴x＝2，满足x≤5，∴x＝2.
若x>5时，5x＋5＝20，∴x＝3，不满足x>5，∴输入的变量x的值为2.
三、解答题
5．设计一个程序，输入一个学生的成绩S
( http: / / www.21cnjy.com )，根据该成绩的不同值作以下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S≤90，则输出“及格”；若S>90，则输出“优秀”.
[解析]　程序如下：
C级　能力拔高
1．已知函数y＝，输入x的值，输出对应的函数值．画出程序框图，并编写程序.
[解析]　程序框图如下图所示：
程序如下：
2．农历九月初九是我国传统的重阳节，某饭
( http: / / www.21cnjy.com )店自助餐厅决定在这一天进行优惠酬宾活动．对于80岁以上的老人，享受免费自助餐；70岁以上的老人享受5折优惠；60岁以上的老人享受6折优惠；其余客人享受9折优惠．请设计算法，完成这一天的计费工作，要求输入用餐者的人数、年龄、消费额，输出应付金额，编写出程序.
[解析]　设用x、m、n分别表示用餐者的年龄、人数、消费额，用S表示应付金额，则程序如下：第三章
3.1
3.1.1随机现象
( http: / / www.21cnjy.com )
一、选择题
1．下列事件中，随机现象的个数为(　C　)
(1)方程ax＋b＝0有一个实数根；
(2)2016年5月15日，去美国旅游的人数为1万；
(3)在常温下，锡块熔化；
(4)若a>b，那么ac>bc.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　(1)(2)(4)是随机现象，(3)是不可能现象．
2．下列现象是必然现象的是(　D　)
A．一天内进入超市的顾客数
B．一顾客在超市中购买的商品数
C．一棵麦穗上长着的麦粒数
D．CCTV1明天19：00播放《新闻联播》
[解析]　选项D是必然现象．
3．下列现象中，随机现象的个数为(　B　)
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析]　①③是随机现象，②④是不可能发生的现象，故选B．
4．“抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字是2”是(　C　)
A．不可能现象
B．必然现象
C．随机现象
D．无法确定
[解析]　抛掷一个均匀的正方体玩
( http: / / www.21cnjy.com )具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字可能是1、2、3、4、5、6，故选C．
5．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从口袋中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是(　B　)
A．必然现象
B．随机现象
C．不可能事件
D．不能确定是哪种现象
[解析]　从口袋中任意摸出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故选B．
6．下列现象中，是随机现象的是(　D　)
①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是次品；
②同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
④跳水运动员吴敏霞在2012年伦敦奥运会上夺得冠军．
A．②③④
B．①③
C．①②③
D．②③
[解析]　①是不可能发生的现象，④是必然现象，②③是随机现象．
二、填空题
7．给出下列现象：
①明天进行的某场足球赛的比分为3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；
③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击一次，命中靶心；
⑤当x是实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然现象有__③__，不可能现象有__⑤__，随机现象有__①②④__.
[解析]　③是必然现象，⑤是不可能现象，①②④是随机现象.
8．一天中，从北京开往沈阳的7列列车全都正点到达，该试验现象中，一次试验是指__一列列车从北京到达沈阳__，共有__七__次试验.
[解析]　一列列车从北京到达沈阳就是一次试验，共有七次试验．
三、解答题
9．判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)在20个同类产品中，有18个正品、2个次品
，从中任意抽3个，则至少有一个是正品；
(2)方程x2＋2＝0无实数根．
[解析]　(1)由于20个产品中只有2个次品，所以任取3个产品至少有一个正品，故(1)是必然现象．
(2)∵x2＋2>0恒成立，故(2)是必然现象．
10．下列现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京飞往上海的3次航班，全部正点到达；
(2)抛8次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上．
[解析]　(1)一飞机从北京飞往上海，就是一次试验，共有3次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有8次试验．1.1.2
程序框图
1.1.3
算法的三种基本逻辑结构和框图表示（1）
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A级　基础巩固
一、选择题
1．任何一种算法都离不开的基本结构为(　D　)
A．逻辑结构　　　　　　
B．条件结构
C．循环结构
D．顺序结构
[解析]　任何一种算法都离不开顺序结构．
2．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是(　C　)
A．终端框
B．输入、输出框
C．判断框
D．处理框
[解析]　含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框．
3．如图所示的程序框图的运行结果是(　B　)
A．2
B．2.5
C．3.5
D．4
[解析]　∵a＝2，b＝4，∴S＝＋＝＋2＝2.5.
二、填空题
4．在如图所示的程序框图中，若输出的z的值等于3，那么输入的x的值为　　.
( http: / / www.21cnjy.com )
[解析]　当输出的z的值为3时，z＝＝3，∴y＝9，由＝9，得x＝，故输入的x的值为.
5．如图是求一个数的百分之几的程序框图，则(1)处应填__n＝n×m__.
[解析]　因为程序框图的作用是求一个数的百分之几，故(1)处应填输入的数n与百分比m的乘积所得数，再让它赋值给n.
三、解答题
6．已知球的半径为1，求其表面积和体积，画出其算法的程序框图.
[解析]　如图所示：
7．已知x＝10，y＝2，画出计算w＝5x＋8y值的程序框图.
[解析]　算法如下：
S1　令x＝10，y＝2.
S2　计算w＝5x＋8y.
S3　输出w的值．
其程序框图如图所示：
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B级　素养提升
一、选择题
1．如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为(　D　)
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A．1
B．3
C．1或3
D．0或3
[解析]　本题实质是解方程a＝－a2＋4a，解得a＝0或a＝3.
2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c的值分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是(　A　)
A．75,21,32
B．21,32,75
C．32,21,75
D．75,32,21
[解析]　输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：
输入21,32,75.
x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.
输出75,21,32.
二、填空题
3．如图所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为__3__.
[解析]　该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.
4．如下图，程序框图的功能是__求五个数的和以及这五个数的平均数__.
[解析]　该程序框图表示的算法是首先输入5个数，然后计算这5个数的和，再求这5个数的算术平均数，最后输出它们的和与平均数.
三、解答题
5．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图.
[解析]　算法如下：
S1　输入R，h，
S2　计算V＝πR2h.
S3　输出V.
程序框图如图所示：
6．已知两个单元分别存放了变量x和y，试变换两个变量的值，并输出x和y，请写出算法并画出程序框图.
[解析]　算法如下：
S1　输入x，y.
S2　把x的值赋给p.
S3　把y的值域给x.
S4　把p的值赋给y.
S5　输出x，y.
程序框图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
C级　能力拔高
1．已知一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，写出它的外接圆和内切圆面积的算法，并画出程序框图.
[解析]　算法步骤如下：
S1　输入a，b.
S2　计算c＝.
S3　计算r＝(a＋b＋c)，R＝.
S4　计算内切圆面积S1＝πr2，外接圆面积S2＝πR2.
S5　输出S1、S2，结束．
程序框图如图．
2．已知函数y＝2x＋3，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，设计一个算法，求该点到坐标原点的距离，并画出程序框图.
[解析]　算法如下：
S1　输入横坐标的值；
S2　计算y＝2x＋3；
S3　计算d＝；
S4　输出d.
程序框图如图：1.1.2
程序框图
1.1.3
算法的三种基本逻辑结构和框图表示（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．如图所示的程序框图中，输入x＝2，则输出的结果是(　B　)
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[解析]　输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：
输入x＝2，
x＝2>1成立，
y＝＝2，
输出y＝2.
2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其算法框图的是(　C　)
A．利用公式1＋2＋…＋n＝计算1＋2＋…＋10的值
B．当圆面积已知时，求圆的周长
C．当给定一个数x时，求其绝对值
D．求函数f(x)＝x2－3x－5的函数值
[解析]　C中要判断x是大于等于0还是小于0，故选项C只用顺序结构画不出其程序框图．
3．已知a＝2，b＝log3，运算原理如图所示，则输出的值为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由a＝b不成立，故输出＝.
4．如图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是(　A　)
A．y＝－x，y＝0，y＝x2
B．y＝－x，y＝x2，y＝0
C．y＝0，y＝x2，y＝－x
D．y＝0，y＝－x，y＝x2
[解析]　①处x满足x≤－1，则由函数的解析式知，①处应填入y＝－x；
②处x满足－1③处x满足x>2，则由函数的解析式知，③处应填入y＝x2.
二、填空题
5．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是　　.
[解析]　当x≤1时，y＝x－1≤0，
∵输出结果为，∴x>1，
∴log2x＝，
∴x＝.
6．如图所示表示求函数f(x)＝|x－
( http: / / www.21cnjy.com )3|的值的算法．请将程序框图补充完整．其中①处应填__x<3？(或x≤3？)__，②处应填__y＝x－3__.
三、解答题
7．获得学习优良奖的条件如下：
(1)所考五门课成绩总分超过460分；
(2)每门课都在85分以上；
(3)前三门(主课)每门成绩都在95分以上．
输入一名学生的五门课的成绩，问他是否符合优良奖的条件，画出这一算法的程序框图．
[解析]　我们设这名学生的五门课的成绩分别为a、b、c、d、e.设计算法如下：
第一步，输入学生五门课的成绩a、b、c、d、e；
第二步，计算学生的总成绩S＝a＋b＋c＋d＋e；
第三步，若S≥460，则执行第四步，否则执行第十步；
第四步，若a≥95，则执行第五步，否则执行第十步；
第五步，若b≥95，则执行第六步，否则执行第十步；
第六步，若c≥95，则执行第七步，否则执行第十步；
第七步，若d≥85，则执行第八步，否则执行第十步；
第八步，若e≥85，则执行第九步，否则执行第十步；
第九步，输出“该学生获得学习优良奖”；
第十步，输出“该学生不获得学习优良奖”．
程序框图如图：
8．画出输入一个数x，求分段函数y＝的函数值的程序框图.
[解析]　程序框图如图所示：
B级　素养提升
一、选择题
1．某市出租车的起步价为8元(含3
km
( http: / / www.21cnjy.com ))，超过3
km的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3
km收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示(此处的x假定为整数)，则(1)处应填(　D　)
A．y＝8＋2.6x
B．y＝9＋2.6x
C．y＝8＋2.6(x－3)
D．y＝9＋2.6(x－3)
[解析]　当x>3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)，
∴(1)处应填y＝9＋2.6(x－3)．
2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是(　A　)
A．2或－2
B．2或－2
C．－2或－2
D．2或2
[解析]　当x3＝8时x＝2，a＝4，b＝8，b＞a，输出8
当x2＝8时，x＝±2，a＝8，b＝±6，
又a＞b，输出8，
所以x＝－2，故选A．
二、填空题
3．下列程序框图的运算结果为__5__.
[解析]　∵a＝5，S＝1，a≥4，
∴S＝1×5＝5，
∴输出S的值为5.
4．已知函数y＝，下图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．
①处应填写__x＜2？__；②处应填写__y＝log2x__.
[解析]　框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x＜2？”．②就是该函数的另一段表达式y＝log2x.
三、解答题
5．在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾
( http: / / www.21cnjy.com )客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，并画出程序框图.
[解析]　算法如下：
S1　输入a；
S2　若a<5，则c＝25a；否则，执行S3；
S3　若a<10，则c＝22.5a；否则(a≥10)，c＝21.25a.
S4　输出c.
程序框图如图所示：
C级　能力拔高
1．某市劳动保障部门规定：某工种在法
( http: / / www.21cnjy.com )定工作时间内，工资为8元/h，加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60
h，其中加班20
h，他每周收入的10%要交纳税金．请设计一个算法，计算此人这周所得净收入，并画出相应的程序框图.
[解析]　此人一周在法定工作时间内工作40
h，加班20
h，他一周内的净收入等于(40×8＋20×12)×(1－10%)元．
算法步骤如下：
第一步，令T＝40，t＝20.
第二步，计算S＝(8×T＋12×t)×(1－10%)．
第三步，输出S.
程序框图如图所示：
2．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题.
(1)分别求f(－1)，f(0)，f()，f(3)的值；
(2)写出函数f(x)的表达式．
[解析]　(1)当x＝－1时，满足x<0，故执行y＝0，
即f(－1)＝0，同样地，可得f(0)＝1，f()＝1，
f(3)＝3.
(2)算法的功能是求下面函数的函数值：f(x)＝.第三章
3.2
3.2.1古典概型
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A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·北京文)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、
( http: / / www.21cnjy.com )戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.
2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从1、2、3、4中任取
( http: / / www.21cnjy.com )2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝.
3．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从这五条线段中任取三条，所有基本
( http: / / www.21cnjy.com )事件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为.
4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要
( http: / / www.21cnjy.com )停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等车这，事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝.
5．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从{1,2,3,4,5}中随
( http: / / www.21cnjy.com )机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)共15种，b>a的情况有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种，∴所求的概率为＝.
6．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是(　C　)
A．1
B．
C．
D．
[解析]　集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.
二、填空题
7．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是　　.
[解析]　记3只白球分别为A、B、C,1只
( http: / / www.21cnjy.com )黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为＝.
8．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为　　.
[解析]　由题意知，基本事件空
( http: / / www.21cnjy.com )间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝＝.
三、解答题
9．小波以游戏方式决定是去打球、
( http: / / www.21cnjy.com )唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋.
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
[解析]　(1)X的所有可能取值为－2、－1、0、1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·、·、·、·、·、·，共6种；
数量积为0的有·、·、·、·，共4种；
数量积为1的有·、·、·、·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝；
因为去唱歌的概率为p2＝，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.
10．(1)从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解析]　(1)基本事件空间Ω＝{(a，b)
( http: / / www.21cnjy.com )，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)}，其中(a，b)中的a表示第一次取出的产品，b表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P(A)＝＝.
(2)有放回的连续取两件，基本事件
( http: / / www.21cnjy.com )空间Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，b)，(b，a)，(b，c)，(c，c)，(c，a)，(c，b)}中共9个等可能的基本事件，事件B＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，∴P(B)＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(　B　)
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
[解析]　5件产品中有2件次品，记为a，b，
( http: / / www.21cnjy.com )有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝＝0.6，故选B．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其
( http: / / www.21cnjy.com )中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　记3个兴趣小组分别为1,2,3
( http: / / www.21cnjy.com )，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
3．从所有3位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．以上全不对
[解析]　三位的正整数共有900个，若以2为底的对数也是正整数(设为n)，则100≤2n≤999，∴n＝7、8、9共3个，故P＝＝.
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大
( http: / / www.21cnjy.com )的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20　12　伦敦”或者“伦敦　20　12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　3块字块的排法为“20　12　伦
( http: / / www.21cnjy.com )敦”，“20　伦敦　12”，“12　20　伦敦”，“12　伦敦　20”，“伦敦　20　12”，“伦敦　12　20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P＝＝.
二、填空题
5．从集合A＝{2,3}中
( http: / / www.21cnjy.com )随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为　　.
[解析]　点P(m，n)的所有结果有(2,1
( http: / / www.21cnjy.com ))，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事件A即m2＋n2<9，则A包含的结果有(2,1)，(2,2)共2种
∴P(A)＝＝.
6．在平面直角坐标系中，从五个点A(
( http: / / www.21cnjy.com )0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是　　.
[解析]　如下图所示，则从这五点中任取三点的
( http: / / www.21cnjy.com )全部结果为：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10个．
而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE、BCD
2个，故构成三角形的概率P()＝1－P(M)＝1－＝.
三、解答题
7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1
( http: / / www.21cnjy.com )、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．
[解析]　(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,
( http: / / www.21cnjy.com )3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)，(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
C级　能力拔高
1.右面茎叶图中记录了甲组3名同
( http: / / www.21cnjy.com )学寒假假期内去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)如果x＝7，求乙组同学去图书馆B学习次数的平均数和方差；
(2)如果x＝9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
[解析]　(1)当x＝7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆B学习的次数是7、8、9、12，
所以其平均数为＝＝9，
方差为s2＝[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(12－9)2]＝.
(2)记甲组3名同学为A1、A2
( http: / / www.21cnjy.com )、A3，他们去图书馆A学习的次数依次为9、12、11；乙组4名同学为B1、B2、B3、B4，他们去图书馆B学习的次数依次为9、8、9、12；从学习次数大于8的学生中任选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是A1A2、A1A3、A1B1、A1B3、A1B4、A2A3、A2B1、A2B3、A2B4、A3B1、A3B3、A3B4、B1B3、B1B4、B3B4.
用C表示“选出的两名同学恰好在两个
( http: / / www.21cnjy.com )图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是A1B4、A2B4、A2B3、A2B1、A3B4.
故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆里学习且学习的次数和大于20的概率为P(C)＝＝.
2．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[解析]　(1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件
( http: / / www.21cnjy.com )A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)＝＝.
(2)记x＋y≥10为事件B
( http: / / www.21cnjy.com )，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；
事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．第三章
3.4概率的应用
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A级　基础巩固
一、选择题
1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量
( http: / / www.21cnjy.com )小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是(　D　)
A．0.30　　　
B．0.50　　　
C．0.80　　　
D．0.70
[解析]　由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Wa
( http: / / www.21cnjy.com )rner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的(　A　)
A．3.33%
B．53%
C．5%
D．26%
[解析]　应用Warner随机化方
( http: / / www.21cnjy.com )法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占≈3.33%，故选A．
3．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　5人站一排有5个位置，班主任站在任一位置等可能，∴P＝.
4．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　每队选一男一女上场，不同的上场结
( http: / / www.21cnjy.com )果(即基本事件总数)有3×2×3×2＝36种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为P＝＝.
5．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．0
[解析]　x2＋x－2<0的解集为(－2,1)，区间的长度为3，区间[－4，4]的长度为8，∴所求概率P＝.
6．袋子中有四个小球，分别写有“
( http: / / www.21cnjy.com )神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13　24　12　32　43　14　24　32　31　21
23　13　32　21　24　42　13　32　21　34
据此估计，直到第二次就停止概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、23、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
二、填空题
7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为__0.7__.
[解析]　从5名学生中抽取2
( http: / / www.21cnjy.com )人的方法共有10种，“至少有一名男生参加”包括“两名都是男生”和“一名女生一名男生”两种情况，共7个基本事件，故所求概率为＝0.7.
8．口袋中装有100个大小相
( http: / / www.21cnjy.com )同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各__35,40,25__个.
[解析]　黑球个数为100×(1－0.75)＝25个；红球个数100×(1－0.60)＝40个，白球个数100－25－40＝35个．
三、解答题
9．今有长度不等的电阻丝放在一起
( http: / / www.21cnjy.com )，已知长度在84～85
mm间的有三条，长度在85～86
mm间的有四条，长度在86～87
mm间的有五条，从中任取一条，求：
(1)长度在84～86
mm间的概率；
(2)长度在85～87
mm间的概率．
[解析]　取到长度在84～85
mm的电阻丝
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为，取到长度在85～86
mm的电阻丝的概率为，取到长度在86～87
mm的电阻丝的概率为.
(1)P1＝＋＝.
(2)P2＝＋＝.
10．柜子里有3双不同的鞋，随
( http: / / www.21cnjy.com )机地取出2只，记事件A表示“取出的鞋配不成对”；事件B表示“取出的鞋都是同一只脚的”；事件C表示“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但配不成对”.
(1)请列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
[解析]　(1)设3双不同的鞋分别为x1x2、y1y2、z1z2.
∴随机地取出2只的所有基
( http: / / www.21cnjy.com )本事件有：(x1，x2)、(x1，y1)、(x1，y2)、(x1，z1)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，y2)、(x2，z1)、(x2，z2)、(y1，y2)、(y1，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)、(y2，z2)、(z1，z2)共15个．
(2)由(1)得事件A包
( http: / / www.21cnjy.com )含的基本事件分别有(x1，y1)、(x1，y2)、(x1，z1)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，y2)、(x2，z1)、(x2，z2)、(y1，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)、(y2，z2)共12个，
∴P(A)＝＝.
事件B包含的基本事件分别有(x1，y1)、(
( http: / / www.21cnjy.com )x1，z1)、(x2，y2)、(x2，z2)、(y1，z1)、(y2，z2)共6个，∴P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件分别有(
( http: / / www.21cnjy.com )x1，y2)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)共6个，∴P(C)＝＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人做
( http: / / www.21cnjy.com )相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到甲手中的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　本题可用树形图进行解决，如图所示，共有27种结果，第三次球传回到甲手中的结果有6种．故所求概率为P＝＝.
2．有大小相同的五个球，上面标有1,2,3,4,5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从五个小球中任取两
( http: / / www.21cnjy.com )球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，所求概率P＝1－＝＝.
3．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a、b，则满足<|b－a2|<6－a的概率为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　基本事件总数为36个，满足
( http: / / www.21cnjy.com )<|b－a2|<6－a的基本事件有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、(2,6)共7个，故所求概率为P＝.
4．一只蚂蚁在一直角边长为1
cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1
cm的概率为(　D　)
A．
B．
C．2－
D．2－
[解析]　如图，E为斜边AC上的点，且AE＝1
cm，则蚂蚁应在线段AE及边AB上爬行，所求概率P＝＝2－，故选D．
二、填空题
5．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是　　.
[解析]　从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，所有可能的结果如图所示．
如图知，所有可能的结果有6种，记“甲被选中”为事件A，则A含有3种可能结果．
∴P(A)＝＝.
6.取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为　　.
[解析]　记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)＝＝＝＝.
三、解答题
7．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率.
[解析]　直线方程变形为y＝－x－(B≠0)，记“斜率小于0”为事件M，其中包含：①A、B同取正值记为事件M1；②A、B同取负值记为事件M2，且M1、M2为互斥事件．事件总个数为5×4＝20.
∴P(M1)＝＝，
P(M2)＝＝.∴由互斥事件概率的加法公式，得P(M)＝＋＝.
8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定
( http: / / www.21cnjy.com )考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析]　将5杯饮料编号
( http: / / www.21cnjy.com )为：1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)、(124)、(125)、(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，
共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
C级　能力拔高
1．在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10
mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？
[解析]　由于带锈病的种子在1
L
( http: / / www.21cnjy.com )小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10
mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“取出的10
mL麦种含有带小麦锈病的种子”．μA＝10(mL)，μΩ＝1(L)＝1
000(mL)，
∴P(A)＝＝＝0.01.
2．有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率.
[解析]　解法一：2人中的
( http: / / www.21cnjy.com )每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，即每人都可以从第二层到第十一层的任何一层离开，因此每人有10种离开的方法，所以共有不同的离开方法，即基本事件总数为n＝10×10＝100.
记“两个人在不同层离开”为事
( http: / / www.21cnjy.com )件A，下面求A包含的基本事件数．第一个离开时有10种方法，第二人离开时有9种方法，故共有不同离开方法是m＝10×9＝90.
∴由古典概型概率公式得P(A)＝＝＝0.9.
解法二：2个人在不同层离开和
( http: / / www.21cnjy.com )在同一层离开是对立事件．而2个人同楼层离开即从第二层到第十一层一共10种离开方法．∴P(A)＝1－＝1－0.1＝0.9.第二章
2.1
2.1.4数据的收集
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列问题中符合调查问卷要求的是(　C　)
A．你们单位有几个大胡子？
B．您对我们厂生产的电视机满意吗？
C．您的体重是多少千克？
D．很多顾客都认为该产品的质量很好，您不这么认为吗？
[解析]　A中的“大胡子”概念不明确；B对问题叙述不详细；D引导答题者的答题方向.
2．下面问题可以用普查的方式进行调查的是(　C　)
A．检验一批钢材的抗拉强度
B．检验海水中微生物的含量
C．检验10件产品的质量
D．检验一批汽车的使用寿命
[解析]　A不能用普查的方式调查，因为这种实
( http: / / www.21cnjy.com )验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D该实验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用.
3．①您所购买的是名牌产品，您认为该产品的知名度
A．很高　
B．一般　
C．很低
②你们家有几个孩子？____________
③你们班有几个大个子同学？____________.
④你认为数学学习
A．较困难
B．较容易
C．没感觉
以上问题符合调查问卷要求的是(　D　)
A．①　　
B．②　　
C．③　　
D．④
[解析]　①不符合，因为问题有
( http: / / www.21cnjy.com )引导受调查者答题的倾向.②不符合，因为“孩子”一词意义含混.③不符合，因为“大个子”一词意义含混，故只有④符合，∴选D．
4．为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是(　B　)
A．查阅资料　　　　　
B．问卷调查
C．做试验
D．以上均不对
[解析]　问卷调查能达到目的，比较适合.
二、填空题
5．小明对本班同学做调查，提出问题“你考
( http: / / www.21cnjy.com )试作弊吗？”这样的问法__不合理__(填“合理”或“不合理”)，理由是__考试作弊是一件不光彩的事，这样问很难得到真实答案__.
[解析]　这样的问题没有站在回答者的立场考虑.
6．做饭时为了知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝尝，这种试验方法__合适__.(填“合适”或“不合适”)
[解析]　舀出的一勺是饭煲中搅拌均匀
( http: / / www.21cnjy.com )的全部饭的一部分，从中任意抽取一部分个体作为样本，它们含有与总体基本相同的信息.通过这一勺饭的生熟可以知道饭煲中饭的生熟.
三、解答题
7．请设计一份调查问卷，就消费者对某型号洗衣机在外观、功能、价格、耗电量、节约用水、售后服务等方面的满意程度进行调查.
[解析]　问卷设计如下：
姓名____________工作单位____________
住址____________联系电话____________
为了了解您的要求，进一步提高我们的服务质量，请回答以下问题：
8．设计一份学生食堂饭菜质量、饭菜价格、服务质量、满意程度的调查问卷.
[解析]　设计调查问卷如下：
B级　素养提升
一、选择题
1．某地第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215
830
200
250
154
676
74
570
65
280
行业
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124
620
102
935
89
115
76
516
70
436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是(　B　)
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张
[解析]　从表中可以看出，计算机行业应
( http: / / www.21cnjy.com )聘和招聘人数都较多，但录用率约占60%.
化工行业招聘名额虽少，但应聘者也相应较少，且低于招聘人数，故A不正确.相对物流行业，机械行业可能不是最紧张的.
建筑行业应聘人数不多，显然好于物流行业.营销行业招聘比约为1∶1.5，但贸易行业招聘数不详，无法比较.
2．下列调查方式合适的是(　D　)
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式
B．要了解收看中央电视台的“法制报道”栏目的情况，采用普查方式
C．为了保证“天宫”一号太空舱发射成功，对重要零件采取抽查方式
D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可采用抽查方式
[解析]　结合普查及抽查的概念及实际问题的需要可知D正确.
二、填空题
3．经问卷调查，某班同学对摄影分别执“喜欢”
( http: / / www.21cnjy.com )、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、一位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多__3__人.
[解析]　由题意知，设三种态度的人数分别
( http: / / www.21cnjy.com )为5x、x、3x，则3x－x＝12，∴x＝6，即人数分别为：30,6,18.∴30－(30＋6＋18)÷2＝3.
4．下列试验适合用抽样调查方法获取数据的序号是__①③④__.
①考察一片草皮的平均高度；
②检查某食品单位职工的身体状况；
③考察参加某次考试的3万考生的数学答题情况；
④检验一个人的血液中白细胞的含量是否正常.
[解析]　①该问题用普查的方法很难实
( http: / / www.21cnjy.com )现，适合用抽样调查的方法获取数据；②体检，必须了解每个职工的身体状况，不适合用抽样调查的方法获取数据；③3万考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；④该问题只能用抽样调查的方法获取数据.
三、解答题
5．请你设计一份关于中学生的课余活动情况的调查问卷.
[解析]　调查问卷设计如下：
姓名：____________　班级：____________
年龄：____________　性别：____________
联系电话：____________
(1)你每天的课余时间约为(　　)
A．2小时　　
B．3小时　　
C．3小时以上
(2)你们的课余时间安排是(　　)
A．自由活动　
B．组织安排
(3)你的主要娱乐方式是(　　)
A．踢足球　
B．打篮球　
C．打羽毛球
D．做游戏　　　E.其他
(4)你觉得课余活动时间(　　)
A．太少　　
B．适中　　
C．太多
6．某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查，调查中使用了两个问题.
问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题2：你是否经常吸烟？
请你设计调查问卷进行调查.
[解析]　调查问卷设计如下：
姓名____________所在学校____________
现有一个装有大小、形状和质量完
( http: / / www.21cnjy.com )全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球A(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人请在问题后面的方框内划“√”，回答“否”的人不用作任何标记.
C级　能力拔高
请设计一份问卷调查你们班同学阅读课外书的情况.
[解析]　调查问卷设计如下：
姓名____________　所在班级____________
请回答下列问题
(1)你一般在什么时间阅读课外书？
A．每天课间　　　　　
B．每天放学回家
C．周末或假期
D．老师安排的阅读课上
(2)你喜欢读的课外书有：
A．散文
B．报告文学
C．小说
D．所学功课的辅导资料
E.其他的
(3)你最喜欢哪一类课外书？____________
(4)你的课外书的来源是
A．同学介绍的
B．老师推荐的
C．在书店中偶然发现的
D．家长推荐的
E.从宣传资料上看到的
(5)你是怎样阅读课外书的？
A．粗略阅读
B．详细阅读
C．大部分是粗略阅读的
D．大部分是详细阅读的
(6)你认为课外阅读和学习的关系是
A．能促进学习
B．与学习没多大关系
C．妨碍学习
(7)你的家长对你阅读课外书持什么态度？
A．支持
B．反对
C．从不过问
(8)你在阅读课外书时遇到哪些困难？____________
(9)你在这方面有什么打算？____________第二章
2.1
2.1.3分层抽样
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．某市对大、中、小学生的视力进行
( http: / / www.21cnjy.com )抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且中学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(　C　)
A．1
500　
B．1
000　
C．500　　
D．150
[解析]　设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x,3x,5x，由3x＝150，得x＝50，所以n＝100＋150＋250＝500.
2．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙
( http: / / www.21cnjy.com )黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶
1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是(　D　)
A．8
B．12
C．16
D．24
[解析]　设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则＝，解得x＝24.
3．某中学三个年级共240人，其中七年
( http: / / www.21cnjy.com )级100人，八年级80人，九年级60人，为了了解初中生的视力状况，抽查12人参加体检，应采用(　C　)
A．简单随机抽样法
B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．以上方法都行
[解析]　符合分层抽样的特点.
4．(2015·北京文，
( http: / / www.21cnjy.com )4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　C　)
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1
800
青年教师
1
600
合计
4
300
A．90
B．100
C．180
D．300
[解析]　由题意，总体中青年教师与老年教师比
( http: / / www.21cnjy.com )例为＝；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即＝，解得x＝180.
5．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简
( http: / / www.21cnjy.com )称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　B　)
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
[解析]　本题考查了分层抽样知识.
由题意得，＝，
解得N＝808.
解决本题的关键是分清各层次的比例，属基础题，难度较小.
6．某公司在甲、乙、丙、丁四
( http: / / www.21cnjy.com )个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为(　B　)
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
[解析]　由调查①可知个体差异明显，故宜用分层抽样；调查②中个体较少，故宜用简单随机抽样.
二、填空题
7．某大学为了解在校本科生对参加某项社
( http: / / www.21cnjy.com )会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__60__名学生.
[解析]　∵300×＝60，∴取60人.
8．防疫站对学生进行身体健康
( http: / / www.21cnjy.com )调查.红星中学共有学生1
600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是__760__.
[解析]　设该校的女生人数是x，则男生人数是1
600－x，抽样比是＝，则x＝(1
600－x)－10，解得x＝760.
三、解答题
9．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12
000人，其中持各种态度的人数如下表：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2
435
4
567
3
926
1
072
电视台进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？
[解析]　可用分层抽样方法，其
( http: / / www.21cnjy.com )总体容量为12
000.“很喜爱”占＝，应抽取60×487÷2
400≈12(人)；“喜爱”占，应抽取60×4
567÷12
000≈23(人)；
“一般”占，应抽取60×3
926÷12
000≈20(人)；
“不喜爱”占，应抽取60×1
072÷12
000≈5(人).
因此采用分层抽样法在“很
( http: / / www.21cnjy.com )喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2
435人、4
567人、3
926人和1
072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.
B级　素养提升
一、选择题
1．某市场有四类食品，其中粮食类、植
( http: / / www.21cnjy.com )物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　C　)
A．4　　
B．5　　
C．6　　
D．7
[解析]　若采用分层抽样的方法，则植物油类与果蔬类食品分别抽取×10＝2，×20＝4，
故抽取的两种食品种数之和为6.
2．某中学有高中生3
500人，初中生1
( http: / / www.21cnjy.com )500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　A　)
A．100
B．150
C．200
D．250
[解析]　由题意，得抽样比为＝，总体容量为3
500＋1
500＝5
000，故n＝5
000×＝100.
3．某大学数学系共有本科生5
( http: / / www.21cnjy.com )000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(　B　)
A．80
B．40
C．60
D．20
[解析]　三年级的学生人数为×5
000＝1
000(人)
应抽取三年级的学生人数为×200＝40(人).
4．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.
①采用随机抽样法，将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个.从三级品中随机抽取10个，对于上述抽样方式，下面说法正确的是(　A　)
A．不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为.③并非如此
C．①③两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的
[解析]　虽然三抽样方式、方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性.
二、填空题
5．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之
( http: / / www.21cnjy.com )比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__15__名学生.
[解析]　本题考查抽样方法中的分层抽样知识.
∵高一、二、三年级的学生数之比是3∶3∶4，
∴高二年级学生数在三个年级学生总数中所占比例为＝，
∴高二年级学生应抽取×50＝15人.
对于分层抽样知识关键是求出抽样比，即某层元素在整体中所占比例.
6．课题组进行城市空气质量调查，
( http: / / www.21cnjy.com )按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为__2__.
[解析]　本题考查抽样方法中的分层抽样.
由于总共24个城市，抽取6个，则丙组中抽取×8＝2个.
三、解答题
7.某校按分层抽样的方法
( http: / / www.21cnjy.com )从高中三个年级抽取部分学生调查，从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1
200人，并从中抽取了40人.
(1)该校的总人数为多少？
(2)其他两个年级分别抽取多少人？
(3)在各层抽样中可采取哪种抽样方法？
[解析]　高二年级所占的角度为120°
.
(1)设总人数为n，则＝，可知n＝3
600，故该校的总人数为3
600.
(2)高一、高二、高三人数所占的比为150∶120∶90＝5∶4∶3，可知高一、高三所抽取人数分别为50,30.
(3)在各层抽样中可采取简单随机抽样与系统抽样的方法.
C级　能力拔高
1．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x、y；
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程.
[解析]　(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝ x＝18，＝ y＝2，故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本.
2．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登
( http: / / www.21cnjy.com )山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
[解析]　(1)设登山组人数为x，游泳组中
( http: / / www.21cnjy.com )，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)，抽取的中年人数为200××50%＝75(人)；抽取的老年人数为200××10%＝15(人).第二章
2.3
2.3.2两个变量的线性相关
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．设一个回归方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(　A　)
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
[解析]　由题意可知，变量x每增加一个单位时，y平均增加1.2个单位.
2．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：
第x次考试
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
3.5
显然y与x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为(　D　)
A．＝0.7x＋5.25
B．＝－0.6x＋5.25
C．＝－0.7x＋6.25
D．＝－0.7x＋5.25
[解析]　由于随着x的增大，y减小，
( http: / / www.21cnjy.com )所以x与y负相关，所以<0，排除A；由于＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，所以样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入其他三个选项，得直线＝－0.7x＋5.25通过样本点的中心，故选D．
3．某商店对每天进店人数x与某种商品成交量y(单位：件)进行了统计，得到如下对应数据：
x
10
15
20
25
30
35
40
y
5
6
12
14
20
23
25
由表中数据，得线性回归方程为＝x－3.25.如果某天进店人数是75，预测这一天该商品销售的件数为(　B　)
A．47
B．52
C．55
D．38
[解析]　＝＝25，
＝＝15，
将(，)代入回归方程得15＝25－3.25，＝0.73.
∴预测这一天该商品销售的件数大约为0.73×75－3.25＝51.5，故选B．
4．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(　C　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[解析]　因为变量x和y满足关系y＝－0.1
( http: / / www.21cnjy.com )x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　B　)
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
[解析]　本题主要考查了回归分析及回归直线方程.
依题意：＝3.5，＝42，又＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋.
∴＝9.1，∴＝9.4x＋9.1，当x＝6时，＝65.5，故选B．
6．(2017·山东理，5)
( http: / / www.21cnjy.com )为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1
600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　C　)
A．160
B．163
C．166
D．170
[解析]　∵i＝225，∴＝i＝22.5.
∵i＝1
600，∴＝i＝160.
又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70.
∴回归直线方程为＝4x＋70.
将x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.
故选C．
二、填空题
7．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为__450kg__.
[解析]　
将x＝50代入回归直线方程得＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg.
8．调查了某地若干户家庭的年收入
( http: / / www.21cnjy.com )x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__0.254__万元.
[解析]　本小题考查内容为回归直线方程与回
( http: / / www.21cnjy.com )归系数的意义.由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
三、解答题
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20.
(2)预计在今后的销售中，销量与单
( http: / / www.21cnjy.com )价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解析]　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1
000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.
B级　素养提升
一、选择题
1．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x
10
20
30
40
50
y
62
▲
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为(　C　)
A．60
B．62
C．68
D．68.3
[解析]　由题意可得＝30，
代入回归方程得＝75.
设看不清处的数为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
2．某同学对一家超市就“气温与
( http: / / www.21cnjy.com )热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x℃与当天销售量y(个)之间的线性回归方程为：＝－2.352x＋147.767，当x＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为(　D　)
A．109
B．128
C．134
D．143
[解析]　把x＝2℃代入线性回归方程得＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D．
3．某化工厂为了预测产品的
( http: / / www.21cnjy.com )销售量y，需要研究它与某原料有效成分含量x之间的相关关系.现取了8对观测值，计算得i＝48，i＝144，回归直线方程为＝a＋2.5x，则当x＝10时，y的预测值为(　A　)
A．28
B．27.6
C．26
D．25
[解析]　＝＝＝6，
＝＝＝18，
将(，)代入回归直线方程得
18＝a＋2.5×6，∴a＝3.
∴y的预测值为3＋2.5×10＝28.
4．下表提供了某场节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为(　B　)
A．1
B．3
C．5
D．7
[解析]　＝＝4.5，
∵回归直线y＝0.7x＋0.35过点(，)，
∴＝0.7×4.5＋0.35＝3.5.
∴＝＝3.5，
∴t＝3.
二、填空题
5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是　＝1.23x＋0.08　.
[解析]　设回归直线方程为＝x＋，(，)是样本点的中心.依题意，＝1.23，＝4，＝5，所以＝－＝0.08，所以回归直线的方程是＝1.23x＋0.08.
6．某单位为了了解用电量y(
( http: / / www.21cnjy.com )度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为＝－2x＋60.
气温(℃)
c
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
d
但后来不小心表中数据c、d丢失，那么由现有数据知2c＋d＝__100__.
[解析]　由题意得，＝(c＋13＋10－1)＝，＝(24＋34＋38＋d)＝，又线性回归方程为＝－2x＋60，故－2×＋60＝，解得2c＋d＝100.
三、解答题
7．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析]　先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解.
(1)作散点图如图所示.
(2)由散点图可知y与x线性相关.故可设回归直线方程为＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438.
∴b＝≈0.73，a＝－b≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为＝0.73x－0.875.
(3)令＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15.
即机器的运转速度应控制在15转/秒内.
C级　能力拔高
某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，
( http: / / www.21cnjy.com )分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
[解析]　(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)
( http: / / www.21cnjy.com )×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2
( http: / / www.21cnjy.com )010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2018年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元.第三章
3.1
3.1.2事件与基本事件空间
( http: / / www.21cnjy.com )
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是(　C　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　①④是正确的，故选C．
2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要任意选报其中的2个，则基本事件的个数为(　C　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　基本事件有{数学，计算机}、{数学，航空模型}、{计算机，航空模型}，共3个，故选C．
3．下列事件中，随机事件是(　C　)
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
[解析]　A为必然事件，B、D为不可能事件．
4．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为所得点数之和为8，则事件A包含的基本事件总数是(　C　)
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析]　事件A包含的是本事件为(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)共5个．
5．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是(　B　)
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
[解析]　“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．
6．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是(　A　)
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
[解析]　“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个基本事件，故选A．
二、填空题
7．下列事件：
(1)射击运动员杜丽在某次射击训练中射中10环；
(2)太阳从东方升起；
(3)高一(1)班有三位同学的生日在同一天；
(4)一个三角形较长的边对的角小，较短的边对的角大；
(5)从若干把外形相同的不同钥匙中随意抽出一把，恰好打开门锁.
其中是随机事件的是__(1)(3)(5)__(填序号)．
[解析]　(2)是必然事件，(4)是不可能事件，(1)(3)(5)是随机事件.
8．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在
( http: / / www.21cnjy.com )每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的基本事件的个数是__6__.
[解析]　“三面旗帜的颜色与号码均不相
( http: / / www.21cnjy.com )同”的基本事件有(1红，2黄，3蓝)、(1红，2蓝，3黄)、(1黄，2红，3蓝)、(1黄，2蓝，3红)、(1蓝，2黄，3红)、(1蓝，2红，3黄)，共6个．
三、解答题
9．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
[解析]　(1)这个试验的基本事件空间为
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3
( http: / / www.21cnjy.com ))，(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)由(1)知这个试验的基本事件总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个
( http: / / www.21cnjy.com )基本事件：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下
( http: / / www.21cnjy.com )3个基本事件：(1,4)、(2,2)、(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)．
10．一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，从中任取两球.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件．
[解析]　(1)记i＝“取出的球的
( http: / / www.21cnjy.com )标号为i”，则这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}．
(2)由(1)知，基本事件的总数是6.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5)．第二章
2.1
2.1.2系统抽样
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．为了解1
000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　C　)
A．50
B．40
C．25
D．20
[解析]　根据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C．
2．采用系统抽样方法从9
( http: / / www.21cnjy.com )60人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为(　C　)
A．7
B．9
C．10
D．15
[解析]　从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝＝30，
因为第一组号码为9，
则第二组号码为9＋1×30＝39，…，
第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，
由451≤30n－21≤750，即15≤n≤25，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人).
3．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目
( http: / / www.21cnjy.com )组为热心观众给予奖励，要从2
014名小观众中抽取50名幸运小观众.先用简单随机抽样从2
014人中剔除14人，剩下的2
000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2
014人中，每个人被抽取的可能性(　C　)
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
[解析]　因为在系统抽样中，若所给的总体
( http: / / www.21cnjy.com )个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除14人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等.所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为＝.
4．下列抽样中不是系统抽样的是(　C　)
A．从标有1～15号的15个球中，任选
( http: / / www.21cnjy.com )3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．搞某一市场调查，规定在某一路段随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
[解析]　C中因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的可能性入样.故C不是系统抽样.
5．总体容量为203，若采用系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体(　D　)
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析]　∵203被7整除，∴选D．
6．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三
( http: / / www.21cnjy.com )聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(　D　)
A．5、10、15、20、25
B．2、4、8、16、32
C．1、2、3、4、5
D．7、17、27、37、47
[解析]　利用系统抽样，把编号分为5段，每段10袋，每段抽取一袋，号码间隔为10，故选D．
二、填空题
7．高三某班有学生56人，学
( http: / / www.21cnjy.com )生编号依次为1、2、3、…、56.
现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6、34、48的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是__20__.
[解析]　由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为6、20、34、48.
8．将参加数学夏令营的100名同学编号
( http: / / www.21cnjy.com )为001、002、…、100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为__8__.
[解析]　抽样距为4，第一个号码为00
( http: / / www.21cnjy.com )4，故001～100中是4的整数倍的数被抽出，在046至078号中有048、052、056、060、064、068、072、076，共8个.
三、解答题
9．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手，现从中抽取13人参加某项运动.若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程.
[解析]　(1)将除种子选手以外的198名运动员用随机方式编号，编号为001、002、…、198；
(2)将编号按顺序每18个为一段，分成11段；
(3)在第一段001、002、…、018，这十八个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码；
(4)将编号为010、028、046、…、190的个体抽出，与种子选手一起参加这项运动.
B级　素养提升
一、选择题
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样
( http: / / www.21cnjy.com )方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　B　)
A．11
B．12
C．13
D．14
[解析]　根据系统抽样的等可能性可知，每人
( http: / / www.21cnjy.com )入选的可能性都是，由题设可知区间[481,720]的人数为240，所以编号落入区间[481,720]的人数为×240＝12.
2．用系统抽样的方法从个体数为1
003的总体中，抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为，所以每个个体入样的可能性为.
3．系统抽样又称为等距抽样，从N个个体
( http: / / www.21cnjy.com )中抽取n个个体为样本，先确定抽样间隔，即抽样距k＝(取整数部分)，从第一段1,2，…，k个号码中随机抽取一个入样号码i0，则i0，i0＋k，…，i0＋(n－1)k号码均入样构成样本，所以每个个体的入样可能性是(　A　)
A．相等的
B．不相等的
C．与i0有关
D．与编号有关
[解析]　由系统抽样的定义可知，每
( http: / / www.21cnjy.com )个个体入样的可能性相等与抽样距无关，也与第一段入样号码无关，系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，要求编号不能呈现个体特征随编号周期性变化，各个个体入样可能性与编号无关.
4．从编号为1～60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是(　C　)
A．1、3、4、7、9、5
B．10、15、25、35、45
C．5、17、29、41、53
D．3、13、23、33、43
[解析]　分段间隔为＝12，即相邻两个编号间隔为12，故选C．
二、填空题
5．某学校有学生4
022人.为调
( http: / / www.21cnjy.com )查学生对2016年巴西里约奥运会的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是__134__.
[解析]　由于不是整数，所以应从4
022名学生中用简单随机抽样剔除2名，则分段间隔是＝134.
6．一个总体中的100个个体的编
( http: / / www.21cnjy.com )号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，…，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6时，所抽取的10个号码依次是__6,17,28,39,40,51,62,73,84,95__.
[解析]　在第0段随机抽取的号码为6，则
( http: / / www.21cnjy.com )由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确答案为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.
三、解答题
7．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：
本村人口：1
200人，户数300，每户平均人口数4人；
应抽户数：30户；
抽样间隔：＝40；
确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；
……
(1)该村委采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；
(3)何处是用简单随机抽样.
[解析]　(1)系统抽样.
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是
( http: / / www.21cnjy.com )对某村人口抽样，抽样间隔为＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个)；确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：02＋10＝12，编号为12的户为第二样本户；….
(3)确定随机数字用的是简单随机抽样，取一张人民币，编码的后两位数为02.
C级　能力拔高
1．一个总体中的1
000个个
( http: / / www.21cnjy.com )体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数.
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.
[解析]　(1)当x＝24时，按规则
( http: / / www.21cnjy.com )可知所抽取样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
∴x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}.
2．某位同学利用暑假期间准备搞一个社会实践调查，他打算从某小区内的120户居民中选出7户，他使用系统抽样的过程如下：
①编号：将120户居民从“1”到“120”随机地编号；
②决定间隔：因120被7除余1，故可先从总体
( http: / / www.21cnjy.com )中随机地剔除1个个体，再将余下的1
19个个体重新随机地编号为1到199号，最后设定间隔为17；
③随意使用一个起点，如38，然后推算出如下编号的居民为样本：38,55,72,89,106,123,140.
由于123和140并不在实际编号
( http: / / www.21cnjy.com )内，故他准备重新选取第一个号码，但他爸爸却说没有问题，爸爸的说法有错误吗？需要重新选取号码吗？你帮他解释一下.
[解析]　所谓系统抽样的
( http: / / www.21cnjy.com )第一个号码，一般是在第一组内用简单随机抽样的方法选取的一个号码，然后再等距离地抽取，这样就保证了后面所有的号码都在已知的编号内.但在实际应用时却不一定是这样来确定第一个号码的，而是随机确定第一个号码的，如这个学生确定的38，如果这时再等距离地确定后续号码就会使号码超出已编号码，这个时候只要将超过的部分减去若干个间隔，然后再将之放到样本编号之中就可以了.例如，因123－17×7＝4,140－17×7＝21.故抽取的号码如下：4,21,38,55,72,89.106.因此这个学生的爸爸的说法并没有错.第三章
3.1
3.1.3频率与概率
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A级　基础巩固
一、选择题
1．每道选择题有4个选择支
( http: / / www.21cnjy.com )，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3道题选择结果正确”这句话(　B　)
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
[解析]　3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　D　)
A．　
B．　
C．　
D．
[解析]　抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，每一次出现正面朝上的概率均为.
3．成语“千载难逢”意思是说某事(　C　)
A．一千年中只能发生一次
B．一千年中一次也不能发生
C．发生的概率很小
D．为不可能事件，根本不会发生
[解析]　根据概率的意义可知选项A、B、D都不正确．
4．一个保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法(　B　)
A．正确
B．不正确
C．有时正确，有时不正确
D．应由气候条件确定
[解析]　在大多数时候，人是不得病的．得病与不得病的概率不相等，故选B．
5．下列结论正确的是(　C　)
A．事件A的概率为P(A)，则必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[解析]　A不正确，因为0≤P(A)
( http: / / www.21cnjy.com )≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，故选C．
6．给出下列三个说法，其中正确的个数为(　A　)
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个　　　
B．1个　　　
C．2个　　　
D．3个
[解析]　频率是事件发生的次数m与试验次数n的比值；当n很大时，可以将事件发生的频率作为事件发生的概率的近似值，故选A．
二、填空题
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__500__次试验.
[解析]　设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
8．某人进行打靶练习，共射击
( http: / / www.21cnjy.com )10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是__0.9__，中9环的概率是__0.3__.
[解析]　打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
三、解答题
9．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1
001
1
000
1
004
1
003
1
000
满意人数m
999
998
1
002
1
002
1
000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况．
[解析]　(1)表中各个频率依次是0.998、0.998、0.998、0.999,1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可
( http: / / www.21cnjy.com )以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
[解析]　设保护区中天鹅的数
( http: / / www.21cnjy.com )量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一一定量的天鹅，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝②，
由①②两式，得＝，解得n＝1
500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500只．
B级　素养提升
一、选择题
1．从16个同类产品(其中有14个正品、2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是(　C　)
A．3个都是正品
B．3个都是次品
C．3个中至少有一个是正品
D．3个中至少有一个是次品
[解析]　16个同类产品中，只
( http: / / www.21cnjy.com )有2个次品，抽取3个产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C．
2．下列说法中，不正确的是(　B　)
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数为4
[解析]　某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的频率为0.7，故选项B错误．
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产8
000件产品中合格品的件数可能为(　B　)
A．160
B．7
840
C．7
998
D．7
800
[解析]　次品率为2%，则8
000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8
000－160＝7
840(件)．
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为(　D　)
A．
B．
C．
D．1
[解析]　这是一个必然事件，其概率为1.
二、填空题
5．一个口袋装有白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球__75__个.
[解析]　白球个数为100×＝75(个)．
6．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想
( http: / / www.21cnjy.com )去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏__公平__．(“公平”或“不公平”)
[解析]　向空中同时抛两枚同样的一
( http: / / www.21cnjy.com )元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
三、解答题
7．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解析]　利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．
(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故
( http: / / www.21cnjy.com )击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792、0.820、0.820、0.793、0.794、0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
C级　能力拔高
1．在一个试验中，一种血清被注射到
( http: / / www.21cnjy.com )500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.
[解析]　(1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
2．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的
( http: / / www.21cnjy.com )36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
[解析]　体育彩票中标有36个号
( http: / / www.21cnjy.com )码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．