冀教版2017九年级数学上册全一册导学案（打包39套）（新版）

27.3
反比例函数的应用
学习目标：
1.复习并巩固反比例函数的图像与性质.
2.能够运用反比例函数解决实际问题.
学习重点：反比例函数图像和性质的运用.
学习难点：运用反比例函数解决实际问题.
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一、知识链接
1.在一段长为45km的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为60km/h，最高车速根据汽车车型的不同而有所区别.
请根据图中信息回答下列问题：
在这段高速公路上，设小桥车行驶的速度为v，时间为t，写出v与t之间的函数关系式；
答：___________________________________.
某客车司机开车用了25min匀速通过了这段高速公路，请你判断这辆客车是否超速；
答：_____________________________________.
某天，由于天气原因，要求车辆通过这段高速公路时，车速均不能超过70km，此时车辆通过这段路最少需要多长时间？
答：______________________________________.
二、新知预习
2.在1中的（1）中得到的函数的图像由什么特点？
答：____________________________________________.
当中的电压一定时，怎样用电阻R表示电流I，电流I是怎样随着电阻R的变化而变化的？请根据下图进行具体分析.
用R表示I的函数表达式为_______________.
当R=36Ω时，I=________A.
当I=0.36A时，R=______Ω.
三、自学自测
在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A．
求I与R(R＞0)之间的函数关系式；
当电流I＝0.5安培时，求电阻R的值．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：运用反比例函数解决实际问题
问题1：做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：
写出y与S之间的函数表达式；
当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
【归纳总结】解决实际问题的
( http: / / www.21cnjy.com )关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.
【针对训练】
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f，v之间的函数关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数．
问题1：某校科技小组进行野外考察，途中遇
( http: / / www.21cnjy.com )到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示.
请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
【归纳总结】本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系.当压力F一定时，p与S成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.
【针对训练】
某物体质量一定，则物体的体积V与物体的密度ρ成反比例函数．若体积V＝40m3，则密度ρ＝1.6kg/m3.
写出此物体的体积V与密度ρ的函数关系式．
当物体密度ρ＝3.2kg/m3时，它的体积V是多少？
(3)若为了将物体的体积控制在4～80m3之间，则该物体的密度在哪一个范围内？
二、课堂小结
类型
解题策略
实际问题与反比例函数
一般解题步骤：①审题，建立反比例函数关系式；②根据已知条件，由一个变量求出另一个_______,也就是解方程的过程
反比例函数与其他学科知识的综合
几个重要公式：①压强公式：p=______;②闭合电路中的电流、电压、电阻间的关系：I=________;③物体做功的功率P=____.
1.已知甲、乙两地相距s(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图像大致是(　　)
2.近视眼镜的度数
( http: / / www.21cnjy.com )（度）与镜片焦距
( http: / / www.21cnjy.com )（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数
( http: / / www.21cnjy.com )与镜片焦距
( http: / / www.21cnjy.com )之间的函数关系式为
．
3.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。
（1）求I与R之间的函数关系式;
（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值.；
4.如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：
x(cm)
…
10
15
20
25
30
…
y(N)
…
30
20
15
12
10
…
把上表中(x，y)的各组对应值作
( http: / / www.21cnjy.com )为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
当堂检测参考答案：
1.C
2.
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3.(1)设I与R之间的函数关系式为
( http: / / www.21cnjy.com ),把R=5,I=2带入的k=10,所以
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(2)当I=0.5时,
R=20.
4.(1)画图略，
由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系，
设函数关系式为y＝(k≠0)，
把x＝10，y＝30代入，得k＝300，
∴y＝，将其余各点代入验证均适合．
∴y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)把y＝24代入y＝得x＝12.5，
∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm，
∵k＝300＞0，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大．
自主学习
合作探究
当堂检测25.4
相似三角形的判定
第3课时
利用三边关系判定两三角形相似
学习目标：
学习并掌握相似三角形判定定理3.
学会相似三角形的判定定理3的应用.
学习重点：准确找出相似三角形的对应边.
学习难点：掌握相似三角形判定定理3及其应用.
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知识链接
类比全等三角形的判定方法，结合学过的证明两个三角形相似的方法，填一填
两角
两边+夹角
三边
直角三角形
全等
AAS或ASA
SAS
SSS
HL
相似
两角对应相等
两边对应成比例，夹角相等
猜想1：三边_________？
猜想2：直角边、斜边__________
新知预习
2.如图，在半透明的纸上画一个△ABC，
( http: / / www.21cnjy.com )使AB=1.5cm，AC=2.5cm，BC=2cm，在画一个△A'B'C',使得A'B'=3cm，A'C'=5cm，B'C'=4cm.
比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角相似吗？
答：________________________________________.
我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形________.
三、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：利用三边的关系判定相似三角形
【证明猜想1】已知在△ABC和△A1B1C1中，
( http: / / www.21cnjy.com ).求证：△ABC∽△A1B1C1.
补全下面证明过程：
证明：如图，在三角形A1B1C1的边A1B1上截取A1E=AB,作EF∥B1C1交A1C1于点,则△A1EF∽△A1B1C1,所以
( http: / / www.21cnjy.com )._____________________________________________
________________，∴△ABC≌△A1EF.∴△ABC∽△A1B1C1.
【归纳】三条边对应成比例的两个三角形相似.
例1：已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.
【归纳总结】已知两个三角形三边的大
( http: / / www.21cnjy.com )小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
【针对训练】
1.已知：AB=4cm
，BC
=6cm
，
( http: / / www.21cnjy.com )AC
=8cm,A B =12cm
，B C =18cm
，A C =21cm.试判断△ABC与△DEF是否相似.
2.如图所示，在△ABC中，点D、
( http: / / www.21cnjy.com )E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.
3.如图，在△ABC和△ADE中，==
，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
探究点2：利用边判定直角三角形相似
【证明猜想2】已知，如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，
( http: / / www.21cnjy.com ).求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
思路分析：结合勾股定理，利用三边对应成比例证明，可设
( http: / / www.21cnjy.com )=k,则只需证
( http: / / www.21cnjy.com )=k.
证明：
【归纳】直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
问题：如图所示，在单位长度为1的网格中，相似的三角形有哪些？
【归纳总结】（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.
二、课堂小结
判定3
三条边对应成比例的两个三角形相似.
直角三角形相似的基本类型
图1中，_____=_____,△ACB∽△CDB._____=_____,△ACB∽△ADC._____=_____,△CDB△ADC.图2中，∠1=∠2，则____=_____,△AEB∽△CED.图3中，_____=_____,△AEB∽△DEC.
已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当DEF的另一边长
是下面哪一组时，这两个三角形相似（
）
A.2cm
3cm
B.4cm
5cm
C.5cm
6cm
D.6cm
7cm
一三角形三边长是3、5/7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边之和是
________.
如图所示的两个三角形相似吗？请证明.
4.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？
当堂检测参考答案：
1.C
2.21
3.相似.证明略.
4.由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2；
同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，；
同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3；
同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，.
∵＝＝＝，
∴图②中的三角形与△ABC相似.
自主学习
合作探究
E
F
当堂检测25.7
相似多边形和图形的位似
第2课时
位似图形
学习目标：
理解并掌握位似图形的相关概念.
.学习并掌握位似图形的性质并能够运用其解决问题.
学习重点：位似图形的性质.
学习难点：运用位似图形的性质解决问题.
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知识链接
已知△ABC，请作一个△A'B'C'，使它们的相似比为1:2.
新知预习
2.如图，是日常生活中常见的一些图形.请观察，图中有相似图形吗？如果有，这种相似有什么特征？
如图，点O在四边形ABCD的
( http: / / www.21cnjy.com )内部，在其外部作一个四边形A'B'C'D',使得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且相似比为1：2.，请仿照作法作出另一个相似比为1：3的四边形A''B''C''D''，观察这两个图形有何特点.
【归纳】像这样的图形，它们不仅相
( http: / / www.21cnjy.com )似，而且经过每对对应点的直线______，对应边互相____行（或在_______）.我们把这样的图形称为位似图形.
三、自学自测
.观察下图中的多边形，判断它们是不是位似图形，再经过计算后验证你的结论.
四、我的疑惑
_____________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：位似图形的概念及性质
例1：如图所示，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，请指出位似中心.
【归纳总结】解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点.若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形.
【针对训练】
下面说法：（1）相似图形一定是位似图形（2）位似图形一定是相似的图形（3）同一底片时
底片上的图形和银幕上的图形是位似图形，其中正确的说法有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
探究点2：位似图形的画法
例2：（1）如图①，在位似中心
( http: / / www.21cnjy.com )点O的异侧，作出已知四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为2：3；
（2）如图②，已知五边形
( http: / / www.21cnjy.com )ABCDE，在位似中心点O的同侧作五边形ABCDE的位似图形A′B′C′D′E′，使五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为1：3；
【归纳总结】画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比.画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点.画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧.
【针对训练】
如图，已知六边形ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )EF，位似中心点O在AB边上，在点O的另一侧作位似图形A′B′C′D′E′F′，使六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比为1：2.
探究点三：坐标系中的位似
【问题1】在平面直角坐标系中有两点A(6，3),B(6，0),以原点O为位似中心，相似比为1:3，如何得到线段A′B′？
在方法一中，A′的坐标是_____,B′的坐标是______,对应点坐标之比是______;
在方法二中，A′′的坐标是______,B′′的坐标是______,对应点坐标之比是_________.
【问题2】如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3),B(2，1),C(3，1),以O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后，A,B,C的对应点坐标为：A′_______,B′______,C′_______.
【归纳】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__________.
例3：如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）
( http: / / www.21cnjy.com )，B（2，4），C（4，5），D（3，1）围成四边形ABCD，作出一个四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.
【归纳总结】画以原点为位似中
( http: / / www.21cnjy.com )心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.
【针对训练】
在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B（4，－2），以原点O为位似中心，相似比为
把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
（3，2）
B.（12，8）
C.（12，8）或（－12，－8）
D.（3，2）或（－3，－2）
二、课堂小结
内容
基本图形
概念
它们不仅相似，而且经过每对对应点的直线______，对应边互相____行（或在_______）.我们把这样的图形称为位似图形.
作法
如图
1.七边形ABCDEFG位似于七边形
( http: / / www.21cnjy.com )，它们的位似比比为2：3，已知位似中心O
到A的距离为6，那么O到
( http: / / www.21cnjy.com )的距离为（
）
A、13.5
B、12
C、18
D、9
2.已知：如图，E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（
）．
A．（2，－1）或（－2，1）；
B．（8，－4）或（－8，4）；
C．（2，－1）；
D．（8，－4）.
3..如图，
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是多少？
3、在平面直角坐标系里有
( http: / / www.21cnjy.com )四个点：A（0，1），B（4，1），C（5，4），D（1，4）．（1）顺次连结点A、B、C、D，得到一个怎样的四边形？
（2）将各点的横、纵坐标都乘以2，得到点A’、B’、C’、D’，那么四边形A’B’C’D’是什么图形，它与四边形ABCD有何关系？
当堂检测参考答案：
1.D
2.A
3.（0，9）
4.图略
自主学习
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第1课时
面积问题
学习目标：学会一元二次方程解决几何图形问题.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
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【问题】已知一本数学书长为26cm宽为
( http: / / www.21cnjy.com )18.5cm，厚为1cm，一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围城的四角均为大小相同的正方形.
求正方形的边长.
解：设正方形的边长为xcm，根据题意，得
（_______）（_________）=1260
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）、
答：正方形的边长为_______cm.
三、自学自测
1.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为
(　　)
A．1m
B．1.5m
C．2m
D．2.5m
四、我的疑惑
_________________________________________________________________________
________________________________________________________
__________________________________________________________________________
要点探究
探究点：列一元二次方程解几何图形问题
问题1：如图所示，用一块长80cm，
( http: / / www.21cnjy.com )宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长xcm.则长和宽分别为（______）cm、（______）cm.
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
检验：当x1＝______时,长为______cm
，宽为______cm._____题意.
当x2＝______时,长为______cm
，宽为______cm._____题意.
答：截取的小正方形的边长是______cm.
【归纳总结】利用一元二次方
( http: / / www.21cnjy.com )程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性.
问题2：如图1，在宽为20米，长为32米的矩
( http: / / www.21cnjy.com )形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.
解：
【归纳总结】1.常见的几何图形有三角形、长方形、正方形、梯形、圆等，若是不规则几何图形，则需要将图形分割或组成规则图形.
2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.
【针对训练】
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形
( http: / / www.21cnjy.com )风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x
( http: / / www.21cnjy.com )2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
2.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长
( http: / / www.21cnjy.com )为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
二、课堂小结
一元二次方程的应用
内容
运用策略
面积问题
①等积变形；②把不规图形转换为规则图形，通常用到______进行转化.
熟记常见几何图形的面积公式
一个矩形周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为_______cm
2.如图，一块享有宽度相等的花边的长方
( http: / / www.21cnjy.com )形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm，如果十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____.
如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，自重有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2:1，如果使得彩条所占面积是图案的面积的，则竖彩条的宽度为(
)
A
.1cm
B
.2cm
C.19cm
D.1cm或19cm
4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
当堂检测参考答案：
1.10
4
2.10cm
3.A
4.设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得
x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.
因为宽为正数，
所以x＝3，宽为3m，长为5m.
则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.
费用为5×7×20＝700(元)．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱．
复习导入
合作探究
当堂检测28.3
圆心角和圆周角
第1课时
圆心角
学习目标：
1.理解并掌握圆心角的定义，能够运用其进行计算.
2.理解并掌握圆心角、弧、弦间的关系.
学习重点：圆心角、弧、弦间的关系.
学习难点：圆心角的定义及其计算.
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一、知识链接
1.圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条____.
2.圆上任意的两点间的部分叫做____，简
( http: / / www.21cnjy.com )称____，圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____.
二、新知预习
2.如图，点A，B在圆O.观察下列各图中的角，总结它们的特点.
【概念学习】顶点在圆心的角作圆心角.图____和图_____的角是圆心角.
每个圆心角对应一条弦和一条弧，圆心角越大，对应的弦越____,对应的圆心角越
______.
猜想：若圆心角相等，所对应的弦、弧有什么关系？
三、自学自测
1．如果两个圆心角相等，那么（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（
）
A.
AB=2CD
B．AB>2CD
C．AB<2CD
D．不能确定
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
_
要点探究
探究点1：圆心角的定义
问题1：如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是(　　)
∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
【归纳总结】确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【针对训练】
下列说法中正确的是(　　)
①圆心角是顶点在圆心的角；
( http: / / www.21cnjy.com )、②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
探究点2：圆心角、弧、弦间的关系
【问题1】如图所示，已知△OAB，将△OAB绕点O顺时针旋转100°得到△ODC.
(1)
则AB_____CD，∠AOB____∠COD,
( http: / / www.21cnjy.com ).
若旋转30°，60°，90°，180°，以上结论仍成立吗？
【归纳】
( http: / / www.21cnjy.com )
【做一做】下面的说法正确吗？若不正确，指出错误的原因.
（1）如图1，小雨说：“因为弧AB和弧A′B′所对的圆心角都是∠O,所以有弧AB=弧A′B′.”
（2）如图2，小华说：“因为AB=CD,所以AB所对的弧AB等于CD所对的弧CD.”
【问题2】在同圆或等圆中，若两条弧（或弦）相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦（或弧）是否相等？试说明理由.
【归纳】圆心角、弧、弦的性质：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
例1：如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________．
【归纳总结】确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
例2：如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.
【归纳总结】在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
【针对训练】
1.如图，在⊙O中，若
( http: / / www.21cnjy.com )，∠AOB=40°，则∠COD=______.
2.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
二、课堂小结
内容
运用策略
弧，弦，圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.
①弧，弦，圆心角之间的关系可
( http: / / www.21cnjy.com )以证明同圆或等圆中弧相等，角相等以及线段相等；②在应用弧，弦，圆心角之间的关系解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提，否则结论不一定成立.
弧，弦，圆心角之间的关系的推广
同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等
1.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是(　　)
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
2已知如图：DC∥AB，的度数是50°，AB为直径，则∠BOC＝______∠AOC＝______∠DOC＝_____.
如图，C为的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CN=4cm，则CD=_____cm.
4.如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求
( http: / / www.21cnjy.com )所对圆心角的度数和
( http: / / www.21cnjy.com )所对圆心角的度数．
当堂检测参考答案：
C
2.130°
50°
80°
3.8
4.80°
130°
自主学习
合作探究
当堂检测28.4
垂径定理
学习目标：
1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.
2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.
学习重点：垂径定理及其推论的推导.
学习难点：垂径定理及其推论的运用.
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一、知识链接
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.
2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
3.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是____.
二、新知预习
3.如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？
答：________________________________________________.
我们发现：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.这就是垂径定理.
如图，在⊙O中直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.
若AE=BE，能判断除CD与AB垂直吗？
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )）相等吗？
答：________________________________________________.
若
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )（或
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )），能判断CD与AB垂直吗？AE与BE相等吗？
答：________________________________________________.
于是我们得到垂径定理的推论：_____________________________________________.
三、自学自测
1．下列说法正确的是(　　)
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：垂径定理及其应用
问题1：如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　)
A．2cm
　　　　B．3cm
C．4cm
　　　　D．4cm
【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应
用勾股定理解决问题．
【针对训练】
如图，的直径
( http: / / www.21cnjy.com )垂直弦
( http: / / www.21cnjy.com )于
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )是半径
( http: / / www.21cnjy.com )的中点，
( http: / / www.21cnjy.com )，则直径
( http: / / www.21cnjy.com )的长是（　　　）
A．
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：如图，一条公路的转弯
( http: / / www.21cnjy.com )处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【针对训练】
如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的
( http: / / www.21cnjy.com )宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
探究点2：垂径定理的推论
问题：如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【针对训练】
如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
二、课堂小结
内容
运用策略
垂径定理
垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.
垂径定理是这么么线段、弧相等的重要条件，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据.简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存，辅助线从圆心发，有弦就作弦心距，再连半径成斜边，构造直角三角形.
垂径定理的推论
平分弦（非直径）的直径_______弦，并且_______所对的两条弧
垂径定理的推广
如果圆的一条非直径的弦和一条
( http: / / www.21cnjy.com )直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个条件：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为________．
4.．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m，拱顶高出水面4m.
求这座拱桥所在圆的半径．
(2)现有一艘宽5m，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
5.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
当堂检测参考答案：
A
2.
B
3.2
4.(1)连接OA，
根据题意得CD＝4m，AB＝12m，则AD＝AB＝6m.
设这座拱桥所在圆的半径为xm，
则OA＝OC＝xm，
OD＝OC－CD＝(x－4)
m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，
则x2＝(x－4)2＋62，
解得x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5m.
(2)货船不能顺利通过这座拱桥．
理由：连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝5m，
∴MH＝MN＝2.5m.
在Rt△OMH中，OH＝＝6(m)，
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)，
∴OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6m.
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
5.作直径MN⊥弦AB，交A
( http: / / www.21cnjy.com )B于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3≤OP≤5(单位：cm)．
自主学习
合作探究
当堂检测25.2
平行线分线段成比例
学习目标：
学习并掌握平行线分线段成比例定理及其推论并学会运用.
2.能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.
学习重点：平行线分线段成比例定理及其推论.
学习难点：平行线分线段成比例定理及其推论的运用.
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新知预习
问题1：如图①，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3.
利用勾股定理计算：
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计算：
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图①
图②
这些比值有什么关系？你有什么发现？
问题2：将l2向下平移到如图②的位置，直线m,n与l2的交点分别为A2，B2，你在上题中发现的规律还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？
【猜想】在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，所截得的线段成比例吗？
【归纳】
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二、自学自测
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，＝，则EC的长是(　　)
第1题图
第2题图
A．4.5
B．8
C．10.5
D．14
2.如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是
(　　)
A．
B．
C．
D.
三、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：平行线分线段成比例定理（基本事实）
例1：如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
求AB的长；
解：∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，
AC＝24，
∴＝=_____，＝_____.∴BC＝_____.∴AB＝AC－BC＝_____
(2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
解：∵l1∥l2，∴＝＝_____.∴＝_____.
∴OB＝_____.∴OC＝BC－OB＝_____.
∵l2∥l3，∴＝＝_____.∴＝_____∴CF＝_____.
【归纳总结】利用平行线分线段成比
( http: / / www.21cnjy.com )例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.
【针对训练】
如图，直线l1∥l2∥l3，直线
( http: / / www.21cnjy.com )AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝，EF＝4，求BC的长.
探究点2：平行线分线段成比例的推论
【做一做】如图，直线，分别交直线m,n于A1,A2，A3，B1，B2,B3.
图中有哪些成比例线段？
(2)
如果把图1中A1A3，B1B3.两条直线相交，交点刚落到上l1
，如图3所得的对应线段的比
________,依据是_____________________________.
(3)如果把图1中A1A3，B1B3.两条直线相交，交点刚落到上
l2，如图4所得的对应线段的比_________,依据是______________________________________.
【归纳】推论：
内容
字母表示
图例
推论1
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
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EF∥BC
推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
为了便于记忆，平行中的等比例式可使用一些简单的形象化的语言：
( http: / / www.21cnjy.com )
例2：如图所示，在△ABC中，E，F，分别是AB和AC的点，且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？
解:
∵EF∥BC,
∴________________.
∵AE
=
7,
EB
=
5
,
FC
=
4.
∴AF=_________________.
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
解:
∵EF∥BC,
∴________________.
∵AB
=
10
,
AE
=
6
,
AF
=
5.
∴________________.
∴FC=AC
–
AF
=________________.
例3：如图，在△ABC的边AB上取一点D，在AC上取一点E，使得AD＝AE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：＝.
【思路提示】过点C作DE的平行线.
证明：
【归纳总结】在由平行线推出成比例线
( http: / / www.21cnjy.com )段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.当题中无平行线求线段的比时，有时也需要做平行线，可将一条直线上的两条线段的比转化到另一条直线中来求.
【针对训练】
如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：
AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于（　　）
A.3
B.4
C.6
D.8
二、课堂小结
基本事实
推论
内容
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段____.如图，l1
∥
l2∥
l3，则
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①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段______;②平行与三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边_______.
图例
1.．已知线段a，b，c，求作第四比例线段x，下列作图正确的是(　　)
2..如图所示，直线l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是（
　）
　A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3.如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部(点O)20m的A处，则小明的影子AM长为________m.
4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6，AD＝5.求DC与AE的长．
当堂检测参考答案：
D
2.D
3.5
4.∵DE∥BC，∴＝.
又DE＝4，BC＝6，AD＝5，
∴＝.∴AC＝.
∴DC＝AC－AD＝.
∵DE∥BC，∴＝.
∴∠DBC＝∠EDB.
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC.
∴∠EBD＝∠EDB.
∴DE＝BE＝4，＝＝.∴AE＝8.
自主学习
合作探究
当堂检测23.1
平均数与加权平均数
学习目标：
1.理解平均数的实际意义，并且会运用平均数解决一些简单的实际问题.
2.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响.
学习重点：理解加权平均数的意义.
学习难点：体会权的意义.
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知识链接
数据2、3、4、5、6、7的平均数是__________.
一次数学测验，3名同学的数学成绩分别是60，80和100分，则他们的平均成绩是多少？
列式
:_________________;
算式中的分子、分母表示的含义分别是______________________.
新知预习
小学所学过的平均数称为算术平均数，请你回忆、归纳出算术平均数的计算公式：一般地，我们把n个数x1,x2,x3,
…,x
n和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数，记做
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )=___________________.
4.从一批鸭蛋中任意取出20个，把称得的质量整理如下表，求这20个鸭蛋的平均质量.
个数
2
5
6
7
质量/g
70
75
80
85
（1）下述计算方法是否合理？若不合理，并说一说正确的计算方法.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )（70+75+80+85）=77.5(g).
答：__________(填：“正确”或“不正确”).应先分别计算每一种鸭蛋的总质量，再相加得出这20个鸭蛋的总质量，然后除以鸭蛋的个数，得出这20个鸭蛋的平均质量.即
( http: / / www.21cnjy.com )=________________________________.
(2)上述计算错误的原因是：因为每一种质量的______不同，即频数不同，它们对平均数的影响也不同，所以计算时应考虑每个数据的权重.
（3）通过上述计算过程，归纳出含权重的平均数的计算公式：一般地，若n个数x1，x2，…，xn出现的次数分别是w1，w2，…，wn，则
( http: / / www.21cnjy.com )=_____________________________，此时的平均数称为数据x1，x2，…，xn的加权平均数，w1，w2，…，wn分别叫做权重，简称权.如：此题中70,75，80,85的权分别____________.
三、自学自测
1.一次数学测验中，小强、小明、小月的考试成绩分别为110分、102分、91分，则他们的
平均成绩为_______.
一组数据：2、2、2、3、3、4、4、4、4，则2的权是______,3的权是________,4的权是
_______.
3.某人打靶，有1次中10环，2次中7环，3次中5环，则平均每次中靶________环.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：平均数的计算
问题：某农科院为了寻找适合本地的优质高产小
( http: / / www.21cnjy.com )麦品种，将一块长方形试验田分成面积相等的9块，每块100m2，在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种AB两个品种的小麦.小麦产量见如下的图表：
品种A
A1
A2
A3
A4
A5
产量/kg
95
93
82
90
100
品种B
B1
B2
B3
B4
产量/kg
94
100
105
85
直接通过观察，能否看出哪个品种的小麦的产量更高？
答：__________.
要比较A,B两个小麦品种的单位面积产量，则需分别计算它们的平均产量，即
A
品种小麦的平均产量：_____________________________________;
B
品种小麦的平均产量：__________________________________.
如果只考虑产量这个因素，_____品种更适合本地种植.
【归纳总结】平均数是一组数据的代表，它反映了一组数据的“一般水平”.
【针对训练】
1.某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九(三)班的演唱打分情况为：89，92，92，95，95，96，97，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的得分为________．
2.已知一组数据7，6，x，9，11的平均数是9，那么数x等于(　　)
A．3
B．10
C．12
D．9
探究点2：加权平均数的相关计算
问题1：如果公司想招一名综合能力较强的翻译，请计算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
（1）如果公司想招一名翻译能力较强的翻译，用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？_________
（2）作为笔译翻译，你认为“听、说、读、写”四个方面哪些能力更重要一些？_____________
（3）听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分判），应该录取谁？
解：四项成绩按2:1:3:4的比例确定，就是分别用2,1,3,4作为四项成绩的权，用加权平均数作为应试者的平均成绩.
甲的平均成绩为：
乙的平均成绩为：
【归纳总结】同样一张应试者的应聘成绩单，由
( http: / / www.21cnjy.com )于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果______.当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为一组数据的代表值.
问题2：某校规定学生期末数学总评成绩由下列三部分组成：考试成绩、课外作业、平时成绩，三部分所占比例如图所示．若小丽的这三项得分依次是94分，80分和86分，则她这个学期期末数学总评成绩是多少？
【归纳总结】权的常见形式：①数据出现的次数形式，如一组6、5、5、5,则6的权为1,5的权为3；②比的形式：如3:3:2:2，利用公式计算时，可以直接把相应的比例项看做权，代入公式计算；③百分比的形式：如：60%，30%，10%，此时加权平均数的计算，可以直接应用各项数据乘以相应的百分比即可.
【针对训练】
1.某中学规定：学生的学期
( http: / / www.21cnjy.com )体育综合成绩满分为100分.其中，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末体育成绩（百分制）分别是80分、90分，则小海这个学期体育综合成绩是________.
2.一次演讲比赛，评委将从演讲内容、演
( http: / / www.21cnjy.com )讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容∶演讲能力∶演讲效果＝5∶4∶1的比例计算选手的综合成绩(百分制)．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请确定出两人的名次.
3.某公司考核把员工的笔试成绩、工作业绩两项成绩分别按40%，60%的比例计入年底考核的总成绩中.李明的工作业绩成绩是81分，若想要年底考核总成绩不低于90分，则李明的笔试成绩至少要是多少？
二、课堂小结
平均数
计算公式
意义
算术平均数
( http: / / www.21cnjy.com )=___________________________
算术平均数反映一组数据的平均水平
加权平均数
( http: / / www.21cnjy.com )=____________________________
数据的权能够反映数据的相对重要程度
1.数据1，2，x，－1，－2的平均数是0，则x的值是(　　)
A．0
B．2
C．3
D．
4
2.某歌曲比赛初选中，10名评委给
( http: / / www.21cnjy.com )一位歌手打分如下：9.79，9.67，9.87，9.95，9.78，9.68，9.57，9.89，9.85，9.82.若去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手最后得分是(　　)
A．9.80
B．9.79
C．9.78
D．9.76
3.已知样本x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为____.
4.某中学初三(1)班的一次数学测
( http: / / www.21cnjy.com )试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为______.
5.某班级为了解同学年龄情况，作了一次年龄调
( http: / / www.21cnjy.com )查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）．
6.以下表格是我班某位同学在上学期的数学成绩如果按照如图所示的月考、期中、期末成绩的权重，那么该同学的期末总评成绩应该为多少分？
考试
月考1
月考2
月考3
期中
期末
成绩
89
78
85
90
87
7.某市为了全面推进素质教育，努力提高学生的综合素质，改革中考评价方式，每一个学生的毕业成绩由四个部分组成，成长记录成绩、平时测试成绩、毕业学业水平测试成绩、体育测试成绩(满分均为100分)．小聪、小亮的四项成绩如图：
分别计算小聪和小亮的平均成绩；
若学校按2∶3∶3∶2方法
( http: / / www.21cnjy.com )计算毕业成绩，毕业成绩达80分以上(含80分)为“优秀毕业生”．小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？
(3)小聪和小亮升入高中后，请你对他们两人今后的发展给每人提一条建议．
当堂检测参考答案：
1.A
2.B
3.2
4.3∶2
5.这个班级学生的平均年龄为：　
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，他们的平均年龄约为14岁．
6.该同学的月考平均成绩:
(89+78+85)÷3
=
84
（分）
再计算总评成绩:
( http: / / www.21cnjy.com )=
87.6
(分)
7.(1)小聪的平均成绩是：(80＋90＋98＋60)÷4＝82(分)，
小亮的平均成绩是：(85＋75＋75＋95)÷4＝82.5；
(2)小聪成绩是：(80×2＋90×3＋98×3＋60×2)÷10＝84.4(分)，
小亮成绩是：(85×2＋75×3＋75×3＋95×2)÷10＝81(分)．
小聪和小亮都达到了“优秀毕业生”水平；甲的成绩更好些．
(3)小聪要加强体育锻炼，注意培养综合素质；小亮在学习文化知识方面还要努力，成绩有待进一步提高．
自主学习
合作探究
当堂检测28.3
圆心角和圆周角
第2课时
圆周角
学习目标：
1.理解圆周角的概念并会判断圆周角.
理解并掌握圆周角的性质并进行计算.
学习重点：圆周角的性质.
学习难点：圆周角的性质及计算.
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一、知识链接
1.
圆心角的定义：圆心角是指_________________________________________的角.
2.圆心角的性质：在同圆或等圆中，相等的弧或弦所对的圆心角________.
2.直角三角形斜边中线的性质：
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______.它的逆命题是：如果一个三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形，这个逆命题是真命题.
二、新知预习
2.如图,我们已将知道图①④中的角是圆心角，那么另外两图中的角呢？
【概念归纳】顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角.图_____的角是圆周角.
如图，写出弧AC所对应的圆周角____________.你还能再做出弧AC对应的圆周角吗？
【归纳】同一条弧所对应的圆周角有_____个.
上图中，作出弧AC对应的圆心角，用量角器量一量，∠AOC与三个圆周角∠B、∠D、∠E的等量关系.
【结论】∠B=∠D=∠E=______∠AOC.
三、自学自测
在⊙O中，所对的圆心角有_____个，
( http: / / www.21cnjy.com )所对的圆周角有______个；弦AB所对的圆心角有_____个，弦AB所对的圆周角有_____个。
2．如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是(　　)
A．156°
B．78°
C．39°
D．12°
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：圆周角的定义及性质
圆周角的定义
【练一练】指出图中的圆周角.
【归纳总结】一个角是圆周角，必须同时满足定义中的两个条件.
圆周角的定理
【探究】如图，∠AOB和∠APB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角.
（1）当点P在圆上按照顺时针方向移动时
( http: / / www.21cnjy.com )（点P与点B不重合，按照圆心O和圆周角的位置关系，可以分为几种不同情形？说出你的判断并画出相应的图形.
答：如图，分为以下三种情形.
图a
图b
图c
①如图a,当圆心O落在∠APB的一条边上时，∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由.
解：∠APB=1/2∠AOB.理由如下：______________________________________________
_____________________________________________.
②如图b,c,当圆心在∠APB的内部和外部时，①中的结论还成立吗？
思路分析：对于图b,连接PO并延长交圆于点D，再利用图a中的结论证明.对于图c,连接PO并延长交圆O于点E，再利用图a中的结论.
【归纳】圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
例1：如图，△ABC内接于
( http: / / www.21cnjy.com )，若∠OAB=28°，求∠C的度数.
【方法归纳】圆周角定理实现了圆周角和圆心角度数之间的转化，所以在圆中求度数时，要注意相互转化，有时还需根据需要添加辅助线，构造同弧所对的圆周角或圆心角，另外注意，半径都相等，结合“等边对等角”求度数.
探究点2：圆周角定理的推论
（一）直径所对圆周角的性质
【归纳】圆周角定理的推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例2：如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（二）同弧所对圆周角的性质
【探究】如图，∠B、∠D、∠E是弧AC所对的圆周角，通过前面的测量，我们知道∠B=∠D=∠E.你能证明这个结论吗？
思路分析：连接AO,CO构造出弧AC所对应的圆心角，则通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得证.
【归纳】同弧或等弧所对的圆周角相等.
例1：如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝(　　)
A．150°
B．75°C．60°
D．15°
【归纳总结】解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．
二、课堂小结
内容
运用策略
概念
顶点在_______，两边都与圆_____的角叫作圆周角.
一个角是圆周角，必须同时满足定义中的两个条件.
圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
由于圆心角的度数与它所对的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对弧的度数的____.
圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是____.
在解决有关圆的问题时，常利用圆周角的性质进行转化：①利用同圆所对的圆周角相等间角与角之间的转化；②将圆周角相等的问题转化为弦相等的问题.
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.如图，已知点E是圆O上的点，B，C是的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为________．
如图，已知EF是⊙O的直径
( http: / / www.21cnjy.com )，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是(　　)
A．30≤x≤60
B．30≤x≤90
C．30≤x≤120
D．60≤x≤120
4.如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第________种射门方式．
当堂检测参考答案：
1.D
2.69°
3.A
4.
二
自主学习
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第2课时
百分率问题
学习目标：学会一元二次方程解决增长率和利润率问题.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
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知识链接
1.列代数式.
（1）某公司今年的销售收
( http: / / www.21cnjy.com )入是a万元，如果每年的增长率是x,那么一年后的销售收入将
达到______万元
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率是x，那么两年后的销售收入将达到_____万元.
2填一填：(1)利润=售价-_______;
(2)利润率=利润/售价=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）售价=进价×（1+_______）;
(4)总利润=单价利润×________.
3.列方程解应用题的一般步骤有：_______________________________________________.
新知预习
【自主探究1】随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已将越来越多的进入普通家庭，某市交通部门统计，2013年底，该市汽车保有量为15万辆，截止到2015年底，汽车保有量已经达到21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增加率相同，设这个增长率为x.
（1）2014年底比2013年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆；
（2）2015年底比2014年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆；
根据题意，可列出方程_____________.
【自主探究2】
（一）某商品每件进价10元，售价15元，可得利润_______元
（1）若涨价2元，则售价________,利润________
(2)
若涨价3元，则售价________,利润_________
（3）若涨价x元，则售价________,利润________
(4)
若涨价x元，则售价________,利润_________
【结论】一件商品的利润=__________-____________
如果该商品涨价或降价，那么每件商品的利润=___________________________.
（二）
某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整,市场调查发现
1.
该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件
（1）如果降价2元，则多卖______件，每天销售量为______件
（2）如果降价3元，则多卖______件，每天销售量为______件
（3）如果降价x元，则多卖______件，每天销售量为______件
2.
该商品每涨价3元，商场平均每天少销售5件
（1）如果涨价6元，则少卖______件，每天销售量为______件
（2）如果涨价9元，则少卖______件，每天销售量为______件
（3）如果涨价x元，则少卖______件，每天销售量为______件
【结论】价格调整后商品的销售量=________________.
三、自学自测
1.某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后，则每件利润为______元
2.商场销售某品牌服装，每天售出a件，调查发现，该服装每涨价2元，商场每天可少销售
m件，如果涨价x元，则商场平均每天可销售_______件.
3.某商场今年一月份的销售
( http: / / www.21cnjy.com )额为60万元，由于经营不善，二三月份的销售额有所下降，到三月底时，销售额已经降为52.4万元，求二三月份的销售额的平均下降率.
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：列一元二次方程解决增长率问题
问题：西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开
( http: / / www.21cnjy.com )展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12
100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
解：(1)设捐款增长率为x，
根据题意，可列出方程_____________.
解方程得
( http: / / www.21cnjy.com )
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：捐款的增长率为_______.
按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：
【归纳总结】1.常见增长率问题一般公式为“
( http: / / www.21cnjy.com )原来的量×（1±变化率）n=后来的量”，其中增长用“﹢”，减少用“-”，“n”表示增长或减少的次数.
2.得出一元二次方程的解后，一定要注意检验，使一元二次方程的解符合实际意义.
【针对训练】
1.某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是(　　)
A．100(1－x%)2＝120
B．100(1＋x%)2＝120
C．100(1＋2x%)2＝120
D．100(1＋x2%)2＝120
某渔船出海捕鱼，2011年平均每次捕鱼量为
( http: / / www.21cnjy.com )10吨，2013年平均每次捕鱼量为8.1吨，求
2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
3.某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？
探究点2：列一元二次方程解决利润率问题
问题：山西特产专卖店销售核桃，其进价
( http: / / www.21cnjy.com )为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20
kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
解：设每千克核桃应降价x元，根据题意，可列出方程_____________.
解方程得
( http: / / www.21cnjy.com )
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：每千克核桃应降价_______.
在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解：
【归纳总结】在解决定价或降价问题时，通常会出现两个结果，需根据题意进行取舍，所以要注意题中的隐含条件.
【针对训练】
商场某种商品的进价为每件100元，当
( http: / / www.21cnjy.com )售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2
100元？
二、课堂小结
一元一次方程的应用
内容
运用策略
增长率问题
原来的量×（1±变化率）n=后来的量,其中“n”表示增长或减少的________.
解题时要理清原来的数，后来的数以及变化情况
利润问题
利润问题中常用的关系式：①利润=___________;②利润率=___________.
关键是弄清标价、售价、成本价的实际意义以及利润的灵感等量关系
1..某校去年对实验器材的
( http: / / www.21cnjy.com )投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_________________________
.
2.某种文化衫，每天销售40件，每件盈
( http: / / www.21cnjy.com )利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利1080元，设每件应该降价x元，则可列方程为_________________________
.
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的64%,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少
4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元
( http: / / www.21cnjy.com )的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率；
当堂检测参考答案：
1.2（1+x)+2(1+x)2=8
2.（20-x）（40+10x）=1080
3.设平均每年近视学生人数降低的百分率为x,
前年近视人数为“1”，去年近视人数为（1
-
x）,今年近视人数为（1
-
x）2.
(1
–
x
)2
=
0.64
.
解得,
x1
=
0.2
,
x2
=
1.8（不合题意，舍去）.
答：3,4月份销售额的月平均增长率为20%.
4.（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
自主学习
合作探究
当堂检测26.3
解直角三角形
学习目标：
理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
2.学会解直角三角形.
学习重点：解直角三角形.
学习难点：直角三角形中的五个元素之间的联系.
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知识链接
1.如图，轮船在A处时，
( http: / / www.21cnjy.com )灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距离灯塔多少千米？（结果保留两位小数）
二、新知预习
2.由1中我们可知：在直角三角形中，已知一条直角边和一个锐角，可求出另一条直角边.
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.那么在直角三角形中已知哪些元素能够求出其他元素？
三边之间的关系是：________________.
两锐角之间的关系是：__________________.
边角之间的关系是：
sin
A=______________.
cos
A=______________.
tan
A
=_____________.
由这五个元素的已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
三、自学自测
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：解直角三角形
问题1：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解直角三角形．
【归纳总结】在解直角三角形时，可以画一
( http: / / www.21cnjy.com )个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
【针对训练】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA=　　　,tanB=　　　.
2.在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
问题2：在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
【归纳总结】求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．
【针对训练】
在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A=　　　,S△ABC=　　　.
二、课堂小结
已知条件
内容
两边
两直角边(a,b)
由________可求∠A，则∠B=____，c=________
斜边，一直角边(c,a)
由________可求∠A，则∠B=____，b=________
一边一角
一直角边和一锐角
锐角，邻边(∠A,b)
∠B=____，a=b·______,c=______或c=______
锐角，对边(∠A,a)
∠B=____，b=a·______或b=______，c=______或c=______
锐角，斜边
∠B=____，a=c·______,b=c·______,
如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=
( http: / / www.21cnjy.com )
，则AC=____.
2.已知在Rt△ABC中
，∠C
=
90°，sinA
=
，则tanB的值为____.
3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)
4.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
当堂检测参考答案：
1.5
2.
3.∠A=79°,∠B=11°
4.AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°
5.解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝＝＝.在Rt△AOE中，tan∠EAO＝，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×＝.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×＝.
自主学习
合作探究
当堂检测25.3
相似三角形
学习目标：
理解并掌握相似三角形的定义，并能够根据其解决简单问题.
2.掌握运用平行线判定两个三角形相似的方法.
学习重点：相似三角形的定义.
学习难点：用平行线判定两个三角形相似的方法.
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什么叫全等三角形？
答：______________________________________.
全等三角形有哪些性质？
答：_____________________________________.
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边有什么关系？
二、新知预习
3.下面的图形有什么相同点和不同点
图（1）中各角的度数分别为_
( http: / / www.21cnjy.com )_____、______、______.
图（1）中各边的长度分别为______、______、______.图（4）中各角的度数分别为______、______、______.
图（4）中各边的长度分别为______、______、______.
图（2）中各角的度数分别为______、______、______.
图（2）中各边的长度分别为______、______、______.图（3）中各角的度数分别为______、______、______.
图（5）中各边的长度分别为______、______、______.
图（3）中各角的度数分别为______、______、______.
图（3）中各边的长度分别为______、______、______.图（6）中各角的度数分别为______、______、______.
图（6）中各边的长度分别为______、______、______.
【归纳】
对应角_______、对应边______的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做他们的相似比.
自学自测
1.若△ABC∽△A′B′C′相似，且相似比为，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为(　　)
A．
B．
C．
D．
2..若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠
C′的度数是（
）
A.55°
B.100°
C.25°
D.不能确定
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的两个
( http: / / www.21cnjy.com )三角形叫做相似三角形.反过来，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′相似记作△ABC∽△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′.
例1：如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED＝∠B，那么能成立的比例式是(　　)
A．＝＝
B．＝＝
C．＝＝
D．＝＝
【归纳总结】在相似三角形中找对应线段或对应角时，一定要结合图形来分辨．本题采用了数形结合法，通过图形寻找相似三角形的对应边．
【针对训练】如图，△ABC∽△ACD，若AB=5，BC=4，求CD的长度.
　　
探究点2：用平行线判定两个三角形相似
问题：我们知道，平行于三角形的一边，并且和其
( http: / / www.21cnjy.com )他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么所截得的两个三角形相似吗？说明理由.
答：如图，在△ADE和△ABC中，∵DE∥
( http: / / www.21cnjy.com )BC,∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠C，又∠A=∠A,即△ADE和△ABC的三个角都对应相等.由上节课平行线截得的两个三角形的对应边成比例，∴△ADE∽△ABC.
【归纳】平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
例2：如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长.
解：方法一：因为DE∥BC，所以_____________，_____________，所以△ADE∽△ABC，
所以_____________，即_____________，所以BC＝_______cm.又因为DF∥AC，
所以四边形DFCE是平行四边形，所以FC＝DE＝___cm，所以BF＝BC－FC＝___（cm）.
方法二：因为DE∥BC，所以_____________.又因为DF∥AC，所以_____________，
所以△ADE∽△DBF，
所以__________，即___________所以BF＝________cm.
【归纳总结】求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.
【针对训练】
如图，DE∥BC，若AE＝3，EC＝5，DE＝3.6，则BC的长为__________．
二、课堂小结
相似三角形
内容
基本图形
概念
对应角_______、对应边______的两个三角形叫做相似三角形.
用平行线判定两个三角形相似
①“A”字型：如图1，DE∥BC；②“X”字型：如图2，DE∥BC；
解题策略
题目中无图，题干中也未给出对应点，说明两三角形相似时，要注意分情况讨论.
1.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，且满足△APC∽△ACB，则下列比例式：
①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．③④
C．①②③
D．②③④
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，若△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最大边长是15，求△A1B1C1的面积．
如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
(1)求证：△DQP∽△CBP；
(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．
当堂检测参考答案：
A
2.B
3.因为32＋42＝52，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
因为△ABC∽△A1B1C1，
所以△A1B1C1也是直角三角形，A1C1与B1C1垂直，A1B1＝15，＝＝，
所以A1C1＝·AC＝9，B1C1＝·BC＝12.
所以S△A1B1C1＝A1C1·B1C1＝×9×12＝54.
4.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC，∴△DQP∽△CBP.
(2)∵△DQP≌△CBP，
∴DP＝CP＝CD.
∵AB＝CD＝8，∴DP＝4.
自主学习
合作探究
当堂检测26.2
锐角三角函数的计算
学习目标：
学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
学习重点：三角函数值并进行相关计算.
学习难点：利用计算器求三角函数值.
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一、知识链接
1.填表：
α
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
tan
α
如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？
二、新知预习
3.求下列各三角函数值：（结果保留两位小数）
（1）sin63°；
解：对于sin63°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即sin63°≈__________.
cos50°26'
37''；
对于cos50°26'
37'，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为：_______________________.
即cos50°26'
37'≈__________.
tan55°.
对于tan55°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为：_______________________.
即tan55°≈__________.
用计算器求下列各锐角的度数：（结果精确到1''）
（1）已知cos
α=0.6258，求锐角α；
解：在计算器开机状态下，按键顺序为：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为：_______________________.
即α≈__________.
若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为_________.
即α≈__________.
（2）已知tan
β=0.6838，求锐角β；
解：在计算器开机状态下，按键顺序为：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为：_______________________.
即β≈__________.
若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：
( http: / / www.21cnjy.com )
显示结果为_________.
即β≈__________.
三、自学自测
利用计算器计算，并填表：
α
15°
50°
75°
sin
α
cos
α
tan
α
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用计算器求三角函数值
问题1：
计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)(　　)
－0.5976
B．0.5976
C．－0.5977
D．0.5977
【归纳总结】利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．
【针对训练】
使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
问题2：用计算器求下列锐角三角函数值；
sin20°=____________，
cos70°=____________；
sin35°=____________，cos55°=____________；
sin15°32
'
=____________，cos74°28
'
=____________.
你从中发现什么规律？
答：_________________________________________.
【针对训练】
利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.
问题3：比较大小：若α＝4
( http: / / www.21cnjy.com )5°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；
【归纳总结】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大
（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
【针对训练】
下列各式中一定成立的是（
）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B.
tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C.
cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D.
sin75°﹤sin48°探究点2：利用计算器求锐角的度数
问题：
已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)
【针对训练】
已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
sin
a=0.2476;
（2）cos
a=0.4174;
（3）tan
a=0.1890;
（4）cot
a=1.3773.
二、课堂小结
内容
用计算器求三角函数值
按键顺序：
( http: / / www.21cnjy.com )输入度、分、秒表示，可按键：
( http: / / www.21cnjy.com )
利用计算器求锐角的度数
按键顺序：
( http: / / www.21cnjy.com )转化为度、分、秒表示，可按键：
( http: / / www.21cnjy.com )
三角函数值的大小比较
正弦值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）；余弦值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）；正切值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）.
用计算器计算cos
44°的结果（精确到0.01）是（
）
A.0.90
B.0.72
C.0.69
D.0.66
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )（结果精确到0.01）
比较大小：sin
40°·cos50°-
( http: / / www.21cnjy.com )_______0.
根据条件求锐角α（精确到1''）:
若sin
α=0.964，则∠α≈___________；
（2）若cos
α=0.291，则∠α≈___________；
（3）若tan
α=8.671，则∠α≈___________；
3.
求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
当堂检测参考答案：
B
2.10.02
3.<
4.(1)
7434'
46''
(2)73°4'
56''
(3)83°25'
17''
5.0.8979
自主学习
合作探究
当堂检测24.1
一元二次方程
学习目标：
1.了解一元二次方程的相关概念并运用其解决问题.
2.会根据实际问题列出一元二次方程.
学习重点：一元二次方程的一般形式及其有关概念.
学习难点：将实际问题转化为数学问题的建模过程.
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知识链接
一件标价为600元的上衣，按8折（
( http: / / www.21cnjy.com )即按标价的80%）销售仍可获利20元．设这件上衣的成本价为x元，根据题意，列方程得
．
张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封
( http: / / www.21cnjy.com )，共30个，其中买Ａ型号的信封用了1元5角，买Ｂ型号的信封用了1元2角，Ｂ型号的信封每个比Ａ型号的信封便宜2分．设Ｂ型号的信封的单价为x分，根据题意，列方程得
．
新知预习
如图，某学校要在校园内墙边的空地上
( http: / / www.21cnjy.com )修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另一面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求成长方形存车处的长和宽.
解：方法一
设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x
m，则它的长为_________m，
根据题意，可得方程：______________.
整理，得__________________________.
方法二
设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x
m，则它的宽为_________m，
根据题意，可得方程：______________.
整理，得__________________________.
观察由方法一和方法二得到的两个方程，这两个方程的共同点是：
只含有一个未知数，都是关于x的________方程；
x的最高次数都为_________.
像这样的方程我们称之为一元二次方程.
一元二次方程的一般形式可以归纳为__________________________________.
我们解出这两个方程后，得到的解，称为这个一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
三、自学自测
1.下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．3(x＋1)2＝2(x＋1)
B.＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0
D．x2＋2x＝x2－1
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式:
(1);
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3.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0
(x1=1
x2=2
x3=3)
4.某小区准备在每两幢楼
( http: / / www.21cnjy.com )房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程(化为一般形式)为_______．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程的定义及一般形式
问题1：方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：方程的二次项系数为_________,
因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.
所以___________________,
根据一元二次方程的定义可得_____________.
综上所述，方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是__________.
问题2：将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；
(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；
(3)4x2＝3x－＋1.
【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.
【针对训练】
若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式k
x－2k＋6≤0的解集，并将解集在数轴上表示出来．
2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
探究点2：一元二次方程的解
问题：若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.
【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的方差或等量关系，通常运用整体代入的思想求解.
【针对训练】
已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求这个方程．
2.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m＋1的值.
探究点2：列一元二次方程
问题：在一幅长8分米，宽6分米的
( http: / / www.21cnjy.com )矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．(请根据题意列出方程)
【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤是：
确定x的取值范围
【针对训练】
在一块宽20m、长32m的矩形空地
( http: / / www.21cnjy.com )上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
二、课堂小结
一元二次方程
内容
运用策略
定义及一般形式
一般式____________________二次项___,二次项系数_____,一次项_____,常数项_____.
化一般形式的口诀：一般式，形式定，等左二次三项式，右边只有孤单0，项和系数方可谈，系数连同前符号
一元二次方程的根（解）
使方程左右两边________相等的未知数的值.
已知方程的根求字母系数的值，将根代入方程，得到关于字母系数的方差，通常运用整体代入思想
根据实际问题列一元二次方程
1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为(　　)
A．x2－5x＋1＝0B．x2＋x－9＝0
C．x2－4x＋3＝0D．x2－x＋1＝0
2.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．一块面积为600平方米的长方形土
( http: / / www.21cnjy.com )地,它的长比宽多10米,求长方形的长与宽,若设长方形的长为x米,则它的宽为___________米,根据题意的方程为_______________________.
5.方程
( http: / / www.21cnjy.com )化为一般式为___________________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.
7.如图，在一块长为22米、宽为1
( http: / / www.21cnjy.com )7米的矩形地面上，要修建一条长方形道理LMPQ及一条平行四边形道理RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LN=RS=x米，请根据题意列出方程.
6.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．(只需根据题意列出方程)
当堂检测参考答案：
A
2.D
3.
A
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),
1,
3,
-1.
（22-x）（17-x）=300.
7.根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0.
自主学习
合作探究
当堂检测23.3
方
差
学习目标：
1.理解方差的统计学意义并会计算方差.
2.能够运用方差的统计学意义解决实际问题.
学习重点：求一组数据中的方差.
学习难点：体会方差的统计学意义.
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【问题】农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10
块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？
甲种甜玉米的平均产量：_______________________________.
乙种甜玉米的平均产量：_______________________________.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．
将以上数据绘制成散点图如下：
从图中我们可以看出：甲种甜玉米的产量波动_____;乙种甜玉米的产量波动_____.（填“大”“小”）
（3）根据稳定性，______种甜玉米适合推广.
【思考】我们在分析数据的特征时，仅
( http: / / www.21cnjy.com )仅考虑数据的平均数是不够的，还需要关注数据的波动情况.如何用具体的数据反映出一组数据的波动大小？数据的波动大小与平均数有何关系？
要点探究
探究点1：方差的计算
要描述一组数据波动性的大小，需要引入一个新的概念——方差.
【概念学习】设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数
( http: / / www.21cnjy.com )的差的平方分别是
( http: / / www.21cnjy.com )
，我们用这些值的平均数，即___________________.
来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差.方差用s2来表示.
例1：以下有甲、乙、丙三组数据，
甲：2　
3　
5　
7　
8
乙：102　103　105　107　108
丙：4
6
10
14
16
请分别计算出它们的平均数和方差.
（2）观察已知数据和平均数、方差的结果之间的关系，说一说他们之间有什么样的关系.
【方法归纳】若一组数据x
( http: / / www.21cnjy.com )1，x2，…，xn的方差为s2，则①x1+a，x2+a，…，xn+a的方差仍为s2；②ax1，ax2，…，axn方差为a2s2.
【针对训练】
1.一组数据－2，－1，0，1，2的方差是
(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2.已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是
(　　)
A．2.8
B．
C．2
D．5
3.求数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的方差．
探究点2：方差的应用
问题：甲、乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下(单位：吨/公顷)
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
经计算，x甲＝10，x乙＝10，试根据这组数据估计_______种水稻品种的产量比较稳定．
解：
( http: / / www.21cnjy.com )________________________________;
( http: / / www.21cnjy.com )_________________________________.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )______
( http: / / www.21cnjy.com ),∴______种水稻的产量比较稳定.
【归纳总结】对于同类问题的两组数据，方程越大，数据的波动越_____,方差越小，数据的波动越_____.
【针对训练】
1.甲、乙两人5次射击命中的环数如下：
甲：7　9　8　7　9　
乙：7　8　9　8　8
计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0.
8，由此可知(　　)
A.甲比乙的成绩稳定
B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩一样稳定
D.无法确定谁的成绩更稳定
2.某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下(每个月满分为10分)：
甲：5　6　8　7　9　7
乙：3　6　7　9　10　7
分别求出甲、乙两人的平均得分；
(2)根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定．
3.甲乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8,8,7,8,9；
乙：5,9,7,10,9.
填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
_______
8
乙
_______
9
_______
（2）由（1）中数据，教练根据这5次成绩，选择谁参加比赛？答：________.
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差________.（填“变大”“变小”或“不变”）
二、课堂小结
计算公式
意义
方差
( http: / / www.21cnjy.com )=________________________若一组数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则①x1+a，x2+a，…，xn+a的方差仍为s2；②ax1，ax2，…，axn方差为a2s2.
衡量一组数据的波动大小，方程越大，数据的波动越_____,方差越小，数据的波动越_____.
1.已知甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差s＝，乙组数据的方差s＝，则(　　)
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲乙两组数据的波动大小不能比较
2.某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是(　　)
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
3.把一组数据中的每一个数据都减去100，得一组新数据，若求得新一组数据的平均数是4，方差是4.则原来一组数据的方差为________．
4.若甲、乙两个样本的数据如下：
甲：10，9，11，8，12，13，10，7
乙：7，8，9，10，11，11，12，12
用计算说明哪个样本波动较小．
5.水果销售公司去年3至8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣两种水果．如图是两种水果销售情况的折线统计图．
分别求这两种水果销售量的平均数和方差；
(2)请你从以下两个不同的方面对这两种水果的销售情况进行分析：
①根据平均数和方差分析；
②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析．
当堂检测参考答案：
B
2.B
3.4
4.先计算样本平均数，得x甲＝10，x乙＝10.
s＝×[02＋
(－1)2＋12＋(－2)2＋22＋32＋02＋(－3)2]
＝3.5，
s＝×[(－3)2＋(－2)2＋
(－1)2＋02＋12＋12＋22＋22]＝3.
∵s＞s，∴样本乙波动较小．
5.(1)x吐鲁番葡萄＝(4＋8＋5＋8＋10＋13)÷6＝8，
s＝[(4－8)2＋(8－8)2＋…＋(13－8)2]÷6＝9，
x哈密大枣＝(8＋7＋9＋7＋10＋7)÷6＝8，
s＝[(8－8)2＋(7－8)2＋…＋(7－8)2]÷6＝.
(2)①∵x吐鲁番葡萄＝x哈密大枣，∴吐鲁番葡萄和哈密大枣的销售情况接近，∵s＞s，
∴哈密大枣的销售情况较稳定；
②∵吐鲁番葡萄的销售情况的折线呈上升趋势，而哈密大枣的销售情况的折线呈下降趋势，
∴从折线图上看两种水果销售量的趋势，吐鲁番葡萄的销售情况较好．
复习引入
合作探究
当堂检测25.1
比例线段
学习目标：
学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用.
掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值.
了解黄金分割的意义.
学习重点：比例线段的概念及性质.
学习难点：黄金分割的运用.
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知识链接
1
.已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______.
2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分
的名称，比例的基本性质是什么？
新知预习
观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？
如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
( http: / / www.21cnjy.com )我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例.
可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段.
三、自学自测
1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1)
a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：成比例线段
例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）
A.3cm，4cm，5cm，6cm
B.4cm，8cm，3cm，5cm
C.5cm，15cm，2cm，6cm
D.8cm，4cm，1cm，3cm
【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【针对训练】
1.已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.
（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
在比例尺为1：50
000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　m.
思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解.
探究点2：比例的性质
比例的基本性质
问题1：如果a,b,c,d四个数满足
( http: / / www.21cnjy.com ),那么ad和bc相等吗？并说明理由
答：________.
理由如下：
∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.
∴在等式两边同时乘以bd，得____________.
即若
( http: / / www.21cnjy.com )，则ad=bc.
问题2：试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？
逆命题是：如果ad=bc,那么_______.
请仿照问题1证明：
【归纳】比例的基本性质：
( http: / / www.21cnjy.com )
如果ad=bc,那么________(b,d≠0).
例2：已知＝，求的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得____________.
∴a＝____b，∴＝____.
解法2：(倒数法)由＝，得________＝7，
∴____________，∴＝_______.
【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
（二）等比的性质
我们知道，由
试猜想：
并证明你的猜想.
【针对训练】
1.已知a：b：c＝3：4：5，求的值.
2.已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值.
3.若a，b，c都是不等于零的数，且＝＝＝k，求k的值.
探究点3：黄金分割
问题：
1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC、BC的程度，然后计算
( http: / / www.21cnjy.com )，它们的值相等吗？
已知线段AB的长度为1个单位，在线段AB上找一点C，使较短的线段BC与较长的线段AC的比等于AC与原线段的比，即使
( http: / / www.21cnjy.com )成立，求此时线段AC的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.你能在线段上画出点C的大概位置吗？这样的点有几个？
( http: / / www.21cnjy.com )
【归纳】在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足
( http: / / www.21cnjy.com )，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，AC/AB称为黄金分割点.
例3：已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝－1，求原线段AB的长.
【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段
( http: / / www.21cnjy.com )、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
【针对训练】
1.已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：
AC－BC；
（2）AC·BC.
2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄
( http: / / www.21cnjy.com )金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
二、课堂小结
比例线段
内容
运用策略
线段的比
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
( http: / / www.21cnjy.com )我们就把这个四条线段叫做成比例线段，
判断四条线段是否成比例，首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
比例的性质
①如果
( http: / / www.21cnjy.com )，那么________;②如果ad=bc，那么________;③等比的性质：____________.
把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
黄金分割
①一条线段的的黄金分割点有___个；②黄金分割比为__________.
如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=______AB，BC=_______AB.
1.下列各组数中一定成比例的是(
)
A.2，3，4，5.
B.-1，2，-2，4.
C.-2,
1,
2，0.
D.a，2b，c，2d.
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下面所给的比例式正确的是(
)
A.
m：n=p：q
B.m：p=n：q.
C.m：q=n：p
D.m：p=q：n.
3.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝
(　　)
A．－1
B．3－
C．
D．－1或3－
4.已知线段x＝12cm，y＝4cm.线段x和y的比例中项为a，则a＝________cm.
5.已知三条线段的长度分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．
6.已知＝＝≠0.
(1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；(2)求的值．
7..如图，已知线段AB.
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB.
(2)连结AD，在DA上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
请你根据以上作法，证明点C是线段AB的黄金分割点．
当堂检测参考答案：
B
2.D
3.D
4.4
5.所给的线段长为xcm，则有
①＝，x＝；②＝，x＝；
③＝，x＝2.
故再给出的一条线段长应为cm或cm或2cm.
6.
(1)设＝＝＝k(k≠0)，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，
解得k＝2.
所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.
(2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以＝＝－.
7.设AB＝2x，则BD＝DE＝x，根据勾股定理，得AD＝＝＝x，
则AC＝AE＝x－x＝(－1)x.
∵＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点．
自主学习
合作探究
当堂检测27.1
反比例函数
学习目标：
理解并掌握反比例函数的定义并会判定反比例函数.
2.能够根据实际情况列出反比例函数表达式.
学习重点：反比例函数的定义及判定.
学习难点：根据实际情况列反比例函数表达式.
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一、知识链接
1.京沪线铁路全程为1463km，某次列车平速度v（单位:km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位:h）的变化而变化．则vt=__________,用t表示v的函数表达式为________.
2.某住宅小区要种植一块面
( http: / / www.21cnjy.com )积为
1
000
m2的矩形草坪，草坪的长
y（单位：m）随宽
x（单位：m）的变化而变化．则xy=__________,用x表示y的函数表达式为________.
二、新知预习
3..观察上面各函数关系式有什么特点,完成下面填空.
上面的函数关系式，都具有______的形式，其中＿＿是常数．
如果两个变量
x
，y
之
( http: / / www.21cnjy.com )间的函数关系可以表示成＿＿＿＿（k≠0）的形式，那么
y
是
x
的反比例函数，反比例函数的自变量
x
_____为零.
三、自学自测
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　)
A．y＝－4x
B．y＝－6x＋1
C．y＝
D．xy＝2
2．计划修建铁路l千米，铺轨天数为t(天)，每日铺轨量s(千米/天)，则在下列三个结论中，正确的是(　　)
①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当t一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
A．①
B．②
C．③
D．①②③
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：反比例函数的定义
问题1：
在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
(1)y＝；　(2)y＝；　(3)y＝；
(4)xy＝；　(5)y＝；　(6)y＝－；
(7)y＝2x－1；　(8)y＝(a≠5，a是常数)．
【归纳总结】判断一个函数是否是反比例函数，关
( http: / / www.21cnjy.com )键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．
【针对训练】
下列函数关系中，是反比例函数的是（
）
A
.圆的面积S与半径r的函数关系
B.三角形的面积为固定值时（即为常数），底边a与这
条边上的高h的函数关系
C.人的年龄与身高关系
D.小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的函数关系
问题2：若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．
【归纳总结】反比例函数表达式的一般
( http: / / www.21cnjy.com )形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．
【针对训练】
如果函数错误！未找到引用源。是反比例函数，那么m的值是__________．
探究点2：确定反比例函数的关系式
问题1：已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
写出y与x的函数表达式；
当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝12时，求x的值．
【归纳总结】(1)求反比例函数表达式
( http: / / www.21cnjy.com )时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．
【针对训练】
已知一个函数的关系式满足下表(x为自变量)：
x
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
y
1.5
2
3
6
－6
－3
－2
－1.5
则这个函数的关系式为(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝－
D．y＝
问题2：如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？
【归纳总结】解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
【针对训练】
一定质量的氧气放在容器中，体积V与它的密度ρ成反比例函数，当它的体积V是10m3时，它的密度ρ=1.43kg/m3。
写出ρ与V的函数关系；
（2）当氧气密度是7.15
kg/m3时，容器的容积是多少m3．
二、课堂小结
1.某厂有煤1500吨，则这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系是__________．
2.现有一批救灾物资要从A市送往B市，如果两城市间的路程为500km，车速为每小时xkm，从A市到B市所需的时间为yh，那么y与x的函数关系式是__________，且y是x的__________函数．
3.指出下列函数关系式中，哪些是反比例函数，如果是请指出k的值．
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4.反比例函数y＝(k≠0)，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，求这个反比例函数的表达式．
5.已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．
当堂检测参考答案：
y＝(x＞0)
y＝(x＞0)　反比例
（1）是，k=3
（2）是，k=
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（3）不是，y=2x
（4）不是
（5）是，k=3
（6）不是
4.当x＝4时，y＝；当x＝6时，y＝；∵当x的值由4增加到6时，y的值减少3，∴－＝3，解得k＝36.∴这个反比例函数的表达式为y＝.
5.解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k
( http: / / www.21cnjy.com )1x(k1≠0)．∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得∴y＝－x－.
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合作探究
当堂检测25.7
相似多边形和图形的位似
第1课时
相似多边形
学习目标：
理解相似图形的定义并能判断两图形是否相似.
学习并掌握相似多边形的性质与判定方法.
学习重点：判断两图形是否相似.
学习难点：相似多边形的性质与判定方法.
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知识链接
有全等的多边形吗？若有，请你在下面的网格图中画出一组全等的多边形.
2.相似三角形的性质有哪些？
答：________________________________________.
新知预习
3.观察下面的几组图形，讨论它们的共同点.
像这样形状_________的图形称为相似图形.
4.如图，在上下两行图形中，把你认为是相似的图形用线连接起来.
一般地，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形.
三、自学自测
.观察下图中的多边形，判断它们是不是相似多边形，再经过计算后验证你的结论.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相似图形
问题：下列图形都相似吗？为什么？
所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.
【归纳总结】（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.
【针对训练】
下列判断正确的是（
）
两个平行四边形一定相似
两个矩形一定相似
两个菱形一档相似
两个正方形一定相似
探究点2：相似多边形的性质
问题：已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比.
【归纳总结】找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.
【针对训练】
一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6.另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则其最长边为______.
探究点2：相似多边形的判断
问题：如图所示的两个矩形是否相似.
【针对训练】
根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
二、课堂小结
相似多边形
内容
基本图形
概念
如果两个多边形的对应角_______，对应边成_____，那么这两个多边形就叫做相似多边形.
性质
的对应角_______，对应边成_____
1.下面每组图形中的两个图形是相似图形的是（
）.
2.把下列菱形缩小为原来的一半.
3.如图所示，在四边形ABC
( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD＝3，BC＝4，求AE：EB的值.
4.在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路.
如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；、
（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？
当堂检测参考答案：
C
2.
图略
3.因为四边形AEFD∽四边形EBCF，
所以＝，
所以EF2＝AD·BC＝3×4＝12，
所以EF＝＝2.
因为四边形AEFD∽四边形EBCF，
所以AE：
EB＝AD：EF＝3：2＝：2.
4.（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：
假设两个矩形相似，不妨设小路宽为xm，
则＝，解得x＝0.
∵由题意可知，小路宽不可能为0，
∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；
（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下：
若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，
则＝，所以＝.
∴当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.
自主学习
合作探究
当堂检测24.2
解一元二次方程
第2课时
公式法
学习目标：
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式.
2.能够用公式法解一元二次方程.
学习重点：求根公式的推导与正确使用.
学习难点：求根公式的推导.
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知识链接
2.用配方法解下列方程：x2-3x+1=0.
新知预习
2.上述2中的方程，一次项系数为奇数，若采用配方，计算过程会比较繁琐，那么是否有更
简便的方法呢？
3.尝试用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0.
（1）移项，得_____________________.
（2）将二次项系数化为1，得_____________.
（3）配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )_______=
( http: / / www.21cnjy.com )______.
（4）整理，得___________________________.
于是得到
( http: / / www.21cnjy.com )
（5）当_____________>0时，___________>0,得
( http: / / www.21cnjy.com )=______________.
原方程有两个不相等的实数根：
( http: / / www.21cnjy.com )
当_____________=0时，___________=0,得
( http: / / www.21cnjy.com )=______.
原方程有两个相等的实数根：
( http: / / www.21cnjy.com )
当_____________<0时，___________<0,而
( http: / / www.21cnjy.com )______.
原方程没有实数根.
于是我们可以得到：
我们把这个决定一元二次方程根的情况的式子________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
三、自学自测
1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2.一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况是（
）
A.有两个相等的实数根
B.有关两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
用公式法解方程：x2-x-1=0.
四、我的疑惑
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程根的判别式
【概念补充】一元二次方程ax2+b
( http: / / www.21cnjy.com )x+c=0（a≠0），对于b2-4ac我们可称之为根的判别式，可用△表示.所以当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根.
例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：Δ=___________,方程__________实数根；
( http: / / www.21cnjy.com )
解：Δ=___________,方程__________实数根；
( http: / / www.21cnjy.com )
解：Δ=___________,方程__________实数根.
例2：已知关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有实数根，求m的取值范围.
解：因为方程
( http: / / www.21cnjy.com )有实数根，所以Δ=___________,解得_____________.
故m的取值范围是_________________.
【归纳总结】判断一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解即可.
【针对训练】
下列方程中，没有实数根的是
（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根，求整数m的最大值.
探究点2：公式法
例：用公式法解下列方程：
( http: / / www.21cnjy.com )
解：
解：
问题2：当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？
解：
【归纳总结】利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
将方程化成一元二次方程的一般形式
确定a,b,c的值，并注意它们的符号，
计算
( http: / / www.21cnjy.com )的值，满足
( http: / / www.21cnjy.com )≥0时，代入求根公式
( http: / / www.21cnjy.com )
【针对训练】
用公式法解下列方程：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
二、课堂小结
公式法
内容
运用策略
根的判别式及求根公式
对于
( http: / / www.21cnjy.com )，Δ=___________,当________≥0时，方程的根为x=_____________________.
_______≥0是求根公式成立的前提.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式；（2）确定a、b、c的值；（3）代入判别式判断方程根的情况，满足________≥0时，代入求根公式求出方程的根（注意不要丢掉各项系数的符号）.
用公式法解方程，正确的是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2.关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.
3.用公式法解下列方程：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )
求出方程的根；
m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
当堂检测参考答案：
C
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）没有实数根.
（1）
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（2）m=2或3.
5.关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
自主学习
合作探究
当堂检测26.1
锐角三角函数
第2课时
正弦与余弦
学习目标：
理解并掌握正弦和余弦的定义，会求一个角的正弦值和余弦值.
会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.
学习重点：求一个角的正弦值和余弦值.
学习难点：推导特殊角的正弦值和余弦值.
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1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
新知预习
2.如图，∠BAC为任意给定的一个锐角，B1，B2为射线AB上任意两点，过点分别作AC的垂线B1C1，B2C2，垂足分别为C1，C2试说明
( http: / / www.21cnjy.com )分别相等
在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值、∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦记作sin
A，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos
A.
即
分别求出30°，45°，60°的正弦和余弦，并将结果填入下表：
α
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
三、自学自测
如图,△ABC直角三角形,你能根据图中所给数据求出sin
A，cos
A吗？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正
弦
例1：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【归纳总结】正确地画出草图
( http: / / www.21cnjy.com )，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．
【针对训练】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
探究点2：余
弦
例2：如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
【归纳总结】在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．
【针对训练】
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于(　　)
B.
C.
D.
探究点3：特殊角的正弦、余弦值
问题：计算：sin60°×cos45°；
【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．
【针对训练】
计算：
tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.
二、课堂小结
内容
基本图形
正弦
在Rt△ABC中，∠A为锐角，sin
A=_____
余弦
在Rt△ABC中，∠A为锐角，cos
A=_____
特殊角的正切值
sin
30°=______，cos
30°=______;sin
45°=______，cos
45°=______;sin
60°=______，cos
60°=______.
1.在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝________．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝，则∠A＝________．
3.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的正弦值______、余弦值______、正切值______.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝
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，求：sinA、cosB的值．
当堂检测参考答案：
2.45°
3.不变
不变
不变
4.
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自主学习
合作探究
当堂检测解直角三角形
学习目标：
能够解决与仰角、俯角有关的实际问题.
能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.
学习重点：解直角三角形.
学习难点：运用解直角三角形解决实际问题.
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1.（本章引例）如图，小明在距旗杆
( http: / / www.21cnjy.com )4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆顶部B，俯角（∠BOC）为18°.旗杆的高约为多少米？
二、新知预习
2.由1中的解题方法试着解下面这道题目：
如图所示，一艘渔船以30
( http: / / www.21cnjy.com )海里/时的速度由西向东航行.在A出看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后，渔船航行到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是暗礁最多的危险区.如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
解：过点C作CD⊥AB，∠AB的延长线于点D，则∠CBD=_____.
在Rt△BCD中，tan∠CBD=_________.
若设CD=x，则BD=_______.
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以tan∠CAD=_______.
即AD=_______.
因为AD
-BD=AB，AB=______.
所以得到关于x的方程：________________.
解得x=________.
因为________10海里，所以，这艘渔船继续向东航行，______危险区.
如图，在筑坝、开渠、
( http: / / www.21cnjy.com )挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan
α=_______.
如图，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，CD∥AB，大坝顶宽CD=3m，斜坡AD=16m，大坝高为8m，斜坡BC的坡度为
( http: / / www.21cnjy.com ).求斜坡的坡角α和大坝底的宽AB（结果精确到0.01m）.
自学自测
1.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：利用仰角、俯角解决实际问题
问题1：如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)
【归纳总结】在解直角三角形时，若仰
( http: / / www.21cnjy.com )角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
问题2：如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆
( http: / / www.21cnjy.com )AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是(　　)
(8＋8)m
B．(8＋8)m
C．(8＋)m
D．(8＋)m
【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．
【针对训练】
1.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.
2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8
m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6
m,问树高AB为多少米 (精确到0.1
m)
探究点2：利用坡度、坡角解决实际问题
问题1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3
，斜坡CD的坡度i=1∶2.5
，
则斜坡CD的坡面角α
，
坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
【归纳总结】根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
【针对训练】
1.(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为　　　;
(2)坡度通常写成1∶　　　的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为　　　;
(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为　　　,坡度为　　　;
(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=　　,AD=　　　;
若AB=10,CD=4,i=,则h=　　　.
2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(　　)
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
二、课堂小结
方位角问题
坡度、坡比问题
仰角俯角问题
内容
以观测者的位置为原点，由东西南北四个方向把平面划成四个象限，以正北或者正南方向为始边，先转到观测者方向的锐角称为方向角
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan
α=_______.
在进行高度测量时，由视线与水平所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角
图解
1.如图，沿倾斜角为30
( http: / / www.21cnjy.com )的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为
m。(精确到0.1m)
2.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为
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如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为
米（用含
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3.如图所示，给高为3米，坡
( http: / / www.21cnjy.com )度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需_______元.
4.如图,铁路路基的横断面是四边形A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8
m,路基高BE=5.8
m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1
m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.
在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α
；
量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;
量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）
在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图
（标上适当的字母）
2）写出你的设计方案。
当堂检测参考答案：
1.2.3
2.1.5
+20tan
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3.90
4.解:过点C作CD⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵BE=5.8
m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6,
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tanα=i=,tanβ=i'=,得
α≈32°,β≈21°.
答:铁路路基下底宽为33.
6
m,斜坡的坡角分别为32°和21°.
5.1）如图所示：
2)方案如下：
①测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α
；
②测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE＝
( http: / / www.21cnjy.com )；
③量出测点A到测点B的水平距离AB＝m;
④量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据可以求出小山MN的高度
自主学习
合作探究
当堂检测26.1
锐角三角函数
第1课时
正切
学习目标：
理解并掌握正切的定义，会求一个角的正切值.
会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.
学习重点：求一个角的正切值.
学习难点：推导特殊角的正切值.
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在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
答：__________________________________________________________.
新知预习
如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，当∠A=∠A'时，
( http: / / www.21cnjy.com )具有怎样的关系？
图1
图2
答：__________________________________________________________.
3.如图2，已知∠EAF<90°，BC⊥AF，B'C'⊥AF，垂足分别为C，C'.，
( http: / / www.21cnjy.com )具有怎样的关系？
答：__________________________________________________________.
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比
( http: / / www.21cnjy.com )是确定的.这个比叫做∠A的正切.记作tan
A，即
如图,观察一副三角板，根据所学知识求：
(1)tan30°等于多少
(2)tan60°等于多少
(3)tan45°等于多少
三、自学自测
如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan
C吗？
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正
切
例1：在Rt△ABC中,∠C=90°,
如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;
(2)如图(2),BC=3,tanA=
,求AC和AB.
【归纳总结】求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
【针对训练】
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tan
B的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
探究点2：特殊角的正切
例2：计算：
tan
60°·tan30°；
（2）2tan45°+3tan
30°-tan60°；
【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混
合运算顺序及法则进行计算.
【针对训练】
计算：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )tan
45°-
( http: / / www.21cnjy.com )tan30°；
( http: / / www.21cnjy.com ).
二、课堂小结
正切
内容
基本图形
概念
在Rt△ABC中，∠A为锐角，tan
A=_____
特殊角的正切值
tan30°=______;tan45°=______;tan60°=______;
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，tan
B=______．
计算：
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．
当堂检测参考答案：
1.C
2.
3.
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4.∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝＝.
设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k.
∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.
∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24.
自主学习
合作探究
当堂检测23.4
用样本估计总体
学习目标：
1.能够用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差.
2.会对数据进行必要的分析和预测.
学习重点：理估计总体的平均数、方差.
学习难点：体会由样本到总体的思想.
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某工厂为了测试10000个零件的尺寸是否达标，从中抽取了100个零件进行检验.
在这个抽样调查中，总体是____________________,样本是_______________________.
这100个零件中有35个零件误差是+0.02mm，24个零件的误差是-0.03mm，其余零件均符合标准，则这100个零件的误差平均值为_________,方差为____________.
新知预习
2.为了估计全校初中女生的平均身高，九年级（一）班8个课外学习小组采用随机抽样的方法，分别抽取容量为25和100的样本，样本平均数用
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )表示，结果（单位：cm）如下表：
小组序号
1
2
3
4
5
6
7
8
( http: / / www.21cnjy.com )
158.5
161.5
160.2
160.0
160.9
160.4
159.0
159.5
( http: / / www.21cnjy.com )
160.0
159.0
160.5
159.3
159.8
161.0
159.6
160.8
对容量相同的样本，算得的样本平均数相同吗：答：______.
把得到的样本平均数标在数轴上：
从这两组样本平均数中，哪一组样本平均数的波动较小？这体现了什么样的统计规律？
答：______样本平均数的波动较小，这体现了当样本容量较小时，差异可能较_____;当样本容量增大时，样本的平均数波动变____.
如果总体身高的平均为160.0cm，哪一组样本平均整体上更接近160.0cm？
答：______整体上更接近160.0cm.
三、自学自测
1.某班“”为了宣传环保
( http: / / www.21cnjy.com )的重要性，随机调查了本班10名同学的家庭在同一天内丢弃垃圾的情况.经统计，丢弃垃圾的质量如下（单位：kg）2,3,3,4,4,3,5,3,4,5.若这个班共有50名学生，估算这50个家庭在这一天丢弃垃圾的质量为_________.
2.甲乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：
甲：3,0,02,0,1
乙：1,0,2,1,0,2
则甲乙两台机床性能较为稳定的是________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：样本平均数估计总体平均数
问题：某油桃种植户今年喜获丰收，他从采摘的一批总质量为900千克的油桃中随机抽取了10个油桃，称得其质量(单位：克)分别为：
106，99，100，113，111，97，104，
112，98，110.
估计这批油桃中每个油桃的平均质量；
（2）若质量不小于110克的油桃可定
( http: / / www.21cnjy.com )为优级，估计这批油桃中，优级油桃占油桃总数的百分之几？达到优级的油桃有多少千克？问题2：为了估计一批鸡蛋中每个鸡蛋的平均质量p（单位：g），小红专挑个儿大的鸡蛋30个，称得总质量为1.8kg，小明随意拿出40个鸡蛋，称得重量为2.2kg.
分别计算小红和小明选出鸡蛋的平均质量；
用样本平均数估计p，小红和小明谁的结果更客观？
【归纳总结】由样本先求出样本的平均，从而估计出总体的平均数，再利用总体的平均数进相关计算.
【针对训练】
为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级20名学生，将所得数据整理并制成下表：
睡眠时间(小时)
6
7
8
9
学生人数(个)
8
6
4
2
据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间是________小时．
探究点2：样本方差估计总体方差
问题1：某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
甲乙两人每天进球的方差是多少？
（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
【归纳总结】我们采用样本的方差估计总体
( http: / / www.21cnjy.com )的方差时，虽然得到的只是一个近似数，但在合理的抽样条件下，样本具有代表性，且当样本容量很大时，它也确实能反映总体的信息.
【针对训练】
小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是______．
二、课堂小结
平均数
计算公式
注释
样本平均数
( http: / / www.21cnjy.com )=___________________________
样本平均数的大小只能近似地表示相应的总体平均数的大小.
总体平均数
( http: / / www.21cnjy.com )=____________________________
1.某校在“爱护地球　绿化祖国”的活动中
( http: / / www.21cnjy.com )，组织学生开展植树造林．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
植树数量(单位：棵)
4
5
6
8
10
人数
30
22
25
15
8
则这100名同学平均每人植树________棵；若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是________棵．
2.王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，
( http: / / www.21cnjy.com )各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
(1)分别计算甲、乙两山杨梅的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
3.经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.
( http: / / www.21cnjy.com )25)kg的最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下(单位：kg)：
A：4.1　4.8　5.4　4
( http: / / www.21cnjy.com ).9　4.7　5.0　4.9　4.8　5.8　5.2　5.0　4.8　5.2　4.9　5.2　5.0　4.8　5.2　5.1　5.0
B：4.5　4.9　4.8　4.5
( http: / / www.21cnjy.com )　5.2　5.1　5.0　4.5　4.7　4.9　5.4　5.5　4.6　5.3　4.8　5.0　5.2　5.3　5.0　5.3
(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
优等品数量(颗)
平均数
方差
A
4.990
0.103
B
4.975
0.093
请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好．4.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500mL的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A.全部喝完；B.剩约；C.剩约一半；D.开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有多少人？在图(2)中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？(计算结果请保留整数)
(3)据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用(2)中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500mL/瓶)有多少瓶？(可使用科学计算器)
当堂检测参考答案：
1.5.8　5800
2.(1)x甲＝40，x乙＝40，
总产量为40×100×98%×2＝7840(千克)．
(2)s＝×[(50－40)2＋(36－40)
2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38(千克2)，
s＝×[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24(千克2)，
∴s>s.所以乙山上的杨梅产量较稳定．
3.(1)16　10
(2)从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好；
从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；
从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术．
4.(1)根据所给扇形统计图可知，剩约的人数是总人数的50%，
∴25÷50%＝50，参加这次会议的总人数为50人．
∵×360°＝36°，
∴D所在扇形圆心角的度数为36°，
补全条形统计图如下：
(2)根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：
÷50
＝÷50≈183(毫升)；
(3)该单位每年参加此类会议的总人数约为2400人～3600人，则浪费矿泉水约为3000×183÷500＝1098(瓶)．
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合作探究
当堂检测28.3
圆心角和圆周角
第3课时
圆内接四边形
学习目标：
理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用
学习重点：圆周角的性质.
学习难点：圆周角的性质及计算.
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一、知识链接
如图1，△ABC叫
( http: / / www.21cnjy.com )O的________三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )O叫△ABC的_______圆.
如图1，若
( http: / / www.21cnjy.com )的度数为100°，则∠BOC=______，∠A=______.
如图2，在四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹∠2=60°，则
∠1=______,∠B=_______.
如图，劣弧AB所对的圆心角为α，优弧ADB所对的圆心角为α，根据周角的定义，可
得α+β=________°.
图1
图2
图3
二、新知预习
5.我们已经学习过圆与三角形，现在我们探究四边形与圆的关系.
【概念学习】四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
6.圆内接四边形的角度间有哪些关系呢？用量角器量一量，并作猜想.
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )所对的圆心角之和等于多少度？∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？答：_______________________________________.
∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？答：__________________________________.
我们发现：圆内接四边形的对角__________________.
三、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：圆内接四边形及其性质
【猜想证明】已知，如图，四边形ABCD○O的内接四边形.求证：∠BCD+∠BAD=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
【归纳】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【问题】如图，延长BC到点E，得到∠DCE，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠A称∠DCE的内对角，这两个角的大小有什么关系？
【归纳】圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
例1：如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
【归纳总结】在解决有关圆的内接四边形时，通常要结合圆心角和圆周角，解题时采用连接四边形顶点与圆心，结合圆心角和圆周角的相关性质求解.
例2：如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
【归纳总结】在证明与内接四边形有关的问题时，要时刻牢记其性质：圆内接四边形内角互补.
【针对训练】
1.圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（　　）
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（　　）
A．88°
B．92°
C．106°
D．136°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（　　）
A．110°
B．90°
C．70°
D．50°
4.四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=　　　　　　．
5.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD=50°，则∠B=　　　　　　．
6.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
二、课堂小结
圆内接四边形
内容
概念
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的___圆
性质
圆内接四边形的对角__________________.圆内接四边形的一个外角等于四边的内对角.
如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
3.如图，在⊙O中，∠AOC=140°，∠ACB=50°，则∠BAC=　　．
4.四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=　　．
5.已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，
（1）请画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；
（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是　　．
6.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
当堂检测参考答案：
1.D
2.C
3.20°
4.130°或50°
（1）
（2）45°
6.（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣
( http: / / www.21cnjy.com )α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣
( http: / / www.21cnjy.com )×60°=60°．
自主学习
合作探究
当堂检测25.4
相似三角形的判定
第1课时
利用两角相等判定两三角形相似
学习目标：
学习并掌握相似三角形判定定理1.
学会相似三角形的判定定理1的应用.
学习重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度.
学习难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用.
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知识链接
判定两个三角形全等的方法有___________________________________.
上节课所学的判定两个三角形全等的方法是______________________________________.
新知预习
观察图中的三角形，这两对三角形相似吗？并说明理由.
图①
图②
思路分析：根据已知条件，可知两组三角形的三
( http: / / www.21cnjy.com )个角都对应相等，所以只需证明三条边对应成比例，所以可设出一边长，然后结合特殊角的三边关系表示出第二条边长，再利用勾股定理表示出第三边长，最后求出对应边的比即可得出结果.
解：________.理由如下：
【猜想】如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？
三、自学自测
1.判断下面的两个三角形是否相似.
（1）两个含有50°角的等腰三角形相似.
（
）
（2）两个等边三角形相似.
（
）
（3）顶角是50°角的等腰三角形相似.
（
）
（4）两个含有50°角的直角三角形相似.
（
）
我的疑惑
______________________________________________________________________________
要点探究
探究点：利用两角相等判定两三角形相似
【做一做】如图，已知∠α，∠β.
分别以∠α，∠β为两个内角，任意画出两个三角形.
量出这个三角形各对应边的长，并计算出相应的比，这两个三角形相似吗？
【归纳】有两个对应角相等的两个三角形相似.
【思考】你能试着证明这个结论吗？
例：已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝.
【归纳总结】证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.
【针对训练】
已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
二、课堂小结
相似三角形的判定1
所需条件
基本图形
斜交型
有公共角∠A（如图1、2、
3）或对顶角∠1和∠2（如图4），另一组对应角相等
旋转型
∠1和∠2相等，另一组角对应相等
在△ABC和△A'B'C'，∠B=∠B'=90°，∠A=30°，则下列条件，不能证明在△ABC与△A'B'C'相似的值是（
）
∠A'=30°
B.∠C'=30°
C.∠C=60°
D.∠A'=
( http: / / www.21cnjy.com )∠C'
如图3，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（
）
B.
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C.
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D.
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如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE=________.
4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4.则CD的长为______.
当堂检测参考答案：
1.C
2.
C
3.2.5
4.5
自主学习
合作探究
当堂检测25.6
相似三角形的应用
学习目标：
理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.
学习重点：运用相似三角形测量.
学习难点：相似三角形的性质和判定的综合应用.
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知识链接
如何判定两个三角形相似？
答：________________________________________.
相似三角形的性质有哪些？
答：________________________________________.
我们学过哪些方法测量物体的高度和宽度？
答：____________________________________.
新知预习
如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用教程卡钳进行测量，图中为一个零件的剖面图，它的外经为a，内径AB未知，现用交叉卡钳去测量，若
( http: / / www.21cnjy.com )，CD=b，则这个零件的内径为多少？零件的壁厚x又是多少？（用含有a、b、m的代数式表示）
解：∵，∠_____=∠_____.
∴△______∽△______.
∴______
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又∵CD=b，∴AB=_____,x=_______.
故这个零件的内径为_________零件的壁厚x是______.
如图，在学校操场上，高高耸立的旗
( http: / / www.21cnjy.com )杆上悬挂着五星红旗.如何测量学校操场上旗杆的高度呢？某同学给出了一种测量方法，你能根据其设计出其他的方案吗？
解：
三、自学自测
1.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为(　　)
A．25m
B．30m
C．36m
D．40m
2.如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为(　　)
A．6.4米
B．8米
C．9.6米
D．11.2米
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相似三角形测物体的高度
例1：如图所示，身高为1.6m的某同
( http: / / www.21cnjy.com )学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？
【归纳总结】同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.
例2：已知：如图①，在离某建筑物CE4m处有
( http: / / www.21cnjy.com )一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？
（提示如图②③④中辅助线）
解：
【归纳总结】在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.
【针对训练】
赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．
探究点2：相似三角形测物体的宽度
例3：
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
【归纳总结】测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
【针对训练】
如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(　　)
A．24m
B．25m
C．28m
D．30m
二、课堂小结
相似三角形的应用
基本图形
测量高度
测量宽度
1.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连结AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m.
2.如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________.
3.如图，小明为了测量一棵树CD的高
( http: / / www.21cnjy.com )度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
4.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)．
　
(1)　　　　　　　(2)
当堂检测参考答案：
1.40
2.6
3.过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.
因为∠EAM＝∠CAN，
所以△AEM∽△ACN，所以＝.
因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，
所以＝，所以CN＝3.6（m），
所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
4.由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m.
　
　
　　(1)　　　　　　　(2)
由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
所以＝，
即＝，
所以x＝m.
由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H.
由AB＝1.5，BC＝2，
得AC＝＝＝2.5
(m)．
由AC·BH＝AB·BC，可得
BH＝＝＝1.2
(m)．
设乙设计的桌面的边长为ym.
因为DE∥AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，
所以＝.
即＝，解得y＝m.
因为＝＞，所以x2＞y2.
故甲同学设计的方案较好．
自主学习
合作探究
当堂检测24.2
解一元二次方程
第3课时
因式分解法
学习目标：
1.学会用因式分解法解一元二次方程.
2.能够选择合适的方法解一元二次方程.
学习重点：用因式分解法解一元二次方程.
学习难点：选择适当的解法解一元二次方程.
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知识链接
(1)因式分解的方法有_______、________.
(2)平方差公式：a2-b2=___________,a2±2ab+b2=___________________.
将下列各式因式分解：
（1）45a+25a2=__________________.（2）9x2-36y2=__________________.
a2-3a-18=________________.
新知预习
对于方程
( http: / / www.21cnjy.com )，除了可以用配方法和公式法求解，还可以怎样求解呢？
用配方法求解：
（2）用公式法求解：
（3）小梁同学认为上述两种方法都比较复杂，想尝试其他解法，他的解题思路是将方程左边因式分解，进而转化成两个一元一次方程求解，请你根据他的思路完成解题过程：
【结论】
像这样，把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转为为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解法叫做因式分解法.
三、自学自测
用因分解法解下列方程：
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（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点：因式分解法
问题1：用因分解法解下列方程：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原方程可化为：_______________,
________________________.
得_________=0或_________=0.
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（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原方程可化为：_______________,
_______________.
得_________=0或_________=0.
( http: / / www.21cnjy.com )
【归纳总结】因式分解法的基本步骤
( http: / / www.21cnjy.com )是：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
问题1：填空
①
x2-3x+1=0
；
②
3x2-1=0
；
③
-3t2+t=0
；
④
x2-4x=2
；
⑤
2x2-x=0；
( http: / / www.21cnjy.com )⑥
5(m+2)2=8；⑦
3y2-y-1=0；
⑧
2x2+4x-1=0；⑨
(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法:_____________；
适合运用因式分解法:_____________；
适合运用公式法:_____________；
适合运用配方法:_____________.
【归纳总结】
( http: / / www.21cnjy.com )
【针对训练】
选择合适的方法解下列方程：
x2-5x+6=0；
（2）（x+4）（x-1）=6.
（3）x（x-2）=2-x.
二、课堂小结
因式分解法
内容
运用策略
定义
把原方程化为两个______方程求解的方法.
适合因式分解法求解的三种方程形式：（1）x2+bx=0，（2）x2-a2=0，（3）x2+（a+b）x+ab=0
理论依据
A·B=0,则A_____或_____
方程（x-a）（x-b）=0的解是
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因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程右边化为0；（2）将方程
( http: / / www.21cnjy.com )左边因式分解成两个一次因式乘积；（3）令每个因式分别等于0；（4）解这个两个一次方程，它们的解就是原方程的解.
1.方程（x-3）（x-1）=x-3的解是（
）
A.x=0
B.x=3
C.x=3或x=-1
D.x=3或x=0
2..填空：
（1）方程x2+x=0的根是
_________________；
（2）x2－25=0的根是________________.
3.已知等腰三角形的腰和底边分别是一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的根，则该三角形的周长是_______.
4.解下列一元二次方程：
（1）（x－5)
(3x－2)=10;
(2)
(3x－4)2=(4x－3)2.
当堂检测参考答案：
D
（1）x1=0,
x2=-1
（2）x1=5,
x2=-5
7
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）x1=1,
x2=-1.
自主学习
合作探究
当堂检测28.1
圆的概念及性质
学习目标：
1.理解圆的相关概念并会简单应用.
2.理解并掌握圆的对称性并会简单运用和计算.
学习重点：圆的相关概念.
学习难点：掌握圆的对称性及其运用.
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一、知识链接
1.请尽可能多的找出下图中的圆.
列出你所学过的轴对称图形：__________________________.
列出你所学过的中心对称图形：_________________________.
二、新知预习
2.我们来画一个圆：
（1）方法一：把绳子的一端固定在某一点O处，在绳子的另一端栓上一支笔，然后将绳子拉紧，再绕着O点转一圈，这样笔画出的痕迹就是圆.
（2）方法二：使用圆规画圆.
【概念学习】
圆：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
圆心：这个定点叫做圆心.
半径：这个定长叫做圆的半径.
圆的表示方法：如图，它是以点
( http: / / www.21cnjy.com )______为圆心，______的长为半径的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”，_________也称为⊙O的半径.
【归纳】由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义，容易得到：
圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）.
思考：圆中还有其他的元素吗？动手画一画.
三、自学自测
1.请用圆规和直尺画出一个半径为3cm的圆，并在这个圆中分别画出长4cm、5cm、6cm的弦.
2.以点O为圆心，可以作几个圆
(　　)
A．只能1个
B．2个
C．3个
D．无数个
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：圆的有关概念
【概念归纳】
弦：圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.
直径：过圆心的弦叫做这个圆的直径.
弧：圆上任意的两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用⌒表示.
半圆：圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫
做半圆
优弧：大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
优、劣弧的表示：如图，以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用AB来表示，读作“弧AB”优弧用来表示,读作“弧ADB”.
等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，
等弧：能够完全重合的两条弧叫做等弧.
例1：有下列五个说法：①半径
( http: / / www.21cnjy.com )确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【归纳总结】对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．
【针对训练】
1.圆上任意两点间的部分是(　　)
A．半圆
B．直径
C．弦
D．弧
2.下列命题中是真命题的有(　　)
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长
度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
例2如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.
【归纳总结】“同圆的半径相等”
( http: / / www.21cnjy.com )“公共角”“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．
【针对训练】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
探究点2：圆的对称性
【动手操作】在纸上任意画出一个圆，用剪刀将其剪下.
（1）将这个圆对折，左右两边能重合吗？
（2）将圆心固定，将这个圆绕着圆心旋转180°，你又发现了什么
【归纳】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆形是它的对称中心.
例3：在下图所列的图形中选出轴对称图形：______.
二、课堂小结
内容
运用策略
圆的基本概念
平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做____，这个定点叫做____，这个定长叫做圆的____.
在圆中求角的问题时，转化到含有半径的等腰三角形中，应用“等边对等角”，同时要注意结合三角形的外角记忆平行线的性质解决.
和圆有关的概念
圆上任意两点间的线段叫做
( http: / / www.21cnjy.com )这个圆的一条____，过圆心的弦叫做这个圆的____.圆上任意的两点间的部分叫做____，简称____，圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____.
直径是圆中最长的弦，一个圆有无数条直径.在圆中，直径是弦，但弦不是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆，长度相等弧不一定是等弧.
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；
（
）
(2)半圆是弧；
（
）
(3)过圆心的线段是直径；
（
）
(4)过圆心的直线是直径；
（
）
(5)半圆是最长的弧；
（
）
(6)直径是最长的弦；
（
）
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
（
）
(8)半径相等的两个圆是等圆.
（
）
下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（
）
平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.任意四边形
如图，MN为⊙O的半径，∠MON=70°，则∠M=______.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，则AB=______.
5.如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长．
当堂检测参考答案：
（1）×
；（2）√；（3）×；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）×.
B
3.65°
4.10
连接OD.∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°.
∴四边形DEOF是矩形．
∴EF＝OD.
∵OD＝OA，
∴EF＝OA＝4.
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合作探究
当堂检测27.2
反比例函数的图像和性质
第1课时
反比例函数的图像
学习目标：
1.复习我们已经学习过的函数图像的画法.
2.掌握反比例函数图像的画法.
学习重点：反比例函数图像的画法.
学习难点：根据反比例函数图像解决问题.
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一、知识链接
1.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图像主要的步骤有哪些？
2.在同一坐标系中，画出下列函数的图像？
（1）y=x；（2）y=-x；（3）y=x+6；（4）y=x-6.
二、新知预习
3.我们来画出反比例函数的图像.
（1）列表：
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
( http: / / www.21cnjy.com )
…
…
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点.
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图像.
根据3中得到的反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像回答下列问题：
反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像与坐标轴有交点吗？为什么？
答：__________________________________________________.
（2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像吗？
答：__________________________________________________.
反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )（k为常数，且k≠0）的图像由分别位于______个象限内的_____条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.
三、自学自测
在直角坐标系中，画出反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：反比例函数的图像
问题1：反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象在（　　）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
【归纳总结】反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
【针对训练】
若双曲线y＝的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
k＞
B.k＜
C.k＝
D.不存在
问题2：已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（　　）
【归纳总结】在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.
【针对训练】
正方形
( http: / / www.21cnjy.com )的边长为2，反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )过点
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
问题3：
已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.
求这两个函数的解析式；
求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
【针对训练】
已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式.
二、课堂小结
做法
（1）________；（2）________;（3）________.
图象（
( http: / / www.21cnjy.com )）
k>0时，函数图象位于第_______象限
k<0时，函数图象位于第________象限
特征
无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
对称性
既是______对称，又是________对称，其对称轴是________或________，对称中心是_________.
1.．已知反比例函数y＝的图像经过点(1，－2)，则k的值为(　　)
A．2
B．－
C．1
D．－2
2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝（ab≠0）的图象大致是（　　）
点P在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，点Q(2，4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的表达式为__________．
已知反比例函数的图像
( http: / / www.21cnjy.com )在第二象限，则m的值为__________.
已知一次函数y=x+1的图像与反比例函数y＝的图像相交，其中一个交点的横坐标是2，则k
值为________.
如果一个正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点A（
( http: / / www.21cnjy.com )）、B（
( http: / / www.21cnjy.com )）那么
( http: / / www.21cnjy.com )的值为________.
当堂检测参考答案：
D
2.C
3.y＝－
4.-2
5.6
6.28
自主学习
合作探究
当堂检测23.2
中位数和众数
学习目标：
学习和理解中位数和众数的概念.
会根据中位数和众数分析数据，并且解决实际问题.
学习重点：认识中位数、众数这两种数据代表.
学习难点：利用中位数、众数分析数据信息.
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知识链接
在一次数学测验中，小明所在小组9名同学
( http: / / www.21cnjy.com )的成绩分别为：16、40、83、87、91、
93
、94、98、100
.小明考了83分，他所在学习小组的平均分是______分.小明说自己的成绩在小组内是中上水平，小明的说法_______（填“正确”“不正确”）.
新知预习
2.小琴的英语听力成绩一直很好，在六次测
( http: / / www.21cnjy.com )试中，前五次的的得分（满分：30分）分别为：28分，25分，27分，28分，30分.在第六次测试时，因耳机出现故障只得6分.如何评价小琴英语听力的实际水平呢？
（1）用6个分数的平均数评价小琴英语听力的实际水平合理吗？答：_________.
（2）如果不合理，那么应该用哪个数作为评价结果呢？
像某些体育比赛评分规则一样，去掉一个最高分_____分和一个最低分_____分，取其余4个成绩的平均数作为评价结果.
也可以将这6个数按照由小到大的的顺序排列：______________________________.
取中间两个数的平均值__________,也比较合理.
【自主归纳】
一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的的数据叫作这组数据的中位数.
3.某班用无记名投票的方式选班长，5名候选人分别编为1号，2号，3号，4号，5号.投票结果如下表：
候选人
1号
2号
3号
4号
5号
合计
计票
正丁
正正正下
正正
正
( http: / / www.21cnjy.com )
正
一
50
票数
7
18
10
9
6
50
最终成为班长的是______号，因为在投票过程中，他的名字出现的次数_______.在这个问题中，我们最关注是_________.
【自主归纳】一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数.
三、自学自测
1.数据9，10，10，8的中位数是______，众数是____________．
2.一组数据按从小到大排列为：2，4，5，7，7，8，15.则组数据(　　)
A．众数是5
B．众数是7
C．众数是5和7
D．没有众数
3.已知一组数据－5，4，－3，2，－5，求此组数据的中位数和众数.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：中位数
问题1：甲、乙两小组各10名学生某次数学测验成绩如下：(单位：分)
甲组：76　81　82　83　84　85　86　86　87　90
乙组：75　78　79　80　82　84　85　89　89　91
（1）分别求出两组的平均数和中位数？
解：
甲组的平均数：
( http: / / www.21cnjy.com )（_________________________）=_____.
将甲组数据从小到大排列：___________________________,
甲组的中位数：______.
乙组的平均数：
( http: / / www.21cnjy.com )（_____________________）=_____.
将甲组数据从小到大排列：____________________________,
乙组的中位数：______.
分别就平均数和中位数指出哪组成绩较好？
解：从平均数看：_____组较好；从中位数看：_____组较好．
【归纳总结】如果一组数据为偶数个，将这组数据从小到大排列，把处于中间位置的两个数据的平均数作为这组数据的中位数.
探究点2：众数
问题2：某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：
求销售额的平均数、众数、中位数；
如果想让大部分销售员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由.
【归纳总结】众数考查的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据有关，当一组数据章某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.
【针对训练】
1.合作交流是学习数学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8，7，7，8，9，7，这组数据的众数是(　　)
A．7
B．7.5
C．8
D．9
2.某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是(　　)
工资(元)
2000
2200
2400
2600
人数(人)
1
3
4
2
A．2400元、2400元
B．2400元、2300元
C．2200元、2200元
D．2200元、2300元
探究点:3：平均数、中位数和众数的区别与联系
问题：家家福超市在“六一”儿童节期间销售了某种童鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
（1）如果你是鞋厂经理，在平均数、中位数、众数中你最关心哪个数据？最不关心的是哪个数据
答：最关心的是________，最不关心的是________.
（2）如果你是老板，你最关心的是什么？你能根据上面的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
【归纳总结】
1.平均数的计算要用到所有数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响较大.
2.当一组数据中某个数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势.
3.
中位数只需要很少的计算，不受极端值的影响，这在有些情况下是一个优点.
【针对训练】
1.已知一组数据：20
,
40
,
50
,
50
,
50
,
60
,
70
,
80，它们的平均数、中位数、众数的大小关系为(　　)
A．平均数＞中位数＞众数
B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数
D．平均数＞中位数＝众数
2.某市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是________分，众数是________分．
二、课堂小结
图解
定义
中位数
一组数据按大小顺序排列，位于最____的一个数据（当偶数个数据时，为最中间两个数据的______）叫做这组数据的中位数
众数
( http: / / www.21cnjy.com )
一组数据中，出现次数______的数据叫做这组数据的众数.
1.某组7名同学在一学期里阅读课外书籍
( http: / / www.21cnjy.com )的册数分别是：14，12，13，12，17，18，16.求这组数据的众数是________和中位是_________
2..若n个数据x1，x2，x3，…，x
n的平均数为a，中位数为b，众数为c，则n个新数据5x1，5x2，5x3，…，5xn的平均数为________，中位数为________，众数为________．
3.一组数据：2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．5
4某电脑公司的王经理对2015年4月份电脑的销售情况做了调查，情况如下表：
每台价格(元)
6000
4500
3800
3000
销售量(台)
20
40
60
30
请你回答下列问题：
(1)2015年4月份该电脑公司销售电脑价格的众数是________，本月平均每天销售电脑________台；
(2)如果你是该公司的经理，根据以上信息，应该如何组织货源？
5.某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
求这15名营销人员该月的销量的平均数、中位数、众数．
(2)假设销售部负责人把每名营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由．
当堂检测参考答案：
1.12
14
2.5a　5b　5c
3.B
4.(1)3800　5
(2)根据各种价位的电脑销售量的比重，在组织货源时将6000元，4500元，3800元，3000元的电脑的比例分别设置为，，，.
5.(1)平均数为
＝320，
即平均数为320件．
中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的月销售额达不到320件，这说明320虽然是所给一组数据的平均数，但受到极端数值的影响，不能反映营销人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210既是中位数，又是众数，且是大部分销售员能达到的定额．
自主学习
合作探究
当堂检测28.5
弧长和扇形面积的计算
学习目标：
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算.
2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算.
3能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.
学习重点：扇形的弧长和面积的计算公式的推导.
学习难点：扇形的弧长和面积的计算公式的运用.
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一、知识链接
1.圆的半径为r，则圆的周长公式为______,圆的面积公式为________.
2.弧是圆的一部分，弧分为_____和_______.
二、新知预习
3.【概念学习】一条弧和经过这条弧两个端点
( http: / / www.21cnjy.com )的半径所组成的图形叫做扇形.如图，在同一圆中，一个扇形对应一个圆心角，反过来一个圆心角对应一个扇形.
4.扇形的面积如何计算呢？
已知半径为r的⊙O，它的周长为2πr，面积为πr2，圆心角为360°.
按下表给定的圆心角，计算所对的弧长及扇形的面积，填写下表：
给定的圆心角
180°
90°
1°
n°
占整个圆的比例
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
所对的弧长
2πr÷2=πr
？
扇形的面积
πr2÷2
？
【归纳】设n°圆心角所对的弧的长度为l,所对扇形的面积为S,则
l=___________________.
S=__________或_________.
5.【概念学习】圆锥的相关概念
(1)我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线（如图PA）,圆锥的顶点与地面圆心之间的线段叫做圆锥的高（如图PO）.
(2)我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样的道理，要求圆锥的侧面积，需沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个______.
(3)设圆锥的母线长为L，底面
( http: / / www.21cnjy.com )圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径即为圆锥的母线长为________，这个扇形的弧长是圆锥地面圆的__________.
三、自学自测
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_
.
2.已知扇形面积为
( http: / / www.21cnjy.com )
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：扇形的面积及弧长
（一）扇形的弧长
例1：在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
【归纳总结】半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长关键弄清
公式中各项字母的含义．
【针对训练】
如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm.
例2：如图，Rt△ABC的边BC位于直线l
( http: / / www.21cnjy.com )上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
【归纳总结】此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
【针对训练】
1.如图，将边长为cm的正方形A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD沿直线l向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是__________cm.(结果保留π)
（二）扇形的面积
例3：指一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)
【归纳总结】公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．
【针对训练】
2.如图，把一个斜边长为
( http: / / www.21cnjy.com )2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是(　　)
A．π　　　　　　B.
C.＋
D.＋
例4：如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．πcm2
B.πcm2
C.cm2
D.cm2
【归纳总结】求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．
【针对训练】
3.如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．
探究点2：圆锥侧面展开图的相关计算
例5：小红要过生日了，为了筹备生
( http: / / www.21cnjy.com )日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为(　　)
A．270πcm2
B．540πcm2
C．135πcm2
D．216πcm2
【归纳总结】把圆锥侧面问题转
( http: / / www.21cnjy.com )化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决
例6：小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是(　　)
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．2cm
【归纳总结】1.圆锥的母线长为扇形的半径；2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
【针对训练】
4.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（
）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
5.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是(　　)
A．120°
B．180°
C．240°
D．300°
在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为
80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（
）
A．228°
B．144°
C．72°
D．36°
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高
为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
二、课堂小结
内容
运用策略
弧长公式
n°的圆心角所对的弧长为______.
在弧长公式__________中有三个量，l，n，R，已知其中的任意两个量即可求第三个量
扇形面积
圆心角为n°的扇形面积公式是______;扇形面积的另一计算公式是_____________.
扇形的面积公式可以与三角形的面积公式类比记忆，扇环的面积____________,其中_____分别为两个扇环的弧长，_____为两个扇形的半径差
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长l，底面圆的半径为r，因此圆锥的侧面积为_______，圆锥的全面积为______.
在计算圆锥的侧面积时候，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线长当成扇形的弧长.
几种常见于扇形相关的阴影部分面积的求法
1.(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为_______．
2.已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于__________．
3.有一个底面半径为3cm、母线长为10cm的圆锥，则其侧面积是__________cm2.
4.如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5.如图所示的5个半圆，邻近的两半圆相切
( http: / / www.21cnjy.com )，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿弧ADA1，弧A1EA2，弧A2FA3，弧A3GB的路线爬行，乙虫沿弧ACB的路爬行，则下列结论正确的是(　　)
甲先到B点
B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B点
D．无法确定
6.某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状大小完全相同的绸扇．学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2所示的一朵圆形的花．请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含π的式子表示)
7.如图，一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆．
求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
∠BAC的度数；
(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．
当堂检测参考答案：
（1）2
（2）60°
2.120°
3.30π
C
C
6.三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆，所以可得扇形的圆心角为120°，
因为大扇形的半径为30cm，
则S大扇形＝＝＝300π，
S小扇形＝＝＝48π，
S绸面＝S大扇形－S小扇形＝300π－48π＝252π，
所以，两把绸扇所需的绸布面积是
2×S绸面＝2×252π＝504π(cm2)．
7.(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l.
∵2πr＝πl，∴＝2.
(2)∵＝2，AO⊥BC，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°.
(3)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3cm，
∴(2r)2＝(3)2＋r2，即4r2＝27＋r2，
解得r＝3(cm)．∴l＝2r＝6(cm)．
∴圆锥的侧面积为×2π×3×6＝18π(cm2)．
自主学习
合作探究
当堂检测25.5
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中对应线段之比
学习目标：
理解并掌握相似三角形中对应高、中线、角平分线之间的关系.
学会相似三角形对应线段间关系的应用.
学习重点：准确找出相似三角形的对应线段.
学习难点：掌握相似三角形的对应线段间的关系及其应用.
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知识链接
全等三角形有哪些性质？全等三角形中的对应高、中线、角平分线之间有何关系？
答：________________________________________.
________________________________________.
如何判定两三角形相似？
答：________________________________________.
新知预习
3.如图△ABC∽△A'B'C'，相似比为
( http: / / www.21cnjy.com )k，AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF和A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的角平分线.
猜想：
（1）AD与A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？
AE与A'E'的比，AF和A'F'的比分别与相似比之间有怎样的关系？
三、自学自测
1.如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角平分线的比等于______.
2.若两个三角形对应边之比为4:3，则它们的对应高之比为________，对应中线之比为________.
3.两个相似三角形对应中线的比为
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，则对应高的比为______
.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相似三角形的性质定理
【证明猜想】
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
（1）AD、A′D′分别为BC,B′C′边上的高，求证：
( http: / / www.21cnjy.com )=k.(提示：运用两角对应相等先证△ABD∽△A′B′D′)
（2）AE、A′E′分别为BC,B′C′边上的中线，求证：
( http: / / www.21cnjy.com )=k.（提示：运用两边对应成比例且夹角相等先证△ABE∽△A′B′E′）
（3）AF、A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.求证：
( http: / / www.21cnjy.com )=k.
【归纳】相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
（一）相似三角形对应高的比等于相似比
例1：已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的值.
【归纳总结】利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.
【针对训练】
1.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
则图中有几对相似三角形.
若AD=9
cm,CD=6
cm,求BD.
（3）若AB=25
cm,BC=15
cm,求BD.
（二）相似三角形对应角平线的比等于相似比
例2：已知两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
【归纳总结】在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
（三）相似三角形对应中线的比等于相似比
例3：已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′.
【归纳总结】相似三角形对应中线的比等于相似比.
【针对训练】
2.若△ABC∽△A′B′
( http: / / www.21cnjy.com )C′,
BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一条中线，AE=2.4cm，则△A′B′C中对应中线A′E′的长是
.
二、课堂小结
相似三角形的性质1
内容
基本图形
内容
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于_________
解题策略
利用相似三角形的性质解题时，一定要注意
( http: / / www.21cnjy.com )“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是
，对应中线的比
是
，对应角平分线的比是
.
2.如图，△ADE∽△ABC，相似比为2:5，则AF：AG=____________.
如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注
( http: / / www.21cnjy.com )的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，它在暗盒中所成像CD的高为16cm，则暗盒宽为_____cm.
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
当堂检测参考答案：
1.2∶3
2∶3
2∶3
2.2:5
3.20
解：∵
△ABC∽△DEF，
　
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( http: / / www.21cnjy.com )
解得,EH＝3.2(cm).
自主学习
合作探究
当堂检测24.2
解一元二次方程
第1课时
配方法
学习目标：
1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.
学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.
学习难点：用配方法解一元二次方程.
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知识链接
36的平方根是_______,49的平方根是________.
若x2=4,则x=_______;若2x2=1,则x=______.
3.根据完全平方公式填空：
⑴
x2＋6x＋9＝﹙
﹚2
⑵
x2－8x＋16＝﹙
﹚2
⑶
x2＋10x＋﹙
﹚2＝﹙
﹚2
⑷
x2－3x
＋﹙
﹚2＝﹙
﹚2
新知预习
3.试着解下列方程：
（1）（x+1）2=4；
把x+1看成一个整体，先由开平方得x+1=______,则x=_______.
【自主归纳】形如x2=p(p≥0
( http: / / www.21cnjy.com ))或（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义用
开平方的方法直接求解，这种解方程的方程叫做直接开平方法.
（2）x2+2x-3=0.
第一步：把常数项移到等式的右边，方程变形为x2+2x=_____
第二步：等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完全平方形式：
x2+2x+_____=______，（想一想，等号两边应同时加上几，依据是什么？）
第三步：用直接开平方法解方程，
（x+____）2=____.开平方可得x+____=±____.
于是可以得到方程的解为________________.
这样，我们就可以得到解方程x2+2x-3=0的一种方法：
【自主归纳】像这种先对原一元二次方程配方,使它一边出现含未知数的一次式的平方后,
再用直接开平方求解的方法叫做配方法.
三、自学自测
1.解下列方程
（1）(x-3)2＝9；
（2）x2－2x+1＝0
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：直接开平方法解一元二次方程
如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=____,或mx+n=_______,即x=________.解一元二次方程的数学思想是“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程.
【针对训练】
1.方程x2－36＝0的解是(　　)
A．x＝6
B．x＝－6
C．x＝4或9
D．x＝±6
2.解下列方程：
（1）（x+2）2=36
（2）x2+6x+9=0.
探究点2：用配方法解一元二次方程
问题2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
x2-10x-11=0；
（2）x2+2x-1=0.
解：移项，得_____________________.
解：移项，得_____________________.
配方，得______________________.
配方，得______________________.
即____________________.
即____________________.
两边开平方，得_____________.
两边开平方，得_____________.
所以___________________.
所以___________________.
【归纳总结】利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
问题2：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例2：用配方法解：2x2+3=6x.
解：移项，并将二次项系数化为1，得_____________.
配方，得______________________.
即____________________.
两边开平方，得_____________.
所以___________________.
【归纳总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1.把常数项移到方程右边，使方程的左边只有二次项和一次项；
2.两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
3.变成(x+a)
2=b的形式．
4.用直接开平方法解这个一元二次方程．
【针对训练】
3.解下列方程：
（1）y2-4y+2=0.
（2）3x2-6x=1.
二、课堂小结
内容
公式
直接开平方法
形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2
( http: / / www.21cnjy.com )=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义用
开平方的方法直接求解，这种解方程的方程叫做直接开平方法
如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=____,或mx+n=_______,即x=________.
配方法
对原一元二次方程配方,使它一边出现含未知数的一次式的平方后,
再用直接开平方求解的方法叫做配方法
用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（
）
（x+1）2=6
B.（x-1）2=6
C.（x+2）2=9
D.（x-2）2=9
将方程x2-6x+7化成（x+m）2=k的形式，则m、k的值分别是（
）
m=3，k=2
B.m=-3，k=-7
C.m=3，k=9
D.m=-3，k=2
用配方法解方程：
（1）3x2-27=0；
（2）x2+6x-7=0；
（3）4x2-2x-1=0；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )
已知两个连续奇数的乘积是195，求这两个数的和.
5.（拓展）用配方法证明：2x2-8x+9恒为正.
当堂检测参考答案：
B
2.D
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )
4.设较小的一个奇数为x，另一个为x+2
( http: / / www.21cnjy.com )，由题意，列方程得：x（x+2）=195，解得x=13或x=-15.所以这两个数的和为28或-28.
自主学习
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第3课时
其他问题
学习目标：
学会一元二次方程解决数字问题、握手问题.
能够根据实际情况对所得结果进行分析决策.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
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知识链接
某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要赛一场，计划安排28场比赛，可邀请多少支球队从参加比赛呢？
设邀请x支球队参加比赛，探究下列问题：
根据“每两个足球队之间都要赛一场”，每支球队都要比赛______场.
用含有x的代数式表示比赛的总场次为__________.于是可以得到方程____________.
新知预习
.新华商场销售某种冰箱,每台进价为
( http: / / www.21cnjy.com )2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
解：
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是_________元，每________台冰箱的销售利润为_________元，平均每天销售冰箱的数量为_________台，
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
三、自学自测
1.如有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：列一元二次方程解决其他问题
问题1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.
解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为______则原数表示为_______,对调后新数表示为_______.
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
【归纳总结】数字排列问题常采用间接设
( http: / / www.21cnjy.com )未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．
【针对训练】
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换为之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数.
问题2：甲型流感病毒的传染性极
( http: / / www.21cnjy.com )强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【针对训练】
1.有一根月季，它的主干长出
( http: / / www.21cnjy.com )若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
问题3：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
【针对训练】
元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
问题4：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
【针对训练】
某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
二、课堂小结
一元一次方程的应用
内容
运用策略
传播、裂变问题
若设每轮传染x人，n轮后被传染的人数为_________.
弄清题意，分清类型
握手问题
x个同学彼此握手，握手册数为__________
比赛场次
x支足球队比赛，单循环赛制时比赛的总场次为________.双循环赛制时比赛的总场次为________.
数字问题
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为________.
某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级一共有_______个班.
经研究发现，若是一个人患上甲型流感，经过两
( http: / / www.21cnjy.com )轮传染后，共有144人患上流感，按照这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后换流感的人数共______人.
3.一个两位是，十位上的数字与个位上的数字
( http: / / www.21cnjy.com )之和是5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积是736，则原来的两位数是_____.
4.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个
( http: / / www.21cnjy.com )顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm
当堂检测参考答案：
1.10
2.11
3.23或32
4.设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，两个数字交换位置后的新两位数为10x＋(14－x)．
根据题意，得10x＋(14－x)－x(14－x)＝38.
整理，得x2－5x－24＝0，解得x1＝8，x2＝－3.
因为个位数上的数字不可能是负数，所以x＝－3应舍去．
当x＝8时，14－x＝6.
所以这个两位数是68.
5.(1)设P，Q两点从出发开始xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.
故(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.
故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.
如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.
在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，
∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.
∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝.
故P，Q两点从出发开始s时，点P和点Q的距离第一次是10cm.
自主学习
合作探究
当堂检测25.5
相似三角形的性质
第2课时
相似三角形的周长和面积之比
学习目标：
理解并掌握相似三角形中对应高、中线、角平分线之间的关系.
学会相似三角形对应线段间关系的应用.
学习重点：准确找出相似三角形的对应线段.
学习难点：掌握相似三角形的对应线段间的关系及其应用.
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已知△ABC≌△DEF，则这两个三角形的周长_______,面积_______.
两个相似三角形的相似比为k,则它们对应边的比等于_______,对应边上的高的比等于_____.
若
( http: / / www.21cnjy.com )=k,则
( http: / / www.21cnjy.com )=________.
新知预习
3.如图△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高.
由△ABC∽△A'B'C'，=_______
由合比的性质可得，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=_________.
△ABC的面积和△A'B'C'的面积之比和它们的相似比有什么关系？
由△ABC∽△A'B'C，AD、A′D′为对应边上的高，则'
( http: / / www.21cnjy.com )=k，又
( http: / / www.21cnjy.com )k,∴
( http: / / www.21cnjy.com )__________=___________.
【归纳】相似三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于____________.
三、自学自测
1.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(　　)
A．1∶2
B．1∶4
C．2∶1
D．4∶1
2.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为__________．
四、我的疑惑
___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相似三角形的周长之比
例1：已知△ABC∽△A′B′C′，AD是
( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长.
【归纳总结】在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在出现问题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.
【针对训练】
两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.若它们的周长之和是120cm，则这两个三角形的周长分别为______和______.
探究点2：相似三角形的面积之比
问题：如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
【归纳总结】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.
【针对训练】
1.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝__________.
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD∶S△BOC＝1∶4，则S△AOD∶S△ACD等于(　　)
A．1∶6
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
3.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是__________．
二、课堂小结
相似三角形的性质2
内容
内容
相似三角形周长的比等于_______，面积的比等于____________.
解题策略
利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
1.
判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（
）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（
）
2.如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(　　)
A．1∶9
B．1∶3
C．1∶8
D．1∶2
3.两个相似三角形对应的中线长分
( http: / / www.21cnjy.com )别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
4.已知：如图，D是△ABC的AB边上的一点，＝＝.
试说明△BCD∽△BAC；
(2)若△BCD的周长是32cm，求△ABC的周长．
当堂检测参考答案：
√
×
2.
B
3.14
( http: / / www.21cnjy.com )
4.(1)∵＝，∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC.
(2)∵△BCD∽△BAC，∴＝.
又∵△BCD的周长是32cm，
自主学习
表示△ABC的周长
表示△A′B′C′的周长
合作探究
当堂检测24.3
一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.
学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.
学习难点：用配方法解一元二次方程.
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1.(1)一元二次方程的一般形式是________________.
(2)一元二次方程的求根公式是_________________.
2.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=_____，x2=_____.
方程（x-2）（x-3）=0可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2=________,x1x2=______.
新知预习
【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们
一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【自主探究一】
【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.
【自主探究二】
【猜想1】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.
三、自学自测
1.已知是x1，x2方程x2+3x-4=0的两根，则x1+x2=________,x1x2=______.
2.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的（1）平方和；（2）倒数和.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个分别为x1，x2，
求x1+x2,x1x2的值.
（1）根据公式法，我们可以知道x1=_____，x2=_____.
（2）则x1+x2=________,x1x2=______.
一元二次方程根与系数的关系
( http: / / www.21cnjy.com )
例1：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=________,x1x2=______.
( http: / / www.21cnjy.com )=____________=______________;
( http: / / www.21cnjy.com )=____________=______________;
【归纳总结】配方解决此类问题先要确定a，b，c的值，再求出的x1+x2,x1x2值，最后将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.
【针对训练】
1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋α
β＋β2的值为(　　)
A．－1
B．9
C．23
D．27
2.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．
探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用
例2：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )的一个根是－3，求另一根及k的值.
解：方法一
方法二
【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.
【针对训练】
1.已知
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值
2.关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根分别是
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
二、课堂小结
根与系数的关系
公式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
应用
应用前提
方程必须有解
应用形式
①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）
1.若方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
.
2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是(　　)
A．7
B．－7
C．11
D．－11
3.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．
(1)x·x2＋x1·x；
|x1－x2|.
4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．
已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；
(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．
当堂检测参考答案：
-1
2.A
3.x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)
2－4×＝4＋6＝10.
故|x1－x2|＝.
4.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.
又3x1·x2－x1＞x2，
∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.
而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，
∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.
∴＜k≤3，
∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．
5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，
其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，
∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，
且a＜b＜c，
∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.
∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．
(2)∵x1＋x2＝，x1·x2＝，
又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，
∴x＋x＝－4.
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合作探究
当堂检测25.4
相似三角形的判定
第2课时
利用边及夹角判定两三角形相似
学习目标：
学习并掌握相似三角形判定定理2
学会相似三角形的判定定理2的应用.
学习重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角.
学习难点：掌握相似三角形判定定理2及其应用.
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1.平行于三角形一边的直线与其他两边（或
）相交，截得的三角形与原三角形
.
2.如果一个三角形的两个角
( http: / / www.21cnjy.com )分别与另一个三角形的两个角
，那么这两个三角形相似（可简单说成：
）.
新知预习
如图，画出△ABC和△A'B'C'，使∠A'=∠A,
( http: / / www.21cnjy.com )=2.
比较∠C'=∠C（或∠C'=∠C）的大小；
答：________________________________________.
由比较的结果，能判定△ABC和△A'B'C'相似吗？
答：________________________________________.
如果改变对应边的比值和夹角的度数（但保持夹角相等），再画出两个三角形，它们形似吗？
答：________________________________________.
【猜想】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：利用两边及夹角判定两三角形相似
例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
( http: / / www.21cnjy.com )，求AD的长．
【归纳总结】条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.
【针对训练】
如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（　　）
A.AB·CD＝BD·BC
B.AC·CB＝CA·CD
C.BC2＝AC·DC
D.BD2＝CD·DA
例2：如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
【针对训练】
1.如图，D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
( http: / / www.21cnjy.com )，求AD的长．
二、课堂小结
相似三角形的判定2
所需条件
图例
斜交型
图1中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.图2中，∠A为公共角，若_____=_____,△ADC∽△ACB.图3中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.图4中，∠1和∠2为对顶角，若_____=_____,△ABE∽△DCE.
旋转型
如图，已知∠1=∠2，则∠_____=∠_____.若_______=_______,△ABC∽△A'B'C'.
如图，线段AC和BD相交于点O
( http: / / www.21cnjy.com )，且OA=12，OC=54，OB=18，OD=36，则△ABO与△DCO_________相似（填“一定”或“不”）.
如图，BP平分∠ABC,AB=4,BC=6,当BD=_______时，△ABD∽△DBC.
3.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=105°，AC=4cm，AB=6cm，DE=3cm，则DF=________时，△ABC与△DEF.
4.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
当堂检测参考答案：
1.一定
2.
3.2cm或
( http: / / www.21cnjy.com )cm
4.设经过t
s后，△PBQ与△ABC相似.
（1）当＝时，
△PBQ∽△ABC.
此时＝，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似；
（2）当＝时，△PBQ∽△CBA.
此时＝，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.
综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似.
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合作探究
当堂检测28.2
过三点的圆
学习目标：
1.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.用.
2.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.
学习重点：经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程..
学习难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.
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一、知识链接
1.过_____点能确定一条直线.
2.过三点能够作_____条直线.
3.过一点可以画出_____个圆.
4.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个交点到三角形三个顶点的距离_______.
二、新知预习
2.如图，平面上有两点A，B，过A，B的圆有多少个？这些圆的圆心到AB的距离具有怎样的关系？圆心是否在线段AB的垂直平分线上？
如图，平面上三点A，B，C不在同一条直线上
( http: / / www.21cnjy.com )，过点ABC的圆是否存在？如果存在，这样的圆有多少个？你能确定经过A，B，C三点的圆的圆心及半径吗？
当在A，B，C同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？
( http: / / www.21cnjy.com )
我们发现：过两点A，B的圆也有_____个，这些圆的圆心都在线段AB的________上，过不在同一直线上的三点A，B，C的圆________，这个圆的圆心为线段AB，BC的_______的交点.过在同一条直线上的三点的圆不存在.
( http: / / www.21cnjy.com )
三、自学自测
1.经过一点的圆有_______个，经过两点的圆有_______
个.
2.若平面上A、B、C三点所满足的条件是__________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：以三点确定圆
例1：下列给定的三点能确定一个圆的是(　　)
A．线段AB的中点C及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
【归纳总结】“不在同一直线上”这个条件非常重要，千万不能漏掉.
【针对训练】
1.A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
2.如图为一残破古物，请做出它的圆心
探究点2：三角形的外接圆及外心
【问题1】用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知：如图，△ABC.
求作：⊙O，使它过三点A，B，C.
作法：（1）分别作线段AB和BC的________l1和l2，设l1与l2相交于点O.
（2）以点O为圆心，_______为半径画圆，⊙O即为所求.
【归纳】
（1）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做是三角形的外心.
（2）由作图可知，三角形的外心是三角形三条角平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
【问题2】分别画出以下三个三角形的外接圆，并观察三角形外心的位置与三角形形状之间的关系.
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
【归纳】直角三角形的外心在三角形的斜边中点上，锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部.
例2：三角形的外心具有的性质是（　　）
到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
【归纳总结】无论哪种三角形，它
( http: / / www.21cnjy.com )们的外心都在任意两边的垂直平分线的交点处，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
【针对训练】
1.等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（
）
A.重心
B．垂心
C．外心
D．无法确定
2.
如图，有A，
( http: / / www.21cnjy.com )，Ｃ三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处二、课堂小结
内容
图示
以三点确定圆
_________的三点确定一个圆.
.
三角形的外接圆及外心
经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的________，外接圆的圆心叫做是三角形的__________.
1.如图，,已知一条直线l和直线l外两定点A、B，且AB在l两旁，则经过A、B两点且圆心在l上面的圆有（　　）
A．0个
B．1个
C．无数个
D．0个或1个或无数个
2.边长为2的等边
( http: / / www.21cnjy.com )内接于
( http: / / www.21cnjy.com )，则圆心O到
( http: / / www.21cnjy.com )一边的距离为________。
3.如果三角形三条边长分别为5，12，13
，那么这个三角形外接圆半径的长为_____。
4.．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
5.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为
( http: / / www.21cnjy.com )，求它的外接圆直径.
当堂检测参考答案：
B
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.6.5
4.设经过A，B两点的直线表达式为y＝kx＋b，
由A(2，3)，B(－3，－7)，
得解得
∴经过A，B两点的直线表达式为y＝2x－1；
当x＝5时y＝2x－1＝2×5－1＝9≠11，
所以点C(5，11)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
解：如图，连结OA、OB，
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( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )为等边三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )外接圆直径为20cm..
自主学习
合作探究
A
B
C
当堂检测27.2
反比例函数的图像和性质
第2课时
反比例函数的性质
学习目标：
1.根据反比例函数的图像归纳出反比例函数的性质.
2.能够结合反比例函数的图像和性质解决问题.
学习重点：反比例函数的性质.
学习难点：反比例函数的图像和性质的运用.
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一、知识链接
1.在直角坐标系中作出反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的图像.
二、新知预习
2.根据1中得到的图像，完成下表：
表达式
图像的位置
y随x的变化情况
( http: / / www.21cnjy.com )
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
( http: / / www.21cnjy.com )
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
( http: / / www.21cnjy.com )
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
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在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
【归纳】反比例函数的性质:
反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像，当k>0时,图像位于第____、____象限，在每一象限内，y的值随x的增大而____；
当k<0时，图象位于第____、____象限，y的值随x的增大而____.
三、自学自测
1.下列函数中，其图象位于第一，三象限的有
；在其图象所在象限内，
y的值随x值的增大而增大的有
。
①
y=
( http: / / www.21cnjy.com )
②
y=
( http: / / www.21cnjy.com )
③
y=
( http: / / www.21cnjy.com )
④
y=
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
已知点(
2,
y1),
(
3,
y2
)在反比例函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的图象上，则y1
y2.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点：反比例函数的性质
问题1：
在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
－1
B.0
C.1
D.2
【归纳总结】反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
【针对训练】
问题2：在反比例函数y＝－的图象上有三点（
( http: / / www.21cnjy.com )x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（　　）
A.y3＞y1＞y2
B.y3＞y2＞y1
C.y1＞y2＞y3
D.y1＞y3＞y2
【归纳总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.
【针对训练】
已知点(
x1,
y1),
(x2,
y2
)都在反比例函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的图象上，且x1＜x2＜0,则
y1
y2
问题3：如图，两个反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内的图象分别是
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )，设点P在
( http: / / www.21cnjy.com )上，PA⊥x轴于点A，交
( http: / / www.21cnjy.com )于点B，则△POB的面积为_______.
【归纳总结】
求阴影部分的面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用“割补法”的方法，将它转化为易求面积的图形面积的和或差来进行计算.
【针对训练】
反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为　　　　　　　　　.
二、课堂小结
反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
图象
性质
在第_____象限内，函数值y随自变量x的增大而_____.
在第_____限内，函数值y随自变量x的增大而_____.
k的几何意义
( http: / / www.21cnjy.com )
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1.对于反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )，下列说法不正确的是（
）
A．点
( http: / / www.21cnjy.com )在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )随
( http: / / www.21cnjy.com )的增大而增大
D．当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )随
( http: / / www.21cnjy.com )的增大而减小
2.已知点A（
( http: / / www.21cnjy.com )）、B（
( http: / / www.21cnjy.com )）是反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）图象上的两点，
若
( http: / / www.21cnjy.com )，则(
)　
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.在反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是
.
4.
已知点（-m，n）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点
。
5.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝的图象经过点B（x0，y0），则k的值为　　　　.
6.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y＝(k≠0)的图像经过点(1，4)，菱形OABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上．
求反比例函数的表达式；
直接写出菱形OABC的面积．
当堂检测参考答案：
C
2.A
3.k>3
4.（m，-n）
5.-1
6.(1)∵y＝的图像经过点(1，4)，∴4＝，即k＝4.∴所求反比例函数的表达式为y＝.
(2)S菱形OABC＝8.
自主学习
合作探究
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