高中数学第一章三角函数（课件教案学案）（打包34套）苏教版必修4

(共31张PPT)
1．3.2　三角函数的图象与性质(一)
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的图象特征．
2．理解正弦函数、余弦函数的性质．(重点、难点)
3．掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.(重点)
学法指导
1.研究函数的性质常常以图象直观为基础，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法．正弦函数和余弦函数的学习也是如此．
2．利用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象是本节的重点，也是进一步通过正弦函数图象和余弦函数图象研究正、余弦函数性质的基础和前提，“五点法”作图的基本步骤和要领应熟练掌握.
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
2.正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数y＝sin
x
余弦函数y＝cos
x
图象
定义域
____________
____________
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
R
函数
正弦函数y＝sin
x
余弦函数y＝cos
x
最值
当_________________时,
ymax＝1；
当__________________时,
ymin＝－1
当_________________时,
ymax＝1；
当_________________时,
ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
x＝＋2kπ(k∈Z)
x＝－＋2kπ(k∈Z)
x＝2kπ(k∈Z)
x＝(2k＋1)π(k∈Z)
函数
正弦函数y＝sin
x
余弦函数y＝cos
x
奇偶性
____函数，图象关于_____对称
____函数，图象关于______对称
单调性
奇
原点
偶
y轴
1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法是________．
(填“正确”或“不正确”)
不正确
解析：函数y＝－2sin
x的图象与函数y＝2sin
x的图象关于x轴对称．
2个
4．若f(x)＝asin
x＋3cos
x是偶函数，则实数a＝________.
解析：因为y＝sin
x是奇函数，而y＝cos
x是偶函数，
所以
a
＝0.
0
用“五点法”作简图
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin
x(0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cos
x(0≤x≤2π)．
(链接教材P30例1)
描点作图，如图：
描点作图，如图：
三角函数的单调性
方法归纳
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的
单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
三角函数的值域、最值问题
规范解答
三角函数单调性的应用
易错警示
因忽略三角函数的有界性而出错
[错因与防范]　(1)易错把题中函数与通常的二次函
数等
同
起来，它们虽有相似之处但也有严格的区分，
忽
视
了－1≤sin
x≤1这一隐含条件．
(2)正、余弦的值域固定在某一个确定的范围内，在解三角
函数题时，一定要深入挖掘条件中由正、余弦函数有界性产
生的隐含因素，否则就会扩大解集，造成解题的失误．1.3.2　三角函数的图象与性质
教学分析　　　　　
研究函数的性质常常以直观图象为基础，
( http: / / www.21cnjy.com )这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这
( http: / / www.21cnjy.com )也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角
( http: / / www.21cnjy.com )度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．
三维目标　　　　　
1．通过实验演示，让学生经历图象画法
( http: / / www.21cnjy.com )的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．
2．通过学习本节，理解正
( http: / / www.21cnjy.com )弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．
3．组织学生通过观察这三种函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．
重点难点　　　　　
教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．
2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．
教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．
2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．
课时安排　　　　　
3课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非
( http: / / www.21cnjy.com )常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．
思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底
( http: / / www.21cnjy.com )部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．
有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图
( http: / / www.21cnjy.com )象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．
推进新课　　　　　
教师先让学生阅读教材、思考讨
( http: / / www.21cnjy.com )论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，就很容易得到y＝sinx，x∈R时的图象了．
第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12
( http: / / www.21cnjy.com )等份，再把x轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于0、、、、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y＝sinx在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．
图1
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所
( http: / / www.21cnjy.com )以函数y＝sinx在x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0上的图象与函数y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．
图2
教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函
( http: / / www.21cnjy.com )数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．
把正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.
图3
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y＝sinx在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：
(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先
( http: / / www.21cnjy.com )找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．
例1课本本节例1.
变式训练
1．画出下列函数的简图：
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．
解：(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).
图4
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
－cosx
－1
0
1
0
－1
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．
图5
点评：“五点法”是画正弦函数、余弦
( http: / / www.21cnjy.com )函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．
2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．
解：列表取点如下：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
1
0
－
0
1
描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图7.
　　　
图6　　　　
　　
　　　图7
例2画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．
进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．
让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点
( http: / / www.21cnjy.com )起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．
解：按三个关键点列表：
x
0
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．
图8
点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.
变式训练
1．方程sinx＝的根的个数为(　　)
A．7　　　　　　B．8　　　　　　C．9　　　　　　D．10
解：这是一个超越方程，无法直接求
( http: / / www.21cnjy.com )解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y＝的图象与y＝sinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.
图9
答案：A
2．用“五点法”作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是(　　)
A．0，，π，，2π　　　　　　　
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
答案：B
课本本节练习2、3.
以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．
1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？
2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法
( http: / / www.21cnjy.com )．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课本习题1.3　2.
1．本节课操作性强，学生活动量较大．新
( http: / / www.21cnjy.com )课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．
2．本节课所画的图象较多，能迅
( http: / / www.21cnjy.com )速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．
备用习题
1．用“五点法”画出下列函数的图象：
(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝＋sinx，x∈[0,2π]．
2．方程2x＝cosx的解的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．无穷多个
3．图10中的曲线对应的函数解析式是(　　)
图10
A．y＝|sinx|
B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x|
D．y＝－|sinx|
4．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤.
参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：
x
0
π
2π
y＝2－sinx
2
1
2
3
2
y＝＋sinx
－
在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．
(1)如图11.
图11
(2)如图12.
图12
2．D　3.C
4．解：如图13.
图13
解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}或{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴
( http: / / www.21cnjy.com )也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．
由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口
( http: / / www.21cnjy.com )的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
d
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直
( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sint，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．
图14
由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．
(2)利用这个函数及其简
( http: / / www.21cnjy.com )图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4
m，安全条例规定至少要有1.5
m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3
m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．
不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初
( http: / / www.21cnjy.com )一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的
( http: / / www.21cnjy.com )性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．
思路2.(直接导入)研究函数就是
( http: / / www.21cnjy.com )要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．
推进新课　　　　　
由正弦函数、余弦函数图象归纳它们的性质，并利用正、余弦函数的性质解决一些简单的问题．
在研究正弦、余弦函数图象与性质时，教
( http: / / www.21cnjy.com )师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．
学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义
( http: / / www.21cnjy.com )域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕；很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：
∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，
∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，
即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R：
(1)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R：
(1)当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
关于正、余弦函数的变化趋势教
( http: / / www.21cnjy.com )师可引导、点拨学生先截取一段图象来看，选哪一段呢？如图1，通过学生充分讨论后确定：选图象上的[－，]这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．
这个变化情况也可从下表中显示出来：
x
－
…
0
…
…
π
…
sinx
－1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
－1
就是说，函数y＝sinx，x∈[－，]．
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
类似地，同样可得y＝cosx，x∈[－
( http: / / www.21cnjy.com )π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图3，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．
图3
并引导学生列出下表：
x
－π
…
－
…
0
…
…
π
cosx
－1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
－1
结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2k
( http: / / www.21cnjy.com )π](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
关于对称性，学生能直观地得
( http: / / www.21cnjy.com )出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．在R上，y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？
由诱导公式：
∵sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，
∴y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．
至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线
( http: / / www.21cnjy.com )、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝对称，余弦曲线还关于点(，0)对称，等等，这是由它的周期性而来的；教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打下伏笔．
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数
( http: / / www.21cnjy.com )性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．
由此可看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响？
最后教师与学生一起归纳总结并填写如下表格(或打出幻灯)：
思路1
例1课本本节例2.
变式训练　下列函数有最大值
( http: / / www.21cnjy.com )、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}.　　　函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.(2)令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是{z|z＝－＋2kπ，k∈Z}；由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}．同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不惟一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，一般通过变量代换(如设z＝ωx＋φ化归为y＝Asinz＋B的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.
例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin(－)与sin(－)；(2)cos(－)与cos(－)．
活动：学生很容易回忆起利用指数函数
( http: / / www.21cnjy.com )、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为在同一个单调区间，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．
解：(1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间[－，0]上是增函数，
所以sin(－)>sin(－)．
(2)cos(－)＝cos＝cos，
cos(－)＝cos＝cos.
因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，
所以cos>cos，
即cos(－)点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到
( http: / / www.21cnjy.com )的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos>0，cos<0，显然大小可判．
例3见课本本节例3.
变式训练　求函数y＝sin(x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来
( http: / / www.21cnjy.com )求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把x＋看作z，这样问题就转化为求y＝sinz的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z＝x＋.函数y＝sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]．由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.由x∈[－2π，2π]，可知－2π≤－＋4kπ且＋4kπ≤2π，于是－≤k≤，由于k∈Z，所以k＝0，即取k＝0，得－≤x≤.而[－，][－2π，2π]，因此，函数y＝sin(＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－，]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化.
思路2
例1求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当地指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1，
即x≠＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}．
(2)由cosx≥0，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．
例2在下列区间中，函数y＝sin(x＋)的单调增区间是(　　)
A．[，π]
B．[0，]
C．[－π，0]
D．[，]
活动：函数y＝sin(x＋)是一个复合函数，
即y＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x＋，
欲求y＝sin(x＋)的单调增区间，
因φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，
故应求使y随φ(x)递增而递增的区间．
也可从转化与化归思想的角度考虑，
即把x＋看成一个整体，其道理是一样的．
解：∵φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，
又y＝sinx在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是递增的，
故令2kπ－≤x＋≤2kπ＋.
∴2kπ－≤x≤2kπ＋.
∴y＝sin(x＋)的递增区间是[2kπ－，2kπ＋]．
取k＝－1、0、1分别得[－，－]、[－，]、[，]，对照选择肢，可知应选B.
答案：B
点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用
( http: / / www.21cnjy.com )y＝Asin(ωx＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．
解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：
(1)求定义域；
(2)确定复合过程，y＝f(t)，t＝φ(x)；
(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；
(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范围；
(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．
结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练1．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是(　　)A．x＝－　　
B．x＝－　　
C．x＝　　
D．x＝解析：方法一：y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为x＝－π(k∈Z)，令k＝1，得x＝－，对于B、C、D都无整数k对应．方法二：y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为x＝(k∈Z)，令k＝－1，得x＝－，对于B、C、D都无整数k对应．答案：A2．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么(　　)A．T＝2，θ＝　　　　　　　
　B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝π
D．T＝1，θ＝解析：T＝＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，要使上式取得最大值，可取θ＝.答案：A3．求函数y＝sin(－)的单调递减区间及单调递增区间．解：y＝sin(－)＝－sin(－)，由2kπ－≤－≤2kπ＋，可得3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)为单调减区间；由2kπ＋≤－≤2kπ＋，可得3kπ＋≤x≤3kπ＋(k∈Z)为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3kπ－，3kπ＋](k∈Z)；原函数的单调增区间为[3kπ＋，3kπ＋](k∈Z).
课本练习1、4、5、6、7.
1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些
( http: / / www.21cnjy.com )数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．
2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比的思想方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝.
解答：(1)函数的定义域为R，它关于原点对称．
∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，
f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，
∴函数为偶函数．
(2)函数应满足1－sinx≠0，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋，k∈Z}．
∵函数的定义域关于原点不对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
1．本节是三角函数的重点
( http: / / www.21cnjy.com )内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．
2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学
( http: / / www.21cnjy.com )生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．
3．学习三角函数性质后，引导学生对过去
( http: / / www.21cnjy.com )所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．
二、备用习题
1．函数y＝sin(－2x)的单调减区间是(　　)
A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
B．[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
2．满足sin(x－)≥的x的集合是(　　)
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
3．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lgsinx；(2)y＝2.
4．已知函数y＝f(x)的定义域是[0，]，求下列函数的定义域：
(1)f(cos2x)；(2)f(sin2x－)．
5．已知函数f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )|sinx－cosx|.
(1)求出它的定义域和值域；
(2)指出它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)求出它的周期．
6．求函数y＝sin2x＋psinx＋q(p、q∈R)的最值．
7．若cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，试求实数m的取值范围．
8．求函数y＝lgsin(－)的单调增区间，以下甲、乙、丙有三种解法，请给予评判．
同学甲：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t＝sin(－)的增区间．
又sinμ的增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，
∴－＋2kπ≤－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
同学乙：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t的增区间．
∵t＝sin(－)＝cos(＋)，∴只需求出cos(＋)的增区间，
由于cosμ的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
∴2kπ－π≤＋≤2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )4kπ－≤x≤4kπ－(k∈Z)．
∴原函数的增区间为[4kπ－，4kπ－](k∈Z)．
同学丙：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间是使t>0且t为增函数的x的范围．
∵t＝sin(－)＝cos(＋)，
∴只需求出使t＝cos(＋)>0且t为增函数的x的区间，
于是有2kπ－<＋≤2kπ?4kπ－∴原函数的增区间为(4kπ－，4kπ－](k∈Z)．
参考答案：1.D　2.A
3．解：(1)由题意得sinx>0，∴2kπ又∵0故函数的定义域为[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z，值域为(－∞，0]．
(2)由题意得cos3x≥0，
∴2kπ－≤3x≤2kπ＋，k∈Z.
∴－≤x≤＋，k∈Z.
又∵0≤cos3x≤1，∴0≤2≤2.
故函数的定义域为[－，＋]，k∈Z，值域为[0,2]．
4．解：(1)由题意得0≤cos2x≤，∴－≤cosx≤.
利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象，可得
x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(2)由题意得0≤sin2x－≤，∴－≤sinx≤－或≤sinx≤
.
∴x∈[kπ＋，kπ＋]∪[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
5．解：f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )|sinx－cosx|＝
( http: / / www.21cnjy.com )|sin(x－)|.
(1)它的定义域应满足sin(x－)≠0，x－≠kπ，x≠kπ＋(k∈Z)，
故定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
∵|sinx－cosx|＝|sin(x－)|，
∴0≤|sinx－cosx|≤.
根据y＝
( http: / / www.21cnjy.com )t，t∈(0，＋∞)是减函数，可知
( http: / / www.21cnjy.com )|sinx－cosx|≥
( http: / / www.21cnjy.com )＝－，
故值域为[－，＋∞)．
(2)函数的单调增区间是[kπ－，kπ＋)(k∈Z)，单调减区间是(kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)由于其定义域关于原点不对称，∴此函数非奇非偶．
(4)由于y＝|sinx|的周期为π，故原函数的周期为π.
6．解：y＝sin2x＋psinx＋q＝(sinx＋)2＋，令t＝sinx.
若－>1，即p<－2，则当t＝sinx＝1时，ymin＝1＋p＋q，当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；
若－1≤－≤1，即－2≤p
( http: / / www.21cnjy.com )≤2，则当t＝sinx＝－时，ymin＝，并且若－1≤－≤0，即0≤p≤2，则当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q；
若0<－≤1，即－2≤p<0，则当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；
若－<－1，即p>2，则当t＝sinx＝－1时，ymin＝1－p＋q；当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q.
7．解：令sinθ＝t，则－1≤t≤1.
要使cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，即sin2θ－2msinθ＋2m＋1>0恒成立．
设f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，则只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立即可．
由于f(t)＝(t－m)2＋2m＋1－m2(－1≤t≤1)，∴只要f(t)的最小值大于零即可．
若m<－1，则当t＝－1时，f(t)min＝2＋4m，令2＋4m>0，得m>－，这与m<－1矛盾，故舍去；
若－1≤m≤1，则当t＝m时，f(t)min＝－m2＋2m＋1，令－m2＋2m＋1>0，
解得1－∴1－若m>1，则当t＝1时，f(t)min＝2>0，∴m>1.
综上所述，m>1－.
8．解：由于函数的单调区间是其定义域的
( http: / / www.21cnjy.com )子区间，该函数的定义域是使sin(－)>0的x的取值范围，甲、乙两名同学都没有考虑到定义域，因此其解法是错误的；同时，甲同学还有一处错误，即sinμ的增区间不是t的增区间(因为μ＝－中μ是自变量x的减函数)．丙生既考虑了函数的定义域，也考虑到将x的系数变为正数，其解法是正确的．
第3课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)常见的三
( http: / / www.21cnjy.com )角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．
思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．
推进新课　　　　　
正切函数的图象及其应用．我们通
( http: / / www.21cnjy.com )过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．我们可以运用类比的方法先探究出正切函数的性质．
由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π.
这里可通过多媒体课件演示
( http: / / www.21cnjy.com )，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．
引导学生作出正切线，并观察它的变化规律．如图1.
图1
画正切函数图象选用哪个区间作为代表区
( http: / / www.21cnjy.com )间更加自然呢？引导学生在课堂上展开充分讨论，体现“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－，]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－，)的图象为好．这时条件成熟，引导学生来作正切函数的图象．如图2.
根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图3.
引导学生进一步观察正切曲线，点拨学生讨论思
( http: / / www.21cnjy.com )考只需确定哪些点或线就能画出函数y＝tanx，x∈(－，)上的简图？学生可看出有三个点很关键：(－，－1)，(0,0)，(，1)，还有两条竖线．因此画正切函数简图的方法就是：先描三点(－，－1)，(0,0)，(，1)，再画两条平行线x＝－，x＝，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．
从图中可以看出，正切曲线是被相
( http: / / www.21cnjy.com )互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质？(定义域)；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线？(渐近线)；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质？(值域为R)；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质？(周期π)；在每个区间上，图象都呈上升趋势，得到它的哪一性质？(单调性)，单调增区间是(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，没有减区间；它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质？(奇函数)．通过图象我们还能发现它是中心对称的，对称中心是(，0)，k∈Z.
由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下：
(1)定义域：{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}．
(2)值域：实数集R.
(3)周期性：正切函数是周期为π的周期函数．
(4)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称．
(5)单调性：每个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)都是函数y＝tanx的单调增区间．
注意：正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．
例1不求值，比较下列各组函数值的大小．
(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－)与tan(－)．
活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．
解：(1)∵y＝tanx在90°∴由138°<143°，得tan138°(2)∵tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan，
tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan.
又0<<<，而y＝tanx在(0，)上是增函数，∴tan∴－tan>－tan，即tan(－)>tan(－)．
点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可．
例2见课本本节例4.
变式训练　用图象求函数y＝的定义域．解：由tanx－≥0，得tanx≥，利用图4知，所求定义域为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.
变式训练　根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．(1)1＋tanx≥0；(2)tanx＋＜0.解：(1)tanx≥－1，∴x∈[kπ－，kπ＋)，k∈Z；(2)x∈(kπ－，kπ－)，k∈Z.
变式训练　求函数y＝tan(x＋)的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本题应
( http: / / www.21cnjy.com )用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法了，可以直接将x＋作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x应满足
( http: / / www.21cnjy.com )x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠2k＋，k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}．由于f(x)＝tan(x＋)＝tan(x＋＋π)＝tan[(x＋2)＋]＝f(x＋2)，因此函数的周期为2.由－＋kπ( http: / / www.21cnjy.com )得－＋2k0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝.
变式训练　求函数y＝tan(x＋)的定义域，值域，单调区间，周期性．解：由x＋≠kπ＋，k∈Z，可知定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}，值域：R.由x＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z可得，在x∈(kπ－，kπ＋)上是增函数．周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是π.
思路2
例1把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．
活动：引导学生利用函数y＝tanx的单调性
( http: / / www.21cnjy.com )探究解题方法，也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：
错解1：∵函数y＝tanx是增函数，又1<2<3<4，
∴tan1错解2：∵2和3的终边在第二象限，
∴tan2，tan3都是负数．
∵1和4的终边分别在第一和第三象限，
∴tan1，tan4都是正数．
又∵函数y＝tanx是增函数，且2<3,1<4，
∴tan2教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．
解法1：∵函数y＝tanx在区间(，)上是单调递增函数，
且tan1＝tan(π＋1)，
又<2<3<4<π＋1<，
∴tan2解法2：(如图6)1,2,3,4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4，
图6
∴tan2点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这是学生的易错点．把正切函数y＝tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．
课本练习1～3.
1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，
( http: / / www.21cnjy.com )有哪些启发收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？本节分析类比正弦、余弦函数的图象与性质得出了正切函数的图象与性质．
2．教师点拨，本节研究的过程是
( http: / / www.21cnjy.com )由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？
课本习题1.3　5(5)(6)．
1．本教案的设计背景是刚刚学完
( http: / / www.21cnjy.com )正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计始终是抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．
2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准
( http: / / www.21cnjy.com )备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．
一、关于函数f(x)±g(x)最小正周期的求法
若f(x)和g(x)是三角函数，求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种常用方法．
(一)定义法
例1求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．
解：∵y＝|sinx|＋|cosx|
＝|－sinx|＋|cosx|
＝|cos(x＋)|＋|sin(x＋)|
＝|sin(x＋)|＋|cos(x＋)|，
对定义域内的每一个x，当x增加到x＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.
(二)最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的
( http: / / www.21cnjy.com )两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝.
例2求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期．
解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1＝，T2＝，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝＝2π.
例3求y＝sin3x＋tanx的最小正周期．
解：∵sin3x与tanx的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π，
∴y＝sin3x＋tanx的最小正周期是10π.
(三)图象法
例4求y＝|cosx|的最小正周期.
解：由y＝|cosx|的图象(图7)，可知y＝|cosx|的周期T＝π.
图7
二、备用习题
1．在区间(－，)范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象的交点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．方程x－tanx＝0的实根个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．无穷多个
3．直线y＝a与正切曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的相邻两点间的距离是…
(　　)
A．π
B.
C.
D．与a值有关
4．函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(tanx)的定义域是________．
5．作函数f(x)＝tan|x|的图象，并求出其定义域与值域．
6．已知0<α，β，γ<，且cosα＝tanβ，cosβ＝tanγ，cosγ＝tanα，求证：α＝β＝γ.
参考答案：1.在同一坐标系中，首先作出y＝sinx与y＝tanx在x∈(－，)内的图象，然后扩展，得到它们在x∈(－，)内的图象．
在同一坐标系中，作出y＝sinx与y＝tanx在x∈(－，)内的图象，值得注意的是：
当x∈(0，)时，有sinx然后利用对称性作出x∈(－，)内的两函数图象，如图8，由图象可知它们有三个交点．故选C.
图8
2．设y1＝x，y2＝tanx，则方程x－t
( http: / / www.21cnjy.com )anx＝0的实根的个数问题转化为直线y1＝x与正切曲线y2＝tanx的交点个数问题，在同一坐标系内作出两个函数的图象，根据图象可知选D.
3．本题主要考查正切函数的图象和周期，由图象可以得解．
利用图象，直线y＝a与正切曲线y＝tanωx相交，知两相邻交点间的距离就是此正切曲线的一个最小正周期，故选C.
4．∵函数f(x)的定义域是[0,1]，
∴对于y＝f(tanx)，有0≤tanx≤1，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(tanx)的定义域为[kπ，kπ＋](k∈Z)．
5．函数f(x)＝tan
( http: / / www.21cnjy.com )|x|化为f(x)＝(k∈Z)，其图象如图9，根据图象，可知函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R.
图9
6．∵0<α，β，γ<，不妨设α≤β≤γ，
∵y＝tanx在(0，)上是增函数，
∴tanα≤tanβ≤tanγ.①
又∵y＝cosx在(0，)上是减函数，∴cosα≥cosβ≥cosγ.
由题设替换，有tanβ≥tanγ≥tanα，②
由①②得tanβ＝tanγ，∴β＝γ.
∴cosα＝cosβ＝tanβ＝tanγ，∴α＝β＝γ.1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
教学分析　　　　　
本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化
( http: / / www.21cnjy.com )时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．
如何经过变换由正弦函数y＝sinx
( http: / / www.21cnjy.com )来获取函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象呢？通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．
本节课建议充分利用多媒体，倡
( http: / / www.21cnjy.com )导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换，通过“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在．本节课的难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的变换成为突破本节课教学难点的关键．
三维目标　　　　　
1．通过学生自主探究，理解φ
( http: / / www.21cnjy.com )对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
2．通过探究图象变换，会用图象变换法画出y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．
重点难点　　　　　
教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图的作法．
教学难点：由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(情境导入)在物
( http: / / www.21cnjy.com )理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A、ω、φ是常数)．例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示．这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象．揭示课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y
( http: / / www.21cnjy.com )＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
推进新课　　　　　
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象关系
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A
( http: / / www.21cnjy.com )≠1)的图象，可以看作是y＝sinx图象上所有点的纵坐标都伸长(A>1)或缩短(0周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)
( http: / / www.21cnjy.com )的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点的横坐标都缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由于y＝sinx的周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为.
相位变换：y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的
( http: / / www.21cnjy.com )图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象主要有下列两种方法．
分别在y＝sinx和y＝sin(x＋)的图象上恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y＝sin(x＋φ)的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？
利用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y＝
( http: / / www.21cnjy.com )sin(ωx＋φ)的图象的影响，为了作图的方便，先不妨固定为φ＝，从而使y＝sin(ωx＋φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y＝sin(x＋)．
类似地，参数A对y＝sin(2x＋)的图象有什么影响呢？为了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y＝sin(2x＋)的图象之间的关系．
活动：教师先引导学生阅读课本本节开头部分，
( http: / / www.21cnjy.com )并得出：设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝，称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
教师引导学生思考研究问题的方法
( http: / / www.21cnjy.com )，同时引导学生观察y＝sin(x＋)图象上点的坐标和y＝sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的具体认识．然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论．并让学生讨论探究．最后共同总结出：先分别讨论参数φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，然后再整合．
由学生作出φ取不同值时，函数y＝sin(x
( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)的图象，并探究它与y＝sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论．教师引导学生获得更多的关于φ对y＝sin(x＋φ)的图象影响的经验．为了研究的方便，不妨先取φ＝，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系．可以发现，对于同一个y值，y＝sin(x＋)的图象上的点的横坐标总是等于y＝sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A、B的坐标、xB－xA、|AB|的变化情况，这说明y＝sin(x＋)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到，同时多媒体动画演示y＝sinx的图象向左平移，使之与y＝sin(x＋)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解．再取φ＝－，用同样的方法可以得到y＝sinx的图象向右平移后与y＝sin(x－)的图象重合．
图1
如果再变换φ的值，类似的情况将不
( http: / / www.21cnjy.com )断出现，这时φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．
y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
教师指导学生独立或小组合作进行探究ω对图象
( http: / / www.21cnjy.com )的影响，教师作适当指导．注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论．具体过程是：(1)以y＝sin(x＋)为参照，把y＝sin(2x＋)的图象与y＝sin(x＋)的图象作比较，取点A、B观察．发现规律：如图2，对于同一个y值，y＝sin(2x＋)的图象上点的横坐标总是等于y＝sin(x＋)的图象上对应点的倍．教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律．(2)取ω＝，让学生自己比较y＝sin(x＋)的图象与y＝sin(x＋)的图象．教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论：把y＝sin(x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)就得到y＝sin(x＋)的图象．
图2
当取ω为其他值时，观察相应的函数图
( http: / / www.21cnjy.com )象与y＝sin(x＋)的图象的关系，得出类似的结论．这时ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．教师指导学生将上述结论一般化，归纳y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)的图象之间的关系，得出结论：
函数y＝sin(ωx＋φ
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
教师适时点拨学生，探索A对图象的
( http: / / www.21cnjy.com )影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响过程完全一致，鼓励学生独立完成．学生观察y＝3sin(2x＋)的图象和y＝sin(2x＋)的图象之间的关系．如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系．可以发现，对于同一个x值，函数y＝3sin(2x＋)的图象上的点的纵坐标等于函数y＝sin(2x＋)的图象上点的纵坐标的3倍．这说明，y＝3sin(2x＋)的图象，可以看作是把y＝sin(2x＋)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的．通过实验可以看到，A取其他值时也有类似的情况．有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论：
图3
函数y＝Asin(ωx＋φ)
( http: / / www.21cnjy.com )(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y＝A
( http: / / www.21cnjy.com )sin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
最后教师引导学生类比得出，也可先
( http: / / www.21cnjy.com )伸缩后平移，其顺序是：先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移．但学生很容易在第三步出错，在图象变换时，对比变换可以引起学生注意，并体会一些细节．
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数
( http: / / www.21cnjy.com )图象影响的探究．教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．
规律总结
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝Asinx的图象
得y＝Asin(ωx)的图象
得y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
先平移后伸缩的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝sin(x＋φ)的图象
得y＝sin(ωx＋φ)的图象
得y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
　画出函数y＝2sin(x－)的简图．
活动：本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识．
(1)可引导学生从图象变换
( http: / / www.21cnjy.com )的角度来探究，这里的φ＝－，ω＝，A＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y＝2sin(x－)的图象的过程：只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y＝2sin(x－)的图象．如图4所示．
图4
(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生做换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成仔细体会变化的实质．
(3)学生完成以上两种变换后，就得到
( http: / / www.21cnjy.com )了两种画函数y＝2sin(x－)简图的方法，教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y＝2sin(x－)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程．
解：方法一：画出函数y＝2sin(x－)简图的方法为
方法三：(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X＝x－，则x＝3(X＋)．列表：
X
0
π
2π
x
2π
5π
y
0
2
0
－2
0
描点画图，如图5所示．
图5
点评：学生独立完成以上探究后，对整个
( http: / / www.21cnjy.com )的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识．但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x而言，这是个难点，学生极易出错．对于“五点法”作图，要强调：这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．找出它们的方法是先作变量代换，设X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π来确定对应的x值.
变式训练1．为了得到函数y＝sin(＋)，x∈R的图象，只需把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点(　　)A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案：C2.将函数y＝f(x)的图象
( http: / / www.21cnjy.com )沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是(　　)A．y＝sin(2x＋)　　　　　　　
B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(2x＋)
D．y＝sin(2x－)点评：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法．解析：y＝sinx的图象纵
( http: / / www.21cnjy.com )坐标不变，横坐标压缩为原来的，得y＝sin2x；再沿x轴向左平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)．答案：C
例2将函数y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋)＋1的图象？
活动：可以用两种图象变换得到．
( http: / / www.21cnjy.com )但无论哪种变换都是针对字母x而言的．由y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y＝sin2(x＋)而不是y＝sin(2x＋)，把y＝sin(x＋)的图象的横坐标缩小到原来的倍，得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x＋)而不是y＝sin2(x＋)．
解：方法一：①把y＝sinx的图象
( http: / / www.21cnjy.com )沿x轴向左平移个单位长度，得y＝sin(x＋)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的倍，得y＝sin(2x＋)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y＝2sin(2x＋)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y＝2sin(2x＋)＋1的图象．
方法二：①把y＝sinx
( http: / / www.21cnjy.com )的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y＝2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y＝2sin2(x＋)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y＝2sin(2x＋)＋1的图象．
点评：三角函数图象变换是个难点．本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
变式训练　要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象(　　)A．向右平移个单位　　　　　　
B．向右平移个单位C．向左平移个单位　　　　　　　D．向左平移个单位答案：A
课本本节练习1、2、3、4.
1．由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．
2．教师强调，本节课借助于计算机讨
( http: / / www.21cnjy.com )论并画出y＝Asin(ωx＋)的图象，分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想．
1．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象．
2．要得到函数y＝cos(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象通过怎样的变换得到？
3．指出曲线y＝cos2x＋1与余弦曲线y＝cosx的关系．
解答：1.y＝－sin(－2x)＝sin2x，作图过程：y＝sinx
y＝sin2x
y＝sin2x.
2．∵y＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，
∴将曲线y＝sin2x向左平移个单位长度即可．
3．∵y＝cos2x＋1，
∴将余弦曲线y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y＝cos2x＋1.
1．本节图象较多，学生活动量大，因
( http: / / www.21cnjy.com )此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象整体变化的影响．这符合新课标精神，符合教育课改新理念．现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者．
2．对于函数y＝sinx的图象与
( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同．
3．学习过程是一个认知过程
( http: / / www.21cnjy.com )，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量．如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习．
一、关于函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的奇偶性
1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，
( http: / / www.21cnjy.com )则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立；若y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，反之也成立．
2．若函数y＝Acos(ωx＋φ
( http: / / www.21cnjy.com ))是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，反之也成立；若y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立．
以下仅对命题“若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立”给出证明．
若y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则Asin(－ωx＋φ)＝－Asin(ωx＋φ)对x∈R成立，
即sin(ωx－φ)＝sin(ωx＋φ)对x∈R成立．令x＝0，
则sin(－φ)＝sinφ?sinφ＝0，φ＝kπ(k∈Z)．
反之，若φ＝kπ(k∈Z)，
则y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin(ωx＋kπ)＝
∴f(－x)＝＝＝－f(x)．
∴当φ＝kπ(k∈Z)时，y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数．
二、备用习题
1．下列变换中，正确的是(　　)
A．将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B．将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C．将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到y＝sinx的图象
D．将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为(　　)
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(x＋)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x＋)－
3．函数y＝sin(2x－)的图象可由函数y＝sin2x的图象经过下列哪种变换得到……
(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．函数f(x)＝Msin(ωx
( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(其中M>0，ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值M
D．可以取得最小值－M
5．把函数y＝sin(x
( http: / / www.21cnjy.com )＋)的图象向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象对应的函数的解析式为________________．
6．关于y＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题的序号为__________．
7．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”的一个函数是(　　)
A．y＝sin(＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(2x－)
D．y＝cos(2x－)
参考答案：1.A　2.A　3.B　4.C　5.f(x)＝sin(2x＋)　6.②③　7.B
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别
( http: / / www.21cnjy.com )探索了参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响及“五点法”作图．现在我们进一步熟悉掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景．由此展开新课．
思路2.(复习导入)请同学们分
( http: / / www.21cnjy.com )别用图象变换及“五点作图法”画出函数y＝4sin(x－)的简图，学生动手画图，教师适时地点拨、纠正，并让学生回答有关的问题．在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课．
推进新课　　　　　
进一步熟悉并掌握三角函数的图象变换．
练习：(1)在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？
(2)①把函数y＝sin2x的图象向___
( http: / / www.21cnjy.com )_______平移__________个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；②把函数y＝sin3x的图象向__________平移__________个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；③如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x＋)的图象？
(3)将函数y＝f(x)的图象上
( http: / / www.21cnjy.com )各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y＝sinx的图象，试求函数y＝f(x)的解析式．
对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误(多媒体出示各自解法)．
甲生：所给问题即是将y＝sinx的图象先向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin(2x－)，
即y＝－cos2x的图象，∴f(x)＝－cos2x.
乙生：设f(x)＝Asin(ωx
( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝Asin(x＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin(x＋＋φ)＝sinx，∴A＝，＝1，＋φ＝0，
即A＝，ω＝2，φ＝－.∴f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x.
丙生：设f(x)＝Asin
( http: / / www.21cnjy.com )(ωx＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝Asin(x＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin[(x＋)＋φ]＝Asin(x＋＋φ)＝sinx，
∴A＝，＝1，＋φ＝0.
解得A＝，ω＝2，φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x.
活动：通过以上回顾练习，复习巩
( http: / / www.21cnjy.com )固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境．让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变化的影响．引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障．
让学生通过实例综合以上两种变换，再次
( http: / / www.21cnjy.com )回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力．
练习③甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，
( http: / / www.21cnjy.com )即将以上变换倒过来，由y＝sinx变换到y＝f(x)，解答正确．乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y＝Asin(ωx＋φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是：乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y＝Asin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度时，把y＝Asin(x＋φ)函数中的自变量x变成x＋，应该变换成y＝Asin[(x＋)＋φ]，而不是变换成y＝Asin(x＋＋φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的．
三角函数图象的“逆变换”一定
( http: / / www.21cnjy.com )要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法)．平移变换是对自变量x而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误．
以上练习的答案是：
(1)将ωx＋φ看作一个整体，令其分别为0，，π，，2π.
(2)①右　　②左　　③先将y＝sinx的图象左移个单位，再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)．
(3)略．
思路1
例1图1是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式．
图1
活动：本例是根据简谐运动的图象求解
( http: / / www.21cnjy.com )析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y＝Asin(ωx＋φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么？让学生明确解题思路是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题．完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充．
解：(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2
cm；周期为0.8
s；频率为.
(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动．
(3)设这个简谐运动的函数
( http: / / www.21cnjy.com )表达式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，那么A＝2；由＝0.8，得ω＝；由图象知初相φ＝0.于是所求函数表达式是y＝2sinx，x∈[0，＋∞)．
点评：本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点．应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练　函数y＝6sin(x－)的振幅是__________，周期是__________，频率是__________，初相是__________，图象最高点的坐标是__________．解：6　8π　　－　(8kπ＋，6)(k∈Z)
思路2
例1若函数y＝Asin(ωx＋
( http: / / www.21cnjy.com )φ)＋B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，求这个函数的解析式．
活动：让学生自主探究题目中给出的条
( http: / / www.21cnjy.com )件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的．教师应引导学生思考它与y＝Asin(ωx＋φ)的图象的关系，它只是把y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期．这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y轴最近的一个即可．
解：由已知条件，知ymax＝3，ymin＝－5，
则A＝(ymax－ymin)＝4，B＝(ymax＋ymin)＝－1，＝－＝.
∴T＝π，得ω＝2.故有y＝4sin(2x＋φ)－1.
由于点(，3)在函数的图象上，故有3＝4sin(2×＋φ)－1，
即sin(＋φ)＝1.一般要求|φ|<π，故取＋φ＝.∴φ＝.
故所求函数的解析式为y＝4sin(2x＋)－1.
点拨：这是数形结合的又一典型应用，应让学生
( http: / / www.21cnjy.com )明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A、ω，进而求得初相φ.但要注意初相φ的确定．求初相也是这节课的一个难点.
变式训练
1.图2是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，|φ|＜π的图象的一部分，由图中条件，写出该函数解析式．
图2
解：由图象得：A＝5，＝－π，∴T＝3π，
∴＝T，ω＝.
方法一：单调性法．
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝.
方法二：最值点法．
将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，得5sin(＋φ)＝5，
∴＋φ＝2kπ＋.∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，取φ＝.
方法三：起始点法．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
( http: / / www.21cnjy.com )一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得初相φ.由图象求得x0＝－，∴φ＝－ωx0＝－×(－)＝.
故函数解析式为y＝5sin(x＋)．
点评：求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角？初相角有几个？让学生在探究一题多解中细细体会，在应用中逐渐掌握它．
2．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　)
　
图3
答案：A
课本本节练习5、6.
1．由学生自己回顾本节学
( http: / / www.21cnjy.com )习的数学知识：简谐运动的有关概念．本节学习的数学方法：简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值．
2．三角函数图象变换问题的常
( http: / / www.21cnjy.com )规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题思路是：如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出．
把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是(　　)
A．向右平移
B．向左平移
C．向右平移
D．向左平移
解：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin[－3(x－)]，
∴由y＝sin[－3(x－)]向左平移个单位才能得到y＝sin(－3x)的图象．因此答案选D.
答案：D
点评：本题需逆推，教师在作业讲评时应加强学生注意逆向思维的训练．如本题中的－3x需写成－3(x－)，这样才能确保平移变换的正确性．
1．本节课符合新课改精神，突
( http: / / www.21cnjy.com )出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力．注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．
2．由于本节内容综合性强，所以本节教案设计
( http: / / www.21cnjy.com )的指导思想是：在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于、更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．
备用习题
1．函数f(x)＝cos2x＋sin(＋x)是(　　)
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的偶函数
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(π
( http: / / www.21cnjy.com )＋x)＝f(π－x)，且当x∈[0，π]时，其解析式为f(x)＝cosx，则f(x)>0的解集是(　　)
A．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
B．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
C．(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
D．(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)
3．将函数y＝5sin(－3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移个单位，得到图象解析式是(　　)
A．y＝5sin(－x)
B．y＝sin(－x)
C．y＝5sin(－6x)
D．y＝5cosx
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于
…(　　)
A．3或0
B．－3或0
C．0
D．－3或3
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)
( http: / / www.21cnjy.com )＋n的最大值是4，最小值是0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为________________．
参考答案：
1．D　2.B　3.D　4.D　5.y＝2sin(4x＋)＋2
附：
1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
作者：苏康宁，江苏省宿迁中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
第1课时
设计思想　　　　　
按照新课标理念，通过计算机辅助教学创设情境
( http: / / www.21cnjy.com )，实施信息技术与学科课程整合教学设计．引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务．动画效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．
建构主义学习理论认为，知识不是通过教师
( http: / / www.21cnjy.com )传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．
本节课的设计思想中体现着从
( http: / / www.21cnjy.com )特殊到一般，再从一般到特殊的认识事物的规律．通过对图象变换的认识，可以进一步分析函数性质的变化，树立数形结合的思想．
教学内容分析　　　　　
本课教学内容是能通过变换和五点
( http: / / www.21cnjy.com )法作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质及它与y＝sinx的图象的关系．本节内容是在三种基本变换的基础上进行的，进一步深入研究正弦函数的性质，y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换是函数图象变换的综合，充分体现利用数形结合研究函数解决问题的思想，对前面的基础知识有很好的小结作用，这种函数在物理学和工程学中应用比较广泛，高中物理课程内容与之紧密相关，因此它能为实际问题的解决提供良好的理论保证．同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．
教学重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和变换．
教学难点：学生能通过自主探究，掌握A，ω，φ对函数图象的影响．
教学目标分析　　　　　
(1)结合具体实例，理解
( http: / / www.21cnjy.com )y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．会用计算机画图，观察并研究参数A，ω，φ，进一步明确A，ω，φ对函数图象的影响．
(2)能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
(3)教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想．
(1)为学生创设学数学的情境氛围，培养学生的数学应用意识和创新意识．
(2)在问题解决过程中，培养学生的自主学习能力．
(3)让学生经历列表、描点、连线成图的作图过程，体会数形结合、整体与局部的数学思想，培养学生的科学探索精神，归纳、发现的能力．
(1)通过函数图象及利用函数图象解决问题，培养学生发现数学中的美，并由欣赏到应用．
(2)提供适当的问题情境，激发学生学习热情，培养学生学习数学的兴趣．
课堂教学结构　　　　　
1．创设情境，2.提出问题，3.学生探究，4.构建知识，5.变式练习，6.归纳概括，7.能力训练，8.评估学习．
创设情境　　　　　
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数解析式(其中A，ω，φ都是常数)．利用课件展示物体简谐振动．
定义：A：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；ωx＋φ：称为相位．x＝0时的相位φ，称为初相．
提出问题　　　　　
讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)x∈R的图象与y＝sinx的图象的关系及画法．
学生探究　　　　　
例1画出函数y＝2sinx(x∈R)；y＝sinx(x∈R)的图象(简图)．
解：用“五点法”．∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π，
∴我们先画它们在[0,2π]上的简图．列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2sinx
0
2
0
－2
0
sinx
0
0
－
0
图1
(1)y＝2sinx(x∈R)的值域是[－2,2]．
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)．
(2)y＝sinx，x∈R的值域是[－，]．
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)．教师引导观察，启发点拨：用几何画板课件作图象比较．
学生归纳结论：振幅变换：y＝Asin
( http: / / www.21cnjy.com )x，x∈R(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0例2画出函数y＝sin2x(x∈R)；y＝sinx(x∈R)的图象(简图)．
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝π.
我们先画在[0，π]上的简图，在[0，π]上作图．
2x
0
π
2π
x
0
π
y＝sin2x
0
1
0
－1
0
图2
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝4π.
我们画[0,4π]上的简图，列表：
0
π
2π
x
0
π
2π
3π
4π
sin
0
1
0
－1
0
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
(2)函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到．
引导，观察启发：用几何画板课件作图象比较．
周期变换：函数y＝sinωx，x∈R(ω>0
( http: / / www.21cnjy.com )且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)．
3画出函数y＝sin(x＋)，x∈R；y＝sin(x－)，x∈R的简图．
解：列表、描点、画图：
x
－
x＋
0
π
2π
sin(x＋)
0
1
0
－1
0
x
x－
0
π
2π
sin(x－)
0
1
0
－1
0
图3
(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到．
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度而得到．
一般地，函数y＝sin(x＋
( http: / / www.21cnjy.com )φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)．y＝sin(x＋φ)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换．
例4画出函数y＝3sin(2x－)，x∈R的简图．
解：(五点法)列表、描点、画图．用几何画板课件作图象比较．
x
2x－
0
π
2π
3sin(2x－)
0
3
0
－3
0
图4
变式训练
　画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图．
解：(五点法)列表、描点、画图：用几何画板课件作图象比较．
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin(2x＋)
0
3
0
－3
0
图5
这种曲线也可由图象变换得到：
即y＝sinx→y＝sin(x＋)→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋).
归纳概括　　　　　
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当φ
( http: / / www.21cnjy.com )＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．
评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)．
先将y＝sinx的图象向左(φ＞0)或向右
( http: / / www.21cnjy.com )(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换．
先将y＝sinx的图象上各点的横坐
( http: / / www.21cnjy.com )标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(ω＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
能力训练　　　　　
1．若将某函数的图象向右平移个单位后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为(　　)
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(x＋)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x＋)－
答案：A
2．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是(　　)
A．向右平移个单位　　　　　　　　　　　　　B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
分析：三角函数图象变换问题的常
( http: / / www.21cnjy.com )规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象．此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．
解析：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin[－3(x－)]，
∴由y＝sin[－3(x－)]向左平移个单位才能得到y＝sin(－3x)的图象．
答案：D
3．将函数y＝f(x)的图
( http: / / www.21cnjy.com )象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是(　　)
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(2x＋)
D．y＝sin(2x－)
分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法．
解析：y＝f(x)可由y＝sinx，纵
( http: / / www.21cnjy.com )坐标不变，横坐标压缩为原来的，得y＝sin2x；再沿x轴向左平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)．
答案：C
评估学习　　　　　
小结(略)．1.3.4　三角函数的应用
教学分析　　　　　
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三角函数模型的简单应用的设
( http: / / www.21cnjy.com )置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．
通过引导学生解决有一定综合性和
( http: / / www.21cnjy.com )思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．
三维目标　　　　　
1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．
2．通过函数拟合得到具体的函数模
( http: / / www.21cnjy.com )型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．
3．通过切身感受数学建模的全
( http: / / www.21cnjy.com )过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．
重点难点　　　　　
教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(问题导入)既然大到宇宙
( http: / / www.21cnjy.com )天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．
思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．
推进新课　　　　　
用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．
活动：师生互动，唤起回忆，充分复习
( http: / / www.21cnjy.com )前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．
这点很重要，学生只要有了这个认知基础，
( http: / / www.21cnjy.com )本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言
( http: / / www.21cnjy.com )抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
解决问题的一般程序是：
(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
　如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.
图1
(1)求这一天的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
活动：这道题目是2002年全
( http: / / www.21cnjy.com )国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决．
题目给出了某个时间段的温度
( http: / / www.21cnjy.com )变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小　题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20
℃.
(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20.
∵·＝14－6，∴ω＝.将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝.
综上，所求解析式为y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6,14]．
点评：本题中所给出的一段图象
( http: / / www.21cnjy.com )恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.
例2见课本本节例2.
变式训练　函数y＝|sinx|的一个单调增区间是(　　)A．(－，)　　　　　　　　
B．(，)C．(π，)
D．(，2π)答案：C
例3如图2，设地球表面某地
( http: / / www.21cnjy.com )正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一
( http: / / www.21cnjy.com )幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
图2
活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性
( http: / / www.21cnjy.com )比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．
首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面
( http: / / www.21cnjy.com )某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南
( http: / / www.21cnjy.com )、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.
由地理知识知，在北京地区，太阳
( http: / / www.21cnjy.com )直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．
解：如图3，A、B、C分别为太
( http: / / www.21cnjy.com )阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.
图3
根据太阳高度角的定义，
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝＝≈2.000h0，
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．
点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关
( http: / / www.21cnjy.com )系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.
变式训练　
某市的纬度是北纬23
( http: / / www.21cnjy.com )°，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米．要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？图4解：如图4，由例3知，北楼被南楼遮挡的高度为h＝15tan[90°－(23°＋23°26′)]＝15tan43°34′≈14.26，由于每层楼高为3米，根据以上数据，所以他应选5层以上.
课本本节练习1、2.
1．本节课我们学习了三个层次的三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要
( http: / / www.21cnjy.com )综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．
1．图5表示的是电流I与时间t的函数关系I＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象．
图5
(1)根据图象写出I＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
(2)为了使I＝Asin(ωx＋φ)中的t在任意一段
s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？
解：(1)由图知A＝300，第一个零点为(－，0)，第二个零点为(，0)，
∴ω·(－)＋φ＝0，ω·＋φ＝π.
解得ω＝100π，φ＝.
∴I＝300sin(100πt＋)．
(2)依题意有T≤，即≤，
∴ω≥200π，故ωmin＝629.
2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．
解：如以下两例：
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫
( http: / / www.21cnjy.com )纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．
1．本教案设计指导思想是：
( http: / / www.21cnjy.com )充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．
2．应用三角函数模型解决
( http: / / www.21cnjy.com )问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．
3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因
( http: / / www.21cnjy.com )此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．
一、备选习题
1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是(　　)
图6
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝cos(4x－)
D．y＝cos(2x－)
2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．
图7
3．已知函数y＝Atan(ωx＋φ)(其
( http: / / www.21cnjy.com )中A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(，0)和(，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．
4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝6sin(2πt＋)．
(1)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆来回摆动一次需要多少时间？
5．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝kx有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
参考答案：
1．D
2．由图7，得A＝2，＝－(－)＝，
∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)．
又∵图象经过点(－，2)，∴2＝2sin(－＋φ)．∴φ－＝2kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋.∴函数解析式为y＝2sin(2x＋)．
3．∵T＝＝－，∴ω＝.
∵×＋φ＝0，且－3＝Atan(×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－.
故y＝3tan(x－)．
4．(1)t＝0时，s＝3，即离开平衡位置3厘米；
(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；
(3)T＝1，即来回一次需要1秒钟．
5.将原函数化简为
f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
由此可画出图8，
图8
由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.
二、数学与音乐
若干世纪以来，音乐和数学一直被
( http: / / www.21cnjy.com )联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．
乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一
( http: / / www.21cnjy.com )个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．
除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．
毕达哥拉斯学派(公元前585～前
( http: / / www.21cnjy.com )400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.
不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．
19世纪数学家约翰·傅里叶
( http: / / www.21cnjy.com )的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．
傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．
如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创
( http: / / www.21cnjy.com )作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的
( http: / / www.21cnjy.com )现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．
思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．
推进新课　　　　　
三角函数性质在生活中的应用．
本章章头引言告诉我们，海水在月球和太
( http: / / www.21cnjy.com )阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．
例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力
( http: / / www.21cnjy.com )，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？
(3)若某船的吃水深度为4米，
( http: / / www.21cnjy.com )安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
活动：引导学生观察上述问题表格中的
( http: / / www.21cnjy.com )数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.
图9
教师引导学生根据散点的位置排列，思
( http: / / www.21cnjy.com )考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．
根据学生所求得的函数模型，指导学生
( http: / / www.21cnjy.com )利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．
在本例的(3)中，应保持港口的水深不小
( http: / / www.21cnjy.com )于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．
进一步引导学生思考：根据问题的实际
( http: / / www.21cnjy.com )意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．
根据图象，可以考虑用函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )Asin(ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0，由T＝＝12，得ω＝.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sin(x)＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻
0：00
1：00
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
7：00
8：00
9：00
10：00
11：00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12：00
13：00
14：00
15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
21：00
22：00
23：00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．
令2.5sin(x)＋5≥5.5，得sinx≥0.2.
画出y＝sin(x)的图象，由图象可得
0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.
故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．
图10
(3)设在时刻x货船的安全水深为
( http: / / www.21cnjy.com )y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．
图11
通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约
( http: / / www.21cnjy.com )为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
点评：本例是研究港口海水
( http: / / www.21cnjy.com )深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释.
变式训练　发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导
( http: / / www.21cnjy.com )线上的电流强度分别是时间t的函数，IA＝Isinωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，则IA＋IB＋IC＝__________.答案：0
例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若sinx＋f(x)＝，求sinxcosx的值．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．
∴φ＝.∴f(x)＝sin(ωx＋)＝cosωx.
相邻两点P(x0,1)，Q(x0＋，－1)．
由题意，|PQ|＝＝，解得ω＝1.
∴f(x)＝cosx.
(2)由sinx＋f(x)＝，得sinx＋cosx＝.
两边平方，得sinxcosx＝－.
例3小明在直角坐标系中，用1
cm
( http: / / www.21cnjy.com )代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2
cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2
cm代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解：小明原作的曲线为y＝sinx，
( http: / / www.21cnjy.com )x∈R，由于纵坐标改用了2
cm代表一个单位长度，与原来1
cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1
cm只能代表个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y＝sinx，x∈R.同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2
cm代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y＝sin2x，x∈R.
例4求方程lgx＝sinx实根的个数．
解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.
图12
点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．
课本习题1.3　14.
1．让学生回顾本节课的数学模型都
( http: / / www.21cnjy.com )解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．
2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军
( http: / / www.21cnjy.com )事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．
课本习题1.3　13.
1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的
( http: / / www.21cnjy.com )是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．
2．现实生活中的问题是多变的，学
( http: / / www.21cnjy.com )生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．
3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，
( http: / / www.21cnjy.com )因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．
一、备选习题
1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成(　　)
图13
A．sin(1＋x)
B．sin(－1－x)
C．sin(x－1)
D．sin(1－x)
2．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是图14中的(　　)
图14
3．一束光线与玻璃成45°角，穿过折
( http: / / www.21cnjy.com )射率为1.5，厚度为1
cm的一块玻璃，那么光线在玻璃内的行程是多少？(折射率＝，其中α为入射角，β为折射角)
参考答案：
1．D　2.C
3．如图15所示，α＝45°，
图15
∴1.5＝，得sinβ＝，cosβ＝.
而cosβ＝＝，
∴AB≈1.134(cm)，
即光线在玻璃中的行程为1.134
cm.
二、驾驭着波峰的数学
如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪
( http: / / www.21cnjy.com )会升起．有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几个小时．在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择．不用说，波理论和波活动是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪．风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋，使海浪在水面上行动．当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性.19世纪初，对海浪在数学上开展了很多研究．在海上和受控制的实验室中所作的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论．在他的观测中，他记录着波中水粒是如何做圆周运动的．位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同，位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反．在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位．圆的直径被发现等于波的高度．水的整个深度中水粒都在生成圆，但水粒愈深，它的圆愈小．事实上，人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的的深度，圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半．
因为波浪与这些做圆周运动
( http: / / www.21cnjy.com )的水粒有关，并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关，这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了．但是人们发现，波浪既不是严格的正弦曲线，也不是任何别的纯粹的数学曲线．水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已．今天研究波浪时，用到了概率、统计学这些数学工具．人们考察了大量小波，并依据所收集到的数据提出预测．(共28张PPT)
1．2.2　同角三角函数关系
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.理解同角三角函数的两种基本关系．(重点)
2．了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．
3．学会应用同角三角函数的基本关系，掌握化简求值与证明的方法．(重点、难点)
第1章
三角函数
同角三角函数的基本关系式
1．(2014·高考大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点
(－4，3)，则cos
α＝________．
已知一个三角函数值求其他三角函数值
利用同角三角函数关系化简
利用同角三角函数关系式证明
利用sin
α±cos
α，sin
αcos
α之间的关系求值
技法导学
整体代换解决求值问题
名师解题
三角函数条件恒等式的证明
[名师点评]　(1)要证结论中等式的两端都是α，β的正
弦，
而条件等式中都是α，β的正切，故应将切化为弦，化为弦后,应注意平方关系的应用．
(2)因本题给出的是条件等式，故应将条件等式进行适当的变形，找出条件与要证结论之间的关系．
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
sina+cos)变形「(1-sim2m=c0a)
平方关系
同角三角函数
1-cosaesin
o
的基本关系
商数关系\变
sina=tan
a.
cos
a
SIn
or
形
tan
a
COS
C
SInc
COSCO
tan
a
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
例
题型四
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例(共24张PPT)
1．3　三角函数的图象和性质
1．3.1　三角函数的周期性
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
第1章
三角函数
学法指导
非零
f(x＋T)＝f(x)
周期
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的________,那么这个最小的正数就叫做f(x)的____________.
正数
最小正周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2π
2kπ(k∈Z且k≠0)
2π
kπ(k∈Z且k≠0)
π
温馨提示：三角函数的周期，如没有特别说明，指的
是
最小正周期．
±2
④
2π
求三角函数的周期
3
根据周期函数定义求周期
2.已知函数f(x)(x∈N＋)满足f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
周期函数的求值
易错警示
因盲目类比求周期而出错
求函数y＝|tan
x|的最小正周期．
4．已知函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，f(b＋x)＝f(b－x)(其中a，b是常数，且b>a)，试求f(x)的一个周期．
名师解题
分段函数的周期性问题
337(共25张PPT)
1．2.3　三角函数的诱导公式(一)
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解诱导公式产生的背景及推导思路．(重点)
2．熟记α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α诱导公式．
3．掌握运用诱导公式进行计算与化简．(重点、难点)
第1章
三角函数
学法指导
1.本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题．
2．这组诱导公式的推导思路是：首先确定角180°＋α、角－α的终边与角α的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论．
3．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．为什么确定180°＋α角为第一研究对象，－α角为第二研究对象，正是化归思想的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
2．tan(－1
560°)＝________．
求具体角的三角函数值
化简三角函数式
给值求值问题
3.本例条件不变，求cos(105°＋α)＋tan(75°－α)的值．
易错警示
因诱导公式记忆不牢而出错
[错因与防范]　(1)诱导公式的记忆
诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
(2)应用诱导公式化简或求值，要合理选取公式，一般先把负角化为正角，再利用其它的公式转化为较小的合适的角，
尽量统一角度，以便化简．
规范解答
利用诱导公式证明有关分段函数的等式问题1．2.3　三角函数的诱导公式
教学分析　　　　　
本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题．
本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题．
在诱导公式的学习中，化归思想贯
( http: / / www.21cnjy.com )穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．
本部分内容的重点是六个诱导公
( http: / / www.21cnjy.com )式的推导，在公式的推导中，首先确定180°＋α角、－α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论，另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一．
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析
( http: / / www.21cnjy.com )导入时为不大于90°的非负角，但是在推导中却把α拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在．
课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在
( http: / / www.21cnjy.com )于需要把所求的角看成是一个整体的任意角．学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制转化的练习．
三维目标　　　　　
1．通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．
2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．
3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：六个诱导公式的推导及灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．
教学难点：六组诱导公式的灵活运用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
投影显示以下问题：sin＝________，cos＝________，sin＝______，cos＝________，sin(－)＝________，cos(－)＝________，sin＝________，cos＝________，sin＝________，cos＝________.
学生能马上说出sin、cos的值，对于其
( http: / / www.21cnjy.com )他的值可能会有点困难，请仔细观察一下，其他的角与之间有什么关系吗？你能否将其他角用表示出来？
推进新课　　　　　
1．2kπ＋α，－α，π±α，2π－α的三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成是锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名不变，符号看象限．
2.±α，±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名改变，符号看象限．
这九组诱导公式总的口诀是：
( http: / / www.21cnjy.com )奇变偶不变，符号看象限．其中，变与不变是指函数名是否改变，奇偶是指α前面是的奇数倍还是偶数倍，α当成锐角来看，符号是指等号右边的正负号．
活动：在初中学习的锐角三角函数值，可以在直角
( http: / / www.21cnjy.com )三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或使用计算器求得．教师可组织学生思考讨论如下问题：0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得；90°到360°的角β能否与锐角α相联系？通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求[90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想．
通过分析，归纳得出：如图1.
图1
β＝
教师引导学生分α为锐角和任意角作图分析：如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆，并和学生一
( http: / / www.21cnjy.com )起讨论探究角α与180°＋α的关系．无论α为锐角还是任意角，180°＋α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°＋α为研究对象．利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(－x，－y)．由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式四：
sin(180°＋α)＝－sinα，cos(180°＋α)＝－cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式：
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.
并进一步引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用．
教师引导学生在单位圆中讨论－α与α的位
( http: / / www.21cnjy.com )置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角α和－α的终边的位置关系：－α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．探索、概括、对照公式四的推导过程，由学生自己完成公式二的推导，即
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.
教师适时点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角
( http: / / www.21cnjy.com )，公式均成立，并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．
学生自然会想到π－α与α会有什么关系呢
( http: / / www.21cnjy.com )？教师与学生一起讨论π－α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π－α的终边的位置关系：π－α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.
强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．
并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求π－α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．
让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．
通过观察思考发现以上公式可以用下面一段话来概括：
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
教师进一步点拨以上公式可简记为：
“函数名不变，符号看象限”．
点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练1．利用公式求下列三角函数值：(1)cos225°；(2)sin；(3)sin(－)；(4)cos(－2
040°)．解：(1)cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；(2)sin＝sin(4π－)＝－sin＝－；(3)sin(－)＝－sin＝－sin(5π＋)＝－(－sin)＝；(4)cos(－2
040°)
( http: / / www.21cnjy.com )＝cos2
040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－.点评：由上述例题我们可看出，利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，这是数学中很重要的一种思想方法，教师在学生完成例1后应留出足够的时间让学生思考总结．2．cos330°等于(　　)A.　　　　　B．－　　　　　C.　　　　　D．－答案：C3．下列各数中，与sin2
007°的值最接近的是(　　)A.
B.C．－
D．－答案：C
例2化简：.
活动：引导学生认真仔细的观察
( http: / / www.21cnjy.com )题目，重点考查学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度．适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的．
解：sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sinα)＝sinα，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cosα，
cos(180°＋α)＝－cosα，sin(360°＋α)＝sinα，
所以原式＝＝1.
点评：运用诱导公式时首先将负角化为正角.
变式训练　化简：.解：＝＝＝＝＝－1.
思路2
例1化简cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°.
活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．
解：cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°
＝cos(360°－45°)－sin30°＋sin(180°＋45°)＋cos(360°＋120°)
＝cos(－45°)－－sin45°＋cos120°
＝cos45°－－＋cos(180°－60°)
＝－－－cos60°＝－1.
点评：利用诱导公式化简是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.
变式训练　求证：＝tanθ.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．证明：左边＝＝＝＝tanθ＝右边．所以原式成立．规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.
例2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－cosx；
(2)g(x)＝x－sinx.
活动：根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性时，可以按以下步骤进行：
先根据解析式确定函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称．
(1)若定义域关于原点不对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
(2)若定义域关于原点对称，再讨论f(x)和f(－x)的关系．
若f(x)＝f(－x)，则函数是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数．
解：(1)因为函数f(x)的定义域是R，且f(－x)＝1－cos(－x)＝1－cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)因为函数g(x)的定义域是R，且g(
( http: / / www.21cnjy.com )－x)＝－x－sin(－x)＝－x－(－sinx)＝－(x－sinx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
课本本节练习1、2、3.
本节课我们学习了公式一、公式二、公式三、
( http: / / www.21cnjy.com )公式四四组公式，这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时经常用到，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想．
课本习题1.2　13、14、15.
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π＋α的终边关于原点对称．
(2)角α的终边与角－α的终边关于x轴对称．
(3)角α的终边与角π－α的终边关于y轴对称．
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α＋k·2π(k∈Z)，
( http: / / www.21cnjy.com )－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限．”
(2)公式中的α是任意角．
(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
基本步骤是：任意负角的三角函数相应的正角的三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )0到2π角的三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )锐角的三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )三角函数．
即负化正，大化小，化为锐角再查表．
一、错解剖析
我们在对已知条件等式进行变形时，特别是进行
( http: / / www.21cnjy.com )平方变形时，往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围，而造成漏解或增解，对于上述情况，一定要注意题目所给条件对角的限制，要将所求得的解进行验证，或检查变形对角的范围有无影响．
[例]已知tan(π－α)＝a2，|cos(π－α)|＝－cosα，求的值．
错解：∵tan(π－α)＝a2，∴tanα＝－a2<0.
∵|cos(π－α)|＝－cosα>0，∴cosα<0.∴α是第二象限角．
又cos(π＋α)＝－cosα＝＝，
∴＝.
点评：一个实数的平方不一定
( http: / / www.21cnjy.com )是正数，可能是零，因此，本题不能漏掉角α的终边在x轴的非正半轴上的情形．而由于tanα存在，这就决定了角α的终边不在y轴上，即cosα不为零，因此，由tanα＝－a2≤0，|cos(π－α)|＝－cosα≥0即cosα≤0，可知角α的终边在第二象限或x轴的非正半轴上．若角α的终边在第二象限，即cosα<0时，＝；若角α的终边在x轴的非正半轴上，即a＝0时，＝－＝1.
综合上述两种情况可得＝.
二、备用习题
1．设A、B、C是三角形的三个内角，下列等式成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC
D．tanA＝tanB－tanC
2．函数f(x)＝cosx(x∈Z)的值域为(　　)
A．{－1，－，，0,1}
B．{－1，－，，1}
C．{－1，－，0，，1}
D．{－1，－，，1}
3．已知sin＝m，则cos的值是(　　)
A．m
B．－m
C.
D．－
4．化简(n∈Z)所得的结果是(　　)
A．tannα
B．－tannα
C．tanα
D．－tanα
5．设tan(3π＋θ)＝a，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．化简：(k∈Z)．
参考答案：1.B　2.B　3.C　4.C　5.A　6.－1.
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
上一节课我们研究了诱导公式一、二、
( http: / / www.21cnjy.com )三、四，现在请同学们回忆一下相应的公式，提问多名学生上黑板默写公式．在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题．
推进新课　　　　　
1．若一个角的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则这两个角具有怎样的数量关系？
2．用已有公式得出＋α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式．
我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y＝x对称的角的数量关系．
教师让学生充分探究，启发学生借
( http: / / www.21cnjy.com )助单位圆，点拨学生从终边关于直线y＝x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y＝x对称的两个点的坐标之间的关系进行推导．
如图1，设任意角α的终边与单位圆的
( http: / / www.21cnjy.com )交点P1(x，y)，由于角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，角－α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y＝x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有
图1
sinα＝y，cosα＝x，cos(－α)＝y，sin(－α)＝x.
从而得到公式五：
活动：教师点拨学生将＋α转化为π－(－α)，从而利用公式三和公式五达到我们的目的．因为＋α可以转化为π－(－α)，所以求＋α角的正余弦问题就转化为利用公式三接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六．
公式六：
结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
进一步可以简记为：
函数名改变，符号看象限．
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
公式一～六都叫做诱导公式．
讨论结果：诱导公式一～四，
( http: / / www.21cnjy.com )函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kπ＋α(k∈Z)，π±α，－α(可看作0－α)．其中2kπ，π，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角±α，函数名称不改变．而公式五、六，这些公式左边的角分别是±α，－α.其中，是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限．
教师指点学习方法：如果我们孤立地记忆这
( http: / / www.21cnjy.com )么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低．学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了．因此，要求大家多做这方面的工作，以后数学的学习就不再是枯燥无味的了．
思路1
例1求证：(1)sin(－α)＝－cosα；(2)cos(－α)＝－sinα.
活动：直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题．
证明：(1)sin(－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝－cosα；
(2)cos(－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－sinα.
点评：由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到(k∈Z)的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式使用．
例2见课本本节例3.
变式训练　化简：.解：原式＝＝＝－tanα.
思路2
例1(1)已知f(cosx)＝cos17x，求证：f(sinx)＝sin17x；
(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx
活动：对诱导公式的应用需要较多的思
( http: / / www.21cnjy.com )维空间，善于观察题目特点，要灵活变形．观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx＝cos(－x)或cosx＝sin(－x)．要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移．
(1)证明：f(sinx)＝f[cos(－x)]＝cos[17(－x)]＝cos(8π＋－17x)
＝cos(－17x)＝sin17x，
即f(sinx)＝sin17x.
(2)解：f(cosx)＝f[sin(－x)]＝sin[n(－x)]＝sin(－nx)
＝
故所求的整数为n＝4k＋1(k∈Z)．
点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练　已知cos(－α)＝m(m≤1)，求sin(－α)的值．解：∵－α－(－α)＝，∴－α＝＋(－α)．∴sin(－α)＝sin[＋(－α)]＝cos(－α)＝m.点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来．(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.
例2见课本本节例4.
变式训练　
若函数f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝__________.解：∵sin＝sin(＋2π)＝sin，∴f(n)＝f(n＋12)．又f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋.
例3已知函数f(x)＝asin(πx＋α)
( http: / / www.21cnjy.com )＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2
003)＝－1，求f(2
004)的值．
活动：寻求f(2
003)＝－1与f(2
004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害．
解：f(2
003)＝asin(2
003π＋α)＋bcos(2
003π＋β)
＝asin(2
002π＋π＋α)＋bcos(2
002π＋π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asinα－bcosβ
＝－(asinα＋bcosβ)，
∵f(2
003)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.
∴f(2
004)＝asin(2
004π＋α)＋bcos(2
004π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝1.
点评：解决问题的实质就是由未知向
( http: / / www.21cnjy.com )已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用．解答本题的关键和要害就是求得式子asinα＋bcosβ＝1，它是联系已知和未知的纽带．
课本本节练习1～4.
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完
( http: / / www.21cnjy.com )成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”．公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘．利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握．利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度．
1．求值：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°.
2．已知sin(x＋y)＝1，求证：tan(2x＋y)＋tany＝0.
3．已知tan(π－α)＝2，求：
(1)；
(2)2sin(3π＋α)cos(＋α)＋sin(－α)sin(π－α)．
参考答案：1.44.5.2.略.3.(1)－1；(2)2.
1．本节设计指导思想是：在教师引导
( http: / / www.21cnjy.com )下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活、熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．
2．用口诀记忆公式：①π±α，－α
( http: / / www.21cnjy.com )，2kπ＋α的三角函数公式为：“函数名不变，符号看象限．”②±α，±α的三角函数公式为：“函数名改变，符号看象限”，其中α看成锐角．
3．用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明．
一、错解点击
是否存在角α、β，α∈(－，)，β∈(0
( http: / / www.21cnjy.com )，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．
错解：将已知条件化为
①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，即sin2α＝，sinα＝±.
∵－<α<，∴α＝或α＝－.
(1)当α＝时，由②得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝；
(2)当α＝－时，由②得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝.
故存在α＝，β＝或α＝－，β＝，使得两个等式同时成立．
点评：若将所求得的α、β的两组值分
( http: / / www.21cnjy.com )别代入①式会发现，当α＝－，β＝时，①式不成立，造成这种错误的原因是：我们对①②进行平方时，扩大了角α与β的取值范围．事实上，由①式可知sinα与sinβ需同号，由②式可知cosα与cosβ需同号，而我们在平方消元(角β)时，将①式平方后，sinα与sinβ可异号，而这是不允许的．因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件．本题只存在一组值α＝，β＝符合题意．
本题如果改变角α的范围为0<α<π，则本题有两解：α＝，β＝，或α＝，β＝.
二、备用习题
1．在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　)
A．sin＝－cos　　　　　　　　
B．sin(2A＋2B)＝－cos2C
C．sin(A＋B)＝－sinC
D．sin(A＋B)＝sinC
2．如果f(sinx)＝cosx，那么f(－cosx)等于(　　)
A．sinx
B．cosx
C．－sinx
D．－cosx
3．计算下列各式的值：
(1)sin(－1
200°)cos(1
290°)＋cos(－1
020°)sin(－1
050°)＋tan945°；
(2)tan(27°－α)tan(49°－β)tan(63°＋α)tan(139°－β)．
4．化简：.
5．已知sinα是方程5x2－7x－
( http: / / www.21cnjy.com )6＝0的根，求[sin(α＋)·sin(－α)·tan2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(－α)·cos(＋α)]的值．
参考答案：1.D　2.C　3.(1)2；(2)－1.　4.－tanα.
5．解：∵5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，∴sinα＝－.
∴cosα＝±＝±.∴tanα＝±.
∴原式＝＝tanα＝±.
三、关于数学公式的记忆与变形
对于数学公式，除简单加以应用
( http: / / www.21cnjy.com )之外，还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形．数学公式变形是中学数学教学的重要组成部分，为了理解公式的内在本质，公式变形是数学教学不可缺少的内容．数学公式变形应做到三有，即变之有用，变之有规，变之有益．
1．公式变形的目的最终应体现在其实用的价值上，一个公式的等价变形往往有多种，教学中应择其有用的变形，以提高应用公式的效能．
2．数学公式变形的方法多
( http: / / www.21cnjy.com )种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．
3．公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽，
( http: / / www.21cnjy.com )而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质．
附：
1．2.3　三角函数的诱导公式
第一课时
作者：陈春芳，江苏省锡山高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
教材分析　　　　　
新旧教材对比
第一、老教材的诱导公式是分散在几学时
( http: / / www.21cnjy.com )中学完的，这样学生对诱导公式没有整体的认识，在推导方面花时长，而且也不便于学生记忆．苏教版新教材在研究了同角三角函数的基本关系后再来系统研究不同角的三角函数之间的关系，在研究时不是盲目地研究任意两个角而是从角的终边关系出发，抓住三角函数的定义来研究几类终边关于某些特殊的直线和点具有某些对称关系的角的三角函数值之间的关系．
第二、老教材从计算特殊角的三
( http: / / www.21cnjy.com )角函数值提出问题，由此推广到研究任意角α与π＋α的三角函数值之间的关系．研究的方法是由角的定义得到π＋α的终边即为α终边的反向延长线，从而得到它们的终边关于原点对称，再根据三角函数的定义计算三角函数值，比较计算结果从而得到诱导公式二．这样处理的难点是直接从数的角度研究，比较抽象，不符合学生的认知规律．
第三、根据三角函数的定义知道三角函数值是由角
( http: / / www.21cnjy.com )的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理，而新教材从终边的对称关系出发借助单位圆，充分利用三角函数的几何定义，借助几何图形的对称性直接得出终边关于某些直线或点对称的角的三角函数值之间的关系，苏教版新教材的处理方式突出了数形结合思想，而且也比较直观．公式二的推导是关键，在突破这一组公式的证明后其他几组公式学生完全可以自己推导．因此在这一组公式的推导中可以让学生尝试从代数定义和几何定义两方面进行推理证明，让他们体会比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性，这也是引入单位圆的必要性．新教材先由形的直观认识再上升到数之间的本质联系，这样比较符合学生的认知规律，易于学生接受．新教材在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质，堪称经典．
第四、由于苏教版新教材更好更准确地抓住了诱导公式的本质，所以整个处理过程一气呵成，自然合理，便于理解和记忆．
老教材的诱导公式的推导思路是：
→→→
新教材的诱导公式的推导思路是：
设计期望　　　　　
(1)教学内容方面：新教材这节课的内容庞杂
( http: / / www.21cnjy.com )、公式繁多，显得分散，不便于学生记忆．从数学知识的和谐性角度出发，本课以终边关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称为载体，三角函数的定义为依据，推导出六组诱导公式，整个知识的发生发展过程都围绕终边对称这根主线．
(2)教学对象方面：新课程教学中
( http: / / www.21cnjy.com )要求创设有利于引导学生主动学习的课程环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力．本节课公式很多，推导、理解、记忆、应用都是问题，这对学生是挑战，因此“逼”着他们找规律，这样有利于培养学生从复杂现象中归纳出本质问题的意识和能力．
(3)教学活动方面：本节课
( http: / / www.21cnjy.com )按新课程教学的理念，引导学生积极参与教学，促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式．当教学任务完成时，对学生创新意识的培养起到潜移默化的作用．有利于对所学内容的理解和记忆，增强了学生可持续发展的能力．
教学目标　　　　　
(1)借助单位圆和角终边之间的对称关系推导出正弦、余弦的诱导公式；
(2)能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
(1)通过公式的推导培养学生的创新能力、探索归纳能力；
(2)在公式的推导过程中，突出了对称的思想和数形结合的思想；
(3)通过公式的运用使学生了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．
(1)在数学的学习过程中，培养学生提出问题和解决问题的能力，数学表达和数学交流能力，发展学生的应用意识和创新意识；
(2)通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径；
(3)引导学生赏析数学的严谨美、统一美、结构美、简单美和奇异美，并用这些唤起学生对数学的热情和钟爱．
学情分析　　　　　
知识方面：学生已经学习了终边相同的角的
( http: / / www.21cnjy.com )表示，三角函数的代数定义和几何意义，在本节课的学习中教师只要把问题分解，抓住三角函数定义，围绕“对称”展开讨论和探究，对学生作适当的引导，让学生从形的角度出发观察归纳，再进行严密的推理证明，体现了数学的严谨性．学生的难点在于公式五的推导，所以前面的教学中要作好铺垫，利用角α和角β的终边关于直线y＝x的对称关系突破这个难点．
方法技能方面：学生已经初步掌握了数形结合
( http: / / www.21cnjy.com )、变量代换、分类讨论、化归转化等思想方法，对研究问题的一般方法已经有所了解，围绕问题展开讨论、交流、学习．
教学重难点　　　　　
教学重点：公式的推导．
教学难点：公式推导过程中的思考方法、公式的归类与记忆．
知识引入阶段——提出问题，明确目标　　　　　
师：前面我们研究了同角三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数之间的基本关系．那么对于不同的两个角，它们的三角函数之间有没有联系呢？对于任意的两个角我们不妨先来研究终边具有某些对称关系的两个角的三角函数值之间的关系．根据三角函数的定义知道角α的三角函数值由角α的终边确定．终边具有某些对称关系的两个角，它们的三角函数值之间有何联系？这就是这节课我们要探讨的问题．
问题：角α的终边关于直线、点有哪些特殊的对称关系？
结论：终边相同，关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称等．
问题：设角α和角β的终边具有上述对称关系，我们如何去寻找它们的三角函数值之间的关系？
结论：根据三角函数的几何意义，数形结合，从图形上寻找几何关系，或者根据三角函数的代数定义计算．
知识探索阶段——探索、证明诱导公式　　　　　
师：1.角α和角β的终边相同
合作交流：由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等，学生很容易得出公式一(教师板书公式一)
师：2.角α和角β的终边关于x轴对称
合作交流：①先探讨角α和角β的三角函数值间的关系．
学生思考，教师作适当的提示，引导学生可以从数
( http: / / www.21cnjy.com )和形两个角度思考，数的角度就是要在终边上找两点，而这样的两个点应该是关于x轴对称的两个点．而从形的角度就要引导学生充分利用单位圆，这样两个对称点的坐标就可以直接用角的三角函数值表示，这样三角函数值之间的关系就很明朗了．无论哪个角度都要紧扣终边的对称关系以及其终边上对称点的坐标之间的关系，在学生作了充分的思考和探究后请学生讲解推导过程，帮助学生进行思维的监控和反思．学生一边回答，教师一边板书完整的解答过程，以下是解答过程：
代数方法：
设角α终边上一点P(x，y)，则其关于x轴的对称点P1(x，－y)在角β的终边上．
则sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝.(r＝>0)
图1
所以得出sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.
几何方法：
设角α和角β的终边分别与单位圆交于P，P1两点，
则有P(cosα，sinα)，P1(cosβ，sinβ)．
由点的对称关系得：sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.
②再探讨角α和角β的关系．
(由前面终边相同的角的知识归纳出角α和角β的关系)
学生归纳：β＝－α＋2kπ(k∈Z)．
特别地，当k＝0时，β＝－α也满足条件，于是得出
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(公式二)
设计目的：由对称关系分别从数和形
( http: / / www.21cnjy.com )两个方面寻找终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系，充分利用对称性，让学生比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性．把问题呈现给学生，引导学生积极主动探究，调动他们求知的积极性和主动性，将公式二的推导过程展示给学生，目的在于突破这一组公式后，就可以让学生自行推导其余的各组公式．
师：借助刚才我们探讨的方法，下面请同学们自己选择合适的方法探究角α和角β的终边关于y轴，原点对称时你能得出什么结论．
学生活动：留时间给学生推导，教师巡视
( http: / / www.21cnjy.com )，对有困难的同学给予适时的指导，情感上对学生给予鼓励，帮助学生树立克服困难的信心．稍后请同学回答，并将学生的成果用投影仪展示，加以适当调整修正即可得到公式三和公式四．
知识拓展：1.公式二、三、四能否由其中的两个推出另外一个？
2．由公式二你能得出三角函数的什么性质？
合作探究：角α和角β的终边关于直线y＝x对称：
(1)角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？
(2)角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？
(3)由(1)和(2)你能得出什么结论？
图2
师生互动：多媒体展示图形
( http: / / www.21cnjy.com )，先让学生观察动画，教师引导学生从图形和函数中点关于直线对称的知识一步步突破难点，对于－α与α的终边是否关于直线y＝x对称，可以先从特殊角观察，再推广到一般情况．从而和学生一起合作推导出公式五．
突破难点：对于问题(1)我
( http: / / www.21cnjy.com )是这样引导学生的：从三角函数的几何意义得出角α和角β的终边与单位圆交点的坐标，接着可以通过两种途径寻找角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间的关系．
方法一：通过三角形相似得到线段之间的关系，再根据有向线段的方向得出函数值之间的关系．
方法二：函数中某点(a，b)关于直线y＝x对称点的坐标为(b，a)，进而得出函数值之间的关系．
师：利用公式二和公式五你又能发现什么？
学生活动：由学生推导出公式六．
设计目的：几组诱导公式能一气呵成
( http: / / www.21cnjy.com )地推导出来，主要还是依据三角函数的定义和终边的对称关系，可以从形上很直观地得出一些对称点的坐标之间的关系，每组公式的推导都是按下面的程序进行的：终边对称关系―→终边与单位圆的交点之间的对称关系―→交点坐标之间的关系―→三角函数值间的关系．学生自己推导公式二、三、四、五，让他们亲身体验探究的过程，理解知识的发生过程，加深了对三角函数定义的理解．而知识拓展又给学生一个思考的空间，可以通过多种途径得到结论．其中就体现了变量代换，体现一种转化、化归的数学思想．
知识整合阶段——诱导公式的记忆　　　　　
师：通过大家的努力我们得出了六组公式，这
( http: / / www.21cnjy.com )些都叫做三角函数的诱导公式．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．面对这么多公式的记忆问题，同学们能否观察它们之间的联系与区别，寻找记忆的方法？
学生活动：留时间给学生讨论、观察、分析、对比、交流，最后总结：
(1)公式特征；(2)记忆方法；(3)符号规律；(4)记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．
设计目的：公式的繁多给学生的记忆带来很
( http: / / www.21cnjy.com )大的困难，让学生观察比较寻找公式之间的区别与联系，总结记忆的方法，培养学生从复杂事物中发现并归纳一般规律的能力．著名数学家华罗庚有一句名言：从薄到厚，再从厚到薄．经过整合，公式的量大大减少，方便学生记忆．又给出符号判断的图，形象直观．思维有发散和敛聚两个方面，知识也有拓展和浓缩两种方式，在教学过程中将公式经过整合，公式的量可大大的减少，最后概括为“奇变偶不变，符号看象限”，既从本质上刻画了知识的内涵，又减轻了学生记忆的负担．
图3
知识应用阶段——诱导公式的初步应用　　　　　
例1求值：
(1)sin；
(2)cos；
(3)tan(－1
560°)．
(学生回答，教师板书)
师总结：我们来看大家的解答，注意不同的解答方法的繁简，发现在求任意角三角函数值时都可以转化成求锐角的三角函数值．
(1)步骤：
(2)注意点：符号的判断．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－cosx；(2)g(x)＝x－sinx.
(学生回答，教师板书)
设计目的：随着角的概念的推广
( http: / / www.21cnjy.com )，同时也将三角函数的概念从锐角推广到任意角的范围，但推广的同时又要不断地返璞归真，将任意角的函数回归到锐角的三角函数．而诱导公式则是实现这种转化的关键．例1是利用诱导公式求任意角的三角函数值，体现了诱导公式的作用以及学习诱导公式的必要性．让学生自己尝试不同解法，比较其中的繁简，从而归纳求任意角的三角函数值的一般方法，即只要用公式转化为相应锐角的三角函数值即可，这种转化非常有价值，体现数学知识的返璞归真．公式二是反映三角函数的奇偶性，回顾函数奇偶性判断的一般方法，为以后学习三角函数的图象和性质作铺垫．
知识巩固：学生练习课本本节练习题1、2(板演)、3(口答)．
学习小结阶段——归纳知识方法，布置课后作业　　　　　
本节课的主要流程如下：
(1)分析解决问题：
教学中先引导学生分析解决问题，包
( http: / / www.21cnjy.com )括：引导学生分析终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系，再由终边相同角的知识得出角之间的关系，进而推导出三角函数的诱导公式，将知识的结合点设定在“对称”这个点上．在得出公式后又在公式记忆这里给学生提出思考，总结出公式的规律和记忆方法．
(2)归纳解题方法：
主要引导学生观察、归纳、猜想、合情推理．
(3)渗透数学思想方法：
数形结合、变量代换、分类讨论等思想方法，培养学生思维的缜密性、创造性、深刻性等内容．
课堂小结：(请学生小结本节课的内容)
1．公式的推导及记忆方法；
2．运用公式求任意角的三角函数的解题步骤；
3．数形结合的思想方法．
课后作业：课本习题1.2　3、4、5.
本节课设计对一般问题的探讨和论证，紧密而又
( http: / / www.21cnjy.com )和谐，学生不会有什么大的障碍和困难．本节课的主要任务是诱导公式的推导和简单应用，同时又联系到图形的各种对称、变量的代换、数形结合、分类讨论的思想方法，使学生多方位、立体化、多层面地受益．
有机结合教学内容，特别是高中数学
( http: / / www.21cnjy.com )的教学内容，对学生渗透辩证唯物主义世界观和方法论的教育，是中学数学教育极为重要的一项任务．就本节课而言，“事物的内部矛盾是推动事物发展的动力”“矛盾双方在一定的条件下可以从一方转化为另一方”“透过现象抓住事物的本质”这些完全可以渗透到教学过程中．(共28张PPT)
第1章
三角函数
1．1　任意角、弧度
1．1.1　任意角
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解角的定义．
2．理解任意角、象限角的概念．(重点、难点)
3．掌握终边相同角的表示方法．(重点)
学法指导
1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个
“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．
2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．
3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.
1.角的概念
(1)角的定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端
点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点
称为角的____________，射线旋转的开始位置和终止位置称
为角的____________和____________
(如图)．
顶点
始边
终边
(2)正角、负角和零角
按____________时针方向旋转所形成的角叫做正角，按
____________时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果
射
线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角,叫做_________.
(3)象限角和轴线角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，则这
个角
是
第几象限角；如果角的终边在____________上，称
这
个角为轴线角．
逆
顺
零角
坐标轴
2.终边相同的角的关系
(1)角β与角α终边相同 ______________________________.
(2)与角α终边相同的角的集合为：
__________________________________．
β＝k·360°＋α，k∈Z
{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}
1．下列各组角中，终边相同的是________．(只填序号)
①－60°，300°，420°；②－60°，－300°，－420°;
③－60°，300°，－420°；④60°，－300°，－420°.
解析：两角相减是360°的整数倍即是终边相同的角．
③
2．在148°，475°，－960°，－1
601°，－185°这5个角中，属于第二象限角的个数是________．
4
3．把－1
485°写成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的
形
式是_________________________．
解析：－1
485°＝－5×360°＋315°.
4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．
解析：α＝k·180°＋45°，k∈Z.
当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则α＝n·360°＋45°，α为第一象限角．
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝n·360°＋225°，α为第三象限角．
综上，α为第一或三象限角．
－5×360°＋315°
一或三
角的概念的推广
已知下列说法：
①[0°，90°)的角是第一象限角；
②第一象限角都是锐角；
③锐角都是第一象限角；
④小于90°的角都是锐角．
其中正确的是________(填序号)．
(链接教材P7练习T6)
[解析]　[0°，90°)的角是指0°≤α＜90°，而0°不属
于
任何象限；锐角是指0°＜α＜90°的角；
第
一
象
限
的
角
为k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，不一定
是
锐
角；
小
于90°的角也可为负角、零角．
[答案]　③
方法归纳
(1)解决此类问题的关键在于正确理解
象限角、锐
角、
小
于90°的角的概念．
(2)本题也可采用排除法，这时需掌握判断说法真假的技巧.判断说法为真需要证明,而判断说法为假只需举一反例即可.
1.若θ是第四象限角，则90°＋θ是第________象限角．
解析：∵θ是第四象限角，
∴k·360°－90°<θ∴k·360°<90°＋θ∴90°＋θ是第一象限角．
一
终边相同的角
(2014·北京高一检测)已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，
指
出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
(链接教材P6例1)
[解]　(1)∵－1
910°÷360°＝－6余250°，
∴－1
910°＝－6×360°＋250°，
∴β＝250°，
从而α＝－6×360°＋250°是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到适合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
方法归纳
将任意角化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的
形
式，
关键是确定k.可用观察法(α较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数是正值．
2.写出与－1
484°37′角的终边相同的角β的集合S，分别
求
出符合下列条件的角．
(1)绝对值最小的角；
(2)把适合不等式－720°≤β＜360°的元素写出来．
解：与－1
484°37′角的终边相同的角的集合
S＝{β|β＝k·360°－1
484°37′，k∈Z}．
(1)∵－1
484°37′＝－4×360°－44°37′，
∴4×360°－1
484°37′＝－44°37′，
5×360°－1
484°37′＝315°23′，
因此k＝4时，绝对值最小的角为－44°37′.
(2)S中适合－720°≤β＜360°的元素是
3×360°－1
484°37′＝－404°37′；
4×360°－1
484°37′＝－44°37′；
5×360°－1
484°37′＝315°23′.
区域角的表示
已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°,
k∈Z},B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°,k∈Z}.
(1)试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；
(2)求A∩B.
(链接教材P10练习T11)
[解]　(1)如图所示：
集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内，
集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内．
(2)集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，
所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°,k∈Z}．
3.如图(1)、图(2)、图(3)所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合．
解：(1)由图(1)可知，角的集合为
{α|－40°＋k×360°≤α≤50°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图(2)可知，角的集合为
{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}∪{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由图(3)可知，角的集合为
{α|60°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}．
规范解答
终边相同的角的问题
(本题满分14分)在与1
089°角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)在－360°～720°内；(2)最大的负角；(3)最小的正角．
[解]　与1
089°角终边相同角的一般形式为α＝k·360°＋1
089°(k∈Z).3分
(1)由－360°≤α<720°，得－360°≤k·360°＋1
089°<720°(k∈Z)，－1
449°≤k·360°<－369°(k∈Z)，
所以k＝－4，－3，－2，所以在－360°～720°内与角1
089°终边相同的角分别为－351°、9°、369°.6分
[规范与警示]　(1)所有与α终边相同的角连同α在内都可
以
写成k·360°＋α(k∈Z)的形式．
(2)根据k·360°＋α(k∈Z)可以写出与α终边相同的角中的最大负角和最小正角及某一范围内的角．1.3.2　三角函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
1.正弦函数、余弦函数的主要性质
【例1】求下列函数的定义域：
（1）y=
( http: / / www.21cnjy.com )+lgcosx;
(2)y=logsinx(cosx+
( http: / / www.21cnjy.com )).
思路分析：利用三角函数单调性求解.
解：（1）由
( http: / / www.21cnjy.com )得
由上图可知不等式组的解集为［-6，-
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),6］.
故原函数的定义域为［-6，-
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )）∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),6］.
(2)由
得(k∈Z).
∴原函数的定义域为（2kπ,2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )）∪（2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),2kπ+23π）k∈Z.
温馨提示
求函数的定义域,就是求使函数式有
( http: / / www.21cnjy.com )意义的x值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出.
【例2】
比较下列各组中四个值的大小：
（1）sin1,sin2,sin3,sin4;
(2)cos1,cos2,cos3,cos4.
思路分析：转化到同一单调区间再比较.
解析：（1）∵0＜1＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜2＜3＜π＜4＜
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3).
而0＜π-3＜1＜π-2＜
( http: / / www.21cnjy.com ),正弦函数y=sinx在（0，
( http: / / www.21cnjy.com )）上为增函数，
∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),
即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.
(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3),
cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜
( http: / / www.21cnjy.com ),余弦函数y=cosx在（0，
( http: / / www.21cnjy.com )）上为减函数，
∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),
∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2),
即cos3＜cos4＜cos2＜cos1.
答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4;
(2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1.
温馨提示
①要判断函数值的大小，主要依据是函数
( http: / / www.21cnjy.com )在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间.
2.正弦函数和余弦函数图象间的关系
【例3】作函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的图象.
思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.
解：y=
( http: / / www.21cnjy.com )化为y=|sinx|,
即y=
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)
其图象如下图.
温馨提示
①画y=|sinx|的图象可分
( http: / / www.21cnjy.com )两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π.
3.三角函数图象和性质综合应用
【例4】
作出函数y=|tanx|及y
( http: / / www.21cnjy.com )=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期.
思路分析：利用分段函数图象的画法.
解：（1）y=|tanx|=由y=tanx图象可知，y=|tanx|的图象如下：
由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期T=π,函数是偶函数.函数的单调增区间是（kπ,kπ+）（k∈Z）,减区间（kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ）(k∈Z).
(2)y=tan|x|=
( http: / / www.21cnjy.com )由y=tanx图象可知，y=tan|x|的图象如下：
由y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但y=tan|x|是偶函数，单调增区间［0,
）∪（kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )）（k∈N）.函数的单调减区间（-
( http: / / www.21cnjy.com ),0］∪（kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ))(k∈Z且k≤0).
各个击破
类题演练1
求y=
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域.
解：根据函数表达式可得
( http: / / www.21cnjy.com )
作出下图.
由图示可得，函数定义域为［-5,-π］∪［0,π］.
变式提升1
求下列函数的定义域.
（1）y=;
(2)y=
解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图
由图显然可得函数定义域集合为
{x|2kπ≤x＜2kπ+,k∈π+π,k∈Z}.
(2）由
( http: / / www.21cnjy.com )cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ))≠0
得
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图）
∴函数定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
类题演练2
已知函数y=acosx+b的最大值是1，最小值是-3，试确定f(x)=bsin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的单调区间.
解：若a＞0.则a+b=1,-a+b=-3,解得a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
设k∈Z,2kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )≤2x+
( http: / / www.21cnjy.com )≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )时，f(x)单调递减，2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤2x+
( http: / / www.21cnjy.com )≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )的f(x)单调递增.
于是，单调递减区间为［kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］(k∈Z),单调递增区间为［kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］,k∈Z.
若a＜0,则-a+b=1,a+b=-3,
∴a=-2,b=-1.
f(x)=-sin(-2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com )).
其单调递增区间为［kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］,k∈Z,
单调递减区间为［kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］,k∈Z.
变式提升2
函数y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))(x∈［0,π］)为增函数的区间是（
）
A.［0,
( http: / / www.21cnjy.com )］
B.［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］
C.［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］
D.［
( http: / / www.21cnjy.com ),π］
思路分析：利用三角函数的性质，求出y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-2x)在R上的单调增区间，取特殊值验证即可解决此类问题.
解：2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-2x)=-2sin(2x
( http: / / www.21cnjy.com )),当2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤2x
( http: / / www.21cnjy.com )≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),即kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )
(k∈Z),当k=0时得在［0,π］上的单调增区间为［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］.
答案：C
类题演练3
函数y=3sinx,x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］的简图是（
）
思路分析：用五点法作图即可得出答案.
答案：A
变式提升3
函数y=-cosx的图象与余弦函数的图象（
）
A.只关于x轴对称
B.只关于原点对称
C.关于原点、x轴对称
D.关于原点、坐标轴对称
解析：对于y=cosx与y=-cosx，当x取相同值时，y值相反，所以图象关于x轴对称.
答案：A
类题演练4
(2006全国高考Ⅰ，理5文6)函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为（
）
A.(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
D.(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
解析：kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )＜x+
( http: / / www.21cnjy.com )＜kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )
(k∈Z),
∴单调增区间为(kπ
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z.
答案：C
变式提升4
(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,
( http: / / www.21cnjy.com )］时，f(x)=sinx，则f(
( http: / / www.21cnjy.com ))的值为（
）
A.-
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(-
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(
( http: / / www.21cnjy.com )).
∵当x∈［0,
( http: / / www.21cnjy.com )］时，f(x)=sinx,
∴f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：D
温馨提示
三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非偶函数.如f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质，也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等.(共42张PPT)
1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际背景及
A、ω、φ对函数图象变化的影响．
2．理解正弦曲线y＝sin
x通过平移、伸缩变换得到
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(难点)
3．掌握与y＝Asin(ωx＋φ)相关的性质和应用．
(重点)
第1章
三角函数
学法指导
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中各参数的物理意义
2.A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
A>1
0A
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
ω>1
0<ω<1
(3)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
3．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向
下
平移1个单位长度，得到的图象是________．
解析：变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四
个选
项
可得①选项正确．
①
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
②先伸缩后平移
由三角函数图象求解析式
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
名师解题
三角函数图象的应用
易错警示
未掌握图象变换的特点而出错1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课堂导学
三点剖析
1.会求y=Asin（ωx+φ）的振幅、周期、频率、相位及初相
【例1】已知函数y=3sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
(1)求出它的周期；
（2）用“五点法”作出一个周期的简图；
（3）指出函数的单调区间.
思路分析：复合函数的周期、图象、单调性.
解：（1）周期为T=
( http: / / www.21cnjy.com )=π.
(2)列表.
2x+
( http: / / www.21cnjy.com )
0
( http: / / www.21cnjy.com )
π
( http: / / www.21cnjy.com )
2π
x
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
y
0
3
0
-3
0
描点连线（如下图）.
（3）可见在一个周期内，函数在［,
( http: / / www.21cnjy.com )］上递减，又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］(k∈Z).同理，增区间为［kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］(k∈Z).
温馨提示
用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.①先将函数化为Asin(ωx+φ)的形式.②求函数的周期.③抓住五个关键点，使函数式中的ωx+φ分别取0，
( http: / / www.21cnjy.com ),π,
( http: / / www.21cnjy.com ),2π.然后求出相应的x，y值，作出图象.
2.y=sinx到y=Asin(ωx+φ)和y=cosx到y=Acos（ωx+φ）的变化过程
【例2】
指出将y=sinx的图象变换为y=3sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的两种变换方法.
思路分析：采用先ω再φ的变换或先φ再ω都可以.
解法1：y=sinx
( http: / / www.21cnjy.com )y
=sin2x
( http: / / www.21cnjy.com )y=sin［2(x+π6)］
=sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )y
=3sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
解法2:
y=sinx
( http: / / www.21cnjy.com )y=sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )y=sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )y=3sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
温馨提示
由y=sinx图象变换出y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换），先将y=sinx的图象向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
( http: / / www.21cnjy.com )倍（ω＞0）（纵坐标不变），便得y=sin(ωx+φ)的图象.
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换.先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（ω＞0,纵坐标不变），再沿x轴向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，便得y=sin(ωx+φ)的图象.
3.在y=Asin(ωx+φ)中，φ的确定
【例3】已知下图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|＜
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象.
（1）求ω、φ的值；
（2）求函数图象的对称轴方程，对称中心坐标.
思路分析：解这类问题的一般方法是通过特殊点来确定函数中的A、ω、φ.
解：由题意得
（1）解得ω=2,φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以y=2sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
(2)函数图象的对称轴方程为2x+
( http: / / www.21cnjy.com )=kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),
即x=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
对称中心为（x0,0）,则2x0+
( http: / / www.21cnjy.com )=kπ,k∈Z,
∴对称中心坐标为（
( http: / / www.21cnjy.com ),0）(k∈Z).
温馨提示
在y=Asin(ωx+φ)的确定过程中A、ω容易确定，而
φ要通过具体的点的坐标代入求出，容易在范围上出错.
各个击破
类题演练1
用五点法作出函数y=2sin(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
解：（1）列表.
x
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
x-
( http: / / www.21cnjy.com )
0
( http: / / www.21cnjy.com )
π
( http: / / www.21cnjy.com )
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点.
（3）作图，如图.
周期T=2π,频率f==
( http: / / www.21cnjy.com ),相位x-
( http: / / www.21cnjy.com ),初相-
( http: / / www.21cnjy.com ),最大值5，最小值1，函数的减区间为［2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )π,2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )π］,k∈Z，增区间为
［2kπ
( http: / / www.21cnjy.com ),2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))+3的图象.
变式提升1
如图是正弦函数y1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象.
（1）写出y1的解析式；
（2）若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式；
（3）指出y2的周期、频率、振幅、初相.
解：(1)由题图知：A=2，T=7-（-1）=8，
ω==
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴y1=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+φ),将点（-1，0）
代入得0=2sin（-
( http: / / www.21cnjy.com )+φ）
∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴y1=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
(2)作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.
∴y2=2sin［
( http: / / www.21cnjy.com )(x-2)+
( http: / / www.21cnjy.com )］=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )).
(3)由(2)知，y2的周期T=
( http: / / www.21cnjy.com )=8,
频率f=
( http: / / www.21cnjy.com ),振幅A=2，初相φ0=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
类题演练2
把函数y=sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com ),则所得图象的函数解析式是（
）
A.y=sin(4x+
( http: / / www.21cnjy.com )π)
B.y=sin(4x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
C.y=sin4x
D.y=sinx
思路分析：将y=sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，得y=sin［2(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))+
( http: / / www.21cnjy.com )］,即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com ),就得到函数y=sin2(2x)，即y=sin4x的图象.
答案：C
变式提升2
作出函数y=3cos(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象，并说明这个图象可以由y=cosx的图象经过怎样的变化得到？
解：①列出五个关键点如下：
2x-
( http: / / www.21cnjy.com )
0
( http: / / www.21cnjy.com )
Π
( http: / / www.21cnjy.com )
2π
x
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
y
3
0
-3
0
3
②描点作图.
③以π为周期把所得图象向左、右扩展，得
y=3cos(2x-)的图象.
这个图象可以由y=cosx的图象先向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的
( http: / / www.21cnjy.com )，每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到.
类题演练3
已知函数y=Asin(ωx+φ
( http: / / www.21cnjy.com ))（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的图象上一个最高点为（2，3），与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是（6，0），求这个函数的解析式.
解：由已知得，A=3,
( http: / / www.21cnjy.com )=6-2=4,
∴T=16.
∴ω=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴y=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )φ).
∵图象的一个最高点为（2，3），且0＜φ＜π,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )×2+φ=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以函数的解析式为y=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )).
变式提升3
函数y=Asin(ωx+φ)+b在同一周期内有最高点（
( http: / / www.21cnjy.com ),3）,最低点（
( http: / / www.21cnjy.com ),-5）,求它的解析式.
解：∵2A=3-(-5)=8,
∴A=4.
∵2b=3+(-5)=-2,
∴b=-1.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴T=π.
∴ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=2.
∴y=4sin(2x+φ)-1.
又图象过点（
( http: / / www.21cnjy.com )，3），从而3=4sin(2·
( http: / / www.21cnjy.com )+φ)-1,
即sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+φ)=1,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+φ=π2,φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
故y=4sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))-1.1．2.1　任意角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.任意角的正弦、余弦、正切的定义
【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是(
)
①终边相同的角的同名三角函数的值相同
②终边不同的角的同名三角函数的值不等
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角
④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：运用概念判断.
解析：由任意角三角函数定义知①正确；
对②，我们举出反例sin
( http: / / www.21cnjy.com )=sin
( http: / / www.21cnjy.com )；
对③，可指出sin
( http: / / www.21cnjy.com )＞0，但
( http: / / www.21cnjy.com )不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
综上选A.
答案：A
温馨提示
要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.
2．角、实数和三角函数值之间的对应关系
【例2】
判断下列各式的符号.
（1）tan250°·cos(-350°);
(2)sin151°cos230°；
(3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).
思路分析：本题主要考查三
( http: / / www.21cnjy.com )角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数.
解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,
∴tan250°·cos(-350°)＞0.
(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,
∴sin151°·cos230°＜0.
(3)∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜3＜π,π＜4＜
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )＜5＜2π,
∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0.
(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴cos(sinθ)＞0.
同理，-
( http: / / www.21cnjy.com )＜-1＜cosθ＜0,
∴sin(cosθ)＜0,故sin（cosθ）·cos(sinθ)＜0.
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的
( http: / / www.21cnjy.com )象限.（2）sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.
【例3】求函数y=的定义域.
思路分析：运用等价及集合的思想.
解：只需满足条件
∴函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
温馨提示
利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.
各个击破
类题演练1
已知角α的终边经过点P（-6，-2），求α的三个三角函数值.
解：已知x=-6,y=-2,所以r=
( http: / / www.21cnjy.com ),于是sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )tanα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升1
已知角α的终边经过点P（2t,-3t）(t＜0),求sinα,cosα,tanα.
解：∵x=2t,y=-3t
∴r=
( http: / / www.21cnjy.com )
∵t＜0
∴r=
( http: / / www.21cnjy.com )
∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )
cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
tanα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
类题演练2
判断下列各式的符号
（1）sin105°·cos230°;(2)sin
( http: / / www.21cnjy.com )π·tan
( http: / / www.21cnjy.com )π;
(3)cos6·tan
6;(4)sin4·tan(
( http: / / www.21cnjy.com )).
解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0.cos230°＜0.
sin105°·cos230°＜0.
(2)∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )π＜π,∴
( http: / / www.21cnjy.com )π是第二象限角.
∴sin
( http: / / www.21cnjy.com )π＞0,tan
( http: / / www.21cnjy.com )π＜0.
∴sin
( http: / / www.21cnjy.com )π·tan
( http: / / www.21cnjy.com )π＜0.
(3)∵
( http: / / www.21cnjy.com )π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.
∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.
(4)∵π＜4＜
( http: / / www.21cnjy.com )π,∴sin4＜0.
又
( http: / / www.21cnjy.com )=-6π+
( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )终边相同.
∴tan(
( http: / / www.21cnjy.com ))＞0.
∴sin4·tan(
( http: / / www.21cnjy.com ))＜0.
变式提升2
已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号.
解：∵α是第三象限角.
∴cosα＜0,sinα＜0.
又|sinα|＜1,|cosα|＜1,
∴-1＜cosα＜0,-1＜sinα＜0,
∴sin(cosα)＜0,cos(sinα)＞0.
∴sin(cosα)·cos（sinα）＜0.
类题演练3
已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sinα+3cosα的值.
解：设α终边上任意一点P（k,-3k）,则
r=
( http: / / www.21cnjy.com )
当k＞0时，r=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴10sinα+3cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
当k＜0时，r=-
( http: / / www.21cnjy.com )k,
∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴10sinα+3cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升3
已知α∈(0,
( http: / / www.21cnjy.com )),试比较α、sinα、tanα的大小.
解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP延长线于T，并过点P作PM⊥x轴，则
|MP|=sinα，|AT|=tanα，
的长为α.
连PA，
∵S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
( http: / / www.21cnjy.com )|OA|·|MP|＜
( http: / / www.21cnjy.com )|OA|2·a＜
( http: / / www.21cnjy.com )|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|,
∴sinα＜α＜tanα.1.2.3
三角函数的诱导公式
课堂导学
三点剖析
1.三角函数的诱导公式
【例1】求下列各三角函数值.
(1)sin(
( http: / / www.21cnjy.com ));
(2)cos(
( http: / / www.21cnjy.com ));
(3)tan(-855°).
思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.
解：(1)sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))=-sin
( http: / / www.21cnjy.com )
=-sin(2π+
( http: / / www.21cnjy.com ))
=-sin
( http: / / www.21cnjy.com )
=-sin(π+
( http: / / www.21cnjy.com ))
=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(4π+
( http: / / www.21cnjy.com ))
=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(π
( http: / / www.21cnjy.com ))
=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)tan(-855°)=-tan855°
=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)
=tan45°=1.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用
( http: / / www.21cnjy.com )诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°—360°间的角的三角函数，若这时是90°—360°间的角，再利用180°+α或180°-α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.
【例2】化简：
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
思路分析：将k分为奇数和偶数，再利用诱导公式.
解法1：当k=2n,n∈Z时，
原式=cos(kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )+α)+cos(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )-α)
=cos(2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )+α)+cos(2nπ-
( http: / / www.21cnjy.com )-α)
=cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)+cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=2cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α).
当k=2n+1，n∈Z时，
原式=cos［(2n+1)π+
( http: / / www.21cnjy.com )+α］+cos［(2n+1)π-
( http: / / www.21cnjy.com )-α］=cos(π+
( http: / / www.21cnjy.com )+α)+cos(π-
( http: / / www.21cnjy.com )-α)
=-cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)-cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=-2cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α).
解法2：∵(kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )+α)+(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=2kπ,
∴cos(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=cos［2kπ-（kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )+α）］=cos(kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )+α).
∴原式＝2cos（kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )-α）=
温馨提示
观察每组诱导公式的等号两边的角
( http: / / www.21cnjy.com )度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即为kπ，k∈Z的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角kπ，k∈Z的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.
2.关于直线y=x对称的点的性质与（±α）的诱导公式
【例3】证明sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan(-α)=-tanα.
思路分析：利用三角函数定义解析问题.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为
( http: / / www.21cnjy.com )P1（x,y），由于角-α的终边与角α的终边关于x轴对称，角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1，关于x轴对称，因此点P2的坐标是（x,-y），由三角函数的定义得
sinα=y,cosα=x,tanα=
( http: / / www.21cnjy.com );
sin(-α)=-y,cos(-α)=x,tan(-α)=-
( http: / / www.21cnjy.com );
从而得sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
温馨提示
学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.
3.诱导公式应用时符号的确定
【例4】
已知sin（3π+θ）=
( http: / / www.21cnjy.com ),
求的值.
解析：∵sin(3π+θ)=,
∴sinθ=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=18.
温馨提示
应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错.
各个击破
类题演练1
求下列各三角函数值.
(1)sin(
( http: / / www.21cnjy.com ));
(2)cos(-945°).
解：（1）解法1：sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))=-sin16
( http: / / www.21cnjy.com )
=-sin(4π+
( http: / / www.21cnjy.com ))
=-sin
( http: / / www.21cnjy.com )=-sinπ+
( http: / / www.21cnjy.com )=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
解法2：sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin(-6π+
( http: / / www.21cnjy.com ))
=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=sin(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)cos(-945°)=cos945°=cos（2×360°+225°）
=cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升1
计算：（1）cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com );
(2)tan10°+tan170°+sin1
866°-sin(-606°).
解：(1)原式=(cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com ))+(cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com ))
=［cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))］+［cos
( http: / / www.21cnjy.com )+cos(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))］
=(cos
( http: / / www.21cnjy.com )-cos
( http: / / www.21cnjy.com ))+(cos
( http: / / www.21cnjy.com )-cos
( http: / / www.21cnjy.com ))=0.
(2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1
866°-sin(-606°)
=tan10°+
( http: / / www.21cnjy.com )+sin(5×360°+66°)-sin［（-2）×360°+114°］
=tan10°-tan
10°+sin66°-sin66°=0.
类题演练2
化简：
( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z).
思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”.
解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
变式提升2
(1)已知tan(π-α)=2,求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
思路分析：首先求出tanα,其次将所求式子“弦化切”化简.
解：由tan(π-α)=2得tanα=-2.
则原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)已知：cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-2α)=m,求cos(2α+
( http: / / www.21cnjy.com ))的值.
思路分析：根据（
( http: / / www.21cnjy.com )-2α）与（2α+
( http: / / www.21cnjy.com )）是互补的角，适当选择诱导公式计算.
解：∵（
( http: / / www.21cnjy.com )-2α）+(2α+
( http: / / www.21cnjy.com ))=π,
∴cos(2α+
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos［π-(
( http: / / www.21cnjy.com )-2α)］
=-cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-2α)=-m.
类题演练3
求证sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为
( http: / / www.21cnjy.com )P1（x,y），由于角（π-α）的终边与角α的终边关于y轴对称，角（π-α）的终边与角α的终边关于x轴对称，角（π-α）的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y轴对称，因此点P2的坐标是（-x,y），由三角函数的定义得：
sinα=y,cosα=x,tanα=
( http: / / www.21cnjy.com );
sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-
( http: / / www.21cnjy.com );
从而得sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
变式提升3
求证：sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=cosα,cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=sinα.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）.由于角
( http: / / www.21cnjy.com )-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角
( http: / / www.21cnjy.com )-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是（y,x）.于是我们有：
cosα=x,sinα=y;
cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=y,sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=x.
从而得sin（
( http: / / www.21cnjy.com )-α）=cosα,cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=sinα.
类题演练4
在△ABC中，①sin（A+B+C）；②sin（A+B）+sinC；③cos（A+B）+cosC；④tan
( http: / / www.21cnjy.com )·tan
( http: / / www.21cnjy.com );⑤tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_______________.
解析：①sin(A+B+C)=sinπ=0.
②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.
③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0.
④tan
( http: / / www.21cnjy.com )·tan
( http: / / www.21cnjy.com )=tan(90°-
( http: / / www.21cnjy.com ))tan
( http: / / www.21cnjy.com )=cot
( http: / / www.21cnjy.com )·tan
( http: / / www.21cnjy.com )=1.
⑤tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.
故应填①③④.
答案：①③④
变式提升4
若f(sinx)=cos17x，求f(
( http: / / www.21cnjy.com ))的值.
思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.
解：f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(sin
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(2π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(π
( http: / / www.21cnjy.com ))=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).1.1
任意角、弧度
典题精讲
例1
一条弦的长度等于半径r，求:
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.
思路分析:解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为
( http: / / www.21cnjy.com )，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由扇形面积减三角形面积求得.
解:(1)如图1-1-1，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=
( http: / / www.21cnjy.com ).则弦AB所对的劣弧长为
( http: / / www.21cnjy.com )r.
图1-1-1
(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=
( http: / / www.21cnjy.com )r2，
S扇形OAB=
( http: / / www.21cnjy.com )|α|r2=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )×r2=
( http: / / www.21cnjy.com )r2，
∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=
( http: / / www.21cnjy.com )r2-
( http: / / www.21cnjy.com )r2=(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))r2.
绿色通道:图形的分解与组合是
( http: / / www.21cnjy.com )解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与弓形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中，从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.
变式训练
地球赤道的半径是6
370
km，所以赤道上1′的弧长是____________(精确到0.01
km).
思路解析:1′=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
rad，弧长l=r|α|=6
370×
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=1.85(km).
答案:1.85
km
例2
（2005全国高考卷Ⅲ，1）
已知α为第三象限角，则
( http: / / www.21cnjy.com )所在的象限是(
)
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
思路解析:因为第三象限角与
( http: / / www.21cnjy.com )—π之间的角并不等价，由α在第三象限,α应在区间(2kπ+π,2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ))(k∈Z)内，要判定
( http: / / www.21cnjy.com )在第几象限，需分k是奇数，k是偶数两种情况去讨论解决，即2kπ+π＜α＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ),
当k为偶数时，
( http: / / www.21cnjy.com )在第二象限，当k为奇数时，
( http: / / www.21cnjy.com )在第四象限.
答案:D
绿色通道:(1)由α
( http: / / www.21cnjy.com )的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如α=45°，2α=90°就不再是象限角.
(2)在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图1-1-2来记忆.图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如当α为第一象限角时，
( http: / / www.21cnjy.com )为第一、三象限角的前半区域；当α为第二象限角时，
( http: / / www.21cnjy.com )为第一、三象限角的后半区域.依此类推.
图1-1-2
黑色陷阱:(1)由α是第二象限角，仅想到90°<α<180°，从而得到45°＜＜90°和仅得到
( http: / / www.21cnjy.com )为第一象限角，而将
( http: / / www.21cnjy.com )是第三象限角的可能性丢掉.
(2)解题时容易将α的范围误认为90°<
( http: / / www.21cnjy.com )α<180°,即误认为α是钝角，导致错误.同时在得出α的范围时,不进行分类讨论,或者讨论时不按奇数和偶数分类.
变式训练
1
已知单位圆上一点A(1,0)按逆
( http: / / www.21cnjy.com )时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0<θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.
思路分析:这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题
，可以根据题意画图分析，并由此列出角的等式或不等式.
解:由0<θ≤π,得0<2θ≤2π，
又因为2θ在第三象限，所以π<2θ≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
由14θ=2kπ(k∈Z)，得2θ=
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)，
所以π<
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com ),即
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ).
所以k=4或5;θ=
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式训练
2
若锐角α的终边与它的10倍角的终边相同，求α.
思路分析:与角α终边相同的角均可
( http: / / www.21cnjy.com )以表示为2kπ+α(k∈Z)的形式，注意题目中α是锐角.可以根据题意列出方程解出α，这一方法也体现了在三角函数中“方程思想”的应用.
解:由题意，得10α=2kπ+α(k∈Z)，∴α=
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
又∵α为锐角，∴k可以取1、2两个值，即α=40°或α=80°.
例3
已知扇形的周长为20
cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
思路分析:根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，然后利用求函数最值的方法求解.
解:设扇形的圆心角为θ,半径为r，由已知条件,得扇形的弧长l=rθ.
∴2r+rθ=20,θ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴S扇形=
( http: / / www.21cnjy.com )r2θ=
( http: / / www.21cnjy.com )r2·
( http: / / www.21cnjy.com )=r(10-r)=-r2+10r.
当r=-
( http: / / www.21cnjy.com )=5时，S扇形最大=25，此时θ=2.
绿色通道:几何图形求
( http: / / www.21cnjy.com )最值的途径有两种:一是利用几何意义，从图形中直接找出(本例不好找)；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.
变式训练
一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_______弧度，扇形的面积是_______.
思路解析:设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.
由题意,知2r+rθ=rπ，∴θ=π-2.
扇形的面积为S=
( http: / / www.21cnjy.com )θ·r2=
( http: / / www.21cnjy.com )r2(π-2).
答案:π-2
( http: / / www.21cnjy.com )r2(π-2)
问题
探究
问题
1
在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角是多大？
导思:解答此类问题
时
( http: / / www.21cnjy.com )，要考虑到问题
的多种情况，不要上来就盲目地解答.首先对问题
有个大体的了解，然后再联系所学知识进行解答，可能起到事半功倍的效果.此题不要忽视了转体的顺、逆方向会影响到角的正负号.利用角的定义及正角、负角的概念，这个问题
就迎刃而解.
探究:如果是逆时针转体
( http: / / www.21cnjy.com )，则分别是360°×3=1
080°和360°×2.5=900°；若是顺时针转体，则分别为-1
080°和-900°.
问题
2
在炎炎夏日，用纸扇驱走
( http: / / www.21cnjy.com )闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角度看，能否利用黄金比例(0.618)去设计一把有美感的白纸扇呢？此时的张角是多大呢？
导思:在设计纸扇张开角(θ)时，
( http: / / www.21cnjy.com )可以考虑从一圆形(半径为r)分割出来的扇形的面积(A1)与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到θ.
探究:若=0.618，θ以弧度表示.则θ=0.618(2π-θ).
所以θ=0.764π≈140°(
( http: / / www.21cnjy.com )精确到度).我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近140°，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否θ接近140°时纸扇最美观.1.1.2
弧度制
课堂导学
三点剖析
1.弧度的意义，角度与弧度之间的换算
【例1】-300°化为弧度是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.
解：∵1°=
( http: / / www.21cnjy.com )弧度，
∴-300°=
( http: / / www.21cnjy.com )弧度.
答案：B
温馨提示
掌握基本换算关系：180°=π弧度，1弧度=（
( http: / / www.21cnjy.com )）°≈57.30°,可以解决角度与弧度的换算问题.
2．弧度制的概念及其与角度的关系
【例2】
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）.
思路分析：运用数形结合表示象限角的方法
，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或最大负数.
解：(1)中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，
即而75°=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )＜θ＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
(2)中OB为终边的角是225°，可看成-135°，
化为弧度，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
而135°=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )＜θ＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
温馨提示
在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.
3．弧度的意义的再理解
【例3】下列诸命题中，真命题是(
)
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
思路分析：弧度定义的理解.
解：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D为真命题.
答案：D
温馨提示
掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.
各个击破
类题演练1
把260°化为弧度为____________.
解析：∵1°=
( http: / / www.21cnjy.com )弧度
∴260°=
( http: / / www.21cnjy.com )弧度.
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
变式提升1
（1）将112°30′化为弧度；
（2）将-
( http: / / www.21cnjy.com )rad
化为度.
解：(1)∵1°=
( http: / / www.21cnjy.com )
rad,
∴112°30′=
( http: / / www.21cnjy.com )×112.5
rad=
( http: / / www.21cnjy.com )rad.
(2)∵1
rad=(
( http: / / www.21cnjy.com ))°,
∴-
( http: / / www.21cnjy.com )
rad=-(
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com ))°=-75°.
类题演练2
（1）分别写出终边落在
OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
思路分析：先在0到2π之间找出终边落在OA与OB位置上的角的集合，为方便起见，也可以在-π与π之间找出终边落在OA与OB位置上的角的集合.
解：（1）在0到2π之间，终边落在OA位置上的角是+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，终边落在OB位置上的角是
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),
故终边落在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z},
终边落在OB上的角的集合为{β|β=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )≤α≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
变式提升2
（1）已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同，求θ.
解：由已知有7θ=2kπ+θ,k∈Z.
即6θ=2kπ.∴θ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
又∵0＜θ＜2π,∴0＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜2π.
∵k∈Z,
当k=1,2,3,4,5时，θ=
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),π,
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同，求此角的大小.
解：设这个角是α,则0≤α＜2π.
∵5α与α终边相同，
∴5α=α+2kπ(k∈Z),
∴α=
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
又∵α∈［0,2π）,令k=0，1，2，3.
得α=0，
( http: / / www.21cnjy.com )，π，
( http: / / www.21cnjy.com ).即为所求值.
温馨提示
求与α终边相同的角，一般先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z)的形式，再由题目已知条件来求解.
类题演练3
下列诸命题中，假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的
( http: / / www.21cnjy.com ),一弧度的角是周角的
( http: / / www.21cnjy.com )
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
解析：根据角度和弧度的定义，可知无论
( http: / / www.21cnjy.com )是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，其他A、B、C三项均为真命题.
答案：D
变式提升3
在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（
）
A.弦长相等
B.弧长相等
C.弦长等于所在圆的半径
D.弧长等于所在圆的半径
解析：由弧度的意义可知选D.
答案：D(共39张PPT)
1．3.4　三角函数的应用
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.理解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型.
(难点)
2．会用三角函数解决简单实际问题．(重点)
学法指导
三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集的数据,画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.
解答与三角函数有关的应用题的程序
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖
掘等，
通
过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际
问题的
类型、
思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些
问
题
中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅
读，
准
确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号，将题
中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应
符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题.
(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决.
(4)还原评价
应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验.
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
80
1
s
三角函数在日常生活中的应用
下表是某地1981～2013年月平均气温(单位：华氏)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
方法归纳
三角函数应用题通常“文字语言”和“图形语言”并用，在
解
决实际问题时，应注意以下几点：
(1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．
(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量
与已知量．
(3)结合题目的已知和要求，建立数学模型，确定变量的性
质与范围得出问题的结论．
三角函数在物理中的应用
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？
(4)小球经过多长时间往返振动一次？
(链接教材P41例1)
方法归纳
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有
周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函
数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．
三角函数在航海与测量中的应用
受日月引力作用，海水常发生涨落，通常情况下,
船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.
某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记
作
y
＝f(t)，下面是该港口在某季节某天水深的数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看做函数
y＝Asin
ωt＋b的图象．
方法归纳
审清题目中的条件，提炼出相应的数学问题，准确应用数学知识解答问题．
3.(2014·济南高一期末)已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ω
t＋b.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
名师解题
建立三角函数模型
易错警示
不理解函数模型的实际意义而出错
4.
一半径为4
m的水轮如图所示．水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮
现
时(
图中P0点)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)经过多长时间，点P第一次与P0重合？1．3.1　三角函数的周期性
教学分析　　　　　
三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念
( http: / / www.21cnjy.com )之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．
周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学
( http: / / www.21cnjy.com )中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．
教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分
( http: / / www.21cnjy.com )析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．
三角函数的最小正周期是指三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．
不论是周期，还是最小正周
( http: / / www.21cnjy.com )期，都是对自变量x而言的，是自变量x的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期为这一结论．
三维目标　　　　　
1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变
( http: / / www.21cnjy.com )化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．
2．通过本节的学习，使同学
( http: / / www.21cnjy.com )们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．
重点难点　　　　　
教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．
教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.人的情绪、体力、智
( http: / / www.21cnjy.com )力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．
思路2.取出一个钟表，实
( http: / / www.21cnjy.com )际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．
推进新课　　　　　
周期函数的定义
由单位圆中的三角函数线可
( http: / / www.21cnjy.com )知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．
若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：
如何用数学语言刻画函数的周期性？
教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同
( http: / / www.21cnjy.com )角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：
sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.
这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内
( http: / / www.21cnjy.com )自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．
如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：
f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；
f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；
f(x＋T)＝f(x)，其中T是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．
从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．
定义：对于函数f(x)，如果存在一个
( http: / / www.21cnjy.com )非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
如果在周期函数f(x)的所
( http: / / www.21cnjy.com )有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．
假设0( http: / / www.21cnjy.com )弦函数的周期，则对任意实数x，都有sin(x＋T)＝sinx成立．令x＝0，得sinT＝0，又0由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．
学生一时可能难于理解周期的代数
( http: / / www.21cnjy.com )刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)是周期函数，所有非零实数T都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x有f(x＋T)＝f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如，分别取x1＝2kπ＋(k∈Z)，x2＝，则由sin(2kπ＋＋)＝sin(2kπ＋)，sin(＋)≠sin，可知不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x都有f(x＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．
对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先
( http: / / www.21cnjy.com )出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．
例1见课本本节例1.
变式训练1．求下列函数的周期：(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(－)，x∈R.活动：教师引导学生紧扣定
( http: / / www.21cnjy.com )义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x＋2π)＝3cosx，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x＋π)＝－3cosx≠3cosx，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x，可把2x看
( http: / / www.21cnjy.com )成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u＋2π时，函数cosu的值重复出现，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须增加到x＋π时函数值重复出现．因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[(x＋4π)－]＝2sin[(－)＋2π]＝2sin(－)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自
( http: / / www.21cnjy.com )变量的系数有关，关键是让学生认识到，f(x＋T)＝f(x)中，T是相对于自变量x而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝.可以按照如下的方法求它的周期：y＝Asin(ωx＋φ＋2π)＝Asin[ω(x＋)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)．于是有f(x＋)＝f(x)，所以其周期为.例如在第(3)小题，y＝2sin(－)，x∈R中ω＝，所以其周期是4π.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y＝sinx的周期为2π.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如第(3)小题：T＝＝4π这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法．2．已知函数f(x)是周期为5的周期函数，且f(1)＝2
007，求f(11)．解：因为5是函数f(x)在R上的周期，所以f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2
007.3．已知奇函数f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)．解：由题意，知3是函数f(x)的周期，且f(－x)＝－f(x)，所以f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？
活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定
( http: / / www.21cnjy.com )义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．
解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，
所以原函数是周期函数，最小正周期是π.
点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求
( http: / / www.21cnjy.com )的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．
变式训练1．求函数y＝2sin(π－x)的周期．解：因为y＝2sin(π－x)＝－2sin(－)，所以周期T＝6π.2．设f(x)是定义在R上，以2为周期的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2.(1)求x∈(1,3)时，f(x)的表达式；(2)求f(－3.5)及f(3.5)的值．解：(1)∵1课本本节练习1～4.
1．课本习题1.3　1.
2．预习正弦函数、余弦函数的图象．
1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动
( http: / / www.21cnjy.com )中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．
2．本节设计的特点是从形(单位圆
( http: / / www.21cnjy.com ))到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．
3．根据本节课的特点可考虑
( http: / / www.21cnjy.com )分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．
一、关于周期函数与函数的周期
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质
( http: / / www.21cnjy.com )，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．
1．性质：
(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T也是f(x)的周期．
〔因f[x＋(T－T)]＝f[x＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．
(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期．
(3)若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期．
〔因f[x＋(T1±T2)]＝f(x＋T1)＝f(x)〕
(4)如果f(x)有最小正周期T
，那么f(x)的任何正周期T一定是T
的正整数倍．
(5)周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合，但M并非必定是(－∞，＋∞)．
2．周期函数的判定
(1)若f(x)是在数集M上
( http: / / www.21cnjy.com )以T
为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和分别是数集M和数集{x|f(x)≠0}上的以T
为最小正周期的周期函数．
(2)设f(u)是定义在数
( http: / / www.21cnjy.com )集M上的函数，u＝g(x)是数集M1上的周期函数，且当x∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M1上的周期函数．
(3)设f1(x)、f2(x)都是集合M
( http: / / www.21cnjy.com )上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若∈Q，则它们的和、差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期．
例如：f(x)＝sinx－2cos2x＋sin4x是以2π、π、的最小公倍数2π为周期的周期函数．
3．非周期函数的判定
(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．
(2)一般用反证法证明．
例如：可证f(x)＝sinx2是非周期函数；f(x)＝ax＋b(a≠0)是非周期函数．
(3)根据定义讨论函数的周期性可知
( http: / / www.21cnjy.com )非零实数T在关系式f(x＋T)＝f(x)中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(x＋T)－f(x)＝0，若能解出与x无关的非零常数T，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T不存在，则f(x)为非周期函数．
4．求周期函数的周期
关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的
( http: / / www.21cnjy.com )重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．
二、备用习题
1．求下列函数的周期：
①y＝cos2x；②y＝sinx；③y＝sin(x－)；④y＝|sinx|.
2．已知函数y＝2cos(－ωx)的周期是4π，求ω.
3．已知函数f(x)＝3sin(＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k的值为(　　)
A．33　　　
　
　　B．32　　　
　
　　C．31　　　
　
　　D．30
4．下列函数中不是周期函数的是(　　)
A．y＝－8π
B．y＝|cosx|
C．y＝
D．y＝sin|x|
5．求证：y＝cos2x＋sin2x的周期为π.
6．求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．
参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.
2．ω＝±.　3.B　4.D
5．证明：f(x＋π)＝
( http: / / www.21cnjy.com )cos2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x＋sin2x＝f(x)，∴y＝cos2x＋sin2x的周期是π.
(一般不要求证明是最小正周期)
6．解：函数y＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T＝.
图1(共30张PPT)
1．3.2　三角函数的图象与性质(二)
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
第1章
三角函数
学法指导
函数y＝tan
x的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
解析式
y＝tan
x
值域
____________
周期
____________
奇偶性
____________函数，图象关于原点对称
单调性
在每个开区间____________________________上都是增函数
R
π
奇
1.“正切函数在整个定义域内是增函数”是____________的．
(填“正确”或“不正确”)
不正确
①②
与正切函数有关的图象问题
画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
(链接教材P33正切函数图象与主要性质)
1.将本例中的函数y＝|tan
x|改为y＝tan
|x|,回答同样的问题,结果又如何？
与正切函数有关的定义域问题
正切函数的单调性及应用
规范解答
与正切函数图象有关的综合问题
易错警示
忽视正切函数自身的定义域而出错
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
y
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例(共32张PPT)
1．1.2　弧度制
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解弧度制的意义(难点)．
2．理解弧度与角度的换算．(重点)
3．掌握弧长公式和扇形面积公式．(难点)
学法指导
1.通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．
2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.
半径
1
rad
正
负
0
2π
π
360°
180°
36°
2．1
920°转化为弧度数为________．
3．一钟表的分针长为5
cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm.
4．已知圆内1
rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所
对的弧长为________．
角度与弧度的互化
终边相同的角和区间角的弧度制表示
2．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示阴影部分内的角的集合(不包含边界)．
(1)　　　　　　　
(2)
弧长与扇形面积公式的应用
已知一扇形的圆心角是α，半径是r.
(1)若α＝60°，r＝10
cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？
(链接教材P9例3)
方法归纳
分析题目所给的有关信息，以扇形的有关知识为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题．运用二次函数求最值，可更快地解决问题．
3．(1)在半径为12
cm的圆上，有一条弧的长
是18
cm，
求
该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；
(2)已知扇形OAB的面积为1
cm2，它的周长是4
cm，求该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数．
规范解答
扇形周长与面积的综合题
(本题满分14分)(1)已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
名师解题
与扇形的弧长和面积有关的创新题1.2
任意角的三角函数
典题精讲
例1
已知sinα=t且|t|<1,求角α的余弦值和正切值.
思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况.
解:∵sinα=t且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x轴上的轴线角.
(1)当α为第一、四象限或x轴正半轴上的角时,
有cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),tanα=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)当α为第二、三象限或x轴负半轴上的角时,
有cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
tanα=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的
( http: / / www.21cnjy.com )某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.
变式训练
1
(2006重庆高考卷，文13)
已知sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )≤α≤π，则tanα等于______.
思路解析:由sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )≤α≤π
( http: / / www.21cnjy.com )cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以tanα=-2.
答案:-2
变式训练
2
sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限.
思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cosα<0得出α的范围,两者取交集即可.
解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).
∴kπ<α( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,有2nπ<α<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z),
∴α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π<α<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z),∴α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα<0，知α在第二或第三象限或α终边在x轴的负半轴上.
综上所述,知α为第三象限角.
例2
y=
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域是_____________.
思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域及分式函数的定义域即可求解.
要使函数有意义必须使tanx有意义且tanx≠0，
即（k∈Z）
∴函数y=的定义域为{x|x≠
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
答案:{x|x≠
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}
黑色陷阱:解答本题，往往容易忽视tanx本身有意义这个条件，只考虑到tanx作为分母不能为0.
变式训练
若|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为_____________.
思路解析:由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.
由已知,得|cosα|=-cosα，
∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.
∴2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤α≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
答案:{α|2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤α≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}
例3
分别作出
( http: / / www.21cnjy.com )和-
( http: / / www.21cnjy.com )的正弦线、余弦线和正切线.
思路分析:利用单位圆中三角函数线的作法作图.
解:(1)在直角坐标系中作单位圆,如图1-2-4,以Ox轴为始边作
( http: / / www.21cnjy.com )角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点,则
( http: / / www.21cnjy.com )的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段AT.
图1-2-4
(2)同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-5.
-
( http: / / www.21cnjy.com )的正弦线为有向线段M1P1,余弦线为有向线段O1M1,正切线为有向线段A1T1.
图1-2-5
黑色陷阱:容易忽视的正切线的数量为负，即有向线段的方向与y轴负方向相同，所以应反向延长.-
( http: / / www.21cnjy.com )的正切线同样应反向延长.
变式训练
集合M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M与N之间的关系是(
)
A.M
( http: / / www.21cnjy.com )N
B.M
( http: / / www.21cnjy.com )N
C.M=N
D.M∩N=
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析:采用淘汰法.
sin|x|=1
( http: / / www.21cnjy.com )|x|=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)
( http: / / www.21cnjy.com )x=±(2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ))(k∈Z),
|sinx|=1
( http: / / www.21cnjy.com )sinx=±1
( http: / / www.21cnjy.com )x=2kπ±
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z),从而淘汰D.
又|sin
( http: / / www.21cnjy.com )|=1,∴
( http: / / www.21cnjy.com )∈N,而sin|
( http: / / www.21cnjy.com )|=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=-1,∴
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )M,从而淘汰B、C.
答案:A
例4
已知tanα=2,求值:
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )=_____________；
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )=______________.
思路解析:根据同角的三角函数之间的关系，对所求代数式进行适当变形.
(1)∵cosα≠0，
分子分母同除cosα，得
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=-1.
(2)∵cos2α≠0，分子分母同除cos2α，
得
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:(1)-1
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
绿色通道:这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、cosα的齐次式值的问题
.解这类问题
需注意以下几点:
(1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;
(2)因为cosα≠0,所以可用cosnα(n∈N
)除之.这样可以将所求式化为关于tanα的表达式,整体代入tanα=m的值求解.
变式训练
已知sin(α+β)=1，求证:tan(2α+β)+tanβ=0.
思路分析:由已知得α+β的取值，注意将α+β变形得到α，代入被证式左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边.
证明:∵sin(α+β)=1，∴α+β=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)，
∴α=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ=tan［2(2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )-β)+β］+tanβ
=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ
=-tanβ+tanβ=0.
∴tan(2α+β)+tanβ=0得证.
例5
已知sinα是方程6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com )根，那么的值等于(
)
A.±
B.±
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析:先求出方程6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com )的根，即为sinα的值，然后对所求式子用诱导公式化简，最后把sinα的值代入化简后的式子即可.
由6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com ),解得x=
( http: / / www.21cnjy.com )，即sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )，
=-tanα，∵sinα=，∴α应为第一或第二象限的角.
∴tanα=±
( http: / / www.21cnjy.com )，-tanα=±
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:A
黑色陷阱:解答此题容易出错的地方有两处，一是在解方程6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com )时，忽视了x的定义域，错误地把得到的负值也保留；二是对各诱导公式掌握不熟练，在化简所求关系式的过程中出错.
变式训练
1
已知sin(π-α)-cos(π+α)=
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )<α<π)，则sinα-cosα等于___________.
思路解析:将已知平方，得sinαcosα,然后利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解.
易知sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
两边平方，得1+2sinαcosα=
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴2sinαcosα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵
( http: / / www.21cnjy.com )<α<π，∴sinα>0>cosα.
故有sinα-cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:
( http: / / www.21cnjy.com )
变式训练
2
如图1-2-6，已知长方形的四个顶点A(0
( http: / / www.21cnjy.com ),0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).一质点从AB的中点P0出发,沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3、P4(入射角等于反射角).设P4的坐标(x4,0),若1)
图1-2-6
A.(,1)
B.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
C.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
思路解析:可以把tanθ
( http: / / www.21cnjy.com )表示为x4的函数,即得到tanθ=f(x4),再根据1设P1(2,y1),P2(x2,1),P3(0,y3),其中P0(1,0),根据反射角与入射角相等的关系，得到关系式tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴y1=tanθ，x2=2-
( http: / / www.21cnjy.com )，
y3=1-x2tanθ=2-3tanθ,
x4=
( http: / / www.21cnjy.com )-3.
∵θ∈(0，
( http: / / www.21cnjy.com )),x4∈(1,2)，∴1<
( http: / / www.21cnjy.com )-3<2.
解得
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:C
例6
已知cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=
( http: / / www.21cnjy.com )，求cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)-sin2(α-
( http: / / www.21cnjy.com ))的值.
思路分析:注意到
( http: / / www.21cnjy.com )-α+
( http: / / www.21cnjy.com )+α=π，可以把
( http: / / www.21cnjy.com )+α化成π-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)，α-
( http: / / www.21cnjy.com )=-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)，利用诱导公式化简即可.
解:cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=cos［π-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)］=-cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=
( http: / / www.21cnjy.com )，
sin2(α-
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin2［-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)］=1-cos2(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=1-(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)-sin2(α-
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
绿色通道:此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如
( http: / / www.21cnjy.com )+α=π-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)，利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来.
变式训练
求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值.
思路分析:将sin(63
( http: / / www.21cnjy.com )0°-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值.
解:sin(630°-2x)=sin(360°+180°+90°-2x)=sin(180°+90°-2x)
=-sin(90°-2x)=-cos2x，
∴y=lgsin(630°-2x)=lg(-cos2x).
其中-cos2x>0，∴cos2x<0.又cos2x≥-1，
∴当且仅当cos2x=-1时，ymax=lg1=0.
例7
若f(sinx)=cos17x，求f(
( http: / / www.21cnjy.com ))的值.
思路分析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.
解:f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=f(sin
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(2π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
绿色通道:此类题目在运算过程中要注意选
( http: / / www.21cnjy.com )取恰当的角，在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分.解答三角函数问题
的时候，除了掌握特殊角的三角函数值，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题
的目的.
变式训练
设f(x)=asin(πx+α
( http: / / www.21cnjy.com ))+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2
002)=-1，则f(2
003)等于____________.
思路解析:用诱导公式寻求f(2
002)和f(2
003)的关系.
f(2
003)=asin(2
003π+α)+bcos(2
003π+β)
=asin［π+(2
002π+α)］+bcos［π+(2
002π+β)］
=-asin(2
002π+α)-bcos(2
002π+β)=-f(2
002)=1.
答案:1
问题
探究
问题
1
你能找到三角函数值在各个象限的符号记忆规律吗
导思:三角函数的符号是根据三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数的定义和各象限内的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，根据三角函数的定义可知正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切当x、y同号时为正，异号时为负.
探究:方法一:利
( http: / / www.21cnjy.com )用口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,也可简写为“全,S,T,C”来记忆.上述口诀表示:第一象限全是正值,第二象限正弦(S)是正值,第三象限正切(T)是正值,第四象限余弦(C)是正值.至于正割、余割和余切函数值在各象限的符号,只需记住它们与余弦、正弦、正切在各象限内的符号相同就可以了.
方法二:利用图1-2-7记忆,口诀在图下方:
图1-2-7
问题
2
诱导公式六:sin(+α)=cosα,cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=-sinα课本中已经给出了推导方法，你还能有其他的方法推导出这两个公式吗？
导思:思路一:借助
( http: / / www.21cnjy.com )诱导公式五实现正弦函数与余弦函数的相互转化，再借助公式三判断出函数值的符号；思路二:借助单位圆，根据三角函数值去找角的终边，从而得出公式的推导.
探究:∵
( http: / / www.21cnjy.com )+α=
( http: / / www.21cnjy.com )-(-α)，
由公式五和公式三，得sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=sin［
( http: / / www.21cnjy.com )-(-α)］=cos(-α)=cosα.
cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=cos［
( http: / / www.21cnjy.com )-(-α)］=sin(-α)=-sinα.
此外，如果是角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，则
( http: / / www.21cnjy.com )-α的终边与单位圆的交点为P1(y,x)(原因是角α与角
( http: / / www.21cnjy.com )-α的终边关于y=x对称)，又
( http: / / www.21cnjy.com )+α的终边与
( http: / / www.21cnjy.com )-α的终边关于y轴对称，所以
( http: / / www.21cnjy.com )+α的终边与单位圆的交点为P2(-y,x).于是有
cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=-y=-sinα，sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=x=cosα.1.3
三角函数的图象和性质
典题精讲
例1
求函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的值域.
思路分析:此类题型可转化为分式函数值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法，利用sinx的值域确定原函数的值域.
解:由y=
( http: / / www.21cnjy.com ),得sinx=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵|sinx|≤1,∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|≤1.解得-2≤y≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ymax=
( http: / / www.21cnjy.com )，此时sinx=1；
ymin=-2，此时sinx=-1.
∴函数的值域为［-2,
( http: / / www.21cnjy.com )］.
绿色通道:本题的解法对形如“求y=
( http: / / www.21cnjy.com )或y=
( http: / / www.21cnjy.com )的函数的值域(或最大值、最小值)”问题
具有一般性.
变式训练
(2006安徽高考卷，理8)
设a>0，对于函数f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )(0)
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值
D.既无最大值又无最小值
思路解析:令t=sinx,t∈(0,1］，则函数f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )(0( http: / / www.21cnjy.com ),t∈(0,1］的值域，又a>0，所以y=1+
( http: / / www.21cnjy.com ),t∈(0,1］是一个减函数.故选B.
答案:B
例2
求下列函数的周期:
(1)y=cos2x；(2)y=-2cos(-
( http: / / www.21cnjy.com )x-1)；
(3)y=|sin2x|；(4)y=cos3x+sin2x.
思路分析:(1)复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；(2)先用诱导公式将ω转化为正值，再用T=
( http: / / www.21cnjy.com )来求；(3)可利用绝对值的意义及图象法求；(4)可用最小公倍数法.
解:(1)把2x看成一个新的
( http: / / www.21cnjy.com )变量u，那么cosu的最小正周期是2π，这就是说，当u增加到u+2π且必须增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现，而u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时，函数值重复出现，因此，y=cos2x的周期为π.
(2)y=-2cos(-
( http: / / www.21cnjy.com )x-1)=-2cos(
( http: / / www.21cnjy.com )x+1),T=
( http: / / www.21cnjy.com )=4π.
(3)因为y=|sinx|的周期是
( http: / / www.21cnjy.com )=π，故y=|sin2x|的周期是
( http: / / www.21cnjy.com ).
(4)y1=cos3x的周期T1=
( http: / / www.21cnjy.com )；y2=sin2x的周期T2=
( http: / / www.21cnjy.com )=π，因为T1=
( http: / / www.21cnjy.com ),T2=
( http: / / www.21cnjy.com )且4与6的最小公倍的数是12，所以T=
( http: / / www.21cnjy.com )=2π.
绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论
( http: / / www.21cnjy.com )公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握.
变式训练
(2006湖南高考卷，文8)
设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com )，则f(x)的最小正周期是(
)
A.2π
B.π
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析:根据图象，知对称中心到对称轴的最短距离为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得T=4·
( http: / / www.21cnjy.com )=π.所以最小正周期为π.
答案:B
例3
若α、β为第三象限角，且α>β，则_______________.
A.cosα>cosβ
B.cosαC.cosα=cosβ
D.以上都不对
思路解析:取特殊值，对选项进行排除，可知选D.
答案:D
黑色陷阱:角的概念不清，误将象限角看成区间(π,
( http: / / www.21cnjy.com ))中的角，把y=cosx认为在第三象限是增函数，导致选A.
变式训练
在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为(
)
A.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(π,
( http: / / www.21cnjy.com ))
B.(
( http: / / www.21cnjy.com ),π)
C.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.(
( http: / / www.21cnjy.com ),π)∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
思路解析:此题可以用图象法、特殊值法
( http: / / www.21cnjy.com )、或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆图象解答时，以直线y=x为界，角α的终边在该直线上方，则有sinα>cosα；落在该直线下方，则有sinα答案:C
例4
(2005全国高考巻，理17)
设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)求φ；
(2)求函数y=f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.
思路分析:(1)可利用对称轴来解决；(2)要注意“整体性”原则；(3)画图时用“五点法”.
解:(1)∵x=
( http: / / www.21cnjy.com )是函数y=f(x)的图象的对称轴，
∴sin(2×
( http: / / www.21cnjy.com )+φ)=±1.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+φ=kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z.
又∵-π<φ<0，∴φ=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)由(1)知φ=-
( http: / / www.21cnjy.com )，因此y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com )).由题意,得
2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )≤2x-
( http: / / www.21cnjy.com )≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )，k∈Z.
∴函数y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))的单调增区间为［kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］，k∈Z.
(3)由y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com )),知
x
0
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
π
y
( http: / / www.21cnjy.com )
-1
0
1
0
( http: / / www.21cnjy.com )
故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象如图1-3-2所示.
图1-3-2
绿色通道:高考侧重基础知识、
( http: / / www.21cnjy.com )基本技能的考查，而三角函数是高考考查的重点内容之一，三角函数的图象与性质经常在高考题中出现，熟练掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题
的关键.
变式训练
如图1-3-3，已知正弦
( http: / / www.21cnjy.com )函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的一个周期的图象，则函数的解析式为_________________________.
图1-3-3
思路解析:依题意,知
当x=
( http: / / www.21cnjy.com )时,y=0；当x=
( http: / / www.21cnjy.com )时,y=A；当x=0时,y=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴解之得
故y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
答案:y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
例5
要得到函数y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象，只需将y=sin
( http: / / www.21cnjy.com )x的图象上(
)
A.每个x的值扩大4倍，y值不变，再向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
B.每个x的值缩小
( http: / / www.21cnjy.com )，y值不变，再向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
C.每个x的值扩大4倍，y值不变，再向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
D.每个x的值缩小
( http: / / www.21cnjy.com )，y值不变，再向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
思路解析:
( http: / / www.21cnjy.com )x→2x，先缩小
( http: / / www.21cnjy.com )，又∵-
( http: / / www.21cnjy.com )<0,∴右移
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:D
黑色陷阱:y=sin
( http: / / www.21cnjy.com )x变换成y=sin2x是把每个x值缩小
( http: / / www.21cnjy.com )，错误地认为是扩大4倍，这样就错选A或C；或者把y=sin2x变换成y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))，即变为y=sin2(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))，则应当向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )，错误地认为是平移
( http: / / www.21cnjy.com )，这样导致错选A或B；也可能在平移的时候搞错方向.
变式训练
(2006江苏高考卷，4)
为了得到函数y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ))，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(
)
A.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com )倍(纵坐标不变)
B.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com )倍(纵坐标不变)
C.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
思路解析:先将y=2sinx,x∈R的图象向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，得到函数y=2sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com )),x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )),x∈R的图象.
答案:C
例6
图1-3-4是正弦函数y1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象.
图1-3-4
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式；
(3)指出y2的周期、频率、振幅和初相.
思路分析:本题是一道识图题，解题的关键是找到关键点确定φ，可通过代特殊值求解.
解:(1)由图易知A=2,T=7-(-1)=8,ω==
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴y1=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+φ)，将点(-1，0)代入,得
2sin(-
( http: / / www.21cnjy.com )+φ)=0.
∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴y1=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
(2)作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.
∴y2=2sin［
( http: / / www.21cnjy.com )(x-2)+
( http: / / www.21cnjy.com )］=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )).
(3)从图象上可以看出，该函数的周期T=8，振幅A=2,
初相φ=-
( http: / / www.21cnjy.com )，频率f=
( http: / / www.21cnjy.com ).
绿色通道:这是一道识图题，所谓
( http: / / www.21cnjy.com )识图，就是通过所给的图象找到函数的特征及解题的信息，实际上是对观察能力和信息加工能力的考查.就三角函数的图象来说，应能从图象上发现函数的最值、周期、对称性、对应的函数值等.
变式训练
(2006四川高考卷，理5)
下列函数中，图象的一部分如图1-3-5所示的是(
)
图1-3-5
A.y=sin(x+)
B.y=sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))
C.y=cos(4x-
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.y=cos(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))
思路解析:从图象看出，
( http: / / www.21cnjy.com )T=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了
( http: / / www.21cnjy.com )个单位得到，即y=sin2(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos(2x-
( http: / / www.21cnjy.com )).
答案:D
例7
初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行时间)为(
)
A.y=|v0t|
B.y=|v0|·sinθ·t
C.y=|v0|·sinθ·t-
( http: / / www.21cnjy.com )|g|·t2
D.y=|v0|·cosθ·t
思路解析:本题是与物理知识相结合的题目，如图1-3-6所示，由速度的分解可知炮弹上升的速度大小为|v0|·sinθ.
( http: / / www.21cnjy.com )
图1-3-6
故炮弹上升的高度为y=|v0|·sinθ·t-
( http: / / www.21cnjy.com )|g|t2.
答案:C
绿色通道:跨学科的题目要
( http: / / www.21cnjy.com )注意知识间的内在联系，找出问题
的本质,转化为数学问题
.同时也要注意物理里面公式的正确使用，以及对问题
的准确分析.
变式训练
在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )米
B.
( http: / / www.21cnjy.com )米
C.
( http: / / www.21cnjy.com )米
D.
( http: / / www.21cnjy.com )米
思路解析:如图1-3-7，设塔高为h米，则
200tan30°=(200-h)tan60°，∴h=
( http: / / www.21cnjy.com )米.
图1-3-7
答案:A
例8
某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
图1-3-8
据上述数据描成的曲线如图1-3-8所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出y=Asinωt+B的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距
( http: / / www.21cnjy.com )离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)？
思路分析:(1)从拟合曲线，可知函
( http: / / www.21cnjy.com )数y=Asinωt+B的周期；由t=0时的函数值和t=3时函数取得最大值，可求得ω,A,B的值，即得函数的表达式.
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出函数值不小于4.5+7=11.5(米)的时段即可.
解:(1)从拟合的曲线可知函数y=Asinωt+B在一个周期内水深由最大变为最小需要9-3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此
( http: / / www.21cnjy.com )=12，ω=
( http: / / www.21cnjy.com ).
又当t=0时，y=10;当t=3时，ymax=13，所以B=10,A=13-10=3.
于是所求函数解析式为y=3sin
( http: / / www.21cnjy.com )t+10.
(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y≥7+4.5=11.5(米).
令y=3sin
( http: / / www.21cnjy.com )t+10≥11.5，可得sin
( http: / / www.21cnjy.com )t≥
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com )t≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z).
取k=0,则1≤t≤5;取k=1,则13≤t≤17.
∴该船在凌晨1点至5点，下午1点至5点均可以安全进港.
而取k=2时，则25≤t≤29(不合题意).
要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从
( http: / / www.21cnjy.com )凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午5点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时.
绿色通道:解答类似的数学应用
( http: / / www.21cnjy.com )题，首先要保持自信的心态，不要被复杂的问题
表述吓倒，要耐心地一点点地得到题中的有用信息，然后动脑筋解决问题
.
变式训练
某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
(1)画出种群数量关于时间变化的图象；
(2)求出种群数量作为时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位).
思路分析:根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据.
解:(1)种群数量关于时间变化的图象如图1-3-9所示.
(2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+φ)+k，
图1-3-9
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
得振幅A==100，
即ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),k=800.
又7月1日种群数量达到最高，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )×7+φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴φ=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin
( http: / / www.21cnjy.com )(t-4)+800.
问题
探究
问题
很多三角函数都是周期函数，你可有几种方法来确定三角函数的周期呢？
导思:周期的求法除可以应用定义
( http: / / www.21cnjy.com )及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，当然最小公倍数法也要灵活掌握.
探究:(1)定义法:如y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )+2π)=2sin［
( http: / / www.21cnjy.com )(x+4π)-
( http: / / www.21cnjy.com )］=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))，
∴y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))的周期是4π.
(2)公式法:一般地，函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0,ω>0)的周期T=
( http: / / www.21cnjy.com )，函数y=Atan(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的周期T=
( http: / / www.21cnjy.com ).
如y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))的周期T=
( http: / / www.21cnjy.com )=4π，y=-2tan(3x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的周期T=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)图象法:如y=|sin2x|的周期为
( http: / / www.21cnjy.com )，y=|tan2x|的周期为
( http: / / www.21cnjy.com ).
(4)最小公倍数法:如函数y=sin
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com )，因为y=sin
( http: / / www.21cnjy.com )周期为4π，y=cos
( http: / / www.21cnjy.com )周期为6π，故y=sin
( http: / / www.21cnjy.com )+cos
( http: / / www.21cnjy.com )的周期为12π.1．1.1　任意角
设计思想　　　　　
当今世界随着知识经济的不断发展，对人的整体素
( http: / / www.21cnjy.com )质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少，究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发，以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果，有向同学、教师展示自己成果和才能的机会，能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．
教学内容分析　　　　　
本课时教学内容为引言和1.1.1　任意角，是三角函数的开篇．
“引言”提出了本章的中心问
( http: / / www.21cnjy.com )题，它是本章知识的生长点，特别是周期现象贯穿了本章教学内容的始终，它可以帮助学生很好的探索、理解同终边角、同直线角、范围角的集合表示的抽象形式．同时，周期也是三角函数的一个非常重要的性质，是把三角函数一个周期的性质推广到整个定义域的理论依据，是研究三角函数的核心概念，为学生学习、理解周期的抽象的代数定义作了一个很好的铺垫．因此，笔者认为，在三角函数的开篇课中，应该按照引言中所提出的对周期性的研究大纲，把周期现象这一变化规律作为教学内容的一个重要组成部分实施教学，不能一带而过或不讲，要让学生对周期现象形成初步的感性认识和理性认识，为进一步学习与周期性相关的内容和理解周期的抽象含义打下坚实的基础，起到统领全章教学的核心作用．引言中所提出的“用什么样的数学模型来刻画圆上点P运动的变化规律”以及“如何表示点P”等问题在以后的教学中会自然的解决，因此，这些问题在本节课中没有必要作为重点，只是略作分析，通过用角α表示圆上围绕圆心的旋转点P的实际意义的需要，自然过渡到任意角这一教学环节，这样的处理符合了新课标中提出的螺旋上升的教学原则．
任意角的概念是本节课的重
( http: / / www.21cnjy.com )点，关于正、负角的引入，可以从实际事例(如体操中“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”)引入，这样处理比较自然，学生也能够体会到引入正、负角的必要性和它的实际意义．然后再与正、负数类比，建立角度与实数一一对应的关系．在讲解任意角时，要注意把即时的画图和描述相结合起来，给学生以直观，以形助数，数形结合，体会任意角的旋转运动的实际意义．
把终边相同的角用集合和符号语言正确地表
( http: / / www.21cnjy.com )示出来，是本节课的一个难点，理解终边相同的角的意义，是学好这一小节的关键，同时这一知识也是同直线角、范围角以及诱导公式等知识的生长点．因此，这一环节的教学，要引导学生结合周期现象通过对足够的特例进行观察、分析、研究最终探索一般的知识规律——“同终边角相差周期‘360°’的整数倍”，并及时地让学生去运用这一数学知识，使学生强化理解知识，为后续学习铺路．
问题与例题的设计给学生留下了比较多的思
( http: / / www.21cnjy.com )维空间，通过设疑来激发学生的思维，教师要让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，逐步归纳的思考方法；体会转化、分类讨论、数形结合等数学解题思想．
教学目标分析　　　　　
1．初步理解周期现象的含义．
2．使学生理解用“旋转”定义的任意角的概念．
3．理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，是本节的教学重点．
1．学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．
2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的集合的表示方法，是本节的教学难点．
3．能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并能判定其为第几象限角．
4．学会用“特殊到一般、具体到抽象”研究问题的学习方法，体会分类讨论等数学思想．
通过本节的学习，使同学们对角的概念
( http: / / www.21cnjy.com )有了一个新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．
(一)引言
流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)
问题情境：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？
师生合作：讨论分析，探索发现规律．
问题1：同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？
问题2：你们能再举例说明周期现象吗？
问题3：数学问题中有这样的周期现象吗？
小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的
( http: / / www.21cnjy.com )现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．
设计意图：创设生活情境，符合学生实际
( http: / / www.21cnjy.com )，有利于营造和谐的、活跃的氛围，激发学生学习的兴趣；有利于学生“从无到有”的创造性的探索、发现知识的规律，揭示实际问题的数学本质．使学生充分地认识和理解周期现象，有利于学生对整章的学习，起到了关键性的作用．
(二)任意角的概念
流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)
问题情境：如图1，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？
图1
问题3：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？
问题4：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？
小结：一般情况下，把向前、向上、向右、
( http: / / www.21cnjy.com )逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．
设计意图：创设问题情境，自然过
( http: / / www.21cnjy.com )渡，从学生已有的认知出发，暴露学生的“思维定势”，引导学生质疑、批判的去思考问题，以形象的生活实际，引入正、负角的概念，有利于学生理解和接受新知识；有利于学生自觉地、创造性地去研究数学、构建数学．
(三)同终边角的集合表示
流程：(创设问题情境——自主探究——建构数学)
师：为了便于研究，今后我们常以角的顶点
( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(画图分析说明)
问题：－300°，－150°，－60°，6
( http: / / www.21cnjy.com )0°，210°，300°，420°，180°，540°，900°，－900°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边是相同的？
探究题组：(1)终边相同的角是否相等？不同角的终边是否不同？
(2)相同终边的角彼此之间有什么关系？
(3)你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？
(4)求与角α终边相同的角的集合．
小结：一般地，与角α终边相同
( http: / / www.21cnjy.com )的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(β与α相差周期的整数倍)．作用：可以把不在0°到360°范围内的角转化为0°到360°范围内的角．
设计意图：创设问题情境，从特殊到一般，
( http: / / www.21cnjy.com )从具体到抽象，有利于学生探究问题、发现问题、归纳问题的一般规律，培养学生探究学习数学的方法和能力；有利于学生深刻地理解同终边角集合的抽象的表示形式．
(四)数学应用
流程：(问题情境——自主实践——合作交流——疑难点拨——解题回顾)
例1在0°到360°的范围内，找出与下
( http: / / www.21cnjy.com )列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.
示范(1)：方法一：因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．
方法二：表示与650°同终边角的集合，对k取值验证．
方法三：表示与650°同终边角的集合，解不等式求k的值．
(2)、(3)略．
例2已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角．
方法一：分类讨论，化为同终边的角判断．
方法二：利用周期性，数形结合画出终边判断．
设计意图：创设问题情境，通过解题示范，增
( http: / / www.21cnjy.com )强学生的解题规范意识，树立学习数学的科学态度；通过一题多解的解题方法，渗透数学思想方法，提高学生的解题能力，揭示数学问题的本质规律．
(五)回顾反思
(1)知识要点回顾：周期现象；任意角；同终边角的集合表示；象限的判断．
(2)思想方法回顾：探索研究问题的一般思想方
( http: / / www.21cnjy.com )法——(一般到特殊)特殊到一般；判断象限时——转化思想；分类讨论、数形结合的数学思想的运用；周期应用．
(3)反思存在的问题(由学生提出疑问或问题改进的办法)．
(4)补充说明：(教师：一般情况下我们还可以用弧长，半径以及方向来刻化圆上点P运动的变化规律．)
设计意图：让学生谈学习体会，反思所学，反馈课堂教学信息，使学生的学习得到进一步的升华，从而提高课堂教学的效率．
(六)课后拓展
(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
(2)终边落在第一象限的角的集合如何表示？
(3)若α是第三象限角，则是第几象限角？
(七)作业布置(略)
附录(教学实录两个片段)
(一)引言(教学过程实录)
流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)
师：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？
生：议论但没有回答．
师：答案就是：给你们上数学课．(学生笑)你们知道这一个很平常的生活现象表明了一个什么规律吗？
生：周期．
师：你们能用一个数字来刻化这个规律并说明你的理由吗？
生：四，因为今天是星期四．
师：那么，这一现象的周期是“四”对吗？(学生思考)
生：应该是“7”，因为老师要每隔“7”天才会再次在今天的同一时间上课．
师：还有其他数字吗？(学生一起答道“14”)好，同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？
生：每隔相同时间重复相同事情的现象(
( http: / / www.21cnjy.com )教师引导：我们把这种现象称为周期现象，那么周期是什么呢？学生齐答：间隔的时间．教师引导：我们把7就叫做这一现象的一个周期．)
师：好，你们能再举例说明周期现象吗？
生：每天太阳早上升起，傍晚降落；
年复一年，春夏秋冬四个季节；
潮起潮落．
师：数学问题中有这样的周期现象吗？
生：循环小数如＝0.；
圆上的一点绕圆心旋转．
师：如图2，点P是半径为r的圆O上一点，点P的运动可以形象地描述为“周而复始”．那么点P运动的一个周期是什么？
图2
生：点P运动的一个周期是360°.
小结：我们把这种按一定规律不断重复出现
( http: / / www.21cnjy.com )的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．
(二)任意角的概念(教学过程实录)
流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)
师：如图3，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？
图3
生：建立直角坐标系，用坐标(x，y)表示．
师：还可以用什么刻画呢？
生：角度．
师：用多少度来表示呢？
生甲：180°
师：为什么？
生甲：因为点P绕圆心O旋转一周半后终边与始边形成了一个平角，所以是180°.
生乙：不对，应该是540°.
师：为什么？
生乙：180°应该表示旋转半周，而旋转一周半表示旋转了360°＋180°＝540°(老师画图演示)．
师：大家认为用哪个角度表示合理呢？
生：540°.
师：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？
生：是用来表示旋转900°的角度．(老师画图演示)
师：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？
生：“向前翻腾两周半”用900°表示；“向后翻腾两周半”用－900°表示．
师：“－”表示什么意思？
生：表示方向．
师：为什么“向后翻腾两周半”表示负的呢？怎样画－900°呢？(学生分析，老师画图)
师生共同小结：一般情况下，把向前、向上、
( http: / / www.21cnjy.com )向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．(共24张PPT)
1．2.3　三角函数的诱导公式(二)
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.了解诱导公式五、六的导出过程．(难点)
2．理解诱导公式五、六的结构特征．(重点)
3．掌握六组诱导公式的灵活应用．(重点)
第1章
三角函数
学法指导
答案：③
③
化简
方法归纳
诱导公式五、六主要是把有关的角转化为对应的锐角三角函数，实现正、余弦间的转化．
答案：②③⑤
证明
给值求值
规范解答
给值(或式)求值问题
[规范与警示]　解决这类问题要依据所给式子，用诱导
公式将所给式子化简为α的三角函数的代数式再将所给值
代入，从而求出要求式子的值．
名师解题
关于化简求值的综合题
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例1．1.2　弧度制
教学分析　　　　　
在物理学和日常生活中，一个量常常需
( http: / / www.21cnjy.com )要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的，记作1°.
通过类比引出弧度制，给出1弧度的
( http: / / www.21cnjy.com )定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．
通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的
( http: / / www.21cnjy.com )定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．
三维目标　　　　　
1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．
2．通过探究使学生认识到角
( http: / / www.21cnjy.com )度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．
重点难点　　　　　
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比导入)测量人的身
( http: / / www.21cnjy.com )高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪
( http: / / www.21cnjy.com )器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．
在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与
( http: / / www.21cnjy.com )圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．
推进新课　　　　　
弧度制
1．1°的角
周角的为1°的角．
2．1弧度的角
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
3．弧度数
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R，弧长为l，则l＝|α|R，S＝lR＝R2|α|.
4．角度制与弧度制的换算关系　π弧度＝180°，1°＝弧度，1弧度＝()°≈57°18′.
教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1
rad.如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com )的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即＝1.
我们已学习过角的度量，规
( http: / / www.21cnjy.com )定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree
measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．
长度等于半径的圆弧所对的
( http: / / www.21cnjy.com )圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1
rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian
measure)．
图1
用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1
rad，2
rad，π
rad，可分别写成1,2，π.
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.
若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r，那么∠AOB的弧度数就是＝2(图2)．
图2
教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧
( http: / / www.21cnjy.com )度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB的弧度数就是＝2π(图3)．故有360°＝2π
rad，
图3
1°＝
rad≈0.017
45
rad，1
rad＝()°≈57.30°.
如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．
图4
弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α
rad＝()°，n°＝n×(rad)．
可让学生填写下列的表格，找出某种规律．
( http: / / www.21cnjy.com )的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
2πr
逆时针方向
r
1
2r
－2
－π
0
180°
360°
由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心
( http: / / www.21cnjy.com )角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．
教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制
( http: / / www.21cnjy.com )下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图5为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
图5
与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．弧度制下关于扇形的公式为l＝αR，S＝αR2，S＝lR.
例1将下列弧度数化为角度数：
(1)；(2)3.5.
解：(1)
rad＝×＝108°；(2)3.5
rad＝3.5×≈200.54°.
例2将下列角度数化为弧度数：
(1)252°；(2)11°15′.
解：(1)252°＝252×
rad＝
rad；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×
rad＝
rad.
点评：以上两例的目的是让学生在教师的指
( http: / / www.21cnjy.com )导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.
变式训练1．下列各命题中，真命题是(　　)A．一弧度是一度的圆心角所对的弧B．一弧度是长度为半径的弧C．一弧度是一度的弧与一度的角之和D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位答案：D2．下列四个命题中，不正确的一个是(　　)A．半圆所对的圆心角是π
radB．周角的大小是2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案：D
例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k
( http: / / www.21cnjy.com )∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－；(2)；(3)－20；(4)－2.
活动：本题的目的是让学生理解什
( http: / / www.21cnjy.com )么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z}、{β|β＝＋kπ，k∈Z}，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ＋π，k∈Z}、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ＋2π，k∈Z}．
解：(1)－＝－4π＋，是第一象限角．(2)＝10π＋，是第二象限角．
(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－2≈－3.464，是第二象限角．
点评：在这类题中对于含有π的弧度数
( http: / / www.21cnjy.com )表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与，π，比较大小，估计出角所在的象限．
例4见课本本节例3.
变式训练　
已知一个扇形的
( http: / / www.21cnjy.com )周长为＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，得扇形的圆心角为80×＝，∴扇形的弧长为r，由已知，r＋2r＝＋4，∴r＝2.∴S＝×r2＝.故扇形的面积为.点评：求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
课本本节练习1～6.
由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式
( http: / / www.21cnjy.com )与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π
rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．
重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实
( http: / / www.21cnjy.com )数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．
①课本习题1.1
6、8、10.
②课后探究训练：课本习题1.1
12.
本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类
( http: / / www.21cnjy.com )比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．
本节设计的特点是由特殊到一般、
( http: / / www.21cnjy.com )由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．
一、密位制度量角
度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上
( http: / / www.21cnjy.com )还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6
000密位，所以
1°＝≈16.7密位，1密位＝＝0.06°＝3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．
二、备用习题
1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是(　　)
A.　　　　　　　B.　　　　　　　C．1　　　　　　　D．π
2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则(　　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
3．下列表示的为终边相同的角的是(　　)
A．kπ＋与2kπ＋(k∈Z)
B.与kπ＋(k∈Z)
C．kπ－与kπ＋(k∈Z)
D．(2k＋1)π与3kπ(k∈Z)
4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.
5．已知扇形的周长为6
cm，面积为2
cm2，求扇形的中心角的弧度数．
6．若α∈(－，0)，β∈(0，)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．
参考答案：1.A　2.B　3.C　4.，，π，，.
5．解：设扇形所在圆的半径为R，扇形的中心角为α，依题意有
αR＋2R＝6，且αR2＝2，∴R＝1，α＝4或R＝2，α＝1.∴α＝4或1.
6．解：－<α＋β<，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x轴的非负半轴上．
－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y轴的非正半轴上．
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度
( http: / / www.21cnjy.com )的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，(rad)，(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．
[例题]
在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)
甲生：自零时(此时时针与分
( http: / / www.21cnjy.com )针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x弧度，则分针转过了2π＋x弧度，而时针走1弧度相当于经过
h＝
min，分针走1弧度相当于经过
min，故有x＝(2π＋x)，得x＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是＋2π＝(rad)．
乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数
( http: / / www.21cnjy.com )为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是(rad)．
点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程
( http: / / www.21cnjy.com )都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．1.2.2
同角三角函数关系
课堂导学
三点剖析
1.同角三角函数关系
【例1】已知sinθ-cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),则sin3θ-cos3θ=__________________.
思路分析：把sin3θ-cos3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.
解析
：∵sinθ-cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴(sinθ-cosθ)2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴1-2sinθcosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴sinθ·cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴sin3θ-cos3θ
=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)
=
( http: / / www.21cnjy.com )·(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
温馨提示
若已知sinα-cosα与
( http: / / www.21cnjy.com )sinα+cosα其中一个条件，求sin2α·cos2
α,sin3α±cos3α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.
2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式
【例2】
已知cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),求sinα及tanα的值.
思路分析：用同角三角函数关系解题.
解：∵cosα＜0,且cosα≠-1
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角，那么
sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
tanα=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×(-
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com ).
如果α是第三象限角，那么
sinα=-
( http: / / www.21cnjy.com ),tan
α=
( http: / / www.21cnjy.com ).
温馨提示
(1)要会用公式sin2α+cos2α=1的变形
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三
( http: / / www.21cnjy.com )角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.
【例3】求证：
( http: / / www.21cnjy.com ).
思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.
证法1：左边=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=右边.
∴原式成立.
思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数，因此可用三角函数定义证明.
证法2：设P（x,y）是象限角θ终边上一点，|OP|=r＞0,则由三角函数的定义知：
sinθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),且x2+y2=r2.
所以，左式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
==右式.
故原式成立.
思路分析3：考虑到A=BA-B=0,故此题可采用比较法.
证法3：因为
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
3.关于“1”的变换
【例4】
已知tanα=2,求sin2α-3sinαcosα+1的值.
思路分析：主要应用“1”的变换.
解：sin2α-3sinαcosα+1
=sin2α-3sinαcosα+(sin2α+cos2α)
=2sin2α-3sinαcosα+cos2
α
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com ).
温馨提示
已知tanα的值，求形如as
( http: / / www.21cnjy.com )in2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将分母1化为1=sin2α+cos2α代入，从而转化为关于tanα的表达式后再求值.
各个击破
类题演练1
已知
( http: / / www.21cnjy.com )=-1,求值.
( http: / / www.21cnjy.com ).
解析：由已知，tan
α=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以，
变式提升1
已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.
解：∵sin2
α+cos2
α=1,
∴sin2α=1-cos2α.
又∵=tanα,
∴tan2α=
( http: / / www.21cnjy.com ).
于是
( http: / / www.21cnjy.com )=1+tan2α
cos2α=
( http: / / www.21cnjy.com ).
由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，
从而cosα=
sinα=cosαtanα
=
类题演练2
已知sinθ+cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),θ∈(0,π)，求
tanθ的值.
解：将已知等式平方，得
2sinθ·cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵sinθ+cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com )＞0,∴sinθ＞0,cosθ＜0
∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0.
而（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),于是sinθ-cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
和已知等式联立，便可解得
sinθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升2
已知f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com ),若α∈(
( http: / / www.21cnjy.com ),π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.
解：f(cosα)+f(-cosα)=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
类题演练3
求证：（1）
( http: / / www.21cnjy.com );
(2)
( http: / / www.21cnjy.com ).
思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.
证明：（1）左边=
==右边.
所以,原命题成立.
（2）左边=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，原命题成立.
变式提升3
已知tan2α=2tan2β+1,求证：sin2β=2sin2α-1.
证明：因为tan2α=2tan2β+1,
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以sin2α(1-sin2β)=(1-sin2α)(1+sin2β).
所以sin2β=2sin2α-1.
类题演练4
( http: / / www.21cnjy.com )的值为（
）
A.sinα+cosα
( http: / / www.21cnjy.com )
B.sinα-cosα
C.cosα-sinα
D.|sinα+cosα|
解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α
=(sinα+cosα)2
∴原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=|sinα+cosα|,
故选D.
答案：D
变式提升4
若β∈［0,2π),且
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（
）
A.［0,
( http: / / www.21cnjy.com ))
B.［
( http: / / www.21cnjy.com ),π］
C.［π,
( http: / / www.21cnjy.com )］
D.［
( http: / / www.21cnjy.com ),2π)
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角（包括x轴负半轴和y轴正半轴）.
∵0≤β＜2π,∴β∈［
( http: / / www.21cnjy.com ),π］.
答案：B(共32张PPT)
1．2　任意角的三角函数
1．2.1　任意角的三角函数
第1章
三角函数
学习导航
第1章
三角函数
学习目标
1.理解任意角的三角函数的定义．(重点)
2．了解三角函数线的意义．(难点)
3．熟记一些特殊角的三角函数值及各象限角的三角函数值的符号，掌握用定义求角的三角函数的方法．(重点)
学法指导
1.在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．
2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律．
3．理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．
4．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.
正弦
sin
α
sin
α
余弦
cos
α
cos
α
正切
tan
α
tan
α
正弦
余弦
正切
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
即第一象限的三角函数值的符号全为正，第二象限正弦值为正，其余为负，第三象限正切值为正，其余为负，第四象限余弦值为正，其余为负．简记为:“一全正，二正弦，三正切,四余弦”．
3．一些特殊角的三角函数值需要记住，这对平时的学习很有帮助．如下表：
4.有向线段与三角函数线
(1)有向线段：规定了方向的线段．
(2)有向直线：规定了____________的直线．
(3)有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上
或与
有
向直线l____________．根据有向线
段AB与
有
向直
线l
的方
向_________________，分别把它的长度添上____________，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.
正方向
平行
相同或相反
正号或负号
(4)三角函数线．
温馨提示：三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换,正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点，正切线不存在．
①②
用三角函数的定义求三角函数值
已知角α的终边经过点P(2m，－3m)(m≠0)，求α的正、余弦值．
(链接教材P14例1)
方法归纳
(1)利用定义求三角函数值的关键是确定角的终边上任一点
的坐标及该点到原点的距离．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据
问
题的实际情况对参数进行分类讨论．
三角函数值的符号
方法归纳
对于确定角α所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号,然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限,则它们的公共象限即为所求．
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ改编)若tan
α>0，则sin
2α
________0.
>
求简单三角函数的定义域
数学思想
数形结合思想——三角函数线的应用
[感悟提高]　(1)三角函数线是三角函数的几何特征，具
有
重要的意义，可用来比较三角函数值的大小，解三角不等式,求角的范围，以及证明不等式等．
(2)用三角函数线求解简单的三角不等式，首先应熟
悉θ
的
正弦线、余弦线、正切线；其次找到“正弦值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期．
易错警示
不会挖掘隐含条件致误
3．已知sin
2α＞0且cos
α＜0，试确定角α终边所在象限．1.2.2　同角三角函数关系
教学分析　　　　　
与三角函数的定义域、符号的确
( http: / / www.21cnjy.com )定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行，通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．
同角三角函数的基本关系式
( http: / / www.21cnjy.com )将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋，k∈Z.
通过联系，让学生了解到基
( http: / / www.21cnjy.com )本关系式具有等式的一切性质(正用、逆用、变形用)，对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α，1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±，sinα＝tanαcosα，cosα＝.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋，k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋，k∈Z，变为α∈R.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可
( http: / / www.21cnjy.com )以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．
三维目标　　　　　
1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．
2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．
3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．
重点难点　　　　　
教学重点：课本的两个公式的推导及应用．
教学难点：课本的两个公式的推导及应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，
( http: / / www.21cnjy.com )然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：
(1)sin290°＋cos290°；(2)sin230°＋cos230°；(3)；(4).
思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．
推进新课　　　　　
如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.
图1
因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.(等式1)
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋，k∈Z时，有＝tanα.(等式2)
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．
对以上关系式教师可先让学生用自己
( http: / / www.21cnjy.com )的语言叙述出来，然后点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．
思路1
例1已知sinα＝，并且α是第二象限的角，求cosα，tanα的值．
活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握
( http: / / www.21cnjy.com )，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α＋cos2α＝1，故cosα的值最容易求得，在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.
又因为α是第二象限角，
所以cosα<0.
于是cosα＝－＝－，
从而tanα＝＝×(－)＝－.
点评：本题是直接应用关系式求解三角函数值
( http: / / www.21cnjy.com )的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tanα＝－中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定．
例2见课本本节例2.
变式训练　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．解：因为cosα<0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝×(－)＝－，如果α是第三象限角，那么sinα＝－，tanα＝.点评：在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候，应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限，分类讨论所有的情况，得出所有的解.
思路2
例1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα.
活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么
( http: / / www.21cnjy.com )位置；能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值．由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα＝，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cosα，进而求出sinα.
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α.
又因为tanα＝，
所以tan2α＝＝＝－1，于是＝1＋tan2α，cos2α＝.
由tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而
cosα＝
sinα＝cosαtanα＝
点评：要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解．这一小题，需要学生认真细致分析题目的条件，灵活运用公式，需要较高的思维层次.
变式训练　已知cosα≠0，且|cosα|≠1，用cosα表示sinα、tanα.解：本题仿照上题可以比较顺利的完成．sinα＝tanα＝
例2见课本本节例3.
例3见课本本节例4.
变式训练　求证：＝.证法一：由co
( http: / / www.21cnjy.com )sx≠0，且sinx≠－1，得1＋sinx≠0，于是左边＝＝＝＝＝右边．所以原式成立．证法二：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以＝.教师启发学生进一步探究：除了证法一和证法二外，你是否还有其他的证明方法．教师和学生一起讨论，由此可探究出证法三．依据“a－b＝0a＝b”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立完成．证法三：因为－＝＝＝＝0，所以＝.点评：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多．证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立.
课本本节练习1～6.
由学生回顾本节所学的方法知识：
( http: / / www.21cnjy.com )①同角三角函数的基本关系式及成立的条件，②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置．
“知一求二”的解题步骤一般为：先
( http: / / www.21cnjy.com )确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．
1．化简(1＋tan2α)cos2α.
2．已知tanα＝2，求的值．
答案：1.1.　2.3.
公式的推导和应用是本节课的重点，也是本节课的难点．
公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题，这类问题可按下列情形分别处理：
(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定，则可以根据算术平方根的定义直接得到结果；
(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定，则可根据题设条件，经过合理的分类讨论得到结果．
三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数
( http: / / www.21cnjy.com )学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．
证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：
(1)依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．
(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
教材上在运用这一方法时使用的是综合
( http: / / www.21cnjy.com )法，初学恒等式的证明时，运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些，实际上，使用综合法时不一定要求进行等价转化，只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可)，证明方法中分别运用了分式的基本性质和算式的基本性质．使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同．
备用习题
1．如果sinx＋cosx＝，且0A．－
B．－或－
C．－
D.或－
2．若sinθ－cosθ＝，则sinθco
( http: / / www.21cnjy.com )sθ＝________，tanθ＋＝________，sin3θ－cos3θ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________.
3．若a≠0，且sinx＋siny＝a，cosx＋cosy＝a，则sinx＋cosx＝____________.
4．已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.
5．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＋1＝2sin2α.
参考答案：1.A　2.－　－2　　　3.a
4．解：(1)原式＝＝＝5.
(2)原式＝＝＝＝－.
5．证明：由已知有1＋tan2α＝2tan2β＋2＝2(1＋tan2β)，
∴1＋＝2(1＋)．
∴2cos2α＝cos2β.∴2(1－sin2α)＝1－sin2β.∴sin2β＋1＝2sin2α.1.3.4
三角函数的应用
课堂导学
三点剖析
1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
【例1】
设y=f(t)是某港口水的深
( http: / / www.21cnjy.com )度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的对应数据.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y=f
( http: / / www.21cnjy.com )(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(
)
A.y=12+3sin
( http: / / www.21cnjy.com )t,t∈［0,24］
B.y=12+3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )t+π),t∈［0,24］
C.y=12+3sin
( http: / / www.21cnjy.com )t,t∈［0,24］
D.y=12+3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )t+
( http: / / www.21cnjy.com )),t∈［0,24］
思路分析：考查函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的近似估计.
解析：在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t=0及t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.
答案：A
温馨提示
函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.
2.从实际问题中抽象出三角函数模型
【例2】如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求A、ω、φ.
解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是30-10=20
℃.
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，
∴·
( http: / / www.21cnjy.com )=14-6,解得ω=
( http: / / www.21cnjy.com ).
由图得A=
( http: / / www.21cnjy.com )(30-10)=10,
b=
( http: / / www.21cnjy.com )(30+10)=20.
于是y=10sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+φ)+20，将x=6,y=10代入得sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+φ)=-1,由“五点法”作图原理知
( http: / / www.21cnjy.com )+φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
综上，所求解析式为y=10sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com ))+20,x∈［6,14］.
温馨提示
（1）一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.
（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.
3.将实际问题数学化
【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acostx+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1
( http: / / www.21cnjy.com )米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
思路分析：从表中得到要用的数据，A、T、w
解：（1）由表中数据，知周期T=12.
∴ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
由t=0,y=1.5,得A+b=
( http: / / www.21cnjy.com )1.5
①
由t=3,y=1.0,得
( http: / / www.21cnjy.com )b=1.0
②
∴A=0.5,b=1,∴振幅为
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴y=
( http: / / www.21cnjy.com )cos
( http: / / www.21cnjy.com )t+1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放
∴
( http: / / www.21cnjy.com )cos
( http: / / www.21cnjy.com )t+1＞1,∴cos
( http: / / www.21cnjy.com )t＞0.
∴2kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )t＜2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),
即12k-3＜t＜12k+3③
∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.
温馨提示
利用数学模型解决实际问题时，往往会忽略实际问题本身存在的条件，应引起注意.
各个击破
类题演练1
如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s=6sin(2πt+
( http: / / www.21cnjy.com ))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（
）
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
思路分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期.
解：由分析，因为ω=2π,所以T==1.
答案：D
变式提升1
某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图象；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+α)+b.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，
数量变化周期为12个月，所以振幅A==100,ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),b=800,又7月1日为种群数量达最高，∴
( http: / / www.21cnjy.com )×6+α=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴α=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
则种群数量关于时间t的函数表达式为y=800+100sin
( http: / / www.21cnjy.com )
(t-3).
类题演练2
一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球.小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s（单位cm）与时间t(单位：s)的函数关系是s=6sin（2πt+
( http: / / www.21cnjy.com )）,
(1)画出它的图象.
（2）回答以下问题.
①小球开始摆动（即t=0）时，离开平衡位置多少厘米
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解：（1）先求周期：T=
( http: / / www.21cnjy.com )=1（s）.
列表：
t
0
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
2πt+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
π
( http: / / www.21cnjy.com )
2π
2π+
( http: / / www.21cnjy.com )
6sin(2πt+
( http: / / www.21cnjy.com ))
3
6
0
-6
0
3
描点画图:
(2)①小球开始摆动（t=0），离开平衡位置为6
cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm(即振幅).
③小球来回摆动一次需要1
s（即周期）.
变式提升2
在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流i是时间t的正弦函数，即
i=3sin(t+
( http: / / www.21cnjy.com )).
试求它的初始（t=0）电流、最大电流和周期.
解析：t=0时，i=3sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
当sin(
( http: / / www.21cnjy.com )t+
( http: / / www.21cnjy.com ))=1；
即
( http: / / www.21cnjy.com )t+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，t=
( http: / / www.21cnjy.com )时，imax=3；
最小正周期：T=
( http: / / www.21cnjy.com )=4π.
答案：
( http: / / www.21cnjy.com ),imax=3,T=4π.
类题演练3
以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商
( http: / / www.21cnjy.com )品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大.并说明理由.
解：由条件可得，出厂价格函数为y1=2sin（
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )）+6,销售价格函数为y2=2sin（
( http: / / www.21cnjy.com )x
( http: / / www.21cnjy.com )）+8,则利润函数
y=m(y2-y1)=m［2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x
( http: / / www.21cnjy.com ))+8-2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com ))-6］=m(2-
( http: / / www.21cnjy.com )sin
( http: / / www.21cnjy.com )x)
所以，当x=6时，y=(2+
( http: / / www.21cnjy.com ))m,即6月份盈利最大.
变式提升3
曲线y=Asinωx+k(A＞0,ω＞0)在区间［0，
( http: / / www.21cnjy.com )］上截直线y=3及y=-1所得的线段长相等且不为零，则下列对A，k的描述正确的是（
）
A.k=1,A＞2
B.k=1,A≤2
C.k=2,A＞2
D.k=2,A≤3
解析：函数y=Asinωx+k的周期为
( http: / / www.21cnjy.com ),故［0,
( http: / / www.21cnjy.com )］的长度正好是它的一个周期，大致图象如图，由直线
y=3与y=-1截曲线所得线段长相等知，y=3与y=-1关于y=k对称，所以k=3-
( http: / / www.21cnjy.com )=1;又截得的丝段长不为零，有k+A＞3即A＞3-k=3-1=2.故选A.
答案：A1．2.1　任意角的三角函数
教学分析　　　　　
学生已经学过锐角三角函数，它是用
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．
本节以锐角三角函数为引子，
( http: / / www.21cnjy.com )利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．
利用信息技术，可以很容易地建立角的终
( http: / / www.21cnjy.com )边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．
三维目标　　　　　
1．通过借助单位圆理解并掌握
( http: / / www.21cnjy.com )任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．
重点难点　　　　　
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．
教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
我们把角的范围推广了，锐角三
( http: / / www.21cnjy.com )角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．
推进新课　　　　　
任意角的三角函数
1．任意角的三角函数的定义．
角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：
三角函数
定义
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．
图1
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．
教师提示：前面我们对角的概念已
( http: / / www.21cnjy.com )经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.
图2
根据初中学过的三角函数定义，我们有
sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？
教师先让学生们相互讨论，并让他们动手
( http: / / www.21cnjy.com )画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值和都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠＋kπ，k∈Z)，比值也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric
function)．
由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．
图3
与学生一起讨论得到以上结论后，教师
( http: / / www.21cnjy.com )可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．
研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注
( http: / / www.21cnjy.com )意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝，因为y恒有意义，即α取任意实数，y恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠＋kπ(k∈Z)．(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
三角函数的定义告诉我们，各三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．
思路1
例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．
图4
解：因为x＝2，y＝－3，所以r＝＝.
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
tanα＝＝－.
点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.
变式训练　求的正弦、余弦和正切值．解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝，如图5.图5易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．所以sin＝－，cos＝，tan＝－.
例2见课本本节例2.
变式训练1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．反过来请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应
( http: / / www.21cnjy.com )的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是(　　)A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角答案：C
思路2
例1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝________.
活动：要让学生独立思考这一题目，
( http: / / www.21cnjy.com )本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？
解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，secα＝＝＝，
∴10sinα＋3secα＝10×(－)＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，secα＝＝＝－，
∴10sinα＋3secα＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.
答案：0
点评：本题的解题关键是要清楚当k>0
( http: / / www.21cnjy.com )时，P(k，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y＝－3x上是一致的．
例2求函数y＝＋tanα的定义域．
活动：教师让学生先回顾求函
( http: / / www.21cnjy.com )数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．
解：要使函数y＝＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)．
由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负．
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．
∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}．
点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.
变式训练　求下列函数的定义域：(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；(3)y＝.解：(1)∵使sinx、cosx有意义的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定义域为R.(2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义．∴有∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0.∴有(k∈Z)．∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}.
课本本节练习1～6.
本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨
( http: / / www.21cnjy.com )论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．
课本习题1.2　1,5,6.
关于三角函数定义法，总的来说就两种：“
( http: / / www.21cnjy.com )单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．
教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定
( http: / / www.21cnjy.com )义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．
一、关于余切、正割、余割函数
设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是
cotα＝，secα＝，cscα＝.
角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．
二、备用习题
1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是(　　)
A.
B.
C．±
D．±
2．已知tanαcosα>0，且<0，则α在(　　)
A．第二象限
B．第三象限
C．第四象限
D．第三、四象限
3．下列各三角函数值中，负值的个数是(　　)
①sin(－660°)　②tan160°　③cos(－740°)　④sin(－420°)cos570°
A．1
B．2
C．3
D．4
4.＝__________.
5．确定下列各式的符号：
(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.
6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x是第__________象限角．
参考答案：1.D　2.A　3.A　4.
5．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.
(2)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.
(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.
6．一　解析：由tanx>0，知x为第一或第
( http: / / www.21cnjy.com )三象限角，而当x是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游
( http: / / www.21cnjy.com )景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．
思路2.(复习导入)我们
( http: / / www.21cnjy.com )研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．
推进新课　　　　　
活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．
2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．
教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位
( http: / / www.21cnjy.com )圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：
如果x>0，OM与x轴同向，
( http: / / www.21cnjy.com )规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y>0，把MP看作与
( http: / / www.21cnjy.com )y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝＝＝y＝MP，cosα＝＝＝x＝OM.
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线．
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝＝＝AT.
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线(如图6、7)．
当角α终边在y轴的右侧时
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝＝y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点)；当角α终边在y轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tanα＝＝y′＝AT.
图6
图7
即总有tanα＝AT.
因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．
有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．
当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．
图8
师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：
(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余
( http: / / www.21cnjy.com )弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．
例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交
( http: / / www.21cnjy.com )于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.
图9
活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.
答案：MP　OM　AT　NQ　ON　AT′
点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练　利用三角函数线证明|sinα|＋
( http: / / www.21cnjy.com )|cosα|≥1.解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1.当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1.
例2证明恒等式＋＋＋＝2.
活动：引导学生总结证明恒等
( http: / / www.21cnjy.com )式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．
证法一：设M(x，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有
sinα＝，cosα＝，secα＝，cscα＝.
原式左边＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝2＝右边．
∴原等式成立．
证法二：左边＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝2
＝右边．
∴左边＝右边．
∴原等式成立．
点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.
变式训练　求证：＝.证明：设M(x，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有sinα＝，cosα＝，tanα＝，secα＝.左边＝＝＝＝＝＝＝，右边＝＝，∴左边＝右边，故原等式成立.
课本本节练习7、8.
本节课我们学习了有向线段的
( http: / / www.21cnjy.com )定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的
( http: / / www.21cnjy.com )重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．
利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.
证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.
图10
(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，
即sinα＋cosα>1.
(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，
即sin2α＋cos2α＝1.
对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，
( http: / / www.21cnjy.com )教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．
一、一个三角不等式的证明
已知θ∈(0，)，求证：sinθ<θ证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PM⊥x轴于点M，则MP＝sinθ，AT＝tanθ，
( http: / / www.21cnjy.com )的长为θ，连结PA.
图11
∵S△OPA∴|OA||MP|<|OA|2·θ<|OA||AT|.
∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ二、备用习题
1．若<θ<，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是(　　)
A．tanθB．sinθC．cosθD．cosθ2．若0<α<2π，则使sinα<和cosα>同时成立的α的取值范围是(　　)
A．(－，)
B．(0，)
C．(，2π)
D．(0，)∪(，2π)
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是__________．
4．设0<β<α<，求证：α－β>sinα－sinβ.
5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．
参考答案：1.D　2.D　3.(，)
4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终
( http: / / www.21cnjy.com )边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2，作P2C⊥P1M于C，连结P1P2，
图12
则sinα＝M1P1，sinβ＝M2P2，α－β＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴α－β＝
( http: / / www.21cnjy.com )>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.
5．解：如图13.
(1)当0≤α<时，设角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1)，此时x1>y1，而sinα＝y1，
图13
cosα＝x1，∴cosα>sinα.
(2)当α＝时，x1＝y1，此时sinα＝cosα.
(3)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P2(x2，y2)，此时y2>x2，而sinα＝y2，cosα＝x2，
∴sinα>cosα.
(4)当<α≤π时，sinα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα.
(5)当π<α<时，设角α的终边与单位圆交于点P3(x3，y3)，此时x3∴sinα>cosα.
(6)当α＝时，有sinα＝cosα.
(7)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P4(x4，y4)，此时y4∴sinα(8)当<α<2π时，cosα≥0，sinα<0，
∴cosα>sinα.
综上所述，当α∈(，)时，sinα>c
( http: / / www.21cnjy.com )osα；当α＝或时，sinα＝cosα；当α∈[0，)∪(，2π)时，sinα任意角
课堂导学
三点剖析
1.任意角的概念和象限角的概念
【例1】
若α是第四象限角，那么
( http: / / www.21cnjy.com )是第几象限角？
思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定
( http: / / www.21cnjy.com )的范围.
解：∵α是第四象限角.
∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，
135°+k·180°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜180°+k·180°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜180°+n·360°,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )是第二象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时
315°+n·360°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜360°+n·360°，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )是第四象限角.
综上所述，
( http: / / www.21cnjy.com )是第二或第四象限角.
温馨提示
准确表示第四象限角，再分k为偶数、奇数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,则
( http: / / www.21cnjy.com )是第二象限角.
2．把终边相同的角用集合和符号语言正确的表示出来
【例2】
用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.
思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.
解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.
在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.
(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}
={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.
(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}
={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}.
温馨提示
本题求解过程中，利用了数形结合的思想.两个集合并为一个集合，应先把两个集合变成一个统一的形式.否则，就不能并为一个集合.
3．任意角的概念
【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于(
)
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限角}
D.以上均不对
思路分析：抓住几个有关概念的区别.
解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.
而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.
M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.
答案：D
温馨提示
上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.
各个击破
类题演练1
若α是第二象限角，是第几象限角？
解：因为α是第二象限角，则有：
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，
所以k·120°+30°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜k·120°+60°，k∈Z.
当k=3m(m∈Z)时，
m·360°+30°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜m·360°+60°，m∈Z,所以
( http: / / www.21cnjy.com )是第一象限角.
当k=3m+1(m∈Z)时，
m·360°+150°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜m·360°+180°，m∈Z,所以
( http: / / www.21cnjy.com )是第二象限角.
当k=3m+2(m∈Z)时，
m·360°+270°＜
( http: / / www.21cnjy.com )＜m·360°+300°，m∈Z,
所以
( http: / / www.21cnjy.com )是第四象限角.
因此
( http: / / www.21cnjy.com )是第一、二、四象限角.
变式提升1
已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角.
解：因为α是第二象限角，则
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，
∴2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z,
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的非正半轴上的角.
类题演练2
已知α=1
690°，
（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；
（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.
解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ角可写成250°+k·360°.
又∵-360°＜θ＜360°,
∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.
解得k=-1或0,
∴θ=-110°或250°,
∴θ是第三象限角.
变式提升2
（1）与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，
又-97°角与263°角终边相同，
又263°角与k·360°+263°角终边相同，∴应选C.
答案：C
（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（
）
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
解析：∵角α、β终边相同.
∴α=k·360°+β,k∈Z,
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z.
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上.
答案：A
类题演练3
用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”
“锐角”
“小于90°的角”
“0°—90°的角”.
解：0°—90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}；
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；
锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}；
小于90°的角的集合为{α|α＜90°}；
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}.
变式提升3
下列命题中，正确的是（
）
A.终边相同的角一定相等
B.锐角都是第一象限角
C.第一象限的角都是锐角
D.小于90°的角都是锐角
解析：终边相同的两个角彼此相差360°的
( http: / / www.21cnjy.com )整数倍，它们可能相等也可能不等，故排除A；第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错；小于90°的角也可以是负角，故D错；因此正确的答案为B.
答案：B1．3.1　三角函数的周期性
课堂导学
三点剖析
1.周期函数与周期的意义
【例1】
求下列三角函数的周期.
（1）y=sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ));（2）y=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )).
思路分析：运用周期函数的定义即可.
解：（1）令z=x+
( http: / / www.21cnjy.com ),而sin(2π+z)=sinz,
即f(2π+z)=f(z),
f［(2π+x)+
( http: / / www.21cnjy.com )］=f(x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
∴周期T=2π.
(2)令z=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),
则f(x)=3sinz
=3sin(z+2π)
=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+2π)
=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))
=f(x+4π).
∴T=4π.
温馨提示
理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=
( http: / / www.21cnjy.com )求周期.
2.判断函数是否具有周期性和求周期
【例2】
求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π;
(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为
( http: / / www.21cnjy.com ).
思路分析：观察特征，运用定义.
证明：（1）f(x+π)
( http: / / www.21cnjy.com )=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),
∴y=cos2x+sin2x的周期是π.
(2)f(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))=|sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))|+|cos(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),
∴y=|sinx|+|cosx|的周期是
( http: / / www.21cnjy.com ).
温馨提示
“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.
3.判断函数是否具有周期性
【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.
思路分析：运用定义进行证明.
证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).
(1)当T≥
( http: / / www.21cnjy.com )时，
令x=
( http: / / www.21cnjy.com ),得sin|
( http: / / www.21cnjy.com )+T|
=sin|
( http: / / www.21cnjy.com )|
( http: / / www.21cnjy.com )sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+T)=sin
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )cosT=1;
令x=-
( http: / / www.21cnjy.com ),得sin|-
( http: / / www.21cnjy.com )+T|=sin|-
( http: / / www.21cnjy.com )|
( http: / / www.21cnjy.com )sin(-
( http: / / www.21cnjy.com )+T)=sin
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )-cosT=1
( http: / / www.21cnjy.com )cosT=-1.
由此得1=-1,这一矛盾说明T≥
( http: / / www.21cnjy.com )不可能.
(2)当T≤-
( http: / / www.21cnjy.com )时,
令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|
( http: / / www.21cnjy.com )sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但-T≥
( http: / / www.21cnjy.com ),由(1)知这是不可能的.
(3)当-
( http: / / www.21cnjy.com )＜T＜
( http: / / www.21cnjy.com )时,
令x=0得,sin|T|=sin|0|
( http: / / www.21cnjy.com )sinT=0
( http: / / www.21cnjy.com )T=0(周期不为零).
由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.
温馨提示
进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.
各个击破
类题演练1
求下列函数的最小正周期.
（1）f(x)=3sinx;
(2)f(x)=sin2x;
(3)f(x)=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )).
解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.
(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),
函数的最小正周期为π.
(3)f(x)=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+2π)＝2sin［
( http: / / www.21cnjy.com )(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))+
( http: / / www.21cnjy.com )］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.
变式提升1
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,
( http: / / www.21cnjy.com )］时,f(x)=sinx,则f(
( http: / / www.21cnjy.com )π)的值为（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：由题意:f(
( http: / / www.21cnjy.com )π)=f(-
( http: / / www.21cnjy.com )π)=f(-
( http: / / www.21cnjy.com )π+2π)=f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：D
类题演练2
设f(x)是定义在R上以
( http: / / www.21cnjy.com )2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.
解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］.
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又∵f(x)是以2为周期的周期函数，
当x∈［1,2］时，-3≤x-4≤-2,
∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.
∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).
变式提升2
定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x
( http: / / www.21cnjy.com )=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.
解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，
∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).
∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17.
答案：x2+8x+17
类题演练3
证明下列函数不是周期函数.
（1）y=x3;(2)y=sinx2.
证明：（1）因为y=x3在x∈R上单调，设y取到值a,方程x3=a不可能有两个不同的根，因此y=x3不是周期函数.
（2）设函数y=sinx2是
( http: / / www.21cnjy.com )周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R，sin(x+T)2=sinx2.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数.
变式提升3
(1)证明f（x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.
证明：因为对于任意实数T
( http: / / www.21cnjy.com )≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.
(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x2+4.
①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;
②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.
①证明：∵f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1),
∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).
则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0)都是y=f(x)的周期.
②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，
因此，0≤2-x≤1,
由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,
∵f(x)的周期为2，且为偶函数，
∴f(2-x)=f(-x)=f(x).
∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.