自主建构
( http: / / www.21cnjy.com )
本章测评
1.
如果函数f(x)=(a
2-1)
x在R上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A.
|a|>1
B.
|a|<2
C.
|a|>3
D.1<|a|<
思路解析:
由函数f(x)=(a
2-1)
x的定义域是R且是单调函数,可知底数必须大于零且不等于1,因此该函数是一个指数函数,由指数函数的性质可得0
2-1<1,解得1<|a|<.
答案:?D
2.
函数y=2
1-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为( )
A.
y=log2
B.
y=log2
C.
y=log2
D.
y=log2
思路解析:本题考查由原函数的解析式,去求其反函数的解析式的方法.?
由y=2
1-x+3,得2
1-x=y-3,?
则1-x=log2(y-3),
所以其反函数为y=1-log2(x-3),
即y=log2.
答案:?A
3.
函数y=a
x在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则函数y=3a
x-1在［0,1］上的最大值是( )
A.6
B.1
C.3
D.
思路解析:
由于函数y=a
x在［0,1］上是单调的,因
( http: / / www.21cnjy.com )此最大值与最小值都在端点处取到,故有a
0+a
1=3,解得a=2,因此函数y=3a
x-1在［0,1］上是单调递增函数,最大值当x=1时取到,即为3.
答案:?C
4.
设f(x)=()
|x|,
x∈R,那么f(x)是( )
A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
思路解析:因为函数f(x)=()|x|=的图象如右图.
( http: / / www.21cnjy.com )
由图象可知答案显然是D.
答案:D
5.
下列函数中值域为正实数的是( )
A.
y=5
B.
y=()
1-x
C.
y=()x-1
D.
y=1-2x
思路解析:A中指数取不到零
( http: / / www.21cnjy.com ),因此值域为(0,1)∪(1,?+∞);B的指数可以取到所有实数,故值域是正实数;C和D的值域都是［0,+∞).因此答案是B.
答案:B
6.
函数y=2
-x+1+2的图象可以由函数y=()
x的图象经过怎样的平移得到( )
A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
思路解析:
函数y=2
-x+1+2可变形为y=()
x-1+2.
答案:?C
7.
若-1A.5
-x<5
x<0.5
x
B.5
x<0.5
x<5
-x
C.5
x<5
-x<0.5
x
D.0.5
x<5
-x<5
x
思路解析:
根据指数函数图象可观察答案是B.
答案:?B
8.
函数f(x)=的定义域是( )
A.
(1,
+∞)
B.
(2,
+∞)
C.
(-∞,
2)
D.
(1,
2］
思路解析:
要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
所以,解得1答案:?D
9.
函数y=log(x
2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.
(-∞,
1)
B.
(2,
+∞)
C.
(-∞,
)
D.
(,
+∞)
思路解析:先求函数定义域为(-∞,1)∪(2,+∞),令t(x)=x
2-3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log(x
2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:?B?
10.
若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为( )
A.
(0,
)
B.
(0,
］
C.
(,
+∞)
D.
(0,
+∞)
思路解析:因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<2a<1,解得0(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
答案:?A
11.
函数y=lg(-1)的图象关于( )
A.
y轴对称
B.
x轴对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
思路解析:y=lg(-1)=lg,所以为奇函数.形如y=lg或y=loga的函数都为奇函数.
答案:?C
12.
下列各函数中,在(-∞,0)上为减函数是( )
A.
y=log(-x)
B.
y=-x
C.
y=(x-1)2-1
D.
y=(x+1)2-1
思路解析:考查基本初等函数及复合函数单调性,可利用基本初等函数图象,得A、B在(-∞,0)为增函数,D在(-∞,0)先减后增.
答案:?C
13.
若(a+1)-<(3-2a)
-,则a的取值范围是________.
思路解析:
考查利用幂函数单调性解不等式.由y=x为减函数,得a+1>3-2a.
答案:a>
14.
函数f(x)=a
x-1+3的图象一定过定点P,则P点的坐标是__________.
思路解析:f(x)=a
x
( http: / / www.21cnjy.com )-1+3的图象可以看作把f(x)=a
x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且f(x)=a
x一定过点(0,1),则f(x)=a
x-1+3应过点(1,4).
答案:(1,
4)
15.
把函数y=f(x)的图象沿x
( http: / / www.21cnjy.com )轴向右平移2个单位,所得的图象为C,C关于x轴对称的图即为y=2x的图象,则y=f(x)的函数表达式为( )
A.
y=2
x+2
B.
y=-2
x+2
C.
y=-2
x-2
D.
y=-log2(x+2)
答案:?B
16.
已知函数f(x)=()
1-x2,其定义域是_________,值域是_________.
思路解析:由≥0解出定义域［-1,1］,由0≤1-x2≤1及函数y=()x的单调性,可知()1≤()≤()0,即≤y≤1.
答案:［-1,1］ ［,1］
17.
(1)已知(0.7
1.3)m<(1.3
0.7)m,求m的取值范围;
(2)已知x>x,求x的取值范围.
思路解析:(1)根据幂函数的图象,可以得到幂函数y=xn的下列性质:?
①当n>0时,若01,则xn>1.?
②当n1>n2>0时,若0n1n2;若x>1则x
n1>x
n2.
③当n<0时,若01;若x>1,则0④当0>n1>n2时,若0n1n2;若x>1,则x
n1>x
n2.
(2)如果能熟练画出y=x与y=x的图象,则第(2)小题的结果便可根据图象直接获得.
答案:(1)根据幂函数y=x
1.3的图
( http: / / www.21cnjy.com )象,当01.3<1;又根据幂函数y=x
0.7的图象,当x>1时,y>1,∴1.3
0.7>1.于是有0.7
1.3<1.3
0.7.幂函数y=xm,由(0.7
1.3)m<(1.3
0.7)m知当x>0时,随着x的增大,函数值也增大,∴m>0.
(2)函数y=x与y=x的定义域都是R.y=x的图象分布在第一、第二象限,y=x的图象分布在第一、第三象限,
所以当x∈(-∞,0)时,x>x;
当x=0时,显然不适合不等式;
当x∈(0,+∞)时,x>0,x>0,由=x
>1,
知x>1,即x>1时,x>x.
综上讨论,
x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
18.
已知函数f(x)=,x∈(0,+∞),n为非零有理数,判断f(x)在(0,+∞)上是增函数还是减函数 并证明你的结论.
思路解析:
要证明函数单调性可以利用作差比较f(x1)-f(x2)>0的方法获得或作商比较>1,f(x2)≠0的方法获得.
证明:设x1、x2∈(0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)==
=.
∵x1、x2∈(0,+∞),?
∴x1
-nx2
-n>0,x1n+x1
-n>0,x2n+x2
-n>0,x1n+x2n>0.
于是.
又∵0(1)n>0时,x1n∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)n<0时,x1n>x2n,即x1n-x2n>0,?
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).?
综上讨论,可知n>0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,n<0时f(x)在(0,+∞)上是减函数.
19.
求函数y=log(x
2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
思路解析:
注意到对数函数的图象及性质和复合函数的单调性.
答案:
由μ(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,?
所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞).?
当x∈(-∞,1)∪(4,+∞)时,{μ|μ=x2-5x+4}=R
+,
所以函数的值域是R
+.
因为函数y=log(x
2-5x+4)是由y=logμ(x)与μ(x)=x
2-5x+4复合而成,函数y=logμ(x)在其定义域上是单调递减的,函数μ(x)=x
2-5x+4在(-∞,)上为减函数,在［,+∞)上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log(x
2-5x+4)的增区间是定义域内使y=logμ(x)为减函数、μ(x)=x
2-5x+4也为减函数的区间,即(-∞,1);y=log(x
2-5x+4)的减区间是定义域内使y=logμ(x)为减函数、μ(x)=x
2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).
20.
设函数f(x)=+lg,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f
-1(x),问函数y=f
-1(x)的图象与x轴有交点吗 若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.
思路解析:
(1)由3x+5≠0且>0,解得x≠-且-(2)令μ(x)=3x+5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;?
=-1+随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgu在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y=lg是减函数,所以f(x)=+lg是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.?
设函数f(x)的反函数f
-1(x)与x轴的交点为(x
0,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x
0),将(0,x
0)代入f(x),解得x
0=.所以函数y=f
-1(x)的图象与x轴有交点,交点为(,0).
21.
已知函数f(x)=log3的值域为［0,1］,求b和c的值.
思路解析:因为f(x)的值域为［0,1］,
即0≤log3≤1,所以
.当且仅当时,0≤log3≤1取等号.解方程组可得或.
答案:或.
22.
已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3
x+1-9x的最大值和最小值.
思路解析:本题中的函数实为一个指数函数和一个二次函数的复合函数,故可用换元法转化为区间上的二次函数的最值问题.
答案:设t=3x,∵-1≤x≤2,∴≤t≤9.
且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12.
故当t=3,即x=1时,f(x)取最大值为12.?
当t=9,即x=2时,f(x)取最小值为-24.单元测评
（90分钟，100分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.函数y=lg(
)
A.在(0,+∞)上是增函数
B.在(0,+∞)上是减函数
C.在(1,+∞)上是增函数
D.在(1,+∞)上是减函数
解析：令y=lgμ.μ=,
∵μ=在（1，+∞）上单调减.
y=lgμ在（1，+∞）上单调增.
∴y=lg在(1,+∞)上单调递减.
答案：D
2.在下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数的是(
)
A.y=x
B.y=2-|x|
C.y=x2
D.y=log3x
解析：∵y=log3x的定义域为{x|x>0},不关于原点对称，
∴为非奇非偶函数.
答案：D
3.已知y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a的取值范围是（
）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（0，2）
D.［2,+∞］
解析：由题意可知a>0且a≠1,μ=2-ax在其定义域上为单调减函数，又y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，故y=logaμ是增函数,即a>1.又2-ax>0,x<,
∴>1,a<2,即1答案：B
4.已知f(x)=a-是R上的奇函数,f(x)=,则x等于(
)
A.2
B.
C.
D.
解析：由条件得f(-x)=-f(x),∴a-=-a+,
∴a=1.
∴f(x)=1-,
∴1-=.∴x=2.选A.
答案：A
5.下列函数中,定义域与值域都不是(-∞,+∞)的是(
)
A.y=3x
B.y=x3
C.y=x-2
D.y=log2x
解析：y=x-2定义域为（0，+∞），值域也为（0，+∞）.∴选C.
答案：C
6.给出下列函数，对于定义域内的任意x1,x2(x1≠x2)，使不等式f()≤成立的函数是（
）
①f(x)=kx+b(x∈R)
②f(x)=x2(x>0)
③f(x)=2x(x∈R)
④f(x)=log2x(x>1)
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
解析：满足f()≤时，函数f(x)的图象应如下图所示，可得①②③都可能.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：A
7.若loga3>logb3>0>logc3>logd3,则a、b、c、d的大小关系为(
)
A.a>b>c>d
B.b>a>c>d
C.a>b>d>c
D.b>a>d>c
解析：∵loga3>logb3>0，
∴a>0,b>0且0∴0>logc3>logd3,
∴ca>d>c.
答案：D
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=xex-1,当x≤0时,f(x)的解析式是(
)
A.xe-x-1
B.-xe-x-1
C.xe1-x
D.-xe1-x
解析：当x=0时f(x)=0,
当x<0时，-x>0,f(-x)=-xe-x-1，
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)=xe-x-1.
∴x≤0时,f(x)=xe-x-1.
答案：A
9.函数y=log2(1-x)的图象是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵1-x>0,∴x<1.这样可排除A、D.
∵y=log2(1-x)是单调减函数.
∴选B.
答案：B
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在［0,+∞)上是减函数,如果f(lgx)>f(1),那么x的取值范围是(
)
A.(,1)
B.(0,)∪(1,+∞)
C.(,10)
D.(0,1)∪(10,+∞)
解析：由条件得：|lgx|<1,
∴-1∴答案：C
二、填空题（每小题4分，共16分）
11.函数y=+的定义域为___________________.
解析：
解得x>且x≠1.
答案：x>且x≠1
12.计算:log4(1++)+log4(1+-)=_______________.
解析：原式=log4［（1+）2-3］=log4=.
答案：
13.函数f(x)=+m(a>1)恒过点（1，10），则m=_______________.
解析：∵f(x)=
+m恒过（1，10）,
∴10=a0+m,
∴m=9.
答案：9
14.函数y=的定义域是________________；值域是__________________；单调递增区间是_____________________.
解析：由x∈R,所以2x-x2=-(x-1)2+1≤1,则≥,即y≥;令t=2x-x2,则y=()t,当x∈［1,+∞］时，t=2x-x2单调递减，又y=()t单调递减，所以单调递增区间为［1，+∞］.
答案：R
［,+∞)
［1,+∞)
三、解答题（共44分）
15.(10分)某纯净水
( http: / / www.21cnjy.com )制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数是多少？（参考数据lg2=0.301
0,lg3=0.477
1）
解析：设至少需过滤的次数为x，原来水中杂质为a，则a(1-20%)x≤a·5%.即0.8x≤0.05.
两边取对数得：xlg0.8≤lg0.05,
∴x≥=≈13.4.故至少需过滤的次数是14次.
16.（10分）对于函数f(x)=a-(a∈R).
(1)探索f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a,使函数f(x)为奇函数.
解析：（1）f(x)=a-(a∈R)的定义域为x∈R.
设任意的x1、x2∈R且x1f(x1)-f(x2)=a--a+==.
∵x1∴-<0.
∵+1>0,+1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在R上为增函数.
(2)假设存在实数a,使函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x).
即a-=-(a-),
即2a=+,
即2a=.
即2a=2,∴a=1.
∴存在实数a=1使得f(x)为奇函数.
17.(12分)已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为区间［0，1］.
(1)求g(x)的解析式；
（2）求g(x)的单调区间，并判定函数的增减性;
（3）求g(x)的值域.
解析：（1）∵f(x)=3x,f(a+2)=18,
∴3a+2=18,得3a=2,
∴g(x)=2x-4x,x∈［0,1］.
(2)g(x)=2x-4x=2x-(2x)2,
设t=2x,
∵x∈［0,1］,∴t∈［1,2］,
∴g(t)=t-t2=-(t-)2+,g(t)在［1,2］上单调递减.
∵t=2x为［0，1］上的增函数，
∴g(x)在［0，1］上为减函数.
(3)∵g(x)在［0，1］上为减函数,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即g(x)∈［-2,0］.
故g(x)的值域为［-2，0］.
18.（12分）集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x≥0,f(x)∈［-2,4］，且f(x)在［0，+∞］上是增函数.
（1）判断函数f1(x)=-2及f2(x)=4-6×()x(x≥0)是否在集合A中，若不在集合A中，说明理由;
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的x≥0总成立？证明你的结论.
解析：（1）函数f1(x)=-2不在集合A中，当x=49>0时，f1(49)=5>4,不满足条件.
f2(x)=4-6×()x在集合A中.
（2）对于函数f(x)=4-6×()x,
∵f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6×()x+4-6×()x+2-2［4-6×()x+1］=8-6×()x-×()x-8+6×()x=-×()x<0,
∴f(x)+f(x+2)<2f(x+1)对于任意的x≥0总成立.第二单元 指数函数、对数函数、幂函数
A 卷
本试卷满分：100分；考试时间：90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
l.设指数函数C1：y=ax，C2：y=bx，C3：y=cx的图象如图，则（
）
A．0B．0C．cD．0( http: / / www.21cnjy.com )
2.函数y=ax-1（a>0，a≠1）过定点，则这个定点是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（-1，0.5）
D．（1，1）
3.若函数y=f（x）的图象与y=2-x的图象关于y轴对称，则f（3）=（
）
A．8
B．4
C．
D．
4.若指数函数y=ax经过点（-1，3），则a等于（
）
A．3
B．
C．2
D．
5.函数y=f（x）的图象与y=21-x的图象关于直线x=1对称，则f（x）为（
）
A．y=2x-1
B．y=2x+1
C．y=2x-2
D．y=22-x
6.对于x1，x2∈R（注：表示“任意”），恒有f（x1）·f（x2）=f（x1+x2）成立，且f（1）=，则f（6）=（
）
A．2
B．4
C．
D．8
7.若函数f（x）=logax（0）
A．
B．
C．
D．
8.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2x的图象是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
9.设函数若f（x0）>1，则x0的取值范围是（
）
A．（-1，1）
B．（-∞，-2）∪（0，+∞）
C．（-1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
10.已知0）
A．a>b
B．a=bf
C．aD．不能确定
答案：1．A
2．D
3．A
4．B
5．A
6．D
7．D
8．A
9．D
10．A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11.已知对数函数C1：y=logax，C2：y=logbx，如图所示，则a、b的大小是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：a>b>1
12.函数的定义域是__________．
答案：{x|13.已知集合M={x∈R+|y=log3x-logx，y∈Z}，若a∈M，则a的值可以是__________．
答案：9n（n∈Z）
14.溶液的酸碱度是通过pH刻画的．pH的
( http: / / www.21cnjy.com )计算公式为pH=-lg[H+]，[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol／L．某溶液的氢离子的浓度为2-10mol／L，则该溶液的pH值为（1g
2≈0.3）
__________.
答案：3
三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2
000
m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3（m／s），其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）在给定的坐标系中描出函数图象，并求一条鱼静止时耗氧量的单位数；
（2）当一条鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：（1）图象如图所示，当O=100时，v=0
（2）当O=8
100时，v=2（m／s）
16.当某种药品注射到人体内，它在血液中的残留量成指数型函数衰减．
（1）药品A在血液中的残留量可以用以下指数型
( http: / / www.21cnjy.com )函数描述：y=5e-0.2t，其中，t是注射一剂药A后的时间（单位：h），y是药品A在人体内的残留量（单位：mg）．描出这个函数图象，求出y的初始值，当t=20时，y值是多少
（2）另一种药品B在人体中的残留量可以表示成y=5e-0.5t．与药品A相比，它在人体内衰减得慢还是快
答案：（1）当t=0时，y=5；当t=20时，y=5e-4≈0.091
6
（2）y15e-0.2t，y2=5e-0.5t,∴∴y1>y2,则药品B在人体内衰减得快
17.已知函数f（x）=loga（a>0，a≠1）是奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．
答案：（1）∵f（x）为奇函数,
∴loga=-loga（对x∈R恒成立）m=-1
（2）∵f（x）=loga（x<-1或x>1），∴f（x）=loga（1+），∴（i）当01时，f（x）在（1，+∞）上是减函数
18.已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=.
（1）求f（x）在（-1，1）上的表达式；
（2）证明f（x）在（-1，0）上是增函数．
答案：1（1）
（2）设-1x119.已知f（x）是定义在（-1，1）的函数，并且满足下列条件：①对x1，x2∈（-1，1）都有f（x1）+f（x2）=成立；②当x∈（-1，0）时，f（x）>0.请回答下列问题：
（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．
答案：（1）∵对x1,x2∈（-1，1）时，f（x1）+f（x2）=都成立,
∴令x1=x2=0，得f（0）=0，∴对于x∈（-1，1），f（x）+f（-x）==0，所以对于x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x），所以f（x）在（-1，1）上是奇函数
（2）设00，∴-1<
<0，则f（x1）>f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数B 卷
本试卷满分：100分；考试时间：90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.下列函数表达式中表不幂函数的是（
）
A．y=2x3
B．y=x
C．y=-x
D．y=πx
2.图中的曲线是亲函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取2，，-1三个值，则曲线C1、C2、C3的n值依次为（
）
A．2，，-1
B．-1，，2
C．2，-1，
D．，2，-1
( http: / / www.21cnjy.com )
3.函数f（x）=lg（x-2）+（x-3）0的定义域是（
）
A．{x|x>2}
B．{x|x>3}
C．{x|x>2或x≠3}
D．{x|x>2且x≠3}
4.实数方程()x=x的解的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.已知幂函数y=f（x）通过点（2，2），则幂函数的解析式为（
）
A．y=2x
B．y=x
C．y=x
D．y=x
6.已知函数y=logx与y=kx的图象有一个公共点A，且点A（2，ya），则k=（
）
A．-
B．
C．-
D．
7.函数y=ax与y=xa的图象如图所示，则a可能是（
）
A．2
B．3
C．
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
8.函数的值域是（
）
A．{y|y≤1，y≠0}
B．{y|y≤2}
C．{y|yD．{y|y≤2，y≠0}
9.已知集合A={x∈R|y=x}，B={y|y=x2，x∈R），则A∩B等于（
）
A．{x|x∈R}
B．{y|y≥0}
C．
D．{（0，0），（1，1）}
10.在下列不等式中，m>n的是（
）
A．logπmB．log0.3m>log0.3n
C．πm>πn
D．0.3m>0.3n
答案：1．B
2．C
3．D
4．A
5．C
6．A
7．D
8．D
9．B
10．C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11.函数y=log2（）+（x+2）的定义域是__________．
答案：{x|-2≤x<}
12.方程log2x=-x+2的近似解为x≈__________．（精确度为0.1）
答案：x≈1.5
13.幂函数y=x和幂函数y=x-3如图所示（在第一象限），则曲线C1，是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：y=x
14.若不计算空气阻力，火箭的最大速度v
km／s和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量m
kg的函数关亲式为v=21n（1+）．当M=200m时，v≈__________km／s．（答案保留小数点后两位）
答案：v≈10.61
km／s
三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.证明幂函数f（x）=在（-∞，+∞）上是增函数．
答案：设x1，∵x1∴x1-x2<0,又∵（）2+（）2>0，∴f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）16.设函数f（x）=logπ（2+x）
( http: / / www.21cnjy.com )和函数g（x）=logπ（2一x），令函数F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域；（2）判断函数F（x）奇偶性，并说明理由；（3）判断函数F（x）的单调性，并说明理由．
答案：（1）定义域：{x|-2（2）∵x∈{x|-2（3）∵F（x）=logπ（4-x2），∴F（x）在（-2，0]上是增函数，F（x）在[0，2）上是减函数
17.某IP产品原来每年市场需求量为a，在
( http: / / www.21cnjy.com )今后n年内，估计市场需求量平均每年比上一年增加p％，写出市场需求量随年数x（1≤x≤n，x∈N
）变化的函数解析式f（x），并求当p=0.2时，经过多少年市场的需求量增加1成 若p≤0.3时，（1+p％）x≈1+xp%，试计算结果并作比较．
答案：函数y=a（1+p％）x（1≤x≤n，x∈N
），当p=0.2时，a（1+0.002）x=1.1a，从而有：x=logl.002
l.1≈48，当p≤0.3时，a（1+0.002）x≈a（1+0.002x）=1.1ax=50，绝对误差是50-48=2
18.完成下列各题：
（1）确定x的值，使不等式a2x-1>a3x（a>0，a≠1）成立；
（2）已知函数f（x）=2x-1，g（x）=求f[g(x)]的表达式．
答案：（1）①当0-1；②当a>1时，x<-1
（2）当x≥0时，f[g(x)]=f（x2）=2x2-1；当x<0时，f[g(x)]=f（-1）=-3
19.低压燃煤气体是通过管道输送的．在固定
( http: / / www.21cnjy.com )的压力差下，当燃煤气体通过圆形管道时，其流量速率v（cm3／s）与管道的直径（内径）d（cm）的四次方成正比．
（1）若燃煤气体在直径为6
cm的管道中，流量速率为400
cm3／s，求该燃煤气体通过直径为d的管道时，其流量速率的表达式；
（2）要向某居民小区每小时供给36
m3。燃煤气体，输送燃煤气体管道内径至少为多少
答案：（1）设比例常数为k，则v=kd4，当d=6
cm时，v=400cm3／s，∴400=k64，k=,
∴v=d4
（2）∵v=36××106=10
000(cm3/s),
∴10
000=，即直径为6cm本章测评
1.函数y=lg的图象大致是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0），（，1）.②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数.
答案：A
2.若函数f(x)=则f(log43)等于(
)
A.
B.3
C.
D.4
思路解析：∵log43∈［0,1］,∴f(x)=4log43=3.
答案：B
3.已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是(
)
A.mB.mC.pD.p思路解析：本题考查指数函
( http: / / www.21cnjy.com )数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0<0.9<1，5.1>1，∴0<0.95.1<1，即01，0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1.由对数函数的性质，∵0<0.9<1，5.1>1，∴log0.95.1<0，即p<0.综合可得p答案：C
4.设n=，则n的值属于下列区间中的(
)
A.（-2，-1）
B.（1，2）
C.（-3，-2）
D.（2，3）
思路解析：n=+==log310.
∵log39∴n∈(2,3).
答案：D
5.已知集合A={y|y=log2x,x>1}，B={y|y=()x,x>1},则A∩B等于(
)
A.{y|0B.{y|0C.{y|D.
思路解析：A={y|y>0},B={y|0∴A∩B={y|0答案：A
6.已知0)
A.1
B.2
C.3
D.1或2或3
思路解析：函数y=a|x
( http: / / www.21cnjy.com )|是偶函数，其图象关于y轴对称；函数|logax|的图象是保留x轴的上半平面部分及与x轴的交点，而把x轴下半平面的部分沿x轴翻折而得到的.
( http: / / www.21cnjy.com )
作出两个函数的图象，可知交点的个数是2，即方程有两个实根.
答案：B
7.函数y=
(x≠-1)的反函数是(
)
A.y=
(x≠1)
B.y=
(x≠1)
C.y=(x≠0)
D.y=
(x≠0)
思路解析：y==1-,所以x=-1=.对调x,y,得反函数为y=
(x≠1).
答案：A
8.下列函数的图象无论经过平移或沿某直线翻折都不能与y=x的图象重合的有(
)
①y=2-x
②y=2log4x
③y=log2（x+1）
④y=·4x
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
思路解析：先化简函数表达式：①y=（）x，②y=-x，③y=-（x+1），④y=（）1-2x.然后对比即可.原函数和①关于y=x对称；和②关于x轴对称；③是将②向左平移一个单位.
答案：B
9.已知实数a、b满足等式()a=()b，下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
思路解析：作y=()x,y=()x的图象，如图.
( http: / / www.21cnjy.com )
当x<0时，()a=()b，则有a当x>0时，()a=()b，则有0当x=0时，()a=()b，则有b=a=0.
答案：B
10.已知f(x)是偶函数，它在［0,+∞］上是减函数.若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是(
)
A.(
,1)
B.(0,
)∪(1,+∞)
C.(
,10)
D.(0,1)∪(10,+∞)
思路解析：依题意，有|lgx|<1，即-1答案：C
11.将（-1.8，，（-2由大到小排列为_________.
思路解析：本题考查指数函数与幂函数的综合运用.注意到（-2<0，而（-1.8>0，>0；又因为（-1.8=，且y=在［0，+∞］上是增函数，所以（-1.8<.综合得>（-1.8>（-2.
答案：>（-1.8>（-2
12.函数f（x）=loga（a>0且a≠1），f（2）=3，则f（-2）的值为_________
.
思路解析：∵f（-x）=loga
=-loga=-f（x）,∴函数为奇函数.∴f（-2）=-f（2）=-3.
答案：-3
13.1992年底世界人口达到54.
( http: / / www.21cnjy.com )8亿，若人口的年平均增长率为1%，经过x年后世界人口数为y（亿），则y与x的函数关系式为_________.
思路解析：经过1年人口数为y=54.8+54.8×1%=54.8(1+1%),
经过2年人口数为y=54.8(1+1%)+54.8(1+1%)×1%=54.8(1+1%)2,
经过3年人口数为y=54.8(1+1%)2+54.8(1+1%)2×1%=54.8(1+1%)3,
……
经过x年人口数为y=54.8(1+1%)x,即y=54.8·1.01x.
答案：y=54.8·1.01x
14.函数y=（1+x）0-的定义域是_________.
思路解析：要使函数有意义，需化简成解集为{x|x>-1且x≠0}.
答案：{x|x>-1且x≠0}
15.已知lgx+lgy=2lg（x-2y），则=_________.
思路解析：考查对数的运算性质.由lgx+lgy=2lg（x-2y），得xy=（x-2y）2，
整理得（x-4y）（x-y）=0，即x=y或x=4y.考虑对数的真数范围需满足x>0，y>0，x-2y>0，因此x=y不符合题意，即只能取x=4y.所以=4=4.
答案：4
16.设0≤x≤2，则函数y=-3·2x+5的最大值是_________，最小值是_________.
思路解析：y=-3·2x+5=
(2x)2-3·2x+5.
令t=2x,1≤t≤4，则y=t2-3t+5,1≤t≤4.
作出函数的图象，观察可知：
( http: / / www.21cnjy.com )
当t=3时，y
min
=×32-3×3+5=；
当t=1时，y
max
=×1-3×1+5=.
答案：
17.已知函数f（x）=-x+log2.
（1）试判断函数f（x）在定义域上的单调性并用单调性定义证明；
（2）若函数f（x）的反函数为f-1（x），解方程f-1（-1+log2x）=-1.
解：（1）令＞0，解得函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜1}.
令-2＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=-x1+x2+log2-log2=（x2-x1）+log2（）.
∵-2＜x1＜x2＜1，
∴x2-x1＞0，＞1，＞1.
∴·＞1.
∴log2（·）＞0.
∴f（x1）-f（x2）＞0.
∴f（x）为定义域上的减函数.
（2）由f-1（-1+log2x）=-1，f（-1）=-1+log2x，即1+log22=-1+log2x，解得x=8.
经检验，x=8为原方程的解.
18.要使函数y=1+2x+4x·a在（-∞，1）上y>0恒成立，求a的取值范围.
思路解析：把1+2x+4x·a>0在（-∞，1上恒成立问题，分离参数后等价转化为a>-（）x-（）x在（-∞，1上恒成立，而-（）x-（）x为增函数，其最大值为-，可得a>-.
解：由1+2x+4x·a>0在x∈（-∞，1上恒成立，即a>-=-（）x-（）x在（-∞，1上恒成立.
又g（x）=-（）x-（）x在（-∞，1上的值域为（-∞，-，∴a>-.
19.设f（x）=，若0（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）的值.
解：本题考查指数的运算.
（1）f（a）+f（1-a）=+
=+
=+
=+
==1.
（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）
=［f（）+f（）］+［f（）+f（）］+…+［f（）+f（）］=500×1=500.
自我盘点
我认为本章的主要内容可分为这几个方面:
在学习本章内容时,我所采用的学习方法是:
在学习本章内容时,我的心情是这样的:
在学习本章的过程中,我最大的感受是:
在学习本章后,我记住并能应用的知识是:
我将这样弥补自己在本章学习中所存在的不足:本章知识结构
( http: / / www.21cnjy.com )
本章测试
1.已知集合A={y|y=log2x,x＞1},B={y|y=()x,x＞1},则A∩B等于（
）
A.{y|0＜y＜)
B.{y|0＜y＜1)
C.{y|＜y＜1)
D.
思路解析:∵y=log2x,x＞1,∴y＞0,即A={y|y＞0}.
又∵y=()x,x＞1,∴0＜y＜,即B={y|0＜y＜}.
∴A∩B={y|y＞0}∩{y|0＜y＜＝={y|0＜y＜}.
答案:A
2.函数y=(x2-6x+17)的值域是（
）
A.R
B.［8，+∞］
C.(-∞,-3)
D.［-3,+∞)
思路解析:y=［(x-3)2+8］≤8=-3.
答案:C
3.设1＜x＜a，那么logax2、(logax)2、loga(logax)之间的大小顺序是（
）
A.logax2＜(logax)2
( http: / / www.21cnjy.com )＜loga(logax)
B.logax2＜loga(logax)＜(logax)2
C.loga(logax)＜(logax
( http: / / www.21cnjy.com ))2＜logax2
D.(logax)2＜logax2＜loga(logax)
思路解析:解法一:令x=2,a=4,则logax2=log44=1,
(logax)2=(log42)2=，loga(logax)=log4(log42)=-，∴loga(logax)＜(logax)2＜logax2.
解法二:∵1＜x＜a，∴0＜loga
( http: / / www.21cnjy.com )x＜1.logax2=2logax＞logax＞0,
0＜(logax)2＜logax,loga(logax)＜loga1=0,
∴loga(logax)＜(logax)2＜logax2.
答案:C
4函数y=的定义域是（
）
A.(1，2]
B.(1，2)
C.(2，+∞)
D.(-∞,2)
思路解析:由题意得1＜x＜2.
答案:B
5.设有两个命题，则实数a的范围是（
）
①关于x的不等式x2+2ax+4>0对于一切x∈R恒成立
②函数f(x)=-(5-2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题
A.(-2,2)
B.(-∞,2)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-2]
思路解析:①等价于Δ=(2a)2-16<0-21a<2.
①②有且只有一个为真，∴a∈(-∞,-2).
答案:C
6.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析:由y=()x的图象知0＜＜1,
∴-＜-＜0,即二次函数y=ax2+bx的对称轴在-到0之间.
答案:A
7.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1``,则f(1)等于（
）
A.0
B.1
C.-1
D.4
思路解析:令f(1)=x,则f-1(x)=1,令2x+1=1,∴x=-1.
答案:C
8.若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是（
）
A.(0,)
B.(0,]
C.(,+∞)
D.(0,+∞)
思路解析:f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1.
∵x∈(-1,0),∴0＜x+1<1.
∴0<2a<1,即0答案:A
9.下图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
思路解析:因为任何底数的一次幂都是底数本身,所以,可作直线x=1,它同各个图象相交,交点的纵坐标就是各指数函数的底数.
答案:B
10.今有一组试验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（
）
A.v=log2t
B.v=
C.v=
D.v=2t-2
思路解析:五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，代入验证可知v=最接近.
答案:C
11.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=
f(x)，则这样的函数共有（
）
A.1个
B.4个
C.8个
D.10个
思路解析：由f(f(x))=f(x)可知，集合A={1,2,3}的象f(A)(即所有f(x)构成的集合)在映射f下保持不变，即对于任意x∈f(A)，总有f(x)=x,则问题转化为对f（A）的讨论：
(1)f（A）中有3个元素时，只能为f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3.
(2)f（A）中有2个元素时，如{1，2}则f（1）=1，f（2）=2，f（3）=2均可从而有C23×2=6个.
(3)f（A）中有1个元素时，如f（1）=f（2）=f（3）=1时，满足条件的有3个，共计10个函数.
答案：D
12.方程=3的解是_____________________.
思路解析:由=3得3·32x+2·3x-1=0.
∴3x=或3x=-1(舍).
∴x=-1.
答案:-1
13.1992年底世界人口达到54.8
( http: / / www.21cnjy.com )亿,若人口的年平均增长率为1%,经过x年后世界人口数为
y亿,则y与x的函数解析式为_____________________.
思路解析:1992年底世界人口为54.8亿.
1年后的人口数为
y1=54.8+54.8×1%=54.8×(1+1%);
2年后的人口数为
y2=54.8×(1+1%)+54.8×(1+1%)×1%=54.8×(1+1%)2;
3年后的人口数为
y3=54.8×(1+1%)3;
……
x年后的人口数为y=54.8×(1+1%)x.
答案:y=54.8×(1+1%)x
14.若不等式>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______________.
思路解析:由题意知x2-2ax>-x-1恒成立，即x2-(2a-1)x+1>0恒成立.
故Δ=(2a-1)2-4<0-答案:-15.若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间［2,+∞］上单调递增,则实数a的取值范围是_________.
思路解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定义域内进行.
∵函数f(x)在区间［2,+∞)上单调递增,
∴-≤2,且x=2时,x2+ax-a-1＞0,即
∴a＞-3,即实数a的取值范围是(-3,+∞).
答案:(-3,+∞)
16.一种放射性元素,最初的质量为500
g,按每年10%的速率衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素
( http: / / www.21cnjy.com )的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301
0,lg3=0.477
1)
思路解析:(1)最初的质量为500
g.
经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t=2500.9t=0.5lg0.9t=lg0.5tlg0.9=lg0.5,t==-≈6.6(年).即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
答案：（1）ω=500×0.9t；（2）半衰期约为6.6年.
17.已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，且对任意x恒有f(2-x)=f(2+x)成立，解不等式f［(x2+x+)］＞f［(2x2-x+)］.
思路解析:因为对任意x，恒有f(2-x)=f(2+x)成立，可得二次函数f(x)的对称轴是x=2.
∵x2+x+=(x+)2+≥,2x2-x+=2(x-)2+≥,
∴(x2+x+)≤=2,(2x2-x+)≤()=1.
∵二次函数f(x)的二次项系数为负数，
∴在对称轴左侧f(x)为增函数.
∴(x2+x+)＞(2x2-x+)
x2+x+＜2x2-x+x2-2x+＞0x＜或x＞.
故不等式的解集为(-∞,)∪(,+∞).
答案：(-∞,)∪(,+∞).
18.试讨论函数f(x)=loga(a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.
思路解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清函数的复合过程.
解:设u=,任取x2＞x1＞1,则
u2-u1=
∵x1＞1,x2＞1,∴x1-1＞0,x2-1＞0.
又∵x1＜x2,∴x1-x2＜0.
∴＜0,即u2＜u1.
当a＞1时,y=logax是增函数,
∴logau2＜logau1,即f(x2)＜f(x1);
当0＜a＜1时,y=logax是减函数,∴logau2＞logau1,即f(x2)＞f(x1).
综上可知,当a＞1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为减函数;
当0＜a＜1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为增函数.
答案：当a＞1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为减函数;
当0＜a＜1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为增函数.
19.设f(x)=lg，且当x∈(-∞,1］时f(x)有意义，求实数a的取值范围.
思路解析:欲使x∈(-∞,1\)时，f(x)有意义，需1+2x+4xa＞0恒成立，也就是a＞-［()x+()x］(x≤1)恒成立.
∵u(x)=-［()x+()x］在(-∞,1]上是增函数，
∴当x=1时，［u(x)］max=-.
于是可知，当a＞-时，满足题意,即a的取值范围为(-，+∞).
答案：a的取值范围为(-，+∞).
20.某种细菌每隔两小时分裂
( http: / / www.21cnjy.com )一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t).
(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；
(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t<6)的图象；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示).
思路解析:(1)y=f(t)定义域为t∈［0,+∞),值域为{y|y=2n,n∈N
}.
(2)0≤t<6时，为一分段函数，
y=图象如下图.
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)n为偶数时，y=+1;
n为奇数时，y=+1.
∴y=