3.5 三元一次方程组及其解法
1．会解简单的三元一次方程组．
2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
重点
三元一次方程组的解法．
难点
三元一次方程组的解法过程中的方法选择．
一、复习旧知，导入新知
(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？
(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们设甲、乙、丙分别为x，y，z，列方程，再把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：三元一次方程组及其解法
问题1：怎样解上面的三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组．
解：由②，得x＝y＋1.④
把④代入①，得2y＋z＝25.⑤
把④代入③，得y＋z＝16.⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y＝9代入④，得x＝10.
所以
注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．
b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最简单的方程④.
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①与③结合消去z，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
问题2：解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，
y＝.所以
这个方程组的特点是方程①不含y，而②，③中y的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y后，再与①组成只含x，z的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的阶梯型方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组．
四、应用迁移，运用新知
1．三元一次方程组的有关概念
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C.
D.
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
2．三元一次方程组的解法
例2 解下列三元一次方程组：
(1)(2)
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去z，得
解得
把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.
所以原方程组的解为
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解是
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．
3．三元一次方程组的应用
例3 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，
得
解得
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b；如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
五、尝试练习，掌握新知
课本P116练习、P118练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了(1)解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
三元二元一元
方法：代入法、加减法
(2)解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
(3)注意检验．
七、深化练习，巩固新知3．2 一元一次方程的应用
第1课时 等积变形、行程等问题
1．会用一元一次方程解决关于等积变形、行程的实际问题．
2．掌握列方程解应用题的一般步骤．
3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．
重点
寻找面积、体积、行程问题中的等量关系．
难点
用“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程．
一、创设情境，导入新知
前面我们学习了一元一次方程及其解法，请同学们思考：我们学习解一元一次方程的目的是什么？(我们学习解方程的目的是为了应用)这一节我们就来学习用一元一次方程解决实际问题．(板书课题)
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：等积变形问题
演示：用力压一块圆柱形橡皮泥，最后橡皮泥变矮了．
刚才的演示与轧钢工厂里的锻压过程完全类似．
问题1：用直径为200
mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300
mm，300
mm和90
mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢(计算时π取3.14，结果精确到1
mm)
解析：把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生了变化，但锻造前后的体积是相等的，也就是
圆柱体体积＝长方体体积
思考：哪些是已知量？哪些是未知量？在锻造的过程中什么量改变了？哪些量没变？圆柱体体积怎么求？长方体体积又该如何表示？
学生独立思考，再小组讨论找出题目中的相等关系，根据所设未知数列出方程．
解：设应截取的圆柱体钢长为x
mm.
根据题意，得3.14×()2x＝300×300×90，
解得x≈258.
答：应截取约258
mm长的圆柱体钢．
探究点二：行程问题
思考：行程问题中“速度(v)、时间(t)与路程(s)”这三者之间的数量关系是什么？
学生讨论回答：(1)路程＝速度×时间(s＝vt)，
(2)速度＝路程÷时间(v＝)，
(3)时间＝路程÷速度(t＝)．
问题2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速．如果客车行驶的平均速度增加40
km/h，提速后由合肥到北京1110
km的路程只需行驶10
h．那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
解析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
路程＝平均速度×时间
设提速前客车平均每时行驶x
km，那么提速后客车平均每时行驶(x＋40)
km，客车行驶路程1110
km，所需时间是10
h．根据题意，得10(x＋40)＝1110.
解方程，得x＝71.
答：提速前这趟客车的平均速度是71
km/h.
说明：分析行程问题中的等量关系，还可以借助线段示意图．
交流总结：通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？
(1)弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题里的未知数；
(2)分析题意，找出相等关系(可借助于示意图、表格等)；
(3)根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
(4)解这个方程，求出未知数的值；
(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称)．
四、应用迁移，运用新知
1．等积变形问题
例1 将一个长、宽、高分别为15
cm、12
cm和8
cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12
cm的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可．
解：设锻造后长方体的高为x
cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)，
锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2)．
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大．
方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高．
2．行程问题中的相遇问题
例2 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．
解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900，解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．
3．行程问题中的追及问题
例3 敌我两军相距25
km，敌军以5
km/h的速度逃跑，我军同时以8
km/h的速度追击，并在相距1
km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程．
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1，解得x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的．
方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间．
4．行程问题中的环形问题
例4 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
解析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．
解：(1)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x－240x＝400，解得x＝.
(×360＋×240)÷400＝5(圈)．
答：两人一共跑了5圈；
(2)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x＋240x＝400，解得x＝(分钟)＝40(秒)．
答：40秒后两人第一次相遇．
方法总结：环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．
五、尝试练习，掌握新知
课本P94～95练习第1～3题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课我们学会用一元一次方程解决关于等积变形、行程的实际问题，掌握了列方程解应用题的一般步骤．
七、深化练习，巩固新知
课本P97习题3.2第2、3题．
《·》“课时作业”部分.
第2课时 储蓄、销售问题
第3课时 比例与和、差、倍、分问题
1．理解储蓄问题中本金、利率等数量间的关系，会解决储蓄问题．
2．理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系，会解决销售问题．
3．分析比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系，寻找相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题．
重点
理解储蓄问题中本金、利率等数量间的关系；理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系；分析比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系．
难点
正确分析问题中的等量关系设未知数列方程．
一、创设情境，导入新知
1．通过社会调查，让学生亲历打折销售和银行利息现实情境，了解利润问题中的成本价、卖价和利润之间的关系，银行利息问题中的本金、利息、本息和、年数、年利率和利息税之间的关系，进而能根据现实情境提出数学问题．
2．请举例说明打折、利润、利润率、提价、削价、本金、利息、本息和、年数、年利率、利息税的含义分别是什么？
公式：利润＝销售价－成本价；
利息
＝
本金×年利率×年数；本息和＝本金＋利息；利息税＝利息×税率．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：储蓄问题
问题1：王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%.到期后得到本息共23000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
教师指出：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，利息＝本金×利率×年数．本问题中涉及的等量关系有：本金＋利息＝本息和．
引导学生分析：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后的本息共为23000元．根据本金＋利息＝本息和，由此可得方程：x＋3×5%x＝23000，
解方程，得x＝，x＝20000.
答：当年王大伯存入银行20000元．
通过对上面例题的解答，学生在利率问题中对利率的一些等量关系有了进一步的认识．只要根据题意找出数量关系和关键词，设出未知数列出方程即可迎刃而解．
探究点二：销售问题
问题2：一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元．问这种书包每个进价多少？
教师指出：商品的利润是商品的售价与进价之差，也就是说：利润＝实际售价－进价(或成本)．商品利润率是：利润率＝×100%.打9折后的售价为原价的90%.
引导学生分析：设这种书包每个进价为x元，那么这种书包的标价为(1＋30%)x，对它打9折得实际售价为×(1＋30%)x.根据题意，得
×(1＋30%)x－x＝8.50.
解这个方程，得x＝50.
答：这种书包每个进价为50元．
学生体会：在市场上经常看到类似的“打折销售”、“大酬宾”、“大削价”等广告，实际上都是先升后降．
探究点三：比例问题
问题3：三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应该负担多少元？
教师指出：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于120元．由于共有土地4＋5＋6＝15份，因而120元可由15份分担．据此，得解法如下：
引导学生分析：设每份土地排涝分担费用x元，那么三个作业队应负担费用分别为4x元、5x元、6x元．根据题意，得4x＋5x＋6x＝120，解方程，得x＝8.
4x＝32，5x＝40，6x＝48.
答：三个作业队各应负担32元、40元、48元．
注意：本题中“设每份土地排涝分担费用x元”属间接设未知数法．当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法．
探究点四：和、差、倍、分问题
问题4：某湿地公园举行观鸟节活动，全价票为20元/人，半价票为10元/人，该公园共售出1200张门票，得总票款20000元．问全价票跟半价票各售出多少张？
解析：(1)题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？这些量之间有什么关系？完成下表．
思考：为什么下表中要设全价票为x，可以设半价票为x么？
单张票价
票数量
总票款
全价票
x
半价票
合计
1200
20000
(2)根据上表，找出等量关系，设未知数，列出方程，求出方程的解，并检验．
可得等量关系：全价票款＋半价票款＝总票款．
可设全价票售出x张，则半价票售出(1200－x)张．根据题意得
20x＋10×(1200－x)＝20000，解方程，得x＝800.
1200－x＝1200－800＝400.
答：全价票售出800张，半价票售出400张．
四、应用迁移，运用新知
1．求利率
例1 张师傅在银行里用定期一年整存整取的方式存入人民币8000元，到期得到本息8180元，求这项储蓄的月利率(不计利息税)．
解析：本题考查储蓄中的利率问题，利息＝本金×利率×期数．
解：设这项储蓄的月利率为x，根据题意，得8000＋8000×12×x＝8180，解方程，得x＝0.1875%.
答：这项储蓄的月利率为0.1875%.
方法总结：存款利率问题中有很多相关联的量，如本金、利息、利率等，只有知道它们的相互联系才能解决好此类问题．
2．求本金
例2 李明以两种方式储蓄了500元钱，一种方式储蓄的年利率是5%，另一种是4%，一年后得利息23元5角，问两种储蓄各存了多少元钱？
解析：本题考查的是本金问题，题目中有两个待求的未知数，我们可以设出一个，另一个未知数借助题目条件用第一个未知数表示出来．
解：设年利率是5%的储蓄了x元，另一种是4%的储蓄存了(500－x)元，根据题意，得x×5%×1＋(500－x)×4%×1＝23.5.
解这个方程，得x＝350.所以500－x＝150(元)．
答：年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元．
方法总结：解决储蓄问题的关键在于对关系式的正确运用，利息＝本金×利率×期数．
3．求成本价
例3 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
解析：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系：标价×80%＝60，列出方程即可．
解：设这批夹克每件的成本价为x元，则标价为(1＋50%)x元．根据题意，得(1＋50%)x·80%＝60.解得x＝50.
答：这批夹克每件的成本价是50元．
方法总结：按标价8折出售即按标价的80%出售．解题时要依据题意列出相应的等量关系式．
4．求折扣
例4 书店里每本定价10元的书，成本是8元．为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？
解析：本题中的利润为10－8＝2(元)，因为让利10%给读者，所以书店的利润为(1－10%)×2(元)，此时的售价为(10×折扣)元．根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程．
解：设该书应打x折，根据题意，得
10×－8＝(10－8)×(1－10%)．
解得x＝9.8.
答：该书应打九八折．
方法总结：让利10%，即指利润为原来的90%.解题时要注意理解题目内包含的信息．
5．求原价
例5 某商场节日酬宾：全场8折．一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2000元，那么它的原价为多少元？
解析：本题中的利润为(2000×10%)元，销售价为(原价×80%)元，根据公式建立起方程即可．
解：设原价为x元，根据题意，得
80%x－2000＝2000×10%.
解得x＝2750.
答：它的原价为2750元．
方法总结：售价＝进价＋利润，售价＝原价×打折数×0.1，售价＝进价×(1＋利润率)．
6．比例问题
例6 某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7∶1∶2∶4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药分别需要多少克？
解析：利用甲、乙、丙、丁四种草药成分的和等于2100克为相等关系列出方程．设其中一份为x克，由甲、乙、丙、丁四种草药的质量比，即可用含x的式子表示出来．
解：设需要甲种草药0.7x克，乙种草药x克，丙种草药2x克，丁种草药4.7x克，根据题意，得0.7x＋x＋2x＋4.7x＝2100.
解得x＝250，所以0.7x＝175，2x＝500，4.7x＝1175.
答：需要甲种草药175克，乙种草药250克，丙种草药500克，丁种草药1175克．
方法总结：比例分配问题中的全部数量＝各种成分的数量值之和．
7．和、差、倍、分问题
例7 某旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数比到怀集的人数的2倍少1人，则到两地旅游的人数各是多少人？
解：设到怀集旅游的人数为x人，则到德庆旅游的人数为(2x－1)人．
根据题意，得x＋(2x－1)＝200.
解得x＝67，则到德庆旅游的人数为2×67－1＝133(人)．
答：到怀集旅游的人数为67人，到德庆旅游的人数为133人．
方法总结：本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
五、尝试练习，掌握新知
课本P96练习第1、2题、P97练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了：
(1)储蓄问题中本金、利率等数量间的关系，会解决储蓄问题；
(2)商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系，会解决销售问题；
(3)比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系，会寻找等量关系，列出一元一次方程解简单的应用题．
七、深化练习，巩固新知
课本P97习题3.2第1、4、5、6题．
《·》“课时作业”部分．第3章 一次方程与方程组
3．1 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程
1．理解一元一次方程的概念．
2．掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程．
3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．
重点
对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．
难点
对等式基本性质的理解与运用．
一、创设情境，导入新知
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地，A，B两地间的路程是多少？
1．若用算术方法解决应怎样列算式？
2．如果设A，B两地相距x
km，那么客车从A地到B地的行驶时间为______，货车从A地到B地的行驶时间为______．
3．客车与货车行驶时间的关系是________．
4．根据上述关系，可列方程为________．
5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
二、自主合作，感受新知
阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
问题1：在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人．参加奥运会的跳水运动员有多少人？
解析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19＋1)÷2.当然上述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的．这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程．
解：设跳水运动员有x人，则依据题意，得
2x－1＝19.
注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路．
问题2：王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？
解析：一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍．这样用这儿的两倍关系建立等式，即x年后她爸爸的年龄＝x年后王玲的年龄×2.
解：设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得
36＋x＝2(12＋x)．
此处可引导学生将父女两人x年后的年龄表示出来，以加强互动．
探究点一：一元一次方程的有关概念
观察以上两个方程，找出其特点：
(1)有几个未知数？
(2)未知数的次数是几？
教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
回顾一元一次方程的解：
使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．
探究点二：等式的基本性质
为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质．(方程是一个等式)
等式的性质：
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)．
(3)(对称性)如果a＝b，那么b＝a.
(4)(传递性)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
四、应用迁移，运用新知
1．一元一次方程的辨别
例1 下列方程中是一元一次方程的是( )
A．x＋3＝y＋2
B．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)
C．x－1＝
D.－2＝2y－7
解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．
方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．
2．利用一元一次方程的概念求字母次数的值
例2 方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝±1
B．m＝1
C．m＝－1
D．m≠－1
解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以解得m＝1.
方法总结：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
3．一元一次方程的解
例3 检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程．
(1)x＝2;
(2)x＝3.
解析：将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解．
解：(1)将x＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；
(2)将x＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解．
方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．
4．等式的基本性质
例4 已知mx＝my，下列结论错误的是( )
A．x＝y
B．a＋mx＝a＋my
C．mx－y＝my－y
D．amx＝amy
解析：A.等式的两边都除以m，依据是等式的基本性质2，而A选项没有说明m≠0，故A错误；B.符合等式的基本性质1，正确；C.符合等式的基本性质1，正确；D.符合等式的基本性质2，正确．
方法总结：在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.
5．利用等式的基本性质解方程
例5 见课本P86例1.
方法总结：解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，然后再变形为x＝c的形式．
五、尝试练习，掌握新知
课本P87练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？
本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解．
七、深化练习，巩固新知
课本P90习题3.1第1、2题．
《·》“课时作业”部分．
第2课时 移项解一元一次方程
1．理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则．
2．会利用移项解一元一次方程．
重点
理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
难点
理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
一、复习旧知，导入新知
上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．
问题引入：
(1)解方程：2x－x＝6－8.
(2)观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？
2x＋7＝32－2x
怎样才能使它向x＝a(a为常数)的形式转化呢？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：移项解一元一次方程
观察P86例1解答过程中的第1步：
2x－1＝19
①
2x＝19＋1
②
由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．
“－1”这项移动后，发生了什么变化？(改变了符号)
总结：根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项．
一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x
＝a”的形式．
移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．
四、应用迁移，运用新知
1．移项
例1 通过移项将下列方程变形，正确的是( )
A．由5x－7＝2，得5x＝2－7
B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x
C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9
解析：A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故错误；C.正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故错误．
方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；(2)移项时要变号，不变号不能移项．
2．用移项解一元一次方程
例2 见课本P87例2.
例3 解下列方程：
(1)－x－4＝3x； (2)5x－1＝9；
(3)－4x－8＝4； (4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.
解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．
解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；
(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；
(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；
(4)移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.
方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．
五、尝试练习，掌握新知
课本P88练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第3、4(1)(2)、8题．
《·》“课时作业”部分．
第3课时 去括号解一元一次方程
1．会用分配律去括号解含括号的一元一次方程．
2．经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据．
重点
运用去括号法则解带有括号的方程．
难点
解一元一次方程的步骤，去括号注意事项．
一、创设情境，导入新知
一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
(1)题目中的等量关系是__________．
(2)根据题意可列方程为__________．
你能解这个方程吗？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：去括号解一元一次方程
问题：小明家来客人了，爸爸给了小明10元钱，让他买1听果奶饮料和4听可乐．从商店回来后，小明交给爸爸3元钱．如果我们知道1听可乐比1听果奶饮料多0.5元，能不能求出1听果奶饮料是多少钱呢？
设置问题串：
(1)小明买东西共用去多少元？
(2)如何用未知数x表示1听果奶饮料或者1听可乐的价钱？
(3)这个问题中有怎样的等量关系？
小组充分讨论交流后回答：
(1)买东西用去10－3＝7(元)．
(2)若设1听果奶饮料为x元时，则1听可乐为(x＋0.5)元；若设1听可乐为x元时，则1听果奶饮料为(x－0.5)元．
(3)如：买可乐的钱＋买果奶饮料的钱＝用去的钱．(学生的思路很广泛，也可列成其他形式，只要合理即可)
教师在学生回答的基础上，确定出一个方程：
设1听果奶饮料x元，则方程为4(x＋0.5)＋x＝10－3.
问题串：
(1)这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？它们有什么联系？
(2)它的主要特点是什么？怎样解这个方程？
学生可以讨论出以下结论：
方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．
回顾去括号法则：⑴括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．
学生自主学习课本P88例3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．
注意：(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简．
(2)去括号时不要漏乘括号内的任何一项．
(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号．
(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．
四、应用迁移，运用新知
1．用去括号的方法解方程
例1 解下列方程：
(1)4x－3(5－x)＝6；
(2)5(x＋8)－5＝6(2x－7)．
解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．
解：(1)4x－3(5－x)＝6，去括号得4x－15＋3x＝6，移项合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3；
(2)去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝11.
方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
2．根据已知方程的解求字母系数的值
例2 已知关于x的方程3(a－)＝＋3的解为2，求代数式(－a)2－2a＋1的值．
解析：此题可将x＝2代入方程，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．
解：因为x＝2是方程3(a－)＝＋3的解，
所以3(a－)＝1＋3，解得a＝2，
所以原式＝a2－2a＋1＝22－2×2＋1＝1.
方法总结：此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x的值代入方程，求出a的值，然后将a的值代入整式即可解决此类问题．
3．应用方程思想求值
例3 当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6
解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解：依题意得2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6，
去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，
移项、合并同类项得－3x＝6，
系数化为1得x＝－2.
方法总结：先按要求列出方程，然后去括号，移项(把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边)，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
五、尝试练习，掌握新知
课本P89练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1.
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第4(3)(4)、6、9、10题．
《·》“课时作业”部分．
第4课时 去分母解一元一次方程
1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．
2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤．
重点
用去分母的方法解方程．
难点
去分母时，不漏乘不含分母的项(即整数项)；正确理解分数线的作用，去分母后注意给分子添加括号．
一、复习旧知，导入新知
1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？
2．求下列几组数的最小公倍数：
(1)2，3； (2)2，4，5.
3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这一节课我们来共同解决这样的问题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：去分母解一元一次方程
1．探索去分母解方程的方法
问题：刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成这件作品？
学生活动：观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．
教师活动：(1)指定一名学生说出问题中的等量关系；(2)引导学生分析，建立方程模型．
师生共同分析：(1)题中的等量关系是：甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．
(2)设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则(x＋1)＋(x＋4)＝1.
提出问题：如何解方程
(x＋1)＋(x＋4)＝1
(1)鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．
(2)巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．
(3)给出两种不同的解法．
解法一：去括号，得x＋＋x＋＝1.
移项，得：x＋x＝1－－.
化简，得：x＝.
两边同除以，得x＝4.
教师：该方程与前面解过的方程有什么不同？
学生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数．
教师：能否把分数系数化为整数？
学生：我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15又是12的倍数60，就可以去掉分母，把分数化为整数．这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单．
解法二：去分母，得4(x＋1)＋5(x＋4)＝60.
去括号，得4x＋4＋5x＋20＝60.
移项，得标准形式：9x＝36.
方程两边同除以9，得x＝4.
教师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？
学生分组讨论，合作交流得出结论：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．
(4)引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．
2．探索解一元一次方程的具体步骤
学生自主学习课本P89例4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．
问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？
(学生回顾总结，小组可以讨论交流．)
归纳：(1)去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号．
(2)去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号．
(3)移项——一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号．
(4)化简——一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．
(5)标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax＝b x＝.
四、应用迁移，运用新知
利用去分母解一元一次方程
例1 解方程：(1)x－＝－3；
(2)－＝.
解析：(1)首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程；(2)先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3(x－3)－2(x＋1)＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．
解：(1)去分母得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，
去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，
移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，
合并同类项得2x＝－76，
把x的系数化为1得x＝－38；
(2)去分母得3(x－3)－2(x＋1)＝1，
去括号得3x－9－2x－2＝1，
移项得3x－2x＝1＋9＋2，
合并同类项得x＝12.
方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
例2 (1)当k取何值时，代数式的值比的值小1
(2)当k取何值时，代数式与的值互为相反数？
解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：(1)根据题意可得－＝1，
去分母得3(3k＋1)－2(k＋1)＝6，
去括号得9k＋3－2k－2＝6，
移项得9k－2k＝6＋2－3，
合并得7k＝5，
系数化为1得k＝；
(2)根据题意可得＋＝0，
去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝－3－2，
合并得11k＝－5，
系数化为1得k＝－.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题．
五、尝试练习，掌握新知
课本P90练习第1～3题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项，合并同类项；(4)系数化为1.注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去掉分母要加括号．
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第5、7题．
《·》“课时作业”部分．3．4 二元一次方程组的应用
第1课时 简单实际问题和行程问题
1．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
2．学会利用二元一次方程组解决行程问题．
重点
理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤．
难点
会灵活运用列方程组解决实际问题．
一、复习旧知，导入新知
我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：
(1)审题设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列方程；
(4)解方程；
(5)检验，写出答案．
这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题(板书课题)．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：列方程组解决简单实际问题
问题1：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分．问该队胜几场，平几场？
分析题意(方法一)：
(1)该队共进行比赛多少场，有没有输？(没有)
(2)若假设胜了x场，则平多少场？(11－x)
(3)胜一场得3分，胜x场得了多少分？(3x)
(4)平一场得1分，平局共得多少分？(11－x)
(5)该队共得27分．
(6)你找到等量关系了吗？(胜场得分＋平局得分＝总分)
通过以上分析列出方程．
解：设该队胜x场，则平了(11－x)场．
由题意可得
3x＋(11－x)＝27.
解得x＝8.
11－x＝11－8＝3.
答：该队胜8场，平3场．
分析题意(方法二)：
(1)若假设胜了x场，平局为y场，共进行11场比赛．你能找到它们三者之间的等量关系吗？(胜局场数＋平局场数＝总场数)
(2)胜一场得3分，胜x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？(胜场得分＋平局得分＝总分)
设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？
解：设胜了x场，平局为y场，得方程组
解得
答：该队胜8场，平3场．
由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组．讨论交流这两种方法各有什么特点？
探究点二：列方程组解决行程问题
行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行．这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析．其等量关系式是：两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝；时间＝.
(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行．这类问题也比较直观，因而也可画线段图帮助理解与分析．这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程．
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速．
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似．
问题2：一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒．若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒．求火车和人的速度．
解析：(1)同向时，火车所行路程比人要多出多少？(多出一个车身的长度)
(2)相向时，火车与人共同行了多少？(一个车身的长度)
小组讨论：题目中的相等关系：
同向时：火车行的路程－人行的路程＝车长
相向时：火车行的路程＋人行的路程＝车长
解：设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得
解得
答：火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒．
问题3：甲、乙两地相距4
km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2
h追上乙；如果相向而行，两人0.5
h后相遇．试问两人的速度各是多少？
解析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观地找到等量关系．
(1)
同时出发，同向而行
(2)
同时出发，相向而行
解：设甲、乙的速度分别为x
km/h，y
km/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
解方程组，得
答：甲的速度为5
km/h，乙的速度为3
km/h.
四、应用迁移，运用新知
1．列方程组解决简单实际问题
例1 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解得
答：甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找等量关系；设未知数时，一般是求什么，设什么；并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
2．列方程组解决行程问题——相遇问题
例2 某体育场的一条环形跑道长400
m．甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔
min他们相遇一次；如果同向而行，每隔
min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？
解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400
m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400
m(同向)．
解：设乙骑车每分钟行x
m，甲每分钟跑y
m，由题意，得解得
答：甲每分钟跑250
m，乙每分钟骑550
m.
方法总结：环行道路上的等量关系：若同时同地出发，背向而行时，则第一次相遇时，二者路程之和＝一周长；若同时同地出发，同向而行，则第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝一周长．
3．列方程组解决行程问题——航行问题
例3 A、B两码头相距140
km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7
h，逆水航行用了10
h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：设这艘轮船在静水中的速度为x
km/h，水流速度为y
km/h，列表如下：
路程
速度
时间
顺流
140
km
(x＋y)
km/h
7
h
逆流
140
km
(x－y)
km/h
10
h
解：设这艘轮船在静水中的速度为x
km/h，水流速度为y
km/h.由题意，得解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17
km/h，水流速度为3
km/h.
方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
五、尝试练习，掌握新知
课本P109练习第1～3题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；能利用二元一次方程组解决行程问题．
七、深化练习，巩固新知
课本P112习题3.4第1、2、7题．
《·》“课时作业”部分．
第2课时 百分率和配套问题
1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题．
2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．
重点
根据题中的各个量的关系，准确列出方程组．
难点
借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系．
一、复习旧知，导入新知
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：列方程组解决百分率问题
问题1：浓度问题：浓度＝溶质质量÷溶液质量；溶质质量＝溶液质量×浓度．
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
解析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表：
石英砂/t
长石粉/t
总量/t
需要量
x
y
3.2
含二氧化硅
99%x
67%y
70%×3.2
解：设需石英砂x
t，长石粉y
t.
根据题意可列出方程组：
解方程组，得
答：在3.2
t原料中，需石英砂0.3
t，长石粉2.9
t.
问题2：增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量．
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价．
解析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表：
甲/元
乙/元
合计/元
原单价
x
y
100
现单价
(1－10%)x
(1＋40%)y
100×(1＋20%)
解：设甲商品原单价为x
元，乙商品原单价为y
元．
根据题意可列出方程组：
解方程组，得
答：甲商品原单价为40元，乙商品原单价为60元．
探究点二：列方程组解决配套问题
问题3：配套问题基本等量关系：总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例
某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地．根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦．种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用？
解析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下：
作物品种
种植面积S/hm2
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
18
5
解：设蔬菜种植x
hm2，荞麦种植y
hm2，
根据题意列出方程组：
解方程组，得
故承包田地的面积为：
x＋y＝4
(hm2)．
人员安排为：5x＝5×2＝10(人)；4y＝4×2＝8(人)．
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用．
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.
各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键．
四、应用迁移，运用新知
1．列方程组解决增长率问题
例1 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人，则解得
20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
2．列方程组解决利润问题
例2 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．
解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得
化简，得解得
答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．
方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．
3．列方程组解决配套问题
例3
现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解析：此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190；(2)制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．
解：设制盒身的铁皮数为x张，制盒底的铁皮数为y张，根据题意，得解得
答：110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底．
方法总结：找出本题中的两个等量关系是解题的关键，解决配套问题时，一定要抓住题目中的特定的数量关系，根据等量关系列出方程组求解．
五、尝试练习，掌握新知
课本P110练习第1、2题、P111练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了运用二元一次方程组解决百分率和配套问题，进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．
七、深化练习，巩固新知
课本P112习题3.4第3～6题．
《·》“课时作业”部分．3．6 综合与实践——一次方程组与CT技术
1．了解什么是CT技术，CT技术有什么作用．
2．体会CT技术与一次方程组的关系.
3．会将实际问题抽象成数学问题，通过列方程解决问题.
4．增强用数学的意识，激发学生学习数学的热情．
重点
CT技术与一次方程的关系．
难点
用一次方程组分析CT数据．
一、创设情境，导入新知
CT是X射线计算机断层成像(X－ray
computed
tomography)的简称，亦指一种病情探测仪器．由于CT分辨力高，可使人体内组织或结构清楚地显影，能清楚地显示出器官是否有病变，因而对脑瘤、肺癌等疾病，CT检查作出的诊断都是比较可靠的．
CT的工作程序是这样的：X射线射入人体，被人体吸收而衰减，应用灵敏度极高的探测器采集衰减后的X射线信号，获取数据(由于人体不同器官和病变部位对X射线的吸收程度不同，所以所得数据也不同)，将这些数据输入电子计算机，进行处理后，就可摄下人体被检查部位的各断层的图象，从而发现体内任何部位的细小病变．
所谓断层是指受检体的截面薄层，为了显示整个器官，需要多个连续的断层图象，图象的个数按断层的厚度(1～10
mm)而定．
各断层的CT图象是如何得来的？我们在受检体内欲成图象的断层表面上，按一定大小(长或宽为1～2
mm)把断层划分成许多很小的部分(它的高就是断层的厚度)，这些小块就称为体素，一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素后被吸收的程度，要得到该断层的图象，要发现受检体有无病变，就需要把它上面的各体素的吸收值都求出来．
那么如何求一个断层上各体素的吸收值呢？这节课我们就来学习用最简单的由A、B、C三个体素组成的断层为例来进行说明．
二、师生互动，理解新知
设体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z，则X射线束1穿过体素A和B后，由探测器测得的总吸收值为p1，则x＋y＝p1，①
同样，X射线束2穿过体素A和C后，测得总吸收值为p2，X射线束3穿过体素B和C后，测得总吸收值为p3，则
将方程①②③联立起来，得到一个含有未知数x、y、z的三元一次方程组，解此方程组，可以求得体素A、B、C的各自吸收值．
由于一般的断层至少也得划分成160×160＝25600个体素，X射线束从不同位置、不同方向穿过该断层，因而需要解由此而建立的25600个元的一次方程组，才能求出各体素的吸收值．
说明：此方法称为联立方程法，由于需建立的方程太多，因而建立图象的速度较慢．目前CT图象的建立普遍采用滤波反投影法，建立图象的速度很快，待X射线扫描结束之后，随之可得CT图象．
问题1：若p1＝0.8，p2＝0.55，p3＝0.65，求体素A、B、C的吸收值．
问题2：设3个病人甲、乙、丙的3个体素A，B，C被X射线束1，2，3分别穿过后所测得的总吸收值如下：
总吸收量病人
p1
p2
p3
甲
0.45
0.44
0.39
乙
0.90
0.88
0.82
丙
0.66
0.64
0.70
(1)设x，y，z分别为体素A，B，C的吸收值，完成下表：
体素吸收值病人
x
y
z
甲
乙
丙
(2)设X射线束穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收值如下：
组织类型
体素吸收值
健康器官
0.1625～0.2977
肿瘤
0.2679～0.3930
骨质
0.3857～0.5108
对照上表，分析3个病人的检测情况，判断哪位患有肿瘤？
学生思考交流回答．
说明：在CT图象中，各体素的黑白程度是由吸收值来定的，深色表示低吸收值区，浅色表示高吸收值区．
三、课堂小结，梳理新知
通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么疑问吗？3．3 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
1．了解二元一次方程组的概念．
2．会根据已知条件列出二元一次方程组．
重点
理解二元一次方程组的概念．
难点
学会根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组．
一、创设情境，导入新知
前面我们学习了一元一次方程及解法，下面同学们看一下这个问题能用一元一次方程解决吗？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：二元一次方程及二元一次方程组的概念
问题1：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵，已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元，问樟树、白杨树苗各买了多少棵？
学生活动一：引导学生分析问题中的已知量和未知量以及量与量之间的相等关系，得出：
(1)樟树的棵数＋白杨树的棵数＝45棵，
(2)购买樟树苗的钱＋购买白杨树苗的钱＝60元．
提问一：上述问题中有几个未知量，能列一元一次方程解吗？
学生活动二：教师作如下引导，让学生分组讨论：
(1)若设樟树苗为x棵，则白杨树苗如何用含x的代数式表示？(45－x)
(2)列出怎样的一元一次方程？
(3)若设白杨树苗为x棵，则列出的一元一次方程一样吗？
(4)解两个形式不同的方程，问题的结果会不一样吗？
提问二：如果设樟树苗为x棵，白杨树苗为y棵，
你能列出几个独立的方程？
学生活动三：教师引导，学生分组讨论：
(1)购买樟树苗的钱如何表示？白杨树苗呢？(2x元、y元)
(2)是根据什么条件来列方程的？(上面的两个等量关系式：樟树的棵数(x)＋白杨树的棵数(y)＝45棵，
购买樟树苗的钱(2x)＋购买白杨树苗的钱(y)＝60元)
学生活动四：结合一元一次方程的概念，观察方程x＋y＝45①、2x＋y＝60②的特点，分组讨论如何给这样的方程下定义？
学生活动五：让学生把通过解一元一次方程得出的樟树苗的棵数(x＝15)和白杨树苗的棵数(y＝30)分别代入以上方程①和方程②，引导学生发现这里的x和y必须同时满足上面①，②两个方程，从而得出问题的二元一次方程组模型：并进一步给出二元一次方程组的概念：(板书课题)
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．联立在一起的几个方程，称为方程组．由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组．
探究点二：列二元一次方程组
学生活动六：议一议：上述提问一中如果设购买樟树苗x元，白杨树苗y元，能列出相应的二元一次方程组吗？引导学生分组讨论，得出如下结论：
学生活动七：完成课本问题2趣味练习：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡、兔各几何？
四、应用迁移，运用新知
1．识别二元一次方程(组)
例1 有下列方程组：①
②③④
⑤其中二元一次方程组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤中的π是常数．
方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.
2．利用二元一次方程的定义求参数的值
例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是关于x、y的二元一次方程，则m＋n＝______．
解析：根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m、n的值．根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.
方法总结：本题的解题关键是正确理解二元一次方程的定义，根据定义求出未知数．
3．列二元一次方程组
例3 小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)，即x＋y＝8；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元)，即x＋2y＝10.
方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．
五、尝试练习，掌握新知
课本P99练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了解二元一次方程组的概念，会根据已知条件列出二元一次方程组．
七、深化练习，巩固新知
课本P105～106习题3.3第1～4题．
《·》“课时作业”部分．
第2课时 代入消元法
1．掌握用代入法解二元一次方程组的步骤．
2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．
重点
灵活运用代入法的技巧解二元一次方程组．
难点
灵活运用代入法的技巧解二元一次方程组．
一、复习旧知，导入新课
通过上节课的学习，我们掌握了二元一次方程组的概念．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习——代入法解二元一次方程组(板书课题)．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：二元一次方程(组)的解
在上节课中我们探究的问题1中，我们得到(1)一元一次方程：2x＋(45－x)＝60；
(2)二元一次方程组：
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢？
思考：如何去解这个方程组呢？大家对比这两个方程，想一想．
解析：由方程组第一个方程可以得到y＝45－x，把第二个方程中的y转换成45－x，也就是把方程y＝45－x代入第二个方程，就可以得到2x＋(45－x)＝60.这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出x了．
总结：(1)使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
(2)上面解二元一次方程组的基本思路是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
(3)上题中的消元方法是从一个方程中求出一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
提问：你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？
教师归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
学生自主阅读课本P100例1，讨论交流用代入法解二元一次方程组的一般步骤．
总结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
(2)用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
(4)写出方程组的解．
四、应用迁移，运用新知
1．二元一次方程(组)的解
例1 已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
解析：将代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.
方法总结：根据方程的解的定义知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．
2．用代入法解二元一次方程组
例2 用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝，然后代入④求解．
解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
(2)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，
3y＝－7，y＝－.
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是
方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
3．已知方程组的解，用代入法求待定系数的值
例3 已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．3
解析：把解代入原方程组得解得所以a－b＝－1.
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
五、尝试练习，掌握新知
课本P101练习第1～4题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了(1)解二元一次方程组的基本思想：二元一元．
(2)用代入法解二元一次方程组的步骤．
(3)熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
七、深化练习，巩固新知
课本P106习题3.3第5题．
《·》“课时作业”部分．
第3课时 加减消元法
1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤．
2．能运用加减法解二元一次方程组．
重点
掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法．
难点
明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等．
一、复习旧知，导入新知
(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
(2)用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．
学生活动：口答第(1)题，在练习本上完成第(2)题，一个同学说出结果．
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容——加减法解二元一次方程组(板书课题)．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：用加减法解二元一次方程组
问题1：上面第(2)题的两个方程中，未知数y的系数有什么特点？(互为相反数)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
解：①＋②，得6x＝18，解得x＝3.
把x＝3代入①，得9＋2y＝13，
所以y＝2.
所以
学生活动一：比较用这种方法得到的x，y值是否与用代入法得到的相同．(相同)
上面方程组的两个方程中，因为y的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了y.观察一下，x的系数有何特点？(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x？(相减)
学生活动二：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．(相同)
教师总结：我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”．
教师提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？(加减法)
②在什么条件下可以用加减法进行消元？(某一个未知数的系数相等或互为相反数)
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)
问题2：
学生活动三：解方程组
教师：哪个未知数的系数有什么特点？(x的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去x？(相减)
学生活动：回答问题后，独立完成本题，一个学生板演．
解：①－②，得
12y＝－36，
所以y＝－3.
把y＝－3代入②，得
6x－5×(－3)＝21，
所以6x＋15＝21.
所以x＝1.
所以
教师：(1)检验一下，所得结果是否正确？(2)用②－①可以消掉x吗？(可以)是用①－②，还是用②－①计算比较简单？(①－②简单)(3)把y＝－3代入①，x的值是多少？(4)是代入①计算简单还是代入②计算简单？(代入系数较简单的方程)
即时小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数的绝对值相等．
学生活动四：
解方程组
教师分析：(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？(不符合)
(2)如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？(①×2或②×3)
解：①×2，得18x＋4y＝30.③
③－②，得15x＝20，x＝.
把x＝代入②，得4＋4y＝10，y＝.所以
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．
学生自主阅读课本P104例4，交流讨论用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
四、应用迁移，运用新知
1．用加减法解二元一次方程组
例1、例2 见课本P102例2、P103例3.
方法总结：用加减法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
2．用加减法整体代入求值
例3 已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．
解：
②－①得2x－2y＝－1－5，③
得x－y＝－3.
方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
3．构造二元一次方程组求值
例4 已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.
解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以整理，得
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值．
五、尝试练习，掌握新知
课本P104练习、P105练习．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了用加减法解二元一次方程组的步骤：(1)变形，使某个未知数的系数的绝对值相等；(2)加减消元；(3)解一元一次方程；(4)求另一个未知数的值，得方程组的解．
七、深化练习，巩固新知
课本P106习题3.3第6、7题．
《·》“课时作业”部分．
