4．6 用尺规作线段与角
1．会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段．
2．会用直尺和圆规作一个角等于已知角．
3．会利用基本作图进行简单的尺规作图．
重点
用尺规作线段等于已知线段，作一个角等于已知角．
难点
线段的和、差、倍的作法，作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用．
一、创设情境，导入新知
在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下列图案．
(1) (2) (3)
(4)
图案(1)、(2)、(3)是我们曾经画过的．想一想，这些图案是利用哪些作图工具画出的？
直尺、圆规和三角尺是常用的作图工具，利用这些工具可以作出很多的几何图形．在以后的作图中，我们运用最多的作图工具是没有刻度的直尺和圆规．我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图．这一节我们就来学习用尺规作图——用尺规作线段与角．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：作一条线段等于已知线段
活动一：学生预习课本例1，教师按照下面作图步骤演示作图过程．
已知，线段AB.
求作：线段A′B′，使A′B′＝AB.
作法：(1)作射线A′C′.
(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.
A′B′就是所求的线段．
教师总结：今后的作图中，要注意作图步骤的书写．就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤．
做一做：如图，已知线段a和两条互相垂直的直线AB，CD.
(1)利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA′，OB′，OC′，OD′，使它们分别与线段a相等．
(2)依次连接A′，C′，B′，D′，A′.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．
探究点二：作一个角等于已知角
活动二：学生预习课本例2，教师按照例题的作图步骤演示作图过程．
已知：∠AOB(如图1)．
求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.
图1
图2
作法：
(1)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q(如图1)；
(2)作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
(3)以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第(2)步中所画弧于点F；
(4)作射线EF(如图2)．∠DEF即为所求作的角．
教师总结：用尺规作图具有以下四个步骤：
(1)已知，即：已知的条件是什么．
(2)求作，即：所要作的最终的结果是什么，满足什么条件．
(3)分析，即：分析如何作出所要求作的图形，一般不用写出来．
(4)作法，这是作图的主要步骤，在这里要写清作图的过程．
在今后的作图中，要注意作图步骤的书写．就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤.
四、应用迁移，运用新知
1．尺规作图的概念
例1 下列尺规作图的语句正确的是( )
A．延长射线AB到点C
B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC＝AB
D．延长线段AB到点C，使AC＝BC
解析：射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，A错误；直线是无限延伸的，不用延长，B错误；延长线段AB到点C，不可能使得AC＝BC，D错误．
方法总结：解题的关键在于对相关概念的理解．
2．作一条线段等于已知线段
例2 尺规作图：已知线段AB，延长线段AB到C，使BC＝2AB.
解析：利用作线段的方法求解即可．
解：如图所示．
方法总结：本题主要考查了基本作图，解题的关键是正确使用尺规完成作图．
例3 已知，如图，三条线段a，b，c.请画线段AB，使AB＝a＋b＋c.
解析：根据三条线a，b，c，分别在射线上截取得出AB即可．
解：如图所示，AB即为所求．
方法总结：此题主要考查了基本作图，在解答此类问题时一定要注意各点之间的关系．
3．作一个角等于已知角
例4 尺规作图(不要求写出作法，但要保留作图痕迹)．
已知：∠α，求作：∠MON＝∠α；
解析：利用作一个角等于已知角的作法得出即可．
解：如图所示．
方法总结：此题主要考查了基本作图，掌握作一个角等于已知角的方法是解题关键．
4．根据和差关系作角
例5 已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角．
解析：以OB为一边作∠BOC＝∠α，则∠AOC即为所求．
解：如图所示，∠AOC就是所求的角．
方法总结：本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，以及余角的定义，解题时要灵活运用．
五、尝试练习，掌握新知
课本P154练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课我们学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．正式呈现了尺规作图的步骤，写出了“已知”
“求作”，且按照程序化的方式写出了“作法”．大家在今后的作图中，要按这些步骤进行．要特别注意的是：作图时一定要保留作图痕迹．
七、深化练习，巩固新知
课本P154～155习题4.6第1、2题．
《·》“课时作业”部分．4．5 角的比较与补(余)角
第1课时 角的比较
第2课时 角的补(余)角
1．在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系．
2．通过动手操作认识角的平分线．
3．在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质．
重点
角的大小比较方法以及角的平分线的概念，两角互补、互余的概念及性质．
难点
从图形中观察角的数量关系．
一、创设情境，导入新知
教师活动：在黑板上画出一个三角形．(如图所示)
(1)比较图中线段AB，BC，AC的长短．
学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．
教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB，BC，AC三条线段长短的过程，并写出结论：AB＞AC＞BC.
(2)怎样比较图中∠A，∠B，∠C的大小？
学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小．
教师活动：(1)肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，比较它们的大小，板书结论：∠C＞∠B＞∠A.(2)启发引导学生，类比线段长短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小．这就是这一节我们将要学习的内容——角的比较．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：角的大小比较
师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法．
探究：怎样比较图中的∠ABC和∠DEF的大小？
教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：
角的大小可以有两种比较方法：重叠比较法和度量法．
(1)重叠比较法：由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置．
角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外．(让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图)
情形
图形
∠ABC与∠DEF的关系
ED与BA重合
∠ABC＝∠DEF
ED落在∠ABC内部
∠ABC＞∠DEF
ED落在∠ABC外部
∠ABC＜∠DEF
(2)度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小．(注意写法)
探究点二：角平分线的定义及性质
1．认识角的和差
学生活动：阅读课本P147图4－26，小组交流思考图中各角之间的关系．
教师给出图中各角之间的和差关系．
2．认识角的平分线
下面请大家各自在纸上任意画一个∠BOA，通过折叠使OA与OB重合，画出∠BOA内部由顶点O出发的折痕．你们发现了什么？
像刚才这条折痕，它是由角的顶点出发，把原来的角分成两个相等的角．那么这条射线叫做这个角的角平分线．(板书定义)
对这个定义的理解要注意以下几点：
(1)角的平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段．它是由角的顶点出发的一条射线，这一点也很好理解，因为角的两边都是射线．
(2)当一个角有平分线时，可以产生几个数学表达式．可写成
因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB，①
∠AOC＝∠COB.②
反过来，只要具备上述①②中的式子之一，就能得到OC为∠AOB的平分线．这一点学生要给以充分的注意．
问：你们能用量角器画出一个角的平分线吗？
探究点三：余角和补角
1．余角和补角的概念
做一做：如图，量一量，算一算，∠1＋∠2，∠3＋∠4的度数分别是多少？
从两个图形的角的大小的计算，可以发现∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°.
如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角．
如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角．
例如，34°的角与56°的角互为余角，上图中∠1与∠2互为余角；48°的角与132°的角互为补角，上图中∠3与∠4互为补角．
2．探究补角的性质
如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2＝∠4.
补角性质：同角(或等角)的补角相等．
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由．
因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，所以∠2＝180°－∠1，∠4＝180°－∠3.
因为∠1＝∠3，所以180°－∠1＝180°－∠3，即∠2＝∠4.
3．探究余角的性质
思考：余角有没有与上面补角类似的性质呢？
探究：如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2＝∠4.
余角性质：同角(或等角)的余角相等．
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由．
因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，所以∠2＝90°－∠1，∠4＝90°－∠3.
因为∠1＝∠3，所以90°－∠1＝90°－∠3，即∠2＝∠4.
四、应用迁移，运用新知
1．角的大小比较
例1 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是( )
A．∠AOB<∠AOD
B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD<∠AOD
D．∠AOB<∠AOC
解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC，D错误．
方法总结：此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角比较大小的方法．
2．利用角平分线进行角度的计算
例2 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解析：(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：(1)因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝
(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；
(2)
因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，所以∠AOC＝120°－90°＝30°，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．
3．利用三角板叠合进行角度的计算
例3 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝( )
A．120° B．180°
C．150°
D．135°
解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.
方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
4．折叠问题中角的计算
例4 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处．若∠EFC＝119°，则∠BFC′为( )
A．58°
B．45°
C．60°
D．42°
解析：因为将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，∠EFC＝119°，所以∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，所以∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°.
方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．
5．利用余角和补角计算求值
例5 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠B的值．
解：因为∠A与∠B互余，所以∠A＋∠B＝90°.又因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，所以∠A＝3∠B＋30°，所以3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．
6．余角、补角和角平分线的综合计算
例6 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.
由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝
180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.
由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.由ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.
由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
五、尝试练习，掌握新知
课本P149～150练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课我们学习了
1．角的大小的比较方法和角的大小关系，并认识了角的运算．
2．角的平分线、余角和补角的定义．
3．余角和补角的性质．
七、深化练习，巩固新知
课本P150～151习题4.5第1～7题．
《·》“课时作业”部分．4．3 线段的长短比较
1．会用叠合与度量等方法比较线段的长短，能说出线段长短比较的结果，从“数”和“形”两个方面理解线段长短的比较方法．
2．根据具体情景了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，并学会运用它解释一些实际现象．
3．了解线段中点的概念和几何语言表示．
重点
线段长短的两种比较方法；线段中点的概念及表示方法．
难点
掌握线段长短比较的正确方法；线段中点的应用．
一、复习旧知，导入新知
回顾：线段的概念，学生动手画出(1)直线AB；(2)射线OA；(3)线段CD.
提出问题：能否量出直线、射线、线段的长度？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：线段的长短比较
活动一：a.比较两位同学的身高．
b．拿出两根筷子请学生比较长短．(学生采用的办法是：筷子的一端对齐，另外一端在外的筷子长．教师及时引导学生分小组合作探究如何用叠合法比较线段的长短．)
活动二：比较两条线段的方法：
a．度量法．
b．叠合法．具体方法如下：(教师一边讲一边画图比较)
(1)将线段AB的点A与CD的点C重合．
(2)线段AB沿着线段CD的方向落下，线段AB与线段CD叠合．
若点B与点D重合，就说线段AB等于线段CD，可以记作AB＝CD.
若点D在线段AB外部，就说线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD.
若点D在线段AB内部，就说线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD.
如图．
探究点二：线段的中点
活动三：a.如下图．
(1)量出线段AB，BC的长度，并比较长短．
(2)计算AC的长度．
(3)填空：______＋______＝AC，AC－______＝BC，AC－______＝AB.
b．如下图．
(1)量出线段AC、BC的长度并比较大小．
(2)填空：______＝______＝______AB.
教师总结：点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点，符号表示：AC＝CB＝AB或AB＝2AC＝2CB.
活动四：操作题
a．拿出一根无弹性的细绳子，让学生找到绳子的中点．
b．在一张白纸上画出一条线段，请学生用折纸的方法找出线段的中点．
教师总结：线段的中点应满足的两个条件：①点在线段上；②分成的两条线段相等．
探究点三：关于线段的基本事实及两点间的距离
活动五：
学生先完成课本“思考”：
a．如图①，甲、乙两地间有曲线、折线、线段等4条路线可走，其中哪一条路线最短？
图①
图②
b．如图②，人们修建公路遇到大山阻碍时，为什么经常打通一条穿越大山的直的隧道？
教师总结：两点之间的所有连线中，线段最短．(线段的基本性质)
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
重点强调：两点间的距离是长度即是一个数量，而不是线段图形本身．
四、应用迁移，运用新知
1．线段的长短比较
例1 为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )
A．ABCD
C．AB＝CD
D．以上都有可能
解析：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB>CD.
方法总结：比较线段长短时，叠合法是一种较为常用的方法．
2．根据线段的中点求线段的长
例2 见课本P140例题．
3．已知线段的比求线段的长
例3 如图，B，C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2
cm，求：
(1)AD的长；(2)AB∶BE.
解析：(1)根据线段的比，可设出未知数x，根据线段的和差，可得方程，根据解方程，可得x的值，根据x的值，可得AD的长度；(2)根据线段的和差，可得线段BE的长，根据比的意义，可得答案．
解：(1)设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x.
由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由E为AD的中点，得ED＝AD＝x.
由线段的和差，得CE＝DE－CD＝x－4x＝＝2(cm)．
解得x＝4.所以AD＝9x＝36(cm)．
(2)AB＝2x＝8(cm)，BC＝3x＝12(cm)．
由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm)．
所以AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答．
4．关于线段的基本事实
例4 如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是( )
A．两点之间，直线最短
B．两点确定一条线段
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
解析：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短．
方法总结：本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键．
5．两点间的距离
例5 若点C为线段AB上一点，且AB＝16，AC＝10，则AB的中点点D与BC的中点点E的距离为( )
A．8
B．5
C．3
D．2
解析：如图，因为AB＝16，AC＝10，
所以CB＝AB－AC＝16－10＝6.
又因为D是AB中点，E是BC中点，
所以BD＝AB＝×16＝8，BE＝CB＝×6＝3，
所以DE＝BD－BE＝8－3＝5.
方法总结：本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念，利用中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
五、尝试练习，掌握新知
课本P141练习第1～4题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了(1)线段的长短比较的方法：a.叠合法(形)；b.度量法(数)．(2)线段的中点概念及运用．(3)线段的基本性质，以及两点之间的距离的概念．(4)对照图形会判断线段间的和差关系．
七、深化练习，巩固新知
课本P142习题4.3第1～5题．
《·》“课时作业”部分．4．2 线段、射线、直线
1．在感受线段、射线和直线的过程中，掌握直线、射线、线段的表示方法，并能根据要求画出线段、射线和直线．
2．了解直线、射线、线段之间的联系和区别，掌握三者的本质．
3．掌握点与直线的两种位置关系及直线的基本事实．
重点
理解线段、射线、直线的概念；点与直线的位置关系；直线的性质．
难点
点与直线的位置关系；直线的性质．
一、创设情境，导入新知
老师用多媒体出示一组生活中的图片，有筷子图、手电光束、笔直铁轨、人行横道、绷紧的琴弦．让学生观察，问：你们能在其中发现我们所熟知的几何图形吗？
教师板书课题：线段、射线、直线．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：线段、射线和直线的概念及表示方法
1．线段、射线、直线的概念
观察课本P135图4－6，思考：长方体的棱和数学课本封面长方形的边是什么图形？
像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．
线段、射线、直线对大家并不陌生，在小学里我们对它已有了了解．通过展示生活中的图片，归纳线段、射线、直线的定义：
连接两个点之间的笔直的线叫线段，这两个点叫线段的端点．
将线段向一端无限延长就形成了射线，射线有一个端点．
将线段向两端无限延长就形成了直线，直线没有端点．
2．线段、射线、直线之间的相互关系
将线段向一个方向无限延长得到射线，将线段向两个方向无限延长得到直线，将射线反向无限延长得到直线，直线上两点和这两点之间的部分是线段，直线上一点和这一点一旁的部分是射线，射线上两点之间的部分是线段．
3．线段、射线、直线的表示方法
图形
表示方法
画龙点睛
线段
线段AB或线段BA或线段a
与字母顺序无关
射线
射线AB(A是端点，B为射线上任意一点，并指明延伸方向)
一般不用小写字母表示
直线
直线AB或直线BA或直线l
与字母顺序无关
探究点二：有关直线的基本事实及其性质
1．直线的基本事实
思考：(1)过一个点可以画多少条直线？过两点呢？
(2)将一根小木条固定在墙面上，至少需要几颗钉子？
通过上述操作，如果把木条抽象成直线，把钉子抽象为点，你能得到什么结论？
经过探究，得出关于直线的基本事实：过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
2．点与直线的位置关系
做一做：动手画一画，点与直线有哪几种位置关系？
点与直线有两种位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说直线经过这个点或直线不经过这个点．如图①，点P在直线l上(直线l经过点P)，点Q在直线l外(直线l不经过点Q)．
图①
图②
当两条不同的直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．如图②，直线l1与l2相交于点O.
根据上面的基本事实，可以归纳：直线的性质：两条直线相交只有一个交点．
四、应用迁移，运用新知
1．线段、射线、直线的概念
例1 如图所示，A、B、C、D四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是( )
A
B
C
D
解析：线段是不延伸的，而射线只是向一个方向延伸．所以只有C能相交．
方法总结：本题主要考查了线段、射线的延伸性，特别要注意射线是向一个方向无限延伸的，我们作图时只是作出了其中的一部分．
2．线段、射线、直线的表示方法
例2 下列说法：(1)直线AB与直线BA是同一条直线；(2)射线AB与射线BA是同一条射线；(3)线段AB与线段BA是同一条线段；(4)射线AC在直线AB上；(5)线段AC在射线AB上，其中正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：(1)直线AB与直线BA是同一条直线，正确；(2)射线AB与射线BA是同一条射线，错误；(3)线段AB与线段BA是同一条线段，正确；(4)射线AC在直线AB上，错误；(5)线段AC在射线AB上，错误；综上所述，正确的有(1)(3)，共2个．
方法总结：本题考查了直线、射线、线段的表示方法，熟记概念是解题的关键．
3．线段条数的确定
例3 如图所示，图中共有线段( )
A．8条
B．9条
C．10条
D．12条
解析：可以根据线段的定义写出所有的线段即可得解；也可以先找出端点的个数，然后利用公式进行计算．
方法一：图中线段有：AB、AC、AD、AE；BC、BD、BE；CD、CE；DE；共4＋3＋2＋1＝10(条)；
方法二：共有A、B、C、D、E五个端点，则线段的条数为＝10(条)．
方法总结：找线段时要按照一定的顺序，做到不重不漏，如果记住公式会更加简便准确．
4．线段、射线、直线的应用
例4 由郑州到北京的某一次往返列车，运行途中停靠的车站依次是：郑州——开封——商丘——菏泽——聊城——任丘——北京，那么要为这次列车制作的火车票有( )
A．6种
B．12种
C．21种
D．42种
解析：从郑州出发要经过6个车站，所以要制作6种车票，从开封出发要经过5个车站，所以要制作5种车票，从商丘出发要经过4个车站，所以要制作4种车票，从菏泽出发要经过3个车站，所以要制作3种车票，从聊城出发要经过2个车站，所以要制作2种车票，从任丘出发要经过1个车站，所以要制作1种车票，再考虑是往返列车，起点与终点不同，则车票不同，乘以2即可．即共需制作的车票数为2×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝2×21＝42(种)．
方法总结：可以结合线段条数的确定方法，也可以用公式n(n－1)，将n＝7代入即可．
5．有关直线的基本事实及其性质
例5 只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，下列语句能解释这个原理的是( )
A．木条是直的
B．两点确定一条直线
C．过一点可以画出无数条直线
D．两点之间线段最短
解析：只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据直线的基本事实：两点确定一条直线．
方法总结：本题主要考查两点确定一条直线的基本事实．
6．作图
例6 读语句作图：
(1)作直线AB；(2)在直线AB外取一点P；
(3)连接PA；(4)画射线PB.
解：
方法总结：本题主要考查了直线、射线、线段的作法，解题的关键是对定义的正确解读．
五、尝试练习，掌握新知
课本P137练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习理解线段、射线和直线含义以及它们的表示方法；知道了点与直线的两种位置关系及直线的基本事实．
七、深化练习，巩固新知
课本P137～138习题4.2第1～4题．
《·》“课时作业”部分．4．4 角
1．认识角及角的有关概念，并会表示角．
2．知道角的度量单位，并能进行单位的转换．
3．会把角的知识与现实生活相联系，用角的知识解释生活中的一些现象．
重点
理解角与角的相关概念；掌握角的度量单位以及单位之间的换算．
难点
理解角与角的相关概念；掌握角的度量单位以及单位之间的换算．
一、创设情境，导入新知
展示实物：时钟，圆规，折扇等．
(1)观察实物与图片，你发现其中有什么相同图形吗？学生回答，教师点评，注意鼓励学生．
(2)你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗？这是一些什么图形？思考，动手画一画．
(3)从黑板上这些不同的图形中，你能归纳出它们的共同特点吗？
学生相互交流并回答，挖掘和利用现实生活中与角相关的背景，让学生在现实背景中认识角，培养学生的动手能力．引导学生观察并归纳角的共同点，进而引入课题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：角的概念及表示方法
活动一：从生活中认识角
我们看物体时，有视角，钟表的指针转动也形成角．请同学们看课本后回答下面问题．
(1)角是一个几何图形，请大家说说，角是由什么图形构成的？(学生回答，教师点评，注意鼓励学生)
(2)如果我们把角看作是一条射线绕它的端点旋转围成的图形，那么始边和终边又指什么？
教师总结：角有两个定义，一个是静态的定义，把角看作由一点出发的两条射线组成的图形；另一个定义是动态的，把角看作一条射线绕端点旋转所形成的图形，把开始位置的射线叫做始边，把终止位置的射线叫做终边．
(3)请同学们说一说，我们日常生活中，哪些地方有角．(学生举例)
活动二：角的表示方法
我们怎样表示角呢？请同学们看课本上说了几种表示方法？(学生先看书，后回答)
教师总结：(1)用三个大写字母可以表示一个角，比如∠AOB.
练习：谁能指出下列各角的顶点和两条边？
注意：①三个字母的顺序有规定，顶点的字母必须写在中间．
②顶点的字母不一定用O，角的始边与终边的字母也可以随意．
(2)当一个顶点只有一个角时，也可以用顶点的字母表示．比如，下面的角可以表示为∠O.
练习：判断下列角可以用顶点的字母表示吗？
(3)用数字或小写的希腊字母表示角．(注意：角中不能有角)
练习：下面表示角的方法，哪个是正确的？哪个是错误的？
探究点二：角的度量
活动三：角的度量
(1)请同学们借助量角器画出下列各角：
①30° ②45° ③60° ④90° ⑤120° ⑥150° ⑦62° ⑧105°
学生画图，教师指导．(根据需要教师可先做示范)
(2)任意画一个角，用量角器测量角的大小．提问：如果这个角的度数不是整数，应该怎样表示这个角的度数呢？引出角的度量单位是度、分、秒．
教师总结：它们之间的关系是：1°＝60′，1′＝60″
(强调度、分、秒是60进制，不是十进制)．
(3)还有什么单位是60进制？
(4)让学生画一个1°角，感受1°角有多大．
四、应用迁移，运用新知
1．角的定义
例1 下列说法中，正确的是( )
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
解析：A.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；B.根据A可得B错误；C.角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；D.据C可得D错误．
方法总结：此题考查了角的定义，有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
2．角的表示方法
例2 下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是( )
A
B
C
D
解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的．所以A、C、D错误．
方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，
顶点是这两条射线的公共端点．
3．判断角的数量
例3 如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为( )
A．10
B．15
C．5
D．20
解析：可以根据图形依次数出角的个数；或者根据公式求图中角的个数是×5×(5－1)＝10.
方法总结：若从一点发出n条射线，则构成n(n－1)个角．
4．角的度量
例4 见课本P144例1.
方法总结：用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率；而小单位化大单位要除以进率．
五、尝试练习，掌握新知
课本P144练习第1、2题、P145练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了角及角的有关概念，并会表示角；知道角的度量单位，并能进行单位的转换；会把角的知识与现实生活相联系，用角的知识解释生活中的一些现象．
七、深化练习，巩固新知
课本P145～146习题4.4第1～4题．
《·》“课时作业”部分．4．1 几何图形
1．经历从实际问题中抽象出几何图形的过程，进一步认识点、线、面、体．理解几何图形与点、线、面、体的关系，理解立体图形、平面图形的区别．
2．会判断一个几何图形是立体图形还是平面图形，能准确识别棱柱与棱锥．
重点
从实际中抽象出几何图形，由点、线、面组成的几何图形的概念与判断．
难点
立体图形与平面图形的区分．点、线、面、体之间的关系．
一、创设情境，导入新知
观察实物及欣赏图片：
我们生活在一个图形的世界中，图形世界是多姿多彩的．其中蕴含着大量的几何图形．本节我们就来研究图形问题．
二、自主合作，感受新知
阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：几何图形的概念
活动一：测测你的抽象能力
(1)在同学们所观看的大屏幕中，你能找到与自己熟悉的几何体形状类似的物体吗？(各小组交流，合作，畅所欲言，找出熟悉的几何图形．)
(2)出示实物(文具盒，魔方，茶叶罐，足球，漏斗等)，想象出几何图形．
(3)再出示图片(帐篷，螺母，金字塔等)，想象出几何图形．
(4)如图1是一些具体的实物——三棱镜、方砖、帆布帐篷、笔筒、铅锤、粮囤、天文台，图2中是一些立体图形，找出与图2立体图形类似的图形．
(1) (2) (3)
(4) (5) (6) (7)
图1
(a)( )
(b)( )
(c)( )
(d)( )
(e)( )
(f)( )
(g)( )
图2
教师总结：对于各种物体，如果不考虑它们的颜色、材料和质量等，而只注意它们的形状、大小和位置，就是几何图形．
活动二：赛一赛
找出一些生活中熟悉的几何图形，看哪些物体的形状类似于棱柱、圆柱、圆锥和球．
分组比赛，看哪一组举的例子多．如机器零件的六角螺母的形状类似于棱柱，圆筒形茶叶盒的形状类似于圆柱，有些冰激凌的形状类似于圆锥，篮球、足球的形状类似于球，台灯的灯罩的形状类似于圆台等等．
探究点二：几何图形的组成
活动三：
(1)出示几何体如长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球，辨别围成这些几何体的面的不同之处．(多媒体演示)
长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体．简称体．
包围着体的是面；面有两种：平面与曲面．
面与面相交的地方形成线；线有直线也有曲线．
线与线相交的地方形成点(点无大小)．
几何图形由点、线、面、体组成．其中点是最基本的图形．
几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形；像长方体、圆柱体、球等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫做立体图形．
教师总结：平面图形和立体图形统称为几何图形．
活动四：立体图形的平面展开图
(1)学生自己动手按照课本的操作画出立方体的平面展开图．(让学生理解，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理)
(2)做一做，让同学们自己动手，利用所学的平面图形和立体图形设计制作一幅优美的图画或一栋建筑等．(培养学生们动手实践的能力和合作参与意识，同时体会数学的美妙之处．)
四、应用迁移，运用新知
1．立体图形的名称与分类
例1 如图所示为8个立体图形．
① ②
③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
其中，是柱体的序号为______，是锥体的序号为______，是球的序号为______．
解析：分别根据柱体、锥体、球体的定义可得结论，柱体为①②⑤⑦⑧，锥体为④⑥，球为③.
方法总结：正确理解立体图形的定义是解题的关键．
2．平面图形
例2 有下列图形，①三角形，②长方形，③平行四边形，④立方体，⑤圆锥，⑥圆柱，⑦圆，⑧球体，其中平面图形的个数为( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
解析：根据平面图形的定义：一个图形的各部分都在同一个平面内可判断①②③⑦是平面图形．
方法总结：区分平面图形要记住平面图形的特征，即一个图形的各部分都在同一个平面内．
3．几何图形的构成
例3 观察图形，回答下列问题：
(1)图①是由几个面组成的，这些面有什么特征？
(2)图②是由几个面组成的，这些面有什么特征？
(3)图①中共有多少条线？这些线都是直的吗？图②呢？
(4)图①和图②中各有几个顶点？
图① 图②
解析：根据长方体、圆锥的构成特点解答．
解：(1)图①是由6个面组成的，这些面都是平的面；
(2)图②是由2个面组成的，1个平的面和1个曲的面；
(3)图①中共有12条线，这些线都是直的；图②中有1条线，是曲线；
(4)图①中有8个顶点，图②中只有1个顶点．
方法总结：解答此类问题要联系实物的形状与面的形状作对比，然后作出判断，平面与平面相交成直线，曲面与平面相交成曲线．
五、尝试练习，掌握新知
课本P132练习第1、2题、P133练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？
本节课我们学习了经历从实际问题中抽象出几何图形的过程，进一步认识点、线、面、体．理解几何图形与点、线、面、体的关系，理解立体图形、平面图形的区别；会判断一个几何图形是立体图形还是平面图形，能准确识别棱柱与棱锥．
七、深化练习，巩固新知
课本P133～134习题4.1第1～3题．
《·》“课时作业”部分．
