25.1
投
影
第2课时
正投影
1．了解正投影的含义，能够确定物体正投影的情况；
2．了解线段、平面图形和几何体正投影的情况，并掌握其性质(重点、难点)．
一、情境导入
皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．
学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的像．
二、合作探究
探究点一：线段的正投影
木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2m
B．小于1.2m
C．等于1.2m
D．小于或等于1.2m
解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.故选D.
方法总结：本题考查正投影的定义，注意同一物体所处的位置不同得到的正投影也不同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：平面图形的正投影
下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是( )
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行于投影面时的平行投影
解析：根据正投影的定义：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，正投影不会改变△ABC的形状，故选C.
方法总结：此题主要考查了正投影，关键是掌握中心投影、平行投影和正投影的区别．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点三：几何体的正投影
【类型一】
判断几何体的正投影
观察如图所示的物体，若投影的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项中的( )
解析：我们观察图中的两个立体图形，分别按照所示投影线考虑它的正投影，得到圆柱的正投影是长方形，其中短边等于圆柱底面的直径，长边等于圆柱的高；正方体的正投影是与它一个面全等的正方形．因此本题画出的图形应是它们的组合，且长方形在正方形的左边．故答案为C.
方法总结：本题是正投影性质的简单应用，通过观察和画图可以加深对正投影的理解，同时也可以发展我们的空间想象能力．本题还可以用实物进行实验，通过实验验证结果的正确性．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】
几何体的正投影作图
画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解析：第一个图中投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第二个图中投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第三个图中投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
方法总结：此题主要考查了正投影作图，关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】
几何体的正投影的计算
如图，一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是边长为4cm的正方形．求圆柱的体积和表面积．
解析：由圆柱的正投影知圆柱的高为4cm，底面圆的直径为4cm，那么圆柱的体积＝底面积×高；表面积＝2×底面积＋侧面积，把相应数值代入即可求解．
解：体积为π×22×4＝16π(cm3)；表面积为2×π×22＋4π×4＝24π(cm2)．
方法总结：解决本题的关键是根据投影得到圆柱的底面直径和高等相关数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
三、板书设计
1．线段的正投影
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．
2．平面图形的正投影
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．
3．几何体的正投影
一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
本节课研究正投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机和兴趣．教学过程中要鼓励学生积极参与，认识到数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用，为日后的学习打下基础.29.2
三视图
第1课时
三视图的识别与画法
1．理解视图及三视图的概念；
2．会辨别简单几何体的三种视图，能熟练画出简单几何体的三种视图(重点)；
3．能根据三视图描述基本几何体或实物原型(难点)．
一、情境导入
一个物体从不同的角度观察，看到的形状可能是不相同的．观察一个玩具，我们从三个不同的角度看，得到三个图形，如图所示．你能说出它们是从哪个方向观察得到的吗？
二、合作探究
探究点一：几何体的三视图
【类型一】
判断简单几何体的三种视图
图中的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的几何体共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：圆柱的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是带圆心的圆；球的三种视图都是圆；正方体的三种视图都是正方形，故选B.
方法总结：常见的几何体有圆柱、圆锥、球以及直棱柱，竖直放置的圆柱、圆锥的主视图、左视图相同，一般的直棱柱的三种视图是不同的，而球和正方体的三种视图都是相同的，它们分别是圆和正方形．
【类型二】
根据实物确定视图
如图，从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是( )
解析：俯视图就是从物体的正上方向下看到的视图，因而能够看到茶壶的顶部、壶把、壶嘴，故选A.
方法总结：根据实物确定视图的方法：首先要弄清楚物体的主视图、左视图、俯视图的含义，然后根据实际物体思考三种视图的大体轮廓．
探究点二：由三视图想象几何体
【类型一】
根据三视图判断几何体的形状
已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是( )
解析：A图的主视图、左视图均为等腰三角形，B图的左视图、俯视图均为矩形，C图的俯视图的外轮廓线为四边形，由此可排除A，B，C选项，抓住某个特征采用排除法是解决这类问题的常用方法．故选D.
方法总结：主视图能体现物体的左右长度、上下高度；俯视图能体现物体的左右长度、前后宽度；左视图能体现物体的上下高度、前后宽度．通过观察三种视图可以想象出几何体的立体图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】
根据两种视图讨论构成几何体的小正方体的个数
用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小正方体的个数，请解答下列问题：
(1)a，b，c各表示多少？
(2)这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少？
(3)当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．
解：(1)由俯视图知道这个几何体共有三排三列，第三列只有一排，第二列有两排；而从主视图知道第三列的层数为3层，第二列的层数为1层，所以a为3，b，c应为1；
(2)d，e，f既可以为1，也可以为2，但至少有一个为2，另外两个为1时，共有9个小立方体；另外两个都为2时，共有11个小正方体；
故最少由9个小立方体搭成，最多由11个小立方体搭成；
(3)左视图如右图所示．
方法点拨：这类问题一般是给出一个由相同的小正方体搭成的立体图形的两种视图，要求想象出这个几何体可能的形状．解答时可以先由三种视图描述出对应的该物体，再由此得出组成该物体的部分个体的个数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．三视图
主视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图．
俯视图：自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图．
左视图：自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图．
2．三视图的画法
(1)主视图的长与俯视图的长对正；
(2)主视图的高与左视图的高平齐；
(3)俯视图的宽与左视图的宽相等．
通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动，使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系．通过具体活动，积累学生的观察、想象物体投影的经验，发展学生的动手实践能力、数学思考能力和空间观念.25.1
投
影
第1课时
平行投影与中心投影
1．了解平行投影与中心投影的含义，体会其在生活中的应用；
2．根据平行投影和中心投影的特点，能够进行相关的作图和计算(重点，难点)．
一、情境导入
太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光照射下形成的影子与在灯光照射下形成的影子有什么不同呢？
二、合作探究
探究点一：平行投影与中心投影
【类型一】
平行投影的作图
如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB在阳光下的投影是BC，请你画出此时同样垂直于地面的物体DE在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？
解：如图，连接AC，过点D作DF∥AC，过点E作EF∥BC交DF于点F，则EF就是DE的投影．由BC是北偏西方向，判断这一时刻是上午．
方法总结：(1)画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影子．(2)物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短，下午的影子方向由北向东变化，影子越来越长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】
中心投影的作图
如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置．
解：如图所示，两条光线的交点O即为灯泡所在的位置．
方法总结：相交光线的交点即为点光源所在的位置．点光源下两个物体的影子可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】
中心投影的变化规律
如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影．人的影子可以通过路灯和人的头顶作直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度．因此人离路灯越远，他的影子就越长．由A到B这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又逐渐变长．故选B.
方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：投影与计算
【类型一】
平行投影的有关计算
一位同学想利用树影测树高AB，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上(如图①)．经测量，留在墙上的影高CD＝1.2m，地面部分影长BD＝5.4m，求树高AB.
解：方法一：过点D作DE∥AC交AB于点E，如图①.∵四边形AEDC为平行四边形，∴AE＝CD＝1.2m.∵＝，∴EB＝2.7m，∴AB＝AE＋EB＝3.9m.
方法二：延长AC交BD的延长线于点E，如图②.∵CD＝1.2m，＝，∴DE＝2.4m.∴BE＝BD＋DE＝7.8m.∵＝，∴AB＝3.9m.∴树高AB为3.9m.
方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二是透过墙，补全树在平地上的影长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】
中心投影的有关计算
如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，问此路灯有多高？
解：根据题意，易证，△CDE∽△ABE，则＝，即＝，所以AB＝4.8米．
答：此路灯高4.8米．
方法总结：与中心投影有关的计算，一般的解题思路是运用三角形的相似寻求对应的等量关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．平行投影
由平行光线所形成的投影．
2．中心投影
由一点(点光源)发出的光线所形成的投影．
影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念．通过在阳光、灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力.25.2
三视图
第2课时
棱柱及由视图描述几何体
1．认识棱柱及其侧面展开图，并会进行相关的计算；(重点)
2．能够根据三视图描述几何体或实物原型(难点)．
一、情境导入
1．如图是一个长方体，大家数一下它有几个面，几条棱，上、下面与侧面有什么位置关系，竖着的棱与上、下面有何位置关系？
2．如图所示，分别是由若干个完全相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是多少？
二、合作探究
探究点一：直棱柱及其侧面展开图
如图是一个四棱柱的表面展开图，根据图中的尺寸(单位：cm)求这个四棱柱的体积．
解析：从展开图中分析出原图形中的各种数据，不要弄混原图形中的数据．
解：底面长方形的长为18cm，宽为7cm，直棱柱的高为30cm，∴V＝Sh＝18×7×30＝3780(cm3)．
方法总结：弄清几何体展开图的各种数据，再进行有关计算．
探究点二：由三视图描述几何体
【类型一】
根据三视图描述几何体
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
解析：熟记常见几何体的三视图后首先可排除选项A，因为长方体的三视图都是矩形；因为所给的主视图中间是两条虚线，故可排除选项B；选项D的几何体中的俯视图应为一个梯形，与所给俯视图形状不符．只有C选项的几何体与已知的三视图相符．故选C.
方法总结：由几何体的三视图想象其立体形状可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图想象物体的正面形状及上下、左右位置，根据俯视图想象物体的上面形状及左右、前后位置，再结合左视图验证该物体的左侧面形状，并验证上下和前后位置；(2)从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．在得出原立体图形的形状后，也可以反过来想象一下这个立体图形的三视图，看与已知的三视图是否一致．
【类型二】
由三视图判断实物图的形状
下列三视图所对应的实物图是( )
解析：从俯视图可以看出实物图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，圆柱与下面的长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同．只有C满足这两点，故选C.
方法总结：主视图、左视图和俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．对于本题要注意圆柱的高与长方体的高的大小关系．
【类型三】
根据两种视图讨论构成几何体的小正方体的个数
用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小正方体的个数，请解答下列问题：
(1)a，b，c各表示多少？
(2)这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少？
(3)当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．
解：(1)由俯视图知道这个几何体共有三排三列，第三列只有一排，第二列有两排；而从主视图知道第三列的层数为3层，第二列的层数为1层，所以a为3，b，c应为1；
(2)d，e，f既可以为1，也可以为2，但至少有一个为2，另外两个为1时，共有9个小立方体；另外两个都为2时，共有11个小正方体；
故最少由9个小立方体搭成，最多由11个小立方体搭成；
(3)左视图如图所示．
方法点拨：这类问题一般是给出一个由相同的小正方体搭成的立体图形的两种视图，要求想象出这个几何体可能的形状．解答时可以先由三种视图描述出对应的该物体，再由此得出组成该物体的部分个体的个数．
探究点三：三视图与计算
如图所示是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是( )
A．13πcm3
B．17πcm3
C．66πcm3
D．68πcm3
解析：由三视图可以看出，该工件是上下两个圆柱的组合，其中下面的圆柱高为4cm，底面直径为4cm；上面的圆柱高为1cm，底面直径为2cm，则V＝4×π×22＋1×π×12＝17π(cm3)．故选B.
方法点拨：解决此类问题的关键是想象几何体的形状，根据物体对应的相关数据找准其对应关系，再正确地进行计算．
三、板书设计
1．由棱柱的侧面展开图求棱柱的体积．
2．由三视图判断几何体的形状．
3．由三视图判断几何体的组成．
经历由直棱柱到其三视图的转化过程，进一步发展空间观念，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式．在应用数学知识解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情．
