2．6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程求解几何问题
【知识与技能】
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．
【过程与方法】
经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．
【情感态度】
能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
【教学重点】
运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题．
【教学难点】
寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．
一、创设情境，导入新课
活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少．
二、合作交流，探究新知
活动内容：见课本P52页例1：
如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)
该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决．在讲解过程中可逐步分解难点．
①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解．
解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系．
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点．
(1)要求DE的长，需要如何设未知数？
(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰＝2×V补给船．
时间等量：t军舰＝t补给船．
三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.
弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．
学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．
三、运用新知，深化理解
1．一个直角三角形的斜边长为7
cm，一条直角边比另一条直角边长1
cm，那么这个直角三角形的面积是多少？
2．如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1
m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
3．在宽为20
m，长为32
m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？
【教学说明】三个题目的设计从简单问题入手，第1题通过勾股定理解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；第3题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注意路的交叉部分．
引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
问题：1.列方程解应用题的关键；
2．列方程解应用题的步骤；
3．列方程应注意的一些问题．
让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言．
六、布置作业
1．教材习题2.9第2、3、4题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
第2课时 利用一元二次方程求解营销类问题
【知识与技能】
1．通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．
2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
【过程与方法】
经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义．
【情感态度】
在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力．
【教学重点】
会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题．
【教学难点】
将实际问题抽象为一元二次方程的模型，寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．
一、创设情境，导入新课
问题：兴隆公司于2013年1月上市之后，其当年的年利润由2011年的500万元增加到了660万元．已知2013年的年利润比上一年增长的百分率是2012年年利润比上一年增长百分率的2倍．那么如何知道兴隆公司2012和2013年的年利润分别比上一年增加了百分之几呢？我们将通过学习一元二次方程的应用来解决这个问题．
二、合作交流，探究新知
活动内容：教材例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？(做了改动，降低难度)
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度．所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元．
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为____________元．
每天的销
售量/台
每台的销
售利润/元
总销售
利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了．当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法．如求“定价为多少”，直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
例题解析
某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？
分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个月台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择．
解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得
(40＋x－30)(600－10x)＝10000，
即x2－50x＋400＝0，
解得x1＝10，x2＝40.
所以每个台灯的售价应定为50元或80元．
当台灯售价定为80元，售价利润率为166.7%，高于100%，不符合要求；当台灯售价定为50元时，售价利润率为66.7%，低于100%，符合要求．
答：每个台灯售价应定为50元．
【教学说明】列方程解应用题注重考查能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了．
三、运用新知，深化理解
练习：1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
探索与创新：2.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．这次会议到会的人数是多少？
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
通过两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？
学生能说出利用方程解决实际问题的关键和步骤：
关键：寻找等量关系
步骤：其一是整体地、系统地审清问题；其二是把握问题中的“相等关系”；其三是正确求解方程并检验解的合理性．
学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力．
六、布置作业
1．教材习题2.10第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．2.5 一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．
【过程与方法】
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想．
【情感态度】
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．
【教学重点】
根与系数的关系及运用．
【教学难点】
对根与系数的关系的理解、推导及运用．
一、创设情境，导入新课
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味．
【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望．
二、合作交流，探究新知
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋6x－16＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．
【归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1＝，x2＝，能得出以下结果：
x1＋x2＝－，x1·x2＝.
【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．
三、运用新知，深化理解
1．求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－6x－15＝0；
(2)5x－1＝4x2；
(3)x2＝4；
(4)2x2
＝3x.
解：(1)6，－15；(2)，；(3)0，－4；(4)，0.
2．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝[2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤，∴k2－1＝－2(k－1)，
解得k＝3(舍去)或k＝－1.
【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积．
3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，
那么2x1＝－，
∴
x1＝__－__，
又x1＋2＝－，
∴k＝__－7__．
4．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．
解：设方程的两个根分别为x1，x2，
那么x1＋x2＝__－__，
x1x2＝__－__．
(1)∵
(x1＋x2)2＝x＋2__x1·x2__＋x，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2__x1·x2__＝____．
(2)
＋＝＝___3___．
5．已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k的值．
解：∵方程两实根的积为5，
∴
得
∴当k＝4时，方程两实根的积为5.
6．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
解：(1)Δ＝[
2(k－1)]
2－4(k2－1)，
＝4k2－8k＋4－4k2＋4＝－8k＋8.
∵
原方程有两个不相等的实数根，
∴－8k＋8＞0，解得
k＜1，即实数k的取值范围是
k＜1.
(2)假设0是方程的一个根，则代入得
02＋2(k－1)·
0＋k2－1
＝
0，
解得k＝－1或
k＝1(舍去)．
即当k＝－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为
x2－4x
＝
0，解得
x1＝0，x2＝4，所以它的另一个根是4.
【教学说明】目的是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．
(1)先化成一般形式，再确定a，b，c.
(2)当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．
(3)要注意符号：两个根的和前面有负号，两个根的积前面没有负号．
让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨．
六、布置作业
1．教材习题2.8第2
、3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．2．2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
【知识与技能】
会用开方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．
【过程与方法】
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力．
【情感态度】
体会转化的数学思想方法；能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性．
【教学重点】
会用开方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．
【教学难点】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．
一、创设情境，导入新课
1．如果一个数的平方等于4，则这个数是______，若一个数的平方等于7，则这个数是______．一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2．用字母表示因式分解的完全平方公式．
通过前两个问题，引导学生复方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫．
二、合作交流，探究新知
(1)你能解哪些一元二次方程？
(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2＝5；2x2＋3＝5；x2＋2x＋1＝5；(x＋6)2＋72＝102.
(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？(合作交流)
三、运用新知，深化理解
活动内容1：做一做(填空配成完全平方式，体会如何配方)
填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答)
x2＋12x＋______
＝(x＋6)2
x2－6x＋______＝(x－3)2
x2＋8x＋______
＝(x＋______)2
x2－4x＋______＝(x－______)2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？(小组合作交流)
活动内容2：解决例题
(1)解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决)
解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9，
两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42.
(x＋4)2＝25.
开平方，得x＋4＝±5，
即
x＋4＝5，或x＋4＝－5.
所以x1＝1，x2＝－9.
(2)解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0(仿照例1，学生独立解决)
解：移项得x2＋12x＝15，
两边同时加上62得，x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51，
两边开平方，得x＋6＝±，
所以x1＝－6，x2＝－－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－－6不合题意舍去．
答：梯子底部滑动了(－6)米．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题．
六、布置作业
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
第2课时 用配方法解一般一元二次方程
【知识与技能】
经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能．
【过程与方法】
经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．
【情感态度】
能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．
【教学重点】
用配方法解一般一元二次方程．
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的一般步骤．
一、创设情境，导入新课
活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答．
(1)x2＋2x＋______＝(x＋______)2
；
(2)x2－4x＋______＝(x－______)2；
(3)x2＋______＋36＝(x＋______)2；
(4)x2＋10x＋______＝(x＋______)2；
(5)x2－x＋______＝(x－______)2.
2．请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别：
(1)x2＋6x＋8＝0；
(2)3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程2(2)应如何去解呢？
二、合作交流，探究新知
活动内容：讲解例题
教材例2 解方程3x2＋8x－3＝0.
解：方程两边都除以3，得x2＋x－1＝0，
移项，得x2＋x＝1，
配方，得x2＋x＋＝1＋，
＝
，
x＋＝
±，
∴x1＝，x2＝－3.
通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程．让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心．另外，得到x＋＝±后，在移项得到x＝±－要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错．
【教学说明】化二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)为a(x＋h)2＋k形式分以下几个步骤：
(1)提取二次项系数使括号内的二次项系数为1；
(2)配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方；
(3)化简、整理．
本题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础．
三、运用新知，深化理解
做一做：一小球以15
m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达到10米的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10，
方程两边都除以－5，得t2－3t＝－2，
配方，得t2－3t＋＝－2＋，
＝
，
t－＝
±，
∴t1＝2，t2＝1，
活动内容：课本习题2.4“问题解决2”．
印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题．
解：可设猴子的总数是x，由题意可得
＋12＝x，
解得x1＝16，x2＝48.
答：这群猴子可能是16只，也可能是48只．
【教学说明】对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习，培养学生的阅读能力、数学建模能力．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
1．本节课学习的数学知识是用配方法解一元二次方程．
2．本节课学习的数学方法是：①转化思想，②根据实际问题建立数学模型．
3．用配方法求解一元二次方程的一般步骤是什么？
(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；
(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k的形式；
(4)用直接开平方法解变形后的方程．
六、布置作业
1．教材习题2.4第1题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．2．4 用因式分解法求解一元二次方程
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
一、创设情境，导入新课
复习：将下列各式分解因式：
(1)5x2－4x；
(2)x2－4x＋4；
(3)4x(x－1)－2＋2x；
(4)x2－4；
(5)(2x－1)2－x2.
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．
二、合作交流，探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、运用新知，深化理解
1．解方程5x2＝4x.
解：原方程可变形x(5x－4)＝0……第一步
∴x＝0或5x－4＝0……第二步
∴x1＝0，x2＝.
【教学说明】教师提问、板书，学生回答．
分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)5x2＋3x＝0；
(2)7x(3－x)＝4(x－3)；
(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.
分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．
解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，
于是得x＝0或5x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－；
(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，
因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，
于是得x－3＝0或－7x－4＝0，
x1＝3，x2＝－；
(3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0，
因式分解，得
[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，
即(5x－4)(x－8)＝0，
于是得5x－4＝0或x－8＝0，
x1＝，x2＝8.
【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．
3．选择合适的方法解下列方程．
(1)2x2－5x＋2＝0；
(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)；
(3)3(x－2)2＝x2－2x.
分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；(3)3(x－2)2＝x·(x－2)用因式分解法．
解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，
b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，
x＝＝，
x1＝2，x2＝；
(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，
因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，
即(x－1)(x－5)＝0，
x－1＝0或x－5＝0，
x1＝1，x2＝5；
(3)原方程变形为3(x－2)2－x(x－2)＝0，
因式分解，得(x－2)(2x－6)＝0，
x－2＝0或2x－6＝0，
x1＝2，x2＝3.
【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．
4．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．
分析：若把(a2＋b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2＋b2)为未知数的一元二次方程．
解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0.
a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，
x＝，∴x1＝3，x2＝－2.
即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不符合题意应舍去，取a2＋b2＝3.
【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．
5．用一根长40
cm的铁丝围成一个面积为91
cm2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？
解：设长为x
cm，则宽为(－x)cm，
x·(－x)＝91，
解这个方程，得x1＝7，x2＝13.
当x＝7
cm时，－x＝20－7＝13(cm)(舍去)；
当x＝13
cm时，－x＝20－13＝7(cm)．
当围成正方形时，它的边长为＝10(cm)，面积为102＝100(cm2)．
【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
1．本节课我们学习了哪些知识？
2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？
【教学说明】对某些方程而言，因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其他方法．
六、布置作业
1．教材习题2.7第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．2．3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
【知识与技能】
1．在教师的指导下，学生能够正确地导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力．
2．能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力．
【过程与方法】
通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力．
【情感态度】
通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导．
一、创设情境，导入新课
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解如何求得？有没有什么简便方法？
学生观察分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨论交流．
二、合作交流，探究新知
(1)活动1：自主推导求根公式．
提出问题：解一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．
解：两边都除以一次项系数a得x2＋x＋＝0，
问：为什么可以两边都除以一次项系数a
答：因为a≠0，
配方：加上再减去一次项系数一半的平方，
x2＋x＋－＋＝0，
即：－＝0，
＝，
问：现在可以两边开平方吗？
答：不可以，因为不能保证≥0.
问：什么情况下≥0
学生讨论后回答：
答：
∵
a≠0，∴
4a2>0.
要使≥0，只要b2－4ac≥0即可．
∴当b2－4ac≥0时，两边开平方取“±”
得：
x＋＝±.
x＋＝±，x＝－±，
x＝.
问：如果b2－4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解．
如果b2－4ac＝0呢？
答：方程有两个相等的实数根．
(2)活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式．
三、运用新知，深化理解
活动内容：
1．判断下列方程是否有解：(学生口答)
(1)
2x2＋3＝7x；(2)x2－7x＝18；
(3)3x2＋2x＋1＝0；(4)9x2＋6x＋1＝0；
(5)16x2＋8x＝3；(6)2x2－9x＋8＝0.
学生迅速演算或口算出b2－4ac，从而判断出根的情况．
2．上述方程如果有解，求出方程的解．
学生口述，教师板书第(1)题，第(4)题．
例1：解方程2x2＋3＝7x.
解：先将方程化成一般形式：2x2－7x＋3＝0，
确定a，b，c的值：a＝2,
b＝－7,
c＝3.
判断方程是否有根：
∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0，
∴x＝＝，
写出方程的根：即x1＝3，x2＝－.
例2：解方程
9x2＋6x＋1＝0.
确定a，b，c的值
：a＝9,
b＝6,
c＝1.
判断方程是否有根：
∵b2－4ac＝62－4×9×1＝0，
∴x＝＝＝－.
【教学说明】通过让学生口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
本节课你学到了什么？提出问题：
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
2．如何判断一元二次方程根的情况？
3．用公式法解方程应注意的问题是什么？
4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？
让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言．
六、布置作业
1．教材习题2.5第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
第2课时 一元二次方程的简单应用
【知识与技能】
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．
【过程与方法】
通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．
【情感态度】
通过列方程解决简单的实际问题，体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性．
【教学重点】
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，巩固解一元二次方程的方法．
【教学能点】
会用一元二次方程解简单易行的实际问题，会根据实际问题检验解的合理性．
一、创设情境，导入新课
活动内容：
教师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？
在一块长为16
m，宽为12
m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
二、合作交流，探究新知
学生先自己设计，画出草图，教师选择具有代表性的几种：
问题解答：
1．如何设未知数？怎样列方程？
2．分组解答图(5)所列的方程．
图(5)的解答：
解：设小路的宽为x
m，由题意得：
(16－2x)(12－2x)＝16×12×，
整理，得：x2－14x＋24＝0，
x2－14x＋49＝－24＋49，
(x－7)2＝25，
x1＝12，x2＝2.
答：(略)．
问题：你认为小路的宽为12
m和2
m都符合实际意义吗？
集体解答图(7)，根据学生所列的方程进行解答．
【教学说明】通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程．
三、运用新知，深化理解
活动内容：在一幅长90
cm、宽40
cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
出示图(2)和图(3)做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？
解：设金边的宽为x
m，由题意得：
(90＋2x)(40＋2x)×72%＝90×40.
【教学说明】增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
六、布置作业
1．教材习题2.6第2、3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．2．1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
【知识与技能】
探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．
【过程与方法】
在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．
【情感态度】
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重点】
一元二次方程的概念．
【教学难点】
如何把实际问题转化为数学方程．
一、创设情境，导入新课
问题1：有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？
你能设出未知数，列出相应的方程吗？
【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．
二、合作交流，探究新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？
(1)(100－2x)(50－2x)＝3600；
(2)(x＋6)2＋72＝102.
【教学说明】
分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.
【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
活动中教师应重点关注：
(1)
引导学生观察所列出的两个方程的特点；
(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；
(3)强调定义中体现的3个特征：
①整式；②一元；③2次．
【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的．
三、运用新知，深化理解
1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为C
A．x2＋x＋＝0
B．x2－6x－3＝0
C．x2－x－＝0
D．x2－x＋＝0
分析：注意方程两边除以－5，另两项的符号同时发生变化．
2．下列方程是一元二次方程的有(5)．
(1)x2＋－5＝0；(2)x2－3xy＋7＝0；
(3)x＋＝4；(4)m3－2m＋3＝0；
(5)x2－5＝0；(6)ax2－bx＝4.
3．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足m＝－2时，它是一元一次方程；当m满足m≠－2时，它是一元二次方程．
分析：当m＋2＝0，即m＝－2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，即m≠－2时，方程是一元二次方程．
4．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是2x2－x－7＝0.
分析：一元二次方程一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2－x－7＝0.
5．已知(m＋3)x2－3mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠－3.
6．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.
解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的符号)．
7．关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足什么条件？
分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．
解：由mx2－3x＝x2－mx＋2得到(m－1)x2＋(m－3)x－2＝0，所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足m≠1.
【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？
六、布置作业
1．教材习题2.1第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
第2课时 一元二次方程的解和近似解
【知识与技能】
会进行简单的一元二次方程的试解．
【过程与方法】
根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
【情感态度】
理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．
【教学重点】
判定一个数是否是方程的根．
【教学难点】
会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．
一、创设情境，导入新课
学生活动：请同学独立完成下列问题．
问题1：如图，一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8
m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为x
m，那么，根据题意，可得方程为__x2＋82＝102__．
整理，得__x2－36＝0__．
列表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
x2－36
问题2：一个面积为120
m2的矩形苗圃，它的长比宽多2
m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为x
m，则长为__(x＋2)__m.
根据题意，得__x(x＋2)＝120__．
整理，得__x2＋2x－120＝0__．
列表：
x
5
6
7
8
9
10
11
x2＋2x－120
【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围．
二、合作交流，探究新知
提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？
老师点评：(1)问题1中x＝6是x2－36＝0的解；问题2中，x＝10是x2＋2x－120＝0的解．
(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x＝－6的解；问题2中还有x＝－12的解．
为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2－36＝0有两个根，一个是6，另一个是－6，但－6不满足题意；同理，问题2中的x＝－12也不满足题意．
【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
三、运用新知，深化理解
1．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
2．若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，求代数式2014(a＋b＋c)的值．
分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解．
3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1)x2－64＝0；(2)3x2－6＝0；
(3)x2－3x＝0.
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察并结合平方根的意义来求解．
4．x(x－1)＝2的两根为D
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝1，x2＝2
D．x1＝－1，x2＝2
5．方程ax(x－b)＋(b－x)＝0的根是B
A．x1＝b，x2＝a
B．x1＝b，x2＝
C．x1＝a，x2＝
D．x1＝a2，x2＝b2
6．如果x2－81＝0，那么x2－81＝0的两个根分别是x1＝
___9___，x2＝
___－9___．
7．如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4ab的值．
解：由已知，得a＋b＝－3，
原式＝(a＋b)2＝(－3)2＝9.
8．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：－1必是该方程的一个根．
证明：由题意可知：a＋c＝b，a－b＋c＝0，
把x＝－1代入原方程，得
ax2＋bx＋c
＝a×(－1)2＋b×(－1)＋c
＝a－b＋c
＝0.
∴－1必是该方程的一个根．
9．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在()2－2×＋1＝0，令＝y，则有y2－2y＋1＝0，根据上述变形数学思想(换元法)解决小明给出的问题：求(x2－1)2＋(x2－1)＝0的根．
解：设y＝x2－1，则y2＋y＝0，y1＝0，y2＝－1，
当x2－1＝0时，x1＝1，x2＝－1；
当x2－1＝－1时，x3＝x4＝0.
∴x1＝1，x2＝－1，x3＝x4＝0是原方程的根．
【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
本节课应掌握：
1．一元二次方程根的概念．
2．一个数是否是一元二次方程的根的判断方法．
3．求一元二次方程的根的方法．
六、布置作业
1．教材习题2.2第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
