第二讲 第二节 第一课时
直线的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是( )
A．直线经过点(7，－1)
B．直线的斜率为
C．直线不过第二象限
D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离
解析： 直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．
答案： D
2．以t为参数的方程表示( )
A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
解析： 化参数方程
为普通方程得y＋2＝－(x－1)，
故直线过定点(1，－2)，
斜率为－，倾斜角为.
答案： C
3．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是( )
A．8x－9y＝7
B．8x＋9y＝25
C．4x－9y＝6
D．不存在
解析： 设直线的参数方程为(t为参数)，
代入双曲线方程，得
4(2＋tcosα)2－9(1＋tsinα)2＝36，
整理得(4cos2α－9sin2α)t2－(16cosα－18sinα)t－29＝0.
设方程的两个实根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝.
因为点P平分弦，
所以t1＋t2＝0，
即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，
即k＝.
因此弦所在直线方程为y－1＝(x－2)，
即8x－9y＝7.
答案： A
4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A．(t为参数)
B．(t为参数)
C．(t为参数)
D．(t为参数)
解析： 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为__________
________.
解析： 直线的参数方程为(s为参数)，
曲线(t为参数)
可以化为x2－y2＝4.
将直线的参数方程代入上式，
得s2－6s＋10＝0，
设A，B对应的参数分别为s1，s2，
∴s1＋s2＝6，s1s2＝10，
|AB|＝|s1－s2|＝＝2.
答案： 2
6．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，设l与曲线(θ为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________
________.
解析： 直线的参数方程为
则
曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
把直线代入x2＋y2＝4
得2＋2＝4，
t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，
则点P到A，B两点的距离之积为2.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；
(3)设AB中点为M，求|PM|.
解析： (1)直线l的参数方程是
(t为参数)．
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0.
即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.
由t的几何意义，知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
(3)由t的几何意义，知
中点M的参数为，
故|PM|＝|t1＋t2|＝.
8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．
解析： 设直线的倾斜角为α，
则它的方程为(t为参数)
由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsinα，
即|PA|＝|t|＝，
0＝3＋tcosα，
即|PB|＝|t|＝－.
故|PA|·|PB|＝.
＝－.
∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，
即α＝135°时，
|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为(t为参数)，
化为普通方程即x＋y－5＝0.
??☆☆☆
9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos)方向300
km的海面P处，并以200
km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60
km，并以10
km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解析： 方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h)台风中心(，)的坐标为
此时台风侵袭的区域是(x－)2＋(y－)2≤[r(t)]2，
其中r(t)＝10t＋60，
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，
则有(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2，
即2＋2≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24.
即12小时后该城市开始受到台风的侵袭
方法二：如图，设在时刻t(h)台风中心为Q，
此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)．
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，
则OQ≤10t＋60.
由余弦定理知OQ2＝PQ2＋OP2－2·PQ·POcos∠OPQ.
又由于OP＝300，PQ＝20t，
所以cos∠OPQ＝cos(θ－45°)
＝cosθcos45°＋sinθsin45°
＝×＋×＝，
故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×
＝202t2－9
600t＋3002.
因此202t2－9
600t＋3002≤(10t＋60)2，
即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24.
即12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
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1第一讲 第一节
平面直角坐标系
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点P(2,3)关于y轴的对称点是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(2，－3)
D．(－2，－3)
解析： 点(x，y)关于y轴的对称点坐标为(－x，y)．
所以点(2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2,3)．
答案： B
2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为( )
A．50x2＋72y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x2＋24y2＝1
D．x2＋y2＝1
解析： 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．
将直接代入2x′2＋8y′2＝1，
得2·(5x)2＋8(3y)2＝1，
则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．
答案： A
3．函数y＝2sin，先保持横坐标不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍；再保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，则其函数为( )
A．y＝sin
B．y＝6sin
C．y＝6sin
D．y＝sin
解析： 纵坐标伸长3倍得到y＝6sin，再将横坐标缩为原来的，得到y＝6sin
答案： B
4．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为( )
A．F＝0
B．F＝0
C．F＝0
D．F＝0
解析： 由横坐标伸长到原来的2倍知，x′＝纵坐标缩短到原来的知y′＝3y.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为__________
________.
解析： 设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，
变换后的对应点为P′(x′，y′)，
由题意知伸缩变换为∴
代入y＝log3x，得y′＝log3x′，
即y＝log3.
答案： y＝log3
6．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是__________
________.
解析： 设则μy＝sinλx，
即y＝sinλx.
比较y＝3sin2x与y＝sinλx，则有＝3，λ＝2.
∴μ＝，λ＝2.∴
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
解析： 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立如下图所示平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)
则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a2)＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，
BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，
∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解析： x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.
①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.
②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
??☆☆☆
9．(10分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图所示，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，
变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，问航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
解析： (1)设曲线方程为y＝ax2＋，
∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知
得4y2－7y－36＝0.
y＝4或y＝－(舍去)，
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)，
|AC|＝2，|BC|＝4，
所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．
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1第一章坐标系
单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－5，)的极坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
2．已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为( )．
A．(，1,1)
B．(1,1,1)
C．(，，1)
D．(1,0,1)
3．设点P的直角坐标为(4,4,)，则它的球坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
4．极坐标方程(ρ≥0)的直角坐标方程是( )．
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝－x(x≤0)
D．y＝x(x≥0)
5．曲线的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，化成直角坐标方程为( )．
A．x2＋(y＋2)2＝4
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝4
6．圆ρ＝(cos
θ＋sin
θ)的圆心的极坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
7．已知点P的极坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )．
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．
D．
8．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线方程为( )．
A．ρsin
θ＝2
B．ρcos
θ＝2
C．ρcos
θ＝4
D．ρcos
θ＝－4
9．将极坐标方程ρ＝cos
θ－2sin
θ化为直角坐标方程为( )．
A．x2＋y2－x＋2y＝0
B．x2＋y2＋x－2y＝0
C．x2＋y2－2x＋y＝0
D．x2＋y2＋2x－y＝0
10．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2的距离为d，则d的最大值为( )．
A．5
B．6
C．4
D．3
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．从极点作圆ρ′＝2asin
θ′的弦，则各条弦中点的轨迹方程为__________．
12．极坐标方程分别为ρ＝2cos
θ和ρ＝sin
θ的两个圆的圆心距为__________．
13．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos
θ＝3，ρ＝4cos
θ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
14．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆O：x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，则Q点的轨迹的极坐标方程是________．
15．若曲线的极坐标方程为ρ＝tan
θ·，则该曲线的直角坐标方程为__________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)在下列平面直角坐标系中，分别作出x2＋y2＝49的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.
17．(15分)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
参考答案
1．答案：B 利用转化公式，代入求值即可．
设点(－5，)的极坐标为(ρ，θ)，则tan
θ＝，x＜0，∴最小正角，ρ＝＝10.
2．答案：B 设点P的直角坐标为(x，y，z)．
则有x＝rcos
θ＝＝1，y＝rsin
θ＝＝1，z＝1.
∴点P的直角坐标为(1,1,1)．
3．答案：A 设点P的球坐标为(r，φ，θ)，
则r＝＝8，tan
θ＝＝1.
又∵x＞0，∴.
∵＝8·cos
φ，∴cos
φ＝.
∵0≤φ≤π，∴.
∴点P的球坐标为.
4．答案：C tan
θ＝＝－1，∴y＝－x(x≤0)．
5．答案：C 由直角坐标和极坐标的互化公式x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，即ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝(x≠0)可得x2＋y2＝4x，整理得(x－2)2＋y2＝4.
6．答案：A 将圆的方程化为的形式，可得圆心的极坐标为.
7．答案：C 由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x＝－1，化为极坐标方程为ρcos
θ＝－1，故选C.
8．答案：B 如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sin
θ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4.ρsin
θ＝2表示直线y＝2，ρcos
θ＝4表示直线x＝4，ρcos
θ＝－4表示直线x＝－4，均不与圆相切，故排除选项A，C，D.
9．答案：A ∵ρ＝cos
θ－2sin
θ，
∴ρ2＝ρcos
θ－2ρsin
θ，
∴x2＋y2＝x－2y，∴x2＋y2－x＋2y＝0.
10．答案：．C 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x2＋y2＝9，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos
θ＋)＝2转化成直角坐标方程为x＋＝2.则圆心到直线x＋＝2的距离d′＝＝1.
∴圆上的点到直线的最大距离为d′＋3＝1＋3＝4.
11．答案：ρ＝asin
θ 设任意一条弦的中点的极坐标为(ρ，θ)，则点(2ρ，θ)在圆ρ′＝2asin
θ′上，∴2ρ＝2asin
θ，即ρ＝asin
θ.
12．答案： 由ρ＝2cos
θ，得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由ρ＝sin
θ，得ρ2＝ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＋＝1.
所以两个圆的圆心分别为(1,0)和，
故d＝.
13．答案： 由得4cos2θ＝3.
∴2(1＋cos
2θ)＝3，cos
2θ＝.
又0≤2θ＜π，∴.故，
∴曲线C1与C2的交点的极坐标为.
14．答案： 如图，以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．
因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP，
所以·3ρ·sin
θ＋ρ·sin
θ＝×3×1×sin
2θ.整理得.
15．答案：x2＝y 由ρ＝tan
θ·，得ρcos2θ＝sin
θ，
∴ρ2cos2θ＝ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＝y.
16．答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x2＋y2＝49的图形如下：
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则x2＋y2＝49的图形如下：
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则x2＋y2＝49的图形如下：
17．答案：解：(1)由，
得ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
∴曲线C的直角坐标方程为，
即x＋－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M的极坐标为(2,0)；
当时，，
∴点N的极坐标为.
(2)由(1)得，点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为，∴点P的直角坐标为，
则点P的极坐标为，直线OP的极坐标方程为，ρ∈R.
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1第二讲 第二节 第四课时
双曲线的参数方程、抛物线的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(θ为参数)表示的曲线为( )
解析： x2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋2y，
∴y＝x2－，
且x＝sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]．
答案： C
2．参数方程(α为参数)的普通方程为( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤)
D．x2－y2＝1(|x|≤)
解析： x2＝2＝1＋sinα.
y2＝2＋sinα，∴y2－x2＝1.
又x＝sin＋cos
＝sin∈[－，]．
即|x|≤.
答案： C
3．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是( )
A．(0，－4)，(0,4)
B．(－4，0)(4，0)
C．(0，－)，(0，)
D．(－，0)，(，0)
解析： 双曲线(α为参数)的标准方程为－＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.
答案： A
4．参数方程(0≤θ<2π)表示轨迹( )
A．双曲线的一支，过点
B．抛物线的一部分，过点
C．双曲线的一支，过点
D．抛物线的一部分，过点
解析： 因为x2＝1＋sin
θ，所以x2＝2y表示抛物线，
又因为x＝＝
∴x∈[0，]，
是抛物线的一部分．且当θ＝π时，有x＝1，y＝，
即曲线过点.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线(t为参数)的焦点坐标为________.
解析： 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
答案： (0,1)
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过顶点的两弦OA⊥OB，则分别以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹是________.
解析： 设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，
则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，
以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，
即t1，t2为方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两根，
∴t1t2＝.又OA⊥OB，
∴t1t2＝－1，即x2＋y2－2px＝0，
∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．
答案： 以(p,0)为圆心，p为半径的圆
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.
如图所示，直线l经过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点．将A，B分别与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．
解析： 如图所示，由已知得右焦点F2(，0)．
设直线l的参数方程为(t为参数)，
代入－y2＝1，化简得(5cos2
θ－4)t2＋2tcos
θ＋1＝0.
则|t1－t2|＝＝，t1t2＝.
由双曲线定义，知|F1A|－|F2A|＝4，故|F1A|＝4＋|F2A|.
同理，|F1B|＝4＋|F2B|.
故|F1A|·|F1B|＝(4＋|F2A|)(4＋|F2B|)
＝16＋4(|F2A|＋|F2B|)＋|F2A|·|F2B|
＝16＋4|t1－t2|＋|t1t2|
＝16＋≥16＋＝.
当且仅当cos
θ＝0时，等号成立．
所以|F1A|·|F1B|的最小值为.
8．已知抛物线C：(参数为s)，过抛物线C的焦点F作倾斜角为α的直线l，交抛物线C于A，B.
(1)将抛物线化为普通方程，并写出直线l以t为参数的参数方程；
(2)若＝3，求倾角α.
解析： (1)x＝2＝2，所以抛物线y2＝4x，
l的参数方程
(2)t2sin2α＝4＋4tcos
α，
即t2sin2α－4tcos
α－4＝0.
记A(t1)，B(t2)则
消去t1，t2，得32＝，
tan2α＝3，故tan
α＝，
所以α＝.
??☆☆☆
9．(10分)水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分功能，以保护水库坝基及下游堤坝的安全．
如右图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．
解析： 建立如图所示的直角坐标系．
设轨迹上任意一点为P(x，y)．
由题意鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.
取时间t为参数，
则有x＝vtcos
30°＝t，
y＝vtsin
30°－gt2＝t－gt2.
所以挑出水流的轨迹的参数方程为
消去参数t，得y＝－x2＋x.
取y＝－18，得挑出的水流与坝基的水平距离为x＝18
≈31.2(m)．
所求轨迹方程为y＝－x2＋x，x∈[0,18]．
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1第二讲 第三节 参数方程和普通方程的互化
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线的中心坐标为( )
A．(－2,1)
B．(－1,2)
C．(1，－2)
D．(1,2)
解析： 曲线的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，曲线的中心即圆心坐标为(1，－2)．
答案： C
2．已知双曲线C的参数方程为(θ为参数)，在下列直线的参数方程中①②③④⑤(以上方程中，t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A．①③⑤
B．①⑤
C．①②④
D．②④⑤
解析： 由双曲线的参数方程知，双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．
答案： A
3．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 由题意，曲线C可变形为：，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
所以曲线C是以点M(2，－1)为圆心，3为半径的圆，
又因为圆心M(2，－1)到直线l：x－3y＋2＝0的距离
d＝＝且所以曲线C上到直线l距离为的点的个数为2.
答案： B
4．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析： 方程
即 ，
它表示以点和点为端点的线段，关于x轴对称．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知F是曲线(θ∈R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于__________
________.
解析： 曲线的参数方程，
即，曲线的普通方程为x2＝4y.
焦点F(0,1)，由于A(1,0)，则|AF|＝.
答案：
6．设圆的参数方程为(t为参数)，直线y＝kx与圆相切，则该直线的倾斜角为__________
________.
解析： 由圆的参数方程的形式知，圆心为(4,0)，半径为2.
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线距离等于半径即：
＝2，解得k＝±，
∴倾斜角为或.
答案： 或
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．曲线(θ为参数)与直线y＝a有两个公共点，求a的取值范围．
解析： ∵x＝1＋cos
θ，∴x∈[0,2]．
由x＝1＋cos
θ，可得cos
θ＝x－1代入y＝sin2θ＝1－cos2θ＝1－(x－1)2，
整理得y＝－x2＋2x(0≤x≤2)，结合函数的草图，得0≤a<1.
8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
X解析： (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0
得ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos
α，y－2＝sin
α，
得圆的参数方程为
(α为参数)．
(2)由上述可知，
x＋y＝4＋(cos
α＋sin
α)
＝4＋2sin，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
??☆☆☆
9．(10分)已知点P(m，n)在圆x2＋y2＝2上运动，求点Q(m＋n,2mn)的轨迹方程，并判断轨迹形状．
解析： 设Q(x，y)，由于点P(m，n)在圆x2＋y2＝2上运动，故点P(m，n)即点P(cos
θ，sin
θ)．
Q(m＋n,2mn)即Q(cos
θ＋sin
θ，4cos
θsin
θ)．
依题意，得(θ为参数)
将x＝cos
θ＋sin
θ平方，得x2＝2＋4sin
θcos
θ.
∴x2＝2＋y.
又x＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，y＝2sin
2θ，
∴－2≤x≤2，－2≤y≤2.
∴y＝x2－2(－2≤x≤2)，这是抛物线弧段．
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1第二讲 第二节 第三课时
椭圆的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．θ取一切实数时，连接A(4sin
θ，6cos
θ)和B(－4cos
θ，6sin
θ)两点的线段的中点轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
解析： 设中点M(x，y)，由中点坐标公式，
得x＝2sin
θ－2cos
θ，y＝3cos
θ＋3sin
θ，
即＝sin
θ－cos
θ，＝sin
θ＋cos
θ，
两式平方相加，得＋＝2，是椭圆．
答案： B
2．椭圆，(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的(－a,0)对应的θ＝( )
A．π
B．
C．2π
D．π
解析： ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acosθ，
∴cosθ＝－1，∴θ＝π.
答案： A
3．曲线上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D．
解析： 椭圆标准方程为＋＝1如图所示．
|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10.
∴|MF2|＝8，
∴|NO|＝|MF2|＝4.
答案： B
4．设P(x，y)为椭圆(x－1)2＋＝1上的一点，则x＋y的取值范围是( )
A．
B．R
C．
D．
解析： 设
则x＋y＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin(θ＋φ)；
∴1－≤x＋y≤1＋.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设椭圆的参数方程为(0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点．M，N对应的参数为θ1，θ2且x1________.
解析： 因为x＝acos
θ且x1由余弦函数性质，在0≤θ≤π上单调递减，
所以θ1>θ2.
答案： θ1>θ2
6．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是__________
________.
解析： 椭圆可化为＋＝1
把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0
Δ＝4b2－20(b2－16)≥0
解之得：－2≤b≤2.
答案： [－2，2]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：(θ为参数)．
(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；
(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
解析： (1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，
所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.
所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．
(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，
所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．
点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，
|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|
＝＝6，故a＝3.
又c＝3，b2＝a2－c2＝36.
此时椭圆方程为＋＝1.
8．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，求x＋y的最值．
解析： 因为P点在椭圆x2＋＝1上，
所以可以设P点坐标为(cosθ，2sinθ)，
即x＝cosθ，y＝2sinθ，
所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝sin(θ＋φ)，
其中，tanφ＝.
因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，
所以x＋y的最大值为，最小值为－.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原来，求四边形MAOB的面积的最大值．
解析： 方法一：M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，
由椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
故可设M(acosφ，bsinφ)，
其中0＜φ＜，因此，
S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝OA·yM＋OB·xM
＝ab(sinφ＋cosφ)
＝absin.
所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab.
方法二：设M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，则
yM＝b，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝OA·yM＋OB·xM
＝ab＋bxM
＝b(＋xM)
＝b
＝b
≤b
＝ab.
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1第一讲 第二节 第三课时
直线的极坐标方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．直线x－y＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( )
A．θ＝
B．θ＝π
C．θ＝和θ＝π
D．θ＝π
解析： 由x－y＝0，得ρcos
θ－ρsin
θ＝0，
即tan
θ＝，∴θ＝和θ＝π，
又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝和θ＝π表示．
答案： C
2．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为( )
A．ρcosθ＝
B．ρsinθ＝
C．ρ＝cosθ
D．ρ＝sinθ
解析： 如图所示，设M(ρ，θ)是所求直线上任一点，
在Rt△AQO中，
由已知得|OQ|＝3cos＝.
在Rt△MQO中，得ρcosθ＝.
即为所求直线的极坐标方程．
答案： A
3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(ρ∈R)关于( )
A．直线θ＝成轴对称
B．直线θ＝成轴对称
C．点成中心对称
D．极点成中心对称
解析： 将原方程变形为ρ＝4cos，
即ρ＝4cos，该方程表示以为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝成轴对称．
答案： B
4．直线θ＝和直线θ＝的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不能确定
解析： 由图象知，两直线垂直．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在极坐标系中，点A到直线ρsin
θ＝－2的距离是__________
________.
解析： 点A化为直角坐标为，
直线为y＝－2，则点A到直线的距离为2＋.
答案： 2＋
6．两条直线ρcos＝2和tan
θ＝1的夹角为__________
________.
解析： 将极坐标方程化为直角坐标方程：
由ρcos＝2得(ρcos
θ＋ρsin
θ)＝2，
即x＋y＝2；由tan
θ＝1，即θ＝或θ＝，
即直线y＝x.由于直线y＝x与x＋y＝2互相垂直，
故夹角为90°.
答案： 90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程．
解析： 如图，设M(ρ，θ)为所求直线上任一点，则在△AOM中，∠OAM＝，|OM|＝ρ，∠OMA＝π－－θ.|OA|＝5，
在△AOM中由正弦定理得：＝，
整理得：ρsin＝，
即为所求直线的极坐标方程．
8.
从极点引直线与已知直线l：ρcos(θ－α)＝a交于一点Q，P点内分OQ成的比．当Q点在直线l上移动时，求点P的轨迹方程．
解析： 设Q点的坐标为(ρ1，θ1)，P点的坐标为(ρ，θ)．
设点P内分OQ所成的比＝λ，
则∴
代入点Q所在直线的极坐标方程ρ1cos(θ1－α)＝a得
ρcos(θ－α)＝a，
∴ρcos(θ－α)＝a，
这就是点P的轨迹方程．
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．
解析： 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcos
θ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
∵点A在直线ρcos
θ＝4上，
∴ρ0cos
θ0＝4.
①
∵△OPA为等腰直角三角形，
且∠OPA＝，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，
以及∠POA＝，
∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.
②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝4.
由ρcos＝4，
得ρ(cos
θ＋sin
θ)＝4，
∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，
是过点(4,0)且倾斜角为的直线．
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1第一讲 第二节 第二课时
极坐标和直角坐标的互化
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．
答案： A
2．两点A，B的极坐标分别为，，则A，B两点间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 点A，B的极直角坐标分别为(1，)，(0,3)，
则|AB|＝
＝.
答案： D
3．在极坐标系中，两点P和Q，则PQ的中点的极坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 先化直角坐标，再化为极坐标．
∵P，∴
∴P(1，)．
∵Q，
∴∴Q(－3，)．
∴中点M的直角坐标为(－1，)．
∴ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.
∴tan
θ＝＝－，∴θ＝.
∴中点M的极坐标为.
答案： B
4．已知点M的极坐标为，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为( )
A．(－3，－3)
B．(3，－3)
C．(－3，3)
D．(3，3)
解析： ∵点M的极坐标为，
∴x＝6cos
＝6cos
＝6×
＝3，
y＝6sin
＝6sin＝－6×＝－3，
∴点M的直角坐标为(3，－3)，
∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为__________
________.
解析： 点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，
依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2，
故y＝θ＝0，ρ>0，所以M(ρ，0)．
答案： (ρ，0)
6．已知，极坐标系的极点在直角坐标系中的坐标为(－，1)，方向与x轴正方向一致，则直角坐标系中的点(2，10)在极坐标系中的极坐标为__________
________.
解析： 由题意可知
∴tanθ＝，∴θ＝.
ρ2＝[2－(－)]2＋(10－1)2＝108，
∴ρ＝6.
∴点(2，10)在新的极坐标系中的极坐标为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.如图所示，已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)，
(1)判断△OAB的形状；
(2)求△ABC的面积．
解析： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)，
(1)∵|AB|＝＝2，
|OA|＝|OB|＝2，
∴△OAB为等边三角形．
(2)∵|AC|＝
＝，
|BC|＝
＝，
|AB|＝2，∴△ABC为等腰三角形．
∵AB的中点为D，
|CD|＝
＝2，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.
8．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P的极坐标．
解析： 设点P的直角坐标为(x，y)，
由题意得解得
∵点P的直角坐标为(3，－)，
∴ρ＝＝2，tan
θ＝，
∵0≤θ<2π，点P在第四象限，∴θ＝，
∴点P的极坐标为.
??☆☆☆
9．(10分)如果点M的极坐标为(ρ，θ)，那么点M关于极点O的对称点M′可以表示为(－ρ，θ)．
(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；
(2)已知点M的极坐标为，若限定ρ>0,0≤θ<2π，求点M的极坐标；
(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？
解析： (1)由于点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M′(ρ，θ＋π)，根据上述表示，点(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)应为同一点．
设点M′的直角坐标为(x，y)，由点
M′(ρ，θ＋π)得x＝ρcos(θ＋π)＝－ρcos
θ，
y＝ρsin(θ＋π)＝－ρsin
θ，
由M′(－ρ，θ)，得x＝－ρcos
θ，y＝－ρsin
θ，
所以上述表示是合理的．
(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，
∴与为同一点的极坐标，
故点M的极坐标为.
(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，
又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点，
所以(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．
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1第二讲 第四节 摆线和渐开线
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0)
B．(6,6π)
C．(6，－12π)
D．(－π，12π)
解析： 当φ＝2π时，
得，
故点(6，－12π)为所求．
答案： C
2．已知一个圆的参数方程是(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为( )
A．－1
B．
C．
D．
解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程，得，
代入距离公式，可得距离为
＝.
答案： C
3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
答案： C
4.
如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…中做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析： 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________.
解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知，这里的r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝分别代入x和y，可得即得对应的点的坐标．
答案： 3
6．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.
解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程．
解析： (1)圆C平移后圆心为O(0,0)，
它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，
恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，
所以可得摆线方程是(φ为参数)．
8．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
(φ为参数)．
??☆☆☆
9．(10分)已知圆C的半径为2，圆周上有一点A，当圆C沿直线l滚动时，
(1)求CA中点的轨迹方程；
(2)若在CA的延长线上取点Q，使|AQ|＝|CA|，求Q的轨迹方程．
解析： (1)以直线l为x轴，点A落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A的轨迹是平摆线，此时A点坐标为(2θ－2sinθ，2－2cosθ)，设CA中点P的坐标为(x，y)，
则
即为P点的轨迹方程．
(2)设点Q的坐标为(x，y)．
∵|AQ|＝|CA|，
∴A为CQ的中点，故有
∴，为Q点的轨迹方程．
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1第一讲 第三节 柱坐标系与球坐标系
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在空间球坐标系中，方程r＝2表示( )
A．圆
B．半圆
C．球面
D．半球面
解析： 当r＝2,0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于r＝2,0≤φ≤，0≤θ<2π故此方程表示半径为1的半球面．
答案： D
2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1，π，0)
解析： 利用公式
进行公式转化：r＝＝1
cos
φ＝1，φ＝0；tan
θ＝＝0，
故θ＝0所以球坐标的(1,0,0)．
答案： A
3．某点的柱坐标为，则其直角坐标为( )
A．(1，，3)
B．(，1,3)
C．(1，－，3)
D．(－，1,3)
解析： 由得即直角坐标为(，1,3)．
答案： B
4．已知点P的柱坐标为(，，5)，点B的球坐标为(，，)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．P点(5,1,1)，B点
B．P点(1,1,5)，B点
C．P点，B点(1,1,5)
D．P点(1,1,5)，B点
解析： 球坐标与直角坐标的互化公式为
柱坐标与直角坐标的互化公式为
设P点的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝cos＝×＝1，
y＝sin＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝sincos＝××＝，
y＝sinsin＝××＝，
z＝cos＝×＝.
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，
点B的直角坐标为.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________.
解析： 由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案： (－2,2,2) (2，，2)
6．已知球坐标中，M，N，则|MN|＝________.
解析： 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
由得
∴M的直角坐标为(1，，2)．
同理N的直角坐标为(3，，2)，
∴|MN|＝
＝2
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在柱坐标系中，求满足，的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解析： 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如上图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
8．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45°，70°)，点B的坐标为(R,45°，160°)，求A、B两点的球面距离．
解析： 要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的底数，就可求球面距离．
如图，由点A、B的球坐标可知，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上，设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
∴∠AO′B＝160°－70°＝90°.
连接AO、AB，∵OB＝R，O′B＝O′A＝R，
∴AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
∴∠AOB＝60°，＝·2πR＝πR.
故A、B两点间的球面距离为πR.
??☆☆☆
9．(10分)一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上，从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v(v>0)，盘旋的角速度为ω(ω>0)，求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．
解析： 如右图所示，取圆锥的顶点O为坐标原点，建立球坐标系，设t时刻蚂蚁在点M(r，φ，θ)，
由题意，得θ＝ωt，z＝vt，φ＝，
由于＝cos
φ＝cos
＝，
于是r＝2z＝2vt，
所以t时刻蚂蚁在球坐标系中位置为M，t∈[0，＋∞)．
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1第一讲 第二节 第一课时
极坐标系的概念
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点P关于极轴的对称点的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 如右图，点p关于极轴Ox的对称点为.
答案： D
2．点M(ρ≥0)的轨迹是( )
A．点
B．射线
C．直线
D．圆
解析： 由于动点M(ρ，)的极角θ＝，ρ取一切非负实数，
故点M的轨迹是极角为的终边是一条射线，故选B．
答案： B
3．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM
|＝4，则ρ>0，θ∈[0,2π)时点M的极坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析： ρ＝|OM|＝4，与OP终边相同角为－＋2kπ，k∈Z，
令k＝1，θ＝，∴M.选A．
答案： A
4．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：
A、B在极坐标中的位置，如图，
则由图可知∠AOB＝－＝.
在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，
所以，由余弦定理，得
|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·cos
＝9＋9－2×9×
＝18＋9＝(4＋2)．
∴|AB|＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．点M到极轴所在直线的距离为__________
________.
解析： 依题意，点M到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin
＝3.
答案： 3
6．点A，B，O为极点，则△AOB的面积是__________
______.
解析： S△AOB＝×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)．
解析： 如右图所示，
由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝，
∠xOA＝，∠xOB＝，∠xOC＝，∠xOD＝.
故正方形的顶点坐标分别为A，B，C，D.
8．已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
解析： 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝
＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|
＝
＝×2×4＝4.
??☆☆☆
9．(10分)如果对点的极坐标定义如下：当M(ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M关于极点O的对称点M′(－ρ，θ)，如图所示．例如，M关于极点O的对称点M′，也就是说与表示同一点．已知点A的极坐标是，分别在下列给定条件下，写出点A的极坐标．
(1)ρ>0，－π<θ≤π；
(2)ρ<0,0≤θ<2π；
(3)ρ<0，－2π<θ≤0.
解析： 如右图所示，|OA|＝|OA′|＝6，
∠xOA′＝，∠xOA＝，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知
(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A；
(2)当ρ<0,0≤θ<2π时，A；
(3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A.
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1第一讲 第二节 第四课时
圆的极坐标方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝2cos
θ
D．ρ＝2sin
θ
解析： 由题意知圆的极坐标方程为
ρ＝2rcos
θ＝2·1·cos
θ
即ρ＝2cos
θ
故选C．
答案： C
2．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是( )
A．2
B．
C．1
D．
解析： 直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是和，这两点间的距离是.
答案： D
3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
解析： ∵ρ＝2sin＝2sinθ·cos＋2cosθ·sin＝(sinθ＋cosθ)，
∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，
∴x2＋y2＝x＋y，
∴2＋2＝1，
∴圆心.
结合题中四个图形，可知选C项．
答案： C
4．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为( )
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρcos
θ＝
D．ρsin
θ＝
解析： 如右图，Rt△OAC中，
OC＝＝＝2.
设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，
则ρcos
θ＝2.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是________.
解析： 两边同乘ρ，则ρ2＝·ρcosθ＋ρsinθ，
则x2＋y2－x－y＝0，
从而圆心.化为极坐标为.
答案：
6．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q，使＝，则点Q的轨迹方程为________.
解析： 设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ，ρ0＝2cosθ0，
则有ρ＝2cosθ，所以ρ＝5cosθ.
答案： ρ＝5cosθ
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．
解析： ∵ρ＝12sin
θ，∴ρ2＝12ρsin
θ，
∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36
又∵ρ＝12cos，
∴ρ2＝12ρ(cos
θcos
＋sin
θsin
)，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋
＝18.
8．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－sin
θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
解析： 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．
(2)由，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.
??☆☆☆
9．(10分)如下图所示，根据指令(r，θ)(r≥0，－180°≤θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：
先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转|θ|)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移到点(4,4)；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)．
解析： (1)求得r＝4，θ＝45°，故指令为(4，45°)．
(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球，
则因为小球速度是机器人速度的2倍，
所以在相同时间内有|17－x|＝2.
即3x2＋2x－161＝0，得x＝－或x＝7，
因为要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，所以x＝7，故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球，所给的指令为(5，－98.13°)．
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1第二讲 第一节 参数方程的概念
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为( )
A．(1,0)，(0，－2)
B．(0,1)，(－1,0)
C．(0，－1)，(1,0)
D．(0,3)，(－3,0)
解析： 当x＝t－1＝0时，t＝1，y＝t＋2＝3；
当y＝t＋2＝0时，t＝－2，x＝t－1＝－3.
曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．
答案： D
2．若t>0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 由，t>0，得方程表示射线，且只在第一象限内，其余方程的曲线都过第二象限．
答案： B
3．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 当θ＝－时，
参数方程(θ为参数)上的点A，
∴kOA＝tanα＝＝－，0≤α<π，
∴直线OA的倾斜角α＝.
答案： C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是( )
A．一个定点
B．一个椭圆
C．一条抛物线
D．一条直线
解析： 上述方程可变形为(x－2t)2＋(y－t)2＝4，
∴这组圆的圆心坐标为(2t，t)．
令 x－2y＝0.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线C的参数方程，已知点M(2，a)在曲线C上，则a＝__________
________。
解析： 将点(2，a)代入方程得：
解得：∴a＝2.
答案： 2
6．动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程是__________
________.
答案： (t为参数)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知线段AB的位置和长度都一定，点P在其上运动．在AB的同侧分别以AP、PB为边作正三角形APM与BPN，求线段MN的中点Q轨迹的参数方程．
解析： 如图建立直角坐标系，
设|AB|＝a，取AP＝t(0＜t＜a)为参数，
则B(a,0)，P(t,0)，M，
N.
设MN的中点Q(x，y)，根据中点公式得点Q的轨迹方程为
(0＜t＜a，t为参数)．
8．已知曲线C的参数方程为(t为参数)
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(9，a)在曲线上，求a的值．
解析： (1)把M1的坐标(0,1)代入方程，
得无解．
∴点M1不在曲线C上；
把M2的坐标(5,4)代入方程组得得t＝2.
∴点M2在曲线C上．
(2)∵点M3(9，a)在曲线C上，
∴
解得：t＝4，a＝16.∴a＝16
??☆☆☆
9．(10分)(1)设炮弹的发射角为α.发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程；(不计空气阻力、风向等因素)
(2)如果上题中v0＝100
m/s，α＝，当炮弹发出2秒时．
①求炮弹的高度；
②求出炮弹的射程．
解析：
(1)取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如右图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数．
由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得
x＝OQ＝|OP|cosα＝v0tcosα.
y＝QM＝QP－MP＝v0tsinα－gt2.
即得弹道曲线的参数方程：
(2)①将v0＝100米/秒，α＝，t＝2秒代入，
得y＝100×sin×2－×9.8×4＝80.4(米)．
②令y＝0，v0＝100米/秒，α＝代入，
得100·sin·t－×9.8×t2＝0，
t(50－4.9t)＝0，t1＝0，t2＝10.2(秒)
将t＝10.2(秒)代入，得
x＝100×cos×10.2＝510(千米)．
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1第二章参数方程
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线(t为参数)上与点P(4,5)的距离等于的点的坐标是( )．
A．(－4,5)
B．(3,6)
C．(3,6)或(5,4)
D．(－4,5)或(0,1)
2．设r＞0，那么直线xcos
θ＋ysin
θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是( )．
A．相交
B．相切
C．相离
D．视r的大小而定
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )．
A．1
B．－1
C．
D．
4．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )．
A．
B．
C．
D．
5．当t∈R时，参数方程(t为参数)表示的图形是( )．
A．双曲线
B．椭圆(除去下顶点)
C．抛物线
D．圆
6．双曲线的渐近线方程为( )．
A．y＝±x
B．
C．y＝±2x
D．y＝±3x
7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )．
A．π
B．2π
C．12π
D．14π
8．已知圆的渐开线(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为( )．
A．π
B．3π
C．4π
D．9π
9．已知动圆方程x2＋y2－xsin
2θ＋＝0(θ为参数)．那么圆心的轨迹是( )．
A．椭圆
B．椭圆的一部分
C．抛物线
D．抛物线的一部分
10．参数方程(θ为参数)化成普通方程是( )．
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2,3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2,3]
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为________．
12．已知椭圆C：(θ为参数)经过点，则m＝__________，离心率e＝__________.
13．在平面直角坐标系中，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(t为参数)，则圆C的普通方程为__________，直线l与圆C位置关系为__________．
14．椭圆(θ是参数)的长轴长为________．
15．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin
θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)已知参数方程(t≠0)．
(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？
(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示曲线是什么？
17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
参考答案
1．答案：C 由题意，可得，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．
2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．
3．答案：B 直线l可化为
∴斜率k＝＝－1.
4．答案：B 由
把直线方程代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，
即5t2＋8t－4＝0，∴|t1－t2|＝
.
∴弦长为.
5．答案：B 原方程可化为
①除以②，得＝－t.③
将③代入②得＋y2＝1(y≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．
6．答案：C 将参数方程化为普通方程为－x2＝1.
故渐近线方程为y＝±2x.
7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入可得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝2φ－2sin
φ＝4kπ.根据选项可知选C.
8．答案：D
9．答案：D 圆心坐标为，设圆心为(x，y)．
则(θ为参数)．化为普通方程为＝1＋2x，即y2＝8x＋4.
又∵
∴y2＝8x＋，表示抛物线的一部分．
10．答案：D ∵x＝2＋sin2θ＝，cos
2
θ＝y＋1，
∴，
即2x＋y－4＝0.又∵0≤sin2θ≤1，∴x∈[2,3]．故选D.
11．答案： 将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2，在l1上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，
即.
12．答案： 椭圆的参数方程化为普通方程为x2＋＝1.
把代入，得m2＋＝1，得.
又∵a＝2，b＝1，，
∴.
13．答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝25 相交 圆C的参数方程化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25.
l的普通方程为：3x＋4y－10＝0.
圆心到直线的距离.故圆和直线相交．
14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为，它是焦点在x轴上的椭圆，故长轴长为10.
15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin
θ＝1 y＝1，圆方程为x2＋(y－1)2＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．
16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号．
(2)以t为参数，进行讨论．
解：(1)当t≠±1时，.
表示中心在原点，长轴长为，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆．
当t＝±1时，y＝0，x＝±2sin
θ∈[－2,2]，它表示x轴上[－2,2]上的线段．
(2)当(k∈Z)时，是双曲线．
当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，表示y轴．
当θ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝0，∴，表示x轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线．
17．答案：解：(1)当时，C1的普通方程为．C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin
α－ycos
α－sin
α＝0.
过原点O作C1的垂线，则垂线的方程为xcos
α＋ysin
α＝0.
由
得
故点A的坐标为(sin2α，－sin
αcos
α)，点P的坐标为，
故当α变化时，点P的轨迹的参数方程为
(α为参数)．
由x＝sin2α，
得x＝.
∴cos
2α＝－x.由，
得y＝sin
2α.∴.
即点P的轨迹的普通方程为.
故点P的轨迹是圆心为，半径为的圆．
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1第二讲 第二节 第二课时
圆的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．圆心在点(1，－3)，直径为4的圆的参数方程为( )
A．(θ为参数)
B．(θ为参数)
C．(θ为参数)
D．(θ为参数)
解析： 由圆的参数方程的形式可得A正确．
答案： A
2．直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交不过圆心
解析： 圆心坐标为(0,0)，半径为2.
∴直线不经过圆心，圆心到直线的距离为：＜2.
∴相交不经过圆心．
答案： D
3．曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )
A．
B．
C．1
D．
解析： 因为方程(θ为参数)表示的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，该圆关于x轴、y轴、原点对称，不妨设圆心角θ为第一象限角，
所以圆上的点到两坐标轴的距离之和为cosθ＋sinθ＝sin，其最大值为.
答案： D
4．参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
解析： 将参数方程进行消参，则有t＝，
把t＝代入y＝中得，
当x＞0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；
当x＜0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.
对照选项，可知D正确．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是________.
解析： 由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.
由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，
所以d＝＝1，解得m＝0或m＝10.
答案： 0或10
6．坐标平面上有动点P(cost－sint，cost＋sint)，t∈(0，π)，当t变化时，P点的轨迹是________.
解析： 令x＝cost－sint，y＝cost＋sint，
平方相加得：x2＋y2＝4.
当t∈(0，π)时，y＝cost＋sint＝2sin
∴－1＜y≤2.
答案： x2＋y2＝4(－1＜y≤2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为
rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解析： 如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，
由图可知又θ＝t(t以s为单位)，
故参数方程为
8．圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos
α－4Rysin
α＋3R2＝0(R>0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
解析： (1)依题意，得圆M的方程为(x－2Rcos
α)2＋(y－2Rsin
α)2＝R2，
故圆心坐标为M(2Rcos
α，2Rsin
α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
(其中α为参数)，
两式平方相加，得x2＋y2＝4R2.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点．半径为2R的圆．
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，求大圆被小圆截得的劣弧的长．
解析： 方法一：设O1的参数方程为(0≤θ＜2π)
将上式代入圆O的方程得
(3＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝9
化简得cosθ＝－，θ1＝π，θ2＝π
∠MO1N＝－＝
所以的长为3·＝π.
方法二：设圆O的参数方程为(0≤α＜2π)
将上式代入圆O1的方程得(3cosα－3)2＋(3sinα)2＝27
化简得cosα＝－，
∴α1＝，α2＝π
∴∠MON＝π－π＝π
∴∠MO1N＝∠MON＝
以下解法同方法一．
方法三 由x2＋y2＝9与(x－3)2＋y2＝27，解得x＝－
设M的坐标为(3＋3cosθ，3sinθ)，
则3＋3cosθ＝－解得cosθ＝－.
以下解法同方法一．
若设M的坐标为(3cosα，3sinα)，
则3cosα＝－∴cosα＝－
以下解法同方法二．
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