北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理特色题讲解教案

第一次课《勾股定理》之特色题
一、清新扮靓的规律探究题
例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，
再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积
＝_______．
【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．
即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一
般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于
此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：
，
照此规律可知：，
观察数1、2、4、8、16易知：，于是可知
因此，
二、考查阅读理解能力的材料分析题
例2（临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为的三边，且满足，试判断的形状．
解：
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：
；
（2）错误的原因为：
（3）本题正确的结论为：
.
【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子．若，则有，从而得，这时，为等腰三角形．因此：
(1)选C．
(2)没有考虑
(3)
三、渗透新课程理念的图形拼接题
例3（长春）如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
4，BC
=
3．在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）
示例图
备用图
【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．
四、极具“热点”的动态探究题
例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
⑴求AO与BO的长；
⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米
【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．
⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，
∴米.
由勾股定理得：（米）.
⑵设在中,
根据勾股定理:
∴
-
∴
∵　　∴
∴
所以，
AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米.
勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．
（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．
分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．
解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．
由勾股定理，得AC＝，
同理，AE=2，EH=
．即
a2=
，a3=2，a4=
．
(2)
∵，
，
，
，
∴
．
点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．
二、动手操作题
例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（２）用这个图形证明勾股定理；
（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．
（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：．
∴．
∴．
（3）所拼图形如图4．
点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。
三、阅读理解题
例3
已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴
∴．
订正：∴
△ABC是直角三角形
．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴．
∴，∴或．
∴或．
∴
△ABC是等腰三角形或直角三角形
．
点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．
分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．
解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；
方案二：分别截取6cm，8cm，10cm；
方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．
点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．
五、实际应用题
例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？
分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172．于是作出图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决．
解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别为5和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得Rt△ABE．
同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D，则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．
∴=．
点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力．
勾股定理的逆定理典例分析
　　例1
如果一个三角形的三边长分别为
，则这三角形是直角三角形
　　分析：
验证
三边是否符合勾股定量的逆定理
　　证明：∵
　　∴
　　∵∠C＝
　　说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．
　　例2　已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝
，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积
　　分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．
　　解：连结AC
　　∵∠B＝
，AB＝3，BC＝4
　　∴
　　∴AC＝5
　　∵
　　∴
　　∴∠ACD＝
　　
　　说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．
　　例3　如图，已知：CD⊥AB于D，且有
　　求证：△ACB为直角三角形
　　分析：根据勾股定理的逆定理，只需证
即可
　　证明：∵CD⊥AB
　　∴
　　又∵
　　∴
　　∴△ABC为直角三角形
说明：充分利用勾股定理及其逆定理．