4.1 三角形
三角形的有关概念
三角形：由不在 上的三条线段 相接组成的图形叫三角形.
三角形的特征：
①不在 上；②三条 ；③首尾 相接；④三角形具有 性.
三角形中的三条重要线段：
①角平分线：三角形的一个 的平分线与这个角的 相交，这个角的 和交点之间的 叫做三角形的角平分线.【来源：21·世纪·教育·网】
②中线：在三角形中，连接一个 和它的对边 的线段叫做三角形的中线.
③高：从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ， 和垂足间的 叫做三角形的高.
三角形的边和角
三边关系：①三角形中任意两边之和 第三边.
②三角形任意两边之差 第三边.
三角形内、外角的关系：
①三角形的内角和等于 °.
②直角三角形的两个锐角 .
③三角形的一外角等于和它 的两个内角 ，三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.【版权所有：21教育】
④三角形的外角和为 °.
三角形的分类：
?（1）三角形按边分类： （2）三角形按角分类：
三角形 三角形
特殊三角形:
等腰三角形：有 相等的三角形称为等腰三角形. 都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）.
直角三角形：有一个角是 的三角形是直角三角形，它的两个锐角 .
三角形的面积：
1.一般计算公式
??? S= ；
2.性质：等底等高的三角形面积 .
???
考点一：三角形的概念
（2017春?深圳月考）至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
【解答】解：本题中三角形的分类是：
．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形．
变式跟进1（2016秋?惠城区校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的内角中至少有两个锐角
B．三角形的内角中至少有两个钝角
C．三角形的内角中至少有一个直角
D．三角形的内角中至少有一个钝角
（2017春?海珠区校级期中）观察下列图形，是三角形的是（ ）
A． B．
C. D．
【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．21*cnjy*com21世纪教育网版权所有
【解答】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以只有C符合，
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是三角形的定义，较简单，关键是准确理解掌握三角形定义．
变式跟进2（2016春?罗定市月考）图中三角形的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
考点二：三角形的稳定性
（2017春?平和县期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）www.21-cn-jy.com
A．两点之间，线段最短 B．直角三角形的两个锐角互余
C．三角形三个内角和等于180° D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．
变式跟进3（2017春?宝安区校级期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
考点三：三角形的三线：角平分线、中线和高线
（2017?滦南县校级模拟）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义进行解答即可．
【解答】解：A、B、D中线段BE不符合三角形高线的定义．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解答此题的关键．21·世纪*教育网
变式跟进4（2017春?抚宁县期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
（2017春?普宁市期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）21*cnjy*com
A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
变式跟进5（2017?杭州模拟）如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将△ABC分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是△ABC的（ ）21教育名师原创作品21·cn·jy·com
A．高 B．中线 C．角平分线 D．三边的垂直平分线
考点四：三角形的三边关系
（2017春?深圳期末）如果一个三角形的两边长分别为5，12，则第三边的长可以是（ ）
A．18 B．13 C．7 D．5
【分析】已知三角形的两边长分别为5和12，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．21教育网
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得12﹣5＜x＜12+5，即7＜x＜17．
因此，本题的第三边应满足7＜x＜17，把各项代入不等式符合的即为答案．
只有13符合不等式．
故选B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
变式跟进6（2016春?深圳期末）已知一个三角形的两边长分别为2cm和4cm，第三边的长为偶数，则第三边的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
考点五：三角形的内角和、外角和定理
（2016?深圳校级二模）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．21·世纪*教育网
【解答】解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．
变式跟进7（2016秋?深圳期末）在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．90° B．58° C．54° D．32°
（2014秋?深圳期末）如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
变式跟进8（2016?深圳模拟）根据下列图形提供的信息，一定能得到∠1＞∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
考点六：三角形的面积
（2017春?陆丰市校级月考）如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（ ）cm2．
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×40=20cm2，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×20=10cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．www.21-cn-jy.com21*cnjy*com
变式跟进9（2016秋?汕头校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
1．（2017?永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）2-1-c-n-j-y21cnjy.com
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
2．（2015?百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2017?台湾）如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（ ）
A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16
4．（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
6．（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
7．（2016?乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
二．填空题
8．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．
9．（2015?广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 ．
10．（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为 cm．
11．（2017?成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 ．
12．（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．
三．解答题
13．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：【来源：21·世纪·教育·网】
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．21cnjy.com【版权所有：21教育】
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）21·cn·jy·com21教育名师原创作品
结论： ．
14．（2007?北京）如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．
15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于 ．
（2）请证明以上命题．
一．选择题
1．（2017春?深圳期末）如图所示，图中共有几个三角形（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2016秋?深圳校级期末）如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．（2016秋?宝安区期末）在△ABC中，∠A﹣∠C=∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．（2016秋?东莞市期末）下列图形中不具有稳定性是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016春?深圳校级期中）两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则方法有（ ）21世纪教育网版权所有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
6.（2017春?深圳期末）若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（ ）www-2-1-cnjy-com2·1·c·n·j·y
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2017春?永新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法不正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】【来源：21cnj*y.co*m】
A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大
C．边AB的长度随之增大 D．BC边上的高随之增大
8．（2016春?槐荫区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
9．（2017春?保亭县期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是（ ）21教育网【出处：21教育名师】
A．AB B．AE C．AD D．AF
10．（2016春?曲江区校级期中）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，且满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断：2·1·c·n·j·y
①线段AG是△ABE的角平分线；
②△ABG与△DBG的面积相等；
③线段AE是△ABG的边BG上的高；
④∠1+∠FBC+∠FCB=90°．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
11．（2016秋?龙岗区期末）如图，共有 个三角形．
12．（2017春?宝安区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．
13．（2016秋?深圳期末）如图，已知图中小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的面积为 ．
14．（2016春?灵石县期末）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 ．
15．（2016春?深圳校级期中）在△ABC中，AB=4，AC=7，则△ABC的周长L的取值范围是 ．
16．（2016春?深圳校级期中）在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 度．
三．解答题
17．（2016春?深圳校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求∠C的度数．
18．（2016秋?东莞校级期中）若三角形三条边的长度依次为x，x﹣2，x+2，则x的取值范围是多少？【出处：21教育名师】
19．（2016春?深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长．
20．（2017春?宝安区校级期中）完成下列推理过程
已知：∠C+∠CBD=180°，∠ABD=85°，∠2=60°，求∠A的度数
解：∵∠C+∠CBD=180°（已知）
∴DB∥CE（ ）
∴∠1= （ ）
∵∠2=∠3（ ）
∴∠1=∠2=60° （ ）
又∵∠ABD=85°（已知）
∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠1= （三角形三内角和为180°）
21．（2016春?太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．21*cnjy*com
4.1 三角形
三角形的有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形.
三角形的特征：
①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。
三角形中的三条重要线段：
①角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。21教育网
②中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
③高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
三角形的边和角
三边关系：①三角形中任意两边之和大于第三边。
②三角形任意两边之差小于第三边。
三角形内、外角的关系：
①三角形的内角和等于180°。
②直角三角形的两个锐角互余。
③三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④三角形的外角和为360°。
三角形的分类：
?（1）三角形按边分类： （2）三角形按角分类：
三角形 三角形
特殊三角形:
等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。三条边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。
直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。
三角形的面积：
1.一般计算公式
??? ；
2.性质：等底等高的三角形面积相等。
???
考点一：三角形的概念
（2017春?深圳月考）至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
【解答】解：本题中三角形的分类是：
．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形．
变式跟进1（2016秋?惠城区校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的内角中至少有两个锐角
B．三角形的内角中至少有两个钝角
C．三角形的内角中至少有一个直角
D．三角形的内角中至少有一个钝角
【分析】利用三角形的特征分析．
【解答】解：根据三角形的内角和是180度可知：
A、三角形的内角中至少有两个锐角，正确；
B、三角形的内角中最多有1个钝角，故不对；
C、三角形的内角中最多有一个直角，故不对；
D、三角形的内角中最多有1个钝角．故不对；
故选A．
【点评】主要考查了三角形的定义和分类．
（2017春?海珠区校级期中）观察下列图形，是三角形的是（ ）
A． B．
C. D．
【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．
【解答】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以只有C符合，
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是三角形的定义，较简单，关键是准确理解掌握三角形定义．
变式跟进2（2016春?罗定市月考）图中三角形的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据三角形的定义，由图得：三角形有△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB共9个．
【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，
∴共9个三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
考点二：三角形的稳定性
（2017春?平和县期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．直角三角形的两个锐角互余
C．三角形三个内角和等于180° D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．
变式跟进3（2017春?宝安区校级期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（ ）【版权所有：21教育】
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【分析】根据三角形的稳定性可得答案．
【解答】解：如图所示：
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
考点三：三角形的三线：角平分线、中线和高线
（2017?滦南县校级模拟）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义进行解答即可．
【解答】解：A、B、D中线段BE不符合三角形高线的定义．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解答此题的关键．
变式跟进4（2017春?抚宁县期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
（2017春?普宁市期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
变式跟进5（2017?杭州模拟）如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将△ABC分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是△ABC的（ ）
A．高 B．中线 C．角平分线 D．三边的垂直平分线
【分析】根据S△OAD=S△OBD，得到AD=BD，同理得到答案．
【解答】解：∵S△OAD=S△OBD，
∴AD=BD，
∴CD是△ABC的中线，
同理，BF、AE也是△ABC的中线，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
考点四：三角形的三边关系
（2017春?深圳期末）如果一个三角形的两边长分别为5，12，则第三边的长可以是（ ）
A．18 B．13 C．7 D．5
【分析】已知三角形的两边长分别为5和12，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得12﹣5＜x＜12+5，即7＜x＜17．
因此，本题的第三边应满足7＜x＜17，把各项代入不等式符合的即为答案．
只有13符合不等式．
故选B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
变式跟进6（2016春?深圳期末）已知一个三角形的两边长分别为2cm和4cm，第三边的长为偶数，则第三边的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4cm．
故选C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．www-2-1-cnjy-com
考点五：三角形的内角和、外角和定理
（2016?深圳校级二模）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．
【解答】解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．
变式跟进7（2016秋?深圳期末）在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90° B．58° C．54° D．32°
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠C，
∵∠B=2∠C﹣6°，
∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，
∴∠C=32°．
故选D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．
（2014秋?深圳期末）如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
变式跟进8（2016?深圳模拟）根据下列图形提供的信息，一定能得到∠1＞∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据对顶角的性质、两角互余的性质、三角形外角的性质及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．21*cnjy*com【出处：21教育名师】
【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项错误；
B、∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，故本选项错误；
C、∵∠1是三角形的外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；
D、∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．
考点六：三角形的面积
（2017春?陆丰市校级月考）如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（ ）cm2．
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×40=20cm2，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×20=10cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．21cnjy.com
变式跟进9（2016秋?汕头校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】由点P为AD的中点，可得△ABP的面积=S△ABD，S△CPD=S△ACD，于是得到结论．
【解答】解：∵点P是AD的中点，
∴△ABP的面积=S△ABD，S△CPD=S△ACD，
∴S△BPC=S△ABC=2cm2，
故选C．
【点评】本题考查了三角形的面积的计算，熟记等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．
1．（2017?永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点．
2．（2015?百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A正确，B、C、D错误．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．21·世纪*教育网
3．（2017?台湾）如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（ ）
A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16
【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．
【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，
∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，
∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，
故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法，正确利用三角形边长关系得出面积比是解题关键．
4．（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B． C． D．2
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
5．（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
=a+b﹣c+c﹣a﹣b=0．
故选D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
6．（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，
∴6x=180°，
∴x=30°，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．
7．（2016?乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）21cnjy.com
A．35° B．95° C．85° D．75°
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．21教育名师原创作品
二．填空题
8．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 20 个．
【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．
【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；
2，7，8；2，8，8；
3，6，8；3，7，8；3，8，8；
4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；
5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；
6，6，8；6，7，8；6，8，8；
7，7，8；7，8，8；
8，8，8；
故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
9．（2015?广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．21教育名师原创作品21*cnjy*com
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，
∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，
∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．
故答案为4．方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1=S2，S3=S4，S5=S6，S1+S2+S3=S4+S5+S6①，S2+S3+S4=S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1=S4，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2，故阴影部分的面积为4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．
10．（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为 4 cm．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．
【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE==2，
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，
∴AH是中线，又BD⊥CE，
∴OH=BC=2，
∵O是△ABC的重心，
∴AO=2OH=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
11．（2017?成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 40° ．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠A的度数为：40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
12．（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．2·1·c·n·j·y
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
三．解答题
13．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．21世纪教育网版权所有
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ∠BOC=90°﹣∠A ．
【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
14．（2007?北京）如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．
【分析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；
（2）可通过构建全等三角形来求解．
分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．
那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．
【解答】（1）解：如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，
这样，△ABD和△AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，
那么△ADC和△ABE的面积就相等．
（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF与AB交于G点．
∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD
在△AEC和△FBD中，又CE=BD，
∴△AEC≌△FBD，
∴AC=FD，AE=FB，
在△AGD中，AG+DG＞AD，
在△BFG中，BG+FG＞FB，
即AB+FD＞AD+FB
∴AB+AC＞AD+AE．
【点评】本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．
本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．
15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于 180° ．
（2）请证明以上命题．
【分析】（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；
（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．www.21-cn-jy.com
【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．
故答案为：180°；
（2）已知：如图所示的△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：过点C作CF∥AB，
∵CF∥AB，
∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，
∵∠1+∠2=∠BCF，
∴∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
一．选择题
1．（2017春?深圳期末）如图所示，图中共有几个三角形（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先数单个三角形共4个．再数两个三角形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共4个三角形．
【解答】解：4+4=8（个）．
故选C
【点评】此题考查了组合图形中三角形的计数，注意按一定的顺序数，做到不重复不遗漏．
2．（2016秋?深圳校级期末）如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【分析】先根据邻补角求出∠BAC+∠BCA，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：如图：
∵∠EAC+∠FCA=270°，
∴∠BAC+∠ACB=180°﹣∠EAC+180°﹣∠FCA=360°﹣（∠EAC+∠FCA）=90°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=90°，
即△ABC是直角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出∠BAC+∠ACB的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°21教育网21*cnjy*com
3．（2016秋?宝安区期末）在△ABC中，∠A﹣∠C=∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+∠B=180°﹣∠C，由∠A=∠B﹣∠C变形得∠A+∠B=∠C，则180°﹣∠C=∠C，解得∠C=90°，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C+∠B=180°﹣∠A，
而∠A﹣∠C=∠B，
∴∠C+∠B=∠A，
∴180°﹣∠A=∠A，解得∠A=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的判定，熟记掌握三角形的内角和是解题的关键．21·世纪*教育网2-1-c-n-j-y
4．（2016秋?东莞市期末）下列图形中不具有稳定性是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然B选项中有四边形，不具有稳定性．
故选B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形稳定性进行判断．
5．（2016春?深圳校级期中）两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】根据三角形的三边关系可求得第三边的取值范围，再求得其中的偶数的个数即可求得答案．
【解答】解：
设第三根木棒的长度为xcm，
由三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，
即2＜x＜12，
又x为偶数，
∴x的值为4，6，8，10，共四种，
故选B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解题的关键．
6.（2017春?深圳期末）若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”得出m、n、p的关系，再判断三角形的类型．
【解答】解：∵|m﹣n|+（n﹣p）2=0，
∴m﹣n=0，n﹣p=0，
∴m=n，n=p，
∴m=n=p，
∴三角形ABC为等边三角形．
故选B．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角形的性质，熟练掌握绝对值、非负数等考点的运算．
7．（2017春?永新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法不正确的是（ ）
A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大
C．边AB的长度随之增大 D．BC边上的高随之增大
【分析】根据三角形的面积公式进行解答．
【解答】解：A、S△ABC=BC?AC，则BC越长，该三角形的面积越大．故A正确；
B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；
C、如图，随着点B的移动边AB的长度随之增大．故C正确；
D、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积．解题时，要注意“数形结合”数学思想的应用．
8．（2016春?槐荫区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．20° B．30° C．10° D．15°
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，
∴∠B=40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADE=70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD=20°．
故选A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
9．（2017春?保亭县期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是（ ）
A．AB B．AE C．AD D．AF
【分析】首先根据三角形的高的定义得出AD⊥BC，再根据垂线段最短求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AD是高，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，
∴AD＜AB，AD＜AE，AD＜AF，
故选C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高以及垂线段最短的性质，掌握定义与性质是解题的关键．
10．（2016春?曲江区校级期中）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，且满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断：
①线段AG是△ABE的角平分线；
②△ABG与△DBG的面积相等；
③线段AE是△ABG的边BG上的高；
④∠1+∠FBC+∠FCB=90°．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
②等底同高的两个三角形的面积相等．
③根据高线的定义进行判断．
④根据外角与内角的关系进行判断．
【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC．
∴AG是△ABE的角平分线，
故①正确；
②∵G为AD中点，
∴AG=DG，
∴△ABG与△DBG的面积相等．
故②正确；
③∵BE⊥AC，
∴AE⊥BG，
∴线段AE是△ABG的边BG上的高．
故③正确；
④根据三角形外角的性质，∠1+∠AFH=∠1+∠FBC+∠FCB=90°，所以∠1+∠FBC+∠FCB=90°，
故④正确．
综上所述，正确的个数是4个．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
二．填空题
11．（2016秋?龙岗区期末）如图，共有 12 个三角形．
【分析】在上半部分，按照从左到右的顺序分别找出单个的三角形和复合的三角形的个数，同理考虑横截线的三角形的个数与上半部分的三角形的个数相同，所以乘以2即可．
【解答】解：上半部分：单个的三角形有3个，复合的三角形有2+1=3个，
所以上半部分三角形的个数为3+3=6个，
同理考虑横截线的三角形的个数也是6个．
故共有12个三角形．
【点评】本题把三角形分成上半部分和上下合成一个整体考虑使求解变得较为简单，要按照一定的顺序找三角形才能做到不重不漏．
12．（2017春?宝安区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= 50° ．
【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD
=90°﹣30°﹣10°=50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．
13．（2016秋?深圳期末）如图，已知图中小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的面积为 5 ．
【分析】根据图示，用边长是4的正方形的面积减去两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积，求出△ABC的面积为多少即可．
【解答】解：△ABC的面积等于边长是4的正方形的面积与两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积的差，
4×4﹣2×1÷2﹣4×2÷2﹣4×3÷2
=16﹣1﹣4﹣6
=5
∴△ABC的面积为5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出边长是4的正方形的面积和两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积各是多少．
14．（2016春?灵石县期末）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
15．（2016春?深圳校级期中）在△ABC中，AB=4，AC=7，则△ABC的周长L的取值范围是 14＜L＜22 ．
【分析】先根据三角形的三边关系，可以得到BC的取值范围，再利用不等式的性质即可求得△ABC的周长L的取值范围．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，AC=7，
∴7﹣4＜BC＜7+4，
∴3＜BC＜11，
∵△ABC的周长C=AB+AC+BC=7+6+BC=13+BC，
∴14＜L＜22．
故答案为：14＜L＜22．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．（2016春?深圳校级期中）在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 130 度．
【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB度数，再利用内角和定理求出所求角度数即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
则∠BOC=130°，
故答案为：130
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
三．解答题
17．（2016春?深圳校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求∠C的度数．www.21-cn-jy.com
【分析】根据三角形内角和定理，求出∠BAC即可解决问题．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=40°，∠BAC=80°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAE=40°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质．高的性质等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，学会转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（2016秋?东莞校级期中）若三角形三条边的长度依次为x，x﹣2，x+2，则x的取值范围是多少？【出处：21教育名师】【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】根据三角形的三边关系定理得出不等式组，求出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系得：且x＞0，
解得：x＞4．
即x的取值范围是x＞4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，能正确根据三角形三边关系定理得出不等式组是解此题的关键．21·cn·jy·com【版权所有：21教育】
19．（2016春?深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长．
【分析】根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高．
【解答】解：（1）△ABC的面积=BC×AC=30cm2；
（2）∵△ABC的面积=AB×CD=30，
∴CD=30÷AB=cm．
【点评】本题考查直角三角形的面积的计算方法．
20．（2017春?宝安区校级期中）完成下列推理过程
已知：∠C+∠CBD=180°，∠ABD=85°，∠2=60°，求∠A的度数
解：∵∠C+∠CBD=180°（已知）
∴DB∥CE（ 同旁内角互补、两直线平行 ）
∴∠1= ∠3 （ 两直线平行、同位角相等 ）
∵∠2=∠3（ 对顶角相等 ）
∴∠1=∠2=60° （ 等量代换 ）
又∵∠ABD=85°（已知）
∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠1= 35° （三角形三内角和为180°）
【分析】根据平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理填空即可．
【解答】解：∵∠C+∠CBD=180°（已知）
∴DB∥CE（同旁内角互补、两直线平行）
∴∠1=∠3（两直线平行、同位角相等）
∵∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2=60° （等量代换）
又∵∠ABD=85°（已知）
∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠1=35°（三角形三内角和为180°），
故答案为：同旁内角互补、两直线平行；∠3；两直线平行、同位角相等；对顶角相等；等量代换；35°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、平行线的性质和判定，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．2·1·c·n·j·y21·cn·jy·com
21．（2016春?太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．21*cnjy*com
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=∠MON=20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=70°，
若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20
若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35
若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
