4.2 全等三角形
1、全等图形、全等三角形：
1.全等图形：能够完全 重合 的两个图形就是全等图形。
2.全等图形的性质：全等多边形的对应 边 、对应 角 分别 相等 。
3.全等三角形：如果两个三角形的 边 、 角 分别对应 相等 ，那么这两个三角形全等。
4.全等三角形性质：全等三角形对应边上的 高 ， 中线 相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。
2、全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定：
①边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）。
②边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)。
③角边角公理：两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”)。
④角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”)。
2. 直角三角形全等的判定
①利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL”)．
3、角平分线的性质及判定：
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
考点一：全等三角形的概念
（2017春 山亭区期末）下列判断正确的个数是（ ）
（1）能够完全重合的两个图形全等；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；
（4）全等三角形对应边相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用全等图形的概念以及全等三角形的判定方法进而判断得出即可．
【解答】解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等，是一角的对边或两角的夹边对应相等，正确；
（4）全等三角形对应边相等，正确．
所以有3个判断正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形的概念与性质，正确掌握判定两三角形全等的方法是解题关键．
变式跟进1（2016春 井陉县期末）下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据全等三角形的概念：能够完 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；21·cn·jy·com
（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，根据对应关系可知：相等的角不一定是对应角，相等的边不一定是对应边，故（2）错误；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．
综上可得只有（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
考点二：全等三角形的性质
（2016春 福田区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（ ）
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A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵△ADE≌△BDE≌△BDC，
∴∠ADE=∠BDE=∠BDC，∠AED=∠BED，
又∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，∠AED+∠BED=180°，
∴∠ADE=60°，∠AED=90°
∴∠B=30°．
故选（D）
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【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及平角的定义，得出对应角相等是解题关键．
变式跟进2（2017 邵东县三模）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据全等三角形的性质得到AB=BE=EC，∠ABC=∠DBE=∠C，根据直角三角形的判定得到∠A=90°，计算即可．
【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C，
∴∠A=90°，
∴∠C=30°，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
考点三：全等三角形的判定
（2016秋 建昌县期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和一条斜边对应相等
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式跟进3（2017春 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )东平县期末）如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
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A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
【分析】由EB=CF，可得出EF= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A正确．
B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B错误．
C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．
D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（2016 深圳二模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD，其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故①正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故②正确；
四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD，
故③正确；
故选D．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．21cnjy.com
变式跟进4（2017春 宝安区校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，已知∠CAB=∠DBA，添加一个条件使△CAB≌△DBA，以下错误的是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠CBA=∠DAB B．∠C=∠D C．AC=BD D．CB=DA
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠CAB=∠DBA，AB=BA，
A、在△CAB与△DBA中， ( http: / / www.21cnjy.com )，△CAB≌△DBA（ASA），故本选项正确；
B、在△CAB与△DBA中， ( http: / / www.21cnjy.com )，△CAB≌△DBA（AAS），故本选项正确；
C、在△CAB与△DBA中， ( http: / / www.21cnjy.com )，△CAB≌△DBA（SAS），故本选项正确；
D、∠CAB=∠DBA，AB=BA，CB=DA，（SSA）三角形不全等，故本选项错误时；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
（2017 硚口区校级模拟）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，
求证：△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据AB∥DE，BC∥EF ( http: / / www.21cnjy.com )，可证∠A=∠EDF，∠F=∠BCA；根据AD=CF，可证AC=DF．然后利用ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF
∴∠A=∠EDF，∠F=∠BCA
又∵AD=CF
∴AC=DF
∴△ABC≌△DEF．（ASA）
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
变式跟进5（2017 陕西模拟） ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由∠BAE=∠BCE=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．
【解答】证明：
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠ACB，
∴∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=180°，
又∠DEC+∠CEA=180°，
∴∠B=∠DEC，
在△ABC和△DEC中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
考点四：角平分线的性质
（2017春 龙华区校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
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A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【分析】根据题意利用AAS定理证明两个三角形全等，得到答案．
【解答】解：在△APD和△APE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△APD≌△APE（AAS），
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握AAS定理证明两个三角形全等是解题的关键．
变式跟进6（2016春 深圳期 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中）已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PB=PC，则下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P是AC、AB两边上中垂线的交点
C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点
D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点
【分析】分别作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点．
【解答】解：作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点，
故选C．
【点评】本题考角平分线的性质，熟知角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
考点五：全等三角形的应用
（2017春 景德镇期末）小明家所在的小区有 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）利用两边切夹角相等的两三角形全等，即可得出答案；
（2）利用CE=CA，得出AE=240米，再利用DE=AB即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在△ACB和△ECD中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB；
（2）如图，连接AD，AD=200米，AC=120米，
∴AE=240米，
∴40米＜DE＜440米，
∴40米＜AB＜440米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据已知得出△ACB≌△ECD是解题关键．
变式跟进7（2017春 景泰县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
一．选择题
1．（2017 南山区）如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30° B．50° C．60° D．100°
【分析】由图形可知：∠E应该是个钝角，那么根据△ABC≌△DEF，∠E=∠B=180°﹣50°﹣30°=100°由此解出答案．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=180°﹣50°﹣30°=100°．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理；要注意全等三角形中所对应的角分别是哪些，不要搞混淆，然后根据三角形内角和来求解．【出处：21教育名师】
2．（2016 厦门）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）
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A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．
【解答】解：
∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴∠DCE=∠B，
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的各种性质是解题关键．
3．（2016 永州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．（2016 宜昌）如图，在方格纸 ( http: / / www.21cnjy.com )中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．
5．（2017 滨州）如图，点P为定角 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2017 枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
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A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AB DE= ( http: / / www.21cnjy.com )×15×4=30．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
二．填空题
7．（2015 柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= 5 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
则EF=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．
8．（2017 达州）△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 1＜m＜4 ．21教育名师原创作品2·1·c·n·j·y
【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线的作法是关键．
9．（2017 黑龙江）如图，BC∥EF，A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可） ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】本题要判定△ABC≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．www-2-1-cnjy-com
10．（2017 娄底）如图 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 AB=DC ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
11．（2016 西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．
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【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE= ( http: / / www.21cnjy.com )PC= ( http: / / www.21cnjy.com )×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
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【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
12．（2017 新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：【版权所有：21教育】
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AO+ ( http: / / www.21cnjy.com )BD CO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD （AO+CO）= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，结论①可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．
三．解答题
13．（2017 广州）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
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【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE
【解答】解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ADF≌△BCE（SAS）
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证AF=BE，本题属于基础题型．
14．（2017 重庆）在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．21世纪教育网版权所有【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，若AB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．21*cnjy*com
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【分析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△B ( http: / / www.21cnjy.com )MD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．
【解答】解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
则CM=BC﹣BM=5﹣3=2，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．
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由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=CE=BG，
因此∠BDG=∠G=∠E．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21*cnjy*com
15．（2015 株洲）如 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
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【分析】（1）过点O作OM ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；2·1·c·n·j·y
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CE=2，
∴OE=2．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．21教育名师原创作品
16．（2015 梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）利用SSS定理证得结论；
（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．
【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABE=60°，
∴AE=tan60° x= ( http: / / www.21cnjy.com )x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，
∴∠BCA=∠DCA=45°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )x+x=4，
∴x=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
∴BE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．21*cnjy*com
17．（2015 珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）根据等腰三角形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DFB中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
△ABF≌△DFB（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF；
（2）证明：如图：
( http: / / www.21cnjy.com )，
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．2-1-c-n-j-y21cnjy.com
一、选择题
1．（2017秋 微山县期中）下列说法中，错误的是（ ）
①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图形是全等形，那么它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等形；④边数相同的图形一定能互相重合．
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的，反之，是错误的，如②是正确的，①③④是错误的．21·世纪*教育网
【解答】解：①错误，不是三角形的图形也能全等；
②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，两个边长不等的正方形不全等．
综上可得①③④错误．
故选A．
【点评】本题考查了全等形的概念和特 ( http: / / www.21cnjy.com )点，属于基础题，解答本题的关键是掌握全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，难度一般．21教育网2-1-c-n-j-y
2．（2017春 深圳期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，故①正确；
∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；
EF=BC，故③正确；
∠EAB=∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
3．（2017 满洲里市模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．（S、S、S） B．（S、A、S）
C．（A、S、A） D．（A、A、S）
【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【解答】解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选A．
【点评】考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．
4．（2017 安徽二模）如图，边 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com )a B．a C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】取CB的中点G，连接 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．21·世纪*教育网
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ( http: / / www.21cnjy.com )×60°=30°，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )×2a=a，
∴MG= ( http: / / www.21cnjy.com )CG= ( http: / / www.21cnjy.com )×a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴HN= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了旋转的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
5．（2017春 龙岗区二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】在△ADC和△ABC中，由于 ( http: / / www.21cnjy.com )AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
6．（2017春 惠山区校级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
【分析】根据平行线的性质可得∠ACB=∠DEF，根据题意可得AB=DF，∠ABC=∠DFE=90°，然后利用AAS判定△ABC≌△DFE．
【解答】解：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEF，
∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴AB=DF，∠ABC=∠DFE=90°，
在△ACB和△DEF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DFE（AAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．
二、填空题
7．（2017春 宝安区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 225° ．
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【分析】首先判定△ABC≌△AEF ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，然后可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
【解答】解：在△ABC和△AEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在△ABD和△AEH中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABD≌△AEH（SAS），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
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【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等．
8．（2016秋 东莞市期末）如图，△ABC≌△A'CB′，∠BCB'=32°，则∠ACA′的度数为 32° ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠A′C′B′，然后求出∠ACA=∠BCB'．
【解答】解：∵△ABC≌△A'CB，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB'，
∵∠BCB'=32°，
∴∠ACA的度数为32°．
故答案为：32°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并求出∠ACA=∠BCB'是解题的关键．
9．（2016秋 龙湖区期末）如图，己知∠1=∠2，要判定△ABD≌△ACD，则需要补充的一个条件为 BD=CD ．21·cn·jy·com
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【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要添加一个条件，符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：BD=CD，
理由是：∵在△ABD和△ACD中
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∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
10．（2017春 永定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 AC=BD ．（写一种即可）
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【分析】根据“HL”添加AC=BD或BC=AD均可．
【解答】解：可添加AC=BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC=BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
11．（2017春 章丘市 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )校级期中）如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D= 40 度，∠EAD= 110 度．【版权所有：21教育】
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【分析】先运用三角形全等的性质求出∠D和∠E的度数，再运用三角形内角和即可求∠EAD．
【解答】解：△ABC中，∠C=40°，∠B=30°
∵△ABC≌△AED
∴∠D=∠C=40°，∠E=∠B=30°
∴∠EAD=180°﹣∠D﹣∠E=110°．
【点评】本题用考查知识点为：全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质及对应角的找法．书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置，也可根据此点来找全等三角形的对应关系．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．
12．（2017春 建平县期末）小 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 2 块．
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【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13．（2017春 姜堰区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG=DF．若AE=4cm，则AG= 2或6 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由AE=4且F为AE的中点知A ( http: / / www.21cnjy.com )F=EF=2cm，证Rt△DEF≌Rt△DHG得EF=HG=2cm，证Rt△ADE≌Rt△ADH得AH=AE=4cm，分点G在AH和CH上分别求解可得．
【解答】解：∵AE=4cm、F为AE的中点，
∴AF=EF=2cm，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠DEF=∠DHG=90°，即△DEF和△DHG均为直角三角形，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴EF=HG=2cm，
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AH=AE=4cm，
如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
当点G在AH上时，AG=AH﹣HG=2cm；
当点G在CH上时，AG=AH+HG=6cm；
故答案为：2或6．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键．
二．解答题
14．（2016秋 西城区校级期中）将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：如图所示，（答案不唯一）
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．
15．（2017 裕华区校级模拟）已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，
求证：△AOB≌△DOC．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC，然后利用“角角边”证明即可．
【解答】证明：在△AOB和△DOC中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以，△AOB≌△DOC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于根据对顶角相等确定出三角形全等的条件．
16．（2017 裕华区校级模拟）已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．
【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，
∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B=∠D．
∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，
∴∠BAF+∠B=90°．
即DF⊥BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．
17．（2017 福安市校级模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由于DE⊥AB，易得∠A ( http: / / www.21cnjy.com )ED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．【来源：21·世纪·教育·网】
18．（2017春 漳州期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE=8，BC=5时，线段AE的长为 3 ；
（2）已知∠D=35°，∠C=60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB=DE=8，BE=BC=5，即可求出答案；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；
②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5，
∴AB=DE=8，BE=BC=5，
∴AE=AB﹣BE=8﹣5=3，
故答案为：3；
（2）①∵△ABC≌△DEB
∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=85°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBE=85°﹣60°=25°；
②∵∠AEF是△DBE的外角，
∴∠AEF=∠D+∠DBE=35°+60°=95°，
∵∠AFD是△AEF的外角，
∴∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°．
【点评】本题考查了全等三 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19．（2017春 景德镇期末）小明家所 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．【来源：21cnj*y.co*m】21教育网
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）利用两边切夹角相等的两三角形全等，即可得出答案；
（2）利用CE=CA，得出AE=240米，再利用DE=AB即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在△ACB和△ECD中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB；
（2）如图，连接AD，
AD=200米，AC=120米，
∴AE=240米，
∴40米＜DE＜440米，
∴40米＜AB＜440米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出△ACB≌△ECD是解题关键．
20．（2017春 埇桥区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好阅读完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语CD，创设数学情境如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB=20米，根据上述信息杨阳同学求出了标语CD的长度．（请将杨阳同学的解答过程补充完整）
解：因为AB∥DC，
所以∠ABO=∠CDO（依据是 两直线平行，内错角相等 ）
又因为DO⊥CD，
所以∠CDO=90°，
所以∠ ABO =90°，
所以BO⊥AB．
因为相邻两平行线间的距离相等，
所以 BO = DO ．
在△BOA和△DOC中，
∠ABO=∠CDO，
BO = DO ，
∠AOB=∠COD，（依据是 对顶角相等 ）
所以△BOA≌△DOC（ ASA ）．
所以CD=AB=20米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由AB∥CD，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：因为AB∥DC，
所以∠ABO=∠CDO（依据是两直线平行，内错角相等）
又因为DO⊥CD，
所以∠CDO=90°，
所以∠ABO=90°，
所以BO⊥AB．
因为相邻两平行线间的距离相等，
所以 BO=DO，
在△BOA和△DOC中，
∠ABO=∠CDO，
BO=DO，
∠AOB=∠COD，（依据是对顶角相等）
所以△BOA≌△DOC（ASA）．
所以CD=AB=20米．
故答案为：两直线平行，内错角相等；ABO；BO；DO；BO；DO；对顶角相等；ASA．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，关键是掌握全等三角形的判定方法．
知识回顾
考点精讲
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7
真题在线
名校模拟
234.2 全等三角形
全等图形、全等三角形：
全等图形：能够完全 的两个图形就是全等图形。
全等图形的性质：全等多边形的对应 、对应 分别 。
全等三角形：如果两个三角形的 、 分别对应 ，那么这两个三角形全等。
全等三角形性质：全等三角形对应边上的 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， 相等，对应角的 相等；全等三角形的 ， 也都相等。21教育名师原创作品21*cnjy*com
全等三角形的判定：
一般三角形全等的判定：
①边边边公理： 对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“ ”）。
②边角边公理：两 和它们的 对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“ ”)。
③角边角公理：两个 和它们 对应相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ ”)。
④角角边定理：有 和其中一角的 对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“ ”)。
直角三角形全等的判定
①利用一般三角形全等的判定都能证明 ．
② 和一条 对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“ ”)．
角平分线的性质及判定：
性质定理：角平分线上的点到该角 相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的 上。
考点一：全等三角形的概念
（2017春 山亭区期末）下列判断正确的个数是（ ）
（1）能够完全重合的两个图形全等；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；
（4）全等三角形对应边相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用全等图形的概念以及全等三角形的判定方法进而判断得出即可．
【解答】解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等，是一角的对边或两角的夹边对应相等，正确；
（4）全等三角形对应边相等，正确．
所以有3个判断正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形的概念与性质，正确掌握判定两三角形全等的方法是解题关键．
变式跟进1（2016春 井陉县期末）下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
考点二：全等三角形的性质
（2016春 福田区期末）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（ ）21cnjy.com21·世纪*教育网
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A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵△ADE≌△BDE≌△BDC，
∴∠ADE=∠BDE=∠BDC，∠AED=∠BED，
又∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，∠AED+∠BED=180°，
∴∠ADE=60°，∠AED=90°
∴∠B=30°．
故选（D）
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【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及平角的定义，得出对应角相等是解题关键．
变式跟进2（2017 邵东县三模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
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A．15° B．20° C．25° D．30°
考点三：全等三角形的判定
（2016秋 建昌县期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和一条斜边对应相等
【分析】直角三角形全等的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【来源：21·世纪·教育·网】【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法 ( http: / / www.21cnjy.com )，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式跟进3（2017春 东平县期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
（2016 深圳二模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD，其中正确的结论有（ ）
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
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∴△ABD≌△CBD（SSS），
故①正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故②正确；
四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD，
故③正确；
故选D．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．2·1·c·n·j·ywww-2-1-cnjy-com
变式跟进4（2017春 宝安区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，已知∠CAB=∠DBA，添加一个条件使△CAB≌△DBA，以下错误的是（ ）21*cnjy*com
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A．∠CBA=∠DAB B．∠C=∠D C．AC=BD D．CB=DA
（2017 硚口区校级模拟）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，
求证：△ABC≌△DEF．
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【分析】根据AB∥DE，BC∥EF，可证∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=∠EDF，∠F=∠BCA；根据AD=CF，可证AC=DF．然后利用ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF
∴∠A=∠EDF，∠F=∠BCA
又∵AD=CF
∴AC=DF
∴△ABC≌△DEF．（ASA）
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
变式跟进5（2017 陕西 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )模拟）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．【版权所有：21教育】
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考点四：角平分线的性质
（2017春 龙华区校级期末）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
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A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【分析】根据题意利用AAS定理证明两个三角形全等，得到答案．
【解答】解：在△APD和△APE中，
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∴△APD≌△APE（AAS），
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握AAS定理证明两个三角形全等是解题的关键．
变式跟进6（2016春 深圳期中） ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PB=PC，则下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P是AC、AB两边上中垂线的交点
C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点
D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点
考点五：全等三角形的应用
（2017春 景德镇期末）小明家所 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？21·cn·jy·com
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【分析】（1）利用两边切夹角相等的两三角形全等，即可得出答案；
（2）利用CE=CA，得出AE=240米，再利用DE=AB即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在△ACB和△ECD中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB；
（2）如图，连接AD，AD=200米，AC=120米，
∴AE=240米，
∴40米＜DE＜440米，
∴40米＜AB＜440米．
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【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据已知得出△ACB≌△ECD是解题关键．
变式跟进7（2017春 景泰县期末）小强为了 ( http: / / www.21cnjy.com )测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源：21·世纪·教育·网】
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一．选择题
1．（2017 南山区）如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）
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A．30° B．50° C．60° D．100°
2．（2016 厦门）如图 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）
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A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
3．（2016 永州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
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A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
4．（2016 宜昌）如图，在方格纸中 ( http: / / www.21cnjy.com )，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2017 滨州）如图，点P为定角 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2017 枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
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A．15 B．30 C．45 D．60
二．填空题
7．（2015 柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．
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8．（2017 达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ．
9．（2017 黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．
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10．（2017 娄底）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
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11．（2016 西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
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12．（2017 新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
正确的是 （填写所有正确结论的序号）
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三．解答题
13．（2017 广州）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
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14．（2017 重庆）在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．2-1-c-n-j-y
（1）如图1，若AB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
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15．（2015 株洲）如图，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
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16．（2015 梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
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17．（2015 珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．2-1-c-n-j-y21cnjy.com
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一、选择题
1．（2017秋 微山县期中）下列说法中，错误的是（ ）
①只有两个三角形才能完全重合；②如果两 ( http: / / www.21cnjy.com )个图形是全等形，那么它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等形；④边数相同的图形一定能互相重合．
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
2．（2017春 深圳期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2017 满洲里市模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）21教育网2·1·c·n·j·y
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A．（S、S、S） B．（S、A、S）
C．（A、S、A） D．（A、A、S）
4．（2017 安徽二模）如图，边长为 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）21·cn·jy·com【出处：21教育名师】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com )a B．a C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017春 龙岗区二模）如图，小敏做 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
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A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
6．（2017春 惠山区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
二、填空题
7．（2017春 宝安区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 ．21·世纪*教育网【版权所有：21教育】
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8．（2016秋 东莞市期末）如图，△ABC≌△A'CB′，∠BCB'=32°，则∠ACA′的度数为 ．
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9．（2016秋 龙湖区期末）如图，己知∠1=∠2，要判定△ABD≌△ACD，则需要补充的一个条件为 ．
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10．（2017春 永定区期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 ．（写一种即可）
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11．（2017春 章丘市校级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D= 度，∠EAD= 度．
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12．（2017春 建平县期末）小明不慎 ( http: / / www.21cnjy.com )将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
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13．（2017春 姜堰区期末）如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG=DF．若AE=4cm，则AG= cm．
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二．解答题
14．（2016秋 西城区校级期中）将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
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15．（2017 裕华区校级模拟）已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，
求证：△AOB≌△DOC．
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16．（2017 裕华区校级模拟）已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
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17．（2017 福安市校级模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
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18．（2017春 漳州期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE=8，BC=5时，线段AE的长为 ；
（2）已知∠D=35°，∠C=60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．
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19．（2017春 景德镇期末）小明 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．【来源：21cnj*y.co*m】21教育网
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？【出处：21教育名师】www.21-cn-jy.com
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20．（2017春 埇桥区期末）杨阳同 ( http: / / www.21cnjy.com )学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好阅读完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语CD，创设数学情境如下：21*cnjy*com21世纪教育网版权所有
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB=20米，根据上述信息杨阳同学求出了标语CD的长度．（请将杨阳同学的解答过程补充完整）21教育名师原创作品
解：因为AB∥DC，
所以∠ABO=∠CDO（依据是 ）
又因为DO⊥CD，
所以∠CDO=90°，
所以∠ =90°，
所以BO⊥AB．
因为相邻两平行线间的距离相等，
所以 = ．
在△BOA和△DOC中，∠ABO=∠CDO， = ，
∠AOB=∠COD，（依据是 ）
所以△BOA≌△DOC（ ）．
所以CD=AB=20米．
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