4.4 相似三角形
有关相似形的概念
1.定义：形状相同的图形叫 ，在相似多边形中，最简单的是 .
2.性质：如果两个边数相同的多边形的 相等，对应 成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做 (也叫 )．
比例线段的相关概念、性质与定理
1.定义：如果线段a与b的比值等于c与d的比值，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称 ，比例式为 ．2·1·c·n·j·y
2.等比性质：如果 ，那么
3. 合并性质： .
4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC、BC（AC>BC）,使AC是AB和BC的 ，即AC2= × ，叫做把线段AB ，点C叫做线段AB的 ，其中.【版权所有：21教育】
平行线分线段成比例定理?
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 。?
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成 .
相似三角形：?
1.定义：对应 相等，对应边成 的三角形叫做相似三角形。?
2.性质：（1）相似三角形的对应 相等；?
????（2）相似三角形的对应线段( 、高、 、 )成比例；?
（3）相似三角形的周长比等于 ；
（4）面积比等于相似比的 。
3. 判定定理：?
1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的 )相交，所构成的三角形与原三角形相似. 21教育名师原创作品
2、判定定理1： 对应相等，两三角形相似．（简称为 ）
3、判定定理2：两边对应成比例且 相等，两三角形相似．（简称为 ）
4、判定定理3：三边对应成 ，两三角形相似．（简称为 ）
5、判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条 与另一个直角三角形的 和一条 对应成比例，那么这两个直角三角形相似，（简称为 ）
???
考点一：相似图形的定义与性质
（2017?普陀区一模）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形，难度不大．
变式跟进1（2016?罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个矩形 B．两个正方形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
（2016秋?福田区期末）如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A．1：2.5 B．1：5 C．1：25 D．1：
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的周长的比是1：5，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：5，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：25；
故选C．
【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
变式跟进2（2016秋?太仓市校级期中）如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）2-1-c-n-j-y21世纪教育网版权所有
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
考点二：等比性质、比例线段、黄金分割
（2016秋?深圳期末）若2a=3b，则a：b等于（ ）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计算，只有A选项符合题意．
【解答】解：∵2a=3b，
∴a：b=3：2．
故选A．
【点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质．
变式跟进3（2016秋?福田区校级期中）已知：，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x=2，y=3 B．2x=3y C． D．
（2016秋?揭西县校级期中）下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4=2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选B．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．21*cnjy*com
变式跟进4（2016秋?茂南区校级期中）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．a=3 cm，b=5 cm，c=14 cm，d=8cm
B．a=6 cm，b=8 cm，c=3 cm，d=4cm
C．a=3 cm，b=5 cm，c=9 cm，d=12cm
D．a=2 cm，b=3 cm，c=6cm，d=12cm
（2017?石家庄模拟）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
变式跟进5（2017?长宁区二模）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A．AP2=AB?PB B．AB2=AP?PB C．PB2=AP?AB D．AP2+BP2=AB2
考点三：相似三角形的性质
（2016?梅州校级模拟）△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）www.21-cn-jy.com21*cnjy*com
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．30 cm
【分析】由相似三角形的性质可求得△DEF的最短边和最长边的比为3：5，则可求得答案．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF相似，
∴△DEF的三边之比为3：4：5，
∴△DEF的最短边和最长边的比为3：5，
设最长边为x，则3：5=9：x，解得x=15，
∴△DEF的最长边为15cm，
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的边对应成比例是解题的关键．
变式跟进6（2016?深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（ ）21cnjy.com
A．1：3 B．1：9 C．1： D．1：1.5
考点四：相似三角形的判定
（2017春?深圳校级期末）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（ ）对．【来源：21·世纪·教育·网】
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由BF∥CD得到△EFB∽△EDC，由BE∥AD得到△EFB∽△DFA，根据相似的传递性得到△EDC∽△DFA．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，
∵BF∥CD，
∴△EFB∽△EDC，
∵BE∥AD，
∴△EFB∽△DFA，
∴△EDC∽△DFA．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
变式跟进7（2016秋?南海区校级月考）如图所示，给出下列条件：
①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB；⑤
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点五：相似三角形的应用
（2016?深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）21·世纪*教育网
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．21*cnjy*com
【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
∴=，
∴=，
∴BC=×5=3.2米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21世纪教育网版权所有
变式跟进8（2016?龙岗区二模）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）【来源：21cnj*y.co*m】www-2-1-cnjy-com
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
（2017?深圳一模）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2=GF×AF；④当AG=6，EG=2时，BE的长为，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．21教育网
【解答】解：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形，故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴=，即DF2=FO?AF．
∵FO=GF，DF=EG，
∴EG2=GF?AF．故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2，AF=10，
∴AD==4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴=，即=，
∴GH=，
∴BE=AD﹣GH=4﹣=．故④正确．
故选D．
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO?AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．21教育名师原创作品21*cnjy*com
变式跟进9（2017?福田区三模）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
一．选择题
1．（2015?佛山）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
2．（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
3．（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
4．（2017?河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
5．（2015?永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
6．（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
7．（2016?深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
8．（2015?广东）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
9．（2015?梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
10．（2017?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ．
11．（2016?梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．
12．（2015?佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
13．（2017?天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．【出处：21教育名师】
三．解答题
14．（2016?广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）【版权所有：21教育】
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
15．（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
16．（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）
17．（2017?株洲）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．www.21-cn-jy.com
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．
18．（2016?南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
19．（2016?陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
一．选择题
1．（2017秋?深圳校级期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB=3cm，BC=5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．16cm B．12cm C．24cm D．36cm
2．（2017?宝山区一模）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2016?南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．75cm，115cm B．60cm，100cm
C．85cm，125cm D．45cm，85cm
4．（2016秋?通化校级期中）下列各组图形中相似的图形是（ ）
A．对应边成比例的多边形
B．四个角都对应相等的两个梯形
C．有一个角相等的两个菱形
D．各边对应成比例的两个平行四边形
5. （2017?道里区校级模拟）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2016?福田区期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．21教育网【出处：21教育名师】
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
7．（2017?龙岗区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）21·世纪*教育网
A．3：4 B．9：16 C．4：9 D．1：3
8．（2016秋?龙岗区期末）如图一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．8米 B．6米 C．4.5米 D．3米
解得：x=4.5．
二．填空题
9．（2017?东莞市一模）如果=，那么 1 （填“=”“＞”“＜”）
10．（2016?端州区一模）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d= ．
11．（2016秋?龙岗区校级期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处．
12．（2017?东莞市一模）若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是 cm2．
13．（2017?广东模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为 ．
14．（2016秋?深圳校级期中）如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1.5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为 ．
15．（2016?南雄市校级一模）如图，请填上一个你认为合适的条件： ，使△ABD与△ACB相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
三．解答题
16．（2016秋?茂南区校级期中）（1）已知=，求的值．
（2）已知===（b+d+f≠0），求的值．
17．（2016春?东莞市校级月考）小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km．
①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离（四舍五入，保留整厘米），再求出这幅图的比例尺；
②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来．
18．（2016秋?揭西县期末）如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由．21·cn·jy·com21cnjy.com
19．（2017?深圳二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=8，求MN?MC的值．
20．（2017?深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．2-1-c-n-j-y
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．
21．（2017?惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．2·1·c·n·j·y21·cn·jy·com
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
4.4 相似三角形
有关相似形的概念
1.定义：形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
2.性质：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(也叫相似系数)． 【来源：21cnj*y.co*m】
比例线段的相关概念、性质与定理
1.定义：如果线段a与b的比值等于c与d的比值，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段，比例式为ac=bd．21·世纪*教育网21*cnjy*com
2.等比性质：如果 ，那么
3.合并性质： .
4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC、BC（AC>BC）,使AC是AB和BC的比例中项，即AC2=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中.
平行线分线段成比例定理?
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。?
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
相似三角形：?
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。?
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；?
????（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；?
（3）相似三角形的周长比等于相似比；
（4）面积比等于相似比的平方。
3. 判定定理：?
1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【版权所有：21教育】
2、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．（简称为 AA ）
3、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（简称为SAS）
4、判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．（简称为SSS ）
5、判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简称为HL）
???
考点一：相似图形的定义与性质
（2017?普陀区一模）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形，难度不大．
变式跟进1（2016?罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个矩形 B．两个正方形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
（2016秋?福田区期末）如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A．1：2.5 B．1：5 C．1：25 D．1：
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的周长的比是1：5，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：5，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：25；
故选C．
【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
变式跟进2（2016秋?太仓市校级期中）如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）21cnjy.com
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
【分析】由两个相似多边形面积的比是4：9，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．
故选B．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
考点二：等比性质、比例线段、黄金分割
（2016秋?深圳期末）若2a=3b，则a：b等于（ ）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计算，只有A选项符合题意．
【解答】解：∵2a=3b，
∴a：b=3：2．
故选A．
【点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质．
变式跟进3（2016秋?福田区校级期中）已知：，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x=2，y=3 B．2x=3y C． D．
【分析】根据比例的合比性质即可得出结论．
【解答】解：∵=，
∴==．
故选C．
【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例的合比性质是解答此题的关键．
（2016秋?揭西县校级期中）下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4=2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选B．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
变式跟进4（2016秋?茂南区校级期中）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．a=3 cm，b=5 cm，c=14 cm，d=8cm
B．a=6 cm，b=8 cm，c=3 cm，d=4cm
C．a=3 cm，b=5 cm，c=9 cm，d=12cm
D．a=2 cm，b=3 cm，c=6cm，d=12cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、3×14≠5×8，故本选项错误；
B、3×8=6×4，故本选项正确；
C、3×12≠5×9，故本选项错误；
D、2×12≠3×6，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
（2017?石家庄模拟）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
变式跟进5（2017?长宁区二模）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A．AP2=AB?PB B．AB2=AP?PB C．PB2=AP?AB D．AP2+BP2=AB2
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，
∴PB2=AP?AB． 故选C．
【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．
考点三：相似三角形的性质
（2016?梅州校级模拟）△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．30 cm
【分析】由相似三角形的性质可求得△DEF的最短边和最长边的比为3：5，则可求得答案．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF相似，
∴△DEF的三边之比为3：4：5，
∴△DEF的最短边和最长边的比为3：5，
设最长边为x，则3：5=9：x，解得x=15，
∴△DEF的最长边为15cm，
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的边对应成比例是解题的关键．
变式跟进6（2016?深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（ ）2-1-c-n-j-y
A．1：3 B．1：9 C．1： D．1：1.5
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
考点四：相似三角形的判定
（2017春?深圳校级期末）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（ ）对．21*cnjy*com
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由BF∥CD得到△EFB∽△EDC，由BE∥AD得到△EFB∽△DFA，根据相似的传递性得到△EDC∽△DFA．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，
∵BF∥CD，
∴△EFB∽△EDC，
∵BE∥AD，
∴△EFB∽△DFA，
∴△EDC∽△DFA．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
变式跟进7（2016秋?南海区校级月考）如图所示，给出下列条件：
①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB；⑤
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．21cnjy.com21世纪教育网版权所有
【解答】解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
⑤中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
考点五：相似三角形的应用
（2016?深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
∴=，
∴=，
∴BC=×5=3.2米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
变式跟进8（2016?龙岗区二模）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解答】解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴=，=，
则=，
∴x=5；
=，
∴y=1.5，
∴x﹣y=3.5，
故变短了3.5米．
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
（2017?深圳一模）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2=GF×AF；④当AG=6，EG=2时，BE的长为，其中正确的结论个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．
【解答】解：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形，故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴=，即DF2=FO?AF．
∵FO=GF，DF=EG，
∴EG2=GF?AF．故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2，AF=10，
∴AD==4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴=，即=，
∴GH=，
∴BE=AD﹣GH=4﹣=．故④正确．
故选D．
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO?AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．21教育名师原创作品
变式跟进9（2017?福田区三模）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质来证明△ABH∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得BH的长；同理，求出CF的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形BCGJ的高；最后求出菱形BCGJ的面积和梯形BHFC的面积，进而求得阴影部分的面积．
【解答】解：
在△ADE和△ABH中，∠HAB=∠EAD，
∵图中是三个菱形排列，
∴HB∥FC∥ED，
∴∠AHB=∠AED，∠ABH=∠ADE，
∴△ABH∽△ADE，
∴AB：AD=BH：DE；
又∵AB=2，AD=2+3+5=10，DE=5，
∴BH=1；
同理，求得CF=；
∵菱形的较小锐角为60°，即∠HBC=∠FCD=60°，
∴梯形BHFC，即菱形JBCG的高JM=3×sin60°=；
∴S梯形BHCF=×（1+）×=，
S菱形JBCG=3×=，
∴S阴影=S菱形JBCG﹣S梯形BHCF=．
故选C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，梯形与菱形的面积以及三角形中的边角关系，是基础性比较强的一道题．
一．选择题
1．（2015?佛山）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2． 故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2．（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
3．（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
【解答】解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．
4．（2017?河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
5．（2015?永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．21教育网
【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
6．（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴==． 故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7．（2016?深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D?FE=AD2=FQ?AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．21·cn·jy·com
二．填空题
8．（2015?广东）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 ．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
9．（2015?梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 AF=AC或∠AFE=∠ABC ．（写出一个即可）
【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
【点评】本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．
10．（2017?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= 3 ．
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴==2，
∴PQ=2PR=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，
∴2x+3x=3，
∴x=，
∴AP=5x=3．
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（2016?梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，=（）2，
∵E是边AD的中点，
∴DE=AD=BC，
∴=，
∴△DEF的面积=S△DEC=1，
∴=，
∴S△BCF=4；
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．
12．（2015?佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 25 ．
【分析】由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．21*cnjy*com
【解答】解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∵AB=BC，AC=10．
∴2AB2=200，
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10﹣x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴=，即=，
∴x=5，
∴EF=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
方法二：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∵四边形BDEF是△ABC的内接正方形，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=45°，
∴△AEF也是等腰直角三角形，
∴AF=EF，
设AF=x，则BF=10﹣x，
∴10﹣x=x，
∴x=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
故答案为25．
【点评】主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．
13．（2017?天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
三．解答题
14．（2016?广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∵BC?EF=BE?CE，
∴EF=2，CF==1，
∴E（2，2），或（3，）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．
15．（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
16．（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；
（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵△BMC∽△PMB，
∴=，
∴BM2=CM?PM=3a2，
∴BM=a，
∴tan∠BCM==，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，
∴的长==π．
【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．2-1-c-n-j-y
17．（2017?株洲）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．
【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．
【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=∠AEB，
∵C是的中点，∴，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴，即，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴，即，
∴CB=2，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，
∴CG==2，
∴△BCD的面积=BD?CG=×2×2=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
18．（2016?南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
【分析】（1）由△ABC∽△ACO，得=，由此即可求出OA．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出==，由PM+QM=，可以求出PM，QM，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACO，
∴=，
∵AB===13，
∴OA==．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，
则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，
在Rt△PFQ中，PQ===．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，
∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，
∴PF∥GQ，
∴△PMF∽△QMG，
∴==，
∵PM+QM=，
∴PM=，MQ=，
∴|PM﹣QM|=．
【点评】本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19．（2016?陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．
【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则=，=，
即=，=，
解得：AB=99，
答：“望月阁”的高AB的长度为99m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．
一．选择题
1．（2017秋?深圳校级期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB=3cm，BC=5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16cm B．12cm C．24cm D．36cm
【分析】根据题意求出矩形ABCD的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比求出周长之比，计算即可．
【解答】解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（2017?宝山区一模）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，
∴AC=AB=，故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
3．（2016?南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．75cm，115cm B．60cm，100cm
C．85cm，125cm D．45cm，85cm
【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
4．（2016秋?通化校级期中）下列各组图形中相似的图形是（ ）
A．对应边成比例的多边形
B．四个角都对应相等的两个梯形
C．有一个角相等的两个菱形
D．各边对应成比例的两个平行四边形
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，并且对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、对应边成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；【来源：21·世纪·教育·网】
B、四个角都对应相等的两个梯形对应边不一定成比例，所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
C、有一个角相等的两个菱形，对应边成比例，并且对应角相等，所以一定是相似多边形，故本选项正确；
D、各边对应成比例的两个平行四边形对应角不一定相等，所以不一定是相似多边形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．
5.（2017?道里区校级模拟）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由题中DE∥BC，EF∥AB，可得其对应线段成比例，再根据题中所得的比例关系，即可判定题中正确的个数．21教育名师原创作品
【解答】解：∵EF∥AB，
∴=，=，即=，
∵DE∥BC，
∴==，即=，==，
所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．故选B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练掌握．
6．（2016?福田区期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．21世纪教育网版权所有www.21-cn-jy.com
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2017?龙岗区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．4：9 D．1：3
【分析】设DE=3k，EC=k，则CD=4k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD=4k，DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，推出=（）2由此即可解决问题．
【解答】解：设DE=3k，EC=k，则CD=4k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴=（）2=（）2=，
故选B．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．（2016秋?龙岗区期末）如图一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）21·世纪*教育网
A．8米 B．6米 C．4.5米 D．3米
【分析】根据已知得出∠E=∠EAB=45°，得出AB=BE，再进而利用△DCM∽△DBA，得出=，进而求出即可．
【解答】解：∵当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，
∴DF=DE=1.5m，
∴∠E=∠EAB=45°，
∴AB=BE，
∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DBA，
∴=，
设AB=x，则BD=x﹣1.5=x﹣1.5，
∴=，
解得：x=4.5．
∴路灯A的高度AB为4.5m．
故选C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找相似三角形，学会用方程的思想思考问题，根据已知得出AB=BE是本题的突破点．【出处：21教育名师】
二．填空题
9．（2017?东莞市一模）如果=，那么 ＜ 1 （填“=”“＞”“＜”）
【分析】根据合分比性质，可得答案．
【解答】解：由分比性质，得
==＜1，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了比例的性质，利用分比性质是解题关键．
10．（2016?端州区一模）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d= cm ．
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式a：b=c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．
【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴a：b=c：d，
∴d=7×4÷5=（cm）．
故答案为cm．
【点评】本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意单位统一，是一道基础题．
11．（2016秋?龙岗区校级期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 8 m处．
【分析】从点A走到线段AB的黄金分割点此时AP＜BP，求出BP后，再求AP即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
，
∵BP=0.6AB=0.6×20=12m，
∴AP=AB﹣BP=20﹣12=8m．
即主持人应走到离A点至少8m处．
故答案为：8．
【点评】本题考查了黄金分割的应用，解答本题要求同学们掌握黄金分割的定义，及黄金比值，知道一条线段AB的黄金分割点有两个．2·1·c·n·j·y
12．（2017?东莞市一模）若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是 18 cm2．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较小三角形的面积为8cm2，
∴较大三角形的面积为18cm2，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
13．（2017?广东模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为 8 ．
【分析】由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得=（）2=（）2，由S△ADE=1，可得S△ABC=9，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2，
∵S△ADE=1，
∴S△ABC=9，
∴S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=8，
故答案为8．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2016秋?深圳校级期中）如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1.5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为 7m ．
【分析】过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H，根据EF∥AB∥C′D′可求出AG、EG、GH，再根据相似三角形的判定定理可得△C′AG∽△C′EH，再根据三角形的相似比解答即可．
【解答】解：过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H．
因为EF∥AB∥C′D′，所以HF=GB=C′D′．
所以AG=AB﹣GB=AB﹣C′D′=2﹣1.5=0.5m
C′G=D′B=2m，GH=BF=20m
CH=CD﹣1.5m
又因为=，
所以，
所以EH=5.5m，
即旗杆的高EF=7m．
故答案为：7m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
15．（2016?南雄市校级一模）如图，请填上一个你认为合适的条件： ∠1=∠C（答案不唯一） ，使△ABD与△ACB相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：∵有两个角相等的三角形相似，
∴添加的条件可以是：∠1=∠C．
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，此题属开放性题目，答案不唯一．
三．解答题
16．（2016秋?茂南区校级期中）（1）已知=，求的值．
（2）已知===（b+d+f≠0），求的值．
【分析】（1）根据比例设y=3k，x=4k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）利用等比性质求解即可．
【解答】（1）解：∵=，
∴设y=3k，x=4k（k≠0），
∴=，
=，
=，
所以，的值是；
（2）解：∵===（b+d+f≠0），
∴=，
∴的值是．
【点评】本题考查了比例是性质，（1）利用“设k法”求解更简便，（2）主要利用了等比性质，需熟记．
17．（2016春?东莞市校级月考）小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km．
①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离（四舍五入，保留整厘米），再求出这幅图的比例尺；
②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来．
【分析】（1）先量出花园小区到站前小学的图上距离，然后根据：图上距离：实际距离=比例尺，求出比例尺；21教育网
（2）把数字比例尺改为线段比例尺即可求解．
【解答】解：（1）图上距离是5厘米，实际距离是5km，5千米=500000厘米
比例尺为：5：500000=1：100000；
（2）5÷5=1（千米）
线段比例尺为：
【点评】考查了比例线段，此题应根据图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系进行解答，求得比例尺是关键．2·1·c·n·j·y
18．（2016秋?揭西县期末）如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由．
【分析】相似，利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
【解答】解：△ADE∽△ACB，理由是：
∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∵==，==，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
19．（2017?深圳二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=8，求MN?MC的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；www-2-1-cnjy-com
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN?MC；代入数据可得MN?MC=BM2=8．
【解答】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是 的中点，
∴=，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴=．
∴BM2=MN?MC．
又∵AB是⊙O的直径，=，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 ．
∴MN?MC=BM2=32．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．【版权所有：21教育】
20．（2017?深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．21*cnjy*com
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．
【分析】（1）依题意可知AD=AE，∠DAE=90°，则∠DEA=45°，在△ERG中，RG⊥DE，则∠FRA=45°，可证AF=AR；www.21-cn-jy.com
（2）①当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，AF∥PR，可证△EAF∽△ERP，利用相似比求AR，而AR=DP=t，由此求t的值；②当△PRB是等腰三角形时，PC=2BR，列方程求t的值．
【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，
∵AE=AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=45°，
又∵FG⊥DE，
∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，
∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，
∴∠FRA=∠RFA=45°，
∴AF=AR；
（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，
则有PR∥BC，
∴AF∥PR，
∴△EAF∽△ERP，
∴，即：由（1）得AF=AR，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，
∴（秒）；
②若PR=PB，
过点P作PK⊥AB于K，
设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），
∵△EFA∽△EPK，
∴，
即：=，
解得：x=±﹣3（舍去负值）；
∴t=（秒）；
若PB=RB，
则△EFA∽△EPB，
∴=，
∴，
∴BP=AB=×2=
∴CP=BC﹣BP=2﹣=，
∴（秒）．
综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．
【点评】本题考查了正方形、矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是利用相似比列方程求解．21·cn·jy·com【来源：21·世纪·教育·网】
21．（2017?惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．【出处：21教育名师】
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
【解答】（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8﹣t，
t的取值范围是：0≤t≤5；
（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，
∴PG=PBSinB=（10﹣2t）
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==
∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）
（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴，
即，
解得：（s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴即，
解得：（s）
综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．
