4.5 锐角三角函数
解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，除直角外，共5个元素，即3条 和2个 .由这些元素中的一些已知元素，求出 的过程叫做解直角三角形.【版权所有：21教育】
2.相关常用关系：在Pt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2= .
（2）两锐角关系：∠A+∠B= .
（3）边与角关系：sinA=cosB=； sinB=cosA=； tanA=；
（4）sin2A+cos2A=.
锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记为 ，即sinA= = .2-1-c-n-j-y
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记为 ，即cosA= = .
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记为 ，即tanA= = .
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为 ，即cotA= = .
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tanα
cotα
各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA= (90°—A)，cosA= (90°—A)
tanA= (90°—A)，cotA= (90°—A)
（2）平方关系： + =1
（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=
（4）弦切关系：tanA= .
锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的 （或减小）而 （或 ）；
（2）余弦值随着角度的 （或减小）而 （或 ）；
（3）正切值随着角度的 （或减小）而 （或 ）；
（4）余切值随着角度的 （或减小）而 （或 ）.
???
考点一：锐角三角函数的定义
（2016?深圳模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理计算出斜边长，然后根据余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦可得答案．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵∠C=90°，a=4，b=3，
∴c==5，
∴cosA==，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数与勾股定理，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．21·世纪*教育网
变式跟进1（2016?深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，则AC=（ ）
A．3 B．9 C．10 D．15
考点二：特殊角的三角函数
（2017?渠县一模）在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．
【解答】解：∵tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．
变式跟进2（2016?深圳校级模拟）sin60°=（ ）
A． B． C． D．
考点三：各锐角三角函数之间的关系
（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA=，
∴sinA==，
故选B
【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．21·cn·jy·com
变式跟进3（2017?滕州市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
考点四：锐角三角函数的增减性
（2016秋?雁塔区校级月考）比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
变式跟进4（2017?静安区一模）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
考点五：解直角三角形
（2016?龙岗区二模）如图，△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，则△ABC的面积为（ ）21·cn·jy·com【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．12 C．14 D．21
【分析】根据锐角三角形函数可以求得AD、BD和CD的长，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，
∴，得AD=3，∠B=45°，
∴tanB=，得BD=3，CD=，
∴==，
故选A．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
变式跟进5（2017?宝安区二模）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BN上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）【出处：21教育名师】
A．2 B．2+ C．1+ D．
考点六：解直角三角函数的应用
（2016?福田区二模）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．5m C．m D．10m
【分析】如图，作CH⊥AB于H，在Rt△CBH中，根据sin45°=，即可求出CH．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△CBH中，∵∠CHB=90°，BC=5，∠CBH=45°，
∴sin45°=，∴CH=BC×=5．
故选B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
变式跟进6（2017?皇姑区二模）如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）www.21-cn-jy.com
A．60° B．45° C．15° D．90°
变式跟进7（2017?龙岗区一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
变式跟进8（2017?深圳模拟）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）【来源：21cnj*y.co*m】2-1-c-n-j-y
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
一、选择题
1．（2016?广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016?永州）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15°?tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
4．（2015?庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ ）21教育网www.21-cn-jy.com
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
6．（2017?深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．21*cnjy*com21cnjy.com
A．20 B．30 C．30 D．40
7．（2016?绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）【出处：21教育名师】
A．250米 B．250米 C．米 D．500米
8．（2015?扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）21教育名师原创作品21教育名师原创作品
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题
9．（2017?大庆）计算：2sin60°= ．
10．（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= ．
11．（2016?枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．21cnjy.com
12．（2017?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为 ．
B.tan38°15′≈ ．（结果精确到0.01）
13．（2017?舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
14．（2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
15．（2015?深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
16．（2016?广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，21教育网
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角
17．（2016?深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
18．（2016?菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
19．（2017?黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= ，sin2A2+cos2A2= ，sin2A3+cos2A3= ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
一．选择题
1．（2016秋?深圳校级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．AB=AC×sinB B．BC=AB×sinB
C．BC=AC×tanB D．BC=AC×tanA
2．（2016秋?寿光市期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2017?城关区校级模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2016?湘桥区一模）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3 B．3.5 C．4.8 D．5
5．（2016?深圳模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
6．（2017?金平区模拟）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（ ）21*cnjy*com
A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
7．（2017?广东模拟）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）
A．50米 B．100米 C．50（+1）米 D．50（﹣1）米
8．（2016秋?福田区期末）如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶（ ）分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置．
A．60 B．30 C．15 D．45
二．填空题
9．（2016?深圳模拟）cos45°= ．
10．（2016?广州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA= ．
11．（2016?梅州模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为 ．
12．（2016春?广州校级月考）如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长为 （结果用根号表示）．2·1·c·n·j·y
13．（2017?番禺区一模）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 ．
14．（2017?曲江区模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，若将对角线AC绕点C顺时针旋转，使得点A与点E重合，则对角线AC扫过的图形面积是 ．（结果保留π）．
B．用科学计算器计算：tan65°+≈ ．（结果精确到0.01）．
三．解答题
15．（2016?深圳校级模拟）计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．
16．（2017?广东模拟）如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．
（1）tan∠ABC的值等于 ；
（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．
17．（2016秋?深圳期末）小明在楼顶上看到对面山上有一座铁塔．他现有的测量材料：测倾器、皮尺．请你根据你所掌握的知识，选择恰当的条件求出塔高．（精确到1）
∠DEB=22°，∠CEB=9°，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，∠DFG=42°
（参考数据：tan22°≈0.40，tan9°≈0.16，tan33°≈0.65，tan14°≈0.25，tan42°≈0.90）
根据你的发现，在下面的题中填入所需要的条件（只做一题），并解答．
（1）选两个长度，角度任选．
已知：
求：CD．
（2）选一个长度，角度任选．
已知：
求：CD．
我选 ．解答如下：
．
18．（2017?深圳模拟）2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．21世纪教育网版权所有
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
19．（2017?深圳模拟）如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH=，AB=10米，AE=15米．21*cnjy*com【版权所有：21教育】
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
20．（2017?龙岗区一模）黄岩岛自古以来就是中国的领土，如图，为维护海洋利益，三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航，某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向，海监船以30海里每小时的速度沿北偏西30°方向航行2小时后到达B处，此时测得该目标C在它的南偏东75°方向．求：21·世纪*教育网
（1）∠C的度数；
（2）求该船与岛上目标C之间的距离 即CB的长度（结果保留根号）
4.5 锐角三角函数
解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，除直角外，共5个元素，即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.【出处：21教育名师】
2.相关常用关系：在Pt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2= c2 .
（2）两锐角关系：∠A+∠B= 90°.
（3）边与角关系：sinA=cosB=； sinB=cosA=； tanA=；
（4）sin2A+cos2A=.
锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
cotα
不存在
1
0
各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：
（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=
锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
???
考点一：锐角三角函数的定义
（2016?深圳模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理计算出斜边长，然后根据余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦可得答案．21·世纪*教育网21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵∠C=90°，a=4，b=3，
∴c==5，
∴cosA==，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数与勾股定理，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．2·1·c·n·j·y
变式跟进1（2016?深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，则AC=（ ）
A．3 B．9 C．10 D．15
【分析】首先根据正弦函数的定义求得AB的长，然后利用勾股定理即可求得AC的长．
【解答】解：∵sinA=，
∴AB===15，
在直角△ABC中，AC===9．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．www-2-1-cnjy-com
考点二：特殊角的三角函数
（2017?渠县一模）在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．
【解答】解：∵tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．
变式跟进2（2016?深圳校级模拟）sin60°=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin60°=．故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=．
考点三：各锐角三角函数之间的关系
（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA=，
∴sinA==，
故选B
【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．21教育名师原创作品21*cnjy*com
变式跟进3（2017?滕州市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB的值为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，得
∠B+∠A=90°．
cosB=sinA=，
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
考点四：锐角三角函数的增减性
（2016秋?雁塔区校级月考）比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
变式跟进4（2017?静安区一模）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．
【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜45°，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．21教育网
考点五：解直角三角形
（2016?龙岗区二模）如图，△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，则△ABC的面积为（ ）
A． B．12 C．14 D．21
【分析】根据锐角三角形函数可以求得AD、BD和CD的长，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，
∴，得AD=3，∠B=45°，
∴tanB=，得BD=3，CD=，
∴==，
故选A．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
变式跟进5（2017?宝安区二模）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BN上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC=k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD=k+2k，
则tan75°=tan∠CAD===2+，
故选B
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
考点六：解直角三角函数的应用
（2016?福田区二模）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．5m C．m D．10m
【分析】如图，作CH⊥AB于H，在Rt△CBH中，根据sin45°=，即可求出CH．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△CBH中，∵∠CHB=90°，BC=5，∠CBH=45°，
∴sin45°=，∴CH=BC×=5．
故选B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．【来源：21cnj*y.co*m】
变式跟进6（2017?皇姑区二模）如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）21*cnjy*com
A．60° B．45° C．15° D．90°
【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了鱼竿转过的角度．
【解答】解：∵sin∠CAB===，
∴∠CAB=45°．
∵==，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
【点评】此题中BC、B′C′都是我们所要求角的对边，而AC是斜边，所以本题利用了正弦的定义．解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．21*cnjy*com
变式跟进7（2017?龙岗区一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．
【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，
∴BC=AC?tanα=6tanα（米）．
故选；D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
变式跟进8（2017?深圳模拟）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°，得AC=BC．由此可在Rt△CBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，
则∠CBD=∠CBA=30°．
∴AC=BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC=BC=2×40=80海里，
∴CD=BC=40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40=1小时．
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，注意掌握“化斜为直”是解三角形的常规思路，需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°60°）．
一、选择题
1．（2016?广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得OA==5，
所以cosα=．
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
2．（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA=，
∴sinA==，
故选B
【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3．（2016?永州）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15°?tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．
【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15°?tan75°=tan15°?cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1正确；
D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．21世纪教育网版权所有
4．（2015?庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，
则∠A=30°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
5．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C．
【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
6．（2017?深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．www.21-cn-jy.com
A．20 B．30 C．30 D．40
【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE==，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC===20m，
∴AB=BC?sin60°=20×=30m．
故选B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
7．（2016?绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）21cnjy.com
A．250米 B．250米 C．米 D．500米
【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=AO=250米．
故选A．
【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．www-2-1-cnjy-com【来源：21·世纪·教育·网】
8．（2015?扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）【出处：21教育名师】
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
【解答】解：如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞∠D．
二、填空题
9．（2017?大庆）计算：2sin60°= ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：2sin60°=2×=．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．www.21-cn-jy.com
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．
10．（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= 17 ．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，
∴=，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB===17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．
11．（2016?枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= 2 ．
【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=可得答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC===4，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA===2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．
12．（2017?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为 64° ．21cnjy.com
B.tan38°15′≈ 2.03 ．（结果精确到0.01）
【分析】A：由三角形内角和得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，根据角平分线定义得∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）；
B：利用科学计算器计算可得．
【解答】解：A、∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠1=∠ABC、∠2=∠ACB，
则∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=64°，
故答案为：64°；
B、tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
故答案为：2.03．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及科学计算器的运用，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
13．（2017?舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
【解答】解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4==，A4C=，
△BA4C的面积=4﹣2﹣=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12﹣1+1，
3=22﹣2+1，
7=32﹣3+1，
∴tan∠BAnC=，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
三、解答题
14．（2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，
∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，
∴AC===13，
∴sinC==．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
15．（2015?深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
【分析】关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
【解答】解：如图，∵∠ADG=30°，∠AFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=DF=10，
在Rt△FGA中，
AG=AF?sin∠AFG=10×=5，
∴AB=1.5+5．
答：旗杆AB的高度为（1.5+5）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
16．（2016?广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，于是得到A′E=AC=60，CE=AA′=30，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
∴AB===120（m）；
（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，
则A′E=AC=60，CE=AA′=30，
在Rt△ABC中，AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC=AC=20，
∴DE=50，
∴tan∠AA′D=tan∠A′DC===．
答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
17．（2016?深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=32m，
∴AD=CD=16m，BD=AB?cos30°=16m，
∴BC=CD+BD=（16+16）m，
则BH=BC?sin30°=（8+8）m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
18．（2016?菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．2-1-c-n-j-y
【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．
设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，可得BD=x，
又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，
即x+x=20（1+），
解得：x=20，
∴AC=x=20（海里）．
答：A、C之间的距离为20海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．
19．（2017?黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= 1 ，sin2A2+cos2A2= 1 ，sin2A3+cos2A3= 1 ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= 1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；
（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；
（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．
【解答】解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，
sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，
sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，
故答案为：1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，
故答案为：1；
（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，
则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，
即sin2A+cos2A=1；
（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∵sin2A+cos2A=1，
∴（）2+cosA2=1，
解得：cosA=或cosA=﹣（舍），
∴cosA=．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．
一．选择题
1．（2016秋?深圳校级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．AB=AC×sinB B．BC=AB×sinB
C．BC=AC×tanB D．BC=AC×tanA
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别分析得出答案．
【解答】解：如图所示：A．∵sinB=，∴AB=，故此选项错误；
B．∵cosB=，∴BC=AB?cosB，故此选项错误；
C．∵tanB=，∴BC=，故此选项错误；
D．∵tanA=，∴BC=AC×tanA，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角之间关系是解题关键．
2．（2016秋?寿光市期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】先判断出A的取值范围，再根据sin60°=解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A为锐角．
∵sin60°=，
∴A=60°．
故选C．
【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．
3．（2017?城关区校级模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．21教育网21·世纪*教育网
【解答】解：∵cosA=知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA===．
故选A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
4．（2016?湘桥区一模）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ）21·cn·jy·com【版权所有：21教育】
A．3 B．3.5 C．4.8 D．5
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB=，
∴sinB=，tanB=．
∵在Rt△ABD中AD=3，
∴AB=．
在Rt△ABC中，
∵tanB===，
∴AC=，
故选D
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
5．（2016?深圳模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
【分析】设∠DCF=∠DBE=α，易知BE+CF=BC?cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBE，设∠DCF=∠DBE=α，
∴CF=DC?cosα，BE=DB?cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC?cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
面积法：S△ABC=?AD?CF+?AD?BE=?AD（CF+BE），
∴CF+BE=，
∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
∴CF+BE的值是逐渐减小．
【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC?cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
6．（2017?金平区模拟）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（ ）【版权所有：21教育】
A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
【分析】由∠ABD度数求出∠EBD度数，进而确定出∠E=90°，在直角三角形BED中，利用锐角三角函数定义即可求出ED的长．
【解答】解：∵∠ABD=145°，
∴∠EBD=35°，
∵∠D=55°，
∴∠E=90°，
在Rt△BED中，BD=500米，∠D=55°，
∴ED=500cos55°米，
故选C
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7．（2017?广东模拟）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）
A．50米 B．100米 C．50（+1）米 D．50（﹣1）米
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
∴=tan30°=，
∴BC=AB．
设AB=x（米），
∵CD=100，
∴BC=x+100．
∴x+100=x
∴x=50（+1），即塔AB的高为50（+1）m．
故选C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
8．（2016秋?福田区期末）如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶（ ）分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置．
A．60 B．30 C．15 D．45
【分析】作HC⊥AB交AB的延长线于C，根据题意得到BA=BH，根据∠BHC=30°得到BC=BH，等量代换得到答案．2·1·c·n·j·y
【解答】解：作HC⊥AB交AB的延长线于C，
由题意得，∠HAB=60°，∠ABH=120°，
∴∠AHB=30°，
∴BA=BH，
∵∠ABH=120°，
∴∠CBH=60°，又HC⊥AB，
∴∠BHC=30°，
∴BC=BH，
∴BC=AB，
则该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值是解题的关键．
二．填空题
9．（2016?深圳模拟）cos45°= 1 ．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：cos45°=×=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数知识解题关键．
10．（2016?广州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA= ．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据正弦的概念求出sinA．
【解答】解：∵，∠C=90°，BC=3，AC=4，
由勾股定理得，AB=5，
sinA==．
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
11．（2016?梅州模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为 ．
【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tanB的值=∠B的对边与邻边之比．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴sinA==，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b=4k，
∴tanB==，
故答案为：．
【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
12．（2016春?广州校级月考）如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长为 （12﹣12）cm （结果用根号表示）．
【分析】先根据Rt△ABC和Rt△ACD中，分别求出BC、CD的值，最后根据BD=CD﹣BC计算即可．
【解答】解：解：∵Rt△ABC中，AC=12，∠ABC=45°，
∴BC=AC=12，
∵Rt△ACD中，AC=12，∠DAC=60°，
∴CD=AC×tan∠DAC=12×tan60°=12，
∴BD=CD﹣BC=（12﹣12）cm．
答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为（12﹣12）cm．
故答案为（12﹣12）cm．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊的直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．
13．（2017?番禺区一模）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 15.3m ．
【分析】在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB=45°，求出BC=CD=21m，最后根据AB=AC﹣BC，代值计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，
∴AC===21m，
在Rt△BCD中，
∵∠EDB=45°，
∴∠DBC=45°，
∴BC=CD=21m，
∴AB=AC﹣BC=21﹣21≈15.3（m），
∴河的宽度AB约是15.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
14．（2017?曲江区模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，若将对角线AC绕点C顺时针旋转，使得点A与点E重合，则对角线AC扫过的图形面积是 8π ．（结果保留π）．
B．用科学计算器计算：tan65°+≈ 3.41 ．（结果精确到0.01）．
【分析】A．由正六边形性质知∠BAC=∠BCA=30°、∠ACE=60°，作BG⊥AC可得AC=2AG=2ABcos∠BAC=4，利用扇形面积公式求解可得；
B．利用计算器计算即可得．
【解答】解：A．∵正六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE，∠ABC=∠CDE=∠BCD=120°，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=30°，
∴∠ACE=60°，
作BG⊥AC于点G，
则AC=2AG=2ABcos∠BAC=2×4×=4，
∴对角线AC扫过的图形面积是=8π，
故答案为：8π；
B．tan65°+≈2.145+1.265≈3.41，
故答案为：3.41．
【点评】本题主要考查正多边形的性质、扇形面积的计算、计算器的使用，熟练掌握正多边形的性质和扇形面积公式是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
三．解答题
15．（2016?深圳校级模拟）计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式=×+2×﹣2×1
=+3﹣2
=．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=．
16．（2017?广东模拟）如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．21*cnjy*com
（1）tan∠ABC的值等于 ；
（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．
【分析】（1）根据三角函数的定义即刻得到结论；
（2）根据三角函数值作出图形即可．
【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，tan∠ABC=，故答案为：；
（2）如图所示，tan∠CBD=．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17．（2016秋?深圳期末）小明在楼顶上看到对面山上有一座铁塔．他现有的测量材料：测倾器、皮尺．请你根据你所掌握的知识，选择恰当的条件求出塔高．（精确到1）
∠DEB=22°，∠CEB=9°，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，∠DFG=42°
（参考数据：tan22°≈0.40，tan9°≈0.16，tan33°≈0.65，tan14°≈0.25，tan42°≈0.90）
根据你的发现，在下面的题中填入所需要的条件（只做一题），并解答．
（1）选两个长度，角度任选．
已知： AE=120m，AB=200m，∠DEB=22°，∠CEB=9°
求：CD．
（2）选一个长度，角度任选．
已知： AB=200m，∠CAB=14°，∠DAB=33°
求：CD．
我选 （2） ．解答如下： 在Rt△DAB中DB=AB?tag33°=200×0.65=130m，
在Rt△CAB中BC=AB?tag14°=200×0.25=50m，
∴CD=DB﹣BC=130﹣50=80m． ．
【分析】根据测量工具可知，可以测量的量是长度以及角度，因而可以转化为解直角三角形进行计算．
【解答】（1）已知：AE=120m，AB=200m，∠DEB=22°，∠CEB=9°，
求：CD．
解：∵AE=120m，AB=200m，
∴EB=AE+AB=120+200=320m，
在Rt△DEB中DB=EB?tag22°=320×0.40=128（m），
在Rt△ceb中CB=EB?tag9°=320×0.16=51.2（m），
∴CD=DB﹣CB=128﹣51.2=77（m）；
（2）已知：AB=200m，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，
求：CD，
解：在Rt△DAB中DB=AB?tag33°=200×0.65=130m，
在Rt△CAB中BC=AB?tag14°=200×0.25=50m，
∴CD=DB﹣BC=130﹣50=80m；
故答案为：AE=120m，AB=200m，∠DEB=22°，∠CEB=9°；AB=200m，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，（2），在Rt△DAB中DB=AB?tag33°=200×0.65=130m，
在Rt△CAB中BC=AB?tag14°=200×0.25=50m，
∴CD=DB﹣BC=130﹣50=80m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据测量工具确定可以测量出的量，把复杂的图形通过作高线分成直角三角形与矩形进行计算．
18．（2017?深圳模拟）2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）延长BA交EF于点G，利用三角形外角性质即可求出所求角的度数；
（2）过A作CD的垂线，垂足为H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH与AH的长，确定出三角形ACH为等腰直角三角形，求出CH，AH的长，由AC+CH+HD求出大树高即可．
【解答】解：（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，
则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，
∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH=，AH=，
在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°，
∴∠C=45°，
∴CH=AH=，AC=，
则树高++（米）．
【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21·cn·jy·com
19．（2017?深圳模拟）如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH=，AB=10米，AE=15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
【分析】（1）根据正弦的概念求出BH的长；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出广告牌的高度．
【解答】解：（1）由题意得，sin∠BAH==，又AB=10米，
∴BH=AB=5米；
（2））∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10．
答：广告牌CD的高度为（20﹣10）米．
【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．2-1-c-n-j-y
20．（2017?龙岗区一模）黄岩岛自古以来就是中国的领土，如图，为维护海洋利益，三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航，某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向，海监船以30海里每小时的速度沿北偏西30°方向航行2小时后到达B处，此时测得该目标C在它的南偏东75°方向．求：
（1）∠C的度数；
（2）求该船与岛上目标C之间的距离 即CB的长度（结果保留根号）
【分析】（1）由由平行线的性质得到∠EBA=∠FAB=30°，进而求得∠ABC，根据三角形的内角和即可求得结论；
（2）过A作AD⊥BC于D，根据正弦三角函数和正切三角函数可求得则BD和CD，即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意得：∠EBA=∠FAB=30°，
∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，
∴∠C=180°﹣45°﹣75°=60°；
（2）过A作AD⊥BC于D，则BD=AD=AB?sin∠ABD=2×30×=30，
CD===10，
∴CB=BD+CD=（30+10）（海里），
答：该船与岛上目标C之间的距离 即CB的长度为（30+10）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于作出辅助线AD，并求得AD．
