5.1 平行四边形
多边形相关概念
概念：在同一平面内，由不在 上的四条线段首尾 的图形叫做四边形。
对角线：在四边形中，连接 两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 °。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 °。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 ；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 。
多边形的对角线条数的计算公式：
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为 。
两条平行线的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的 到另一条直线的 ，叫做这两条平行线的距离。21cnjy.com2-1-c-n-j-y
平行线距离性质：平行线间的距离处处 。
平行四边形的概念
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质
平行四边形的邻角 ，对角 。
平行四边形的对边 。推论：夹在两条平行线间的平行线段 。
平行四边形的对角线互相 。
平行四边形对角线的平方和等于 的平方和的 。
若一直线过平行四边形两对角线的 ，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线 此平行四边形的面积。
平行四边形的判定
定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形；
定理1：两组对角分别 的四边形是平行四边形；
定理2：两组对边分别 的四边形是平行四边形；
定理3： 互相平分的四边形是平行四边形；
定理4：一组对边 的四边形是平行四边形.
平行四边形的面积
S平行四边形=
考点一：多边形
（2016秋?深圳期末）若一个多边形从同一个顶点出发可以作4条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则n﹣3=4，解得n=7．
故这个多边形的边数为7．
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的对角线，关键是熟悉多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．【来源：21·世纪·教育·网】www.21-cn-jy.com
变式跟进1（2016秋?龙华区期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
（2017春?深圳期末）已知过一个多边形的一个顶点的所有对角线共有5条，则这个多边形的内角和为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】2·1·c·n·j·y
A．720° B．1080° C．1260° D．1440°
【分析】根据n边形对角线公式，求得n，再根据多边形内角和公式求得答案．
【解答】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得
n﹣2=6．
解得n=8，
∴这个多边形的内角和的度数为：（8﹣2）×180°=1080°，
故选B．
【点评】本题考查了多边形对角线和多边形内角和公式，n边形过一个顶点的所有对角线公式是（n﹣2）条．
变式跟进2（2017?广东模拟）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
考点二：平行线之间的距离
（2015春?广州校级期中）直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积（ ）【出处：21教育名师】
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
【分析】由于平行线间的距离处处相等，而△ABC的面积=BC×高÷2．其中高不变，所以面积也不变．
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
所以△ABC的高、底边都是固定的，
所以它的面积不变．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
变式跟进3（2016秋?沈丘县期末）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）21教育名师原创作品【来源：21cnj*y.co*m】
A．4 B．5 C．6 D．7
考点三：平行四边形的性质
（2017?深圳二模）如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（ ）21·cn·jy·com
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①首先根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAD+∠ADC=180°，再由DE⊥AE可得∠EAD+∠ADE=90°然后可证明DE平分∠ADC；
②根据角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，可得AB=BE，同理可得EC=DC，又有AB=CD可得E是BC的中点；21教育名师原创作品
③根据AD=BC可得AD=2CE=2CD；
④根据平行四边形的性质可得S△AED=S平行四边形ABCD，然后证明S△ABE=S△DCE，可得梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=AC
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形
∴S△AED=S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△EDC═S平行四边形ABCD，
∵EB=EC，
∴S△ABE=S△DCE，
∴梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式跟进4（2016?深圳二模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）21世纪教育网版权所有
A．11 B．6 C．8 D．10
考点四：平行四边形的判定
（2017春?金平区校级月考）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2；3：2：3 D．2：3：3：2
【分析】根据题意可得出∠A与∠C是对角，故∠A=∠C，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠A与∠C是对角，
∴∠A=∠C，
∴C符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
变式跟进5（2016春?市北区期末）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD B．AB∥CD，AD=CB
C．AB=CD，AD=BC D．AB∥CD，AD∥BC
考点五：平行四边形的应用
（2017春?宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，连接BE、ED、DF、FB，若∠ADF=∠CBE=90°．21cnjy.com
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC=30°，∠BEC=45°，请判断AB与CE有什么数量关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△BCE≌△ADF，推出BE=DF，∠BEC=∠DFA，推出BE∥DF，由此即可证明；www-2-1-cnjy-com
（2）结论：AB=EC．作BH⊥AC于H．只要证明AB=2BH，EC=2BH即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）结论：AB=EC．
理由：作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠BAH=30°，
∴AB=2BH，
在Rt△BEC中，∵∠EBC=90°，∠BEC=45°，BH⊥CE，
∴EH=HC，
∴EC=2BH，
∴AB=EC．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有【版权所有：21教育】
变式跟进6（2015春?福田区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD上的三等分点．2-1-c-n-j-y21*cnjy*com
（1）求证：△AGD≌△CHB；
（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．
一、选择题
1．（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
2．（2015?济宁）只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
3．（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）21·cn·jy·com【出处：21教育名师】
A．2 B．1 C． D．
4．（2017?孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）【版权所有：21教育】
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．21*cnjy*com
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
二、填空题
6．（2017?广东）一个n边形的内角和是720°，则n= ．
7．（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
8．（2015?梅州）如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则?ABCD的周长等于 ．21·世纪*教育网
9．（2016?深圳）如图，在?ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ．
10．（2015?威海）如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： ．
三、解答题
11．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
12．（2016?河北）已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；2·1·c·n·j·y21·世纪*教育网
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
13．（2017?凉山州）如右图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
14．（2016?梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
15．（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
16．（2016?龙岩）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上
（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
一．选择题
1．（2016秋?福田区期末）从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣3
2．（2016春?罗湖区期末）若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．（2016秋?宝安区期末）如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为（ ）21教育网
A．2 B．3 C．4 D．1
4．（2016春?深圳期末）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=2，则CD的长为（ ）21*cnjy*com
A．1 B．2 C．2 D．4
5．（2017?大庆模拟）关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2017?保定一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
二．填空题
7．（2016春?深圳期末）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是 ．
8．（2017?长春模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ．
9．（2017春?林甸县期末）四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 （横线只需填一个你认为合适的条件即可）
10．（2017春?潮南区月考）等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为 ．
11．（2017春?龙岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是 ．
12．（2017春?宿州期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则 秒后四边形ABQP为平行四边形．
三．解答题
13．（2017春?东莞市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E．
（1）若∠A=70°，求∠ABE的度数；
（2）若AB∥CD，且∠1=∠2，判断DF和BE是否平行，并说明理由．
14．（2016秋?东莞市月考）小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由．【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2017?福田区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，21教育网
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．
16．（2016春?深圳期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE www.21-cn-jy.com21*cnjy*com
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
17．（2016春?广州校级期中）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线，EF所在直线上的两点，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．www-2-1-cnjy-com
5.1 平行四边形
多边形相关概念
概念：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
对角线：在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
多边形的对角线条数的计算公式：
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。
两条平行线的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线距离性质：平行线间的距离处处相等。
平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质
平行四边形的邻角互补，对角相等。
平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍。
若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。【出处：21教育名师】
平行四边形的判定
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高
考点一：多边形
（2016秋?深圳期末）若一个多边形从同一个顶点出发可以作4条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则n﹣3=4，解得n=7．
故这个多边形的边数为7．
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的对角线，关键是熟悉多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．【来源：21·世纪·教育·网】
变式跟进1（2016秋?龙华区期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【分析】根据从每一个顶点处可以作的对角线的条数为（n﹣3）计算即可得解．
【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴多边形的边数为6+3=9，
∴这个多边形是九边形．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点处可以作的对角线的条数为（n﹣3）是解题的关键．
（2017春?深圳期末）已知过一个多边形的一个顶点的所有对角线共有5条，则这个多边形的内角和为（ ）
A．720° B．1080° C．1260° D．1440°
【分析】根据n边形对角线公式，求得n，再根据多边形内角和公式求得答案．
【解答】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得
n﹣2=6．
解得n=8，
∴这个多边形的内角和的度数为：（8﹣2）×180°=1080°，
故选B．
【点评】本题考查了多边形对角线和多边形内角和公式，n边形过一个顶点的所有对角线公式是（n﹣2）条．
变式跟进2（2017?广东模拟）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
【解答】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．
考点二：平行线之间的距离
（2015春?广州校级期中）直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
【分析】由于平行线间的距离处处相等，而△ABC的面积=BC×高÷2．其中高不变，所以面积也不变．
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
所以△ABC的高、底边都是固定的，
所以它的面积不变．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
变式跟进3（2016秋?沈丘县期末）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4；
故选A．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
考点三：平行四边形的性质
（2017?深圳二模）如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①首先根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAD+∠ADC=180°，再由DE⊥AE可得∠EAD+∠ADE=90°然后可证明DE平分∠ADC；
②根据角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，可得AB=BE，同理可得EC=DC，又有AB=CD可得E是BC的中点；www.21-cn-jy.com21*cnjy*com
③根据AD=BC可得AD=2CE=2CD；
④根据平行四边形的性质可得S△AED=S平行四边形ABCD，然后证明S△ABE=S△DCE，可得梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=AC
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形
∴S△AED=S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△EDC═S平行四边形ABCD，
∵EB=EC，
∴S△ABE=S△DCE，
∴梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式跟进4（2016?深圳二模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）21*cnjy*comwww-2-1-cnjy-com
A．11 B．6 C．8 D．10
【分析】连接EF，根据题意得出AE垂直平分BF，AF=AB=5，得出OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，由勾股定理求出OA，再证出BE=AB=AF，得出四边形ABEF是平行四边形，由平行四边形的性质得出OA=OE=AE，即可得出结果．2-1-c-n-j-y
【解答】解：连接EF，如图所示：
根据题意得：AE垂直平分BF，AF=AB=5，
∴∠AOF=90°，OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，
∴OA==4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴OA=OE=AE，
∴AE=2OA=8；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是平行四边形是解决问题的关键．
考点四：平行四边形的判定
（2017春?金平区校级月考）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2；3：2：3 D．2：3：3：2
【分析】根据题意可得出∠A与∠C是对角，故∠A=∠C，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠A与∠C是对角，
∴∠A=∠C，
∴C符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
变式跟进5（2016春?市北区期末）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD B．AB∥CD，AD=CB
C．AB=CD，AD=BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】平行四边形的性质有①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上内容判断即可．21教育名师原创作品
【解答】
解：A、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、根据AB∥CD和AD=BC可以是等腰梯形，错误，故本选项正确；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了对平行四边形和等腰梯形的判定的应用，注意：平行四边形的性质有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
考点五：平行四边形的应用
（2017春?宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，连接BE、ED、DF、FB，若∠ADF=∠CBE=90°．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC=30°，∠BEC=45°，请判断AB与CE有什么数量关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△BCE≌△ADF，推出BE=DF，∠BEC=∠DFA，推出BE∥DF，由此即可证明；
（2）结论：AB=EC．作BH⊥AC于H．只要证明AB=2BH，EC=2BH即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）结论：AB=EC．
理由：作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠BAH=30°，
∴AB=2BH，
在Rt△BEC中，∵∠EBC=90°，∠BEC=45°，BH⊥CE，
∴EH=HC，
∴EC=2BH，
∴AB=EC．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式跟进6（2015春?福田区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD上的三等分点．
（1）求证：△AGD≌△CHB；
（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥BC，∠ADB=∠CBD，由于G、H分别是对角线BD上的三等分点，于是得到BH=DG，结论即可得出；
（2）通过△DEH≌△BFG，即可得到EH=FG，∠DHE=∠BGF，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理即可得到结论四边形GEHF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点，
∴BH=DG，
在△ADG与△CBH中，
∴△ADG≌△CBH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点．
∴DH=BG，
在△DEH与△BFG中，，
∴△DEH≌△BFG，
∴EH=FG，∠DHE=∠BGF，
∴∠EHG=∠FGH，
∴EH∥FG，
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记这些定理是解题的关键．
一、选择题
1．（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）?180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）?180°．
2．（2015?济宁）只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．21cnjy.com
【解答】解：A、正五边形的每个内角度数为180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；【出处：21教育名师】
B、正六边形的每个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，能整除360°，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正八边形的每个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十边形的每个内角度数为180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°﹣360°÷边数．
3．（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=2AB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2CF=2，
∴AB=1；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．21·世纪*教育网
4．（2017?孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）21教育名师原创作品
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．2-1-c-n-j-y
二、填空题
6．（2017?广东）一个n边形的内角和是720°，则n= 6 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）?180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．【版权所有：21教育】
7．（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 4或﹣2 ．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
【解答】解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
8．（2015?梅州）如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则?ABCD的周长等于 20 ．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴?ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．【来源：21cnj*y.co*m】21·cn·jy·com
9．（2016?深圳）如图，在?ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 2 ．www.21-cn-jy.com
【分析】根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
10．（2015?威海）如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： 正十二边形 ．
【分析】根据环形密铺的定义，所用多边形的外角的2倍是正多边形的内角即可．
【解答】解：正十二边形的外角是360°÷12=30°，内角=150°
∵150°×2=300°，
360°﹣300°=60°，
∴里边是正三角形，
∴正十二边形可以进行环形密铺．
故答案为：正十二边形．
【点评】本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键．21教育网
三、解答题
11．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
【分析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．21·cn·jy·com
（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴?ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．
12．（2016?河北）已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【分析】（1）根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；
（2）根据等量关系：若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360°，依此列出方程，解方程即可确定x．
【解答】解：（1）∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3…90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2
=2+2
=4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有
（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
【点评】考查了多边形内角与外角，此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
13．（2017?凉山州）如右图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
【分析】由平行四边形的性质证出∠EBH=∠FDG，由ASA证△EBH≌△FDG，即可得出FG=EH．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，∠A=∠FDG，∠EBH=∠C，
∴∠EBH=∠FDG，
在△EBH与△FDG中，，
∴△EBH≌△FDG（AAS），
∴FG=EH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
14．（2016?梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE=∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．
∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO，
∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
15．（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．www-2-1-cnjy-com21教育网
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
16．（2016?龙岩）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上21·世纪*教育网
（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；21*cnjy*com
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；
（2）根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】证明：（1）选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，
∴EO=FO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
一．选择题
1．（2016秋?福田区期末）从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣3
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．
【解答】解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线．
故选D．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，是需要熟记的内容．
2．（2016春?罗湖区期末）若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°=45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8，
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．
3．（2016秋?宝安区期末）如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【分析】根据面积的和差，可得S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，根据平行线间的距离相等，可得AE与CF的关系，根据解方程，可得答案．
【解答】解：如图：
作AE⊥BD，CF⊥BD，
由面积的和差，BD=6cm，得
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=BD?AE+BD?CF=BD?3CF+BD?CF=24．
解得CF=2，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线间的距离，利用了平行线间的距离相等，面积的和差．
4．（2016春?深圳期末）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=2，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
【分析】在Rt△ABD中可求得AB的长，再根据平行四边形的性质可求得CD的长．
【解答】解：
∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=2，∠A=30°，
∴AB=2BD=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=4，
故选D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及直角三角形的性质，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求得AB的长是解题的关键．2·1·c·n·j·y
5．（2017?大庆模拟）关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可．
【解答】解：①符合平行四边形的定义，故①正确；
②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确；
③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误；
所以正确的结论有三个：①②③，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键．
6．（2017?保定一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．
故选：A．
【点评】熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．21*cnjy*com
二．填空题
7．（2016春?深圳期末）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是 10 ．
【分析】多边形的外角和是360度，内角和与外角和的比是4：1，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）?180=1440，
解得：n=10．
则此多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）?180°，外角和为360°．
8. （2017?长春模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ②③ ．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，21世纪教育网版权所有
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故答案为：②③．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
9．（2017春?林甸县期末）四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 AD=BC（或AD∥BC） （横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．
【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知
需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
故答案为AD=BC（或AB∥CD）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10．（2017春?潮南区月考）等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为 10cm ．
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1=∠C，∠2=∠B，再由AB=AC，可得∠B=∠C，进而得到∠1=∠B，∠2=∠C，根据等角对等边可证出BE=ED，DF=FC，表示出四边形AEDF的周长由哪些线段相加，再进行等量代换即可．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠1=∠C，∠2=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴BE=ED，DF=FC，
∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=10cm，
故答案为：10cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是利用等角对等边证明BE=ED，DF=FC．
11．（2017春?龙岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是 3 ．
【分析】由条件可知BD∥AE，则可知当DE⊥BC时，DE有最小值，可证得四边ACDE为矩形，可求得答案．
【解答】解：
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，如图，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACDE为矩形，
∴DE=AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC=3，
∴DE的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和矩形的判定和性质，确定出DE取最小值时的位置是解题的关键．
12．（2017春?宿州期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则 2 秒后四边形ABQP为平行四边形．
【分析】由运动时间为x秒，则AP=x，QC=2x，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程x=6﹣2x求解．
【解答】解：∵运动时间为x秒，
∴AP=x，QC=2x，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴x=6﹣2x，
∴x=2．
答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程=速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件列方程求解．
三．解答题
13．（2017春?东莞市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E．
（1）若∠A=70°，求∠ABE的度数；
（2）若AB∥CD，且∠1=∠2，判断DF和BE是否平行，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABC=110°，由角平分线的定义可求得∠ABE；
（2）由条件可先证明∠ABC=∠ADC，结合角平分线的定义可证明∠AFD=∠ABE，可证得DF∥BE．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，∠A=70°，
∴∠ABC=180°﹣∠A=110°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=55°；
（2）证明：DF∥BE．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，∠2=∠AFD，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠1=∠2=∠ADC，∠ABE=∠ABC
∴∠2=∠ABE，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等?两直线平行，②内错角相等?两直线平行，③同旁内角互补?两直线平行，④a∥b，b∥c?a∥c．21世纪教育网版权所有
14．（2016秋?东莞市月考）小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由．
【分析】他要想回到原点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，从而求出路程．
【解答】解：根据题意可知，360°÷36°=10，
所以他需要转10次才会回到起点，
它需要经过10×10=100m才能回到原地．
所以小华能回到点A．当他走回到点A时，共走100m．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．
任何一个多边形的外角和都是360°．
15．（2017?福田区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根据AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根据这三个条件即可证明全等；
（2）根据已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分别在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的长度，即可求出周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB （AAS）；
（2）解：在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，AE=3，
∴AD=2AE=2×3=6，
∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°
∴∠ABE=45°，
在Rt△ABE中，
∵=sin45°，
∴AB==3，
∴平行四边形ABCD的周长l=2（AB+AD）=2×（6+3）=12+6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是找出对应相等的边和角证明全等以及在直角三角形中运用勾股定理求边长．
16．（2016春?深圳期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积．
【分析】（1）由E为AC的中点，可得AE=CE，再由条件EF=DE 可得四边形ADCF是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得△CEF的面积和△CED的面积都等于△AEF的面积为3，从而可得四边形BCFD的面积为12．
【解答】（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由是：∵E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）由（1）知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形，
∴S△CEF=S△CED=S△AEF=3，
∴平行四边形BCFD的面积是12．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．【来源：21·世纪·教育·网】
17．（2016春?广州校级期中）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线，EF所在直线上的两点，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO=CO，DO=BO．21cnjy.com
【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF．
又∵AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
