5.2 菱形
菱形的概念
有一组 相等的平行四边形叫做菱形
菱形的性质
具有平行四边形的一切性质：（1）邻角 ，对角 。
（2）平行四边形的对边 。
（3）平行四边形的对角线 。
菱形的四条边 ；
菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线平分一组 ；
菱形是 对称图形.
菱形的判定
定义：有一组 相等的平行四边形是菱形；
定理1：四边都 的四边形是菱形；
定理2：对角线 的平行四边形是菱形.
菱形的面积
S菱形= × = 的一半.
考点一：菱形的概念
（2016秋?深圳校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理．
变式跟进1（2017春?唐河县期末）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
D．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
考点二：菱形的性质
（2017?广东模拟）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；
B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；
D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．
变式跟进2（2017?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移（2﹣1）个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
考点三：菱形的判定
（2017春?白云区期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）21cnjy.comwww.21-cn-jy.com
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=CD
【分析】根据菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
变式跟进3（2016?潮阳区一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是菱形
考点四：菱形的应用
（2017?龙岗区一模）如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=，求AC的长．
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；21·cn·jy·com【来源：21cnj*y.co*m】
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴?ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵，∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，，DH=AD?sin∠2=4，
∵四边形ABEF是菱形，∴CD=AB=BE=5，Rt△CDH中，，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】2·1·c·n·j·y
变式跟进4（2016?福田区二模）如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：四边形OECD是菱形；
（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．
变式跟进5（2016?香坊区）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．【出处：21教育名师】
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．
一．选择题
1．（2016?无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．（2016?宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为（ ）21*cnjy*com
A．2 B． C．6 D．8
3．（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（ ）
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
4．（2016?河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
5．（2014?牡丹江）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2016?梧州）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
二．填空题
7．（2015?广东）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 ．
8．（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为 ．21教育网21教育名师原创作品
9．（2016?海南）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是 （只填写序号）2·1·c·n·j·y
10．（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
三．解答题
11．（2015?甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．21*cnjy*com
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
12．（2016?梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）四边形ABEF是 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 ，∠ABC= °．（直接填写结果）21·世纪*教育网
13．（2016?金华）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．【出处：21教育名师】21·世纪*教育网
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．
①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．
14．（2016?安顺）如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
15. （2017?广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．21世纪教育网版权所有21世纪教育网版权所有
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
一、选择题
1．（2016秋?深圳校级期中）如图，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2016?本溪模拟）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．若a2=b2，则a=b
D．相似三角形对应高的比等于周长的比
3．（2016?东莞市校级模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．75° B．70° C．60° D．55°
4．（2016秋?深圳期末）若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（ ）
A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm
5．（2017?南山区三模）如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，AD=BC，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，且DE=BF，则下列结论：21*cnjy*com【版权所有：21教育】
①AE=CF；②AO=CO；③AC=EF；④AC⊥EF；⑤四边形AECF是菱形；⑥四边形ABCD为平行四边形；其中正确结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2017?白云区一模）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C．tanα D．1
二、填空题
7．（2016春?潮南区期末）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件 ，使?ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）
8.（2017?广东模拟）如图，菱形ABCD中，∠BCD=120°，AC=5，则菱形ABCD的周长是 ．
9．（2017?广东模拟）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…则AD2= ，依此类推这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 ．www-2-1-cnjy-com21教育网
10．（2017?石家庄模拟）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
11．（2017?潮州二模）在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
三、解答题
12．（2017春?潮阳区期末）已知：x=2+，y=2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
13．（2016秋?深圳校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，www.21-cn-jy.com
（1）求证：AC=DE；
（2）求△BDE的面积．
14．（2016?深圳校级二模）如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．
15．（2017春?广州期中）如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接AF交对角线于点E，连接EC【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC的什么位置？说明理由．
16．（2017春?福田区月考）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG.【版权所有：21教育】
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
17．（2017?广东模拟）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF．21*cnjy*com21cnjy.com
（1）试探究△A′DE的形状，请说明理由；
（2）当四边形EDD′F为菱形时，判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
5.2 菱形
菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的性质
具有平行四边形的一切性质：（1）邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
菱形的四条边相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形是轴对称图形.
菱形的判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
定理1：四边都相等的四边形是菱形；
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半.
考点一：菱形的概念
（2016秋?深圳校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理．
变式跟进1（2017春?唐河县期末）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（ ）21·世纪*教育网www-2-1-cnjy-com
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
D．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
【分析】根据条件首先能否判定为平行四边形，是平行四边形的才有可能是矩形、菱形或正方形，否则不正确．
【解答】解：A：由对角线AC与BD互相垂直，当AC=BD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，那么不一定是矩形；故A不正确；www-2-1-cnjy-com
B：对角线AC与BD互相垂直，当AB=AD，CB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，那么不一定是菱形；故B不正确；【来源：21cnj*y.co*m】
C：对角线AC与BD互相垂直，当AC=BD，AD=AB时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，那么不一定是正方形；故C不正确；
D：对角线AC与BD互相垂直，当AB=AD=BC时，能证出对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法和与矩形、菱形、正方形的关系是解题的关键．
考点二：菱形的性质
（2017?广东模拟）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；
B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；
D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．
变式跟进2（2017?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移（2﹣1）个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【分析】过点B作BH⊥OA，交OA于点H，利用勾股定理可求出OB的长，进而可得点A向左或向右平移的距离，由菱形的性质得BC∥OA，所以可得向上或向下平移的距离，问题得解．
【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（1，1），
∴OB==，
∵A（，0），
∴C（1+，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
考点三：菱形的判定
（2017春?白云区期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）21教育网
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=CD
【分析】根据菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
变式跟进3（2016?潮阳区一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是菱形
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可得A错误；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得B正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得C正确；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得D正确．
【解答】解：A、当AC=BD时，它是菱形，说法错误；
B、当AC⊥BD时，它是菱形，说法正确；
C、当∠ABC=90°时，它是矩形，说法正确；
D、当AB=BC时，它是菱形，说法正确，
故选：A．
【点评】此题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．
菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
考点四：菱形的应用
（2017?龙岗区一模）如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=，求AC的长．
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴?ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵，
∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，，
DH=AD?sin∠2=4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．
变式跟进4（2016?福田区二模）如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．
（1）求证：四边形OECD是菱形；
（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）根据S△ODC=S矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S△ODC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴四边形CODE是菱形；
（2）解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC==4．
∴矩形ABCD的面积=4×4=16，
∵S△ODC=S矩形ABCD=4，
∴四边形OCED的面积=2S△ODC=8．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．www.21-cn-jy.com
变式跟进5（2016?香坊区）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．
【分析】（1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE是菱形；
（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE=BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AD，
∴CE=DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，AB==x．
∵AB?CF=AC?BC，
∴CF==x．
∵CD=AB=x，
∴sin∠CDB==．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
一．选择题
1．（2016?无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．
矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．
【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选：C．
【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
2．（2016?宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
【分析】根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【解答】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
又∵BD=2，
∴菱形ABCD的面积S=×AC×BD=×2×2=2，
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．
3．（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（ ）21·世纪*教育网
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
4．（2016?河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【分析】首先根据平移的性质得出ACED，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．21*cnjy*com
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ACED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当AC=BC时，则DE=EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ABCD是解题关键．
5．（2014?牡丹江）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM=CM；www.21-cn-jy.com
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④根据三角函数求得MB=，OF=，根据OE=OF即可求得MB：OE=3：2．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB=，OF=，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2，
∴④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
6．（2016?梧州）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【分析】先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，再得出当∠AOE=90°时，是菱形，当∠AOE=60°时，平行四边形AECF是矩形，即可得出结论．
【解答】解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠ACF=∠CAD，
∵∠COF=∠AOE
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠DAC=60°，∠ADB=15°，
根据三角形得内角和定理得，∠AOD=105°，
∴点E从D点向A点移动过程中，
当∠AOE=90°时，EF⊥AC，
∵OA=OC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
当∠BCE=90°时，平行四边形AECF是矩形，
∴OE=OC，∠ACE=30°，
∴∠OEC=30°，
∴∠AOE=2∠ACE=60°，
即：∠AOE=60°时，平行四边形AECF是矩形；
综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．
二．填空题
7．（2015?广东）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 6 ．
【分析】由菱形ABCD中，∠ABC=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABC是等边三角形是关键．
8．（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为 4或2 ．
【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB=BD=3，由勾股定理得出OC=OA==3，即可得出答案．21·cn·jy·com
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB=BD=3，
∴OC=OA==3，
∴AC=2OA=6，
∵点E在AC上，OE=，
∴CE=OC+或CE=OC﹣，
∴CE=4或CE=2；
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
9．（2016?海南）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是 ①②③④ （只填写序号）
【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，
则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，
则∠2=∠4，
∴AD=DC，
同理可得：AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：
所以①AC⊥BD，正确；
②AD∥BC，正确；
③四边形ABCD是菱形，正确；
④在△ABD和△CDB中
∵
∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．21*cnjy*com
10．（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 3 ．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．
三．解答题
11．（2015?甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
【分析】（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．
【解答】（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．
在△BCF和△ECH中，，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．
【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
12．（2016?梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）四边形ABEF是 菱形 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 10 ，∠ABC= 120 °．（直接填写结果）21cnjy.com
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为菱形．
（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，
∵AB=10，
∴AB=2BO，∵∠AOB=90°
∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，
∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．
故答案为，120．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（2016?金华）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．21世纪教育网版权所有
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．
①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．
【分析】（1）先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；
（2）①连结OF，由切线可得OF为△ABD的高且OF=4，从而可得S△ABD，由OE为△ABD的中位线可得S△OBE=S△ABD；
②作DH⊥AB于点H，结合①可知四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，根据sin∠DAB==知∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根据弧长公式可得答案
【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB为直径，且过点E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）①连结OF．
∵CD的延长线与半圆相切于点F，
∴OF⊥CF．
∵FC∥AB，
∴OF即为△ABD中AB边上的高．
∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，
∵点O是AB中点，点E是BD的中点，
∴S△OBE=S△ABD=4．
②过点D作DH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．
∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，
∴∠DAH=30°．
∵点O，E分别为AB，BD中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°．
∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°．
∴弧AE的长==．
【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．21世纪教育网版权所有
14．（2016?安顺）如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．21·cn·jy·com
【解答】（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE=EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE=EC，即BE=AE．
又BC=2AB=4，
∴AB=BC=BE，
∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，
?ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，
∴菱形AECF的面积为2．
【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．
（1）用SAS证全等；
（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．
15.（2017?广东）如图，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【版权所有：21教育】
【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD，
∴DB=DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB=AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AD⊥BF；
（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG=BH=BF．
∵BF=BC，BC=CD，
∴DG=CD．
在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，
∴∠C=30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，证明出AD是线段BF的垂直平分线是解题的关键．
一、选择题
1．（2016秋?深圳校级期中）如图，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由在?ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE=AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选B．
【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．2·1·c·n·j·y
2．（2016?本溪模拟）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．若a2=b2，则a=b
D．相似三角形对应高的比等于周长的比
【分析】利用菱形的判定定理、有理数的乘方的法则、矩形的判定定理级相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，错误；
B、对角线相等的四边形是矩形，错误；
C、若a2=b2，则a=b，错误，
D、相似三角形对应高的比等于周长的比，正确，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的判定定理、有理数的乘方的法则、矩形的判定定理级相似三角形的性质，属于基础定理，难度不大．
3．（2016?东莞市校级模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．75° B．70° C．60° D．55°
【分析】根据菱形的性质求出∠ADC=110°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值．
【解答】解：连接BD，BF，
∵∠BAD=70°，
∴∠ADC=110°，
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=35°，
∴∠CDF=110°﹣35°=75°．
故选A．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．21*cnjy*com
4．（2016秋?深圳期末）若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（ ）
A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm
【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO?BO=60，根据菱形的周长求出AB=13，再利用勾股定理可得AO2+BO2=169，然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO，再求解即可．21教育名师原创作品21教育名师原创作品
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，
∵菱形的面积为120cm2，
∴AC?BD=120，
即×2AO?2BO=120，
所以，AO?BO=60，
∵菱形的周长为52cm，
∴AB=13cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AO2+BO2=AB2=132=169，
所以，（AO+BO）2=AO2+2AO?BO+BO2=169+60×2=289，
所以，AO+BO=17，
所以，AC+BD=2（AO+BO）=2×17=34cm．
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
5．（2017?南山区三模）如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，AD=BC，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，且DE=BF，则下列结论：
①AE=CF；
②AO=CO；
③AC=EF；
④AC⊥EF；
⑤四边形AECF是菱形；
⑥四边形ABCD为平行四边形；
其中正确结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AE=CF，①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵AE=CF，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴AO=CO，②正确，
没有条件证出四边形CFAE是矩形或菱形，
∴③错误，④错误，⑤错误；
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，⑥正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△ADE≌Rt△CBF是解题关键．21*cnjy*com
6．（2017?白云区一模）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C．tanα D．1
【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明BC=CD，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
【解答】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
∵平行四边形的面积=BC?AE=CD?AF，∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵=sinα，
∴BC=AB==，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC×AE=×1=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．21教育网
二、填空题
7．（2016春?潮南区期末）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件 AB=AD ，使?ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD．
【解答】解：添加AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴?ABCD成为菱形．
故答案为：AB=AD．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8.（2017?广东模拟）如图，菱形ABCD中，∠BCD=120°，AC=5，则菱形ABCD的周长是 20 ．
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AB=BC=5，即AB=BC=CD=AD=5，那么就可求菱形的周长．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=5，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故答案为20
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．2·1·c·n·j·y
9．（2017?广东模拟）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…则AD2= ，依此类推这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 （）n﹣1 ．
【分析】在△AB1D2中利用三角函数的定义计算出AD2=，再根据菱形的性质得AB2=AD2=，则利用三角函数的定义得到AD3=（）2，同理可得AD4=（）3，利用此变换规律得到ADn=（）n﹣1．
【解答】解：在△AB1D2中，∵sinB1=，
∴AD2=1×sin60°=，
∵四边形AB2C2D2为菱形，
∴AB2=AD2=，
在△AB2D3中，∵sinB2=，
∴AD3=×sin60°=（）2，
同理可得AD4=（）3，
∴第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长为（）n﹣1．
故答案为，（）n﹣1．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积等于对角线乘积的一半．
10．（2017?石家庄模拟）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 4 cm．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB?OC=×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
11．（2017?潮州二模）在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 16 ．
【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图，
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴AB=2EF=4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
三、解答题
12．（2017春?潮阳区期末）已知：x=2+，y=2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
【分析】（1）求出x+y，xy的值，利用整体的思想解决问题；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；
【解答】解：（1）∵x=2+，y=2﹣，
∴x+y=4，xy=4﹣2=2，
∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=16+2=18．
（2）S菱形ABCD=xy=（2+）（2﹣）=1
【点评】本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会利用整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型．
13．（2016秋?深圳校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，
（1）求证：AC=DE；
（2）求△BDE的面积．
【分析】（1）由在菱形ABCD中，DE∥AC，可得四边形ACED为平行四边形，即可证得AC=DE；
（2）由在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，可利用勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由DE=AC=6，AC⊥BD，可得BD⊥DE，则可求得△BDE的面积．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AC=DE；
（2）∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠BOC=90°，
∵AB=5，AC=6，
∴AO=3，
∴OB==4，
∴BD=2OB=8，
∵DE=AC=6，
∴．
【点评】此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．
14．（2016?深圳校级二模）如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）由菱形的性质可得到AD=AB，∠CAB=∠CAD，结合公共边可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求得∠AEB=∠ABE，再结合（1）的结论，可求得∠AED，结合菱形的性质可求出∠CDE的大小．【出处：21教育名师】
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠CAB=∠CAD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）解：∵AB=AE，∠BAE=36°，
∴∠AEB=∠ABE=，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠AED=∠AEB=72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAE=36°，
∴∠CDE=∠AED﹣∠DCA=72°﹣36°=36°．
【点评】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的判定，掌握菱形的四边相等、对边平行及等腰三角形的等边对等角是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2017春?广州期中）如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接AF交对角线于点E，连接EC
（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC的什么位置？说明理由．
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分即可证明；
（2）首先证明△ABC是等边三角形，再证明AF是等边△ABC的角平分线即可；
【解答】（1）证明：连接AC．
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，
∴AE=EC．
（2）解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB．
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AE=EC，
∴∠EAC=∠CEF=30°．
又∵∠BAF=∠BAC﹣∠EAC=30°=∠EAC，
∴AF是等边△ABC的角平分线，
∴BF=CF，
∴点F是线段BC的中点．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2017春?福田区月考）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG2-1-c-n-j-y
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【分析】（1）只要证明△AEB≌△AGD即可解决问题．
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，利用勾股定理求出线段EB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2 ，
∴EB===，
∴GD=．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会用转化的思想思考问题，求线段DG转化为求线段EB，属于中考常考题型．21cnjy.com
17．（2017?广东模拟）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF．【出处：21教育名师】
（1）试探究△A′DE的形状，请说明理由；
（2）当四边形EDD′F为菱形时，判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
【分析】（1）先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．
（2）根据四边形EDD′F为菱形得到EF=DE=DA′，EF∥DD′，即可推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．
【解答】解：（1）△A′DE是等腰三角形．
理由：∵△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，
∵A′C′∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，
∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形；
（2）∵四边形DEFD′是菱形，
∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，
∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，
在△A′DE和△EFC′中，
，
∴△A′DE≌△EFC′．
【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
