5.3 矩形
矩形的概念
有一个角是 的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质
具有平行四边形的一切性质：（1）邻角 ，对角 。
（2）平行四边形的对边 。
（3）平行四边形的对角线 。
矩形的四个角都是 ；
矩形的对角线 ；
矩形是 对称图形.
矩形的判定
定义：有一个角是直角的 是矩形；
定理1：有三个角是直角的 是矩形；
定理2：对角线相等的 是矩形.
矩形的面积
S矩形= .
???
考点一：矩形的概念
（2016秋?深圳校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形以及菱形、正方形、矩形、平行四边形的定义与判定定理，，解决本题的关键是熟记这些定义与定理．2·1·c·n·j·y21·世纪*教育网
变式跟进1（2016秋?深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
考点二：矩形的性质
（2017?深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：【来源：21cnj*y.co*m】
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出AC=2AB，即可判断②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．www-2-1-cnjy-com21世纪教育网版权所有
变式跟进2（2017?肥城市模拟）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）【出处：21教育名师】
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三：矩形的判定
（2017春?珠海期末）如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，可判定是平行四边形，又由相等，可判定是矩形．
【解答】解：∵一个四边形的两条对角线互相平分，
∴这个四边形是平行四边形，
∵这个四边形的两条对角线相等，
∴这个四边形是矩形．
故选A．
【点评】此题考查了矩形的判定．注意对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
变式跟进3（2015秋?海门市期末）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
（2016秋?深圳校级期末）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AD∥BC，AD=BC，如果补上下列条件中的，可以使四边形ABCD为矩形（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AD C．AB=CD D．AC=BD
【分析】根据矩形的判定定理可解，常用的方法有三种：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断．
【解答】解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
要判断平行四边形ABCD是矩形，
根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．
故所补条件为AC=BD．
故选D．
【点评】此题是一道几何结论开放题，全面的考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．
变式跟进4（2017春?东莞期末）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
（2017?蓝田县二模）如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【分析】根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
变式跟进5（2017?启东市一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．21世纪教育网版权所有
考点四：矩形的应用
（2017春?阳谷县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．21·cn·jy·com
【解答】解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．21教育网
变式跟进6（2017春?佛坪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为（ ）
A．4.8 B．1.2 C．3.6 D．2.4
（2017春?广州期中）如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
【分析】（1）证明三个角是直角即可解决问题；
（2）结论：MN∥BC且MN=BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；
（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；
【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN=BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）
∴MN=BC；
法二：延长MN至K，使NK=MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK=BC，
所以MN=BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的性质．三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式跟进7（2016春?东莞市期末）如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．www.21-cn-jy.com
（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．
变式跟进8（2017?广东模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：2-1-c-n-j-y【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当t为何值时，AP=PO．
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】www-2-1-cnjy-com
一．选择题
1．（2016?攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
2．（2017?上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）21教育名师原创作品21·cn·jy·com
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC
C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
3．（2017?常州）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）21*cnjy*com
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
4．（2017?绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
A．7° B．21° C．23° D．24°
5．（2015?临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
二、填空题
6．（2016?黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
7．（2016?广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．
8．（2017?枣庄）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）
9．（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
10．（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为 ．
三、解答题
11．（2016?广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
12．（2015?内江）如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
13．（2017?安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？
14．（2017?盐城）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．21教育网21教育名师原创作品
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
15．（2017?荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
16．（2016?台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．21·世纪*教育网
（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
17．（2016?兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？【来源：21cnj*y.co*m】
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：【来源：21·世纪·教育·网】www.21-cn-jy.com
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
一．选择题
1．（2016秋?深圳校级月考）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．4个内角都相等
2．（2017?东莞市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2016?商河县二模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
4．（2016?昆山市二模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是【版权所有：21教育】
（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
5．（2016?芦溪县二模）如图，在△ABC中，点E在AC上，点G在BC上，连接EG，AE=EG=5，过点E作ED⊥AB，垂足为D，过点G作GF⊥AC，垂足为F，此时恰有DE=GF=4．若BG=2，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2016春?澄城县期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2016春?迁安市期末）如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
8．（2016春?滦县期末）若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件 （一个即可）使四边形ABCD为矩形．
9．（2017春?广东期中）如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 ．
10．（2017?广东模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为 ．
11．（2017?龙岗区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．21*cnjy*com
12．（2017春?黄陂区月考）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则线段DE的最小值为 ．
三．解答题
13．（2016秋?深圳期末）已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌DCM；
（2）判断四边形MENF是 （只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．
14．（2016秋?深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，21cnjy.com21cnjy.com
（1）证明：△ADE≌△DCB；
（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；
（3）若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是多少？
15．（2016?深圳二模）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．21*cnjy*com
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求sin∠AED的值．
16．（2017?广东模拟）如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．
（1）求证：△ADG≌△FDG；
（2）若BG=2AG，BD=2，求AD的长．
17．（2017?普宁市一模）如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
18．（2016秋?深圳期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB），F是DA延长线上一点，G 是CF上一点，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F，你能证明∠ECB=∠ACB吗？21*cnjy*com
19. （2017?广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．【出处：21教育名师】
（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．
（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．
（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．
20．（2017?东莞市三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．
5.3 矩形
矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质
具有平行四边形的一切性质：（1）邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
矩形是轴对称图形.
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的面积
S矩形=长×宽
???
考点一：矩形的概念
（2016秋?深圳校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形以及菱形、正方形、矩形、平行四边形的定义与判定定理，，解决本题的关键是熟记这些定义与定理．
变式跟进1（2016秋?深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形，故错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意；
C、有一组邻角是直角的四边形也可能是直角梯形，故错误，不符合题意；
D、对角互补的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
故选D．
【点评】本题考查了矩形的定义与判定，解题关键是了解矩形的定义与判定定理，难度不大．
考点二：矩形的性质
（2017?深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：21·世纪*教育网www.21-cn-jy.com
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出AC=2AB，即可判断②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．21cnjy.com
变式跟进2（2017?肥城市模拟）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出OA=OC=OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．
【解答】解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有3个，
故选C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．
考点三：矩形的判定
（2017春?珠海期末）如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，可判定是平行四边形，又由相等，可判定是矩形．
【解答】解：∵一个四边形的两条对角线互相平分，
∴这个四边形是平行四边形，
∵这个四边形的两条对角线相等，
∴这个四边形是矩形．
故选A．
【点评】此题考查了矩形的判定．注意对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
变式跟进3（2015秋?海门市期末）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）21*cnjy*com
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
（2016秋?深圳校级期末）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AD∥BC，AD=BC，如果补上下列条件中的，可以使四边形ABCD为矩形（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AD C．AB=CD D．AC=BD
【分析】根据矩形的判定定理可解，常用的方法有三种：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断．
【解答】解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
要判断平行四边形ABCD是矩形，
根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．www-2-1-cnjy-com
故所补条件为AC=BD．
故选D．
【点评】此题是一道几何结论开放题，全面的考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．
变式跟进4（2017春?东莞期末）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
D、无法判断．
故选B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
（2017?蓝田县二模）如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【分析】根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
变式跟进5（2017?启东市一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．
【分析】连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，由已知条件得出OE=OF，证出四边形AECF为平行四边形，再由∠AEC=90°，即可得出结论．21·cn·jy·com
【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴OE=OF．
∵OA=OC，
∴AECF是平行四边形；
∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形AECF是解决问题的关键．【出处：21教育名师】
考点四：矩形的应用
（2017春?阳谷县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．2·1·c·n·j·y
变式跟进6（2017春?佛坪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为（ ）
A．4.8 B．1.2 C．3.6 D．2.4
【分析】根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即EF的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：∵四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，OE=OF，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即OF的值最小．
∵AP?BC=AB?AC，
∴AP?BC=AB?AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10．
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8
∴AP=．
∴OF=EF=
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．【来源：21cnj*y.co*m】
（2017春?广州期中）如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
【分析】（1）证明三个角是直角即可解决问题；
（2）结论：MN∥BC且MN=BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；
（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；
【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN=BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）
∴MN=BC；
法二：延长MN至K，使NK=MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK=BC，
所以MN=BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的性质．三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式跟进7（2016春?东莞市期末）如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．21世纪教育网版权所有
（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A=90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，
又∠BPC=∠AQP，
∴∠CPQ=∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A=∠CPQ=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2
∴x2+22=（6﹣x）2，
解得：x=
∴AQ的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
变式跟进8（2017?广东模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：www.21-cn-jy.com
（1）当t为何值时，AP=PO．
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，过P作PM⊥AO，证明△APM∽△ACD，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，AO=AC=5，∵AP=PO=t，
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴，即，解得：t=，即t=时，AP=PO；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=CD=AB=3cm．
由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，
在△DOP和△BOE中，，
∴△DOP≌BOE（ASA），∴BE=PD=8﹣t，
则S△BOE=BE?OH=×3（8﹣t）=12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为，
∴=，
∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12cm2，
∴S△DFQ=12×=，
∴S五边形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ=×6×8﹣（12﹣t）﹣=﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12；
（3）存在，理由如下：如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=，
∴ON=OM==，
∵OP?DM=3PD，
∴OP=5﹣t，
∴PM=﹣t，
∵PD2=PM2+DM2，
∴（8﹣t）2=（﹣t）2+（）2，
解得：t=16（不合题意，舍去），t=，
∴当t=时，OD平分∠COP．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
一．选择题
1．（2016?攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
2．（2017?上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC
C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．
3．（2017?常州）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）21cnjy.com
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ADC=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，
∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，
∴C（2，7），
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21教育网
4．（2017?绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
【分析】由矩形的性质得出∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，在Rt△ACD中，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，
∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，
∴∠ACF=2∠FEA，
设∠ECD=x，则∠ACF=2x，
∴∠ACD=3x，
在Rt△ACD中，3x+21°=90°，
解得：x=23°；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
5．（2015?临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．21世纪教育网版权所有
二、填空题
6．（2016?黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．
【解答】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．
7．（2016?广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．
【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．
【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，
∴∠EB′C=90°，
∵BC=3BE，
∴EC=2BE=2B′E，
∴∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴AB=AC=×2=，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．21*cnjy*com
8．（2017?枣庄）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【解答】解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴=9+2x+x
解得x=
∴BC=9+2（﹣3）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．【来源：21·世纪·教育·网】
9．（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出AB=FC，BF=CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵FC=2BF，
∴BF=1，FC=2，
∴AB=FC，
∵E是CD的中点，
∴CE=CD=1，
∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中，，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠AFE=180°﹣90°=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴cos∠AEF=；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为 ．
【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，
解得：x=，
∴BM=；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．2-1-c-n-j-y
三、解答题
11．（2016?广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．2·1·c·n·j·y
12．（2015?内江）如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；【版权所有：21教育】
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
13．（2017?安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？
【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
【解答】（1）证明：∵E是AC中点，
∴EC=AC．
∵DB=AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
（2）添加AB=BC．
理由：∵DBAE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC=DE，AB=BC，
∴AB=DE．
∴?ADBE是矩形．
【点评】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
14．（2017?盐城）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，
∴∠EDB=∠EBD=30°，
∴EB=ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．
15．（2017?荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；
（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）
（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21*cnjy*com
16．（2016?台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．
（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
【分析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；
（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，再根据矩形的性质可得出S△ACD=S△ABC，S△PHC=S△PCF，S△AEP=S△APG，由此即可得出S△ACD﹣S△PHC﹣S△AEP=S△ABC﹣S△PCF﹣S△APG，即S矩形DEPH=S矩形PGBF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠PCH．
∵PH∥AD，
∴PH∥BC，
∴∠PCF=∠CPH．
在△PHC和△CFP中，
，
∴△PHC≌△CFP（ASA）．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠B=90°．
又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
∵EF∥AB，HG∥BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形AEPG和四边形PHCF也是矩形，
∴S△ACD=S△ABC，S△PHC=S△PCF，S△AEP=S△APG，
∴S△ACD﹣S△PHC﹣S△AEP=S△ABC﹣S△PCF﹣S△APG，
即S矩形DEPH=S矩形PGBF．
【点评】本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键．
17．（2016?兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；
（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；
②根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）①AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．21*cnjy*com
一．选择题
1．（2016秋?深圳校级月考）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．4个内角都相等
【分析】根据矩形的性质、菱形的性质，可得答案．
【解答】解：矩形的对角线相等且互相平分，四个内角都相等，
菱形的对角线相等且互相平分，菱形的对角相等，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，熟记特殊平行四边形的性质是解题关键．
2．（2017?东莞市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=AB即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=2，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质；熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．
3．（2016?商河县二模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选D．
【点评】本题考查了矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
4．（2016?昆山市二模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
【解答】解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
5．（2016?芦溪县二模）如图，在△ABC中，点E在AC上，点G在BC上，连接EG，AE=EG=5，过点E作ED⊥AB，垂足为D，过点G作GF⊥AC，垂足为F，此时恰有DE=GF=4．若BG=2，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明Rt△ADE≌Rt△EFG，推出∠DEG为直角；然后过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形；最后在Rt△BGH中，利用三角函数定义求出sinB的值．
【解答】解：在Rt△ADE与Rt△EFG中，
∴Rt△ADE≌Rt△EFG（HL）．
∴∠A=∠GEF．
∵∠A+∠AED=90°，
∴∠GEF+∠AED=90°，
∴∠DEG=90°．
如右图，过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形，
∴GH=DE=4．
在Rt△BGH中，sinB===．
故选C．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质，三角函数的定义．注意辅助线的作法．
6．（2016春?澄城县期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选D．
【点评】本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
7．（2016春?迁安市期末）如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先判断四边形为矩形，然后利用矩形的面积的求法求得其面积即可．
【解答】解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD?AB=2×3=6，
故选C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是能够首先判定四边形ABCD为矩形，难度不大．
二．填空题
8．（2016春?滦县期末）若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件 ∠A=90° （一个即可）使四边形ABCD为矩形．21教育网
【分析】添加条件是∠A=90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】解：添加条件∠A=90°，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
【点评】本题考查了矩形的判定的应用，此题答案不唯一，是一道开放型的题目．
9．（2017春?广东期中）如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 矩形 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵点D为BC的中点，
∴∠ADC=90°，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD=DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
故答案为矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．【出处：21教育名师】【版权所有：21教育】
10．（2017?广东模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为 2 ．21教育名师原创作品
【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．
【解答】解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=2，DE=2，
∴OE=2，即OF=EF=，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，
则S菱形ODEC=OE?DC=×2×2=2．
故答案是：2．
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
11．（2017?龙岗区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= 2.5 cm．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．
12．（2017春?黄陂区月考）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则线段DE的最小值为 ．
【分析】当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、D、P、E四点共圆，且直径为AP，得出∠AED=∠B=45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△ADE∽△ACB，则=，设AD=2x，表示出AE和AB的长，求出AE与AB的比，代入比例式中，可求出DE的值．
【解答】解：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
∴∠ADP+∠AEP=180°，
∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PBD中，∠B=45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠PBD=∠PAD=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠B=45°，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴=，
设AD=2x，则PD=DB=2x，AP=2x，
如图1，取AP的中点O，连接EO，则AO=OE=OP=x，
∵∠EAP=∠BAC﹣∠PAD=60°﹣45°=15°，
∴∠EOP=2∠EAO=30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM=x，
cos30°=，
∴OM=x?=x，
∴AM=x+x=x，
由勾股定理得：AE==（+1）x，
∴=，
∴ED=．
则线段DE的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了四点共圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的判断当AP⊥BC时，线段DE的值最小是解题的关键．
三．解答题
13．（2016秋?深圳期末）已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．21·世纪*教育网
（1）求证：△ABM≌DCM；
（2）判断四边形MENF是 菱形 （只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；www-2-1-cnjy-com
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形；
（3）先证出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，证出∠BMC=90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
∴EN=CM，FN=BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形；
（3）解：当=2时，四边形MENF是正方形；
证明如下：当=2时，AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
14．（2016秋?深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，
（1）证明：△ADE≌△DCB；
（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；
（3）若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是多少？
【分析】（1）由平行线的性质得出∠CDB=∠DAE，求出∠C=∠ADE=90°，AD=DC，由ASA证明△ADE≌△DCB即可；
（2）由全等三角形的性质得出DE=BC=4，BD=AE=5，再证出DE∥BC，得出四边形BCDE是平行四边形，即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出CD，得出AD，由矩形的性质得出BE=CD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中，，
∴△ADE≌△DCB（ASA）；
（2）解：四边形BCDE是矩形；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△DCB，
∴DE=BC=4，BD=AE=5，
又∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是矩形；
（3）解：在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，
由勾股定理得：CD==3，
∴AD=CD=3，
∵四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE=3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度．21·cn·jy·com
15．（2016?深圳二模）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求sin∠AED的值．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质求出∠COD=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出AO、DO、求出AC、CE，根据勾股定理求出AE，解直角三角形求出即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵∠ADB=60°，AD=2，
∴OD=，AO=3，
∴CE=，AC=6，
由勾股定理得：AE===，
∴sin∠AED=sin∠CAE==．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
16．（2017?广东模拟）如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．
（1）求证：△ADG≌△FDG；
（2）若BG=2AG，BD=2，求AD的长．
【分析】（1）根据AAS即可证明△ADG≌△FDG；
（2）只要证明∠FBG=30°，即可推出AD=BD，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，GF⊥BD，
∴∠A=∠DFG=90°，又∠ADG=∠FDG，DG=DG，
在△ADG和△FGD中，
，
∴△ADG≌△FDG．
（2）解：由（1）得△ADG≌△FDG，
∴FG=AG，
∵BG=2AG，
∴BG=2FG，
∴在Rt△BFG中，sin∠FBG=，
∴∠FBG=30°，
∴AD=．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是证明∠FBG=30°．
17．（2017?普宁市一模）如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；
（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB?sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
∵AB=14，DE=8，
∴CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=45°．
∴AD=DE=8．
∴BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得．
在Rt△AHB中，∠HAB=45°，
∴BH=AB?sin45°=7．
∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
∴sin∠AEB=．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过构建直角三角形，通过勾股定理求得有关线段的长度，然后通过解直角三角形来求锐角三角函数值．
18．（2016秋?深圳期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB），F是DA延长线上一点，G 是CF上一点，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F，你能证明∠ECB=∠ACB吗？
【分析】由矩形的对边平行可得∠F=∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=2∠F，那么∠ACF=2∠ECB，所以∠ECB=∠ACB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F=∠ECB，
∴∠ACG=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F
=2∠ECB，
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB，
∴∠ECB=∠ACB．
【点评】考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．21教育名师原创作品
19. （2017?广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．
（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．
（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．
（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．
【分析】（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解决问题．
（2）如图1中，延长CD交OA于点F，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，由OF2+OC2=CF2，列出方程求出m，求出直线CF的解析式，解方程组即可解决问题．
（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短，求出点F坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，
把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=，
∴线段OB所在直线的函数表达式为y=x．
CD的范围：≤CD＜4．
（2）如图1中，延长CD交OA于点F，
∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，
∴AF=CF，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，
∵OF2+OC2=CF2，
∴（4﹣m）2+22=m2，解得m=，
∴OF=
∴直线CF的解析式为y=﹣x+2，
由解得，
∴点D坐标（，）．
（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短（垂线段最短）．
∵直线OB的解析式为y=x，CF⊥OB，
∴可以设直线CF的解析式为y=﹣2x+b，把C（0，2）代入得b=2，
∴直线CF解析式为y=﹣2x+2，设直线CF交OB于点E，
由解得，
∴点E坐标（，），
∵C、F关于点E对称，
∴点F坐标（，﹣），
∴CD+PD最小值=PF=2+=．
【点评】本题考查四边形综合题、一次函数、矩形的性质、待定系数法勾股定理、最小值问题等知识，解题的关键是学会构建函数，利用方程组求交点坐标，想到利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考压轴题．
20．（2017?东莞市三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．
【分析】（1）由四边形EQDF为平行四边形，可得：DF=EQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；
（2）先证明△CPQ∽△CAB，然后根据相似三角形的对应边成比例，用含有t的式子表示PQ，然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式，然后根据二次函数的最值公式计算即可；
（3）首先分别从点E在FQ左边与右边，再由△EPQ∽△ACD；△EPQ∽△CAD．然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求出相应的t的值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∴由勾股定理得：AC=10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴DF=QC，DC=FQ=6cm，
∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，
∴t秒后，BE=2t，DF=QC=t，
∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t，
∵四边形EQDF为平行四边形，
∴FD=EQ，
即：8﹣3t=t，
解得：t=2；
（2）∵∠FQC=90°，∠B=90°，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，
即，
∴PQ=，
∵S△EPC=EC?PQ，
∴y=?（8﹣2t）?=﹣2+3t=﹣（t﹣2）2+3，
即y=﹣（t﹣2）2+3，
∵a=﹣＜0，
∴y有最大值，当x=2时，y的最大值为3；
（3）分两种情况讨论：
若E在FQ左边，
①当△EPQ∽△ACD时，
可得：，
即：，
解得：t=2；
②当△EPQ∽△CAD时，
可得：，
即，
解得：t=．
若E在FQ右边，
③当△EPQ∽△ACD时，
可得：，
即：，
解得：t=4（舍去）；
④当△EPQ∽△CAD时，
可得：，
即，
解得：t=．
故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：2或或．
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，动点问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，第（3）问的解题关键是：分两种情况讨论：①△EPQ∽△ACD；②△EPQ∽△CAD．2-1-c-n-j-y
