5.4 正方形
正方形的概念
有一组 相等并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质
正方形的邻角 ，对角 ；
正方形的对边 ；
正方形的四个角都是 ，四条边都 ；
正方形的两条对角线 ，并且互相 ，每一条对角线平分一组 ；
正方形是 对称图形，有 条对称轴；
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 三角形，两条对角线把正方形分成 个全等的小等腰直角三角形；21*cnjy*com21*cnjy*com【来源：21cnj*y.co*m】
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离 。
正方形的判定
对角线互相 且 的四边形是正方形；
一组邻边 ，一个角为 的平行四边形是正方形；
对角线互相垂直的 是正方形；
邻边相等的 是正方形；
有一个角是直角的 是正方形；
对角线相等的 是正方形。
正方形判定方法：
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
（1）先证它是矩形，再证有一组 相等；
（2）先证它是菱形，再证有一个角是 。
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
（1）先证明它是平行四边形；
（2）再证明它是 （或矩形）；
（3）最后证明它是矩形（或 ）。
正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b，则面积S正方形=
考点一：多边形与正方形
（2016春?五华区校级期中）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．都有可能
【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证．
【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为正方形．
故选C．
【点评】此题考查了正方形的定义与判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
变式跟进1（2017?南岸区校级模拟）如图，以A，B为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二：正方形的性质
（2017?磴口县二模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
∴S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选C．
【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．21·cn·jy·com
变式跟进2（2017?龙岗区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积，正确的有 （ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点三：正方形的判定
（2016春?卢龙县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
变式跟进3（2016秋?黄岛区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使?ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（ ）www.21-cn-jy.com2·1·c·n·j·y
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
（2017春?潮阳区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC=BD时，平行四边形ABCD是正方形
D．当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．21教育名师原创作品【出处：21教育名师】
变式跟进4（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：21*cnjy*com
①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．
其中正确的序号是 ．
（2017春?禄劝县期末）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．21cnjy.com21·cn·jy·com
求证：四边形CEDF是正方形．
【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．21世纪教育网版权所有21教育网
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形．
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
变式跟进5（2017春?常州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
考点四：正方形的应用
（2016春?白云区期末）在正方形ABCD中，BD是对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH．【出处：21教育名师】
（1）若点P在线段CD上，请按题意补全图；
（2）AH与PH的数量关系是 相等 ； AH与PH的位置关系是 垂直 ；
对以上所填的两个结论均加以证明（若需要的话请另外画图）
【分析】（1）先依据要求画出平移后的△BCQ，然后过点Q作QH⊥BD，垂足为H，最后连接AH和PH即可；2·1·c·n·j·y
（2）先证明AD=PQ，然后再证明△DHQ为等腰直角三角形，从而得到DH=HQ，然后依据SAS可证明△ADH≌△PQH，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．21*cnjy*com
【解答】解：（1）依照题意，补充图形，如图1所示．
（2）当点P在线段CD上时（图1所示）．
∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
当点P在CD的延长线上时，如图2所示：
∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
故答案为：相等；垂直．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质全等三角形的性质和判定、平移的性质，证得△ADH≌△PQH是解题的关键．21·cn·jy·com21世纪教育网版权所有
变式跟进6（2016?深圳校级二模）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．
一．选择题
1．（2016?内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2016?广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）21世纪教育网版权所有2-1-c-n-j-ywww.21-cn-jy.com
A． B．2 C．+1 D．2+1
3．（2017?河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
4．（2017?黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
5．（2016?毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2015?日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）21教育网
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．（2017?广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二．填空题
8．（2016?兰州）?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得?ABCD为正方形．
9．（2016?龙岩）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= ．
10．（2016?丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．21*cnjy*com
11．（2017?大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 ．
12．（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ．
13．（2016?聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 ．
三．解答题
14．（2017?广安）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．【出处：21教育名师】【版权所有：21教育】
15．（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
16．（2016?贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．21教育网21cnjy.com
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
17．（2017?青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．www-2-1-cnjy-com2-1-c-n-j-y
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
18．（2017?菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．www.21-cn-jy.com
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
19．（2017?湖州）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，
①求证：∠ODG=∠OCE；
②当AB=1时，求HC的长．
20．（2017?衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．【来源：21·世纪·教育·网】
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）2-1-c-n-j-y2·1·c·n·j·y【来源：21·世纪·教育·网】
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
一．选择题
1．（2016秋?宝坻区校级月考）下列图形中，是正多边形的是（ ）
A．等腰三角形 B．长方形
C．正方形 D．五边都相等的五边形
2．（2016?深圳模拟）正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（ ）
A．4 B．32 C．64 D．128
3．（2017春?灌阳县期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（ ）时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2017?南山区三模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，DE，BE，过点A作AE的垂线交ED于点P，连接BP，AE=AP=1，PB=，有下列结论：
①△APD≌△AEB
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+；
⑤S正方形ABCD=4+，
则正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
5．（2016?深圳三模）已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】21·世纪*教育网
A．256 B．900 C．1024 D．4096
二．填空题
6．（2017春?东西湖区期中）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC= ．
7．（2017?龙湖区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．21·世纪*教育网www-2-1-cnjy-com
8．（2017?东莞市校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC= ．
9．（2017?深圳模拟）如图，正方形ABCD的长为2cm，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边做平行四边形AO1C1B，对角线交于点O2，以AB、AO2为邻边做平行四边形AO2C2B，…，依此类推，则平行四边形AO6C6B的面积为 cm2．
10．（2017?广东模拟）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是 ．
三．解答题
11．（2016?深圳三模）如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．
（1）求证：BE=EF．
（2）求tan∠EAF的值．
12．（2017?深圳二模）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．21·世纪*教育网
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．
13．（2016?深圳三模）如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．21cnjy.com
（1）证明：EF=CF；
（2）当时，求EF的长．
14．（2016?深圳二模）【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= 90° ．
【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：ED=FC．
（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．
15．（2016春?宜春期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．【版权所有：21教育】【版权所有：21教育】21教育名师原创作品
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
16．（2017?广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点，且EF∥AC，P是斜边AC的中点，连接PE，PF，且AB=，BC=．
（1）当E、F均为两直角边的中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长；
（2）设EF的长度为x（x＞0），当∠EPF=∠A时，用含x的代数式表示EP的长；
（3）设△PEF的面积为S，则当EF为多少时，S有最大值，并求出该最大值．
5.4 正方形
正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质
正方形的邻角互补，对角相等；
正方形的对边平行且相等；
正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；www-2-1-cnjy-com
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
正方形的判定
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形。
正方形判定方法：
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
（1）先证它是矩形，再证有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证有一个角是直角。
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
（1）先证明它是平行四边形；
（2）再证明它是菱形（或矩形）；
（3）最后证明它是矩形（或菱形）。
正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b，则面积S正方形=
考点一：多边形与正方形
（2016春?五华区校级期中）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．都有可能
【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证．
【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为正方形．
故选C．
【点评】此题考查了正方形的定义与判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
变式跟进1（2017?南岸区校级模拟）如图，以A，B为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】AB即可以是正方形的边长，也可以是其对角线，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：以AB为边可作两个正方形，以AB为对角线可作一个正方形，所以共可作三个，故选C．
【点评】本题考查了正方形的作法和四边相等的性质．
考点二：正方形的性质
（2017?磴口县二模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
∴S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选C．
【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．【版权所有：21教育】
变式跟进2（2017?龙岗区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积，正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①正确．由△EBC≌△FCD（SAS），推出∠CFD=∠BEC，推出∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，推出∠DOC=90°．
②错误．用反证法证明．
③正确．易证得∠OCD=∠DFC，由此tan∠OCD=tan∠DFC==．
④正确．由△EBC≌△FCD，推出S△EBC=S△FCD，推出S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4﹣1=3，
在△EBC和△FCD中，
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°，故①正确；
连接DE，如图所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC==，故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD，
∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，
即S△ODC=S四边形BEOF，故④正确；
故选C．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用反证法的方法证明②错误，属于中考常考题型．21*cnjy*com
考点三：正方形的判定
（2016春?卢龙县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
变式跟进3（2016秋?黄岛区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使?ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分析得出即可．
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．21教育名师原创作品2·1·c·n·j·y
（2017春?潮阳区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC=BD时，平行四边形ABCD是正方形
D．当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
变式跟进4（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ①③④ ．
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟记判定是解决问题的关键．
（2017春?禄劝县期末）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．【出处：21教育名师】
求证：四边形CEDF是正方形．
【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形．
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
变式跟进5（2017春?常州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
【分析】连接CD．首先证明四边形CEDF是矩形，再证明DE=DF即可解决问题．
【解答】证明：连接CD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∠CED=90°，∠CFD=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵AC=BC，D是AB中点，
∴DC平分∠ACB，
∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形．
【点评】本题考查矩形、正方形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，交通费关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．【来源：21cnj*y.co*m】
考点四：正方形的应用
（2016春?白云区期末）在正方形ABCD中，BD是对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，请按题意补全图；
（2）AH与PH的数量关系是 相等 ； AH与PH的位置关系是 垂直 ；
对以上所填的两个结论均加以证明（若需要的话请另外画图）
【分析】（1）先依据要求画出平移后的△BCQ，然后过点Q作QH⊥BD，垂足为H，最后连接AH和PH即可；
（2）先证明AD=PQ，然后再证明△DHQ为等腰直角三角形，从而得到DH=HQ，然后依据SAS可证明△ADH≌△PQH，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．
【解答】解：（1）依照题意，补充图形，如图1所示．
（2）当点P在线段CD上时（图1所示）．
∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
当点P在CD的延长线上时，如图2所示：
∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
故答案为：相等；垂直．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质全等三角形的性质和判定、平移的性质，证得△ADH≌△PQH是解题的关键．21教育网【来源：21cnj*y.co*m】
变式跟进6（2016?深圳校级二模）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；
（2）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．
【解答】（1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∠ECF=90°+45°=135°；
在△AGE和△ECF中，
；
∴△AGE≌△ECF；
（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=BC=AB=a，
根据勾股定理得：AE==a，
∴S△AEF=a2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．
一．选择题
1．（2016?内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
2．（2016?广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C．+1 D．2+1
【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD==1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
3．（2017?河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定A不正确．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选A．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
4．（2017?黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
解法二：连接BF．易知∠FCB=15°，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45°+15°=60°
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2016?毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．21世纪教育网版权所有
【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE=BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4．
故选（B）．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．21教育名师原创作品
6．（2015?日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
7．（2017?广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF，故①正确，
∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，
∴===，
∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，
故②③错误④正确，
故选C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题
8．（2016?兰州）?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ∠BAD=90° ，使得?ABCD为正方形．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，
当∠BAD=90°时，?ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD=90°．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角．
9．（2016?龙岩）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= 45° ．21·世纪*教育网
【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°﹣45°=45°；
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质、折叠的性质；熟练掌握正方形和折叠的性质是解决问题的关键．
10．（2016?丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 6 ．21*cnjy*com
【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F，
∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质等，利用等角对等边是解答此题的关键．
11．（2017?大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 2 ．
【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．
【解答】解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，
在Rt△OPN中，
ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ①③④ ．
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟记判定是解决问题的关键．
13．（2016?聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 （21008，0） ．
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，
∴OB1=，
∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，
∴OB2=2，
∴B2点坐标为（0，2），
同理可知OB3=2，
∴B3点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），
B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），
B7（8，﹣8），B8（16，0）
B9（16，16），B10（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，21教育网
∵2016÷8=252
∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，
∴B2016的坐标为（21008，0）．
故答案为：（21008，0）．
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．
三．解答题
14．（2017?广安）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
【分析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△ABF是解题关键．
15．（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180×=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
16．（2016?贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；
（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，有，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．
17．（2017?青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
18．（2017?菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6，由题意得，DM=t，BE=t，求得AM=6﹣t，DE=6﹣t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=，由①求得BF=，得方程=，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵MN⊥AF，
∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠BAF=∠AMH，
在△AMN与△ABF中，，
∴△AMN≌△ABF，
∴AF=MN；
（2）①∵AB=AD=6，
∴BD=6，
由题意得，DM=t，BE=t，
∴AM=6﹣t，DE=6﹣t，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴，即，
∴y=；
②∵BN=2AN，
∴AN=2，BN=4，
由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，
∴△ABF∽△AMN，
∴=，即=，
∴BF=，
由①求得BF=，
∴=，
∴t=2，
∴BF=3，
∴FN==5cm．
【点评】本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．
19．（2017?湖州）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；2·1·c·n·j·y
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，
①求证：∠ODG=∠OCE；
②当AB=1时，求HC的长．
【分析】（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；
（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；
②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH?CD，由此构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=OC，
∴∠DOG=∠COE=90°，
∴∠OEC+∠OCE=90°，
∵DF⊥CE，
∴∠OEC+∠ODG=90°，
∴∠ODG=∠OCE，
∴△DOG≌△COE（ASA），
∴OE=OG．
（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，
∴△ODG≌△OCE，
∴∠ODG=∠OCE．
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，
∵EH⊥BC，
∴∠BEH=∠EBH=45°，
∴EH=BH=1﹣x，
∵∠ODG=∠OCE，
∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，
∴∠HDC=∠ECH，
∵EH⊥BC，
∴∠EHC=∠HCD=90°，
∴△CHE∽△DCH，
∴=，
∴HC2=EH?CD，
∴x2=（1﹣x）?1，
解得x=或（舍弃），
∴HC=．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2017?衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．www.21-cn-jy.com
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）21·cn·jy·com
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
【点评】本题是综合题目，考查了正三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21·cn·jy·com
一．选择题
1．（2016秋?宝坻区校级月考）下列图形中，是正多边形的是（ ）
A．等腰三角形 B．长方形
C．正方形 D．五边都相等的五边形
【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【解答】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
2．（2016?深圳模拟）正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（ ）
A．4 B．32 C．64 D．128
【分析】正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可以根据S=ab（a、b是正方形对角线长度）计算．
【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S=ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S=×8×8=32，
故选B．
【点评】本题考查了正方形面积计算可以按照菱形面积计算公式计算，考查了正方形对角线相等的性质，解本题的关键是清楚菱形的面积计算公式且根据其求解．
3．（2017春?灌阳县期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（ ）时，则四边形AECF是正方形．21cnjy.com
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．
【解答】解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF=90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC=∠ECH，
∵∠ECH=∠ECO，
∴∠FEC=∠ECO，
∴OE=OC．
同理OC=OF，
∴OE=OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA=OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB=90°，则CE=CF，
∴四边形AECF为正方形．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有
4．（2017?南山区三模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，DE，BE，过点A作AE的垂线交ED于点P，连接BP，AE=AP=1，PB=，有下列结论：
①△APD≌△AEB
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+；
⑤S正方形ABCD=4+，
则正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项正确；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；故此选项正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，PE=AE=，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE==，
∴BF=EF==，
故此选项错误；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．
故此选项错误．
⑤∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，
故此选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．21*cnjy*com
5．（2016?深圳三模）已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（ ）
A．256 B．900 C．1024 D．4096
【分析】判断出△OA1B1是等腰直角三角形，求出第一个正方形A1B1C1A2的边长为1，再求出△B1C1B2是等腰直角三角形，再求出第2个正方形A2B2C2A3的边长为2，然后依次求出第3个正方形的边长，第4个正方形的边长第5个正方形的边长，第6个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠MON=45°，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
∵OA1=1，
∴正方形A1B1C1A2的边长为1，
∵B1C1∥OA2，
∴∠B2B1C1=∠MON=45°，
∴△B1C1B2是等腰直角三角形，
∴正方形A2B2C2A3的边长为：1+1=2，
同理，第3个正方形A3B3C3A4的边长为：2+2=4，
第4个正方形A4B4C4A5的边长为：4+4=8，
第5个正方形A5B5C5A6的边长为：8+8=16，
第6个正方形A6B6C6A7的边长为：16+16=32，
所以，第6个正方形的面积S6是：322=1024．
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，得出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍是解题的关键．
二．填空题
6．（2017春?东西湖区期中）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC= 4 ．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半得出AC的长即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为8，AC=BD，
∴AC?BD=8，
即AC2=16，
∴AC=4
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，利用正方形的面积等于对角线乘积的一半得出是解题关键．
7．（2017?龙湖区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．2-1-c-n-j-y
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积=正方形ABCD的面积=2
∵EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积=△BCD的面积．
∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=．
∴阴影部分的面积=2+=．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边长相等，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算．
8．（2017?东莞市校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC= ﹣1 ．www.21-cn-jy.com
【分析】根据正方形的性质和已知条件可求得AF，AC的长，从而不难得到FC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD=1，∠D=∠B=90°，
∴AC==，
∵AE平分∠DAC，EF⊥AC交于F，
∴AF=AD=1，
∴FC=AC﹣AF=﹣1，
故答案为：；
【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质；熟练掌握正方形的性质，求出AF=AD是解决问题的关键．
9．（2017?深圳模拟）如图，正方形ABCD的长为2cm，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边做平行四边形AO1C1B，对角线交于点O2，以AB、AO2为邻边做平行四边形AO2C2B，…，依此类推，则平行四边形AO6C6B的面积为 cm2．
【分析】设平行四边形ABC1O1的面积为S1，推出S△ABO1=S1，又S△ABO1=S正方形，推出S1=S正方形=10=；设ABC2O2为平行四边形为S2，由S△ABO2=S2，又S△ABO2=S正方形，推出S2=S正方形=5=，观察规律即可解决问题．
【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，
∴S△ABO1=S1，
又∵S△ABO1=S正方形，
∴S1=S正方形=10=；
设ABC2O2为平行四边形为S2，
∴S△ABO2=S2，
又∵S△ABO2=S正方形，
∴S2=S正方形=5=；
…，
同理：设ABC6O6为平行四边形为S6，S6==．
故答案为．
【点评】此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
10．（2017?广东模拟）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是 （ ）2015 ．21*cnjy*com
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，
则B2C2==（）1，
同理可得：B3C3==（ ）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（ ）n﹣1，
则正方形A2016B2016C2016D2016的边长为：（ ）2015，
故答案为：（ ）2015．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
三．解答题
11．（2016?深圳三模）如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．
（1）求证：BE=EF．
（2）求tan∠EAF的值．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得BE=EF；
（2）根据勾股定理，计算正方形的对角线的长，减去AF的长求得CF的长，最后计算tan∠EAF的值．
【解答】证明：（1）∵在正方形ABCD中，EF⊥AC，AB⊥BC，
∴∠AFE=∠ABE=90°；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE；
又∵AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△FAE，
故AB=AF，BE=FE．
（2）∵正方形ABCD，
∴在Rt△CEF中，∠ECF=45°，
故FE=CF，
∴BE=CF，
∵正方形ABCD的边长为1 cm，对角线AC=cm，
由（1）可得，BE=EF=CF=AC﹣AF=AC﹣AB=﹣1（cm），
∴．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，掌握正方形的四边相等、对角线平分每一对对角是解题的关键．【出处：21教育名师】
12．（2017?深圳二模）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，证出四边形ABEF是矩形，再证明AB=BE，即可得出四边形ABEF是正方形；
（2）由正方形的性质得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD﹣AH=5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCDABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，
∴AB∥PH，
∵AB=6，
∴AH=PH=3，
∵AD=8，
∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，
在Rt△PHD中，∠PHD=90°．
∴tan∠ADP==．
【点评】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质、平行线的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键．
13．（2016?深圳三模）如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当时，求EF的长．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）设EF=x，根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵正方形ABGD，
又∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC，
且AD=GD，
在△ADE与△GDC中，
，
∴△ADE≌△GDC（ASA）．
∴DE=DC，且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
，
∴△EDF≌△CDF（SAS）．
∴EF=CF．
（2）∵，
∴AE=GC=2．
设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=6﹣2=4．
由勾股定理，得x2=（8﹣x）2+42．
解之，得x=5，
即EF=5．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
14．（2016?深圳二模）【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= 90° ．
【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：ED=FC．
（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．
【分析】阅读发现：只要证明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可证明．
拓展应用：（1）欲证明ED=FC，只要证明△ADE≌△DFC即可．
（2）根据∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算．
【解答】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60°+90°=150°，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，
∴∠FDE=60°+15°=75°，
∴∠MFD+∠FDM=90°，
∴∠FMD=90°，
故答案为90°
（1）∵△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，EA=AB．
∵△ADF为等边三角形，
∴∠FDA=60°，AD=FD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．
∴EA=DC．
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，
∴∠EAD=∠CDF．
在△EAD和△CDF中，
，
∴△EAD≌△CDF．
∴ED=FC；
（2）∵△EAD≌△CDF，
∴∠ADE=∠DFC=20°，
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．
15．（2016春?宜春期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．【版权所有：21教育】
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG
∴AC=AE+CE=AB=×2=4，
∴CE+CG=4 是定值．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
16．（2017?广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点，且EF∥AC，P是斜边AC的中点，连接PE，PF，且AB=，BC=．
（1）当E、F均为两直角边的中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长；
（2）设EF的长度为x（x＞0），当∠EPF=∠A时，用含x的代数式表示EP的长；
（3）设△PEF的面积为S，则当EF为多少时，S有最大值，并求出该最大值．
【分析】（1）先求出四边形EPFB是平行四边形，再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．21cnjy.com21·世纪*教育网
（2）证明△APE∽△PEF，得出对应边成比例，即可得出结果．
（3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP∥BC，且EP=BC，
∵F是BC的中点，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四边形EPFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
（2）∵AB=，BC=．
∴BE=，BF=，
∴EF==1．（2）∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，
∴△APE∽△PEF．
∴，
∵AP=1，EF=x，
∴EP2=x，
∴EP=．
（3）如图2，作FH⊥AC交AC于点H，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设EF=x，则BF=x，CF=﹣x，
∴FH=CF=﹣x，
∴S=EF?FH=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，
∴当x=1，即EF=1时，S有最大值为．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及二次函数的最值，解题的关键是运用三角形相似及三角函数求出线段之间的关系．
