回扣验收特训（三）
基本初等函数（Ⅰ）
1．集合M＝{x|lg
x＜0}，
N＝{y|y＝2x－1}，则M∩N等于( )
A．
(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－∞，1)
解析：选B ∵lg
x＜0，∴0＜x＜1，
∴M＝(0,1)，N＝(－1，＋∞)，
∴M∩N＝(0,1)．
2．函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝
B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1
D．y＝log2(2x)
解析：选A f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1,1)，结合各选项知点(1,1)不在y＝的图象上．
3．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则( )
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
解析：选A a＝＞1,0＜b＝log＝log32＜1，c＝log2＝－log23＜0，故a＞b＞c，故选A.
4．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
解析：选C 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝x－1，此函数在R上为减函数，其图象过点(0,2)，所以选项C中的图象符合要求．
5．若f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：选B 当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f
(0)＝a0＋loga1＝1，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f(x)max＝f(0)＝a0＋loga1＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，故选B.
6．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为( )
解析：选A 法一：f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝即f(x)＝
从而判断选项A正确．
法二：取特值f(－1)＝＝＝，从而排除选项B、C、D.
7．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
解析：设f(x)＝xa，∵f(4)＝3f(2)，
∴4a＝3×2a，
解得a＝log23，∴f＝＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“＜”“＝”“＞”)
解析：当x∈(0，＋∞)时，显然有f(x)＝loga|x|＝logax，由此时函数单调递增可知a＞1.又易知f(x)为偶函数，因此f(a＋1)＞f(1＋1)＝f(2)＝f(－2)，因此应填“＜”．
答案：＜
9．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0
10．化简：(1)÷100；
(2).
解：(1)原式＝－2×＝－2×lg
10÷＝－20.
(2)原式＝＝a·b＝.
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
12．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－.
(1)判断并证明y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)求y＝f(x)的值域．
解：(1)设x1＜x2＜0，则0＜3x1＜3x2＜1,3x1＋x2＜1.
∵f(x1)－f(x2)＝－＝＝＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，即y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)∵函数f(x)在(－∞，0)上是增函数且连续，
∴f(x)≤f(0)＝－＝0.
又f(x)＞－，∴当x≤0时，f(x)＝－的值域为.而函数f(x)为奇函数，由对称性可知，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的值域为.
综上可得，y＝f(x)的值域为.回扣验收特训（四）
函数方程、函数的应用
1．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
选D 当x≤0时，函数有零点x＝－；当x>0时，作出函数y＝ln
x，y＝x2－2x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x>0时函数f(x)有2个零点．故函数f(x)的零点个数为3.
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)
B．(0,1)
C．(2，e)
D．(3,4)
解析：选A f(1)＝ln
2－2＝ln＜ln
1＝0，
f(2)＝ln
3－1＝ln＞ln
1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1,2)．
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元
B．105元
C．106元
D．108元
解析：选D 设该家具的进货价是x元，由题意得132(1－10%)－x＝x·10%，解得x＝108元．
4．下列函数：①y＝lg
x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是( )
A．①②
B．③④
C．②③
D．④
解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，选D.
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )
A．至少有一实根
B．至多有一实根
C．没有实根
D．必有唯一实根
解析：选B 由于f(a)f(b)＜0，则f(a)＜0＜f(b)或f(b)＜0＜f(a)，又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则至多有一个实数x0∈[a，b]，使f(x0)＝0，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内至多有一实根．
6．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．与a的值有关
解析：选A 设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
解析：由题意，S＝(4＋x)，即S＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．
答案：1
8．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
解析：设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元，
则a＝xy.
再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a＝(x＋11)(y－30)，其中x＋11＞50.
∴xy＝(x＋11)(y－30)(39＜x≤50)．
∴x＝y－30.
又x∈N，y∈N(因价格为整数)，39＜x≤50，
∴x＝44，y＝150，a＝44×150＝6
600.
答案：6
600
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出规定时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域；
(2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．
解：(1)由题意知，生产第x个档次的产品每件的利润为8＋2(x－1)元，该档次的产量为60－3(x－1)件．则规定时间内第x档次的总利润
y＝(2x＋6)(63－3x)＝－6x2＋108x＋378，其中x∈{x∈N＋|1≤x≤10}．
(2)y＝－6x2＋108x＋378＝－6(x－9)2＋864，则当x＝9时，y有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．
11．A、B两城相距100
km，在两地之间距A城x
km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
解：(1)x的取值范围为[10,90]．
(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25
000＝2＋.
则当x＝
km时，y最小．
故当核电站建在距A城
km时，才能使供电费用最小．
12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80
000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80
000＝－(x－300)2－35
000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40
000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40
000元才能不亏损．回扣验收特训（二）
函数及其基本性质
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－1,2]
B．(－1,2]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选B 法一：要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－1＜x≤2，故选B.
法二：因为x≠－1，排除A；取x＝3，则4－2x＝4－6＝－2＜0，所以x≠3，排除C、D，故选B.
2．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：选A 依题意，知满足f(a)＝1的实数a必不超过零，于是有由此解得a＝－1.
3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝－x＋1
B．y＝
C．y＝－(x－1)2
D．y＝31－x
解析：选B 由题意可知，y＝－x＋1与y＝31－x在定义域上均为减函数，y＝－(x－1)2的对称轴为x＝1，且开口向下，所以在区间(1，＋∞)上是减函数，只有函数y＝在区间(1，＋∞)上是增函数．故选B.
4．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
解析：选C 易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
5．已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－4
B．－2
C．－1
D．－3
解析：选A ∵f(x)＝x＋－1，
∴f(a)＝a＋－1＝2，∴a＋＝3，
∴f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
6．偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f＞f(－π)
B．f＞f(－1)＞f(－π)
C．f(－π)＞f(－1)＞f
D．f(－1)＞f(－π)＞f
解析：选A 函数y＝f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)，又函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，所以f(1)＞f＞f(π)，则f
(－1)＞f＞f(－π)．
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
8．不等式x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则f(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时f(x)取最小值f(1)＝3.
∵x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
∴3－a>0，即a<3.
答案：(－∞，3)
9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；
②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．
综上所述，a＝－.
答案：－
10．设函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f＝－f(2x)．
解：(1)要使原函数有意义，只需4－x2≠0，即x≠±2，
所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}．
因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)证明：因为f＝＝，
f(2x)＝＝，
所以f＝－f(2x)．
11．已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数图象．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x,
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
12．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数．
(1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)证明：设x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数．
(2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有 0＜t＜，所以不等式的解集是.回扣验收特训（一）
集
合
1．已知集合A＝{x|2x－3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则( )
A．A B
B．B A
C．A RB
D．B RA
解析：选B A＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，∴B A.
2．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1 A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，1)
解析：选A 由题意知A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1 A，则1－2＋a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，1]，故选A.
3．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则( RA)∩B＝( )
A.
B.
C．{－1,0,1}
D.
解析：选A 因为A＝{x|x＞－1}，所以 RA＝{x|x≤－1}，所以( RA)∩B＝{－2，－1}．
4．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则( UA)∩B＝( )
A．{x|－3≤x≤4}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4}
D．{x|－2≤x≤4}
解析：选B UA＝{x|－2≤x≤4}．由图知( UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}．
5．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3}
B．{3,7,9}
C．{3,5,9}
D．{3,9}
解析：选D 因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又( UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5 B(否则5∈A∩B)，从而5∈ UB，则( UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5 A.同理1 A,7 A，故A＝{3,9}．
6．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x＜0，x∈R}，则A B＝( )
A.
B.
C.∪[0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
解析：选C 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A B＝∪[0，＋∞)．故选C.
7．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2
016＝________.
解析：由M＝N知或
∴或∴(m－n)2
016＝1或0.
答案：1或0
8．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则( RA)∩B＝________.
解析：因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，所以 RA＝{x|x＜0}．又B＝＝{x|－1＜x＜2}，所以( RA)∩B＝{x|－1＜x＜0}．
答案：{x|－1＜x＜0}
9．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3 A，则a2 A；③若a3∈A，则a4 A.则集合A＝________.(用列举法表示)
解析：假设a1∈A，则a2∈A，则由若a3 A，则a2 A可知，a3∈A，与题意不符，∴假设不成立；假设a4∈A，则a3 A，则a2 A，且a1 A，与题意不符，∴假设不成立，故集合A＝{a2，a3}(经检验知符合题意)．
答案：
{a2，a3}
10．已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜－3或x＞1}．
求：(1)A∩B；
(2)( UA)∩( UB)；
(3) U(A∪B)．
解： UA＝{x|x≤0或x＞2}， UB＝{x|－3≤x≤1}，A∪B＝{x|x＜－3或x＞0}．
(1)A∩B＝{x|1＜x≤2}．
(2)( UA)∩( UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3) U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
11．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{a,2,2a－1}．
(1)求集合A；
(2)若A B，求实数a的值．
解：(1)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}．
(2)若A B，即{2,3} {a,2,2a－1}．
所以a＝3，或2a－1＝3.
当a＝3时，2a－1＝5，B＝{3,2,5}，满足A B.
当2a－1＝3时，a＝2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
综上，a＝3.
12．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求( IM)∩N；
(2)记集合A＝( IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}，
∴ IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴( IM)∩N＝{2}．
(2)A＝( IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B A，
∴B＝ 或B＝{2}，
当B＝ 时，a－1＞5－a，得a＞3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
