高中数学第二章平面向量学案（打包23套）北师大版必修4

2.7　向量应用举例
问题导学
1．向量在平面几何中的应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
在△ABC中，如图所示，点D和E分别在边BC与AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD与BE交于点R，证明：RD＝AD，RE＝BE．
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( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)．
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
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用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路．
(1)向量的线性运算法：
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(2)向量的坐标运算法：
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2．向量在平面解析几何中的应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
已知点P(－3,0)，点A在
( http: / / www.21cnjy.com )y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
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向量在解析几何中的应用：
(1)已知直线的方向向量，可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程．
(2)已知直线的法向量，可由向量垂直的条件写出直线方程．
(3)其他在解析几何中涉及角度，垂直，共线等
( http: / / www.21cnjy.com )问题的处理，可将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程(组)，从而使问题得以解决．
3．向量在物理学中的应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究4
(1)一质点受到平面上的三个力F
( http: / / www.21cnjy.com )1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)．
A．6
B．2
C．2
D．2
(2)一辆汽车在平直公路上向西行驶，
( http: / / www.21cnjy.com )车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图，无弹性的细绳OA，
( http: / / www.21cnjy.com )OB的一端分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？
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用力向量和速度向量解决物理问题的方法步骤：
(1)把物理问题中的相关量用向量表示；
(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题得以解决；
(3)还原为物理问题．
注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s的数量积；动量mv是数乘向量等．
当堂检测
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)．
A．(5,0)
B．(－5,0)
C．
D．－
2．在△ABC中，＝a，＝b．当a·b＜0时，△ABC为(　　)．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是(　　)．
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
4．两个力F1＝i＋j，F
( http: / / www.21cnjy.com )2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．其中i，j是x轴，y轴正方向上的单位向量．
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
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　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．d＝
预习交流1　d＝＝.
2．(B，－A)　(A，B)
预习交流2　提示：不唯一，与直线的方向向量垂直的向量统称为直线的法向量；当B＝0时，直线的斜率不存在，当B≠0时，直线的斜率为－.
预习交流3　(1)B
(2)1　解析：如图所示，＝(0,1)，＝(－1,1)，A·A＝(0,1)·(－1,1)＝1.
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预习交流4　提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　证法一：设＝e1，＝e2.
取{e1，e2}为基底，下面我们将用基底表示出来．
设＝λ，＝μ.
由于＝＋
＝e1＋(e2－e1)
＝e1＋e2，
＝＋＝－e1＋e2，
∴＝λ＝λe1＋λe2，①
＝μ＝－μe1＋μe2，
＝＋＝(1－μ)e1＋μe2.②
根据唯一性，由①和②可得解得
于是AR＝AD，RD＝AD；
BR＝BE，RE＝BE.
活动与探究2　证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示．
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设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝(－1)×1＋1×1＝0.
∴⊥，即AC⊥BC.
迁移与应用　B　解析：如图，
∵E是OD的中点，
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∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.
活动与探究3　解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．
∵＝－，
∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
∴a＝，b＝－，即
A，Q.
＝，＝.
∵·＝0，
∴3x－y2＝0.
即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．
迁移与应用　解：设P(x，y)，R(x1，y1)，
则＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．
由＝2，得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即
代入直线l的方程得y＝2x.
所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
活动与探究4　(1)D　解析：(
( http: / / www.21cnjy.com )1)因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos
120°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2.
(2)解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||cos
30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒．
迁移与应用　解：设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是a，b，c，则a＋b＋c＝0，a，b的合力为c′＝a＋b，|c′|＝|c|，
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，在平行四边形OB′C′A′中，
因为′⊥′，＝′，
所以||＞||，||＞||.
即|a|＞|b|，|a|＞|c|，
所以细绳OA受力最大．
【当堂检测】
1．C　2．C　3．D
4．解：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝F1·＝－13－15＝－28(J)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
∴WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．2.2
从位移的合成到向量的加法
课堂导学
三点剖析
1.向量的加减法运算和运算律
【例1】
用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证
( http: / / www.21cnjy.com )一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.
已知：如右图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：根据向量加法的三角形法则，有
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),
即AB与DC平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形.
友情提示
本题的证明方法是用向量表示四边形中的边，然后进行向量加法运算，得出相等向量，再利用向量相等的几何意义说明四边形的性质.
各个击破
类题演练
1
如右图，已知平行四边形ABCD，
( http: / / www.21cnjy.com )=a,
( http: / / www.21cnjy.com )=b，用a、b分别表示向量
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:连结AC、DB，由求向量和的平行四边形法则，则
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b.
依减法定义得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=a-b.
变式提升
1
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0；
③若
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①错误.当a+b=0时，命题不成立.
②正确
③错误.当A、B、C三点共线时也可以有
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0.
④错误.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a|+|b|＞|a+b|.
答案：B
2.向量加减法的综合应用
【例2】
已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.同时要注意特殊的向量零向量.
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.
（3）当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.
（4）当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.
友情提示
解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答，关键是准确、恰当地进行分类.
类题演练
2
若向量a、b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值是________，|a-b|的最大值是________.
解析:在a与b共线反向时，|a+b|取最小值.a与b共线反向时，|a-b|取最大值.
答案：4
20
变式提升
2
若a≠0,且b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b所在直线的夹角.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵|a|=|b|=|a-b|,
∴∠BOA=60°.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA,如右图，
∴a与a+b所在直线的夹角为30°.
3.向量减法运算
【例3】
化简（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )）-（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )）.
思路分析：混合运算可以统一成一种运算，即把加、减混合运算统一成加法运算.
解：（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )）-（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )）
=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）+（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0.
友情提示
做向量减法运算时，结果的箭头方向容易出错，要记住“在用三角形法则做向量减法时，连结两向量终点，箭头指向被减向量.”
类题演练
3
在四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )等于（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：C
变式提升
3
求向量
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )之和.
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0.2.5　从力做的功到向量的数量积
问题导学
1．向量数量积的定义及几何意义
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的射影．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)数量积的符号同夹角的关系：
①若a·b＞0 θ为锐角或零角；
②若a·b＝0 θ＝或a与b至少有一个为0；
③若a·b＜0 θ为钝角或平角．
(2)求平面向量数量积的方法
①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ．
②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b．
2．平面向量数量积的运算
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求
①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；
④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________．
2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________．
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向量数量积的运算中要注意的问题：
(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．
(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；
(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2．
(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”．
3．求向量的模
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)．
A．0
B．2
C．4
D．8
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a＋2b|．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，求|3a＋b|，|a－2b|．
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求向量的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
4．求向量的夹角问题
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究4
已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，
求：(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为__________．
2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|．
求：(1)a与a＋b的夹角；
(2)a与a－b的夹角．
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向量夹角的求法：
(1)求向量的夹角要利用公式cos
θ＝，通常分别要求a·b和|a|·|b|的值．
(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．
(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．
5．解决有关垂直问题
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究5
已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角θ．
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向量垂直的应用
(1)理论依据：a⊥b a·b＝0．
(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．
当堂检测
1．若|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　)．
A．15
B．15
C．15
D．10
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为(　　)．
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
3．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)．
A．a∥b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．a＋b＝a－b
4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝__________．
5．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)
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　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)夹角　(2)[0°，180°]　(3)垂直　(4)同向　反向　垂直　a⊥b
预习交流1　120°　120°
2．(1)|a||b|cos
θ　a·b　|a||b|cos
θ　(2)|b|cos
θ　|a|cos
θ　(3)F·s
预习交流2　提示：无关．由向量射影的定义知，
( http: / / www.21cnjy.com )a在b方向上的射影为|a|cos
θ，其中θ为a，b的夹角，所以a在b方向上的射影只与|a|和a，b的夹角有关．
预习交流3　C　解析：m·n＝|m||n|cos
135°＝4×6×＝－12.
3．(2)|e1||e2|cos
θ　cos
θ　(3)a·e　|a|cos
θ　(4)a·b＝0　(5)|a|　(6)　(7)≤　等号
预习交流4　(1)120°　(2)7
4．(1)a·b＝b·a　(2)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(3)λ(a·b)　a·(λb)
预习交流5　(1)提示：若a，b，c为实数，当b≠0时，ab＝bc a＝c，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·cD
( http: / / www.21cnjy.com )a＝c.由下图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)提示：对实数a，b，c而言，(ab)
( http: / / www.21cnjy.com )c＝a(bc)；但对向量a，b，c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　解：(1)a·b＝|a||b|·cos
θ＝5×4×cos
120°＝－10；
(2)a在b上的射影为|a|·cos
θ＝＝＝－.
迁移与应用　解：(1)b在a上的射影为|b|cos
θ＝＝＝－2；
(2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos
0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos
180°＝－20.
活动与探究2　解：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×5×＝10；
②(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋20＋25＝61；
③(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16－20＋25＝21；
④a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－25＝－9；
⑤(2a＋3b)·(3a－2b)＝6|a|2＋5|a||b|cos
60°－6|b|2
＝6×16＋5×4×5×－6×25＝－4.
迁移与应用　1．1＋　解析：a·a＋a·b＝1＋1×1×cos
45°＝1＋.
2．0　解析：b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos
120°＋|b|2＝2×4×4×＋42＝－16＋16＝0.
活动与探究3　(1)B　解析：|2a－b|＝
＝
＝＝2.
(2)解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，
a·b＝|a||b|cos
θ＝5×5×cos
＝，
所以|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a＋2b|＝＝
＝＝＝5.
迁移与应用　解：∵a⊥(a－2b)，
∴a·(a－2b)＝0，
∴a2－2a·b＝0，
∴a·b＝.
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
|a－2b|＝＝
＝
＝.
活动与探究4　解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，∴|b|2＝，
∴|b|＝.
设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝
＝＝，
∴θ＝45°.
∴a与b的夹角为45°.
(2)|a－b|＝
＝
＝＝，
|a＋b|＝
＝
＝＝.
设a－b与a＋b的夹角为φ，则
cos
φ＝＝＝.
∴a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
迁移与应用　1．135°　解析：设夹角为θ，
∵a·(a＋b)＝1，
∴|a|2＋a·b＝1，即2＋×1×cos
θ＝1，
∴cos
θ＝－，
∴a，b的夹角为135°.
2．解：如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，
( http: / / www.21cnjy.com )
以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.
(1)由于|a|＝|b|＝|a＋b|，
即||＝||＝||，
所以∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.
(2)∵∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°.
又||＝||，
∴∠OAB＝30°，
即a与a－b的夹角为30°.
活动与探究5　解：∵a⊥b，
∴a·b＝0.
又a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
∴－ka2＋ta·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)tb2＝0，
∴－4k＋(t－3)t＝0.
∴k＝(t2－3t)
＝2－(t≠0)．
∴当t＝时，k取最小值－.
迁移与应用　解：由条件知
∴
由①－②得
46a·b－23b2＝0，
即2a·b＝b2，代入①式得a2＝b2，∴|a|＝|b|.
∴cos
θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
【当堂检测】
1．A　2．B　3．B　4．
5．解：由(a－3b)⊥(7a＋5b)，
得(a－3b)·(7a＋5b)＝0.
即7|a|2－15|b|2－16a·b＝0，①
由(a－4b)⊥(λa－b)，得(a－4b)·(λa－b)＝0，
即λ|a|2＋4|b|2－(1＋4λ)a·b＝0.②
又a·b＝|a||b|cos
120°＝－|a||b|，③
把③代入①得|a|＝|b|，
再代入②得
|a|2＝0.
∵|a|＞0，∴λ＋4＋＝0，即λ＝－.
故存在实数λ＝－，使(a－4b)⊥(λa－b)．2.2.2　向量的减法
问题导学
1．向量加、减法的基本运算
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
化简下列各式：
(1)－＋－；
(2)－＋；
(3)－－；
(4)＋＋－．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a＋c
D．b＋a－c
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向量加减运算的方法步骤：
(1)观察向量的表示形式，若用小写字母表示，要采用合并同类项的方法化简；
(2)通过添、去括号或利用相反向量的性质重组；
(3)转化为首尾相连且求和的形式，或者起点相同且求差的形式；
(4)利用三角形法则化为最简形式．
2．用已知向量表示其他向量
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)．
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
( http: / / www.21cnjy.com )
用已知向量表示其他向量的基本思路：
(1)充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则；
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？
(3)必要时可直接用向量求和的多边形法则．
3．向量和与差的模
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________．
2．在△ABC中，∠C＝90°，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝5，||＝12，设a＝，b＝，则a－b的大小是________，a－b的方向是________．
( http: / / www.21cnjy.com )
两个向量的和与差的模满足||a|－|
( http: / / www.21cnjy.com )b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，只有当a与b共线时，等号才有可能成立．在这里，应注意：|a|－|b|与|a－b|的最小值是不一样的，前者可能为负，而后者一定非负．
当堂检测
1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)．
A．
B．
C．
D．
2．下列等式中正确的个数是(　　)．
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b．
A．2
B．3
C．4
D．5
3．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于(　　)．
A．0
B．1
C．
D．2
4．＋－＝__________．
5．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为r1，r2，r3，求．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．相等　相反　－a　零向量
a　0　－b　－a　0
预习交流1　提示：不同．相反数是两个数的符号正负相反，大小相等；相反向量是两向量方向相反，大小相等．
预习交流2　
2．相反向量　差　向量b的终点　向量a的终点
预习交流3　(1)　(2)　(3)　(4)　(5)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　解：(1)－＋－＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(2)－＋＝＋(＋)＝＋＝0.
(3)－－＝－(＋)＝－＝.
(4)＋＋－＝＋＋＋＝0.
迁移与应用　C
活动与探究2　解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c.
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
迁移与应用　B
活动与探究3　4　20　解析：设a＝，b＝，则当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||；
当a与b反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|；
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
迁移与应用　1．4　解析：
∵|a＋b|＝|a－b|，∴以a，b为邻边的四边形为矩形．
又∵|a|＝3，
则|b|＝＝4.
2．13　由B指向A
解析：a－b即向量，a－b的大小
( http: / / www.21cnjy.com )即线段AB的长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，所以|AB|＝13，方向由B指向A.
【当堂检测】
1．D　2．C　3．D　4．0
5．解：＝＋＝r1＋＝r1＋－＝r1＋r3－r2.2.2.1　向量的加法
问题导学
1．利用向量的加法法则作图
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如图所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”；
(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则．
2．向量的加法运算
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
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(1)＋；
(2)＋；
(3)＋．
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
化简下列各式：
(1)＋＋；(2)＋＋＋．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
化简或计算．
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋；
(3)＋＋＋＋．
( http: / / www.21cnjy.com )
两类向量加法运算问题的解法：
(1)图形中向量的加法运算，要注重三角形法则和平行四边形法则的运用，必要时借助图形的几何性质进行向量的平移转换．
(2)向量加法的化简，要先利用向量加法的交换律使各向量首尾相接，再利用结合律调整顺序，根据三角形法则或多边形法则得出结论．
3．向量加法的综合应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究4
一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2
km/h，求船实际航行的速度的大小与方向．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图(1)，用两根绳子把重10
N的物体W吊
( http: / / www.21cnjy.com )在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
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用向量加法解应用问题的方法：
(1)与大小、方向有关的一类应用题，如力的合成与分解，速度的合成等，可利用向量加法的知识来求解．
(2)解决此类问题的基本思路是结合图形，利用平行四边形法则，转化为求向量的模或方向，然后利用三角形知识求解．
当堂检测
1．若向量a表示向东走1
km，向量b表示向南走1
km，则向量a＋b表示(　　)．
A．向东南走
km
B．向东南走2
km
C．向东北走
km
D．向东北走2
km
2．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)．
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A．＋＝
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝
3．化简＋＋＋的结果是__________．
4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________．
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5．已知向量a，b，比较|a＋b|与|a|＋|b|的大小．
( http: / / www.21cnjy.com )
　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)a与b的和
预习交流1　提示：三角形法则适用于任意两个非零向量的求和；而平行四边形法则只适用于两个不共线向量的求和．
(3)终点　起点　起点到终点的向量　
预习交流2　0
2．①b＋a　②a＋b　b＋c　a
预习交流3　提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．
预习交流4　C
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　解：如图所示，首
( http: / / www.21cnjy.com )先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c.然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
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迁移与应用　解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中＝a＋b.
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活动与探究2　解：(1)＋＝；
(2)＋＝；
(3)＋＝0.
活动与探究3　解：(1)＋＋＝(＋P)＋＝＋＝2；
(2)＋M＋＋＝(＋)＋(＋M)＝＋＝.
迁移与应用　解：(1)原式＝＋＋＝；
(2)原式＝＋＋＋＋＝0；
(3)原式＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋0＝0.
活动与探究4
解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
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在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝4.
∵tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝60°.
迁移与应用　解：如图(2)，设、分别表示A、B所受的力，10
N的重力用表示，
则＋＝.
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易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴∠CEG＝∠CFG＝90°，
∴||＝||cos
30°
＝10×＝5，
||＝||cos
60°＝10×＝5.
∴A处所受力的大小为5
N，B处所受力的大小为5
N.
【当堂检测】
1．A　2．C　3．　4．
5．解：(1)当a，b至少有一个为零向量时，有|a＋b|＝|a|＋|b|.
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(1)
(2)①当a，b为非零向量，且a，b不共线时，如图(1)，有|a＋b|＜|a|＋|b|.
②当a，b为非零向量，且a，b同向共线时，如图(2)，有|a＋b|＝|a|＋|b|.
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(2)
③当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，如图(3)，有|a＋b|＜|a|＋|b|.
若|a|＞|b|，如图(3)．
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(3)
若|a|＜|b|，如图(4)．
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(4)2.6　平面向量数量积的坐标表示
问题导学
1．平面向量数量积的坐标运算
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(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)．
A．6
B．5
C．4
D．3
(2)已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
①向量a的坐标；②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)．
A．23
B．57
C．63
D．83
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向量问题的处理有两种思路，一种是纯
( http: / / www.21cnjy.com )向量式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系．
2．向量垂直条件的应用
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在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC中有一个内角为直角，求k的值．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
平面内三点A，B，C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
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向量垂直问题的解法：
(1)围绕a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0展开．
(2)常用两种解决方法：(一)是转化成a·b＝0，往往要进行整体构造，(二)是转化成坐标运算．
(3)注意垂直问题中一般不考虑零向量．
3．向量的夹角问题
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求cos
A的值；
(2)若A是钝角，求c的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究4
已知直线l1：4x＋3y－5＝0和l2：x＋7y＋6＝0，求直线l1和l2的夹角．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)．
A．－
B．
C．
D．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，求a与c的夹角．
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1．利用数量积求两向量夹角的步骤．
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos
θ＝直接求出cos
θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos
θ的值求角θ．
2．由cos
θ＝去判断θ的取值有五种情况．
(1)cos
θ＝1，θ＝0°；
(2)cos
θ＝0，θ＝90°；
(3)cos
θ＝－1，θ＝180°；
(4)cos
θ＜0且cos
θ≠－1，θ为钝角；
(5)cos
θ＞0且cos
θ≠1，θ为锐角．
当堂检测
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(　　)．
A．－1
B．－
C．
D．1
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)．
A．
B．
C．2
D．10
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)．
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
4．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝__________．
5．在平面上建立直角坐标系，O是原点，已知点A(16,12)，B(－5,15)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求||，||；
(2)求∠OAB．
( http: / / www.21cnjy.com )
　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)x1x2＋y1y2　相应坐标乘积的和
(2)a·b＝0　x1x2＋y1y2＝0　　
预习交流1　提示：由于单位向量a0＝，且|a|＝.
所以a0＝
＝(a1，a2)
＝.
此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．
预习交流2　提示：不同．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则x1y2－x2y1＝0.a⊥b，
则x1x2＋y1y2＝0.
预习交流3　(1)D　解析：
|a|＝＝1，
|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；
(a－b)·b＝a·b－|b|2
＝－＝0，
故a－b与b垂直．
(2)　(－4，－4)
预习交流4　k＝.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　(1)C　解析：
8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
由(8a－b)·c＝30，得6×3＋3x＝30，∴x＝4.
(2)解：①∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
迁移与应用　1.D　解析：
∵a＋b与a共线，
∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由解得
故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．D　解析：|a|＝5，a·b＝－20＋18＝－2，
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
活动与探究2　解：在△ABC中，(1)当∠A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，
∴k＝－.
(2)当∠B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，
∴k＝.
(3)当∠C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，
∴k＝或k＝.
∴满足题意的k的值为－，，，.
迁移与应用　解：因为A，B，C三点共线，
所以与共线．
设＝λ(λ∈R)，
又＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
所以＝－＝(7，－1－m)，＝－＝(n＋2，1－m)，
所以(7，－1－m)＝λ(n＋2，1－m)，
故有得mn＋n－5m＋9＝0，①
又⊥，所以·＝－2n＋m＝0.②
式①②联立得或
所以m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
活动与探究3　解：(1)＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)，
当c＝5时，＝(2，－4)，
∴cos
A＝＝＝.
(2)若A为钝角，则·＝－3(c－3)＋(－4)2＜0，解得c＞.
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为.
活动与探究4　解：任取直线l1和l2的方向向量m＝和n＝.
设向量m与n的夹角为θ，
因为m·n＝|m||n|cos
θ，
从而cos
θ＝
＝，
所以θ＝45°，即直线l1和l2的夹角为45°.
迁移与应用　1．C　解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为.
2．解：依题意a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，
设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝＝－，
∴a与c的夹角为120°.
【当堂检测】
1．D　2．B　3．C　4．45°
5．解：＝(16,12)，＝(－5,15)，＝(－21,3)．
(1)||＝＝20，
||＝＝15.
(2)＝(－16，－12)，
cos∠OAB＝
＝
＝
＝.
∴∠OAB＝45°.2.7
向量应用举例
课堂导学
三点剖析
1.用向量解决简单的几何问题
【例1】
如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设
( http: / / www.21cnjy.com )=a,
( http: / / www.21cnjy.com )=b,则
( http: / / www.21cnjy.com )=a-b,
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b.
而|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|a-b|=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|2=5-2a·b=4.①
又|
( http: / / www.21cnjy.com )|2=|ab|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由①得2a·b=1，
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|2=6，∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )，即AC=
( http: / / www.21cnjy.com ).
友情提示
在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.
各个击破
类题演练
1
已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求
( http: / / www.21cnjy.com ).
解析：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=(3-7,5-8)=(-4,-3),
( http: / / www.21cnjy.com )=(4-7,3-8)=(-3,-5).
又∵D是BC的中点,∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ))=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=(1.75,2).
变式提升
1
如右图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),求证：
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )）·（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）=|
( http: / / www.21cnjy.com )|2-|
( http: / / www.21cnjy.com )|2.
∵O为外心，
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，即
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=0，
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com ).
2.用向量解决物理问题
【例2】
一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.
思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：
|F1|=
( http: / / www.21cnjy.com ),θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F1|=
( http: / / www.21cnjy.com ),θ∈［0,π］,当θ=0时,|F1|=
( http: / / www.21cnjy.com )；当θ=
( http: / / www.21cnjy.com )时,|F1|=|G|；又θ∈(0,π)时,|F1|单调递增,故当θ∈(0,
( http: / / www.21cnjy.com ))时,F1∈(
( http: / / www.21cnjy.com ),|G|),当θ∈(
( http: / / www.21cnjy.com ),π)时,|F1|＞|G|.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.
友情提示
在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.
类题演练
2
在重300
N的物体上系两根绳子，这两根
( http: / / www.21cnjy.com )绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：作?OACB（左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|cos30°=
( http: / / www.21cnjy.com )(N),|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|sin30°=150(N),
|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是
( http: / / www.21cnjy.com )
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
变式提升
2
如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①
由①，得w+p+f
=(mgcosα,mgsinα)+(-p,0)+(0,-f)
=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).
故mgsinα-f=0,f=mgsinα.
3.在实际问题中怎样用向量
【例3】
已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：
(1)F1、F2分别对质点所做的功；
(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：本题主要考查利用向量
( http: / / www.21cnjy.com )数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·
( http: / / www.21cnjy.com )=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)
W2=F2·
( http: / / www.21cnjy.com )=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦)
（2）W=F·
( http: / / www.21cnjy.com )=（F1+F2）·
( http: / / www.21cnjy.com )=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).
友情提示
力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐
标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.
类题演练
3
如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),
则a1=300cos30°=259.8,
a2=300sin30°=150,
b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,
∴f1=(259.8,150),
f2=(-141.4,141.4)
f=f1+f2=（259.8,150）+(-141.4,141.4)
=(118.4,291.4),
|f|=
( http: / / www.21cnjy.com )=314.5.
设f与x轴的正向夹角为θ，则
tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com )=2.461
1.
由f的坐标知θ是第一象限的角，
∴θ=67°53′.
答：两个力的合力是314.5
N,与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
变式提升
3
已知一物体在共点力F1=（lg2
( http: / / www.21cnjy.com ),lg2）,F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为（
）
A.lg2
B.lg5
C.1
D.2
解析：合力F1+F2=（lg2,lg2）+(lg5,lg2)=(1,lg4).
W=F·s=(1,lg4)·（2lg5,1）=lg25+lg4=2.
答案：D2.5　从力做的功到向量的数量积
课堂导学
三点剖析
1.平面向量的数量积
【例1】
已知|a|=4,|b|=3,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a与b的夹角大小.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ=0°,
∴a·b=|a|·|b|cosθ=4×3×cos0°=12;
若a与b反向，则a与b的夹角为θ=180°,
∴a·b=|a|·|b|cos180°=4×3×(-1)=-12;
②当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b=|a|·|b|·cos90°=4×3×0=0;
③当a与b的夹角为60°时，
∴a·b=|a|·|b|·cos60°=4×3×
( http: / / www.21cnjy.com )=6.
友情提示
若|a|·|b|是一
( http: / / www.21cnjy.com )个定值k，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k减到-k，其图象是从0到π
的半个周期内的余弦函数图象.
各个击破
类题演练
1
Rt△ABC中，已知|
( http: / / www.21cnjy.com )|=3，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=3，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解析:∵∠A=∠C=45°，∴〈
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )〉=135°，〈
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )〉=135°，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=3×
( http: / / www.21cnjy.com )cos135°+
( http: / / www.21cnjy.com )×3cos135°=-18.
变式提升
1
若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则a·b+b·c+c·a=____________.
解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,
故向量a与b同向，而向量c与它们反向.
所以有a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
∴应填：-13.
解法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),
∴a·b+b·c+c·a=
( http: / / www.21cnjy.com )=-13.
∴应填：-13.
答案：-13
2.平面向量数量积的综合应用
【例2】
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
思路分析：根据公式a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com )，由此可求两向量的夹角.
解：|m|=1,|n|=1,由夹角是60°，
得m·n=
( http: / / www.21cnjy.com ).则有
|a|=|2m+n|=
( http: / / www.21cnjy.com );
|b|=|2n-3m|=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=
( http: / / www.21cnjy.com ),
cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以a、b的夹角为120°.
友情提示
应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角.
类题演练
2
若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求a、b的夹角的余弦值.
解析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),有
( http: / / www.21cnjy.com )
∴a2=
( http: / / www.21cnjy.com )b2,|a|2=
( http: / / www.21cnjy.com )|b|2,|a|=
( http: / / www.21cnjy.com )|b|.
由2a2+a·b-b2=0,得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×
( http: / / www.21cnjy.com )|b|2=-
( http: / / www.21cnjy.com )|b|2.
∴cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴a、b的夹角的余弦值为
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升
2
已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？
解析:若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0.
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,
∴a2=25,b2=144.
∴25-144m2=0.
∴m=±
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴当且仅当m=±
( http: / / www.21cnjy.com )时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
3.平面向量数量积的运算律
【例3】
已知|a|=5,|b|=4,a
( http: / / www.21cnjy.com )与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)·(a+3b);
思路分析：本题主要考查数量积的定义及运算
( http: / / www.21cnjy.com )律.由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=(a+b)·（a+b）=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b
b=a2+2a·b+b2.
解：(1)a·b=|a||b|
cos120°
=5×4×(-
( http: / / www.21cnjy.com ))=-10;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2
=25-2×10+16
=21;
(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;
(4)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×25+5×(-10)-3×16
=-48.
友情提示
（1）在进行向量数量积运算时，要严格
( http: / / www.21cnjy.com )按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2
(a+b)·（a-b）=a2-b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
类题演练
3
已知|a|=|b|=5,〈a,b〉=
( http: / / www.21cnjy.com ),求|a+b|·|a-b|.
解析：因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
a·b=|a||b|cos〈a,b〉=5×5cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
所以|a+b|=
( http: / / www.21cnjy.com )
同样可求|a-b|=
( http: / / www.21cnjy.com )=5.
所以|a+b|·|a-b|=
( http: / / www.21cnjy.com )×5=
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升
3
（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=
( http: / / www.21cnjy.com ),|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_____.
解析：∵p·q=(a+b)·（a-b）=a2-b2=3-1=2,
又∵|p|=|a+b|=
( http: / / www.21cnjy.com ),
|q|=|a-b|=
( http: / / www.21cnjy.com )=1,
∴cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|,求α与β所成的角.
解：∵|α+β|=|α-β|,
∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2,
即4α·β=0,∴α·β=0,∴α⊥β.
∴α与β所成的角为90°.2.4
平面向量的坐标
课堂导学
三点剖析
1.向量的坐标运算
【例1】
已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )为一组基底来表示
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ).
思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=m
( http: / / www.21cnjy.com )+n
( http: / / www.21cnjy.com )，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出系数m、n.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )=（1，3），
( http: / / www.21cnjy.com )=（2，4），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-3，5），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-4，2），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-5，1），
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=m
( http: / / www.21cnjy.com )+n
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.
也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.
可得
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=32
( http: / / www.21cnjy.com )-22
( http: / / www.21cnjy.com ).
各个击破
类题演练
1
已知向量a=(3,-2),b=（-2，1），c=(7,-4),试用a和b来表示c.
解:设c=ma+nb.
即（7，-4）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),
于是有
( http: / / www.21cnjy.com )
所以c=a-2b.
变式提升
1
已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )为一组基底来表示
( http: / / www.21cnjy.com ).
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )=（1，3），
( http: / / www.21cnjy.com )=（2，4），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-3，5）.
设
( http: / / www.21cnjy.com )=m
( http: / / www.21cnjy.com )+n
( http: / / www.21cnjy.com ),即
（-3，5）=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n)
于是有
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=11
( http: / / www.21cnjy.com )-7
( http: / / www.21cnjy.com ).
2.共线向量的坐标表示
【例2】
已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p∥
( http: / / www.21cnjy.com )，则k的值是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程，由共线向量定理的坐标表示，利用p∥
( http: / / www.21cnjy.com )，得到k的方程，然后求解.
解：∵A(2,-2),B(4,3),∴
( http: / / www.21cnjy.com )=（2，5）.
又p∥
( http: / / www.21cnjy.com ),∴14-5(2k-1)=0，即k=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：B
友情提示
一般求字母的值时，往往将条件化为关于该字母的方程，然后通过解方程求得字母的值，所以解决这类问题的关键是从题目中找出等量关系.
类题演练
2
已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.
解析：设D点坐标为（x，y），
由题意可知，
( http: / / www.21cnjy.com )=（1，2），
( http: / / www.21cnjy.com )=（3-x，4-y）.
∵四边形为平行四边形，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),即
( http: / / www.21cnjy.com )
∴D的坐标为（2，2）
变式提升
2
已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是否共线？
解析:
( http: / / www.21cnjy.com )=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）.
∵4×（-8）-4×（-8）=0，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )∥
( http: / / www.21cnjy.com ).
即
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线，或
( http: / / www.21cnjy.com )=-2
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )∥
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线.
3.向量坐标形式的灵活应用
【例3】
用坐标法证明
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0.
思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.
解：设A（a1,a2）,B(b1,b2),C(c1,c2),则
( http: / / www.21cnjy.com )=(b1-a1,b2-a2),
( http: / / www.21cnjy.com )=(c1-b1,c2-b2),
( http: / / www.21cnjy.com )=(a1-c1,a2-c2)，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)
=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)
=(0,0)=0.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=0.
友情提示
这个证明过程完全是三个点坐标
( http: / / www.21cnjy.com )的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：
( http: / / www.21cnjy.com )=0.
类题演练
3
已知平面内三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），求
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),2
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
解析：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=(7-1,0+2)=(6,2),
( http: / / www.21cnjy.com )=(-5-1,6+2)=(-6,8),
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=(6-6,2+8)=(0,10),
2
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=2(6,2)+
( http: / / www.21cnjy.com )(-6,8)
=(12,4)+(-3,4)=(9,8).
变式提升
3
若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=3
( http: / / www.21cnjy.com )，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量
( http: / / www.21cnjy.com )的坐标为_________.
解析：∵O（0，0），A（1，2），B（-1，3），
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=（1，2），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-1，3），
( http: / / www.21cnjy.com )=2×(1,2)=(2,4),
( http: / / www.21cnjy.com )=3×(-1,3)=(-3,9).
∴A′(2,4),B′(-3,9),
( http: / / www.21cnjy.com )=(-3-2,9-4)=(-5,5).
答案：（2，4）
（-3，9）
（-5，5）
【例4】
如右图，已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )同向共线，得
( http: / / www.21cnjy.com )=3
( http: / / www.21cnjy.com ).这样就可建立方程组，求出点P的坐标.
解：设P点坐标为（x,y）,则
( http: / / www.21cnjy.com )=（x+1,y-2）,
( http: / / www.21cnjy.com )=(x-3,y-4).由
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )同向共线，得
( http: / / www.21cnjy.com )=3
( http: / / www.21cnjy.com )，
即（x+1,y-2）=3(x-3,y-4).
于是
( http: / / www.21cnjy.com ),
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
因此，P点的坐标为（5，5）.
友情提示
一般地，A、B、P三点中选哪一个
( http: / / www.21cnjy.com )点作起点，分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的系数不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的系数λ的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.
类题演练
4
已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.
解析：因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=（1，3）-（-2，1）=（3，2）.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）=(-
( http: / / www.21cnjy.com ),2).
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=(-1,
( http: / / www.21cnjy.com )).
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=(0,
( http: / / www.21cnjy.com )).
因此M（-
( http: / / www.21cnjy.com )，2），P（-1，
( http: / / www.21cnjy.com )），Q（0，
( http: / / www.21cnjy.com )）.
变式提升
4
在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵B（7，5），C（-4，7），
∴D（
( http: / / www.21cnjy.com )，6）.
∵A（4，1），∴
( http: / / www.21cnjy.com )=（
( http: / / www.21cnjy.com )，5）.
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com ).
即BC边中线长为
( http: / / www.21cnjy.com )，应选B.
答案：B2.2.2　向量的减法
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学习目标
重点难点
1．了解相反向量的概念．2．掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义．3．通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；向量的加法与减法的综合计算和灵活应用．难点：减法运算时方向的确定．疑点：向量的和与差的模的不等式及应用.
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1．相反向量
与a长度____、方向____的向量，叫作a的相反向量，记作____．零向量的相反向量仍是______．关于相反向量有：
－(－a)＝__；
a＋(－a)＝(－a)＋a＝__；
若a，b互为相反向量，则a＝__，b＝__，a＋b＝__.
预习交流1
相反向量和相反数相同吗？
2．向量减法
定义：向量a加上b的________，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．
求两个向量__的运算，叫作向量的减法．
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几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从________指向________的向量．
( http: / / www.21cnjy.com )向量减法的两个重要结论：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；
(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“终点向量减起点向量”．这里的点O是任意的一点．
预习交流2
如图所示，在
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)－＝________；
(2)－＝________；
(3)－＝________；
(4)－＝________；
(5)－＝________.
答案：1．相等　相反　－a　零向量　a　0　－b　－a　0
预习交流1：提示：不同．相反数是两个数的符号正负相反，大小相等；相反向量是两向量方向相反，大小相等．
2．相反向量　差　向量b的终点　向量a的终点
预习交流2：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )　(2)
( http: / / www.21cnjy.com )　(3)
( http: / / www.21cnjy.com )　(4)
( http: / / www.21cnjy.com )　(5)
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．向量加、减法的基本运算
( http: / / www.21cnjy.com )
化简下列各式：
(1)－＋－；
(2)－＋；
(3)－－；
(4)＋＋－.
思路分析：首先要观察向量的起点、终点、向量关系，然后再进行恰当分组，利用向量的加、减运算法则求解．
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a＋c
D．b＋a－c
( http: / / www.21cnjy.com )向量加减的运算主要有两种解法：一是直接利用向量加减运算法则，二是引入点O，将各向量统一用，，，等表示进行化简．
2．证明与向量有关的恒等式
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，O是
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试证明：c＋a－b＝.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：可以从左边证到右边，也可以从右边证到左边，还可以证明其等价形式．
( http: / / www.21cnjy.com )
若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)．
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
3．向量和与差的模
( http: / / www.21cnjy.com )
若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为______，|a－b|的最大值为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)．
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
2．在△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，设a＝，b＝，则a－b的大小是_______，a－b的方向是________．
( http: / / www.21cnjy.com )两个向量的和与差的模满足||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，只有当a与b共线时，等号才有可能成立．在这里，应注意：|a|－|b|与|a－b|的最小值是不一样的，前者可能为负，而后者一定非负．
答案：活动与探究1：解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
(2)
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)
( http: / / www.21cnjy.com ).
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
迁移与应用：C
活动与探究2：证法1：∵左边＝c＋a－b＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝右边，∴原式成立．
证法2：∵右边＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝c－b＋a＝左边，∴原式成立．
迁移与应用：B
活动与探究3：4　20　解析：设a＝
( http: / / www.21cnjy.com )，b＝
( http: / / www.21cnjy.com )，则当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||；
当a与b反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|；
( http: / / www.21cnjy.com )
当a与b不共线时，||a|-|b||＜|
( http: / / www.21cnjy.com )a+b|＜|a|+|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，如图所示．因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
迁移与应用：1.C　解析：由向量减法的运算法则知
( http: / / www.21cnjy.com ).
当
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )不共线时，在△ABC中，
||
( http: / / www.21cnjy.com )|－|
( http: / / www.21cnjy.com )||＜|
( http: / / www.21cnjy.com )|＜|
( http: / / www.21cnjy.com )|＋|
( http: / / www.21cnjy.com )|，
即3＜|
( http: / / www.21cnjy.com )|＜13.
当
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )同向时，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|－|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝3，
当
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )反向时，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＋|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝13.
综上知，3≤|
( http: / / www.21cnjy.com )|≤13.
2．13　由B指向A　解析：a－b即向量
( http: / / www.21cnjy.com )，a－b的大小即线段AB的长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝5，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝12，所以|AB|＝13，方向由B指向A.
( http: / / www.21cnjy.com )
1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)．
A.
B.
C.
D.
2．下列等式中正确的个数是(　　)．
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)．
A．a＋b
B．－a－b
C．a－b
D．b－a
4.＋－＝__________.
5．如图所示，O是四边形ABCD内
( http: / / www.21cnjy.com )任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：1．D
2．C　解析：①②③⑤正确．
3．B　解析：
( http: / / www.21cnjy.com )＝－a－b.
4．0　解析：
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
5．分析：如题图所示，由于a＋b＝
( http: / / www.21cnjy.com )，故向量a的起点是A、终点是O，向量b的起点是O、终点是B.又c－d＝
( http: / / www.21cnjy.com )，故c和d的起点都是O，它们的终点分别是C和D.b－c＝
( http: / / www.21cnjy.com )，a＋d＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
解：如图所示．
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.3.1　数乘向量
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学习目标
重点难点
1．在前面学习向量的加、减法的基础上，掌握数乘向量的定义及其几何意义．2．充分利用数乘向量的运算律进行简单的计算，进而把握好向量线性运算性质及其几何意义．3．掌握向量共线的判定定理及性质定理，并解决相关问题.
重点：1.数乘向量的定义、其几何意义及运算律．2．向量共线的判定定理及性质定理的理解和运用．难点：1.数乘向量的定义及几何意义．2．向量共线的判定定理及性质定理的运用．疑点：向量共线的判定定理及性质定理中为何规定a是非零向量.
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1．数乘向量
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个______，记作______．
(2)长度：|λa|＝______.
(3)方向：λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0×a＝______或λ×0＝______.
(4)几何意义：
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段____或____．
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来的____倍；
当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来的____倍．
(5)运算律
设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝______.
(6)向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，叫作向量的线性运算(或线性组合)．
( http: / / www.21cnjy.com )实数和向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义，这一点可要注意！
预习交流1
向量的线性运算有哪几种？与先前学习的实数和代数式的运算有何联系与区别？
预习交流2
4(a－b)－3(a＋b)－b等于__________．
2．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得______，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得______．
预习交流3
如图，已知点C在线段AB上，且||＝2||，则＝______，＝______.
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答案：1．(1)向量　λa　(2)|λ||a|　(3)相同　相反　0
0　(4)伸长　压缩　伸长　|λ|　缩短　|λ|　(5)②λa＋μa　③λa＋λb
预习交流1：提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．
(2)向量线性运算的结果是向量，实数和代
( http: / / www.21cnjy.com )数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．
预习交流2：原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
2．(1)b＝λa　(2)b＝λa
预习交流3：　－
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．向量的线性运算及线性表示
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(1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
思路分析：要解决(1)中的问题，需要用
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1．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
2．已知向量a，b
不共线．
(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y
用a，b表示出来．
( http: / / www.21cnjy.com )向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．
2．向量共线的判定定理与性质定理的应用
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设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
思路分析：(1)要证A，C，D三点共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可．
(2)由于A，C，D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，因而可根据已知条件和向量相等条件得到关于λ，k的方程，从而求k.
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已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
( http: / / www.21cnjy.com )证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可．
答案：活动与探究1：解：(1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b
，
∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
∴
迁移与应用：1.解：(1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b
＝a＋b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
2．解：(1)∵a，b为不共线向量，
要使等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb成立，
则有解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b，　　　　　③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
活动与探究2：(1)证明：
( http: / / www.21cnjy.com )＝e1－e2，
( http: / / www.21cnjy.com )＝3e1＋2e2，
( http: / / www.21cnjy.com )＝－8e1－2e2，
( http: / / www.21cnjy.com )＝4e1＋e2＝
( http: / / www.21cnjy.com )(－8e1－2e2)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线．
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )有公共点C，∴A，C，D三点共线．
(2)解：
( http: / / www.21cnjy.com )＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A，C，D三点共线，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线，从而存在实数λ使得
( http: / / www.21cnjy.com )＝λ
( http: / / www.21cnjy.com )，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴解得λ＝，k＝.
迁移与应用：(1)证明：因为
( http: / / www.21cnjy.com )＝a＋2b－(a＋b)＝b，
( http: / / www.21cnjy.com )＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线．
又
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )有公共点A，所以A，B，C三点共线．
(2)解：由于a，b为非零向量且不共线，
所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此解得或
即存在唯一实数λ＝1，使ka＋b与a＋
( http: / / www.21cnjy.com )kb同向共线，此时k＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb反向共线，此时，k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
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1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)．
A．a－2b
B．－2b
C．0
D．b－a
2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是(　　)．
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)．
A．－2
B.
C．－
D．2
4．已知向量e1，e2不共线，且e1－2e2＝λe1＋4ke2，则实数λ＝______，k＝__________.
5．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
答案：1．B
2．C　解析：当λ＜0时，λa与a反向，A错；
0·a＝0，B错；
若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，D错．
3．D　解析：如图，
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
4．1　
( http: / / www.21cnjy.com )　解析：由题意得∴
5．解：∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
∴∴k＝±1.
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.3
从速度的倍数到数乘向量
课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】
在平行四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )=a,
( http: / / www.21cnjy.com )=b,求
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).
思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：如右图，利用平行四边形的性质,得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )a,
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )b.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )a+
( http: / / www.21cnjy.com )b.
友情提示
把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.
各个击破
类题演练
1
若O为平行四边形ABCD的中心，
( http: / / www.21cnjy.com )=4e1,
( http: / / www.21cnjy.com )=6e2,则3e2-2e1=_______.
解析:3e2=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),2e1=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴3e2-2e1=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
变式提升
1
化简
( http: / / www.21cnjy.com )［(4a-3b)+
( http: / / www.21cnjy.com )b-
( http: / / www.21cnjy.com )(6a-7b)］=___________________.
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )（4a-3b+
( http: / / www.21cnjy.com )b-
( http: / / www.21cnjy.com )a+
( http: / / www.21cnjy.com )b）
=
( http: / / www.21cnjy.com )［(4-
( http: / / www.21cnjy.com ))a+(-3+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ))b］
=
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b)=
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b.
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b
2.对向量数乘运算律的应用
【例2】
设x是未知向量，解方程2（x-
( http: / / www.21cnjy.com )a）-
( http: / / www.21cnjy.com )(b-3x+c)+b=0.
思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解.
解：原方程化为2x-
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b+
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )c+b=0，
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )a+
( http: / / www.21cnjy.com )b-
( http: / / www.21cnjy.com )c=0，
( http: / / www.21cnjy.com )x=
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b+
( http: / / www.21cnjy.com )c，
∴x=
( http: / / www.21cnjy.com )a-
( http: / / www.21cnjy.com )b+
( http: / / www.21cnjy.com )c.
友情提示
向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.
类题演练
2
设x为未知向量，解方程
( http: / / www.21cnjy.com )x+3a-
( http: / / www.21cnjy.com )b=0.
解析:原方程化为
( http: / / www.21cnjy.com )x+(3a-
( http: / / www.21cnjy.com )b)=0.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )x=0-(3a-
( http: / / www.21cnjy.com )b),
( http: / / www.21cnjy.com )x=-3a+
( http: / / www.21cnjy.com )b.所以x=-9a+
( http: / / www.21cnjy.com )b.
变式提升
2
如右图所示,已知
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且
( http: / / www.21cnjy.com )=
e1,
( http: / / www.21cnjy.com )=
e2，试用e1,
e2表示
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：设
( http: / / www.21cnjy.com )=x,则
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )x,
( http: / / www.21cnjy.com )=e1-
( http: / / www.21cnjy.com )x,
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )e1-
( http: / / www.21cnjy.com )x，又
( http: / / www.21cnjy.com )=x,由
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得
x+
( http: / / www.21cnjy.com )e1-
( http: / / www.21cnjy.com )x=
e2,解方程，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )e2-
( http: / / www.21cnjy.com )e1
即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )e2-
( http: / / www.21cnjy.com )e1.
由
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=e1-
( http: / / www.21cnjy.com )x,
得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )e1+
( http: / / www.21cnjy.com )e2.
3.向量共线的应用
【例3】
已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+
e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴k=±1.
友情提示
本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.
类题演练
3
a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1、e2共线，则a与b（
）
A.共线
B.不共线
C.可能共线，也可能不共线
D.不能确定
解析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,
∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,
当3λ-4≠0时，a=
( http: / / www.21cnjy.com )b，故a与b共线.
当3λ-4=0时，b=0,a与b也共线.
答案：A
变式提升
3
设e1、e2是不共线的向量，已知向量
( http: / / www.21cnjy.com )=2e1+ke2,
( http: / / www.21cnjy.com )=e1+3e2,
( http: / / www.21cnjy.com )=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k的值.
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )
=（2e1-e2）-(e1+3e2)
=
e1-4e2,
由题设A、B、D三点共线，故存在实数λ,使
( http: / / www.21cnjy.com )=λ
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以2e1+ke2=λ(e1-4e2),
解得
( http: / / www.21cnjy.com )所以k=-8.
【例4】
如右图所示，在平行四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )=a,AB=b,M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=
( http: / / www.21cnjy.com )|BD|.
求证：M、N、C三点共线.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )具有一定的倍数关系.只要用已知条件a,b表示出
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，问题就可以解决.
证明：∵
( http: / / www.21cnjy.com )=a,
( http: / / www.21cnjy.com )=b,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=a-b.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )b+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )b+
( http: / / www.21cnjy.com )(a-b)=
( http: / / www.21cnjy.com )a+
( http: / / www.21cnjy.com )b
=
( http: / / www.21cnjy.com )(2a+b).
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )b+a=
( http: / / www.21cnjy.com )(2a+b),
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=3
( http: / / www.21cnjy.com ).又
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
友情提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.
类题演练
4
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果
( http: / / www.21cnjy.com )=2e1+3e2，
( http: / / www.21cnjy.com )=6e1+23e2，
( http: / / www.21cnjy.com )=4e1-8e2.求证：A、B、D三点共线.
证明：∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)
=6
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴向量
( http: / / www.21cnjy.com )与向量
( http: / / www.21cnjy.com )共线.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )有共同的起点A,
∴A、B、D三点共线.
变式提升
4
如右图，已知
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD，E、F分别是
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )的中点，判断AE和CF是否平行.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：设
( http: / / www.21cnjy.com )=a,
( http: / / www.21cnjy.com )=b,
∵E、F分别是DC、AB的中点，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=a+
( http: / / www.21cnjy.com )b,
( http: / / www.21cnjy.com )=-a-
( http: / / www.21cnjy.com )b
=-(a+
( http: / / www.21cnjy.com )b)=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
即存在实数λ=-1,使得
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )平行.2.2.1　向量的加法
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
学习目标
重点难点
1．掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．2．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.
重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；利用向量加法运算的交换律和结合律进行计算．难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用．疑点：三角形法则和平行四边形法则的区别和联系.
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1．向量求和法则
(1)三角形法则：
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作________．记作a＋b.
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(2)平行四边形法则
如下图，作＝a，＝b，再作平行于的向量＝b，连接DC，则叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b.
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预习交流1
向量求和的三角形法则和平行四边形法则有什么区别与联系？在应用时要注意什么问题？
(3)多边形法则
向量求和的三角形法则，可
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2．向量加法运算律
①交换律：a＋b＝______.
②结合律：a＋b＋c＝(____)＋c＝a＋(____)．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝________.
预习交流2
任意两个向量相加就是模相加吗？
预习交流3
下列等式不成立的是(　　)．
A．a＋0＝a　　　　　　　
B．a＋b＝b＋a
C．＋＝2
D．＋＝
答案：1．(1)向量a与b
的和
预习交流1：提示：(1)两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
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如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )(平行四边形法则)，
又∵
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∴
( http: / / www.21cnjy.com )(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
(3)终点　起点　起点到终点的向量　
2．①b＋a
②a＋b　b＋c　a
预习交流2：提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．
预习交流3：C
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．利用向量的加法法则作图
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如图所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c.
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思路分析：向量的位置关系已给出，要作出a＋b＋c，可先作a＋c，然后再作(a＋c)＋b，其关键是依据三角形法则求解．
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如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．
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( http: / / www.21cnjy.com )(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”；
(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则．
2．向量的加法运算
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如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
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(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
思路分析：此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．
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化简下列各式：
(1)＋＋；(2)＋＋＋.
思路分析：考虑用向量加法的运算法则及运算律．
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化简或计算．
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
( http: / / www.21cnjy.com )(1)应用两法则常用方法：
①向量平移；②运用运算律调整顺序．
(2)两个向量相加仍是一个向量，所以两个向量相加要注意以下两个方面：①和向量的方向；②和向量的模．
3．向量加法的综合应用
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一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2
km/h，求船实际航行的速度的大小与方向．
思路分析：该问题属于实际应用题，其
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如图所示，两个力F1和F2同时作
( http: / / www.21cnjy.com )用在一个点O上，且F1的大小为3
N，F2的大小为4
N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．
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( http: / / www.21cnjy.com )向量的加法在力学中应用广泛，如力的合成与分解，速度的合成等．解决这类问题的关键是结合向量图去解决．
答案：活动与探究1：解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量
( http: / / www.21cnjy.com )=a，接着作向量
( http: / / www.21cnjy.com )=c，则得向量
( http: / / www.21cnjy.com )=a+c.然后作向量
( http: / / www.21cnjy.com )=b，则向量
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b+c为所求．
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迁移与应用：解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中=a+b.
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活动与探究2：解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )；
(3)
( http: / / www.21cnjy.com ).
活动与探究3：解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2)
( http: / / www.21cnjy.com ).
迁移与应用：解：(1)原式＝
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2)原式＝
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(3)原式＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
活动与探究4：解：如图，设
( http: / / www.21cnjy.com )表示船垂直于对岸的速度，
( http: / / www.21cnjy.com )表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则
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在Rt△ABC中，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=2，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )=4.
∵tan∠CAB=
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∴∠CAB=60°.
迁移与应用：解：作出F1和F2的合力如图所示．
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在Rt△AOC中，|F1|＝3，|F2|＝4，
|F|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，
∴|F|＝5
N.
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1．若C是线段AB的中点，则＋为(　　)．
A．
B．
C．0
D．以上均不正确
2．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)．
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A．＋＝
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝
3．化简＋＋＋的结果是__________．
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4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________.
5．根据下图填空：
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(1)b＋c＝__________.
(2)a＋d＝__________.
(3)b＋c＋d＝__________.
(4)f＋e＝__________.
(5)e＋g＝__________.
答案：1．C
2．C　解析：
( http: / / www.21cnjy.com )，故A项错；
( http: / / www.21cnjy.com )，故B项错；
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，故C项正确；
( http: / / www.21cnjy.com )，故D项错．
3．
( http: / / www.21cnjy.com )　解析：原式＝(
( http: / / www.21cnjy.com ))＋(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝
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4．
( http: / / www.21cnjy.com )　解析：
( http: / / www.21cnjy.com ).
5．(1)a　(2)f　(3)f　(4)b　(5)h
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.3.2　平面向量基本定理
问题导学
1．用基底表示向量
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
如图所示，在
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，．
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( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
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用基底表示向量的方法技巧
(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算；
(2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化；
(3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等；
(4)充分利用首尾相接的各向量之和为0；
(5)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；
(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解．
2．平面向量基本定理的应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段O
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(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
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(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
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利用平面向量基本定理解决几何问题：
(1)平面向量的基本定理体现了转化与化
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(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等．
当堂检测
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)．
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)．
A．b＋a
B．b－a
C．a＋b
D．a－b
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(　　)．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列向量表达式：
①＝－a－b；
②＝a＋b；
③＝－a＋b；
④＋＋＝0．
其中正确的序号为________．
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1．求证：A，B，C三点共线．
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　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
a＝λ1e1＋λ2e2　基底
预习交流1　提示：(1)不唯一．同一平面可以
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(2)基底具备两个主要特征
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预习交流2　提示：可能不同．
预习交流3　B
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　解：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，
于是有
解得
即＝(2d－c)，
＝(2c－d)．
迁移与应用　解：＝－
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＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)
＝a＋b.
活动与探究2　解：(1)如题图，
∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－
＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)
＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴＝＝.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用
(1)解：如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
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则＝a＋b，＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a
＝(b－2a)，
＝－＝b－a
＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又，有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
【当堂检测】
1．A　2．B　3．A
4．①②③④
5．证明：由x＋y＝1，＝x＋y，
得＝x＋(1－x)，
所以－＝x(－)，即＝x.
所以A，B，C三点共线．从位移、速度、力到向量
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学习目标
重点难点
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概
( http: / / www.21cnjy.com )念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．3．通过对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．疑点：1.向量和数量的区别．2．平行向量与共线向量的区别和联系.
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1．向量的概念
既有____，又有____的量叫作向量．
预习交流1
有下列物理量：①质量；②力；③加速度；④路程；⑤密度；⑥功．其中不是向量的有(　　)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．向量的表示方法
(1)具有__________的线段，叫作
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(2)向量可以用________来表示．有向线段的长度表示__________，箭头所指的方向表示__________．
(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用，
，
，…来表示．
预习交流2
有向线段是向量吗？
3．向量的长度(模)
(或____)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．
预习交流3
两个向量的模能否比较大小？两个向量呢？
4．4种重要的向量
(1)长度为零的向量叫作______，记作__或__，它的方向与任一向量平行．
(2)与向量a______，且长度为______的向量，叫作a方向上的单位向量，记作______．
(3)长度____且方向____的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.规定所有的零向量____．
(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线__________，则称这些向量____或____，a与b平行或共线，记作a∥b.
预习交流4
(1)0与0相同吗？有什么区别？
(2)表示相等向量的有向线段一定重合吗？
答案：1．大小　方向
预习交流1：D　解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量．
2．(1)方向和长度　
( http: / / www.21cnjy.com )　(2)有向线段　向量的大小　向量的方向
预习交流2：提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．
3．|
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预习交流3：提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．
4．(1)零向量　0　　(2)同方向　单位1　a0　(3)相等　相同　相等　(4)平行或重合　平行　共线
预习交流4：(1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向．
(2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．向量的有关概念
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给出下列几种说法：
(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(3)向量的模一定是正数；
(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(5)向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确的序号是________．
思路分析：本题涉及了向量的几个重要概念．解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．
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判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3)数轴是向量；
(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(5)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b.
( http: / / www.21cnjy.com )对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．
2．向量的表示方法
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一运输汽车从A点出发向西行驶了100
km
( http: / / www.21cnjy.com )到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求.
思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，为此应首先建立坐标系，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解．
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在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．
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(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)||＝2，点C在点O南偏东60°方向．
( http: / / www.21cnjy.com )准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
3．相等向量与共线向量
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如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
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(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
思路分析：解答本题可先找出图中长度相等的线段以及互相平行的线段，再根据相等向量、共线向量的定义求解．
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如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，四边形OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
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(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
( http: / / www.21cnjy.com )1.对共线向量与平行向量关系的认识
(1)平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．
(2)共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关．
2．在平面图形中找相等向量
( http: / / www.21cnjy.com )、共线向量时，首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识，然后转化为向量相等、平行．
答案：活动与探究1：(4)　解析：(1)错误，只有速度、位移是向量．
(2)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(3)错误.0的模|0|＝0.
(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．
(5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量
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( http: / / www.21cnjy.com )必须在同一直线上．
迁移与应用：解：(1)不正确．两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等；反之，两个向量相等，却不一定有相同的起、止点．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小．
(4)不正确．规定零向量与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量不能比较大小．
活动与探究2：解：(1)如下图所示．
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(2)由题意，易知
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相反，故
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线．
又|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )
|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴|
( http: / / www.21cnjy.com )
|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )
|＝200
(km)，且AD∥BC.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )同向，
则
( http: / / www.21cnjy.com )的方向也为西偏北50°，且|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝200(km)．
迁移与应用：解：
( http: / / www.21cnjy.com )
活动与探究3：解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，且EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)与
( http: / / www.21cnjy.com )模相等的向量有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)与
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
迁移与应用：解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2)与
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量为：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )；
(3)|
( http: / / www.21cnjy.com )
|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )
|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|；
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )不相等．
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1．下列关于向量的说法中，正确的是(　　)．
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
2．设O为△ABC的外心，则，，是(　　)．
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是(　　)．
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
4．a与任何向量共线，则|a|＝________.
5．把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是______．
答案：1．C　解析：长度相等，方向不同
( http: / / www.21cnjy.com )的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错．
2．C　解析：△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A，B，C三点的距离相等，即有|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )|.
3．D　解析：由向量的基本概念知a与b方向相反，
∴a与b是平行向量，即共线向量．
又∵路程相同，∴a与b的模相等．
∴a与b是模相等的相反向量，即D错．
4．0　解析：a＝0，∴|a|＝0.
5．两个点
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.6　平面向量数量积的坐标表示
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学习目标
重点难点
1．掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、会用数量积判断两个向量的垂直关系．3．能运用所学知识解决有关综合问题，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想.
重点：平面向量数量积的坐标表示及运算，求向量的模、夹角，以及垂直条件的应用．难点：活用平面向量数量积的坐标运算解决垂直、夹角等问题．疑点：用坐标表示的两个向量平行与垂直的条件有什么差别.
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1．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝__________；
(2)|a|＝________；
(3)若a⊥b，则____________；
(4)cos
θ＝__________________.
预习交流1
与向量a＝(a1，a2)同方向的单位向量的坐标如何表示？
预习交流2
两向量平行与垂直的坐标表示是否相同？
预习交流3
(1)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)．
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a∥b
D．a－b与b垂直
(2)设a＝(－1,2)，b＝(2，－1)，则|a|＝__________，(a·b)(a＋b)＝__________.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
预习交流4
若直线l的方向向量为(a1，a2)，其中a1≠0，那么直线l的斜率k是什么？
答案：1．(1)x1x2＋y1y2　(2)　(3)x1x2＋y1y2＝0
(4)
预习交流1：提示：由于单位向量a0＝，且|a|＝.
所以a0＝＝(a1，a2)
＝.
此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．
预习交流2：提示：不同．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，
则x1y2－x2y1＝0.a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0.
预习交流3：(1)D　解析：|a|＝＝1，
|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；
(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，
故a－b与b垂直．
(2)　(－4，－4)
预习交流4：k＝.
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．平面向量数量积的坐标运算
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(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)．
A．6
B．5
C．4
D．3
(2)已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
①向量a的坐标；②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
思路分析：(1)首先求出8a－b，再利
( http: / / www.21cnjy.com )用数量积坐标运算建立方程求x；(2)根据a与b共线将a坐标设出，再利用数量积坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a·c)·b.
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1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)．
A．23
B．57
C．63
D．83
( http: / / www.21cnjy.com )向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系．
2．向量垂直条件的应用
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在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC中有一个内角为直角，求k的值．
思路分析：要求k的值，就要利用两向量垂直的条件，而本题中未给出哪个角是直角，故需分类讨论．
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平面内三点A，B，C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
( http: / / www.21cnjy.com )两向量互相垂直，则其数量积为零，据此可以建立关于未知数的方程，从而求解．
3．向量的夹角问题
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已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求cos
A的值；
(2)若A是钝角，求c的取值范围．
思路分析：(1)求·，||，||，计算cos
A＝；(2)利用·＜0求c的取值范围，需验证，反向的特殊情形．
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1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)．
A．－
B.
C.
D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，求a与c的夹角．
( http: / / www.21cnjy.com )1.利用数量积求两向量夹角的步骤．
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos
θ＝直接求出cos
θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos
θ的值求角θ.
2．由cos
θ＝去判断θ的取值有五种情况．
(1)cos
θ＝1，θ＝0°；
(2)cos
θ＝0，θ＝90°；
(3)cos
θ＝－1，θ＝180°；
(4)cos
θ＜0且cos
θ≠－1，θ为钝角；
(5)cos
θ>0且cos
θ≠1，θ为锐角．
4．综合创新问题
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定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)．
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
思路分析：本题是一道信息迁移题，需根据a⊙b的定义，对每一个选项进行分析．
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定义一种新运算a
( http: / / www.21cnjy.com )b＝|a||b|sin
θ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a
( http: / / www.21cnjy.com )b＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )“定义一种新运算、新概念、新名词”已成为一种常见的创新构造模式，解决这类题目只需对定义部分直接进行翻译，运用学过的知识，对给出的信息加以理解、剖析，进行解答即可．
答案：活动与探究1：(1)C　解析：8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
由(8a－b)·c＝30，得6×3＋3x＝30，∴x＝4.
(2)解：①∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
②∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
迁移与应用：1.D　解析：∵a＋b与a共线，
∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由解得
故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．D　解析：|a|＝5，a·b＝－20＋18＝－2，
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
活动与探究2：解：在△ABC中，(1)当∠A＝90°时，
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，
∴2×1＋3×k＝0，∴k＝－.
(2)当∠B＝90°时，
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝.
(3)当∠C＝90°时，
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，
∴k＝或k＝.
∴满足题意的k的值为－，，，.
迁移与应用：解：因为A，B，C三点共线，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线．
设
( http: / / www.21cnjy.com )＝λ
( http: / / www.21cnjy.com )(λ∈R)，
又
( http: / / www.21cnjy.com )＝(－2，m)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(n,1)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(5，－1)，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )＝(7，－1－m)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(n＋2,1－m)，
所以(7，－1－m)＝λ(n＋2,1－m)，
故有得mn＋n－5m＋9＝0，①
又
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝－2n＋m＝0.②
式①②联立得或
所以m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
活动与探究3：解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝(－3，－4)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(c－3，－4)，
当c＝5时，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(2，－4)，
∴cos
A＝＝＝.
(2)若A
为钝角，则
( http: / / www.21cnjy.com )＝－3(c－3)＋(－4)2＜0，解得c＞.
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为.
迁移与应用：1.C　解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为.
2．解：依题意a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，
设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝＝－，
∴a与c的夹角为120°.
活动与探究4：B　解析：对于选项A：若a与b共线，则mq－np＝0，而a⊙b＝mq－np＝0，∴选项A正确；
对于选项B：∵a⊙b＝mq－np，b⊙a＝pn－qm，
∴a⊙b≠b⊙a，∴选项B不正确；
对于选项C：(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)，∴选项C正确；
对于选项D：(a⊙b)2＋(a·b)2＝(m
( http: / / www.21cnjy.com )q－np)2＋(mp＋nq)2＝m2q2－2mqnp＋n2p2＋m2p2＋2mpnq＋n2q2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(p2＋q2)(m2＋n2)＝|a|2|b|2，∴选项D正确．
迁移与应用：　解析：|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，cos
θ＝＝＝－，∴θ＝150°.
∴a
( http: / / www.21cnjy.com )b＝|a||b|sin
θ＝2××sin
150°＝.
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1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝(　　)．
A．23
B．7
C．－23
D．－7
2．平面向量a与b的夹角为120°，a＝(－2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(　　)．
A．3
B.
C．7
D.
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)．
A.
B．－
C.
D．－
4．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝__________.
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5．在平面上建立直角坐标系，O是原点，已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
答案：1．D　解析：a·b＝－3×5＋4×2＝－7.
2．B　解析：|a|＝2，
|a＋b|＝＝
＝
＝＝.
3．C　解析：b＝(2a＋b)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)，设a与b的夹角为θ，
因此cos
θ＝＝＝.
4．45°　解析：任取l1和l2的方向向量m＝和n＝，
设m和n的夹角为α，
则cos
α＝＝，
∴α＝45°.∴θ＝45°.
5．解：
( http: / / www.21cnjy.com )＝(16,12)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(－5,15)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(－21,3)．
(1)|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝＝20，
|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝＝15.
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )＝(－16，－12)，cos∠OAB＝
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＝
＝＝.
∴∠OAB＝45°.
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知识精华
技能要领2.5　从力做的功到向量的数量积
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学习目标
重点难点
1．在物理中功的概念的基础上，掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义、几何意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．能运用平面向量数量积的5个性质及运算律解决涉及长度、角度、平行、垂直问题.
重点：1.平面向量的数量积的定义及其几何意义；2．运用数量积的5个性质及运算律解决涉及长度、角度、平行、垂直问题．难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用．疑点：平面向量的数量积是否满足消去律和结合律.
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1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和向量b的____．
(2)范围：_______.
(3)规定：零向量与任意向量____．
预习交流1
若向量a和b的夹角为θ，你能就a和b的关系完成下表吗？
θ
0°
90°
180°
向量a和b的关系
预习交流2
在等边△ABC中，与的夹角是__________，与的夹角是__________．
2．向量的数量积(或内积)
(1)定义：
________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即______＝__________.
(2)几何意义：a与b的数量
( http: / / www.21cnjy.com )积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影______的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影______的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积______．
预习交流3
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　　)．
A．12
B．12
C．－12
D．－12
3．向量数量积的性质
(1)a·a＝|a|2；
(2)若e1，e2是单位向量，则e1·e2＝__________＝____；
(3)若e是单位向量，则e·a＝______＝________；
(4)a⊥b ________；
(5)____＝；
(6)cos
θ＝________(|a||b|≠0)；
(7)对任意两个向量a，b，有|a·b|__|a||b|，当且仅当a∥b时____成立．
预习交流4
(1)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b夹角的大小为__________；
(2)a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝__________.
4．向量数量积的运算满足以下运算律
给定向量a，b，c和实数λ，有
(1)交换律：__________.
(2)分配律：________________.
(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数λ，有(λa)·b＝________＝________.
预习交流5
(1)a·b＝b·c a＝c，上述推理正确吗？为什么？
(2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？
答案：1．(1)夹角　(2)[0°，180°]　(3)垂直
预习交流1：同向　垂直　反向
预习交流2：120°　120°
2．(1)|a||b|cos
θ　a·b　|a||b|cos
θ
(2)|b|cos
θ　|a|cos
θ　(3)F·s
预习交流3：C　解析：m·n＝|m||n|cos
135°＝4×6×＝－12.
3．(2)|e1||e2|cos
θ　cos
θ　(3)a·e　|a|cos
θ　(4)a·b＝0　(5)|a|　(6)　(7)≤　等号
预习交流4：(1)120°　(2)7
4．(1)a·b＝b·a　(2)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(3)λ(a·b)　a·(λb)
预习交流5：(1)提示：若a，b，c为实数
( http: / / www.21cnjy.com )，当b≠0时，ab＝bc a＝c，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·cD /a＝c.由下图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
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(2)提示：对实数a，b，c而言，(ab)
( http: / / www.21cnjy.com )c＝a(bc)；但对向量a，b，c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．向量数量积的定义及几何意义
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已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的射影．
思路分析：已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．
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(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.
( http: / / www.21cnjy.com )(1)数量积的符号同夹角的关系：
①若a·b>0 θ为锐角或零角；
②若a·b＝0 θ＝或a与b至少有一个为0；
③若a·b＜0 θ为钝角或平角．
(2)求平面向量数量积的方法
①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.
②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b.
2．平面向量数量积的运算
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若向量a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a的值．
思路分析：先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．
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1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________.
2．(2012·吉林实验中学一模，13)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2＝|a|2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
3．求向量的模
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(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)．
A．0
B．2
C．4
D．8
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a＋2b|.
思路分析：(1)要求|2a－b|，利用|2a－b|＝求解；
(2)先求出a·b的值，由于|a＋b|＝，|a＋2b|＝，利用数量积中的完全平方公式展开求解．
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已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，求|3a＋b|，|a－2b|.
( http: / / www.21cnjy.com )求向量的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
4．求向量的夹角问题
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已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，
求：(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
思路分析：(1)由(a－b)和(a＋b)的数量积可得出|a|，|b|的关系；
(2)计算a－b和a＋b的模．
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1．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为__________．
2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|.
求：(1)a与a＋b的夹角；
(2)a与a－b的夹角．
( http: / / www.21cnjy.com )求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos
θ＝，一般要求两个整体a·b，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决．
5．解决有关垂直问题
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已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
思路分析：由a⊥b知，a·b＝0.由a＋
( http: / / www.21cnjy.com )(t－3)b与－ka＋tb垂直知，[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.解决本题可先通过向量运算将k表示出来，通过建立k与t的函数关系式，进而求出函数k的最小值．
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已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角θ.
( http: / / www.21cnjy.com )非零向量a⊥b a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
答案：活动与探究1：解：(1)a·b＝|a||b|·cos
θ＝5×4×cos
120°＝－10；
(2)a在b上的射影为|a|·cos
θ＝＝＝－.
迁移与应用：解：(1)b在a上的射影为|b|cos
θ＝＝＝－2；
(2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos
0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos
180°＝－20.
活动与探究2：解：方法一：由
( http: / / www.21cnjy.com )已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，所以有a·b＋b·c＋c·a
＝3cos
0°＋4cos
180°＋12cos
180°
＝3－4－12＝－13.
方法二：∵(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
∴a·b＋b·c＋c·a
＝
＝＝－13.
迁移与应用：1.1＋　解析：a·a＋a·b＝1＋1×1×cos
45°＝1＋.
2．0　解析：b·(2a＋b)＝2a·b＋b2
＝2|a||b|cos
120°＋|b|2
＝2×4×4×＋42＝－16＋16＝0.
活动与探究3：(1)B　解析：|2a－b|＝＝＝＝2.
(2)解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，
a·b＝|a||b|cos
θ＝5×5×cos
＝，
所以|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a＋2b|＝＝
＝＝＝5.
迁移与应用：解：∵a⊥(a－2b)，
∴a·(a－2b)＝0，
∴a2－2a·b＝0，∴a·b＝.
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
|a－2b|＝＝
＝＝.
活动与探究4：解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，又|a|＝1，∴|b|2＝，∴|b|＝.
设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.
(2)|a－b|＝＝＝＝，
|a＋b|＝＝＝＝.
设a－b与a＋b的夹角为φ，则
cos
φ＝＝＝.
∴a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
迁移与应用：1.135°　解析：设夹角为θ，
∵a·(a＋b)＝1，
∴|a|2＋a·b＝1，即2＋×1×cos
θ＝1，
∴cos
θ＝－，∴a，b的夹角为135°.
2.
解：如下图所示，在平面内取一点O，作
( http: / / www.21cnjy.com )=a，
( http: / / www.21cnjy.com )=b，
( http: / / www.21cnjy.com )
以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )为邻边作平行四边形OACB，使|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b，
( http: / / www.21cnjy.com )=a-b.
(1)由于|a|=|b|=|a+b|，
即|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，
所以∠AOC=60°，即a与a+b的夹角为60°.
(2)∵∠AOC=60°，∴∠AOB=120°.
又|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，∴∠OAB=30°，
即a与a-b的夹角为30°.
活动与探究5：解：∵a⊥b，∴a·b＝0.
又a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，
∴[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
∴－ka2＋ta·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)tb2＝0，
∴－4k＋(t－3)t＝0.
∴k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)．
∴当t＝时，k取最小值－.
迁移与应用：解：由条件知
∴
由①－②得46a·b－23b2＝0，
即2a·b＝b2，代入①式得a2＝b2，∴|a|＝|b|.
∴cos
θ＝＝＝.∴θ＝60°.
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1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为150°，则m·n＝(　　)．
A．12
B．12
C．－12
D．－12
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为(　　)．
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
3．(2012·辽宁高考，理3)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)．
A．a∥b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．a＋b＝a－b
4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝__________.
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是BC的中点，则·＝__________.
答案：1．C　解析：m·n＝|m||n|·cos
150°＝4×6×cos
150°＝－12.
2．B　解析：设a与b的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝－，∴θ＝120°.
3．B　解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，因为|a＋b|＝|a－b|，
所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，即2a·b＝－2a·b，所以a·b＝0，a⊥b.故选B.
4.　解析：∵|a＋3b|2＝a2＋2a·3b＋9b2
＝1＋6×1×2×cos
60°＋9×4＝43，
∴|a＋3b|＝.
5.　解析：由已知得
( http: / / www.21cnjy.com )＝(
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com ))，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝(
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com ))·
(
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ))
＝(|
( http: / / www.21cnjy.com )|2－|
( http: / / www.21cnjy.com )|2)＝(9－4)＝.
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.1　从位移、速度、力到向量
问题导学
1．向量的有关概念
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
给出下列几种说法：
(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(3)向量的模一定是正数；
(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(5)向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确的序号是________．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)向量与向量的模相等；
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3)数轴是向量；
(4)零向量没有方向；
(5)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b．
( http: / / www.21cnjy.com )
关于向量有关概念的几点说明：
(1)向量不同于数量，数量可以比较大小，而向量由模和方向确定，方向不能比较大小，因此向量也不能比较大小．
(2)数学上所研究的向量是自由向量，可以平移，因此向量中的共线与平行是相同的，而直线或线段中的共线与平行是不同的．
(3)零向量是特殊向量，方向可以看作是任意的．
2．向量的表示方法
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
一运输汽车从A点出发向西行驶了100
( http: / / www.21cnjy.com )km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．
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(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)||＝2，点C在点O南偏东60°方向．
( http: / / www.21cnjy.com )
利用有向线段表示向量的基本步骤：
(1)确定向量的起点；
(2)确定向量的方向；
(3)根据向量的模确定向量的终点．
利用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，必须是起点写在终点的前面．
3．相等向量与共线向量
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，四边形OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
( http: / / www.21cnjy.com )
1．对共线向量与平行向量关系的认识
(1)平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．
(2)共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关．
2．在平面图形中找相等向量、共线向量时，
( http: / / www.21cnjy.com )首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识，然后转化为向量相等、平行．
当堂检测
1．下列关于向量的说法中，正确的是(　　)．
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
2．如图所示，在⊙O中，向量、、是(　　)．
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A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是(　　)．
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
4．如图所示，△ABC的内角C的角平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
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5．把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是______．
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　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．大小　方向
预习交流1　D　解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量．
2．(1)方向和长度　
(2)有向线段　向量的大小　向量的方向
预习交流2　提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．
3．||　|a|
预习交流3　提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．
4．(1)零向量　0　　(2)同方向　单位1　a0　(3)相等　相同　相等　(4)平行或重合　平行
共线
预习交流4　(1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向．
(2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．
(3)提示：不一定．因为单位向量的模虽然相等，但方向却不一定相同．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　(4)　解析：(1)错误，只有速度、位移是向量．
(2)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(3)错误.0的模|0|＝0.
(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．
(5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．
迁移与应用　解：(1)正确．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小．
(4)不正确．零向量不是没有方向，而是方向是任意的．
(5)不正确．因为向量不能比较大小．
活动与探究2　解：(1)向量，，如下图所示．
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(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．
又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200
(km)，且AD∥BC.
∴与同向，
则的方向也为西偏北50°，且||＝200(km)．
迁移与应用　解：
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活动与探究3　解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，且EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：，.
迁移与应用　解：(1)＝，＝；
(2)与共线的向量为：，，；
(3)||＝||＝|D|＝||＝||＝||＝||＝||；
(4)与不相等．
【当堂检测】
1．C　2．C　3．D　4．
5．两个点2.6　平面向量数量积的坐标表示
课堂导学
三点剖析
1.两个向量数量积的坐标
【例1】
已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)
求证：a+b与a-b互相垂直.
思路分析：要证（a+b）⊥(a-b),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识
证法一：由已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
有a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),
a-b=（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,
又(a+b)·(a-b)
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,
所以（a+b）⊥(a-b).
证法二：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2
=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)
=1-1=0.
∴(a+b)⊥(a-b).
友情提示
两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.
各个击破
类题演练
1
已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证：△ABC是直角三角形
证明:∵
( http: / / www.21cnjy.com )=（2-1，3-2）=（1，1）,
( http: / / www.21cnjy.com )=（-2-1，5-2）=（-3，3）,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=1×(-3)+1×3=0,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com )即AB⊥AC
∴△ABC是直角三角形.
变式提升
1
已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.
解析：设b=(x,y)为所求单位向量
则x2+y2=1①
又∵a⊥b
∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0
∴4x+2y=0②
由①②得
( http: / / www.21cnjy.com )
∴b=(
( http: / / www.21cnjy.com ))或b=(
( http: / / www.21cnjy.com )).
2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想
【例2】
已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，
又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=
( http: / / www.21cnjy.com )|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,
∴|a+b|=
( http: / / www.21cnjy.com )|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴θ=30°.
解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作
( http: / / www.21cnjy.com )=a，
( http: / / www.21cnjy.com )=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|，即|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b，
( http: / / www.21cnjy.com )=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.
友情提示
本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会
类题演练
2
已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：建立如右图所示的坐标系.
则A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3）.
( http: / / www.21cnjy.com )=（-4，3），
( http: / / www.21cnjy.com )=（2，-6），|
( http: / / www.21cnjy.com )|=5，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )，
cos∠AO′B=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴两中线所成钝角的余弦值为
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升
2
设a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值.
解析:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),
(a+tb)·b=(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,
|a+tb|=
( http: / / www.21cnjy.com ).
由（a+tb）·b=|a+tb||b|cos45°,
得5t+5=
( http: / / www.21cnjy.com ),
即t2+2t-3=0,
∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去.
∴t=1.
3.向量垂直的等价条件的应用
【例3】
如右图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C的坐标是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.（2，7）
B.（
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )）
C.（3，6）
D.（
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )）
思路分析：欲求点C的坐标，可设点C为（x，y），然后利用条件建立x、y的方程组.注意到四边形ABCD为正方形，所以
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com )，且|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|，可用它们建立x、y的方程组.
解：设C点坐标为（x，y），则
( http: / / www.21cnjy.com )=（4，3），
( http: / / www.21cnjy.com )=（x-5，y-3）.
∵四边形ABCD为正方形，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com )，|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
又∵C点在第一象限，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )舍去.
答案：A
友情提示
求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，易得△ABM≌△DAN，可得D点坐标为（-2，4），然后利用
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
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类题演练
3
如右图，已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），AD是BC边上的高，求
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解析：设D的坐标为（x,y）
∵AD⊥BC,∴
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )=(x-2,y+1),
( http: / / www.21cnjy.com )=(-6,-3),
( http: / / www.21cnjy.com )=(x+3,y+1).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴D点坐标为（1，1），∴
( http: / / www.21cnjy.com )=（-1，2）.
变式提升
3
以原点O和A（4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°,求B的坐标和AB的长.
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解析：如右图，设B的坐标为（x,y）,则
( http: / / www.21cnjy.com )=（x,y）,
( http: / / www.21cnjy.com )=(x-4,y-2).
∵∠B=90°,∴
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴x(x-4)+y(y-2)=0,
即x2+y2=4x+2y.①
设
( http: / / www.21cnjy.com )的中点为C，则C(2,1),
( http: / / www.21cnjy.com )=(2,1),
( http: / / www.21cnjy.com )=(x-2,y-1).
∵△AOB为等腰直角三角形，∴
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com ),
2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.②
由①②可得
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∴B的坐标为（1，3）或（3，-1），
( http: / / www.21cnjy.com )=（-3，1）或（-1，-3），
∴|AB|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com ).2.7　向量应用举例
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学习目标
重点难点
1．会用向量的线性运算和数量积运算解决平面几何问题、解析几何问题．2．能用向量平行的条件解决直线的方向向量问题、判断直线的位置关系问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题．3．理解用向量解答物理问题的模式，会用向量知识解答物理问题.
重点：向量知识在平面几何、解析几何、物理中的应用．难点：用向量方法解决物理中的力、位移、速度、动量、功等问题．疑点：用向量法解决平面几何问题时如何准确建立坐标系．如何将物理问题转化为数学问题.
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1．若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为____________．
预习交流1
点(2,4)到直线y＝2x－1的距离是__________．
2．与直线的方向向量垂直的
( http: / / www.21cnjy.com )向量为该直线的法向量．设直线l：Ax＋By＋C＝0，则它的方向向量为________，它的法向量为________．
3．可运用向量的方法证明有关直线平行和垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：
(1)要证明两线段AB＝CD，可转化为证明2＝2；
(2)要证明两线段AB∥CD，只要证明：存在一实数λ≠0，使＝λ成立；
(3)要证明两线段AB⊥CD，只要证明它们的数量积·＝0即可；
(4)要证A，B，C三点共线，只要
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(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos
θ＝.
预习交流2
(1)若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)．
A．直角梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
(2)在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝__________.
4．向量在物理中应用：
(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
预习交流3
向量可以解决哪些物理问题？
答案：1．d＝
预习交流1：d＝＝.
2．(B，－A)　(A，B)
预习交流2：(1)B　(2)1　解析：如图所示，＝(0,1)，＝(－1,1)，A·A＝(0,1)·(－1,1)＝1.
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预习交流3：提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．向量在平面几何中的应用
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设A1，A2，A3，A4是平面
( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)．
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
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在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)．
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
( http: / / www.21cnjy.com )用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路．
(1)向量的线性运算法：
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(2)向量的坐标运算法：
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2．向量在平面解析几何中的应用
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已知点P(－3,0)，点A在y轴上
( http: / / www.21cnjy.com )，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
思路分析：设出M点坐标，利用＝－eq
\o(MQ,\s\up6(→))，可以将A点的坐标用M点的坐标表示出来，从而用·＝0确定所求轨迹．以向量为载体考查解析几何的问题．
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已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
( http: / / www.21cnjy.com )利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础．
向量的坐标表示，使向量成为
( http: / / www.21cnjy.com )解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．
3．向量在物理学中的应用
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(1)一质点受到平面上的三个力F1，F
( http: / / www.21cnjy.com )2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)．
A．6
B．2
C．2
D．2
(2)点P在平面上做匀速直
( http: / / www.21cnjy.com )线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)．
A．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
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如图，无弹性的细绳OA，OB的一端
( http: / / www.21cnjy.com )分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？
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( http: / / www.21cnjy.com )用向量解与物理相关的题目的思路
首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观
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注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s的数量积；动量mv是数乘向量等．
答案：活动与探究1：D　解析：∵C，D调和分割点A，B，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝λ
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＝μ
( http: / / www.21cnjy.com )，且＋＝2(
)，
不妨设A(0,0)，B(1,0)，则C(λ，0)，D(μ，0)，
对A，若C为AB的中点，则
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，即λ＝，将其代入(
)式，得＝0，这是无意义的，故A错误；
对B，若D为AB的中点，则μ＝，同理得＝0，故B错误；
对C，要使C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴＞1，＞1，∴＋＞2，这与＋＝2矛盾；故C错误；显然D正确．
迁移与应用：B　解析：如图，∵E是OD的中点，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )
在△AOE中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
活动与探究2：解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，
则
( http: / / www.21cnjy.com )＝(x，y－b)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a－x，－y)．
∵
( http: / / www.21cnjy.com )＝－
( http: / / www.21cnjy.com )，∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
∴a＝，b＝－，即A，Q.
( http: / / www.21cnjy.com )＝，
( http: / / www.21cnjy.com )＝.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，∴3x－y2＝0.
即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．
迁移与应用：解：设P(x，y)，R(x1，y1)，
则
( http: / / www.21cnjy.com )＝(1－x1，－y1)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(x－1，y)．
由
( http: / / www.21cnjy.com )，
得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即
代入直线l的方程得y＝2x.
所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
活动与探究3：(1)D　(2)C
( http: / / www.21cnjy.com )　解析：(1)因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos
120°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2.
(2)由题意知，
( http: / / www.21cnjy.com )＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
迁移与应用：解：设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是a，b，c，则a＋b＋c＝0，a，b的合力为c′＝a＋b，|c′|＝|c|，
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，在平行四边形OB′C′A′中，
因为
( http: / / www.21cnjy.com )⊥
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以|
( http: / / www.21cnjy.com )|＞|
( http: / / www.21cnjy.com )|，|
( http: / / www.21cnjy.com )|＞|
( http: / / www.21cnjy.com )|.
即|a|＞|b|，|a|＞|c|，
所以细绳OA受力最大．
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1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)．
A．(5,0)
B．(－5,0)
C.
D．－
2．在△ABC中，＝a，＝b.当a·b＜0时，△ABC为(　　)．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是(　　)．
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于_______．
5．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j
( http: / / www.21cnjy.com )作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．其中i，j是x轴，y轴正方向上的单位向量．
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
答案：1．C　解析：|F1＋F2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝.
2．C　解析：∵a·b＝|a|·|b|·cos
A＜0，
∴cos
A＜0，∴A为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
3．D　解析：由于＝－，得m＝－1或m＝2.
4．2　解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，
∴(
( http: / / www.21cnjy.com ))－2(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|＝2|
( http: / / www.21cnjy.com )|.∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝2.
5．解：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴WF1＝F1·
( http: / / www.21cnjy.com )＝－13－15＝－28(J)，
WF2＝F2·
( http: / / www.21cnjy.com )＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
∴WF＝F·
( http: / / www.21cnjy.com )＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．
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用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.3.2　平面向量基本定理
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学习目标
重点难点
1．了解平面向量基本定理及其几何意义．2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决几何问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
重点：平面向量基本定理的理解和运用．难点：用平面向量基本定理解几何问题．疑点：1.基底不唯一，关键是不共线．2．基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.
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平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共
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预习交流1
在表示向量时，基底唯一吗？有什么特征？
预习交流2
同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？
预习交流3
若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是______．
答案：a＝λ1e1＋λ2e2　基底
预习交流1：提示：(1)不唯一．同
( http: / / www.21cnjy.com )一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．
(2)基底具备两个主要特征：①基底是两
( http: / / www.21cnjy.com )个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
预习交流2：提示：可能不同．
预习交流3：－b＋c
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
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1．用基底表示向量
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如图所示，在
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
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思路分析：本题直接用c，d表示，有一定的困难，可以换一个角度，先由，表示，，进而求出，.
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在
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都可以由一组基底唯一表示，因此可结合向量的线性运算完成这种向量表示．注意以下几点：
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底；
(2)注意共线向量基本定理的应用；
(3)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系；
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用技巧．
2．平面向量基本定理的应用
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平面内有一个△ABC和一点O(如
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(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
思路分析：由题目的已知条件和要求证的
( http: / / www.21cnjy.com )问题可知本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量，，；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．
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如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
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(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
( http: / / www.21cnjy.com )(1)利用平面向量基本定理解决平面几何问题的方法：
①选取一组基底；
②根据几何图形的特征用向量的相关知识解题．
(2)证明三点共线的步骤：①先证三点确定的向量共线；②两向量有公共点．
答案：活动与探究1：解：设
( http: / / www.21cnjy.com )＝a，
( http: / / www.21cnjy.com )＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )＝b，
( http: / / www.21cnjy.com )＝a，
于是有解得
即
( http: / / www.21cnjy.com )＝(2d－c)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(2c－d)．
迁移与应用：　解析：如图所示，设
( http: / / www.21cnjy.com )＝a，
( http: / / www.21cnjy.com )＝b，
则
( http: / / www.21cnjy.com )＝a＋b，
( http: / / www.21cnjy.com )＝a＋b，
( http: / / www.21cnjy.com )＝a＋b.
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )＝λ
( http: / / www.21cnjy.com )＋μ
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a＋b＝λ＋μ
＝a＋b.
∴解得∴λ＋μ＝.
活动与探究2：解：(1)如题图，
∵
( http: / / www.21cnjy.com )＝a，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(b＋c)，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝(b＋c－a)．
同理：
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋c－b)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则
( http: / / www.21cnjy.com )＝(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
同理可求得
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b＋c)，
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b＋c)．
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用：(1)解：如下图所示，延长AD到G，使
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
( http: / / www.21cnjy.com )
则
( http: / / www.21cnjy.com )=a+b，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
(2)证明：由(1)知，
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )共线．
又
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )有公共点B，∴B，E，F三点共线．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)．
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)．
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(　　)．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．在
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC中点，则＝________.(用a，b表示)
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1.求证：A，B，C三点共线．
答案：1．A　解析：由题意知
解得
∴x－y＝3.
2．B　解析：∵3e1－2e2＝－(4e2－6e1)，
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故B中的向量不能作为基底．
3．A　解析：平面α内任一
( http: / / www.21cnjy.com )向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的．
4．(b－a)　解析：如下图，
( http: / / www.21cnjy.com )＋(a＋b)＝(b－a)．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．证明：由x＋y＝1，
( http: / / www.21cnjy.com )，
得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )＝x(
( http: / / www.21cnjy.com ))，即
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以A，B，C三点共线．
( http: / / www.21cnjy.com )
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.1
从位移、速度、力到向量
课堂导学
三点剖析
1.向量、相等向量、共线向量的概念
【例1】
如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.
（1）用有向线段表示与向量
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量；
（2）用有向线段表示与向量
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.
解：（1）与向量
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量是
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com );
（2）与向量
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量是
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).
友情提示
用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.
各个击破
类题演练
1
如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）图中与
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量有____________；
（2）图中与
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量有____________；
（3）图中与
( http: / / www.21cnjy.com )模相等的向量有____________；
（4）图中与
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量有____________.
解:（1）
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )
变式提升
1
如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；长度为2的向量有4个，其中
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；长度为3的向量有2个，分别是
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )，所以最多可以写出6个互不相等的向量.
答案：6
2.共线向量（平行向量）的判断
【例2】
给出以下五个条件：①a=b；②|
( http: / / www.21cnjy.com )a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.
思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.
解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.
答案：①③④
友情提示
注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.
类题演练
2
有下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同
②若非零向量
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是共线向量，则A、B、C、D四点共线
③若a∥b且b∥c，则a∥c
④当且仅当
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABCD是平行四边形.
其中正确的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①正确.
②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.
③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.
④正确.
综上可知应选C.
答案：C
变式提升
2
下列命题中，正确的是（
）
A.|a|=|b|
( http: / / www.21cnjy.com )a=b
B.|a|＞|b|
( http: / / www.21cnjy.com )a＞b
C.a=b
( http: / / www.21cnjy.com )a∥b
D.|a|=0
( http: / / www.21cnjy.com )a=0
解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小
( http: / / www.21cnjy.com )，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.
答案：C
3.零向量的应用
【例3】
下列说法正确的有几个（
）
①零向量是没有方向的向量
②零向量与任一向量共线
③零向量的方向是任意的
④零向量只能与零向量共线
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.
解析：由零向量的特点可知②③对.
答案：C
友情提示
容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.
类题演练
3
下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若
( http: / / www.21cnjy.com )|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.
答案：A
变式提升
3
下列条件中能得到a=b的是（
）
A.|a|=|b|
B.a,b同向
C.a=0,b任意
D.a=0,b=0
答案：D2.3.1　数乘向量
问题导学
1．数乘向量的定义理解
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究1
已知a，b是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反的向量．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　)．
(1)当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
(2)当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
(3)当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
(4)当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
( http: / / www.21cnjy.com )
数乘向量定义的几点说明：
(1)数乘向量仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算．
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
2．向量的线性运算及线性表示
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究2
(1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
1．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
2．已知向量a，b不共线．
(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
( http: / / www.21cnjy.com )
向量的线性运算及解含未知向量方程(组)的方法：
(1)向量的线性运算要遵循数乘向量的运算律．
(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量的线性运算．
(3)解实数方程(组)的移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量的方程或方程组．
3．向量共线的判定定理与性质定理的应用
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究3
设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
( http: / / www.21cnjy.com )活动与探究4
如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )迁移与应用
证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．
( http: / / www.21cnjy.com )
共线向量定理的应用
(1)共线向量的判定定理与性质定理，可直接用于判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数的取值．
(2)共线向量的判定定理为证明三点共线和两直线平行提供了一种方法．
①证明三点共线，即转化为有公共点的两条有向线段表示的向量共线；
②证明两直线平行，则是转化为无公共点的两直线上的有向线段所表示的向量共线．
当堂检测
1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)．
A．a－2b
B．－2b
C．0
D．b－a
2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是(　　)．
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)．
A．－2
B．
C．－
D．2
4．已知e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当k＝________时，a，b共线．
5．如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，求证：四边形BDEF为平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)向量　λa　(2)|λ||a|
( http: / / www.21cnjy.com )　(3)相同　相反　0　0　(4)伸长　压缩　伸长　|λ|　缩短　|λ|　(5)②λa＋μa　③λa＋λb
预习交流1　提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．
(2)向量线性运算的结果是向量，
( http: / / www.21cnjy.com )实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．
预习交流2　原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
2．(1)b＝λa　(2)b＝λa
预习交流3　提示：若a＝0，当b＝0时，λ的值不唯一；
当b≠0时，不存在λ使b＝λa.
预习交流4　　－
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　解：(1)正确．
∵2＞0，∴2a与a的方向相同．又|2a|＝2|a|，
∴(1)正确．
(2)正确．
∵5＞0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.
而－2＜0，
∴－2a与a的方向相反，且|2a|＝2|a|.
∴－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.
∴(2)正确．
(3)正确．
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．
(4)错误．
∵a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)是一对相等向量．
∴(4)错误．
迁移与应用　D　解析：命题
( http: / / www.21cnjy.com )(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a的积λa的方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向或者都与a反向，所以λa与μa同向．当λμ＜0时，λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa方向相反，故(3)(4)也正确，故选D.
活动与探究2　解：(1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋
b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b
，
∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，
从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得
x＝－a＋b.
∴
迁移与应用　1．解：(1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝a＋b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
2．解：(1)∵a，b为不共线向量，
要使等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb成立，
则有
解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b，　　　③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
活动与探究3　(1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)
＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，
∴A，C，D三点共线．
(2)解：＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴解得λ＝，k＝.
迁移与应用　(1)证明：因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2，即与共线．
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．
(2)解：由于a，b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此
解得或
即存在唯一实数λ＝1，使ka＋b与a
( http: / / www.21cnjy.com )＋kb同向共线，此时k＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb反向共线，此时，k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
活动与探究4　证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，
∴＝.
同理＝，∴＝.
同理＝.
∴四边形EFGH为平行四边形．
迁移与应用
证明：如图，设△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点．
( http: / / www.21cnjy.com )
则＝－＝－
＝(－)＝.
可得∥且||＝||.
【当堂检测】
1．B　2．C　3．D　4．±1
5．证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴＝，＝，
＝－
＝－
＝(－)＝.
∴＝，
∴DE∥BF且DE＝BF，
即四边形BDEF为平行四边形．