第四章 图形的相似
4．8 图形的位似
第1课时 位似图形及其画法
正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心．(重点)
阅读教材P113～114，自学，理解位似的概念，会找出位似图形的位似中心，并能按要求将图形进行放大或缩小的位似变换．
(一)知识探究
如果两个相似多边形任意一组
( http: / / www.21cnjy.com )对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做______________，点O叫做________，实际上，k就是这两个相似多边形的________．
(二)自学反馈
1．下列说法正确的是( )
A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等
B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似
C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似
D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似
2．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( )
A．原图形的外部
B．原图形的内部
C．原图形的边上
D．任意位置
位似的三要素即判定位似的依据，也是位似图形的性质．
活动1 小组讨论
例1 如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.
解：(1)在原图形上取A、B、C、D、E、F、G，在图形外任取一点P；
(2)作射线AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP；
(3)在这些射线上依次取A′、B
( http: / / www.21cnjy.com )′、C′、D′、E′、F′、G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；
(4)顺次连接点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′、A′.所得到的图形就是符合要求的图形．
在作位似图形时，按要求作出各点的对应点后，注意对应点之间的连线，不要错连．
易错提示：当位似中心在原图形的外部时，两个图形可能在位似中心的两侧或同侧．
例2 请画出如图所示两个图形的位似中心．
解：如图所示的点O1就是图1的位似中心．
如图所示的点O2就是图2的位似中心．
正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________.
2．例1中的位似中心为点________，如果把位似中心选在原图形的内部，那么所得图形是怎样的？如果点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′取在AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP的延长线上时，所得的图形又是怎样的？(试着画一画)
3．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
4．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
5．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
【预习导学】
(一)知识探究
位似多边形 位似中心 相似比
(二)自学反馈
1．D 2.D
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．2 2.P 图略． 3.平行，因为位似的两个图形的对应边平行． 4.图略． 5.(1)略．(2).(3)略．
第2课时 坐标中的位似关系
1．理解并掌握位似图形在平面直角坐标系中的应用，
2．会根据相似比，求位似图形的顶点，以及根据位似图形对应点的坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形．(重点)
阅读教材P115～117，自学“做一做”与“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶
( http: / / www.21cnjy.com )点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形________，位似中心是________，它们的相似比为________．
(二)自学反馈
(1)如图，在平面直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )中，有两点A(6，3)、B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为________．
(3)△ABC和△A1B1C1关
( http: / / www.21cnjy.com )于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A1(6，－8)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是________．
(4)已知△ABC三顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1______________，B1______________，C1______________.
活动1 小组讨论
例1 将图形中的△ABC作下列移动，画出相
( http: / / www.21cnjy.com )应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化：①向上平移4个单位；②关于y轴成轴对称；③以点A为位似中心，放大到2倍．
解：①平移后得△A1B1C1，横坐标不变，纵坐标都加4；
②△ABC关于y轴成轴对称的图形为△A2B2C2，纵坐标不变，横坐标为对应点横坐标的相反数；
③放大后得△AB3C3，A的坐标不变，B3纵坐标不变，横坐标在B的基础上加AB的长，C3的横坐标在C的横坐标的基础上加AB的长，纵坐标在C的纵坐标的基础上加BC的长．
考虑图形在平面直角坐标系中作何种变换，弄清点的坐标的变化情况；作位似变换时，求出顶点坐标即可．
例2 如图所示的△ABC，以A点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标．
解：根据题意，图中的△AB1C1
( http: / / www.21cnjy.com )就是满足题意的三角形，其中A点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B1、C1的坐标分别为(3，－3)，(1，3)．
解决本题的关键就是要作出正确的图形，否则求出的点的坐标就会是错误的．
活动2 跟踪训练
1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的，连接各点所得的图形与原图形相比( )
A．完全没有变化
B．扩大成原来的2倍
C．面积缩小为原来的
D．关于纵轴成轴对称
2．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( )
A．只有1个
B．可以有2个
C．有2个以上但有限
D．有无数个
3．在平面直角坐标系中，将坐标为(0，0)、(2，4)、(2，0)、(4，4)、(6，0)的点用线段顺次连接起来形成一个图案．
(1)将这五个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，求上述点的坐标，将所得的五个点用线段顺次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？
(2)横坐标不变，纵坐标分别减去3呢？
(3)横坐标都加上3，纵坐标不变呢？
(4)横、纵坐标都乘以－1呢？
(5)横、纵坐标分别变成原来的2倍呢？面积如何变化？
活动3 课堂小结
1．本节学习的数学知识：以原点为位似中心，位似图形对应点坐标之间的关系．
2．本节学习的数学方法：运用数形结合的方法解题．
【预习导学】
(一)知识探究
相似 坐标原点
(二)自学反馈
(1)对应点横纵坐标都变为原
( http: / / www.21cnjy.com )来的或－.(2)k或－k (3) (4)(2，4)或(－2，－4) (2，0)或(－2，0) (6，6)或(－6，－6)
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.B 3.(1)横向缩小.(2)向下平移了3个单位长度．
(3)向右平移了3个单位长度．(4)关于原点作中心对称变换．(5)以原点为位似中心作位似变换，相似比为2，面积扩大4倍．2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．了解一元二次方程的根与系数的关系．
2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
阅读教材P49～50，完成下列问题：
(一)知识探究
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________.
(二)自学反馈
1．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )
A．－4
B．－1
C．1
D．0
2．如果x1，x2是一元二次方程x2－6x－2＝0的两个实数根，那么x1＋x2的值是( )
A．－6
B．－2
C．6
D．2
3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.
活动1 小组讨论
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0;
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝，x1x2＝－1.
先将方程化为一般形式，找对a、b、c.
例2 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
解：设另一根为x，由根与系数的关系得
－3·x＝－，解得x＝.
又∵－3＋＝－，解得k＝3.
∴另一根是，k的值是3.
本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数关系解答．
活动2 跟踪训练
1．两根均为负数的一元二次方程是( )
A．7x2－12x＋5＝0
B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0
D．x2＋15x－8＝0
两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．
2．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)(x2－2)＝________.
3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x＝15;
(2)5x2－1＝4x2；
(3)x2－3x＋2＝10;
(4)4x2－144＝0；
4．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求代数式＋的值．
活动3 课堂小结
1．一元二次方程的根与系数的关系．
2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件．
【预习导学】
(一)知识探究
－
(二)自学反馈
1．B 2.C 3.7 3
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.－4 3.(
( http: / / www.21cnjy.com )1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1.(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8.(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 4.由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝2.∴＋＝＝＝2.4.2 平行线分线段成比例
1．理解平行线分线段成比例定理．(重点)
2．会用平行线分线段成比例定理解决问题．(难点)
阅读教材P82～84，自学“例题”，完成下列内容：
(一)知识探究
基本事实：两条直线被一组________所截，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段________．
(二)自学反馈
如图，l1、l2分别被l3、l4、l5所截，且l3∥l4∥l5，则
(1)＝；
(2)＝＝；
(3)＝.
活动1 小组讨论
例 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝＝＝.
(2)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝＝＝.
∴FC＝AC－AF＝－5＝.
本例是平行线分线段成比例的推论的简单应用，为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫．注意对“截得的对应线段”中“截得”的理解，同时找准对应线段是关键．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，AD＝6，则AB的长为( )
A．18
B．12
C．9
D．3
2．如图，已知在△ABC中，点D，E，
( http: / / www.21cnjy.com )F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶FB＝( )
A．5∶8
B．3∶8
C．3∶5
D．5∶3
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l
( http: / / www.21cnjy.com )1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若＝，DE＝4，则EF的长是________．
4．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，＝，DE＝6，则EF＝________.
5．如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，求AC的长．
6．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.
活动3 课堂小结
平行线分线段成比例定理：
(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
【预习导学】
(一)知识探究
平行线 成比例
(二)自学反馈
(1)DE EF (2)BC EF AC DF (3)AC DE
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.D 3.6 4.9
5．∵DE∥BC，∴＝.∵AD＝3，DB＝6，AE＝2，∴＝.解得EC＝4.∴AC＝AE＋EC＝6. 6.证明：∵DF∥AC，∴＝.∵EF∥BC，∴＝.∴＝.3．1 用树状图或表格求概率
第1课时 画树状图法和列表法
用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．(重点)
阅读教材P60～61，完成下列问题：
问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4和5；从两个口袋中各随机取出1个小球．用列表法写出所有可能的结果．
如果还有丙口袋中装有2个
( http: / / www.21cnjy.com )相同的小球，它们分别写有字母H和I.从甲、乙、丙三个口袋中各随机取出1个小球．此时可以继续用列表法吗？你有没有更好的方法？与同学交流一下．
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的
( http: / / www.21cnjy.com )结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法．当一次试验涉及三个因素时，列表法就不方便了，那么为不重不漏地列出所有可能的结果，我们该怎么办呢？
活动1 小组讨论
例 在抛掷硬币试验中，
(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
解：(1)可能出现正、反两种结果，它们发生的可能性相同．
(2)可能出现正、反两种结果，它们发生的可能性相同．
(3)可能出现正、反两种结果，发生的可能性相同，第一枚硬币反面朝上亦然．
注意不重不漏地列出每一种可能发生的结果．
活动2 跟踪训练
1．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( )
A．0
B.
C.
D．1
2．“五·一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3．在x2□2xy□y2的□中，分别填上“＋”或“－”，所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A．1
B.
C.
D.
4．经过某十字路口的汽车，它
( http: / / www.21cnjy.com )可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
(1)三辆车全部继续直行；
(2)两辆车右转，一辆车左转．
活动3 课堂小结
本堂课你学到了哪些知识与方法？在运用时有哪些细节需要注意呢？
【预习导学】
1
2
3
(3，1)
(3，2)
4
(4，1)
(4，2)
5
(5，1)
(5，2)
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.A 3.C 4.(1).(2).
第2课时 利用概率判断游戏的公平性
1．进一步经历用树状图、列表法计算两步随机试验的概率．
2．运用树状图法或列表法判断游戏的公平性．(重点)
阅读教材P62～64，完成下列问题：
自学反馈
小明和小军两人一起做游戏
( http: / / www.21cnjy.com )．游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果你是游戏者，你会选择哪个数？
活动1 小组讨论
例 小明、小颖和小凡做“
( http: / / www.21cnjy.com )石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相
( http: / / www.21cnjy.com )同，其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)．所以小凡获胜的概率为＝；
小明胜小颖的结果有3种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为＝；
小颖胜小明的结果也有3种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为＝.
因此，这个游戏对三人是公平的．
活动2 跟踪训练
1．在“石头、剪子、布”的游戏中(剪子赢布，布赢石头，石头赢剪子)，当你出“剪子”时，对手胜你的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”(如图2)的概率等于( )
A.
B.
C.
D．1
3．如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准
( http: / / www.21cnjy.com )备了1个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子．转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上数字－1，－2，－3；袋子中装有除数字以外其他均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3.游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其他情况乙获胜．(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)
(1)用树状图或列表法求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由．
活动3 课堂小结
1．一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的．通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果．
2．一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.B
3．(1)列表法：
乒乓球数字转盘数字
和
－1
－2
－3
1
0
－1
－2
2
1
0
－1
3
2
1
0
树状图：
则甲获胜的概率为P(甲)＝＝；(2)不公平；乙获胜的可能性大．
第3课时 利用概率玩“配紫色”游戏
借助于树状图、列表法计算随机事件的概率．提高在求概率时处理各种情况出现可能性不同时的能力．(重点)
阅读教材P65～67，完成下列问题：
自学反馈
两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是多少？
解析：“配紫色”转盘游戏分两步试验，第一次有4种可能结果，第二次有3种可能结果，故可利用列表法或画树状图来计算配成紫色的概率．
(红，红)(红，蓝)(红，白)
(绿，红)(绿，蓝)(绿，白)
(黄，红)(黄，蓝)(黄，白)
(蓝，红)(蓝，蓝)(蓝，白)
请将结果填在下面的表格中：
第二个转盘第一个转盘
红
蓝
白
红
绿
黄
蓝
活动1 小组讨论
例 一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球
( http: / / www.21cnjy.com )，这些球除颜色外其他都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球．求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．
解：把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、白2.则列表格如下：
红1
红2
白1
白2
蓝
红1
(红1，红1)
(红1，红2)
(红1，白1)
(红1，白2)
(红1，蓝)
红2
(红2，红1)
(红2，红2)
(红2，白1)
(红2，白2)
(红2，蓝)
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白1)
(白1，白2)
(白1，蓝)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白1)
(白2，白2)
(白2，蓝)
蓝
(蓝，红1)
(蓝，红2)
(蓝，白1)
(蓝，白2)
(蓝，蓝)
总共有25种结果，每种
( http: / / www.21cnjy.com )结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种：(红1，蓝)，(红2，蓝)，(蓝，红1)，(蓝，红2)，所以P(能配成紫色)＝.
活动2 跟踪训练
1．如图转动两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功．如图转动两个盘各一次配紫色成功的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．小明所在的学校准备在国
( http: / / www.21cnjy.com )庆节当天举办－个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”(红、蓝可配成紫色)的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是________．
3．转动下面的两个转盘各一次，将所转到的数字相加，它们的和是奇数的概率是________．
4．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成3个和
( http: / / www.21cnjy.com )4个扇形，每个扇形上都标有一个实数．同时自由转动两个转盘，转盘停止后(若指针指在分格线上，则重转)，两个指针都落在无理数上的概率是________．
5．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得绿色的概率是.(黄、蓝两色混合配成绿色)
活动3 课堂小结
1．用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性必须相同．
2．“配紫色”游戏体现了概率模型的思想，它
( http: / / www.21cnjy.com )启示我们：概率是对随机现象的一种数学描述，它可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策．
【预习导学】
自学反馈
(红，红) (红，蓝) (红，白)
(绿，红) (绿，蓝) (绿，白)
(黄，红) (黄，蓝) (黄，白)
(蓝，红) (蓝，蓝) (蓝，白)
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2. 3. 4.
5．如图．2.3 用公式法求解一元二次方程
1．经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式的由来．
2．会用公式法求解一元二次方程(重点)．
3．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况．(重点)
阅读教材P41～43，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
( http: / / www.21cnjy.com )(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是____________．这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为________．
2．一元二次方程ax2＋bx＋c
( http: / / www.21cnjy.com )＝0(a≠0)的根的情况可由________来判定．我们把________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．当b2－4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac________0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac________0时，方程没有实数根．
(二)自学反馈
1．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
2．用公式法解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0;
(2)4x2－3x＋1＝0.
活动1 小组讨论
例1 推导求根公式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
解：方程两边同时除以a，得x2＋x＋＝0.
移项，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝.
∵a≠0，所以4a2＞0.
当b2－4ac≥0时，得x＋＝±＝±.
∴x＝.
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝.
当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
例2 解方程：
(1)x2－7x－18＝0； (2)4x2＋1＝4x.
解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，
∴x＝，
即x1＝9，x2＝－2.
(2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0.
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
∴x＝＝，
即x1＝x2＝.
用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c值，再判断Δ的正负．
活动2 跟踪训练
1．在用公式法解方程2x2－9x＝－8时，b2－4ac的值为________．
2．如果关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
3．利用判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x2－3x－＝0；
(2)16x2－24x＋9＝0；
(3)x2－4x＋9＝0；
(4)3x2＋10x＝2x2＋8x.
4．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0;
(2)x2－x－＝0；
(3)x2＋2x＝0;
(4)x2＋2x＋10＝0.
活动3 课堂小结
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程．
4．一元二次方程根的情况．
【预习导学】
(一)知识探究
1．x＝ 公式法
2．b2－4ac b2－4ac ＞ ＝ ＜
(二)自学反馈
1．D 2.(1)这里a＝2，b
( http: / / www.21cnjy.com )＝－4，c＝－1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0，∴x＝＝，即x1＝1＋，x2＝1－.(2)这里a＝4，b＝－3，c＝1.∵b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝－7＜0，∴原方程无实数解．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．17 2.k＜1 3.(1)有两个不相等的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有两个不相等的实数根．
4．(1)x1＝3，x2＝－4.(2)x1＝，x2＝.(3)x1＝0，x2＝－2.(4)无解.6．1 反比例函数
1．经历从现实情境中抽象出反比例函数概念的过程，初步理解反比例函数所反映的变量之间的关系，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型．
2．结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．(重点)
阅读教材P149～150，完成下列内容：
(一)知识探究
1．如果两个量x、y满足__
( http: / / www.21cnjy.com )______(k为常数，k≠0)，那么x、y就成反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么________与________就成反比例关系．
2．形如y＝(k是常数，_
( http: / / www.21cnjy.com )_______)的函数称为________，其中x是________，y是________．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
(二)自学反馈
下列函数中，是反比例函数的有________；每一个反比例函数相应的k值是多少？
①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.
判断是不是反比例函数，一定要根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式：①y＝，②y＝kx－1，③xy＝k.
活动1 小组讨论
例1 导体中的电流I，与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U＝IR.当U＝220
V时，
(1)你能用含有R的代数式表示I吗？
(2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？
(3)变量I是R的函数吗？为什么？
解：(1)能用含有R的代数式表示I.由IR＝220，得I＝.
(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.
从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大．
(3)变量I是R的函数．由IR＝220得I＝.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数．
例2 京沪高速铁路全长约为1
( http: / / www.21cnjy.com )318
km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
解：由路程等于速度乘以时间可知1
318＝vt，则有t＝.当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数．
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．从y＝中可知x作为分母，所以x不能为零．
活动2 跟踪训练
1．一个矩形的面积为20
cm2，相邻的两条边长分别为x
cm和y
cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
2．某村有耕地346.2
hm2，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？
3．y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
－2
－1
－
1
3
y
2
－1
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表．
活动3 课堂小结
本节课我们学习了反比例函数的定义，
( http: / / www.21cnjy.com )并归纳总结出反比例函数的表达式为y＝(k为常数，k≠0)，自变量x不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是不是函数，是什么函数．
【预习导学】
(一)知识探究
1．xy＝k 速度v 时间t 2.k≠0 反比例函数 自变量 因变量
(二)自学反馈
③④⑤⑦ ③y＝中k＝；④y＝－中k＝－；⑤xy＝3中k＝3；⑦xy＝－1中k＝－1.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．变量y是变量x的函数，是反比例函数．
( http: / / www.21cnjy.com )因为y与x之间的函数表达式为y＝，是反比例函数． 2.该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数n的函数，函数表达式为m＝，是反比例函数． 3.(1)y＝－.(2)(从左往右)－3 1 4 －4 －2 2 y＝－4.4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的判定方法
1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2．掌握两角分别相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
3．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)
阅读教材P89～90，自学“例1”，完成下列内容：
(一)知识探究
1．三角分别________、三边________的两个三角形叫做相似三角形．
2．两角分别________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
下列是两位同学运用相似三角形的定义判定下图中两个三角形是否相似的过程，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．
甲同学：虽然这两个三角形的三个内角分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以他们不相似．
乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．
这两个三角形相似，理由：∵∠C＝∠H，∠A＝∠I，
∠B＝∠J，又∵＝＝，
∴△ABC∽△IJH.
注意对应关系，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．
活动1 小组讨论
例 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝.
∴BC＝＝＝14.
先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义可计算边的长．
活动2 跟踪训练
1．下面能够相似的一组三角形为( )
A．两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两个等边三角形
D．以上都不对
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
3．如图，∠AED＝∠B，则一定可得( )
A．AD∶AC＝AE∶AB
B．DE∶BC＝AD∶DB
C．DE∶BC＝AE∶AC
D．AD∶AB＝AE∶AC
4．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝________.
5．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC
( http: / / www.21cnjy.com )上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形________________(用相似符号连接)．
6．如图，已知∠A＝∠C，那么△OAB与△OCD相似吗？OA·OD＝OB·OC成立吗？为什么？
活动3 课堂小结
1．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
【预习导学】
(一)知识探究
1．相等 成比例 2.相等
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.B 3.A 4. 5.△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE
6．相似．成立．∵∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∴△OAB∽△OCD.∴＝.∴OA·OD＝OB·OC.
第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
1．掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
2．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)
阅读教材P91～92，自学“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
两边________且________相等的两个三角形相似．
(二)自学反馈
根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
如图，已知∠B＝50°，AB＝2，BC＝3，∠B′＝50°，A′B′＝4，B′C′＝6.
活动1 小组讨论
例 如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且＝，求DE的长．
解：∵AE＝1.5，AC＝2，
∴＝.
∵＝，
∴＝.
又∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
∴＝＝.
∵BC＝3，
∴DE＝BC＝×3＝.
判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下，夹这个角的两边的比相等有两种情形，不要只考虑其中一种情形，而忽视了另一种．
易错提示：1.只有两边成比例的两个三角形不一定相似，如：两个等腰三角形就未必相似；
2．两边成比例，且其中一边所对的角相等，这样的两个三角形不一定相似．
活动2 跟踪训练
1．如图，不等长的两条对角线AC、B
( http: / / www.21cnjy.com )D相交于O点，且将四边形ABCD分为甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则下列关于此四个三角形的关系中说法正确的是( )
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
2．如图，若AC∶AD＝AB∶AC，则△________∽△________，∠ACD＝∠________.
3．如图所示，BC与AD相交于O点，OB∶OC＝3∶1，OA＝12
cm，OD＝4
cm，AB＝30
cm，则CD＝________cm.
4．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝
( http: / / www.21cnjy.com )∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC∽△A′B′C′.
5．如图，在钝角△ABC中，AB＝6，AC
( http: / / www.21cnjy.com )＝12，点D从A点出发沿AB以1
cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2
cm/s的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过________秒时，△ADE与△ABC相似．
活动3 课堂小结
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【预习导学】
(一)知识探究
成比例 夹角
(二)自学反馈
△ABC和△A′B′C′相似．理由：∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.ACD ABC ABC 3.10 4.3 5.3或4.8
第3课时 三边成比例的判定方法
1．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
2．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．(难点)
阅读教材P93～94，自学“例3”，完成下列内容：
(一)知识探究
1．三边成比例的两个三角形________．
2．两角分别________的两个三角形相似．
3．两边________且________相等的两个三角形相似．
(二)自学反馈
若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A′B′C′，则下列结论正确的是( )
A．△ABC与△A′B′C′的对应角不相等
B．△ABC与△A′B′C′不一定相似
C．△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为2∶1
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)．
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用，先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似，再通过观察图形，寻找∠BAD和∠CAE的关系．
例2 如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
△ABC∽△A′B′C′.
判断方法有：
(1)三边成比例的两个三角形相似；
(2)两角分别相等的两个三角形相似；
(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(4)定义法．
以方格纸为背景呈现两个三角形，意在运用不同判定方法进行判断．
活动2 跟踪训练
1．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )
2．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝20，B′C′＝25，A′C′＝40，则△ABC和△A′B′C′________(填“相似”或“不相似”)．
3．如图所示，要使△ABC∽△DEF，则x＝________.
4．如图，点O是△ABC外的一
( http: / / www.21cnjy.com )点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得＝＝＝3，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？说明理由．
5．已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
活动3 课堂小结
1．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
2．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．
3．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．
【预习导学】
(一)知识探究
1．相似 2.相等 3.成比例 夹角
(二)自学反馈
C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.相似 3.40
4．相似．∵＝＝3，∠AOC＝
( http: / / www.21cnjy.com )∠A′OC′，∴△AOC∽△A′OC′.∴＝＝3.同理可得＝3，＝3，∴＝＝.∴△A′B′C′∽△ABC. 5.∵∠ABC＝∠CDB＝90°，(1)当＝时，△ABC∽△CDB，此时＝＝，即＝.∴BD＝.即当BD＝时，△ABC∽△CDB；(2)当＝时，△ABC∽△BDC，此时＝＝，即＝，BD＝.∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.综上所述，当BD＝或BD＝时，这两个三角形相似．
第4课时 黄金分割
知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
阅读教材P95～97，自学“例4”，完成下列内容：
(一)知识探究
一般地，点C把线段分成两条线段AC和B
( http: / / www.21cnjy.com )C(如图)，如果＝，那么称线段AB被点C________，点C叫做线段AB的______________，AC与AB的比叫做________．其中＝≈0.618.
(二)自学反馈
已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则BC∶AB＝( )
A.
B.
C.
D.
活动1 小组讨论
例 古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中的用虚线表示的矩形画成图中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，＝.点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
解：∵四边形AEFD为正方形，
∴AE＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD.
∴AE＝BC.
∵＝，∴＝.
∴点E是AB的黄金分割点，
＝.∴＝.
∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．
活动2 跟踪训练
1．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，若AB＝4
cm，则AC的长为( )
A．(2－2)cm
B．(6－2)cm
C．(－1)cm
D．(3－)cm
2．把长为7
cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，若＝，则＝________，＝________.
4．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角
( http: / / www.21cnjy.com )为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝________度．
5．电视节目主持人在主持节目时，站
( http: / / www.21cnjy.com )在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20
m，试计算主持人应走到离A点至少________m处．(结果精确到0.1
m)
6．已知线段AB＝10
cm，点C是它的黄金分割点，求AC的长．
活动3 课堂小结
1．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
2．一条线段有几个黄金分割点？
3．如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？
4．如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？
【预习导学】
(一)知识探究
黄金分割 黄金分割点 黄金比
(二)自学反馈
C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.B 3. 4.135 5.7.6
6．分两种情况讨论：当点C靠近点A时，AC＝10×＝(15－5)cm；当点C靠近点B时，AC＝10×＝(5－5)cm.5．1 投影
第1课时 投影、中心投影
1．通过观察、实验、探索、想象，了解投影、投影线、投影面、中心投影的概念．
2．能根据点光源找到物体的影子，能找到中心投影条件下物体影子的位置和大小．(重点)
阅读教材P125～128，完成下列内容：
(一)知识探究
1．光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等
( http: / / www.21cnjy.com ))上得到的________，叫做物体的投影，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做________．
2．由________________发出的光线形成的影子就是中心投影．
3．皮影戏是利用________投影的一种表演艺术．
影子的形成需要“光线”、“物体”、“形成影子的面”三个条件；本章中所提的“投影面”是一个平面，生活中的影子不一定在同一个平面上．
(二)自学反馈
1．如图在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是( )
2．中心投影的投影线________．
活动1 小组讨论
例1 确定下图中灯泡所在的位置．
解：如图，过一根木杆的顶
( http: / / www.21cnjy.com )端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O.点O就是路灯灯泡所在的位置．
发光点、物体上的点及其影子上的对应点在一条直线上．
例2 请同学们在图中画出小红在走向路灯时两个时刻的影子的情况，并思考在中心投影现象中，物体离光源的远近的变化会对影子的长短带来怎样的变化．
解：如图，分别连接灯泡所
( http: / / www.21cnjy.com )在点与小红头顶所在点并延长与地面相交，则可以得小红所处不同位置的影子．从而得出物体离光源越近影子越短，离光源越远影子越长．
对于中心投影，物体与光源距离越近投影越小，距离越远投影越大．
活动2 跟踪训练
1．下列哪种影子不是中心投影( )
A．皮影戏中的影子
B．晚上在墙上的手影
C．舞厅中霓虹灯形成的影子
D．阳光下林荫道上的树影
2．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处，这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
3．身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子________．
4．小军晚上到乌当广场去玩，他发现有两人的影子一个向东，一个向西，于是他肯定地说：“广场上的大灯泡一定位于两人________”．
5．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；
(2)如果灯杆高PO＝12
m，小亮的身高AB＝1.6
m，小亮与灯杆的距离BO＝13
m，求小亮影子的长度．
活动3 课堂小结
1．投影，中心投影的概念．
2．中心投影画图：①确定光源位置；②确定影长；③确定物体长度．
3．影响影长的因素．
【预习导学】
(一)知识探究
1．影子 投影线 投影面 2.同一点(点光源) 3.中心
(二)自学反馈
1．A 2.交于一点
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.B 3.短 4.中间
5．(1)连接PA并延长交地面于点C，线段
( http: / / www.21cnjy.com )BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子，图略．(2)在△CAB和△CPO中，∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，∴△CAB∽△CPO.∴＝.∴＝.∴BC＝2.∴小亮影子的长度为2
m．
第2课时 平行投影
1．通过观察、想象，了解不同时刻物体在太阳光下形成影子的大小和方向是不同的．
2．经历实践探究的过程，了解平行投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子．(重点)
阅读教材P129～132，完成下列内容：
(一)知识探究
1．太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为________．
2．投影线垂直于投影面产生的投影叫做________．
3．正投影是一种特殊的平行投影，它区别于一般的平行投影的不同之处是____________________．
4．平行投影与中心投影的主要区
( http: / / www.21cnjy.com )别是_____________________________________________________．
5．平行投影有两种情况：一种是投影线________照射投影面；另一种是投影线________照射投影面，这种投影就是正投影．
注意区分正投影与平行投影之间的区别与联系，掌握正投影是特殊的平行投影，是光线垂直于投影面的特殊情况．
(二)自学反馈
1．如图所示，此时的影子是在________(填“太阳光”或“灯光”)下的影子．
2．下列图形：①点；②线段；③平行四边形；④矩形；⑤圆，其中不可能是正方形正投影的是________(把符合条件的选项的序号都填上)．
活动1 小组讨论
例1 下面三幅图片是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的，请你将它们按拍照的先后排序．
解：顺序为③②①.
一天当中影子的变化方向为“西—西偏北—北—北偏东—东”，影子的长度变化为上午：“长—短”；下午“短—长”；一天变化为“长—短—长”．
例2 某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5
m.
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示．你能画出此时乙木杆的影子吗？
(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在(2)情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长为1.24
m和1
m，那么你能求出甲木杆的高度吗？
解：(1)如图1，连接DD′，过点E作DD′平行线，交AD′所在的直线于点E′.BE′就是乙木杆的影子．
(2)如图2，平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形(即△BEE′)，直到乙木杆影子的顶端E′抵达墙根为止．
(3)因为△ADD′∽△BEE′，所以＝，即－.
所以甲木杆的高度AD＝1.86(m)．
①首先要确定太阳光为光源，投影线是平行的，可以根据甲木杆和它的影子确定光线，从而画出乙木杆的影子；②在同一时刻，物体的影长与实际长度的比值是定值．
活动2 跟踪训练
1．下列投影是平行投影的是( )
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
2．下列为某两个物体的投影，其中是在太阳光下形成投影的是( )
3．在操场上练习双杠的过程中发现双杠的两横杠在地上的影子( )
A．相交
B．互相垂直
C．互相平行
D．无法确定
4．如图中①②③④是木杆一天中四个不同时刻在地面上的影子，将它们按时间先后顺序排列为____________．
5．如图，我国某大使馆内有一单杠支架，
( http: / / www.21cnjy.com )支架高2.8
m，在大使办公楼前竖立着高28
m的旗杆，旗杆底部离大使办公楼墙根的垂直距离为17
m，在一个阳光灿烂的某一时刻，单杠支架的影长为2.24
m，大使办公室窗口离地面5
m，问此刻中华人民共和国国旗的影子是否能达到大使办公室的窗口？
活动3 课堂小结
1．平形投影、正投影的概念．
2．区分平行投影与中心投影．
3．同一时刻下，物体高度与其影子长度关系．
【预习导学】
(一)知识探究
1．平行投影 2.正投影 3.投影线垂直于投影面 4.光线是平行还是交于一点 5.倾斜于 垂直于
(二)自学反馈
1．太阳光 2.①⑤
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.D 3.C
( http: / / www.21cnjy.com )4.④③②① 5.设旗杆的总影长为x
m．由题意，得＝.解得x＝22.4.∴22.4－17＝5.4(m)．设大使办公楼上的影长为y
m．由题意，得＝.解得y＝6.75.因为6.75>5，所以国旗的影子能达到大使办公室的窗口.4.5 相似三角形判定定理的证明
1．理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识．(重点)
2．应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题．(难点)
阅读教材P99～102，自学三个例题，完成下列内容：
1．两角分别相等的两个三角形相似．
2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
3．三边成比例的两个三角形相似．
(一)知识探究
(二)自学反馈
下列图形中不一定相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
活动1 小组讨论
例 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则
∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．
过点D作AC的平行线，交BC于点F，则
＝(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．
∴＝.
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形．
∴DE＝CF.
∴＝.
∴＝＝.
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
根据例题中的证明思路，思考：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”该如何证明，三条定理的证明思路有相似之处，定理3的证明过程中，证明两三角形相似时要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加．
活动2 跟踪训练
1．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( )
A．△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
2．如图，已知△ABC中，P为AB上一点
( http: / / www.21cnjy.com )，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC∽△ACB的条件是( )
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
3．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使△ABC∽△ADE.
4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1,
CD＝，则△ABC的边长为________．
5．如图，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.
6．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．求证：△DEF∽△CBA.
活动3 课堂小结
1．相似三角形判定定理的证明
(1)两角对应相等，两三角形相似．
(2)三边对应成比例，两三角形相似．
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
2．相似三角形判定定理的应用
【预习导学】
(二)自学反馈
A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.D 3.∠D＝∠B或∠AED＝∠C或＝ 4.3
5．证明：设正方形ABCD的边
( http: / / www.21cnjy.com )长为a.∵BP＝3PC，∴PC＝BC＝a.∴＝＝2，＝＝2.∴＝.∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
6．证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴＝，＝，＝.∴＝＝.∴△DEF∽△CBA.1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)
3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)
阅读教材P11～13，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有______________的平行四边形叫做矩形．
2．生活中你见到过的矩形有________、________.
3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质．
4．矩形的________都是直角．
5．矩形的对角线________．
6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
(二)自学反馈
1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？
2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：
(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )
(2)平行四边形是矩形．( )
(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )
3．已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．若BD＝3
cm，则AC＝________cm.
活动1 小组讨论
例 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5
cm，求矩形对角线的长．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．
活动2 跟踪训练
1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相互平行
B．对角线相等
C．对角线相互平分
D．对角相等
2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( )
A．3∶2
B．2∶1
C．1.5∶1
D．1∶1
3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
A．8
B．6
C．4
D．2
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E为AB、AC的中点．则下列结论中错误的是( )
A．CD＝AD
B．∠B＝∠BCD
C．∠AED＝90°
D．AC＝2DE
5．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为________．
6．矩形的一条对角线长10
cm，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为________cm.
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
活动3 课堂小结
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【预习导学】
(一)知识探究
1．一个角是直角 2.五星红旗 毛巾 3.特殊 一切 4.四个角 5.相等 6.一半
(二)自学反馈
1．是轴对称图形，有两条对称轴． 2.(1)√ (2)× (3)√ 3.6
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.B 3.C 4.D 5. 6.5
7．证明：连接DE.∵AD＝A
( http: / / www.21cnjy.com )E，∴∠AED＝∠ADE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°.∴∠ADE＝∠DEC.∴∠DEC＝∠AED.又∵DF⊥AE，∴∠DFE＝∠C＝90°.∵DE＝DE，∴△DFE≌△DCE.∴DF＝DC.
第2课时 矩形的判定
能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)
阅读教材P14～16，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对角线________的平行四边形是矩形．
2．有三个角是________的四边形是矩形．
(二)自学反馈
1．能够判断一个四边形是矩形的条件是( )
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
2．矩形的一组邻边分别长3
cm和4
cm，则它的对角线长________cm.
3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．
(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？
(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？
(3)四边形ABCD是( )
A．菱形
B．平行四边形
C．矩形
D．不能确定
(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
活动1 小组讨论
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝8.
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)．
∴由勾股定理得：BC＝＝4.
∴ ABCD的面积是BC×AB＝4×4＝16.
先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．
活动2 跟踪训练
1．下列说法错误的是( )
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB
( http: / / www.21cnjy.com )∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)
4．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．
5．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)四边形BFDE为矩形．
活动3 课堂小结
矩形的判定方法：
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是矩形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．相等 2.直角
(二)自学反馈
1．C 2.5 3.(1)AB∥CD，BC∥AD.(2)90°.(3)C (4)相等．因为矩形的对角线相等．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.D 3.答案不唯一，如：∠A＝90° 4.12
5．证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，
( http: / / www.21cnjy.com )∴∠AED＝∠CFB＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．
第3课时 矩形的性质与判定的运用
能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)
阅读教材P16～18，完成下列问题：
自学反馈
1．如图，矩形ABCD的两条
( http: / / www.21cnjy.com )对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5
cm，则∠DAO＝________，AC＝________cm，S矩形ABCD＝________.
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________，可使它成为矩形．
活动1 小组讨论
例1 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)．
∵ED＝3BE，∴BE＝OE.
又∵AE⊥BD，∴AB＝AO.
∴AB＝AO＝BO，即△ABO是等边三角形．
∴∠ABO＝60°.
∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB＝30°，∴AE＝AD＝×6＝3.
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，
( http: / / www.21cnjy.com )AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°.
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
活动2 跟踪训练
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
2．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20
cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A．10
cm
B．8
cm
C．6
cm
D．5
cm
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝________.
5．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠
( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________________．(写出一种情况即可)
6．如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
活动3 课堂小结
1．说说你的收获．
2．说说你的困惑．
3．说说你的方法．
【预习导学】
自学反馈
1．30° 5
cm2 2.答案不唯一，如：AC＝BD
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.D 3.B 4.5 5.答案不唯一，如：AB＝CD.
6．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四
( http: / / www.21cnjy.com )边形，∴AO＝CO，AB∥CD.∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF.(2)连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，理由：由(1)可知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF＝AC，∴四边形AECF是矩形.4.6 利用相似三角形测高
1．通过测量旗杆的高度活动，巩固相似三角形有关知识．
2．会运用相似三角形测量并求楼房、旗杆等的高度．(重难点)
阅读教材P103～104，自学，学会测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累一些数学建模的经验．
活动1 小组讨论
归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：
1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
把太阳的光线看成是平行的．
∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的．∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CDB.
∴＝，即CD＝.
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
2．利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生作为观测者，在他和
( http: / / www.21cnjy.com )旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
过点A作AN⊥DC于N，交EF于M.
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°.
∴人、标杆和旗杆是互相平行的．
∵EF∥CN，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，∴＝.
∵人与标杆的距离AM、人与旗杆的距离AN，标杆与人的身高的差EM都已测量出，∴能求出CN.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴四边形ABND为矩形．
∴DN＝AB.∴能求出旗杆CD的长度．
3．利用镜子的反射
操作方法：选一名学生作为观
( http: / / www.21cnjy.com )测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
反射角＝入射角．
∵反射角＝入射角，
∴∠AEB＝∠CED.
∵人、旗杆都垂直于地面，
∴∠B＝∠D＝90°.
∴＝.
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
在总结测量方法时要注意以下几点：
运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．
运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
运用方法3时应注意向学生解释光线的反射角等于入射角的现象．
活动2 跟踪训练
1．如图，身高为1.6
m的某学生
( http: / / www.21cnjy.com )想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2
m，CA＝0.8
m，则树的高度为( )
A．4.8
m
B．6.4
m
C．8
m
D．10
m
2．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同
( http: / / www.21cnjy.com )一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80
cm的竹竿的影长为60
cm；如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900
cm.则旗杆的长为( )
A．900
cm
B．1
000
cm
C．1
100
cm
D．1
200
cm
3．某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为________米．
4．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长
( http: / / www.21cnjy.com )为3.2
m的竹竿做测量工具．移动竹竿，竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8
m，与旗杆相距22
m，则旗杆的高为________
m.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.D 3.21.6 4.12第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．
2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．(重难点)
阅读教材P2～4，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．
2．菱形具有________________的一切性质．
3．菱形是________图形，它的__
( http: / / www.21cnjy.com )__________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直．
4．菱形的四条边都相等．
5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________．
(二)自学反馈
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
(2)有哪些特殊的三角形？
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；
(2)AC⊥BD.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
(2)∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵OB＝OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2.
∴OA＝＝＝3.
∴AC＝2OA＝6.
此题由菱形的性质可知AB＝AD，结合∠BAD＝60°，即可得到△ABD是等边三角形，从而可求AB的长度．再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC.
活动2 跟踪训练
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为( )
A．5
B．10
C．6
D．8
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2
cm，则菱形的面积为( )
A．3
cm2
B．4
cm2
C.
cm2
D．2
cm2
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于________．
5．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，请找出图中一对全等三角形为________________．
6．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE.
活动3 课堂小结
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的四条边相等．
3．菱形的对角线互相垂直．
【预习导学】
(一)知识探究
1．邻边相等 2.平行四边形 3.轴对称 对角线所在的直线 两条 5.互相垂直 对角
(二)自学反馈
(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.
相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠
( http: / / www.21cnjy.com )CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，
直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.A 3.D 4.5 5.△AB
( http: / / www.21cnjy.com )D≌△CBD或△ADE≌△CDE或△ABE≌△CBE 6.证明：∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA.又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD.∵DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC.∴DE＝CE＝BC.∴DE＝BE.
第2课时 菱形的判定
1．理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法．(重点)
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．(难点)
阅读教材P5～7，完成下列问题．
(一)知识探究
1．有一组________的平行四边形是菱形．
2．对角线________的平行四边形是菱形．
3．________的四边形是菱形．
(二)自学反馈
判断下列说法是否正确：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．( )
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)．
有一组邻边相等的四边形是菱形．
例2 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证： ABCD是菱形．
证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
活动2 跟踪训练
1．如图，在 ABCD中，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC
D．AC＝BD
2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是( )
A．AD平分∠BAC
B．AB＝AC，且BD＝CD
C．AD为中线
D．EF⊥AD
3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形( )
A．三角形
B．不规则的四边形
C．菱形
D．一般平行四边形
4．如图所示，在 ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则 ABCD的周长是________．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是菱形．
活动3 课堂小结
菱形常用的判定方法：
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．有四条边相等的四边形是菱形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．邻边相等 2.互相垂直 3.四边相等
(二)自学反馈
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.C 3.C 4.24
5．证明：(1)∵DE⊥A
( http: / / www.21cnjy.com )B，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)．
(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
第3课时 菱形的性质与判定的运用
1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．(重难点)
2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．
阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定．
自学反馈
如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6.
(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；
(4)求菱形ABCD的面积．
活动1 小组讨论
例 如图，四边形ABCD是边长为13
cm的菱形，其中对角线BD长为10
cm.
求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AED＝90°，
DE＝BD＝×10＝5(cm)．
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE＝＝＝12(cm)．
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)．
(2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD
＝2×S△ABD＝2××BD×AE
＝BD×AE＝10×12＝120(cm2)．
菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.
活动2 跟踪训练
1．如图，菱形ABCD的周长为40
cm，它的一条对角线BD长10
cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm.
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4
cm，BD＝8
cm，则这个菱形的面积是________cm2.
3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形．
活动3 课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？
【预习导学】
自学反馈
(1)6，6，6.(2)互相垂直平分．(3)6.(4)18.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．120 10 2.16
3．证明：∵MN垂直平分AC，∴AD＝
( http: / / www.21cnjy.com )DC，AE＝EC.由CE∥AB得∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO.又AO＝CO，∴△ADO≌△CEO.∴AD＝CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AD＝DC.故四边形ADCE是菱形.2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．会用因式分解法求解一元二次方程．(重点)
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(重点)
阅读教材P46～47，完成下列问题：
(一)知识探究
1．如果两个因式的积是零，那么
( http: / / www.21cnjy.com )这两个因式中至少有一个因式为________；反之，如果两个因式中有一个因式为零，那么这两个因式的积为________．
2．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成____________________时，我们就可以采用因式分解法解方程．
(二)自学反馈
1．如果a·b＝0，那么a＝0或b
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－8)＝0;
(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.
活动1 小组讨论
例1 解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0或5x－4＝0.
x1＝0，x2＝.
(2)原方程可变形为x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0或x－1＝0.
x1＝2，x2＝1.
例2 用因式分解法解下列方程：
(1)4x2－144＝0；
(2)(2x－1)2＝(3－x)2；
(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
(4)3x2－12x＝－12.
解：(1)x1＝6，x2＝－6.
(2)x1＝，x2＝－2.
(3)x1＝，x2＝－.
(4)x1＝x2＝2.
注意本例中的方程可以试用多种方法求解．
活动2 跟踪训练
1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2x－2＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x＝0;
(2)x2－2x＝0；
(3)3x2－6x＝－3;
(4)4x2－121＝0.
3．把小圆形场地的半径增加5
m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
活动3 课堂小结
1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．
【预习导学】
(一)知识探究
1．零 零 2.两个一次因式的乘积
(二)自学反馈
1．x－1＝0 x＝1 2.(1)x1＝0，x2＝8.(2)x1＝－，x2＝.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.(1)x1＝0，x2＝－1.
( http: / / www.21cnjy.com )(2)x1＝0，x2＝2.(3)x1＝x2＝1.(4)x1＝，x2＝－. 3.设小圆形场地的半径为x
m，则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋5)m.6.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
能画出反比例函数的图象，进一步掌握画函数图象的步骤．(重点)
阅读教材P152～153，完成下列内容：
(一)知识探究
1．反比例函数的表达式是：________________.
2．类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：________、________、________.
3．反比例函数图象是________．
4．在反比例函数y＝(k≠0，k为
( http: / / www.21cnjy.com )常数)中，当k>0时，两支曲线位于________象限内；当k＜0时，两支曲线位于________象限内．
(二)自学反馈
你能画出反比例函数y＝的图象吗？它是什么形状？有什么特点？y＝呢？
活动1 小组讨论
例1 画出反比例函数y＝的图象．
解：(1)列表：
x
…
－8
－4
－3
－2
－1
－
1
2
3
4
8
…
y＝
…
－
－1
－
－2
－4
－8
8
4
2
1
…
(2)描点：如图1所示．
(3)连线：如图2所示．
在列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应地就得到绝对值相等而符号相反的对应的函数值，这样既可以简化计算，又便于在坐标系中描点．在用光滑的曲线连接各点时，注意曲线是无限延伸的，且不和坐标轴相交．
例2 在如图的平面直角坐标系内画出反比例函数y＝的函数图象．
解：列表→描点→连线，如图所示．
y＝和y＝的图象分别是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，且图象具有对称性．
活动2 跟踪训练
1．已知点(1，1)在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是( )
2．当x＞0时，函数y＝－的图象在( )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
3．对于反比例函数y＝图象的对称性，下列叙述错误的是( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝－x对称
D．关于x轴对称
4．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式________．
5．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是________．
6．按要求填空，并作图．
(1)请用描点法在直角坐标系上画出y＝的函数图象．
x
…
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
…
y
…
…
(2)点(12，)在y＝的函数图象上吗？为什么？
活动3 课堂小结
1．反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的．
①当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内．
②当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
2．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y＝x和y＝－x.对称中心是原点．
【预习导学】
(一)知识探究
1．y＝(k≠0，k为常数) 2.列表 描点 连线 3.双曲线 4.第一、三 第二、四
(二)自学反馈
答案略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.A 3.D 4.答案不唯一，如：y＝－ 5.m>1
6．(1)列表如下：
x
…
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
…
y
…
－
－2
－3
－6
6
3
2
…
描点，连线，如图所示．
(2)∵12×＝6，∴点(12，)在y＝的函数图象上．
第2课时 反比例函数的性质
1．通过比较，探索并掌握反比例函数的增减性．(重点)
2．理解并掌握反比例函数k的几何意义．(难点)
阅读教材P154～155，完成下列内容：
(一)知识探究
填表分析正比例函数和反比例函数的区别．
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
y＝kx(k≠0)
y＝(k≠0)
图象形状
________
________
k>0
位置
________象限
________象限
增减性
y随x的增大而________
每个象限内y随x的增大而________
k＜0
位置
________象限
________象限
增减性
y随x的增大而________
每个象限内y随x的增大而________
(二)自学反馈
下列函数：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝中，
(1)图象位于第二、四象限的有________；
(2)在每一象限内，y随x的增大而增大的有________；
(3)在每一象限内，y随x的增大而减小的有________．
活动1 小组讨论
例1 观察反比例函数y＝，y＝，y＝的图象，你能发现它们的共同特征吗？
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
解：(1)第一、三象限．
(2)在每个象限内y的值随着x值的增大而减小．
例2 考察当k＝－2，－4，－6时，反比例函数y＝的图象，它们有哪些共同特征？
提示：前面已经对k>0时，反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出k＜0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．
解：函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大．
反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
例3 在一个反比例函数图象
( http: / / www.21cnjy.com )上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？
解：如图所示，S1＝x1y1＝k，S2＝x2y2＝k，所以S1＝S2.
矩形面积总等于.
活动2 跟踪训练
1．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是( )
A．点(－2，－1)在它的图象上
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．它的图象在第一、三象限
2．函数y＝的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1＝y2
D．y1、y2的大小不确定
3．函数y＝－的图象，在每一个象限内，y随x的增大而________．
4．已知反比例函数y＝的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是________．
5．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为3，则这个反比例函数的关系式是________．
设函数为y＝，而点P在函数图象上，所以k＝mn，又阴影部分面积是|mn|＝3，函数图象在第二象限，所以k＜0，即k＝－3，所以函数关系式为y＝－.
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
(一)知识探究
直线 双曲线 一、三 一、三 增大 减小 二、四 二、四 减小 增大
(二)自学反馈
(1)②④ (2)②④ (3)①③
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.A 3.增大 4.m＜ 5.y＝－4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理(一)
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
阅读教材P106～107，自学“想一想”、“议一议”与“例1”，完成下列内容：
(一)知识探究
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________．
(二)自学反馈
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′的对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于________．
活动1 小组讨论
例 如图，AD是△ABC的高，AD＝
( http: / / www.21cnjy.com )h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR＝BC时，求DE的长，如果SR＝BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝(相似三角形对应高的比等于相似比)，
即＝.
当SR＝BC时，得＝.解得DE＝h.
当SR＝BC时，得＝.解得DE＝h.
活动2 跟踪训练
1．如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为( )
A．8∶9
B．9∶8
C．64∶81
D．2∶3
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A．2∶3
B．3∶2
C．4∶9
D．9∶4
3．如图，电灯P在横杆AB的
( http: / / www.21cnjy.com )正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2
m，CD＝5
m，点P到CD的距离是3
m，则点P到AB的距离是( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
4．如图，DE∥BC，则△________∽△________.若AD＝3，BD＝2，AF⊥BC，交DE于点G，则AG∶AF＝________∶________，△AGE∽△________，它们的相似比为________
5．若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2
cm，A′B′＝1cm，则它们对应角平分线的比为________．
6．若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′
( http: / / www.21cnjy.com )D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16
cm，则△ABC的中线BE＝________cm.
活动3 课堂小结
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
【预习导学】
(一)知识探究
相似比
(二)自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′. (2)k
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.A 3.C 4.ADE ABC 3 5 AFC 3∶5 5.3∶2
6．12
第2课时 相似三角形的性质定理(二)
理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，并会运用它解决相关问题．(重点)
阅读教材P109～110，自学“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
相似三角形的周长比等于________，面积比等于__________．
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′中，＝________，＝________.
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．
活动1 小组讨论
例 如图，将△ABC沿BC方向平
( http: / / www.21cnjy.com )移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝2，求△ABC平移的距离．
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC＝∠B，∠EGC＝∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝()2＝(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，
即＝.
∴EC2＝2.
∴EC＝.
∴BE＝BC－EC＝2－，
即△ABC平移的距离为2－.
活动2 跟踪训练
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，则S△ABC：S△A′B′C′＝( )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
2．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1∶2，若BC＝1，则对应边EF的长是( )
A.
B．2
C．3
D．4
3．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是( )
A．80
B．90
C．100
D．120
4．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．
5．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△FGA与△BGC的面积之比是________．
6．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12
cm，面积是30
cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
活动3 课堂小结
相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【预习导学】
(一)知识探究
相似比 相似比的平方
(二)自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)k k2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.A 3.B 4.4∶9 5.1∶4
6．(1)∵＝，∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)．(2)∵＝，∴△DEF的面积＝30×()2＝13(cm2)．第三章 概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
1．借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性．
2．通过操作，体验重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系，能从频率值角度估计事件发生的概率．(重点)
3．懂得开展实验、设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流．
阅读教材P69～70，完成下列问题：
自学反馈
让转盘自由转动一次，停止转动后，指针落在红色区域的概率是，以数学小组为单位，每组都配一个如题的转盘，让学生动手实验来验证：
(1)填写以下频数、频率统计表：
转动次数
指针落在红色区域次数
频率
10
20
30
40
50
(2)把各组得出的频数，频率统计表同一行的转动次数和频数进行汇总，求出相应的频率，制作如下表格：
实验次数
指针落在红色区域的次数
频率
80
160
240
320
400
(3)根据上面的表格，画出频率分布折线图．
(4)议一议：频率与概率有什么区别和联系？随着重复实验次数的不断增加，频率的变化趋势如何？
结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数
( http: / / www.21cnjy.com )大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近．因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
活动1 小组讨论
例1 50个同学中有2个同学的生
( http: / / www.21cnjy.com )日相同，不能说明50个同学中有2个同学生日相同的概率是1；如果50个同学中没有2个同学生日相同，不能说明其相应概率是0.(填“能”或“不能”)因此我们只能通过设计方案，通过重复试验的方法来估计50人中有2人生日相同的概率．
收集数据，进行试验，统计结果．
试验次数
有两人生日相同的频数
有两人生日相同的频率
通过以上试验得知50个同学中，有2个学生的生日相同的可能性比较小(填“大”或小)．
小组合作完成教材P70中的“想一想”．
尽可能多的重复试验，方能用频率估计概率．
活动2 跟踪训练
1．某人在做掷硬币试验时，投掷
m次，正面朝上有n次(即正面朝上的频率是p＝)．则下列说法中正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐渐增加，p稳定在附近
2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是( )
A．6
B．16
C．18
D．24
3．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概
( http: / / www.21cnjy.com )率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．从装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
4．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来约有________粒．
5．A市大约有100万常住人口，
( http: / / www.21cnjy.com )随机抽查了2
000人，具有大学以上学历的有120人，则在A市随机调查一个人，他具有大学以上学历的概率约是________．
活动3 课堂小结
1．可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．当实验次数很大时，频率比较稳定，稳定在相应的概率附近．
3．(在一定合理性条件下)假设试验频率＝理论概率，列出方程求解，得要求的未知数值；
【预习导学】
自学反馈
略
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.B 3.B 4.450 5.6%1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)
2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
阅读教材P20～21，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．
2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质．
3．正方形的________相等，都是________，________相等．
4．正方形的对角线________________________．
(二)自学反馈
正方形的性质：
1．边：________都相等且________．
2．角：四个角都是________．
3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．
4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．
活动1 小组讨论
例 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
如图，延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.
∴BE＝DF，
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．
活动2 跟踪训练
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
2．正方形面积为36，则对角线的长为( )
A．6
B．6
C．9
D．9
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14
B．15
C．16
D．17
4．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC＝________°.
5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE.求证：OE＝OF.
活动3 课堂小结
【预习导学】
(一)知识探究
1．一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形
3．四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分
(二)自学反馈
1．四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角
4．中心对称 轴对称 四条
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.B 3.C 4.112.5
5．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC.
∴∠AOB＝∠BOC＝90°.又∵∠OBE＝∠OCF，∴△OBE≌△OCF.∴OE＝OF.
第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)
2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．
阅读教材P22～24，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对角线相等的________是正方形．
2．对角线垂直的________是正方形．
3．有一个是直角的________是正方形．
(二)自学反馈
1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
2．下列命题正确的是( )
A．两条对角线相等的菱形是正方形
B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形
C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形．
活动1 小组讨论
例
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形．
掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2 跟踪训练
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．
3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
活动3 课堂小结
1．对角线相等的菱形是正方形；
2．对角线垂直的矩形是正方形；
3．有一个角是直角的菱形是正方形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．菱形 2.矩形 3.菱形
(二)自学反馈
1．D 2.A 3.C 4.正方
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥B
( http: / / www.21cnjy.com )C，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．
2．四边形EFGH是正方形．证明：
( http: / / www.21cnjy.com )∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．又∠AHE＝∠BEF，∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．
3．证明：连接BD.∵点E，F，
( http: / / www.21cnjy.com )G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．4．1 成比例线段
第1课时 线段的比和比例的基本性质
1．了解线段的比和比例线段的概念．
2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)
阅读教材P76～79，完成下列内容：
(一)知识探究
1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两
( http: / / www.21cnjy.com )条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成＝.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的________和________．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．
2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b
( http: / / www.21cnjy.com )的比等于c与d的比，即________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称________．
3．比例的基本性质
如果＝，那么ad＝________.
如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝________.
(二)自学反馈
1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )
A．1，2，3，4
B．1，2，2，4
C．3，5，9，13
D．1，2，2，3
2．把mn＝pq写成比例式，错误的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
活动1 小组讨论
例 如图，一块矩形绸布的长A
( http: / / www.21cnjy.com )B＝a
m，宽AD＝1
m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即＝，那么a的值应当是多少？
解：根据题意可知，AB＝a
m，AE＝a
m，AD＝1
m.
由＝，得
＝，
即a2＝1.
∴a2＝3.
开平方，得a＝(a＝－舍去)．
本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．
易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．
活动2 跟踪训练
1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )
A.∶2
B.∶1
C．2∶
D．1∶
2．若四条线段a、b、c、d成比例，且a＝3，b＝4，c＝6，则d＝( )
A．2
B．4
C．4.5
D．8
3．在比例尺为1∶900
000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4
cm，这两地的实际距离是( )
A．2
250厘米
B．3.6千米
C．2.25千米
D．36千米
4．A、B两地之间的高速
( http: / / www.21cnjy.com )公路为120
km，在A、B间有C、D两个收费站，已知AD∶DB＝11∶1，AC∶CD＝2∶9，则C、D间的距离是________km.
5．如图，已知＝，AD＝6.4
cm，DB＝4.8
cm，EC＝4.2
cm，求AC的长．
活动3 课堂小结
1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.
2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．
3．两条线段的比在实际生活中的应用．
【预习导学】
(一)知识探究
1．长度 前项 后项 2.＝ 比例线段 3.bc
(二)自学反馈
1．B 2.D
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.D 3.D 4.90
5．∵＝，∴＝.解得AE＝5.6.∴AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．
第2课时 等比性质
1．理解并掌握等比性质．(重点)
2．运用等比性质解决有关问题．(难点)
阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…n≠0)，那么＝________.
注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b＋d＋…＋n≠0.
(二)自学反馈
如果＝＝(b＋d≠0)，那么＝________.
活动1 小组讨论
例 在△ABC与△DEF中，若＝＝＝，且△ABC的周长为18
cm，求△DEF的周长．
解：∵＝＝＝，
∴＝＝.
∴4(AB＋BC＋CA)＝3(DE＋EF＋FD)，
即DE＋EF＋FD＝(AB＋BC＋CA)．
又∵△ABC的周长为18
cm，即AB＋BC＋CA＝18
cm，
∴DE＋EF＋FD＝(AB＋BC＋CA)＝×18＝24(cm)，
即△DEF的周长为24
cm.
在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC的周长，即三边之和为18
cm.
活动2 跟踪训练
1．已知＝＝＝4，且a＋c＋e＝8，则b＋d＋f等于( )
A．4
B．8
C．32
D．2
2．若＝＝＝k，且a＋b＋c≠0，则k的值为( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
3．已知＝＝＝，则＝________.
4．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝________.
5．已知＝＝＝，b＋2d－3f≠0，求的值．
活动3 课堂小结
等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…n≠0)，那么＝.
【预习导学】
(一)知识探究
(二)自学反馈
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.A 3. 4.3
5．∵＝＝＝，b＋2d－3f≠0，∴＝＝＝.∵b＋2d－3f≠0，∴＝.第五章 投影与视图
5.2 视图
第1课时 视图
1．探索基本几何体(圆柱、圆锥、球)与其三种视图(主视图、左视图、俯视图)之间的关系．(重点)
2．会判断简单物体的三视图，发展合情推理能力和数学表达能力．
阅读教材P134～136，完成下列内容：
(一)知识探究
1．用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的________．
2．在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的________．
3．我们把从正面得到的视图叫做________，从左面得到的视图叫做________，从上面得到的视图叫做________．
(二)自学反馈
下列四个几何体中，左视图为圆的是( )
活动1 小组讨论
例1 (1)下图中物体的形状分别可以看成什么样的几何体？
(2)你能在下列图形中找出上面几何体对应的主视图吗？
(3)你能想象出它们的左视图和俯视图吗？与同伴交流，请你试着画出来．
解：(1)圆柱、圆锥和球．
(2)圆柱的主视图是(1)，圆锥的主视图是(5)，球的主视图是(3)．
(3)圆柱：
圆锥：
球：
画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们．
例2 如图1是一个蒙古包的照片，小明认为这个蒙古包可以看成图2所示的几何体，你能帮小明画出这个几何体的三种视图吗？
解：该几何体的三视图如图所示：
对于由几种基本几何体组合而成的几何体，其各种视图可以分解为基本几何体的视图再组合，画三视图时要注意各几何体的上、下、前、后、左、右位置的关系．
活动2 跟踪训练
1．下列几何体中，俯视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
3．如图，桌面上放着一个圆柱和一个正方体．请你说出右面的三幅图分别是哪种视图．
(1)________
(2)________ (3)________
4．画出如图所示半圆的三视图．
5．下图是“蒙牛”冰激凌模型图，请画出它的三视图．
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
【预习导学】
(一)知识探究
1．视图 2.三视图 3.主视图 左视图 俯视图
(二)自学反馈
C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.A 3.(1)俯视图 (2)主视图 (3)左视图 4.图略．
5．略．
第2课时 直棱柱的三视图的画法
1．让学生想象直三棱柱和直四棱柱的三种视图，经历由直三棱柱和直四棱柱到其三种视图的转化过程．(重点)
2．能根据棱柱的俯视图尝试画出它的主视图和左视图．(难点)
阅读教材P137～139，完成下列内容：
(一)知识探究
1．在三种视图中，主视图反应物
( http: / / www.21cnjy.com )体的________和________，俯视图反映物体的________和________，左视图反映物体的________和________．
2．画三种视图时，对应部分的长度要________，而且通常把俯视图画在主视图________面，把左视图画在主视图________面．
(二)自学反馈
1．如图所示的几何体的左视图是( )
2．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是( )
活动1 小组讨论
例1 绘制三棱柱的三视图．
解：三视图如图所示．
画几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们，具体画法：确定主视图的位置，画出主视图；在主视图下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
例2 直四棱柱三种视图的画法．
解：三视图如图所示．
为全面地反映立体图形的形状，画图时规定，看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
例3 两个三棱柱的底面均为等腰直角三角形，它们的俯视图分别如图所示，画出它们的主视图和左视图．
解：如图所示：
活动2 跟踪训练
1．画出如图所示几何体的三视图．
2．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．
3．一个正五棱柱的俯视图如图所示，请你画出它的主视图与左视图．
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了什么？
【预习导学】
(一)知识探究
1．长 高 长 宽 高 宽 2.相等 下 右
(二)自学反馈
1．D 2.D
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．略． 2.略． 3.略．
第3课时 由视图描述几何体
1．能由三视图想象出简单几何体的形状，并且能画出草图．(重点)
2．能画出除了圆柱、圆锥、正方体等几何体外，其他较复杂的几何体的三视图．(难点)
阅读教材P141～142，完成下列内容：
(一)知识探究
1．由三视图想象立体图形
( http: / / www.21cnjy.com )时，要分别根据主视图、俯视图、左视图想象立体图形________面、________面、________面，然后再结合起来考虑整体图形．
2．一个立体图形的俯视图是圆，则这个图形可能是________．
(二)自学反馈
1．下列几何体中，其主视图、左视图与俯视图均相同的是( )
A．正方体
B．三棱柱
C．圆柱
D．圆锥
2．如图所给的三视图表示的几何体是( )
A．长方体
B．圆柱
C．圆锥
D．圆台
像这类给出选项的选择题可以根据选项反推理，从而得出答案．
活动1 小组讨论
例1 观察图1的三种视图，你能在图2找到与之对应的几何体吗？
解：与图1对应的几何体是(4)．
由于给出了供辨认的几何体，我们可以先分析图2中每个几何体的三视图，将之与图1相比较，从而得出答案．
易错提示：视图中的虚线是被遮挡的物体的轮廓线，要根据其在视图中的位置去想象它在对应的实物中的形状和位置．
例2 根据如图所示的三视图，你能想象出相应几何体的形状吗？先独立思考，再与同伴交流．
解：长方体．
由三视图想象出几何体后，再回过头来考虑一下该几何体的三视图是否与题目给出的相符．
活动2 跟踪训练
1．由下列三视图想象出实物形状．
2．画出如图物体的三视图．
3．已知一个几何体的三视图如图所示，想象出这个几何体．
有些三视图反映的是两个或多个基本几何体，我们可以从三视图中分解出各个基本几何体的三视图，先想象出各个基本几何体，再根据它们三视图的位置关系确定这些基本几何体的组合关系．
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
【预习导学】
(一)知识探究
1．前 上 侧 2.球体
(二)自学反馈
1．A 2.B
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A是四棱锥 B是球体 C是三棱柱
2．略．
3．根据三视图想象出的几何体是一个长方体上面正中部竖立一个小圆柱体，图略．2.6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．
2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．(重点)
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(重点)
阅读教材P52～53，完成下列问题：
(一)知识探究
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；
(2)“设”：设元，也就是设________；
(3)“________”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”：求出所列方程的________；
(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；
(6)“答”：就是写出答案．
2．解决与几何图形有关的一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．
(二)自学反馈
要为一幅长29
cm，宽2
( http: / / www.21cnjy.com )2
cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，此题是利用矩形的面积公式作为相等关系列方程．
活动1 小组讨论
例 如图，某海军基地位于A处，在其
( http: / / www.21cnjy.com )正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)
解：连接DF.
∵AD＝CD，BF＝CF，
∴DF是△ABC的中位线．
∴DF∥AB，且DF＝AB.
∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴DF⊥BC，DF＝100海里，BF＝100海里．
设相遇时补给船航行x海里，那么
DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里，EF＝AB＋BF－(AB＋BE)＝(300－2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得x2＝1002＋(300－2x)2，
整理，得3x2－1
200x＋100
000＝0.
解这个方程，得
x1＝200－≈118.4，x2＝200＋(不合题意，舍去)．
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
解本题的关键是找到等量关系，利用勾股定理列方程求解．
活动2 跟踪训练
1．从正方形铁片上截去2
cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48
cm2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A．8
cm
B．64
cm
C．8
cm2
D．64
cm2
2．将一块正方形空地划出部分
( http: / / www.21cnjy.com )区域进行绿化，原空地一边减少了2
m，另一边减少了3
m，剩余一块面积为20
m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7
m
B．8
m
C．9
m
D．10
m
3．用一根长40
cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75
cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101
cm2的长方形吗？如果能，说明围法．
4．如图，某小区规划在一个长为40米、
( http: / / www.21cnjy.com )宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144
m2，求马路的宽．
这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
活动3 课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
【预习导学】
(一)知识探究
1．(2)未知数 (3)列 (4)解 (5)有意义
(二)自学反馈
设镜框边的宽度为x
cm，则有(29＋2x
( http: / / www.21cnjy.com ))(22＋2x)＝(＋1)×(29×22)，即4x2＋102x－159.5＝0，解得x1＝1.48，x2＝－26.98(舍去)．答：镜框边的宽度应是1.48
cm.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.A 3.(1
( http: / / www.21cnjy.com ))设此长方形的宽为x
cm，则长为(20－x)cm.根据题意，得x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15(舍去)．答：此长方形的宽是5
cm.(2)不能．理由：由题意，得x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0.∵Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴此方程无实数解，故不能围成一个面积为101
cm2的长方形．
4．假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x，则有(40－2x)(26－x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝144×6，化简，得x2－46x＋88＝0，解得x1＝2，x2＝44.由题意，知40－2x＞0，26－x＞0，则x＜20.故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.答：马路的宽为2
m．
第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．(重点)
阅读教材P54～55，完成下列问题：
(一)知识探究
1．单件商品利润＝________－________.
2．利润率＝＝.
3．售价＝进价×(1＋________)
4．总利润＝每件商品的________×商品的________．
(二)自学反馈
某种服装，平均每天可销售20件
( http: / / www.21cnjy.com )，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．如果每天盈利1
600元，每件应降价多少元？
活动1 小组讨论
例 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2
( http: / / www.21cnjy.com )
500元．调查发现，当销售价为2
900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5
000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5
000元．
如果设每台冰箱降价x元，那么每台
( http: / / www.21cnjy.com )冰箱的定价就是(2
900－x)元，每台冰箱的销售利润为(2
900－x－2
500)元，平均每天销售冰箱的数量为(8＋4×)台．这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决．
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得
(2
900－x－2
500)(8＋4×)＝5
000.
解这个方程，得x1＝x2＝150.
2
900－150＝2
750.
所以，每台冰箱应定价为2
750元．
利用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
活动2 跟踪训练
1．某商品的进价为每件40
( http: / / www.21cnjy.com )元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6
125元，每件商品应降价( )
A．3元
B．2.5元
C．2元
D．5元
2．某县为大力推进义务教育均衡发展，
( http: / / www.21cnjy.com )加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )
A．20%或－220%
B．40%
C．－220%
D．20%
3．商场某种商品平均每天可销
( http: / / www.21cnjy.com )售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2
100元．
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可
( http: / / www.21cnjy.com )卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6
080元的利润，应将销售单价定为多少元？
活动3 课堂小结
找准题目中的等量关系，会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
【预习导学】
(一)知识探究
1．售价 进价 3.利润率 4.利润 销量
(二)自学反馈
设每件应降价x元，根据题意，
( http: / / www.21cnjy.com )得(44－x)(20＋5x)＝1
600.整理得x2－40x＋144＝0.解这个方程，得x1＝4，x2＝36(不合题意，舍去)．答：每件服装应降价4元．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.D 3.20
4．设每件降价x元，则每件销售
( http: / / www.21cnjy.com )价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6
080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－x＝56(元)．答：应将销售单价定为56元．第六章 反比例函数
6.3 反比例函数的应用
1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识．
2．能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想．(重点)
阅读教材P158～159，完成下列内容：
(一)知识探究
反比例函数表达式的求法：设出反比
( http: / / www.21cnjy.com )例函数的表达式________，把反比例函数图象上的一个点的坐标代入，得关于k的方程，解方程求出k值，把k的值代入，即得反比例函数的表达式．
(二)自学反馈
1．长方形地下室的体积V一定，那么底面积S与深度h是________关系；表达式是________．
2．运货物的路程s一定，那么运货物的速度v与时间t是________关系；表达式是________．
3．电学知识告诉我们，用电
( http: / / www.21cnjy.com )器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关系：PR＝U2.这个关系式还可以写成P＝________，或R＝________.
活动1 小组讨论
例1 某校科技小组进行野外考察，利
( http: / / www.21cnjy.com )用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600
N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2
m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6
000
Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象．
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．
解：(1)p＝(S>0)，P是S的反比例函数．
(2)p＝3
000
Pa.
(3)至少0.1
m2.
(4)提示：只需在第一象限作出函数的图象．因为S>0.
(5)问题(2)：已知图象上
( http: / / www.21cnjy.com )的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)：已知图象上点的纵坐标不大于6
000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p＝6
000下方的图象上．
例2 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10
A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解：(1)因为电流I与电压U之间的关系式为IR＝U(U为定值)，把图象上的点A的坐标(9，4)代入，得U＝36.
所以蓄电池的电压U＝36
V．这一函数的表达式为I＝.
(2)当I≤10
A时，解得R≥3.6.所以可变电阻应不小于3.6
Ω.
用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，首先要打好数学基础，才能促进对物理知识的理解和探索．
例3 如图，正比例函数y＝k1x的图象和反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)．
(1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求出的？
解：(1)y1＝2x，y2＝.
(2)点B的坐标为(－，－2)．
活动2 跟踪训练
1．某乡粮食总产量为a(a为常数)吨，设该乡平均每人占有粮食为y(吨)，人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象应为下图的( )
2．某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数关系式是y＝________.
3．一定质量的二氧化碳，其
( http: / / www.21cnjy.com )体积V(m3)是密度ρ(kg/m3)的反比例函数，请根据图中的已知条件，写出当ρ＝1.1
kg/m3时，二氧化碳的体积V＝________m3.
4．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象．
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出此函数的表达式；
(3)若要6
h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
(一)知识探究
y＝
(二)自学反馈
1．反比例 S＝ 2.反比例 v＝ 3.2 2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2. 3.9 4.(1)因为当
( http: / / www.21cnjy.com )蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为4
000×12＝48
000(m3)．(2)因为此函数为反比例函数，所以表达式为V＝.(3)若要6
h排完水池中的水，那么每小时的排水量为V＝＝8
000(m3)．第二章 一元二次方程
2．1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)
2．体会方程的模型思想．
阅读教材P31～32，完成下列问题：
(一)知识探究
1．只含有________个未知数，
( http: / / www.21cnjy.com )并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．
2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．
(二)自学反馈
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A．x－y2＝1
B.＝0
C.－1＝0
D.－＝0
2．将方程(x＋1)x＝(x－2)x＋化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( )
A.－，1，
B.－，1，－
C.－，－3，
D.－，1，
活动1 小组讨论
例1 判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1－x2＝0； (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0;
(4)－＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2;
(6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．
判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．
例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：方程(8－2x)(5
( http: / / www.21cnjy.com )－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.
(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.
活动2 跟踪训练
1．下列方程哪些是一元二次方程？
(1)7x2－6x＝0；
(2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－－1＝0；
(4)＝0；
(5)x2＋2x－3＝1＋x2.
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)5x2－1＝4x;
(2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25;
(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.
(1)a取何值时，方程为一元二次方程？
(2)a取何值时，方程为一元一次方程？
4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
活动3 课堂小结
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
【预习导学】
(一)知识探究
1．一 ≠0 整式 2.ax2＋bx＋c＝0 ax2 bx c a b
(二)自学反馈
1．D 2.C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．(1)、(4)是一元二次方程．
2．(1)5x2－4x－1＝0，二次
( http: / / www.21cnjy.com )项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.
3．(1)当a－4≠0即a≠4时，方程
( http: / / www.21cnjy.com )为一元二次方程．(2)a－4＝0，且2a－1≠0时，原方程为一元一次方程．即a＝4时，原方程为一元一次方程．
4．(1)根据题意，得4x2＝25，将其
( http: / / www.21cnjy.com )化成一元二次方程的一般形式是4x2－25＝0.(2)根据题意，得x(x－2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－2x－100＝0.(3)根据题意，得x＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－3x＋1＝0.
第2课时 一元二次方程的解
1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．
2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)
阅读教材P33～34，完成下列问题：
(一)知识探究
1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．
2．估计一元二次方程的解，应先确定方程
( http: / / www.21cnjy.com )解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．
(二)自学反馈
幼儿园某教室矩形地面的长为8
m，宽为5
m
( http: / / www.21cnjy.com )，现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
活动1 小组讨论
例 如图，一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8
m．如果梯子的顶端下滑1
m，那么梯子的底端滑动多少米？
(1)如果设梯子底端滑动x
m，那么你能列出怎样的方程？
解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.
(2)完成下表，并得出滑动距离x(m)的大致范围；
x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2＋12x－15
－15
－8.75
－2
5.25
13
…
解：由上表可知，滑动距离x的大致范围是1＜x＜1.5.
(3)完成下表，并得出x的整数部分是几？十分位是几？
x
…
1.1
1.2
1.3
1.4
…
x2＋12x－15
…
－0.59
0.84
2.29
3.76
…
解：由上表可知，x的整数部分是1，十分位是1.
活动2 跟踪训练
1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是( )
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
2．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2＋px＋q
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
3．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表，由此可判断方程x2－2x－8＝0的解为________．
x
－2
－1
0
1
2
3
4
x2－2x－8
0
－5
－8
－9
－8
－5
0
4.某大学为改善校园环境，计划
( http: / / www.21cnjy.com )在一块长80
m，宽60
m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3
500
m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x
m.
(1)你能列出相应的方程吗？
(2)x可能小于0吗？说说你的理由．
(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．
(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．
活动3 课堂小结
1．一元二次方程的解(根)的概念．
2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．
【预习导学】
(一)知识探究
1．相等 2.小于 大于 之间
(二)自学反馈
设教室未铺地毯区域的宽为x
m，根据题意，得(8－2x)(5－2x)＝18.列出下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
(8－2x)(5－2x)
40
28
18
10
4
0
由上表看出，当(8－2x)(5－2x)＝18时，x＝1.
故可知所求的宽为1
m.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.C 3.－2和4
4．(1)(80－2x)(60－2
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝3
500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.
(4)人行走道的宽为5
m，求解过程如下：
x
2
3
4
5
6
7
…
x2－70x＋325
189
124
61
0
－59
－116
…
显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5
m．4.3 相似多边形
1．了解相似多边形的定义，会判断多边形是否相似．(重点)
2．会运用相似多边形的定义，求多边形的边或角．
阅读教材P86～87，完成下列内容：
(一)知识探究
各角分别________、各边________的两个多边形叫做相似多边形．如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作____________________，“∽”读作“________”．
相似多边形的对应边的比叫做________．
(二)自学反馈
1．下列说法中，正确的是( )
A．两个菱形一定相似
B．两个正方形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个等腰梯形一定相似
2．五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D
( http: / / www.21cnjy.com )′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比是________．
活动1 小组讨论
例 下列每组图形是相似多边形吗？试说明理由．
(1)正三角形ABC与正三角形DEF；
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
解：(1)由于正三角形每个内角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°；
由于正三角形三边相等，所以＝＝.所以正三角形ABC与正三角形DEF是相似多边形．
(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°；
由于正方形四边相等，所以＝＝＝.所以正方形ABCD与正方形EFGH是相似多边形．
观察图形，从本质入手，结合相似多边形的定义，核实角和边是否满足定义中的条件．
活动2 跟踪训练
1．如图，有三个矩形，其中相似的是( )
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．没有相似的矩形
2．如图，正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
3．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为________．
4．若四边形ABCD∽四边
( http: / / www.21cnjy.com )形A′B′C′D′，∠A＝72°，∠B＝95°，∠C＝135°，则四边形A′B′C′D′的四个内角中最小角的度数为________．
5．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠
( http: / / www.21cnjy.com )A＝77°，∠B＝83°，∠E＝77°，∠H＝117°，AD＝18，EF＝6，FG＝7，EH＝4，求∠G，AB、BC的长．
6．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求矩形ABCD面积．
活动3 课堂小结
1．相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．相似用“∽”表示，读作“相似于”
( http: / / www.21cnjy.com )，注意在用相似符号记两个多边形相似时，之所以把表示对应角顶点的字母写在对应位置上，是因为可以一目了然地知道它们的对应角和对应边(与全等形的记法类似)．
【预习导学】
(一)知识探究
相等 成比例 六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1 相似于 相似比
(二)自学反馈
1．B 2.5∶4
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.B 3.8 4.58°
5．∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠A
( http: / / www.21cnjy.com )＝∠E＝77°，∠B＝∠F＝83°，∠H＝117°.∵∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°，∴∠G＝83°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴＝＝.∴＝＝.∴AB＝27，BC＝. 6.由矩形ABCD∽矩形EABF，可得＝.设AE＝x，则BC＝2x.∵AB＝1，∴＝.解得x＝.∴S矩形ABCD＝2x·1＝.2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
1．能根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)
3．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)
阅读教材P36～37，完成下列问题：
(一)知识探究
1．解一元二次方程的思路是将方程
( http: / / www.21cnjy.com )转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个________，另一边是一个________，当n________时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1＝________，x2＝________.
2．通过配成____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________；
(2)配——________，方程两边都加上________________的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得________；
(4)解——方程的解为x＝________.
(二)自学反馈
1．填上适当的数，使下列等式成立：
(1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2；
(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋8x＋________＝(x＋________)2.
2．(1)若x2＝4，则x＝________.
(2)若(x＋1)2＝4，则x＝________.
(3)若x2＋2x＋1＝4，则x＝________.
(4)若x2＋2x＝3，则x＝________.
3．解方程：x2－36x＋70＝0.
活动1 小组讨论
例1 解下列方程：
(1)x2＝5;
(2)2x2＋3＝5；
(3)x2＋2x＋1＝5;
(4)(x＋6)2＋72＝102.
解：(1)方程两边同时开平方，得x1＝，x2＝－.
(2)移项，得2x2＝2，即x2＝1.方程两边同时开平方，得x1＝1，x2＝－1.
(3)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝±.∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
(4)移项，得(x＋6)2＝102－72，即(x＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x＋6＝±.∴x1＝－6＋，x2＝－6－.
例2 解方程：x2＋8x－9＝0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9.
两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.
两边开平方，得x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.
所以x1＝1，x2＝－9.
活动2 跟踪训练
1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为( )
A．(x＋1)2＝0
B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2
D．(x－1)2＝2
2．填空：
(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋5x＋________＝(x＋________)2；
(4)x2－x＋________＝(x－________)2.
3．用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2＝81;
(2)36x2－1＝0；
(3)(x＋5)2＝25;
(4)x2＋2x＋1＝4.
4．用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2＋2x－35＝0;
(2)x2－8x＋7＝0；
(3)x2＋4x＋1＝0;
(4)x2＋6x＋5＝0.
活动3 课堂小结
1．用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程可以达到降次转化的目的．
2．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤．
3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的注意事项．
【预习导学】
(一)知识探究
1．完全平方式 常数 ≥0 －m＋ －m－ 2.完全平方式 3.(1)常数项 (2)配方 一次项系数一半 (3)x＋m＝± (4)－m±
(二)自学反馈
1．(1)36 (2)4 2 (3)16 4
2．(1)2，－2 (2)1，－3 (3)1，－3 (4)1，－3
3．可以把常数项移到方程的右边，得x
( http: / / www.21cnjy.com )2－36x＝－70.两边都加上(－18)2(一次项系数－36的一半的平方)，得x2－36x＋(－18)2＝－70＋(－18)2，即(x－18)2＝254.两边开平方，得x－18＝±，即x－18＝，或x－18＝－.所以x1＝18＋，x2＝18－.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.(1)25 5 (2)36 6 (3) (4)
3．(1)x1＝，x2＝－.(2)x1＝，x2＝－.(3)x1＝0，x2＝－10.(4)x1＝1，x2＝－3. 4.(1)x1＝5，x2＝－7.(2)x1＝1，x2＝7.(3)x1＝－2＋，x2＝－2－.(4)x1＝－1，x2＝－5.
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
1．会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)
2．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)
阅读教材P38～39，完成下列问题：
(一)知识探究
1．用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)化——化二次项系数为________；
(2)配——________，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；
(3)移——移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(4)开——如果n≥0，就可左右两边开平方得________；
(5)解——方程的解为x＝________.
(二)自学反馈
1．某学生解方程3x2－x－2＝0的步骤如下：
解：3x2－x－2＝0→x2－x－＝0，①→x2－x＝，②→(x－)2＝＋，③→x－＝±，④→x1＝，x2＝，上述解题过程中，最先发生错误的是( )
A．第①步
B．第②步
C．第③步
D．第④步
2．解方程：2x2＋5x＋3＝0.
活动1 小组讨论
例 解方程：3x2＋8x－3＝0.
解：两边同除以3，得x2＋x－1＝0.
配方，得x2＋x＋()2－()2－1＝0，即
(x＋)2－＝0.
移项，得(x＋)2＝.
两边开平方，得x＋＝±，即
x＋＝，或x＋＝－.
所以x1＝，x2＝－3.
活动2 跟踪训练
1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2－4x－1＝0可化为(x－2)2＝5
B．x2＋6x＋8＝0可化为(x＋3)2＝1
C．2x2－7x－6＝0可化为(x－)2＝
D．9x2＋4x＋2＝0可化为(3x＋2)2＝2
2．将方程2x2－4x－6＝0化为a(x＋m)2＝k的形式为____________．
3．用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.
①方程两边同时除以2，得________；
②移项，得________；
③配方，得________；
④方程两边开方，得________；
⑤x1＝________，x2＝________.
4．解下列方程：
(1)3x2＋6x－5＝0；
(2)9y2－18y－4＝0.
活动3 课堂小结
1．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤．
2．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的注意事项．
【预习导学】
(一)知识探究
1．(1)1 (2)配方 (4)x＋m＝± (5)－m±
(二)自学反馈
1．B 2.两边同除以2，得x2＋
( http: / / www.21cnjy.com )x＋＝0.配方，得x2＋x＋()2－()2＋＝0，即(x＋)2－＝0.移项，得(x＋)2＝.两边开平方，得x＋＝±，即x＋＝或x＋＝－.所以x1＝－1，x2＝－.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.2(x－1)
( http: / / www.21cnjy.com )2＝8 3.①x2－2x－＝0 ②x2－2x＝ ③(x－1)2＝ ④x－1＝或x－1＝－ ⑤1＋ 1－ 4.(1)x1＝－1，x2＝－－1.(2)y1＝1＋，y2＝1－.
