2
探索直线平行的条件
第1课时
利用“同位角、第三直线”判定平行线
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1．同位角的特征
（）在被截两直线的__________．
（）在截线的__________．
【答案】（）同方向；（）同旁
【解析】
2．直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行，简称为：同位角__________，两直线平行．
【答案】相等，相等
【解析】
3．平行线的基本性质及推论
（）基本性质：过直线外一点有且__________直线与这条直线平行．
（）推论：平行于同一条直线的两条直线__________．
【答案】（）只有一条；（）平行
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：同位角
1．如图，已知直线，被直线所截，那么的同位角是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．如图，下列说法正确的是（
）．
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A．和是同位角
B．和是同位角
C．和是同位角
D．和是同位角
【答案】D
【解析】
3．（）如图①，，，，，，是直线__________，__________被第三条直线__________所截形成的，其中的同位角为__________．
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（）如图②，与是同位角的角有__________和__________；它们分别是直线__________被直线__________所截和直线__________被直线__________所截形成的同位角．
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【答案】（），，；与，与；
（），，，，，，，．
【解析】
考点二：由“同位角”判定平行线
4．如图，平分，且，可以得出的结论是（
）．
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A．
B．
C．平分
D．平分
【答案】B
【解析】
考点三：由“平行于第三直线”判定平行线
5．已知三条直线，，，若，，则与的位置关系是（
）．
A．
B．
C．或
D．无法确定
【答案】B
【解析】
6．在同一平面内，下列说法：①过两点
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【答案】
【解析】
7．如图，已知于点，于点，，试问与平行吗？为什么？
解：．理由：因为（
），所以（
）．
因为，，所以（
）．
所以（
）．所以（
）．
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【答案】已知；同位角相等，两直线平行；垂直定义；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】
8．如图，平分，平分，且，试说明与的位置关系．
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【答案】见解析
【解析】解：．因为平分，所以．
因为平分，所以．
因为，所以，所以．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2015 宿迁）如图所示，直线，被直线所截，与是（
）．
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A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
【答案】A
【解析】
2．（分）如图所示，如果，那么（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）（2016 百色）如图，直线，被直线所截，下列条件能使的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）如图，经过直线外一点的条直线中，与直线平行的直线是__________，共有__________条．
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【答案】直线，
【解析】
5．（分）在如图所示的图形中按照下列要求画平行线．
（）过点画直线，使．
（）过点画直线，使交于点．
（）过点画直线，使交的延长线于点．
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【答案】见解析
【解析】解：画出的图形如图所示．
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6．（分）如图，已知，，试判断直线与是否平行，并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．
理由：因为，，
所以．又因为，
所以，
即，
所以（同位角相等，两直线平行）．
7．（分）如图所示，一块玻璃不小心被打碎了，只有一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形．先用一把直尺作，，这样裁剪以后，和是否平行？并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．
理由：因为，（已知），
所以，，
所以．
所以（同位角相等，两直线平行）．
8．（分）（拓展提升题）如图，已知，再添上什么条件，可使成立？并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：示例：．
理由：，，
所以，所以．
第2课时
利用“内错角、同旁内角”判定平行线
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直线平行的判定
（）两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行．简称为：内错角__________，两直线平行．
（）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行．简称为：同旁内角__________，两直线平行．
【答案】（）相等，相等；（）互补，互补
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：内错角
1．（2015 贵阳）如图，的内错角是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角，在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
3．如图，两只手的食指和大拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是__________．
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【答案】内错角
【解析】
考点二：同旁内角
4．（2016 柳州）如图所示，与是同旁内角的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．下列图形中，和是同旁内角的是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】
考点三：由“内错角”判定平行线
6．（2015 福州）下列图形中，由能得到的是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】
7．如图，由，得到的一组平行线是__________；由，得到的一组平行线是__________．
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【答案】，
【解析】
考点四：由“同旁内角”判定平行线
8．（2016 赤峰）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，，则（
）．
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A．
B．
C．
D．与相交
【答案】C
【解析】
9．如图，请完成下列各题．
（）如果__________，那么．
（）如果__________，那么．
（）如果__________，那么．
（）如果__________，那么．
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【答案】（）（）（）（）
【解析】
10．（2016 淄博）如图是一个由条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：，．
理由：因为，，
所以，所以．
因为，，
所以，所以．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 福州）如图，直线，被直线所截，与的位置关系是（
）．
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A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
【答案】B
【解析】
2．（分）（2015 即墨28中期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）（2015 黔南州）如图，下列说法错误的是（
）．
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A．，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】
4．（分）如图，一辆汽车沿公路行驶至路口处，向右拐的角为，行驶到公路上，在下一交叉路口处，汽车第二次拐弯，若使它拐弯后的行驶路线与第一次拐弯前的行驶路线（行驶在公路上时）平行，则应（
）．
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A．向右拐
B．向左拐
C．向右拐或向左拐
D．向右拐或向左拐
【答案】C
【解析】
5．（分）如图，已知，，则，的位置关系是__________．
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【答案】平行
【解析】
6．（分）（2015 胶南市王台中学质检）如图所示，请写出一个条件：__________，使，理由是：__________．
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【答案】示例：，内错角相等，两直线平行
【解析】
7．（分）（2016 夏津县期末）如图所示，下列条件：①；②；③
④．其中一定能判定的条件有__________．（填写所有正确的序号）
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【答案】①③④
【解析】
8．（分）如图，，平分，平分，，那么与
平行吗？为什么？请完成下面的解题过程．
解：因为平分，平分，所以___________，
___________．因为，所以______________________，
因为______________________，所以___________．
所以（
）．
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【答案】，，，，，，，同位角相等，两直线平行
【解析】
9．（分）（拓展提升题）如图，一只蚂蚁从点出发按北偏东的方向爬行到达点，再从
点按西北方向爬行到达点；再从点按南偏西的方向爬行到达点，连接．
（）请将图形补充完整．
（）求与的度数．
（）此时和的位置如何？说出你的理由．
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【答案】见解析
【解析】（）略（），．
（）与平行．理由：因为，所以．5
平方差公式
第1课时
平方差公式
自主学习
知识梳理快乐学习
1．平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，用字母表示为__________．
【答案】
【解析】
2．平方差公式的推导
____________________．
【答案】
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：平方差公式的特征
1．平方差公式中的，（
）．
A．是数或单个字母
B．是单项式
C．是多项式
D．是单项式或多项式
【答案】D
【解析】
2．（2015·黄岛区期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（一题多辨）平方差公式的常见变形：（）位置变化：__________．
（）符号变化：__________．
（）系数变化：__________．
（）指数变化：__________．
（）项数变化：__________．
【答案】（）
（）
（）
（）
（）
【解析】
考点二：平方差公式
4．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．下列计算错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6．下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．若，则（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
8．的计算结果是（
）．（方法链接：公式连用）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
9．等式（
）中，括号内应填入（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
10．已知，，则__________．（数学思想链接：整体思想）
【答案】
【解析】
11．若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
12．利用平方差公式计算或化简．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
13．化简求值：，其中．
【答案】见解析
【解析】解：原式，
当时，
原式．
强化训练
综合演练强化能能力
1．（分）对于，为了用平方差公式，下列变形正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
2．（分）在下列各式中，运算结果是的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）对于任意的整数，能整除的整数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（分）若，，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（分）（2015·即墨28中期末）计算：__________．
【答案】
【解析】
6．（分）（__________）．
【答案】
【解析】
7．（分）__________．
【答案】
【解析】
8．（分）运用平方差公式计算或化简．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式
．
9．（分）（2015·北京）已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以原式．
10．（分）若与是同类项，且，求的值．（方法链接：逆向思维）
【答案】
【解析】解：因为与是同类项，
所以．
又因为，
所以．
又因为，
所以．
11．（分）（2016·漳州）先化简，再根据化简结果，你发现该代数式的值与的取值有什么关系？（不必说理）
【答案】没有关系
【解析】解：原式．
该代数式的值与的取值没有关系．
12．（分）（拓展提升题）已知，，
，
．
（）观察以上各式并猜想：__________．（为正整数）
（）根据你的猜想计算．
①__________．
②__________．（为正整数）．
③__________．
（）通过以上规律，请你化简下列各式．
①；
②；
③．（数学思想链接：从特殊到一般）
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）①
②
③
（）①原式．
②原式．
③原式．
第2课时
平方差公式的应用
自主学习
知识梳理快乐学习
1．利用平方差公式计算，关键是确定，，把握“同号的为__________，异号的为__________”这一原则，准确进行计算．
【答案】
【解析】
2．（）__________．
（）__________．
（）__________．
【答案】（）
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：平方差公式的验证
1．如图所示，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．如图①所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图②所示的梯形．
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（）设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示和．
（）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】见解析
【解析】解：（），．
（）．
考点二：利用平方差公式进行简便运算
3．用平方差公式计算：__________．
【答案】
【解析】
4．计算．
（）（2015·胶州市期末）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
考点三：平方差公式的实际应用
5．两个正方形的边长的和为，它们的面积的差为，则这两个正方形的边长的差为__________．
【答案】
【解析】
6．有一位狡猾的地主，把一块边长为的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？请说明理由．
【答案】李老汉吃亏了
【解析】解：李老汉吃亏了．
理由：原来的种植面积为，变化后的种植面积为，
因为，
所以李老汉吃亏了．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）的计算结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（分）计算等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）已知可以被～之间的某两个整数整除，则这两个数是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
4．（分）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）某学校改造一个边长为米的正方形花坛，经规划，南北向要缩短米，东西向要加长米，则改造后花坛的面积是__________平方米，改造后花坛的面积减少了__________平方米．
【答案】
【解析】
6．（分）计算：__________．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016·深圳校级期中）已知，则__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】
【解析】
8．（分）如图所示，小刚家有一块“”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，则菜地的面积是__________．当，时，面积是__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
10．（分）阅读下面的计算过程．
根据上式的计算方法，计算下面的题．（方法链接：添项法）
（）．
（）．
【答案】（）
（）
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
11．（分）（拓展提升题）（2016·濉溪县三模）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，如：，，，因此，，都是“智慧数”．
（）__________‘‘智慧数”，__________‘‘智慧数”．（填“是”或“不是”）
（）除外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（）不是
是
（）除外的正奇数一定是“智慧数”．
理由：设这个奇数为（为正整数）．
因为，
所以除外的正奇数一定是“智慧数”．章末复习
知识技能
考点聚焦
掌握方法
专题一：轴对称图形
1．（2015 日照）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
2．下列图案中，轴对称图形是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】D
【解析】
3．（2015 常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑
白阴影图片）中为轴对称图形的是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】B
【解析】
专题二：角的平分线的性质
4．（2015 湖州）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．在中，，，是的角平分线，则与的面积之比是__________．
【答案】
【解析】
专题三：线段垂直平分线的性质
6．（2015 胶州市期末）如图，中，垂直平分，若的周长为，，则
__________．
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【答案】
【解析】
7．（2015 徐州）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么__________．
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【答案】
【解析】
8．（2015 陕西）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示，直线即为所求作的直线．
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专题四：等腰三角形
9．（2015 福州）如图，，分别是线段，的中点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，测量的度数，结果为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
10．（2015 苏州）如图，在中，，为的中点，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
11．（2015 毕节）如图所示，等腰的底角为，腰的垂直平分线交另一腰于点，垂足为，连接，则的度数为__________．
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【答案】
【解析】
12．（2015 乐山）如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则__________．
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【答案】
【解析】
13．（2015 佛山）如图，是等腰三角形，，请你用尺规作图将分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】解：作出的垂直平分线，交于点．
因为，所以平分，
即．
在和中，，，，
所以≌．
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数学思想
巧思妙解
激活思维
专题五：分类讨论思想
14．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为和两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
【答案】见解析
【解析】解：如图，中，，为的中点，所以．
由题意得有两种情况．情况一：①，
②，由①，得，
所以．
由②，得，所以．
情况二：①，②．方法同上，得
，．
综上所述，此等腰三角形的腰长和底边长分别为，或，．
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专题六：转化思想
15．如图，在中，为的平分线，交于点，于点，若，，，你能求出的面积吗？
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【答案】见解析
【解析】解：作于点．
因为是的平分线，，，
所以．
由，可知，
所以．
即的面积是．
专题七：对称思想
16．如图，在四边形纸片中，，，，，将纸片沿折叠，点恰好与点重合，求的长度．
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【答案】见解析
【解析】解：因为点与点关于对称，所以，．
因为，，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以．
所以．
专题八：方程思想
17．如图，已知在中，，分别为，边上的点，，，，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，所以．
因为，所以．
又因为，所以，．
设，则有，，
所以．
所以，
又因为，
所以．
在中，，
，
所以，
所以，
所以．章末复习
知识技能
考点聚焦
掌握方法
专题一：三角形的三边关系
1．已知中，，，那么边的长可能是下列哪个值（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（
）．
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】
3．长为，，，的四根木条，组成三角形，选法有（
）．
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】C
【解析】
专题二：三角形的内角和
4．如图，的大小等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则
（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
专题三：全等三角形的判定及应用
6．（2015·绍兴）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点
与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线，此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得≌，这样就有．则说明这两个三角形全等的依据是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．（2015·宜昌）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（
）．
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】
8．（2015·齐齐哈尔）如图，点，，，在同一直线上，，，要使≌，则只需添加一个适当的条件是__________．（只填一个即可）
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【答案】示例：
【解析】
9．（2015·黄岛区期末）如图，已知，，，则．
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请通过完成以下填空的形式说明理由．
解：因为（已知），
所以____________________（等式的性质），
即____________________．
在和中，
（已知），
____________________（已知），
__________（已证），
所以__________≌__________．
所以____________________（全等三角形的对应边相等）．
【答案】，，，，，，，，，，，
【解析】
10．（2016·诏安县校级模拟）如图，点，，，在同一条直线上，，．请你添加一个条件，使≌．
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（）你添加的条件是：__________．
（）试说明：≌．
【答案】见解析
【解析】解：示例：（）
（）在和中，
因为，，，
所以≌．
11．（2016·宜宾）如图，已知，．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，，
所以．
在与中，
因为，
所以≌，
所以．
12．（2016·无锡校级模拟）如图，，是四边形的对角线上两点，，，．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，所以，所以．
因为，
所以．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
13．（2016·南充）已知和的位置如图所示，，，．
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（）试说明：．
（）试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：（）在和中，
因为，
所以≌，
所以．
（）因为，所以，
即，由（）得≌，所以．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
14．（2016·广饶县期末）如图，在中，，，是边的中线，过点
作，垂足为点，过点作交的延长线于点．
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（）试说明：．
（）若，求的长．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，，
所以．
所以．
又因为，且，
所以≌．
所以．
（）由（）得≌，
所以．
又因为，，
所以．
15．（2016·槐荫区期末）已知点为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作
和，且，，，直线与交于点．
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（）如图①，若，则__________．
（）如图②，若，则__________．（用含的式子表示）
（）设，将图②中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在，中的一条线段上），如图③．试探究与的数量关系，并予以说明．
【答案】见解析
【解析】解：（）；（）；（）．
理由：因为，所以，
所以．
在和中，
因为，
所以≌，
所以，
所以
，
即．
数学思想
巧思妙解
激活思维
专题四：方程思想
16．如图，在中，，于点，于点，与
交于点，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：设，则，．
因为，
所以，解得，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
专题五：建模思想
17．如图，工人师傅要在墙壁的点处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点处打开，墙壁厚，在点处作一直线平行于地面，再在直线上截取，过点作的垂线，垂足为，经测量知，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，结果钻头正好从点处打出，这是什么道理？
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【答案】见解析
【解析】解：在和中，
因为，
所以≌．
所以．
又因为，
所以，
即，所以点，，在同一直线上．
所以钻头沿着方向打孔，正好从点处打出．3
简单的轴对称图形
第1课时
等腰三角形的性质
自主学习
知识梳理
快乐学习
等腰三角形的性质
（）等腰三角形是__________对称图形．
（）等腰三角形__________、__________、__________重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的__________．
（）等腰三角形的两个底角__________．
（）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索，塔柱底端与点
间的距离是米，则的长是__________米．
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【答案】（）轴
（）顶角的平分线；底边上的中线；底边上的高；对称轴
（）相等
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：等腰三角形的轴对称性、“三线合一”
1．如图，在中，，点是边的中点，点在上，那么下列结论不一定正确的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．如图，在中，，于点，于点，于点，下列结论：①；②上任意一点到，的距离相等；③；④若点在直线上，则．其中正确的是（
）．
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A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【解析】
考点二：等腰三角形的边、角性质
3．（一题多辨）（）若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）（2015·胶南市王台中学质检）等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】（）D；（）或
【解析】
4．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（
）．
A．
B．
C．
D．或
【答案】A
【解析】
5．中，，于点，若的周长为，的周长为，则
__________．（数学思想链接：整体思想）
【答案】
【解析】
6．如图，，，试说明：平分．
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【答案】见解析
【解析】解；因为，所以．
因为，所以，，
所以，所以平分．
考点三：等边三角形的性质
7．如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
9．如图，在等边三角形中，，是上一点，且，绕点旋转后得到，则的长为__________．
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【答案】
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图，中，，，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（分）如图，中，，平分，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（
）．
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A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】D
【解析】
3．（分）（2016·育才中学期末）如图，在中，，平分交于点，
交的延长线于点，若，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）（2015·即墨28中期末）如图，中，，，是内一点，且，则的度数等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（分）如图，，，则__________．
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【答案】
【解析】
6．（分）如图，，点在上，且，，则的度数为__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则__________．（方法链接：对称法）
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【答案】
【解析】
8．（分）（2015·河北）如图，，点在上，且，按下列要求画图：
以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；
再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；
再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；
这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）如图，已知，，，是的中点．与有什么位置关系？说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．理由：连接，．
在和中，
因为，，，
所以≌．
所以（全等三角形的对应边相等）．
因为是的中点，所以（等腰三角形“三线合一”）．
10．（分）（拓展提升题）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，求该三角形的一个底角．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】见解析
【解析】解：（）如图①，当腰上的高在三角形的内部时，是腰上的高，
由题意得，所以，
于是底角为．
（）如图②，当腰上的高在三角形的外部时，是腰上的高，
则，因为，
所以．所以三角形的一个底角为或．
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第2课时
线段的垂直平分线
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．线段的轴对称性
线段是轴对称图形，垂直并且__________线段的直线是它的一条对称轴．
【答案】平分
【解析】
2．线段的垂直平分线
（）定义：__________于一条线段，并且__________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．
（）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__________．
（）利用尺规，作线段的垂直平分线．
已知：线段，如图①，
求作：的垂直平分线．
作法：①分别以点__________和__________为圆心，以大于__________的长为半径作弧，两弧相交于点和．
②作__________．直线就是线段的垂直平分线，如图②．因为直线与线段的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．
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【答案】（）垂直，平分
（）相等
（）①，，；②直线
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：线段的轴对称性及其垂直平分线的定义
1．如图，在中，，．的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论不正确的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（
）．
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A．
B．平分
C．
D．≌
【答案】C
【解析】
3．如图，已知是线段的垂直平分线，垂足为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（
）．
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【解析】
考点二：线段垂直平分线的性质
4．（2015·荆州）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，若与的周长分别是，，则__________．
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【答案】
【解析】
5．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，则
的度数是__________．
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【答案】
【解析】
6．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则的周长等于__________．
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【答案】
【解析】
7．如图，中，，垂直平分交于点，试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为垂直平分，
所以．所以．
因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016·毕节）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（
）．
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
2．（分）（2016·滨州）如图，中，为上一点，为上一点，且，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）（2016·德州）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）如图，直线外不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：①作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点，在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是（
）（方法链接：最短路径问题）
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A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．等腰三角形的两个底角相等
【答案】D
【解析】
5．（分）如图，点在直线上，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交
于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点；③作直线，连接，．若，则的大小为__________度．
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【答案】
【解析】
6．（分）（2016·市南区期宋）如图，中，的垂直平分线交于点，若，，，则的周长为__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）（2015·胶州市期末）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，连接，，已知，请运用所学知识，确定的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：在中，，所以．
因为是的垂直平分线，所以，所以，
同理可得，
所以．
8．（分）如图，在四边形中，平分，且，．
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（）求的度数．
（）若，，求四边形的面积．
【答案】见解析
【解析】解：（）作交于点，则，
因为，所以是的垂直平分线，所以．
因为，所以．
因为平分，所以．
在和中，，，，
所以≌，所以．
（）因为是的垂直平分线，所以．
因为≌，所以．
因为，所以，，
所以．【注意有文字】
9．（分）（拓展提升题）（2016·抚州校级期中）在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．的周长为．
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（）求的长．
（）分别连接，，，若的周长为，求的长．
【答案】见解析
【解析】解：（）如图所示，设与交于点，与交于点，
因为，分别是线段，的垂直平分线，
所以，，
所以．
因为的周长为，即，所以．
（）因为边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，
所以．
因为的周长为，即，
所以，
所以，所以．
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第3课时
角平分线
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．角的轴对称性
角是轴对称图形，__________所在的直线是它的对称轴．
【答案】角平分线
【解析】
2．角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离__________．
【答案】相等
【解析】
3．利用尺规作一个角的平分线
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已知：，如图①．
求作：射线，使．
作法：
（）在和上分别截取，，使__________．
（）分别以，为圆心，以__________的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（）作射线__________．就是的平分线，如图②．
【答案】（）
（）大于
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：角平分线的性质
1．如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（
）．
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A．
B．平分
C．
D．垂直平分
【答案】D
【解析】
2．如图，是的平分线，于点，，，，则的长是（
）（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（
）．
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①是的平分线；
②；
③点在的垂直平分线上；
④．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
4．（一题多辨）（）（2015·胶州市期末）如图①，平分，于点，是射线
上的一个动点，若，则的最小值为（
）．
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A．
B．
C．
D．
（）（2016·厦门校级模拟）如图②，是的平分线，点到的距离为，点是上的任意一点，则线段的取值范围为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）如图③，是的平分线，是上的一点，于点，，则点到边的距离为__________．
【答案】（）B
（）C
（）
【解析】
5．（2015·南昌）如图，平分，于点，于点，，则图中有__________对全等三角形．
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【答案】
【解析】
6．（2016·青岛39中期末）如图，的三边，，的长分别为，，．其三条角平分线交于点，则__________．
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【答案】
【解析】
考点二：角平分线的作法
7．如图，在中，，点在的延长线上．
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（）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线．
②作边上的中线，并延长交于点．
（）由（）得：与边的位置关系是__________．
【答案】见解析
【解析】解；（）①如图所示，即为所求．②如图所示，即为所求．
（）
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强化训练
综合演练
强化能力
l．（分）（2015·即墨28中期末）下列说法正确的是（
）．
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；
②角是轴对称图形；
③线段不是轴对称图形；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．①②③④
B．①②③
C．②③④
D．②④
【答案】D
【解析】
2．（分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（
）．
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A．
B．
C．
D．角平分线上的点到角两边距离相等
【答案】A
【解析】
3．（分）（2016·市南区期末）如图，在中，，平分，于点，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（
）．
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【解析】
4．（分）如图，平分，，，，，则
__________．
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【答案】
【解析】
5．（分）如图，在中，，，，．那么与相等吗？说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．理由：因为，，
所以．
因为，，所以．
6．（分）如图，是的平分线，于点，于点，，，，求的长．
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【答案】见解析
【解析】解：因为平分，，，
所以．
因为，
所以．
7．（分）如图所示，已知中，．
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（）作图：在上有一点，连接并延长，并在的延长线上取点，使，连接，作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（）在（）的条件下，连接，试说明．
【答案】见解析
【解析】解：（）如图所示．
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（）因为，，所以．
因为是的平分线，所以．
在和中，，
所以≌，所以．
8．（分）（拓展提升题）如图所示，李伯伯承包了一块四边形的土地．他让小亮帮他测量一下这块地的面积．先量得的长为米，的长为米，的长为米．当要测量的长度时，小亮说：“不用量了，我已测得恰好平分，公路和互相垂直．有了这些条件，就能求出这块土地的面积了．”小亮说得对吗？你会计算这块土地的面积吗？
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【答案】见解析
【解析】解：小亮说的对．过点作于点，连接．
因为正好平分，所以米，
故可得平方米，
平方米，
故可得这块地的面积为平方米．第一章
整式的乘除
1
同底数幂的乘法
自主学习
知识梳理快乐学习
1．幂的意义
个相乘的结果表示为__________，其中叫做底数，叫做指数，叫做幂．
【答案】
【解析】
2．同底数幂的乘法法则
（）同底数幂相乘，底数__________，指数__________．即__________（，都是正整数）．
（）（2015·苏州）计算：__________．
【答案】（）不变
相加
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：同底数幂的乘法
1．（2016·重庆）计算正确的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（2016·市北区期中变式）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．在等式（
）中，括号里面的代数式应当是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．计算：__________．
【答案】
【解析】
6．若，则__________．（方法链接：指数比较法）
【答案】
【解析】
7．用幂的形式表示结果：__________．
【答案】[或：]
【解析】
8．（2015·安徽）按一定规律排列的一列数：，，，，，，，若，，表示这列数中的连续三个数，猜想，，满足的关系式是__________．
【答案】
【解析】
考点二：同底数幂的乘法法则的逆用
9．可以写成（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
10．计算的结果是（
）．（方法链接：法则（公式）逆用）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
11．（2015·南京）某市年年底机动车的量是辆，年新增辆，用科学记数法表示该市年年底机动车的量是（
）．
A．辆
B．辆
C．辆
D．辆
【答案】C
【解析】
12．若，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
13．已知，则__________．
【答案】
【解析】
14．（一题多辨）（）若，则__________．
（）若，则__________．
【答案】（）
（）
【解析】
15．计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）．
（）．
16．已知，，求下列各式的值．
（）；（）；（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）．
（）．
强化训练
综合演练强化能力
1．（5分）不等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（10分）（一题多辨）（）（2016·海南校级一模）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
（）若，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】（）D
（）B
【解析】
3．（5分）下列算式：①；②；③；④．其中正确的算式是（
）．
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
【答案】B
【解析】
4．（5分）（201
6·市北区期中）已知，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（15分）（一题多辨）（）若，则__________．
（）（2016·大庆）若，，则__________．
（）若，，则__________．
【答案】（）
（）
（）
【解析】
6．（分）一台计算机每秒可做次运算，那么工作秒可做__________次运算．
【答案】
【解析】
7．（15分）计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
（）原式．
8．（分）（2015·惠安县月考）已知，，求的值．
【答案】
【解析】解：．
9．（分）（2015·沈丘县校级月考）若，求的值．
【答案】
【解析】解，
因此，，解得，，
所以．
10．（分）若，，试比较，的大小．
【答案】
【解析】解：，
，
则，
即．
11．（分）（拓展提升题）规定一种新运算“”：如果，则，如果，则．
（）试计算：．
（）如果正整数，满足：，，且，试求，的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）由题意，得，
所以，所以．
又因为，，
且，是正整数，
所以，．3
平行线的性质
第1课时平行线的性质
自主学习
知识梳理
快乐学行线的性质
（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简称为：两直线平行，__________相等．如图所示，用符号表示为：因为，所以．
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（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称为：两直线平行，__________相等．如图所示，用符号表示为：因为，所以．
（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称为：两直线平行，__________互补．如图所示，用符号表示为：因为，所以．
【答案】（）同位角（）内错角（）同旁内角
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：“同位角”的性质
1．如图，平分，点在上，，若，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（2016 育才中学期中）如图，直线，，，那么的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（一题多辨）
（）（2015 凉山州）如图①，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当
时，等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
（）如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】（）A（）C
【解析】
4．（2015 郴州）如图，已知，，则__________．
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【答案】
【解析】
考点二：“内错角”的性质
5．如图，小明在操场上从点出发，先沿南偏东方向走到点，再沿南偏东方向走到点，这时的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
考点三：“同旁内角”的性质
6．（一题多解）（2016 青岛39中期末）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么的度数是__________度．
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【答案】
【解析】
7．（2016 市南区期末）车库的电动门栏杆如图所示，垂直于地面于点，平行于地面，则__________度．
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【答案】
【解析】
8．如图，，，，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，
所以．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
强化训练
综合演练
强化能力
时间：30分钟
满分：65分得分：__________
1．（分）（2015 黔东南州）如图所示，直线，与直线，相交，已知，，则（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（分）（2016 陕西）如图，，平分交于点，若，则（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）（2016 深圳）如图，已知，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则下列结论错误的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
4．（分）（2015 黄冈）如图，，，，，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．（分）（一题多解）如图，已知，，，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．（分）（2016 云南）如图，直线，直线与直线以，分别相交于，两点，若，则__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）（一题多辨）
（）（2015 胶南市王合中学质检）如图①所示，，，，则等于（
）．（方法链接：构违法）
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A．
B．
C．
D．
（）如图②，，那么__________．
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【答案】（）B（）
【解析】
8．（分）（2016 江西模拟）如图，在三角形中，，平分，交于点，，交于点，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为在三角形中，，
所以，
因为平分，所以，
因为，所以．
9．（分）（拓展提升题）如图，已知，分别猜想出下列三个图形中，，的关系，并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：（）．
理由如下：如图①，过点作．
因为，所以，
所以，．
因为，
所以．
（）．
理由如下：如图②，
因为，所以．
因为，，
所以，
所以．
（）．
理由如下：如图③，
因为，所以．
因为，，
所以，
所以．
第2课时
平行线性质与判定的综合应用
自主学习
知识梳理
快乐学行线的判定与性质的比较
平行线的判定
平行线的性质
同位角角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
同旁内角互补，两直线平行
两直线平移地，同旁内角互补
由角的“数量关系”决定线的“位置关系”
由线的“位置关系”决定角的“数量关系”
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点：平行线性质与判定的综合应用
1．（2016 临夏州）如图，，，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（2016 宁波）如图所示，在三角形中，，，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（2016 黔西南州）如图，，，若，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（2016 天水）如图，直线，是的平分线，，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（2016 滨州）如图，，直线与，分别交于点，，过点的直线与
交于点，则下列结论错误的是（
）．
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A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
6．（2016 连云港）如图，直线，平分，若，则__________．
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【答案】
【解析】
7．（2016 绥化）如图，，若，，则__________．
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【答案】
【解析】
8．（2016 达州）如图，，交于点，于点，若__________．
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【答案】
【解析】
9．（2016 金华）如图，已知，．若，，则的度数是__________．
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【答案】
【解析】
10．（2016 市南区期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
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如图，已知，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（
）．
所以（
）．
又因为（已知），
所以__________．（等量代换）．
所以（
）．
所以（
）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 市北区期中）如图，已知，，则下列结论不成立的是（
）．
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A．
B．
C．D．
【答案】A
【解析】
2．（分）（2016 六盘水）图中，，均是平行线，被直线所截得到的角，其中相等的两个角有（
）对．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016 盐城）如图，已知，，，四条直线，，，，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）（一题多辨）
（）（2016 聊城）如图①，，，，则的度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
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（）（2016 衡阳）如图②，直线，，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】（）C（）C
【解析】
5．（分）（一题多辨）
（）（2015 宜昌）如图①，，，垂足为，，则
的大小为（
）．
A．
B．
C．
D．
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（）（2016 贵阳）如图②，直线，点在直线上，，若，则的度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】（）C（）B
【解析】
6．（分）（2015 滨州）如图，直线，，分别是，的平分线，那
与之间的大小关系一定为（
）．
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A．互余
B．相等
C．互补
D．不等
【答案】A
【解析】
7．（分）（2016 凉山州）如图，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
8．（分）（2015 泰安）如图，，，平分，则的度数等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
9．（分）（一题多解）（2015 泰州）如图，直线，，，则__________．
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【答案】
【解析】
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10．（分）（2015 绵阳）如图，，，交的平分线于点，
，则__________．
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【答案】
【解析】
11．（分）（拓展提升题）将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点作平分，交于点．
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（）试说明：．
（）求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为平分，
所以．
因为，所以．
因为，所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
（）因为，，
所以．
平行线性质的应用
一、平行线与三角形
1．（2016 东营）如图，直线，，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【解析】
2．（2016 毕节）如图，直线，，，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（2016 临沂）如图，直线，，，则的度数是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（2016 黔东南州）如图，直线，若，，则等于（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
二、平行线与角平分线
5．（2016 新疆）如图，，平分，，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．（2016 三明）如图，已知，平分，，则为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
7．（2016 大连）如图，直线，平分，与相交于点，，则
的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
8．（2016 西宁）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
三、平行线与垂线
9．（一题多辨）
（）（2016 梅州）如图①，于点，，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
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（）（2016 咸宁）如图②，直线，于点，，则的度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】（）C（）C
【解析】
10．如图，直线，点在直线上，且，，那么的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
11．（2016 威海）如图，，，垂足为，若，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
四、平行线与辅助线
12．（一题多辨）
（）（2016 朝阳）如图①，已知，，，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
（）（2016 十堰）如图②，，于点，若，则（
）．
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A．
B．
C．
D．
（）（2015 遵义）如图，直线，若，，则（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】（）D（）B（）A
【解析】
13．（2016 枣庄）如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
14．（2016 湖州）如图①是我们常用的折叠式小刀，图②中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图②所示的与，则与的度数和是__________度．
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【答案】
【解析】
五、平行线与三角尺
15．（2016 日照）小红把一把直尺与一块三角尺如图放置，测得．则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
16．（2016 遵义）如图，在平行线，之间放置一块直角三角尺，三角尺的顶点，分别在直线，上，则的值为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
17．（2016 内江）将一副直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的直角边和含角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
18．（2016 营口）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
19．（2016 天门）如图，将一块含有角的直角三角尺的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
20．（2016 菏泽）如图，将一副三角尺和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含角的直角三角尺的斜边与纸条一边重合，含角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是__________．
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【答案】
【解析】
4
用尺规作角
自主学习知识梳理
快乐学习
作一个角等于已知角如图①，已知，求作，使．
作法：（）如图②，作射线；
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（）以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；
（）以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；
（）以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；
（）过点作射线，则就是所求作的角，
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：尺规作图
1．下列作图属于尺规作图的是（
）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
【答案】D
【解析】
2．下列尺规作图的语句正确的是（
）．
A．延长射线到点
B．延长直线到点
C．延长线段到点，使
D．延长线段到点，使
【答案】C
【解析】
3．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（
）．
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A．以点为圆心，长为半径的弧
B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧
D．以点为圆心，饫为半径的弧
【答案】D
【解析】
考点二：作一个角等于已知角
4．如图所示，已知，以为边作，使，那么下列说法正确的是（
）．（数学思想链接：分类讨论思想）
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A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】
5．如图所示，已知，分别以射线，为始边，在的外部作，，则与的位置关系是__________．
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【答案】垂直
【解析】
6．（2016 市北区期中）已知，求作，使．
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【答案】略
【解析】
7．如图，，为两个港口，甲船从港口沿方向航行，乙船从港口出发，乙船应沿什么方向航行才能使其航线与甲船的航线平行？
请用尺规作出乙船的航线．
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【答案】见解析
【解析】解：如图：，并反向延长，
则乙船应沿着射线或射线的反向延长线航行能使其航线与甲船的航线平行．
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强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）下列作图语句中，正确的是（
）．
A．作线段，使
B．延长线段到，使
C．作，使
D．以点为圆心作弧
【答案】C
【解析】
2．（分）（2015 宁德）如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（
）．
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A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】
3．（分）已知，，利用尺规作．
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【答案】见解析
【解析】提示：（）作；
（）以为顶点，射线为边在外部作；
（）以为顶点，射线为边在内部作，则为所求作的角．
4．（分）如图，已知及，边上的点，，请用尺规作图，分别过点，作，的平行线，不写作法，保留作图痕迹．
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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5．（分）如图，在一个三角形支架上要加一根横杆，使，请你利用尺规作出的位置（不写作法，保留作图痕迹），并说明你的依据．
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【答案】见解析
【解析】如图，作．依据：因为与是内错角，
且，所以（内错角相等，两直线平行）．
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6．（分）如图，在小龙的一张地图上有，，三个城市，但地图上的城市，但知道，，请你用尺规作图法帮他在图中确定城市的具体位置．（用尺规作图，保留痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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7．（分）（拓展提升题）如图，已知，．以为顶点，为一边作，并用移动三角尺的方法验证与是否平行．（数学思想链接：分类讨论思想）
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【答案】见解析
【解析】解：与不一定平行．如图所示，当时，
所作的图形不唯一，共有两解，如图中的，
所以与不一定平行．
( http: / / www.21cnjy.com )章末复习
知识技能
考点聚焦
掌握方法
专题一：余角、补角、对顶角
1．（2015 金华）已知，则的补角的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（2015 济南）如图，，，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（2015 菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（2015 梧州）如图，已知直线与交于点，平分，若，则
的度数为__________．
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【答案】
【解析】
专题二：同位角、内错角、同旁内角
5．（2016 福州中考变式）如图，直线，分别被直线，所截，则，，中是的内错角的是（
）．
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A．，，
B．，
C．，
D．
【答案】B
【解析】
6．（2016 灌云县校级期末）如图，和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
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【答案】见解析
【解析】解：和是直线，被直线所截形成的同位角，和是直线，被直线所截形成的同位角．
专题三：平行线的性质
7．（2016 随州）如图，直线，直线分别与，相交于，两点，子点，交直线于点．已知，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．（2016 苏州）如图，直线，直线与，分别相交于，两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数
为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
9．（2016 湘西州）如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，则__________．
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【答案】
【解析】
10．（2016 江西模拟）如图，直线，平分，，若，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为直线，所以．
因为平分，所以．
因为，所以．
专题四：平行线的判定
11．（2015 黄岛区期末）如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
12．（2016 梅州校级模拟）如图，已知，，则__________．
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【答案】
【解析】
13．（2016 吴兴区期末）如图，于点，于点，是上一点，，则图中互相平行的直线有__________对．
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【答案】
【解析】
14．如图，在四边形中，，，平分，平分，则与有何位置关系？试说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．
理由：因为，．
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以．
又因为．
又因为，
所以，
所以．
专题五：平行线的性质与判定的综合应用
15．（2016 宜春期末）如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．
理由：因为，，
所以，所以，
所以．因为，
所以，所以，
所以．
16．（2016 育才中学期中）如图，已知，，试说明：．（写出推理过程，不写理由）
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【答案】见解析
【解析】解：因为，，
所以，所以．
所以．又因为，
所以．所以．
所以．
数学思想
巧思妙解
激活思维
专题六：猜想、归纳
17．（2016 周口期末）将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，）．
（）①若，则的度数为__________．
②若，求的度数．
（）由（）猜想与的数量关系，并说明理由．
（）驾且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：（）①
②因为，，
所以，
所以．
（）．
理由：因为，
所以．
（）存在．在时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．第六章
概率初步
1
感受可能性
自主学习
知识梳理快乐学习
1．确定事件
（）必然事件
事先能肯定__________的事情称为必然事件．
（）不可能事件
事先能肯定__________的事情称为不可能事件．
必然事件与不可能事件统称为确定事件．
【答案】（）一定发生
（）一定不会发生
【解析】
2．不确定事件
事先__________它会
( http: / / www.21cnjy.com )不会发生的事情称为不确定事件，可以进行重复试验的不确定事件称为随机事件，一般地，不确定事件发生的可能性是有大有小的．
【答案】无法肯定
【解析】
3．“任意打开一本页的数学书，正好是第页”，这是__________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
【答案】随机
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：事件的分类
1．（2016·李沧期末）“任意买一张电影票，座位号是奇数”，此事件是（
）．
A．不可能事件
B．确定事件
C．必然事件
D．不确定事件
【答案】D
【解析】
2．下列事件属于不可能事件的是（
）．
A．玻璃杯落地时被摔碎
B．大刚上学路上突然下雨
C．行人横过马路被汽车撞伤
D．小亮骑自行车的速度达米/秒
【答案】D
【解析】
3．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于；④长分别为，，厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．以下事件：①明天要下雨；②打开电视机，正在直播足球比赛；③抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不小于；④花元钱买彩票，中万元大奖；⑤守株待兔；⑥生老病死；⑦长生不老．其中是必然事件的有__________，是不可能事件的有__________，是不确定事件的有__________．（填序号）
【答案】③⑥
⑦
①②④⑤
【解析】
考点二：感受可能性的大小
5．如图是一个自由转动的转盘，那么转出可能性最大的颜色是（
）．
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A．红色
B．白色
C．蓝色
D．黄色
【答案】C
【解析】
6．小明投掷一枚普通的骰子，前三次投出的朝上的数字都是，则第次投出的朝上的数字（
）．
A．按照小明的运气来看，一定还是
B．前三次已经是了，这次一定不是
C．按照小明的运气来看，是的可能性最大
D．是的可能性与是～中任意一个数字的可能性相同
【答案】D
【解析】
7．下列每一个不透明袋子中都装有若干个红球和白球（除颜色外其他均相同）．
第一个袋子：红球个，白球个；
第二个袋子：红球个，白球个；
第三个袋子：红球个，白球个；
第四个袋子：红球个，白球个．
分别从中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（
）．
A．第一个袋子
B．第二个袋子
C．第三个袋子
D．第四个袋子
【答案】A
【解析】
8．现有同一个品牌工艺品件，其中有件次品，从中任取一件，（
）是次品．
A．一定
B．不大可能
C．很可能
D．不可能
【答案】B
【解析】
9．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是；④度量四边形的内角和，结果是．其中是随机事件的是__________．（填序号）
【答案】①③
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·天水）下列事件中，必然事件是（
）．
A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．人中至少有人的生日相同
D．实数的绝对值是非负数
【答案】D
【解析】
2．（分）（2016·胶州期末）下列成语中描述的事件必然发生的是（
）．
A．水中捞月
B．瓮中捉鳖
C．守株待兔
D．拔苗助长
【答案】B
【解析】
3．（分）（2016·武汉）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个球，其中个黑球、
个白球，从袋子中一次摸出个球，下列事件是不可能事件的是（
）．
A．摸出的是个白球
B．摸出的是个黑球
C．摸出的是个白球、个黑球
D．摸出的是个黑球、个白球
【答案】A
【解析】
4．（分）某班共有学生人，其中男生人，女生人，现从中选一名班长，任何人都有同样的当选机会，下列叙述正确的是（
）．
A．男生当选与女生当选的可能性相等
B．男生当选的可能性大于女生当选的可能性
C．男生当选的可能性小于女生当选的可能性
D．无法确定
【答案】B
【解析】
5．（分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子一次，下列事件中是不可能事件的是（
）．
A．朝上的点数之和为
B．朝上的点数之和为
C．朝上的点数之和为
D．朝上的点数之和小于
【答案】A
【解析】
6．（分）袋中有红球个，白球若干个，它们只有颜色上的区别，从袋中随机地取出一个球，如果取得白球的可能性较大，那么袋中白球可能有（
）．
A．个
B．不足个
C．个
D．个或个以上
【答案】D
【解析】
7．（分）（2015·黄岛区期末）一个袋中装有个红球，个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到__________球的可能性最小．
【答案】白
【解析】
8．（分）下列个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数，必然事件是__________，不可能事件是__________．（将事件的序号填上即可）
【答案】④
③
【解析】
9．（分）任意抛掷一枚点数分别是，，，，，的均匀骰子，向上一面的点数：①是；②是奇数；③是；④大于；⑤是质数；⑥小于；⑦大于．以上种结果按可能性从小到大排列是__________．
【答案】
【解析】
10．（分）按下面的要求，分别举出一个生活中的例子．
随机事件：__________；
不可能事件：__________；
必然事件：__________．
【答案】随机事件：打开电视，正在播放广告
不可能事件：在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
必然事件：抛掷一块石头，石头终将落地（答案不唯一）
【解析】
11．（分）（2016·泰州期末）一个不透明的口袋中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外没有其他区别，现从中任意摸出一球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由．
【答案】个
【解析】解：至少再放入个绿球，
理由：袋中有绿球个，再至少放入个绿球后，袋中有不少于个绿球，此时绿球的数量最多，
因此摸到绿球的可能性最大．
12．（分）小丽和小芳都想参加志愿者活动，但现在只有一个名额，小丽想了一个办法，她将一个转盘（匀质的）均匀分成份，如图所示，游戏规定，随意转动转盘，若指针指到，则小丽去，指针指到，则小芳去．若你是小芳，你会同意这个办法吗？为什么？若游戏不公平，应怎样改正？
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【答案】见解析
【解析】解：不同意，因为指针指向的可能性比指针指向的可能性小，
所以不公平．
将转盘上的数字改为数字．（答案不唯一）
13．（分）（拓展提升题）小明和小刚在玩摸球游戏，从一个共装有个球，其中有个白球、个红球、个黑球的袋子里往外摸球，摸到后再放回去，另一个人再摸，两人各摸一次，现有两个规则，请问哪一个规则对双方公平？哪一个不公平？为什么？
规则（）：摸到白球小明赢，摸到红球小刚赢．（摸到黑球重摸）
规则（）：摸到白球小明赢，摸到黑球小刚赢．（摸到红球重摸）
【答案】见解析
【解析】解：规则（）对双方公平，规则（）对双方不公平，
原因是规则（）中双方获胜的可能性是相等的，而规则（）中双方获胜的可能性不相等．第四章
三角形
1
认识三角形
第1课时
三角形的概念与内角和
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．三角形的概念和表示方法
（）由__________的三条线段首尾__________所组成的图形叫做三角形．
（）三角形有__________条边、__________个内角和__________个顶点．“三角形”可以用符号“△”表
示，顶点是，，的三角形，记作__________．
【答案】（）不在同一直线上；顺次相接
（）三，三，三；
【解析】
2．三角形的内角和
三角形三个内角的和等于__________．
【答案】
【解析】
3．三角形按角分类
按三角形内角的大小把三角形分为三类：__________三角形、__________三角形、__________三角形．
【答案】锐角，直角，钝角
【解析】
4．直角三角形的表示方法及性质
（）我们用符号“__________”表示“直角三角形”，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为__________．
（）直角三角形的两个锐角__________．
【答案】（）；直角边
（）互余
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：三角形及有关概念
1．下列是小强用三根火柴棒组成的图形，其中符合三角形概念的是（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】C
【解析】
2．如图，以为公共边的三角形是__________；是__________的内角；在中，边所对的角是__________，所对的边是__________；以为公共角的三角形有__________．
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【答案】与，，，，，，
【解析】
考点二：三角形的内角和
3．（2015 佛山）如图，在中，点，，分别是三条边上的点，，，，，则等于（
）（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．已知，在中，是的倍，比大，则等于（
）（数学思想链接：方程思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则的大小是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
考点三：三角形按内角的大小分类
6．在中，，，则的形状是（
）．
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
7．适合条件的是（
）（数学思想链接：方程思想）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形或锐角三角形
【答案】C
【解析】
考点四：直角三角形两锐角互余
8．（2015 荆门）如图，，直线分别交，于点，，，交直线于点，若，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
9．（2015 襄阳）如图，将一块含有角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果，那么的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 龙岩模拟）在中，，点，分别是边，的中点，点在
内，连接，，．以下图形符合上述描述的是（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】C
【解析】
2．（分）拿一块纸板遮住三角形的两个角，则被遮住的两个角不可能是（
）．
A．一个锐角，一个钝角
B．两个锐角
C．一个锐角，一个直角
D．两个钝角
【答案】D
【解析】
3．（分）（2016 武侯区期末）适合条件的是（
）．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】
4．（分）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则（
）（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（分）在中，，则__________，__________，__________，这个三角形按角分类时，属于__________三角形．
【答案】，，，直角
【解析】
6．（分）（2016 大庆）如图，在中，，点是和平分线的交点，则
__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）将一副直角三角尺如图所示放置，使含角的三角尺的一条直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为__________．
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【答案】
【解析】
8．（分）如图，在中，边不动，点竖直向上运动，越来越小，，越来越大．若减小度，增加度，增加度，则，，之间的等量关系是__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）如图所示，试求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：连接，在和中，
①，
②，
①+②，得，
又因为，，
故．
10．（分）（拓展提升题）将一块直角三角尺放置在锐角上，使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，．
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（）如图①，若，点在内，则__________度；
__________度；__________度．
（）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（）如图③，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，，三者之间存在的数量关系．
【答案】见解析
【解析】解：（），，；
（）与之间的数量关系为：．
验证如下：在中，．
在中，，
所以．
所以．
（）．
第2课时
三角形三边之间的关系
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．等腰三角形的相关概念
（）等腰三角形：有__________相等的三角形叫做等腰三角形．
（）等边三角形：__________都相等的三角形是等边三角形．
（）等腰三角形各部分的名称：
①相等的两条边称为__________，第三边称为__________．
②两腰的夹角称为__________，另两个角（腰与底边的夹角）称为__________．
【答案】（）两边
（）三边
（）①腰，底边；②顶角，底角
【解析】
2．三角形按边长关系分类
3．三角形三边之间的关系
（）三角形任意两边之和__________第三边．
（）三角形任意两边之差__________第三边．
【答案】（）大于
（）小于
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：三角形三边之间的关系
1．现有两根木棒，它们的长度分别是和，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（
）．
A．的木棒
B．的木棒
C．的木棒
D．的木棒
【答案】B
【解析】
2．（2016 市南区期末）以下列长度的各组线段为边能组成一个三角形的是（
）．
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【解析】
3．若三角形的两边长分别为和，第三边长是偶数，则第三边长可以是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
考点二：三角形三边关系的应用
4．用一根长为的铁丝围成一个三角形，其三边长（单位：）分别为整数，，，且，请写出一组符合上述条件的，，的值：__________．
【答案】，，（答案不唯一）
【解析】
5．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因：__________．
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【答案】三角形任意两边之和大于第三边
【解析】
6．已知不等边三角形最长边为，最短边为，且第三边长是偶数，则第三边长为__________．
【答案】
【解析】
7．一个等腰三角形其中两边长为和，则这个等腰三角形的周长为__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】
【解析】
8．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒，如果要求第三根木棒的长度是整数，第三根木棒的长度可以是多少？
【答案】见解析
【解析】解；设第三根木棒的长是．根据三角形的三边关系，则．
因为是整数，所以第三根木棒的长度可以是，，，，，，，，．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2015 黄岛区期末）有下列长度的三条线段，能组成三角形的一组是（
）．
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【解析】
2．（分）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）用根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（分）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两个螺丝的距离依次为，，，，且相邻两根木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间距离的最大值为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（分）现有四条线段分别长，，，，用其中三条线段组成三角形，可组成__________个．
【答案】
【解析】
6．（分）《2016 丹棱县模拟）边长为整数并且
最大边长是的三角形共有__________个．
【答案】
【解析】
7．（分）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
8．（分）小明、小芳和小兵三位同学同时测量的三边长．小明说：“三角形的周长是．”小芳说：“有一条边长为．”小兵说：“三条边的长度是三个不同的整数．”请你回答，三边的长度应该是__________．
【答案】，，
【解析】
9．（分）若，，分别为三边的长，化简：．（数学思想链接：数形结合思想）
【答案】见解析
【解析】因为，，为三边的长，所以，，，
所以原式
．
10．（分）如图，为内一点，试说明：．
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【答案】见解析
【解析】如图所示，延长与相交于点．
因为，，
所以，
所以．
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11．（分）（拓展提升题）一个等腰三角形的周长为．
（）已知腰长是底边长的倍，求各边长．
（）已知其中一边长为，求另两边长．（数学思想链接：方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：（）设底边长为，则腰长为，由题意得
，解得．
所以三边长分别是，，．
（）因为长为的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算．
第一种情况：长的边为底，设腰长为，
由已知条件有，，三边长为，，，可构成三角形；
第二种情况：长的边为腰，则底为．
因为，所以不能构成三角形，所以另两边长分别是，．
第3课时
三角形中的三线
自主学习
知识梳理
快乐学习
三角形的“三线’’
（）定义：在三角形中，连接一个顶点与它__________的线段，叫做这个三角形的中线；在三角形中，一个内角的__________与它的__________相交，这个角的__________与__________之间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的__________所在直线作垂线，__________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
（）性质：三角形的三条角平分线__________．三角形的三条高所在的直线__________，三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的__________．
【答案】（）对边中点，角平分线，对边，顶点，交点，对边，顶点和垂足
（）交于一点，交于一点，重心
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：三角形的角平分线
1．直角三角形的三条角平分线的交点在（
）．
A．三角形外
B．三角形内
C．直角顶点处
D．斜边上
【答案】B
【解析】
2．下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；
( http: / / www.21cnjy.com )②三角形的角平分线是射线；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确的说法有（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【解析】
3．如图，，，下列结论中错误的是（
）．
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A．是的角平分线
B．是的角平分线
C．
D．是的角平分线
【答案】D
【解析】
考点二：三角形的中线
4．若是的中线，则下列结论中错误的是（
）．
A．平分
B．
C．平分
D．
【答案】A
【解析】
5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（
）．
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
【答案】B
【解析】
6．如图，是的中线，已知的周长比的周长大，则与的差为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．如图，是的平分线，，，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】因为，所以，．
因为平分，
所以，所以．
考点三：三角形的高
8．（2016 普宁市期末）下面四个图形中，线段是的高的图是（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】D
【解析】
9．三条高相交于三角形的外部，则这个三角形是（
）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）一个三角形的三条中线的位置（
）．
A．都在三角形外
B．都在三角形内
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能和三角形的一边重合
【答案】B
【解析】
2．（分）如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法中错误的是（
）．
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A．中，是边上的高
B．中，是边上的高
C．中，是边上的高
D．中，是边上的高
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016 丹阳市校级期中）如图，于点，那么图中以为高的三角形有__________个．
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【答案】
【解析】
4．（分）如图，为的角平分线，交于点，若，则
__________．
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【答案】
【解析】
5．（分）（2015 胶州市期末）如图，中，平分，是边上的高，若，，则的度数等于__________．
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【答案】
【解析】
6．（分）如图，是的中线，，，则和的周长差是__________．（数学思想链接：整体思想）
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【答案】
【解析】
7．（分）如图所示，中，，的平分线交于点，且，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，所以，
因为，分别平分，，
所以，
所以．
8．（分）（2015 宜春校级期中）在中，，边上的中线把的周长分为和两部分，求三边的长．（数学思想链接；方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：如图，设，，
则有且或且，
得到，或，，
这时三角形的三边长分别为，，或，，，它们都能构成三角形．
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9．（分）（拓展提升题）如图，在中，，，平分，于点，于点，求的度数．（数学思想链接：转化思想）
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【答案】见解析
【解析】解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
因为于点，
所以，
所以，
所以．
因为于点，
所以，
所以．
尖子生成长计划4
三角形的三种重要线段
一、三角形的高
（一）找三角形的高
1．如图，于点，于点，与交于点，的边上的高为__________，边上的高为__________．
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【答案】；
【解析】
（二）作三角形的高
2．（动手操作）画出图中的三条高．（要标明字母，不写画法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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（三）应用三角形的高（面积法）
3．如图，在中，，，若边上的高．
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（）试求的面积及边上的高的长．
（）试求的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）．
，
所以．
（）．
4．如图，在中，，，，，垂足分别为，，．
试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：连接，因为，
所以．
又因为，
所以，即．
二、三角形的中线
（一）利用中线求长度
5．如图，是的中线，已知，，则的长为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．如图，已知，为的中线，，的周长为，则的周长为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
7．在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的三边长．（数学思想娃接：方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：设，则，．
依题意，有或，则有或，
解得或．
当时，三边长分别为，，；
当时，三边长分别为，，，
而，故不成立．
所以这个等腰三角形的三边长分别为，，．
（二）利用中线求面积
8．如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积等于（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
9．（2015 黄岛区期末变式）操作与探索：
在图①～③中，的面积为．
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（）如图①，延长的边到点，使，连接，若的面积为，则
__________．（用含的代数式表示）
（）如图②，延长的边到点，延长边到点，使，，连接，若的面积为，则__________（用含的代数式表示）．请说明理由．
（）在图②的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图③），若阴影部分的面积为，则__________．（用含的代数式表示）
【答案】（）
（）
（）
【解析】（）理由：连接，因为，所以．
三、三角形的角平分线
（一）三角形角平分线定义的直接应用
10．（）如图，在中，，，是边上的三点，且，以为角平分线的三角形有__________．
（）如图，若已知平分，且，计算的度数，并说明是的角平分线．
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【答案】见解析
【解析】解：（）和；
（）因为平分，
所以．
又因为，
所以．
所以，即．
又因为，所以．
所以．
所以是的角平分线．
（二）三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：在中，，，
所以．
又因为是的平分线，
所以．
在中，，
又因为是高，所以．
所以．
（三）求三角形两内角平分线交角的度数
12．如图，在中，，为角平分线且交于点．
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（）当时，求的度数．
（）当时，求的度数．
（）当时，求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以．
所以．
（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以，
所以．
（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以，
所以．2
频率的稳定性
自主学习
知识梳理快乐学习
1．频率
（）在次重复试验中，不确定事件发生了次，则__________称为事件发生的频率．
（）在试验次数很大时，不确定事件发生的频率会在一个常数附近摆动，即事件发生的频率具有__________．
【答案】（）比值
（）稳定性
【解析】
2．概率
（）我们把刻画事件发生的可能性大小的__________称为事件发生的概率，记为__________．
（）必然事件发生的概率为__________；不可能事件发生的概率为__________；不确定事件发生的概率是__________之间的一个常数，
【答案】（）数值
（）
与
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：频率
1．在“We
like
math”这个句子里出现的所有字母中，字母“e”出现的频率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
考点二：频率的稳定性
2．（2015·即墨28中期末）小明用一枚均匀的硬币进行试验，前次掷得的结果都是正面朝上，如果将第次掷得正面朝上的概率记为，则（
）．
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【解析】
3．某种子在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示．
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率
则种子发芽的概率估计值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（2016·贵阳）现有张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽，通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为__________．
【答案】
【解析】
考点三：概率
5．（2015·胶州市期末）小
( http: / / www.21cnjy.com )明在一次用频率估计概率试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（
）．
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A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一个装有个白球和个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是的倍数的概率
【答案】B
【解析】
6．从某玉米种子中抽取批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下．
种子粒数
发芽种子粒数
发芽频率
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为__________．（精确到）
【答案】
【解析】
7．张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后再放回，洗牌后再抽，重复多次后，发现抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次稳定在，，，，则四种花色的牌各约有__________．（按红桃、黑桃、梅花、方块的顺序填写）
【答案】张，张，
张，张
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）“从布袋中取出一只红球的概率是”，这句话的意思是（
）．
A．若取出一只球肯定是红球
B．取出一只红球的可能性是
C．若取出一只球肯定不是红球
D．若取出只球，一定有只红球
【答案】B
【解析】
2．（分）（2016·南通一模）在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出大约是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）（2016·北京）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据．
移植的颗数
成活的棵树
成活的频率
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为__________．（结果精确到）
【答案】
【解析】
4．（分）（2015·黄岛区期末）在一个不透明的盒子里，放有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄颜色的小球，每次摸球前将盒子里的小球摇匀，任意摸出一个小球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么可以推算出__________．
【答案】
【解析】
5．（分）（2015·扬州）色盲是伴染色体隐性先天遣传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表．
抽取的体检表数
色盲患者的频数
色盲患者的频率
根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为__________．（结果精确到）
【答案】
【解析】
6．（分）一颗木质的中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平的，将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下，由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，七年级某实验小组做了掷棋子的试验，试验数据如下表．
试验次数
“帅”字朝上的频数
相应的频率
（）请将上表数据补充完整．
（）根据上表，画出“帅”字面朝上的频率的折线统计图．
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（）如果将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少．
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）如图所示．
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（）随着试验次数的增加，“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在左右，利用这个频率来估计概率，得概率为．
7．（分）（拓展提升题）均匀的正四面体的各面依次标有，，，四个数字．小明做了次投掷试验，结果统计如下．
朝下数字
出现的次数
（）计算上述试验中“朝下”的频率是多少．
（）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现朝下的概率是”的说法正确吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：（）根据表中数据可以得出“朝下”的频率为．
（）这种说法是错误的，理由如下：在次试验中，“朝下”的频率为，并不能说明“朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的概率附近．2用关系式表示的变量间关系
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．用关系式表示两个变量之间的关系
（）两个变量之间的关系有时可以用一个含有这两个变量及__________来表示，这种表示变量之间关系的方法叫做关系式法．
（）两个变量之间的关系式的特征为：①关系式是__________；②关系式的左边是因变量，且其系数为__________，右边是关于自变量的代数式；③关系式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量；④自变量可以在允许的范围内任意取值．
【答案】（）数学运算符号的等式
（）等式；
【解析】
2．用关系式求值
（）利用关系式我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．利用关系式求因变量的值，实际上就是求代数式的值．
（）在一些问题中，自变量只能取某个范围内的值．
【答案】
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：用关系式表示变量之间的关系
1．（2016 育才中学期末）在某次试验中，测得两个变量和之间的组对应数据如表：
则与之间的关系最接近于下列各关系式中的（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．汽车由北京驶往相距千米的天津，它的平均速度是千米／时，则汽车距天津的路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系及自变量的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．某电影院共有排座位，第一排有个座位，后面每一排都比前一排多个座位，那么，每排的座位数与排数之间的关系式为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（2016 市北区期中）长方形的周长是，其中一边长为，面积为，则这个长方形的面积与边长之间的关系可以表示为__________．
【答案】
【解析】
5．一辆汽车从甲地以的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距，则汽车与乙地的距离与行驶时间之间的关系式是__________．
【答案】
【解析】
考点二：用关系式求值
6．在关系式中，当自变量时，因变量的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．一个长方体的体积为，当底面积不变，高增大时，长方体的体积发生变化，若底面积不变，高变为原来的倍，则体积变为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．盐城市出租车收费标准：以内（含）起步价为元，超过后每加收元．
（）若小明坐出租车行驶了，则他应付多少元车费？
（）如果用表示出租车行驶的路程，表示出租车应收的车费，请你表示出与之间的关系式．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为以内（含）起步价为元，超过后每加收元，
所以（元）．
（）．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图，在直角三角形中，点沿所在直线远离点移动，下列说法错误的是（
）．
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A．三角形面积随之增大
B．的度数随之增大
C．边上的高随之增大
D．边的长度随之增大
【答案】C
【解析】
2．（分）李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长要恰好为米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）（2016 黄岛区期末）根据图中的程序计算的值，若输入的的值为，则输出的结果为__________．
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【答案】
【解析】
4．（分）（2015 青岛）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积与高之间的关系式为__________．
【答案】
【解析】
5．（分）（2015 即墨28中期末）丽丽在洗手后，没有把水龙头拧紧，该水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升．设小时内该水龙头共滴了毫升水，请你写出该水龙头流失的水量与时间之间的关系式__________．
【答案】
【解析】
6．（分）如图，梯形的上底是，下底是，高为．
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（）梯形的面积与之间的关系式为__________．
（）当时，__________；当时，__________．
（）每增加，则__________．
【答案】（）
（）；
（）增加
【解析】
7．（分）在烧开水时，水温达到℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度（℃）的数据．
/℃
在水烧开之前，温度与时间之间的关系式为__________．
【答案】
【解析】
8．（分）（2016 市南区期末）如图，在三角形中，边长为，边上的高为，点在
上运动，设长为，则三角形的面积与之间的关系式为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】
9．（分）（拓展提升题）（2015 黄岛区期末）如图，梯形的上底的长是，下底的长是，高是．
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（）求梯形的面积与下底长之间的关系式．
（）用表格表示当从变到时（每次增加），的相应值．
（）每增加时，如何变化？说明你的理由．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为梯形的上底的长是，下底的长是，高是，
所以梯形的面积与下底长之间的关系式为：．
（）
（）上表可得：每增加时，增加．
理由：，，
，
即每增加时，增加．
3
用图象表示的变量间关系
第1课时
用图象表示变量间的关系
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．用图象表示变量
图象是表示变量之间关系的一种方法，它的特点是非常直观．
【答案】
【解析】
2．横轴、纵轴表示的意义
在用图象表示变量之间的关系时，通常
( http: / / www.21cnjy.com )用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示__________，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示__________．
【答案】自变量；因变量
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：曲线型图象
1．用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（
）
（方法链接：图象法）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
2．（2016 育才中学期末）如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为时，蚂蚁与点的距离为，则关于的图象大致是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】
3．（2015 襄阳）如图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温随时间的变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．凌晨时气温最低为℃
B．时气温最高为℃
C．从时至时，气温随时间增长而上升
D．从时至时，气温随时间增长而下降
【答案】C
【解析】
4．如图是某气象工作者利用仪器绘制的某地某天的气温图，观察气温图可知：当__________时，气温最低；当在__________时，气温呈上升状态；昼夜温差为__________．
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【答案】时；时；℃
【解析】
考点二：折线型图象
5．（2015 连云港改编）如图是本地区一种产品天的销售图象，图①是产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的关系图，图②是一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的关系图，已知日销售利润=日销售量×每件产品的销售利润，下列结论错误的是（
）．
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A．第天的销售量为件
B．第天销售一件产品的利润是元
C．第天与第天这两天的日销售利润相等
D．第天的日销售利润是元
【答案】C
【解析】
6．某大坝开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为，平均每天流出的水量控制为，当蓄水位低于时，；当蓄水位达到时，．设库区的蓄水量与时间（天）存在变量关系，那么表示与之间关系的大致图象为（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】A
【解析】
7．（2015 武汉）如图，折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（
）．
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A．气温最低
B．气温为℃
C．气温最高
D．气温是℃的时刻为
【答案】D
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 市北区期中）下列各情景分别可以用哪一幅图来近似地刻画？正确的顺序是（
）．
①汽车紧急刹车（速度与时间的关系）；
②人的身高变化（身高与年龄的关系）；
③跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）；
④一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）（教材P77复习题5变式）根据生物学研究结果，青春期男、女生身高增长速度呈现如图所示的规律，由图可以判断，下列说法错误的是（
）．
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A．男生在岁时身高增长速度最快
B．女生在岁以后身高增长速度放慢
C．岁时男、女生身高增长速度基本相同
D．女生身高增长的速度总比男生慢
【答案】D
【解析】
3．（分）某市春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了月日连续个小时风力变化的情况，并画出了风力随时间变化的图象（如图），则下列说法正确的是（
）．
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A．在时至时，风力不断增大
B．在时至时，风力最大为级
C．时风力最小
D．时风力最小
【答案】D
【解析】
4．（分）年月，市和市的月平均气温如图所示．
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（）两市气温中，__________市的气温较高，该市的最高气温出现在__________月．
（）市在____________________月气温下降最快．
【答案】（）；
（）；
【解析】
5．（分）如图是某同学投的棒球在飞行中的高度与水平距离之间的关系图，试根据图象回答下列问题．
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（）棒球在飞行中的高度变化范围是多少？飞到最高处时飞出的水平距离是多少？
（）棒球出手时的高度是多少？棒球飞出的最远距离是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）棒球在飞行中的高度变化范围是米，飞到最高处时飞出的水平距离是米．
（）棒球出手时的高度是米，棒球飞出的最远距离是米．
6．（分）（拓展提升题）如图①所示，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示．
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根据图中提供的信息，解答下列问题．
（）圆柱形容器的高为__________，水流速度为__________．
（）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．（数学思想健接：方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：（）；．
（）由图象知“几何体”下方圆柱的高为，
则，解得，
所以“几何体”上方圆柱的高为．
设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意，得，
解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为．
第2课时
速度变化型图象
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．坐标轴表示的意义
在运动过程中，速度往往随时间变化而变化，通常用__________表示时间，__________表示速度．
【答案】横轴；纵轴
【解析】
2．图象的含义
在速度与时间的图象中，“水平线”代
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【答案】匀速运动；物体速度在增加；物体速度在减小
【解析】
3．星期日，小明同学从家中出发，步行去菜地里浇水，浇完后又去玉米地里除草，然后回到家里，如图是所用的时间与离家的距离的关系图象，若菜地和玉米地的距离为千米，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为分钟，则__________，__________．
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【答案】；
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点：速度变化型图象
1．（2016 青岛39中期
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）个．
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①修车时间为分钟；
②学校离家的距离为米；
③到达学校时共用时间分钟；
④自行车发生故障时离家距离为米．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（2016 德州模拟）小刘上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小刘离家的距离（米）和所经过酌时间（分）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（
）．
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A．小刘家与超市相距米
B．小刘去超市途中的速度是米／分
C．小刘在超市逗留了分钟
D．小刘从超市返回家比从家里去超市的速度快
【答案】D
【解析】
3．王老师外出开会，他所走的路程与时间之间的关系如图，则下列说法正确的是（
）．
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A．速度越来越快，速度减慢
B．速度越来越快，速度与原来持平
C．速度越来越快，速度为
D．速度保持不变，速度为
【答案】D
【解析】
4．（2015 胶南市王台中学质检）某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，，分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的关系图象，则以下判断错误的是（
）．
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A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟
B．步行的速度是千米／时
C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了分钟
D．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
【答案】D
【解析】
5．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间之间的关系如图所示，那么可以知道：
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（）这是一次__________米赛跑．
（）甲、乙两人中先到达终点的是__________．
（）乙在这次赛跑中的速度是__________米／秒．
【答案】（）
（）甲
（）
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2015 胶南市王台中学质检变式）如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的图象是（
）．
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A．
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B．
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C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】C
【解析】
2．（分）（2016 市北区期中）汽车行驶的路程与时间之间的关系如图所示，下列说法正确的是（
）．
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①第小时中的速度比第小时中的速度快；
②第小时中的速度比第小时中的速度慢；
③第小时后停止前进；
④第小时后保持匀速前进．
A．②③
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】A
【解析】
3．（分）（2016 河西区模拟）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程与所花时间之间的关系．则小亮步行的速度和乘公交车的速度分别是（
）．
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A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
4．（分）如图是“龟兔赛跑”时路程与时间之间的关系的图象，已知龟、兔上午从同一地点出发，请你根据图中给出的信息，算出乌龟在__________追上兔子．
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【答案】
【解析】
5．（分）小龙放学后步行回家，他离家的距离（米）与步行时间（分钟）之间的图象如图所示，则他步行回家的平均速度是__________米／分钟．
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【答案】
【解析】
6．（分）星期天，小龙骑自行车去离家千米的某地旅游，以每小时千米的速度匀速行驶小时的时候，自行车出现故障，因此停下来在自行车修理点修车，用了个小时，然后以原速继续前行，行驶小时后到达目的地．请在下图中，画出符合小龙行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图．
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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7．（分）（拓展提升题）（2016 泰安市岱岳区期末）甲、乙两人从地出发，骑自行车沿同一条路行驶到地，他们离出发地的距离（单位：）和行驶时间（单位：）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题．
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（）求乙的速度．
（）甲中途停止了多长时间？
（）两人相遇时，离地的路程是多少千米？
【答案】见解析
【解析】解：（）根据图象，可得乙的速度为．
（）甲原来的速度为，甲后来的速度为．
由题意，得，解得，
则．
故甲中途停止了.
（）设甲停止后继续行走与乙相遇．
由题意，得，解得，
所以两人相遇时，乙走的时间为，
乙离地的路程是，他们离地的路程是．章末复习
专题一：幂的运算
知识技能
考点聚焦掌握方法
专题一：幂的运算
1．（2016·26中期末）下列计算中，正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（2016·市北区期中）下列各式中，相等关系一定成立的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（2015·绍兴）下面是一位同学做的四道题：①；②；③；④，其中做对的一道题的序号是（
）．
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【解析】
4．（2015·威海）计算：的值为__________．
【答案】
【解析】
专题二：用科学记数法表示绝对值较小的数
5．（2015·攀枝花）已知空气的单位体积质量是，则用科学记数法表示该数为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．（2015·宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为毫米．数据用科学记数法表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
专题三：整式的运算与化简
7．（2016·海淀区校级模拟）如果的结果中不含的一次项，那么，满足（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．（2016·东平县期末）若，则，的值分别为（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
9．（2015·广元）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
10．已知，，则化简的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
11．（2016·泰兴市一模）已知，则代数式的值为__________．（方法链接：系数比较法）
【答案】
【解析】
12．（2016·峄城区期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】解：原式，
，
当，时，
原式．
13．（2016·菏泽）已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】解：，
，
．
因为，
所以原式．
14．（2016·泉州）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】解：原式，
当时，
原式．
15．对于任何有理数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值．
【答案】
【解析】解：，
．
因为，所以，
所以原式．
16．探究应用：
（）计算：__________；__________．
（）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含，的字母表示为__________．
（）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）直接用公式计算：．
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）
（）C
（），
．
17．（2016·滁州期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
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（）设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为．请直接用含，的代数式表示，．
（）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
（）试利用这个公式计算：．
【答案】见解析
【解析】解：（），．
（）．
（）原式，
，
，
，
．
数学思想
巧思秒解激活思维
专题四：类比思想
18．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．
请根据阅读材料解决下列问题．
（）将配方．（至少两种形式）
（）已知，求的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）示例：，．
（），
，
，
，
从而有，，，
即，，，
所以．7
整式的除法
第1课时
单项式除以单项式
自主学习
知识梳理快乐学习
单项式除以单项式法则
（）单项式相除，把__________、__________分别相除后，作为商的因式；对于只在__________里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
（）计算：__________．
（）计算：__________．
【答案】系数
同底数幂
被除式
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：单项式除以单项式的法则
1．（2016·崂山一模）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．__________．
【答案】
【解析】
5．（__________）．
【答案】
【解析】
6．（__________）．
【答案】
【解析】
7．计算．
（）（2016·育才中学期中）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
8．计算．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
考点二：单项式除以单项式的应用
9．已知，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
10．已知，则的值等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
11．一颗人造地球卫星的速度为，一架喷气式飞机的速度为，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的（
）倍．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
12．已知，则__________，__________．
【答案】
【解析】
13．计算：__________．
【答案】
【解析】
14．已知为正整数，且，求的值．
【答案】
【解析】解：，
当时，
原式．
15．已知一个单项式与单项式的积为，求这个单项式．
【答案】见解析
【解析】解：．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2015·威海）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）（2015·胶南市王台中学质检）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（分）计算，其结果正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）（2016·沛县校级月考）化简的结果是__________．
【答案】
【解析】
6．（分）（__________）．
【答案】
【解析】
7．（分）在一次“学数学，少年智力开发”的主题会上，有这样一个节目：主持人小明同学亮出了，，三张卡片，上面分别写有，，，其中有两张卡片上的单项式相除，所得的商为．这两张卡片是__________和__________，作为被除式的卡片是__________．（只填写卡片代号即可）
【答案】
【解析】
8．（分）计算．
（）．
（）．
（）（2016·黄岛区期末）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
9．（分）已知，求的值．（方法链接：指数比较法）
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
10．（分）若，，，求的值．
【答案】
【解析】解：，
，
．
11．（分）（拓展提升题）已知，且自然数，满足，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以．
第2课时
多项式除以单项式
自主学习
知识梳理快乐学习
多项式除以单项式法则
（）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商__________．
（）计算：__________．
（）计算：__________．
【答案】（）相加
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点：多项式除以单项式
1．
（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．计算等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．有下列等式：①；②；③；④．其中不正确的有（
）个．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．计算等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．若多项式与单项式的乘积为，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
8．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
9．__________．
【答案】
【解析】
10．__________．
【答案】
【解析】
11．__________．
【答案】
【解析】
12．（__________）．
【答案】
【解析】
13．计算．
（）．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
（）
．
14．（2015·黄岛区期末）先化简再求值：，其中，．
【答案】见解析
【解析】解：原式，
．
当，时，
原式．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）任意给定一个非零数，按下列程序计算：平方结果，最后输出的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）化简的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．（分）已知被除式是，商式是，余式是，则除式是（
）（数学思想链接：整体思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
6．（分）（2015·胶南市王台中学质检）长方形的面积是，一边长为，则它的周长是__________．
【答案】
【解析】
7．（分）计算：__________．
【答案】
【解析】
8．（分）某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课堂上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：，被除式的第二项被钢笔水弄污了，请你算出被污染的内容是__________．
【答案】
【解析】
9．（分）计算．
（）．
（）（2015·即墨28中期末）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式
．
10．（分）已知多项式除以一个多项式，商为，余式是，求多项式．
【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，
，
．
故多项式为．
11．（分）在一次联欢会上，节目主持人让大家做一个猜数游戏，游戏的规则是：主持人让观众每人在心里想好一个除以外的数，然后按以下顺序计算：
（）把这个数加上后平方．
（）然后再减去．
（）再除以原来所想的那个数，得到一个商，最后把你所得到的商是多少告诉主持人，主持人便立即知道你原来所想的数是多少，你能解释其中的奥妙吗？
【答案】见解析
【解析】解：设这个数为，依题意，可写出下列的式子：，
．
如果把这个商告诉主持人，主持人只要减去就知道这个数是多少．
12．（分）已知，求式子的值．
【答案】
【解析】解：原式，
，
，
当，即时，
原式．
13．（分）（拓展提升题）李老师给同学们出了一道题：当，时，求的值，题目出完后，小明说：“老师给的条件是多余的．”小亮说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的，”你认为他们谁说的有道理？为什么？
【答案】小明说的有道理
【解析】解：小明说的有道理，
因为，
．
由于化简后的结果不含有，
所以最后的结果与的值无关，
所以是多余的，
故小明说的有道理．6
完全平方公式
第1课时
完全平方公式
自主学习
知识梳理快乐学习
完全平方公式
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的倍的差．用字母表示为：__________，__________．
【答案】
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：完全平方式的特征
1．计算结果是完全平方式的为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．多项式加上一个单项式后能成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．若是完全平方式，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（2016·市北区期中）是完全平方式，则__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】
【解析】
考点二：完全平方公式
5．下列多项式中，不能用完全平方公式计算的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．下列式子错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
8．（一题多辨）（）若，则为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）已知，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
（）已知有理数满足，则__________．
【答案】（）C
（）A
（）
【解析】
9．运算结果为的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
10．如图，最大的正方形的面积是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
11．__________．
【答案】
【解析】
12．计算．
（）．
（）．
（）（2016·市北区期中）．
【答案】见解析
【解析】（）原式．
（）原式．
（）原式
．
13．（2016·常州）先化简，再求值：，其中．
【答案】见解析
【解析】解：原式，
，
，
当时，
原式．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·武汉）运用乘法公式计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）（2016·育才中学期中）若，那么等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）（一题多辨）（）已知，，则的值为（
）（数学思想链接：整体思想）
A．
B．
C．
D．
（）（2015·胶南市王台中学质检）若，，则__________．
【答案】（）C
（）
【解析】
4．（分）图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（分）（2015·日照）观察下列各式及其展开式：
，
，
，
，
请你猜想的展开式第三项的系数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
6．（分）计算：__________．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016·南充）如果，且，那么的值是__________．
【答案】
【解析】
8．（分）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】解：原式，
把代入，
得原式．
9．（分）已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】解：因为，所以．
因为原式，
，
所以原式．
10．（分）（拓展提升题）在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式，如图①可以解释恒等式．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（）如图②可以解释恒等式__________．
（）如图③是由个长为，宽为的长方形纸片围成的正方形．
①利用面积关系写出一个代数恒等式：__________．
②若长方形纸片的面积为，且长比宽长，求．
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）①[或：；]．
②由①，得．
依题意，得，，所以．
2课时
完全平方公式的应用
自主学习
知识梳理快乐学习
1．计算：__________．
【答案】
【解析】
2．（2016·贵港一模）已知，，则__________．
【答案】
【解析】
3．已知，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：利用完全平方公式进行化简
1．（2016·洪泽县期末）下列各式中计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（2016·东平县期末）对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（2016·宜春模拟）计算：__________．
【答案】
【解析】
考点二：利用完全平方公式求代数式的值
4．（2016·泰安市岱岳区期末）设，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（一题多辨）（）（2016·威海期中）若，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）（2016·盐城校级期中）若，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】（）C
（）A
【解析】
6．（2016·重庆校级二模）已知，则代数式的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．（2016·育才中学期末）若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
8．（2016·仙居县一模变式）已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以．
考点三：利用完全平方公式进行简便计算
9．（2016·高密市期末）运用完全平方公式计算的最佳选择是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
10．简便计算．
（）．
（）．
（）（2016·福建校级月考变式）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
考点四：完全平方公式的实际应用
11．（2016·宁波模拟）已知，，求的值，这个问题我们可以用边长分别为和的两种正方形组成一个图形来解决，其中，能较为简单地解决这个问题的图形是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】
12．（2016·市北区期末）如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是多少？
【答案】
【解析】解：因为，，，
所以这个正方形的边长为，
所以这个正方形的周长是．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·雅安校级期中）运算结果是的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（分）（2016·滕州市期中）已知，，则下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）（2016·雅安校级期中）已知，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（分）（2016·寿光市期末）如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（分）（2016·新都区模拟）若，则__________．
【答案】
【解析】
6．（分）（2016·丹阳市期末）__________．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016·泰兴市期末）若多项式加上一个含字母的单项式，就能变形为一个含的多项式的平方，则这样的单项式为__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】或
【解析】
8．（分）（2016·慈溪市期末）已知，，则__________．
【答案】
【解析】
9．（分）（2016·宿州校级期末）利用一个的正方形，个的正方形，个的长方形，可拼成一个无缝隙且不重叠的大正方形，则这个大正方形的边长是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】
10．（分）（2016·永登县期中）表示两个相邻整数的平均数的平方，表示这两个相邻整数平方和的平均数，试比较与的大小．（方法链接：作差法）
【答案】
【解析】解：设两个相邻整数分别为，，
则，．
因为，
所以．
11．（分）（拓展提升题）（2016·山西模拟）阅读与观察：
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图①的“杨辉三角”就是其中的一例，杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图①所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数为的前提下，“杨辉三角”有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等，
如图②，某同学发现“杨辉三角”给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
( http: / / www.21cnjy.com )
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（）通过观察，请你写出“杨辉三角”具有的任意两个特点．（阅读材料中的特点除外）
（）计算：．
（）请你直接写出的展开式．
【答案】见解析
【解析】（）解：（）第行有个数字，数字之和为．
（）．
（）．
乘法公式的六种应用技巧
一、直接应用
1．计算：
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
（）原式．
2．计算．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
二、变位应用
3．计算．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】（）解：（）原式．
（）原式．
（）原式．
三、整体应用
4．计算．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
四、连续应用
5．计算．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式
．
五、逆向应用
6．计算．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
7．已知，并且，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
即，
所以或，
所以或．
六、变形应用
8．用乘法公式计算．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
9．计算．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
10．已知：，，求：
（）的值．
（）的值．
（）的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
11．已知，，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，，
所以①，
②，
所以①②，得，
所以．
所以．
12．已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即，
所以，所以．
所以．
13．计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．3
同底数幂的除法
第1课时
同底数幂的除法
自主学习
知识梳理快乐学习
同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数__________，指数__________，用公式表示为__________（，，都是正整数，且）．
【答案】不变
相减
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：同底数幂的除法法则
1．计算等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（2015·桂林）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（2016·黄冈）下列运算结果正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（2016·南京）下列计算中，结果是的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．（2015·武汉）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．下列计算正确的有（
）．
①；②；③；④；⑤．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【解析】
8．对于算式（
），括号中的代数式是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
9．若，则__________．
【答案】
【解析】
10．如果，那么__________．
【答案】
【解析】
考点二：同底数幂的除法法则的逆用
11．若，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
12．如果，，那么的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
13．如果，，那么__________．
【答案】
【解析】
14．（）__________．
（）若，，则__________．
【答案】（）
（）
【解析】
15．若，，则__________．
【答案】
【解析】
16．已知，，求的值．
【答案】
【解析】．
17．若，，求的值．（用含，的式子表示）
【答案】
【解析】解：．
18．化简：．
【答案】见解析
【解析】解：
．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）下列运算中，结果是的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（分）若，则与的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（一题多辨）（）计算：（
）．
A．
B．
C．
D．
（）计算：（
）．
A．
B．
C．
D．
（）计算：（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】（）A
（）D
（）B
【解析】
4．（分）若，，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）（2016·上海）计算：__________．
【答案】
【解析】
6．（分）（2016·红桥区一模）计算的结果等于__________．
【答案】
【解析】
7．（分）已知，，则__________．
【答案】
【解析】
8．（分）人们以分贝为单位来表示声音的强弱，通常说话的声音是分贝，它表示声音的强度是；摩托车发出的声音是分贝，它表示声音的强度是．摩托车的声音强度是说话声音强度的__________倍．
【答案】
【解析】
9．（分）计算：．
【答案】见解析
【解析】解：原式．
10．（分）化简：．
【答案】见解析
【解析】解：原式．
11．（分）已知，，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，
所以．
12．（分）（拓展提升题）已知，求的值．（数学思想链接：方程思想）
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即，所以．
第2课时
零指数幂与负整数指数幂
自主学习
知识梳理快乐学习
（）__________．
（）__________（，是正整数）．
（）归纳总结：是指的次幂；是指的次幂的倒数．
【答案】（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：零指数幂
1．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（2016·泰安）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（2015·广东）在，，，这四个数中，最大的数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．若，则__________．
【答案】
【解析】
考点二：负整数指数幂
5．（2015·厦门）可以表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．（2015·福州）计算的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．下列运算的结果中，是正数的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．下列运算中错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
9．（2015·恩施州）下列运算结果正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
10．下列各式的计算中，正确的个数是（
）．
①；②；③；④．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
11．（2016·育才中学期末）__________．
【答案】
【解析】
12．计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）．
（）．
13．若有意义，求应满足的条件．
【答案】见解析
【解析】解：由题意得，解得且．
14．若，则字母，应满足什么条件？（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】见解析
【解析】解：由题意得，分三种情况：
（）当且时，，即；
（）的任何次幂都是，则，为任意整数；
（）的偶数次幂为，则，为偶数，即为任意奇数．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·淄博）计算的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）（2016·江宁区二模）下列计算结果为负数的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016·潍坊）计算：（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）（2016·泰安模拟）下列算式结果为的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）若没有意义，则的值等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6．（分）（2016·育才中学期中）若，，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．（分）（2015·胶州市期末）计算：__________．
【答案】
【解析】
8．（分）下列个算式：①；②，③；④；⑤，计算结果为的有__________．（填序号）
【答案】①②⑤
【解析】
9．（分）（2016·河北模拟变式）若，则__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】或
【解析】
10．（分）（2016·保定一模）若，则__________．
【答案】
【解析】
11．（分）（2016·丰县校级期中）如果等式，则__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】或或
【解析】
12．（分）（2016·富顺县校级模拟）对于有理数，，定义运算：．如：，．照此定义的运算方式计算：__________．
【答案】
【解析】
13．（分）（2015·黄岛区期末）计算．
【答案】
【解析】解：原式．
14．（分）（2016·龙口市期中）若，满足，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
解得，，
所以．
15．（分）（拓展提升题）阅读材料，求的值．（数学思想链接：从特殊到一般）
解：设①，
则②，
②①，得．
请你仿此计算下列各题．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）设①，
则②，
②①，得，
即．
（）设①，
则②，
②①，得，即．
第3课时
科学记数法
自主学习
知识梳理快乐学习
用科学记数法表示较小的数
（）我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，一般地，一个小于的正数可以表示为__________，其中____________________，就是负整数．
（）用科学记数法表示绝对值较小的数关键在于小数点的移动，小数点向右移动几位得到一位整数后，移动位数的相反数就是的指数．
【答案】（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：科学记数法在数学中的应用
1．（2016·自贡）将用科学记数法表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．下列用科学记数法表示正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（一题多辨）（）将数据用科学记数法表示为，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）将数据用科学记数法表示为，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】（）B
（）D
【解析】
4．将精确到十万分位，并用科学记数法表示正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．计算．（结果用科学记数法表示）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
考点二：科学记数法在实际生活中的应用
6．（2016·日照）每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．某种细胞的直径是毫米，等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．（一题多辨）（）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，个这样的细胞排成的细胞链的长是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）一种细胞的直径约为米，那么它的一百万倍相当于（
）．
A．玻璃跳棋棋子的直径
B．数学课本的宽度
C．初中学生小丽的身高
D．五层楼房的高度
【答案】（）B
（）C
【解析】
9．（2015·青岛）某种计算机完成一次基本运算的时间约为，用科学记数法可表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
10．（2016·市北区一模）据研究，一种病毒直径为纳米（纳米米），下列用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（
）．
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【解析】
11．（2016·资阳）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
12．（2016·市北区期中）随着人们对环境的重视，新能源的开发追在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，用科学记数法表示是__________．
【答案】
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2015·胶南市王台中学质检）一种细菌的半径是米，用科学记数法表示为（
）．
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【解析】
2．（分）（2016·河南）某种细胞的直径是米，将用科学记数法表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）一个数用科学记数法表示为，则原数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（分）（2016·市南区二模）用科学记数法表示数，其结果是__________．
【答案】
【解析】
6．（分）人体内的一种细胞的直径为微米，__________个这种细胞首尾连接起来能达到厘米．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016·青岛39中期末）太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为千瓦，到达地球的仅占亿分之一，则到达地球的辐射能功率为__________千瓦．
【答案】
【解析】
8．（分）一张直径为厘米的光盘可记录高达个字节的信息，那么平均每个字节的信息大约占一张光盘多少平方厘米的空间？
【答案】平方厘米
【解析】解：（厘米），（平方厘米），【注意有文字】
（平方厘米）．
9．（分）实验证明，钢轨每变化℃，每米钢轨就伸缩米．
（）所对应的原数是多少？
（）如果某地在年中气温上下相差℃，那么千米长的钢轨在气温到最高时（比气温最低时）会长出多少毫米？
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）（米）毫米．
10．（分）（拓展提升题）计算机语言中的科学记数法是这样表示的：表示，写成日常科学记数法为；表示，写成日常科学记数法为．
（）把，写成日常的科学记数法形式．
（）把，写成计算机语言中的科学记数法形式．
【答案】见解析
【解析】解：（）表示，表示．
（）可表示为；可表示为．第三章
变量之间的关系
1
用表格表示的变量间关系
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．变量的相关概念
（）在一个变化过程中，__________称为变量，始终不变的量叫做__________．
（）在变化过程中，一个变量的值随另一个变量的变化而变化，则叫__________，叫__________．
【答案】（）数值发生变化的量；常量
（）自变量；因变量
【解析】
2．用表格法表示变量之间的关系
表示两个变量之间关系的表格，一般第一栏
( http: / / www.21cnjy.com )表示__________，第二栏表示__________，借助表格，我们可以表示因变量随__________的变化而变化的情况．
【答案】自变量；因变量；自变量
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：变量与常量
1．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（
）．
A．明明
B．电话费
C．时间
D．爷爷
【答案】B
【解析】
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（
）．
A．沙漠
B．体温
C．时间
D．骆驼
【答案】C
【解析】
3．三角形的底边长是，这条底边上的高是，则三角形的面积可以表示为__________，
当的值一定时，为__________（填“常量”或“变量”）；当的值一定时，为__________（填“常
量”或“变量”）．
【答案】；常量；变量
【解析】
考点二：自变量与因变量
4．长方体的底面积，当其高发生变化时，长方体的体积也会发生变化，在这个变化过程中（
）．
A．是自变量，是因变量
B．是自变量，是因变量
C．是自变量，是因变量
D．
是自变量，是因变量
【答案】A
【解析】
5．如图，圆柱的高是，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化．
（）在这个变化中，自变量是__________，因变量是__________．
（）当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（）底面半径；体积
（）
【解析】
考点三：用表格表示两个变量间的关系
6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系（其中）．下列说法不正确的是（
）．
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【答案】D
【解析】
7．某学习小组做了一个试验：从一幢高的楼的顶部随手扔下一个苹果，测得有关数据如下．
小落时间
下落高度
则下列说法错误的是（
）．
A．苹果每秒下落的路程不变
B．苹果每秒下落的路程越来越长
C．苹果下落的速度越来越快
D．可以推测，苹果落到地面的时间不超过秒
【答案】A
【解析】
8．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据．
卖出质量/千克
销售额/元
（）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（）当橘子卖出千克时，销售额是多少？
（）估计当橘子卖出千克时，销售额是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）上表反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系，橘子的卖出质量是自变量，销售额是因变量．
（）当橘子卖出千克时，销售额是元．
（）当橘子卖出千克时，销售额是元．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 蓝田县期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）．
温度/℃
声速/
下列说法错误的是（
）．
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为℃时，声音可以传播
D．当温度每升高℃，声速增加
【答案】C
【解析】
2．（分）下表反映的是某地区的用电量（千瓦时）与应交电费（元）之间的关系，下列说法不正确的是（
）
用电量/千瓦时
应交电费/元
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．用电量每增加千瓦时，电费增加元
C．若用电量为千瓦时，则应交电费元
D．若应交电费为元，则用电量为千瓦时
【答案】D
【解析】
3．（分）下面是一次秋汛期某河流在一天内的涨水情况，警戒水位为米．
时间/时
超警戒水位/米
（）上表反映了__________与__________之间的关系，其中__________是自变量，__________是因变量．
（）从时到时，水位从__________米上升到__________米．
（）借助表格，从__________时到__________时，水位上升最快．
【答案】（）超警戒水位；时间；时间；超警戒水位
（）
；
（）；
【解析】
4．（分）为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．
地区类别
首小时内
首小时外
一类
元/分钟
元/分钟
二类
元/分钟
元/分钟
三类
元/分钟
元/分钟
如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是__________（填“一类”“二类”“三类”中的一个）．
【答案】二类
【解析】如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：（元）；
如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：（元）；
如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：（元），
故答案为二类．
5．（分）（2016 兴平市期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．
所挂物体质量
弹簧长度
（）上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（）当所挂物体为时，弹簧有多长？不挂物体呢？
（）若所挂物体为时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
【答案】见解析
【解析】解：（）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系．
其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量．
（）当所挂物体为时，弹簧长；当不挂物体时，弹簧长．
（）根据上表可知所挂物体为时（在弹簧的允许范围内），弹簧长度为．
6．（分）（拓展提升题）某公司决定投资开发新项目，通过考察确定有个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表．
所需资金/亿元
预计年利润/千万元
（）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（）如果投资一个亿元的项目，那么其年利润预计有多少？
（）如果要预计获得千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金？
（）如果该公司可以拿出亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）上表反映了所需资金与预计年利润之间的关系，所需资金是自变量，预计年利润是因变量．
（）投资一个亿元的项目，则其年利润预计有千万元．
（）预计获得千万元年利润，投资一个项目需要亿元资金．
（）根据图表可得出：亿元进行多个项目的投资，可以有以下几种投资方案：
方案①：项目（所需资金亿元）、项目（所需资金亿元）与项目（所需资金亿元）；
方案②：项目（所需资金亿元）与项目（所需资金亿元）；
方案③：项目（所需资金亿元）与项目（所需资金亿元）．
方案①年利润是千万元；
方案②年利润是千万元；
方案③年利润是千万元．
所以方案①年利润最大，最大收益是千万元．3
等可能事件的概率
第1课时
概率公式
自主学习
知识梳理快乐学习
等可能事件
（）设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现．如果每种结果出现的可能性__________，那么我们就称这个试验的结果是等可能的，这个试验的每一个结果就是一个等可能事件．
（）一般地，如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为：__________．
（）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题个，数学题个，综合题个，她从中随机抽取个，抽中数学题的概率是__________．
【答案】（）相同
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：概率的计算公式
1．（2016·深圳）数学老师将全班分成个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的方式确定一个小组进行展示活动，则第个小组被抽到的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．鞋柜里有双鞋，从中摸出一只，则取出的是右脚穿的鞋的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（2016·龙岩）在英文单词“parallel”（平行）中任意选择一个字母是“a”的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（2016·张家界）在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加米预赛，赛场共设，，，
四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到号跑道的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（2016·市北区二模）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页、数学页、英语页，他随机地从讲义夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6．（教材P149议一议（1）变式）（2016·温州）一个不透明的袋中，装有个黄球、个红球和个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
考点二：利用概率公式确定小球的个数
7．（2016·葫芦岛）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球个，黄球个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（
）（数学思想链接：方程思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
8．（2015·沈阳）在一个不透明的袋中装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有__________个．
【答案】
【解析】
9．（2016·甘孜州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中红球个，黑球个，若再放入个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则的值为__________．
【答案】
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2015·河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数相差的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）（2016·宁波）一个不透明布袋里装有个白球、个黑球、个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016·贵港）从，，，，这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）（2016·广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是～这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）（2016·内蒙古）某校举行“中国梦·我的梦”演讲比赛，需要在初三年级选取一名主持人，共有名同学报名参加，其中初三（）班有名，初三（）班有名，初三（）班有名，现从这名同学中随机选取一名主持人，则选中的这名同学恰好是初三（）班同学的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．（分）如图，有张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为奇数的概率是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．（分）（2016·育才中学期末）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
8．（分）小刚掷一枚硬币，结果是一连次都掷出正面朝上，则他在第次掷硬币时，出现正面朝上的概率为__________．
【答案】
【解析】
9．（分）（2015·威海中考变式）甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的倍；乙袋中，红球个数是白球个数的倍．将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，求摸出红球的概率是多少．
【答案】
【解析】解：因为甲袋中，红球个数是白球个数的倍，
所以设白球有个，则红球有个，
所以两种球共有个．
因为乙袋中，红球个数是白球个数的倍，且两袋中球的数量相同，
所以红球有个，白球有个，
所以混合后摸出红球的概率为．
10．（分）（拓展提升题）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的倍少个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
（）求袋中红球的个数．
（）求从袋中摸出一个球是白球的概率．
（）取走个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【答案】见解析
【解析】解：（）（个），所以红球有个．
（）设白球有个，则黄球有个，
根据题意得，解得，
所以摸出一个球是白球的概率．
（）从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
第2课时
游戏的公平性
自主学习
知识梳理快乐学习
游戏公平
（）游戏对双方公平是指双方获胜的可能性__________，即游戏双方获胜的概率__________，则游戏公平；否则，游戏不公平．
（）小龙和小光一起做游戏：在一个不透明的袋子中放有个红球和个蓝球（这些球除颜色外均相同），从袋子中随机摸出一个球，摸到红球小龙获胜，摸到蓝球小光获胜．这个游戏对双方公平吗？__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】（）相同
相等
（）不公平
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点：游戏的公平性
1．甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（
）．
A．在一个装有个红球和个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜
B．从标有号数到的张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于则甲获胜，掷出的点数大于则乙获胜
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
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【答案】B
【解析】
2．小明和小白做游戏，先是
( http: / / www.21cnjy.com )各自背着对方在手心写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数字之和是偶数，则小明获胜；若和是奇数，则小白获胜，那么对于这个游戏，下列说法正确的是（
）．
A．游戏对小明有利
B．游戏对小白有利
C．这是一个公平游戏
D．不能判断对谁有利
【答案】C
【解析】
3．有一个质地均匀且六个面上分别写有至的正六面体，掷一次，向上一面的数为的倍数，小明提水；向上一面的数为的倍数，小华提水，则这个标准__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】公平
【解析】
4．有一盒子中装有个白色乒乓球，个黄色乒乓球，个红色乒乓球，个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（）你认为李明同学摸出的球，最有可能的颜色是__________．
（）请你计算摸到每种颜色球的概率．
（）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：（）白色
（）摸出一个球总共有种可能，且它们的可能性相等．（摸到白球），（摸到黄球），（摸到红球）．
（）公平，因为（摸到白球），（摸到其他球），所以公平．
5．（2015·胶南市王台中学质检）在班上组织的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，如图所示，游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改转盘中的数字，使这个游戏变得公平．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析
【解析】解：这个游戏不公平，因为偶数有个，奇数有个，摸到奇数的概率是，摸到偶数的概率是，，
所以小芳去的可能性大．转盘中的数字可这样修改，将其中的一个改成，使奇数、偶数各占一半．（答案不唯一）
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（
）．
A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B．掷一枚骰子，大于哥哥赢，小于妹妹赢
C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D．在不透明的袋子中装有黑红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
【答案】B
【解析】
2．（分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项．
颜色
数量/个
奖项
红色
一等奖
黄色
二等奖
蓝色
三等奖
白色
四等奖
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字，，，，，，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比大，则甲胜；若朝上的数字比小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？答：__________．
【答案】不公平
【解析】
4．（分）甲、乙两人用张红桃扑克牌和张黑桃扑克牌做游戏，规则是：甲、乙各抽取一张，若两张为同一花色，则甲胜；若两张花色不同，则乙胜，请问：这个游戏是否公平？
答：__________．
【答案】不公平
【解析】
5．（分）晓刚用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面朝上则甲胜，如果盖面朝下则乙胜，你认为这个游戏__________；如果以硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
公平
【解析】
6．（分）小丽和小红做游戏，准备了三张纸片，其中两张纸片上各画一个半径相同的半圆，另一张纸上画上一个正方形，将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随意抽出两张纸片，游戏的规则：若拼成一个圆，则小丽赢；若拼成一个蘑菇形，则小红赢．你认为这个游戏是公平的吗？请玩一玩这个游戏，并说明你的观点．
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【答案】不公平
【解析】解：这个游戏不公平，小红获胜的可能性大，所有可能的结果有三种情况，小丽获胜的可能性为，小红获胜的可能性为，所以这个游戏不公平．
7．（分）（拓展提升题）口袋中有个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球甲获胜，若为黑球则乙获胜，则当的值为多少时，游戏对甲、乙双方公平？
【答案】见解析
【解析】解：根据题意得，
即，
解得．
所以当时，游戏对甲、乙双方公平．
第3课时
几何概率（1）
自主学习
知识梳理快乐学习
几何概率
（）概念：利用图形__________之间的关系求不确定事件的概率，称为几何概率．
（）计算方法：事件发生的概率等于事件发生的可能结果所组成的图形的面积（用表示）除以所有可能结果组成的图形的面积（用表示），即（事件），因此，几何概率公式可表示为__________．
【答案】（）面积
（）【注意有文字】
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：与面积有关的几何概率
1．（2015·胶南市王台中学质检）假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终没有停在黑色方砖上的概率为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（教材P157复习题7变式）（
( http: / / www.21cnjy.com )2016·新疆）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是__________．
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【答案】
【解析】
4．（2016·葫芦岛）如图，一只蚂蚁在正方形区域内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为__________．（方法链接：构造法）
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【答案】
【解析】
考点二：等分的转盘问题
5．如图所示是两个可以自由转动的转盘，转盘被分成若干个相等扇形，转动转盘，转盘停止后，指针指向红色区域的概率分别是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
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A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
6．如图，一个正六边形转盘被分成个全等的正三角形，任意旋转这个转盘次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成个大小相同的扇形，在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
8．（2015·苏州）如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向大于的数的概率为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·育才中学期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）（2015·南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为，关于，大小的正确判断是（
）．
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A．
B．
C．
D．不能判断
【答案】B
【解析】
4．（分）如图，正方形是一块绿化带，，，，分别是，，
，的中点，阴影部分，都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．（分）（2016·市南区期末）小明把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6．（分）（一题多辨）（）如图①，一圆盘上画有三个同心圆，由里向外半径依次是，，
，将圆盘分成三部分，飞镖可落在任何一部分内，则飞镖落在最里面的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）（2016·本溪）如图②，小华把同心圆纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），已知大圆半径为，小圆半径为，则飞镖击中阴影区域的概率是__________．（数学思想链接：转化思想）
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【答案】（）B
（）
【解析】
7．（分）（2016·盐城）如图，转盘中个小扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为__________．
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【答案】
【解析】
8．（分）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）（拓展提升题）（2015·大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费元．
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（）若他选择转动转盘，则他能得到优惠的概率为多少？
（）选择转动转盘和转盘，哪种方式对于小张更合算？请通过计算加以说明．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为整个圆被分成了个扇形，其中有个扇形能享受折扣，
所以（得到优惠）．
（）转盘能获得的优惠为（元），
转盘能获得的优惠为（元），
所以选择转动转盘更合算．
第4课时
几何概率（2）
自主学习
知识梳理快乐学习
（）指针指向转盘某区域的概率等于该区域的__________与整个转盘的面积的比．
（）小明六一去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图①中阴影部分有奖品（飞镖盘被平均分成份），小明一次投镖能获得奖品的概率是__________．
（）如图②是圆形飞镖转盘，任意掷一飞镖，飞镖最可能落的区域是__________区域．
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【答案】（）面积
（）
（）红色
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：与“长度”有关的几何概率
1．（一题多辨）（）（2015·内江）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）（2015·巴彦淖尔）小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】（）A
（）D
【解析】
2．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为上午至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．如图，数轴上有两点，，在线段上任意取一点，则点到表示的点距离不大于的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点二：与角度有关的几何概率
4．（2015·金华）如图的四个转盘中，，转盘分成等份，若让转盘自由转动一次，停正后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（
）．
A．
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B．
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C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】A
【解析】
5．一个转盘的颜色如图所示，其中，，则转动转盘时，指针落在红色区域的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
6．某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费元（含元）以上，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准折、折、折区域，顾客就可以获得相应的优惠．
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（）某顾客正好消费元，是否可以获得相应的优惠？
（）某顾客正好消费元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）根据规定消费元（含元）以上才能获得一次转转盘的机会，
而元小于元，故不能获得转转盘的机会．
（）某顾客正好消费元，超过元，可以获得转转盘的机会．
若获得折优惠，则概率（折）；
若获得折优惠，则概率（折）；
若获得折优惠，则概率（折）．
考点三：按要求设计转盘
7．（教材P155随堂练习2变式）请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，指针停在白色和红色区域上的概率分别为，．
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【答案】略
【解析】
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）如图所示为一水平放置的转盘，使劲转动其指针，并让它自由停下，下面叙述正确的是（
）．
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A．停在区比停在区的机会大
B．停在三个区的机会一样大
C．停在哪个区与转盘半径大小有关
D．停在哪个区是可以随心所欲的
【答案】A
【解析】
2．（分）某火车站的显示屏每间隔分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）如图是某市月日至日的空气质量指数折线图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市旅游，到达的当天作为第一天连续停留天．则此人在该市停留期间恰好有两天空气质量优良的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）（2015·黄岛区期末）如图，转动的转盘停止转动后，指针指向黑色区域的概率是__________．
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【答案】
【解析】
5．（分）（2016·杭州）已知一包糖果共有种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是__________．
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【答案】
【解析】
6．（分）如图，把一个转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆平分成份，并分别标，，，，，另一个半圆标上，则任意转动转盘，当转盘停止时指针指向偶数的概率为__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）如图，将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域．在四个区域内涂上红、蓝两种颜色．转动指针，则指针指向哪种颜色的区域概率大？答：__________．（填“红
色”“蓝色”或“一样大”）
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【答案】一样大
【解析】
8．（分）如图是一个可以自由转动的转盘，其中阴影部分是圆心角为和的两个扇形，任意转动一次转盘，当转盘停止后，指针指向阴影部分的概率为__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成了个扇形，其中标有数字的扇形其圆心角（即）为；标有数字，及的扇形其圆心角（即，
，）为；标有数字，的扇形其圆心角（即，）为．甲、乙两人利用这个转盘做下列游戏：自由转动转盘，指针指向奇数则甲获胜，而指针指向偶数则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？
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【答案】公平
【解析】解：此游戏对甲、乙双方是公平的．
因为奇数所占度数为，
偶数所占度数为．
各占，所以公平．
10．（分）（拓展提升题）如图是一个涂有红、黄两种颜色的旋转转盘，有几个同学做转盘试验，他们将试验中获得的数据填入下面的统计表中．
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（）请将统计表补充完整．
转动次数
落在红色的次数
落在红色的频率
（）请你估计：当很大时，频率将会接近__________（百分号前保留整数）．
（）请你估计黄色区域所对圆心角的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）
（）由题意，得黄色区域所对圆心角的度数约为．第二章
相交线与平行线
1
两条直线的位置关系
第1课时
相交线与平行线
自主学习知识梳理快乐学习
1．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系有__
( http: / / www.21cnjy.com )________和__________两种，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为__________．在同一平面内不相交的两条直线叫做__________．
【答案】相交，平行，相交线，平行线
【解析】
2．对顶角
（）定义：如图所示，直线与相交于点，与有__________，它们的两边互为__________，这样的两个角叫做对顶角．
（）性质：对顶角__________．
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【答案】（）公共顶点，反向延长线；（）相等
【解析】
3．补角、余角
（）定义：如果两个角的和是__________，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是__________，那么称这两个角互为余角．
（）性质：同角或等角的补角__________，同角或等角的余角__________．
【答案】（）；（）
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：相交线与平行线
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有（
）．
A．重合、相交、平行三种
B．相交、重合两种
C．相交、平行两种
D．重合、平行两种
【答案】C
【解析】
2．同一平面内不重合的三条直线，其交点个数有（
）个．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】或或或
【解析】
3．下列四种说法：①铁路的两条钢
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【答案】
【解析】
考点二：对顶角及其性质
4．与是对顶角的图形是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
5．下列说法正确的有（
）个．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
考点三：补角和余角
6．（2015 株洲）已知，那么的余角等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
7．（2015 玉林）下面角的图示中，能与角互补的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
8．（2015 厦门）如图，在三角形中，，点，分别在边，上，若，则下列结论正确的是（
）．
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A．和互为补角
B．和互为补角
C．和互为余角
D．和互为余角
【答案】C
【解析】
9．如图，直线与相交于点，，则图中与的关系是（
）．
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A．互补
B．互余
C．相等
D．无法确定
【答案】C
【解析】
10．若，，则__________，理由是__________．
【答案】=，同角的余角相等
【解析】
11．已知与互补，与互余，试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：因为与互补，与互余，
所以．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016 潍坊市潍城区期中）如果点在直线已上，也在直线上，但不在直线上，且直线，，两两相交，符合以上条件的图形是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
2．（分）（2016 黔东南州期末）如图是对顶角量角器，则图中等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016 市北区期中）如图，，，在一条直线上，，，则图中互余的角共有（
）．
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A．对
B．对
C．对
D．对
【答案】B
【解析】
4．（分）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子：①；②；③；④；其中正确的有（
）．（数学思想链接：转化思想）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】
5．（分）（2015 绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，，不一定互补的是（
）．
A．
( http: / / www.21cnjy.com )B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
6．（分）（2016 青岛39中期末）一个角的补角的倍与它的余角的和为，则这个角的度数为___________度．
【答案】
【解析】
7．（分）如图所示，三条直线，，相交于同一点，则___________．（数学思想链接：转化思想）
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【答案】
【解析】
8．（分）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，绕点任意转动其中一个三角尺，则与始终相等的角是___________．
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【答案】
【解析】
9．（分）（2016 武侯区校级月考）在平面内，若两条直线的最多交点数记为，三条直线的最多交点数记为，四条直线的最多交点数记为，，以此类推，则___________．
【答案】
【解析】
10．（分）（拓展提升题）回答下列问题．
（）三条直线，，相交于点（如图
①），图形中共有几对对顶角（平角除外） 几对邻补角？
（）四条直线，，，相交于点（如图②），图形中共有几对对顶角（平角除外） 几对邻补角？
（）条直线，，，，，；相交于点，则图中一共有几对对顶角（平角除外） 几对邻补角？（数学思想链接：从特殊到一般）
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【答案】见解析
【解析】解：（）有对对顶角，对邻补角，
（）有对对顶角，对邻补角，
（）有对对顶角，对邻补角．
第2课时
垂线
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．垂线的概念
两条直线相交成四个角，如果有一个角是__________，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的__________，它们的交点叫做垂足．通常用符号“”表示两条直线互相垂直．
【答案】直角，垂线
【解析】
2．垂线的性质
（）平面内，过一点有且只有__________直线与已知直线垂直．
（）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，__________最短．
【答案】（）一条；（）垂线段
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：垂线的定义及画法
1．下列说法正确的是（
）．
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线
D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该直线垂直
【答案】A
【解析】
2．如图所示，．若，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（2015·即墨28中期末）如图，，，，则__________．
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【答案】
【解析】
4．如图，直线，相交于点，，分别是，上的点．用三角尺或量角器画图．
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（）经过点画直线的垂线．
（）经过点画直线，的垂线．
（）经过点分别画直线和的垂线．
【答案】略
【解析】
考点二：垂线的性质
5．在同一平面内，下列语句正确的是（
）．
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两直线相交，则一定垂直
【答案】C
【解析】
6．如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点并折出过点且与垂直的直线．这样的直线能折出（
）．
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A．条
B．条
C．条
D．条
【答案】B
【解析】
考点三：点到直线的距离
7．点到直线的距离是指（
）．
A．直线外一点到这条直线的垂线的长度
B．直线外一点到这条直线上的任意一点的距离
C．直线外一点到这条直线的垂线段
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
【答案】D
【解析】
8．如图是一名跳远运动员跳落沙坑时的痕迹，则表示该运动员成绩的是（
）．
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A．线段的长
B．线段的长
C．线段的长
D．线段的长
【答案】B
【解析】
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9．如图所示，已知，，垂足分别是，，那么以下线段大小的比较必定成立的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
10．如图，，，，，则的长度（
）．
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A．大于
B．小于
C．大于或小于
D．大于且小于
【答案】D
【解析】
11．（2016 超银中学期中）如图，要在渠岸上找一点，在点处开沟，把水渠中的水引到点，要使沟最短，线段与渠岸的位置关系应是__________，理由是__________．
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【答案】互相垂直，垂线段最短
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2015 厦门）已知直线，，在同一平面内，若，垂足为点，，垂足也为点，则符合题意的图形可以是（
）．
A．
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( http: / / www.21cnjy.com )C．
( http: / / www.21cnjy.com )D．
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【答案】C
【解析】
2．（分）（2016 淄博）如图，，，垂足分别为，，则图中能表示点到直线距离的线段共有（
）．
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A．条
B．条
C．条
D．条
【答案】D
【解析】
3．（分）如图，于点，于点，下列说法正确的是（
）．
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A．的余角只有
B．的补角是
C．是的余角
D．与互补
【答案】D
【解析】
4．（分）（2016 河北模拟）如图，直线与直线相交于点，，垂足为，已知，则的度数为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．（分）（2016 常州）已知在三角形中，，，，垂足为，则的长可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．（分）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，
的度数是（
）．（数学思想链接：分类讨论思想）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
7．（分）如图所示，已知直线，相交于点，于点，且比大，则
__________．（数学思想链接：方程思想）
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【答案】
【解析】
8．（分）如图所示，河流在两个村庄，的附近，可以近似地看成是两条折线段（图中），，分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向，两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短，甲提出了这样的建议：从向河道作垂线交于点，则点为水泵站的位置．
（）你是否同意甲的意见？__________（填“是”或“否”）．
（）若同意，请说明理由；若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．
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【答案】见解析
【解析】解：（）否；
（）如图，连接，交于点，则水泵站应该建在处，依据为两点之间，线段最短．
9．（分）（拓展提升题）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分．
（）若，试探究，的位置关系，并说明理由．
（）若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般）
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【答案】见解析
【解析】解：（）．理由，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以，
所以．
（）成立．理由：因为，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以，
所以．规律：邻补角的两条角平分线互相垂直．4
整式的乘法
第1课时
单项式与单项式相乘
自主学习
知识梳理快乐学习
单项式乘单项式运算法则
单项式与单项式相乘，把它们的__________、__________分别相乘，其余字母连同它的指数__________，作为积的因式．
【答案】系数
相同字母的幂
不变
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：单项式的乘法法则
1．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（2016·贵港）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．下面计算正确的算式个数为（
）．
①；②；③；④．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5．下列计算中，不正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．如果单项式与是同类项，则这两个单项式的积为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．计算的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
8．计算．
（）（2016·市南区期末）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】（）
．
（）
．
（）
．
考点二：单项式的乘法法则的应用
9．如图，已知四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为（
）（数学思想链接：数形结合思想）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
10．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒可做__________次运算．
【答案】
【解析】
11．一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是__________．
【答案】
【解析】
12．某公园欲建如图所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米．若每平方米草坪需
元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：，
（平方米），
（元）．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）若，则内应填的单项式是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）（2016·荆州）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）（2016·临夏州）计算：__________．
【答案】
【解析】
5．（分）如图，沿正方形的对角线对折，把对折后重合的两个小正方形内的单项式相乘，乘积是__________．（只要求写出一个结论）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（或：）
【解析】
6．（分）计算．
（）
（）（2016·育才中学期末）
（）
【答案】见解析
【解析】（）原式
．
（）原式
．
（）原式
．
7．（分）已知，，求代数式的值．
【答案】
【解析】原式，
当，时，
原式，
，
．
8．（分）已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，所以
．
9．（分）（拓展提升题）如果“三角形”
( http: / / www.21cnjy.com )表示，“方框”
( http: / / www.21cnjy.com )表示，求
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【答案】
【解析】解：根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
第2课时
单项式与多项式相乘
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知识梳理快乐学习
单项式乘多项式法则
（）单项式与多项式相乘，就是根据__________用单项式去乘__________，再把所得的积__________，用式子表示为__________．
（）计算：__________．
（）计算：__________．
【答案】（）分配率
多项式的每一项
相加
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：单项式与多项式相乘的法则
1．计算，正确的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（2016·澧县期末）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．计算的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．化简的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．与的关系是（
）．
A．相等
B．互为相反数
C．前式是后式的倍
D．前式是后式的倍
【答案】A
【解析】
6．满足的的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．计算．
（）
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
（）
．
考点二：单项式与多项式相乘法则的应用
8．如果一个长方形的周长为，其中长为，那么该长方形的面积为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
9．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，处应写（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
10．要使的展开式中不含项，则__________．
【答案】
【解析】
11．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的表面积是__________．
【答案】
【解析】
12．化简求值：，其中．
【答案】
【解析】解：
．
当时，
原式．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·本溪）下列运算错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（分）（2016·徐州期中）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（
）（数学思想链接：数形结合思想）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）（2016·深圳期末）的计算结果是__________次多项式．
【答案】五
【解析】
4．（分）的结果中次数是的项的系数是__________．
【答案】
【解析】
5．（分）若，则的值为__________．（数学思想链接：整体思想）
【答案】
【解析】
6．（分）计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
（）原式
．
7．（分）（2016·北京校级月考）已知有理数，，满足，求的值．
【答案】
【解析】解：由，
得，解得，
则，
，
．
8．（分）一段防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽米，下底宽米，坝高米．
（）求防洪堤坝的横断面面积．
（）如果防洪堤坝长米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【答案】见解析
【解析】解：（）防洪堤坝的横断面面积，
平方米．
（）防洪堤坝的体积立方米．
9．（分）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？
【答案】见解析
【解析】解：这个多项式是，
正确的计算结果是．
10．（分）（拓展提升题）如图，把边长分别为和的两个正方形并排放在一起，请你计算出图中阴影部分的面积．
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【答案】
【解析】解：．
第3课时
多项式与多项式相乘
自主学习
知识梳理快乐学习
多项式乘多项式法则
（）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的__________乘另一个多项式的__________，再把所得的积__________．
（）（2015·福州）计算的结果是__________．
（）计算：__________．
【答案】（）每一项
每一项
相加
（）
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：多项式与多项式相乘的法则
1．下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．下列多项式相乘，结果为的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．下列各式中计算错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．若，则的值为（
）．（方法链接：系数比较法）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
6．计算．
（）
（）
（）（2016·育才中学期末）
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
考点二：多项式与多项式相乘法则的应用．
7．（2015·十堰）当时，的值为，则的值为（
）（数学思想链接：整体思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
8．设，，则与的关系为（
）．（方法链接：作差法）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【解析】
9．如图，长方形的面积为__________．（用含的代数式表示）．
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【答案】
【解析】
10．若，则__________．
【答案】
【解析】
11．已知的结果中不含有的一次项，则__________．
【答案】
【解析】
12．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】解：，
，
．
当时，
原式．
13．若的积中，含项的系数为，含项的系数为，求，的值．
【答案】，
【解析】解：，
，
．
因为含项的系数为，含项的系数为，
所以，．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）如果的结果是一个二次二项式，那么（
）．
A．，互为相反数
B．
与的乘积等于
C．，互为相反数或与的乘积等于
D．，互为相反数或，中有且只有一个等于
【答案】D
【解析】
2．（分）方程的解是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．（分）（2016·陕西校级二模）当取任意有理数时，等式恒成立，则
的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．（分）（2016·育才中学期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．（分）（2015·胶州市期末）若，，则代数式的值为__________．
【答案】
【解析】
6．（分）一个长方形的长为米，宽比长少米，则这个长方形的周长为__________米，面积为__________平方米．
【答案】
【解析】
7．（分）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类有若干张，如果要拼一个长为、宽
为的大长方形，则需要类卡片__________张．
( http: / / www.21cnjy.com )
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【答案】
【解析】
8．（分）试说明代数式的值与的取值无关．
【答案】见解析
【解析】解：原式．
因为化简后所得结果是一个常数，
所以代数式的值与的取值无关．
9．（分）小明想把一长为、宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
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（）若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．
（）当时，求这个盒子的体积．
【答案】见解析
【解析】解：（）由题意，得阴影部分的面积为，
．
（）当时，，
盒子的体积为．
10．（分）（2015·内江）（）填空：
__________．
__________．
__________．
（）猜想：
__________．（其中为正整数，且）
（）利用（）猜想的结论计算：．（数学思想链接：从特殊到一般）
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）
（）
，
，
．
11．（分）（拓展提升题）阅读下列材料，完成下面的题目．
（）根据，我们可以直接进行应用，比如：，则（__________）____________________．
（）试着直接写出下列各题的答案．
①__________．
②__________．
【答案】（）
（）①
②
【解析】
幂的运算
1．在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是他设：①，然后在①式的两边都乘以，得②，②①，得，即，所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿
照以上方法计算的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．__________．
【答案】
【解析】
4．若，则__________．
【答案】
【解析】
5．若，，则__________．
【答案】
【解析】
6．若，则__________．
【答案】
【解析】
7．计算：__________．
【答案】
【解析】
8．计算的结果等于__________．
【答案】
【解析】
9．已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
解得，
所以，
．
10．计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
11．已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
12．（）已知，，求的值．
（）已知，，求的值．
【答案】（）
（）
【解析】解：（）因为，，
所以，
所以．
（），
．
13．已知为正整数，且．
（）求的值．
（）求的值．
【答案】（）
（）
【解析】解：（）因为，
所以，
．
（）因为，
所以，
．
14．已知，，，试判断，，之间的关系．
【答案】见解析
【解析】解：因为，，，且，
所以，
所以．
15．设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即
个相乘的积；，即个相乘的积，显然．现在设，，请你用小明的方法比较与的大小．
【答案】
【解析】解：由阅读材料知：，，
因为，所以．
16．小明是一位勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数，那么方程可以变成，则，从而是方程的两个解，小明还发现具有以下性质：
，，；，，，，，
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
__________，__________，__________，__________（为自然数）．
【答案】
【解析】4
利用轴对称进行设计
自主学习
知识梳理
快乐学习
利用轴对称设计图案
（）图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，尤其是利用轴对称的性质“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________”为依据来设计图案．
（）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个．
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【答案】（）垂直平分线
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：剪纸中的轴对称
1．过新年时，小强家的窗户上贴着如图所示的美丽的剪纸图案，它的对称轴有（
）条．
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A．
B．
C．
D．无数
【答案】C
【解析】
2．如图，把一张正方形纸片对折三次后沿虚线剪下，展开后得到的图形是（
）．
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( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
3．如图，一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后得到的图形是（
）．
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A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
考点二：设计轴对称图形
4．如图，由个小正方形组成的田字格，的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（
）．
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A．
个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】
5．如图，由小正方形组成的“”形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使宦成为轴对称图形．
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( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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6．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以直线为对称轴画出它的另一半．
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【答案】略
【解析】
7．如图，草原上有两个居民点，，是一条公路，是一条河流．一汽车从出发，把一批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到．问：怎样安排两个停靠点，，可使行驶的路程最短？（作图回答）（数学思想链接：转化思想）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
2．（分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线所在直线对称，那么下列图案中不符合要求的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】D
【解析】
3．（分）（2016 资阳一模）如图，图乙的图案是由图甲中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（
）．
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A．①②
B．①③
C．①④
D．③⑤
【答案】B
【解析】
4．（分）在如图所示的方格纸上画有条线段，若再画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有__________种．
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【答案】
【解析】
5．（分）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
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【答案】见解析
【解析】解：示例：如图所示．
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6．（分）将一张正方形的纸沿对角线对折一次后，得到一个等腰直角三角形，沿等腰直角三角形底边上的高对折一次，又得到一等腰直角三角形，再沿着其底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开盾得到的图形有几条对称轴？
【答案】条
【解析】
7．（分）在现实生活中，很多优美的图形都是由几个简单的几何图形组成的，请你用圆、三角形、线段三个几何图形，依照图中的例子设计三个不同的轴对称图案，并赋予它一个合适、有趣的名称．
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【答案】见解析
【解析】解：答案不唯一．
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8．（分）（拓展提升题）（2016 深圳期末）观察设计．
（）观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
（）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能一样）
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【答案】见解析
【解析】解：（）示例：所给个四个图案具有的共同特征：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案．
（）示例：
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尖子生成长计划6
活用“三线合一’’巧解题
一、利用“三线合一”求角的度数
1．如图，已知房屋顶角，过屋顶的立柱，屋檐．求顶架上的，，，的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，，，
所以，．
二、利用“三线合一”求线段的长度
2．如图，在中，，，于点，若，且的周长为，求的长．
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【答案】见解析
【解析】解：因为的周长，，所以．
因为，所以．
所以．
又因为，，
所以．
三、利用“三线合一”说明线段相等
3．如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线交于点，，垂足为．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，为边上的中线，
所以，即（三线合一）．
因为为的平分线，，，
所以．
四、利用“三线合一”说明角相等
4．如图，是的角平分线，且，交于点．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为平分，，
所以垂直平分．
所以．所以．
又因为，
所以．
所以．
五、利用“三线合一”说明垂直平分
5．如图，已知是的角平分线，，
分别是和的高．试说明：垂直平分．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，，，，
所以≌．
所以．
又因为平方，
所以垂直平分．
六、利用“三线合一”说明角的倍分关系
6．如图，在中，，，垂直平分，，．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为垂直平分，所以．
因为，
所以是等腰直角三角形．
所以．
又因为，
所以．
所以．
因为，，所以．
又，所以，
所以，
所以．
因为，所以，
所以．
七、利用“三线合一”说明线段的倍分关系（构造三线法）
7．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：如图，延长，交于点．
因为平分，，，
所以≌．
所以，．
因为，，，
所以．
又，，
所以≌，
所以．
故．
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八、利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法）
8．如图，在中，于点，且．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，
所以．
因为，所以是边上的中线，即．
又因为，所以．
而，
所以．
过点作于点，
易知≌，
则，故．
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幂的乘方与积的乘方
第1课时
幂的乘方
自主学习
知识梳理快乐学习
1．填空
（）__________，即__________．
（）__________，即__________．
【答案】（）
（）
【解析】
2．归纳
（）幂的乘方是指几个__________．
（）幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数__________，指数__________，即__________（，都是正整数）．
【答案】（）相同的幂相乘
（）不变
相乘
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：幂的乘方
1．（一题多辨）（）（2016·吉林）计算结果正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）的计算结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】（）D
（）B
【解析】
2．（2015·哈尔滨）下列运算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．化简的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．如果正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是（
）（数学思想链接：整体思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．已知，，，，则下列，，，四者关系的判断，正确的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
6．等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．计算．
（）．
（）．
（）．
【答案】见解析
【解析】解：（）原式．
（）原式．
（）原式．
考点二：幂的乘方法则的逆用
8．可以写为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
9．若，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
10．若，则__________．（数学思想链接：方程思想）
【答案】
【解析】
11．（2016·育才中学期中）已知，则__________．
【答案】
【解析】
12．如果，（，都是正整数），那么____________________，
__________．
【答案】
【解析】
13．已知，求的值．
【答案】
【解析】解：因为，
且，
所以，
所以，
所以．
比较指数，得，所以．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2016·岳阳）下列运算结果正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）计算的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）若，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
5．（分）（2016·宝应县期末）若，则__________．（数学思想链接：整体思想）
【答案】
【解析】
6．（分）（__________）（__________）（__________）．
【答案】
【解析】
7．（分）__________．
【答案】
【解析】
8．（分）（一题多辨）（）已知，，则的值为__________．
（）（2016·宝应县校级月考）若，则关于的方程的解为__________．
【答案】（）
（）
【解析】
9．（分）计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）．
（）．
（）．
10．（分）已知，，求的值．
【答案】
【解析】解：原式．
11．（分）（拓展提升题）（）（底数比较法）阅读下列解题过程：试比较与的大小关系．
解：因为，，
，，且，所以．
请根据以上解答比较与的大小．
（）（指数比较法）已知，，，试比较，，的大小．
（）（乘方比较法）已知，，且，，试比较，的大小．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，，，，
且，所以．
（）因为，，，，
所以．
（）因为，，，
所以．
又因为，，所以．
第2课时
积的乘方
自主学习
知识梳理快乐学习
积的乘方运算
（）积的乘方法则：积的乘方等于__________，再把所得的幂相乘，即__________（是正整数）．
（）积的乘方法则也可逆用：．
【答案】（）把积的每一个因式分别乘方
【解析】
当堂达标
活学巧练巩固基础
考点一：积的乘方
1．（2016·成都）计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
4．若，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【解析】
6．计算：__________．
【答案】
【解析】
7．计算：__________．
【答案】
【解析】
8．计算．
（）
（）
【答案】见解析
【解析】（）解：（）原式
．
（）原式
．
考点二：积的乘方法则的逆用
9．如果，那么（
）（方法链接：指数对应法）
A．，
B．，
C．
，
D．，
【答案】B
【解析】
10．填空：（__________）．
【答案】
【解析】
11．若，则__________．
【答案】
【解析】
12．如果，，那么__________．
【答案】
【解析】
13．若为正整数，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
14．计算：__________．（方法链接：拆项法）
【答案】
【解析】
考点三：幂的混合运算
15．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
16．已知（为正整数），求的值．
【答案】
【解析】解：由题意知，
所以，即．
17．若，求的值．
【答案】见解析
【解析】解：，
因为，
所以原式．
强化训练
综合演练强化能力
1．（分）（2015·西宁）下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（分）下列选项中，与的值相同的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（分）（一题多辨）（）（2016·黄冈模拟）计算：__________．
（）（2016·石家庄期中变式）计算：__________．
【答案】（）
（）
【解析】
4．（分）化简：__________．
【答案】
【解析】
5．（分）化简：__________．
【答案】
【解析】
6．（分）若，，则__________．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016·长春校级期末）若，则__________．
【答案】
【解析】
8．（分）（2016·大兴区期末）已知，，则的值是__________．
【答案】
【解析】
9．（分）计算．
（）
（）
（）
【答案】见解析
【解析】解：（）
．
（）
．
（）
．
10．（分）先化简，再求值：，其中，．
【答案】见解析
【解析】解：原式
．
当，时，
原式．
11．（分）若为正整数，且，求的值．
【答案】
【解析】解：原式
．
12．（分）（拓展提升题）（2016·盐都区月考）基本事实：若（，且，，都是正整数），则．你能利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
（）如果，求的值．
（）如果，求的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为
，
所以，所以．
（）因为，
所以，所以，
所以．4
用尺规作三角形
自主学习
知识梳理
快乐学习
用尺规作三角形
（）用尺规作三角形，其实质可以归结为两个基本作图，即：①作一条线段__________；②__________等于已知角．
（）本节学到的用尺规作三角形，包括三种类型：
①已知__________作三角形；
②已知__________作三角形；
③已知__________作三角形．
【答案】（）①等于已知线段；②作一个角
（）①三角形的两边及其夹角；②三角形的两角及其夹边；③三角形的三条边
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：尺规作图
1．尺规作图的画图工具是（
）．
A．刻度尺、圆规
B．三角尺和量角器
C．直尺和量角器
D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【解析】
2．如图，用尺规作出，作图痕迹是（
）．
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A．以点为圆心，长为半径的弧
B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧
D．以点为圆心，长为半径的弧
【答案】D
【解析】
3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（
）．
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
【答案】A
【解析】
考点二：用尺规作三角形
4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知条件是（
）．
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三条边
C．三角形的两角和它们的夹边
D．三角形的三个角
【答案】A
【解析】
5．如图所示，已知一个三角形的两边分别为线段，，并且边上的中线为线段，求作此三角形．（要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论）
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【答案】见解析
【解析】解：已知；线段，，；求作；，使，，是的中点，且（或求作：，使，，边上的中线）．
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结论：即为所求．
6．如图，已知线段，和，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？，，．若能，写出作法；若不能，请说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：能作出两个三角形．如图，所以不能作出唯一的符合要求的三角形．
理由：“”不能说明两个三角形全等，所以一般情况下，已知两边和其中一边的对角不能作出唯一的三角形．
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7．（2015·黄岛区期末）已知：线段，和．求作：，使，，．
（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图，小敏做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）已知线段，，，求作，使，，，作法的合理顺序为__________．（填序号）
①分别以点，为圆心，以，的长为半径作弧，两弧交于点；
②连接，，则就是所求作的三角形；
③作一条线段．
【答案】③①②
【解析】
3．（分）（2015·北京校级期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图（图①）：作一个角的平分线，
已知：．
求作：的平分线．
小芸的作法如下：请你跟随小芸的叙述，在图②中完成这个尺规作图．
（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（）画射线，射线即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是__________．
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
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4．（分）如图是数轴的一部分，其单位长度为．已知中，，，．
用直尺和圆规作出．（要求：使点，在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所求．
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5．（分）如图，已知线段和，只用直尺和圆规，求作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所示．
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6．（分）已知：线段，．
求作：，使，．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所求．
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7．（分）（拓展提升题）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．
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（）请你画出一个满足题设条件的三角形．
（）你是否还能画出既满足题设条件，又与（）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作图作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】见解析
【解析】解：示例：（）如图①．
（）能．如图②．
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5
利用三角形全等测距离
自主学习
知识梳理
快乐学习
利用三角形全等测距离
（）在测量不能直接测量的两点之间的距离时，可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质“全等三角形的__________”，将其转化为易于测量的线段．构造全等三角形时要满足全等三角形的判定方法：“”“”或“”．
（）如图所示，，在一水池的两侧，若，，，则水池宽
__________．
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【答案】（）对应角相等
（）
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点：利用三角形全等测距离
1．要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上（如图所示），可以说明≌，通过全等三角形对应边相等，得出的长，判定≌最恰当的理由是（
）．
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A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．边边角
【答案】B
【解析】
2．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，依据是（
）（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，三点在一条直线上，这时测得__________的长就等于的长．
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【答案】
【解析】
4．教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的，两点间的距离不方便，因此，选点，都能到达的一点，如图②，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使．那么，，两点间的距离就是，两点间的距离．
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理由：在和中，，
所以≌（__________）．
所以__________，所以只要测出，两点间的距离
就可知，两点间的距离．
【答案】，
【解析】
5．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱
与地面垂直，当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度，有何数量关系？为什么？
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【答案】见解析
【解析】解：．
理由如下：因为是，的中点，
所以，．
在与中，
因为，，，
所以≌．
所以．
6．（2015·即墨28中期末）如图，，两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量，间距离的方案，并说明其中的道理．
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（）测量方案：
（）理由：
【答案】见解析
【解析】解：（）测量方案：先在平地上取一个可直接到达，的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长．
（）理由：在和中，
因为，
所以≌，
所以（全等三角形的对应边相等），
所以的距离即为的长．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中框架的质量为克，的质量为克，则整个金属框架的质量为（
）．
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A．克
B．克
C．克
D．克
【答案】D
【解析】
2．（分）（2015·胶州市期末变式）如图，，表示两根长度相等的铁条，若为，的中点，经测量，则容器内径为（
）．（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）如图所示，，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上，
千米，千米，村庄，与，间也有公路相连且千米，只有，之间由于间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路，现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得千米，千米，那么建造的斜拉桥至少有__________千米．
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【答案】
【解析】
4．（分）（2015·临沭县期中）如图，课间小明拿着老师的等腰三角尺玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为__________．
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【答案】
【解析】
5．（分）如图，在新建的小区中，有一条“”字形绿色长廓，其中，在，，三段绿色长廊上各修一凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．要想知道与的距离，只需要测出线段__________的长度．理由是：可以说明__________，从而由全等三角形的对应边相等得出__________．
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【答案】，≌，
【解析】
6．（分）（2016·宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，，垂足为，已知米，请根据上述信息求标语的长度．
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【答案】见解析
【解析】解：因为，所以．
因为，所以，
所以，即．
因为相邻两平行线间的距离相等，所以．
在与中，
因为，
所以≌，
所以米．
7．（分）（拓展提升题）（一题多解）已知，两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，请你给出一个合适可行的方案，画出设计图，说明依据．
【答案】见解析
【解析】解：方案一：找能到达，两点的一点，连接并延长到点，使；
连接并延长到点，使，连接并测量出它的长度，的长就是的长（如图①）．
方案二：找两点，，使且，量出的长，即得的长[如图②，由≌得到]．
方案三：找一点，使，延长至点，使，连接．量得的长即得的长（如图③）．
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尖子生成长计划5
全等三角形中常见的辅助线
一、翻折法
1．如图，在中，是的平分线，，垂足为．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：如图，延长交于点（相当于将边向下翻折，与边重合，点落在点处，折痕为）．
因为平分，所以．
因为，所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
又因为，
所以．
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二、构造法
2．如图，在直角三角形中，，，，点为的中点，于点，其延长线交于点，连接．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：如图，过点作交的延长线于点．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以，．
因为点为的中点，所以，所以．
又因为，，
所以．
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
所以．
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三、旋转法
3．如图，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：如图，延长至点，使得．
因为，，
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以，．
所以，
即．
因为，
所以，即．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
所以．
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四、中线倍长法
4．如图，在中，为的中点．
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（）试说明：．
（）若，，求的取值范围．
【答案】见解析
【解析】解；（）延长至点，使，连接．
因为为的中点，所以．
又因为，，
所以≌，
所以，因为，所以．
（）因为，
所以．
因为，，
所以．
所以．
五、截长补短法
5．（一题多解）如图，在中，，，为上任意一点，试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：方法一（截长法）：如图①，在上截取，连接．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
因为在中，，
所以，
所以．
方法二（补短法）：如图②，延长至点，使，连接．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
因为在中，，
所以．
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探索三角形全等的条件
第1课时
三角形全等的条件——边边边
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．三角形全等的条件（）
（）三边分别__________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“__________”．
（）如图，已知，要使≌，则只需添加一个适当的条件是__________．（填一个即可）
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【答案】（）相等；
（）
【解析】
2．三角形的稳定性
只要三角形三边的长度确定了，它的__________和__________就完全确定了，三角形的这个性质
叫做三角形的稳定性．
【答案】形状；大小
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：“边边边”
1．如图所示，中，，，，则根据“”能直接判定（
）．
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A．≌
B．≌
C．≌
D．≌
【答案】C
【解析】
2．（一题多辨）（）如图①，已知，，点，，，在一条直线上，要利用“”说明≌，还可以添加的一个条件是（
）．
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A．
B．
C．
D．以上都不对
（）如图②，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的个条件中：①；②；③；④，可利用的是（
）．
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A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
【答案】（）A
（）A
【解析】
3．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使≌，只需再添加的一个条件是__________．
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【答案】
【解析】
考点二：“边边边”的应用
4．如图，，，，则等于（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．如图，已知，，，则下列结论中：①≌；②；③；④；⑤．正确的个数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．如图，是的中点，，．试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：因为是的中点，
所以．
在和中，
因为，，，
所以≌，
所以（全等三角形对应角相等）．
考点三：三角形的稳定性
7．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊
( http: / / www.21cnjy.com )建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的
哪个性质？答：__________．（填“稳定性”或“不稳定性”）
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【答案】稳定性
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图所示，小龙的爸爸买了一张桌子，桌面下有两个三角形，即图中的和，设计两个三角形的主要原因是（
）．
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A．使≌
B．利用三角形的稳定性使桌子稳固
C．使两个三角形是全等的直角三角形
D．对称美
【答案】B
【解析】
2．（分）如图，，，，，则的度数是（
）（数学思想链接：转化思想）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）如图，
是不等边三角形，，以，为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以作出（
）．
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】
4．（分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有__________性．
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【答案】稳定
【解析】
5．（分）如图，已知，，再由一个隐含条件__________，可得≌．
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【答案】
【解析】
6．（分）如图，是的中点，，．和全等吗？为什么？
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【答案】见解析
【解析】解：≌．
理由：因为是的中点，
所以．
在和中，
因为，，，
所以≌．
7．（分）（2016·江岸区模拟）如图，是上一点，，，，试说明：．
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【答案】见解析
【解析】解：在与中，
因为，
所以≌，
所以，
所以，
所以．
8．（拓展提升题）（分）（2016·河北）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，．
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（）试说明：≌．
（）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，
所以，即．
在和中，
因为，
所以≌．
（），．
理由：因为≌，
所以，，
所以，．
第2课时
三角形全等的条件——角边角或角角边
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．三角形全等的条件（2）
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．
【答案】角边角；
【解析】
2．三角形全等的条件（3）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．
【答案】角角边；
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：“角边角”
1．如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和全等的是（
）．
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A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙
D．乙
【答案】C
【解析】
2．如图，线段，相交于点，若，为了用“”判定≌，则应补充条件（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．如图，在四边形中，，若用“”说明≌，需添加条件__________．
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【答案】
【解析】
考点二：“角角边”
4．如图，己知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（一题多辨）（）如图①，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定
≌的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
（）如图②，已知，添加一个条件使≌（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是__________．
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【答案】（）D
（）示例：
【解析】
6．如图，在中，，点是边上的一点，，且，过点作
交于点，则≌__________，理由是__________．
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【答案】；（答案不唯一）
【解析】
考点三：“角边角”及“角角边”的应用
7．如图，，，是和的公共边，所以就可以判定
≌．你认为这种说法正确吗？如果不正确，请说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：不正确．因为虽然是和的公共边，但它们不是对应边．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图所示，，是的中点，直接应用“”说明≌，还需要的条件是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）如图，已知，，那么要得到≌，还应给出的条件是（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）如图，，，，，则等于（
）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（
）．
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A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
【答案】B
【解析】
5．（分）如图，已知为直线上一点，，，请写出图中一组相等的线段__________．
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【答案】示例：
【解析】
6．（分）如图所示，，，垂足分别为，，且，相交于点，．
图中全等的三角形共有__________对．
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【答案】
【解析】
7．（分）（2016 济宁）如图，中，，，垂足分别为，，，交于点，请你添加一个适当的条件：__________，使≌．
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【答案】示例：
【解析】
8．（分）（2015 黄岛区期末）如图，，，，，，，则__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）（拓展提升题）（2015 胶南市王台中学质检）是经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且．
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（）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
①如图①，若，，则__________；__________（填“>”“<”或“=”）；
②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件__________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（）如图③，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【答案】见解析
【解析】解：（）①，；②所填的条件是：．
证明：在中，．
因为，
所以，
又因为，
所以．
又因为，，
所以≌，
所以，．
又因为，
所以．
（）猜想：．
第3课时
三角形全等的条件——边角边
自主学习
知识梳理
快乐学习
三角形全等的条件（4）
（）两边及其__________分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或__________．
（）判定条件“”用符号可表示为：如图所示，在和中，如果，__________，__________，则≌．
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（）我们已经学习了四种说明两个三角形全等的方法，即__________、__________、__________和__________，
【答案】（）夹角，
（），
（），，，
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：边角边
1．如图，，分别在，上，且，，则≌的依据是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．下列条件，不能判定两个三角形全等的是（
）．
A．两边及一角对应相等
B．两角及其中一角的对边对应相等
C．三边对应相等
D．两边及其夹角对应相等
【答案】A
【解析】
3．（一题多辨）（）如图①，在四边形中，，，若连接，相交于点，则图中全等三角形共有（
）．
A．对
B．对
C．对
D．对
（）（2016 成安县期末）如图②，于点，，图中共有全等三角形__________对．
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【答案】（）C
（）
【解析】
4．如图，已知，，若要得到≌，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
考点二：“”的应用
5．如图，将两根弯曲的钢条，的中点连在一起，使，可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的依据是（
）．
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A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
【答案】A
【解析】
6．（2015·胶南市王台中学质检）已知和都是等腰直角三角形，如图摆放使得一直角边重合，连接，．问：和有何位置关系？并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】解：．理由如下：因为和都是等腰直角三角形，
所以，，．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
又因为，
所以，
所以，即．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016·新疆）如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能说明≌，这个条件是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（分）（2015·黄岛区期末）如图，，，以下条件中，不能推出≌
的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016·河北模拟）如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为（
）（数学思想链接：分类讨论思想）
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A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】
4．（分）（2015·胶州市期末）如图，已知平分，要使≌，只需再添加一个条件就可以了，你选择的条件是__________，理由是__________．
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【答案】示例：，
【解析】
5．（分）如图，已知米，于点，米，射线于点，点从点
向点运动，每秒走米，点从点问点运动，每秒走米，，同时从点出发，则出发__________秒后，在线段上有一点，使与全等．（方法链接：动点问题）
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【答案】
【解析】
6．（分）如图，和相交于点，，，和平行吗？为什么？
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【答案】见解析
【解析】解：．理由：在和中，
因为，，，
所以≌，
所以，
所以．
7．（分）（2015 黄岛区期末）如图，在等腰中，，延长至点，使，连接，以为边作等腰，使，，连接交于点．
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（）吗？请说明理由．
（）若，求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）．理由如下：因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
（）因为，，
所以，由（）得：≌，
所以．
因为，，
所以．
8．（分）（拓展提升题）如图①，，，点是上一点，且，．
（）试判断与的位置关系，并说明理由．
（）如图②，若把沿直线向左平移，使的顶点与重合，此时问题（）中的位置关系还成立吗？请说明理由．（注意字母的变化）
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【答案】见解析
【解析】解：（）．理由如下：因为，，
所以．又，，
所以≌．
所以．
因为，
所以，
所以．
所以．
（）问题（）中的位置关系还成立．理由：因为，，
所以．
又，，
所以≌．
所以．
又，
所以．
所以．
所以．章末复习
知识技能
考点聚焦掌握方法
专题一：事件的分类
1．（2016·南平）下列事件是必然事件的是（
）．
A．某种彩票中奖率是，则买这种彩票张一定会中奖
B．一组数据，，，的平均数是
C．三角形的内角和等于
D．若是实数，则
【答案】C
【解析】
2．（2016·徐州）下列事件中的不可能事件是（
）．
A．通常加热到℃时，水沸腾
B．抛掷枚正方体骰子，都是点朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【解析】
3．在一个不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的个黑球、个红球，从中摸一个球，摸出个黑球这一事件是（
）．
A．必然事件
B．随机事件
C．确定事件
D．不可能事件
【答案】B
【解析】
专题二：概率与频率
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，那么乙不输的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5．小明和同学一起做抛掷一枚质地均匀的硬币试验，当他们投掷次时，发现有次正面朝上，次正面朝下，假如他们做这样的试验达到次，请你估计硬币正面朝上的频率可能（
）．
A．在次附近
B．在次附近
C．在次附近
D．在次以上
【答案】A
【解析】
6．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表．
实验种子数
发芽频数
发芽频率
根据试验结果，若需要保证的发芽数为粒，则需试验的种子数最接近的粒数为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
7．（2016·兰州）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，由此估计口袋中共有小球__________个．
【答案】
【解析】
8．（2016·宁夏）为了解学生的体能情况，随机选取了名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢．
项目学生数
长跑
短跑
跳绳
跳远
√
×
√
√
×
√
×
√
√
√
√
×
√
×
√
×
√
×
×
×
（）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率．
（）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率．
（）如果学生喜欢长跑，则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？
【答案】见解析
【解析】解：（）同时喜欢短跑和跳绳的概率．
（）同时喜欢三个项目的概率．
（）喜欢长跑的人中，有人选择了短跑，人选择了跳绳，人选择了跳远，
于是喜欢长跑的学生又同时喜欢跳绳的可能性大．
专题三：等可能事件的概率
9．（2016·台湾）有一个三位数，中的数字由小欣投掷的骰子决定，例如投出点数为，则
就为．小欣打算投掷一颗骰子，骰子上标有～的点数，若骰子上的每个点数出现的机会相等．则三位数是的倍数的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
10．（2016·贵阳）年月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调辆车作为服务用车，其中帕萨特辆、狮跑辆、君越辆、迈腾辆，现随机地从这辆车中抽取辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
11．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好
张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌张，杀手牌张，好人牌张，小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
12．（2016·抚顺）某校九年级二班在体育加试中全班所有学生的得分情况如表所示．
分数段
人数
从九年级二班的学生中随机抽取一人，恰好获得分的学生的概率为__________．
【答案】
【解析】
13．（2016·桂林）把一副普通扑克牌中的数字，，，，，，，，的张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为的倍数的概率是__________．
【答案】
【解析】
14．（2016·滨州）有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，．随机抽取张，则取出的数是无理数的概率是__________．
【答案】
【解析】
专题四：几何概率
15．（2016·扬州）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为__________．
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【答案】
【解析】
16．如图是一个可以自由转动的转盘，标有黄色和蓝色区域的扇形圆心角分别是和，则随机转动转盘，指针在红色区域的概率是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】
17．如图所示的转盘，它被等分成个扇形，你能否在转盘上涂上适当的颜色，使得自由转动转盘，当停止转动时，满足下面的条件：
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（）指针停在红色区域的概率和停在黄色区域的概率相同．
（）指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率．
（）同时满足上面两个要求．
【答案】见解析
【解析】解：示例：如图所示．
（）
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专题五：概率的综合应用
18．某商人制成了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“”，则收费元，若指针指向字母“”，则奖元；若指针指向字母“”，则奖元，一天，前来寻开心的人转动转盘次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？
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【答案】见解析
【解析】解：商人盈利的可能性大．
理由：商人盈利：（元）；
商人亏损：（元）．
因为，所以商人盈利的可能性大．
数学思想
巧思秒解激活思维
专题六：方程思想
19．（2016·镇江）一只不透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有__________个红球．
【答案】
【解析】
20．（2016·市北区一模）在一个不透明的口袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色外完全相同．若从中随机摸出一球，摸出白球的概率为，则的值是__________．
【答案】
【解析】2
图形的全等
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．全等图形
（）概念：能够__________的两个图形称为全等图形．
（）判别：形状__________，大小__________时，才能称为全等图形．
（）性质：全等图形的__________和__________都相同．
【答案】（）完全重合
（）相同；相同
（）形状；大小
【解析】
2．全等三角形
（）概念：能够__________的两个三角形叫做全等三角形，如图所示，全等于，记
作∽．
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（）对应元素：两个三角形全等时，重合的顶点是__________，重合的边是__________，重合的角是__________．在表示两个三角形全等时，通常要把表示对应顶点的字母写在__________的位置上，如图，点的对应点是，点的对应点是__________，点的对应点是__________．
（）性质：全等三角形的对应边__________，对应角__________．
【答案】（）完全重合
（）对应顶点；对应边；对应角；对应；；
（）相等；相等
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：全等图形
1．下列说法中正确的有（
）．
①用一张底片冲洗出来的张寸相片是全等图形；
②我国国旗上的颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形是全等图形；
④全等图形的面积一定相等．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】
2．如图，有个条形方格图，图中由实线围成的图形中，全等图形有：①与__________；②与__________．
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【答案】⑥；③，⑤
【解析】
考点二：全等三角形及其对应元素
3．如图，沿直线对折，与重合，则≌__________，的对应边是__________，的对应角是__________．
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【答案】；
；
【解析】
4．如图，将、沿所在的直线平移到的位置，则__________，图中与__________，与__________，与__________是对应角．
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【答案】≌；；；
【解析】
考点三：全等三角形的性质
5．若与全等，点和点，点和点分别是对应点，则下列结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6．如图，≌，则的度数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
7．如图，≌，，，则的长是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
8．如图，沿边所在直线运动到的位置，延长，相交于点．
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（）试说明：．
（）试说明：．
（）你还能发现哪些结论？
【答案】见解析
【解析】（）由题意得，≌，所以．
因为，，
所以．
所以．
即．
（）因为，所以，
所以．
（）示例：，．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）下列四个图形中，全等的图形是（
）．
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A．①和②
B．①和③
C．②和③
D．③和④
【答案】D
【解析】
2．（分）（2016 泉港区期末）已知四边形各边长如图所示，且四边形≌四边形，则的长为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）（2016 寿光市期末）如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是（
）．
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A．
B．
C．
D．≌
【答案】A
【解析】
4．（分）如图，与是全等三角形，则图中相等的线段的组数是（
）（方法链接：平移法）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（分）如图，≌，，则的度数为（
）（方法链接：旋转法）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
6．（分）如图，两个全等的等边三角形的边长为，一个微型机器人由点开始按的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走停下，则这个微型机器人停在（
）．
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A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】B
【解析】
7．（分）如图，若≌，且，，则__________．
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【答案】
【解析】
8．（分）如图，≌，点在上，已知，，，则折线__________．
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【答案】
【解析】
9．（分）如图，已知≌，与是对应角．
（）写出相等的线段与角．
（）若，，，求和的长度．
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【答案】见解析
【解析】解：（）因为≌,与是对应角，
所以，，，，，，，．
（）因为，，
所以．
因为，，，，
所以．
10．（分）（拓展提升题）如图，的顶点，，都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形．试在下面的方格纸上按下列要求画格点三角形．
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（）所画的三角形与全等且有个公共顶点．
（）所画的三角形与全等且有条公共边．
【答案】见解析
【解析】解：（）示例：如图①所示．
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（）示例：如图②所示．
( http: / / www.21cnjy.com )尖子生成长计划7
概率中的代数问题
1．（2016·贺州）从分别标有数，，，，，，的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（2016·齐齐哈尔）下列算式：①；②；③；④；⑤．运算结果正确的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．一个盒子中放着三种颜色的球，每个球除颜色外都相同，红球个，白球个，黑球个，如果从中任取一个球，取得的白球的概率比取得非白球的概率大，那么与的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
4．在数轴上任取一个比大比小的实数对应的点，则取到的点对应的实数满足的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．（2015·滨州）用，，三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为__________．
【答案】
【解析】
6．（2016·上海）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有点、点、、点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是的倍数的概率是__________．
【答案】
【解析】
7．（2016·永州）在，，，，这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于的概率是__________．
【答案】
【解析】
8．（2016·青海）已知一个围棋盒子中装有颗围棋子，其中颗白棋子，颗黑棋子，若往盒子中再放入颗白棋子和颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为，则与之间的关系式是__________．
【答案】
【解析】
9．（2015·南昌）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个．
（）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”记为事件，请完成下列表格：
事件
必然事件
随机事件
的值
（）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个黑球的概率等于，求的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）
或
（）根据题意得，解得，
所以的值为．
10．有一个质地均匀的正十二面体，个面上分别写有～这个整数（每个面只有一个整数且互不相同）．投掷这个正十二面体一次，记事件为“向上一面的数字是或的整数倍”，记事件为“向上一面的数字是的整数倍”，请你判断等式是否成立，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：不成立，
理由如下：因为投掷这个正十二面体一次，记事件为“向上一面的数字是或的整数倍”，
所以符合要求的数有：，，，，，，，，一共有个，
则．
因为事件为“向上一面的数字是的整数倍”，
所以符合要求的数有，，，，一共有个，
则．
因为，
所以．
尖子生成长计划8
概率中的几何问题
一、概率与几何图形的性质
1．（一题多辨）（）（2016·济宁）如图①，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）（2015·泰安）如图②，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
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（）（2015·胶州市期末）如图，大正方形由个相同的小正方形组成，其中三个小正方形已经涂黑，如果从其余个小正方形中再任意选一个也涂黑，那么整个大正方形中涂黑部分成为轴对称图形的概率是__________．
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【答案】（）B
（）C
（）
【解析】
2．（2016·资阳）如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__________．
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【答案】
【解析】
3．现有根小木棒，长度分别为：，，，，（单位：），从中任意取出根．
（）列出所选的根小木棒的所有可能情况．
（）如果用这根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．
【答案】见解析
【解析】解：（）根据题意可得，所选的根小木棒的所有可能情况为：
，，，，，，，，，．
（）因为能搭成三角形的结果有：，，，，共种，
所以（能搭成三角形）．
二、概率与几何图形的面积
4．（2016·锦州）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．一个小球在如下几种图案地砖上自由滚动，小球停在阴影区域的概率最大的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
6．如图，如果可以在三个完全相同的正方形拼成的图案中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
7．如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为，则（
）．
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A．
B．
C．
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
8．（一题多辨）（）如图①，在边长为的小正方形组成的网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，在格点中任意放置点，恰好能使的面积为的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
（）在边长为的小正方形组成的网格中，有如图②所示的，两点，在格点上任意放置点，求恰好能使得的面积为的概率为__________．
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【答案】（）C
（）
【解析】章末复习
知识技能
考点聚焦
掌握方法
专题一：用图象表示两个变量之间的关系
1．（2015 济宁）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状是下图中哪一个（
）．
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A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
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D．
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【答案】C
【解析】
2．（2015 胶州市期末）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
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【答案】C
【解析】
3．（2015 自贡变式）小刚以米／分的速度匀速骑车分，在原地休息了分，然后以米／分的速度骑回出发地．下列图象能表达这一过程的是（设时间为，速度为，离出发地的距离为）（
）．
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
4．（分）（2015 即墨28中期末）如图，图象（折线）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间之间的关系，下列说法中错误的是（
）．
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A．第分时汽车的速度是千米／时
B．第分时汽车的速度是千米／时
C．从第分到第分，汽车行驶了千米
D．从第分到第分，汽车的速度从千米／时减少到千米／时
【答案】C
【解析】
5．（2015 海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（
）．
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A．甲、乙两人进行米赛跑
B．甲先慢后快，乙先快后慢
C．比赛到分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
D．甲先到达终点
【答案】C
【解析】
6．（2016 松北区模拟）甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回，设乙车行驶的时间为秒，两车间的距离为千米，图中折线表示与之间的关系的图象，下列四种说法正确的有（
）个．
①开始时，两车的距离为米．
②转货用了秒．
③甲的速度为米／秒，乙的速度为米／秒．
④当乙车返回到出发地时，甲车离乙车米．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
专题二：从图象中获得相关信息
7．（2015 沈阳）如图①，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系满足如图②中的图象，则至少需要__________能把小水杯注满．
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【答案】
【解析】
8．如图所示是甲、乙两人在一次比赛中路程与时间之间的关系图象，请回答．
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（）在这次比赛中，速度较快的是__________，速度为__________．
（）甲、乙两人中首先到达终点的是__________．
（）甲在第的速度是__________，路程是__________．
【答案】（）甲；
（）甲
（）；
【解析】
数学思想
巧思妙解
激活思维
专题三：数形结合思想
9．（2015 即墨28中期末）如图，它表示甲、乙两人从同一个地点．出发后的情况，到时，甲大约走了千米，根据图象回答：
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（）甲是几点钟出发？
（）乙是几点钟出发？到时，他大约走了多少千米？
（）到为止，哪个人的速度快？
（）两人最终在几点钟相遇？
（）你能利用图象中得到的信息，编个故事吗？
【答案】见解析
【解析】解：根据图象可知：根据图象可知：（）甲出发．
（）乙出发；到时他大约走了千米．
（）到为止，乙的速度快．
（）两人最终在时相遇．
（）甲骑车从家出发，小时后改乘汽车；乙骑摩托车开始追赶，时追上甲．
（答案合理即可）
10．某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件数量（个）与生产时间之间的关系如图所示．
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（）①在甲、乙两人中，__________先完成个零件的生产任务；在生产过程中，__________因机器故障停止生产__________．
②当__________时，甲、乙两人生产的零件个数相等．
（）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】见解析
【解析】解：（）①甲；甲；
②和．
（）甲在内的生产速度最快．（个），
所以他在这段时间内每小时生产个零件．
11．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程（米）与时间（分钟）之间的关系．
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（）学校离他家__________米，从家出发到学校，王老师共用了__________分钟．
（）王老师吃早餐用了多少分钟？
（）王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？吃完早餐后的平均速度是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）；
（）（分钟）．
（）吃完早餐以后的速度快，吃完早餐后的平均速度是（米／分钟）．
12．如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是，请你根据图象解决下面的问题．
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（）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
（）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这一时间段内请分别按下列要求写出具体的时间段：①自行车行驶在摩托车的前面；
②自行车与摩托车相遇；
③自行车行驶在摩托车的后面．
【答案】见解析
【解析】解：（）由图象可以看出：骑自行车者出发较早，早；
骑摩托车者到达乙地较早，早到．
（）对骑自行车者而言：行驶的距离是，耗时，
所以其速度是．
对骑摩托车者而言：行驶的距离是，
耗时，所以其速度是．
（）由图象可知在这个时间段内两车均行驶在途中．
①在这个时间段内，自行车行驶在摩托车的前面；
②时，自行车与摩托车相遇；
③在这个时间段内，自行车行驶在摩托车的后面．
13．一慢车和一快车沿相同的路线从地到地，所行的路程与时间的图象如图．试根据图象，回答下列问题．
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（）慢车比快车早出发__________，快车追上慢车时行驶了__________，快车比慢车早__________到达地．
（）在下列个问题中任选一题求解，
①快车出发多长时间后追上慢车？
②求慢车、快车的速度．
③求，两地之间的距离．
【答案】见解析
【解析】解：（）；；
（）示例：①设慢车的速度为，
则快车的速度为．
设快车出发后追上慢车，
则，即，解得．
答：快车出发后追上慢车．第五章
生活中的轴对称
1
轴对称现象
自主学习
知识梳理
快乐学习
轴对称图形与轴对称
（）如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够__________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做__________．
（）如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够__________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的__________．
【答案】（）互相重合；对称轴
（）完全重合；对称轴
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：轴对称图形
1．（2015·胶南市王台中学质检）下面有个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（
）．
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】
2．（2015·即墨28中期末）下列图形中不一定是轴对称图形的是（
）．
A．角
B．平行四边形
C．等腰三角形
D．正方形
【答案】B
【解析】
3．如图，其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．画出如图所示的轴对称图形的所有对称轴．
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【答案】略
【解析】
考点二：轴对称
5．下列说法中，正确的是（
）．
A．关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等的两个三角形是关于某条直线对称的
C．两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．全等的两个图形一定成轴对称
【答案】A
【解析】
6．下列图形中，与关于直线成轴对称的是（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】B
【解析】
7．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字：__________．
【答案】示例：甲、田
【解析】
8．如图，直线左边是计算器上的数字“”，若以直线为对称轴，那么与它成轴对称的图形是数字__________．
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【答案】
【解析】
9．（2016·山西模拟）如图，的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有种．
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【答案】
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016·青岛39中期末）对折一张长方形的纸，用笔尖在上面扎出大写字母“”，再把它铺平，你可见到（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】A
【解析】
2．（分）（2016·第二学期育才期末）如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中是轴对称图形的是（
）．
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A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
【答案】B
【解析】
3．（分）（2016·青海）以下图形中对称轴的数量小于的是（
）．
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】D
【解析】
4．（分）如图所示．
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图中是轴对称图形的有__________，图中与甲成轴对称的图形是__________．
【答案】甲、乙、丙、丁；丁
【解析】
5．（分）如果长方形的四个顶点均在圆上，那么这个图形有__________条对称轴，当长方形转化为正方形时，有__________条对称轴．
【答案】；
【解析】
6．（分）在的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有__________种．
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【答案】
【解析】
7．（分）在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．
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（）小明的这三件文具中，可以看作是轴对称图形的是__________．（填字母代号）
（）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图形．（只需画出一种）
【答案】（）B，C
（）示例：
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【解析】
8．（分）（2015·沧州校级期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法．（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）
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【答案】见解析
【解析】解：示例：拼法如图所示．
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9．（分）（拓展提升题）如图，①正三角形、②正四边形、③正五边形、④正六边形、⑤正七边形、⑥正八边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数．观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数有什么关系？根据你的分析结果回答：正十边形、正十六边形、正二十九边形分别有几条对称轴？
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【答案】见解析
【解析】解：正三角形有条对称轴，正四边形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正六边形有
条对称轴，正七边形有条对称轴，正八边形有条对称轴．正多边形对称轴的条数与边数之间的关
系：边数是，对称轴的条数是条，所以正十边形有条对称轴，正十六边形有条对称轴，正二
十九边形有条对称轴．
2
探索轴对称的性质
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．对应点、对应线段及对应角
我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角．
【答案】
【解析】
2．轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对
( http: / / www.21cnjy.com )应点所连的线段被对称轴__________，对应线段__________，对应角__________．
【答案】垂直平分；相等；相等
【解析】
3．画轴对称图形的一般步骤
（）定：确定对称轴．
（）找：在原图形上找关键点．
（）作：作各个关键点关于对称轴的对称点．
（）连：按原图顺序连接所作的各对称点．
【答案】
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：轴对称的性质
1．下列说法中，正确的是（
）．
A．面积相等的两个三角形成轴对称
B．关于某条直线对称的两个图形一定全等
C．如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定在这条直线的两旁
D．两个图形上如果有两组对应点所连线段被同一直线垂直平分，那么这两个图形一定关于这条直线对称
【答案】B
【解析】
2．在下面五种说法中，正确的有（
）．
①轴对称图形的对应点所连的线段垂直平分对称轴；
②若轴对称图形上有一点在对称轴上，则这点与它的对应点重合；
③轴对称图形的对应点必须在对称轴两侧；
④两个全等图形一定成轴对称；
⑤关于某条直线对称的两个图形是全等图形．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】
3．如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，与相交于点，且，则下列判断不正确的是（
）．
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A．≌
B．≌
C．≌
D．≌
【答案】B
【解析】
4．（一题多辨）（）如图①，把长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于（
）（方法链接：折叠问题）
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A．
B．
C．
D．
（）如图②，长方形的一角沿折叠，已知，则的大小是__________．
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【答案】（）C
（）
【解析】
5．如图，，为上一点，点和点关于对称，点和点关于对称，求
和的度数．
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【答案】见解析
【解析】解：因为点和点关于对称，所以，
即．
又因为点，点关于对称，
所以，所以．
因为，所以．
所以，所以．
考点二：用轴对称的性质作图
6．如图，和关于直线对称．
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（）__________．
（）点的对应点是__________，点的对应点是__________．
（）连接交于点，连接交于点，则__________，与的位置关系是__________．
（）直线__________．
【答案】（）≌
（），
（）；平行
（）垂直平分
【解析】
7．（2015·郴州）如图，在方格纸中画出美于直线对称的．
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【答案】略
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016·南充）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）下列说法错误的是（
）．
A．两个多边形关于某条直线成轴对称，则对应线段相等，对应角相等
B．成轴对称的两条线段在对称轴一侧
C．等边三角形的对称轴有三条
D．成轴对称的两个图形对应点所连线段被对称轴垂直平分
【答案】B
【解析】
3．（分）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（
）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4．（分）（2015·胶州市期末）如图，在中，，点在边上，且与点关于对称，若，则__________．
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【答案】
【解析】
5．（分）（2016·娄底）如图，将沿直线折叠，使点与点重合，已知，，则的周长为__________．
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【答案】
【解析】
6．（分）如图①，一张四边形纸片，，，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，，则的度数为__________．
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【答案】
【解析】
7．（分）（2016·保定三模）如图，四边形中，，在上，在上，将
沿折叠，得到，则图中__________度．
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【答案】
【解析】
8．（分）如图，和关于直线对称．
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（）结合图形指出对称点．
（）连接，直线与线段有什么关系？
（）延长线段与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来与同伴交流．
【答案】见解析
【解析】解：（）和，和，和．
（）直线垂直平分线段．
（）和的延长线的交点在直线上．其他对应线段（或延长线）的交点也在对称轴上，规
律：轴对称图形中，对应线段（或对应线段的延长线）如果有交点，交点便在对称轴上．
9．（分）（拓展提升题）如图，和关于直线对称，和关于直线对称．
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（）画出直线．
（）直线与相交于点，试探究与直线，所夹锐角的数量关系．
【答案】见解析
【解析】解：（）如图所示，连接．
作线段的垂直平分线．
则直线是和的对称轴．
（）连接．因为和关于直线对称，
所以．
又因为和关于直线对称，
所以．
所以，
即．
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