第一章
1.3
1.3.3
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A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f
′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f
′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则f
′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f
′(x)＋2xf(x)＝，得f
′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2f
′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f
′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
2．(2017·开滦二中高二检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
D．(0，)
[解析] f
′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f
′(x)<0，在(x0,1)内f
′(x)>0，由f
′(x)＝0得，x2＝2b>0，
∴∴0
3．(2017·临沂高二检测)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A )
A．5，－15
B．5，－4
C．－4，－15
D．5，－16
[解析] 令y′＝6x2－6x－1
( http: / / www.21cnjy.com )2＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A．
4．(2016·德州高二检测
( http: / / www.21cnjy.com ))已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)
∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0.
所以F′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上递减，∴F(x)max＝f(a)－g(a)．
5．(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[解析] ∵2x(x－a)<1，
∴a>x－，
令y＝x－，
∴y是单调增函数，若x>0，则y>－1，∴a>－1.
6．(2016·安庆高二检测)已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是( B )
A．3x－15y＋4＝0
B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0
D．3x－y＋1＝0
[解析] ∵f(x)＝－x3＋2ax2＋3x，
∴f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋2a2＋3，
∵f′(x)的最大值为5，
∴2a2＋3＝5，
∵a>0，∴a＝1∴f′(1)＝5，f(1)＝.
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.
二、填空题
7．曲线y＝xex在点(0,0)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2－4x＋3＝0上的点的最近距离是 －1 .
[解析] y′|x＝0＝(x＋1)ex|x＝0＝1，∴切线方程为y＝x，圆心(2,0)到直线的距离d＝，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为－1.
8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__.
[解析] f
′(x)＝3x2＋6ax＋3
( http: / / www.21cnjy.com )(a＋2)，令f
′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
三、解答题
9．(2016·昆明高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋2lnx(a∈R)在x＝1时取得极值.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)f
′(x)＝x－a＋，
因为当x＝1时f(x)取得极值，所以f
′(1)＝0，
即1－a＋2＝0，解得a＝3，
经检验，符合题意．
(2)由(1)得：f(x)＝x2－3x＋2lnx，
∴f
′(x)＝x－3＋＝，(x>0)，
令f
′(x)>0解得02，
令f
′(x)<0解得1∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)．
10．(2017·宁波高二检测)设函数f(x)＝exsinx.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值与最小值．
[解析] (1)f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f′(x)≥0，所以sin(x＋)≥0，
所以2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
f(x)的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z.
(2)由(1)知当x∈[0，π]时，[0，π]是单调增区间，[π，π]是单调减区间．
f(0)＝0，f(π)＝0，f(π)＝eπ，
所以f(x)max＝f()＝eπ，
f(x)min＝f(0)＝f(π)＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．若函数f(x)在定义
( http: / / www.21cnjy.com )域R内可导，f(1.9＋x)＝f(0.1－x)且(x－1)f
′(x)＜0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( D )
A．a>b>c
B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>a>c
[解析] ∵(x－1)f
′(x)＜0，
∴当x＞1时，f
′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；
当x＜1时，f
′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增．
又f(1.9＋x)＝f(0.1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴f(3)＝f[2－(－1)]＝f(－1)，
∵－1＜0<，
∴f(－1)＜f(0)＜f()，∴f(3)∴b＞a＞c，故选D．
2．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋
( http: / / www.21cnjy.com )f
′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为( A )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf
′(x)－ex＝ex[f(x)＋f
′(x)－1]，
∵f(x)＋f
′(x)＞1，∴f(x)＋f
′(x)－1＞0，
∴g′(x)＞0，
∴y＝g(x)在定义域上单调递增，
∵exf(x)＞ex＋3，∴g(x)＞3，
又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，
∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，故选A．
二、填空题
3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为__－1__.
[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
令y′＝0解得x＝或x＝－1.
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；
当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.
所以函数的最小值为－1.
4．已知函数f(x)是定义在R
( http: / / www.21cnjy.com )上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是__(－1,0)∪(1，＋∞)__.
[解析] 令g(x)＝(x≠0)，
∵x>0时，>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0
( http: / / www.21cnjy.com )，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
5．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f
′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f
′(x
( http: / / www.21cnjy.com ))<0；当x∈(0，＋∞)时，f
′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f
′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f
′(x)min＝0，故f
′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
6．(2016·德州高二检测)已知函数f(x)＝x－2lnx－＋1，g(x)＝ex(2lnx－x).
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值．
[解析] (1)由题意得x＞0，f
′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数得，f
′(x)≥0，
即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)．
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g′(x)＝ex，
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1，
因为f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
所以，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.
故x＝1时，g(x)取得最大值g(1)＝－e.
C级 能力拔高
(2016·天津卷)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0；
(Ⅲ)设a＞0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于.
[解析] (Ⅰ)由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
(1)当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为(－，)，单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
(Ⅱ)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(Ⅰ)知a>0，且x0≠0，由题意，得f′(x0)＝3x－a＝0，即x＝，
进而f(x0)＝x－ax0－b＝－x0－b.
又f(－2x0)＝－8x＋2ax0－b＝－x0＋2ax0－b＝－x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0.所以x1＋2x0＝0.
(Ⅲ)设g(x)在区间[－1,1]上最大值为M，max{x，y}表示x，y两数的最大值．下面分三种情况讨论：
(1)当a≥3时，－≤－1<1≤，由(Ⅰ)知，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(1)，f(－1)]，因此
M＝max{|f(1)|，|f(－1)|}
＝max{|1－a－b|，|－1＋a－b|}
＝max{|a－1＋b|，|a－1－b|}
＝，
所以M＝a－1＋|b|≥2.
(2)当≤a<3时，－≤－1<－<<1≤，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，
f(－1)≥f(－)＝f()，f(1)≤f()
＝f(－)，
所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f()，f(－)]，因此
M＝max{|f()|，|f(－)|}
＝max{|－－b|，|－b)|}
＝max{|＋b|，|－b)|}
＝＋|b|
≥××＝.
(3)当0f(－1)f(1)>f()＝f(－)，
所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(－1)，f(1)]，因此
M＝max{|f(－1)|，|f(1)|}，
＝max{|－1＋a－b|，|1－a－b|}
＝max{|1－a＋b|，|1－a－b|}
＝1－a＋|b|>.
综上所述，当a>0时，
g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于.第二章
2.1
2.1.1
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A级 基础巩固
一、选择题
1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( D )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N
)．
A．①②④
B．①③④
C．①②
D．①④
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6
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2．(2016·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式为an＝( B )
A．
B．
C．
D．
3．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到( D )
A．空间中平行于同一直线的两条直线平行
B．空间中平行于同一平面的两条直线平行
C．空间中平行于同一直线的两个平面平行
D．空间中平行于同一平面的两个平面平行
4．(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )
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A．白色
B．黑色
C．白色的可能性较大
D．黑色的可能性较大
5．(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
6．(2017·长春三模)设n∈N＋，则
( http: / / www.21cnjy.com )＝( A )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
[解析]
( http: / / www.21cnjy.com )＝
＝＝＝
( http: / / www.21cnjy.com )个．
故选A．
二、填空题
7．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N
,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝ (－1)n＋1 .
[解析] 注意到第n个等式
( http: / / www.21cnjy.com )的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1.
8．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；
……
照此规律，第n个等式可为__(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)__．
[解析] 观察规律，等号左侧第n个
( http: / / www.21cnjy.com )等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
三、解答题
9．(2016·德州高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系.
[解析] 将直角三角形的一条直角边
( http: / / www.21cnjy.com )长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．
证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，
∵AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AE，AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥DE，AO⊥BC．
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AED，
∴BC⊥AE，BC⊥DE.
∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE，
S△BCD＝BC·DE.
在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD．
10．已知等式sin210°＋cos240°
( http: / / www.21cnjy.com )＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.
[解析] 等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.证明如下：
sin2α＋cos2(30
( http: / / www.21cnjy.com )°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题考查了归纳的思想方法．
观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左
( http: / / www.21cnjy.com )端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，
所以当n＝2015时不等式为：
1＋＋＋…＋<.
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边长的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( C )
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(2)(3)
D．都不对
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
二、填空题
3．在以原点为圆心，半径为
( http: / / www.21cnjy.com )r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝__πab__.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为 ·x＋·y＝1 .
[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0
( http: / / www.21cnjy.com )时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
4．(2016·山东文，12)观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
照此规律，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ n(n＋1) .
[解析] 根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．
三、解答题
5．我们知道：
12＝1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
[解析] 我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk
(k∈N
)．
已知
13＝1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝
＝.
6．(2016·隆化县高二检测)在Rt△A
( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.
[解析] 如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD．则＝＋＋.
如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF 平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋
∴＝＋＋，故猜想正确．
C级 能力拔高
(2016·烟台高二检测)已知椭
( http: / / www.21cnjy.com )圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1，写出具有类似的性质，并加以证明.
[解析] 类似的性质为：若M，N是双曲线
( http: / / www.21cnjy.com )－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：设M(m，n)，P(x，y)，
则N(－m，－n)，
因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．第二章
2.1
2.1.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·滨州高二检测
( http: / / www.21cnjy.com ))“三段论”①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是( A )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[解析] 根据三段论的定义，①为大前提，②为小前提，③为结论，故选A．
2．(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( A )
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
[解析] 大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A．
3．(2017·崇仁县校级月考)有个小偷在警
( http: / / www.21cnjy.com )察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在( A )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．以上都不是
[解析] ∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．
4．(2016·大同高二检测)函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数( B )
A．(，)
B．(π，2π)
C．(，)
D．(2π，3π)
[解析] 令y′＝x′cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx>0.
由选项知x>0，sinx<0.∴π5．(2016·三明高二检测)观
( http: / / www.21cnjy.com )察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( D )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[解析] 观察所给例子可看出偶函数求
( http: / / www.21cnjy.com )导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f
′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D．
6．(2016·锦州市高
( http: / / www.21cnjy.com )二检测)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( A )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[解析] ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，
在△ABC中，AB＝AC，(小前提)
∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，
符合三段论推理规则，故选A．
二、填空题
7．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是__log2x－2≥0__.
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
8．以下推理过程省略的大前提为：__若a≥b，则a＋c≥b＋c__.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
三、解答题
9．将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
[解析] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提
菱形是平行四边形小前提
菱形的对角线互相平分结论
(2)一切奇数都不能被2整除大前提
75是奇数小前提
75不能被2整除结论
10．(2016·南京高二检测)设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.
[解析] 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根．(大前提)
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，(小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．(结论)
B级 素养提升
一、选择题
1．下面是一段“三段论”推
( http: / / www.21cnjy.com )理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f
′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f
′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( A )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．结论正确
D．推理形式错误
[解析] ∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f
′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A．
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．
二、填空题
3．“∵α∩β＝l，AB α，A
( http: / / www.21cnjy.com )B⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为__如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面__.
4．(2016·深圳高二检测)已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为 [0，]∪{2} .
[解析] 由2sin2α＋sin2β＝3sinα
得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα
＝－(sinα－)2＋且sinα≥0，sin2α∈[0,1]．
因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，
所以0≤3sinα－2sin2α≤1.
解之得sinα＝1或0≤sinα≤，
令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2.
当0≤sinα≤时，0≤y≤.
所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，]∪{2}．
三、解答题
5．判断下列推理是否正确？为什么？
①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．
[解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．
6．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1.
(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.
[证明] (1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.
(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.
当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.
C级 能力拔高
用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC中，AD，BE是高线，D、E为垂足，M为AB的中点.
求证：ME＝MD．
[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提)
在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提)
∴△ABD为直角三角形．(结论)
同理△ABE也为直角三角形．
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)
M是直角三角形ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)
∴DM＝AB(结论)，同理EM＝AB．
∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)
又∵DM＝AB，EM＝AB(小前提)
∴ME＝MD(结论)．第二章
2.2
2.2.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．设a、b、c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋( C )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
[解析] 假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋>－6，
但(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
2．(2017·淄博高二检测)已知a>b>0，用反证法证明≥(n∈N
)时．假设的内容是( C )
A．＝成立
B．≤成立
C．<成立
D．<且＝成立
[解析] ≥的反面是<.故应选C．
3．(2017·青岛高二检测)有甲
( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．(2017·济南高二检测)设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( B )
A．0
B．
C．
D．1
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，与已知矛盾．
5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0
( http: / / www.21cnjy.com )，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.
6．若m、n∈N
，则“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的( D )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] am＋n＋bm＋n－anbm－
( http: / / www.21cnjy.com )ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0 或，不难看出a>bam＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bmana>b.
二、填空题
7．(2017·大连高二检测)在△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，若AB＝AC，P为△ABC内一点．∠APB>∠APC．求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时，应分：假设__∠BAP＝∠CAP__和__∠BAP>∠CAP__两类.
[解析] 用反证法中对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的反面是∠BAP＝∠CAP和
∠BAP>∠CAP.
8．完成反证法证题的全过程.
题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则__a1－1，a2－2，…，a7－7__均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)__
＝__(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)__
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
[解析] 假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
三、解答题
9．(2016·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
[解析] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
10．(2017·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数.
求证：f(x)＝0无整数根．
[解析] 假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( C )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C．
2．有以下结论：
有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证
( http: / / www.21cnjy.com )方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( D )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误
D．①的假设错误，②的假设正确
[解析] 用反证法证题时一定要将结论的对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确．
二、填空题
3．(2017·福州高二检测)用
( http: / / www.21cnjy.com )反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是 |f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 .
[解析] “|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．
4．(2017·郑州高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>0；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是__③__(填序号).
[解析] 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出，若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且a≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
三、解答题
5.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.
[证明] 假设点M在线段CD
( http: / / www.21cnjy.com )上，则BDAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
6．设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立.
[证明] 假设不存在x∈[－1,1]使|f(x)|≥.
则对于x∈[－1,1]上任意x，都有－1，
f(x)在x∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴ b>－与b<－2矛盾．
∴假设不成立，因此当b<－2时在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立．
C级 能力拔高
已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1).
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] (1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即cn＝·()n－1，
故1－a＝·()n－1 a＝1－·()n－1.
又a1＝>0，anan＋1<0，
故an＝(－1)n－1.
bn＝a－a＝[1－·()n]－[1－·()n－1]＝·()n－1.
(2)用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br
( http: / / www.21cnjy.com )，bs，bt(rbs>bt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
∴2·()s－1＝()r－1＋()t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r1.1
1.1.1
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A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A、B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( B )
A．2
B．2.3
C．2.09
D．2.1
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝＝＝2.3，故应选B．
2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( D )
A．3
B．0.29
C．2.09
D．2.9
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D．
3．一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)＝－x2＋2x，则S(x)从2到2＋Δx的平均速度为( B )
A．2－Δx
B．－2－Δx
C．2＋Δx
D．(Δx)2－2·Δx
[解析] ∵S(2)＝－22＋2×2＝0，
∴S(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴＝－2－Δx，故应选B．
4．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝( B )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2
D．4x
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2·(Δx)2＋4·Δx，所以＝2Δx＋4.
二、填空题
5．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.
[解析] ＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
6．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为 － .
[解析] ＝＝－＝－.
三、解答题
7．已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系s＝2t2＋2t，求：
(1)该质点在前3s内的平均速度；
(2)该质点在2s到3s内的平均速度．
[解析] (1)∵Δs＝s(3)－s(0)＝24，Δt＝3，
∴＝＝8(m/s)．
(2)∵Δs＝s(3)－s(2)＝12，Δt＝1，
∴＝＝12(m/s)．
B级 素养提升
一、选择题
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( B )
A．④
B．③
C．②
D．①
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝
( http: / / www.21cnjy.com )1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．
2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为( C )
A．v2＝v3B．v1C．v1D．v2[解析] ∵v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，
由图象易知kOA∴v1二、填空题
3．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为 －2 .
[解析] ＝＝－2.
4．过曲线f(x)＝的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，当Δx＝时割线的斜率为 － .
[解析] 割线AB的斜率k＝＝
＝＝＝－.
三、解答题
5．比较y＝x3与y＝x2在x＝2均变化率的大小.
[解析] 当自变量x从x＝2变化到x＝2＋Δx时，y＝x3的平均变化率k1＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，
y＝x2的平均变化率k2＝＝Δx＋4，
∵k1－k2＝(Δx)2＋5Δx＋8＝(Δx＋)2＋>0，
∴k1>k2.
∴在x＝2附近y＝x3的平均变化率较大．
6．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围.
[解析] ∵函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均率为＝＝＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．第一章
1.3
1.3.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有( A )
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．
2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( A )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
[解析] f
′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3．(2017·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2,0′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sinx
B．y＝xe2
C．y＝x3－x
D．y＝lnx－x
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．
5．(2017·临沂高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )已知函数y＝f(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )
[解析] 由导函数图象可知函数在[
( http: / / www.21cnjy.com )－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B．
6．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)f(b)>1
[解析] 因为f′(x)＝，
∴当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，因为e所以f(a)>f(b)．选A．
二、填空题
7．(2016·烟台高二检测)函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__(－∞，－1)__.
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为
(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f
′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，0]__.
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f
′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f
′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
三、解答题
9．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，
∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f
′(1)＝8，
又f
′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，
可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f
′(x)＝3x2＋8x－3，
令f
′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f
′(x)<0，可得－3∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．
10．(2017·长沙高二检
( http: / / www.21cnjy.com )测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围.
[解析] ∵f(x)＝(x2－2ax)ex，
∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0，
解x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.f(x)在区间(x1，x2)上单调递减，
∴x2≥1，即a－1＋≥1，
∴a≥.
B级 素养提升
一、选择题
1．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇
( http: / / www.21cnjy.com )函数和偶函数，当x<0时，f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( D )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
[解析] 设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，
∵f
′(x)＝f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.
∴F(x)当x<0时为增函数．
∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．
故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．
已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.
构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．
故选D．
2．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f
′(x)满足f
′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2017)>e2017f(0)
B．f(2)e2017f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2017)[解析] ∵函数F(x)＝的导数
f
′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2017)3．(2016·全国Ⅰ卷文，12)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( C )
A．[－1,1]
B．[－1，]
C．[－，]
D．[－1，－]
[解析] 函数f(x)＝x－sin2x＋
( http: / / www.21cnjy.com )asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f
′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，
则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，
所以，
解得－≤a≤.故选C．
二、填空题
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为__{0}__．
(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为__{a|a<0}__．
[解析] f
′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，
∴－1和1是方程f
′(x)＝0的两根，
∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．
(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减
( http: / / www.21cnjy.com )，∴f
′(x)<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f
′(x)开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，
∴a的取值集合为{a|a<0}．
三、解答题
5．(2017·驻马店高二检测)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x2＋x－1)ex，所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.
又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，
即4ex－y－3e＝0.
(2)f(x)＝(－x2＋x－1)ex，因为f′(x)＝－x(x＋1)ex，令f′(x)<0，
得x<－1或x>0；f′(x)>0
得－1所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0)．
6．(2016·山师附中高二检测)已知函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝alnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直.
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)f
′(x)＝－＋1，
∵f
′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，∵a>0，∴a＝.
(2)f
′(x)＝－＋1
＝＝，
∵当x∈(0，)时，f
′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f
′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．
C级 能力拔高
(2016·广德高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f
′(x)＝2x＋＝，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f
′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时f
′(x)＝.
当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
递增
由表格可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，x∈[1,2]，则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)<0，
∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min＝h(2)＝－，
∴a≤－，故a的取值范围为{a|a≤－}．第一章
1.5
第1课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．和式(yi＋1)可表示为( C )
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[解析] (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C．
2．在求由x＝a、x＝b(a( http: / / www.21cnjy.com )＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( A )
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A．
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( C )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C．
4．在求由函数y＝与直线x＝1、x＝2、y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为( B )
A．[，]
B．[，]
C．[i－1，i]
D．[，]
[解析] 把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B．
5．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( B )
A．·
B．·]
C．
D．·n]
[解析] 将区间[0,2]n等分后每个区间长度为，第i个小区间为[，](i＝1,2,3，…，n)，故应选B．
6．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积是( D )
A．4π
B．
C．3π
D．2π
[解析] 如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积可转化为求由直线y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π围成的矩形面积．
二、填空题
7．直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线
( http: / / www.21cnjy.com )y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__3.92__、__5.52__.
8．已知某物体运动的速度为v＝
( http: / / www.21cnjy.com )t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__55__.
三、解答题
9．求直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积.
[解析] 将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为.
第i个小区间的面积ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝.
S＝Sn＝
＝[(1－)(2－)]＝，
∴所求曲边梯形面积为.
10．一辆汽车在直线形公路上
( http: / / www.21cnjy.com )做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋50(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km).
[解析] (1)分割：在[0,2]上等间隔
( http: / / www.21cnjy.com )插入n－1个点将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝，则汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsn，有sn＝si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)．
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si＝
＝－·－·－…－·＋100
＝－(12＋22＋…＋n2)＋100.
＝－8·＋100.
(4)取极限：
s＝sn＝
＝(km)．
B级 素养提升
一、选择题
1.()·()]的含义可以是( C )
A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
[解析] 将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y＝，
因此()·()]可以表示由直线x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．
2．直线x＝a，x＝b(a0)所围成的曲边梯形的面积S＝( D )
A．(ξ1)·
B．(ξ1)·
C．(ξ1)·
D．·f(ξi)
[解析] ∵△Si＝f(ξi)·
S＝Si＝(ξi)·.
故选D．
二、填空题
3．在求由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx＝，ξi＝，则曲边梯形的面积表达式为 .
4．由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝
( http: / / www.21cnjy.com )所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是 .
[解析] 将区间[1,2]4等分，则Δx＝，每个区间左端点值为1＋＝(i＝1,2,3,4)，所以小矩形的高为f()＝，
∴Sn＝()×＝＝＋＋＋＝.
三、解答题
5．火箭发射后ts的速度为v(t)(单位
( http: / / www.21cnjy.com )：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义？
[解析] 将区间[0,10]
( http: / / www.21cnjy.com )等分成n个小区间，每个小区间长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时段内运动的路程．
从而Sn＝v(t1)·Δt1＋…＋v(ti)·Δt＋…＋v(tn)·Δt≈s(火箭在10s内运行的路程)．
这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)·Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)·Δt式所作的和的实际背景．
当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，sn就无限趋近于火箭在10s内运动行的总路程．
C级 能力拔高
求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
[解析] (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作
( http: / / www.21cnjy.com )x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如右图)，它们的面积记作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si.
(2)近似代替
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f()．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′
＝
＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.
(4)取极限
S＝Sn＝.
∴由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.第一章
1.1
1.1.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．若f(x)＝x3，f
′(x0)＝3，则x0的值为( C )
A．1
B．－1
C．±1
D．3
[解析] ∵f
′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]＝3x＝3，∴x0＝±1.
2．已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则＝( B )
A．f
′(x0)
B．2f
′(x0)
C．－2f
′(x0)
D．0
[解析] 由
＝
＝＋
＝2f
′(x0)．
故选B．
3．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( B )
A．6
B．18
C．54
D．81
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32
＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.
∴＝(18＋3Δt)＝18，故应选B．
4．(2017·郑州高二检测)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f
′
(0)＝( B )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
[解析] ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f
′(0)＝＝＝－1，
∴选B．
二、填空题
5．设函数f(x)＝，则等于 － .
[解析] ＝＝(－)＝－.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是__0__.
[解析] ∵Δy＝－
＝Δx－1＋＝，
∴＝.
∴y′|x＝1＝＝0.
三、解答题
7．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系.
[解析] 设f(－x)＝g(x)，则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是
g′(a)＝
＝
而f
′(－a)＝，令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
∴f
′(－a)＝
＝－
＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
B级 素养提升
一、选择题
1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( C )
A．4＋4t0
B．0
C．8t0＋4
D．4t0＋4t
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
2．已知f(x)＝，且f
′(m)＝－，则m的值等于( D )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
[解析] f
′(x)＝＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
二、填空题
3．已知y＝，则y′|x＝1＝ .
[解析] 由题意知Δy＝－
＝－，
∴＝.
∴y′|x＝1＝
＝
＝.
4．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是__相等__.
[解析] v0＝＝
＝＝＝v.
三、解答题
5．(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值.
[解析] (1)f′(x0)＝
＝
＝
＝(－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0
＝4，
∴x0＝3.
(2)f′(0)＝＝
＝
＝[Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)，
∴f′(0)＝0.第一章
1.7
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A级 基础巩固
一、选择题
1.如图所示，阴影部分的面积是( C )
A．2
B．2－
C．
D．
[解析] S＝(3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C．
2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是( B )
A．31m
B．36m
C．38m
D．40m
[解析] S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B．
3．利用定积分的几何意义，可求得dx＝( B )
A．9π
B．π
C．π
D．π
[解析] 由定积分的几何意义知，dx表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方部分(即半圆)的面积，
∴dx＝×π×32＝.
4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D )
A．2
B．4
C．2
D．4
[解析] 如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
5．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车？( A )
A．405
B．540
C．810
D．945
[解析] 停车时v(t)＝0，则27－0.9
( http: / / www.21cnjy.com )t＝0，∴t＝30s，s＝v(t)dt＝(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|＝405.
6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( D )
A．
B．3－
C．6＋3
D．6－3
[解析] dt＝＝6－3，故应选D．
二、填空题
7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是__18__.
[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则f
′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
8．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是 .
[解析] 解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，
由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)．
由对称性知阴影部分的面积
S＝2·[(x2－x2)dx＋(1－x2)dx]
＝2·[x3|＋(x－x3)|]
＝2×(＋)＝.
解法3：同解法1求得A(1,1)B，(2,1)，C(－1,1)，D(－2，1)．
S＝(1－x2)dx－(1－x2)dx
＝(x－x3)|－(x－x3)|
＝－＝.
解法4:
同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，
由对称性知，S＝2(2－)dy
＝2dy＝2×(y|)＝.
三、解答题
9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积.
[解析] 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
10．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：
(1)在t＝4s的位置；
(2)在t＝4s内运动的路程．
[解析] (1)在时刻t＝4时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＝(m)，
即在t＝4s时刻该质点距出发点m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝
( http: / / www.21cnjy.com )4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＋|(t3－2t2＋3t)||＋(t3－2t2＋3t)|
＝＋＋＝4(m)
即质点在4s内运动的路程为4m.
B级 素养提升
一、选择题
1．若(2x＋)dx＝3＋ln2且a>1，则实数a的值是( A )
A．2
B．3
C．5
D．6
[解析] (2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－(1＋ln1)＝3＋ln2，a>1，
∴a2＋lna＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a＝2，故选A．
2．(2016·济南高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( B )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．1－
C．
D．1－
[解析] 由题意得：S阴＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，由几何概型得所求概率P＝1－＝1－.
二、填空题
3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 .
[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型．联立解得，或者，∴O(0,0)，B(1,1)，
∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.
4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f
′(1)＝__3__.
[解析] ∵切点M在切线y＝x＋2上，
∴f(1)＝×1＋2＝，
又切线斜率k＝，∴f
′(1)＝，
∴f(1)＋f
′(1)＝＋＝3.
三、解答题
5．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f
′(x)＝2ax＋b，∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
(3)依题意，有
S＝(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，
∴t＝1－.
6．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A
( http: / / www.21cnjy.com )(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．
[解析] (1)设点P的横坐标为t(0S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3，
因为S1＝S2，所以t3＝－2t＋t3，解得t＝，
故点P的坐标为(，)．
(2)令S＝S1＋S2，
由(1)知，S＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，则S′＝t2－2，
令S′＝0，得t2－2＝0，因为0又当00；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，此时点P的坐标为(，2)．第一章
1.1
1.1.3
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f
′(1)的值是( D )
A．
B．1
C．
D．2
[解析] ∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又∵f
′(1)＝，
∴f(1)＋2f
′(1)＝1＋2×＝2.故选D．
2．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为( D )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x－8
D．y＝4x或y＝4x－4
[解析] y′＝
＝
＝[(Δx)2＋3xΔx＋3x2＋1]
＝3x2＋1.
由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，
当x＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y＝4(x－1)，
即y＝4x－4.
当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，
即y＝4x.
3．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( D )
A．0
B．2
C．4
D．6
[解析] Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3，＝[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D．
4．(2016·济宁高二检测)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( A )
A．1
B．
C．－
D．－1
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝＝(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．(2017·汉中高二检测)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( B )
A．1
B．
C．
D．－
[解析] ∵y′＝
＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B．
6．设f
′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B．
二、填空题
7．已知f(x)＝x2＋3xf
′(2)，则f
′(2)＝__－2__.
[解析] 由导函数的定义可得f
′(x)＝2x＋3f
′(2)，
∴f
′(2)＝4＋3f
′(2)，∴f
′(2)＝－2.
8．曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__54__.
[解析] 因为f
′(3)＝＝27，
所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
三、解答题
9．求曲线y＝－上一点P处的切线方程.
[解析] ∵y′＝
＝
＝
＝－－.
∴y′|x＝4＝－－＝－，
∴曲线在点P处的切线方程为：
y＋＝－(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
10．已知曲线y＝f(x)＝x＋上一点A(2，)，用导数定义求函数y＝f(x)：
(1)在点A处的切线的斜率；
(2)在点A处的切线方程．
[解析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝2＋Δx＋－(2＋)＝＋Δx，
＝＝＋1，
∴＝[＋1]＝，
故点A处的切线的斜率为.
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
即3x－4y＋4＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·开封高二检测)已知y＝f(x)的图象如图，则f
′(xA)与f
′(xB)的大小关系是( B )
A．f
′(xA)>f
′(xB)
B．f
′(xA)′(xB)
C．f
′(xA)＝f
′(xB)
D．不能确定
[解析] 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f
′(xA)′(xB)，选B．
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( A )
A．[－1，－]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[，1]
[解析] 考查导数的几何意义．
由导数的定义可得y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
二、填空题
3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则＝__－2__.
[解析] 由导数的概念和几何意义知，
＝f
′(1)＝kAB＝＝－2.
4．过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为__x＋y－2＝0__.
[解析] 易知(2,0)不在曲线y＝上，令切点为(x0，y0)，则有y0＝.①
又y′＝＝＝－，
所以y′|x＝x0＝－，
即切线方程为y＝－(x－2)，而＝－②
由①②可得x0＝1，
故切线方程为y＋x－2＝0.
三、解答题
5．(2016·天津联考)设函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f
′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f
′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f
′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
6．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.
[解析] 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
∴k＝f′(x0)＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，解得a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
C级 能力拔高
已知曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ.
[解析] 由得x3－x2＋x－1＝0，
即(x－1)(x2＋1)＝0，解得x＝1，
所以交点P(1,2)．
因为f′(1)＝＝2，
所以其切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
因为g′(1)＝＝4，
所以其切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，
即y＝4x－2.
取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，
则cosθ＝＝＝＝.第一章
1.2
1.2.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝，故选D．
2．下列结论中不正确的是( B )
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5
[解析] ∵()′＝(x－)′＝－x－
∴y′|x＝2＝－.
故B错误．
3．若f(x)＝，则f′(－1)＝( D )
A．0
B．－
C．3
D．
[解析] ∵f(x)＝x，
∴f′(x)＝x－
∴f′(－1)＝(－1)－＝，∴选D．
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( B )
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
[解析] f′(x)＝3x2，
∴3x2＝1，解得x＝±，
故存在两条切线，选B．
5．已知f(x)＝xα，若f
′(－1)＝－2，则α的值等于( A )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
[解析] 若α＝2，则f(x)＝x2，
∴f
′(x)＝2x，∴f
′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A．
6．(2016·长春高二检测)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
A．1
B．－
C．
D．
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，
∵0≤α<π，∴α＝.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝ 1或－ .
[解析] f′(x)＝－，
∴f′(a)＝－，
∴f′(a)－f(a)＝－－，
∴＋＝2，
解a＝1或－.
8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是__(2,8)或(－2，－8)__.
[解析] 设切点坐标为(x0，x)，
因为y′＝3x2，所以切线的
( http: / / www.21cnjy.com )斜率k＝3x，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3x＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率.
[解析] 设被扰动水面的面积为S，时间为t，
依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．
10．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excos
x－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程.
[解析] 因为f(x)＝excos
x－x，
所以f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y
( http: / / www.21cnjy.com )＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D．
2．曲线y＝上的点P(0,0)处的切线方程为( B )
A．y＝－x
B．x＝0
C．y＝0
D．不存在
[解析] ∵y＝，
∴Δy＝－
＝
＝，
∴＝，
∴y′＝＝.
∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，
∴切线方程为x＝0.
二、填空题
3．(2015·全国Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝__1__.
[解析] 因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，
f
′(x)＝3ax2＋1，f
′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)，
解之得a＝1.
4．函数y＝x2(x>0)的图象在点(
( http: / / www.21cnjy.com )ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__21__.
[解析] ∵y′＝2x，∴在点(ak，a
( http: / / www.21cnjy.com ))的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答题
5．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求
(1)曲线在点P处的切线的斜率．
(2)曲线在点P处的切线的方程．
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
[解析] (1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1，
∴y＝.
∴＝＝
＝，
∴＝，
∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝＝1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.
(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O
( http: / / www.21cnjy.com )的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝＝，由于y0＝，∴x0＝，∴切点M(，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－)，即y＝4x.
6．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
[解析] 两曲线方程联立得解得
∴k1＝－|x＝1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，
∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如图所示．
∵两直线与x轴交点分别为(2,0)，(，0)．
∴S＝×1×＝.
C级 能力拔高
求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
[解析] 解法1：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离d＝＝.
解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，
由得x2－x－m＝0.
∵直线l与抛物线y＝x2相切，
∴判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－，
∴直线l的方程为x－y－＝0，
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝＝.
解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|
＝(x－)2＋.
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.第三章
3.2
3.2.1
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A级 基础巩固
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( D )
A．3
B．2
C．1
D．－1
[解析] z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
4．□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
二、填空题
5．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为 或 .
[解析] 方程的实根必然适合方程，设x＝
( http: / / www.21cnjy.com )x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
6．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为 .
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
三、解答题
7．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·福州高二检测)已知复数
( http: / / www.21cnjy.com )z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( C )
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
[解析] 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得 a＝－2.
2．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( D )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
二、填空题
3．(2016·大连高二检测)在平行四边
( http: / / www.21cnjy.com )形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为__－4__.
[解析] 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为 2 .
[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
三、解答题
5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以，解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝.
所以sinB＝.
所以S＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
6．(2016·杭州高二检测)已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值.
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.第一章
1.6
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·景德镇市高二质检)若曲线y＝与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
2.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由得，x＝t，故S＝(t2－x2)dx＋
(x2－t2)dx＝(t2x－x3)|＋(x3－t2x)|
＝t3－t2＋，
令S′＝4t2－2t＝0，∵0易知当t＝时，Smin＝.
3．(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f
′(x)＝2x＋2，则f(－x)dx＝( D )
A．0
B．3
C．－
D．
[解析] ∵f(x)＝xn＋mx的导函数f
′(x)＝2x＋2，
∴nxn－1＋m＝2x＋2，
解得n＝2，m＝2，
∴f(x)＝x2＋2x，
∴f(－x)＝x2－2x，
∴f(－x)dx＝(x2－2x)dx＝(x3－x2)|＝9－9－＋1＝，故选D．
4．函数F(x)＝costdt的导数是( A )
A．f
′(x)＝cosx
B．f
′(x)＝sinx
C．f
′(x)＝－cosx
D．f
′(x)＝－sinx
[解析] F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以f
′(x)＝cosx，故应选A．
5．(2016·昆明高二检测)若直
( http: / / www.21cnjy.com )线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分(x3＋sin
x－5)dx的值为( D )
A．6＋2sin
2
B．－6－2cos
2
C．20
D．－20
[解析] 由l1⊥l2得4－2a＝0即a
( http: / / www.21cnjy.com )＝2，∴原式＝(x3＋sin
x－5)dx＝(x3＋sin
x)dx＋(－5)dx＝0－20＝－20.
6．
( http: / / www.21cnjy.com )dθ的值为( D )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] ∵1－2sin2＝cosθ，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )dθ＝
( http: / / www.21cnjy.com )cosθdθ
＝sinθ
( http: / / www.21cnjy.com )＝，故应选D．
二、填空题
7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为 .
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝ －1或 .
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)(4－2x)(4－x2)dx;
(2)dx.
[解析] (1)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝＝32－16－＋8＝.
(2)dx＝dx
＝＝－3ln2.
10．(2017·泉州模拟)已知f(x)＝(kx＋b)ex且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1).
(1)求k与b的值；
(2)求x·exdx.
[解析] (1)∵f(x)＝(kx＋b)ex，
∴f′(x)＝(kx＋k＋b)ex，
∴f′(1)＝e，f(1)＝0，
即
解得k＝1，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝(x－1)ex，
f′(x)＝xex，
∴(xex)dx＝(x－1)ex|＝0＋1＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·岳阳高二检测)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( B )
A．S1B．S2C．S2D．S3[解析] S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B．
2．定义在R上的可导函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由已知得：f(x0)＝＝＝0，即x－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±，∴f(x)的平均值点有3个，故选C．
二、填空题
3．
( http: / / www.21cnjy.com )(x＋cosx)dx＝__2__.
[解析]
( http: / / www.21cnjy.com )(x＋cosx)dx＝(x2＋sinx)
( http: / / www.21cnjy.com )＝2.
4．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k＝__3__.
[解析] 由解得或
由题意得，(kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3.
三、解答题
5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f
′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值.
[解析] ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①
又∵f
′(x)＝2ax＋b，∴f
′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则f
′(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值.
[解析] 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝(－)|＝－＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的
( http: / / www.21cnjy.com )横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以＝(x－x2－kx)dx＝(x2－)|＝(1－k)3，
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－＝1－.
C级 能力拔高
设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式．
(2)若直线x＝－t(0[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，
所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根．
所以判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意有(x2＋2x＋1)dx
＝(x2＋2x＋1)dx，
所以|＝|
即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t.
所以2t3－6t2＋6t－1＝0，
所以2(t－1)3＝－1，
所以t＝1－.第二章
2.2
2.2.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·三明高二检测)在△ABC中，若sinAsinBA．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
2．(2016·济宁高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了( B )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法
D．演绎法
3．(2016·德州高二检测)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( B )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－1,2)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析] 本题主要考查对不等式解
( http: / / www.21cnjy.com )法，以及对定义运算的理解，由定义得x(x－2)＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2<0，∴－24．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
[解析] ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B．
5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( D )
A．x<B．2xyC．x<<2xyD．x<2xy<[解析] ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( A )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
7．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.
[解析] a＋b>aeq
\r(b)＋b a＋b－a－b>0 a(－)＋b(－)>0 (a－b)(－)>0 (＋)(－)2>0
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是__4__.
[解析] ∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，
由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.
三、解答题
9．已知n∈N
，且n≥2，求证：>－.
[证明] 要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，
求证：＋＞.
[证明] 要证明＋＞，
只需证明＋－＞0即可．
∵＋－＝，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m
( http: / / www.21cnjy.com ))(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2
＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，
∴＋＞.
B级 素养提升
一、选择题
1．要使－<成立，a、b应满足的条件是( D )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析] －< a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
2．(2016·洛阳高二检测)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N
，且对任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是( )个.( A )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] ∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(
( http: / / www.21cnjy.com )m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A．
二、填空题
3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝ － .
[解析] 由题意sinα＋sinβ＝－sinγ①
cosα＋cosβ＝－cosγ②
①，②两边同时平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos(α－β)＝－1，
cos(α－β)＝－.
4．(2016·余姚高二检测)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……
据此规律，第n个等式可为 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ .
[解析] 第一个等式右端是一个数，左
( http: / / www.21cnjy.com )端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n个等式左端的分母从1到2n，右端分母从n＋1到2n；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
三、解答题
5．已知A、B是△ABC的两个内角．向量
( http: / / www.21cnjy.com )m＝(cos)i＋(sin)j，其中i，j为相互垂直的单位向量．若|m|＝，证明：tanA·tanB＝.
[证明] |m|2＝m2＝cos2＋·sin2＝＋·，
由|m|2＝，得cos(A－B)＝cos(A＋B)．
∴4(cosAcosB＋sinAsinB)＝5(cosAcosB－sinAsinB)．
即9sinA·sinB＝cosA·cosB．
又∵A，B是△ABC的内角，
∴cosAcosB≠0，故tanAtanB＝.
6．已知a、b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1[证明] ∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b，
由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2得
(a＋b)2>a＋b，又a＋b>0，∴a＋b>1，
要证a＋b<，即证3(a＋b)<4，
∵a＋b>0，∴只需证明3(a＋b)2<4(a＋b)，
又a＋b＝a2＋ab＋b2，
即证3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，
也就是证明(a－b)2>0.
因为a、b是不等正数，故(a－b)2>0成立．
故a＋b<成立．
综上，得1C级 能力拔高
在某两个正数m，n之间插入一个数x，使m，x，n成等差数列，插入两个数y，z，使m，y，z，n成等比数列.
求证：(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．
[证明] 由已知可得，
所以m＝，n＝，即m＋n＝＋，
从而2x＝＋.
要证(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)，
只需证x＋1≥成立．
要证x＋1≥成立，
只需证x＋1≥即可．
也就是证2x≥y＋z，
而2x＝＋，
则只需证＋≥y＋z成立即可．
即y3＋z3≥yz(y＋z)，
只需证y2－yz＋z2≥yz，
即证(y－z)2≥0成立，
由于(y－z)2≥0显然成立，
所以(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．第二章
2.3
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A级 基础巩固
一、选择题
1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )
A．必须运用假设
B．n可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[解析] 由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
2．用数学归纳法证明12＋3
( http: / / www.21cnjy.com )2＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为( D )
A．(2k)2
B．(2k＋3)2
C．(2k＋2)2
D．(2k＋1)2
[解析] 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)的过程中，
第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，
那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2，
等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D．
3．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( D )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] n＝1的验证及归纳假
( http: / / www.21cnjy.com )设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．
4．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( C )
A．假设n＝k(k∈N
)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C．
5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( C )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋
( http: / / www.21cnjy.com )1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C．
6．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝( D )
A．26
B．27
C．28
D．29
[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.
二、填空题
7．(2017·无锡期末)一个与自然数有
( http: / / www.21cnjy.com )关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，(否则n＝11也成立)．
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．所以③正确．
故答案为③.
8．(2016·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第n个等式为__n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2__.
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
[解析] 将原等式变形如下：
1＝1＝12
2＋3＋4＝9＝32
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72
…
由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第
( http: / / www.21cnjy.com )一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，
故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
三、解答题
9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N
).
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析] 由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥4，k∈N
)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
10．(2017·汉阳期中)已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．
[解析] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N
)
(2)下面用数学归纳法证明
，fn(x)＝(n∈N
)
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N
)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N
都成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想( D )
A．n≥1时，2n>n2
B．n≥3时，2n>n2
C．n≥4时，2n>n2
D．n≥5时，2n>n2
[解析] 当n＝1时，21>12，即2n>n2；
当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；
当n＝3时，23<32，即2n当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；
当n＝5时，25>52，即2n>n2；
当n＝6时，26>62，即2n>n2；
…
猜想当n≥5时，2n>n2；
下面我们用数学归纳法证明猜测成立，
(1)当n＝5时，由以上可知猜想成立，
(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2k>k2，
当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，命题成立，
由(1)和(2)可得n≥5时，2n>n2；
故当n＝2或4时，2n＝n2；n＝3时，2nn2.故选D．
2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( A )
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增
( http: / / www.21cnjy.com )加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
二、填空题
3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N
)”时，第一步的验证为__当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N
，∴第一步的验证为n＝1的情形．
4．对任意n∈N
,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝__5__.
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
三、解答题
5．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条
( http: / / www.21cnjy.com )直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
6．(1)用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N
)．
(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N
)．
[解析] (1)①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n∈N
等式成立．
(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－2
( http: / / www.21cnjy.com )2＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N
都成立．
C级 能力拔高
已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项的和S10＝185，
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；
(3)设Bn＝n(5＋3an)，试比较An和Bn的大小，并说明理由．
[解析] (1)设公差为d，由题意得，
解得
∴an＝5＋3×(n－1)＝3n＋2.
(2)设新数列为{bn}，∴bn＝a2n＝3×2n＋2.
∴An＝3×(2＋22＋23＋…＋2n)＋2n
＝3×2n＋1＋2n－6.
(3)∵Bn＝n(9n＋11)＝9n2＋11n，
∴A1＝3×4－4－8，A2＝3×8－2＝22，A3＝3×16＝48，
A4＝3×32＋2＝98，A5＝3×64＋4＝196，A6＝3×128＋6＝390，A7＝3×256＋8＝776，……
而B1＝20，B2＝58，B3＝114，B4＝188，B5＝280，B6＝390，B7＝518，……
①当n＝1,2,3,4,5时，Bn>An；
②当n＝6时，B6＝A6；
③当n≥7，且n∈N
时，
猜想An>Bn，用数学归纳法证明：
当n＝7时，A7＝776>518＝B7，结论正确；
假设当n＝k(k≥7)时，Ak>Bk，
即3×2k＋1＋2k－6>9k2＋11k 2k＋1>3k2＋3k＋2，
∴n＝k＋1时，
Ak＋1－Bk＋1＝[3×2k＋2＋2(k
( http: / / www.21cnjy.com )＋1)－6]－[9(k＋1)2＋11(k＋1)]＝6×2k＋1－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋6×(3k2＋3k＋2)－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋9k2－9k－12>9k2－9k－12＝9k(k－1)－12≥9×7×(7－1)－12>0，
∴Ak＋1>Bk＋1，即n＝k＋1时，结论也正确．
综上知，当n≥7，且n∈N
时，有An>Bn.第三章
3.2
3.2.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．(2017·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( A )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．
3．(2016·全国卷Ⅲ理，2)若z＝1＋2i，则＝( C )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[解析] ＝＝i.
4．(2016·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( C )
A．6z
B．6z2
C．6
D．－6z
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
5．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是__2－i__.
[解析] 不妨设正方形的三个顶点A，B，C对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，
则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)，易知·＝0，
设D(x，y)，则AB∥DC，
因此应满足＝，即(－3，－1)＝(－1－x，－2－y)
即解得
则D(2，－1)，对应的复数为2－i，
故答案为2－i.
6．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝ .
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
三、解答题
7．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝( D )
A．1
B．－1
C．＋i
D．－i
[解析] |z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i.
2．(2016·西宁高二检测)复数为纯虚数，则实数a＝( D )
A．－2
B．－
C．2
D．
[解析] 因为复数＝＝为纯虚数，所以2a－1＝0,2＋a≠0.解得a＝.
二、填空题
3．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是__－2__.
[解析] (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.
4．(2016·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__1__.
[解析] 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.
三、解答题
5．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是[－，]．
(2)ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈[－，]，b≠0.所以ω为纯虚数．
6．(2016·潍坊高二检测)已知z为虚数，z＋为实数.
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z.
(2)求|z－4|的取值范围．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2
( http: / / www.21cnjy.com )＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋(y－)i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋[y－]i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，
所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|
＝
＝
＝∈(1,5)．第三章
3.1
3.1.1
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A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2
B．1
C．2
D．1或－2
[解析] 由题意知：
解得a＝－2，故选A．
2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
[解析] 由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i
∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
故选A．
3．(2016·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] a＋＝a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．(2017·潍坊高二检测)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( B )
A．－2
B．3
C．－3
D．±3
[解析] 由题知
解得m＝3.故选B．
5．(2017·上海高二检测)设x，y均
( http: / / www.21cnjy.com )是实数，i是虚数单位，复数(x－2y)＋(5－2x－y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )
[解析] 由题可知，可行域如A所示，故选A．
6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( D )
A．kπ(k∈Z)
B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝ ，y＝__1__.
[解析] 由复数相等可知，
∴
8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝__2__.
[解析] 方程可化为
解得x＝2.
三、解答题
9．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值.
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.
10．(2017·会宁期中)设复
( http: / / www.21cnjy.com )数z＝(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限.
[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由 ，得m＝3.
(2)当复数对应的点在第二象限时，
由 ，
得－1＜m＜3.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z1＝m＋(4
( http: / / www.21cnjy.com )－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( D )
A．－7≤λ≤
B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1
D．－≤λ≤7
[解析] 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ
＝4(sinθ－)2－.
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7.
2．(2016·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－)的值为( A )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
[解析] 因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即
因为sinθ＝且cosθ≠，
所以cosθ＝－，所以tanθ＝－，
所以tan(θ－)＝＝＝－7.
二、填空题
3．(2016·淄博高二检测)设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__3__.
[解析] 由题意得
解得m＝3.
4．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__.
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4.
三、解答题
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
[解析] 由题意，得
∴
∴当m＝3时，原不等式成立．
6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值.
[解析] 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2.
C级 能力拔高
已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围.
[解析] 若z总是虚数，则对任意的A，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，则只需k不在的值域内即可．
解法一：＝＝tan，
其中A∈(0，π)．
∵当∈(0，)时，tan∈(0，＋∞)，
∴的值域为(0，＋∞)．
∴当k≤0时，≠k恒成立，即当k≤0时，不论A为何值，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，z总是虚数．
解法二：∵＝－，
而表示点(cosA，sinA)与点(1,0)连线的斜率，
又(cosA，sinA)，A∈(0，π)在除去端点的半圆上，如图所示，
利用数形结合，有∈(－∞，0)，
∴∈(0，＋∞)．
以下同解法一．第一章
1.3
1.3.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[解析] 根据导数的性质可知，若
( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f
′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f
′(x)＝3x2，则f
′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B．
2．函数y＝2x3－6x2－18x＋7( A )
A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47
B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47
C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47
D．以上都不对
[解析] y′＝6x2－12x－18，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17，当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
3．函数y＝x4－x3的极值点的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
?
无极值
?
极小值
?
故选B．
4．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( A )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
[解析] ∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴或∴ad＝2.
5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( C )
A．－1B．－3C．a<－3或a>6
D．a<－1或a>2
[解析] f
′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，
∴f
′(x)＝0有两不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
6．(2016·福州高二检测)函数f(x)＝x＋的极值情况是( D )
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2，当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[解析] 函数定义域为{x|x≠0}，
∵f′(x)＝1－，
令f′(x)＝0，解x＝±1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(
( http: / / www.21cnjy.com )1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，当x＝－1时，极大值为－2，当x＝1时，极小值为2.选D．
二、填空题
7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为 y＝－ .
[解析] y＝f(x)＝xex f
′(x)＝(1＋x)ex，令f
′(x)＝0 x＝－1，此时f(－1)＝－，
函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
8．若函数f(x)＝x3－2mx2＋m2x在x＝1处取得极小值，则实数m＝__1__.
[解析] ∵f
′(x)＝(3x－m)(x－m)
由题意得：f
′(1)＝(3－m)(1－m)＝0
∴m＝3或m＝1.
经检验知，当m＝3时，在x＝1处取得极大值．
当m＝1时，在x＝1处取得极小值．∴m＝1.
三、解答题
9．若a≠0，试求函数f(x)＝－ax3－x2＋a2x2＋2ax的单调区间与极值.
[解析] ∵f(x)＝－ax3－x2＋a2x2＋2ax，
∴f
′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a
＝－2(ax2＋x－a2x－a)
＝－2(x－a)(ax＋1)．
令f
′(x)＝0，可得x＝－或x＝a.
若a>0，当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，a)
a
(a，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
极大值
单调递减?
所以f(x)在区间(－∞，－)，(a，＋∞)内为减函数，在区间(－，a)内为增函数．函数f(x)在x＝－处取得极小值f(－)＝－1－，在x＝a处取得极大值f(a)＝a2＋a4.
若a<0，当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，－)
－
(－，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)在区间(－∞，a)，(
( http: / / www.21cnjy.com )－，＋∞)内为增函数，在区间(a，－)内为减函数．函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)＝a2＋，在x＝－处取得极小值f(－)＝－1－.
10．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R).
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围．
[解析] (1)当b＝4时，f(x)＝(x＋2)2的定义域为(－∞，)，f
′(x)＝，
由f
′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
当x∈(－∞，－2)时，f
′(x)<
( http: / / www.21cnjy.com )0，f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.
(2)f
′(x)＝，因为当x∈(0，)时，<0，
依题意当x∈(0，)时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.
所以b的取值范围为(－∞，]．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·日照高二检测)已
( http: / / www.21cnjy.com )知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] f
′(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )2exsinx，令f
′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π′(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2013π)，∴0<(2k＋1)π<2013π，∴0≤k<1006，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f
( http: / / www.21cnjy.com )(3π)＋f(5π)＋…＋f(2011π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2011π＝＝，故选B．
2．对于三次函数f(x)＝ax3
( http: / / www.21cnjy.com )＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f
′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f
′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋…＋g()＝( B )
A．2015
B．2016
C．2017
D．2018
[解析] 函数的导数g′(x)＝x2－x＋3，
g″(x)＝2x－1，
由g″(x0)＝0得2x0－1＝0，解得x0＝，而g()＝1，
故函数g(x)关于点(，1)对称，
∴g(x)＋g(1－x)＝2，
故设g()＋g()＋…＋g()＝m，
则g()＋g()＋…＋g()＝m，
两式相加得2×2016＝2m，则m＝2016.故选B．
二、填空题
3．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝__－3__，b＝__－9__.
[解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有∴
经检验a＝－3，b＝－9符合题意．
4．(2016·郑州市质量检测)
( http: / / www.21cnjy.com )已知偶函数y＝f(x)，对于任意的x∈满足f
′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f
′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有__②③④__.
①f②f>f
③f(0)④f[解析] 令g(x)＝，由已知得g′(x)＝>0，∴g(x)＝在上单调递增，故得g>g，g(0)即f>f，f(0)∴f>f，f>f，①错误，②正确；③正确；又g∴f三、解答题
5．(2015·北京文，19)设函数f(x)＝－kln
x，k＞0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[解析] (1)由f(x)＝－kln
x，(k＞0)得，
f
′(x)＝x－＝.
由f
′(x)＝0解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f
′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，
且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(
1，]上仅有一个零点.
6．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f
′(x)＝x－＝，
令f
′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f
′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f
′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则f
′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
当x>1时，f
′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．
C级 能力拔高
设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x,
f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
由题意可知当x∈(－∞，
( http: / / www.21cnjy.com )＋∞)时，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1当x>2时，f′(x)>0，
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根，
解得a<2或a>.第一章
1.2
1.2.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是( A )
A．y＝x＋1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x＋1
[解析] ∵y＝ln(x＋2)，∴y′＝，
∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝1，
∴切线方程为y－0＝1×(x＋1)，即y＝x＋1.
3．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( B )
A．
B．
C．
D．1
[解析] 对y＝xn＋1(n∈N
)求导得
( http: / / www.21cnjy.com )y′＝(n＋1)xn，令x＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝.
则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B．
4．(2016·泉州高二检测)若f(x)＝sin－cosx，则f
′(α)等于( A )
A．sinα
B．cosα
C．sin＋cosα
D．cos＋sinα
[解析] ∵f(x)＝sin－cosx，
∴f
′(x)＝sinx，
∴f
′(α)＝sinα，故选A．
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f
′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N
)的前n项和是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f
′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{}(n∈N
)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝，故选A．
6．(2016·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f
′(x)的图象大致形状是( B )
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋
( http: / / www.21cnjy.com )c(a<0，且c>0)，于是f
′(x)＝2ax，显然f
′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B．
二、填空题
7．(2016·衡水中学高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝__－7__.
[解析] 由题意得f(1)＝－2 a－2b＝－3，
又∵f
′(x)＝3x2＋a，∴f
′(1)＝3＋a，
∴f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，
∴＝ a＝－，∴b＝，
∴3a＋2b＝－7.
8．(2016·全国卷Ⅲ文，16
( http: / / www.21cnjy.com ))已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__y＝2x__.
[解析] 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时，
f
′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f
′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋
.
[解析] (1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－＝－.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，
∴y′＝－sinx.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式.
[解析] 由于(－1，f(－1))在切线上，
∴－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2.∵f′(x)＝，
∴
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
故f(x)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数为f
′(x)，且满足f(x)＝2xf
′(e)＋lnx，则f
′(e)＝( C )
A．e－1
B．－1
C．－e－1
D．－e
[解析] ∵f(x)＝2xf
′(e)＋lnx，
∴f
′(x)＝2f
′(e)＋，
∴f
′(e)＝2f
′(e)＋，解得f
′(e)＝－，故选C．
2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( A )
A．
B．π2
C．2π2
D．(2＋π)2
[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为.
二、填空题
3．(2016·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f
′(x)是奇函数，则φ＝ .
[解析] f
′(x)＝－sin(x＋φ)，
f(x)＋f
′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f(x)＋f
′(x)为奇函数，则f(0)＋f
′(0)＝0，
即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
4．(2015·陕西理，15)设曲线
( http: / / www.21cnjy.com )y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.
[解析] 设f(x)＝ex，则f
′(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝ex，所以f
′(0)＝1，因此曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1；设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝－，由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1，所以P(1,1)．故本题正确答案为(1,1)．
三、解答题
5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式.
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f
′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f
′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值.
[解析] f
′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f
′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，即b≥1，则f
′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f
′(x)min＝f
′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3′(x)min＝f
′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f
′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f
′(x)min＝f
′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
C级 能力拔高
(2016·德州模拟)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)f′(x)＝a＋，又根据切线方程可知x＝2时，y＝，y′＝，
则有，解.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.第一章
1.5
第2课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知
f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于( C )
A．6
B．6(b－a)
C．36
D．不确定
[解析] 6f(x)dx＝6
f(x)dx＝36.故应选C．
2．设f(x)＝则f(x)dx的值是( D )
A．x2dx
B．2xdx
C．x2dx＋2xdx
D．2xdx＋x2dx
[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在
( http: / / www.21cnjy.com )区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D．
3．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( C )
A．2
B．－3
C．－1
D．4
[解析] [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
4．(2016·临沂高二检测)设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系为( B )
A．c>a>b
B．a>b>c
C．a＝b>c
D．a>c>b
5．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则f(x)dx的值( A )
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．不确定
[解析] ∵f(x)为奇函数，由定积分性质知，f(x)dx＝0，选A．
6．(2016·西安高二检测)下列定积分的值等于1的是( D )
A．xdx
B．(x＋1)dx
C．dx
D．1dx
二、填空题
7．由y＝sinx、x＝0、x＝、y＝0所围成的图形的面积可以写成
( http: / / www.21cnjy.com )sinxdx .
[解析] 由定积分的几何意义可得．
8.(2x－4)dx＝__12__.
[解析] 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，
S△AOM＝×2×4＝4，
S△MBC＝×4×8＝16，
∴(2x－4)dx＝16－4＝12.
三、解答题
9．利用定积分的几何意义，解释下列等式.
(1)2xdx＝1；(2)dx＝.
[解析] (1)2xdx表示由直线y＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.
(2)dx表示由曲线y＝，直线x＝－
( http: / / www.21cnjy.com )1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，故dx＝.
10．(2016·青岛高二检测)利用定积分的几何意义求
( http: / / www.21cnjy.com )dx.
[解析] 由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图形为半圆，故
( http: / / www.21cnjy.com )dx为圆心角120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝××12－×1×1×sinπ＝－
S矩形ABCD＝AB·BC＝2××＝.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )dx＝＋.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题不正确的是( D )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
[解析] 本题考查定积分的
( http: / / www.21cnjy.com )几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
2．(2016·威海高二检测)已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝( D )
A．1
B．－2
C．－2或4
D．4
[解析] 作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D．
二、填空题
3．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为 f(x)＝x＋ .
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b＝4.
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1.
解方程组得
∴f(x)＝x＋.
4．比较大小：exdx__>__xdx.
[解析]
exdx－xdx＝(ex－x)dx，
令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，则f
′(x)＝ex－1≤0，
∴f(x)在[－2,0]上为减函数，
又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，
由定积分的几何意义又知f(x)dx>0，则由定积分的性质知，exdx>xdx.
三、解答题
5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分.
[解析] 由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cosxdx＝0，由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4.
6．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，
求：(1)3x3dx；
(2)6x2dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
[解析] (1)3x3dx＝3x3dx
＝3(x3dx＋x3dx)
＝3×(＋)＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6(x2dx＋x2dx)
＝6×(＋)＝126.
(3)(3x2－2x3)dx
＝3x2dx－2x3dx
＝3x2dx－2x3dx
＝3×－2×＝－.
C级 能力拔高
画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积.
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.
(2)y＝x，y＝0，x＝，x＝3.
[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S，则S＝|sinx|dx
或S＝sinxdx＋(－sinx)dx
＝sinxdx－sinxdx.
(2)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S.则S＝
( http: / / www.21cnjy.com )xdx－xdx.第一章
1.4
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2017·杭州高二检测)炼油厂某
( http: / / www.21cnjy.com )分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )
A．8
B．
C．－1
D．－8
[解析] 瞬时变化率即为f
′(x)＝x2－2x为二次函数，且f
′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f
′(x)min＝－1.
2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20
cm，要使其体积最大，则高为( D )
A．
cm
B．cm
C．cm
D．cm
[解析] 设圆锥的高为x
( http: / / www.21cnjy.com )
cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当3．把长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( D )
A．cm2
B．4
cm2
C．3cm2
D．2cm2
[解析] 设一个三角形的边长为xcm，
( http: / / www.21cnjy.com )则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.令S′＝x－2＝0则x＝2，所以Smin＝2.
4．(2017·泰安高二检测
( http: / / www.21cnjy.com ))已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t(秒)的函数关系是α＝t2(t≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为( B )
A．20π弧度/秒
B．10π弧度/秒
C．8π弧度/秒
D．5π弧度/秒
[解析] α′＝，
∴车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：×1.6＝10π.
故选B．
5．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( A )
A．()3π
B．()3π
C．()3π
D．()3π
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3(0令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π.
6．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3︰4，那么容器容积最大时，高为( A )
A．0.5m
B．1m
C．0.8m
D．1.5m
[解析] 设容器底面相邻
( http: / / www.21cnjy.com )两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
二、填空题
7．某厂生产某种产品x件
( http: / / www.21cnjy.com )的总成本：C(x)＝1
200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__25__件.
[解析] 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为__1︰1__.
[解析] 设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，
∴L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，x∈时，L′>0，∴当x＝时，L取最小值，此时＝＝－＝－＝1.
三、解答题
9．(2016·成都高二检测)成都某景区为提
( http: / / www.21cnjy.com )高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析] (1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
10．如图所示，设铁路AB＝50，B，
( http: / / www.21cnjy.com )C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？
[解析] 设MB＝x，于是AM上的运费为2(
( http: / / www.21cnjy.com )50－x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋，令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当0≤x<时，p′(x)<0；当0，
所以当x＝时，取得最小值．
即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·长沙高二检测)若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( A )
A．2πR2
B．πR2
C．4πR2
D．πR2
2．(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( C )
A．
B．
C．
D．2
[解析] 设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝＋2hx，
∴2h＝－x.
则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋.
令l′＝＋2－＝0，
解S＝或－(舍)
因为函数只有一个极值点，所以x＝为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故C．
二、填空题
3．(2016·沈阳高二检
( http: / / www.21cnjy.com )测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__.
[解析] 用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.
∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)
y′＝0.096x－3kx2＝3kx(0.032－x)
令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)
当00，
当0.032∴当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．
4．(2016·东营高二检
( http: / / www.21cnjy.com )测)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__160__(单位：元).
三、解答题
5．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，
( http: / / www.21cnjy.com )它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折
( http: / / www.21cnjy.com )合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
[解析] (1)因为x＝4时，y＝21，
代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)[＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2从而f
′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f
′(x)＝0，得x＝，且在(0，)上，f
′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f
′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
6．甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速
( http: / / www.21cnjy.com )行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000 (0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，
∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元．
C级 能力拔高
现要对某一景点进行改造升级，提高旅游
( http: / / www.21cnjy.com )增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝x－ax2－ln，∈[t，＋∞)，其中t为大于的常数．当x＝10时，y＝9.2.
(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；
(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．
[解析] (1)∵当x＝10时，y＝9.2，
即×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝.
∴f(x)＝x－－ln.
∵≥t，且t>，∴6即投入x的取值范围是(6，]．
(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－－
＝－＝－.
令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．
当x∈(6,50)时，f′(x)>0，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，f′(x)<0，因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．
∴x＝50为极大值点．
当≥50，即t∈(，]时，投入50万元改造时取得最大增加值；
当6<<50，即t∈(，＋∞)时，投入万元改造时取得最大增加值．第三章
3.1
3.1.2
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A级 基础巩固
一、选择题
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．
2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝sin2＋icos2对应的点为(sin2，cos2)
∵sin2>0，cos2<0，故对应点位于第四象限．
3．(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝cosθ＋isinθ对应点在第二象限，，∴θ为第二象限角，故选B．
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( D )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
[解析] 由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D．
5．(2016·烟台高二检测)过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( D )
A．
B．－
C．
D．
[解析] －i在复平面对应的点为(，－1)，
∴倾斜角的斜率为k＝－，∴倾斜角为－或π.
又∵倾斜角范围为[0，π]，∴倾斜角为
π，故选D．
6．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1
B．
C．
D．2
[解析] 因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B．
二、填空题
7．(湖北高考)i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__－2＋3i__.
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．
∴z2＝－2＋3i.
8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__5__.
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋a
( http: / / www.21cnjy.com )i在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.
三、解答题
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
10．(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值.
[解析] 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
B级 素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( C )
A．－1
B．4
C．－1和4
D．－1和6
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．下列命题中，假命题是( D )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0 |z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
二、填空题
3．已知复数z1＝－1＋2i、z
( http: / / www.21cnjy.com )2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若＝x＋y(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.
[解析] 由复数的几何意义可知，
＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5.
4．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为 .
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
5．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值.
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－，m)．
又a，b的夹角为60°，所以cos60°
＝，
即＝，解得m＝±.
6．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知∴①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
C级 能力拔高
已知z∈C，|z－2i|＝，当z取何值时，|z＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值.
[解析] 解法一：如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )|z－2i|＝在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，为半径的圆．|z＋2－4i|＝|z－(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M，N，使得M或N到定点P(－2,4)的距离最大或最小．显然过P与圆心连线交圆于M，N两点，则M，N即为所求．不难求得M(1,1)，N(－1,3)，即当z＝1＋i时，|z＋2－4i|有最大值，为3；当z＝1＋3i时，|z＋2－4i|有最小值，为.
解法二：如图所示，设ω＝z＋2－4i，则
( http: / / www.21cnjy.com )z＝ω－2＋4i，代入|z－2i|＝得|ω－2＋2i|＝，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为3；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为.