【人教A版】2017-2018学年高中数学选修2-3练习（打包23份，含答案）

综合学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为(　C　)
A．9.2　　　　　　　　
B．9.8
C．9.5
D．10
[解析]　∵＝(4＋6＋8＋10)＝7；＝(3＋5＋6＋8)＝5.5，
∴样本的中心点坐标为(7,5.5)，
代入回归方程得：5.5＝×7＋，
∴＝－0.1.
∴＝0.8x－0.1，
当x＝12时，＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C．
2．(2016·四川理，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　A　)
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
D．20ix4
[解析]　(x＋i)6的展开式
( http: / / www.21cnjy.com )的通项为Tr＋1＝Cx6－rir(r＝0,1,2，…，6)，令r＝2，得含x4的项为Cx4i2＝－15x4，故选A．
3．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率(　C　)
A．(2,4]
B．(0,2]
C．[－2,0)
D．(－4,4]
[解析]　此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．
4．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B的值为(　A　)
A．128
B．129
C．47
D．0
[解析]　A－B＝37－C·36＋C·35－C·34＋C·33－C·32＋C·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．
5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是(　D　)
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
[解析]　由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.
6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　D　)
A．24
B．48
C．60
D．72
[解析]　由题意，可知个位可以从1,3
( http: / / www.21cnjy.com ),5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D．
7．某班班会准备从甲、乙等7名学
( http: / / www.21cnjy.com )生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为(　C　)
A．360
B．520
C．600
D．720
[解析]　当甲、乙两人中只有一人参加时，有C·C·A＝480种方法；
当甲、乙两人都参加时，有C·C(A－AA)＝120种方法．
由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C．
8．某班举行了一次“心有灵
( http: / / www.21cnjy.com )犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为(　A　)
A．0.9
B．0.8
C．1.2
D．1.1
[解析]　X的取值为0、1、2，
P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
9．(2016·长沙二模)二项式(x－)6的展开式中常数项为(　B　)
A．－15
B．15
C．－20
D．20
[解析]　二项式(x－)6的展开式的通
( http: / / www.21cnjy.com )项是Tr＋1＝C·x6－r·(－)r＝C·(－1)r·x6－r，令6－r＝0，得r＝4.因此，二项式(x－)6的展开式中的常数项是C·(－1)4＝15，故选B．
10．某中学拟从4个重点研究性课题和6
( http: / / www.21cnjy.com )个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为(　C　)
A．50000
B．52000
C．54000
D．56000
[解析]　A、B均未被选中的种数有CC＝30，∴k＝CC－30＝60.
在(1＋60x2)6展开式中，Tr＋1＝C(60x2)r，令r＝2，得T3＝C602x4＝54000x4.故选C．
11．盒子中装有形状、大小完全相同的
( http: / / www.21cnjy.com )3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　每次取到红球的概率为，所求概率为C×××＝.故选B．
12．已知0( http: / / www.21cnjy.com )ogax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1等于(　B　)
A．－10
B．9
C．11
D．－12
[解析]　作出y＝a|x|(0
( http: / / www.21cnjy.com )二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．某校1000名学生的某次数学
( http: / / www.21cnjy.com )考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是__682__.
[解析]　由题图知X～N(μ，σ2)，
其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ∴人数为0.6826×1000≈682.
14．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.1，则D(X)＝__0.49__.
X
0
1
x
P
p
[解析]　p＝1－＝，E(X)＝1.1＝0×＋1×＋x，解得x＝2，所以D(X)＝×(0－1.1)2＋×(1－1.1)2＋×(2－1.1)2＝0.49.
15．(2016·临沂高二检测)如
( http: / / www.21cnjy.com )图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝　　.
[解析]　由已知X的取值为7,8,9,10.
∵P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，
P(X＝10)＝＝.
∴X的概率分布列为：
X
7
8
9
10
P
∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)
＝＋＋＝.
16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上
( http: / / www.21cnjy.com )由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N
)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝　C　.
[解析]　从原点O出发，只能向上或
( http: / / www.21cnjy.com )向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C.
(例如f(3,4)＝C其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．)
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)
(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？
(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？
(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
[解析]　(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A·A种不同排法．
(2)解法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A种排法，若甲不在末位，则甲有A种排法，乙有A种排法，其余有A种排法，
综上共有(A＋AA·A)种排法．
解法二：甲在首位的共有A种，乙在末位的共有A种，甲在首位且乙在末位的有A种，因此共有(A－2A＋A)种排法．
(3)10人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有种．
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A种排法．
18．(本题满分12分)已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中所有整式项．
[解析]　(1)Tr＋1＝C·()n－r·()r·(－1)r，
∴前三项系数的绝对值分别为C，C，C，
由题意知C＝C＋C，
∴n＝1＋n(n－1)，n∈N
，
解得n＝8或n＝1(舍去)，
∴Tk＋1＝C·()8－k·(－)k
＝C·(－)k·x4－k,0≤k≤8，
令4－k＝0得k＝4，
∴展开式中的常数项为T5＝C(－)4＝.
(2)要使Tk＋1为整式项，需4－k为非负数，且0≤k≤8，∴k＝0,1,2,3,4.
∴展开式中的整式项为：x4，－4x3,7x2，－7x，.
19．(本题满分12分)假设
( http: / / www.21cnjy.com )每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有
P(μ－σP(μ－2σ(2)某客运公司用A、B两种型号的
( http: / / www.21cnjy.com )车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
[解析]　(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P(700由正态分布的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＝＋P(700(2)设A型、B型车辆的数量分别为x、y辆
( http: / / www.21cnjy.com )，则相应的营运成本为1600x＋2400y依题意，x、y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
20．(本题满分12分)
( http: / / www.21cnjy.com )(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中wi＝，＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
[解析]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)
令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)(ⅰ)由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝0.2×576.6－49＝66.32.
(ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽
( http: / / www.21cnjy.com )奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解析]　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝2)＝×(1－)＝，
P(X＝3)＝(1－)×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1、X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
22．(本题满分12分)(2017
( http: / / www.21cnjy.com )·全国卷Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了
( http: / / www.21cnjy.com )尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在第一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2
( http: / / www.21cnjy.com ))，则P(μ－3σ4,0.997
416≈0.959
2，≈0.09.
[解析]　(1)解：抽取的一个零件的尺寸在
( http: / / www.21cnjy.com )(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997
4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002
6，故X～B(16,0.002
6)．
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997
416≈0.040
8.
X的数学期望EX＝16×0.002
6＝0.041
6.
(2)解：①如果生产状态正常，一
( http: / / www.21cnjy.com )个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002
6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040
8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估
( http: / / www.21cnjy.com )计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检测，剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.
因此μ的估计值为10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1
591.134，
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1
591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09.3.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为(　A　)
A．＝0.4x＋2.3
B．＝2x－2.4
C．＝－2x＋9.5
D．＝－0.3x＋4.4
[解析]　因为变量x和y正相关，所以回归直线的斜率为正，排除C、D；又将点(3,3.5)代入选项A和B的方程中检验排除B，所以选A．
2．由变量x与y相对应的一组数据
( http: / / www.21cnjy.com )(1，y1)、(5，y2)、(7，y3)、(13，y4)、(19，y5)得到的线性回归方程为＝2x＋45，则＝(　D　)
A．135　　　
B．90　　
　
C．67　　
　
D．63
[解析]　∵＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，
∴＝2×9＋45＝63，故选D．
3．(2016·淄博高二检测)观测两个相关变量，得到如下数据：
x
－1
－2
－3
－4
－5
5
4
3
2
1
y
－0.9
－2
－3.1
－3.9
－5.1
5
4.1
2.9
2.1
0.9
则两变量之间的线性回归方程为(　B　)
A．＝0.5x－1
B．＝x
C．＝2x＋0.3
D．＝x＋1
[解析]　因为＝0，
＝＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(，)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B．
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的
( http: / / www.21cnjy.com )身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(　C　)
A．身高一定是145.83cm
B．身高在145.83cm以上
C．身高在145.83cm左右
D．身高在145.83cm以下
[解析]　将x的值代入回归方程＝7.19x＋73.93时，得到的值是年龄为x时，身高的估计值，故选C．
5．(2016·天津高二检测)某
( http: / / www.21cnjy.com )咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4℃时，预测销售量约为(　A　)
A．68
B．66
C．72
D．70
[解析]　∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，
∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，
当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
6．设某大学的女生体重y(
( http: / / www.21cnjy.com )单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　D　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
[解析]　本题考查线性回归方程．
D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．
二、填空题
7．下列五个命题，正确命题的序号为__③④⑤__.
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
[解析]　变量的相关关系是变量
( http: / / www.21cnjy.com )之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．
8．在7块并排、形状大小相同的试验田
( http: / / www.21cnjy.com )上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．由散点图初步判定其具有线性相关关系，则由此得到的回归方程的斜率是__4.75__.
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
[解析]　列表如下，
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
＝30，≈399.3，＝7000，iyi＝87175
则≈≈4.75.
回归方程的斜率即回归系数.
9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温(℃)
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
年降雨量(mm)
542
507
813
574
701
432
464
根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温__不具有__相关关系．(填“具有”或“不具有”)
[解析]　画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
三、解答题
10．为了迎接2018年俄罗斯世界杯，某协会
( http: / / www.21cnjy.com )组织了一次“迎2018世界杯，手工制作助威旗”活动，将俄罗斯世界杯的标志以手工刺绣的方式刺绣到红色的三角形的旗子上面，来为世界杯加油．在10次制作中测得的数据如下：
助威旗数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间Y(小时)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
试问：(1)x与Y是否具有线性相关关系？
(2)如果x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程，并根据回归直线方程，预测加工2010个助威旗需多少天(精确到1)
注：每天工作8小时．
(参考数据：＝55，＝91.7，＝38500，＝87
777，iyi＝55950,38500－10×552－8250，≈91，≈61)
[解析]　(1)作散点图如图所示
从图中可以看出，各点都散布在一条直线附近，即它们线性相关．
(2)由所给数据求得
b＝＝
≈0.668
∴a＝－b＝91.7－0.668×55
＝54.96
∴Y对x的回归直线方程为
＝54.96＋0.668x
当x＝2010时，＝54.96＋0.668×2010
＝1397.64(小时)
又1397.64÷8＝174.705(天)
∴加工2010个助威旗所需时间约为175天．
B级　素养提升
1．下列说法正确的有几个(　B　)
(1)回归直线过样本点的中心(，)；
(2)线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)中的一个点；
(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
(4)在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好．
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[解析]　由回归分析的概念知①④正确，②③错误．
2．变量X与Y相对应的一组数据为(
( http: / / www.21cnjy.com )10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　C　)
A．r2B．0C．r2<0D．r2＝r1
[解析]　∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，
∴＝＝11.72，
＝
(xi－)(yi－)＝(10－11.72)×(1－3)＋(11.3－11.72)×(2－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(4－3)＋(13－11.72)×(5－3)＝7.2，
＝19.172，
∴这组数据的相关系数是r1＝＝0.3755，
变量U与V相对应的一组数据为(10,
( http: / / www.21cnjy.com )5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，＝(10＋11.3＋11.8＋12.5＋13)＝11.72，
＝＝3，
(Ui－)(Vi－)＝(10－11.72)×(5－3)＋(11.3－11.72)×(4－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(2－3)＋(13－11.72)×(1－3)＝－7.2，
＝19.172.
∴这组数据的相关系数是r2＝－0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．
二、填空题
3．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归方程是　＝0.575x－14.9　.
[解析]　根据公式计算可得＝0.575，＝－14.9，所以回归直线方程是＝0.575x－14.9.
4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b＝－2，样本中心点为(10,38)．
(1)表中数据m＝__40__；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__14件__．
[解析]　(1)由＝38，得m＝40.
(2)由a＝－b得a＝58，
故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
三、解答题
5．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
[解析]　(1)数据对应的散点图如下图所示：
(2)＝xi＝109，lxx＝
(xi－)2＝1570，
＝23.2，lxy＝
(xi－)(yi－)＝308.
设所求回归直线方程为＝x＋，
则＝＝≈0.1962，＝－＝1.8166.
故所求回归直线方程为＝0.1962x＋1.8166.
(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为
＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝x＋；
(3)已知该
厂技改前100吨甲产
( http: / / www.21cnjy.com )品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
[解析]　(1)由题设所给数据，可得散点图如图：
(2)由对照数据，计算得＝86，＝＝4.5，＝＝3.5，已知iyi＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数＝＝＝0.7，＝－
＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生
( http: / / www.21cnjy.com )产100吨甲产品的生产能耗，知降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
C级　能力拔高
炼钢是一个氧化降碳的过程
( http: / / www.21cnjy.com )，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示：
x/0.01%
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y/min
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归直线方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？
[解析]　(1)x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图．
从图中可以看出，各点分布在一条直线附近，所以它们线性相关．
(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
yi
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
xiyi
10
400
36
000
39
900
32
745
22
785
18
090
25
500
39
155
47
940
15
125
＝159.8，＝172，＝265
448，＝312
350，iyi＝287
640
设所求的回归直线方程为＝x＋，
＝≈1.267，＝－≈－30.47，
即所求的回归直线方程为＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，＝1.267×160－30.47≈172(min)，即大约冶炼172
min.第一章
1.3
1.3.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．在(x－)10的二项展开式中，x4的系数为(　C　)
A．－120
B．120　
C．－15　
D．15
[解析]　Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)r·Cx10－2r
令10－2r＝4，则r＝3.
∴x4的系数为(－)3C＝－15.
2．(2015·湖北理，3)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　A　)
A．29
B．210
C．211
D．212
[解析]　由题意可得，二项式的
( http: / / www.21cnjy.com )展开式满足Tr＋1＝Cxr，且有C＝C，因此n＝10.令x＝1，则(1＋x)n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则(1＋x)n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为(210＋0)＝29.故本题正确答案为A．
3．若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　C　)
A．6
B．10
C．12
D．15
[解析]　∵T5＝C()n－4·(－)4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12.
4．(湖南高考)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是(　A　)
A．－20
B．－5
C．5
D．20
[解析]　展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr.
当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A．
5．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　B　)
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析]　二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得
C·35＝C·36，
即
＝3×(n≥6)，
得n＝7.
6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　D　)
A．－297
B．－252
C．297
D．207
[解析]　x5系数应是(1＋x)10中含x5项的系数减去含x2项的系数．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
二、填空题
7．(2016·山东理，12)若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝__－2__.
[解析]　(ax2＋)5的展开式的通
( http: / / www.21cnjy.com )项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r·x10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
8．设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于__－160__.
[解析]　a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160.
9．已知(1＋x)＋(1＋
( http: / / www.21cnjy.com )x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N
)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于__4__.
[解析]　令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.
三、解答题
10．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
[解析]　(1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，
∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1
120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
B级　素养提升
一、选择题
1．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　C　)
A．－4
B．－2
C．2
D．4
[解析]　(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.
2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　A　)
A．＜x＜
B．＜x＜
C．＜x＜
D．＜x＜
[解析]　由得
∴＜x＜.
二、填空题
3．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为__－5__.
[解析]　(1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
4．若x>0，设(＋)5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为　　.
[解析]　T3＝C·()3()2＝x，
T4＝C·()2·()3＝，
∴M＋N＝＋≥2＝.
三、解答题
5．(2016·湛江高二检测)在二项式
(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8.
(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·(－)4＝.
(3)研究系数绝对值即可，
解得2≤r≤3，
∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3时，系数为负．
∴系数最大的项为T3＝7x.
6．(2016·金华高二检测)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，
(1)试求f(x)的展开式中的x2的系数的最小值；
(2)对于使f(x)的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(3)利用(1)中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)
[解析]　(1)根据题意得：C＋C＝7，即
m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C＋C＝＋＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－)2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
(2)当m＝3、n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4、n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(3)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02.
C级　能力拔高
求(＋＋)5的展开式中整理后的常数项.
[解析]　(＋＋)5不是一个二项式，但可以通过组合某些项变成二项式，组合的方法有：(1)(＋＋)5＝[(＋)＋]5，(2)(＋＋)5＝()5＝.
解法一：(＋＋)5＝[(＋)＋]5，
通项公式Tk＋1＝C·2·(＋)5－k(k＝0,1,2，…，5)，
(＋)5－k的通项公式为Tr
( http: / / www.21cnjy.com )＋1＝C·x－r·x5－k－r·2－(5－k－r)＝C·x5－2r－k·2k＋r－5(r＝0,1，…，5－k)，
令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，
可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0.
当k＝1，r＝2时，得C·C··2－2＝；
当k＝3，r＝1时，得C·C·2·2－1＝20；
当k＝5，r＝0时，得C·4＝4.
综上，(＋＋)5的展开式中整理后的常数项为
＋20＋4＝.
解法二：(＋＋)5＝()5
＝＝，
在二项式(x＋)10中，Tr＋1＝C·x10－r·()r(r＝0,1,2，…，10)，
要得到常数项需10－r＝5，即r＝5，
所以常数项为＝.第一章
1.2
1.2.2
第2课时
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A级　基础巩固
一、选择题
1．12名同学合影，站成前排4人后排
( http: / / www.21cnjy.com )8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(　C　)
A．CA　
B．CA　
C．CA　
D．CA
[解析]　第一步从后排8人中
( http: / / www.21cnjy.com )抽2人有C种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有CA种排法．
2．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中
( http: / / www.21cnjy.com )选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有(　B　)
A．24种
B．18种
C．12种
D．96种
[解析]　先选后排CA＝18，故选B．
3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有(　A　)
A．40个
B．120个
C．360个
D．720个
[解析]　先选取3个不同的数有C种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．
4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有(　B　)
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种
[解析]　分两类：第一类，取出两
( http: / / www.21cnjy.com )本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C种方法．第二类，3本集邮册全取
，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C种方法，∴共有C＋C＝10种赠送方法．
5．(2016·青岛高二检
( http: / / www.21cnjy.com )测)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有(　B　)
A．60种
B．72种
C．84种
D．96种
[解析]　解法一：根据题意，分两种情形讨论：
①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙
( http: / / www.21cnjy.com )中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有CCCA＝36种选派方案．
②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选
( http: / / www.21cnjy.com )出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C·A·A＝36种选派方案，
综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，
故选B．
解法二：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有CA＝72种选法．
6．如图，用4种不同的颜色涂
( http: / / www.21cnjy.com )入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　A　)
A
B
C
D
A．72种
B．48种
C．24种
D．12种
[解析]　解法一：(1)4种颜色全用时，有A＝24种不同涂色方法．
(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，
( http: / / www.21cnjy.com )故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．
解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．
二、填空题
7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有__60__种.
[解析]　对于任一种坐法，可视4
( http: / / www.21cnjy.com )个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．
∴不同排法有A＝60种．
8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答).
[解析]　设有A，B两个笔筒，放入A
( http: / / www.21cnjy.com )笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C＋C＋C＋C＝112.
9．(2016·沈阳高二
( http: / / www.21cnjy.com )质检)用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__(注：用数字作答).
[解析]　按2的位置分三类
( http: / / www.21cnjy.com )：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2AA＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．
三、解答题
10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．
[解析]　(1)第一步，将最高的
( http: / / www.21cnjy.com )安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C＝20种．
(2)第一步从7人中选取6人，有C种选法；第二步从6人中选2人排一列有C种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C·C·C＝630种．
B级　素养提升
一、选择题
1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号
( http: / / www.21cnjy.com )为1、2、3、…、18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从18人中任选3人，有C种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形)，∴所求概率P＝＝.
2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为(　D　)
A．120
B．119
C．110
D．109
[解析]　5个人坐在5个座位
( http: / / www.21cnjy.com )上，共有不同坐法A种，其中3个号码一致的坐法有C种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A－C－1＝109.
二、填空题
3．航空母舰“辽宁舰”在某次飞行
( http: / / www.21cnjy.com )训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有__36__种.
[解析]　∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个
( http: / / www.21cnjy.com )整体与其他3个元素全排列，共有2A＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有AA＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．
4．(2017·天津理，14)用
( http: / / www.21cnjy.com )数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1_080__个．(用数字作答)
[解析]　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1
080(个)．
三、解答题
5．(2016·泰州高二检测)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
[解析]　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120种选法．
(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．
解法二：(间接法)，不考虑条
( http: / / www.21cnjy.com )件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任
( http: / / www.21cnjy.com )意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C；故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？
(2)四个盒都不空的放法有多少种？
(3)恰有一个空盒的放法有多少种？
(4)恰有两个空盒的放法有多少种？
(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
[解析]　(1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．
(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A＝24种．
(3)由题意知，必然是四个小球放入三个
( http: / / www.21cnjy.com )盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C·C·A＝144种．
(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子
( http: / / www.21cnjy.com )中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C·(＋C·C)·A＝84种．
(5)分三类放法．
第一类：甲球放入1号盒子，即
( http: / / www.21cnjy.com )，则乙球有3种放法(可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42种放法．故此类放法的种数是3×42；
第二类：甲球放入2号盒子，即
( http: / / www.21cnjy.com )，则乙球有2种放法(可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法．故此类放法的种数是2×42；
第三类：甲球放入3号盒子，即
( http: / / www.21cnjy.com )，则乙球只有1种放法(放入4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法，故此类放法的种数是1×42.
综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．
C级　能力拔高
不定方程x1＋x2＋…＋x10＝100的正整数解有多少组？
[解析]　不定方程就是未知数的
( http: / / www.21cnjy.com )个数大于方程的个数的方程，像方程x1＋x2＋…＋xn＝m就是一个最简单的不定方程，解决这类问题的常用方法是“隔板法”．
解：考虑并列出100个：
( http: / / www.21cnjy.com )，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙．在这99个空隙中，放上9个“＋”号，每个空隙中至多放1个，共有C种放法，在每一种放法中，这100个数被“＋”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“x1，x2，…，x10”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“＋”号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有C组．第二章
2.1
2.1.1
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A级　基础巩固
一、选择题
1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是(　A　)
A．①②　　　　　　　　
B．①③
C．①④
D．①②④
[解析]　①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
2．6件产品有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的为(　B　)
A．取到产品的个数
B．取到正品的个数
C．取到正品的概率
D．取到次品的个数
[解析]　取到正品的个数不是固定值为0,1，其余都是固定值．
3．某人射击的命中率为p(0A．1,2,3，…，n
B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n
D．0,1,2，…，n，…
[解析]　由随机变量的定义知取值可以从1开始，并且有可能每次都未中目标．
4．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是(　D　)
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
[解析]　只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D．
5．下列变量中，不是离散型随机变量的是(　C　)
A．从2017张已编号的卡片(从1号到2017号)中任取一张，被取出的号数ξ
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η
C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ
D．从2017张已编号的卡片(从1号到2017号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和η
[解析]　离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C．
6．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；
②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确命题的个数是(　C　)
A．1　
B．2　
C．3　
D．0
[解析]　由随机变量的概念知三个命题都正确，故选C．
二、填空题
7．一木箱中装有8个同样大小
( http: / / www.21cnjy.com )的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有__21__种.
[解析]　从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C＝21种．
8．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为__{0,1,2,3,4,5}__.
9．在100件产品中含有4件次品，从中任意抽取2件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝0的含义是__ξ＝0表示取出的2件产品都是正品__.
三、解答题
10．某次演唱比赛，需要加试文
( http: / / www.21cnjy.com )化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
[解析]　(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道有C·C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目有C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，有C·C·A＝18种不同的结果．
由分类加法计数原理知可能出现180＋180＋18＝378种不同的结果．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2016·孝感高二检测)对一批产品逐个进行检验，第一次检验到次品前已检验的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　D　)
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
[解析]　由题意ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测的是一件次品，故选D．
2．(2016·临沂高二检测)袋中
( http: / / www.21cnjy.com )有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回条件下依次抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是(　B　)
A．5
B．9
C．10
D．25
[解析]　∵ξ表示取出的2个球的号码之和
( http: / / www.21cnjy.com )，又1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋3＝6,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋4＝8,4＋5＝9,5＋5＝10，故ξ的所有可能取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9个．
二、填空题
3．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为
( http: / / www.21cnjy.com )1、2、3、4、5、6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，用(x，y，z)表示取出的三个球编号为x，y，z(x[解析]　从6个球中选出3个球，其中有一个是5号球，其余的2个球是1,2,3,4号球中的任意2个．
∴试验结果构成的集合是{(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}．
4．袋中装有除颜色外，质地、大小完全相同的4
( http: / / www.21cnjy.com )个小球，其中1个红球、3个白球，从中任意摸出1个观察颜色，取后不放回，如果是红色，则停止摸球，如果是白色，则继续摸球，直到摸到红球时停止，记停止时的取球次数为ξ，则ξ所有可能取值的集合为__{1,2,3,4}__，ξ＝2的意义为__第一次摸到白球，第二次摸到红球__.
[解析]　袋中共4个球，3白
( http: / / www.21cnjy.com )1红，取球后不放回，因此ξ的可能取值为1、2、3、4，即ξ∈{1,2,3,4}，ξ＝2表示第一次摸到白球，第二次摸到红球．
三、解答题
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.
[解析]　X＝4,5,6,7.
X＝4表示甲胜前4局或乙胜前4局．
X＝5表示甲在前4局中胜3局并胜第5局或乙在前4局中胜3局并胜第5局．
X＝6表示甲在前5局中胜3局并胜第6局或乙在前5局中胜3局并胜第6局．
X＝7表示甲在前6局中胜3局并胜第7局或乙在前6局中胜3局并胜第7局．
6．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ.
[解析]　(1)ξ可取0、1、2.
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0、1、2.
(2)ξ可取3、4、5.
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1、2、3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1、2、4或1、3、4或2、3、4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5.
C级　能力拔高
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定取3个球，每
( http: / / www.21cnjy.com )取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否是离散型随机变量．
[解析]　(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取2个白球1个黑球
取3个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6而ξ可能的取
( http: / / www.21cnjy.com )值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6，故η的可值取值为6,11,16,21显然，η为离散型变量．第二章
2.2
2.2.2
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A级　基础巩固
一、选择题
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　D　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，
∴P()＝P()＝.∴P(A)＝.
2．三个元件T1，T2，T3正常工
( http: / / www.21cnjy.com )作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝(1－×)×＝.故选A．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各
( http: / / www.21cnjy.com )一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝.
4．甲、乙两人独立地解决
( http: / / www.21cnjy.com )同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是(　D　)
A．P1＋P2　　
　
　　　
B．P1P2
C．1－P1P2
D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析]　甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故选D．
5．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是(　C　)
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球中恰好有1个白球
[解析]　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，
∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.
6．两个实习生每人加工一个零件
( http: / / www.21cnjy.com )，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
二、填空题
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝__0.65__，P(A|B)＝__0.3__.
[解析]　∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
P(A|B)＝P(A)＝0.3.
8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为
( http: / / www.21cnjy.com )，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为.
由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为　　.
[解析]　甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车
( http: / / www.21cnjy.com )骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　
.
[解析]　由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
三、解答题
10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同
( http: / / www.21cnjy.com )一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
[解析]　(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
即
由①、③得P(B)＝1－P(C)，代入②得
27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.
解得P(C)＝或
(舍去)．
将P(C)＝分别代入③、②可得P(A)＝、
P(B)＝，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、、.
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则
P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
B级　素养提升
一、选择题
1.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三
( http: / / www.21cnjy.com )片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
2．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　解法一：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为.
解法二：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则
P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
二、填空题
3．(2016·双鸭山高二检测)某班有4
( http: / / www.21cnjy.com )位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则最多1名同学遇到红灯的概率是　　.
[解析]　P＝()4＋C·()·()3＝.
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是　　.
[解析]　由条件知，
，
∴P(ξ＝x2)＝，
∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－≤d≤.
三、解答题
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题
( http: / / www.21cnjy.com )，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
[解析]　记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，
P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，
P(A4)＝0.2.
(1)解法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
解法二：P＝1－P(A1A2A3A
( http: / / www.21cnjy.com )4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)解法一：P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
解法二：P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
6．甲、乙两人参加一次英语口语考
( http: / / www.21cnjy.com )试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析]　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
(2)解法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(　)＝P()·P()＝×＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(　)＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
C级　能力拔高
(2017·德州高二检测)计算机考试分理
( http: / / www.21cnjy.com )论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
[解析]　记“甲理论考试合格”为事件A
( http: / / www.21cnjy.com )1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.
(1)记“甲计算机考试获得合格
( http: / / www.21cnjy.com )证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝P(A1)P(B1)＝×＝，P(B)＝P(A2)·P(B2)＝×＝，
P(C)＝P(A3)P(B3)＝×＝，
因为P(B)>P(C)>P(A)，故乙获得合格证书的可能性最大．
(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D．
P(D)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
所以，三人计算机考试都获得合格证书的概率是.第二章
2.2
2.2.3
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．某射手射击1次，击中目标
( http: / / www.21cnjy.com )的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为(　C　)
A．0.93×0.1　　　　　
B．0.93
C．C×0.93×0.1
D．1－0.13
[解析]　由独立重复试验公式可知选C．
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝，故答案选A．
3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　P＝C22＝.
4．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　C　)
A．C2×
B．C2×
C．2×
D．2×
5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　A　)
A．[0.4,1)
B．(0,0.4]
C．[0.6,1)
D．(0,0.6]
[解析]　由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
∴Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p<1，∴0.4≤p<1.
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛
( http: / / www.21cnjy.com )规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是(　D　)
A．0.216
B．0.36
C．0.432
D．0.648
[解析]　甲获胜有两种情况，一是甲以2︰0
( http: / / www.21cnjy.com )获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2︰1获胜，此时p2＝C·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.
二、填空题
7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__①③__.
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
[解析]　对于①，设事件A为“抛
( http: / / www.21cnjy.com )掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0、1、2、……、n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，)．
对于②，ξ的取值是1、2、3、……
( http: / / www.21cnjy.com )、P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1、2、3、……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.
故应填①③.
8．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通
( http: / / www.21cnjy.com )过测试的概率都是p(0[解析]　所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n.
9．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝__10__.
[解析]　当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k
＝20·C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
三、解答题
10．(2016·大连高二检测)某工厂
( http: / / www.21cnjy.com )为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]).
(1)若从这40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
[解析]　(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，
设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B(5,0.3)，
故所求概率为P(Y＝2)＝C×0.32×0.73＝0.3087.
B级　素养提升
一、选择题
1．位于坐标原点的一个质
( http: / / www.21cnjy.com )点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　B　)
A．()5
B．C()5
C．C()3
D．CC()5
[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方
( http: / / www.21cnjy.com )向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3()2＝C()5＝C()5.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70
( http: / / www.21cnjy.com )%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是(　A　)
A．0.665
B．0.56
C．0.24
D．0.285
[解析]　设A＝“从市场上买
( http: / / www.21cnjy.com )到一个灯泡是甲厂生产的”，B＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．
∵P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
二、填空题
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为　　.
[解析]　由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝CP0(1－P)2，∴P＝，
∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
＝1－CP0(1－P)4－CP(1－P)3
＝1－－＝.
4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　.
[解析]　设篮球运动员罚球的命中率为P，则由条件得P(ξ＝2)＝1－＝，∴C·P2＝，∴P＝.
三、解答题
5．(2016·乌鲁木齐高二检测)某公
( http: / / www.21cnjy.com )司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
[解析]　设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
∵P(X＝0)＝C×()4＝，
P(X＝1)＝C××()3＝，
P(X＝2)＝C×()2×()2＝，
P(X＝3)＝C×()3×＝，
P(X＝4)＝C×()4×()0＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
6.“石头、剪刀、布”是一种
( http: / / www.21cnjy.com )广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析]　(1)玩家甲、乙双方
( http: / / www.21cnjy.com )在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.
(2)由题意知：X＝0,1,2,3.
∵P(X＝0)＝C·()3＝，
P(X＝1)＝C·()1·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·()1＝，
P(X＝3)＝C·()3＝.
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
C级　能力拔高
(2016·吉林高二检测
( http: / / www.21cnjy.com ))清明节小长假期间，某公园推出飞镖和摸球两种游戏，甲参加掷飞镖游戏，已知甲投中红色靶区的概率为，投中蓝色靶区的概率为，不能中靶概率为；该游戏规定，投中红色靶区记2分，投中蓝色靶区记1分，未投中标靶记0分；乙参加摸球游戏，该游戏规定，在一个盒中装有大小相同的10个球，其中6个红球和4个黄球，从中一次摸出3个球，一个红球记1分，黄球不记分.
(1)求乙恰得1分的概率；
(2)求甲在4次投掷飞镖中恰有三次投中红色靶区的概率；
(3)求甲两次投掷后得分ξ的分布列．
[解析]　(1)设“乙恰得1分”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)因每次投掷飞镖为相互独立事件，故在4次投掷中，恰有3次投中红色靶区的概率P4(3)＝C()3(1－)＝.
(3)两次投掷后得分ξ的取值为0、1、2、3、4，
且P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝1)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C××＋×＝；
P(ξ＝3)＝C××＝；
P(ξ＝4)＝×＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P第一章　学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　D　)
A．12种　
B．18种　
C．24种　
D．36种
[解析]　由题意可得其中1人必须完成2项
( http: / / www.21cnjy.com )工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．
故选D．
2．已知C－C＝C(n∈N
)，则n等于(　A　)
A．14　　
　
B．12　　
　
C．13　　
　
D．15
[解析]　因为C＋C＝C，所以C＝C.
∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A．
3．(2016·大连高二检测)3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为(　B　)
A．54
B．60
C．66
D．72
[解析]　记3位女性为a、b、c，其丈夫依
( http: / / www.21cnjy.com )次为A、B、C，当3位女性都相邻时可能情形有两类：第一类男性在两端(如BAabcC)，有2A种，第二类男性在一端(如BCAabc)，有2AA种，共有A(2A＋2)＝36种，当仅有两位女性相邻时也有两类，第一类这两人在一端(如abBACc)，第二类这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有4A＝24种，故满足题意的坐法共有36＋24＝60种．
4．(2016·全国卷Ⅱ理，5)如图，小明
( http: / / www.21cnjy.com )从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　B　)
A．24
B．18
C．12
D．9
[解析]　由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B．
5．(2017·全国卷Ⅰ理，6)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　C　)
A．15
B．20
C．30
D．35
[解析]　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋)(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
故选C．
6．(安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　C　)
A．24对
B．30对
C．48对
D．60对
[解析]　解法一：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．
如图，在正方体ABCD－A
( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有×96＝48对．
解法二：间接法．正方体的面对角线共有1
( http: / / www.21cnjy.com )2条，从中任取2条有C种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C－6－12＝48对．
7．(2015·湖南理，6)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　D　)
A．
B．－
C．6
D．－6
[解析]　Tr＋1＝C(－1)rarx－r，令－r＝得r＝1，可得－5a＝30 a＝－6，故选D．
8．从0、1、2、3、4、5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　C　)
A．300
B．216
C．180
D．162
[解析]　本小题主要考查排列组合的基础知识．
由题意知可分为两类，
(1)选“0”，共有CCCA＝108，
(2)不选“0”，共有CA＝72，
∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C．
9．(2016·胶东高二检测)已知
( http: / / www.21cnjy.com )某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n－1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到点(6,2)，则不同的运动轨迹有(　C　)
A．15种
B．14种
C．9种
D．103种
[解析]　由运动规律可知，每一步的
( http: / / www.21cnjy.com )横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1(或减少1)，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m，n)→(m＋1，n－1)运动的，有4步是按照(m，n)→(m＋1，n＋1)运动的，因此，共有C＝15种，而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，当第一步(m，n)→(m＋1，n－1)时不符合要求，有C种；当第一步(m，n)→(m＋1，n＋1)，但第二、三两步为(m，n)→(m＋1，n－1)时也不符合要求，有1种，故要减去不符合条件的C＋1＝6种，故共有15－6＝9种．
10．若x∈R，n∈N＋，定义M＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如M＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数f(x)＝xM的奇偶性为(　A　)
A．是偶函数而不是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数而不是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析]　由题意知f(x)＝x(x－9)(x－8)…(x－9＋19－1)
＝x2(x2－1)(x2－4)…(x2－81)
故为偶函数而不是奇函数．
11．高三(三)班学生要安
( http: / / www.21cnjy.com )排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是(　D　)
A．240
B．188
C．432
D．288
[解析]　先从3个音乐节
( http: / / www.21cnjy.com )目中选取2个排好后作为一个节目有A种排法，这样共有5个节目，两个音乐节目不连排，两个舞蹈节目不连排，如图，若曲艺节目排在5号(或1号)位置，则有4A·A＝16种排法；若曲艺节目排在2号(或4号)位置，也有4AA＝16种排法，若曲艺节目排在3号位置，有2×2AA＝16种排法，∴共有不同排法，A×(16×3)＝288种，故选D．
1
2
3
4
5
12．已知直线ax＋by－1＝0(a、b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有(　B　)
A．66条
B．72条
C．74条
D．78条
[解析]　先考虑x≥0，y≥0时，圆上
( http: / / www.21cnjy.com )横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．将4名新来的同学分配到A、B、C
( http: / / www.21cnjy.com )三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有__24__种.
[解析]　将4名新来的同学分配到A
( http: / / www.21cnjy.com )、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CA＋CA种方案．因此满足条件的不同方案共有CA－CA－CA＝24(种)．
14．(2017·浙江，13)已知多项式
( http: / / www.21cnjy.com )(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.
[解析]　a4是x项的系数，由二项式的展开式得
a4＝C·C·2＋C·C·22＝16；
a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.
15．(2016·天津理，10)(x2－)8的展开式中x7的系数为__－56__.(用数字作答)
[解析]　二项展开式的通项Tr＋1＝
( http: / / www.21cnjy.com )C(x2)8－r(－)r＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.
16．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有__90__种．(用数字作答)
[解析]　本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：·A＝90种．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知A＝{x|1}，B＝{x||x－6|<3，x∈N
}，试问：
从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
[解析]　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．
从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个
( http: / / www.21cnjy.com )数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．
18．(本题满分12分)求证：对任何非负整数n,33n－26n－1可被676整除.
[证明]　当n＝0时，原式＝0，可被676整除．
当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．
当n≥2时，
原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1
＝(26n＋C·26n－1＋…＋C·262＋C·26＋1)－26n－1
＝26n＋C26n－1＋…＋C·262.
每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．
综上所述，对一切非负整数n,33n－26n－1可被676整除．
19．(本题满分12分)(20
( http: / / www.21cnjy.com )16·青岛高二检测)已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
[解析]　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.
∴通项Tr＋1＝Cmrx，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2，或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
所以含x2项的系数为C24－C22＝1008.
20．(本题满分12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数.
(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；
(2)其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；
(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．
[解析]　(1)所安排的女生人数少于男
( http: / / www.21cnjy.com )生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C＋CC＋CC)A＝5520种．
(2)先选出4人，有C种方法，连同甲在内
( http: / / www.21cnjy.com )，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A·A种方法，∴方法数为C·A·A＝3360种．
(3)由题意知甲和乙两人确定
( http: / / www.21cnjy.com )担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A＝18；综上可知共有20×18＝360种．
21．(本题满分12分)用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)被4整除；
(2)比21034大的偶数；
(3)左起第二、四位是奇数的偶数．
[解析]　(1)被4整除的数，其特征应
( http: / / www.21cnjy.com )是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A·A＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．
(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A＝18个．
②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A＝12个．
③当末位数字是4时，首位数字是3的有A＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．
综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个．
(3)解法一：可分为两类：
末位数是0，有A·A＝4(个)；
末位数是2或4，有A·A＝4(个)；
故共有A·A＋A·A＝8(个)．
解法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A个；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA＝8(个)．
22．(本题满分12分)已知n(n∈N
)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中a－1项的二项式系数.
[解析]　对于5：Tr＋1＝C(4)5－rr＝C·(－1)r·45－r·5－b.
若Tr＋1为常数项，则10－5r＝0，所以r＝2，此时得常数项为T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27.
令a＝1，得n展开式的各项系数之和为
( http: / / www.21cnjy.com )2n.由题意知2n＝27，所以n＝7.对于7：Tr＋1＝C7－r·(－)r＝C·(－1)r·37－ra.
若Tr＋1为a－1项，则＝－1，所以r＝3.
所以n的展开式中a－1项的二项式系数为C＝35.第三章
3.2
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；②
( http: / / www.21cnjy.com )两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有(　B　)
A．①②③　　　　　
B．②④⑤
C．②③④⑤
D．①②③④⑤
[解析]　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．
2．在2×2列联表中，两个比值____________相差越大，两个分类变量之间的关系越强(　A　)
A．与　　　　　
B．与
C．与
D．与
[解析]　与相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．
3．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是(　D　)
A．三维柱形图
B．二维条形图
C．等高条形图
D．独立性检验
[解析]　前三种方法只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　A　)
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
[解析]　根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
5．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：
喜欢教师职业
不喜欢教师职业
总计
认为工作压力大
53
34
87
认为工作压力不大
12
1
13
总计
65
35
100
则推断“工作压力大与不喜欢教师职业有关系”，这种推断犯错误的概率不超过(　B　)
A．0.01
B．0.05
C．0.10
D．0.005
[解析]　K2＝
＝
≈4.9＞3.841，
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系．
6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　C　)
①若K2的观测值满足K2≥
( http: / / www.21cnjy.com )6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
A．①　　
B．①③　
C．③　　
D．②
[解析]　①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A、B，③正确．排除D，选C．
二、填空题
7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
K2＝≈4.844，
因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__5%__.
[解析]　∵k>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.
8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调
( http: / / www.21cnjy.com )查了1
671人，经过计算K2＝7.63，根据这一数据分析，有__99%__的把握说，打鼾与患心脏病是__有关__的．(有无、无关)
[解析]　∵K2＝7.63，∴K2>6.635，
因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．
三、解答题
9．某学校对手工社、摄影社两个社团招新报名的情况进行调查，得到如下的列联表：
手工社
摄影社
总计
女生
6
男生42
总计
30
60
(1)请填写上表中所空缺的五个数字；
(2)已知报名摄影社的6名女
( http: / / www.21cnjy.com )生中甲、乙、丙三人来自于同一个班级，其他再无任意两人同班情况．现从此6人中随机抽取2名女生参加某项活动，则被选到两人同班的概率是多少？
(3)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关系？
注：K2＝.
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
[解析]　(1)
手工社
摄影社
总计
女生
12
6
18
男生
18
24
42
总计
30
30
60
(2)所求概率为P＝＝.
(3)K2＝
＝＝≈2.857<3.841，
所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关系．
10．(2016·潍坊高二检测)为调
( http: / / www.21cnjy.com )查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20︰00－22︰00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式性别　　　
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20︰00－22︰00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
(2)将此样本的频率作为总体的
( http: / / www.21cnjy.com )概率估计值，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X.求X的数学期望和方差．
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
[解析]　(1)根据样本提供的2×2列联表得
K2＝≈8.889>6.635；
所以有99%的把握认为“在20︰00－22︰00时间段居民的休闲方式与性别有关”．
(2)由题意得，X～B(3，)，所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××(1－)＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一条直线的回归方程为＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线＝x＋必过点(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是(　B　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析]　一组数据都加上或减去同一个
( http: / / www.21cnjy.com )常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归直线＝x＋必过点(，)，③正确；因为K2＝13.079>10.828，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确，故选B．
2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、
( http: / / www.21cnjy.com )智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　D　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．成绩
B．视力
C．智商
D．阅读量
[解析]　A中，K2＝＝；
B中，K2＝＝；
C中，K2＝＝；
D中，K2＝＝.
因此阅读量与性别相关的可能性最大，所以选D．
二、填空题
3．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：
专业性别　　
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否
( http: / / www.21cnjy.com )与性别有关系，根据表中数据，得到K2＝≈4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约是__5%__.
[解析]　∵P(k2≥3.841)≈0.05，故判断出错的可能性为5%.
4．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：
死亡
存活
合计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是__小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关__．
[解析]　根据独立性检验的基本
( http: / / www.21cnjy.com )思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．
三、解答题
5．(2016·青岛高二
( http: / / www.21cnjy.com )检测)某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：
(1)根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：
成绩性别　　
优秀
不优秀
合计
男生
女生
总计
(2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(3)若从成绩在[130,140]的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．
[解析]　(1)
成绩性别　　
优秀
不优秀
合计
男生
13
10
23
女生
7
20
27
总计
20
30
50
(2)由(1)中表格的数据知，
K2＝≈4.844.
∵K2≈4.844>3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．
(3)成绩在[130,140]的学生中男生有50×0.008×10＝4人，女生有50×0.004×10＝2人；
从6名学生中任取2人，共有C＝15种选法；
若选取的都是男生，共有C＝6种选法；
故所求事件的概率P＝1－＝.
6．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
总计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
总计
146
684
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关？请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮
( http: / / www.21cnjy.com )用不干净水得病9人，不得病22人，按此样本数据分析这种传染病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
[解析]　(1)假设H0：
( http: / / www.21cnjy.com )传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K2的观测值k＝≈54.21.因为54.21>10.828，所以拒绝H0.因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．
(2)依题意得2×2列联表如下：
得病
不得病
总计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
此时，K2的观测值k＝≈5.785.由
( http: / / www.21cnjy.com )于5.785>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该种传染病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中犯错误的概率不超过0.001，(2)中犯错误的概率不超过0.025.
C级　能力拔高
某高校共有15000人，
( http: / / www.21cnjy.com )其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周
( http: / / www.21cnjy.com )平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率；
(3)在样本数据中，有60
( http: / / www.21cnjy.com )位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
[解析]　(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0
( http: / / www.21cnjy.com ).75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
综合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．”第一章
1.2
1.2.1
第2课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为(　B　)
A．18
B．36
C．48
D．60
[解析]　甲在排头或排尾站法有A种，再让乙在中间3个位置选一个，有A种站法，其余3人有A种站法，故共有A·A·A＝36种站法．
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值
( http: / / www.21cnjy.com )班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　C　)
A．504种
B．960种
C．1008种
D．1108种
[解析]　甲、乙相邻的所有
( http: / / www.21cnjy.com )方案有AA＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：AA＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有AA＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C．
3．(2016·郑州高二检测)从6个人中选4
( http: / / www.21cnjy.com )人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(　B　)
A．300种
B．240种
C．144种
D．96种
[解析]　先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案A·A＝240种．
4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　B　)
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
[解析]　分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5
( http: / / www.21cnjy.com )天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(　A　)
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种
[解析]　分三类：甲在周一，共有A种排法；
甲在周二，共有A种排法；
甲在周三，共有A种排法；
∴A＋A＋A＝20.
6．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有(　A　)
A．(2A－A)个
B．(2A－A)个
C．2A个
D．5A个
[解析]　能被5整除，则个位须为5或0，有2A个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有A个，故共有(2A－A)个．
二、填空题
7．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__24__.
[解析]　“每人两边都有空位”是说三个人不相
( http: / / www.21cnjy.com )邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．
∴有A＝24种不同坐法．
8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参
( http: / / www.21cnjy.com )观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__.
[解析]　先分组后用分配法求解，
( http: / / www.21cnjy.com )5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
9．2016年某地举行博物展，某
( http: / / www.21cnjy.com )单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)
[解析]　将2件书法作品排列，方法
( http: / / www.21cnjy.com )数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A＝24种．
三、解答题
10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
[解析]　(1)先从5个演唱节目中选两个
( http: / / www.21cnjy.com )排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14400种．
(2)先不考虑排列要求，有A
( http: / / www.21cnjy.com )种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A－AA)＝37440种．
B级　素养提升
一、选择题
1．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有(　A　)
A．300个
B．464个
C．600个
D．720个
[解析]　解法一：确定最高位有A种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A·A＝300(个)．
解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有A·A＝300(个)．
2．某地为了迎接2016年城运会，某大楼
( http: / / www.21cnjy.com )安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(　C　)
A．1205秒
B．1200秒
C．1195秒
D．1190秒
[解析]　由题意每次闪烁共5秒，所有
( http: / / www.21cnjy.com )不同的闪烁为A个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1195秒．
二、填空题
3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__.
[解析]　“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A－AA＝576.
4．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,
( http: / / www.21cnjy.com )2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是　　.
[解析]　6个数任意填入6个小正方形中有6
( http: / / www.21cnjy.com )！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A×2×2×2＝48种，故所求概率P＝＝.
三、解答题
5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数.
[解析]　(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．
(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，
故共有A·A＝96(个)．
解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，
故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A，其余任排有A，故有2A·A种．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A，所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，
( http: / / www.21cnjy.com )先填个位，从1、3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
6．4个男同学，3个女同学站成一排.
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
[解析]　(1)3个女同学是特殊元
( http: / / www.21cnjy.com )素，她们排在一起，共有A种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法，由分步乘法计数乘法原理，有AA＝720种不同排法．
(2)先将男生排好，共有A种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方案，故符合条件的排法共有AA＝1440种不同排法．
(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有A·A＝144种．
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A
( http: / / www.21cnjy.com )种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A种排法．这样，总共有AAA＝960种不同排法．
(5)从7个位置中选出4个位置把男
( http: / / www.21cnjy.com )生排好，则有A种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A＝840种不同排法．
C级　能力拔高
如图所示，有一个正方体的铁丝架
( http: / / www.21cnjy.com )，把它的侧棱中点I，J，K，L也用铁丝依次连上，现有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，则最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来.
[解析]　①从A到F，有A→
( http: / / www.21cnjy.com )B→J→F，A→I→J→F，A→I→E→F，三条路线．②从A到H，有A→D→L→H，A→I→L→H，A→I→E→H，三条路线．③从A到K，有A→B→C→K，A→B→J→K，A→I→J→K，A→D→C→K，A→D→L→K，A→I→L→K，六条路线．共有3＋3＋6＝12条最短路线．逆向追踪树形图可表示这些路线，如图所示．第一章
1.2
1.2.2
第1课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．若C＝C，则x的值为(　C　)
A．2　　
B．4　　
C．4或2　
D．3
[解析]　由组合数性质知x＝2或x＝6－2＝4，故选C．
2．(陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　如图，基本事件共有C＝10个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD共4个，
∴P＝1－＝.
3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　C　)
A．120
B．84
C．52
D．48
[解析]　间接法：C－C＝52种．
4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆(　A　)
A．220个
B．210个
C．200个
D．1320个
[解析]　C＝220，故选A．
5．(2016·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　D　)
A．A种
B．45种
C．54种
D．C种
[解析]　由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种．
6．(2016·佛山高二检测)将标号为A、
( http: / / www.21cnjy.com )B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　B　)
A．12种
B．18种
C．36种
D．54种
[解析]　由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．
二、填空题
7．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有__10__种(用数字作答).
[解析]　根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，
分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，
从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，
则有C＝10种不同的走法，故答案为10.
8．已知C，C，C成等差数列，则C＝__91__.
[解析]　∵C，C，C成等差数列，∴2C＝C＋C，
∴2×＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，
则C＝C＝91.
9．对所有满足1≤m[解析]　∵1≤m( http: / / www.21cnjy.com )，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，其中C1
3＝C，C＝C，C＝C，C＝C，∴方程x2＋Cy2＝1能表示的不同椭圆有6个．
三、解答题
10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？
[解析]　(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C＝＝45(条)，
即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有
A＝10×9＝90(条)，
即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝120(个)．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·广东理，4)袋中共
( http: / / www.21cnjy.com )有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　B　)
A．　
B．
C．
D．1
[解析]　从袋中任取
2个球共
( http: / / www.21cnjy.com )有
C＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为P＝＝，故选B．
2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　D　)
A．18对
B．24对
C．30对
D．36对
[解析]　三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对．
二、填空题
3．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有__144__种(用数字作答).
[解析]　先从四个小球中取两个放在
( http: / / www.21cnjy.com )一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A种不同的放法，据分步计数原理，共有C·A＝144种不同的放法．
4．一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不
( http: / / www.21cnjy.com )影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，则不同熄灯方法有__35__种.
[解析]　记熄灭的灯为0，
( http: / / www.21cnjy.com )亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C＝35种．
三、解答题
5．(2016·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地.
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
[解析]　(1)利用分步乘法计数原理得CC＝60种．
(2)利用分类加法与分步乘法计数原理CC＋CC＋CC＋CC＝121种．
6．已知，试求x和n的值.
[解析]　由C＝C得x＝2x或x＋2x＝n，
即x＝0或n＝3x，
显然x＝0时C无意义，
把n＝3x代入C＝C得C＝C，即
＝·
∴＝，解得x＝5.∴n＝15.
C级　能力拔高
化简m！＋＋＋…＋.
[解析]　原式＝m！×(1＋C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋…＋C)
＝……
＝m！×C＝第一章
1.2
1.2.1
第1课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　C　)
A．6个　　　　　　　　　
B．10个
C．12个
D．16个
[解析]　符合题意的商有A＝4×3＝12.
2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　B　)
A．8
B．12
C．16
D．24
[解析]　设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.
3．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A相等的是(　D　)
A．
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C．
D．AA
[解析]　A＝
而AA＝n×＝，∴AA＝A.
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海
( http: / / www.21cnjy.com )、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为(　A　)
A．30种
B．15种
C．81种
D．36种
[解析]　对于两个大站A和B，从A到B
( http: / / www.21cnjy.com )的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A．
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有(　B　)
A．108种
B．186种
C．216种
D．270种
[解析]　从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A－A＝186(种)，选B．
6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有(　C　)
A．A种
B．A种
C．AA种
D．2A种
[解析]　安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．
二、填空题
7．(2015·广东理，12)某高
( http: / / www.21cnjy.com )三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__1560__条毕业留言．(用数字作答)
[解析]　同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1
560条毕业留言．
8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答).
[解析]　A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占，
∴排法有A＝480.
9.某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块
( http: / / www.21cnjy.com )种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有__48__种.
[解析]　由于相邻两块不能种同一种颜
( http: / / www.21cnjy.com )色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有A种，第二类，用3色有4A种，故共有A＋4A＝48种．
三、解答题
10．(2016·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的三位数？
[解析]　(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．
第一步，得首位数字，有6种不同结果，
第二步，得十位数字，有5种不同结果，
第三步，得个位数字，有4种不同结果，
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．
(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．
B级　素养提升
一、选择题
1．从集合{1,2,3，…，1
( http: / / www.21cnjy.com )1}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为(　B　)
A．43
B．72
C．86
D．90
[解析]　在1、2、3、4、
( http: / / www.21cnjy.com )…、8中任取两个作为m、n，共有A＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有AA＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A＋AA＝72.
2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　A　)
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
[解析]　先排第一列，因为每列的字母互不相
( http: / / www.21cnjy.com )同，因此共有A种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2A＝12种不同的排法．
二、填空题
3．如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有__24__对.
[解析]　六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．
考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出
( http: / / www.21cnjy.com )所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．
4．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅
( http: / / www.21cnjy.com )油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有__5760__种.
[解析]　第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5
760(种)．
三、解答题
5．求和：＋＋＋…＋.
[解析]　∵＝＝－＝－，
∴原式＝＋＋＋…＋＝1－.
6．(2016·宝鸡市金台区
( http: / / www.21cnjy.com )高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？
[解析]　百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，
百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，
百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．
C级　能力拔高
(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出2个字母的所有排列；
(2)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出3个字母的所有排列.
[解析]　(1)把a，b，c，d中任意一个字母排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置上的字母排好后，第二个位置上的字母就有3种排法．
如果第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad.
同理，第一个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示．
因此，共有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
(2)根据(1)，从4个
( http: / / www.21cnjy.com )字母中每次取出2个字母的排列有12种，在每一种排列的后面排上其余两个字母中的任一个，就得到取出3个字母的所有排列，可以画出树形图，如图所示．
因此，共有24个不同的排
( http: / / www.21cnjy.com )列，它们是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.第一章
1.1
第1课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为(　A　)
A．13种
B．16种
C．24种
D．48种
[解析]　应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A．
2．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为(　B　)
A．9
B．12
C．18
D．24
[解析]　每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.
3．定义集合A与B的运算A
B如下：A
( http: / / www.21cnjy.com )B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A
B的元素个数为(　C　)
A．34
B．43
C．12
D．24
[解析]　显然(a，a)、(a，c)等
( http: / / www.21cnjy.com )均为A
B中的元素，确定A
B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步乘法计数原理可知A
B中有3×4＝12个元素．故选C．
4．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，
( http: / / www.21cnjy.com )结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　D　)
A．26
B．24
C．20
D．19
[解析]　因信息可以分开沿不同的
( http: / / www.21cnjy.com )路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D．
5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　B　)
A．8种
B．9种
C．10种
D．11种
[解析]　设四个班级分别是
( http: / / www.21cnjy.com )A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．
6．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　B　)
A．24
B．18
C．12
D．6
[解析]　(1)当从0,2中选取2
( http: / / www.21cnjy.com )时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．
(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．
综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．
二、填空题
7．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，共得__4__个不同的偶数.
[解析]　由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数，分两类，
第一类，两个数都是偶数，2＋4＝6,2＋6＝8,4＋6＝10，共得3个偶数，
第二类，两个数都是奇数，1＋3＝4,1＋5＝6,3＋5＝8，共得3个偶数，
∵2＋6＝3＋5,2＋4＝1＋5，
∴从数字1,2,3,4,5,6中取两个相加，共得4个不同的偶数，
故答案为4.
8．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示__22__条不同的直线.
[解析]　若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．
9．5名乒乓球队员中，有2名
( http: / / www.21cnjy.com )老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛
，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__48__种．(用数字作答)
[解析]　本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．
三、解答题
10．有不同的红球8个，不同的白球7个.
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
[解析]　(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种；
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2016·石家庄高二检测)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　B　)
A．243
B．252
C．261
D．279
[解析]　用0,1，…，9十个数字，可
( http: / / www.21cnjy.com )以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
2．(2016·天津高二检测)设m∈{1,
( http: / / www.21cnjy.com )2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为m>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0；
故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，
若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，
则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.
∴m＋n≤－1且2m＋n≥－8，
∴－2m－8≤n≤－m－1，
当m＝1时，n取－2，－4，－8；
m＝2时，n取－4，－8，－12；
m＝3时，n取－4，－8，－12；
m＝4时，n取－8，－12；
共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n情况有4×4＝16种，
故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是，故选C．
二、填空题
3．一个科技小组中有4名
( http: / / www.21cnjy.com )女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__9__种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__20__种.
[解析]　由分类加法计数原理得从中任选一名同
( http: / / www.21cnjy.com )学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．
4．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__2n(n－1)__.
[解析]　先在圆周上找一点，因
( http: / / www.21cnjy.com )为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形．
三、解答题
5．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai、bj(i＝1、2、3、4，j＝1、2)均为实数.
(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？
[解析]　(1)因为集合A中的每个元素a
( http: / / www.21cnjy.com )i(i＝1、2、3、4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．
(2)在(1)的映射中，a1、a
( http: / / www.21cnjy.com )2、a3、a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．
所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．
6．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}．现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)在这些点中，位于第一象限的有几个？
[解析]　(1)一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点．
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24(个)．
(2)第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A、B的正数，同样可分为两类，类似于(1)．
由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个)．
C级　能力拔高
如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案.
[解析]　本题的解法可按照顺序涂色，但要注意分A，C是同色或不同色两类，也可按照涂色种类分为涂4种、3种或2种颜色，然后在每类中分步．
解法一：按A，C颜色相同或不同进行分类．
若A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80种涂法．
若A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180种涂法．
根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260种不同的涂色方案．
解法二：按涂色种类进行分类．
第一类：涂4种颜色，分四步：A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法．
故共有5×4×3×2＝120种涂法．
第二类：涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同．
当A，C颜色相同时，A，C有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法．
故共有5×4×3＝60种涂法．
当B，D颜色相同时，同理也有60种不同的涂法，故共有60＋60＝120种涂法．
第三类：涂2种颜色，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，A，C有5种涂法，B，D有4种涂法．
故共有5×4＝20种涂法．
根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260种不同的涂色方案．第二章
2.3
2.3.2
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A级　基础巩固
一、选择题
1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　C　)
A．3·2－2　
B．2－4　
C．3·2－10　
D．2－8
[解析]　E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，
∴p＝，n＝12，
则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10.
2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是(　D　)
A．0和1
B．p和p2
C．p和1－p
D．p和(1－p)p
[解析]　由X的分布列知，P(X＝0)＝1
( http: / / www.21cnjy.com )－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　A　)
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A．
B．
C．
D．
[解析]　∵E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，
∴E(ξ)＝1.8
即：1×＋2m＋3n＋4×＝1.8，
∴2m＋3n＝①
又m＋n＝1－－＝②
由①②得，m＝.
4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品10
( http: / / www.21cnjy.com )00件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定(　B　)
表一
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0
0.2
0.1
表二
ξ
0
1
2
3
P
0.6
0.2
0.1
0.1
A．甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同
D．无法判定
[解析]　由分布列可求甲的次品
( http: / / www.21cnjy.com )数期望为E(ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E(η)＝0.7，进而得D(ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D(η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．
5．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为(　B　)
A．64
B．256
C．259
D．320
[解析]　由X～B(100,0.2
( http: / / www.21cnjy.com ))知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B．
6．已知X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
且a、b、c成等比数列，E(X)＝，则a＝(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由分布列的性质得a＋b＋c＝①
∵E(X)＝，∴－a＋c＋＝，
∴a－c＝，②
又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③
将②代入①、③得，
由④得b＝－2a，代入⑤得，a＝或a＝，
当a＝时，a＋＝>0，不合题意舍去，∴a＝.
二、填空题
7．(2016·海口高二检测)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＝2，则D(X)＝__1__.
[解析]　随机变量X服从二项分布X～B(4，p)，E(X)＝2，
∴4p＝2，∴p＝，
∴D(X)＝4p(1－p)＝1，故答案为1.
8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝　　.
[解析]　设ξ＝1的概率为p.
则E(ξ)＝0×＋1×p＋2(1－p－)＝1，
∴p＝.
故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
9．(2016·枣庄市高二检测)抛掷
( http: / / www.21cnjy.com )一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B(n，)，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝　　.
[解析]　∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，且P(ξ＝1)＝，∴C·()n－1·(1－)＝，
即n·()n＝，解得n＝6，
∴方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝.
三、解答题
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数
5
6
7
8
9
10
次数
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如下表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析]　(1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.
设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8
( http: / / www.21cnjy.com ).4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)设ξ是离散
( http: / / www.21cnjy.com )型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1A．
B．
C．3
D．
[解析]　由E(ξ)＝，D(ξ)＝得，
解之得，或
∵x12．随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意知，
∴
∴D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.
二、填空题
3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
已知E(ξ)＝6.3，随机变量η～B(a，b)，则D(η)＝__1.68__.
[解析]　由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，
∵E(ξ)＝4×0.5＋0.1×a＋9×0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，
∵η～B(a，b)，即η～B(7,0.4)，
∴D(η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68.
4．已知总体的各个体的值
( http: / / www.21cnjy.com )由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__10.5、10.5__.
[解析]　由题意得＝10.5，∴a＋b＝21，
＝＝10，
∴s2＝[(10－2)2＋(10－3)2
( http: / / www.21cnjy.com )＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]
＝[82＋72＋72＋32＋(10－a)2＋(10－b)2＋4＋3.72＋8.32＋102]
＝[(10－a)2＋(10－21＋a)2＋…]
＝[2(a－10.5)2＋…]
当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5.
三、解答题
5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道
( http: / / www.21cnjy.com )乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
[解析]　(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，
则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有的可能取值为0、1、2、3.
P(X＝0)＝C·()0·()2·＝；
P(X＝1)＝C·()1·()1·＋C()0·()2·＝；
P(X＝2)＝C·()2·()0·＋C()1·()1·＝；
P(X＝3)＝C·()2·()0·＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
6．(2016·山师附中高二检测)现对
( http: / / www.21cnjy.com )某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.
(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；
(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；
(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．
[解析]　(1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.
其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，
∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．
(2)由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(3)由已知得Y～B(3，)，
∴E(Y)＝np＝3×＝，
∴含有一级运动员人数Y的期望为.
C级　能力拔高
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数
( http: / / www.21cnjy.com )趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
[解析]　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)
＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．第二章
2.3
2.3.1
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　B　)
A．无法求　　　　　
B．0
C．E(X)
D．2E(X)
[解析]　只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于(　D　)
A．1
B．0.6
C．2＋3m
D．2.4
[解析]　由0.5＋m＋0.2＝1得，m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是(　C　)
A．n
B．(n－1)
C．
D．(n＋1)
[解析]　设抽到的次品数为X
( http: / / www.21cnjy.com )，∵共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝.
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　B　)
A．0.765　
B．1.75　
C．1.765　
D．0.22
[解析]　由题意知，X取值为0,1,2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
5．(2016·珠海高二检测)若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(　D　)
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A．
B．
C．
D．
[解析]　由2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
6．如果a1、a2、a3、a
( http: / / www.21cnjy.com )4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是(　A　)
A．0
B．3
C．6
D．12
[解析]　由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.
二、填空题
7．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)＝8.9，则y的值为__0.4__.
[解析]　∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得.
8．一袋中装有分别标记着
( http: / / www.21cnjy.com )1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X、Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝　　.
[解析]　由题意知ξ的取值为0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
9．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值为　　.
[解析]　由表可得从而得P∈[0，]，期望值E(X)＝0×(－p)＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
三、解答题
10．(2016·衡水中学高
( http: / / www.21cnjy.com )二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：
环数击中频率选手　　　
　
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3
乙
0.2
0.2
0.35
请你根据上述信息，解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？
[解析]　(1)记甲运动员击中n环为事件A
( http: / / www.21cnjy.com )n；乙运动员击中n环为事件Bn(n＝1,2,3，…，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与事件B9∪B10独立．
∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，
P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55.
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575.
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，由题意知X、Y的可能取值为：7、8、9、10.
甲运动员射击环数X的概率分布列为：
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
甲运动员射击环数X的均值
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
乙运动员射击环数Y的概率分布列为：
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
乙运动员射击环数Y的均值
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.
∵E(X)>E(Y)，
∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知抛物线y＝ax2＋
( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　A　)
A．3
B．4
C．5
D．2
[解析]　设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，
∴x＝3.
二、填空题
3．设离散型随机变量X可能取
( http: / / www.21cnjy.com )的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝　　.
[解析]　由条件知
∴∴，∴a＋b＝.
4．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为　　.
ξ
1
2
3
4
P
m
n
[解析]　η＝4ξ－2 E(η)
( http: / / www.21cnjy.com )＝4E(ξ)－2 7＝4·E(ξ)－2 E(ξ)＝ ＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝.
三、解答题
5．(2016·南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示.
(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[
( http: / / www.21cnjy.com )30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．
从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150,200,250,300.
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝，
∴X的分布列为：
X
150
200
250
300
P
E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.
6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[解析]　(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，所以乙投球的命中率为.
(2)由题设和(1)知P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
ξ可能的取值为0、1、2、3，故
P(ξ＝0)＝P()P(·)＝×()2＝，
P(ξ＝1)＝P(A)P(·)＋CP(B)P()·P()
＝×()2＋2×××＝，
P(ξ＝3)＝P(A)P(B·B)＝×()2＝，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
C级　能力拔高
浙江卫视的《中国好声音(The
Voice
( http: / / www.21cnjy.com )of
China)》节目是大型励志专业音乐评论节目．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
导师转身人数(人)
4
3
2
1
获得相应导师转身的选手人数(人)
1
2
2
1
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况．
(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；
(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X)
.
[解析]　(1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转身，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身．
从6人中随机抽取两人有C＝15种情况，
其中选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的有C＋CC＝3(种)，
故所求概率为P＝＝.
(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7.
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝；P(X＝5)＝＝＝；P(X＝6)＝＝＝；P(X＝7)＝＝.
所以X的分布列如下：
X
3
4
5
6
7
P
由X的分布列，可得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝5.第二章　学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(　D　)
A．3　　
B．4　　
C．9　　
D．10
[解析]　∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10.
2．(2017·浙江理，8)已知随机变
( http: / / www.21cnjy.com )量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，(i＝1,2.)若0A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
[解析]　由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．
又∵0把方差看作函数y＝x(1－x)，
根据0<ξ1<ξ2<知，D
(ξ1)3．已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于(　B　)
X
0
1
P
m
2m
A．
B．
C．
D．
[解析]　由m＋2m＝1得，m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝，故选B．
4．(2016·天水高二检测)设随
( http: / / www.21cnjy.com )机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是(　B　)
A．a＝1或2
B．a＝±1或2
C．a＝2
D．a＝
[解析]　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．
5．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，
又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝.
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　C　)
A．恰有1只是坏的
B．4只全是好的
C．恰有2只是好的
D．至多有2只是坏的
[解析]　X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．
7.将一个半径适当的小球放入如图
( http: / / www.21cnjy.com )所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　小球落入B袋中的概率为P1＝(××)×2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.
8．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为(　D　)
A．13,4
B．13,8
C．7,8
D．7,16
[解析]　由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(　A　)
A．7.8
B．8
C．16
D．15.6
[解析]　X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.
E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
10．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，则m－n＝(　D　)
A．－
B．7
C．
D．－5
[解析]　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，
又E(ξ2)＝12×＋22×＋32×＋42×＋52×＝15，∴m－n＝－5.
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3
( http: / / www.21cnjy.com )分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·2＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面
( http: / / www.21cnjy.com )分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·泉州高二检测)袋中
( http: / / www.21cnjy.com )有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为__11__.
[解析]　根据题意得出随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
∵η＝aξ－2，E(η)＝1，
∴1＝a×－2，即a＝2，
∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，
D(ξ)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＋×(4－)2＝，
∵D(η)＝4D(ξ)＝4×＝11.
故答案为11.
14．一盒子中装有4只产品，其中3只一
( http: / / www.21cnjy.com )等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝　　.
[解析]　由条件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
15．在一次商业活动中，
( http: / / www.21cnjy.com )某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元.
[解析]　设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140.
16．甲罐中有5个红球，2个白球和
( http: / / www.21cnjy.com )3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号).
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[解析]　从甲罐中取出一
( http: / / www.21cnjy.com )球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.
(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．
[解析]　(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝＝，
即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.
(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么
P(E)＝＝，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
P()＝1－P(E)＝.
(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，
则p(ξ＝2)＝＝.
所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝，
ξ的分布列是：
ξ
1
2
p
∴E(ξ)＝1×＋2×＝.
18．(本题满分12分)(2017
( http: / / www.21cnjy.com )·天津理，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
[解析]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
19．(本题满分12分)(201
( http: / / www.21cnjy.com )7·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
[解析]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望
EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
20．(本题满分12分)(2016
( http: / / www.21cnjy.com )·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析]　(1)由已知有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以，随机变量X分布列为：
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
21．(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求p(187.8②某用户从该企业购买了10
( http: / / www.21cnjy.com )0件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[解析]　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋
( http: / / www.21cnjy.com )(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而
P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，
依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.
22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行
( http: / / www.21cnjy.com )比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3︰0,3︰1,3︰2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3︰0或3︰1，则
( http: / / www.21cnjy.com )胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3︰2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
[解析]　(1)依次将事
( http: / / www.21cnjy.com )件“甲队以3︰0胜利”、“甲队以3︰1胜利”、“甲队以3︰2胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C·()2·(1－)×＝，
P(A3)＝C()2·(1－)2×＝.
所以甲队以3︰0胜利、以3︰1胜利的概率都为，以3︰2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3︰2胜利”为事件A4，则由题意知
P(A4)＝C(1－)2·()2×(1－)＝.
由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，
由事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2××＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.第一章
1.1
第2课时
( http: / / www.21cnjy.com )
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有(　C　)
A．125个　
B．15个　
C．100个　
D．10个
[解析]　由题意可得a≠0，可分以下几类，
第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；
第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．
由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C．
2．(2016·无锡高二检测)体育老师把9
( http: / / www.21cnjy.com )个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(　B　)
A．8种
B．10种
C．12种
D．16种
[解析]　首先在三个箱子中放入个数与编号相同
( http: / / www.21cnjy.com )的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．
综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．
3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为(　A　)
A．18
B．24
C．60
D．48
[解析]　根据题意，B只适合当学习委员
( http: / / www.21cnjy.com )，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人，担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案，故选A．
4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　本题考查计数原理与古典概型，
∵两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有4×5＝20个数，若个位数为偶数，共有5×5＝25个数，其中个位为0的数共有5个，
∴P＝＝.
5．如图，某电子器件是由
( http: / / www.21cnjy.com )三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有(　C　)
A．6种
B．36种
C．63种
D．64种
[解析]　每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．
6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　D　)
A．3
B．4
C．6
D．8
[解析]　当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.
当公比为3时，等比数列可为1、3、9.
当公比为时，等比数列可为4、6、9.
同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．
二、填空题
7．(2016·温州高二检测)有一质地
( http: / / www.21cnjy.com )均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1、2、3、4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为　　.
[解析]　本题是一道古典概型
( http: / / www.21cnjy.com )问题．用有序实数对(a，b，c)来表示连续抛掷3次所得的3个数字，则该试验中共含4×4×4＝64个基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则所求概率P＝.
8．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有__180__种.
[解析]　依次给区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ涂色分别有5、4、3、3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法的种数为5×4×3×3＝180.
9．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法__242__种.
[解析]　取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；
取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；
取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．
三、解答题
10．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.
(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
[解析]　(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．
∴甲有6种不同的获奖情况．
(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64(种)．
B级　素养提升
一、选择题
1．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为(　C　)
A．16
B．18
C．24
D．32
[解析]　若将7个车位从
( http: / / www.21cnjy.com )左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有6种，故共有24种不同的停放方法．
2．先后掷两次正方体骰子
( http: / / www.21cnjy.com )(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m、n，则mn是奇数的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　先后掷两次正方体骰子总共有36种可
( http: / / www.21cnjy.com )能，要使mn是奇数，则m、n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P＝＝.
二、填空题
3．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是　　.
[解析]　cosθ＝＝，
∵θ∈(0，)，∴eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,ahttp://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )b.))
∴
∴m>n，则m＝2时，n＝1；m＝3时
( http: / / www.21cnjy.com )，n＝1,2；m＝4时，n＝1,2,3；m＝5时，n＝1,2,3,4；m＝6时，n＝1,2,3,4,5.
则这样的向量a共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，
而第一次投掷骰子得到的点数m有6种情形，同样n也有6种情形，∴不同的向量a＝(m，n)，共有6×6＝36个，因此所求概率P＝＝.
4．从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两
( http: / / www.21cnjy.com )个元素作为双曲线－＝1中的几何量a、b的值，则“双曲线渐近线的斜率k满足|k|≤1”的概率为　　.
[解析]　所有可能取法有6
( http: / / www.21cnjy.com )×5＝30种，由|k|＝≤1知b≤a，满足此条件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)共15种，
∴所求概率P＝＝.
三、解答题
5．(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱，用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？
[解析]　分两步，先给上底
( http: / / www.21cnjy.com )面的5个顶点染色，每个顶点都有3种方法，共有35种方法，再给下底面的5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有2种方法，共有25种方法，根据分步乘法计数原理，共有35·25＝7776(种)染色方案．
6．用1、2、3、4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an＝341，求n.
[解析]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项．
(3)比an＝341小的数有两类：；
( http: / / www.21cnjy.com ).共有2×4×4＋1×3×4＝44项．
∴n＝44＋1＝45(项)．
C级　能力拔高
(2017·日照高二检测)用n种不同颜色为下
( http: / / www.21cnjy.com )列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.
[解析]　完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方法数，再由分步乘法计算原理确定总的着色方法数．
(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．
所以共有着色方法6×5×4×4＝480(种)．
(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)·(n－2)(n－3)，由
n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
所以(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.
所以n2－3n－10＝0.所以n＝5.第二章
2.2
2.2.1
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A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·烟台高二检测)从1,2,
( http: / / www.21cnjy.com )3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
由条件概率公式得P(B|A)＝＝.故选B．
2．一个盒子里有20个大小形状相同的小球
( http: / / www.21cnjy.com )，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P＝＝.
3．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　设Ai表示第i次(i＝1、2)取到白球的事件，因为P(A1)＝，P(A1A2)＝×＝，
在放回取球的情况下：P(A2|A1)＝＝.
4．(2016·大连高二检测)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　有一个是女孩记为事件A，另一个是女孩记为事件B，则所求概率为
P(B|A)＝＝.
5．(2016·辽阳高二检测)在5道题中
( http: / / www.21cnjy.com )有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，
由已知P(AB)＝，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝.
6．电视机的使用寿命与显像管开关
( http: / / www.21cnjy.com )的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是(　A　)
A．0.75
B．0.60
C．0.48
D．0.20
[解析]　记“开关了100
( http: / / www.21cnjy.com )00次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(A∩B)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P＝＝＝0.75.
二、填空题
7．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%.
(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为　　；
(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为__0.6__.
[解析]　设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则P(A)＝20%＝0.2，P(B)＝18%＝0.18，P(AB)＝12%＝0.12.
(1)P(A|B)＝＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝0.6.
8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为　　.
[解析]　设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
9．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于　　.
[解析]　∵P(B|A)＝，
∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
∴P(B)＝＝＝.
三、解答题
10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.
[解析]　令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2.
解法一：n(A1)＝CC，n(A1A2)＝CC，
故P(A2|A1)＝＝＝.
解法二：因事件A1已发生(已知)，
( http: / / www.21cnjy.com )故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝.
B级　素养提升
一、选择题
1．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　从5个球中任取两个，有C＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C＋1＝4种，
∴P＝＝.
2．(2016·沈阳高二检测
( http: / / www.21cnjy.com ))一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　解法一：设A＝“
( http: / / www.21cnjy.com )第一次取到二等品”，B＝“第二次取得一等品”，则AB＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P(A|B)＝＝＝.
解法二：设一等品为a、b、c，二等品为A、B，
“第二次取到一等品”所含基本事件有(a，
( http: / / www.21cnjy.com )b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共12个，其中第一次取到二等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P＝＝.
二、填空题
3．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为　　.
[解析]　解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为.
解法二：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
4．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为　　.
[解析]　解法一：投掷两颗骰子，其
( http: / / www.21cnjy.com )点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P＝.
解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
三、解答题
5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
[解析]　设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，
( http: / / www.21cnjy.com )事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
解法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
6．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计).
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
[解析]　(1)由题意知
( http: / / www.21cnjy.com )，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，
A＝{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…，6}
B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}
C＝{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…，6}
∴Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．
又∵B、C是互斥事件，
故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，则
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
故X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件E，由上面分析得
P(D)＝，P(DE)＝，
∴P(E|D)＝＝.
C级　能力拔高
(2017·三明高二检测)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
[解析]　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为
C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3.
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取
( http: / / www.21cnjy.com )出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.综合学业质量标准自测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　A　)
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16　　
B．11　　
C．2.2　
D．2.3
[解析]　由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A．
2．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(　A　)
A．1
B．－1
C．0
D．2
[解析]　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋)4，
令x＝－1，
a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4.
所以，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋)4(－2＋)4＝1.
3．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外
( http: / / www.21cnjy.com )取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　D　)
A．C102
B．C92
C．C92
D．C102
[解析]　“X＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，
∴P(X＝12)＝C()9·()2·
＝C()10·()2，故选D．
4．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1、2、3、4)，其中a为常数，则P的值为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝.
因为P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝，故选D．
5．某人从家乘车到单位，途中有3
( http: / / www.21cnjy.com )个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为(　B　)
A．0.4
B．1.2
C．0.43
D．0.6
[解析]　∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
6．(2015·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40
000大的偶数共有(　B　)
A．144个
B．120个
C．96个
D．72个
[解析]　据题意，万位上只
( http: / / www.21cnjy.com )能排4、5.若万位上排4，则有2×A个；若万位上排5，则有3×A个．所以共有2×A＋3×A＝5×24＝120个．选B．
7．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1
( http: / / www.21cnjy.com ))、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　C　)
A．r2B．0C．r2<0D．r2＝r1
[解析]　画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系数r2<0，故选C．
8．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则等于(　B　)
A．p2
B．(1－p)2
C．1－p
D．以上都不对
[解析]　因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以＝＝(1－p)2.故选B．
9．(2016·哈尔滨高二检测)如
( http: / / www.21cnjy.com )果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有(　D　)
A．50种
B．51种
C．140种
D．141种
[解析]　按第二天到第七天选择持平次数分类得C＋CA＋CCC＋CCC＝141种．
10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
女
男
合计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系(　C　)
A．99%的可能性
B．99.75%的可能性
C．99.5%的可能性
D．97.5%的可能性
[解析]　由题意可知a＝16，b＝28，c
( http: / / www.21cnjy.com )＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72，
代入公式K2＝得K2＝≈8.42，
由于K2≈8.42>7.879，
我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．
11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出
( http: / / www.21cnjy.com )现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　4个引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4>p2，必有12．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　C　)
A．400种
B．460种
C．480种
D．496种
[解析]　涂A有6种涂法，
( http: / / www.21cnjy.com )B有5种，C有4种，因为D可与A同色，故D有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．将6位志愿者分成4组，其
( http: / / www.21cnjy.com )中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有__1080__种(用数字作答).
[解析]　先将6名志愿者分为4组，共有种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A种分法，故所有分配方案有：·A＝1
080种．
14．(2015·山东理，11)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N
时，
C＋C＋C＋…＋C＝__4n－1__.
[解析]　第n个等式左边是n项组
( http: / / www.21cnjy.com )合数的和，组合数C的构成规律是下标为m＝2n－1，上标k的取值依次从0到n－1，即C＋C＋…＋C，等式右边为4n－1.
故由归纳推理的思想得：
C＋C＋C＋…＋C＝4n－1，所以答案应填4n－1.
15．给出如下四个结论：
①若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)且P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝0.16；
② a∈R＋，使得f(x)＝－a有三个零点；
③设线性回归方程为＝3－2x，则变量x每增加一个单位时，y平均减少2个单位；
④若命题p： x∈R，ex>x＋1，则 p为真命题；
以上四个结论正确的是__①③④__.(把你认为正确的结论都填上)
[解析]　由正态分布曲线得P
( http: / / www.21cnjy.com )(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16，①正确；令g(x)＝，得g′(x)＝，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(－1,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，得g(x)极大值＝g(－1)＝e，g(x)极小值＝g(2)＝－5e－2，且g(－±)＝0，x→＋∞时，g(x)<0，∴g(x)的图象如图所示
故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当x＝0时，e0>1错误，故p为假命题， p为真命题，④正确．
16．(2016·烟台检测)平面内有1
( http: / / www.21cnjy.com )0个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定__36__条直线；共可确定__110__个三角形.
[解析]　设10个点分别为A1、
( http: / / www.21cnjy.com )A2、…、A10，其中A1、A2、…、A5共线，Ai(i＝1,2，…，5)与A6、A7、…、A10分别确定5条直线，共25条；
A1、A2、…、A5确定1条；
A6、A7、…、A10确定C＝10条，
故共可确定36条直线．
在A1、A2、…、A5中任取两点，在A6、A7、…、A10中任取一点可构成CC＝50个三角形；
在A1、A2、…、A5中任取一点，在A6、A7、…、A10中任取两点可构成CC＝50个三角形；
在A6、A7、…、A10中任取3点构成C＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.
(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？
[解析]　(1)正、副组长相邻而坐，可将
( http: / / www.21cnjy.com )此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．
(2)记录员坐在正、副组长中间，可
( http: / / www.21cnjy.com )将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．
18．(本题满分12分)已知(－)n的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等.
(1)求n；
(2)求展开式中x的一次项的系数．
[解析]　(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C＝C，
解得n＝11.
(2)由(1)知，展开式的第r＋1项为
Tr＋1＝C()11－r(－)r＝(－2)rCx.
令＝1得k＝3.
此时T3＋1＝(－2)3Cx＝－1320x，
所以展开式中x的一次项的系数为－1320.
19．(本题满分12分)某班50位学生
( http: / / www.21cnjy.com )期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
[解析]　(1)图中x所在组为[80,90]即第五组，
∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x＝0.018.
(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24，
所以成绩不低于80分的学生有：50f＝50×0.24＝12人．
成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3
所以为ξ的取值为0、1、2
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
所以为ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(本题满分12分)(2016·沈阳市
( http: / / www.21cnjy.com )质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
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(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝)
[解析]　(1)甲班成绩为8
( http: / / www.21cnjy.com )7分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C＝10个，
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有CC＋C＝7个，所以P＝.
(2)
甲班
乙班
合计
优秀
6
14
20
不优秀
14
6
20
合计
20
20
40
K2＝＝6.4>5.024，
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
21．(本题满分12分)从
( http: / / www.21cnjy.com )某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，
a＝－b，
其中，为样本平均值．线性回归方程也可写为＝x＋.
[解析]　(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2.
又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi＝n＝184－10×8×2＝24.
由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
22．(本题满分12分)将一
( http: / / www.21cnjy.com )个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是、.
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(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解析]　(1)记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N.
而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P(M)＝3＋3＝＋＝，
从而P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
且ξ～B.
故P(ξ＝0)＝C0×4＝，
P(ξ＝1)＝C1×3＝，
P(ξ＝2)＝C2×2＝，
P(ξ＝3)＝C3×1＝，
P(ξ＝4)＝C4×0＝.
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
故ξ的数学期望为E(ξ)＝4×＝.第二章
2.4
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A级　基础巩固
一、选择题
1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　C　)
A．(90,110]　　　　　　　
B．(95,125]
C．(100,120]
D．(105,115]
[解析]　由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,
0.9974.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，
60×0.9974≈60人．故选C．
2．(2016·武汉高二检测)某班有50名学
( http: / / www.21cnjy.com )生，一次考试后数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(　C　)
A．10　　
B．9　　
C．8　　
D．7
[解析]　∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102)，
∴考试成绩ξ的概率分布关于ξ＝110对称，
∵P(100≤ξ≤110)＝0.34，
∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝(1－0.34×2)＝0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
故选C．
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　D　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析]　由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又＝，∴σ2＝1.故选D．
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0
( http: / / www.21cnjy.com ).0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为(　C　)
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
[解析]　根据3σ原则，在(8－3×0.1
( http: / / www.21cnjy.com )5,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
5．某市进行一次高三教学质量抽
( http: / / www.21cnjy.com )样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(　D　)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
[解析]　由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，
∴P(ξ>120)＝0.1，
∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]
＝×(1－0.2)＝0.4，故选D．
6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞
( http: / / www.21cnjy.com )，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于(　B　)
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
[解析]　设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．
二、填空题
7．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为　　.
8．(2016·宜昌高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于__0.3__.
[解析]　∵ξ～N(2，σ2)，
( http: / / www.21cnjy.com )∴P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝0.2.∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝×[1－2P(ξ≥4)]＝×[1－2×0.2]＝0.3.
9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中真命题的序号是__①②④__.(写出所有真命题的序号)
[解析]　画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图象关于x＝μ对称；故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确，故填：①②④.
三、解答题
10．某个工厂的工人月收入服从正
( http: / / www.21cnjy.com )态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
[解析]　设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，
所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·湖北理，4)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　C　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析]　由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2
( http: / / www.21cnjy.com )，∴P(Y≥μ2)＝P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)2．(2016·黑龙江省龙东南四校
( http: / / www.21cnjy.com )高二检测)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ≤30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝(　C　)
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
[解析]　根据题意，由随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，P(ξ≤30)＝0.2，
则可知P(30<ξ<50)＝1－P(ξ≤30)－P(ξ≥50)＝1－0.2×2＝0.6，
故选C．
二、填空题
3．某厂生产的零件尺寸服
( http: / / www.21cnjy.com )从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为__(24.94,25.06)__.
[解析]　正态总体N(25,0.
( http: / / www.21cnjy.com )032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
4．设某城市居民私家车平均每
( http: / / www.21cnjy.com )辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14
400)，从该城市私家车中随机选取容量为10
000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6826__辆.
(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
( http: / / www.21cnjy.com )<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)
[解析]　由已知得：μ＝520，
( http: / / www.21cnjy.com )σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.6826×10000＝6826.
三、解答题
5．一投资者在两个投资方案中选择一
( http: / / www.21cnjy.com )个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
[解析]　对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5＝＝；
对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝＝.
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
6．(2016·天水高二检
( http: / / www.21cnjy.com )测)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学.
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析]　(1)P(80≤X<85)＝－P(X≤75)＝0.2，
P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－
P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，
所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024.
(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，
所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，
P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，
P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，
所以随机变量ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．
C级　能力拔高
某砖瓦厂生产的砖的抗断强度X服从正态
( http: / / www.21cnjy.com )分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？
[解析]　解决本题的关键是看随机抽查
( http: / / www.21cnjy.com )的一块砖的抗断强度是否符合3σ原则，若符合，则认为这批砖合格，否则不合格．因为μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算μ－3σ和μ＋3σ.
欲判定这批砖是否合格，关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外．
由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，故X几乎必然落在上述区间内．
于是把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，
即算出的区间(μ－3σ，μ＋3σ]＝(27.6,32.4]，
而27.5 (27.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．第三章　学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
t
4.8
6.7
且回归方程是＝0.95x＋2.6，则t＝(　C　)
A．2.5　
B．3.5　
C．4.5　
D．5.5
[解析]　∵＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，∴＝0.95×2＋2.6＝4.5，
又＝(2.2＋4.3＋t＋4.8＋6.7)，
∴t＝4.5，故选C．
2．(2016·唐山高二检测)四名同学根据各自的样本数据研究变量x、y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②
y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　D　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析]　y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝x＋中，x的系数>0(或<0)，故①④错．
3．(2016·福州高二检测)在一次
( http: / / www.21cnjy.com )试验中，当变量x取值分别是1，，，时，变量Y的值依次是2,3,4,5，则Y与之间的回归曲线方程是(　A　)
A．＝＋1
B．＝＋3
C．＝2x＋1
D．＝x－1
[解析]　把x＝1，，，代入四个选项，逐一验证可得＝＋1.
4．给出下列五个命题：
①将A、B、C三种个体按3︰1︰2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容量为30；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；
⑤统计的10个样本数据为125、120、
( http: / / www.21cnjy.com )122、105、130、114、116、95、120、134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.
其中真命题为(　B　)
A．①②④
B．②④⑤
C．②③④
D．③④⑤
[解析]　①样本容量为9÷＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③乙＝＝7，s＝[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s>s，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为＝0.4，⑤是真命题．
5．对变量x、y观测数据(x1，y
( http: / / www.21cnjy.com )1)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u、v有观测数据(u1，v1)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断：(　C　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[解析]　本题主要考查了变量的相关知识．
用散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．
6．为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机地对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患疾病A
不患疾病A
总计
男
20
5
25
女
10
15
25
总计
30
20
50
请计算出统计量K2，你有多大的把握认为疾病A与性别有关(　C　)
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A．95%
B．99%
C．99.5%
D．99.9%
[解析]　由公式得K2＝
≈8.333>7.879，
故有1－0.005＝99.5%的把握认为疾病A与性别有关．
7．(2016·大连高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,12)，则回归直线的方程是(　A　)
A．＝2x＋4
B．＝x＋2
C．＝2x－20
D．＝x＋2
[解析]　由回归直线方程＝x＋的定义知，＝2，
∵回归直线过样本点的中心，∴12＝2×4＋，
∴＝4，∴回归直线方程为＝2x＋4.
8．以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　D　)
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　能使所有数据点都在
( http: / / www.21cnjy.com )它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，得到的直线＝bx＋才是回归直线，
∴①不对；②正确；
将x＝25代入＝0.50x－0.81，得＝11.69，
∴③正确；④正确，故选D．
9．某人对一地区人均工资x(千元
( http: / / www.21cnjy.com ))与该地区人均消费Y(千元)进行统计调查，Y与x有相关关系，得到回归直线方程＝0.66x＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　D　)
A．66%
B．72%
C．67%
D．83%
[解析]　该题考查线性回归的实际应用，由条件知，消费水平为7.675千元时，人均工资为≈9.262(千元)．故≈83%.
10．某化工厂为预测某产品的回收率Y
( http: / / www.21cnjy.com )，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y与x的回归方程是(　A　)
A．＝11.47＋2.62x
B．＝－11.47＋2.62x
C．＝2.62＋11.47x
D．＝11.47－2.62x
[解析]　据已知＝
＝≈2.62.
＝－＝11.47.故选A．
11．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　A　)
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.98
0.80
0.50
0.25
A．模型1
B．模型2
C．模型3
D．模型4
[解析]　线性回归分析中，相关系数为r，
|r|越接近于1，相关程度越大；
|r|越小，相关程度越小，
∵模型1的相关系数r最大，∴模拟效果最好，
故选A．
12．下面是某市场农产品的调查表．
市场供应量表：
单价(元/千克)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供应量(1000千克)
50
60
70
75
80
90
市场需求量表：
单价(元/千克)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
供应量(1000千克)
50
60
70
75
80
90
根据以上信息，市场供需平衡点(即供应量和需求量相等的单价)应在区间(　C　)
A．(2.3,2.6)
B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8)
D．(2.8,2.9)
[解析]　以横轴为单价，纵轴为市场供、需量，在同一坐标系中描点，用近似曲线观察可知选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知一个回归直线方程为＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则＝__58.5__.
[解析]　因为＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且＝1.5＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
本题易错之处是根据x的值及＝1.5x＋45求出y的值再求，由＝1.5x＋45求得的y值不是原始数据，故错误．
14．给出下列命题：
①样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②若随机变量X～N(0.43,0.182)，则此正态曲线在x＝0.43处达到峰值；
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差；
④市政府调查江北水城市民收入与市民旅
( http: / / www.21cnjy.com )游欲望的关系时，抽查了3000人．经过计算得K2＝6.023，根据这一数据查阅下表，则市政府有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系.
P(K2≥k0)
…
0.25
0.15
0.10
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
…
1.323
2.072
2.706
5.024
6.635
7.879
10.828
其中正确的命题是__①②④__.
[解析]　根据样本方差的概念、正态
( http: / / www.21cnjy.com )分布的概念可知①②均正确；在回归分布中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，即X与Y有很强的关系，所以③不正确；通过表中的数据和K2＝6.023>5.024可知，可以认为有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系，因此④正确．
15．在2016年春节期间，某市物价
( http: / / www.21cnjy.com )部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为　＝－3.2x＋40　.
[解析]　iyi＝392，＝10，＝8，(xi－)2＝2.5，代入公式，得＝－3.2，所以，＝－＝40，故回归直线方程为＝－3.2x＋40.
16．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__13__，家庭年平均收入与年平均支出有__正__线性相关关系．
[解析]　中位数的定义的
( http: / / www.21cnjy.com )考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(
( http: / / www.21cnjy.com )2016·青岛高二检测)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于
( http: / / www.21cnjy.com )50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
[解析]　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3
( http: / / www.21cnjy.com ))，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}
其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2人中，至少有1人是女
( http: / / www.21cnjy.com )性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：
产量x(千件)
生产费用(千元)
40
150
42
140
48
160
55
170
65
150
79
162
88
185
100
165
120
190
140
185
(1)计算x与y的相关系数；
(2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验；
(3)设回归方程为＝x＋，求回归系数．
[解析]　(1)根据数据可得：
＝77.7，＝165.7，x＝70903，y＝277119，
xiyi＝132938，所以r＝0.808，
即x与y之间的相关系数r≈0.808；
(2)因为r>0.75，所以可认为x与y之间具有线性相关关系；
(3)＝0.398，＝134.8.
19．(本题满分12分)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
设从没服用药物的动物中任取2只，未患病数为ξ；从服用药物的动物中任取2只，未患病数为η，工作人员曾计算过P(ξ＝0)＝P(η＝0)．
(1)求出列联表中数据x、y、M、N的值；
(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义；
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
参考公式：K2＝.
①当K2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联；
②当K2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联．
[解析]　(1)∵P(ξ＝0)＝，P(η＝0)＝，
∴＝×，∴x＝10.
∴y＝40，∴M＝30，N＝70.
(2)ξ取值为0、1、2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝.
P(η＝0)＝＝.
P(η＝1)＝＝.
P(η＝2)＝＝.
η
0
1
2
P
∴E(η)＝.
∴E(ξ)(3)∵K2＝≈4.76.
∵4.76<6.635，∴不能够以99%的把握认为药物有效．
20．(本题满分12分)(2016·洛阳市高二检测)以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系的一组样本数据：
销售经验x(年)
1
3
4
6
10
12
年销售额y(万元)
8
9.5
9
10.5
11
12
(1)根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)试预测销售经验为8年时的年销售额约为多少万元(精确到十分位)
[解析]　(1)由散点图(图略)知y与x呈线性相关关系，由表中数据计算得，＝6，＝10，＝，＝，
回归直线方程：＝x＋.
(2)x＝8时，预测年销售额为×8＋≈10.7万元．
21．(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ理，18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－
.
[解析]　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，
(ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(Ⅰ)得＝＝≈0.103
＝－
≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以，y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
22．(本题满分12分)为了调查学
( http: / / www.21cnjy.com )生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1
000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求n的值并补全频率分布直方图；
(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
住宿生
10
总计
据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？
(3)若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：K2＝
[解析]　(1)设第i组的频率为Pi(i＝1,2，…，8)，由图可知：P1＝×30＝，
P2＝×30＝
∴学习时间少于60分钟的频率为P1＋P2＝
由题意：n×＝5，∴n＝100.
又P3＝×30＝，
P5＝×30＝，P6＝×30＝，P7＝×30＝，
P8＝×30＝，
∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝.
∴第④组的高度为：h＝×＝
频率分布直方图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
(注：未标明高度1/250扣1分)
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，“住宿生”有55人，其中“住宿生”中利用时间不充分的有10人，
从而走读生中利用时间不充分的有25－10＝15人，利用时间充分的有45－15＝30人，由此可得2×2列联表如下：
利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
30
15
45
住宿生
45
10
55
总计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3.030
因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关
(3)由(1)知：第①组2人，第②组3人，第⑧组5人，总计10人，则X的所有可能取值为0,1,2,3
P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)
∴P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝
(或由超几何分布的期望计算公式E(X)＝n×＝3×＝)第一章
1.3
1.3.2
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A级　基础巩固
一、选择题
1．若(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(　C　)
A．第3项　
B．第4项　
C．第5项　
D．第6项
[解析]　令x＝1，得出(3－)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；
∴(3－)8的展开式通项公式为：
Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r＝(－1)r·38－r·C·x4－r，
令4－r＝0，解得r＝4.
∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．
2．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(　A　)
A．奇数
B．偶数
C．3的倍数
D．被3除余1的数
[解析]　9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C
＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－
＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，
∴n＋1为偶数，∴n为奇数．
3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为(　D　)
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析]　通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，当r＝n时为常数项，即(－1)n
( http: / / www.21cnjy.com )＝15，经检验n＝6.
4．若a为正实数，且(ax－)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为(　D　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]由条件知，(a－1)2016＝1，∴a－1＝±1，
∵a为正实数，∴a＝2.
∴展开式的第2016项为：
T2016＝C·(2x)·(－)2015
＝－2C·x－2014＝－4032x－2014，故选D．
5．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　C　)
A．2
B．
C．1
D．
[解析]　二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
6．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是(　A　)
A．8　　　　
B．4　　　　
C．2　　　　
D．1
[解析]　233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，
∴233除以9的余数是8.故选A．
二、填空题
7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答).
[解析]　令x＝1，得2n＝32
( http: / / www.21cnjy.com )，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.
[解析]　Tr＋1＝Cx8－r(－)r
＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，
令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.
9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝__3__.
[解析]　由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.
三、解答题
10．设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017x2017(x∈R).
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．
[解析]　(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2017＝32017②
①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2015＋a2017)＝－1－32017，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝－.
(3)∵Tr＋1＝C·12017－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N
)，a2k>0(k∈N
)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2016－a2017
＝32017.
B级　素养提升
一、选择题
1．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　C　)
A．0
B．2
C．7
D．8
[解析]　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.
2．(2016·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6
( http: / / www.21cnjy.com )cosxdx，＝－12，则f(x)的展开式中x4的系数为(　B　)
A．－240
B．240
C．－60
D．60
[解析]　∵n＝6
( http: / / www.21cnjy.com )cosxdx＝6sinx＝6，
∴f(x)＝(2x＋a)6，
∴f′(x)＝12(2x＋a)5，
∵＝－12，∴＝－12，∴a＝－1.
∴f(x)＝(2x－1)6.
其展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)rC·26－rx6－r，
令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2C·24＝240，故选B．
二、填空题
3．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N
，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝　　.
[解析]　观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝.
4．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则
(1)a8＋a7＋…＋a1＝__255__；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝__32896__.
[解析]　令x＝0，得a0＝1.
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32
896.
三、解答题
5．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
[解析]　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(
)
由于(
)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数和为
C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
6．在二项式(＋)n的展开式中，前三项系数成等差数列.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)二项式(＋)n的展开式中，前三项系数分别为1，，，
再根据前三项系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)．
故二项式(＋)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·2－r·x4－r.
令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为T5＝C·()4＝.
(2)设第r＋1项的系数最大，则由
，求得2≤r≤3，
因为r∈Z，所以r＝2或r＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T3＝7x2，T4＝7x.
C级　能力拔高
(2016·江苏卷)(1)求7C－4C的值；
(2)设m，n∈N
，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.
[解析]　(1)7C－4C＝7×－4×＝0.
(2)当n＝m时，结论显然成立．当n>m时，
(k＋1)C＝＝(m＋1)．
＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.
又C＋C＝C，
所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C
＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]
＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]
＝(m＋1)C.