菱形的性质与判定
一、选择题：
1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．AD＝BC
D．AC＝BD
2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )
A．20 B．16 C．12 D．10
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB//DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
4．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较长的对角线长是( )
A．3
B．4
C．8
D．8
5．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( )
A．10
B．12
C．15
D．20
6．如图，下列条件之一能使 ABCD是菱形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①③④
(第6题图) (第7题图)
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是( )
A．菱形
B．长方形
C．正方形
D．以上都不对
8．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
(第8题图)
9．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．长方形
B．对角线相等的梯形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
10.已知菱形的周长为52cm，两条对角线的长的比是5:12，则它的面积是（
）
B.
C.
D.
11.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
12.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E,则AE的长为（
）
A.4
B.
C.
D.5
填空题：
13.如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝____．
（第13题图)
（第14题）
14．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为___．
15.菱形的周长为20
cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是___cm.
16.如果菱形的两条对角线的长a和b，且a，b满足那么菱形的面积等于_______.
三、解答题：
17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
28．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.
19．已知：如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
22．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
菱形的性质与判定第1课时练习题答案
选择题：
B
解析：由对角线互相平分得到四边形ABCD是平行四边形，再添加AB=BC，则得到平行四边形ABCD是菱形。
2.A
解析：由菱形的对角线互相垂直和平分，得到两条对角线的一半分别是3,4，再由勾股定理得到菱形的边长为5.
3.B
解析：由菱形的性质可得：A,C,D正确，菱形的对角线不相等，故选B.
C
解析：连接对角线,得到4个全等的直角三角形，解直角三角形,得：较长对角线的一半为，所以较长的对角线为。
5.C
解析：菱形的邻边相等,∠A=60°,可得△ABD为正三角形.周长为5x3=15
.
D
解析：由菱形的判定可得 ， ，④正确.
A
解析：∵边BC、CA的中点分别是D、E，
∴线段DE是△ABC的中位线，
∴DE=，DE∥AC．
同理，DF=，DF∥AC．
又AB=AC，∠A＜90°，
∴DE∥AF，DF∥AE，DE=DF，
∴四边形AFDE是菱形．
故选A．
B
解析：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．
C
解析：由三角形中线定理得：各边中点连线等于与其平行的四边形ABCD对角线长的一半,因为是四边相等的菱形,则ABCD对角线仅满足长度相等即可,位置关系无所谓.
B
解析：设菱形边长为x厘米,则依题意可得：
4×x=52
x=13
设菱形为ABCD对角线的交点为O,
因为菱形对角线互相垂直平分,
即AC垂直于BD,且AO=OC,BO=OD.
所以在RT△ABO中,AO：BO=5：12,
则可设AO=5a,BO=10a,有勾股定理可得
∴a=1
∴对角线的长分别为5,12
∴菱形的面积=5×12=60.
11.D
解析：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，
∴AB=AD=BD=2cm，
∴OB=1cm，
∴OA=cm，
∴AC=cm，
∴菱形的面积为.
C.
解析：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是=×AC DB=24，
∴BC AE=24，
AE=，
故选：C．
填空题：
13.5;
解析：：∵菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则AB=1-（-4）=5,
∴AB=BC=5．
14.12；
解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=．
15.5_
解析：由条件可知,菱形的边长为5厘米
菱形相邻的两个内角之和为180度,180÷3=60,菱形的两个相邻内角为60°、120°,
菱形长对角线=厘米
16.2
解析：根据题意得：a=1,b=4,∴其面积为2.
解答题：
17.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且BO＝DO.
在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，
由勾股定理，得BO＝3，
∴BD＝6
18.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵点E，F分别是CD，AD的中点，
∴DE＝CD，DF＝AD，
∴DE＝DF.
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴AE＝CF
19..解：(1)证明：∵ ABCD中，点O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中
∴△DOE≌△BOF(ASA)
(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形，理由：
∵△DOE≌△BOF，
∴BF＝DE，
又∵BF//DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BO＝DO，∠EOD＝90°，
∴EB＝DE，
∴四边形BFDE为菱形
20.(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形
(2)当AB＝BC时，四边形是菱形．理由如下：
∵点D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形
21.解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC且2DE=BC,
又BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF//BC,
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF,
∴四边形BCFE是菱形；
（2）∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
又BE=BC,
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4,可求其高为
∴菱形的面积为
22.解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE＝EC
(2)点F是线段BC的中点．理由：
∵ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝30°.
∴AF是△ABC的角平分线．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF.
∴点F是线段BC的中点 第一章《特殊平行四边形》
《正方形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2.过程与方法
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.
3.情感态度和价值观
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
【教学重点】
掌握正方形的判定条件.
【教学难点】
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1.怎样判断一个四边形是平行四边形？
2.怎样判断一个四边形是矩形？
3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、探究新知
正方形的判定1.矩形法
活动1：满足什么条件的矩形是正方形？
操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
有一组邻边相等
或对角线垂直
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一组邻边相等的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AB=AD
∴矩形四边形ABCD是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD
∴矩形四边形ABCD是正方形
正方形的判定2：菱形法
活动2：满足什么条件的菱形是正方形？
操作2
.你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
有一个角是直角
或对角线相等
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°
∴菱形四边形ABCD是正方形
对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，AC=BD
∴菱形四边形ABCD是正方形
正方形的判定3：定义法
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
对角线相
对角线垂直
等
对角线垂对角线相等
直
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD
∴平行四边形ABCD是正方形
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是正方形
正方形的判定4：四边形法
（1）四条边相等，四个角都是直角
（2）对角线互相垂直、平分且相等
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
总结：正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
三、例题讲解
例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的是（
）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AD∥BC
∠A＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.
例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.
分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.
例3.
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的
矩形是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°，BE=CE
∴四边形BECF是正方形．
四、巩固练习：
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ）
A.∠D=90°
B.AB=CD
C.AD=BC
D.BC=CD
分析：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ B ）
①②
B.②③
C.①③
D.②④
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件
______
时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF=
AC=CE，，DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．
首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．
解：四边形EBFM是正方形．理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形
五、拓展提高
已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。
证明：如图，连接BD
∵D、G分别是AB、AD的中点
∴DG是△ABD的中位线
∴DG//BD,,
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD,
∴DG=EF,DG//EF
∴四边形DEFG是平行四边形.
若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
归纳：特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
六、课堂总结
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
七、作业布置
习题1.8：知识技能第2，3两题
【板书设计】
§1.3
正方形的性质与判定(2)
正方形的判定：
例1
例2
练习
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习正方形与平行四边形和矩形、菱形的关系，从而引出正方形的判定。第二部分是合作探究证明正方形的判定。第三部分是应用和检测。应用正方形的判定解决问题。(共52张PPT)
北师大版九年级上册
第三节：正方形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
(1)平行四边形的对边__________,对角_____,
对角线________.
(2)菱形的四边_______,对边_____,对角______,
对角线___________________,且每一组对角线平分一组对角.
(3)矩形的对边__________,对角_____,
对角线_______________.
平行且相等
互相平分且相等
相等
互相平分且互相垂直
平行且相等
互相平分
平行
相等
相等
相等
问题:
从这个图形中你能得到什么？
你是怎样想到的？
┓
90°
当
=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
探究新知
探究新知
定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
┓
90°
正方形还可以怎样定义呢？
探究新知
定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
边相等
有一组邻
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
探究新知
如何在平行四边形的基础上定义正方形呢？
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案和工艺品设计上.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
想一想
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(D)
探究新知
正方形的性质=菱形的性质+矩形性质
边：
对边平行
四边相等
角：
四个角都是直角
对角线：
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
图形的对称性：
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
已知：正方形ABCD，
求证:AB=BC=CD=AD
,∠A=∠B=∠C=∠D.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
,
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.
证明：∵ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC.
∴ΔABC≌ΔDCB,
∴AC=BD.
∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,
∴ΔAOB≌ΔAOD,
∴∠AOB=∠AOD,
又∠AOB+∠AOD=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
即对角线互相垂直且相等.
已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.
例题讲解
例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.
解析：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=2,∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
P
A
B
C
D
E
F
O
分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.
解：∵ABCD是正方形
∴AO=
AC=5
,∠BAC=45°,AC⊥BD
又∵PE⊥AC,
PF⊥BD
∴四边形PEOF为矩形
∴PF=OE
在△APE中,∠PAE=45°
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
5
例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;
(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
(2)如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
巩固练习
1.判断题：
（1）四个角都相等的四边形是正方形.
（
）
(2)四条边都相等的四边形是正方形.
（
）
（3）对角线相等的菱形是正方形.
(
)
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.
（
）
（5）对角线垂直相等的四边形是正方形.
(
)
(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
(
)
×
×
√
√
×
√
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF
=8cm，则AC=________.
30°
16cm
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.
E
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
O
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
∴∠AEB=60-15-15=30°
提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.
1.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解：连接PC
∵PE⊥BC
，
PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
巩固提高
2.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC,
AE交DC于点F,试求∠E,
∠AFC的度数
解：
∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是⊿CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°,
∠AFC=112.5°
j
F
E
A
B
D
C
平行四边形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角
2.正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
3.正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
课堂总结
课后作业
1.习题1.7：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.正方形的性质
1.正方形的定义
激
趣
导
入
复习引入
边
角
对角线
正方形的对边平行且相等，四条边相等
正方形的四个角都是直角
正方形的
两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
创设情境
满足什么条件的矩形是正方形，什么条件的菱形是正方形,什么条件的平行四边形是正方形
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一组邻边相等
满足什么条件的矩形是正方形？
操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（
）=正方形
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究1
或对角线互相垂直
有一组邻边相等的矩形是正方形.
∵在矩形ABCD中，AB=AD
∴矩形四边形ABCD是正方形
正方形的判定：矩形法
几何语言：
对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：
∵在矩形ABCD中，AC⊥BD
∴矩形四边形ABCD是正方形
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角
操作2
.你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（
）=正方形
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
探究2
满足什么条件的菱形是正方形？
或对角线相等
有一个角是直角的菱形是正方形.
∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°
∴菱形四边形ABCD是正方形
正方形的判定：菱形法
几何语言：
对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：
∵在菱形ABCD中，AC=BD
∴菱形四边形ABCD是正方形
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
满足什么条件的平行四边形是正方形？
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
探究3
相等
对角线
垂直
对角线
垂直
对角线
相等
对角线
（
）+
（
）+平行四边形=正方形。
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD
∴平行四边形ABCD是正方形
正方形的判定：定义法
几何语言：
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是正方形
几何语言：
探究4
（1）四条边相等，四个角都是直角
（2）对角线互相垂直、平分且相等
满足什么条件的四边形是正方形？
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的是（
）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AD∥BC
∠A＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.
A
例题讲解
例3.
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形
BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得
出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的
矩形是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°，BE=CE
∴四边形BECF是正方形．
巩固练习
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A.∠D=90°
B.AB=CD
C.AD=BC
D.BC=CD
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
D
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件
______
时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF=
AC=CE，，DE=
BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
AC=BC
4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．
首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．
此题考查正方形的判定，矩形的性质以及角平分线的性质，结合图形，利用已知条件灵活解决问题．
解：四边形EBFM是正方形．理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形
拓展提高
已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。
证明：如图，连接BD
∵D、G分别是AB、AD的中点
∴DG是△ABD的中位线
∴DG//BD,
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD,
∴DG=EF,DG//EF
∴四边形DEFG是平行四边形.
若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
特殊四边形的中点四边形：
归纳：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
归纳：
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
课堂总结
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
课后作业
习题1.8：知识技能第2，3两题
谢谢观赏第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第3课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.
理解菱形的定义，
掌握菱形的性质和判定
（2）.
能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．
2.过程与方法
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感态度和价值观
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过
小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
【教学重点】
菱形的性质、判定的理解和掌握
【教学难点】
菱形的性质、判定的综合应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的性质；（3）菱形的判定；
二、探究新知
1.菱形的周长的计算公式
（1）菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？
（两个全等的等腰三角形）
（2）菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？
（四个全等的直角三角形）
活动内容：菱形面积的计算
（1）尝试:
已知菱形的周长是12cm,一边上的高是6cm，它的边长是____cm,面积是_______cm2
（2）.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.
求
(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积。
处理方式：先留给学生5分钟的时间自行思考，然后小组之间交流，最后找学生代表发言.在处理这道例题时，教师可引导学生从以下三个方面来分析：①审清题意，如何求平行四边形的面积，菱形是不是平行四边形？需要求那些量；②菱形对角线有哪些性质？③注意板书的规范性。
在讲解时教师可设置问题串来引导学生分解难点：
（1）如何求平行四边形的面积？
（2）菱形的对角线有什么性质？如应用勾股定理？
（3）菱形面积如何分割成直角三角形计算？三角形面积如何计算？
（4）谁能规范的写出求解过程？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的关键问题：
一般菱形求出底边和高的前提下，直接，S菱形=底×高
知道对角线长度可以利用菱形对角线的性质,在直角三角形中应用勾股定理,分割成两个或者四个直角三角形求整个菱形的面积,并让学生展示解答过程.
学生分析后展示解答过程：
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相较于点E
∴BO＝BD＝×10＝5cm(菱形的对角线互相平分)
∴AE===12cm
∴AC=2AE=2×12=24(cm)
(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××BD×AE
＝
2××10×12
＝120(cm2)
设计意图：让学生通过比较，总结菱形的面积计算方法，一是按平行四边形的面积计算方法，二是分割法。让学生通过分析总结归纳，能够轻松的求菱形的面积.
三、例题讲解：
例1.如图所示，已知菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，
求（1）两条对角线的长；（2）菱形ABCD的面积。
分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积。
解：（1）∵菱形的周长为40cm,
∴AB=10cm，
∵AC:BD=3:4
∴OA：OB=3:4
∵AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，有
设OA=3x，OB=4x
即
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm,
∴AC=12cm,BD=16cm
(2)
四、巩固练习：
已知菱形的周长是12，那么它的边长是(
3
)；
.已知如图，菱形ABCD的边长和一条对角线AC的长均为2cm，则菱形的面积为（
）。
菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，
∠BAD=180°-60°=120°，
（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,
则
另一条对角线长
菱形的对角线长分别为10cm,；
则菱形的面积。
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
证明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形
拓展提高：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
解：依题意可知AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
分别作AB，BC边上的高为AF，AE，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
课堂总结
菱形的有关计算：菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
七、作业布置
习题1.3第3、4题．
【板书设计】
1.1.3菱形的性质和判定
菱形的性质：菱形的判定：
例题板书
投影区
学生板演区
【教学反思】
本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。
菱形的周长=4×边长第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
矩形的判定
【教学难点】
矩形的判定及性质的综合应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
二、探究新知
1.矩形的判定1：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
当
时，平行四边形为矩形。
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形
活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.
定理的证明：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明：
四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
AB=DC,AB//DC
又∵BC=CB,AC=DB
∴
△ABC≌△DCB
∴
∠ABC=∠DCB
∵AB//DC
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD
∴
□ABCD是矩形
3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形
活动内容1：一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明.
已知:如图,在四边形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD是矩形.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴
□ABCD是矩形
归纳：矩形的三个判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
三、例题讲解例
例1.判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。
（
×
）
（2）四个角都相等的四边形是矩形。
（
√
）
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（
×
）
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（
√
）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
（√）
例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（
C
）
Ａ.
AC⊥BD
，AC与BD互相平分
Ｂ.
AB=BC=CD=DA
Ｃ.
AB=BC，AD=CD，且AC
⊥BD
Ｄ.
AB=CD，AD=BC，AC
⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例3、如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6，
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵
四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4
OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
例1.如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：①
④
例2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.
分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；
根据题意可得△AMB≌△DMC，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD，得到∠A=90°，即得证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵M是AD的中点
∴AM=MD
∵MB=MC
∴△AMB≌△DMC(SSS)
∴∠A=∠D
∵∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
例3.
已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB
=
4cm，求这个平行四边形的面积.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC
=
2OA，BD
=
2OB。
∵OA
=
OB，
∴AC
=BD，
∴
平行四边形
ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB
=
4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=，
.
练习：
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ B
）
A.AB=CD
B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB∥CD，AD=BC
解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A
开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t=
___5___
时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．
此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
故答案是：4．
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为
__2.4____
．
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD，即可得出结果．
（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，
∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3，
∴AD=．
∴四边形AEBD的面积=BD AD═3×4=12．
拓展提高
(1)对角线相等的四边形是矩形吗 (等腰梯形)
(2)需要添加什么条件才能使
对角线相等的四边形是矩形吗
归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形
几何语言：∵
AC=BD
且OA=OC
OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
例：已知：
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴
AO=BO=CO=DO
又∵
AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
六、课堂总结
矩形的三个判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
七、作业布置
1.习题2.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习矩形的性质，学生很容易可以猜想出矩形的判定。第二部分是合作探究证明矩形的判定。根据学生的猜想，让学生用矩形的定义来证明矩形的判定。第三部分是应用和检测。应用矩形的判定解决问题。
A
B
C
D
O
1.2.2矩形的性质与判定（二）
一、判定定理1：
判定定理2：
例1：
证明
证明矩形的性质与判定
一、选择题（共8小题）
1.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=AD
B.OA=OB
C.AC=BD
D.DC⊥BC
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
3．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）
A．14
B．16
C．17
D．18
4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A．
3cm
B．2cm
C．cm
D．4cm
5.若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．任意四边形
B.对角线相等的四边形
C．平行四边形
D.对角线互相垂直的四边形
6.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）
A．
B．
C．
D．8
7.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 ( )
B.
C.
D.4
8.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( )
A.12
B.24
C.
D.
二、填空题（共6小题）
9．在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=______.
10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和
为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为 ．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD= ．
13.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是
______
．
14.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE,若AE=6.5,AD=5,则AC=_______;△ABE的周长是_______.
解答题
15．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
16．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
17．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．
SHAPE
\
MERGEFORMAT
18．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）求∠ACB的度数．
如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAD．若∠EAO=15°，求∠BOE的度数．
20．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
矩形的性质与判定练习
选择题
A
【解析】选A.当DC⊥BC时,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形ABCD是矩形;当OA=OB或AC=BD时,根据对角线相等的四边形是矩形可证四边形ABCD为矩形;当AB=AD时,可证四边形ABCD为菱形,不能证四边形ABCD为矩形.故选A.
D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
3．D
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE=CD=3，四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴AC===10，
∴BP=AC=5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE=AD=4，PE是△ACD的中位线，
∴PE=CD=3，
∴四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18；
故选：D．
D.
解：矩形ABCD的对角线AC＝8cm，根据矩形的对角线相等且互相平分，则AO=B0==4；∵∠AOD＝120 ，∴∠AOB=60 ；所以三角形AOB是等边三角形，AB=A0=4
D
6.A
解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，
故选：A．
A.
解析：∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4.
∴AC=
=2
.∴BE=CD=
.
∴四边形BCDE的面积为2×
=
D
【分析】如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°.
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°.
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°="60°."
∴∠ABE=30°.
∴在Rt△ABE中，AB=.
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8.
∴矩形ABCD的面积=AB AD=×8=.
故选D.
填空题
(9).
5;
解：如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,AC=10,
∴OA=OB=
AC=5.
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=5.
（10）.14；
【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
（11）.10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
（12）.3；
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6，
OD=BD=3．
故答案是：3．
（13）4
解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC==10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
(14).6.5
;
25
解：∵AD⊥AB,∴△ABD为直角三角形.
又∵点E是BD的中点,
∴
BD=AE=BE=6.5,∴∠EAB=∠B,
∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C,
即∠AEC=∠C,∴AE=AC=6.5.
在Rt△ABD中,AD=5,BD=2AE=2×6.5=13,
∴AB=12,∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25.
三、解答题
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
16. 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
17.【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
∠OCF=∠OAE,∠COF=∠AOF,CF=AE,
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=60°．
19.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴∠BEA=45°=∠BAE，
∴AB=BE，△ABE是等腰直角三角形，∠BAO=∠BAE+∠EAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，AB=OB，
∴∠OBE=30°，OB=BE，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°．
20．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，
∴BE=2． 正方形的性质与判定
一、选择题(本大题共10小题)
1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
2.如一个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形
3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；
③AB=CD；④AC⊥BD．需要满足（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.①②或①④
4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A.3 B.12 C.18 D.36
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
7.如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积的和为（ ）
A.x2
B.x2
C.x2
D.x2
8.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A.30 B.34 C.36 D.40
9.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（ ）
A. B. C.a D.2a
10.已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是（ ）
A.2 B.4 C.6
二、填空题(本大题共6小题)
11.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为
______
．
如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为
______
．
如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=
______
．
如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件
______
时，四边形BEDF是正方形．
如图，正方形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点H从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的面积为
______
．
16.如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=
______
．
三、解答题(本大题共8小题)
17.已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：DP=EF．
（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．
18.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．
19.已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
20.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
正方形的性质与判定练习参考答案
选择题。
1.A
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°．
故选A．
2.
C
解：如果一个边形两对角线相垂直分且相等，那么这个边形正方形，
求证四边形ABC正方形，
∵ACBD，
∴平四边形CD为菱形，
已知：四边ABCD，A⊥，O=O，OBOD，AC=BD，
∴四边形ACD为方形．
边形ABCD为平行四形，
选C．
3.D
解：∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
若AB=AD
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故选D．
因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
4.C
解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，
∴AB=BC，OA=OC，
∴AB=，
∴正方形的面积=，
故选C．
5.D
解：四边形ABCD的形状是正方形，
理由如下：
∵AO=C0=BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AO=C0=BO=DO，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD是正方形，
故选D．
6.B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
7.
B
解：∵FP∥CD，
∴∠BPF=∠C=90°（同位角相等）；
在△BFP和△BDC中，
，
∴△BFP∽△BDC，
∴=，
同理，得=，
又∵AD=CD，
∴NF=FP，
∵∠BNF=∠BPF=90°，BF=BF，
∴△BNF≌△BPF，
∴S△BNF=S△BPF，
同理，求得多边形NFEM与多边形PFEQ的面积相等，多边形MEDA与多边形QEDC的面积相等，
∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即．
故选B
8.
B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH==，
∴四边形EFGH的面积是：×=34，
故选B．
9.A
解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴EG=CG，EF=AF，
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC=，
∴EF+EG等于，
故选A．
10.
C.
解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为2，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S=ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S=××=6，
故选
C．
二、填空题。
11.
解：如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K．
∵四边形ABCD是正方形，DF=2．CF=3，
∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，
∴==，
∴CG=，
∵四边形ENCM是正方形，
∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，
∴MH∥CG，
∴=，
∴=，
∴x=，
在RT△BNK中，∵∠BKN=90°，NK=CH=，BK=BC-CK=，
∴BN===．
故答案为．
12.解：∵四边形ABCD、EFGH均为正方形，
∴∠A=∠B=90°，∠EFG=90°，EF=FG．
∵∠AFE+∠BFG=90°，∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE=∠BGF．
在△AFE和△BGF中，，
∴△AFE≌△BGF（AAS），
∴BF=AE=1．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，AF=AB-BF=3．
同理可证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．
∴S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AFE=16-4××1×3=10．
故答案为：10．
13.解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°-45°=45°；
故答案为：45°．
14.
解：当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．
理由：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵DE∥BC，
∴∠FBD=∠EDB，
则∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
故平行四边形DEBF是菱形，
当∠ABC=90°时，
菱形DEBF是正方形．
故答案为：∠ABC=90°．
15.解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
∵正方形ABCD的面积为4×4=16，4个扇形的面积为4×=4π，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为16-4π．
故答案为16-4π．
16.
解：连接AE，
∵四边形ABCD、APEF是正方形，
∴A、E、C共线，
①当CD=CE=时，AE=AC-EC=2-，
∴AP=AE=-1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，
∴AE=AC-EC=1，
∴AP=AE=．
∴当△CDE为等腰三角形时，AP=-1或．
故答案为或．
解答题。
17.证明：（1）如图1所示：连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四边形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．
（2）DP⊥EF．
理由：如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．
∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP=∠CBP．
∵四边形BFPE是矩形，
∴∠CBP=∠FEP．
∴∠CDP=∠FEP．
又∵∠EPG=∠DPH．
∴∠EGP=∠DHP．
∵PE⊥AB，AB∥DC
∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．
∴∠EGP=∠DHP=90°
∴PG⊥EF，即DP⊥EF．
18.解：（1）根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，
所以，全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE；
（2）∵∠DEB=140°，
∴∠BEC=∠DEB=×140°=70°，
又∵正方形对角线AC平分∠BCD，
∴∠ACB=45°，
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BEC-∠ACB=180°-70°-45°=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=65°．
19.解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
20.解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第1课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
（2）.经历菱形概念的抽象过程，以及它的性质的探索、猜测与证明的过程，丰富数学活动
经验，进一步发展合情推理能力和演绎推理能力．
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形的性质定理的证明
【教学难点】
菱形的性质定理的证明
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、导入新课
导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
二、探究新知
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质
吗？
（菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形）
你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得相等的角有：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8；
相等的线段有：AB=BC=CD=DA.
处理方式：让学生利用课前准备的菱形纸片进行折叠，折叠的过程中，让学生回顾轴对称图形的意义及轴对称图形的性质，从而发现菱形的“特殊”性质，感受折纸过程对性质的初步验证.
设计意图：通过折纸这一过程，引导学生发现菱形的对称性，即菱形不只是中心对称图形，还是轴对称图形，在操作过程中验证菱形的特殊性质，鼓励学生通过多种方法验证发现的结论.
活动内容2：菱形性质定理的证明
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
已知：如图，在菱形ABCD中，
AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD．
处理方式：让学生从平行四边形的性质出发，独立思考、分析证明思路.第（2）题多数学生可能会应用全等三角形的性质，想不到利用“等腰三角形的三线合一”性质，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.
证明：（1）∵
四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．
又∵AB=AD，
∴
AB=BC=CD=AD．
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵
四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴
AO⊥BD．
即
AC⊥BD．
设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.
教师强调：菱形的性质定理
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(
B
)
A．AB//DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
解析：根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分得到C，D是正确的，再根据菱形的对边平行得到A是正确的，故选B。
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（
C
）
A.10cm
B.7cm
C.
5cm
D.4cm
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
AO=4
,
BO=3
∴在Rt△AOB中，
∴菱形的边长为5cm,
故选C.
例3.
在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
处理方式：教师引导学生根据已知条件说出菱形的性质，发现本题线段和角的有关结论，再独立组织本题的解题过程.然后让一名学生板演解题过程，师生共同评价．学生还有可能会应用“菱形的每条对角线平分一组对角”结合直角三角形的其它知识解决此题，教师都应给与肯定.
解：∵
四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得
,
∴.
∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）.
设计意图：让学生通过此例题的思考与分析，初步应用菱形的性质定理解决有关问题，在应用的过程中明确菱形与平行四边形的关系，同时鼓励学生一题多解，理解菱形的性质定理.
四、巩固练习：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是____3___.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝___60°.
3.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4
cm，则点P到BC的距离是___4__cm.
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于多少？
解：连接FB，∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝40°，
又∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF＝FB，
∴∠ABF＝40°，
易证△ADF≌△ABF，
∴∠ADF＝∠ABF＝40°，
∴∠CDF＝∠CDA－∠ADF＝100°－40°＝60°
5.已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为___5___.
解析：当P点为AC与BD的交点时，
PM+PN的值最小，为菱形的边长
∵两条对角线分别为6和8,
∴此菱形的边长为5，
故PM+PN的最小值为5.
五、课堂总结
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：定理1：
菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。
菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
六、作业布置
1.习题1.1：知识技能第1，2两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.1
菱形的性质与判定(1)
菱形的定义：
菱形的性质定理：1.2.
例1
例2
【教学反思】
本节课出示多媒体图片引导学生，从而板书课题，演示让生观察得菱形定义，在掌握定义的基础上探究并证明菱形的性质，然后学习菱形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。
A
C
D
B
O
A
C
D
B
O第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
菱形判定定理的应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
二、探究新知
1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB
≌△COB的方法证明BA=BC，对此，教师可引导学生思考，AC和BD的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.
已知:
ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC
⊥BD.
求证:
ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO
又∵AC
⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.
3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形
活动内容1：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明.
这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.
活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？
处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.
已知:
在四边形
ABCD中,AB=BC=CD=AD
求证:
四边形
ABCD是菱形
证明：∵AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形
ABCD是菱形
归纳：菱形的三个判定：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
三、例题讲解
例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（
C
）
Ａ.
AC⊥BD
，AC与BD互相平分
Ｂ.
AB=BC=CD=DA
Ｃ.
AB=BC，AD=CD，且AC
⊥BD
Ｄ.
AB=CD，AD=BC，AC
⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例2、如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6，
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵
四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4
OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
（
×）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（
√
）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；
（
×
）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
（
×
）
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（
C
）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( A )
菱形
B．正方形
C．平行四边形
D．梯形
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
拓展提高
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。
分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CD
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
即DB⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC,CD交于点E,F.EH⊥AB于点H，连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.
分析：根据角平分线的性质可得CE=EH，根据“等角的余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证明EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形。
证明：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,
∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD,
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE,
∴EC=CF,
∴EH=CF,
又∵CD⊥AB,EH⊥AB，
∴CD//EH,
∴四边形CFHE是平行四边形
又∵EH=EC
∴平行四边形CFHE是菱形
六、课堂总结
菱形的三个判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
七、作业布置
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习菱形的性质，学生很容易可以猜想出菱形的判定。第二部分是合作探究证明菱形的判定。根据学生的猜想，让学生用菱形的定义来证明菱形的判定。第三部分是应用和检测。应用菱形的判定解决问题。
A
B
D
C
O
B
C
A
D
1.1.2菱形的性质与判定（二）
一、判定定理1：
判定定理2：
例1：
证明
证明第一章《特殊平行四边形》
《正方形的性质与判定》(第1课时)
【教学目标】
1.知识与技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2.过程与方法
经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
3.情感态度和价值观
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
【教学重点】
探索正方形的性质定理．
【教学难点】
掌握正方形的性质的应用方法．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
(1)平行四边形有哪些性质 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质 菱形的性质有哪些呢？
让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.
二、探究新知
1.正方形的定义
活动1：
满足什么条件的菱形是正方形？
有一个角是直角
问题:
从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？
当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
活动2：满足什么条件的矩形是正方形？
邻边相等
定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？
邻边相等且有一个角是直角
定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
2.正方形的性质：
活动4.
正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
1.对称性：
正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.
性质：
它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.
具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
活动5：
证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD
,∠A=∠B=∠C=∠D.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
,
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.
已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.
证明：∵ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC.
∴ΔABC≌ΔDCB,
∴AC=BD.
∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,
∴ΔAOB≌ΔAOD,
∴∠AOB=∠AOD,
又∠AOB+∠AOD=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
即对角线互相垂直且相等.
例题讲解
例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.
解析：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=2,∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，.
例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.
解：∵ABCD是正方形
∴AO=AC=5
,∠BAC=45°,AC⊥BD
又∵PE⊥AC,
PF⊥BD
∴四边形PEOF为矩形
∴PF=OE
∴
在△APE中,∠PAE=45°
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;
(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
四、巩固练习：
1.判断题：
（1）四个角都相等的四边形是正方形.
（
×
）
(2)四条边都相等的四边形是正方形.
（
×
）
（3）对角线相等的菱形是正方形.
(
√
)
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.
（
√
）
（5）对角线垂直相等的四边形是正方形.
(
×
)
(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
(
√
)
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,
则∠AEB=_____.
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
∴∠AEB=60-15-15=30°
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF
=8cm，则AC=________.
提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.
4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解：连接PC
∵PE⊥BC
，
PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
5.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC,
AE交DC于点F,试求∠E,
∠AFC的度数
解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ABC是△ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是△CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°,
∠AFC=112.5°
五、课堂总结
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角
2.正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
3.正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
六、作业布置
1.习题1.7：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.3
正方形的性质与判定(1)
正方形的定义：
正方形的性质定理：1.2.
例1
例2
【教学反思】
本节课由回忆平行四边形、矩形、菱形的性质引入正方形的概念，从而板书课题，演示让学生观察得正方形的3中定义方法，在掌握定义的基础上探究并证明正方形的性质，然后学习正方形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。
90°
┓第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第1课时)
【教学目标】
1.知识与技能
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2.过程与方法
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
3.情感态度和价值观
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
【教学重点】
掌握矩形的性质，并学会应用．
【教学难点】
理解矩形的特殊性．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、导入新课
导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.
这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
二、探究新知
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质
吗？
（矩形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形）
你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的矩形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.
矩形是中对称图形，对称中心是两条对称轴的交点。
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
活动内容2：矩形性质定理的证明
如何推理证明“矩形的四个角都是直角，对角线相等”这两个性质呢？
已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.
处理方式：分析:(1)由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.(2)根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC(矩形的对边相等），
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴AC=DB.
设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.
活动内容3：在Rt△ABC中，斜边AB上的中线是，它与斜边的关系是CD=
AB．
推论：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
教师强调：矩形的性质定理
1、对角线互相平分且相等；
2、对边平行且相等；
3、四个角都是直角；
4、矩形既是轴对称图形,对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线，也是中心对称图形；
5、矩形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD的长是（
）
A.1
B.
C.2
D.
解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.
例2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（
）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°故选A.
例3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝_____．
解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.
答案：4
例4.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解:∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,,
∴OA=OD
∵∠AOD=120°
∴∠ODA=∠OAD=30°
∵∠DAB=90°
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)。
四、拓展提高：
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且,求证:△ABC是直角三角形.
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∵
AD=BD,CD=ED.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴
AC=DB.
∴四边形ACBE是矩形.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
五、课堂总结
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
特殊性质：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
矩形具有平行四边形的所有性质。
六、作业布置
1.习题2.1：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§2.1
矩形的性质与判定(1)
矩形的定义：
矩形的性质定理：1.2.
例1
例2
【教学反思】
本节课出示多媒体图片引导学生，从而板书课题，演示让生观察得矩形定义，在掌握定义的基础上探究并证明矩形的性质，然后学习矩形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。(共68张PPT)
北师大版九年级上册
第二节：矩形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
问题导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
这些平行四边形中都有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
探究新知
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。。
∟
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
1.矩形的定义
木门
纸张
电脑显示屏
生活中的矩形图片
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
（1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形，矩形是中心对称图形.
自主探究
O
2.矩形的性质
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
A
B
C
D
O
已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=BD.
分析:(1)由矩形的定义,
利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
(2)根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明.
D
B
C
A
定理:矩形的四个角都是直角，两条对角线相等。
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
D
B
C
A
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC(矩形的对边相等），
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴AC=DB.
D
B
C
A
矩形的特殊性质：
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
AC
=
BD
D
B
C
A
谈究新知
仔细观察Rt△ABC，BO是Rt△ABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？
BO是斜边AC上的中线，
BO等于AC的一半.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD的长是（
）
C
解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.
A.1
B.
C.2
D.
例题讲解
例2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（
）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
A
解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°.
例3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝ ．
解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.
答案：4
4
例4.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形.
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∴AC=BD,
∵∠DAB=90°.
D
B
C
A
O
∵∠AOD=120°.
∴∠ODA=∠OAD=
∴OA=OD
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
求证:△ABC是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
拓展提高
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴
AC=DB.
∴四边形ACBE是矩形.
∵
AD=BD,CD=ED.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
课堂总结
请各位同学回忆一下矩形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析.
边
角
对角线
对称性
矩形的两组对边平行且相等
矩形的邻边垂直
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分
矩形的对角线相等
矩形是中心对称图形，对称中心是两条对称轴的交点
矩形是轴对称图形，对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.
课后作业
1.习题2.1：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
3.矩形的特殊性质
1.矩形的定义
（Ａ）矩形的四个角都是直角
（Ｂ）矩形的对角线相等
2.矩形的特征
矩形是一个轴对称图形和中心对称图形
我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
复习引入
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
探究1
当
时，平行四边形为矩形。
有一个角是直角的平行
四边形叫做矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定1：定义法
∟
D
B
C
A
矩形的性质“两条对角线相等”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质。
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形
的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩
形。”
除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
。
探究2
如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明：
四边形ABCD是矩形．
证明：
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
AB=DC,AB//DC
又∵BC=CB,AC=DB
∴
△ABC≌△DCB
∴
∠ABC=∠DCB
∴平行四边形ABCD是矩形
∵AB//DC
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
验证猜想
对角线相等的平行四边形是矩形。
∵在□ABCD中，AC=BD
∴
□ABCD是矩形
矩形的判定2：
几何语言：
D
B
C
A
O
一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
。
你能证明上述结论吗？
探究3
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
验证猜想
三个角是直角的四边形是矩形.
∵在四边形ABCD中
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定3：
几何语言：
矩形常用的判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
例题讲解
例1.判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。
（
）
（2）四个角都相等的四边形是矩形。
（
）
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（
）
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（
）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
（
）
×
×
√
√
√
例2.如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有
（填写序号）.
①
④
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：①
④
例3.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.
分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；
根据题意可得△AMB≌△DMC，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD，得到∠A=90°，即得证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵M是AD的中点
∴AM=MD
∵MB=MC
∴△AMB≌△DMC(SSS)
∴∠A=∠D
∵∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
例4.
已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB
=
4cm，求这个平行四边形的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC
=
2OA，BD
=
2OB。
∵OA
=
OB，
∴AC
=BD，
∴
ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB
=
4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=
巩固练习
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.AB=CD
B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB∥CD，AD=BC
解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．
故错误
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
B
2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A
开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t=
______
时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
故答案是：4．
4
3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为
______
．
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
2.4
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD，即可得出结果．
（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，
∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=
BC=3，
∴AD=
．
∴四边形AEBD的面积=BD AD=3×4=12．
(1)对角线相等的四边形是矩形吗
(2)需要添加什么条件才能使
对角线相等的四边形是矩形吗
归纳：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
∵
AC=BD
且OA=OC
OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
等腰梯形
拓展提高
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例：已知：
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴
AO=BO=CO=DO
又∵
AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
五种判定方法
四边形
平行四边形
矩形
矩形的判定方法：
课堂总结
课后作业
1.习题2.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的特殊性质
1.矩形的定义
（Ａ）矩形的四个角都是直角
（Ｂ）矩形的对角线相等
复习引入
3.矩形的判定
(A).有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(B).对角线相等的平行四边形是矩形.
(C).有三个角是直角的四边形是矩形.
4、直角三角形的性质及判定方法：
角：
直角三角形两锐角互余。
线段：
边角关系：
1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
1、直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°。
A
B
C
D
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
探究新知
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=
BD(矩形的对角线相等且互相平分），
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,
∴BE=OE
又∵AE⊥BD,
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，
∴
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)OD//
AB,
理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB,
.
1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为______．
巩固练习
解析：∵AC=10,BC=8
根据勾股定理
∴
28
∴图中的五个小矩形的周长之和
即大矩形的周长
2(AB+BC)=2(6+8)=28.
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(
)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=
AC，OB=
BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，
故选C.
3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四
边形的周长是20
，则矩形的对角线长
为
，面积为
。
解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20
∴菱形的边长为5，
故矩形的对角线的长为10，
矩形的另一边=
∴矩形的面积=6×8=48.
10
48
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACB，
又∵DC＝CD，
∴△ADC≌△ECD
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE且BD=AE
∵BD=DC
∴DC//AE且DC=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
拓展提高
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝____．
分析：连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=
CD=
AB=
。
由折叠的性质可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵EA=ED，EF=EF，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）。
∴A'F=DF=
∴
在Rt△BCF中，
2.如图，矩形ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
小提示：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变
D
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中,
即
，
解得x=6，
则AB=6．
故答案为：D．
课堂总结
矩形中折叠问题的处理
矩形的性质与判定的应用
课后作业
习题2.3：知识技能第2，3两题
谢谢观赏(共56张PPT)
北师大版九年级上册
第一节：菱形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
问题导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
探究新知
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。。
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
菱形的四条边相等。
探究性质
(2)结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得
相等的角有：∠1=∠2；
∠3=∠4；
∠5=∠6；
∠7=∠8；
相等的线段有：
AB=BC=CD=DA.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
菱形四边相等，对角线互相垂直的证明：
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB
=
CD，AD=
BC
（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD
（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（
）
A.10cm
B.7cm
C.
5cm
D.4cm
C
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
AO=4
,
BO=3
∴在Rt△AOB中，
∴菱形的边长为5cm,
故选C.
例3.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
分析：由菱形的性质得到AC⊥BD,AB=AD,结合题意，得到△ABD是等边三角形从而求出AB的长，再借助勾股定理求出AC的长。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD=
(菱形的对角线互相平分）
在等腰△ABC中
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴
∴
3cm
600
１.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_______.
２.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.
巩固练习
解析：根据菱形的四边相等，得到边长为3.
解析：根据菱形的四边相等，得到AB=AD,再因为∠BAD=60°，得到△ABD是等边三角形，所以有∠ABD=60°.
5
2.已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为_____.
解析：当P点为AC与BD的交点时，
PM+PN的值最小，为菱形的边长
∵两条对角线分别为6和8,
∴此菱形的边长为5，
故PM+PN的最小值为5.
课堂总结
请各位同学回忆一下菱形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析.
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行
菱形的四边相等
菱形的两组对角相等
菱形的邻角互补
菱形的对角线互相平分，且每一组对角线平分一组对角
菱形的对角线互相垂直
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线
课后作业
1.习题1.1：知识技能第1，2两题
2.预习第二课时.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
3.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形
我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
复习引入
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
探究新知
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定：定义法
菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线垂直”是菱形所特有的性质。
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形
的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱
形。”
除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木
棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个
端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行
四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两
个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形
呢？
探究一
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
和你的同伴交换一下，
看看是否成了一个菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，证明：
四边形ABCD是菱形．
证明
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA＝OC
又∵AC⊥BD
∴
BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴
AB＝BC
∴
四边形ABCD是菱形
验证猜想
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
A
B
C
D
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴
□ABCD是菱形
菱形的判定2：
数学语言：
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？
A
B
C
D
O
探究二
有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
验证猜想
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定3：
数学语言：
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
例题讲解
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（
）
Ａ.
AC⊥BD
，AC与BD互相平分
Ｂ.
AB=BC=CD=DA
Ｃ.
AB=BC，AD=CD，且AC
⊥BD
Ｄ.
AB=CD，AD=BC，AC
⊥BD
C
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
A
B
C
D
O
2、如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4
OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∵
四边形ABCD是平行四边形
巩固练习
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
（
）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（
）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；
（
）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
（
）
×
√
×
×
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（
）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
C
拓展提高
例1.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形,求证：四边形ABCD是菱形.
分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，
即DB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC，CD交于点E,F.EH⊥AB于点H,连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.
分析：根据角平分线的性质可得CE=EH，根据“等角的余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证明EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形.
证明：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,
∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD,
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE,
∴EC=CF,
∴EH=CF,
又∵CD⊥AB,EH⊥AB，
∴CD//EH,
∴四边形CFHE是平行四边形
又∵EH=EC
∴平行四边形CFHE是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
课堂总结
课后作业
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
复习引入
3.菱形的判定
(A).有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(B).对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(C).有四条边相等的四边形是菱形.
菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？
菱形被它的两条对角线分成
四个什么三角形？它们有什么关系？
菱形的周长=4×边长
探究新知
两个全等的等腰三角形
四个全等的直角三角形
O
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC×
AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗
=
S△ABD+S△BCD
=
AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形的有关计算
菱形的有关计算
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例1：已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度;
(2).菱形ABCD的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E
∴∠AED=900
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
（菱形对角线互相垂直）.
（菱形对角线互相平分）.
例题讲解
=2×△ABD的面积
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
D
B
C
A
E
例2.如图所示，已知菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，
求（1）两条对角线的长；（2）菱形ABCD的面积。
分析：
（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；
（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积
解：（1）∵菱形的周长为40cm,
∴AB=10cm，
∵AC:BD=3:4
∴OA：OB=3:4
∵AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，有
设OA=3x，OB=4x
即
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm,
∴AC=12cm,BD=16cm
(2)
1.已知菱形的周长是12，那么它的边长是(
).
2.已知如图，菱形ABCD的边长和一条对角线AC的长均为2cm，则菱形的面积为（
）.
巩固练习
3
利用勾股定理求出菱形的边长，再求出其周长，根据菱形的面积等于对角线的一半求出菱形的面积
小提示：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则
AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，
∠BAD=180°-60°=120°，
（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,
则
另一条对角线长
菱形的对角线长分别为10cm,
则菱形的面积
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
证明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
巩固提高
解：依题意可知AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
分别作AB，BC边上的高为AF，AE，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为
AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
课堂总结
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形的有关计算
课后作业
习题1.3：知识技能第3，4两题
谢谢观赏第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第3课时)
【教学目标】
1.知识与技能
通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
2.过程与方法
通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感态度和价值观
在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
【教学重点】
理解矩形判定定理的应用
【教学难点】
矩形判定定理的应用
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
矩形的定义；（2）矩形的性质；（3）矩形的判定；（4）直角三角形的性质及判定方法。
二、探究新知
1.矩形的性质与判定的应用
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=
BD(矩形的对角线相等且互相平分），
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,
∴BE=OE
又∵AE⊥BD,
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，
∴
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)
OD//
AB,
,理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB,
.
三、巩固练习
1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为______
解析：∵AC=10,BC=8
根据勾股定理
∴
∴图中的五个小矩形的周长之和即大矩形的周长
2(AB+BC)=2(6+8)=28
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(
)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，
故选C.
3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20
，则矩形的对角线长为______
，面积为________。
解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20
∴菱形的边长为5，
故矩形的对角线的长为10，
矩形的另一边=
∴矩形的面积=6×8=48.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACB，
又∵DC＝CD，
∴△ADC≌△ECD
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE且BD=AE
∵BD=DC
∴DC//AE且DC=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
四、拓展提高：（矩形中的折叠问题——折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝____．
分析：连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=。
由折叠的性质可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵EA=ED，EF=EF，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）。
∴A'F=DF=，
∴,
在Rt△BCF中，,
.
2.如图，矩形ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中,
即
，
解得x=6，
则AB=6．
故答案为：D．
五、课堂总结
矩形的性质与判定的应用
矩形中折叠问题的处理（折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）
六、作业布置
习题2.3第2、3题．
【板书设计】
1.2.3菱形的性质和判定
菱形的性质：菱形的判定：
例题板书
投影区
学生板演区
【教学反思】
本节课是矩形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对矩形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了矩形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于矩形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。