模块综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列有关命题的说法正确的是( )
A．“若x>1，则2x>1”的否命题为真命题
B．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题
C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题
D．命题“若x>1，则x>a”的逆命题为真命题，则a>0
解析：A选项中，因为2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故A选项不正确；B选项中，sin β＝0时，cos β＝±1，则逆命题为假命题，故B选项不正确；D选项中，由已知条件得a≥1，故D选项不正确．
答案：C
2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得，A∩B＝A?A?B，反之，A?B?A∩B＝A，故为充要条件．
答案：C
3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( )
A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
解析：若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．
答案：D
4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
答案：B
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B. C. D.
答案：D
6．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60° C．30° D．0°
解析：因为|a|＝|b|＝，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
故向量a＋b与a－b的夹角是90°.
答案：A
7．抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为( )
A．4 B．－4
C．8 D．－8
答案：D
8．三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )
A．－2 B．2 C．－2 D．2
解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos
90°－2×2×cos 60°＝－2.
答案：A
9．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或－3(舍去)．
答案：B
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
答案：D
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，
所以＝1，所以该抛物线的焦点坐标为(1，0)．
答案：B
12．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知命题p：?x∈R(x≠0)，x＋≥2，则綈p：_____________．
解析：首先将量词符号改变，再将x＋≥2改为x＋＜2.
答案：?x∈R(x≠0)，x＋＜2
14．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：由双曲线方程知，右焦点为(2，0)，直线x＝2与渐近线y＝±x的交点为A(2，2)，B(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案：4
15．在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G与M，N共线的x的值为________．
答案：1
16．已知双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，则双曲线的离心率等于________．
答案：或
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集，若“p∨q”为真，“(綈p)∨(綈q)”也为真，求实数a的取值范围．
解：当p为真时，应有a＞1；
当q为真时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，
所以Δ＝4－4loga＜0，解得1＜a＜.
由于“p∨q”为真，所以p和q中至少有一个为真．又“(綈p)∨(綈q)”也为真，所以綈p和綈q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．
p假q真时，a无解；p真q假时，a≥，
综上所述，实数a的取值范围是.
18．(本小题满分12分)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
解：设P(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
所以||＝4，||＝，·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
19．(本小题满分12分)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值．
解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，解得|PF1|＝，|PF2|＝，故＝；
若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.
20.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1BD；
(2)求二面角A-A1D-B的余弦值．
(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(－1，0，0)，
所以＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)．
因为·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.
又BD与BA1交于点B，所以AB1⊥平面A1BD.
(2)解：连接AD，设平面A1AD的法向量为
n＝(x，y，z)．
＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．
因为n⊥，n⊥，所以
即解得
令z＝1，得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．
由(1)知AB1⊥平面A1BD，所以为平面A1BD的法向量．
cos〈n·〉＝＝＝－，
故二面角A-A1D-B的余弦值为.
21．(本小题满分12分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入椭圆C的方程得＝1，所以b＝4.
又由e＝＝，得＝，即1－＝，所以a＝5.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，得x1＋x2＝3.
设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，
则x′＝＝，y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②.
图① 图②
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成的角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
所以DE⊥A1C.
又因为A1C⊥CD，所以A1C⊥平面BCDE.
(2)解：如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
又＝(3，0，－2)，＝(－1，2，0)，
所以
令y＝1，则x＝2，z＝，所以n＝(2，1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
因为＝(0，1，)，
所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝
＝.
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)解：线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．理由如下：
假设这样的点P存在，设其坐标为(p，0，0)，其中p∈[0，3]．
设平面A1DP的法向量为m＝(x′，y′，z′)，则m·＝0，m·＝0.
又＝(0，2，－2)，＝(p，－2，0)，
所以
令x′＝2，则y′＝p，z′＝，所以m＝.
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.
解得p＝－2，与p∈[0，3]矛盾．
所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．
章末评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案：C
2．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
解析：因为＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，
又因为＝－2，所以∥，即AB∥CD.
答案：A
3．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
答案：C
4．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于( )
A．－15 B．－5
C．－3 D．－1
解析：a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，所以5a·3b＝15a·b＝－15.
答案：A
5．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于( )
A. B．－
C．± D．1
答案：A
6．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
解析：利用向量数量积公式的变形公式cos〈a，b〉＝求向量的夹角，各项逐一验证．选项B中cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.
答案：B
7．在平行六面体ABCD-EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A. B.
C. D．1
解析：＝＋＋，又＝x－2y＋3z，则x＝1，y＝－，z＝，则x＋y＋z＝1－＋＝，故选C.
答案：C
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2，4) B．(－4, 1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
答案：B
9．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为( )
A．60° B．150°
C．90° D．120°
解析：由条件知，||＝a，||＝a，
·＝(－)·(＋)＝·－||2＋·－·＝－||2－·＝－a2，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以向量与所成的角为120°，故选D.
答案：D
10．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
解析：由已知a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，则(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，由此可得a·b＝.从而cos〈a，b〉＝＝.结合选项易知选D.
答案：D
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．向量与的夹角为60°
答案：D
12．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45°
C．60° D．120°
解析：由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.
所以||2＝||2＋||2＋||3＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，
所以cos〈， 〉＝－，〈，〉＝120°，所以二面角的大小为60°.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2，－1，0)，b＝(k，0, 1)，若〈a，b〉＝120°，则k＝________．
解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝－＜0，所以k＜0，且k2＝.所以k＝－.
答案：－
14．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
答案：(－64，－26，－17)
15．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以所以k＝±1.
答案：±1
16．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
C(0，0，0)，A，
B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，
＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)，
设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，1)，
则有解得n＝，
则d＝＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明：因为＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，
因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(本小题满分12分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
所以a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.
19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1；
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小．
解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
(1)证明：＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以·＝0.故AC⊥BC1.
(2)解：平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，
由得
令x＝4，则y＝3，z＝3，n＝(4，3，3)，
故cos〈m，n〉＝＝.
即二面角C1-AB-C的余弦值为.
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D.
(1)因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以·＝0，所以AC⊥BC1.
(2)因为CB1与C1B的交点为E，所以E(0，2，2)．
因为＝，＝(－3，0，4)，
所以＝，所以∥.
因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1.
21．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.
(1)求证：EF⊥PB.
(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．
(1)证明：在Rt△ABC中，
因为EF∥BC，所以EF⊥AB，所以EF⊥EB，EF⊥EP，
又因为EB∩EP＝E，EB，EP?平面PEB，所以EF⊥平面PEB.
又因为PB?平面PEB，所以EF⊥PB.
(2)解：在平面PEB内，过点P作PD⊥BE于点D，
由(1)知EF⊥平面PEB，所以EF⊥PD，
又因为BE∩EF＝E，BE，EF?平面BCFE，所以PD⊥平面BCFE.
在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.
如图所示，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设PE＝x(0＜x＜4)，
又因为AB＝BC＝4，
所以BE＝4－x，EF＝x.
在Rt△PED中，∠PED＝60°，
所以PD＝x，DE＝x，所以BD＝4－x－x＝4－x，
所以C(4，0，0)，F(x，4－x，0)，P.
从而＝(x－4，4－x，0)，＝.
设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，
所以即
所以
取y0＝1，得n1＝(1，1，)是平面PFC的一个法向量．
又平面BFC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
设二面角P-FC-B的平面角为α，
则cos α＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
因此当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值，且定值为.
22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F-BE-D的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又DE∩BD＝D，所以AC⊥平面BDE.
(2)解：因为DE⊥平面ABCD，
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，
即∠EBD＝60°，
所以＝.
由AD＝3，得DE＝3，AF＝.
如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(4，2，)．
因为AC⊥平面BDE，
所以＝(3，－3，0)为平面BDE的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝＝.
故二面角F-BE-D的余弦值为.
(3)解：依题意，设M(t，t，0)(t＞0)，则＝(t－3，t，0)，
因为AM∥平面BEF，
所以·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
所以点M的坐标为(2，2，0)，此时＝，
所以点M是线段BD上靠近点B的三等分点．
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．几种空间向量之间的区别与联系
(1)a与其相反向量－a为共线向量(平行向量)．
(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量．
(3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解．
2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点
(1)a·b＝0 a＝0或b＝0.
(2)a·c＝a·b c＝b.
(3)(a·b)c a·(b·c)
(4)a·b＝k a＝.
3．向量共线充要条件及注意点
(1)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)注意点：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta.
(3)坐标表示下的向量平行条件．
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，这一形式不能等价于＝＝，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．
4．向量共面充要条件及注意点
(1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(2)注意点：
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y；
②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则点P与点A，B，C共面．
5．利用向量法求空间角的注意事项
(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC的内角∠BAC＝θ，则与夹角为π－θ，而非θ.
(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小．
(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错．
专题一 空间向量及其运算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
[例1] 沿着正四面体O-ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．
解：如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
所以|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，
所以|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
归纳升华
空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握，灵活运用．在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视．
[变式训练] 有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
专题二 利用空间向量证明空间中的位置关系
用向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利．利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．
[例2] 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0，0，1)，F、A(1，0，0)．
所以＝(1，0，0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
由?
令y1＝1，得m＝(0，1，－2)．
又由?
令z2＝1，得n＝(0，2，1)．
因为m·n＝(0，1，－2)×(0，2，1)＝0，
所以m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
归纳升华
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
2．证明线面平行的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
(2)证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线．
3．证明面面平行的方法：
(1)转化为线线平行或线面平行处理；
(2)证明两个平面的法向量是共线向量．
4．证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．
5．证明线面垂直的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
6．证明面面垂直的方法：
(1)转化为线线垂直或线面垂直处理；
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
[变式训练] 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明：(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，则有
P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
因为M，N分别为AB，PC中点，
所以M，N.
所以＝.
法一：＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝＋.
又因为MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
法二：易知为平面PAD的一个法向量．
＝(b，0，0)，所以·＝0，所以⊥，
又MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知：P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)．
所以＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
，
所以，令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则，
所以令z2＝1，则n2＝(0，1，1)，
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
专题三 利用空间向量求空间角
空间角包括：异面直线所成的角(线线角)、直线与平面所成的角(线面角)、二面角(面面角)．用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向．
[例3] 如图①，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．沿AD把△ABD折起，得如图②所示的三棱锥，其中∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ABD⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
(1)证明：因为折起前AD是BC边上的高，
所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又因为DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.
因为AD?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.
(2)解：由∠BDC＝90°及(1)，知DA，DB，DC两两垂直．不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)．
因为E为BC中点，
所以E.
所以＝，
＝(1，0，0)．
所以cos(，)＝＝＝.
故与夹角的余弦值是.
归纳升华
1．(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小：①如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
②如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉．
2．对于折叠问题，应注意确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不变、线段长度不变、线线关系不变，然后根据折叠后所得几何体的特征建立空间直角坐标系，进一步用坐标法解决相关问题．
[变式训练] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1.
则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，
所以＝(0，1，－1)，＝.
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
所以有即
所以所以n1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
即所成的锐二面角的余弦值为.
专题四 探索性问题
探索性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若导出合理的结论，则存在性也随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．
[例4] 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值？若不存在，试说明理由．
(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，如图，设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S，
D，C，B，
＝，＝，·＝0，
故OC⊥SD.
从而AC⊥SD.
(2)解：由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝.
设所求二面角为θ，则cos θ＝＝，
故所求二面角P-AC-D的大小为30°.
(3)解：存在．假设在侧棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量．
且＝，＝，
＝，
设＝t，则
＝＋＝＋t＝
由·＝0，得t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.
归纳升华
在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．
[变式训练] 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，问在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出||；若不存在，说明理由．
解：点F存在．理由如下：
以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，a，0)，
C1(0，a，3a)，B1(0，0，3a)，D，
假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，
只需⊥，
⊥，设AF＝b，
则F(a，0，b)，＝(a，－a，b)，
＝(a，0，b－3a)，
＝，
因为·＝a2－a2＝0，
所以⊥，
令·＝2a2＋b(b－3a)＝0，
得b＝a或b＝2a.
所以当||＝a或||＝2a时，
CF⊥平面B1DF.
专题五 转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
[例5] 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求二面角B-AC-D的余弦值．
解：如图所示，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H，
在Rt△ADC中，
AC＝＝5，
cos ∠DAC＝＝.
在Rt△ADG中，
AG＝ADcos ∠DAC＝3×＝，
DG＝＝，
同理cos ∠BCA＝，CH＝，BH＝，
因为·＝(＋)·＝·＋·＝0，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－×＋×3×＋3××＋0＝，
又||·||＝，所以cos〈，〉＝，
即所求二面角B-AC-D的余弦值为.
归纳升华
1．转化与化归思想在立体几何中的应用．
在立体几何中，体现转化与化归思想的问题有：
(1)把立体几何问题转化为向量问题，通过空间向量的运算求出立体几何的问题．
(2)立体几何问题之间的转化，例如：①空间图形问题转化为平面几何问题；②线面角、二面角转化为平面角；③空间各种距离之间的相互转化等．这些都体现了转化与化归的思想．
2．本例中，求二面角的大小，通过作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上．
[变式训练] 已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面FEG的距离．
解：法一：如图，以C为坐标原点，CD，CB，CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则G(0，0，2)，B(0，4，0)，A(4，4，0)，D(4，0，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，
故＝(4，2，－2)，＝(2，4，－2)．
设n0＝(x，y，z)是平面EFG的单位法向量，则有
所以
取z＞0，得x＝y＝，z＝.所以n0＝(1，1，3)．
又因为＝(0，4，－2)，
所以d＝|n0·|＝
＝，
即点B到平面FEG的距离为.
法二：设点B到平面FEG的距离为h.因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为DA，AB的中点，
所以CE＝CF＝2.
所以GE＝GF＝2，EF＝2.
所以S△GEF＝×2×＝2.
因为VB-FEG＝VG-BEF(等体积转化)，
所以×2h＝××2.
所以h＝＝.
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
解析：①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题．
答案：A
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．a>b，c>d?ac>bd
B．a
C.b
D．a>b，cb－d
解析：可以通过举反例的方法说明A，B，C为假命题．
答案：D
3．下列命题中真命题的个数为( )
①若x2＝1，则x＝1；
②若x＝y，则＝；
③若a＞b，则a＋c＞b＋c；
④梯形的对角线一定不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有③正确．
答案：A
4．给出下列命题：
①四个非零实数a，b，c，d满足ad＝bc，则a，b，c，d成等比数列；
②若整数a能被2整除，则a是偶数；
③在△ABC中，若A>30°，则sin A>.
其中为假命题的序号是( )
A．② B．①② C．②③ D．①③
解析：①中，若a＝－1，b＝，c＝2，d＝－5满足ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，故是假命题；③中，若150°答案：D
5．下列命题中，是真命题的是( )
A．若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若M∩N＝M，则N?M
D．若M?N，则M∩N＝M
解析：A.取a＝1，b＝－1，推不出a2＋b2＝0，A不成立；B.c≤0时，不成立；C.M∩N＝M?M?N，C不成立；D成立．
答案：D
二、填空题
6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p，则q”的形式为________．
解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除．
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
7．已知下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则ac2＞bc2；
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
解析：①②③④全为假命题．
答案：4
8．给出下列三个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行．
其中，是真命题的是________(填序号)．
答案：②
三、解答题
9．判断下列命题的真假．
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有最大值；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)函数y＝的图象关于原点对称．
解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．
(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.
(3)真命题．y＝是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
B级 能力提升
1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．
答案：D
2．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________．
解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．
答案：①②④
3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．
解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．
函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”
C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”
解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若?p，则?q”.
答案：C
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠| b |
B．若a＝－b，则|a|≠| b |
C．若|a|≠| b |，则a≠－b
D．若|a|＝| b |，则a＝－b
解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”
答案：D
3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：D
4．下列四个命题中，真命题为( )
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
答案：C
5．与命题“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”为互逆命题的是( )
A．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an≠ap＋aq
B．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q
C．在等差数列{an}中，若am＋an≠ap＋aq，则m＋n≠p＋q
D．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an＝ap＋aq
答案：B
二、填空题
6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．
解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．
答案：真命题
7．下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．
其中是真命题的是________(填序号)．
解析： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
答案：①②③
8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
③“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
答案：1
三、解答题
9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.
所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)所以f(a)＋f(b)所以逆命题为真命题．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)因为原命题与其逆否命题等价，
所以可证明原命题为真命题．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．
B级 能力提升
1．原命题为“若A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．假、假、假
解析：答案：A
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．
解析：逆否命题为：a，b都小于1，则a＋b<2是真命题．
所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，例如a＝3，b＝－3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故逆命题是假命题．
答案：真 假
3．设0证明：假设(1－a)b>，所以>，
(1－b)c>，所以>，
(1－c)a>，所以>.
相加得<＋＋≤＋＋＝左右矛盾，故假设不成立．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不同时大于.
第一章 常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．“x>0”是“>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
解析：x>0显然能推出>0，而>0，不能推出x>0.
答案：A
2． “α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“α＝＋2kπ(k∈Z)”?“cos 2α＝”，“cos 2α＝”?/ “α＝＋2kπ”(k∈Z)．因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，所以选A.
答案：A
3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由ln(x＋1)<0得－1答案：B
4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M?N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M?N；但当M?N时，m＝1或m＝3，故“m＝3”是“M?N”的充分不必要条件．
答案：A
5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
答案：B
二、填空题
6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}?{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，
所以－a＜－2?a＞2.
答案：a＞2
7．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；
③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
答案：②④
8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．
答案：充分
三、解答题
9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q 的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q?s?r?p，所以p是q的必要条件．
10．已知命题p：α＝β；命题q：tan α＝tan β，判断p是q的什么条件？
解：当α＝β＝时，显然tan α与tan β无意义，即p?/ q，故p不是q的充分条件；又α＝，β＝时，tan α＝tan β，所以q?/ p，所以p不是q的必要条件，综上，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
B级 能力提升
1．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案：B
2． “函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．
答案：a＝1(或a＝－1)
3．已知a、b为不等于0的实数，判断“＞1”是“a＞b”的什么条件，并证明你的结论．
解：由条件“＞1”可得＞0，
若b＞0，则a＞b；
若b＜0，则a＜b，所以“＞1” “a＞b”，
“＞1”不是“a＞b”的充分条件．
反过来，a＞b?a－b＞0，也不能推出＞1?＞0，“＞1”也不是“a＞b”的必要条件．
所以“＞1”既不是“a＞b”的充分条件，也不是“a＞b”的必要条件．
第一章 常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A为数集，则“A∩{0， 1}＝{0}”是“A＝{0}的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}” 能得出“A∩{0，1}＝{0}”，
所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
答案：B
2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立，
所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．
答案：A
3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．
答案：A
4．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，
即(m＋2)(4m－2)＝0.
所以m＝－2，或m＝.
故为充分不必要条件．
答案：B
5．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．[－1，1] B．[－4，4]
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m>0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，
依题意，或
解得m≤－4或m≥4.
答案：C
二、填空题
6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．
解析：“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”．
答案：充要条件
7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
解析：若α＝370°>β＝30°，而sin αβ”推不出“sin α>sin β”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.
答案：既不充分也不必要条件
8．已知p：x2－4x－5>0，q：x2－2x＋1－λ2>0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．
解析：命题p成立，x2－4x－5>0，得x>5或x<－1；命题q成立，x2－2x＋1－λ2>0(λ>0)得x>1＋λ或x<1－λ，由于p是q的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.
答案：(0，2]
三、解答题
9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a，或x－1＞a，所以x＜1－a，或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜，或x＞1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：x＜0，或x＞2，
此时必有x＜，或x＞1.
即p?q，反之不成立．
所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.
10．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：(1)必要性．
因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝
(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
(2)充分性．
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0.
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．设集合A＝{x|x(x－1)＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：由于A＝{x|0＜x＜1}，则A?B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的范围．
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的范围．
解：(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S.
由x2－8x－20≤0?－2≤x≤10，
所以P＝[－2，10]．
由|x－1|≤m?1－m≤x≤1＋m，
所以S＝[1－m，1＋m]．
要使P＝S，则
所以所以这样的m不存在．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S?P.
由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，
要使S?P，则所以m≤3.
故m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
第一章 常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )
A． p∨q为真，p∧q 为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q 为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q 为假假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q 为假，綈p为假
解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q 为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。
答案：D
2．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈 p为真命题，又因为綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
答案：A
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1，2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．
答案：A
4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2) 2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假 D．“綈q”为真
解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假．
答案：A
5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
解析：命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则綈p：a>1；
命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0，即a<0或a>1，
则綈q：0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假；
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
答案：B
二、填空题
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________________，命题的否定为________________．
解析：命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为“若a≥b，
则2a≥2b”，命题的否定为“若a＜b，则2a≥2b”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
8．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．
答案：②
三、解答题
9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合．
解：因为綈q是假命题，所以q为真命题．又p∧q为假命题，所以p为假命题．
因此x2－x<6且x∈Z，解之得－2所以x的取值集合是{－1，0，1，2}．
10．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a.
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3.
由，得2＜x≤3，
则q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p?綈q，
且綈q 綈p.
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B，
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x≤2或x＞3}，
则0＜a≤2，且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
B级 能力提升
1．已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，
q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
答案：C
2．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是____________________________________．
解析：因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2.
p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3.
由得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)
3．已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或即
因为“p或q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]，
由于?解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
第一章 常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中特称命题的个数是( )
(1)至少有一个偶数是质数．
(2)?x0∈R，log2x0>0.
(3)有的实数大于零．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．
(2)中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题．
(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．
答案：D
3．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．对有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x0∈R，使x20>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“?”的含义．
答案：C
4．下列特称命题中，假命题是( )
A．?x0∈R，x20－2x0－3＝0
B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一直线
D．?x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数
解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．
答案：C
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
答案：A
二、填空题
6．若命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．
解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，
所以1≤y≤e，
若p为真，则a≥(ex)max＝e.
答案：[e，＋∞)
7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．
答案：②③
8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：依题意有：
0＜a2－1＜1???
－＜a＜－1或1＜a＜.
答案：(－，－1)∪(1，)
三、解答题
9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根；
(4)?x0∈R，x20＋2x0＋5>0.
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根，
因为Δ＝4＋4m<0，即当m<－1时，一元二次方程没有实根，所以其否定是真命题．
(4)是特称命题，其否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≤0，因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．
10．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围．
解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1，1]，因为a∈[－1，1]时，y＝f(a)>0恒成立，则
(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；
(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，得即解得x>或x<－.
综上可得：x>或x<－.
B级 能力提升
1．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：A
2．若命题“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，
解得a＜－1或a＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1，1]．
第一章 常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方不是正数
D．至少有一个实数的平方是正数
解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．
答案：C
2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为( )
A．綈p：存在x∈R，x＜sin x
B．綈p：任意x∈R，x≤sin x
C．綈p：存在x∈R，x≤sin x
D．綈p：任意x∈R，x＜sin x
答案：C
3．命题“?x∈R，?x∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?x∈N*，使得nB．?x∈R，?x∈N*，使得nC．?x∈R，?x∈N*，使得nD．?x∈R，?x∈N*，使得n解析：?的否定是?，?的否定是?，n≥x2的否定是n答案：D
4．命题“?x0∈R，使得f (x0)＝x0”的否定是( )
A．?x∈R，都有f(x)＝x
B．不存在x∈R，使得f(x)≠x
C．?x∈R，都有f(x)≠x
D．?x∈R，使得f(x0)≠x0
解析：命题的否定为?x∈R，都有f(x)≠x.
答案：C
5．已知命题p：?x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：?x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是( )
A．綈q是假命题 B．q假命题
C．綈p是假命题 D．p是真命题
答案：A
二、填空题
6．已知命题p：?x∈R，x2－3x＋3 ≤0，则綈p为________．
答案：?x∈R，x2－3x＋3＞0
7．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．
解析：由题意知，原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”．
答案：“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”
8．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．
解析：由条件知所以m<－2.
答案：(－∞，－2)
三、解答题
9．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：由已知得綈p：?x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以
解得a≤－3，
因为綈p为假，所以a＞－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
10．已知命题p：?m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥；命题q: ?x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
因为m∈[－1，1]，所以 ∈[2，3]，
因为?m∈[－1，1]，
不等式a2－5a－3≥ ，
所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0，
所以Δ＝a2－8＞0，
所以a＞2或a＜－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－2≤a≤－1.
B级 能力提升
1．已知命题p：“a＝1”是“?x＞0，x＋≥2”的充要条件，命题q：?x0∈R，x2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是( )
A．命题“p∧q”是真命题；
B．命题“p∧綈q”是真命题；
C．命题“綈p∧q”是真命题；
D．命题“綈p∨綈q”是假命题．
答案：C
2．已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________．
解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．
“?x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．
答案：?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
3．写出命题“已知a＝(1，2)，存在b＝(x，1)，使a＋2b与2a－b平行”的否定，判断其真假并给出证明．
解：命题的否定：已知a＝(1，2)，则对任意的b＝(x，1)，a＋2b与2a－b都不平行，是一个假命题．
证明如下：假设存在b＝(x，1)使a＋2b与2a－b平行，则a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)．
2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．
因为a＋2b与2a－b平行，
所以存在λ∈R，使得a＋2b＝λ(2a－b)．
即(2x＋1，4)＝λ(2－x，3)．
所以?2x＋1＝(2－x)．
解得x＝.
这就是说存在b＝使a＋2b与2a－b平行，故已知命题为真命题，其否定为假命题．
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
解析：由向量概念可知只有D正确．
答案：D
2．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4
答案：C
3．已知空间向量、、、，则下列结论正确的是( )
A.＝＋
B.－＋＝
C.＝＋＋
D.＝－
解析：－＋＝＋＋＝＋＝.
答案：B
4．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3 C．2＋ D．2
解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
答案：D
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.＋＋ B.－＋
C.＋＋ D.＋－
解析：在C选项中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：C
二、填空题
6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件．
答案：必要不充分
7.如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有________个．
(2)写出模为的所有向量________．
解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
答案：(1)8 (2)，，，，，，，
8．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.
答案：－a＋b－c
三、解答题
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．
(1)＋＋；
(2)＋－.
解：如图(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋－＝＋－＝－＝.
图中，为所求．
10．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′.
求证：＋＋＝2.
证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形．
所以＝＋，＝＋，＝＋，
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．
又因为＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝＋＝，所以＋＋＝2.
B级 能力提升
1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案：D
2．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________．
解析：设D为AB的中点，则＋＝2，
又M为△ABC的重心，则＝－2，
所以＋＋＝0.
答案：0
3．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．
解：连接CG并延长交AB于D，
则D为AB中点，且CG＝2GD，
所以＋＋
＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＝3＋2＋＝3－＋＝3.
所以λ＝3.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
C．零向量没有确定的方向．
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
答案：C
2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则( )
A．a∥e1 B．a∥e2
C．a与e1、e2共面 D．以上三种情况皆有可能
答案：C
3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，
即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
4．下列命题中，不正确的命题个数为( )
①＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若a、b共面，则a、b所在的直线在同一平面内；
④若＝＋，则P、A、B三点共线．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB和AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，，表示向量是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝＋＋
解析：因为MG＝2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，
所以＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＋(－)＝＋＋.
答案：A
二、填空题
6．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A、B、C、D中一定共线的三点是________．
解析： ＝＋＝2a＋4b＝2
所以A、B、D三点共线．
答案：A、B、D
7．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________．
解析：＝＋＝2a＋4b＝2
所以A、B、D三点共线．
答案：A、B、D
8．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．
解析：由P与A，B，C三点共面，所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
答案：
三、解答题
9．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；
(3)－(＋)．
解：(1)如图所示，＋＋＝＋＝.
(2)取BD的中点H，连接MG，GH.
因为M，G分别为BC，CD的中点，
所以BMGH为平行四边形，
所以(＋)＝＋＝，
从而＋(＋)＝＋＝.
(3)分别取AB，AC的中点S，N，
连接SM，AM，MN，
则ASMN为平行四边形，
所以(＋)＝＋＝，
所以－(＋)＝－＝.
10.如图，已知E，F， G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面．
证明：如图，连接BG，EG，
则＝，＝，＝
(＋)，
所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.
所以E，F，G，H四点共面．
B级 能力提升
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1 B．0
C．3 D.
答案：D
2．如图所示，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
3．如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线．
解：因为M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，
所以＋＋＝－＋－－.
所以＝＋2＋＝2(＋＋)．
所以＝2.所以∥，即与共线．
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案：B
2．下列命题中，正确的命题个数为( )
①m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；②a·(b＋c)＝(b＋c)·a；③(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：三个命题都正确．
答案：D
3．已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a、b垂直．
答案：A
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A．13 B.
C．2 D.
解析：|a＋3b|＝＝＝
＝.
答案：A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
答案：C
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a＝＝－13.
答案：－13
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝
135°，m⊥n，则λ＝________．
解析：由m⊥n，
得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3×4cos 135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
答案：90°
三、解答题
9.已知在四面体OACB中，OB＝OC，
AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB.
所以∠AOC＝∠AOB.
因为·＝·(－)＝·－·＝||||·cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
所以⊥，所以OA⊥BC.
10.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明：＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)＝·＋，＋2＋·＝||·||·cos〈·〉＋2＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)解：结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝ ＝ ＝||，
所以cos〈，〉＝＝.
所以||＝2，即侧棱长为2.
B级 能力提升
1．已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( )
A. B．5 C．6 D.
解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1.
所以|a－b＋2c|＝＝
＝
＝
＝.
答案：A
2．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
解析：由题意知
即
?λ2＋2λ－2<0.所以－1－<λ<－1＋.
答案：(－1－，－1＋)
3．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．
解：(1)如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.所以||＝.
即AC1长为.
(2)因为＝a＋b＋c， ＝b－c，
所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又|A1D|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，
所以||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为－.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分角及其坐标表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．{a＋b，b－a，a} B．{a＋b，b－a，b}
C．{a＋b，b－a，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c}
解析：由已知及向量共面定理，易知a＋b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底．
答案：C
2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k， c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，12，10) D．(4，3，2)
解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
答案：A
3．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p?/ q，而q?p，故命题p是命题q的必要不充分条件．
答案：B
3．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p?/ q，而q?p，故命题p是命题q的必要不充分条件．
答案：B
4.如图，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：连接ON，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．
解析：a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．
答案：(2，－4，5)，(1，2，－3)
7．已知A，B，C，D，E是空间五点，若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则有下列结论：
①，，不能构成空间的一个基底；
②，，不能构成空间的一个基底；
③，，不能构成空间的一个基底；
④，，能构成空间的一个基底．
其中正确的有________个．
解析：由题意，知空间五点A，B，C，D，E共面，故①②③正确，④错误．
答案：3
8.三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，
＝(0，1，0)．
＝－＝(＋)－(＋)＝－，
即＝.
答案：
三、解答题
9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2， 3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
解：M(1，－2，3)关于坐标平面xOy，xOz，yOz对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)关于x轴、y轴、z轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．
10．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b， c}表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
解：连接AC，AD′.
(1) ＝(＋′)＝(＋＋)＝(a＋b＋c.)
(2)＝(＋)＝(＋2＋AA′)＝(a＋2b＋c)．
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
B级 能力提升
1．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
答案：C
2．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．
解析：构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．
答案：③④⑤ (不唯一，也可以有其他的选择)
3.如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O-xyz，求EF中点P的坐标．
解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k.因为＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋×＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k.
所以P点的坐标为.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2) ，B(5，－6，2)，C(1，3，－ 1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B. C．4 D．2
解析：设＝λ，又＝(0，4，－3)，
则＝(0，4λ，－3λ)．
又因为＝(4，－5，0)，所以＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
由·＝0，得λ＝－，所以＝.
所以||＝5.
答案：A
2．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案：D
3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6 C．－6 D．±6
解析：因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，
解得m＝6.
答案：B
4.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于( )
A．(0，，－1)
B．(－，0，1)
C．(0，－，1)
D．(，0，－1)
解析：因为B(1，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)．
所以E1，所以＝.故选C.
答案：C
5．若a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4C．04
解析：依题意得cos〈a，b〉＝<0，
所以a·b<0，即3x＋2(2－x)<0，解得x<－4.
答案：A
二、填空题
6．若a＝(x，3，1)，b＝(2，y，4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝________．
解析：由a＝zb，得所以
答案：
7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案：7
8．若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，〈a，b〉＝，则z等于________．
解析：cos〈a，b〉＝cos＝＝
＝.
所以z＝±.
答案：±
三、解答题
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组正交单位基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．
解：由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－ 4，2)，所以a·b＝(4，3，－1)×(5，－4，2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
又因为|a|＝＝，
|b|＝＝＝3，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为.
10．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，3，1)，求：
(1)(a－2b)·(2a＋b)；
(2)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
解：(1)a－2b＝(3，－2，－3)－2(－1，3，1)＝(5，－8，－5)，
2a＋b＝2(3，－2，－3)＋(－1，3，1)＝(5，－1，－5)．
所以(a－2b)·(2a＋b)＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.
(2)因为cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以sin〈a，b〉＝＝＝.
所以S?＝|a|·|b|sin〈a，b〉＝××＝7.
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为7.
B级 能力提升
1．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
2．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析：因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
所以cos〈，〉＝＝
＝＝－，
又0°≤〈，〉≤180°，所以θ＝〈，〉＝120°.
答案：120°
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0) 、B(1，0，0)、C(1，1，0) ，D(0，1，0)、A1(0，0，1)，B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E、F，G、H.
(1)则＝(1，0，1)，＝，
＝
因为＝2，·＝1×＋1×＝0，
所以∥，⊥.即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)因为＝，＝，
＝，所以·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝?x＝6，y＝.
答案：D
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．
答案：A
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判断
解析：因为a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，
所以a∥b，所以α∥β.
答案：A
4．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
解析：因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以两法向量垂直，从而两平面也垂直．
答案：C
5．若向量a＝(1，－2，1)，b＝(1，0，2)，则下列向量可作为向量a，b所在平面的一个法向量的是( )
A．(4，－1，2) B．(－4，－1，2)
C．(－4，1，2) D．(4，－1，－2)
答案：B
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．
解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝.
所以y＝1，z＝－4.所以y＋z＝－3.
答案：－3
7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________．
解析：因为＝(－1，2－y，z－3)，∥v，
故＝＝，故y＝，z＝.
答案：
8．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为________．
解析：建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
所以＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)．设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥，n⊥，得令x＝1，得n＝(1，1，－1)．
答案：(1，1，－1)(答案不唯一)
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是＝，＝(1，0，1)，
＝(1，1，0)，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN?平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
法二：因为＝－＝－＝(－)＝，
所以∥，而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
10.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是
、(0，0，1)．
所以＝.
又点A、M的坐标分别是(，，0)、
，
所以＝.
所以＝，且A?NE，所以NE∥AM.
又因为NE?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
B级 能力提升
1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点中在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.
C. D.
答案：B
2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以与，共面．所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
3.如图，四棱柱P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若 不存在，说明理由．
解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)，
因为∥，
所以y(－1)－2(z－1)＝0，①
因为＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)
由CE∥面PAB，
所以⊥，所以(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0.
所以y＝1，代入①得z＝，所以E是PD的中点，
所以存在E点为PD中点时，CE∥平面PAB.
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第2课时 空间向量与垂直关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
解析：所以u＝－2a，所以a∥u，所以l⊥α.
答案：B
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.·＝0 B.·＝0
C.·＝0 D.·＝0
解析：因为PA⊥平面ABCD，
所以BD⊥PA.
又AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，
所以PC⊥BD.
故选项B正确，选项A和D显然成立，
故选C.
答案： C
3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10 B．－10
C. D．－
解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1，2，4)×(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
答案：B
4．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
解析：因为a·b＝0，
所以a⊥b，故选D.
答案：D
5．已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(－3，－2，－5)，＝(－1，4，－1)，则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以⊥，故△ABC为直角三角形．又||≠||，故选C.
答案：C
二、填空题
6．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________．
解析：由l⊥α得，＝＝，即m＝4.
答案：4
7．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
答案：－10
8．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0，
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
所以cos x＝0或cos x＝.因为x∈[0，π]，所以x＝或.
答案：或
三、解答题
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.
证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．
于是＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，
由于·＝－2＋2＋0＝0
及·＝－2＋0＋2＝0.
所以⊥，⊥，
所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC∩AP＝A，所以OB1⊥平面PAC.
10．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝， AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，
所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(－2，2，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，
而BC?平面BCC1B1，
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二：同法一，得
＝(0，0，)，＝(1，1，0)，
＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
所以n1＝(1，－1，0)．
由解
令y2＝1，得x2＝1， z2＝，
所以n2＝.
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2.
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
B级 能力提升
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
答案：B
2．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
解析：因为＝(－1，－1，1)，
＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，
由·＝0，·＝0，得
则x＝，z＝－，所以P.
答案：
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E，C1(0，1，1)，
＝(0，1，0)，＝(－1，1，a－1)，
＝，＝(0，1，1)．
设平面A1B1P的一个法向量为
n1＝(x1，y1，z1)，
则?
所以x1＝(a－1) z1，y1＝0.
令z1＝1，得x1＝a－1，
所以n1＝(a－1，0，1)．
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则??
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
所以n2＝(－2，1，－1)．
因为平面A1B1P⊥平面C1DE，
所以n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.
所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
A级 基础巩固
一、选择题
1．三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：只需搞清二面角的范围是[0，π]．
答案：C
2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故与所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
答案：C
3．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为( )
A. B. C．－ D.
解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝＝＝.
答案：B
4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，
＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
答案：A
5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
因O为A1C1的中点，所以O，
＝，
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有
即
取n＝(1，0，1)
所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
答案：B
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，
＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)．
所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.
答案：
7．已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
解析：cos〈v1，v2〉＝＝＝.
答案：
8．若两个平面α，β的法向量分别为u＝(1，0，1)，v＝(－1，1，0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
解析：因为u＝(1，0，1)，v＝(－1，1，0)，所以|u|＝，|v|＝，u·v＝－1.所以cos〈u，v〉＝－.所以〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.
答案：60°
三、解答题
9．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解：(1)建立以D为坐标原点，
DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，
＝，＝，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以AC到平面PEF的距离为.
10．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，
法一：取A1B1的中点M，
则M，连接AM、MC1，
有＝，＝(0，a，0)，
＝(0，0，a)．
所以·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又AB∩AA1＝A，
所以MC1⊥平面ABB1A1.
所以∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．
由于＝，＝，
所以·＝0＋＋2a2＝，
||＝ ＝a，||＝ ＝a，
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
法二：＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
＝.
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，
所以n·＝0且n·＝0.
所以ax＝0且ay＝0.
所以x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．
因为＝，
所以cos〈，n〉＝＝－.
所以|cos〈，n〉|＝.
所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
B级 能力提升
1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)．故＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，cos〈，〉＝＝＝，故OE与FD1所成角的余弦值是.
答案：B
2．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为________．
解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系．设BC＝1，
则A，B，D.
所以＝，＝，＝.
由于＝为平面BCD的法向量．
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
答案：
3.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
解：建系如图，
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，
(1)证明：＝(，b，0)－(，0，a)
＝(0，b，－a)，
＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，
设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，
所以μ＝，λ＝－1，所以＝－＋，
又AE?平面DCF，所以AE∥面DCF.
(2)因为＝(－，c－b，0)，＝(，b，0)
且·＝0，||＝2.
所以
解得b＝3，c＝4，
所以E(，3，0)，F(0，4，0)．
设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n·＝0，n·＝0，解得n＝.
又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，
所以cos〈n，〉＝＝＝，
得到a＝，
所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60°.
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )
解析：对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x＞0，y＞0.
答案：C
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析：由已知所以即或或或
答案：B
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析：由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.
由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．
答案：C
4．方程y＝表示的曲线为图中的( )
A B C D
解析：y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.
又因为当x>0时，y＝>0；
当x<0时，y＝－>0，所以排除D.
答案：C
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差为8，
所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为－＝1(x≥4)．
A：直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意；
B：x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C：＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意；
D：方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以y＝3，满足题意．故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知点A(a，2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝________．
解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，
则所以
答案：
7．已知A (0，1)，B(1，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．
解析：设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}，
由两点间距离公式得＝，化简得，y＝x.
答案：y＝x
8．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
答案：③
三、解答题
9．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线C.若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
解：将点M(m，)与点N代入方程
x2(x2－1)＝y2(y2－1)，
得所以m＝±，
n＝±或±.
10．求方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．
解：依题意可得或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
B级 能力提升
1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示( )
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
答案：B
2．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．
答案：
3．已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
证明：因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，
所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，且P在曲线g(x，y)＝0上，
即g(x0，y0)＝0，
所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线
解析：以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2，0)、B(2，0)．设P(x， y)，则＋＝2＝2(－x，－y)．所以x2＋y2＝4.
答案：C
2．若点M到两坐标轴的距离的积为2 015，则点M的轨迹方程是( )
A．xy＝2 015 B．xy＝－2 015
C．xy＝±2 015 D．xy＝±2 015(x＞0)
解析：设M(x，y)，则由题意知：|x|·|y|＝2 015，
所以xy＝±2 015.
答案：C
3．与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1 B．y2＋y2＝1(x≠±1)
C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案：B
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，
所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得，x2＋y2＝4.
因为M，N，P不共线，所以x≠±2，
所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
二、填空题
6．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋y2＝4
7．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±)
8．已知为A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是__________________________________．
解析：设点B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.①
设线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝，从而得x0＝2x，y0＝2y＋1.代入①式，得2y＋1＝2×(2x)2＋1即y＝4x2.
答案：y＝4x2
三、解答题
9．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．
解：设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离|PA|＝，
由已知d＝2|PA|得：
|x－8|＝2，化简得：
3x2＋4y2＝48.
故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
10．若动点P在y＝2x2＋1上移动，求点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程．
解：设PQ的中点为M(x，y)，P(x0，y0)，
则所以
又因为点P在y＝2x2＋1上，
所以y0＝2x20＋1，
所以2y＋1＝8x2＋1，
所以y＝4x2即为所求的轨迹方程．
B级 能力提升
1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为( )
A．f(x－3，y)＝0 B．f(y＋3，x)＝0
C．f(y－3，x＋3)＝0 D．f(y＋3，x－3)＝0
解析：设P′(x，y)为对称曲线上任意一点，它关于直线x－y－3＝0对称点的坐标为(x′，y′)，
依据题意有?
又(x′，y′)适合方程f(x，y)＝0，
故所求对称曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.
答案：D
2．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_______．
解析：(参数法)直线＋＝1与x、y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
3．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．
解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，
当A的坐标为(x，3)时，
因为AB⊥CH，
所以kAB·kCH＝－1，
即·＝－1(x≠±3)．
化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．
又x＝±3，y＝0时也适合此方程，
所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．
当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或
y＝x2－3.
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．若F1，F2是两个定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案：D
2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，所以m＝8.
答案：D
3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.
答案：C
4．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案：D
5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a＞3或a＜－2
C．a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
解析：由于椭圆焦点在x轴上，
所以即?a＞3或－6＜a＜－2.
答案：D
二、填空题
6．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14.
且|PF1|2＋|PF2|2＝100，
联立可得|PF1|·|PF2|＝48.
答案：48
7．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14.
且|PF1|2＋|PF2|2＝100，
联立可得|PF1|·|PF2|＝48.
答案：48
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.
所以＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．一个动圆与已知圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图所示，
由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
B级 能力提升
1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4 C．3 D．1
答案：B
2．a∈，若方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析：方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为
＋＝1.
因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0.
又因为α∈，所以sin α＞cos α＞0，所以＜α＜.
答案：
3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，并整理，得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin＝.
(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.
所以|PF1|＋|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|≤＝100.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．
所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上．
答案：C
2．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
解析：依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8.
答案：B
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：由题意得a2＝2，b2＝m，
所以c2＝2－m，又＝，
所以＝，所以m＝.
答案：B
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴，直线AB与y轴交于点P，其中＝2，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，△ABF1∽△APO，
则＝，即＝.
所以a＝2c.，所以e＝＝.
答案：D
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为( )
A. B.
C. D．4
答案：C
二、填空题
6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．
解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，
a2＋b2＝()2，即a2＝4.
所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.
答案：＋y2＝1或＋x2＝1
7．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析：当k＋8＞9时，e2＝＝＝，k＝4；
当k＋8＜9时，e2＝＝＝，k＝－.
答案：4或－
8．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：因为x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)．所以b＝2，a2＝b2＋c2＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝6，e＝＝，所以a＝3，c＝2.
所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是椭圆的两个顶点．若F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率．
解：依题意，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
所以焦点F1到AB的距离d＝，
所以＝b.
两边平方，整理得8c2－14ac＋5a2＝0.
两边同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．因此离心率为.
B级 能力提升
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆＋＝1(a>b>0)两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：因为当点P在短轴端点时， S△F1PF2最大，
所以∠PF1F2＝，所以tan＝，
因为c＝3，所以b＝，
所以a2＝b2＋c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：A
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D．1
解析：记|F1F2|＝2c，则由题设条件，
知|PF1|＝，|PF2|＝，
则椭圆的离心率e＝＝＝＝.
答案：B
3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
解：(1)因为点P(－，1)在椭圆上，所以＋＝1.①
又因为＋＝0，M在y轴上，
所以M为PF2的中点，所以－＋c＝0，c＝.
所以a2－b2＝2，②
联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，
所以解得
所以3x1－4y1＝－5x0.
因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，所以－2≤x0≤2，
所以－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值为[－10，10]．
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 椭圆方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
因为Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
所以直线与椭圆相离．
答案：C
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为x－2y＋2＝0，所以y＝x＋1，即＝，
即 ＝，所以＝，＝.
答案：D
3．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8，2 B．5，4
C．5，1 D．9，1
解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，
最小距离为a－c＝1.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
解析：由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，
由弦长公式得|AB|＝×＝.
答案：B
5．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
解析：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
答案：D
二、填空题
6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由联立得：3x2－4x＝0，
可知：A(0，－1)，B，又F1(－1，0)，
所以|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
答案：
7．已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1，1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＝－，
所以k＝＝－＝－＝－.
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
答案：4x＋9y－13＝0
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
答案：＋＝1
三、解答题
9.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，且最短距离d＝＝，切点为P.
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知，y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝，
联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝，
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝，得b2＝a2，b＝a，
代入上式得a＝，所以a＝3，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
B级 能力提升
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：D
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝________．
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．
所以由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.
所以x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，所以||＝＝＝.
答案：
3．如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，
即得x＝或x＝－6.
由于y＞0，只能x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是 (m，0)，
则M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，
由于－6≤x≤6.
所以当x＝时，d取最小值.
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支 D．一条射线
解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支．
答案：C
2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于( )
A．22 B．16
C．14 D．12
解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，
|PF2|＝9，进而易得周长为22.
答案：A
3．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹方程为( )
A.＋y2＝1 B.－y2＝1
C.＋y2＝1(x≠±2) D.－y2＝1(x≠±2)
解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，
整理得－y2＝1(x≠±2)．
答案：D
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.
答案：B
5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2.①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2.②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
所以|PF1|·|PF2|＝m－a.
答案：A
二、填空题
6．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________．
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
7．在平面直角坐标系xOy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．
解析：将方程化为－＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即1答案：(1，3)
8．若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为________．
解析：椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝，所以焦点为(±，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．
解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，
设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.①
又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，②
解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，C＝3.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，
平方得m2－2mn＋n2＝16.①
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 120°＝m2＋n2＋mn＝36.②
由①②得mn＝，
所以△F1PF2的面积为S＝mnsin 120°＝.
10．如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4，0)，C2(4，0)，
所以|C1C2|＝8.所以2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14.
所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
B级 能力提升
1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( )
A．－1＜k＜1 B．k＞1
C．k＜－1 D．k＞1或k＜－1
答案：A
2．已知曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________．
解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.
在△F1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8，
所以|PF1|·|PF2|＝4.
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.
所以|PF1|＋|PF2|＝2
答案：2
3．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，
又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
解析：如图所示，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，当点P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
答案：C
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则椭圆C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：双曲线C的渐近线方程为－＝0及点P(2，1)在渐近线上，所以－＝0，
即a2＝4b2，①
又a2＋b2＝c2＝25，②
解①②得b2＝5，a2＝20，故选A.
答案：A
3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：令x2－＝0，则y＝±x.
答案：C
4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r等于( )
A. B．2 C．3 D．6
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3，0)，由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，
即r＝＝＝.
答案：A
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )
A. B. C. D．2
解析：由题意知，这条渐近线的斜率为，即＝，
而e＝＝ ＝＝.
答案：A
二、填空题
6．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是__________________________________________．
解析：依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
解析：双曲线方程可变为－＝1，
则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，
又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0.
答案：(－12，0)
8．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为_______________________________________________．
答案：y＝±x
三、解答题
9．焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的标准方程．
解：设双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a，0)，(－a，0)．
所以＝，a＝.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过 (a，0)，(0， b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
解：直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，
于是有＝c，
即4ab＝c2，
两边平方得，16a2b2＝3c4，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，
3c4－16a2c2＋16a4＝0，
即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，
因为b>a>0，所以>1，
e2＝＝1＋>2，故e2＝4，
所以e＝2.
B级 能力提升
1．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为离心率为，
所以e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，
所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：D
2．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程_____________________________________________________．
解析：设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，则－＝λ，
从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
3．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，求双曲线的离心率．
解：因为AF1⊥AF2，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①
因为|AF1|＝3|AF2|，
所以点A在双曲线的右支上．
则|AF1|－|AF2|＝2a，
所以|AF2|＝a，|AF1|＝3a，
代入到①式得(3a)2＋a2＝4c2，＝.
所以e＝＝.
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为( )
A. B．2 C. D．4
解析：由题意，得＝，所以a＝4.
答案：D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
答案：C
3．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C．1 D.
答案：B
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C. D．[－，]
解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.
答案：C
5．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13.
又＝，
所以a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
答案：D
二、填空题
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．
解析：因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.
而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
答案：9
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率的最大值为________．
解析：依据双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝≥2c，
所以e＝≤，emax＝.
答案：
8．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．则k的取值范围为________．
答案：(1，)
三、解答题
9．过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，
所以c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得5x2＋6x－27＝0
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝|x1－x2|＝ ×＝
×＝.
(2)直线AB方程变形为x－3y－3＝0
所以原点O到直线AB的距离为
d＝＝
所以S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
解：(1)由题意可设所求的双曲线方程
为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，
所以所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，
所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，
令x＝0，得M(0，2k)，
因为||＝2||且M，Q，F共线于l，
所以＝2或＝－2.
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，
所以Q的坐标为，
因为Q在双曲线x2－＝1上，
所以－＝1，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．
当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)，
代入双曲线方程得，
16－＝1，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)，
综上，所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
B级 能力提升
1．P是双曲线－＝1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值(a＞0，b＞0)等于( )
A．4 B．7 C．6 D．5
答案：B
2．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，
因为OA＝AF，F(c，0)，
所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
答案：(2，＋∞)
3．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)因为e＝.
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为过点(4，－)，所以λ＝16－10＝6，
所以双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
所以c＝2.
所以F1(－2，0)，F2(2，0)．
所以＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
所以·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
因为M在双曲线上，所以9－m2＝6，
所以－3＋m2＝0.所以·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
第二章 圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y＝4x2的准线方程为( )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－ D．y＝－
答案：D
2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，1)
C．(2，0) D．(1，0)
解析：由题意，y2＝4x的焦点坐标为(1，0)．
答案：D
3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，将点(2，4)代入可得p＝4或p′＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y.
答案：C
4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
解析：由题意，知动圆圆心到点F(0，3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x2＝12y.
答案：C
5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A．5 B．4
C. D.
答案：C
二、填空题
6．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝16x或x2＝－8y
7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
所以xA＋xB＝.
所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
答案：2
三、解答题
9．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
所以＝3，所以p＝6.
所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合
P＝{M||MA|＝|MN|}，
即＝|x＋3|，化简得y2＝12x.
所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
10.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
解：如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，
抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
因为>2，所以A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
所以P坐标为(2，2)．
B级 能力提升
1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
答案：A
2．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
解析：将抛物线方程化成标准方程为
x2＝－4y，
可知焦点坐标为(0，－1)，
因为－3＜－，
所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，
过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，
|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，
当且仅当点M在EQ上时取等号，
又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
答案：4
3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由已知条件可得，
点A的坐标是(0.5，2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×0.5，
所以p＝5.76.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，
焦点坐标是(2.88，0)
第二章 圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：y2＝8x的焦点到准线的距离p＝4.
答案：C
2．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种均有可能
答案：B
3．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝( )
A．90° B．45° C．30° D．60°
答案：A
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，由题意可得p＝4，所以其方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案：C
5．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．
又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，
把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.
答案：D
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
答案：6
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：由y2＝4x知，抛物线的焦点F(1，0)，当x＝1时，y＝±2，所以A(1，2)，B(1，－2)，此时AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．
解析：设△AOB边长为a，则A，
所以＝6×a.所以a＝12.
答案：12
三、解答题
9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；
(2)＋＝.
证明：(1)如图所示．
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，
准线方程：x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.
所以y1y2＝－p2，
所以x1x2＝·＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知PA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，
所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝.
10．已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值．
解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1.
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1
当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1.
此时d＝＝，
所以|PA|＋|PB|的最小值为－1.
综上所述，|PA|＋|PB|最小值为－1.
B级 能力提升
1．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
答案：C
2．已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为________．
解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A′，M′，B′.
由抛物线的定义，
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋.
所以y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
所以y2＝(y1＋y3)＝≥
×＝(2a－1)．
等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦．
又|AB|＝a≥1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为(2a－1)．
答案：(2a－1)
3．在抛物线y＝4x2上求一点，使这点到直线y＝4x－5的距离最短．
解：法一：设抛物线上任意一点坐标为P(x，4x2)，
则点P到直线y＝4x－5的距离是：
d＝＝＝＝，
所以当x＝时，d取最小值．
此时y＝4x2＝4×＝1，所以所求点的坐标.
法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y＝4x－5平行且与抛物线y＝4x2相切时的切点．
设平行于直线y＝4x－5的切线为y＝4x＋b.
由消去y得，4x2－4x－b＝0.
因为直线与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4×4(－b)＝0，解得b＝－1.
所以当b＝－1时，x1＝x2＝，
代入y＝4x2得y＝1.
所以所求点的坐标为.
第二章 圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示( )
A．点F到y轴的距离
B．点F到准线l的距离
C．点F的横坐标
D．点F到抛物线上一点的距离
解析：由抛物线定义，知抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离．
答案：A
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：由题意，知圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
3．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：由题意，知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
答案：B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
答案：D
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，
因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．
答案：B
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点．若△ABF为等腰直角三角形，则p＝________．
解析：由题意，知△ABF的边长为2p，
故点B，代入双曲线方程，得p＝2.
答案：2
7．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________．
解析：z＝x2＋y2＋4＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，
因为y2＝4x≥0，所以x∈[0，＋∞)，
所以当x＝0时，zmin＝4.
答案：4
8．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．
答案：
三、解答题
9.如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点， 试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大．并求出这个最大面积．
解：由解得或
所以A(4，4)，B(1，－2)，所以|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有
d＝＝＝|(y0－1)2－9|.
因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.
所以d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，
Smax＝××3＝.
因此，当P为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
10．已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：因为抛物线的焦点F在x轴正半轴上，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)．
因为A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，
所以＝5，解得p＝1或p＝9，
故抛物线的标准方程为：y2＝2x或y2＝18x.
B级 能力提升
1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A. B. C. D．25
解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，由题意可得直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
答案：A
2．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析：因为抛物线的焦点为F(1，0)，
设A，则＝，＝，
由·＝－4，得y0＝±2，
所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．
答案：(1，2)或(1，－2)
3．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设点A的坐标为(a，0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．
解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝＋y2＝＋2x＝＋.
因为x≥0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，
所以当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点P的坐标为(0，0)，最短距离是.
(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x
＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，
解得dmin＝，
此时x＝a－1；
当a－1＜0，即a＜1时，d＝a2，
解得dmin＝|a|，此时x＝0.
所以d＝f(a)＝
章末评估验收(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x＞0?|x|＞0充分，而|x|＞0?x＞0或x＜0，不必要．
答案：A
2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：－1＜x＜1的否定是“x≥1，或x≤－1”；“x2＜1”的否定是“x2≥1”．
答案：D
3．下列命题中是全称命题的是( )
A．圆的内接四边形
B. ＞
C. ＜
D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形
解析：由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．
答案：A
4．若α，β∈R，则“α＝β ”是“tan α＝tanβ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：当α＝β＝时，tan α，tan β不存在；
又α＝，β＝时，tan α＝tan β，
所以“α＝β ”是“tan α＝tan β ”的既不充分又不必要条件．
答案：D
5．命题“?x＞0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．?x0＞0，使得x－x0 ≤0 B．?x0＞0，使得x－x0＞0
C．?x＞0，都有x2－x＞0 D．?x≤0，都有x2－x＞0
解析：由含有一个量词的命题的否定应为B.
答案：B
6．命题p：a2＋b2＜0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b ∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假 D．“綈q”为真
解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假．
答案：A
7．如果命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，那么( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定为真命题
C．命题q不一定为真命题
D．命题p与命题q真假相同
解析：因为綈p为真，所以p为假；又因为p或q为真，所以q必为真．
答案：B
8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈q是綈p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题易知p：x>1或x<－3；q：2所以綈q：x≥3或x≤2，綈p：－3≤x≤1，
所以綈q是綈p的必要不充分条件，故选B.
答案：B
9．已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：解题的突破口为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．故?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定是?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
答案：C
10．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．以上说法均不正确
解析：p：x2＋2ax－a>0的解集为R?Δ＝4a2＋4a<0?－1答案：C
11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
12．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题p：?x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：_______________．
解析：特称命题“?x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“?x∈M，綈p(x)．”故填?x∈R，x2＋2x＋4≥0.
答案：?x∈R，x2＋2x＋4≥0
14．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则綈p是綈q的________条件．
解析：綈p：≤x≤2.
綈q：－1≤x≤2.綈p?綈q，但綈q 綈p.
所以綈p是綈q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
15．“函数y＝x2＋bc＋c，在x∈[0，＋∞)上是单调函数”的充要条件为________．
解析：对称轴为x＝－，
要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，
只需满足－≤0，即b≥0.
答案：b≥0
16．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题在“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a＞b＞0，则 ＞ ＞0”的逆否命题；
④若“m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a，b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
解：(1) 綈p：?m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，则m<－，
所以当m＝－1时，綈p为真．
(2) 綈q：?x∈R，使得x2＋x＋1>0.
因为x2＋x＋1＝＋>0，
所以綈q为真．
19．(本小题满分12分)若x∈[－2，2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2，2]时，
f(x)min≥0即可．
①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤.
又因为a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2，2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7.又因为a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
20．(本小题满分12分)下列三个不等式：
①|x－1|＋|x＋4|＜a；②(a－3)x2＋(a－2)x－1＞0；③a＞x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
解：对于①，因为|x－1|＋|x＋4|≥|(x－1)－(x＋4)|＝5，
所以，不等式|x－1|＋|x＋4|＜a的解集为空集时，实数a的取值范围是a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集{x|x＞1}，不是空集；
当a≠3时，要使不等式 (a－3)x2＋(a－2)x－1＞0的解集为空集，则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a＞x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a＜－2或a＞2}．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解：(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.
(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
对于命题q，m2－1＞1，故m＞或m＜－.
由于“p或q”为真，“p且q”为假，则
①若p真q假，则则得－≤m≤1.
②若p假q真，则解得m＜－3或m＞.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．
22．(本小题满分12分)已知a＞0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且只有一个真命题，求a的取值范围．
当a＞1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞) 内单调递增．
解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递增．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
(1)若p真，q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴至多有一个交点，则0＜a＜1，且≤a＜1或1＜a≤，即≤a＜1.
(2)若p假，q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递增，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，则a＞1，且a＜或a＞，所以a＞.
综上所述，a的取值范围是∪.
章末评估验收(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
1．已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a(a＞0)，当a＝3和5时，点P的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和两条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
解析：当2a＜|AB|时，表示双曲线的一支；当2a＝|AB|时，表示一条射线．
答案：D
2．抛物线y＝4x2的准线方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝ D．y＝－
解析：由抛物线方程x2＝y，可知抛物线的准线方程是y＝－.
答案：D
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
答案：D
4．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，渐近线方程为x±y＝0，所以k＝，所以e＝.
答案：A
5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a?a＝2.
又e＝＝，c＝1，b＝，椭圆方程为＋＝1.
答案：A
6．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：设椭圆＋＝1(a>b>0)，则三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴的端点，
所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.
所以a2≥2.所以a≥.所以长轴长2a≥2，故选D.
答案：D
7．已知点P是双曲线－＝1右支上的一点，点M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：D
8．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m≥1或0＜m＜1
C．m≥1且m≠5 D．0＜m＜5且m≠1
解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以＋≤1，解得m≥1.又m≠5，故选C.
答案：C
9．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋18＝0上的等轴双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝－6
C．x2－y2＝18 D．x2－y2＝－18
解析：依据题意可知双曲线的一个焦点为(－6，0)，又因为双曲线为等轴双曲线，所以2a2＝36，a2＝18，所以双曲线的方程为x2－y2＝18.故选C.
答案：C
10．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．－＋＝1 D．－＋＝1
解析：因为椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，离心率e＝，
所以双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为－＝＝2，
所以c＝4，＝2，所以a＝2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝12.
所以双曲线方程为－＝1.
答案：C
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，设点A(－2，n)，
所以－＝，所以n＝4.
所以P点纵坐标为4.
由(4)2＝8x，得x＝6，
所以P点坐标为(6，4)，
所以|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
答案：B
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝2x}，则A∩B的子集的个数是________．
解析：因为集合A＝，B＝{(x，y)|y＝2x}，且(0，1)在椭圆内，所以两曲线有两个交点，
所以A∩B有两个元素，所以A∩B的子集的个数是22＝4.
答案：4
14．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝________．
答案：2
15．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：设椭圆的长半轴为a，
由2a＝12知a＝6，
又e＝＝，故c＝3，
所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.
所以椭圆G的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
16．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由直线方程y＝(x＋c)?直线与x轴的夹角为，且过点F1(－c，0)，因为∠MF1F2＝2∠MF2F1，且三角形内角和为π，所以∠MF2F1<，所以∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，
所以∠MF2F1＝，所以∠F1MF2＝，
所以F1M⊥F2M，
所以在Rt△F1MF2中，F1F2＝2c，F1M＝c，F2M＝c，
所以由椭圆的定义可得2a＝c＋c，
所以＝＝－1.
答案：－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且椭圆经过点.
(1)求椭圆标准方程；
(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝ ＋＝
2，即a＝，
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)得：椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率e＝＝.
18．(本小题满分12分)设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组
有两个不同的实数解．
消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以解得0＜a＜且a≠1.
所以双曲线的离心率e＝＝.
因为0＜a＜且a≠1，所以e＞且e≠.
故离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1AB中点为E(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
20．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且·＝0，⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝时，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，所以c＝1.
把点P的坐标代入椭圆方程，得＋＝1，
又因为a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，c2＝1.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，
即m2＝k2＋1.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－，
x1x2＝＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＝，所以k＝±1.
21．(本小题满分12分)如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求△ABP面积的最大值．
解：(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
所以解得
所以直线l的方程为y＝2x－2，
抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，△ABP的面积最大．
设切线方程是y＝2x＋t，由得
x2＋4x＋2t＝0，所以Δ＝42－4×2t＝0，所以t＝2.
此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，
d＝＝.由得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·＝
×＝4.
所以△ABP面积的最大值为×4×＝8.
22．(本小题满分12分)过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程．
(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？并说明理由．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，所以1＋＝2，
所以p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的焦点为F(0，1)，直线l的方程y＝2x＋1，
设点A、B、M的坐标分别为
、、，
由方程组消去y得：x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.
因为MA⊥MB，所以·＝0，
所以(x1－x0)(x2－x0)＋＝0，
所以(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.
因为M不与A，B重合，所以(x1－x0)(x2－x0)≠0，
所以1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，
x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，所以x＋8x0＋12＝0，
因为Δ＝64－48＞0，
所以方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，
使得MA⊥MB.
章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．有关真假命题的判断方法
(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．
(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．
2．正确理解逻辑联结词的含义
(1)已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相对．
(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．
3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面
(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．
(2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真．
专题一 充分条件与必要条件的理解及判定
1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：
(1)确定条件是什么，结论是什么；
(2)把复杂的条件(结论)化简；
(3)尝试从条件推结论，从结论推条件；
(4)确定是什么条件．
2．充分条件与必要条件的判定是高考的热点内容，其考查形式主要以选择题或填空题为主，题目难度不大．
[例1] 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正实根，试判断p是q的什么条件．
解：若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正实根，则Δ＝m2－4n ＞0，即m2＞4n.
设方程的两根为x1，x2，则0＜x1＜1，0＜x2＜1，
有0＜x1＋x2＜2，且0＜x1x2＜1.
根据根与系数的关系，有
解得
所以－2＜m＜0，0＜n＜1，且m2＞4n，即有q?p.
反之，取m＝－，n＝，
那么方程变为x2－x＋＝0，Δ＝－4×＜0.
此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以p q.
综上所述，p是q的必要不充分条件．
归纳升华
若p?q，但p?/q，则p是q的充分不必要条件；若p q，但p?q，则p是q的必要不充分条件；若p?q，则p是q的充要条件；若p q，且p?/q，则p是q的既不充分也不必要条件．
[变式训练] 下列各题中，p是q的什么条件？说明理由．
(1)p：a2＋b2＝0；q：a＋b＝0；
(2)p：a≤－2或a≥2；q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；
(3)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切；q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)因为a2＋b2＝0?a＋b＝0，a＋b＝0?/ a2＋b2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)当a≤－2或a≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而x2＋ax＋a＋3＝0有实根时，Δ≥0，得a≤－2或a≥6，可推出a≤－2或a≥2.所以p是q的必要不充分条件．
(3)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，从而c2＝(a2＋b2)·r2，反之，也成立．所以p是q的充要条件．
专题二 四种命题的关系及真假判断
命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，否命题为“若綈p，则綈q”，逆否命题为若“綈q，则綈p”．书写这四种命题时应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待；(2)要注意条件和结论的否定形式．在高考试题中，常以选择题的形式考查命题真假的判断．若以填空题形式出现，则往往要求写出命题的否定或逆否命题等．
[例2] 给出下列命题：
①已知a＝(3，4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4.
②函数y＝tan(x＋)的图象关于点(，0)成中心对称．
③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．
④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．
解析：①因为|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，所以cos＝－，所以a在b方向上的投影为|a|·cos＝－4，①正确．
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tan x的图象的性质知，②正确．
③因为原命题的逆命题为“若a⊥b则a·b＝0”为真，所以其否命题也为真．所以 ③正确．
④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．
(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)
所以④正确．
答案：①②③④
归纳升华
要说明一个命题为真命题，应给出理论证明，如本例；而要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
[变式训练] 有下列四种说法：(1)命题“若x2－x－6>0，则x>3”的否命题是“若x2－x－6<0，则x≤3”；(2)命题“等腰三角形的两边相等”的否命题是“等腰三角形的两边不相等”；(3)命题“若ab>0，则a>0，b>0”的逆命题是“若a>0，b>0，则ab>0”；(4)命题“若直线l与平面α有交点，则l?α或l与α相交”的逆否命题是“若l?α或l与α不相交，则直线l与平面α没有交点”．其中正确的个数是________．
解析：(1)命题“若x2－x－6>0，则x>3”的否命题是“若x2－x－6≤0，则x≤3”，所以(1)错误．(2)命题“等腰三角形的两边相等”的否命题是“若一个三角形不是等腰三角形，则它的两边不相等”，所以(2)错误．(3)命题“若ab>0，则a>0，b>0”的逆命题是“若a>0，b>0，则ab>0”，(3)正确．(4)命题“若直线l与平面α有交点，则l?α或l与α相交”的逆否命题是“若l?α且l与α不相交，则直线l与平面α没有交点”，所以(4)错误．所以正确命题的个数为1.
答案：1
专题三 简单的逻辑联结词“且”“或”“非”
复合命题的真假，要根据真值表准确判断，而知道复合命题的真假，也要能准确得出简单命题p、q的真假，在这个过程中，可以大胆假设推测，以便最后能确定，有些情况下推出的结果可能不唯一，要反过来检验．
[例3] 已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R；x3＝1－x2，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：对于命题p，当x≤0，2x≥3x，故p为假命题，綈p为真命题；对于命题q，分别作出函数y＝x3和y＝1－x2的图象(图略)，易知q为真命题．所以p∧q为假，(綈p)∧q为真，p∧(綈q)为假，(綈p)∧(綈q)为假．
答案：B
归纳升华
1．p∧q只有在p、q均为真命题时才是真命题，而p∨q在p，q均为假命题时才是假命题．解此类题目，要先判断p，q的真假．
2．“p∨q”成立有三种情形：只有p成立，只有q成立，p，q同时成立，这三种情况依次对应于集合并集中的(UB)∪A，(UA)∪B，A∪B.
[变式训练] 已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：?x∈，cos x<1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B． p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：当x0<0时，2x0>3x0，所以不存在x0∈(－∞，0)使得2x0<3x0成立，即p为假命题，显然?x∈，恒有cos x<1，所以命题q为真，所以(綈p)∧q是真命题．
答案：C
专题四 反证法
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中已用到，在高考题中也经常涉及，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．
[例4] 设三个正实数a，b，c满足条件＋＋＝2，求证：a，b，c中至少有两个数不小于1.
证明：假设a，b，c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况．
(1)a，b，c三数均小于1，即0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，则 ＞1，＞1，＞1.所以＋＋＞3，与已知条件矛盾；
(2)a、b、c中有两个数小于1，不妨设0＜a＜1，0＜b＜1，而c≥1，则＞1，＞1.所以＋＋＞2＋＞2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．
所以a，b，c中至少有两个数不小于1.
归纳升华
1．作出正确反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”．
2．需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况．
[变式训练] 判断命题“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”的真假．
解：“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
所以m2＋n2≠2.
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.
专题五 转化与化归思想的应用
将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．
[例5] 判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：法一(直接法)．
逆否命题：已知a、x为实数，如果a＜1，
则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a＜1，所以4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
法二(先判断原命题的真假)．
因为a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
则4a－7≥0，解得a≥，
因为a≥＞1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
归纳升华
转化与化归思想主要体现在：
1．原命题与其逆否命题之间的等价转化；
2．命题的等价性与充要条件之间的等价转化；
3．充要条件与集合包含关系之间的转化．
[变式训练] 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：令A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，
B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}
＝{x|x＜－4或x≥－2}．
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以綈q?綈p，且綈p 綈q，
则{x|綈q}{x|綈p}．
而{x|綈q}＝RB＝{x|－4≤x＜－2}，
{x|綈p}＝RA＝{x|x≤3a或x≥a，a＜0}．
因为{x|－4≤x＜－2}?{x|x≤3a或x≥a，a＜0}，
所以或
所以－≤a＜0或a≤－4，
故a的取值范围是(－∞，－4]∪.
专题六 分类讨论思想
分类讨论思想使复杂的问题化整为零，要注意讨论中的不重不漏．
[例6] 已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，所以a ≤－4或a≥4.
q真：－≤3，所以a≥－12.
由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题得：p、q两命题一真一假．
当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4.
综上，a取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．
归纳升华
若命题“p∨q”“p∧q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p∨q”“p∧q”的真假情况分类讨论参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
解：x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根?
? m ＞2.
4x2＋4(m－2)＋1＝0无根实?16(m－2)2－16＜0?m2－4m＋3＜0?1 ＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假，
所以当p真q假时，有解得m≥3；
当p假q真时，有解得1＜m≤2.
所以所以m取值范围为{m|1＜m≤2或m≥3}．
章末复习课
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1．求曲线与方程的两个关注点
(1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．
(2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全面而致误．
2．处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的注意点
(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆双曲线的一般方程形式解决．
(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c2＝a2－b2，而在双曲线中，a，b，c的关系是c2＝a2＋b2，两者极易混淆，要注意区分，以防出错．
(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，一定不能忽略圆锥曲线的范围．
3．直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点
(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解．
(2)直线与双曲线抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点．
专题一 圆锥曲线定义的应用
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．
[例1] 若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－.
答案：8－
归纳升华
圆锥曲线定义的应用技巧
1．在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．
2．在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”问题，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
3．在抛物线中，常利用定义解题，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”相互转化的目的．
[变式训练] 抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
因为2|BF|＝|AF|＋|CF|，
所以2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又因为|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
所以2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.
答案：A
专题二 有关圆锥曲线性质的问题
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解．
[例2] 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B. C. D.
解析：双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·＝－1，故＝1，
所以＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
答案：C
归纳升华
圆锥曲线性质的求解方法
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
1．离心率．
求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a，b，c有关的关系式．
求椭圆和双曲线的离心率有两种方法：(1)代入法，就是代入公式e＝求离心率；(2)列方程法，就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值．
2．范围与最值．
解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x，y的范围．常用方法也有两个：(1)解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；(2)求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围．
[变式训练] 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：如图，在Rt△MF1F2中，
∠MF1F2＝30°.又|F1F2|＝2c，
所以|MF1|＝＝c，
|MF2|＝2c·tan 30°＝c.
所以2a＝|MF1|－|MF2|＝c.
所以e＝＝.
答案：B
专题三 求曲线的方程
求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有以下几种：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t，就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
[例3] 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且|AC|－|BC|＝2，过点A，B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P，O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，
由切线长定理得
|AC|－|BC|＝|AM|－|BN|＝(|AM|＋|PM|)－(|BN|＋|PN|)＝|PA|－|PB|＝2<4，
所以点P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的右支(不包括顶点)．
所以a＝，c＝2，所以b2＝2.
所以动点P的轨迹方程是x2－y2＝2(x>)．
归纳升华
1．求轨迹方程时，正确应用曲线的定义能给解题带来方便．若需建立坐标系时，要使轨迹方程越简单越好．
2．当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决．
[变式训练] 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
解：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，
且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.
因为P在圆x2＋y2＝25上，
所以x2＋＝25，整理得＋＝1，
即C的方程是＋＝1.
专题四 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0，再进行讨论．这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况)．
[例4] 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
根据题意知
解得a2＝，b2＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)容易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)．
因为⊥，
所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±.
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
归纳升华
1．在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，一般需将直线方程与圆锥曲线方程联立、消元，转化成一元二次方程，利用韦达定理和判别式求解，要注意一元二次方程系数及判别式．要刻画几何意义，便于用代数方法解决．
2．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法．
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
[变式训练] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有
所以c＝，b＝1.所以所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝
(1＋k2)＝
＝＝
3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，
当k＝0或不存在时，|AB|＝，综上所述，|AB|max＝2.
所以当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
专题五 圆锥曲线的定值与定点问题
(函数思想方法)
解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量?函数?定值”，具体操作程序如下：
变量——选择适当的量作为变量；
函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；
定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．
[例5] 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，椭圆C2：4x2＋y2＝1，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，
则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得所以|ON|2＝.
同理|OM|2＝.
设O到直线MN的距离为d，
因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，
所以＝＋＝＝3，即d＝.
综上，可证O到直线MN的距离是定值．
归纳升华
1．解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时，首先要明确哪些量是固定的，哪些量是变动的，选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数，以参数来表示需要研究定值(定点)的量，看是否能消去参数得到定值(定点)即可．
2．圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等．研究的常见途径有两个：(1)利用平面几何中的最值结论；(2)把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值．建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围．
[变式训练] 已知动点M到定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4.
(1)求动点M轨迹C的方程；
(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
(1)解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆．
由c＝2，a＝2，得b＝2.
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝－，
x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.
当直线l的斜率不存在时，
得A，B，
得k1＋k2＝4.
综上，恒有k1＋k2＝4.
