模块综合评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
解析：＝＝－i.
答案：D
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．
所以①、②、④是合情推理．
答案：C
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：由(，7.765)在回归直线＝0.66x＋1.562上．
所以7.765＝0.66＋1.562，则≈9.4，
所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
答案：A
4．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案：A
5．执行如图所示的程序框图，如图输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1.
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3；
3>2，不满足条件，输出S＝7.
答案：D
6．如图所示，在复平面内，对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A．1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
解析：要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而＝＋，从而可求P0对应的复数．
因为＝，对应的复数是－1，
所以P0对应的复数，
即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
答案：D
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：因为＝＝176，
＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176，176)代入A、B、C、D中检验知选C.
答案：C
8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋a5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.
答案：C
9．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：因为tan A·tan B>1，所以A，B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0，1－tan A·tan B<0.
所以tan(A＋B)＝<0.
所以A＋B是钝角，所以角C为锐角．
答案：A
10．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，
则＝，得y＝－x.
所以复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线y＝－x.
答案：A
11．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P
解析：要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P答案：C
12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
解析：由程序框图知
第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；
第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；
第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；
第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.
……
第n次运行，an＝2an－1，
因此输出数列的通项公式为an＝2n.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．某学校的组织结构图如图所示：
则教研处的直接领导是________．
解析：由结构图知，教研处的直接领导为副校长甲．
答案：副校长甲
14．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则z的共轭复数＝________．
解析：因为(1＋i)z＝|－i|＝2，
所以z＝＝1－i，则＝1＋i.
答案：1＋i
15. ＝2， ＝3， ＝4……若 ＝6(a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________．
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6 35
16．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
解析：按照程序框图逐一执行．
由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：＋(5＋i19)－.
解：原式＝＋(5＋i16·i3)－
＝＋(5－i)－
＝i＋5－i＋i＝5＋i.
18．(本小题满分12分)某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”影响的试验，其中甲班为试验班(实施了数学学前教育)，乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学，但没有实施数学学前教育)，在期末测试后得到如下数据：
班级
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
总计
55
45
100
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用？
解：因为K2＝
＝
＝≈1.010<6.635.
所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用．
19．(本小题满分12分)纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后作杯壁用)和卷筒纸(作杯底)．再将矩形纸印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，将杯壁与杯底黏合，最后成型．画出该工序流程图．
解：该工序流程图如图所示．
20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，点E，F分别为线段AD，PC的中点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.
证明：(1)连接AC交BE于点O，连接OF(如图)，不妨设AB＝BC＝1，则AD＝2，
因为AB＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCE为菱形，
因为O，F分别为AC，PC中点，所以OF∥AP，
又因为OF?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.
(2)因为AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
所以AP⊥CD，
因为BC∥ED，BC＝ED，
所以BCDE为平行四边形，
所以BE∥CD，所以BE⊥PA，
又因为ABCE为菱形，所以BE⊥AC，
又因为PA∩AC＝A，AP，AC?平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
21．(本小题满分12分)设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x<0，y>0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai，
由复数相等的充要条件得
即＋y2－2y＝8，
所以＝－(y2－2y－8)＝－(y－1)2＋9，
则≤9，x<0，a<0，解得－6≤a<0，
所以a的取值范围是[－6，0)．
22．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
(1)解：<.证明如下：
要证<，只需证<.
因为a，b，c>0，所以只需证b2因为，，成等差数列，
所以＝＋≥2，所以b2≤ac.
又a，b，c均不相等，所以b2故所得大小关系正确．
(2)证明：法一 假设角B是钝角，则cos B<0.
由余弦定理，得
cos B＝≥>>0，
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二 假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边．
则b>a，b>c，所以>>0，>>0，
则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
模块综合评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：由＝i，得z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选A.
答案：A
2．如图所示的框图是结构图的是( )
A.→→→…→
B.→→→…→
C.
D.→→→→→
解析：选项C为组织结构图，其余为流程图．
答案：C
3．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除
解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：B
4．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0，1)
B．猜想数列， ，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理，选项A为演绎推理．
答案：A
5．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析：A中类比的结果应为loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y＝时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数结合律成立．
答案：D
6．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：因为＝1＋i，
所以z＝＝＝＝＝－1－i.
答案：D
7．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，
当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
答案：B
8．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥2
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－≤－2＝－2
解析：A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．D利用基本不等式，推理正确．
答案：D
9．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是( )
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，所以x2＋y2－4＝0，且x≠y，由可解得x2＋y2＝4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．
答案：D
10．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
解析：假设a，b，c中都小于，
则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾
所以a，b，c中至少有一个不小于.
答案：D
11．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示．则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )
分类
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
A.99% B．95%
C．90% D．97.5%
解析：K2的观测值为k＝≈5.059>5.024.
又P(K2≥5.024)＝0.025，
所以认为 “喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为97.5%.
答案：D
12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：输入x＝0，y＝1，n＝1，得x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36，不满足条件；执行循环：n＝2，x＝，y＝2，x2＋y2＝＋4<36，不满足条件；执行循环：n＝3，x＝，y＝6，x2＋y2＝＋36>36，满足条件，结束循环，输出x＝，y＝6，所以满足y＝4x.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________．
解析：因为(1＋2i)( a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，且a∈R，
由题意得a－2＝2a＋1，所以a＝－3.
答案：－3
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为______________________________________________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为______，③为________．
解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一种动物包括的种类，填上①③.
答案：地龟 哺乳动物 长尾雀
16．已知线性回归直线方程是＝＋x，如果当x＝3时，y的估计值是17，x＝8时，y的估计值是22，那么回归直线方程为______．
解析：首先把两组值代入回归直线方程得
解得
所以回归直线方程是＝x＋14.
答案：＝x＋14
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
解：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
知z的实部为正数，虚部为负数，所以复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
因为a2－2a＝(a－1)2－1≥－1，
所以x＝a2－2a＋4≥3，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2－(x≥3)．
18．(本小题满分12分)设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S<2a.
证明：因为S2＝2ab，所以要证S<2a，
只需证S<，即b因为S＝(a＋b＋c)，只需证2b因为a，b，c为三角形三边，
所以b19．(本小题满分12分)观察以下各等式：
tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，
tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，
tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．
解：表示一般规律的等式是：若A＋B＋C＝π，
则tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
证明：由于tan(A＋B)＝，
所以tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)．
而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.
于是tan A＋tan B＋tan C＝tan(π－C)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
故等式成立．
20．(本小题满分12分)已知(2＋i)＝7＋i，求z及.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
所以(2＋i)(a－bi)＝7＋i，
所以(2a＋b)＋(a－2b)i＝7＋i，
所以解得
所以z＝3＋i.
所以＝3－i，所以＝＝＝＋i.
21．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，则
联立得d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
从而(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，
所以
所以＝pr，(p－r)2＝0，
所以p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得 .
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
章末评估验收卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
解析：设计生产过程，应用工序流程图．
答案：B
2．在下列图示中，是结构图的为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选项A表示流程图；选项C表示频率分布直方图；选项D表示从B到A的路径图；选项B表示结构图．
答案：B
3．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法
解析：根据分析法、综合法、反证法的特点知A正确．
答案：A
4．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
解析：由工序流程图知，设备采购的下一道工序是设备安装．
答案：A
5．如图所示是一结构图，在处应填入( )
A．图象变换 B．对称性
C．奇偶性 D．解析式
解析：根据函数的性质，应填入奇偶性．
答案：C
6．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：当k＝1时，s＝1；
当k＝2时，s＝1＋(2－1)2＝2；
当k＝3时，s＝2＋(3－1)2＝6；
当k＝4时，s＝6＋(4－1)2＝15；
当k＝5时，s＝15＋(5－1)2＝31，满足s>15，
所以输出k＝5.
答案：C
7．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中最可取的是( )
解析：到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．
答案：D
8．执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由程序框图知，当k＝5时，终止循环输出S＝sin ＝.
答案：D
9．某市质量监督局计量认证审查流程图如图所示，从图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有( )
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
解析：从题干图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有：(1)审查资料及受理不合格；(2)文审不合格；(3)评审材料审查不合格．共3处．
答案：C
10．如图所示是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )
A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D．“向量的数乘”中“运算律”的下位
解析：因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
答案：A
11．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：输入a＝4，b＝6，n＝0，s＝0，执行第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＝20>16，跳出循环，输出的n＝4.
答案：B
12．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A．s> B．s>
C．s> D．s>
解析：第一次循环：s＝1×＝，k＝8，s＝应满足条件；
第二次循环：s＝×＝，k＝7，s＝应满足条件，排除选项D；
第三次循环：s＝×＝，k＝6，故这时程序不再满足条件，结束循环，因此判断框中的条件为s>.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图所示结构图中，“等差数列”与“等比数列”的上位要素是________．
解析：由结构图可知“等差数列”与“等比数列”的上位要素是数列．
答案：数列
14．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．
解析：由题意可得T为求1＋2＋3＋…＋k的值．
由1＋2＋…＋k＝105，
解得k＝14.
所以输出的结果为14＋1＝15.
答案：15
15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________．
解析：由题意可画出工序流程图如图所示：
所以2＋x＋4≤9.所以x≤3.
答案：3
16．执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝________．
解析：当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；
当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；
当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；
当n＝4时，终止循环，输出M＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示：
18．(本小题满分12分)根据你学习的《数学 必修1》第三章“函数的应用”内容，画出该章的知识结构图．
解：“函数的应用”知识结构图如图所示：
19．(本小题满分12分)下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
20．(本小题满分12分)某地行政服务中心办公分布结构如下．
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层．
(2)二楼：公安局、民政局、财政局．
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局．
(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局．
(5)五楼；其余部门办理窗口．
试绘制该中心结构图．
解：该行政中心办公分布结构图如图所示：
21.(本小题满分12分)已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果S＝m；当箭头a指向②时，输出的结果S＝n.求m＋n的值．
解：当箭头指向①时，计算S和i如下：
i＝1，S＝0，S＝1；
i＝2，S＝0，S＝2；
i＝3，S＝0，S＝3；
i＝4，S＝0，S＝4；
i＝5，S＝0，S＝5；
i＝6结束．
所以S＝m＝5.
当箭头指向②时，计算S和i如下：
i＝1，S＝0，S＝1；
i＝2，S＝3；
i＝3，S＝6；
i＝4，S＝10；
i＝5，S＝15；
i＝6结束．
所以S＝n＝15.
所以m＋n＝20.
22.(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图如图所示，若k＝5，k＝10时，分别有S＝和S＝，试求数列{an}的通项公式．
解：由程序框图可知，数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d.
Si＝＋＋…＋＝
＝.
当k＝5时，S＝＝＝.
所以a1a6＝11，即a1(a1＋5d)＝11；①
当k＝10时，S＝＝＝，
所以a1a11＝21，即a1(a1＋10d)＝21.②
由①②联立，得a1＝1，d＝2，
因此an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
章末复习课
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1．由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图，流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．
2．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．一般用框图和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或箭头连接起来．
3．画工序流程图的注意点．
要弄清整项工程应划分多少道工序，一般由上到下绘图，先粗略后精细，同时仔细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度．
专题一 程序框图
程序框图是流程图的一种，一个程序框图必须有起止框，由于程序框图可以考查一个学生分析问题和解决问题的能力，因此该部分知识成为每年高考的必考知识之一，且常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题目．
[例1] (2016·全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝( )
A．7 B．12 C．17 D．34
解析：输入a＝2，x＝2，n＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
执行循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
执行循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，满足条件；
跳出循环，输出的s＝17.
答案：C
归纳升华
识别、运算算法框图的思路
1．明确算法框图是顺序结构、选择结构还是循环结构．
2．识别、运行算法框图，以理解框图所涉及的实际问题．
3．按照题目的要求完成解答并验证．
[变式训练] 执行如图所示的程序框图．若输出S＝15，则框图中①处可以填入( )
A．k<2？ B．k<3?
C．k<4? D．k<5?
解析：第一次循环，满足条件，S＝1＋1＝2，k＝2；
第二次循环，满足条件，S＝2＋22＝6，k＝3；
第三次循环，满足条件，S＝6＋32＝15，k＝4；
第四次循环，不满足条件，输出S＝15，此时k＝4，所以条件应为k<4?
答案：C
专题二 流程图
流程图是描述动态问题的解决过程的，通过解读流程图，可获得解决问题的方法；通过画流程图，可以把问题的解决方法直观明了地表示出来．
[例2] 高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分：①本人填写“查分登记表”，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办；②省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；③市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．试画出该事件流程图．
解：流程图如图所示：
归纳升华
1．先理解题意，弄清申请的先后顺序、复查的程序，然后画出流程图．
2．画流程图时，要先将实际问题分解成若干个步骤，注意各个步骤之间的先后顺序和逻辑关系，再用简洁的语言表述步骤，最后绘制成流程图．
[变式训练] 某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长指示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如有特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：流程图如图所示．
专题三 结构图
结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．其结构功能可以给我们带来很大的便利，尤其在知识总结、部门协调等方面，结构图是一个有力工具．
[例3] 设计一个结构图，来表示“推理与证明”这一章的知识结构．
解：“推理与证明”的知识结构图如图所示：
归纳升华
画结构图首要的是对所画对象的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握，从开始到最后，要弄清整个结构的脉络，然后从各部分中提炼出知识点，用精练的语言写在矩形框内，最后按其内在的逻辑关系将这些知识点排列起来并用线段相连，从而完成知识结构图、组织结构图等的绘制．
[变式训练] 某软件公司设计一个信息管理系统，希望系统具备以下功能：
(1)用户管理：修改密码、显示信息、修改信息；
(2)用户登录；
(3)信息管理：删除、添加、修改、查询；
(4)错误信息处理．
据此画出该系统的结构图．
解：如图所示：
第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知x和y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程＝x＋必过点( )
A．(2，2) B.
C．(1，2) D.
解析：∵＝(0＋1＋2＋3)＝，＝(1＋3＋5＋7)＝4，
∴回归方程＝x＋必过点.
答案：D
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x－5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
答案：D
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：相关指数R2越大，表示回归模型的效果越好．
答案：A
4．如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
解析：残差图中，只有A、B是水平带状区域分布，且B中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内所以B项中回归模型的拟合效果最好．
答案：B
5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：先求，再利用回归直线方程预测．
由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R2＝________．
解析：由题意知，yi＝i
∴相应的残差i＝yi－i＝0.
相关指数R2＝1－
答案：0 1
7.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和如表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
________同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高．
解析：由图表知，丁同学拟合的残差平方和为103最小．即R2最大，所以丁的拟合效果好，精度高．
答案：丁
8．若下表数据对应的y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋a，则a＝________．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
解析：＝4.5，＝3.5，回归直线过样本中心点(，)，则3.5＝0.7×4.5＋a，所以a＝0.35.
答案：0.35
三、解答题
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：
单位x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销售y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8. 25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．某企业每天由空气污染造成的经济损失y(单位：元)与空气污染指数(API)x的数据统计如下：
空气污染指数(API)x
150
200
250
300
经济损失y
200
350
550
800
(1)求出y与x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该地区某天的空气污染指数为800，预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；
(3)若相关指数R2＝0.958 7，请说明其含义．
解：(1)＝(150＋200＋250＋300)＝225，
＝(200＋350＋550＋800)＝475.
所以＝＝4，＝－＝475－4×225＝－425，
所以＝4x－425.
(2)当x＝800时，＝4×800－425＝2 775.
即当空气污染指数为800时，预测该企业当天造成的经济损失是2 775元．
(3)R2＝0.9587，说明该企业每天空气污染造成经济损失的95.87%是由空气污染指数API引起的，所以回归模型的拟合效果较好．
B级 能力提升
1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表所示：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：＝＝3.5，＝＝42，
因为数据的样本中心点(3.5，42)在线性回归直线上，回归方程＝x＋＝9.4x＋，
所以42＝＋9.4×3.5，所以＝9.1，
所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，
所以广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
答案：B
2．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．
解析：把x＝160代入＝0.85x－82.71，
得＝0.85×160－82.71＝53.29，
所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
答案：－0.29
3．(2015·重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，＝
解：(1)由题设条件列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
1
4
9
16
25
5
12
21
32
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
从而＝＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
第一章 统计案例
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是( )
A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关
B．喝酒者得胃病的概率
C．喜欢喝酒与性别是否有关
D．青少年犯罪与上网成瘾是否有关
解析：独立性检验主要是对两个分类变量是否有关进行检验，故不可用独立性检验解决的问题是B.
答案：B
2．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
解析：由等高条形图知：女生喜欢理科的比例为20%，男生不喜欢理科的比例为40%，因此，B、D不正确．从图形中，男生比女生喜欢理科的可能性大些．
答案：C
3．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
解析：这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
答案：D
4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
分类
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
答案：D
5．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
性别
成绩
总计
不及格
及格
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
性别
视力
总计
好
差
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
性别
智商
总计
偏高
正常
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
性别
阅读量
总计
丰富
不丰富
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
解析：根据K2＝，代入题中数据计算得D选项K2最大．
答案：D
二、填空题
6．独立性检验所采用的思路是：要研究X，Y两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此________，在此假设下构造随机变量K2.如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．
解析：独立性检验的前提是假设两个分类变量无关系，然后通过随机变量K2的观测值来判断假设是否成立．
答案：无关系 不成立
7．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表：
性别
非统计专业
统计专业
男生
13
10
女生
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量K2的观测值为k＝≈4.844.因为k>3.841，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．
解析：因为随机变量K2的观测值k>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%.
答案：5%
8．对某校小学生进行心理障碍测试得到的列联表
分类
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
20
30
男生
10
70
80
总计
20
90
110
试说明心理障碍与性别的关系：________．
解析：由2×2列联表，代入计算k2的观测值k＝
＝≈6.365 7.
因为6.365 7>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为心理障碍与性别有关系．
答案：在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为心理障碍与性别有关系．
三、解答题
9．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
分类
得病
不得病
总计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
总计
146
684
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种传染病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解：(1)把表中数据代入公式，得
K2＝≈54.21.
因为54.21>10.828，
所以有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．
(2)依题意得2×2列联表：
分类
得病
不得病
总计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
把表中数据代入公式，
得K2＝≈5.785，
因为5.785>3.841，
所以我们有95%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但可信度不同，(1)中有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中有95%的把握肯定结论的正确性．
10．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．
(1)将2×2列联表补充完整．
性别
出生时间
总计
晚上
白天
男婴
女婴
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？
解：(1)列2×2列联表：
性别
出生时间
总计
晚上
白天
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89
(2)由所给数据计算K2的观测值
k＝≈3.689>2.706.
根据临界值表知P(K2≥2.706)≈0.10.
因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．
B级 能力提升
1．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
分类
男
女
总计
爱好
38
32
70
不爱好
25
5
30
总计
63
37
100
则下列结论正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”
解析：由2×2列联表，得K2的观测值
k＝≈7.601>6.635.
又由P(K2≥6.635)≈0.01，知选项C正确．
答案：C
2．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．
①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的效率为5%.
解析：由独立性检验的思想方法，知①正确．
答案：①
3．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)．其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
(1)写出2×2列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系，说明你的理由．(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，求20～30岁与30～40岁各有几人．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解析：(1)根据所给的二维条形图得到列联表：
分类
正确
错误
总计
20～30岁
10
30
40
30～40岁
10
70
80
总计
20
100
120
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到
k＝＝3.
因为3>2.706，
所以在犯错误的概率不超过0. 10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系．
(2)按照分层抽样方法可知，
20～30岁年龄段抽取：6×＝2(人)；
30～40岁年龄段抽取：6×＝4(人)．
在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30岁的有2人，年龄在30～40岁的有4人．
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．在2＋，i，0，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．
答案：C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?
解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的．
答案：D
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，
所以由复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，
故x＋yi＝2＋i.
答案：B
4．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D.＋i
解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数为2－2i.
答案：A
5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.
答案：B
二、填空题
6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.
答案：0或1
7．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．
解析：因为x∈R，所以∈R，
由复数相等的条件得：解得x＝3.
答案：3
8．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________．
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以 (2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
答案：5
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是：(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)如复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，
则解得m＝4.
(2)如复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
则解得m＝－2或m＝－3.
10．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值．
解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
由复数相等的定义，
得
解得a＝11或a＝－.
B级 能力提升
1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为( )
A．x＝3且y＝5 B．x＝3且y＝0
C．x＝2且y＝0 D．x＝2且y＝5
解析：易知z1＝2＋i
由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)
∴解得x＝3且y＝5.
答案：A
2．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z为纯虚数，则θ的值为________．
解析：z＝cos＋sini＝－sin θ＋icos θ.
当z为纯虚数时又θ∈，所以θ＝0.
答案：0
3．如果 (m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
解：因为 (m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以 (m＋n)－(m2－3m)i是实数．
从而有
由m2－3m＝0得m＝0或m＝3.
当m＝0时代入 (m＋n)>－1，得00，所以n＝1；
当m＝3时，代入 (m＋n)>－1，得n<－1，与n是自然数矛盾，舍去．
综上可知，m＝0，且n＝1.
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
解析：显然z是非负实数．
答案：D
2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，则C(2，4)，故其对应的复数为2＋4i.
答案：C
3．已知复数z＝a＋a2i(a>0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数z对应的点Z(a，a2)，
又a>0，所以a2>0，
因此点Z在第一象限．
答案：A
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：因为||＝|z|＝2，且与实轴正方向夹角为120°.
设z＝x＋vi(x，v∈R)，
则x＝|z|·cos 120°＝2cos 120°＝－1，y＝|z|sin 120°＝.
所以复数z＝－1＋i.
答案：D
二、填空题
6．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为________．
(2)如果(1)的点B关于虚轴的对称点为C，则点C对应的复数为________．
解析：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A(2，1)，根据对称性可知x1＝2， y1＝－1，所以z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，所以z2＝－2－i.
答案：2－i，－2－i
7．若复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝________．
解析：因为z对应的点在第二象限，知a<0，
由|z|＝z，得＝2，
所以a2＝1(a<0)，所以a＝－1，
因此z＝－1＋i.
答案：－1＋i
8．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，则实数b满足的条件是________．
解析：由|z1|<|z2|，
得<，所以b2<1，解之得－1答案：－1三、解答题
9．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限？
(2)位于直线y＝x上？
解：复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
10．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解：因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R),
所以a＝(－3，0)，b＝.
又a，b的夹角为60°，
所以cos 60°＝，
则＝，解得m＝±.
因此实数m的值为±.
B级 能力提升
1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：因为|z|2－2|z|－3＝0，
所以(|z|－3)(|z|＋1)＝0，则|z|＝3，
因此复数z对应点的轨迹是一个圆．
答案：A
2．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________．
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得所以z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
3．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解：由纯虚数的定义知
解得m＝4.
所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
则z＝4－2i，
故|z|＝＝2.
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )
A． B．3
C．－1 D．－1或3
解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝.
答案：A
2．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于 ( )
A．3，－2 B．3，2
C．3，－3 D．－1，4
解析：由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i
所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，
由复数相等定义，a＝3，且b＝－2.
答案：A
3．在复平面内，复数z1＝i，z2＝i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z＝z1＋z2＝i＋i－2＝－2＋i，
所以实部小于0，虚部大于0，
故复数z对应的点位于第二象限．
答案：B
4．若在复平面上的?ABCD中，对应复数为6＋8i，对应复数为－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i B．1＋7i
C．2－14i D．－1－7i
解析：设，对应的复数分别为z1与z2，
则由复数加减法的几何意义，得
所以z2＝1＋7i，
因此向量对应的复数为－z2＝－1－7i.
答案：D
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案：B
二、填空题
6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．
解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
所以解得a＝－1.
答案：－1
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是________．
解析：因为，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，
所以对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.
又在平行四边形ABCD中，＝，
故对应的复数为4－2i.
答案：4－2i
8．复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则＝________．
解析：因为＝x＋y(x，y∈R)，
由复数的几何意义，得
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
所以3－2i＝y－x＋(2x－y)i，
根据复数相等的充要条件，则
解得
因此＝4.
答案：4
三、解答题
9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
解：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，
所以m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，
则解得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1，2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
解： (1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－1，2)．则D，点D对应的复数是＋i，
＝－＝－(1，0)＝，
所以对应复数为－＋i.
(2)＝－＝(1，1)，||＝，
＝－＝(－2，2)，||＝＝2，
＝－＝(－3，1)，||＝，
所以||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形．
所以S△ABC＝||·||＝×2＝2.
B级 能力提升
1．满足|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上所对应的点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－i|＝|3＋4i|，
所以＝＝5，则x2＋(y－1)2＝25，
因此复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．
答案：C
2．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于________．
解析：因为z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
所以z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
又因为f(z)＝|z|＋z－5，
所以f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝5＋5i.
答案：5＋5i
3．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝，
sin B＝＝，
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数(1＋i)(1＋ai)是实数，则实数a等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是实数，
则1＋a＝0，所以a＝－1.
答案：D
2．复数z＝－1在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝－1＝－1＝－1＝i－1＝－1＋i，
则复数z对应的点为(－1，1)，此点在第二象限．
答案：B
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i C．2 D．－2
解析：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
答案：B
4．复数z为纯虚数，若(3－i)·z＝a＋i(i为虚数单位)，则实数a的值为( )
A. B．3 C．－ D．－3
解析：由已知设z＝ki(k∈R，且k≠0)，
则(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，
由两个复数相等的充要条件知解得a＝k＝.
答案：A
5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：A
二、填空题
6．已知a，b∈R，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．
解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，
所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：3＋4i
7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________．
解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.
所以＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.
答案：2
8．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是________(填序号)．
①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.
解析：z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.
z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．
答案：②④
三、解答题
9．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数是，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2.
解：因为z＝1＋i，＝1－i，
所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
因为a、b都是实数，
所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得
解得或
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，
所以z的共轭复数z＝－2－4i.
(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，
所以|w|＝＝，
|z|＝2.
依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0，
所以－8≤a≤0，即a的取值范围为 [－8，0]．
B级 能力提升
1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
解析：由题图可得z＝3＋i，
所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
答案：D
2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________．
解析：因为z·＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，
所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.
答案：2i－1
3．已知复数z＝.
(1)求|z|；
(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，
所以|z|＝.
(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，
所以?
因此实数a＝－7，b＝－13.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列推理是归纳推理的是( )
A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．
答案：B
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．111 1110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
解析：由1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1 111；
1 234×9＋5＝111 111；
…
归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，
所以123 456×9＋7＝1 111 111.
答案：B
3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．
答案：A
4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )
A．一定是零 B．不一定是偶数
C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数
解析：当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；
当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．
所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．
答案：C
5．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：从方程＋＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是＋＋＝1.
答案：A
二、填空题
6．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an＝________．
解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.
答案：n2
7．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
8．观察下列各式：
①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(ex－e－x)′＝ex＋e－x；④(xcos x)′＝cos x－xsin x.
根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．
解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝ex－e－x为奇函数，p′(x)＝ex＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝xcos x为奇函数，q′(x)＝cos x－xsin x为偶函数．
归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．
答案：奇函数的导函数是偶函数
三、解答题
9．有以下三个不等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；
(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；
(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．
解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
B级 能力提升
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
答案：C
2．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．
解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.
答案：b4＋b8>b5＋b7
3．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：由①②知，两角相差30°，运算结果为，
猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
证明：左边＝＋＋sin αcos(α＋30°)
＝1－＋＋
sin α
＝1－cos 2α＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α－
＝＝右边
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．没有错误
解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．
答案：A
2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC
解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．
答案：A
3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
解析：只有指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足条件．
答案：C
5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
答案：C
二、填空题
6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
答案：小前提
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．
解析：要使函数有意义，则log2x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝的定义域是[4，＋∞)．
答案：函数y＝的定义域是[4，＋∞)
8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
④在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式．
解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．
答案：①
三、解答题
9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两相异实根．(大前提)
一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，(小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论)
10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；(2)求函数f(x)的单调增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.
故函数f(x)的增区间为，k∈Z.
B级 能力提升
1．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：若f′(x0)，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
答案：A
2．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a的值为________．
解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以＝0对于一切x∈R恒成立，由此得a－＝0，即a2＝1.
又a>0，所以a＝1.
答案：1
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)．
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
(1)证明：由已知an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*，
又a1－1＝2－1＝1≠0，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)得an－n＝4n－1，所以an＝4n－1＋n.
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋4＋42＋…＋4n－1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)＝－(3n＋4)( n－1)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第1课 时综合法
A级 基础巩固
一、选择题
1．在下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由题设知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(x)＝，得f′(x)＝－<0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
答案：A
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：f(x)定义域为(－1，1)，
f(－a)＝lg＝lg＝－lg＝－f(a)＝－b.
答案：B
3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．与n取值有关
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5
又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式．
∴an＝4n－5(n∈N*)，则an－an－1＝4(常数)
故数列{an}是等差数列．
答案：B
4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
解析：在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
答案：B
5．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，则该三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.所以该三角形是等腰或直角三角形．
答案：D
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．
解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．
答案：综合法
7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．
解析：在△ABC中，A>B?a>b
由正弦定理＝，从而sin A>sin B.
因此A>B?a>b?sin A>sin B，为充要条件．
答案：充要
8．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．
解析：因为p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2 (a>2)，
所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.
答案：p>q
三、解答题
9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明：因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4.
当且仅当＝，即a＝b时，取等号，
故＋≥4.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f为偶函数．
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．
∴f(x＋1)＝f(－x)
则y＝f(x)的图象关于x＝对称
∴－＝，∴a＝－b.
则f(x)＝ax2－ax＋c＝a＋c－
∴f＝ax2＋c－为偶函数．
B级 能力提升
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)答案：A
2．已知sin x＝，x∈，则tan＝________．
解析：∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－，
∴tan x＝－，∴tan＝＝－3.
答案：－3
3．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：
(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，
所以DE∥A1C1.
因为DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，
因为A1C1?平面A1B1C1，
所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
又因为B1D?平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，
A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为B1D?平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第2课时 分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．
答案：C
2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是 ( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2答案：C
4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α
解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．
答案：D
5．设P＝，Q＝－，R＝－，则P，Q，R的大小关系是 ( )
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
解析：先比较Q与R的大小．
Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
因为(＋)2－(＋)2＝7＋2＋2－(6＋3＋2)＝2(－)<0，
所以Q又P＝>R＝(－1)，
所以P>R>Q.
答案：B
二、填空题
6．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．
解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.
答案：x>sin x
8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：要证明A1C⊥B1D1
只需证明B1D1⊥平面A1C1C
因为CC1⊥B1D1
只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1
从而得B1D1⊥A1C1.
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
三、解答题
9．已知a>1，求证：＋<2.
证明：因为a>1，要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
只需证a＋1＋a－1＋2<4a，
只需证只需证a2－1该不等式显然成立，故原不等式成立．
10．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：欲证原等式2cos(α－β)－＝成立．
只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边．
所以①成立，所以原等式成立．
B级 能力提升
1．设a，b，c，d为正实数，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有( )
A．ad＝bc B．adC．ad>bc D．ad≤bc
解析：∵|a－d|<|b－c|?(a－d)2<(b－c)2?a2＋d2－2ad又a＋d＝b＋c
∴a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc②
由②－①，得4ad>4bc，即ad>bc.
答案：C
2．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)是周期为3的奇函数，且f(1)>1，
所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)，
因此<－1，则<0，
解之得－1答案：
3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：＋＝2.
证明：要证明＋＝2，
只要证ay＋cx＝2xy，
也就是证明2ay＋2cx＝4xy.
由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，
所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy成立，
故＋＝2成立．
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．
答案：C
2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”
答案：A
3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
答案：B
4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.
答案：D
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )
A．0 B.
C. D．1
解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．
答案：B
二、填空题
6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
三、解答题
9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：<2和<2中至少有一个成立．
证明：假设<2和<2都不成立，即≥2，≥2.
又因为x，y都是正数，
所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2，
这与题设x＋y>2矛盾，
所以假设不成立．
故<2和<2中至少有一个成立．
10．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列．
证明：假设a，b，c成等差数列，
则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，
又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，
所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，
因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，
这与a，b，c互不相等矛盾．
故a，b，c不成等差数列．
B级 能力提升
1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2
则a＋<2，b＋<2，c＋<2
∴a＋＋b＋＋c＋<6，①
又a，b，c大于0
所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②
故①与②式矛盾，假设不成立
所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案：D
2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
A. B.
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：假设函数f(x)存在好点，
则x2＋2ax＋1＝x有实数解，
即x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数解．
所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－或a≥.
所以f(x)不存在好点时，a的取值范围是.
答案：A
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小．
(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
因为f(c)＝0，
所以x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，
所以x2＝，
所以是f(x)＝0的一个根．
(2)解：假设又>0，且00，
所以知f>0，这与f＝0矛盾，
因此≥c，
又因为≠c，
所以>c.
第四章 框图
4.1 流程图
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列框图中，属于流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.
D.→→→→
解析：选项D是用洗衣机洗衣服的工序流程图，其他选项均不是流程图．
答案：D
2．每年的春运期间，购买火车票成为回家过年的人们的一大难题，人们用四个字来形容就是“一票难求”．在火车站的窗口买票，要有以下几个步骤：①取票；②向售票员说明目的地及乘车时间；③出示身份证；④付钱；⑤排队．则正确的流程是( )
A．②→⑤→①→③→④ B．⑤→③→②→④→①
C．②→③→①→⑤→④ D．⑤→③→④→②→①
解析：根据我们日常购买火车票或汽车票的经验可以知道：第一步，要先排队；第二步，要向售票员出示身份证，确认身份信息；第三步，向售票员说明目的地及乘车时间；第四步，根据所购买车票的票价付钱；第五步，取票，购票结束．
答案：B
3．如果是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入( )
A．整理数据、求函数表达式
B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数表达式
D．整理数据、进行模型修改
解析：由函数实际应用，根据样本数据，画散点图，选择函数模型，求解函数解析式，检验，最终根据模型回答实际问题，C正确．
答案：C
4．如图所示的程序框图能判断任意输入的正整数x的奇偶性，其中判断框内应填入( )
A．m＝0? B．x＝0?
C．x＝1? D．m＝1?
解析：当余数m的值为0，说明x为偶数，否则x应为奇数，因此条件应为m＝0?
答案：A
第4题图 第5题图
5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．8 B．9 C．27 D．36
解析：由初始值k＝0，s＝0，
执行一次循环为s＝0，k＝1，
执行两次循环为s＝1，k＝2，
执行三次循环为s＝9，k＝3，
此时k≤2不成立，输出s＝9.
答案：B
二、填空题
6.椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图所示，则空白处应为________．
解析：由S＝πab知，需要a， b的值，由已知a＝4，b＝2而且用的是框，故为赋值．
答案：a＝4，b＝2
7．如图所示，某人拨通了电话，准备手机充值需进行的操作流程是________．
解析：由题设条件，手机充值按照如下操作完成1→5→2→1.
答案：1→5→2→1
8．(2016·山东卷)执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：执行一次循环后，S＝－1，i＝2，
执行两次循环后，S＝－1，i＝3，
此时S＝－1＋2－＝1，满足i＝3≤n(n＝3)，
输出S＝1.
答案：1
三、解答题
9．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．
解：流程图如图所示：
10．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：
如果某人用手机查询该机卡上的余额，该如何操作？
解：由题意，查询本机卡上的余额，操作步骤如下．
第一步：拨通10011电话；
第二步：按1号键；
第三步：按2号键．
画出流程图如图所示：
→→
B级 能力提升
1．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8
C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
解析：由程序框图可知：当a＝－1.2时，因为a<0，
所以a＝－1.2＋1＝－0.2，a<0，
a＝－0.2＋1＝0.8，a>0.因为0.8<1，输出a＝0.8.
当a＝1.2时，因为a≥1，所以a＝1.2－1＝0.2.
因为0.2<1，输出a＝0.2.
答案：C
2．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电数相同，调配出彩电的总台数最少为________．
解析：调配后每所学校彩电台数为10台，最好的调配方案为：
因此调配出彩电共3＋2＋5＝10台．
答案：10台
3．小明想通过程序框图来加深对等差数列的理解，他编写了如下的框图，请你帮助小明写出框图中数列的前5项，并建立此数列的递推公式，说明此数列是否是等差数列．
解：设数列的前5项分别为a1，a2，a3，a4，a5，
则a1＝1，a2＝a1＋3＝1＋3＝4，a3＝a2＋3＝4＋3＝7，a4＝a3＋3＝7＋3＝10，a5＝a4＋3＝13，
于是就可得出递推公式
由于是从第二项起都有an－an－1＝3，
因此这个框图输出的数列是等差数列．
第四章 框 图
4. 2 结构图
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，正确的有( )
①流程图可以用来描述具有时间特征的动态过程；
②结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成；
③结构图能表示一个组织或部门的构成；
④结构图都是树形结构的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据流程图和结构图的特征来判断，可知①②③正确，④不正确，结构图不一定都是树形结构的，还有网状结构的，故正确的有3个．
答案：C
2．下图是某公司的人事结构图，由图可知门岗的直接领导是( )
A．总经理 B．副经理B
C．经理助理 D．保卫部
解析：由结构图知，保卫部与门岗体现了上位与下位的关系，所以保卫部是门岗的领导部门．
答案：D
3．如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“集本运算”的下位
解析：由于“子集”属于集合的“基本关系”中的概念，所以“子集”是“基本关系”下位．
答案：C
4．下图是某工厂的组织结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有( )
A．销售科、后勤科、宣传科
B．汽车队、接待科、宣传科
C．生产部、销售科、后勤科
D．生产部、汽车队、宣传科
解析：由图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．
答案：B
5．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是( )
A．“概念”与“分类”是从属关系
B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．“数列”与“等差数列”是从属关系
D．“数列”与 “等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
解析：知识结构图中，要明确知识间的逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系，按照从上到下、从左到右的顺序画图，只有C项是正确的．
答案：C
二、填空题
6．如图所示的知识结构图中，①指______________，②指____________．
解析：由空间几何体知识间的关系知①处应为锥体；②处应指三视图．
答案：锥体 三视图
7．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有______部分．
解析：由结构图知，信息管理系统的构成有用户管理、用户登录、信息管理，错误信息处理共四部分．
答案：四
8．在图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有______个．
解析：“求简单函数的导数”的上位要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
答案：3
三、解答题
9．在生物体中，细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，而细胞核由核膜、染色质、核仁、核孔四部分构成．试画出细胞的结构图．
解：细胞的知识结构图如图所示：
10．据有关人士预测，我国的消费观念正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费，农村消费热点是住房、家电．试设计出表示消费情况的结构图．
解：消费结构图：
B级 能力提升
1．下图是三角形分类的知识结构图：
则等腰三角形可排在构成要素________之后( )
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
解析：由三角形的分类，在锐角三角形中可以是等腰三角形，直角三角形也可为等腰直角三角形，选D.
答案：D
2．某自动化仪表公司组织结构图如图所示，其中销售部的直接领导是________．
解析：由组织结构图知，副总经理甲是销售部的直接领导．
答案：副总经理甲
3．国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图所示：
(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？
(2)某人在建材装修方面有法律咨询方面需求，应如何操作？
解：(1)搜索租房信息：打开这个网站→房地产首页→租房搜索．
(2)建材装修方面法律咨询：打开这个网站→房地产首页→建材装修→律师楼．
单元评估验收(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列有关“三段论”推理“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )
A．推理正确 B．推理形式错误
C．大前提错误 D．小前提错误
解析：三段论中大前提、小前提及推论形式均正确，所以结论正确．
答案：A
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数 B．假设是有理数
C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数
解析：假设应为“＋不是无理数”，即“＋是有理数”．
答案：D
3．下列推理过程属于演绎推理的为( )
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．
答案：D
4．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a，b大小不定
解析：a＝－＝，
b＝－＝，
因为>>0，
所以＋>＋>0，所以a答案：B
5．求证：＋<2的证明过程如下：
因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，
只需证明(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，即<5，
只需证明21<25.
因为21<25成立，
所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．综合法、分析法合用
解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．
答案：B
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确．
答案：D
7．设f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )
A．0 B．1
C. D．5
解析：因为f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
所以令x＝－1，则有f(1)＝f(－1)＋f(2)．
因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝2f(1)．
因为f(1)＝，所以f(2)＝1，
所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝f(2)＋f(2)＋f(1)＝2f(2)＋f(1)＝2＋＝.
答案：C
8．已知对正数a和b，有下列命题：
①若a＋b＝1，则≤；②若a＋b＝3，则≤；③若a＋b＝6，则≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则≤( )
A．2 B.
C．4 D．5
解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为，，，所以，若a＋b＝9，则≤.
答案：B
9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.
答案：A
10．下列不等式中一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：A项中，因为x2＋≥x，
所以lg≥lg x；
B项中sin x＋≥2只有在sin x>0时才成立；
C项中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D项中因为x2＋1≥1，所以0<≤1.
答案：C
11．已知f(x)＝sin x＋cos x，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′(n∈N*)，经计算，f1(x)＝cos x－sin x，f2(x)＝－sin x－cos x，f3(x)＝－cos x＋sin x，…，照此规律，则f100(x)＝( )
A．－cos x＋sin x B．cos x－sin x
C．sin x＋cos x D．－sin x－cos x
解析：根据题意， f4(x)＝[f3(x)]′＝sin x＋cos x，f5(x)＝[f4(x)]′＝cos x－sin x，f6(x)＝[f5(x)]′＝－sin x－cos x，…，
观察知fn(x)的值呈周期性变化，周期为4，所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sin x＋cos x.
答案：C
12．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an满足a＋a＋…＋a＝n时，你能得到的结论是( )
A．a1＋a2＋…＋an≤2n B． a1＋a2＋…＋an≤n2
C．a1＋a2＋…＋an≤n D．a1＋a2＋…＋an≤
解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤n.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．
解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．
答案：菱形的对角线互相垂直且平分
14．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和仅有一个大于1”，故对立面为“x，y都大于1”．
答案：若x，y∈R，且x＋y<2，则x，y都大于1
15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，分别回答如下：
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可以判断乙去过的城市为________．
解析：易知三人同去的城市为A.
又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，
所以甲去过A城，C城，乙只去过A城．
答案：A
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3……依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．
解析：根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，
∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，
∴a7＝a1q6＝2×＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x>0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式．
解：依题意得，f1(x)＝，
f2(x)＝＝＝
f3(x)＝＝＝，…，
由此归纳可得fn(x)＝(x>0)．
18．(本小题满分12分)已知A＋B＝，且A，B≠kπ＋(k∈Z)．求证：(1＋tan A)(1＋tan B)＝4.
证明：由A＋B＝得tan(A＋B)＝tan ，
即＝，
所以tan A＋tan B＝－tan Atan B.
所以(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋3tan Atan B＝1＋(－tan Atan B)＋3tan Atan B＝4.
故原等式成立．
19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的，证明如下：
设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，
所以必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
20．(本题满分12分)已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；
sin25＋sin265＋sin2125°＝.
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
______________________＝，(*)
并给出(*)式的证明．
解：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°)＝－
＝＝右边，
所以原式得证．
21．(本小题满分12分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明：由题意得，Sn＝na＋d.
由c＝0，得bn＝＝a＋d.
又因为b1，b2，b4成等比数列，
所以b＝b1b4，即＝a，
化简得d2－2ad＝0.
因为d≠0，所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，a，b为正实数．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)欲证f＋f≤，
即证＋≤，
只要证≤.
因为a，b为正实数，
只要证3(a2＋b2＋4ab)≤2(2a2＋2b2＋5ab)，
即a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab显然成立，
故原不等式成立．
(2)假设af(b)＝≤，bf(a)＝≤，
由于a，b为正实数，所以2＋b≥2a，2＋a≥2b，
两式相加得：4＋a＋b≥2a＋2b，
于是a＋b≤4，与条件a＋b>4矛盾，
故af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
单元评估验收(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( )
A．直接求出回归直线方程
B．直接求出回归方程
C．根据经验选定回归方程的类型
D．估计回归方程的参数
解析：散点图的作用在于选择合适的函数模型．
答案：C
2．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过( )
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.0.1 B．0.05
C．0.025 D．0.005
解析：因为K2的观测值k＝6.023>5.024，对应犯错误概率的临界值为0.025，所以这一断言犯错误的概率不超过0.025.
答案：C
3．第二届世界青年奥林匹克运动会，中国获37金，13银，13铜共63枚奖牌居奖牌榜首位，并打破十项青奥会记录．由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )
A．平均数与方差 B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
解析：两个分类变量的相关关系利用独立性检验．
答案：C
4．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( )
A．该线性回归方程的拟合效果较好
B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%
C．随机误差对预报变量的影响约占4%
D．有96%的样本点在回归直线上
解析：由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上．
答案：D
5．日本发生的9.0级地震引发了海啸及核泄漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为2×2列联表：
分类
高度辐射
轻微辐射
总计
身体健康
30
A
50
身体不健康
B
10
60
总计
C
D
E
则A，B，C，D的值依次为( )
A．20，80，30，50 B．20，50，80，30
C．20，50，80，110 D．20，80，110，50
解析：A＝50－30＝20，B＝60－10＝50，C＝30＋B＝80，D＝A＋10＝30.
答案：B
6．已知线性回归方程＝2x＋相应于点(3，6.5)的残差为－0.1，则的值为( )
A．0.5 B．0.6
C．－0.5 D．－0.6
解析：因为相应于点(3，6.5)的残差为－0.1，
所以6.5＝6＋－0.1，解得＝0.6.
答案：B
7．如图等高条形图可以说明的问题是( )
A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握
解析：由等高条件形图知，D正确．
答案：D
8．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，>0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．
答案：C
9．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关；②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%；④没有证据显示患肝病与嗜酒有关．
分类
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
7 775
42
7 817
未患肝病
2 099
49
2 148
总计
9 874
91
9 965
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由列联表可求K2的观测值
k＝
＝≈56.632
由56.632>10.828>6.635.
且P(K2≥10.828)＝0.001，P(K2≥6.635)＝0.010.
∴①，②均正确．
答案：B
10．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程＝x＋的系数＝－2.4.则预测平均气温为－8℃时该商品的销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元
解析：＝＝－4，
＝＝25，
所以25＝(－2.4)×(－4)＋.
所以＝15.4.
所以回归直线方程为＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6，即预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为34.6万元．
答案：A
11．某英语老师为了解学生对英语作业量的态度是否与喜欢玩电脑游戏有关，对100名学生进行了调查，得到数据如下表：
分类
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
36
18
54
不喜欢玩电脑游戏
16
30
46
总计
52
48
100
则可判断认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系的把握大约为( )
A．99.5% B．95%
C．90% D．99.9%
解析：K2的观测值k＝≈10.117，
因为7.879<10.117<10.828，所以有99. 5%的把握可判断，认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系．
答案：A
12．已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.解析：由数据(1，0)和(2，2)可得直线方程y＝2x－2，
∴b′＝2，a′＝－2
利用表格数据得＝，＝
则＝－＝－×＝－
所以a′
或作出散点图，观察回归直线的斜率与截距得出结论．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单元：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y到x的回归直线方程：y＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．
解析：回归直线的斜率为0.15，所以家庭收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．
答案：0.15
14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表格知＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a.
则a＋62＋75＋81＋89＝75×5
∴a＝68.
答案：68
15．某些行为在运动员的比赛之中往往被赋予很强的神秘色彩，如有一种说法认为，在进入某跳远比赛前先迈入左脚的运动员就会赢得比赛．某记者为此追踪了某著名跳远运动员在某赛场中的308场比赛，获得数据如下表：
分类
胜
负
总计
先迈入左脚
178
27
205
先迈入右脚
84
19
103
总计
262
46
308
据此资料，我们能得出结论：先迈入左脚与比赛的胜负是________的(填“有关”或“无关”)．
解析：由K2的观测值k＝≈1.502.因为1.502<2.072，所以我们认为先迈入左脚与比赛的胜负是无关的．
答案：无关
16．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．
解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2x.
答案：u＝1＋ln 3＋2x(其中u＝ln y)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检验查，结果如下：
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．
解：等高条形图如图所示：
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．
由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
18．(本小题满分12分)已知某书店共有韩寒的图书6种，其中价格为25元的有2种，18元的有3种，16元的有1种．书店若把这6种韩寒的图书打包出售，据统计每套的售价与每天的销售数量如下表所示：
售价x/元
105
108
110
112
销售数量y/套
40
30
25
15
(1)根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程＝－3.46x＋，求；
(2)若售价为100元，则每天销售的套数约为多少(结果保留到整数)?
解：(1)由题目中的数据可得，
＝＝108.75，
＝＝27.5，
则＝27.5－(－3.46)×108.75＝403.775.
(2)由(1)知＝－3.46x＋403.775，
当x＝100时，＝－3.46×100＋403.775≈58，
故售价为100元时，每天大约可以销售58套图书．
19．(本小题满分12分)有两个分类变量X和Y的取值分别为{x1，x2}，{y1，y2}，其2×2列联表为：
分类
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系？
解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系，则k>2.706，而K2的观测值为
k＝，
由k>2.706，得a>7.19或a<2.04.
又a>5且15－a>5，a∈Z，即a＝8或a＝9.
故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系．
20．(本小题满分12分)以下资料是一位销售经理收集到的每年销售额y(千元)和销售经验x(年)的关系：
销售经验x/年
1
3
4
4
6
8
10
10
11
13
年销售额y/千元
80
97
92
102
103
111
119
123
117
136
(1)依据这些数据画出散点图并作直线＝78＋4.2x，计算
(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算;?
(3)比较(1) (2)中的残差平方和的大小.?
解：(1)散点图与直线=78+4.2x的图形如图，
,
对x＝1，3，…，13，有
i＝82.2，90.6，94.8，94.8，103.2，111.6，120，120，124.2，132.6， (yi－i)2＝179.28.
(2)＝＝142，
∴＝＝4，
＝－＝108－7×4＝80，
故＝80＋4x，对x＝1，3，…，13，有
＝84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，(yi－i)2较小．
21．(本小题满分12分)有甲、乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．
分类
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表．
(2)根据列联表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”．
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：(1)完成列联表如下表所示．
分类
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
总计
30
75
105
(2)根据列联表中的数据，
得到k＝≈6.109.
因为6.109>3.841，
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”．
(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．
所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36个．事件A包含的基本事件有：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，共8个．
所以P(A)＝＝.
22．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归线v＝α ＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝
解：(1)由散点图的变化趋势可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，年利润z的预报值
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x
＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
章末评估验收卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：i(2－i)＝2i－i2＝2i＋1＝1＋2i.
答案：A
2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i.
答案：B
3．若复数z＝1＋i，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.
则z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
因此z2＋2的虚部为0.
答案：A
4．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
答案：A
5．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
解析：因为(z－3)(2－i)＝5，所以z－3＝＝2＋i，
所以z＝5＋i，所以＝5－i.
答案：D
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分又不必要条件
解析：因为z1＝z2??m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
答案：A
7．已知＝1＋i，则复数z在复平面上的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由已知＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i，
所以z＝2－4i，对应点为(2，－4)，在第四象限．
答案：D
8．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝( )
A．－1＋2i B．1＋2i
C．1－2i D．1＋i
解析：由(a＋i)(1＋i)＝bi，得a－1＋(a＋1)i＝bi，
所以解得
所以a＋bi＝1＋2i.
答案：B
9.如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
解析：由题意可知，因为四边形OACB为正方形，所以AB和CO的中点坐标相同，设C(x，y)，则
所以所以第四个顶点对应的复数为－1＋3i.
答案：D
10．复数等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：＝＝＝(1－2i)2＝－3－4i.
答案：A
11．复数2＋i与复数在复平面内的对应点分别是A，B，则∠AOB＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为＝＝－i，则＝，
又＝(2，1)，
所以cos〈，〉＝＝.
因此∠AOB＝.
答案：B
12．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
解析：由z1＝2＋i，得1＝2－i，
由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，
则1·z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由1·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，
所以b＝－2，故z2＝1－2i.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
解析：由(1＋i)z＝2，得z＝＝1－i，
所以z的实部为1.
答案：1
14．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设复数z＝a＋bi，a，b∈R，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
a，b∈R，则解得
所以|z|＝.
答案：
15．若x＝，则x2＋4x＝________．
解析：因为x＝，
所以x2＋4x＝＋4
＝＋4
＝(2＋i)2－4(2＋i)
＝4－1＋4i－8－4i
＝－5.
答案：－5
16．已知复数a－i与2＋bi(其中a，b∈R)互为共轭复数，则(a＋bi)2＋|4＋3i|＝________．
解析：因为a－i的共轭复数为a＋i，
依题设，得a＋i＝2＋bi(a，b∈R)，
所以a＝2，且b＝1.
因此(a＋bi)2＋|4＋3i|＝(2＋i)2＋5＝3＋4i＋5＝8＋4i.
答案：8＋4i
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i.试求当实数m取何值时：
(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z的实部与虚部相等．
解：z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i＝m2＋m2i－2m－4mi－3＋3i＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i.
(1)若z是实数，则有m2－4m＋3＝0，
解得m＝1或m＝3.
(2)若z是纯虚数，则有解得m＝－1.
(3)依题意有m2－2m－3＝m2－4m＋3，解得m＝3.
18．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解：因为对应的复数为－3＋4i，向量对应的复数为2a＋i(a∈R)，所以＝(－3，4)，＝(2a，1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
所以(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，
所以所以
故实数a的值为－.
19．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：因为z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝
，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1，7)．
20．(本小题满分12分)已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
所以
所以或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，2ab＝2，
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
所以△ABC的面积为1.
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程＋＝1，其中a，b为实数．
(1)若x＝1－i是该方程的根，求a，b的值；
(2)当a>0且>时，证明该方程没有实数根．
解：(1)将x＝1－i代入＋＝1，
化简得＋i＝1，
所以解得a＝b＝2.
(2)证明：原方程化为x2－ax＋ab＝0，
假设原方程有实数解，
那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab.
因为a>0，所以≤，
这与题设>相矛盾，
故原方程无实数根．
章末复习课
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1．回归分析：
(1)回归分析是建立在两个具有相关性变量之间的一种模拟分析，因此必须先判断两变量是否具有相关性．
(2)线性回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
(3)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
2．独立性检验：
(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．
(2)在2×2列联表中，当数据a，b，c，d都不小于5时，才可以用K2检测．
(3)独立性检验易错误理解假设检验原理，导致得到相反的结论．
专题一 线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图，以判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可求出线性回归直线方程．
求出线性回归模型后，可以借助残差、残差平方和以及相关指数R2等对模型进行评判．
相关指数R2刻画回归的效果，其计算公式：R2＝1－
, R2的值越大，模型的拟合效果越好.
［例1］ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
(1)请画出上表数据的散点图；?
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；?
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤.
解：(1)散点图如图所示：
?
(2) x iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86.
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
归纳升华
1．求线性回归方程的基本步骤．
2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
[变式训练] 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
解：
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
专题二 独立性检验
独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．
[例2] 2016年10月24日至29日，中国共产党第十八届六中全会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎六中全会”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．
图1 图2
(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
(2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博，试以上述数据估计该高一、高二两个年级学生的知识渊博率；
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
分类
成绩低于60分人数
成绩不低于60分人数
总计
高一年级
高二年级
总计
附：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
K2＝.
思路点拨：(1)利用均值公式求平均成绩；(2)先利用频率分布直方图求出高一、高二两个年级学生成绩在68分以上的学生所占的频率；(3)完善2×2列联表，代入K2公式求解．
解：(1)高一年级参赛学生的平均成绩为(45×0.04＋55×0.04＋65×0.01＋75×0.01)×10＝54(分)．
高二年级参赛学生的平均成绩为(45×0.015＋55×0.025＋65×0.035＋75×0.025)×10＝62(分)．
(2)高一年级参赛学生的知识渊博率为
P1＝10×0.01×＋10×0.01＝0.12，
高二年级参赛学生的知识渊博率为
P2＝10×0.035×＋10×0.025＝0.32.
故可估计该校高一年级学生的知识渊博率为0.12，高二年级学生的知识渊博率为0.32.
(3)补全2×2列联表，如下：
分类
成绩低于60分人数
成绩不低于60分人数
总计
高一年级
80
20
100
高二年级
40
60
100
总计
120
80
200
根据表中数据得K2的观测值
k＝≈33.33>6.635，
故在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
归纳升华
1．正确利用概率分布直方图与平均数等，求出高一、高二年级各个分数的学生数是利用K公式求得k并进行估计的前提条件．
2．独立性检验的一般步骤如下：
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算K2的观测值k.
(3)比较k与临界值的大小关系，做统计推断．
[变式训练] 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量(单位：克)，重量值落在[495，510)内的产品为合格品，否则为不合格品．统计结果如下：
甲流水线样本的频数分布表
产品重量(克)
频数
[490，495)
6
[495，500)
8
[500，505)
14
[505，510)
8
[510，515]
4
乙流水线样本的频率分布直方图
(1)求甲流水线样本合格的频率；
(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
分类
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
不合格品
总计
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)由表知甲流水线样本中合格品数为8＋14＋8＝30，故甲流水线样本中合格品的频率为＝0.75.
(2)由(1)知甲流水线样本中合格品格数30，乙流水线样本中合格品数为0.9×40＝36.
2×2列联表如下：
分类
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
30
36
66
不合格品
10
4
14
总计
40
40
80
由2×2列联表中的数据得K2的观测值为
K＝≈3.12>2.706.
故有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
专题三 化归转化思想在回归分析中的应用
如果两个变量非线性相关，要进行回归分析，可以通过对变量进行代换，转化成线性相关问题，进而进行回归分析．
[例3] 电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U(V)
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)
解：对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
根据表中数据作出散点图，如图所示，
从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得＝5，≈3.045，进而可以求得≈－0.313，＝－＝4.61.
所以y对x的线性回归方程为y＝4.61－0.313x.
由y＝ln U，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x.
因此电压U对时间t的回归方程为U＝e4.61·e－0.313x.
归纳升华
非线性回归分析的一般步骤：
1．确定变量，作出散点图．
2．根据散点图，选择恰当的拟合函数．
3．变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
4．分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
5．根据相应的变换，写出非线性回归方程．
[变式训练] 对于曲线y＝ae，令μ＝ln y，c＝ln a，v＝，可变换为线性回归模型，其形式为( )
A．y＝a＋bv B．μ＝a＋bv
C．μ＝c＋bv D．y＝c＋bx
解析：由y＝ae，两边取对数得
ln y＝ln a＋
又μ＝ln y，c＝ln a，v＝
∴μ＝c＋bv.
答案：C
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．
2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．
3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.
5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量．
6．不全为实数的两个复数不能比较大小．
7．复平面的虚轴包括原点．
专题一 复数的概念
解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．
[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
(2)满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点有________．
解析：(1)因为(1＋i)(1－bi)＝a(a，b∈R)，
则1＋b＋i(1－b)＝a，
因此解得
所以＝2.
(2)所以
所以点(x，y)为，.
答案：(1)2 (2)2个
归纳升华
1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想．
[变式训练] 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A．2 B．－2 C．－ D.
解析：＝＝，由于该复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2.
答案：A
专题二 复数的四则运算及几何意义
历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．
复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．
[例2] (1)设z＝＋i＋，则|z|＝________．
(2)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：
①点A所在的象限；
②向量对应的复数．
(1)解析：因为＋i＝＋i＝＋.
＝＝(－i)2＝－1.
所以z＝＋－1＝－＋.
因此|z|＝ ＝.
答案：
(2)解：①z＝＝＝1＋i，
所以z的共轭复数＝1－i，
所以点A(1，－1)位于第四象限．
②又点A，B关于原点O对称．
因为点B的坐标为B(－1，1)，则zB＝－1＋i
所以向量对应的复数为zB－zA＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i.
归纳升华
复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：
(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(3)(1±i)2＝±2i.(4)＝－i.(5)＝i，＝－i.
(6)a＋bi＝i(b－ai)．
[变式训练] 设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：依题意得1＋z2为实数，又1＝－(10－a2)i，
所以1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，
则a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又a＋5≠0，所以a＝3.
此时z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以＝，＝(－1，1)．
所以·＝×(－1)＋1×1＝.
专题三 共轭复数与复数的模
共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：
(1)|z|＝1?z＝.
(2)z∈R?＝z.
(3)z≠0，z为纯虚数?＝－z.
[例3] 已知为纯虚数，且(z＋1)( ＋1)＝|z|2，求复数z.
解：由(z＋1)( ＋1)＝|z|2?z＋z＝－1.①
由于为纯虚数，
所以＋＝0?z·－1＝0.②
设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入①②得
a＝－，a2＋b2＝1.
所以a＝－，b＝±.
所以z＝－±i.
归纳升华
共轭复数的性质
(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
[变式训练] (1)复数z＝3＋，则等于( )
A．3＋i B．3－i
C．4＋i D．4－i
(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－ C．4 D.
解析：(1)z＝3＋＝3＋＝3＋＝3＋i，
因此＝3－i.
(2)由于(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，
所以z＝＝＝＋i，
因此z的虚部为.
答案：(1)B (2)D
专题四 数形结合思想
复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．
[例4] 已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
解：因为复数z的模为1，
所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
又|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1，2)的距离，如图所示．
所以|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，
|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1.
归纳升华
1．复数的几何意义主要体现在以下三个方面：
(1)复数z与复平面内的点Z及向量的一一对应关系；
(2)复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；
(3)复数z＝z0模的几何意义．
2．复数中数形结合的主要应用：
(1)复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化．
(2)利用|z－z0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z|的最值．
[变式训练] 已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.
解析：设O为坐标原点，点A，B，C对应的复数分别为z1，z2，z1＋z2.
因为|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，
所以∠OAC＝60°，
所以四边形OBCA是边长为2的菱形，
所以∠AOB＝120°.
则|AB|＝＝
＝2.
又＝－对应复数z1－z2，
所以|z1－z2|＝||＝|AB|＝2.
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．
3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．
4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．
5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．
6．分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．
专题一 合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，但推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
[例1] (1)(2015·陕西卷)观察下列等式：
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
……
据此规律，第n个等式可为_______________________________．
(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________．
解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负．
等式的右边共n项，且分母分别为n＋1，n＋2，…2n.分子均为1，因此猜想1－＋－＋……＋－＝＋＋…＋
(2)三角形边长四面体各面面积，三角形的面积四面体体积
因此R＝
答案：(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
(2)R＝
归纳升华
1．归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题．
2．类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
[变式训练] (1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝ ，把上述结论类比到空间，写出类似的结论．
(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
答案：f(n)＝n3
(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此四面体的外接球的半径为R＝
专题二 演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．
演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．
[例2] 已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在[1，e]上是增函数，求a的取值范围．
(2)若a＝1，1≤x≤e，证明：f(x)解：(1)因为f′(x)＝x＋，且f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f′(x)＝x＋≥0在[1，e]上恒成立，
即a≥－x2在[1，e]上恒成立，所以a≥－1.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x，x∈[1，e]
令F(x)＝f(x)－x3＝x2＋ln x－x3，
又F′(x)＝x＋－2x2＝≤0，
所以F(x)在[1，e]上是减函数，
所以F(x)≤F(1)＝－<0，
所以x∈[1，e]时，f(x)归纳升华
数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．
[变式训练] 若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，
因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，
所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
专题三 综合法与分析法证明数学命题
综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．
分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
[例3] (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N?BCM的体积．
(1)证明：因为AM＝2MD，
所以AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，如图所示，由N是PC的中点知，TN∥BC.
TN＝BC＝2.
因为AD∥BC，
所以TN∥AM.
又BC＝4，
所以AM＝BC.
因为TN＝AM.
所以四边形AMNT为平行四边形．
所以MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA＝2.
取BC的中点E，连接AE.
因为AB＝AC＝3，
所以AE⊥BC，AE＝＝＝.
由AM∥BC得点M到BC的距离为.
所以S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N-BCM的体积
VN?BCM＝×S△BCM×2＝.
归纳升华
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
[变式训练] 在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝.③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
专题四 反证法的应用
(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想．
(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．
[例4] 设等比数列{an}的公比为q.
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，
∴Sn＝
(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意k∈N*，
有(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
归纳升华
1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．
2．推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的．
[变式训练] 已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，证明：不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
证明：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1，
所以(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.
由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
所以(1＋a2)·－a·＋1＝0，
则a2＝－2，这是不可能的，所以假设不成立．
故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
专题五 转化与化归思想的应用
转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题化繁为简、化难为易．
[例5] 设f(x)＝2x2＋1，a＋b＝1，且a，b同号，求证：对任意实数p，q恒有af(p)＋bf(q)≥f(ap＋bq)成立．
证明：∵f(x)＝2x2＋1，a＋b＝1
∴af(p)＋bf(q)＝a(2p2＋1)＋b(2q2＋1)，
f(ap＋bq)＝2(ap＋bq)2＋1.
又af(p)＋bf(q)－f(ap＋bq)
＝a(2p2＋1)＋b(2q2＋1)－2(ap＋bq)2－1
＝2ap2＋2bq2－2a2p2－4abpq－2q2b2
＝2ap2(1－a)＋2bq2(1－b)－4abpq
＝2abp2＋2abq2－4abpq
＝2ab(p－q)2.
因为a，b同号，所以2ab(p－q)2≥0.
所以原不等式成立．
归纳升华
本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面：归纳推理中特殊到一般的转化；演绎推理中一般到特殊的转化；分析法中结论与条件的转化；反证法中正难则反的转化；数学归纳法中无限与有限的转化等．
[变式训练] 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极小值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
所以f′(x)＝3ax2＋b.
由已知f(x)在点x＝2处取得极小值c－16，
得即
则解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x∈(－3，－2)时，f′(x)>0；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，3)时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－3，－2]上是增函数，在[－2，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数．
所以f(x)在x＝－2处有极大值．
因此f(－2)＝16＋c＝28，所以c＝12，
所以f(－3)＝21，f(2)＝－4，f(－2)＝28，f(3)＝3.
故f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.
