上海市浦东新区2018届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测试卷
(满分: 150分答题时间:120分钟)
一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.
1．幂函数经过点，则此幂函数的解析式为.
2.若集合，，则.
3. 设为函数的反函数，则_____.
4.不等式的解集是.
5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．
6．已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________.
7．若，且，则的最大值是．
8．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别　　　　．
11．已知命题，命题.若中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是________．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动.有以下四个命题：
　　①平面MB1P⊥ND1；
　　②平面MB1P⊥平面ND1A1；
　　③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
　　④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是　　
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要.
14.在下列命题中，不是公理的是（　）
A．两条相交直线确定一个平面；
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面；
C．如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上；
D．如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.
15．展开式中的常数项为（）
A.-1320 B.1320 C.-220 D.220
16．下列四个命题中正确是（）
A. 函数（且）与函数（且）的值域相同；
B. 函数与的值域相同；
C. 函数与都是奇函数；
D. 函数与在区间上都是增函数.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．
（1）求此圆锥的表面积；
（2）求此圆锥的体积．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）解方程：；
（2）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交于点，于点.
（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥的体积.
20．（本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：在上为增函数；
（3）证明：方程＝0没有负数根。
21. （本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
函数的定义域为（）.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值.
2017学年度第一学期高三数学期中考试试题
答案及评分细则
(满分: 150分完卷时间:120分钟)
一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）
注：填写等价即对
1．幂函数经过点，则此幂函数的解析式为.
2.若集合，，则
3. 设为函数的反函数，则_____
4.不等式的解集是。
5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作个三角形（用数字作答）．120
6．已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________.2
7．若，且，则的最大值是．
8．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．
【答案】
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别　　　　．
【答案】
11．已知命题，命题.若中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是________．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动.有以下四个命题：
　　①平面MB1P⊥ND1；
　　②平面MB1P⊥平面ND1A1；
　　③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
　　④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是　　
答案：②③
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（B）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要.
14.在下列命题中，不是公理的是（　A　）
A．两条相交直线确定一个平面；
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面；
C．如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上；
D．如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.
15．展开式中的常数项为（C）
A.-1320 B.1320 C.-220 D.220
16．下列四个命题中正确是（ C ）
A. 函数（且）与函数（且）的值域相同；
B. 函数与的值域相同；
C. 函数与都是奇函数；
D. 函数与在区间上都是增函数.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
注：其它解法相应得分
17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．
（1）求此圆锥的表面积；
（2）求此圆锥的体积．
【解答】（1）因为，所以底面圆周长为，……………1分
所以底面圆的面积为，…………2分
所以弧长为，…………………3分
又因为，则有，所以．…………4分
扇形ASB的面积为
所以圆锥的表面积=…………………………………………7分
（2）在中，.，…10分
所以圆锥的体积．…………………14分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）解方程：；
（2）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【解答】（1）令，则，
解得或………………………………………………………3分
即或，解得或.……………………6分
（2）由题意可知，方程的两个根为和，………8分
且则由韦达定理可得……………………………10分
于是不等式为，
则其解集为．……………………………………14分
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交于点，于点.
（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥的体积.
【解答】（1）因为点为面的对角线的中点.平面，所以为△的中位线，得，
又，所以…………… 2分
因为在底面中，，所以，又，(为异面直线与所成角的平面角，……………………6分
在△中，(为直角，，所以。
即异面直线与所成角的大小为。………………… 8分
（2），…………………………………………………9分
，……………………………………… 12分
计算得三棱锥的体积为。…………………………………14分
20．（本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：在上为增函数；
（3）证明：方程＝0没有负数根。
【解答】（1）因为函数的定义域为，……2分
不关于原点对称，所以函数没有奇偶性。…………………4分
（2）证明：设，，
，在上为增函数。…………9分
（3）设，则，
由＝0，必须 ，则，……………14分
与矛盾。………………………………………………………15分
所以方程＝0没有负数根。……………………………………16分
21. （本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
函数的定义域为（）.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值.
【解答】（1）函数
所以函数的值域为………………………4分
（2）若函数在定义域上是减函数，
则任取且都有 成立，
即 ……………………………………………6分
只要即可， …………………………………………………7分
由，故，……………………………9分
所以，故的取值范围是；………………………10分
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，……11分
当时取得最大值；…………………………………………12分
由（2）得当时，在上单调减，无最大值，…13分
当时取得最小值； ……………………………………15分
当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值， ………………………………………………………………16分
当 时取得最小值. ……………………………………18分