第二章 2.3 2.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( B )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
[解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题.
圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，
∴－3＋2＋a＝0，
∴a＝1.
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
[解析] 由题意得＝1，
∴a2＋b2＝c2，故选B．
3．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( B )
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
[解析] 直线ax－y＋2a＝0可化为a(x＋2)－y＝0，即直线过定点(－2,0)，又∵定点(－2,0)在圆x2＋y2＝9的内部，∴直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交.
4．(2016·全国卷Ⅱ文，6)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( A )
A．－
B．－
C．
D．2
[解析] 由题可知，圆心为(1,4)，结合题意得＝1，解得a＝－.
5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有
( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝2，如图所示，
圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离为，故过圆心C与直线x＋y＋1＝0平行的直线l与圆的两个交点A、B到直线x＋y＋1＝0的距离为.
又圆的半径r＝2，故过圆心C作直线x＋y＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C′到直线x＋y＋1＝0的距离为，故选C．
6．已知圆C：x2＋y2＝10，过点P(1,3)作圆C的切线，则切线方程为( A )
A．x＋3y－10＝0
B．x－3y＋8＝0
C．3x＋y－6＝0
D．3x－y＋10＝0
[解析] ∵点P(1,3)在圆x2＋y2＝10上，∴过点P(1,3)的圆的切线方程为x＋3y－10＝0.
二、填空题
7．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为__4＋__.
[解析] 圆心到直线x－y＝3的距离为＝，
∴圆心x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
8．已知圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝25，过点P(－2,7)作圆的切线，则该切线的一般式方程为__3x－4y＋34＝0__.
[解析] ∵圆心的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25，
∴(－2－1)2＋(7－3)2＝25，∴P(－2,7)在圆上.
∵圆心C(1,3)，∴直线PC的斜率为＝－，
∴切线l的斜率为k＝，
∴切线l的方程为y－7＝(x＋2).
即3x－4y＋34＝0.
三、解答题
9．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程.
[解析] 由题意可设圆心坐标为(a，)，圆的半径R＝|a|，由题意得()2＋()2＝a2，
∴a2＝9，a＝±3.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知方程x2＋y2－2mx－4y＋5m＝0的曲线是圆C.
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝－2时，求圆C截直线l：2x－y＋1＝0所得弦长.
[解析] (1)由题意得(－2m)2＋(－4)2－4×5m>0，
即m2－5m＋4>0，
∴m>4或m<1.
(2)当m＝－2时，圆C的圆心坐标为(－2,2)，半径r＝3.
圆心C(－2,2)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴圆C截直线l所得弦长为2
＝2.
B级 素养提升
一、选择题
1．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有( C )
A．6条
B．4条
C．3条
D．2条
[解析] 在两轴上截距相等，分两种情形：
①过原点，截距都是0，设为y＝kx，由(0,2)到y＝kx距离为，
∴＝，∴k＝±1.
②不过原点设截距均为a，则方程为x＋y＝a.
同样可得：＝，∴a＝4，共有3条.
2．(2016·合肥模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，因为C(1,0)到直线l：x－2y＋1＝0的距离为，所以|AB|＝2＝，故选A．
3．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线方程为( B )
A．y－2＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＝0
D．x－1＝0
[解析] 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.
已知圆心O(0,0)，
∴过点P(1,2)的直径的斜率k＝＝2，
故所求直线的斜率k＝－，所求直线方程为
y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
4．(2016·西安模拟)过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，直线l1的斜率为k＝－，设直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0，由l与圆C相切，得＝5，解得a＝－4，故l：4x－3y＋20＝0，l1：4x－3y＋8＝0，则两直线间的距离d＝＝，故选B．
5．(2016·四川双流中学月考)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为( D )
A．3
B．
C．
D．2
[解析] 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，r＝1.
当PC与直线kx＋y＋4＝0(k>0)垂直时，切线长|PA|最小.
在Rt△PAC中，|PC|＝＝，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k>0)的距离为，∴d＝＝，∴k＝±2.
又∵k>0，∴k＝2.
故选D．
二、填空题
6．(2016·天津文，12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__.
[解析] 设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
7．(2016·西安五校联考)若过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为__(x－2)2＋(y－1)2＝5__.
[解析] 连接OA，OB，由平面几何知识可知O，A，P，B四点共圆，故△APB的外接圆即为以OP为直径的圆.
故即圆心为C(2,1)，半径r＝|OP|＝|OC|＝，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
三、解答题
8．求过点A(2，－1)，圆心在直线y＝－2x上，且与直线x＋y－1＝0相切的圆的方程.
[解析] 设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
由题意得解得.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
C级 能力拔高
1．当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？
[解析] 解法一：(代数法)
由，得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)，
当Δ＝0，即m＝0或－时，直线与圆相切，
当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
当Δ<0，即－
解法二：(几何法)
由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝，
当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；
当d>2，即－当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交.
2．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点.
[解析] 解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得
消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.
③
∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12>0，
∴方程③有两相异实数根，
因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点.
解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2，
圆心为C(3,4)的圆.
∵|AC|＝＝∴直线l与曲线C恒有两个交点.第一章 1.2 1.2.2 第3课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．两个平面平行的条件是( D )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
[解析] 如图，平面β内可以有无数条直线与平面α平行，而平面α与平面β相交.
2．若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，那么a、b的位置关系是( A )
A．无公共点
B．平行
C．既不平行也不相交
D．相交
[解析] ∵平面α∥平面β，∴α与β没有公共点，
又∵a α，b β，
∴a与b无公共点.
3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题.
① a∥b；
② a∥b；
③ α∥β；
④ α∥β；
⑤ α∥a；
⑥ α∥a.
其中正确的命题是( C )
A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④
[解析] ①平行公理；②两直线同时平行于一平面，这两直线可相交，平行或异面；③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行；④面面平行传递性；⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内；⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能在平面内，故①、④正确.
4．可以作为平面α∥平面β的条件的是( D )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
[解析] a∥β，则β中存在a′∥a，则面α内存在b′，使b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，∴α∥β.
故选D．
二、填空题
5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__相交或平行__.
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为模型.
A1B1∩A1D1＝A1，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD；
A1B1∩A1A＝A1，A1B1∥平面ABCD，
A1A∩平面ABCD＝A，
故b与α相交或平行.
6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α、β、γ分别表示平面，a、b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有__③__.
(填序号)
[解析] ①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件.
三、解答题
7．如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为PC的中点，在DM上任取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面DMB于GH，求证：AP∥GH.
[解析] 连接AC交BD于O点，在△PAC中，因为M、O分别为PC、AC的中点，所以OM∥PA，因为OM 平面MBD，PA 平面MBD，所以PA∥平面MBD，又因为平面PAHG∩平面MBD＝GH，PA 平面PAHG，所以PA∥GH.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点.
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
[解析] ∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥BC，
又∵E1、F1分别是A1B1、C1D1的中点，
∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，
∴A1E∥BE1，
又A1E∩EF＝E，BE1∩BC＝B，
A1E 平面A1EFD1，EF 平面A1EFD1，
BE1 平面BCF1E1，BC 平面BCF1E1，
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.
若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( D )
A．m∥β且l1∥α
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2
D．m∥l1且n∥l2
[解析] 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β，因此选D．
2．若平面α∥β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( D )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条直线与a平行
C．存在无数条直线与a平行
D．存在惟一一条与a平行的直线
[解析] ∵α∥β，B∈β，∴B α.
∵a α，∴B、a可确定平面γ且γ∩α＝a，
γ与β交过点B的直线，∴a∥b.
∵a、B在同一平面γ内，
∴b惟一，即存在惟一一条与a平行的直线.
3．已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β( D )
A．只能作一个
B．至少有一个
C．不存在
D．至多有一个
[解析] 本题考查线面平行的性质.
∵a是一条直线，∴a∥α或a与α相交或在平面α内.
当a∥α时，β只有一个；当a与α相交或在平面α内时，β不存在，故选D．
二、填空题
4．已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是__相似__，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是____.
[解析] 已知α∥β，则AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，
∴△ABC与△A′B′C′相似，则两三角形的对应边成比例，即＝＝，∴有＝，∴BC＝.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__M在线段FH上移动__时，有MN∥平面B1BDD1.
[解析] 此时HN∥BD，MH∥DD1，
∴平面MNH∥平面BDD1B1，
∴MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：平面AMN∥平面EFBD.
[解析] (1)分别连接BD、ED、FB，由正方体性质知，B1D1∥BD.
∵E、F分别是C1D1和B1C1的中点，
∴EF綊B1D1，EF綊BD.
∴E、F、B、D四点共面.
(2)连接A1C1交MN于P点，交EF于点Q，分别连接PA、QO.
∵M、N分别为A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥EF，EF 面EFBD，∴MN∥面EFBD.
∵PQ綊AO，∴四边形PAOQ为平行四边形，
∴PA∥QO.
而QO 面EFBD，
∵PA∥面EFBD，且PA∩MN＝P，PA、MN 面AMN，
∴平面AMN∥面EFBD.
C级 能力拔高
1．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D.
若PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
[解析] 因为点P的位置不确定，应分以下三种情况讨论.
(1)当点P在α上方时，如图，
∵PA∩PB＝P，β∩平面PCD＝CD，
α∩平面PCD＝AB，又α∥β，
∴AB∥CD.
∴＝.
又PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴PC＝PA＋AC＝15.
∴PB＝＝.
∴BD＝PD－PB＝8－＝.
(2)当点P在α、β中间时，如图，
∵α∥β，∴AB∥DC.
∴△PAB∽△PCD.
∴＝.
∵AC＝9，PA＝6，∴PC＝3.
又PD＝8，∴PB＝＝＝16.
∴BD＝8＋16＝24.
(3)当点P在β下方时，由PA∴BD的长为或24.
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.
问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[解析] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩
平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.
因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.第一章 1.2 1.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数为( A )
①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；
②四边形的两条对角线必相交于一点；
③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ①中，l∈α不对，应为l α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线，故选A．
2．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是( A )
A．AB α
B．AB α
C．由线段AB的长度而定
D．以上都不对
[解析] 如果直线上有两点在平面内，则这条直线就在该平面内，故选A．
3．下列说法正确的是( A )
A．梯形一定是平面图形
B．四边形一定是平面图形
C．三点确定一个平面
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
[解析] 梯形一定是平面图形.
4．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中( B )
A．必定只有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
[解析] 四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错.
5．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( B )
A． A α
B． A∈α
C． A∈α
D． A α
[解析] 点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“ ”表示.
6．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( D )
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
[解析] 如图①所示有1条交线.
如图②所示有2条交线.
如图③所示有3条交线.
二、填空题
7．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为__4__.
[解析] 如图，
四条线段AB、BC、CD、DA顺次首尾相连，它们最多可以确定4个平面，分别是：平面ABC、平面BCD、平面ACD、平面ABD.
8．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系.
(1)图①可以用符号语言表示为__α∩β＝l，m α，n β，l∩n＝P，m∥l__；
(2)图②可以用符号语言表示为__α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B__.
三、解答题
9．过直线l外一点P引两条直线PA、PB和直线l分别相交于A、B两点.
求证：三条直线PA、PB、l共面.
[解析] 如图所示.
∵P l，
∴P、l确定一个平面α.
∵A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，P∈α，
∴PA α，PB α，
∴PA、PB、l共面.
B级 素养提升
一、选择题
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、BB1、C1D1的中点，过M、N、Q的平面与正方体相交，截得的图形是( D )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
[解析] 作出截面，如下图.
2．下列说法正确的是( D )
A．a α，b β，则a与b是异面直线
B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
[解析] 如图所示，
a α，b β，但a∥b，故A错，C错；
如图所示，
长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC异面，BC与DD1异面，但AA1与DD1平行，故B错，故只有D选项正确.
二、填空题
3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是__③__.
[解析] ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交.
4．如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线.
以上四个命题中，正确命题的序号是__②④__.
[解析] 观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确.
即正确命题的序号是②、④.
C级 能力拔高
1．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，
(1)证明B，E，D1，F四点共面；
(2)画出平面BED1F和平面ABCD的交线.
[解析] (1)取BB1的中点G，连结C1G，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BG綊C1E，C1D1綊FG，
∴四边形BEC1G与四边形C1D1FG均为平行四边形.
∴BE∥C1G∥D1F，
∴BE与D1F共面，
∴点B，E，D1，F共面.
(2)如图所示，
在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，
∵DA 平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，
又B是两平面的一个公共点，
∴PB为两平面的交线.
2．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长.
[解析] (1)设过D、M、N三点的平面为α，α与平面AA1D1D的交线为直线DM.
设DM∩D1A1＝Q.
由于D1A1 平面A1B1C1D1，所以Q∈平面A1B1C1D1，所以α与平面A1B1C1D1的交线为QN，则QN即为所要画的直线l.
如图所示.
(2)设QN∩A1B1＝P，
因为△A1MQ≌△AMD，
所以A1Q＝AD＝A1D1，
即A1是QD1的中点，
所以A1P＝D1N＝a，
故PB1＝a.第二章 2.2 2.2.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
[解析] 解法一：所求直线斜率为，过点(1,0)，由点斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法二：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A．
2．经过两条直线2x＋y－4＝0和x－y＋1＝0的交点，且与直线2x＋3y－1＝0平行的直线方程是( C )
A．2x＋3y－7＝0
B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－8＝0
D．2x－3y＋2＝0
[解析] 由，得.
故所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即2x＋3y－8＝0.
3．已知两直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：ax－8y－3＝0平行，则a的值是( D )
A．3
B．4
C．6
D．－6
[解析] 由已知得3×(－8)＝4a，∴a＝－6.
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝( B )
A．
B．－
C．－2
D．2
[解析] 由，得.
∴点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上，∴－1－2k＝0，
∴k＝－.
5．若直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为( A )
A．
B．
C．
D．∪
[解析] 由题意知，k＝－，∴由，
得交点坐标为(，)，
∴， 解得－6．对于直线ax＋y－a＝0(a≠0)，以下说法正确的是( B )
A．恒过定点，且斜率与纵截距相等
B．恒过定点，且横截距恒为定值
C．恒过定点，且与x轴平行
D．恒过定点，且与x轴垂直
[解析] 由方程ax＋y－a＝0(a≠0)化为a(x－1)＋y＝0，∴直线过定点(1,0)，又当y＝0时，x＝1，∴横截距为定值.
二、填空题
7．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两轴上截距之和为的直线l方程为__2x＋3y－1＝0__.
[解析] 设l：2x＋3y＋c＝0，
令x＝0，则y＝－，令y＝0，则x＝－，
∴－＋(－)＝，∴c＝－1.
8．若直线x＋2ay－1＝0与(3a－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为__0或__.
[解析] 由题意得1×(－a)－2a(3a－1)＝0，解得a＝0或a＝.
当a＝0时，两直线x－1＝0与x＋1＝0平行；当a＝时，两直线3x＋y－3＝0与3x＋y＋6＝0平行.
三、解答题
9．求经过直线l1：3x＋2y－5＝0，l2：3x－2y－1＝0的交点且平行于直线2x＋y－5＝0的直线方程.
[解析] 由，得.
∴l1与l2的交点坐标为(1,2).
又直线2x＋y－5＝0的斜率k＝－2，
故所求直线的斜率k′＝－2，
其方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0.
10．两条直线l1：2x－my＋4＝0和l2：2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，求m的取值范围.
[解析] ∵2×3－(－m)·2m＝6＋2m2≠0，
∴l1与l2不平行.
由，得，
∴，
∴－B级 素养提升
一、选择题
1．设P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上一点，P2(x2，y2)是不在直线l上的点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与l的关系是( A )
A．平行
B．重合
C．相交
D．位置关系不确定
[解析] ∵点P1(x1，y1)在直线l上，
∴f(x1，y1)＝0，又∵点P2(x2，y2)不在直线l上，
∴f(x2，y2)≠0.
∴方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0，
化为f(x，y)＝－f(x2，y2)≠0，
故方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与直线l平行.
2．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝ ，则a的值为( C )
A．4
B．－2
C．4或－2
D．－4或2
[解析] 由A∩B＝ ，直线4x＋ay－16＝0过点(1,3)或与y－3＝2(x－1)平行，则有4×1＋a×3－16＝0或－＝2.
∴a＝4或a＝－2.
3．(2016·湖北模拟)若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( C )
A．－2
B．－3
C．2或－3
D．－2或－3
[解析] ∵直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
∴＝，解得m＝2或－3，故选C．
二、填空题
4．(2017·上海师大附中期中)直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于A，B两点，若直线AB的中点是M(1，－1)，则直线l的斜率为__－ .
[解析] 设直线l的斜率为k，又直线l过M(1，－1)，则直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
联立直线l与y＝1，得到，解得x＝，
∴A(，1)，
联立直线l与x－y－7＝0，得到，解得x＝，y＝，∴B(，)，
又线段AB的中点M(1，－1)，∴，
解得k＝－.
5．无论m取何值，直线(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0都过定点__(－4，－3)__.
[解析] 由(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0，得m(2x－y＋5)＋(x＋2y＋10)＝0，
由，解得.
故无论m取何值，直线(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0都过定点(－4，－3).
三、解答题
6．求满足下列条件的直线方程.
(1)过点(－1,2)，且与直线x＋y－2＝0平行的直线；
(2)过直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y＋1＝0平行的直线方程.
[解析] (1)设所求直线方程为x＋y＋m＝0，
又点(－1,2)在直线上，∴－1＋2＋m＝0，∴m＝－1，
故所求直线方程为x＋y－1＝0.
(2)设所求直线方程为2x＋y－1＋λ(x－2y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋2λ－1＝0，
又所求直线与直线3x＋y＋1＝0平行，
∴2＋λ＝3(1－2λ)，∴λ＝.
即所求直线方程为3x＋y－1＝0.
C级 能力拔高
1．已知A(2，a＋1)、B(4,2a)、C(a＋1,1)、D(2a＋1,2)，问a为何值时，直线AB和直线CD平行.
[解析] 当a＝0时，
kAB＝＝－，直线CD斜率不存在，
此时两直线不平行但相交.
当a＝1时，kAB＝0，kCD＝1，两直线相交.
当a≠0且a≠1时，
kAB＝，kCD＝，
当＝时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，a＝－1或a＝2时，
此时直线AB和直线CD不重合，
故a＝－1或a＝2时，两直线平行.
2．平行四边形的两邻边的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程.
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，
根据，
得顶点A.
因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，
所以顶点C的坐标为.
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，
所以kCD＝－1，由点斜式得y－＝－，
即x＋y－13＝0.
因为kAD＝3，所以kBC＝3，由点斜式得y－＝3，
即3x－y－16＝0，
∴另外两边的方程分别为x＋y－13＝0,3x－y－16＝0.综合学业质量标准检测(二)
时间120分钟，满分150分.
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是( A )
A．6
B．2
C．36
D．2
[解析] 由空间两点间距离公式，
得|PQ|＝＝6.
2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为( C )
A．13
B．0
C．8
D．－2
[解析] 设点C的坐标为x，由题意，得
d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，
∴x＝8.
3．(2016·北京文，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( C )
A．1
B．2
C．
D．2
[解析] 由圆的标准方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距离
d＝＝.
4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；
②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；
③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；
④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.
其中正确的命题有( D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确.
选D．
5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( D )
[解析] 如图所示，由图可知选D．
6．已知圆x2＋y2－2x＋my＝0上任意一点M关于直线x＋y＝0的对称点N也在圆上，则m的值为( D )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
[解析] 由题可知，直线x＋y＝0过圆心(1，－)，
∴1－＝0，∴m＝2.
7．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( D )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
[解析] 设圆心C(a,0)，由题意r＝＝，∴|a|＝5，∵a<0，∴a＝－5，∴圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
8．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是
( C )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
[解析] 对于选项C，∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，
又∵m α，∴α⊥β.
9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为( B )
A．3π
B．
C．π
D．
[解析] 设圆锥的母线长为l，则l2＝，∴l＝2.
∴圆锥的底面半径r＝1，高h＝，故其体积V＝πr2h＝.
10．有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( C )
A．12π
cm2
B．15π
cm2
C．24π
cm2
D．36π
cm2
[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，其表面积S＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝3×5π＋9π＝24π
cm2.
11．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( C )
A．(－1,1)
B．
C．
D．
[解析] ∵点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，∴(5a＋1－1)2＋(12a2)<1，
即25a2＋144a2<1，∴a2<，
∴－12．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0切于点P(－1,2)，则ab的值为( C )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
[解析] 由题意，得点P(－1,2)在直线ax＋by－3＝0上，∴－a＋2b－3＝0，即a＝2b－3.
圆x2＋y2＋4x－1＝0的圆心为(－2,0)，半径r＝，∴＝，
∴a2－12a＋5b2－9＝0.
由，得.
故ab＝2.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1时，a＝__0__，b＝__－8__.
[解析] ∵l1⊥l2，∴2a＋8a＝0，
∴a＝0.
又直线l1：ax＋8y＋b＝0，即8y＋b＝0的纵截距为1，
∴b＝－8.
14．已知圆M：x2＋y2－2mx－3＝0(m<0)的半径为2，则其圆心坐标为__(－1,0)__.
[解析] 方程x2＋y2－2mx－3＝0可化为(x－m)2＋y2＝3＋m2，
∴3＋m2＝4，∴m2＝1，∵m<0，∴m＝－1.
故圆心坐标为(－1,0).
15．已知圆锥母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为__50π__.
[解析] 设圆锥的底面半径为r，则2πr＝10π，∴r＝5.
∴圆锥的侧面积S＝πrl＝50π.
16．一个半球的表面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是__Q__.
[解析] 设半球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，设圆柱的高为h.
由题意得2πR2＋πR2＝Q，∴R2＝.
又πR3＝πR2h，∴h＝R.
∴圆柱的表面积S＝2πRh＋2πR2＝πR2＋2πR2＝πR2＝π·＝Q.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)直线l过点P(，2)，且与x轴，y轴的正方向分别交于A、B两点，当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
[解析] 当斜率k不存在时，不合题意.
设所求直线的斜率为k，则k≠0，l的方程为y－2＝k(x－).
令x＝0，得y＝2－k>0，
令y＝0，得x＝－>0，
∴k<.
由S＝(2－k)(－)＝6，解得k＝－3或k＝－.
故所求直线方程为y－2＝－3(x－)或y－2
＝－(x－)，
即3x＋y－6＝0或3x＋4y－12＝0.
18．(本题满分12分)已知直线l1：ax－by－1＝0(a、b不同时为0)，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0.
(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝2，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.
[解析] (1)若b＝0，则l1：ax－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，∵l1⊥l2，
∴a(a＋2)＝0，∴a＝－2或0.
(2)当b＝2时，l1：ax－2y－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，∵l1∥l2，
∴a＝－2(a＋2)，∴a＝－.
∴l1：4x＋6y＋3＝0，l2：2x＋3y－4＝0，
∴l1与l2之间的距离d＝＝.
19．(本题满分12分)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程.
[解析] ∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)，
又圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝9a2，
又∵过点A(6,1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，
∴a＝1或a＝37，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12
321.
20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点.
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积.
[解析] (1)连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC.
∵OH 平面SOC，∴QB⊥OH，
又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)连接AQ.
∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.
在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，
∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2，
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
[解析] (1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点.
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN.
又∵MF 平面ABCD，AN 平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD 平面ABCD，
∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A 平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA 平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
22．(本题满分12分)
如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.
(1)若＝，求证：无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；
(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论.
[解析] (1)如图所示，连接B1M、B1N、AC、BD，则BD⊥AC.
∵＝，∴MN∥AC.
∴BD⊥MN.
∵DD1⊥平面ABCD，MN 面ABCD，∴DD1⊥MN.
∴MN⊥平面BDD1.
∵无论P在DD1上如何移动，总有BP 平面BDD1，故总有MN⊥BP.
(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.
∵BD⊥AC，BD⊥CC1，
∴BD⊥平面ACC1.
取BD1的中点E，连接PE，
则PE∥BD.
∴PE⊥面ACC1.
又∵PE 面APC1，
∴面APC1⊥面ACC1.第二章 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．有下列命题：
①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
④坐标平面上所有的直线都有斜率.
其中错误的是( D )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错.
2．若直线经过点(1,2)、(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( D )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
[解析] 直线的斜率k＝＝，∴直线的倾斜角是30°.
3．若A(－2,3)、B(3，－2)、C(，m)三点共线，则m的值为( A )
A．
B．－
C．－2
D．2
[解析] 由已知得，kAB＝kAC，
∴＝，解得m＝.
4．直线y＝kx＋b，当k>0，b<0时，此直线不经过的象限是( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．以上都不是
[解析] 由k>0知，直线的倾斜角为锐角，
由b<0知，直线过y轴负半轴上点(0，b)，
∴直线不经过第二象限.
5．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如右图所示，则( D )
A．k1B．k3C．k3D．k1[解析] 由图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0.
∴k2>k3>k1.
∴应选D．
6．已知点A(1,3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( D )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[，＋∞)
D．[－2，]
[解析] 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，如图所示，
kPA＝＝－2，
kPB＝＝，故所求k的取值范围为[－2，].
二、填空题
7．三点(2，－3)、(4,3)及(5，)在同一条直线上，则k的值等于__12__.
[解析] 由题意得＝，∴k＝12.
8．已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为__(1,0)或(0，－2)__.
[解析] 设B(x,0)或(0，y)，kAB＝或，
∴＝2或＝2，∴x＝1，y＝－2.
三、解答题
9．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)、(2,4)；(2)(－3,5)、(0,2)；
(3)(4,4)、(4,5)；(4)(10,2)、(－10,2).
[解析] (1)k＝＝3>0，∴倾斜角是锐角.
(2)k＝＝－1<0，∴倾斜角是钝角.
(3)倾斜角是90°.
(4)k＝＝0，倾斜角为0°.
10．已知点A(2，－3)、B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围.
[解析] 如图，直线l与线段AB相交，只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA，即为直线l的范围.
因为kPB＝，kPA＝－4，但过P点且垂直于x轴的直线的斜率是不存在的，所以旋转过程中，l的斜率由kPB变化到无穷大，此时倾斜角在增大.
当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到kPA，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[，＋∞).
B级 素养提升
一、选择题
1．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b)三点，则a＋b等于( C )
A．4
B．－7
C．1
D．－1
[解析] 由题意，得2＝＝，
∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.
2．直线l过点A(2,1)、B(3，m2)(m∈R)，则直线l斜率的取值范围为( A )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－1]
[解析] 直线l的斜率k＝＝m2－1，
∵m∈R，∴m2－1≥－1，故选A．
3．(2016·天津期末)如图，方程y＝ax＋表示的直线可能是( B )
[解析] 方程y＝ax＋可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B符合，其斜率和截距都为负，故选B．
二、填空题
4．如图所示，直线l1、l2、l3、l4的斜率分别为k1、k2、k3、k4，从小到大的关系是__k1[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k15．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__(－2,1)__.
[解析] k＝＝.
∵倾斜角为钝角，
∴<0，即(a－1)(a＋2)<0，∴－2三、解答题
6．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12
(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是45°？
[解析] (1)由题意，得＝12，
解得m＝－2.
(2)由题意，得＝1，
解得m＝.
7．已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(－1，b)四点共线，求直线方程y＝ax＋b.
[解析] ∵A、B、C、D四点共线，
∴直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝＝2，
kAC＝，kAD＝，
∴2＝＝.
解得a＝4，b＝－3.
∴所求直线方程为y＝4x－3.
C级 能力拔高
已知实数x、y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
[解析] 如图，由已知，点P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，
而＝，其几何意义为直线OP的斜率.
由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝，kOA＝2.
故所求的的最大值为2，最小值为.第一章 1.2 1.2.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( B )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不确定
[解析] 三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直.
2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( D )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
[解析] 当l∥α时，直线l上所有点到α的距离都相等；当l与α相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P′，有P、P′到平面的距离相等，∴不确定.
3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( B )
A．平行
B．垂直
C．斜交
D．不能确定
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
4．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是( D )
A．b⊥β
B．b∥β
C．b β
D．b β或b∥β
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为模型.
A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB 平面ABCD，故选D．
5．下列命题
① a⊥b；
② b⊥α；
③ a⊥b；
④ a⊥α；
⑤ b⊥α；
⑥ b∥α.
其中正确命题的个数是( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确.
又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；
a∥α，b⊥a时，b与α可以平行相交(垂直)也可以b α，∴⑤错.
当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b α，∴⑥错.
6．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是( D )
A．垂直
B．平行
C．a在平面α内
D．不确定
[解析] 直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a α，或a∥α，或a⊥α，或a与α斜交.
二、填空题
7．如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是__PO⊥地面α__.
[解析] ∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，
∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OA，PO⊥OB.
又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.
8．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是__4__个.
[解析] ∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴△PAB、△PAC为直角三角形.
又∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形.
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.
求证：AE⊥SB.
[解析] ∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.
又∵BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SB.
B级 素养提升
一、选择题
1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( B )
A．有且只有一个
B．至多有一个
C．有无数多个
D．一定不存在
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个.
当a与b不垂直时，不存在.
2．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是( D )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形.
腰长为r，所以三棱锥底面面积为()2＝r2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D．
二、填空题
3．已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP＝2，则PC＝____.
[解析] 如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC.
∵AC＝，PA＝2，∴PC＝＝＝.
4．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于__2__.
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，
又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，
当圆与BC相切时，点Q只有一个，
故BC＝2AB＝2.
三、解答题
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.
[解析] ∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面BB1C1C，
又∴B1E 平面BB1，C1C，
∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴B1E⊥平面ABC1，
∴B1E⊥AC1，连接A1C1，
∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形.
∴A1C1⊥B1D1.
又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，
∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，
∴AC1⊥平面B1ED1.
6．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.
[解析] ∵在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，
∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
A′E∩A′F＝A′，
∴A′D⊥平面A′EF，∴A′D⊥EF.
C级 能力拔高
1．如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.
若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.
[解析] ∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，
∴CB⊥平面APB.
过M作ME∥CB，
则ME⊥平面APB，
∴ME⊥AB.
若MN⊥AB，
∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，
∴AB⊥EN.
取AB中点D，连接PD，
∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.
又M为PC中点，ME∥BC，
∴E为PB中点.
∵EN∥PD，
∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB.
2．如图所示，BC是圆O的直径，AB垂直于圆O所在的平面，D是圆周上异于B、C的任意一点，BF⊥AD，点F为垂足，求证：BF⊥平面ACD.
[解析] 连接BD、CD.
∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.
又BF 平面ABD，∴CD⊥BF.
又BF⊥AD，且AD∩CD＝D，∴BF⊥平面ACD.第一章 1.1 1.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是( D )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
[解析] 梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错.
2．下列图形中采用中心投影画法的是( A )
[解析] 由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选A．
3．夜晚，人在路灯下的影子是____________投影，人在月光下的影子是____________投影.
( D )
A．平行 中心
B．中心 中心
C．平行 平行
D．中心 平行
[解析] 路灯的光是从一点发出的，故影子是中心投影；而月光可以近似看作平行的，月光下的影子是平行投影.
4．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( B )
A．正三角形的直观图仍然是正三角形
B．平行四边形的直观图一定是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．圆的直观图是圆
[解析] 平行四边形的直观图一定是平行四边形.
5．水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( B )
A．4
B．2
C．4
D．2
[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，
A′D′＝×2＝1，
∴D′E＝1×sin45°＝，
∴S四边形A′B′C′D′＝A′B′·D′E＝4×＝2.
6．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( C )
①角的水平放置的直观图一定是角.
②相等的角在直观图中仍相等.
③相等的线段在直观图中仍然相等.
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对，而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错.
二、填空题
7．如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有__2__条.
[解析] △ABC为直角三角形，由D为AC中点，∴BD＝AD＝CD.
∴与BD的长相等的线段有两条.
8．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____.
[解析] 画出该正方形的直观图，则易得点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，则O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，所以d＝O′A′＝.
三、解答题
9．如图所示，有一灯O，在它前面有一物体AB，灯所发出的光使物体AB在离灯O为10
m的墙上形成了一个放大了3倍的影子A′B′，试求灯与物体之间的距离.
[解析] 如图所示，作OH⊥AB于H，延长OH交A′B′于H′，则OH即为所求.
由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB∽△OA′B′，
∴＝，∵＝，且OH′＝10
m.
∴OH＝
m，即灯与物体AB之间的距离为
m.
B级 素养提升
一、选择题
1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20
m,5
m,10
m，四棱锥的高为8
m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( C )
A．4
cm,1
cm,2
cm,1.
6
cm
B．4
cm,0.
5
cm,2
cm,0.
8
cm
C．4
cm,0.
5
cm,2
cm,1.
6
cm
D．2
cm,0.
5
cm,1
cm,0.
8
cm
[解析] 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4
cm,1
cm,2
cm和1.
6
cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4
cm,0.
5
cm,2
cm,1.
6
cm.
2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10，则皮球的直径是( B )
A．53
B．15
C．10
D．83
[解析] 设皮球的半径为R，由题意得：DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，解得DC＝DEsin60°＝15.
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a
cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是( A )
A．8a
cm
B．6a
cm
C．(2a＋2a)
cm
D．4a
cm
[解析] 由斜二测画法的规则可知，
在原图形中OB＝2a，OA＝a，且OA⊥OB，∴AB＝3a，
∴OABC的周长为2(a＋3a)＝8a
cm.
4．已知正△ABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高线为y轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( D )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
[解析] 如图为△ABC及其直观图A′B′C′.
则有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝·a＝a，
∠B′O′C′＝45°.
∴S△A′B′C′＝A′B′·O′C′·sin45°＝a×a×
＝a2，故选D．
二、填空题
5．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的直观图，若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′＝2，A′D′＝1，则四边形ABCD的面积是__5__.
[解析] 原图形ABCD为直角梯形，AD为垂直于底边的腰，AD＝2，AB＝2，CD＝3，∴S四边形ABCD＝5.
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____.
[解析] 原图中AC＝3，BC＝4，且△ABC为直角三角形，故斜边上的中线长为＝.
C级 能力拔高
1．如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，且∠D′A′B′＝45°，请画出它的实际图形.
[解析] ①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy，如图所示.
②在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.
③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形.
2．小昆和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处.
如果小昆身高为1.
6
m，离墙距离为3
m，小鹏的身高1.
5
m，离墙的距离为5
m，则小鹏的身影是否在小昆的脚下，请通过计算说明.
[解析] 如图设小鹏的影长为x
m，
根据太阳光平行的特征有＝，
x≈2.
81,2.
81
m＋3
m＝5.
81
m>5
m，
所以小鹏的身影会在小昆的脚下.第二章 2.2 2.2.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P(1,2)关于坐标原点的对称点为P′，则P′点的坐标为( C )
A．(1，－2)
B．(－1,2)
C．(－1，－2)
D．(2,2)
[解析] 设P′(x′，y′)，由题意，得
， ∴.
2．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0垂直，则a的值为( B )
A．0
B．1
C．－1
D．2
[解析] 由题意，得1－a＝0，∴a＝1.
3．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( B )
A．2x＋y－5＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
[解析] 所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为y－3＝－2(x＋1)，
即2x＋y－1＝0.
4．与直线3x＋4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( A )
A．3x－4y＋5＝0
B．3x＋4y－5＝0
C．4x＋3y－5＝0
D．4x＋3y＋5＝0
[解析] 平面内任一点P(x，y)关于x轴的对称点为P′(x，－y)，故与直线3x＋4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为3x－4y＋5＝0.
5．以A(－2,1)、B(4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( C )
A．3x－y＋5＝0
B．3x－y－5＝0
C．3x＋y－5＝0
D．3x＋y＋5＝0
[解析] kAB＝，AB中点坐标为(1,2)，
故所求直线方程为3x＋y－5＝0.
6．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为( D )
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0
D．x－y＋1＝0
[解析] l过AB中点且与直线AB垂直，
∴直线l的斜率k＝－＝1，故选D．
二、填空题
7．已知A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为__4x－2y－5＝0__.
[解析] 设线段AB的中点为C，其坐标为(2，)，线段AB所在直线的斜率kAB＝＝－，故线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
8．和直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距是－2的直线方程是__4x－3y＋8＝0__.
[解析] 所求直线的斜率为，且过点(－2,0)，故所求直线方程为y＝(x＋2)，即4x－3y＋8＝0.
三、解答题
9．已知三角形三顶点A(4,0)、B(8,10)、C(0,6)，求：
(1)AC边上的高所在的直线方程；
(2)过A点且平行于BC的直线方程.
[解析] (1)kAC＝＝－，
∴AC边上的高所在的直线的斜率k＝，
其方程为y－10＝(x－8)，
即2x－3y＋14＝0.
(2)kBC＝＝，
∴过A点且平行于BC的直线方程为y＝(x－4)，
即x－2y－4＝0.
10．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
[解析] 由，得.
∵直线3x－5y＋6＝0的斜率是，
∴直线l的斜率k＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为
( A )
A．－12
B．－2
C．0
D．10
[解析] 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.
∴p＝－2.
又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，解得n＝－12.
2．若直线l1：y＋1＝k(x＋1)和直线l2关于直线y＝x＋1对称，那么直线l2恒过定点( D )
A．(2,0)
B．(1，－1)
C．(1,1)
D．(－2,0)
[解析] ∵l1过定点(－1，－1)，点(－1，－1)关于直线y＝x＋1的对称点为(－2,0)，故l2过定点(－2,0).
3．(2016·云南统考)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为( B )
A．11
B．10
C．9
D．8
[解析] 依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故则A(4,8)，B(－4,2)，
∴|AB|＝＝10，故选B．
二、填空题
4．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝__5__，C＝__－12__，m＝__－1__.
[解析] ∵直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直，∴－·＝－1，∴a＝5.
又∵点(1，m)在直线5x＋2y－1＝0上，
∴m＝－2.
又∵点(1，－2)在直线2x－5y＋C＝0上，
∴C＝－12.
5．若直线l经过点M(a－2，－1)和N(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为__－__.
[解析] kMN＝＝－，
由题意得－×(－)＝－1，∴a＝－.
三、解答题
6．四边形ABCD的顶点为A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6)、D(－4,9).
求证：四边形ABCD为正方形.
[解析] 由kAD＝＝＝3，
kBC＝＝＝3.
∴AD∥BC.
又kAB＝＝－，
kCD＝＝－，
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵kAB·kAD＝(－)×3＝－1，∴AB⊥AD，
∴四边形ABCD为矩形.
又∵kAC＝＝，kBD＝＝－2，
kBD·kAC＝－1，∴AC⊥BD，
即矩形对角线互相垂直，
∴四边形ABCD为正方形.
C级 能力拔高
1．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.
求：(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
[解析] (1)设点C的坐标为(m，n)，
∵kBH＝，∴kAC＝－2，
∴＝－2.
又点C(m，n)在直线2x－y－5＝0上，
∴2m－n－5＝0.
由，得.
∴点C的坐标为(4,3).
(2)设点B的坐标为(a，b)，则a－2b－5＝0，
AB的中点M的坐标为(，)，
∴2×－－5＝0，
即2a－b－1＝0.
由，得.
∴点B的坐标为(－1，－3)，
∴直线BC的方程为＝，
即6x－5y－9＝0.
2．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标.
[解析] 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得.
∴点A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过点A(4,3)，
又由反射光线过点P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
由，解得.
∴反射光线与直线l的交点坐标为(，3).第二章 2.1 2.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题：
①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.
其中正确命题的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③④都正确.
2．A、B为数轴上的两点，B的坐标为－5，BA＝－6，则A的坐标为( A )
A．－11
B．－1或11
C．－1
D．1或－11
[解析] BA＝xA－(－5)＝－6，∴xA＝－11.
故选A．
3．数轴上点P、M、N的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] 数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确.
4．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由AB＝xB－xA，得－5－xA＝－8，∴xA＝3.
5．数轴上，M、N、P的坐标分别为3、－1、－5，则MP＋PN等于( A )
A．－4
B．4
C．－12
D．12
[解析] MP＋PN＝MN＝－1－3＝－4.
6．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是( D )
A．A在B左侧
B．A在B右侧
C．A与B重合
D．由a的取值决定
[解析] 2x＋a与2x的大小由a确定，从而A与B的位置关系也由a确定.
二、填空题
7．数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝__－2或－5__.
[解析] 由题知|x＋8|＝3|x＋4|，则x＝－2或x＝－5.
8．已知点A(2x)、B(x)，点A在点B的右侧，则x的取值范围为__(0，＋∞)__.
[解析] 由已知，得2x>x，即x>0.
三、解答题
9．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|.
(1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5).
[解析] (1)AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝3.
(2)AB＝(－5)－(－2)＝－3，
|AB|＝|(－5)－(－2)|＝3.
10．甲、乙两人从A点出发背向行进，甲先出发，行进10
km后，乙再出发，甲的速度为每小时8
km，乙的速度为每小时6
km，当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时，甲、乙两人的距离是多少？
[解析] 以A为原点，以甲行进方向为正方向建立直线坐标系，设乙出发后t
h，甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍，则甲的坐标为8t＋10，乙的坐标为－6t.
由两点间的距离公式得
8t＋10＝2×6t，得t＝.
d(甲，乙)＝|8t＋10＋6t|＝10＋14t＝45.
所以甲、乙两人相距45
km.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2).
其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )
A．①
B．②
C．③
D．④
[解析] ∵AB＝(2＋b)－b＝2，
∴点B一定在点A的右侧.
2．已知数轴上A、B两点的坐标分别为、－，则d(A，B)为( C )
A．0
B．－
C．
D．
[解析] d(A，B)＝＝.
3．已知数轴上两点A、B，若点B的坐标为3，且A、B两点间的距离d(A，B)＝5，则点A的坐标为( D )
A．8
B．－2
C．－8
D．8或－2
[解析] 记点A(x1)、B(x2)，则x2＝3，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.
4．已知数轴上两点A(a)、B(b)，则在数轴上满足条件|PA|＝|PB|的点P坐标为( C )
A．
B．
C．
D．b－a
[解析] 设点P的坐标为x.
∵|PA|＝|PB|，∴|a－x|＝|b－x|，
即a－x＝±(b－x)，解得x＝，故选C．
二、填空题
5．设M、N、P、Q是数轴上不同的四点，给出以下关系：
①MN＋NP＋PQ＋QM＝0；
②MN＋PQ－MQ－PN＝0；
③PQ－PN＋MN－MQ＝0；
④QM＝MN＋NP＋PQ.
其中正确的序号是__①②③__.
[解析] 由向量的运算法则知，MN＋PQ－MQ－PN＝MN＋PQ＋QM＋NP＝MP＋PM＝0，故①②正确；PQ－PN＋MN－MQ＝PQ＋NP＋MN＋QM＝NQ＋QN＝0，故③正确；MN＋NP＋PQ＝MQ，与QM不相等，故④错.
6．若数轴上有四点A、B、C、D，且A(－7)、B(x)、C(0)、D(9)，满足＝，则x＝__2__.
[解析] ∵＝表示向量与向量方向相同，且长度相等，∴AB＝CD，∴x＋7＝9－0，∴x＝2.
三、解答题
7．根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x).
(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.
[解析] (1)∵|x－1|≤2，
∴－1≤x≤3，
∴点P(x)表示坐标为－1和3的两点A、B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下：
(2)∵|x＋2|>1，∴x<－3或x>－1，∴点P(x)表示以坐标为－3和－1的两点C、D为端点的两条射线CE、DF，画图如下：
C级 能力拔高
1．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝，延长DC到点E，使＝，求点E的坐标.
[解析] 设C(x)，E(x′)，则＝＝，
∴x＝－5.
即C点坐标为－5.
∵E在DC的延长线上，
∴＝＝＝，
∴x′＝－，即E点坐标为－.
2．在数轴上求一点的坐标，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)距离的2倍.
[解析] 设所求点为P(x)，由题意，得
d(A，P)＝2d(B，P)，即|x＋9|＝2|x＋3|，
解得x＝3或x＝－5.第一章 1.1 1.1.7
A级 基础巩固
一、选择题
1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( B )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，面积是×1×1＝，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，∴三棱锥的体积V＝××2＝.
2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为( D )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是h，由题设，2R·h＝×2r·h，
∴r＝2R，V柱＝πR2h，V锥＝πr2h＝πR2h，
∴＝，选D．
3．球的体积是，则此球的表面积是( B )
A．12π
B．16π
C．
D．
[解析] 设球的半径为R，则V＝πR3＝，∴R＝2，
∴此球的表面积S＝4πR2＝16π.
4．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( C )
A．9 π
B．9
C．3 π
D．3
[解析] 设圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr＝6π，∴r＝3.
又母线长l＝8，∴圆锥的高h＝＝，
∴它的体积V＝πr2h＝π×9×＝3π.
5．(2016·山东文，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.
则该几何体的体积为( C )
A．＋π
B．＋π
C．＋π
D．1＋π
[解析] 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为，所以该几何体的体积为×1×1×1＋×π()3＝＋π.
6．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( B )
A．π
B．4π
C．4π
D．6π
[解析] 设球O的半径为R，则R＝＝，
故V球＝πR3＝4π.
二、填空题
7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：
cm)，可得这个几何体的体积是__
cm3__.
[解析] 由主视图、左视图、俯视图可知此几何体为一个四棱锥，底面是边长为20的正方形，高为20，∴该几何体的体积为×20×20×20＝(cm3).
8．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为__πR3__.
[解析] 设圆锥的底面半径为r，由题意，
得πR＝2πr，∴r＝R.
∴圆锥的高h＝＝R，
故圆锥的体积V＝πr2h＝π·R2·R
＝πR3.
三、解答题
9．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积.
[解析] 如图所示，
VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1
＝·a·＋·a·＝.
10．如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长、宽分别是4
cm、2
cm，俯视图是一个边长为4
cm的正方形.
(1)求该几何体的全面积；
(2)求该几何体的外接球的体积.
[解析] 该几何体是一个底面边长为4
cm的正方形、高为2
cm的长方体，如图所示.
(1)该几何体的全面积S＝2×4×4＋4×2×4＝64(cm2).
(2)设该几何体外接球的半径为R
cm，则2R＝＝6，
∴R＝3
cm.
故该几何体外接球的体积V＝πR3＝36π
cm3.
B级 素养提升
一、选择题
1．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( C )
A．S球>S正方体
B．S球＝S正方体
C．S球D．不能确定
[解析] 设球的半径为R，正方体的棱长为a，则＝a3，∴a＝R，S正方体＝6a2＝6×R2＝R2，
S球＝4πR2＝R2＝R2，
∴S球2．(2017·浙江理，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( A )
A．＋1
B．＋3
C．＋1
D．＋3
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积
V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
故选A．
3．(2017·全国卷Ⅱ文，6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
[解析] 方法1：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.
由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.
故选B．
方法2：(估值法)由题意知，V圆柱又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π观察选项可知只有63π符合.
故选B．
二、填空题
4．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于__2π__.
[解析] 设圆柱的底面半径为r，则其母线长为2r，∴2π×r×2r＝4π，∴r＝1.
故圆柱的体积V＝πr2h＝π×1×2＝2π.
5．(2016·北京文，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为____.
[解析] 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＝，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝.
C级 能力拔高
1．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋轴一周，求所得旋转体的表面积及体积.
[解析] 如图，过点D作DE⊥l，由已知可得DE＝a，CE＝a.
所以旋转体是以BC为底面半径的圆柱，挖去以C为顶点，以DE为底面半径的圆锥的组合体，所得几何体的体积V＝π×(2a)2×a－π×a2×a
＝4πa3－πa3
＝πa3.
所得几何体的表面积S＝S圆柱表－S圆锥底＋S圆锥侧＝2π×2a×a＋2π×(2a)2－π×a2＋π×a×2a
＝(4＋9)πa2.
2．如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.
[解析] 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知得，
解得r＝，l＝4，h＝＝，
∴S＝πrl＋πr2＝10π，
V＝πr2h＝.第二章 2.4 2.4.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于( A )
A．10
B．
C．
D．38
[解析] A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)
∴|AB|＝＝10.
2．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则( D )
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
[解析] ∵|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形.
3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( C )
A．(－3,0,0)
B．(0，－3,0)
C．(0,0，－3)
D．(0,0,3)
[解析] 设M(0,0，c)，由|AM|＝|BM|得：
＝，
∴c＝－3，选C．
4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( A )
A．14
B．3
C．5
D．42
[解析] d(A，B)＝
＝14.
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( C )
A．－3或4
B．3或－4
C．6或－2
D．6或2
[解析] |AB|＝＝2，
∴(x－2)2＝16，∴x－2＝±4，
∴x＝6或－2.
6．在空间直角坐标系中，已知点P(0,0，)和点C(－1,2,0)，则在y轴上到点P和点C的距离相等的点M的坐标是( C )
A．(0,1,0)
B．(0，－，0)
C．(0，，0)
D．(0,2,0)
[解析] 设M(0，y,0)，由题意得y2＋()2＝12＋(y－2)2，
∴y＝，故选C．
二、填空题
7．空间直角坐标系中点A(－2,1,3)、B(－1,2,1)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为__－4__.
[解析] 设点P的坐标为(x,0,0)，由题意得
＝，
解得x＝－4.
8．在空间中，已知点A(－2，3,4)在y轴上有一点B使得|AB|＝7，则点B的坐标为__(0,3＋，0)或(0,3－，0)__.
[解析] 设点B的坐标为(0，b,0)，
由题意得＝7，解得b＝3±.
∴点B的坐标为(0,3＋，0)或(0,3－，0).
三、解答题
9．已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.
求长方体各顶点的坐标.
[解析] 由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
∴A1(3,2,1)、B1(－3,2,1)、C1(－3，－2,1)、D1(3，－2,1)，A(3,2，－1)、B(－3,2，－1)、C(－3，－2，－1)、D(3，－2，－1).
10．直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
求|MN|的长.
[解析] 如图所示，以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz，
∵CA＝CB＝1，AA1＝2，
∴N(1,0,1)、M(，，2)，
由两点间的距离公式得
|MN|＝＝.
故|MN|的长为.
B级 素养提升
一、选择题
1．在空间直角坐标系中一点P(1,3,4)到x轴的距离是( A )
A．5
B．
C．
D．
[解析] 点P在x轴上的射影Q的坐标为(1,0,0)，
∴点P到x轴的距离为
|PQ|＝＝5.
2．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝
( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵AB的中点M，C(0,1,0)，
∴|CM|＝＝.
3．(2016·大同高一检测)空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点有( A )
A．2个
B．1个
C．0个
D．无数个
[解析] 设x轴上满足条件的点为B(x,0,0)，则由|PB|＝，
得＝.
解之得x＝－1或9.
故选A．
二、填空题
4．若点A(－1,2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为__2__.
[解析] ∵A(－1,2，－3)关于y轴的对称点B(1,2,3)，
∴|AB|＝＝2.
5．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于____.
[解析] ∵|AM|＝
＝，
∴对角线|AC1|＝2，
设棱长为x，则3x2＝(2)2，∴x＝.
三、解答题
6．已知点P1、P2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x、y、z轴上取点A、B、C，使它们与P1、P2两点距离相等，求A、B、C的坐标.
[解析] 设A(x,0,0)、B(0，y,0)、C(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|得，＝
∴x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，由|CP1|＝|CP2|得z＝－，∴A(－3,0,0)、B(0，－1,0)、C(0,0，－).
C级 能力拔高
1．(1)在z轴上求与点A(－4,1,7)和B(3,5，－2)等距离的点的坐标；
(2)在yOz平面上，求与点A(3,1,2)、B(4，－2，－2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标.
[解析] (1)设所求点P为(0,0，c)由题设|PA|＝|PB|，
∴＝解之得
c＝，∴P(0,0，).
(2)设所求点为P(0，b，c)∵|PA|＝|PB|＝|PC|，
∴
∴∴∴P(0,1，－2).
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离.
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：
|A1C1|＝2，
∵|MC1|＝2|A1M|，∴|A1M|＝，∴M(，，4).
又C(2,2,0)、D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，
∴|MN|＝＝.第二章 2.3 2.3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.
2．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为( D )
A．4
B．4－1
C．2－2
D．2
[解析] ∵|CC′|＝5＜R－r＝7，
∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( C )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
[解析] 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确.
4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( B )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
[解析] ⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，
⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，
|C1C2|＝，0<<4，∴两圆相交.
5．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( B )
A．(1，－2)
B．(3，－2)
C．(2，－1)
D．(＋2，－3)
[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B．
6．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为( B )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝
[解析] 直接法，设P(x，y)，由kPA＝，kPB＝及题设条件·＝－1(x≠±1)知选B．
二、填空题
7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.
[解析] 圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O2(0，－3)，半径为r2＝6，
∴|O1O2|＝＝3，
∴r2－r1<|O1O2|故两圆相交.
8．两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦所在直线的方程是__x＝__.
[解析] 两圆的方程x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x＝.
三、解答题
9．判断下列两圆的位置关系.
(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；
(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0；
(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；
(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.
[解析] (1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝，
d＝|C1C2|＝＝.
∵r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，
∴r1－r2(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－)2＋y2＝9，
∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，
圆C2的圆心坐标为(，0)，r2＝3，
d＝|C1C2|＝＝2.
∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切.
(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，
C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.
∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，
d＝|C1C2|＝＝10.
∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切.
(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，
∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，
d＝|C1C2|＝＝.
∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，
∴r2－r110．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切.
求：(1)圆C2的标准方程；
(2)m的值.
[解析] (1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，
C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.
因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，
即＝3＋2，
所以a＝8或－6(舍去).
所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.
(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，
所以圆心C2到直线l的距离d＝r，
即＝2，
所以m＝1或.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是( A )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15
D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25
[解析] 设动圆圆心为P(x，y)，则＝4＋1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.
故选A．
2．过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3,0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是( A )
A．x＋y－3＝0
B．x－y－3＝0
C．x＋4y－3＝0
D．x－4y－3＝0
[解析] 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心C(1，－2)，当CM⊥l时，l截圆所得的弦最短，kCM＝＝1，∴kl＝－1，故所求直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
3．(2016·山东文)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
[解析] 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.
圆M、圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交.
二、填空题
4．⊙O：x2＋y2＝1，⊙C：(x－4)2＋y2＝4，动圆P与⊙O和⊙C都外切，动圆圆心P的轨迹方程为__60x2－4y2－240x＋225＝0__.
[解析] ⊙P与⊙O和⊙C都外切，设⊙P的圆心P(x，y)，半径为R，
则|PO|＝＝R＋1，
|PC|＝＝R＋2，
∴－＝1，
移项、平方化简得：60x2－4y2－240x＋225＝0.
5．已知集合A＝{(x，y)|y＝}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠ ，则m的取值范围是__－7≤m≤7__.
[解析] 由A∩B≠ ，即直线y＝x＋m与半圆y＝有交点，如图所示.
如图可知，－7≤m≤7.
三、解答题
6．求经过两圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点，且圆心在直线2x－y＝0上的圆的方程.
[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A(1，－2)，B(3,0)，设圆心C(a，b)，则由|CA|＝|CB|及C在直线2x－y＝0上，求出a＝，b＝.
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
解法二：同上求得A(1，－2)、B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y＝－x＋1上，又在y＝2x上，得圆心坐标.
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
C级 能力拔高
1．求⊙C1：x2＋y2－2y＝0与⊙C2：x2＋y2－2x－6＝0的公切线方程.
[解析] ⊙C1：x2＋(y－1)2＝12，圆心C1(0,1)，半径r＝1，
⊙C2：(x－)2＋y2＝32，圆心C2(，0)，半径R＝3，
圆心距|C1C2|＝2，∴|C1C2|＝R－r，
故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，
又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C1C2上，
∵C1C2：x＋y－＝0，∴切线斜率k＝.
设切线方程为y＝x＋b，由圆心C1(0,1)到切线距离d＝1，得＝1，∴b＝3或－1.
由C2(，0)到切线距离d′＝3，得＝3，
∴b＝3或－9，∴b＝3，
∴公切线方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.
2．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程.
[解析] 解法一：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.
①
∵圆A的方程x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.
②
∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.
③
又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得：r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，所以t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
解法二：如图，设圆A、圆B的圆心分别为A、B.
则A(－1，－1)，B在直线l：y＝2x上，连接AB，过A作MN⊥AB，且MN交圆于M、N两点.
∴MN为圆A的直径.
∵圆B平分圆A，∴只需圆B经过M、N两点.
∵圆A的半径是2，设圆B的半径为r，
∴r＝|MB|＝＝.
欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值.
∵A是定点，B是l上的动点，
∴当AB⊥l，即MN∥l时，|AB|最小.
于是，可求得B，rmin＝，
故圆B的方程是2＋2＝.第二章 2.1 2.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( B )
A．(1,5)
B．(4,9)
C．(5,3)
D．(9,4)
[解析] 设点Q的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得，∴.
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，则|AB|等于( C )
A．5
B．4
C．2
D．2
[解析] 设A(a,0)、B(0，b).
由中点坐标公式，得，∴.
即A(4,0)、B(0，－2)，
∴|AB|＝＝2，故选C．
3．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是( B )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[解析] ∵|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
∴△ABC为等腰三角形.
4．已知△ABC的两个顶点A(3,7)、B(－2,5)，若AC、BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是( D )
A．(－3，－7)
B．(－3，－7)或(2，－5)
C．(3，－5)
D．(2，－7)或(－3，－5)
[解析] 设C(x，y)，显然AC、BC的中点不同在一条坐标轴上.
若AC的中点在x轴上，BC中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC中点在y轴上，BC中点在x轴上，则有3＋x＝0,5＋y＝0，
即C(－3，－5).
5．已知两点A(a，b)、B(c，d)，且－＝0，则( D )
A．原点一定是线段AB的中点
B．A、B一定都与原点重合
C．原点一定在线段AB上但不是中点
D．以上结论都不正确
[解析] ∵A(a，b)、B(c，d)，
且－＝0，
∴点A与点B到原点的距离相等.
6．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)、B(3，y)，则x＋y等于( D )
A．5
B．－1
C．1
D．－5
[解析] 由题意得，∴.
∴x＋y＝－5.
二、填空题
7．已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(－2,3)、C(0，－1)，则BC边上中线的长为__3__.
[解析] 由中点公式得BC边的中点D(－1,1)，再由两点的距离公式得d(A，D)＝＝3，
即BC边上中线的长为3.
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为__(2,10)或(－10,10)__.
[解析] 设M(x，y)，
则|y|＝＝10.
解得或.
三、解答题
9．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3).
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)求△ABC的外心的坐标.
[解析] (1)|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，
|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，
|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，
因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，
所以△ABC为直角三角形，∠C＝90°.
(2)因为△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为(，)，即(3，－3).
10．已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)、B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.
[解析] 设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，
即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，
解得x＝－5，
所以对角线交点为P(－5,0).
所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，
yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；
xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，
yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).
B级 素养提升
一、选择题
1．设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于( C )
A．0
B．6
C．0或6
D．0或－6
[解析] 由|PA|＝5，得(x－3)2＋(0－4)2＝25，解得x＝6或x＝0.
2．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)、(－b，a)、(0,0)，则它的第四个顶点是( B )
A．(2a，b)
B．(a－b，a＋b)
C．(a＋b，b－a)
D．(a－b，b－a)
[解析] 令A(a，b)、B(－b，a)、C(0,0)，因为三条线段AB、AC、BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝，得AB为对角线.
设D(x0，y0)，由中点坐标公式，得，解得.
3．已知点P1(3，－5)、P2(－1，－2)，在直线P1P2上有一点P，且|P1P|＝15，则P点坐标为( C )
A．(－9，－4)
B．(－14,15)
C．(－9,4)或(15，－14)
D．(－9,4)或(－14,15)
[解析] 由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点(－9,4)，只需验证另外一点P是否适合|P1P|＝15.
若P(15，－14)，
则|P1P|＝
＝＝15，故选C．
4．已知A(－3,8)、B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( B )
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(，0)
D．(0，)
[解析] 如图，
A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得点M坐标为(1,0).
二、填空题
5．已知△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为P(3，－2)、Q(1,6)、R(－4,2)，则顶点A的坐标为__(－2，－6)__.
[解析] 设A(x0，y0)，则由P是AB的中点得B(6－x0，－4－y0).
由Q是BC的中点得C(x0－4,16＋y0).
∵R是CA的中点，∴－4＝，2＝，∵x0＝－2，y0＝－6，∴A(－2，－6).
6．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为__2__.
[解析] |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2.
在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝＝2.
三、解答题
7．求证：A(2，－5)、B(6,1)、C(5，－)不能成为三角形的三个顶点.
[解析] 由|AB|＝2，|AC|＝，|BC|＝满足|BC|＋|AC|＝|AB|，故A、B、C三点在同一条直线上，构不成三角形.
C级 能力拔高
1．△ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).
[解析] 以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，
则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，
|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).
2．已知三角形ABC的顶点A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6).
判断此三角形形状，并求其面积.
[解析] |AB|＝＝3，
|BC|＝＝3，
|AC|＝＝6，
∴|AB|＝|BC|且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴S△ABC＝|AB|·|BC|＝×3×3＝45.第二章 2.3 2.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋y＋＝0的圆心坐标和半径分别是( B )
A．(－1，)；1
B．(1，－)；1
C．(1，－)；
D．(－1，)；
[解析] 圆x2＋y2－2x＋y＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋)2＝1，圆心坐标为(1，－)，半径是1，故选B．
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( D )
A．a<－2或a>
B．－C．－2D．－2[解析] 由题知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即(3a－2)(a＋2)<0，因此－23．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( C )
A．π
B．2π
C．2π
D．4π
[解析] 圆的方程x2＋y2－2x＋6y＋8＝0
可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，故周长l＝2πr＝2π.
4．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( A )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
[解析] 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，
∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0
表示点(1，－2).
5．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是( D )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
[解析] 可知直线mx＋2ny－4＝0过圆心(2,1)，有2m＋2n－4＝0，即n＝2－m，则mn＝m·(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1.
6．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于( B )
A．10
B．－10
C．20
D．－20
[解析] 由题意知，直线2x＋y－1＝0过圆C的圆心(－2，－)，∴2×(－2)－－1＝0，∴a＝－10.
二、填空题
7．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是__在圆C外部__.
[解析] 将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外部.
8．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝__4__.
[解析] 由题意，知D＝－4，E＝8，
r＝＝4，∴F＝4.
三、解答题
9．已知圆D与圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线x－y＋1＝0对称，求圆D的一般方程.
[解析] 圆C的圆心坐标为(，－1)，半径r＝，C(，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点D(－2，)，故所求圆D的方程为(x＋2)2＋(y－)2＝，
即圆D的一般方程为x2＋y2＋4x－3y＋5＝0.
10．一动点到A(－4,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程.
[解析] 设动点M的坐标为(x，y)，
则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0.
∴所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是( A )
A．4
B．5
C．3－1
D．2
[解析] 将方程C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方，得(x－2)2＋(y－3)2＝1，即圆心为C(2,3)，半径为1.
由光线反射的性质可知：点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)到圆上的最短距离就是所求的最短路程，即|A′C|－r＝－1＝5－1＝4，故选A．
2．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为( D )
A．9
B．14
C．14－6
D．14＋6
[解析] 已知方程表示圆心为(－2,1)，r＝3的圆.
令d＝，则d表示(x，y)与(0,0)的距离，
∴dmax＝＋r＝＋3，
∴(x2＋y2)max＝(＋3)2＝14＋6.
3．如果直线l将圆x2＋y2－2x－6y＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是( A )
A．[0,3]
B．[0,1]
C．
D．
[解析] l过圆心C(1,3)，且不过第四象限.
由数形结合法易知：0≤k≤3.
4．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( A )
A．(0，－1)
B．(1，－1)
C．(－1,0)
D．(－1,1)
[解析] 圆的半径r＝，要使圆的面积最大，即圆的半径r取最大值，故当k＝0时，r取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1).
二、填空题
5．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c等于__－3__.
[解析] 圆与y轴的交点A、B的坐标为(0，－1±)，点P坐标为(2，－1)，由∠APB＝90°，得kPA·kPB＝－1，∴c＝－3.
6．若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的__外部__.
[解析] ∵x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，∴点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的外部.
三、解答题
7．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程.
[解析] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
由已知，|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36，③
①、②、③联立组成方程组，解得
， 或.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
C级 能力拔高
1．(2016·唐山调研)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
[解析] (1)设点P的坐标为(x，y)，则
＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则
|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝＝4，则|QM|的最小值为＝4.
2．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
(2)当实数t变化时，求其中面积最大的圆的方程.
[解析] (1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9.
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－(2)∵r＝＝，
∴当t＝∈时rmax＝，
此时圆面积最大，所对应的圆的方程是
2＋2＝.第一章 1.1 1.1.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列几何体中是棱柱的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①③⑤为棱柱，故选C．
2．下面没有体对角线的一种几何体是( A )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．五棱柱
D．六棱柱
[解析] 由几何体对角线的概念可知，选A．
3．棱柱的侧面都是( B )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．矩形
[解析] 根据棱柱的概念知，选项B正确.
4．设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙：直四棱柱是直平行六面体.
以上命题中真命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 甲命题符合平行六面体的定义；乙命题是错误的，因为底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直；丙命题也是错的，因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选B．
二、填空题
5．一个棱柱至少有__5__个面，有__6__个顶点，有__9__条棱.
[解析] 最简单的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱.
6．设有四个命题：
(1)底面是矩形的平行六面体是长方体；
(2)棱长相等的直四棱柱是正方体；
(3)有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
(4)对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
以上命题中，真命题的是__(4)__.
(填序号)
[解析] (1)不正确，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；(2)不正确，当底面是菱形时就不是正方体；(3)不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；(4)正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以证明此时的平行六面体是直平行六面体.
三、解答题
7．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由.
[解析] (1)这个长方体是四棱柱，因为上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABCD是四边形，所以是四棱柱.
(2)平面BCNM把这个长方体分成的两部分还是棱柱.
左边部分几何体的两个面ABMA1和DCND1平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABMA1是四边形，所以是四棱柱，即左边的部分几何体为四棱柱ABMA1－DCND1；同理右边部分的几何体为棱柱BMB1－CNC1.
8．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N.
求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)求PC和NC的长.
[解析] (1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.
(2)如图，沿棱BB1剪开，使面BB1C1C与面AA1C1C在同一平面上，点P到点P1的位置，连接MP1交CC1于点N，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线，
设PC＝x，则P1C＝x.
在Rt△MAP1中，由勾股定理，得(3＋x)2＋22＝29，
解得x＝2，∴PC＝P1C＝2，
∴＝＝，∴NC＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] 如图所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，故四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形.
2．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.
现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是( B )
A．南
B．北
C．西
D．下
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上，可知“△”的方位为北，故选B．
二、填空题
3．若长方体的长、宽、高分别为5
cm、4
cm、3
cm.
把这样的两个长方体全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为__5
cm__.
[解析] 有以下三种重叠方式：
在(1)情形下，对角线长l1＝＝；
在(2)情形下，对角线长l2＝＝；
在(3)情形下，对角线长l3＝＝，
∴最长为l2＝5
cm.
4．一棱柱有10个顶点，侧棱长相等，且所有侧棱长的和为100，则其侧棱长为__20__.
[解析] 由题意知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为＝20.
C级 能力拔高
1．长方体的三条棱长之比为1∶2∶3，全面积为88
cm2，求它的对角线长.
[解析] 设长方体的三条棱长分别为x
cm、2x
cm、3x
cm，
由题意，得2(x·2x＋x·3x＋2x·3x)＝88，
解得x＝2.
即长方体的三条棱长分别为2
cm,4
cm,6
cm.
故它的对角线长为＝2cm.
2．底面是菱形的直平行六面体的高为12
cm，两条体对角线的长分别是15
cm和20
cm，求底面边长.
[解析] 如图所示，
由已知得直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，高AA1＝12
cm，对角线A1C＝20
cm，对角线BD1＝15
cm，在△ACA1中，
AC＝
＝＝16
cm，
在△BDD1中，BD
＝＝＝9
cm，
又∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且AC、BD互相平分，
∴AO＝8
cm，BO＝3
cm，
∴AB＝
cm.
故底面边长为
cm.
3．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为多少？
[解析] 此题相当于把两个正三棱柱都沿AA1剪开拼接后得到的线段AA1的长，即最短路线长为10.第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分.
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( B )
A．3
B．－2
C．2
D．不存在
[解析] 由斜率公式得，直线AB的斜率k＝＝－2.
2．已知点A(1,2,2)、B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A、B的距离相等，则点C的坐标可以为( C )
A．(0,1，－1)
B．(0，－1,6)
C．(0,1，－6)
D．(0,1,6)
[解析] 由题意设点C的坐标为(0，y，z)，
∴＝，
即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.
经检验知，只有选项C满足.
3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( A )
A．－
B．－
C．
D．2
[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y＝2x＋3.
令y＝0，则x＝－，
∴直线在x轴上的截距为－，故选A．
4．(2016·沧州高一检测)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( D )
A．a<－2或a>
B．－C．a>1
D．a<1
[解析] 由题意知，a2＋(2a)2－4＝－4a＋4>0.
∴a<1.
故选D．
5．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
[解析] 当k＝3时，两直线显然平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－＝.
解得k＝5，故选C．
6．直线3x－2y＋m＝0与直线(m2－1)x＋3y＋2－3m＝0的位置关系是( C )
A．平行
B．垂直
C．相交
D．与m的取值有关
[解析] 由3×3－(－2)×(m2－1)＝0，即2m2＋7＝0无解.
故两直线相交.
7．若点(2,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝16的内部，则实数a的取值范围是( A )
A．－2B．0C．a<－2或a>2
D．a＝±2
[解析] 由题意，得(2＋a)2＋(2－a)2<16，
∴－28．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线l的方程为3x－4y－12＝0，在圆C上到直线l的距离为1的点有几个( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析] 圆心C(2,1)，半径r＝3，
圆心C到直线3x－4y－12＝0的距离d＝＝2，
即r－d＝1.
∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个.
9．(2017·安徽省巢湖四中、庐江二中第二次联考)直线2mx－(m2＋1)y－m＝0倾斜角的取值范围是( C )
A．[0，π)
B．[0，]
C．[0，]∪[，π)
D．[0，]∪(，π)
[解析] ∵直线2mx－(m2＋1)y－m＝0的斜率k＝，
①m≥0时m2＋1≥2m，∴0≤k≤1,
②m＜0时，－1≤k＜0，
∴直线2mx－(m2＋1)y－m＝0倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π)，故选C．
10．设m>0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( C )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
[解析] ∵m>0，∴圆心(0,0)到直线(x＋y)＋1＋m＝0的距离d＝＝，圆x2＋y2＝m的半径r＝，由－＝＝≥0，得d≥r，故选C．
11．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
[解析] x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线.
12．一辆卡车宽1.
6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.
6
m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )
A．1.
4
m
B．3.
5
m
C．3.
6
m
D．2.
0
m
[解析] 圆半径OA＝3.
6
m，卡车宽1.
6
m，∴AB＝0.
8
m，
∴弦心距OB＝≈3.
5
m.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于__－2或8__.
[解析] 由题意，得＝4，
∴k＝－2或8.
14．若直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为__－1或3__.
[解析] 圆心为(1,0)，半径r＝1，由题意，得＝1，∴a＝－1或3.
15．已知直线l垂直于直线3x＋4y－2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l的方程为__4x－3y＋5＝0或4x－3y－5＝0__.
[解析] 由题意可设直线l的方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b.
∴三角形的周长为|b|＋|b|＋|b|＝5，
解得b＝±5，故所求直线方程为4x－3y＋5＝0或4x－3y－5＝0.
16．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2__.
[解析] 直mx－y－2m－1＝0可化为
m(x－2)＋(－y－1)＝0，
由，得.
∴直线过定点P(2，－1).
以点C(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0相切的所有圆中，最大的半径为|PC|＝＝，
故圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)正方形ABCD的对角线AC在直线x＋2y－1＝0上，点A、B的坐标分别为A(－5,3)、B(m,0)(m>－5)，求B、C、D点的坐标.
[解析] 如图，设正方形ABCD两顶点C、D坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2).
∵直线BD⊥AC，kAC＝－，∴kBD＝2，直线BD方程为y＝2(x－m)，与x＋2y－1＝0联立
解得，
点E的坐标为，
∵|AE|＝|BE|，
∴
＝，
平方整理得m2＋18m＋56＝0，
∴m＝－4或m＝－14(舍∵m>－5)，∴B(－4,0).
E点坐标为(－3,2)，
∴，∴.
即点C(－1,1)，
又∵，∴，
即点D(－2,4).
∴点B(－4,0)、点C(－1,1)、点D(－2,4).
18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程.
[解析] 设直线方程为y－2＝k(x＋2)，令x＝0得y＝2k＋2，令y＝0得x＝－2－，
由题设条件·＝1，
∴2(k＋1)2＝|k|，
∴或，
∴k＝－2或－，
∴所求直线方程为：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
19．(本题满分12分)已知直线y＝－2x＋m，圆x2＋y2＋2y＝0.
(1)m为何值时，直线与圆相交？
(2)m为何值时，直线与圆相切？
(3)m为何值时，直线与圆相离？
[解析] 由，得
5x2－4(m＋1)x＋m2＋2m＝0.
Δ＝16(m＋1)2－20(m2＋2m)＝－4[(m＋1)2－5]，
当Δ>0时，(m＋1)2－5<0，
∴－1－当Δ＝0时，m＝－1±，
当Δ<0时，m<－1－或m>－1＋.
故(1)当－1－(2)当m＝－1±时，直线与圆相切；
(3)当m<－1－或m>－1＋时，直线与圆相离.
20．(本题满分12分)(2016·天水市泰安二中高一检测)直线l经过两点(2,1)、(6,3).
(1)求直线l的方程；
(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程.
[解析] (1)直线l的斜率k＝＝，
∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，
即x－2y＝0.
(2)由题意可设圆心坐标为(2a，a)，
∵圆C与x轴相切于(2,0)点，
∴圆心在直线x＝2上，
∴a＝1.
∴圆心坐标为(2,1)，半径r＝1.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
21．(本题满分12分)已知圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(2)在(1)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
[解析] (1)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴m<5.
设M(x1，y1)、N(x2，y2).
由，得5y2－16y＋m＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，
∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，
∴16－8×＋8＋m＝0，
∴m＝.
(2)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.
又x1＋x2＝4－2y1＋4－2y2＝8－2(y1＋y2)＝，
∴以MN为直径的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
22．(本题满分12分)(2016·吉林实验中学上学期第三次模拟)已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交.
(1)求圆C的标准方程.
(2)求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长.
[解析] (1)设圆心C(a，b)，a＞0，b＞0，半径为r，则b＝3a，r＝3a.
圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，
(a)2＋()2＝(3a)2，即a2＝1.
∵a＞0，∴a＝1.
∵圆心C(1,3)，半径为3，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2)∵直线l：kx－y－2k＋5＝0即(x－2)k－(y－5)＝0，
∴直线l过定点M(2,5).
kCM＝2，弦长最短时，kl＝－.
直线l：x＋2y－12＝0，|CM|＝5，∴最短弦长为4.第二章 2.2 2.2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，则a等于( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
[解析] ∵点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，∴2×3＋a－7＝0，∴a＝1.
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足( B )
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
[解析] 如图，
由图可知，直线的斜率k＝－<0，∴ab>0，又直线在y轴上的截距为－>0，∴bc<0，故选B．
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件是( D )
A．A≠0
B．B≠0
C．A·B≠0
D．A2＋B2≠0
[解析] 若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B不同时为0，即A2＋B2≠0.
4．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D )
A．ab
B．|ab|
C．
D．
[解析] ∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，
令x＝0，得y＝，
∴三角形的面积S＝··＝.
5．方程y＝k(x＋4)表示( C )
A．过点(－4,0)的一切直线
B．过点(4,0)的一切直线
C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线
[解析] 方程y＝k(x＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C．
6．经过点A(2,1)，在x轴上截距为－2的直线方程是( B )
A．x＝－2
B．x－4y＋2＝0
C．4x＋y＋2＝0
D．x－4y－2＝0
[解析] 将点A(2,1)及B(－2,0)代入检验知选B；
也可设直线方程为y－1＝k(x－2)，令y＝0则x＝－2，
∴k＝；
或设直线方程为x＝my－2，将A(2,1)代入得m＝4.
二、填空题
7．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是__3x＋y－6＝0__.
[解析] 由题意可设所求直线方程为＋＝1，
又∵直线过点(1,3)，
∴＋＝1，∴b＝6，故所求直线方程为＋＝1，
即3x＋y－6＝0.
8．若方程mx＋(m2－m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m的取值范围是__m≠0__.
[解析] 若方程mx＋(m2－m)y＋1＝0表示直线，则m与m2－m不同时为0，故m≠0.
三、解答题
9．已知 ABCD的顶点A(1,2)、B(2，－1)、C(3，－3)，求直线BD的方程.
[解析] ∵平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的中点，∴M(2，－)，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
10．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
[解析] (1)解法一：将直线方程变形为y＝ax＋，
当a>0时，则不论a取何值，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，直线方程为y＝，显然过第一象限；
当a<0时，>0，因此直线过第一象限.
综上，直线5ax－5y－a＋3＝0一定过第一象限.
解法二：直线方程变形为y－＝a(x－)，它表示经过点A(，)，斜率为a的直线.
∵点A(，)在第一象限，∴直线l必过第一象限.
(2)由(1)知直线过定点A(，)，如图.
直线OA的斜率k＝＝3.
∵直线不经过第二象限，∴直线的斜率kl≥3，即a≥3.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为( D )
A．3
B．－3
C．
D．－
[解析] 由题意，得a－3m＋2a＝0，
∴a＝m，又∵m≠0，∴直线ax＋3my＋2a＝0
的斜率k＝－＝－.
2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( B )
[解析] 排除法：选项A中，直线l1的斜率大于0，在y轴上的截距小于0，∴a>0，b<0，故l2的斜率为－b>0，但图中l2的斜率小于0，故A不正确，同理排除C、D，故选B．
3．(2016·安庆期中)若点M(a，)和N(b，)都在直线l：x＋y＝1上，又点P(c，)和点Q(，b)，则( B )
A．点P和Q都不在直线l上
B．点P和Q都在直线l上
C．点P在直线l上且Q不在直线l上
D．点P不在直线l上且Q在直线l上
[解析] ∵点M(a，)和N(b，)都在直线l：x＋y＝1上，∴a＋＝1，b＋＝1，
∴a＋＝1，化为c＋＝1，
∴点P(c，)和点Q(，b)都在直线l上，故选B．
二、填空题
4．无论m为何值时，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过一定点P，则点P的坐标为__(3,1)__.
[解析] 直线l的方程可化为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由，得P(3,1).
5．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是____.
[解析] 直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，
∴3－2t≤0，∴t≥.
三、解答题
6．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，求实数m的值.
[解析] 直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，
由题意知m＋1≠0，(m－2)y＝1，由题意得＝1，
∴m＝3.
C级 能力拔高
1．已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为原点，且|OA|＝|OB|，求k的值.
[解析] (1)方程kx－y＋1－2k＝0可化为k(x－2)－y＋1＝0，
∴不论k为何值时，x－2＝0，－y＋1＝0，即直线过定点(2,1).
(2)令x＝0，y＝1－2k，令y＝0,
x＝(k∈R)，
由题意知，1－2k>0，>0，
1－2k＝，解得k＝－1.
2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)、B(2，－2)、C(0,1)，求这个三角形的三条边各自所在直线的方程.
[解析] ∵直线AB过点A(－3,0)、B(2，－2)，∴由直线的两点式方程得＝，整理得2x＋5y＋6＝0.
即直线AB的方程为2x＋5y＋6＝0.
∵直线AC过点A(－3,0)、C(0,1)，∴直线AC在x轴，y轴上的截距分别为－3、1，由直线的截距式方程得＋＝1，整理得x－3y＋3＝0.
即直线AC的方程为x－3y＋3＝0.
∵直线BC过点B(2，－2)、C(0,1)，∴由直线的两点式方程得＝，整理得3x＋2y－2＝0.
即直线BC的方程为3x＋2y－2＝0.第一章 1.2 1.2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是( D )
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b α，则a∥α
D．若a∥b，a∥α，则b α或b∥α
[解析] 若a∥α，b α，则a∥b或a与b是异面直线；若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面；若a∥b，b α，则a∥α或a α，故选D．
2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：
①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.
其中正确命题的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.
故正确的只有①③，选B．
3．下列命题中正确的个数是( B )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 当a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
a∥b，b∥α时a∥α或a α，故④错；
l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，∴⑤正确；
如图长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，
∴⑥正确.
4．(2017·全国卷Ⅰ文，6)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( A )
[解析] A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，
∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交.
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.
又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
C项，作如图③所示的辅助线，
则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.
又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.
又AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
故选A．
二、填空题
5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是__平行__.
[解析] ∵M∈AB，N∈AD，＝，
∴MN∥BD，
∵MN 平面BDC，BD 平面BCD，
∴MN∥平面BDC.
6．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是__l∥α或l α__.
[解析] l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；
l α时，直线l上所有点与α距离都是0；
l⊥α时，直线l上只能有两点到α距离相等；
l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等.
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：AM∥平面BDE.
[解析] 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
又∵OE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
B级 素养提升
一、选择题
1．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D )
A．4条
B．6条
C．8条
D．12条
[解析] 如图所示，设M、N、P、Q为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的直线都与面DBB1D1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC、CD、B1C1、C1D1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D．
2．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( B )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
[解析] 如图①中，连接BC交NP于点E，则E为NP的中点，连接ME，则ME∥AB，
又AB 平面MNP，
ME 平面MNP，
∴AB∥平面MNP.
如图④中，连接CD，则AB∥CD，NP∥CD，
∴AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面MNP，∴AB∥平面MNP.
3．(2017·延安市黄陵中学期中)下列四个结论中假命题的个数是( B )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线a，b是异面直线，则与a，b都相交的两条直线是异面直线.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 在①中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，由平行公理得平行于同一直线的两直线平行，故②正确；在③中，若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则由线面垂直的性质定理得a⊥c，故③正确；在④中，若直线a，b是异面直线，则与a，b都相交的两条直线可以相交，故④错误.
故选B．
二、填空题
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是__平行__，截面BA1C1和直线AC的位置关系是__平行__.
[解析] 如图所示，
平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1，
O为底面ABCD的中心，O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴OO1∥CC1.
又AC∥A1C1，A1C1 平面BA1C1，AC 面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.
三、解答题
5．在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF綊BC，证明：FO∥平面CDE.
[解析] 如图所示，取CD中点M，连接OM.
在矩形ABCD中，OM綊BC，又EF綊BC.
则EF綊OM，连接EM，
∴四边形EFOM为平行四边形，∴FO∥EM.
又∵FO 平面CDE，且EM 平面CDE，
∴FO∥平面CDE.
C级 能力拔高
1．如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.
求证：PQ∥平面CBE.
[解析] 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，
则PM∥QN.
∴＝，＝.
∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，EA＝BD，
∴PM＝QN.
故四边形PMNQ是平行四边形.
∴PQ∥MN.
∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
2．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形边AB、BC、CD、DA分别于E、F、G、H.
(1)求证：EFGH为平行四边形；
(2)若AC＝BD，EFGH能否为菱形？
(3)若AC＝BD＝a，求证：平行四边形EFGH周长为定值.
[解析] (1)∵AC∥平面EFGH，平面ACD∩平面EFGH＝GH，且AC 面ACD，
∴AC∥GH，同理可证，AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG.
∴EF∥GH，EH∥FG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
(2)设AC＝BD＝a，EH＝x，GH＝y，＝.
∵GH∥AC，
∴GH∶AC＝DH∶DA＝DH∶(DH＋HA).
即：y∶a＝n∶(m＋n)，∴y＝a.
同理可得：x＝EH＝a.
∴当AC＝BD时，若m＝n即AH＝HD时，则EH＝GH，四边形EFGH为菱形.
(3)设EH＝x，GH＝y，
H为AD上一点且AH∶HD＝m∶n.
∵EH∥BD，∴＝.
即＝，∴x＝a.
同理：y＝a，
∴周长＝2(x＋y)＝2a(定值).第二章 2.3 2.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足( C )
A．是圆心
B．在圆上
C．在圆内
D．在圆外
[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
故点P(3,2)在圆内.
2．(2017·辽宁省大连二十中上学期1月月考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
[解析] 由题意知圆半径r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
故选D．
3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( B )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
[解析] 圆心为(－1,1)，
半径r＝＝5，故选B．
4．(2016·漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( A )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
[解析] ∵点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，
∴(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，
∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．
5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( A )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
[解析] 圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A．
6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( A )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
[解析] ∵点P(2，－1)为弦AB的中点，又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)，
∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝＝－1，
∴直线AB的斜率k′＝1，
故直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
二、填空题
7．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__±2__.
[解析] ∵点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，
∴1＋3＝m2，∴m＝±2.
8．圆心既在直线x－y＝0上，又在直线x＋y－4＝0上，且经过原点的圆的方程是__(x－2)2＋(y－2)2＝8__.
[解析] 由，得.
∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
三、解答题
9．圆心在直线x－2y－7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)、B(－4,0)，求圆C的标准方程.
[解析] 弦AB的垂直平分线方程为x＝＝－3.
由题意知圆心C为直线x＝－3与x－2y－7＝0的交点，
由，得.
∴C(－3，－5).
圆C的半径r＝|AC|＝，
∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋5)2＝26.
10．已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6,3)、Q(8,1)是在圆上？圆外？圆内？
[解析] 由已知条件可得圆心坐标为C(4,6)，半径为r＝|P1C|＝＝，所以以P1P2为直径的圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
因为|MC|＝＝>＝r；
|QC|＝＝>＝r.
故点M、Q都在圆外.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2017·浙江省嘉兴市下学期期末)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是( A )
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
[解析] 由x＝0得y＝3，由y＝0得x＝－4，∴A(－4,0)，B(0,3)，
∴以AB为直径的圆的圆心是(－2，)，半径r＝＝，
以AB为直径的圆的方程是(x＋2)2＋(x－)2＝，
即x2＋y2＋4x－3y＝0.
故选A．
2．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是( B )
A．5－
B．5＋
C．
D．10
[解析] 圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25的圆心为A(－3,1)，半径r＝5，O为坐标原点，|OA|＝＝，如图所示，
显然圆上的点到原点O的最大距离为|OA|＋r＝＋5.
3．方程y＝表示的曲线是( D )
A．一条射线
B．一个圆
C．两条射线
D．半个圆
[解析] 由y＝，得y≥0，两边平方得x2＋y2＝9，
∴曲线为半圆.
4．(2017·广东省深圳市罗湖区翠园中学学期期末数学试题)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( B )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
[解析] 设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意有
，解得，对称圆的半径不变，故圆C2的半径也为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
二、填空题
5．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是__(x＋)2＋y2＝2__.
[解析] ∵圆过原点，圆心在x轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于，故圆心坐标为(－，0)，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝2.
6．(2017·江苏省徐州市期中)圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2,2)的圆的方程是__x2＋(y＋1)2＝13__.
[解析] 设圆心为A(0，b)，则＝，∴b＝－1，
∴圆的方程是x2＋(y＋1)2＝13.
故答案为：x2＋(y＋1)2＝13.
三、解答题
7．求满足下列条件的各圆的标准方程：
(1)圆心在直线5x－3y＝8上，且与两坐标轴相切；
(2)经过点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y轴上.
[解析] (1)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与坐标轴相切，∴a－b＝0或a＋b＝0，
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
由，得.
由，得.
∴圆心为(4,4)时，半径r＝4，
圆心为(1，－1)时，半径r＝1.
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16，或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
(2)∵圆心在y轴上，
∴设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
又∵点A(－1,4)、B(3,2)在圆上，
∴， 解得.
故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
C级 能力拔高
1．已知隧道的截面是半径为4
m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.
7
m，高为3
m的货车能不能驶入这个隧道？
[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为
x2＋y2＝16(y≥0).
将x＝2.
7代入，得y＝＝<3.
即在离中心线2.
7
m处，隧道的高度低于货车的高度.
因此，货车不能驶入这个隧道.
2．已知定点O(0,0)、A(3,0)，动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是，求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，则由|PO|＝|PA|，得λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2，整理得(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0.
∵λ>0，∴以当λ＝1时，则方程可化为：2x－3＝0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线.
当λ≠1时，则方程可化为(x＋)2＋y2＝()2，
即方程表示的曲线是以(－，0)为圆心，为半径的圆.第一章 1.2 1.2.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：
①α∥β，l β l⊥m ②α⊥β l∥m
③l∥m α⊥β
④l⊥m α∥β
其中正确的两个命题是( D )
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③
[解析] l⊥m，故①对；
l∥β或l β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；
α⊥β，∴③对；
m α或m∥α，无论哪种情况与m β结合都不能得出α∥β，∴选D．
2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( D )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[解析] 由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D．
3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( D )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
[解析] 如图(1)，β∥α，m β，n β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；
如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；
如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m α，m∥l，故C错.
故选D．
点评：D选项证明如下：
α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，
∵m⊥β，∴m∥n，∵n α，m α，∴m∥α.
4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( C )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
[解析] α⊥β，a α，b β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．
二、填空题
5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是__平行__.
[解析] 由题意知n⊥α，
而m⊥α，∴m∥n.
6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为__MN⊥AB__.
[解析] 如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.
∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB 平面ABCD，∴MN⊥AB.
三、解答题
7．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.
[解析] 如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点.
取BC的中点N，连接AN、DN，
则DN∥A1B.
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN 平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C.
又B1C 平面BB1C1C，
∴B1C⊥AN.
又AN 平面AND，DN 平面AND，AN∩DN＝N，
∴B1C⊥平面AND.
又C1A 平面AND，∴B1C⊥AC1.
8．(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.
四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
[解析] (1)证明：取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，
又O1C 平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD.
又A1E⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又A1E，EM 平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1 平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·浙江文，2)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.
若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则( C )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
[解析] 选项A，只有当m∥β或m β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m β时，m⊥n，故选C．
2．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.
给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心.
其中正确命题的个数为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 如图，PH⊥平面ABC于H，
PA⊥BC，PB⊥AC，AH⊥BC，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，同①，所以H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即H是△ABC的外心.
①②③④都正确，故选D．
二、填空题
3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.
底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其它合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.
(注：只要填写一个你认为正确的即可)
[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形为菱形.
∵AC⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.
若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线.
∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.
∴面PCD⊥面BDM.
4．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是__①④⑤__(写出所有符合要求的图形的序号).
[解析] ①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.
∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
三、解答题
5．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；
(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.
[解析] (1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.
易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.
故DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.
∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.
又∵BN 平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA.
又∵DM 平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
C级 能力拔高
1．(2017·北京文，18)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.
[解析] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD 平面ABC，
所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，
[HJ3.
7mm]所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
2．(2016·北京文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，
AB∥CD，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA⊥平面CEF？说明理由.
[解析] (1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC.
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：
如图，取PB中点F，连接EF、CE、CF.
又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.
又因为PA 平面CEF，所以PA∥平面CEF.第二章 2.2 2.2.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知两点A(－2，－4)、B(1,5)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．1或3
[解析] 由题意＝，
解得a＝－3或3.
2．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是( B )
A．
B．2
C．
D．2
[解析] |OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式，得d＝＝2.
3．已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( C )
A．
B．2－
C．－1
D．＋1
[解析] 由点到直线距离公式，得：＝1，
∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.
4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )
A．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
[解析] 所求直线与两点A(1,2)、O(0,0)连线垂直时与原点距离最大.
5．(2016·广元模拟)若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是5，则m＋n＝( A )
A．0
B．1
C．－1
D．2
[解析] ∵直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，
∴
∴n＝－2，m＝2(负值舍去)，
∴m＋n＝0，故选A．
6．(2017·安徽省六安一中期末)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为
( A )
A．3
B．2
C．3
D．4
[解析] ∵l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0是平行直线，
∴可判断过原点且与直线垂直时，M到原点的距离取最小值，
∵直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0，∴两直线的距离为＝，
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＋＝3，故选A．
二、填空题
7．(2016·重庆检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为____.
[解析] 直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
8．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为__3x－y＋10＝0__.
[解析] 设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3).
即3x－y＋10＝0.
三、解答题
9．已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程.
[解析] 正方形中心G(－1,0)到四边距离相等，均为＝ .
设与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋c1＝0，
由＝，∴c1＝－5(舍去)或c1＝7.
故与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋7＝0.
设另两边所在直线方程为3x－y＋c2＝0.
由＝，得c2＝9或c2＝－3.
∴另两边所在直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
综上可知另三边所在直线方程分别为：x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10．如图，在△ABC中，顶点A、B和内心I的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点C的坐标.
[解析] AB边所在直线方程为＝，
即x＋2y－11＝0.
内心I到直线AB的距离，
d＝＝.
可设AC边所在直线的方程为y－1＝k(x－9)，
即kx－y＋1－9k＝0.
又I到直线AC的距离也是，
∴＝，解得k＝±.
∵kAB＝－，∴k＝.
故AC所在直线的方程为y－1＝(x－9)，
即x－2y－7＝0.
同理，可求BC边所在直线方程为2x－y－2＝0.
解方程组，得.
故C点坐标为(－1，－4).
B级 素养提升
一、选择题
1．与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( A )
A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
B．3x－4y－11＝0
C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
D．3x－4y＋9＝0
[解析] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，
解得m＝9或－11.
2．两平行直线l1、l2分别过点P(－1,3)、Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．[0,5]
C．(0,5]
D．[0，]
[解析] 当这两条直线l1、l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时d＝＝5.
∴03．(2017·山东省泰安市期末)过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，则直线l的方程为( B )
A．5x－4y＋11＝0
B．4x－5y＋7＝0
C．2x－3y－4＝0
D．以上结论都不正确
[解析] 设AB的中点C(a，b)，
∵线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，∴a－4b－1＝0，a＝4b＋1
∵点C到两平行直线的距离相等，∴|2a－5b＋9|·＝|2a－5b－7|·，
把a＝4b＋1代入，得|2(4b＋1)－5b＋9|＝|2(4b＋1)－5b－7|,
∴|3b＋11|＝|3b－5|，
3b＋11＝－3b＋5，∴b＝－1，a＝4b＋1＝－3，
∵直线l过点(2,3)和点(－3，－1)，∴kl＝＝，
∴l的直线方程：4x－5y＋7＝0.
故选B．
4．(2016·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( D )
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x＋y－7＝0
[解析] 由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上，由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3,4).
直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0，故选D．
二、填空题
5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为__(1,2)或(2，－1)__.
[解析] 设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意得＝，
解得a＝1或2.
∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
三、解答题
6．△ABC的三个顶点是A(－1,4)、B(－2，－1)、C(2,3).
(1)求BC边的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
[解析] (1)设BC边的高所在直线为l，
由题意知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离d＝＝2，
又|BC|＝
＝4，
则S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8.
C级 能力拔高
1．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上.
求直线l的方程.
[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，
∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，
即＝，
解得t＝，∴M.
又l过点A(2,4)，
由两点式得＝，
即5x－y－6＝0，
故直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.
由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上.
解方程组，得.
∴M.
又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法三：由题意知直线l的斜率必存在，
设l：y－4＝k(x－2)，
由，得.
∴直线l与l1、l2的交点分别为，
.
∵M为中点，∴M.
又点M在直线x＋y－3＝0上，
∴＋－3＝0，解得k＝5.
故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.
2．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0
截得的线段的长为5，求直线l的方程.
[解析] 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得线段A′B′的长为|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意.
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解方程组，
得A，解方程组，
得B.
∵|AB|＝5，
∴2＋2＝25，
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线的方程为x＝3或y＝1.第二章 2.4 2.4.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c).
其中正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由定义可知，在x轴上的点(x，y，z)，有y＝z＝0，所以x轴上点的坐标可记为(a,0,0)，故①错误，②③④正确，故选C．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，－5)关于z轴对称的点的坐标是( B )
A．(－3，－4,5)
B．(－3，－4，－5)
C．(－3,4,5)
D．(3,4,5)
[解析] 在空间直角坐标中，点关于哪个轴对称时，哪个坐标不变，其余坐标变为原来的相反数，故选B．
3．点P(－1,2,0)位于( C )
A．y轴上
B．z轴上
C．xOy平面上
D．xOz平面上
[解析] 点P(－1,2,0)位于xOy平面上.
4．空间直角坐标系中，点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点N的坐标为( C )
A．(－2,5,8)
B．(2，－5,8)
C．(2,5，－8)
D．(－2，－5,8)
[解析] 点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点N的坐标为(2,5，－8).
5．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是( A )
A．(－1，－3，－5)
B．(－1，－3,5)
C．(－1,3，－5)
D．(1，－3，－5)
[解析] 点P(1,3,5)关于原点对称的点P′的坐标为(－1，－3，－5).
6．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴对称点的坐标是( B )
A．(－2,1,4)
B．(－2，－1，－4)
C．(－2,1,4)
D．(2,1，－4)
[解析] 点(－2,1,4)关于x轴对称点的坐标是(－2，－1，－4).
二、填空题
7．点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是__(－1,1，－2)__.
[解析] 点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是(－1,1，－2).
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是__(2,0,3)__.
[解析] M在xOz平面上的射影为M′(－2,0，－3)，∴M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3).
三、解答题
9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2,3)，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.
[解析] M(1，－2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，－2，－3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)，关于yOz面对称的点是(－1，－2,3)；M(1，－2,3)关于x轴对称的点是(1,2，－3)，关于y轴对称的点是(－1，－2，－3)，关于z轴对称的点是(－1,2,3)；M(1，－2,3)关于坐标原点的对称点是(－1,2，－3).
10．四面体P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E为AB的中点，建立适当的空间直角坐标系并写出P、A、B、C、E的坐标.
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0，0,1)，又因为点E是AB的中点，由中点坐标公式得点E的坐标是E(1,1,0).
B级 素养提升
一、选择题
1．点A(－3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 点A(－3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标为(，，)，即(，2,3).
2．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 点C的坐标为(1,1,0)，点C1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为.
3．已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9，－3,4)、B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( C )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．xOz或yOz平行
[解析] ∵线段AB的两个端点的横坐标相等，纵坐标和竖坐标不等，故线AB与坐标平面yOz平行.
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的主视图可为( A )
[解析] 结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图.
根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，
可以看出正视图是正方形，如图(2)所示.
故选A．
二、填空题
5．已知点A(－3,1,4)、B(5，－3，－6)，则点B关于点A的对称点C的坐标为__(－11,5,14)__.
[解析] 设点C的坐标为(x，y，z)，由中点坐标公式得
＝－3，＝1，＝4，所以x＝－11，y＝5，z＝14，所以点C的坐标为(－11,5,14).
6．设x为任意实数，相应的所有点P(x,2，－3)的集合所表示的轨迹为__一条直线__.
[解析] 点P(x,2，－3)在过(0,2，－3)点且与yOz平面垂直的直线上.
三、解答题
7．设有长方体ABCD－A′B′C′D′如图所示，长、宽、高分别为|AB|＝4
cm，|AD|＝3
cm，|AA′|＝5
cm，N是线段CC′的中点.
分别以AB、AD、AA′所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1
cm为单位长，建立空间直角坐标系.
(1)求A、B、C、D、A′、B′、C′、D′的坐标；
(2)求N的坐标.
[解析] (1)A、B、C、D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空间坐标分别是A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0).
A′、B′、C′、D′同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A′在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.
从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A、B、C、D四点，故A′、B′、C′、D′的x，y坐标分别与A、B、C、D相同，由此可知它们的空间坐标分别是A′(0,0,5)、B′(4,0,5)、C′(4,3,5)、D′(0,3,5).
(2)N是线段CC′的中点，有向线段CN的方向与z轴正方向相同，|CN|＝2.
5，因此N的z坐标为2.
5，C在xOy平面内的平面坐标为(4,3)，这就是N的x、y坐标，故N的空间坐标为(4,3,2.
5).
C级 能力拔高
1.如图，长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C、B′、P的坐标.
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，得C(0,4,0)、B′(3,4,3)、P.
2．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.
试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标.
[解析] 以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题设，B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A1(2,0,4).第一章 1.1 1.1.6
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么该几何体的侧(左)视图的面积是( B )
A．2
B．
C．4
D．2
[解析] 由三视图知，该几何体为正四棱锥，其侧(左)视图是边长为2的正三角形，故其面积S＝×2×＝.
2．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于( D )
A．4π
B．6π
C．8π
D．9π
[解析] 正方体的体对角线长为3，球的半径为R，则2R＝3，R＝，∴球的表面积S＝4πR2＝9π.
3．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( C )
A．
B．
C．
D．π
[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝R2，
球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积
S2＝6a2＝6×R2＝8R2，∴S1∶S2＝.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则正方体的棱长为( A )
A．
B．2
C．4
D．2
[解析] 设正方体的棱长为a，则侧面的对角线长为a，
∴正三棱锥B1－ACD1的棱长为a，它的全面积为4××(a)2＝4，∴a2＝2，a＝.
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( B )
A．6a2
B．12a2
C．18a2
D．24a2
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
6．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设正方体的棱长为a，
S正方体全＝6a2，而正四面体的棱长为a，
S正四面体全＝4××(a)2＝2a2，
∴＝＝.
二、填空题
7．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为3，则它的侧面积是__36__.
[解析] 设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则，解得a＝3，b＝3，则侧面积为4ab＝36.
8．若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为__3π__.
[解析] 由主视图知该圆锥母线长为3，底面半径为1，则侧面积为S＝π×1×3＝3π.
三、解答题
9．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形.
主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)判断该几何体形状；
(2)求该几何体的侧面积S.
[解析] (1)
这个几何体是四棱锥.
(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F为AB、BC的中点，则AB＝8，PO＝4，BC＝6.
在Rt△POF中，PF＝＝4，
∴S△PBC＝×6×4＝12，在Rt△POE中，PE＝＝5，∴S△PAB＝×8×5＝20，
所以侧面积为2(12＋20)＝24＋40.
10．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
[解析] 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得，解得r＝.
∴圆锥的底面直径为.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·淄博模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正视图与俯视图可得三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为，所以侧视图的面积为S＝××＝，故选D．
2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( B )
A．28＋6
B．30＋6
C．56＋12
D．60＋12
[解析] 由三视图可得该几何体为三棱锥，如图所示.
利用垂直关系和三角形面积公式，得：
S△ACD＝S△ABD＝S△BCD＝10，
S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
3．(2016·全国卷Ⅰ文，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.
若该几何体的体积是，则它的表面积是( A )
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
[解析] 由三视图可知该几何体是半径为R的球截去所得，其图象如图所示，所以×πR3＝，解得R＝2，所以该几何体的表面积S＝×4πR2＋3×πR2＝17π.
故选A．
4．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是( C )
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶3
[解析] ∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱全面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球表面积S2＝4πR2，∴＝.
5．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1、S2，则( C )
A．S1＝S2
B．S1＝2S2
C．S1＝3S2
D．S1＝4S2
[解析] 设正方体的棱长为a，则其外接球的半径R1＝a，内切球的半径R2＝a，
∴S1＝4πR＝3πa2，S2＝4πR＝πa2，
∴S1＝3S2.
二、填空题
6．如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是__80＋16__cm2.
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个棱长为4的正方体和一个底边长为4，高为2的正四棱锥组合而成的，如图所示.
其表面积为S＝5×4×4＋4××4×2＝80＋16(cm2).
7．若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为__π__.
[解析] 如图所示，
∵球的表面积为16π，∴球的半径R＝2，
又球心O到截面的距离为，
∴截面圆的半径r＝1，
∴截面圆的面积为πr2＝π.
C级 能力拔高
1．圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
[解析] 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，
∴SA＝20.
同理可得SB＝40，
∴AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm2).
故圆台的表面积为1
100π
cm2.
2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2a的正三角形，俯视图是边长为a的正六边形，求该几何体的表面积.
[解析] 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，侧棱长为AC＝2a，
斜高AD＝
＝＝a.
S侧面＝6××a×a＝a2，
S底面＝6××a2＝a2，
S表面＝S侧面＋S底面＝a2＋a2＝(＋)a.综合学业质量标准检测(一)
时间120分钟，满分150分.
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( C )
A．(3,8)
B．(8,3)
C．(－3,8)
D．(－8,3)
[解析] 直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为
m(x＋3)－2x－y＋2＝0，
∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C．
2．(2016·天水市泰安二中高一检测)直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于( C )
A．－2
B．2
C．－
D．
[解析] 由题意，得2k＝－1，∴k＝－.
3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( B )
A．a α，b α
B．a α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α
D．a α，b⊥α
[解析] 已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A b.
过A作直线c∥b，则过a、b必存在平面α，且使得a α，b∥α.
4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.
该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( B )
A．10
B．12
C．14
D．16
[解析]
观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.
三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示.
因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.
故选B．
5．若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，则有直线ax＋by＋1＝0与圆C的位置关系是( C )
A．相切
B．相离
C．相交
D．相交或相切
[解析] ∵点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，∴a2＋b2>1.
∴圆C的圆心(0,0)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝<1，
即直线ax＋by＋1＝0与圆C相交.
6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( C )
[解析] 当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A、B、C、D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C．
7．已知平面α外不共线的三点A、B、C到平面α的距离相等，则正确的结论是( D )
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必不垂直于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
[解析] 平面ABC与平面α可能平行也可能相交，排除A、B、C，故选D．
8．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( A )
A．内切
B．外离
C．内含
D．相交
[解析] 圆O1的圆心O1(2,3)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(4,3)，半径r2＝3.
|O1O2|＝＝2，r2－r1＝2，∴|O1O2|＝r2－r1，故两圆内切.
9．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( B )
A．a＝，b＝6
B．a＝－，b＝－6
C．a＝3，b＝－
D．a＝－3，b＝
[解析] 由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0,2)关于y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－选B．
10．(2017·北京理，7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )
A．3
B．2
C．2
D．2
[解析] 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD为该四棱锥的最长棱.
由三视图可知正方体的棱长为2，
故SD＝＝2.
故选B．
11．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线y＝－x的最小距离为( A )
A．2－1
B．2
C．
D．1
[解析] 圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r＝1.
圆心(2,2)到直线y＝－x的距离d＝＝2.
故动点P到直线y＝－x的最小距离为2－1.
12．(2016～2017·郑州高一检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( D )
A．x－2y＋3＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－3＝0
[解析] 由圆的几何性质知，圆心角∠ACB最小时，弦AB的长度最短，此时应有CM⊥AB.
∵kCM＝1，
∴kl＝－1.
∴直线l方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离为____.
[解析] 直线l2的方程可化为3x＋4y－＝0，故两平行直线l1、l2之间的距离d＝＝.
14．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__π__.
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，
∴a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
∴R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×()3＝π.
15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：__①② ③或(①③ ②)__.
16．(2016·沈阳模拟)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__3＋2__.
[解析] ∵直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，∴＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当b＝a时上式等号成立.
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3＋2.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)直线l经过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.
[解析] 解法一：由，得.
即直线l过点(－1,3).
∵直线l的斜率为，∴直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.
解法二：由题意可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，
∵直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
∴－2(1＋λ)＝3(λ－1)，∴λ＝.
∴直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.
18．(本题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6，求证：平面PBD⊥平面PAC.
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝.
tan∠BAC＝＝.
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AED＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD.
所以平面PBD⊥平面PAC.
19．(本题满分12分)在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.
若B的坐标为(1,2)，求△ABC三边所在直线方程及点C坐标.
[解析] BC边上高AD所在直线方程x－2y＋1＝0，
∴kBC＝－2，
∴BC边所在直线方程为：y－2＝－2(x－1)即2x＋y－4＝0.
由，得A(－1,0)，
∴直线AB：x－y＋1＝0，点B(1,2)关于y＝0的对称点B′(1，－2)在边AC上，
∴直线AC：x＋y＋1＝0，
由，得点C(5，－6).
20．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅱ文，18)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线CE∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积.
[解析] (1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC－90°，所以BC∥AD.
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
故BC∥平面PAD.
(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.
由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM 底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.
如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，
所以×x×x＝2，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝××2＝4.
21．(本题满分12分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0.
(1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆外一点P(x0，y0)向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标.
[解析] ⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心C(－1,2)，半径r＝2.
(1)若切线过原点设为y＝kx，则＝2，∴k＝0或.
若切线不过原点，设为x＋y＝a，
则＝2，∴a＝1±2，
∴切线方程为：y＝0，y＝x，
x＋y＝1＋2和x＋y＝1－2.
(2)＝，
∴2x0－4y0＋1＝0，
|PM|＝＝
∵P在⊙C外，∴(x0＋1)2＋(y0－2)2>4，
将x0＝2y0－代入得5y－2y0＋>0，
∴|PM|min＝.
此时P.
22．(本题满分12分)(2017·江苏，15)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[解析] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥平面ABC.
又因为AC 平面ABC，所以AD⊥AC.第一章 1.1 1.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( A )
①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；
②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；
③球面和球是同一个概念；
④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误.
2．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，两底面间的距离为( D )
A．4
B．3
C．2
D．2
[解析] 由题意，得圆台上、下底面半径分别为6和7，在圆台的轴截面等腰梯形中，易求得两底面距离d＝＝2.
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是( B )
A．圆锥
B．圆柱
C．球体
D．以上都可能
[解析] 球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形.
4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( D )
[解析] 过球心与正方体的对角面时为B，过球心与正方体一组平行棱的中点时为C，过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某种分点时为A，∴不可能为D．
5．在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，A、B两地沿纬线圈的弧长与A、B两点的球面距离之比为( A )
A．3∶2
B．2∶3
C．1∶3
D．3∶1
[解析] 本题主要考查球面距离的求法，求球心角是求球面距离的关键.
由题知∠OAB＝60°，∴∠AOB＝60°，O1A＝.
∴AB两地的球面距离是l1＝πR＝πR.
而AB两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，
∴l2＝π·＝πR.
∴l2∶l1＝πR∶πR＝3∶2.
6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( D )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥
D．一个圆柱、两个圆锥
[解析] 如图，等腰梯形ABCD，绕梯形较长的底边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体是如图所示的一个圆柱、两个圆锥.
二、填空题
7．给出下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
其中正确说法的序号是__②④__.
[解析] 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确.
8．已知圆柱的底面半径是20
cm，高是15
cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12
cm的截面面积是__480_cm2__.
[解析] 设所求截面的底边长为x，则2＝202－122，解得x＝32，∴S截＝32×15＝480
cm2.
三、解答题
9．一个圆台的母线长为12
cm，两底面的面积分别为4π
cm2和25π
cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
[解析] (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底的一半O1A＝2
cm，
下底的一半OB＝5
cm.
∵腰长为12
cm，
∴高为AM＝
＝3(cm).
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，
可得＝，∴l＝20(cm).
即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
B级 素养提升
1．下列命题中，错误的是( B )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的
C．圆台的轴截面一定是等腰梯形
D．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形
[解析] 当圆锥的轴截面的顶角是锐角或直角时，轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的，当轴截面的顶角是钝角时，轴截面的面积小于过顶点且顶角为直角的截面面积，故选B．
2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( D )
A．1
B．7
C．3或4
D．1或7
[解析] 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.
如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝＋＝7.
3．以钝角三角形的最小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( D )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
[解析] 如图，以AB为轴，所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
4．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为( B )
A．4
B．3
C．2.
5
D．2
[解析] 设截面圆半径为r，则πr2＝16π，∴r＝4.
球心到截面的距离为d＝＝＝3.
二、填空题
5．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π
cm2，则球的半径为__8_cm__.
[解析] 如图，过球心作垂直于截面的平面，
由截面面积为48π
cm2，
可得AC＝4
cm
，
设OA＝R，则OC＝R，
∴R2－2＝(4)2，
解得R＝8(cm).
6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得.
现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__①⑤__(填序号).
[解析] 组合体的上底面已经挖去，故②错.
当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错.
C级 能力拔高
1．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱.
已知某等边圆柱的截面面积为16
cm2，求其底面周长和高.
[解析] 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD.
由题意知，四边形ABCD为正方形.
设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.
其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16(cm2)，
解得r＝2
cm.
所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，
高2r＝4
cm.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392
cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
[解析] 圆台的轴截面如图所示，
设圆台上、下底面半径分别为x
cm、3x
cm，
延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x.
S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7.
故圆台的高OO1＝14
cm，母线长A1A＝OO1＝14
cm，
两底面半径分别为7
cm、21
cm.第一章 1.1 1.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．构成空间几何体的基本元素为( D )
A．点
B．线
C．面
D．点、线、面
[解析] 点、线、面共同构成空间几何体.
2．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面.
其中正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错.
故选B．
3．如图所示，下面空间图形画法错误的是( D )
[解析] D项中的两个平面没有按照实虚线的画法规则作图，故选D．
4．下列是几何体的是( C )
A．方砖
B．足球
C．圆锥
D．魔方
[解析] 几何体是一个几何图形，它只考虑物体占有空间部分的形状和大小，而不是实实在在的物体.
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1六个面中，与面ABCD垂直的有( D )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 与面ABCD垂面的有面A1ADD1、面ABB1A1、面BCC1B1和面CDD1C1共4个.
6．如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( D )
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α.
A．④
B．③⑤
C．②③④
D．③④
[解析] ③④不能表示平行四边形ABCD所在的平面.
二、填空题
7．在立体几何中，可以把线看成__点__运动的轨迹.
如果点运动的方向始终不变，则其运动的轨迹为__一条直线或一条线段__；如果点运动的方向时刻变化，则其运动的轨迹为__一条曲线或曲线的一段__.
8．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是__③__(填序号).
[解析] 正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点.
三、解答题
9．观察下列各几何体，注意观察每个面的特点和面与面之间的关系，归纳其构成特征，将具有共同特征的几何体归类，给出你的结论.
[解析] 图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)中，组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中，组成几何体的各个面中，既有平面图形，又有曲面.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是( A )
[解析] 根据图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断选项A正确.
2．一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同的放置状态，如果与C面相对的面上的字母是E，则与D面相对的面上的字母是( B )
A．A
B．B
C．E
D．F
[解析] 与D面相对的面上的字母为B.
二、填空题
3．如图表示两个相交平面，其中正确的是__④__.
[解析] 对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法.
4．下列关于长方体的说法中，正确的是__①③④__.
①长方体中有3组对面互相平行；
②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1；
③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；
④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1平行且相等.
[解析] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD、BC、AA1外，还有B1C1、A1D1、BB1、CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1、BB1、CC1、DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故正确的是①③④.
C级 能力拔高
1．请将下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.
[解析] 用虚线把被平面遮住的部分画出，如下图的立体图形.
2．根据图中给出的平面图形，折叠几何模型.
[解析]
3．下图为一个正方体表面的一种展开图，图中的线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的共有多少对？
[解析] 如图，将展开图恢复为正方体，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对不在同一平面内的线段.第一章 1.1 1.1.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．棱锥至少由多少个面围成( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥.
2．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为，则该四棱台的高为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图所示，由题意知，四棱台ABCD－A1B1C1D1为正四棱台，
设O1、O分别为上、下底面的中心，连接OO1、OA、O1A1，过点A1作A1E⊥OA，E为垂
足，则A1E的长等于正四棱台的高，
又OA＝，O1A1＝，
∴AE＝OA－O1A1＝，
在Rt△A1EA中，AA1＝，AE＝，
∴A1E＝＝＝.
3．过正棱台两底面中心的截面一定是( C )
A．直角梯形
B．等腰梯形
C．一般梯形或等腰梯形
D．矩形
[解析] 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等.
当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形.
故选C．
4．下列命题中，真命题是( D )
A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
[解析] 对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题.
对于选项B，如右图所示，△ABC为正三角形，若PA＝AB，PA＝AC≠PC，PB＝BC≠PC，则△PAB，△PAC，△PBC都为等腰三角形，但此时侧棱PA＝PB≠PC，故该命题是假命题.
对于选项C，顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题.
对于选项D，顶点在底面内的射影是底面三角形的外心，且底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，故该命题是真命题，故正确答案为D．
5．一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为( C )
A．2
B．2
C．3
D．4
[解析] 如图所示，正三棱锥S－ABC中，
O为底面△ABC的中心，SO为正三棱锥的高，SO＝，
AB＝3，∴OA＝，
在Rt△SOA中，SA＝＝＝3.
6．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( D )
A．正三棱锥
B．正四棱锥
C．正五棱锥
D．正六棱锥
[解析] 如图，正六棱锥P－ABCDEF，PO是正六棱锥的高，连接OA，则OA＝AB，
若△PAB为正三角形，则PA＝AB，
∴PA＝OA，这显然不可能，故正六棱锥的各个侧面不可能是等边三角形.
二、填空题
7．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为____.
[解析] 如图，OO1是正三棱台的高，过点A1作A1D⊥OA，D为垂足，则A1D＝OO1.
∵正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，∴OA＝，O1A1＝，∴AD＝OA－O1A1＝2，
∴A1D＝＝.
8．正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为__a2__.
[解析] 截面三角形三边长分别为a、a、a，为等腰直角三角形.
∴面积S＝a2.
三、解答题
9．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[解析] 不一定.
如图(1)所示，将正方体ABCD－A1B1C1D1截去两个三棱锥A－A1B1D1和C－B1C1D1，得如图(2)所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.
10．如图，正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面梯形的面积为，O1、O分别为上、下底面正三角形中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长.
[解析] 由AB＝10，
则AD＝AB＝5，
OD＝AD＝.
设上底面边长为x，则O1D1＝x.
过D1作D1H⊥AD于H，
则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝－x，
在△D1DH中，D1D＝＝2，
∴在梯形B1C1CB中，S＝(B1C1＋BC)·D1D，
∴＝(x＋10)·2，
∴40＝(x＋10)(10－x).
∴x＝2，
∴上底面的边长为2.
B级 素养提升
一、选择题
1．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积之比为1∶4，截去的棱锥的高是3
cm，则棱台的高是( D )
A．12
cm
B．9
cm
C．6
cm
D．3
cm
[解析] 棱台的上、下底面面积之比为1∶4，则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为1∶2，故棱台的高是3
cm.
2．在侧棱长为2的正三棱锥S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝40°，过A作截面AEF，则截面的最小周长为( C )
A．2
B．4
C．6
D．10
[解析] 将三棱锥沿SA剪开，展开如图.
连接AA′交SB于E，交SC于F，则AA′即为△AEF的最小周长.
∵SA＝SA′＝2，∠ASA′＝120°，
∴AA′＝2×2sin60°＝6，故选C．
二、填空题
3．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则棱台的斜高等于____.
[解析] 如图，BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5，BD＝7，BD1＝9，∴OO1＝＝3，
又O1E1＝，OE＝，
在直角梯形OEE1O1中，
斜高E1E＝
＝.
4．一个正三棱锥P－ABC的底面边长和高都是4，E、F分别为BC、PA的中点，则EF的长为__2__.
[解析] 如图在正△ABC中，AE＝2，
在正△PBC中，PE＝2，
在△PAE中，AE＝PE＝2，PA＝4，F为PA中点，
∴EF⊥PA，
∴EF＝＝2.
三、解答题
5．如图，将边长为8的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高.
[解析] 由题设知正四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝CA＝4，
过点S作SO⊥面ABC，O为垂足，过点O作OD⊥AC，则D为AC中点.
连接SD，
则SD⊥AC，故SO为正四面体的高，SD为斜高.
在Rt△SDA中，SA＝4，AD＝2，
∴SD＝＝＝6.
又∵△ABC为正三角形，
∴△ABC的高h＝×4＝6，
∴OA＝h＝×6＝4，∴在Rt△SOA中，
SO＝＝＝4.
∴该四面体的高为4，斜高为6.
C级 能力拔高
1．一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体；
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解析] (1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.
2．已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2∶3，求此三棱锥的高与斜高的比.
[解析] 设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则一个侧面面积S1＝a·，底面面积S2＝a2，由题意得＝＝，
∴＝a，∴此三棱锥的斜高h′＝a，
高h＝＝，
∴＝＝.第一章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列四个说法(其中a，b，c为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)：
①若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
④若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
其中正确的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．(2015·浙江文，4)设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l α，m β.
( A )
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
[解析] 选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l、m可以垂直，也可以平行；选项C中，l∥β时，α、β可以相交；选项D中，α∥β时，l、m也可以异面.
故选A．
3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是( A )
[解析] 因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.
又AB⊥CD，∴截面必为矩形.
4．(2015·北京理，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )
A．2＋
B．4＋
C．2＋2
D．5
[解析] 根据三视图恢复成三棱锥P－ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有PD⊥AB，CD⊥AB，底面ABC为等腰三角形，底边AB上的高CD＝2，AD＝BD＝1，PC＝1，PD＝，S△ABC＝×2×2＝2，S△PAB＝×2×＝，AC＝BC＝，S△PAC＝S△PBC＝××1＝，三棱锥表面积S表＝2＋2.
5．如图，BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC，则图中直角三角形的个数是( A )
A．8
B．7
C．6
D．5
[解析] 易知PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB，BC⊥AD，BC⊥PD，AC⊥AB.
图中的直角三角形分别为△PAC，△PAD，△PAB，△ADC，△ADB，△PCD，△PDB，△ABC，共8个，故选A．
6．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于点H.
给出下列四个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，点H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心.
其中正确命题的个数为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 对于①，易知AH⊥BC，BH⊥AC，所以点H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，由①可知点H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，点H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即点H是△ABC的外心.
①②③④都正确，故选D．
7．设α表示平面，a、b、l表示直线，给出下列命题，
① l⊥α； ② b⊥α； ③ a⊥α；
④直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
其中正确结论的个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①错，缺a与b相交的条件；
②错，在a∥α，a⊥b条件下，b α，b∥α，b与
α斜交，b⊥α都有可能；
③错，只有当b是平面α内任意一条直线时，才能得出a⊥α，对于特定直线b α，错误；
④错，l只要与α内一条直线m垂直，则平面内与m平行的所有直线就都与l垂直，又l垂直于平面内的一条直线是得不出l⊥α的.
8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( B )
A．1∶3
B．1∶(－1)
C．1∶9
D．∶2
[解析] 如图由题意可知，⊙O1与⊙O2面积之比为1∶3，
∴半径O1A1与OA之比为1∶，
∴＝，∴＝.
9．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( B )
A．2π
B．
C．4π
D．5π
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为2的圆柱.
S表＝S侧＋S底＝2π××2＋2π×＝2π＋＝.
10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F，则以下结论中错误的是( B )
A．四边形BFD′E一定是平行四边形
B．四边形BFD′E有可能是正方形
C．四边形BFD′E有可能是菱形
D．四边形BFD′E在底面投影一定是正方形
[解析] 平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线BF∥D′E，同理BE∥D′F，故A正确.
特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时，BE＝ED′＝BF＝FD′，则四边形为菱形，其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD，∴选B．
11．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( B )
A．直线AC上
B．直线AB上
C．直线BC上
D．△ABC内部
[解析] 平面ABC1⊥平面ABC，
H在AB上.
12．(2016·全国卷Ⅱ文，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
[解析] 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成.
其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．如图所示的是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4，4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____.
[解析] 本题考查斜二测画法的规则.
由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，
在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，
所以B′E＝B′C′sin45°＝2×＝.
14．(2015·天津理，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____m3.
[解析] 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，∴该几何体的体积V＝12×π×2＋2××12×π×1＝.
15．设α、β表示平面，a、b表示不在α内也不在β内的两条直线.
给出下列四个论断：①a∥b；②a∥β；③α⊥β；④b⊥α.
若以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，则可以构造出一些命题.
写出你认为正确的一个命题__①②④ ③(或①③④ ②)__.
(注：写法如“( )( )( ) ( )”，只需在( )中填入论断的序号)
[解析] 由a∥b，b⊥α，得a⊥α.
由a∥β，a⊥α，得α⊥β，即①②④ ③.
同理①③④ ②.
16．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__3∶1∶2__.
[解析] 设球半径为a，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa2·2a，πa2·2a，πa3.
所以体积之比2πa3∶πa3∶πa3＝2∶∶＝3∶1∶2.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(2015·重庆文，20)如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D、E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.
(1)证明：AB⊥平面PFE；
(2)若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长.
[解析] (1)如图.
由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
PE 平面PAC，PE⊥AC，
∴PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.
∵∠ABC＝，EF∥BC.
∴AB⊥EF，
∴AB与平面PEF内两条相交直线PE、EF都垂直，
∴AB⊥平面PFE.
(2)设BC＝x，则在直角△ABC中，
AB＝＝.
从而S△ABC＝AB×BC＝x.
由EF∥BC，知＝＝，得△AFE∽△ABC，故＝2＝，
即S△AFE＝S△ABC.
由AD＝AE，S△AFD＝S△AFE＝·S△ABC＝S△ABC＝x，
从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC＝S△ABC－S△ADF＝x－x＝x.
由(Ⅰ)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P－DFBC的高.
在直角△PEC中，PE＝＝＝2，VP－DFBC＝·SDFBC·PE＝·x·2＝7，
故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3.
所以BC＝3或BC＝3.
18．(本题满分12分)(2015·北京文，18)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O、M分别为AB、VA的中点.
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积.
[解析] (1)∵O、M分别为AB、VA的中点，
∴OM∥VB.
又∵VB 平面MOC，OM 平面MOC
∴VB∥平面MOC.
(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC，且OC 平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB
∴OC⊥平面VAB.
又∵OC 平面MOC
∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1.
∴等边三角形VAB的面积S△VAB＝.
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱锥C－VAB的体积等于×OC×S△VAB＝.
又∵三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，
∴三棱锥V－ABC的体积为.
19．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ文，16)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.
[解析] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.
因为AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin
60°＝6＋2.
20．(本题满分12分)(2016·江苏卷，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[解析] (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
A1C1∥AC.
在△ABC中，
因为D、E
分别为AB、BC
的中点，
所以DE∥AC，
于是DE∥A1C1.
又DE 平面A1C1F，
A1C1 平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1 平面A1B1C1，
所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，
A1A 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，
A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D 平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F，
A1C1 平面A1C1F，
A1F 平面A1C1F，
A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D 平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
21．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC的中点.
(1)求证：MN∥平面BCD1A1；
(2)求证：MN⊥C1D；
(3)求VD－MNC1.
[解析] (1)连接A1C，在△AA1C中，M、N分别是AA1、AC的中点，
∴MN∥A1C.
又∵MN 平面BCA1D1且A1C 平面BCD1A1，
∴MN∥平面BCD1A1.
(2)∵BC⊥平面CDD1C1，C1D 平面CDD1C1，
∴BC⊥C1D.
又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C，
∴C1D⊥平面BCD1A1，
又∵A1C 平面BCD1A1，
∴C1D⊥A1C，
又∵MN∥A1C，∴MN⊥C1D.
(3)∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DN，
又∵DN⊥AC，
∴DN⊥平面ACC1A1，
∴DN⊥平面MNC1.
∵DC＝2，∴DN＝CN＝，
∴NC＝CC＋CN2＝6，
MN2＝MA2＋AN2＝1＋2＝3，MC＝A1C＋MA＝8＋1＝9，
∴MC＝MN2＋NC，
∴∠MNC1＝90°，
∴S△MNC1＝MN·NC1＝××＝，
∴VD－MNC1＝·DN·S△MNC1＝··＝1.
22．(本题满分12分)(2016·四川文，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
[解析] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.
理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四边形AMCB是平行四边形，
从而CM∥AB.
又AB 平面PAB，CM 平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交.
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
连接BM，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥MD，且BC＝MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD.
所以平面PAB⊥平面PBD.第一章 1.2 1.2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( D )
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
[解析] a、b为异面直线，c、d分别与a、b都相交.
图(1)中c、d异面，图(2)中c、d相交.
2．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，＝＝λ，＝＝μ，则下列结论中不正确的为( D )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形
D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形
[解析] 由＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，
同理得FG∥BD且＝μ，当λ＝μ时，EF綊FG.
当λ≠μ时，EF∥FG，但EH≠FG，故A、B、C都对，只有D错误.
3．a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系( D )
A．异面
B．平行
C．相交
D．都有可能
[解析] 直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：
∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；
可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故选D．
4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( D )
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条或1条
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.
令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B、C不能作直线与l平行，故选D．
5．(2016·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( D )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
[解析] 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D．
6．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( D )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠D1A1A＝∠DAB，且D1A1与DA
平行且方向相同，而A1A与AB相交；∠D1A1B1＝∠DAB，D1A1与DA平行且方向相同，而A1B1∥AB，故选D．
二、填空题
7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为__梯形__.
[解析] 如右图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形.
8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是__平行__.
[解析] 如图所示，MN綊AC，
又∵AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′.
三、解答题
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证：∠NMP＝∠BA1D.
[解析] 如图，连接CB1、CD1，
∵CD綊A1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·太原检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( C )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．异面
[解析] 直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；l α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错.
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.
2．若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( D )
A．异面
B．平行
C．相交
D．三种关系都有可能
[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例.
A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1，BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D．
3．下列说法中正确的是( C )
A．空间中没有交点的两条直线是平行直线
B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C．空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
D．分别在两个平面内的直线是平行直线
[解析] A、B中，两直线可能异面，D中两直线可能相交，也可能异面.
二、填空题
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E、F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有__4__条.
[解析] ∵E、F分别是B1O与C1O的中点，
∴EF∥B1C1，
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1∥BC∥AD，
∴EF∥A1D1，EF∥BC，EF∥AD.
故在长方体的各棱中与EF平行的有4条.
5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为__①②__.
[解析] 把正方体平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确.
三、解答题
6．求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
[解析] 已知：点P 直线a.
求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条.
∵P a，∴点P和直线a确定一个平面α，在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识)，故存在.
假设过点P，还有一条直线c与a平行.
∵a∥
b，a∥c，
∴b∥c，这与b、c共点P矛盾，故假设不成立，因此直线b惟一.
即过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
C级 能力拔高
1．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.
[解析] 由已知，得E、F不重合.
设△BCD所在平面为α，
则DF α，A α，E∈α，E DF，
∴AE与DF异面.
2．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，
E、F分别为BC、AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G、H分别为AD′、BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
∴GH綊EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.第一章 1.1 1.1.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是( B )
A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段
B．平行直线的平行投影仍是平行的直线
C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等
D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比
[解析] ∵图形中的直线或线段与投射线不平行，∴直线或线段的平行投影不可能为一点，仍是直线或线段；平行直线的平行投影可以是平行直线或一条直线；而与投射面平行的平面图形的投影形状大小均不变，∴A、C、D均正确，B错.
2．一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( C )
A．三棱锥
B．底面不规则的四棱锥
C．三棱柱
D．底面为正方形的四棱锥
[解析] 根据三视图可知，该几何体是一个倒放的三棱柱.
3．(2016·温州十校联考)一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是
( B )
[解析] 由题意，符合选项A的几何体是一个直三棱柱，其中底面三角形是底边为1，高为1的等腰三角形，侧棱长为1；符合选项C的几何体是一个棱长为1的正方体；符合选项D的几何体是一个棱长为1的正方体去掉半径与母线长都为的圆柱.
4．(2017·延安市黄陵中学期中)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( D )
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④
[解析] 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D．
5．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( D )
[解析] 此几何体为一个半圆锥和一个三棱锥的组合体，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.
6．(2016·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( D )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
[解析] 如图①、②所示的平面图形和直观图.
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
二、填空题
7．给出以下结论，其中正确的结论的序号是__②④__.
①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等；
②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等；
③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似；
④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长.
[解析] 由定义知，②④正确.
8．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个__圆锥__，下部是一个__圆柱__.
[解析] 因为主视图和左视图的上部是三角形，下部是长方形，俯视图是个带圆心的圆，所以几何体的上部是圆锥，下部是圆柱.
三、解答题
9．画出如图所示几何体的三视图.
[解析] 已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示.
B级 素养提升
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( A )
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图是选项A中的几何体.
2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( C )
[解析] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的正投影不可能是( B )
[解析] 首先向上、下两个相对的面投影，如向ABCD投影，E的射影为A，F，G的射影分别为CD与BC中点，∴其正投影为A；再向左、右两个侧面上投影，如向面BCC1B1上投射，则A，F的射影分别为B，C1，而B、C1、G共线，E点射影为BB1中点，∴其正投影为图D，再向前后两个对面上投影，如向平面ABB1A1投影，F，G的投影分别为A1B1与BB1的中点，∴其正投影为图C，∴不可能为B．
二、填空题
4．桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图、俯视图、左视图)①__俯视图__、②__主视图__、③__左视图__.
[解析] 由三视图的定义可知，①是俯视图，②是主视图，③是左视图.
5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为__2 .
[解析] ∵左视图的高与正视图的高相等，故高为2，
左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面△ABC的高，故左视图的宽为，
∴左视图的面积为2×＝2.
C级 能力拔高
1．如图是某希望学校的一座水塔，试画出它的三视图(尺寸不作严格要求).
[解析] 三视图如图所示.
2．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的.
(1)判断该几何体是否为棱柱；
(2)画出它的三视图.
[解析] (1)是棱柱.
因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行.
(2)该几何体的三视图如图：第二章 2.2 2.2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在x轴上截距为2，在y轴上截距为－2的直线方程为( A )
A．x－y＝2
B．x－y＝－2
C．x＋y＝2
D．x＋y＝－2
[解析] 所求直线方程为＋＝1，即x－y＝2.
2．若过原点的直线l的斜率为－，则直线l的方程是( C )
A．x－y＝0
B．x＋y＝0
C．x＋y＝0
D．x－y＝0
[解析] 由点斜式方程可得直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
3．与直线3x－2y＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( A )
A．y－3＝(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝－(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
[解析] ∵直线3x－2y＝0的斜率为，所求直线过点(－4,3)，故其方程为y－3＝(x＋4).
4．过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( C )
A．y＝3x－3
B．y＝3x－2
C．y＝3x－1
D．y＝x－1
[解析] 由题意可得所求直线的方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
5．直线y＝－2x－7在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是( D )
A．a＝－7，b＝－7
B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7
D．a＝－，b＝－7
[解析] 令x＝0，得y＝－7，即b＝－7，
令y＝0，得x＝－，即a＝－.
6．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m为( D )
A．1
B．2
C．－
D．2或－
[解析] 由题知直线过点(1,0)，
∴2m2＋m－3＝4m－1，
则m＝－或m＝2.
二、填空题
7．直线y＝x－2的截距式方程是__＋＝1__.
[解析] 令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝，
故直线y＝x－2的截距式方程是＋＝1.
8．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1
007，b)在直线l上，则b的值为__2_015__.
[解析] 由直线的两点式得方程＝，点(1
007，b)在直线l上，则有＝，
解得b＝2
015.
三、解答题
9．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－的直线方程.
[解析] 设直线方程为y＝－x＋b，令y＝0得x＝b，
由题意知·|b|·|b|＝12，∴b2＝36，
∴b＝±6，∴所求直线方程为y＝－x±6.
10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y(元)与行李质量x(kg)的关系用直线AB的方程表示.
试求：
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李？
[解析] (1)由图知，点A(60,6)、B(80,10)在直线AB上.
所以由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程为x－5y－30＝0.
(2)依题意，令y＝0，得x＝30.
即旅客最多可免费携带30
kg行李.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线bx＋ay＝1(b≠0)在x轴上的截距是( A )
A．
B．b
C．
D．|b|
[解析] 令y＝0，得bx＝1，∵b≠0，∴x＝，故选A．
2．经过A(2,1)、B(6，－2)两点的直线方程不是( D )
A．y－1＝－(x－2)
B．3x＋4y－10＝0
C．＋＝1
D．＝
[解析] 经过A(2,1)、B(6，－2)两点的直线方程为＝，故D不对.
3．(2016·九江模拟)过点P(－2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( C )
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
[解析] 假设存在过点P(－2,2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直直线l的方程为：＋＝1，则＋＝1，即2a－2b＝ab，直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S＝－ab＝8，即ab＝－16，联立解得a＝－4，b＝4.
∴直线l的方程为：＋＝1，即x－y＋4＝0，L即这样的直线有且只有一条，故选C．
4．已知过点A(－2，m＋1)和B(m,3)的直线与直线y＝－2x＋1的斜率相等，则m的值为( B )
A．0
B．－6
C．2
D．10
[解析] 由题意，得＝－2，解得m＝－6.
二、填空题
5．过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__2x－y＝0或x＋y－3＝0__.
[解析] 当截距为0时，其方程为y＝2x；
当截距不为0时，设其方程为＋＝1，
∴＋＝1，
∴a＝3，故所求方程为x＋y－3＝0.
6．已知直线l方程为y＋1＝(x－)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|等于____.
[解析] 由y＋1＝(x－)得y＝x－2，
∴a＝，b＝－2，∴|a＋b|＝.
三、解答题
7．求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程.
[解析] 设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.
∴|b|＋|－b|＋＝12.
∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴b＝±3.
∴所求直线方程为y＝x±3.
C级 能力拔高
1．已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
[解析] 依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则可得直线的方程为y＋2＝k(x－3).
令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得x＝＋3.
由题意得－2－3k＝3＋，
解得k＝－1或k＝－.
∴l的方程为y＋2＝－(x－3)或y＋2＝－(x－3).
即为y＝－x＋1或y＝－x.
2．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10
min内只进水，不出水，在随后的30
min内既进水又出水，得到时间x(min)与水量y(L)之间的关系如图所示.
求y与x的函数关系.
[解析] 当0∴kOA＝＝2.
∴此时方程为y＝2x.
当10≤x≤40时，直线段过点A(10,20)、B(40,30)，
∴kAB＝＝.
∴此时方程为y－20＝(x－10)
即y＝x＋.
∴y＝.