1.1.1 集合的概念
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三点剖析
一、集合的概念
【例1】判断下列语句能否确定一个集合?如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集.
(1)申办2008年奥运会的所有城市.
(2)举办2008年奥运会的城市.
(3)举办2016年奥运会的城市.
(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体.
(5)大于零且小于1的所有的整数.
(6)大于零且小于1的所有的实数.
思路分析:紧扣“集合”“有限集”“无限集”的定义解决问题.
解:(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市,能组成一个集合,且为有限集.
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合且为有限集.
(3)因为举办2016年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集合.
(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的、不同的.这些人的全体能组成一个集合,且为有限集.21cnjy.com
(5)大于零且小于1的所有整数能组成一个集合.这个集合中不含任何元素,即为空集,它是有限集.
(6)大于零且小于1的实数也是确定的,因此这样的所有的实数也能组成一个集合,且为无限集.
二、元素与集合的关系
【例2】用符号∈或填空.
(1)2________{x|x<},+________{x|x≤2+}.
(2)3________{x|x=n2+1,n∈N},(-1,1)________{y|y=x2}.2·1·c·n·j·y
(3)设x=,y=3+π,M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q}，则x________M,y________M.
思路分析:看所要判断的元素是否能化成集合中元素的形式,方能判定它们的关系.
解:(1)2=>.
+==7<==2+.
∴填,∈.
(2)设n2+1=3,n=±N,∴填.
把(-1,1)代入y=x2成立,但(-1,1)是有序实数对,而{y|y=x2}是y值的集合，
∴填.
(3)x==,∈Q,∈Q.
∴x∈M.
∵πQ，∴yM.
∴填∈，.
答案:(1) ∈ (2) (3)∈
温馨提示
判断元素与集合的关系,要明确集合中元素的特征,准确理解集合是解题的关键.
要记清常见数集的符号表示,在判断时,常需先把所给元素化简.
三、利用集合元素的性质解决问题
【例3】已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
(1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素;
(2)若A是空集,求a的取值范围;
(3)若A至多有一个元素,求a的取值范围.
解析:(1)当a=0时,此方程为2x+1=0,只有一个根为x=;
当a≠0时,则Δ=0,即4-4a=0,
∴a=1,此时方程有两个相等的实根x1=x2=-1.
综上可知,当a=0或a=1时,集合A中分别只有一个元素为或-1.
(2)若A为空集,则即得a>1.
(3)集合A至多有一个根,包括集合A为空集和集合A为只有一个元素的集合两种情况,所以a的取值范围是a=0或a≥1.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
给出下列表述:①联合国常任理事国;②充分接近2的实数的全体;③方程x2+x-1=0的实数根;④全国著名的高等院校.以上能够构成集合的是( )www.21-cn-jy.com
A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④
解析:①包括确定的国家;③二次方程有确定的根;②④无法确定个体.故选A.
答案:A
变式提升1
下列各组对象能否构成集合?
(1)所有好人;(2)小于2 003的数;(3)和2003非常接近的数.
思路分析:对于给定集合,元素必须是确定的,如(1)中对象,好人的标准不确定,无法确定其元素.
解:(1)(3)中对象不能构成集合;(2)中对象能构成集合.
温馨提示
(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)如果一个语句里一个元素也没有,它仍然能确定一个集合,即空集.
(3)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的.集合里面元素的个数很多,但不一定是无限集.21·世纪*教育网
类题演练2
用符号∈或填空:
(1)0_________N*;
(2)(-4)0_________N*;
(3)_________Z;
(4)0_________.
思路分析:确定元素是否在集合中,要根据元素是否满足集合的性质来确定.
答案:(1) (2)∈ (3) (4)
变式提升2
用符号∈或填空:
(1)π_______Q;(2)(-1)0_______N;(3)_______{x∈Q|x<};(4)+_______{x|x≤2+};(5)11_______{x|x=n2+n-1,n∈N};(6)(-1,1)_______{y|y=-x,x∈R}.
解析:(1)由于π是无理数,则应填.
(2)因为(-1)0=1是自然数,则应填∈.
(3)因为{x∈Q|x<}表示由所有小于的有理数所组成的集合,而是无理数,则应填.
(4),则应填∈.
(5)令n2+n-1=11,得n=-4或n=3;而3∈N,即n=3时,x=n2+n-1=11,也就是说11是集合中的元素,则应填∈.21教育网
(6)集合{y|y=-x,x∈R}是所有y值所组成的集合,而y可取任何实数,则此集合为R,而(-1,1)是一对实数对,并非实数,则应填.21·cn·jy·com
答案:(1) (2)∈ (3) (4)∈ (5)∈ (6)
类题演练3
集合{1,a,b}与{a,a2,ab}是同一个集合,求实数a、b.
解析:(1)若a=1,显然不合题意.
(2)若a2=1,解得a=±1(a=1舍去),∴a=-1.
此时有{1,-1,b}与{-1,1,-b}相等.
∴b=-b.解得b=0,满足题意.
综上知a=-1,b=0.
变式提升3
已知集合A中含有三个元素a-2,12,2a2+5a,又-3∈A,求a的值.
解析:∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3.
∴a=-1或a=,但a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,与集合中元素的互异性矛盾.
故a=.
1.1.2 集合的表示方法
课堂导学
三点剖析
一、用列举法表示集合
【例1】请用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数集;
(2)自然数中不大于10的质数集;
(3)A={x∈Z||x|≤2};
(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解构成的集合.
思路分析:分别把各集合中的元素一一找出来写在括号内即可.
解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.
故该集合可表示为{0,2,4,6,8,10}.
(2)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7.
故该集合可表示为{2,3,5,7}.
(3)绝对值小于或等于2的整数有-1,0,1,-2,2.
故该集合可表示为{-2,-1,0,1,2}.
(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解为x=1或x=2.
故该集合可表示为{1,2}.
二、用描述法准确地表示集合
【例2】用特征性质描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数集合;
(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
思路分析:用特征性质描述法表示集合,需找准x所属的集合I和集合的一个特征性质p(x).
解:(1){x|x=2n,n∈N*};
(2){x|x=3n+2,n∈N};
(3){(x,y)|xy=0}.
温馨提示
用特征性质描述法表示集合时应注意:①由上下文易知代表元素x的范围时,x∈R可简记为x;②“竖线”不可省略;③p(x)可以是文字语言,也可以是数学符号语言.
三、选择合适的表示方式来表示集合
【例3】用特征性质描述法表示下列集合:
(1)所有被5整除的数;
(2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.
思路分析:(1)中被5整除的数可表示为5n,n∈Z;
(2)中的元素是坐标(x,y).
解:(1){x|x=5n,n∈Z};
(2){(x,y)|-1≤x≤,≤y≤1,且xy≥0}.
温馨提示
(1)要写清楚集合中元素的代号,即代表元素,并写准确元素的特征性质.
(2)要清楚集合中的元素是有序实数对(x,y),而不是数集,不要漏掉xy≥0.
各个击破
类题演练1
用列举法表示下列集合:
(1){x|x+y=7,x∈N*,y∈N*};
(2){(x,y)|x+y=7,x∈N*,y∈N*};
(3){y|y=x2-1,-2
解析:(1){1,2,3,4,5,6};
(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)};
(3){-1,0,3}.
变式提升
设集合B={x∈N|∈N}.
(1)试判断元素1,元素2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
解析:(1)当x=1时,=2∈N,∴1∈B;
当x=2时,=N,∴2B.
(2)∵∈N,x∈N,
∴2+x只能取1,2,3,6.
∴x只能取0,1,4,则B={0,1,4}.
类题演练2
用自然语言表示下列集合:
(1){0,2,4,6,…};(2){x|x≥4};(3){x|x是正方形}.
解析:(1)所有非负偶数组成的集合.
(2)所有大于或等于4的实数组成的集合.
(3)所有的正方形组成的集合.
变式提升2
用描述法表示下列集合:
(1){-1,1};
(2)大于3的全体偶数构成的集合;
(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;
(4)所有长方形构成的集合.
解析:(1){x|x2=1},或{x|(x-1)(x+1)=0},或{x||x|=1}.
(2){x|x=2k,k>1,k∈N}.
(3)所求集合表示为C={(x,y)|x<0且y<0}.
(4){x|x是长方形}.
类题演练3
(1)已知集合M={x∈N|∈Z},求M;
(2)已知集合C={∈Z|x∈N},求C.
解析:(1)∵x∈N,且∈Z,
∴1+x=1,2,3,6.
∴x=0,1,2,5.
∴M={0,1,2,5}.
(2)结合(1)知=6,3,2,1.
∴C={6,3,2,1}.
变式提升3
方程2x+1=0的解集的元素是什么?用特征性质描述法表示这个集合.
解析:方程的解集的元素为,用描述法表示为{x|2x+1=0}.
1.2.1 集合之间的关系
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三点剖析
一、子集、真子集、集合相等的概念
【例1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.
(1)对任意的集合A,有A.
(2)如果AB且A≠B,那么B必是A的真子集.
(3)如果A=B,则集合A是集合B的子集,但一定不是B的真子集.
(4)如果对任意的x0∈A,都能得到x0∈B,则集合A是集合B的真子集.
思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质.
解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合A是否非空,因此说法错误,应有A.21世纪教育网版权所有
(2)集合B是集合A的子集,实际上有两种可能:一是B是A的真子集;二是集合A与集合B相等.
∵AB,又A≠B,∴B必是A的真子集.故此说法正确.
(3)由A=B知AB且BA.A、B两集合的元素完全相同,A中的任一元素必是集合B中的元素,但集合B中不存在元素属于B但不属于A.故集合A是集合B的子集,但不是B的真子集.故此说法正确.21教育网
(4)由对任意的x0∈A,能得到x0∈B,故集合A是集合B的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误.2·1·c·n·j·y
二、根据两集合间的关系进行有关运算
【例2】已知A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B.
思路分析:根据两集合相等的定义,欲证A=B,必须证明AB和BA两方面.
证明:(1)设任意x0∈A,则x0=2n+1,n∈Z.
当n为偶数,即n=2k,k∈Z时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;
当n为奇数,即n=2k-1,k∈Z时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z.
∴x0∈B.∴AB.
(2)设任意y0∈B,则y0=4k±1,k∈Z,若y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B.
若y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴BA.
综上知,A=B.
温馨提示
本题同学们容易出现“令2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性.【来源：21·世纪·教育·网】
三、元素与集合、集合与集合之间的关系
【例3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.
(1)0与{0};(2)0与;(3)与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}.
思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合，还要分清是什么关系.21cnjy.com
解:(1)0∈{0}.(2)0.
(3)与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系.
∴{0}.
(4){0,1}是含有两个元素0,1的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合,
它只含有一个元素.
∴{0,1}≠{(0,1)}.
(5)当a=b时,{(a,b)}={(b,a)}.
当a≠b时,{(a,b)}≠{(b,a)}.
温馨提示
(1)要十分注意∈与(或)之间的区别:“∈”是表示元素与集合之间的关系；“(或)”是表示集合与集合之间的关系.21·世纪*教育网
(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合.
各个击破
类题演练1
(1)已知A={m,n,f},写出A的所有子集,并分别求出A的子集、真子集、非空真子集的个数.
(2)已知集合A满足{a,b}A{a,b,c,d},求所有满足条件的集合A.
解析:(1)集合A的所有子集为,{m},{n},{f},{m,n},{m,f},{n,f},{m,n,f},
∴子集的个数为23=8,真子集的个数为23-1=7,非空真子集个数为23-1-1=6.
(2)∵{a,b}A,
∴A中必须含有元素a、b.
又∵A{a,b,c,d},
∴满足条件的集合A有{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d},
共4个.
变式提升2
写出集合M={a,b,c,d}的所有真子集.
解析:集合A的所有真子集为,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},
{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.
类题演练2
已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A=B,求实数x、y的值.
解析:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可以断定|x|≠0,y≠0,
∴x≠0,xy≠0.故x-y=0,即x=y,此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},
∴x2=|x|.当x=1时x2=1矛盾,∴x=-1,即仅x=y=-1.
变式提升2
已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若BA,求由实数m所构成的集合M.
解析:由A={-3,2},∵BA,
当B=时,m=0;
当B={-3}时,m=;
当B={2}时,m=.
∴M={0,,}.
类题演练3
已知A={0,1},B={x|xA},则A与B的关系正确的是( )
A.AB B.AB C.BA D.A∈B
解析:∵xA,A={0,1}.
∴x为,{0},{1},{0,1}.
∴B={x|xA}={,{0},{1},{0,1}}.
∴{0,1}是B的一个元素,即A∈B.故选D.
答案:D
变式提升3
已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z}.则集合A、B、C满足的关系是( )21·cn·jy·com
A.A=BC B.AB=C C.ABC D.BCA
解析:先整理A={x|x=,a∈Z},B={x|x=,b∈Z}={x|x=,b∈Z},C={x|x=,c∈Z},www.21-cn-jy.com
∵3(b-1)+1和3c+1都表示被3除余1的数,6a+1表示被6除余1的数,∴AB=C.
答案:B
1.2.2 集合的运算
第1课时交集与并集
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三点剖析
一、交集、并集的概念
【例1】数学活动课上,小强说:“若xA∩B，则xA且xB.”小刚说：“若xA∪B，则xA且xB.”这两个同学说的都对吗?为什么?21教育网
思路分析:紧扣交集、并集的概念.A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合,xA∩B可分三种情况:xA且x∈B,x∈A且xB,xA且xB,即小强同学说的不正确.A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合,即A、B两集合的元素都在A∪B中,若xA∪B,则必有xA且xB,即小刚同学说的正确.21cnjy.com
温馨提示
本题可借助于韦恩图来理解.
二、交集、并集的运算
【例2】已知集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},求A∩B,A∪B.
思路分析:根据交集、并集的定义,求A∩B只需把集合A、B中的公共元素找出来,写成集合的形式,求A∪B只需把集合A、B中的所有元素找出来,写成集合的形式,要注意集合中元素的互异性.www.21-cn-jy.com
解:A∩B={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}.
A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
温馨提示
若集合A、B中的元素是能够一一列举出来的有限集时,可直接求A∩B、A∪B;若集合较复杂,可先化简,再求交集;若是无限数集,可借助于数轴求交集.2·1·c·n·j·y
三、有字母参数参与的交、并集运算
【例3】已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},求p、q、r的值.【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析:由A∩B={-2}知-2∈A,代入方程x2-px-2=0,求得p,再解方程求出A,又由A∪B确定集合B中的元素.21·世纪*教育网
解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1.
∴A={1,-2}.∵A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},∴B={-2,5}.
∴4-2q+r=0且25+5q+r=0.
解得q=-3,r=-10.故p=-1,q=-3,r=-10.
温馨提示
∵A∩B={-2},∴-2∈B.若将-2代入集合B中的方程x2+qx+r=0,得4-2q+r=0,此路行不通.21·cn·jy·com
当遇到此类问题时,我们应尽快转换思路,将-2代入集合A中的元素.一般地,代入求值问题,代入后剩下的待定系数越少越好.www-2-1-cnjy-com
各个击破
类题演练1
若集合A、B、C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系是( )
A.AC B.CA C.AC D.CA
解析:∵A∩B=A,
∴AB.
∵B∪C=C,
∴BC.
∴AC.
答案:C
变式提升2
设集合A={x∈Z|-10≤x≤-1},B={x∈Z||x|≤5},则A∪B中的元素个数是( )
A.11 B.10 C.16 D.15
解析:A={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1},B={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
∴A∪B有16个元素.
答案:C
类题演练2
(2006全国高考卷Ⅰ,理1文2)设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则( )
A.M∩N= B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R
解析:∵M={x|0∴M∩N=M,M∪N=N.
答案:B
变式提升2
已知AB,AC,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8}.求A.
解析:∵AB,AC,
∴AB∩C.
∵B∩C={2},
∴A=或{2}.
类题演练3
设A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},已知A∩B={9},求a的值及A∪B.
解析:由9∈A,可得a2=9或2a-1=9,
解得a=±3或a=5.
当a=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素违背了互异性,舍去.
当a=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9},满足题意,故A∪B={-7,-4,-8,4,9}.
当a=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去.
综上所述,a=-3且A∪B={-8,-4,4,-7,9}.
变式提升3
已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},a取何实数时,A∩B≠与A∩C=同时成立?21世纪教育网版权所有
解析:B={2,3},C={2,-4}.
∵A∩B≠,且A∩C=,
∴3是方程x2-ax+a2-19=0的解.
∴a2-3a-10=0.
∴a=-2,或a=5.
当a=-2时,经检验符合题意.
当a=5时,A={2,3},此时A∩C≠,
∴a=5舍去.
综上知a=-2.
1.2.2 集合的运算
第2课时补集
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三点剖析各个击破
一、补集的概念
【例1】设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3},且A={5},求实数a的值.
解析:由符号A知AB,由A={5}知5∈B且5A.
∴a2+2a-3=5,即a=2或a=-4.
当a=2时,A={3,2},B={2,3,5},满足A={5},即a=2成立.
当a=-4时,A={9,2},B={2,3,5},AB,所以A无意义,a=-4舍去.
综上讨论可知a=2.
温馨提示
集合是一种数学语言,如果不能从这种语言中破译出它的全部意义,那么就会造成各种各样的错误.
类题演练1
设全集U={1,2,x2-2},A={1,x},求A.
解析:当x=2时,则有x2-2=2,U={1,2,2},不成立,∴x≠2.
当x2-2=x,即x=-1,x=2(舍去)时,U={1,2,-1},A={1,-1}.
∴A={2}.
变式提升2
已知U={x|-1≤x≤3},M={x|-1A.M=N B.N=P C.MP D.MP
答案:A
二、两个集合间的综合运算
【例2】设全集U={x|x≤20的质数},A∩B={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.
思路分析:利用列举法可求得集合U,然后利用韦恩图处理.
解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意,利用韦恩图(如图所示).
故集合A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
温馨提示
(1)有些集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图或数轴进行分析,往往可将问题直观化、形象化,使问题简捷地获解.21教育网
(2)如果集合是由一些数组成的有限集,常利用韦恩图解决;如果集合是用区间的形式表示的无限集,常用数轴来解决.21cnjy.com
(3)补集的运算:(A)∪(B)=(A∩B),(A)∩(B)=(A∪B).
类题演练2
集合S、M、N、P如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.M∩(N∪P) B.M∩(N∩P) C.M∪(N∩P) D.M∩(N∪P)
答案:D
变式提升2
设全集U={x|x为12的约数,且x∈Z},A∩(B)={-6,4,-4},A∩B={-2,6},(A)∩(B)
={-3,1,2,12},求集合A与B.
解析:利用韦恩图.
U={-1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12},
∵(A)∩(B)=(A∪B)={-3,1,2,12},
∴A∪B={-1,-2,3,4,-4,6,-6,12}.
又∵A∩(B)={-6,4,-4},由文氏图可知A={-6,-4,-2,4,6},B={-12,-2,-1,3,6}.
三、已知两集合间的关系求参数的取值范围
【例3】已知集合A={x|x2+6x=0},B={x|x2+3(a+1)x+a2-1=0},且A∪B=A,求实数a的值.
解析:∵A={x|x2+6x=0}={0,-6},
由A∪B=A,
∴BA.
(1)当B=时,x2+3(a+1)x+a2-1=0中Δ<0,
解得(2)当B≠时,①若B=A,由根与系数的关系解得a=1,符合A=B.
②若BA,则B={0}或{-6},则x2+3(a+1)x+a2-1=0中的Δ=0且有相等实根0或-6.
由Δ=0得a=-1或,当a=-1时,B={0};当a=时,B={}不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是类题演练3
设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},BA,求实数a的取值范围.
解析:∵A={x|x>1},U=R,∴A={x|x≤1}.
又B={x|x<-a},且BA,
如下图所示.
则有-a≤1,即a≥-1.
故所求a的范围为{a|a≥-1}.
变式提升3
设集合M={x|x=3m+1,m∈Z},N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M、N的关系是( )21世纪教育网版权所有
A.x0y0∈M B.x0y0M C.x0y0∈N D.x0y0N21·cn·jy·com
解析:∵x0∈M,∴x0=3m+1.
∵y0∈N,∴y0=3n+2.
∴x0y0=(3m+1)(3n+2)=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2∈N.故选C.www.21-cn-jy.com
答案:C
3.1.1 有理指数幂及其运算
课堂导学
三点剖析
一、有理指数幂的计算
【例1】计算:()0.5+0.1-2+()-3π0+,
解析：原式=()++()-3+
=+100+-3+=100.
温馨提示
利用分数指数幂的运算性质进行运算,需先化简,直至计算出最简结果,要在记准、记熟运算性质的基础上,结合具体问题灵活地运用.21世纪教育网版权所有
二、有理指数幂运算法则的应用
【例2】化简:÷()×.
解析：原式=
==.
温馨提示
(1)本题化简的关键是a-8b=(a)3-(2b)3=(a-2b)×(a+2ab+4b).
(2)在指数式运算中,根式的化简,一般先化为分数指数幂,利用幂的运算法则进行运算与化简,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.21教育网
三、有理指数幂运算法则的综合应用
【例3】(1)比较,,的大小;
(2)已知a+a=3,求的值.
思路分析：(1)因根指数都不相同,应化成统一的根指数,再进行比较.
(2)将所求式子化简,便可找到所求与条件的联系.
解:(1)∵==,==,
又∵121<123<125,∴<<.
∴>>.
(2)∵+a=3,
∴平方得a+a-1=7.
∴==a+a-1+1=8.
温馨提示
(1)根式比较大小,当根指数相同时,只需比较被开方数的大小,被开方数大的根式的值大;当根指数不尽相同时,应先化成同次根式,再比较它们的大小.21cnjy.com
(2)分析所求与条件的关系,抓联系,消差异,促转化.
各个击破
类题演练1
计算:(1);(2);(3)(a>b);(4)(0.027)-1.5.
解析：(1)=-8;
(2)=10;
(3)=|a-b|=a-b(a>b);
(4)(0.027)-1.5=0.09==.
变式提升1
计算:(0.064)-()0+［(-2)3］+16-0.75+0.01.
解析：原式=-1+(-2)-4++0.1=-1+++0.1=-1+++=.
类题演练2
化简:.
解析：原式=
=(x+xy+y)-(x-xy+y)
=2xy.
变式提升2
化简:.
解析：原式=
=
=a÷a÷a=a÷a
=a÷a=a=a.
类题演练3
已知x+x=3,求的值.
解析：由x+x=3,两边平方得x+x-1=7,再平方得x2+x-2=47.
又x+x=(x+x)(x-1+x-1)
=3×6=18,
故==.
变式提升3
已知a、b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
解析：∵a、b是方程x2-6x+4=0的两根,∴
∵a>b>0,
∴,()2===.
∴==.
3.1.2 指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的定义域、值域的求法
【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y=2;
(2)y=()-|x|;
(3)y=4x+2x+1+1.
解析：(1)∵x-4≠0,∴x≠4.
∴定义域是{x∈R|x≠4}.
∵≠0,∴2≠1.
∴函数的值域是{y|y>0且y≠1}.
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y=()|x|=()|x|≥()0=1.
∴y=()|x|的值域是{y|y≥1}.
(3)定义域是R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.
∴y=4x+2x+1+1的值域是{y|y>1}.
温馨提示
(1)由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.21世纪教育网版权所有
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.21cnjy.com
二、比较两个数的大小问题
【例2】比较下列各题中两个值的大小.
(1)()0.8与()1.8;
(2)()与();
(3)1.70.3与0.93.1.
思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小.21·cn·jy·com
解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数y=()x在R上是减函数,所以()1.6>()1.8,即()0.8>()1.8.www-2-1-cnjy-com
(2)因为()=(),且函数y=()x在R上是减函数,所以()<(),即()<().2-1-c-n-j-y
(3)由指数函数的性质,得1.70.3>1.70=1,
又0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
温馨提示
两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、±1等.21教育网
三、复合函数的单调性
【例3】求函数y=()的单调区间.
思路分析：函数y=()可认为由y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x2-6x+17与y=()u的性质.www.21-cn-jy.com
解:函数u=x2-6x+17在［3,+∞)上是增函数,即对任意的x1、x2∈［3,+∞)且x1∴()>(),即y1>y2.
∴y=()在［3,+∞)上是减函数.
同理,y=()在(-∞,3］上是增函数.
温馨提示
当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当0各个击破
类题演练1
求函数y=2的定义域与值域.
解析：定义域{x∈R｜x≠-1},令u=.
∵u==1,
∴u∈R且u≠1.
∴y=2u>0且y≠2.
∴值域为{y｜y>0且y≠2}.
变式提升1
已知指数函数f(x)=ax在［-1,1］上的最大值与最小值之差为1,求a的值.
解析：当a>1时,f(x)max=a,f(x)min=a-1,
由a=1,知a2-a-1=0,∴a=.
当0∴a=.
因此a的值为a=.
类题演练2
比较y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5的大小.
解析：将这三个数化同底得y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5,由于y=2x在(-∞,+∞)上是增函数且1.8>1.5>1.44,∴21.8>21.5>21.44.【来源：21·世纪·教育·网】
∴y1>y3>y2.
变式提升2
将下列各数从小到大排列起来:
(),(),3,(),(),()0,(-2)3,().
解析：∵()0=1,∴可先将其余的数分成三类:
(1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(),(),()=();(3)大于1的数:()=(),3,().21·世纪*教育网
在(2)中,()÷()=(×)>1,
∴()>().
∵0<<1,<,∴()>().
故在(2)类中,有()<()<().
在(3)中,()=()<()<3.
由此可得(-2)3<()<()<()-<()0<()<()<3.
类题演练3
求函数f(x)=()的单调区间.
解析：由x2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1.
又知g(x)=x2-2x-3在［3,+∞)上是增函数,
在(-∞,-1］上是减函数.
又∵<1,∴f(x)的递增区间为(-∞,-1］,递减区间为［3,+∞).
变式提升3
方程2ax2-x-1=0(a≠0)在［-1,1］上有且仅有一个实根,求函数y=a(a>0且a≠1)的单调区间.2·1·c·n·j·y
解析：设f(x)=2ax2-x-1.
在［-1,1］上方程有且仅有一个实根,
f(-1)f(1)≤0,即2a·(2a-2)≤0,
∴0≤a≤1.∵a>0,a≠1,∴0y=a中,设u=-3x2+x=-3(x)2+.
y=au是减函数,当x∈(-∞,］时,u是增函数,
∴y=a是减函数.
当x∈［,+∞)时,u是减函数,∴y=a是增函数.
∴该函数的单调增区间为［,+∞),单调减区间为(-∞,］.
3.2.1 对数及其运算
第1课时对数概念及常用对数
课堂导学
三点剖析
一、指数形式与对数形式互化
【例1】(1)将下列指数式化为对数式:
①54=625;②3-2=;③()-2=16.
(2)将下列对数式化为指数式:
①lg100=2;②log27=-3;③log=6;④logx64=-6.
解析：(1)①∵54=625,∴log5625=4.
②∵3-2=,∴log3=-2.
③∵()-2=16,∴log16=-2.
(2)①102=100.②()-3=27.③()6=x.
④x-6=64.
温馨提示
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
二、求值问题
【例2】(1)求log84的值;
(2)求下列各式中的x:
①log8x=;②logx27=;③log2(log5x)=0;④log3(lgx)=1.
解析：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,
即23x=22.
∴3x=2,x=∴log84=.
(2)①由log8x=,
得x=8=(23)=2-2=.∴x=.
②由logx27=,得x=27,x=33.
∴x=(33)=34=81.
③由log2(log5x)=0,得log5x=1.∴x=5.
④由log3(lgx)=1,得lgx=3,x=103=1000.
三、条件求值问题
【例3】已知x=log23,求的值.
思路分析：已知中有对数式,而所求的式子中没有对数式,只有指数式,所以要先把对数式化成指数式,再设法求值.21世纪教育网版权所有
解：∵x=log23,
∴2x=3,2-x=.
∴=
=22x+1+2-2x=32+1+=,
或原式==.
温馨提示
条件求值问题,关键是如何利用条件,直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.21cnjy.com
各个击破
类题演练1
完成下表指数式与对数式的转换.
题号
指数式
对数式
（1）
103=1000
（2）
log39=2
（3）
log210=x
（4）
π3=x
解析：(1)lg1 000=3;(2)32=9;(3)2x=10;(4)logπx=3.
变式提升1
若loga=c,则a、b、c满足( )
A.b7=ac B.b=a7c C.b=7ac D.b=c7a21教育网
解析：由对数的定义知=ac,
∴b=(ac)7=a7c.
答案：B
类题演练2
(1)已知(logx4)2=9,求x的值;
(2)已知log2［log(log2x)］=0,求x的值.
解析：(1)由(logx4)2=9,得logx4=±3,
∴x3=4或x-3=4.
∴x=或x=.
(2)由log2［log(log2x)］=0,得log(log2x)=20=1.
∴log2x=.
∴x=2=.
变式提升
已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.
解析：loga2=m,loga3=n,由对数定义知am=2,an=3,
∴(am)2=4,即a2m=4.
∴a2m+n=a2m·an=4×3=12.
类题演练3
已知x=loga(+1),求的值.
解析：由条件知a2x=+1,
∴=
=a2x+a-2x-1
=a2x+-1
=+1+-1
=+1+-1-1
=2-1.
变式提升3
已知logxy=2,求y-x的最小值.
解析：logxy=2,由对称定义知y=x2(x>0且x≠1).
∴y-x=x2-x=(x)2.
∴当x=时,y-x最小值为.
3.2.1 对数及其运算
第2课时积、商、幂的对数
课堂导学
三点剖析
一、利用对数运算法则的计算问题
【例1】计算:(1)lg12.5-lg+lg;
(2)loga+loga+loga(a>0且a≠1);
(3)2log510+log50.25;
(4)2log525+3log264;
(5)log2(log216).
思路分析：要注意灵活运用对数的运算法则,要会正用法则,也要会逆用法则,更要会变形用法则.
解：(1)lg12.5-lg+lg
=(lg12.5+lg)-lg
=lg(12.5×)+lg
=lg(12.5××)
=lg10=1.
(2)loga+loga+loga
=logaa-nlogaalogaa
=n=-n.
(3)2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2.21cnjy.com
(4)2log525+3log264=2log552+3log226
=4log55+18log22=4+18=22.
(5)log2(log216)=log2(log224)
=log24=log222=2.
温馨提示
计算时要将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题的具体需要正用及逆用法则,灵活地运用法则.www.21-cn-jy.com
二、对数式的条件求值问题
【例2】已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg.
思路分析：运用对数运算法则变形lg,最后变为仅含lg2和lg3的式子.
解：lg=lg45=lg5×9
=(lg5+lg9)=lg+lg32
=(lg10-lg2)+lg3
=(1-0.3010)+0.4771=0.8266.
温馨提示
条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.21世纪教育网版权所有
三、对数运算法则的综合应用问题
【例3】(1)化简;
(2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:log=4.
(1)解法一:先采用“分”的方法.
原式=
==.
解法二:采用“合”的方法.
原式===.
(2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x-2y),
∴lgxy=lg(x-2y)2.
∴xy=(x-2y)2,
即x2-5xy+4y2=0.
∴x=4y或x=y(舍去).
∴=4.
∴log=log4=log()4=4.
温馨提示
对数式化简的两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成若干个对数的代数和,最后进行化简;二是把同底的对数之和合并成一个对数,对真数进行化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题的重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲的方法.21·cn·jy·com
各个击破
类题演练1
计算:(1);
(2)lglg+lg.
解析：(1)
=
===1.
(2)lglg+lg
=(5lg2-2lg7)×lg2+(2lg7+lg5)
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5
=lg2+lg5=(lg2+lg5)
=lg10=.
变式提升1
计算:(1)lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)2;
(2)
解析：(1)lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)2
=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg10+(lg5+lg2)2
=2+(lg10)2=3.
(2)
=
==.
类题演练2
已知lgx=m,lgy=n,求lg-lg()2的值.
解析：lg-lg()2=lgx-2lg
=lgx-2(lgy-lg10)=m-2n+2.
变式提升2
已知3n=2,求log38-log336(用n表示).
解析：由3n=2,得n=log32.
∴log38-log336=log323-log362=3log32-2log36=3log32-2log32×321教育网
=3log32-2(log32+log33)=log32-2=n-2.
类题演练3
化简log2+log212log242.
解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log2,log212,log242拆成若干个对数的代数和,然后再化简.2·1·c·n·j·y
原式=log2+log2(3×22)log2(7×2×3)
=log27-log23-2log22+log23+2log22log27log22log23
=log22=.
解法二:由于所给对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算.
原式=log2=log2=.
变式提升3
证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.
证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5
=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5
=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2
=(lg2+lg5)2
=(lg10)2
=1.
3.2.1 对数及其运算
第3课时换底公式与自然对数
课堂导学
三点剖析
一、利用换底公式进行求值
【例1】计算:(1)log1627log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值.
解：(1)log1627log8132=
===.
(2)方法一:(log32+log92)(log43+log83)
=(log32+)()
=(log32+log32)(log23+log23)
=log32×log23=×=.
方法二:原式=(==×××
=.
二、条件求值
【例2】已知log1227=a,求log616的值.
思路分析：此题用换底公式,将log616换成以12为底的对数,而已知a=log1227可转化为log123=,关键是log122的值,=22是一个重要转折,∴log12=log1222=2log122.
解：∵log1227=a,∴log123=.
∵log12=2log122=1-log123=1,
∴log122=(1).
∴log616===.
三、恒等式的证明问题
【例3】求证:(1)logxylogyzlogza=logxa;
(2)logbnlogca=logcb.
思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”.
证明:(1)logxylogyzlogza===logxa.∴原式成立.
(2)logbnlogca====logcb.
∴原式成立.
温馨提示
在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
求值:(1)log23log95log58;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
解析：(1)原式===.
(2)原式=()()==13.
变式提升1
已知log34log481log8m=log416,求m的值.
解析：由条件知=2,
2,∴2lgm=3lg2.
∴lgm2=lg8.∴m2=8.
又∵m>0,∴m=2.
类题演练2
已知log35=a,求log1575.
解析：log1575====.
变式提升
已知log23=a,log37=b,求log4256.
解析：∵log23=a,∴log32=.
∴log4256====
==.
类题演练3
求证:logm(x+y+a)log(x+y+a)(y+z)log(y+z)m=1.
证明:logm(x+y+a)log(x+y+a)(y+z)log(y+z)m
==1.
变式提升3
设x、y、z∈(0,+∞)且3x=4y=36,求证:=1.
证明:∵3x=36,4y=36,
∴x=log336，y=log436.
∴=log363=log364.
∴+=2log363+log364
=log36(32×4)=1.
∴+=1.
3.2.2 对数函数
课堂导学
三点剖析
一、对数函数定义域、值域问题
【例1】求下列函数的定义域与值域.
(1)y=log2(x2-4x-5);
(2)y=log3(9-x2);
(3)y=;
(4)y=.
思路分析：(1)(2)题,用y=logax的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=logax中的x的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.www.21-cn-jy.com
解：(1)∵x2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.
∴y=log2(x2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.
又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R.
(2)由9-x2>0,得-3∴y=log3(9-x2)的定义域为{x|-3又知0<9-x2≤9且y=log3x是增函数,
∴y=log3(9-x2)≤log39=2.
∴y=log3(9-x2)的值域为(-∞,2］.
(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,
∴所求定义域是{x|x>0},值域为R.
(4)要使函数y=有意义,必须log0.5(4x-3)≥0=log0.51.
∴0<4x-3≤1.∴∴所求定义域是{x|二、比较大小问题
【例2】比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log0.3,log20.8;
(2)loga5.1,loga5.9;
(3)log67,log76.
思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.21教育网
解：(1)由对数的性质,知
log0.3>0,log20.8<0,
∴log0.3>log20.8.
(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论.21·cn·jy·com
当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,
∴loga5.1当0loga5.9.
(3)∵log67>1,log76∴log67>log76.
三、函数单调性的判定与单调区间的求法
【例3】(1)求证:函数f(x)=-logx在(0,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)=log2(x2-1)的单调区间.
(1)证明:在(0,+∞)上任取x1、x2,且0则f(x1)-f(x2)=(-logx1)-(-logx2)=logx2-logx1.
又y=logx在(0,+∞)上是减函数,有logx2∴logx2-logx1<0,即f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)∴f(x)=-logx在(0,+∞)上是增函数.
(2)解析：由x2-1>0得x>1或x<-1,
∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).
令g(x)=x2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,
在(-∞,-1)上递减且f(x)=log2x为增函数.
故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).
温馨提示
(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=logax的单调性来证明复合函数单调性.
(2)G(x)=f［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.21cnjy.com
各个击破
类题演练1
已知函数y=loga(a-ax)(其中a>1),求它的定义域和值域.
解析：根据题意a-ax>0,∴ax又∵a>1,y=ax是增函数,∴x<1.
∵ax0,0∴loga(a-ax)<1.
∴函数y=loga(a-ax)的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.
变式提升1
求下列函数的定义域:
(1)y=log7;
(2)y=;
(3)y=log(x+1)(16-4x).
解析：(1)由得x<,
∴所求函数的定义域为{x|x<}.
(2)由即
∴函数y=的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-1}.
(3)由
∴y=log(x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1类题演练2
比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log3,log3;
(2)log3π,log20.8.
解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=logx的图象在y=logx图象的上方,
∴log3>log3.
(2)∵log3π>log31=0,log20.8log20.8.
变式提升
比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.
解析：把lgm看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm进行讨论:21世纪教育网版权所有
当1>lgm>0,即1∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;
当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;
当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x在R上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9<(lgm)2.1.
类题演练3
求函数f(x)=log0.5(x2-2x-3)的单调区间.
解析：由x2-2x-3>0得x>3或x<-1,
令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.
又f(x)=log0.5x是减函数,
故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).
变式提升3
判断f(x)=loga(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.
解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0.
设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,
则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.
∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2).
∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.
∴g(x1)>g(x2).
又当a>1时,f(x)=logax是增函数,
∴f(x1)=logag(x1)>logag(x2)=f(x2).
∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.
同理可证,
当03.2.3 指数函数与对数函数的关系
课堂导学
三点剖析
一、求函数的反函数问题
【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.
(1)y=(-1≤x≤0);
(2)y=x2-4x+7(x≤2).
解析：(1)∵y=,∴x2=1-y2.
又-1≤x≤0,
∴0≤x2≤1,0≤1-x2≤1,0≤≤1,即0≤y≤1.
∴x=(0≤y≤1).
∴所求反函数是y=-(0≤x≤1).
(2)∵y=(x-2)2+3,x≤2,
∴y≥3,x-2≤0.
∴x-2=,x=+2(y≥3).
∴所求反函数是y=+2(x≥3).
温馨提示
(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y的取值范围,即反函数的定义域.21世纪教育网版权所有
(2)在交换x、y时,要将y的限制条件换成x的限制条件,并由此得到反函数的定义域.
(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.
二、指数函数与对数函数的图象关系
【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是下图中的( )
思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.www.21-cn-jy.com
解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.
其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.
解法二:若0若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.21·世纪*教育网
解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.www-2-1-cnjy-com
答案：B
温馨提示
(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.2-1-c-n-j-y
(2)y=ax与y=logax为互为反函数关系,其图象关于y=x对称.
三、指数函数与对数函数性质的综合运用
【例3】设函数f(x)是函数g(x)=的反函数,则f(4-x2)的单调递增区间为( )
A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］
思路分析：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),利用复合函数的单调性求单调区间.
解：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),它是由函数logu和u=4-x2(-2答案：C
温馨提示
(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.
(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.
各个击破
类题演练1
求下列函数的反函数:
(1)y=7x;(2)y=log8x;(3)f(x)=lnx.
解析：(1)∵y=7x,x∈R,把y作为自变量,x作为y的函数,则x=log7y,y>0,通常自变量用x表示,函数用y表示,则y=log7x,x>0.21教育网
∴y=7x的反函数是y=log7x(x>0).
(2)∵y=log8x,∴8y=x.∴y=8x.
∴y=log8x的反函数是y=8x(x∈R).
(3)设y=f(x)=lnx,
∴x=ey.∴y=ex.
∴f(x)=lnx的反函数是f-1(x)=ex(x∈R).
变式提升1
求函数y=的反函数.
解析：由y=得y=.
∴ye2x+y=e2x-1.
∴e2x=.∵e2x>0,∴>0.∴-1∴2x=ln(-1∴函数y=的反函数为y=ln(-1类题演练2
当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是( )
解析：∵a>1,∴0<<1.
∴y=a-x=()x是减函数.
∴选A或D.而y=logax是增函数,
∴选A或B.
∴选A.
答案：A
变式提升
已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )21cnjy.com
解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a3·loga3<0.
又∵a>0,∴loga3<0.∴0∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C.
答案：C
类题演练3
函数f(x)=ax+loga(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )
A. B. C.2 D.4
解析：∵y=ax与y=logax的单调性相同,
∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1).
从而f(1)+f(0)=a,∴loga2+1=0.∴a=.
答案：B
变式提升3
定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3x-m(m是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f-1(x)］2-f-1(x2)的值域为( )21·cn·jy·com
A.［2,5］ B.［1,+∞) C.［2,10］ D.［2,13］
解析：由条件可知,32-m=1,∴m=2.∴f(x)=3x-2.
∴f-1(x)=log3x+2(1≤x≤9).
∴F(x)=(log3x+2)2-(log3x2+2)
=log32x+2log3x+2
=(log3x+1)2+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min=2;
当x=3时,F(x)max=5.
∴F(x)的值域为［2,5］.
答案：A
3.3 幂函数
课堂导学
三点剖析各个击破
一、幂函数的定义
【例1】判断下列函数是不是幂函数，满足什么条件才是幂函数？
(1)y=(k≠0);
(2)y=kx+b(k≠0);
(3)y=ax2+bx+c(a≠0);
(4)y=xα.
思路分析：判断一个函数是不是幂函数主要依据幂函数的定义：形式为y=xα，其中x是自变量，α是常数.
解：这四个函数都不一定是幂函数.
(1)当k=1时是幂函数；
(2)当k=1,b=0时是幂函数；
(3)当a=1，b=c=0时是幂函数；
(4)当x是自变量，α是常数时才是幂函数.
温馨提示
判断一个函数是不是幂函数可以依据下列步骤：
(1)看函数是不是幂式y=xα;
(2)看自变量是在底数上，还是在指数上，在底数上是幂函数，在指数上是指数函数.
类题演练1
已知函数f(x)=(m2+2m)·x.m为何值时，f(x)为幂函数？
解析：根据幂函数的定义,知m2+2m=1.解得m=-1±2,即当m=-1±2时,f(x)为幂函数.
变式提升1
点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2,)在幂函数g(x)的图象上，问x为何值时，有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)解析：设f(x)=xα,则由题意知2=()α,∴α=2,即f(x)=x2.
再设g(x)=xβ,则由=(-2)β,得β=-2,即g(x)=x-2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象(如下图)，可知：21cnjy.com
①当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);②当x=±1时，f(x)=g(x);
③当-1二、幂函数的图象、性质
【例2】给定一组函数解析式:①y=x;②y=x;③y=x;④y=x;⑤y=x;⑥y=x;⑦y=x和一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内.21·cn·jy·com
解析：观察前3个图象,由于在第一象限内,函数值随x的增大而减小,知幂指数α应小于零.其中第1个函数图象关于原点对称,第2个函数图象关于y轴对称,而第3个函数的定义域为x>0,所以,第1个图象应对应函数y=x,第2个图象对应y=x,第3个图象对应y=x;后4个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知α>0,第4个图象关于y轴对称,第5个图象关于原点对称,定义域都是R,所以,第4个图象对应函数y=x,第5个图象对应y=x.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第6个图象呈上凸状,α应小于1,第7个图象呈下凸状,α应大于1,故第6个图象对应y=x,第7个图象对应y=x.www.21-cn-jy.com
答案：⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤
类题演练2
如下图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α取±2,±四个值,则相应的曲线C1、C2、C3、C4的α依次为( )2·1·c·n·j·y
A.-2、-、、2 B.2、、-、-2
C.- 、-2、2、 D.2、、-2、-
解析：根据幂函数的图象与性质,知应选B.
答案：B
变式提升
已知x∈［-1,+∞),试判断函数f(x)=x+2·x+4的增减性.
解析：f(x)=x+2x+4=(x+1)2+3.
∵x≥-1,
令t=x+1∈［0,+∞),而u(t)=t2+3在［0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在［-1,+∞)上是增函数.
三、幂函数的图象、性质的应用
【例3】比较下列各组数的大小:
(1)3与3.1;
(2)-8与-().
解析：(1)函数y=x在(0,+∞)上为减函数.
∵3<3.1,
∴3>3.1.
(2)-8=-(),函数y=x在(0,+∞)上是增函数.
∵>,
∴()>().
∴-8<-().
温馨提示
比较大小问题,一般用相应函数的单调性来比较,抽象出相应的函数至关重要.间接法比较大小除用单调性外,还要找到合适的“桥梁”搭桥,往往取0或1等常数.
类题演练3
设a、b满足0A.aa解析：∵0∴y=xα在［0,+∞）上是单调递增的.
∴aa答案：C
变式提升3
若(a+1)<(2a-2),则实数a的取值范围是____________.
解析：令y=x.∵y=x在（-∞,+∞）上是单调递增的,
∴(a+1)<(2a-2)a+1<2a-2,
解得a>3.
答案：a>3
3.4 函数的应用（Ⅱ）
课堂导学
三点剖析
一、给出函数模型的问题
【例1】某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)2-1-c-n-j-y
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?
解析：(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,
由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,
由图知f(1)=,
∴k1=.
又g(4)=,∴k2=.
从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元.设企业利润为y万元.
y=f(x)+g(10-x)
=+,
∴0≤x≤10.
令=t,则y=+t=(t)2+(0≤t≤).
当t=时,ymax=≈4,此时x=10=3.75.
答:当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元.
温馨提示
本问题一般有三类:
(1)直接给出函数解析式;
(2)给出函数图象,根据图象上的关键点求出解析式;
(3)给出函数类型,自己设出解析式,利用待定系数法求出解析式.
二、构造函数模型
【例2】按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少?21·cn·jy·com
思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期的利息.
解：已知本金为a元,
1期后的本利和为y1=a+a×r=(1+r)a;
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后的本利和为y3=a(1+r)3;
…
x期后的本利和为y=a(1+r)x,
将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得
y=1000(1+2.25%)5=1000×1.02255.
由计算器算得y=1117.68(元).
答:函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元.
温馨提示
在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.2·1·c·n·j·y
三、函数模型的综合应用
【例3】如下图，河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂B所需原料由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B,由于水运太长,运费颇高,工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D,并由码头D到工厂B修一条新公路,原料改为按由A到D再到B的路线运输,设|AD|=x千米(0≤x≤40),每10吨货物总运费为y元,已知每10吨货物每千米运费水路为1元,公路为2元.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)要使运费最省,码头D应建在何处?
思路分析：依题意,每10吨货物总运费y为从A到D的水路运费与从D到B的陆路运费之和,因|AD|=x千米,水路运费为(x·1)元,陆路长度由勾股定理求得,陆路运费为(·2)元,不难建立y与x的函数关系式.www-2-1-cnjy-com
解：(1)由题意|BD|=,
易得每10吨货物总运费
y=x+2,0≤x≤40.
(2)由(1)得y-x=2.
两边平方,得(y-x)2=4(2500-80x+x2).
整理得3x2-2(160-y)x+10000-y2=0.①
Δ=4(160-y)2-4×3×(10000-y2)≥0.
解得y≥40+30或y≤40-30(舍去).此时,将y=40+30代入方程①,得
x=40-10∈［0,40］.
∴当x=40-10时,y取最小值,
即当码头建在AC段上与A相距(40-10)千米时,可使运费最少.
温馨提示
(1)对于应用问题中所提出的问题,要认真领会、理解,要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,根据实际问题准确地得到函数关系式,进而利用有关的数学知识和函数性质实施解题.21*cnjy*com
(2)对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联系建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来解,则可使应用问题化生为熟,尽快得到解决.【来源：21cnj*y.co*m】
各个击破
类题演练1
某商品在近100天内,商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下:
f(t)=
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)=(0≤t≤100,t∈Z).
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高.
解析：依题意该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为
F(t)=f(t)·g(t)=
(1)若0≤t≤40,t∈Z,则
F(t)=
=,
当t=12时,F(t)max=(元).
(2)若40＜t≤100,t∈Z,则
F(t)=()()
=(t-108)2,
∵t=108>100,∴F(t)在（40,100］上递减.
∴当t=41时,F(t)max=745.5.
∵>745.5,∴第12天的日销售额最高.
变式提升1
某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1.2万件、1.3万件服装,为了预测以后各月的销售趋势,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟销售量y与月份x之间的关系,模拟函数可以选用二次函数或y=a·bx+c(a,b,c为常数),已知四月份的实际销售量为1.37万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好,求出此函数.21世纪教育网版权所有
解析：由条件知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3.
若用二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c,
则解得a=
∴f(x)=x2+x+.
当x=4时,f(4)=13..
若用f(x)=a·bx+c,则
解得∴f(x)= ·()x+.
此时当x=4时,f(4)==13.5.
又知四月份的实际销售量为1.37,
由此可知选用f(x)=·()x+,
∴用y=a·bx+c作模拟函数较好.
类题演练2
某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数;(精确到0.1万人)
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)
解析：(1)1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3;
……
x年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后人口数为
100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,
即100×(1+1.2%)x=120,
x=log1.012=log1.0121.20≈15(年).
类题演练3
某公司生产一种产品每年需投入固定成本0.5万元,此外每年生产100件产品还需要增加投资0.25万元.经市场调查知这种产品的年需求量为500件,售出的这种产品数量为t(百件)时,销售所得收入约为5t(万元)(t≤5).21教育网
(1)若该公司这种产品的年产量为x(百件),设该公司生产并销售这种产品所得的利润为当年产量x的函数f(x),求f(x);21cnjy.com
(2)当该公司的年产量为多大时,当年所得的利润最大?
解析：产品生产件数与售出件数之间的关系,有两种情况,若生产量不超500件,则能全卖出,若生产超过500件,则只能售出500件,所以要应用分段函数求解.www.21-cn-jy.com
(1)由题意知:当0＜x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出5(百件).
∴f(x)=
即f(x)=
(2)当0＜x≤5时,f(x)=x2+4.75x-0.5,
∴当x=4.75时,f(x)max=10.78125(万元).
而当x>5时,f(x)=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴当年产量为475件时,利润最大.
变式提升3
学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子),能使完成全部任务最快?21·世纪*教育网
解析：设x名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为函数P(x)=,制作200把椅子所需时间为函数Q(x)=,完成全部任务所需的时间为y(x)=max{P(x),Q(x)}.
为求得y(x)的最小值,需满足P(x)=Q(x),即=.解得x=12.5.
考虑到人数x∈N*,考察P(12)与Q(13),P(12)=≈1.19,Q(13)=≈1.18,即y(12)>y(13),所以用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快.
2.1.1 函数
第1课时变量与函数的概念
课堂导学
三点剖析
一、函数定义域的求法
【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=+.
思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和,差,积,商的形式构成时(如(3)(4)),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.
解：(1)要使f(x)=1x-2有意义,必须x-2≠0,所以x≠2.故函数的定义域是{x|x≠2},区间表示为(-∞,2)∪(2,+∞).21世纪教育网版权所有
(2)要使f(x)=有意义,必须3x+2≥0,所以x≥,故函数的定义域是{x|x≥},区间表示为［,+∞).www.21-cn-jy.com
(3)由于00没有意义,所以x+1≠0.①
又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以-x≠0,即x<0.②
由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1},区间表示为(-∞,-1)∪(-1,0).
(4)要使函数f(x)=+有意义,必须所以≤x<2且x≠0,故函数的定义域为{x|≤x<2且x≠0},区间表示为［,0)∪(0,2).
二、求复合函数的定义域
【例2】若函数f(x)的定义域是［1,4］,求f(x+2)、f(x2)的定义域.
思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使f(x+2)有意义,不妨把x+2看作一个整体变量,它应适合f(x)的定义域,转化成已知变量求解.21cnjy.com
解：∵f(x)的定义域为［1,4］,
∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4,
即-1≤x≤2,则f(x+2)的定义域是［-1,2］.
同理,由1≤x2≤4,
即-2≤x≤-1或1≤x≤2,
则f(x2)的定义域为［-2,-1］∪［1,2］.
温馨提示
由f(x)的定义域求复合函数f［g(x)］的定义域类型,一般方法是,若f(x)的定义域为D,则f［g(x)］的定义域是使g(x)∈D的x的集合.【来源：21·世纪·教育·网】
本题易误解为:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.
∴f(x+2)的定义域为［3,6］.忽视了f(x+2)有意义的条件,习惯性地代换x是错因.
三、判断两个函数是否为同一函数
【例3】下列所给四组函数表示同一函数的是( )
A.f(x)=x,g(x)= B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=x0 D.f(x)=x2+x+1,g(x)=21·世纪*教育网
思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.www-2-1-cnjy-com
解：对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为［0,+∞),不是同一函数.
对于B,f(x)、g(x)的定义域为R,g(x)=3x3=x,是同一函数.
对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.21教育网
对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不是同一函数.选B.
答案：B
温馨提示
本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可.
各个击破
类题演练1
求函数f(x)=+的定义域.
解析：要使函数有意义，必须
∴函数f(x)=+的定义域是{x|x≥-1且x≠2}.
变式提升2
(1)已知函数f(x)=的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A.a> B.－12＜a<0 C.-12解析：当a=0时，f(x)有意义;当a≠0时，由ax2+ax-3≠0,得Δ=a2+12a<0,即-12答案：C
(2)若f(x)=的定义域为A，g(x)＝的定义域为B，当BA时，求a的取值范围.
解析：由2≥0，得≥0.
∴x<-1,或x≥1,
即A=(-∞,-1)∪［1,+∞).
由(x-a-1)(2a-x)>0,得
(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,
∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.
故当B?A时，实数a的取值范围为（-∞,-2］∪［,1).
类题演练2
已知函数f(x)的定义域为［a,b］，其中a<0b，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［a,b］,要使g(x)有意义,则
又∵a<0b,所以ab.
故函数g(x)的定义域为{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.
变式提升2
若函数y=f(x+1)的定义域为［-2,3］,求y=f(2x-1)的定义域.
解析：∵y=f(x+1)的定义域为{x|-2≤x≤3},
∴-1≤x+1≤4,
即y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
∴y=f(2x-1)的定义域满足-1≤2x-1≤4.
∴0≤2x≤5,即0≤x≤.
∴f(2x-1)的定义域为{x|0≤x≤}.
类题演练3
下列各组式子是否表示同一函数？说明理由.
（1）f（x）=|x|,φ(t)=;
(2)y=x2,y=()2;
(3)y=·,y=;
(4)y=·,y=.
解析：仅就定义域不同，即知(2)和（3）中的两个式子表示不同的函数，经考查定义域和对应法则，可知（1）和（4）中的两个式子都表示相同的函数，事实上，对于（1），在公共定义域R上，f(x)=|x|和φ(t)＝的对应法则完全相同，只是表示形式不同;对于(4)，在公共定义域［-1,1］上，y=·y=.21·cn·jy·com
变式提升3
下列各函数中,与y=2x-1是同一函数的是…( )
A.y= B.y=2x-1(x>0)
C.s=2t-1 D.y=
解析：先认清y=2x-1,它是定义域和值域都是R的映射,其中f:y=2x-1,x∈A,y∈B.A项中,定义域为x∈R且x≠,与y=2x-1不是同一函数;B项中,定义域为x>0,与y=2x-1不是同一函数;D项中,y==|2x-1|=对应法则是不同的;而C项中,定义域是R,值域是R,对应法则是乘2减1,与2x-1是相同的.故答案为C.2·1·c·n·j·y
答案：C
2.1.1 函数
第2课时映射与函数
课堂导学
三点剖析
一、考查映射概念
【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?
(1)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应法则f:每一个三角形都对应它的内切圆.21cnjy.com
(2)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应法则f:每一个班级都对应班里的学生.21·cn·jy·com
思路分析：映射中的对应法则只有一对一与多对一,不能是一对多.
解：(1)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应f:A→B是从集合A到B的映射.
(2)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即与一个班级对应的学生不止一个,所以这个对应f:A→B不是映射.2·1·c·n·j·y
二、判断映射个数
【例2】已知集合M={-1,0,1},映射f:M→M满足f(0)=f(-1)+f(1),则这样的映射的个数为( )www.21-cn-jy.com
A.2 B.4 C.6 D.7
解析：按照f(0)的取值进行讨论.
若f(0)=-1,则f(-1)=-1,f(1)=0.
或者f(-1)=0,f(1)=-1,这样的映射有2个.
若f(0)=0,则f(-1)=-1,f(1)=1,
或者f(-1)=f(1)=0.
或者f(-1)=1,f(1)=-1,这样的映射有3个.
若f(0)=1,则f(-1)=0,f(1)=1.
或者f(-1)=1,f(1)=0,这样的映射有2个.
∴所求映射的个数为7.
答案：D
温馨提示
在求映射个数时,要紧扣映射定义,保证A中元素的任意性,B中对应元素的唯一性.
三、象与原象之间的关系
【例3】已知(x,y)在映射f的作用下的象(x+y,xy),
(1)求(-2,3)在f作用下的象;
(2)若在f作用下的象是(2,-3),求它的原象.
思路分析：本题主要考查象与原象的概念,会用对应法则求象或原象.在对应法则下有
解：(1)∵x=-2,y=3,∴x+y=(-2)+3=1,x·y=(-2)×3=-6.
∴(-2,3)在f下的象为(1,-6).
(2)∵解得或
∴(2,-3)在f作用下的原象为(3,-1)和(-1,3).
温馨提示
做好本题,关键是理解好象与原象的概念,确定哪个元素是原象,哪个元素是象.
各个击破
类题演练1
已知P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的映射的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=
解析：根据映射的定义，A、B、D都是P到Q的映射.
答案：C
变式提升1
已知集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→y=,求集合A中的元素.
解析：∵f:x→y=是集合A到集合B的映射,
∴A中每一个元素在集合B中都应该有象.
令=0,该方程无解,所以0没有原象.
分别令=1,=2,=3,解得x=±2,±,±
类题演练2
已知M={1,2},N={a,b},从M到N的映射f有几个?
解析：
从上面可以得到从M到N共有4个映射.
变式提升2
已知集合A＝｛1,2，3｝，集合B＝｛－1，0,1｝，满足条件f(3)＝f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数是…( )21世纪教育网版权所有
A.2 B.4 C.7 D.6
解析：当3对应1，则1和2可分别对应0和1，两种情况;当3对应－1，则1,2可分别对应0和－1，两种情况；当3对应0,则1和2可分别对应1和－1，两种情况;当3对应0,则1和2也对应0，共有2＋2＋2＋1＝7(个).21教育网
答案：C
类题演练3
设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下，象(2,1)的原象是( )
A.(3,1) B.(,) C.(,) D.(1,3)
答案：B
变式提升3
设A＝R，B＝R，f:x→是A→B的映射.
(1)设a∈A，那么1+a在B中的象是什么？
(2)若t∈A，且t-1在f下的象是6，则t应是什么？t在映射f下的象是什么？
解析：(1)∵a∈A,A=R,∴1+a∈A.
∴1+a在f:x→下的象为.
(2)由t∈A,A=R知t-1∈A.
∴t-1在f:x→下的象为.
令=6知t=.
易知t=在f下的象为=7.
2.1.2 函数的表示方法
第1课时函数的表示方法
课堂导学
三点剖析
一、准确理解函数的意义,画函数的图象
【例1】作下列各函数的图象.
(1)y=2x-1,x∈Z;(2)y=|x-1|.
思路分析：作函数的图象关键在于明确函数图象的形状,所以可先将函数化简整理,这里即讨论x-1的符号,从而去掉绝对值,达到化简的目的.21世纪教育网版权所有
解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=2x-1上.
(∵x∈Z,∴y∈Z)这些点称为整点,如图①.
(2)所给函数可写成y=
其图象是端点为(1,0)的两条射线,如图②.
温馨提示
(1)求作函数图象时,一般应用描点法,根据特点,找出几个关键点即可.
(2)作出函数图象,我们还可以利用它求函数的值域以及研究函数的性质.
二、求函数解析式
【例2】已知f()=,求f(x).
思路分析：
要求f(x),应把看作一个整体,采用配凑法或者换元法求出f(x).
解法一:∵f()==()2+=()2=()2-()+1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二:设=u,则x=,u≠1,
则f(u)=+u-1=u2-u+1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
已知复合函数f［g(x)］的表达式时,可以用换元法求解,但要注意换元时引起的定义域的变化,最后结果注明所求函数的定义域.21教育网
三、对y=f(x)对应法则的理解
【例3】已知函数f(x)=求f(2)、f(3)、f(4).
思路分析：所给函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.21cnjy.com
解：f(2)=1+f(2-1)=1+f(1)= ,
f(3)=1+f(3-1)=1+f(2)=,
f(4)=1+f(4-1)=1+f(3)=.
温馨提示
上述运算方法叫递归运算,运用递归运算时,要弄清各部分的关系,依次代入即可.解题时要对f(n)理解到位.21·cn·jy·com
各个击破
类题演练1
作出函数y=|x-1|+2|x-2|的图象.
解析：y=|x-1|+2|x-2|
=
∴图象如下图.
变式提升2
画出下列函数的图象:
(1)y=x2-2|x|-1;
(2)y=
解析：(1)y=x2-2|x|-1=图象如图(1)所示.
(1) (2)
(2)y=的图象如图(2)所示.
类题演练2
若f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.
解析：设f(x)=ax+b(a≠0),f［f(x)］=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,
∴f{f［f(x)］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b.
∴
∴
∴f(x)=3x+2,经检验成立.
变式提升2
已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的表达式.
解析：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x.
∴解得
∴f(x)=x2-2x-1.
类题演练3
已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()=.
解析：∵f()==,∴f()+f(x)=1.∴原式=+1+1=.
答案：
变式提升3
已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).
解析：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b2-b+1,再令-b=x,得f(x)=x2+x+1.
2.1.2 函数的表示方法
第2课时分段函数
课堂导学
三点剖析
一、正确地理解分段函数的意义
【例1】依法纳税是每个公民的义务,国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过1600元,免征个人所得税,超过1600元部分必须征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-1600元,税率见下表.www.21-cn-jy.com
级 数
全月纳税所得额
税 率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
设应纳税额为f(x),使用分段函数表示1—3级纳税额f(x)的表达式.
思路分析：认真读懂题意,每一阶段中有多少钱按什么比例交钱一定找准,这是突破问题的关键.如第二阶段500＜x≤2 000,f(x)=(x-500)×10%+500×5%.2·1·c·n·j·y
解：依税率表,
第一段:x·5%,0＜x≤500,
第二段:(x-500)×10%+500×5%,500＜x≤2000,
第三段:(x-2000)×15%+1500×10%+500×5%,2000＜x≤5000.
∴f(x)=
温馨提示
易错解为:第二段:x×10%,500＜x≤2000,第三段:x×15%,2000＜x≤5000.
(1)由列表写解析式是函数三种表示方法的综合应用.(2)在解题中要注意分段函数的正确书写.
二、利用分段函数进行有关运算
【例2】已知f(x)=
求f{f［f()］}的值.
思路分析：应从内到外,层层计算,最后求出所求的函数值.
解：∵＞0,
∴f()=0.
又f(0)=-π,f(-π)=(-π)2+1=π2+1,
∴f{f［f()］}=π2+1.
温馨提示
在分段函数中,要求复合函数的值,应从内到外依次求值,此值作为外围函数的自变量再求值,最后求出复合函数值.21教育网
三、分段函数在实际问题中的应用
【例3】某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系式是
P=该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=-t+40(0＜t≤30,t∈N*),求这种商品的日销量金额的最大值,并指出取得最大值的一天是30天中的第几天.21cnjy.com
思路分析：应先求出日销量金额的解析式,分别求各段最值,再比较大小求出最大的一个.
解：设日销售额为y元,则y=P·Q,y=
当0＜t＜25时,t=10,ymax=900元;
当25≤t≤30时,t=25,ymax=1125元.
∵1125＞900,∴ymax=1125.
∴第25天日销售额最大.
温馨提示
求分段函数最值问题时,也可利用图象法,作出分段函数图象,直接观察得最值.
分段函数的最值，不是某一段上的最值，而是在整个定义域上，取f(x)的最大值.
各个击破
类题演练1
某市郊空调出租汽车的票价按下列规则制定
（1）乘坐汽车3km以内，票价6元；
（2）3km以上，每增加1km，票价增加18.元（不足1km的按1km计算）.
请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式.
解析：设票价为y，里程为x，由空调出租汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y=
[x]表示不小于x的最小整数.
变式提升2
甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶.
(1)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图象；
（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A、B两地），试确定乙车行驶速度v的取值范围.
解析：（1）x=
它的图象如图所示.
(2)由已知,乙车离开A地的路程x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x=vt(0≤t≤),其图象是一条线段.21·cn·jy·com
由图象知，当此线段经过（4，150）时，v=(km/h);
当此线段经过点（5.5,300）时，v=(km/h).
∴当类题演练2
若f(x)=则f{f[f(-1)]}=_________.
解析：∵f(-1)=0,∴f[f(-1)]=f(0)=π.
∴f{f[f(-1)]}=f(π)=π+1.
答案：π+1
变式提升2
若f(x)=若f(x)=3,则x=_________.
解析：当x≤-1时,x+2=3,x=1,无解；当-1当x≥2时，2x=3,x=,无解.综上有x=.
答案：
类题演练3
不等式|x+2|+|x-1|解析：作出y=|x+2|+|x-1|=的图象知y的最小值为3（或利用绝对值的几何意义知y就是(x,0)到两定点（-2，0）和（1，0）的距离的和）.21世纪教育网版权所有
答案：(-∞,3］
变式提升3
作出y=2|x-1|-3|x|的图象，并求出其最大值.
解析：y=
图象如图所示.
从图象上可以看出，最大值为2.
2.1.3 函数的单调性
课堂导学
三点剖析
一、单调性的判断与证明
【例1】证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.
思路分析：证明的关键是对Δy进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式.
证明：
设0＜x1＜x2＜1,则Δx=x2-x1＞0,
∴Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+=(x2-x1).
∵0＜x1＜x2＜1,则x1·x2-1＜0,
∴f(x2)＜f(x1).
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
温馨提示
(1)也可以证明f(x)=x+的单调增区间是（-∞,1］,［1,+∞）,单调减区间是［-1,0）,（0,1］,最好记住.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)可引申为f(x)=x+(a＞0)在区间（0,］上单调递减;在区间(,+∞)上单调递增.
二、函数单调性的应用
【例2】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-23.21·世纪*教育网
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
思路分析：对于f(x)+f(y)=f(x+y)的应用，若是求x为某一具体数值时f(x)的值，则采用赋值方法.www-2-1-cnjy-com
解：(1)令x=y=0,得f(0)=0;
令x=-y，得f(-x)=-f(x).
在R上任取x2>x1,则Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).
∵x2>x1,∴x2-x1>0.
又∵x>0时，f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0，即f(x2)-f(x1)<0.
∴Δy<0.
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.
∴f(-3)最大，f(3)最小.
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×()=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2，
即f(x)在[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.
温馨提示
无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.21世纪教育网版权所有
三、带有参数的函数的单调性
【例3】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈［-5,5］,求实数a的范围,使y=f(x)在［-5,5］上是单调函数.21·cn·jy·com
思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.
解：f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为x=-a.
∵f(x)在［-5,5］上是单调函数,
∴-a≤-5或-a≥5,
即a≤-5或a≥5.
温馨提示
高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.21cnjy.com
各个击破
类题演练1
证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
证明：任取x10,即Δx>0.
Δy=f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)[(x2+)2++1],
∵(x2+)2++1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,即Δy>0.
∴f(x)=x3+x在R上是增函数.
变式提升2
已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(x)<0(x>0),试判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性并证明.21教育网
解析：F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明：
任取x1、x2∈(0,+∞)且Δx=x2-x1>0,
∵ΔY=F(x2)-F(x1)
=
=,
∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数且Δx=x2-x1>0,
∴Δy=f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
∴f(x1)-f(x2)<0.
而f(x1)<0,f(x2)<0,
∴f(x1)f(x2)>0.
∴F(x2)-F(x1)<0,即ΔY<0.又Δx>0,
∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.
类题演练2
设函数f(x)=(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
解析：在定义域内任取x10.
Δy=f(x2)-f(x1)=
=
=.
∵a>b>0,∴b-a<0且x1-x2<0.
只有当x1当x10.
∴Δy=f(x2)-f(x1)<0.
∴y=f(x)在(-∞,-b)上是单调减函数，在（-b,+∞）上也是单调减函数.
变式提升2
已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，而且f(x)>0,f(3)=1,判断函数g(x)=f(x)+在区间（0，3]上的单调性，并加以证明.www.21-cn-jy.com
解析：任取x1、x2∈(0,3],且x1因为g(x)=f(x)+,
所以g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)+=[f(x2)-f(x1)][1].
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(x)>0,f(3)=1,所以由0这时0所以g(x2)-g(x1)<0,即g(x1)>g(x2).
故g(x)在（0，3]上是减函数.
类题演练3
已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
解析：要使f(x)在(-∞,4]上是减函数,由二次函数的图象可知只要对称轴x=≥4即可,得a≥5.2·1·c·n·j·y
变式提升3
已知f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(1-a)＜f(a2-1),求a的取值范围.
解析：由题意可得1＞1-a＞a2-1＞-1,
即解得0＜a＜1.
2.1.4 函数的奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明
【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=(x-1)·;
(3)f(x)=+.
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.
解：(1)∵定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤-1},定义域关于原点不对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
(3)∵定义域为{-2,2},
f(-x)=0=f(x)=-f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
温馨提示
第(2)小题易错解为:∵f(x)=(x-1)·=,
f(-x)===f(x),
∴f(x)为偶函数.
二、函数奇偶性的综合应用
【例2】(1)若奇函数y=f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)＞0,求a的取值范围;21cnjy.com
(2)若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1),求a的取值范围.www.21-cn-jy.com
思路分析：(1)去掉函数符号f,等价变换出a的不等式.利用f(x)为奇函数和减函数的性质.
(2)利用f(x)为偶函数的性质和证在(0,+∞)上为减函数,这个证明不可少.
解：(1)由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)＞0等价于f(1-a)＞f(a2-1),又f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,2·1·c·n·j·y
得解之,得1＜a≤.
(2)任取x1,x2∈（0,+∞）且x1＜x2,则-x1＞-x2.
∵f(x)是区间(-∞,0)上的增函数,
∴f(-x1)＞f(-x2).又f(x)为偶函数,得f(x1)＞f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是减函数,容易判断2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数.【来源：21·世纪·教育·网】
∴f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+1＞3a2-2a+1.
解之,得0＜a＜3.
三、根据奇偶性求函数的解析式
【例3】已知f(x)是奇函数,且当x＞0时,f(x)=x2-2x,求当x＜0时,f(x)的表达式.
思路分析：函数只要设x＜0,则-x＞0,再由奇函数定义进行转化.
解：设x＜0,则-x＞0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-(x2+2x)=-x2-2x.
∴当x＜0时,f(x)=-x2-2x.
温馨提示
此题易错解为:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-(x2-2x)=-x2+2x.∴当x＜0时,f(x)=-x2+2x.21·cn·jy·com
应该注意:(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里;(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).
各个击破
类题演练1
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,讨论f(x)的奇偶性.
解析：当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
变式提升1
若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )
A.奇函数 B.偶函
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
解析：∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,
∴b=0,从而g(x)=ax3+bx2+cx为奇函数.
答案：A
类题演练2
设f(x)在R上是奇函数,在区间(-∞,0)上递增,且有f(2a2+a+1)解析：由f(x)在R上是奇函数,在区间(-∞,0)上递增,知f(x)在(0,+∞)上递增.
∵2a2+a+1=2(a+)2+>0,
3a2-2a+1=3(a)2+>0,
且f(2a2+a+1)∴2a2+a+1<3a2-2a+1,
即a2-3a>0.解之,得a<0或a>3.
变式提升2
已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(2)=10,求f(-2).
解析：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数,
∴g(-2)+g(2)=0.
∴f(-2)+8+f(2)+8=0.
∵f(2)=10,
∴f(-2)=-26.
类题演练3
已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时f(x)的表达式.
解析：设x<0,则-x>0,且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
又f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.
变式提升3
已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为…( )21教育网
A.f(x)=x(x-2) B.f(x)=|x|(x-2)
C.f(x)=|x|(|x|-2) D.f(x)=x(|x|-2)
解析：当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=x2+2x.∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-x2-2x.而x≥0时,f(x)=x2-2x,
∴x∈R时,f(x)=x(|x|-2).
答案：D
2.2.1 一次函数的性质与图象
课堂导学
三点剖析
一、一次函数的概念
【例1】已知函数y=(m2-m)+3是一次函数,求其解析式.
思路分析：本题考查一次函数的定义,一次函数中自变量的次数为1,系数不等于零.
解:由题意,得
∴m=.
故所求函数的解析式为y=x+3.
温馨提示
在运用某个定义时,一定要注意定义中的每一个条件.
二、一次函数的性质的应用
【例2】一次函数y=(m+4)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴下方,则m的取值范围是.21教育网
思路分析：y=kx+b(k≠0),当k＞0时,为增函数,图象与y轴的交点为(0,b).
解:∵函数y=(m+4)x+2m-1是增函数,
∴m+4＞0. ①
又∵函数y=(m+4)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,
∴2m-1＜0. ②
由①②,解得-4＜m＜.
答案：(-4,)
温馨提示
注意函数y=kx+b的解析式中参数k、b各自的作用.
三、y=kx+b中k、b的符号与图象之间的对应
【例3】在同一坐标系中,直线l1:y=(k-2)x+k和l2:y=kx的位置可能是下图中的( )
解析：A图中,l1经过第一、二、四象限,
∴∴0＜k＜2.
而l2经过第二、四象限,
∴k＜0矛盾,故排除A.
但此法不能排除B、C、D.
又l1、l2的交点为方程组的解(,),
∵＞0,
∴交点必过第一、二象限.
∴选B.
答案：B
温馨提示
注意挖掘图形中的解题信息,不要弄错符号.
各个击破
类题演练1
若正比例函数y=(2a+1)的图象经过第一、三象限,则a=_______.
解析：∵y是x的正比例函数,∴x的指数为1.
又∵图象经过第一、三象限,
∴函数为增函数,比例系数大于零.
∴解之,得即a=1.
答案：1
变式提升1
若直线y=(m2-3)x+5与y=x+m2-m-1重合,则m=________.
解析：∵两直线重合,∴其斜率及在y轴上的截距完全相同,即有
∴∴m=-2.
答案：-2
类题演练2
已知正比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x-9的图象交于点P(3,-6).
(1)求斜率k1、k2的值;
(2)如果该一次函数与x轴交于点A,求A点的坐标.
解析：(1)∵点P(3,-6)在y=k1x上,
∴-6=3k1.∴k1=-2.
又∵点P(3,-6)在y=k2x-9上,
∴-6=3k2-9.∴k2=1.
(2)∵k2=1,∴y=x-9.
故一次函数y=x-9与x轴的交点为A(9,0).
变式提升2
已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时,
(1)这个函数为一次函数;
(2)函数值y随x的增大而减小;
(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上.
解析：(1)当m≠时,这个函数为一次函数.
(2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m<时,y随x的增大而减小.
(3)∵直线y=x+1与x轴交于点(-1,0),代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0.
∴m=.
类题演练3
两条直线y1=ax+b与y2=bx+a在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
解析：假设B项中直线y1=ax+b正确,则a>0,b>0,所以y2=bx+a的图象应过第一、二、三象限,而实际图象过第一、三、四象限.∴B错.同理C、D错.故A正确.
答案：A
变式提升3
三峡工程在2006年6月1日至6月10日下闸蓄水期间,水库水位由106米升至135米,高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升,那么下列图象中,能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( )21世纪教育网版权所有
解析：刚开始观察为106米,10天后为135米,故答案为B.
答案：B
2.2.2 二次函数的性质与图象
课堂导学
三点剖析
一、二次函数的图象及性质
【例1】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式,函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析：本题给出了图象的顶点坐标,可以用顶点式设出二次函数,然后求解.
解:设f(x)的解析式为y=a(x+h)2+k.
因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g(x)=-2(x+1)2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同.2·1·c·n·j·y
又因为f(x)图象的顶点是(-3,2),所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.
温馨提示
(1)若二次函数f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相同,则二次项系数相等;若f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相反,则二次项系数绝对值相等,符号相反.
(2)若二次函数的二次项系数为a,顶点坐标为(h,k),则此二次函数可设为y=a(x-h)2+k.
二、二次函数在特定区间上的最值问题
【例2】设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
思路分析：解决此类问题的关键是数形结合.
解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
①当t+1≤1,即t≤0时,由图(1)知截取减区间上的一段,g(t)=f(t+1)=t2+1;
②当1③当t+1>2,即t>1时,由图(3)可知截取增区间上的一段,g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上,可知g(t)=
温馨提示
(1)从运动的观点来看,令区间[t,t+1]从左向右沿x轴正方向运动,截取抛物线上的相应部分.
(2)共截取三种类型:减函数部分、包含顶点的部分、增函数部分.
(3)初学这种类型的题目时,要对应三种情况画三个图象,使问题显得直观清晰,随着学习的深入,能力得到提高了,可以只画一个图形就行了.21·cn·jy·com
三、二次函数恒成立问题
【例3】已知函数y=ax2+(a-1)x+a的图象恒在x轴上方,求实数a的取值范围.
思路分析：要使二次函数图象恒在x轴上方,只需开口向上且与x轴无交点,即
解:若a=0,则f(x)=-x不符合题意.
若a≠0,则该函数为二次函数,
∴解之,得a>.
综上,可知a>.
温馨提示
勿忘二次项系数等于0的情况.
各个击破
类题演练1
已知f(x)=x2+2(2-a)x+2在（-∞,2］上是减函数,求实数a的取值范围.
解析：要使f(x)在（-∞,2］上是减函数,由二次函数图象可知只要对称轴x=≥2即可,解得a≥4.www.21-cn-jy.com
变式提升1
已知函数f(x)=-x2+ax+b+1(a、b∈R)对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )21教育网
A.-12 C.b<-1或b>2 D.b<-121·世纪*教育网
解析：由f(1-x)=f(1+x),得f(x)图象关于x=1对称,∴a=2且f(x)在［-1,1］上是增函数.
∴要使x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,只需f(-1)>0,即b-2>0.∴b>2.
答案：B
类题演练2
函数f(x)=-3x2-3x+4b2+,b>0,x∈［-b,b］,f(x)的最大值为7,求b的值.
解析：f(x)=-3(x+)2+4b2+3,当对称轴直线x=在区间［-b,b］左侧,
即<-b,b<时,函数应在x=-b时取得最大值,f(-b)=b2+3b+.
由条件,得b2+3b+=7.
因为b>0,由此求得b=>,与b<矛盾.
当对称轴直线x=在区间［-b,b］内通过,
即-b≤≤b,
亦即b≥时,函数f(x)最大值为4b2+3.
由4b2+3=7,求得b=1,满足条件.
变式提升2
求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
解析：f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.
①当a<0时,由图(1)可知f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a;
②当0≤a<1时,由图(2)可知f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a;
③当1④当a>2时,由图(4)可知f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
类题演练3
已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)、B(8,2)(如图所示),则能使y1>y2成立的x的取值范围是_______________.
解析：由图象可知，当x<-2或x>8时，抛物线在直线的上方，有y1>y2.
答案：{x｜x<-2或x>8}
变式提升3
设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R),若f(-1)=0,则对任意实数均有f(x)≥0成立,求f(x)的表达式.21cnjy.com
解析：由题意得=-1且f(-1)=a-b+1=0.
解之,得a=1且b=2.
∴f(x)=x2+2x+1.
2.2.3 待定系数法
课堂导学
三点剖析
一、待定系数法求二次函数的解析式
【例1】根据下列条件求二次函数解析式.
(1)该二次函数的图象过(0,1)、(1，-3)、(-1,3)三点；
(2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与x轴的交点为(-1,0)和(3,0)；
(3)该二次函数的图象顶点为(1,4)，与x轴交于(-1,0)点.
思路分析：(1)已知二次函数图象上的三点坐标，可设一般式.
(2)已知二次函数的图象与x轴的交点，可设零点式.
(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式.
解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
则
解之,得a=-1,b=-3,c=1，即所求二次函数为y=-x2-3x+1.
(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).
又∵图象过点(1,4),
∴4=a2×(-2)a=-1,
即所求二次函数解析式为y=-x2+2x+3.
(3)设所求二次函数为y=a(x-1)2+4.
又∵图象过(-1,0),
∴0=a(-1-1)2+4a=-1,
即所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
二、待定系数法求一般函数的解析式
【例2】f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时，f(x)>0；当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，f(x)<0.求a、b及f(x).21世纪教育网版权所有
思路分析：二次函数的零点是函数值大于0和小于0的分界点.先根据题目条件,把二次函数的零点求出来.
解:当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图，如右图所示.
由图知x=-2和x=6是方程ax2+a2x+2b-a3=0的两根，且a<0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得21教育网
解之,得
∴f(x)=-4x2+16x+48.
温馨提示
注意二次函数与二次不等式之间的关系.
三、用待定系数法解带参变量的函数问题
【例3】已知a、b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=_____.
思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质,求出f(ax+b),再根据恒等式性质建立a、b的方程求解.21cnjy.com
解:∵f(x)=x2+4x+3,
∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3.21·cn·jy·com
又f(ax+b)=x2+10x+24,
∴
解之,得或
∴5a-b=2.
答案：2
各个击破
类题演练1
设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.www.21-cn-jy.com
解析：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(x+2)=f(2-x)知该函数的图象关于直线x=2对称.
∴=2,即b=-4a. ①
又图象过点(0,3),∴c=3. ②
又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2=10.
∴b2-2ac=10a2. ③
解①②③,得a=1,b=-4,c=3,
故f(x)=x2-4x+3.
变式提升1
若f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.
解析：设f(x)=ax+b,f［f(x)］=a2x+ab+b,
f{f［f(x)］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,
∴
解之,得a=3,b=2,则f(x)=3x+2.
类题演练2
二次不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,)，则a+b的值是（ ）
A.10 B.-10 C.14 D.-14
解析：令f(x)=ax2+bx+2.
由题意-、是f(x)=0的两根,
∴
解之,得
∴a+b=-14.
答案：D
变式提升2
设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )2·1·c·n·j·y
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由题意,得b=4,c=6.
当x<0时,有x2+4x+6=x,方程无解;当x>0时,x=2.
答案：A
类题演练3
若函数f(x)=的图象的对称中心为(3，1)，则实数a的值为_______.
思路分析：反比例函数图象的对称中心是原点，可利用坐标轴或图象的平移求出f(x)的对称中心.
解：f(x)=1+,∴y-1=.
∴中心即为(1-a,1).∴令1-a=3a=-2.
答案：-2
变式提升3
函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数，且f()=,求函数f(x)的解析式.
解析：对任意x∈(-1,1),有f(-x)=-f(x),
即=.
∴b=0.又由f()=,得a=1.∴f(x)=.
2.3 函数的应用（Ⅰ）
课堂导学
三点剖析
一、求函数的解析式
【例1】设计一水槽，其横截面为等腰梯形，要求AB+BC+CD=3，∠ABC=120°.
(1)写出横截面面积S用腰长x表示的函数关系式，并求出定义域.
(2)问当腰长为多少时，横截面面积最大？最大值是多少？
思路分析：这是几何图形方面的应用题，运用几何图形的性质求出与面积有关的量(用x表示)，据面积公式列出关系式，注意实际问题中的定义域.www-2-1-cnjy-com
解:(1)设AB=CD=x,则BC=3-2x.
又作BE⊥AD于点E,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAE=60°.
∴BE=x,AE=,AD=BC+2AE=3-2x+x=3-x.
∴S=(AD+BC)BE
=(3-x+3-2x)x
=
∵AB>0,BC>0,∴
∴0(2)S=(x-1)2+.
∴当x=1时，Smax=.
二、求实际问题的最值
【例2】某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
思路分析：(2)根据所给数据关系，列出公司月收益函数关系从而求出最大值.
解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为=12,
∴租出了100-12=88辆.
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租凭公司的月收益为
f(x)=(100)(x-150)×50
=+162x-21 000
=(x-4 050)2+307 050.
当x=4 050时，f(x)最大，其最大值为307 050元.
温馨提示
根据题意设出未知量，列出正确的函数关系式是解决应用题的基本方法之一.
利用二次函数求实际问题的最值时要配方并且由对称轴与定义域区间的相对位置求之.
三、从不同的方案中选优问题
【例3】某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一：每年年末加薪1 000元；方案二：每半年加薪300元.〔注：每年年末加薪a元，即是原薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为m+a元，第二年薪金应为(m+a)+a元，第三年薪金应为(m+a)+a+a元〕2-1-c-n-j-y
(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；21*cnjy*com
(2)设该员工在此私企继续工作x年，试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由.【来源：21cnj*y.co*m】
〔注：m+(m+a)+(m+2a)+(m+3a)+…+［m+(x-1)a］=mx+a〕
解析：(1)选择方案一，第1年加薪=1000，第2年加薪=2000，2年加薪总额=3000；选择方案二，第1年加薪=900，第2年加薪=2100，2年加薪总额=3000，因此，该员工选择哪个加薪方案都一样.【出处：21教育名师】
(2)选择方案一的加薪总额为1000x+=500x2+500x.
选择方案二的加薪总额为=600x2+300x.
∵(500x2+500x)-(600x2+300x)=-100(x2-2x),
∴02(工作3年以上)时，选择方案二.21教育网
温馨提示
若一个题目中含有2个或多个数学模型时，要想判断哪个模型更好，可以利用比较大小的方法，进行作差、判断符号，也可利用图象法，分别作出函数图象，由图象直接观察.
各个击破
类题演练1
某商人购货,进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后,仍可获得售价25%的纯利,那么此商人经营这种货物时,按新价让利总额y与货物数x之间的函数关系是________.21cnjy.com
解析：设每件货物的新价为a元,
则销售价为a(1-20%)=a×80%(元/件),
而进价为30(1-25%)=30×75%(元/件),
因此,销售每件货物的利润为a×80%-30×75%,
由题意,知a×80%-30×75%=a×80%×25%,
所以a=,故y=a×20%x=x,
即y与x之间的函数关系是y=x(x∈N).
答案：y=x(x∈N)
变式提升1
某人开汽车以60 km/h速度从A地到150 km远处的B地,在B地停留1 h后,再以50 km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象.【版权所有：21教育】
解析：汽车离开A地的距离x km与时间t h之间的关系式是
x=
它的图象如图所示.
类题演练2
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数www.21-cn-jy.com
R(x)=
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x).
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)
解析：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，从而
f(x)=
(2)当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)2+25 000;
当x=300时，f(x)max=25 000;
当x>400时，f(x)=60 000-100x是减函数,
f(x)<60 000-100×400<25 000.
∴当x=300时，利润最大为25 000元.
变式提升2
某厂生产一种机器的固定成本(即因定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
解析：(1)当x≤5时,产品能售出x百台;当x>5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)21世纪教育网版权所有
=
=
(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x-0.5,当x=4.75时得L(x)max=10.781 25万元.
当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).
∴生产475台时利润最大.
类题演练3
商店出售茶壶与茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶送一个茶杯,②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个).
设购买茶杯数x个,付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中,y与x的函数关系式,并指出如果该顾客需要购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法?21·cn·jy·com
解析：由优惠办法(1)得函数关系式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*).
由优惠办法(2)得函数关系式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*).
当该顾客购买茶杯40个时,采用优惠办法(1)应付款y1=5×40+60=260元;采用优惠办法(2)应付款y2=4.6×40+73.6=257.6元,由于y2变式提升3
经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天其价格直线上升,而后60天其价格则呈直线下降趋势,现抽取其中4天的价格如下表所示:2·1·c·n·j·y
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格
23
30
22
7
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数表示式(x表示投放市场的第x天);
(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)=x+(1≤x≤100,x∈N),问该产品投放市场第几天时日销售额最高,最高值为多少千元?21·世纪*教育网
解析：(1)用待定系数法不难得到f(x)=
(2)设日销售额为S,当1≤x<40时,
S=(x+22)(x+)
=(x2-21x-9 592),
∴x=10或11时,
Smax==808.5(千元).
当40≤x≤100时,
S=(x+52)(x+)
=(x2-213x+11 336),
∴x=40时,Smax=736(千元).
综上分析,日销售额最高是在第10及第11两天,最高销售额为808.5千元.
2.4.1 函数的零点
课堂导学
三点剖析
一、考查函数零点的概念
【例1】求下列函数的零点.
(1)f(x)=kx+b(k≠0);
(2)f(x)=2x2-5x+2;
(3)f(x)=x3+2x-3.
思路分析：求函数的零点即是求f(x)=0的根，分解因式即可.
解:(1)f(x)=k(x+),∴零点为.
(2)f(x)=(x-2)(2x-1),
∴零点为2、.
(3)f(x)=x3-1+2x-2=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x2+x+3)，21cnjy.com
∵x2+x+3=(x+)2+>0恒成立，
∴f(x)零点为1.
二、利用零点的性质求参数
【例2】函数y=x2+2px+1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围.
思路分析：二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.
解法一:记f(x)=x2+2px+1，则函数f(x)的图象开口向上，
当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，
另一个在(1,0)的右方，
∴必有f(1)<0,即12+2p+1<0.
∴p<-1.
∴p的取值为(-∞,-1).
解法二:设y=x2+2px+1的零点为x1、x2,
则
得p<-1.
三、应用函数零点
【例3】求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.
思路分析：证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.21教育网
证明:设f(x)=5x2-7x-1=0,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,
f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.
由于f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,
且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,∴f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上分别有交点,www.21-cn-jy.com
即方程5x2-7x-1=0的根一个在(-1,0)内,另一个在(1,2)内.
温馨提示
判断函数f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,还需考查函数的图象在(x1,x2)上是否连续不断.若判断根的个数问题,还需结合函数的单调性进行.
各个击破
类题演练1
求下列函数的零点.
(1)f(x)=x3+1;
(2)f(x)=.
解析：(1)f(x)=(x+1)(x2-x+1),
∴f(x)零点为-1.
(2)f(x)=,令=0,得x=-1.
∴f(x)零点为-1.
变式提升1
若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是_______.
解析：∵f(x)=ax-b的零点是3,
∴f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).
∴g(x)零点为-1,0.
答案：-1,0
类题演练2
已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点小于1,另一个零点在1与2之间.求实数a的取值范围.2·1·c·n·j·y
解析：函数的大致图象如图,则
即
∴0变式提升2
m为何实数时，函数f(x)=mx2-(1-m)x+m有零点？
解析：若m=0，函数为f(x)=-x,
∴有零点x=0.
当m≠0时，由已知，Δ=(1-m)2-4m2≥0.
∴3m2+2m-1≤0.
∴-1≤m≤且m≠0.
综上，当m∈［-1,］时，函数有零点.
类题演练3
若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则f(-1)·f(1)的值( )21世纪教育网版权所有
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断
解析：由于函数f(x)在(-2,2)上的图象是连续的,且f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则有f(2)·f(-2)<0.21·cn·jy·com
若f(1)·f(-1)<0,则f(x)在(-1,1)上必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)上必有根;反之,由f(2)·f(-2)<0,却不一定有f(1)·f(-1)<0,也可能有f(1)·f(-1)>0,如图所示.∴选D.
答案：D
变式提升3
若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的取值范围.
解析：(1)a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数仅有一个零点;
(2)a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,得a=.【来源：21·世纪·教育·网】
综上,当a=0或时,函数仅有一个零点.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法
课堂导学
三点剖析
一、函数零点的性质
【例1】函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在( )
A.［-2,1］内 B.［,4］内
C.［1,］内 D.［,］内
解析：由于f(-2)=-8-8-6-6=-28<0,f(4)=64-32+12-6=38>0,
且f()=f(1)=1-2+3-6=-4<0,
∴零点在区间［1,4］内.
又f()=f()=+-6=-11>0,
∴零点在区间［1,］内.
又f()=f()<0,
∴零点在区间［,］内.∴选D.
答案：D
二、求方程的近似解
【例2】求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.
思路分析：考查函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.【来源：21·世纪·教育·网】
解:经试算,f(0)=-3<0,f(2)=19>0,
所以函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在［0,2］内有解.
取［0,2］的中点1,经计算f(1)=2>0,
又f(0)<0,
所以方程2x3+3x-3=0在［0,1］内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示.
左端点
右端点
第1次
0
2
第2次
0
1
第3次
0.5
1
第4次
0.5
0.75
第5次
0.625
0.75
第6次
0.6875
0.75
第7次
0.71875
0.75
第8次
0.734375
0.75
第9次
0.734375
0.7421875
∵0.742 187 5-0.734 375=0.007 812 5<0.01.
∴x10==0.738 281 25≈
0.74为方程2x3+3x-3=0精确到0.01的一个实数解.
三、函数零点的应用
【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1、x2∈R且x1证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
∴Δ=b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.
故函数f(x)有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)［f(x1)+f(x2)］,则g(x1)=f(x1)［f(x1)+f(x2)］=,
g(x2)=f(x2)［f(x1)+f(x2)］=.∴g(x1)·g(x2)=［f(x1)-f(x2)］2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0.∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
故f(x)=［f(x1)+f(x2)］在(x1,x2)内必有一实根.
各个击破
类题演练1
函数y=lgx的零点所在的大致区间是…( )
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)21cnjy.com
解析：代入验证,可知f(9)=lg9-1<0,f(10)=1>0.∴f(9)·f(10)<0.
答案：D
变式提升1
下列各图中函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是( )
解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点,故选B.
答案：B
类题演练2
求方程x3-4x+1=0的一个正数的零点.(精确到0.1)
解析：设f(x)=x3-4x+1,
由于f(1)=-2<0,f(2)=1>0,故可取区间［1,2］作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点(中点)坐标
计算中点的函数值
取区间
f(1)=-2<0
x1==1.5
x2==1.75
x3==1.875
x4=1.813
x5=1.844f
f(2)=1>0
f(1.5)=-1.625<0
f(1.75)=-0.641<0
f(1.875)=0.092
f(1.813)=-0.296
f(1.844)=-0.107
［1,2］
［1.5,2］
［1.75,2］
［1.75,1.875］
［1.813,1.875］
由上表计算可知区间［1.813,1.875］的长度小于0.1,∴这个区间的中点1.843 7为所求函数的一个正实数零点近似值.21教育网
变式提升2
先用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.(精确到0.1)
解析：方程的两个解分别为x1=,x2=.
取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275).
令f(x)=2x2-3x-1在区间(1.775,1.8)内,用计算器可算得
f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)5f(1.8)<0.
∴方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
又|1.8-1.775|=0.025<0.1,此时区间(1.775,1.8)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，
∴方程在区间(1.775,1.8)内精确到0.1的近似解为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内精确到0.1的近似解为-0.3.
类题演练3
x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.
证明:令f(x)=x2+bx+c.∵x1、x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,
∴ax12+bx1+c=0,-ax22+bx2+c=0.
故bx1+c=-ax12,bx2+c=ax22,
f(x1)=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12,
f(x2)=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22.
∴f(x1)f(x2)=a2x12x22.
∵a≠0,x1x2≠0,∴f(x1)·f(x2)<0.
故方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.
变式提升3
一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图
所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处焊口脱落,问至多需要检测的次数是多少?21·cn·jy·com
解析：对焊接点一一检测很麻烦,当然也是不需要的.只需选线路AB的中点C,然后判断出焊口脱落的点所在的线路为AC,还是BC,然后依次循环上述过程即可很快检验出焊点的位置,最多次数是6次.根据“二分法”的思想,具体分析如下:www.21-cn-jy.com
第1次取中点把焊点数减半为=32(个),第2次取中点把焊点数减半为=16(个),第3次取中点把焊点数减半为=8(个),第4次取中点把焊点数减半为=4(个),第5次取中点把焊点数减半为=2(个),第6次取中点把焊点数减半为=1(个),所以至多需要检测的次数是6次.2·1·c·n·j·y
