3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质
1．了解探索得出相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比与相似比的关系的过程．
2．会运用相似三角形对应线段的比与相似比的性质解决有关问题．(重点)
阅读教材P85～87，自学“动脑筋”“例9”“例10”“议一议”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比与相似比的关系．21教育网
(一)知识探究
相似三角形对应高的比________相似比，对应的角平分线的比________相似比，对应边上的中线的比________相似比．2·1·c·n·j·y
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于________．
活动1 小组讨论
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD＝2，AB＝6，AC＝4，求DE的长．
解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
又CD，DE分别为它们的斜边上的高，∴＝.
又CD＝2，AB＝6，AC＝4，∴DE＝.
例2 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线．求证：＝.
证明：∵△ABC∽A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAT＝∠BAC＝∠B′A′C′＝∠B′A′T′.
∴△ABT∽△A′B′T′.
∴＝.
要证线段的比相等，则联想到证明成比例的线段(三角形的边、高、中线、角平分线)所在的两个三角形相似．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2 cm，A′B′＝1 cm，则对应角平分线的比为________．
2．已知△ABC∽△A′B′C′，对应角平分线的比为2∶，且BC边上的中线是5，则B′C′边上的中线是________．www.21-cn-jy.com
3．如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形．21cnjy.com
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长．
活动3 课堂小结
1．相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的性质．
2．运用相似三角形的对应线段的性质解决相似三角形中边和角的相关问题．
【预习导学】
知识探究
等于 等于 等于
自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)相似比
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．3∶2 2.5 3.(1)△ASR∽△ABC.理由：∵四边形PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．(2)24 cm.21·cn·jy·com
3.4 相似三角形的判定与性质
3．4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定的预备定理
经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的探索及证明过程，掌握并能应用该定理进行计算或证明．(重难点)21教育网
阅读教材P77～78，自学“例1”“例2”，掌握并能应用三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”进行相关的计算或证明．www.21-cn-jy.com
(一)知识探究
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形________．
(二)自学反馈
在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE＝EF.求证：△CFE∽△ABC.21世纪教育网版权所有
证明：∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE＝CE.
又DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边，最短边对应最短边．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，则DE∶BC＝________.
2．如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC.若DE＝2 cm，BC＝3 cm，EC＝ cm，则AC＝________ cm.21cnjy.com
活动3 课堂小结
相似三角形的判定定理：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
【预习导学】
知识探究
相似
自学反馈
(1)分别相等．(2)通过测量，得到它们的边长是对应成比例的．(3)△ADE与△ABC相似，平行移动DE的位置，此结论还成立．21·cn·jy·com
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶3 2.2
第2课时 与相似三角形的面积、周长有关的性质
1．理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系．(重点)
2．会运用上述性质解决有关的问题．(难点)
阅读教材P87～88，自学，理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系．
(一)知识探究
相似三角形的周长比等于________，面积比等于________．
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′中，＝________，＝________.
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，求S△ABC.
解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
又＝，∴＝.
∴＝()2＝，
即＝.
∵S四边形BCFE＝8，
∴S△AEF＝1.
∴S△ABC＝9.
例2 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC＋S△A′B′C′＝91，求△A′B′C′的面积．
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴＝()2＝，即S△ABC＝S△A′B′C′.
又S△ABC＋S△A′B′C′＝91，
∴SA′B′C′＋SA′B′C′＝91.
∴S△A′B′C′＝63.
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′为________．
2．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．
3．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是________．
4．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
活动3 课堂小结
1．相似三角形的周长、面积的性质．
2．运用相似三角形的周长、面积的性质求相关图形的面积或求线段长．
【预习导学】
知识探究
相似比 相似比的平方
自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)k k2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶4 2.4∶9 3.90 4.(1)∵＝，∴△DEF的周长为12×＝8(cm)．(2)∵＝，∴△DEF的面积为30×()2＝13(cm2).21教育网
第2课时 相似三角形的判定定理1
1．了解三角形相似的判定定理1的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P79～80，自学“动脑筋”“例3”“例4”，理解相似三角形的判定定理1.
(一)知识探究
两角分别________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
1．如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽________.理由是________________．21教育网
2．顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°.
∵∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B.
又∵∠HED＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA.
关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，寻找公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．21cnjy.com
例2 如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C＝90°，∠F＝90°，若∠A＝∠D，AB＝5，BC＝4，DE＝3，求EF的长．
解：∵∠C＝90°，∠F＝90°，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF.∴＝.
又AB＝5，BC＝4，DE＝3，
∴EF＝2.4.
活动2 跟踪训练
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝52°，Rt△DEF中，∠F＝90°，∠D＝38°，则这两个三角形的关系是( )
A．不相似 B．相似
C．全等 D．不能确定
2．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O，若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.
活动3 课堂小结
1．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找角相等来证明三角形相似．
【预习导学】
知识探究
相等
自学反馈
1．△ACB 两角分别相等的两个三角形相似
2．相似，理由略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.D 3.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED，∴△ABC∽△FDE.21世纪教育网版权所有
第3课时 相似三角形的判定定理2
1．了解三角形相似的判定定理2的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P81～82，自学“动脑筋”“例5”“例6”，掌握相似三角形的判定定理2.
(一)知识探究
两边________且夹角________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB∶A′B′＝BC∶B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E.则有△ADE∽________.
∴∠ADE＝∠B＝∠B′，AB∶BC＝AD∶DE.
∵AB∶A′B′＝BC∶B′C′，
∴AB∶BC＝________.
∴AD∶DE＝A′B′∶B′C′.
又∵AD＝A′B′，
∴DE＝B′C′.
∴△ADE≌________.
∴△ABC∽△A′B′C′.
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm.
求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm，
∴＝＝，＝＝.∴＝.
又∵∠C＝∠F＝70°，
∴△ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
例2 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.求证：∠ACB＝90°.
证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又＝，
∴△ACD∽△CBD.
∴∠ACD＝∠B.
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°.
两个三角形相似的判定定理2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”．
活动2 跟踪训练
1．如图，△AEB和△CEF是否相似？说明理由．
2．如图，已知∠DAE＝∠BAC，＝，点E是AC的中点．求证：△DAE∽△ABC.
活动3 课堂小结
1．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找证明边成比例或角相等的条件．
【预习导学】
知识探究
成比例 相等
自学反馈
△ABC A′B′∶B′C′ △A′B′C′
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．△AEB和△CEF相似．∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠CEF＝∠AEB，∴△AEB∽△CEF. 2.证明：∵E是AC的中点，∴＝.又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，∴△ADE∽△ABC.21世纪教育网版权所有
第4课时 相似三角形的判定定理3
1．了解三角形相似的判定定理3的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P83～84，自学“动脑筋”“例7”“例8”，掌握相似三角形的判定定理3.
(一)知识探究
三边________________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．21世纪教育网版权所有
判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．
甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以它们不相似．
乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．
活动1 小组讨论
例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.21教育网
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
由勾股定理，得BC＝，B′C′＝，
∴＝＝＝＝k.
∴＝＝.
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．
已知两边成比例，一般寻找第三边是否也成比例或夹角是否相等，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．21cnjy.com
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.
∵＝＝0.6，＝＝0.6，＝＝0.6，
∴＝＝.
∴△DEF∽△ABC.
活动2 跟踪训练
1．顺次连接三角形各边中点所得的三角形与原三角形的相似比是________．
2．△ABC的三边长为，，2，△DEF的两边为1和，如果△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长为________．
3．如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ABC与△DEF是否相似？为什么？21·cn·jy·com
活动3 课堂小结
1．三边成比例的两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找证明边成比例的条件．
【预习导学】
知识探究
成比例
自学反馈
略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶2 2. 3.△ABC∽△DEF.理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.
