2.2.2 公式法
1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
阅读教材P35～37，完成下列问题：
(一)知识探究
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为：x＝______________(b2－4ac≥0)．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．21cnjy.com
2．运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作________．
(二)自学反馈
1．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，探究求根公式：
因为a≠0，方程两边都除以a，得______________．
把方程的左边配方，得________________，
即(x＋________)2－________＝0.
若b2－4ac≥0，原方程可化为(x＋)2＝(________)2.
由此得出：x＋＝________或x＋＝－________.
x＝________或x＝________.
若b2－4ac＜0，则此方程________．
2．用公式法解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0； (2)5x＋2＝3x2；
(3)(x－2)(3x－5)＝0; (4)4x2－3x＋1＝0.
活动1 小组讨论
例1 解方程：3x2＝4x－1.
解：将方程化为一般形式，得3x2－4x＋1＝0.
a＝3，b＝－4，c＝1，
b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4，
∴x＝＝＝．
∴x1＝1，x2＝．
例2 用公式法解方程：x(x－6)＋18＝9.
解：将方程化为一般形式，得x2－6x＋9＝0.
因此a＝1，b＝－6，c＝9，
b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，
∴x＝＝＝3.
∴x1＝x2＝3.
活动2 跟踪训练
1．用公式法解x2＋3x＝1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( )
A．1，3，－1 B．1，－3，－1
C．1，－3，1 D．1，3，1
2．用公式法解下列方程：
(1)x2＋5x－1＝0； (2)x2＋4x－6＝0；
(3)x2＋2x－1＝0; (4)2x2－3x＋1＝0.
用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c的值，再判断Δ的正负．
活动3 课堂小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；
②若b2－4ac≥0，则代入公式求解；若b2－4ac<0，则原方程无解．
【预习导学】
知识探究
1. 2.公式法
自学反馈
1．x2＋x＋＝0 x2＋x＋()2－()2＋＝0
± 无解 2.(1)x1＝1＋，x2＝1－.(2)x1＝2，x2＝－.(3)x1＝2，x2＝.(4)无解．21世纪教育网版权所有
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.(1)x1＝，x2＝.(2)x1＝－2＋，x2＝－2－.(3)x1＝－＋，x2＝－－.(4)x1＝1，x2＝.21教育网
2．2.1 配方法
第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程
1．会根据平方根的意义解形如x2＝a(a≥0)或(mx＋n)2＝a(a≥0)的一元二次方程．
2．理解解一元二次方程的基本思路，体会降次和转化的思想方法．
阅读教材P30～31，完成下列问题：
(一)知识探究
1．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的________．
2．解一元二次方程的基本思路是通过________，将一个一元二次方程转化为两个________方程．
(二)自学反馈
1．根据平方根的意义解下列方程：
(1)x2－49＝0； (2)4x2－49＝0.
解：①移项，得x2＝____. 解：②移项，得____．
直接开平方，得x＝____. 两边同时除以4，得____．
∴x1＝____，x2＝____. 直接开平方，得____．
∴x1＝____，x2＝____.
用平方根的意义解一元二次方程的一般步骤：先通过移项，用等式的性质等将方程化为形如x2＝a(a≥0)的形式．再利用平方根的意义求得方程的解为x＝±.21世纪教育网版权所有
2．方程(x＋1)2＝3能根据平方根的意义求解吗？
解：若把(x＋1)看成整体，再根据平方根的意义，得x＋1＝________或x＋1＝________，解得x1＝________，x2＝________.21教育网
若(mx＋n)2＝a(a≥0)，则开平方，得mx＋n＝±；若a＜0，则此一元二次方程无解．
活动1 小组讨论
例1 下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
直接将x的值代入方程，检验方程两边是否相等．
例2 根据平方根的意义解下列方程：
(1)4x2－1＝0； (2)x2－27＝0.
解：原方程可化为x2＝. 解：原方程可化为x2＝81.
x＝±， x＝±，
∴x1＝，x2＝－. ∴x1＝9，x2＝－9.
例3 根据平方根的意义解下列方程：
(1)(x＋1)2－25＝0; (2)9(x＋1)2－25＝0.
解：原方程可化为(x＋1)2＝25. 解：原方程可化为[3(x＋1)2]＝25.
x＋1＝±5, 3x＋3＝±5，
∴x1＝4，x2＝－6. ∴x1＝，x2＝－.
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．
活动2 跟踪训练
1．下列各未知数的值是方程3x2＋x－2＝0的解的是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．解下列方程：
(1)x2－3＝0;
(2)4x2－20＝0；
(3)(x－2)2＝9;
(4)(2x＋1)2－49＝0.
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
1．根 2.降次 一元一次
自学反馈
1．(1)49 ± 7 －7 (2)4x2＝49 x2＝ x＝± － 2. － －1＋ －1－
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.(1)x1＝，x2＝－.(2)x1＝，x2＝－.(3)x1＝5，x2＝－1.(4)x1＝3，x2＝－4.
2．2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
1．理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程．
2．理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次化归”的思想方法．
阅读教材P37～39，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对于一元二次方程，先将方程右边化为________，然后对方程左边进行________，使方程化为两个一次式的________的形式，再使这两个一次式分别等于________，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法．
2．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．21教育网
3．若我们把方程x2＋bx＋c＝0的左边进行因式分解后，写成x2＋bx＋c＝________＝0，则d和h就是方程x2＋bx＋c＝0的根．反过来，如果d和h是方程x2＋bx＋c＝0的根，则方程的左边就可以分解成x2＋bx＋c＝________.
(二)自学反馈
1．说出下列方程的根：
(1)x(x－8)＝0； (2)(3x＋1)(2x－5)＝0.
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；
(3)5x2－20x＋20＝0.
活动1 小组讨论
例1 用因式分解法解下列方程：
(1)5x2－4x＝0； (2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)(x＋5)2＝3x＋15.
解：(1)x1＝0，x2＝.(2)x1＝，x2＝－.
(3)x1＝－5，x2＝－2.
解这里的(2)(3)题时，注意整体化归的思想．
例2 用因式分解法解下列方程：
(1)4x2－144＝0； (2)(2x－1)2＝(3－x)2；
(3)5x2－2x－＝x2－2x＋； (4)3x2－12x＝－12.
解：(1)x1＝6，x2＝－6.(2)x1＝，x2＝－2.
(3)x1＝，x2＝－.(4)x1＝x2＝2.
注意本例中的方程可以使用多种方法．
活动2 跟踪训练
1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x＝0； (2)x2－2x＝0；
(3)3x2－6x＝－3； (4)4x2－121＝0；
(5)(x－4)2＝(5－2x)2.
3．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
活动3 课堂小结
1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．
【预习导学】
知识探究
1．0 因式分解 乘积 0 2.x－1＝0 x＝1 3.(x－d)(x－h) (x－d)(x－h)
自学反馈
1．(1)x1＝0，x2＝8.(2)x1＝－，x2＝. 2.(1)x1＝0，x2＝4.(2)x1＝，x2＝－.(3)x1＝x2＝2.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.(1)x1＝0，x2＝－1.(2)x1＝0，x2＝2.(3)x1＝x2＝1.(4)x1＝，x2＝－.(5)x1＝3，x2＝1. 3.设小圆形场地的半径为x m．则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋5)m.21世纪教育网版权所有
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．
2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．
阅读教材P32～33，完成下列问题：
(一)知识探究
1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．21世纪教育网版权所有
2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解．
(二)自学反馈
1．用适当的数填空：
(1)x2－8x＋(______)2＝(x－______)2；
(2)x2＋10x＋(______)2＝(x＋______)2.
2．用配方法解下列方程：
(1)x2＋2x＝7； (2)x2－5x＋＝0.
活动1 小组讨论
例 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0; (2)x2＋1＝3x.
解：x1＝4＋， 解：x1＝＋，
x2＝4－. x2＝－＋.
(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．
(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方．
(3)注意：配方时一定要在方程的两边同加．
活动2 跟踪训练
1．把二次三项式x2＋8x＋2进行配方，正确的是( )
A．(x＋8)2－1 B．(x＋4)2－14
C．(x＋4)2＋18 D．(x＋2)2－16
2．填空：
(1)x2－4x＋______＝(x－______)2；
(2)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；
(3)x2－7x＋______＝(x－______)2.
3．解方程x2－3x－2＝0，配方，得(x－______)2＋______＝0.
4．用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝1; (2)x2＋6x－2＝0；
(3)x2＋4x＋3＝0; (4)x2＋x－1＝0.
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
1．一半 平方 减去 完全平方式 平方根的意义 2.平方根的意义 一元一次
自学反馈
1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x1＝－1＋2，x2＝－1－2.(2)x1＝＋，x2＝－.21教育网
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3) 3. －
4．(1)x1＝1＋，x2＝1－.(2)x1＝－3，x2＝－－3.(3)x1＝－1，x2＝－3.(4)x1＝，x2＝.
第2课时 选择合适的方法解一元二次方程
1．理解并掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
2．能结合具体方程选择合理的方法求解，培养探究问题和解决问题的能力．
阅读教材P40～41，完成下列问题：
(一)知识探究
1．________适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先________)适用于所有一元二次方程．
2．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用________．
3．解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即________，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个________多项式的________，即ax2＋bx＋c＝________，其中________和________是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．21教育网
(二)自学反馈
1．解一元二次方程x2＋x－3＝0最合适的方法是( )
A．用平方根的意义求 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
2．用适当方法解下列方程：
(1)4x2－3x＝0； (2)3(x＋1)2＝3.63；
(3)x2＋4x－1＝0； (4)x2－5x＋1＝0.
(1)若给定的方程易化为(mx＋n)2＝a(a≥0)的形式，可根据平方根的意义解一元二次方程．
(2)若给定的方程易于因式分解，可用因式分解法．
(3)公式法和配方法适用于所有一元二次方程，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙．
活动1 小组讨论
例 解方程：(x－5)2－4(x－5)(3－x)＋4(3－x)2＝0.
解：原方程可化为[(x－5)－2(3－x)]2＝0.
∴[(x－5)－2(3－x)]＝0，即3x－11＝0.
∴x1＝x2＝.
注意本例中的方程可以使用多种方法．
活动2 跟踪训练
1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝1或x＝2 D．x＝－1或x＝2
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－7y－4＝0可化为2(y－)2＝
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
3．方程4(2x－3)2＝25的根是( )
A．x＝或x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝或x＝
4．用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2－4ac的值．请问用公式法解一元二次方程－x2＋5x＝3时b2－4ac的值为________．21cnjy.com
5．选择合适的方法解下列方程：
(1)(x＋2)2－9＝0; (2)2x2＋3x－3＝0；
(3)2x2＝x＋1; (4)x2＋3＝3(x＋1)．
活动3 课堂小结
在解一元二次方程时，首先考虑的是根据平方根的意义解一元二次方程；其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷；再次考虑配方法和公式法．而在使用平方根的意义求解和因式分解法时，经常用到整体思想．
【预习导学】
知识探究
1．公式法 配方 2.因式分解法 3.降次 一次 乘积 a(x－x1)(x－x2) x1 x2
自学反馈
1．D 2.(1)x1＝0，x2＝.(2)x1＝0.1，x2＝－2.1.(3)x1＝－2＋，x2＝－2－.(4)x1＝，x2＝.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.D 3.D 4.13 5.(1)x1＝1，x2＝－5.(2)x1＝，x2＝.(3)x1＝1，x2＝－.(4)x1＝0，x2＝3.21世纪教育网版权所有
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤．
2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．
阅读教材P34～35，完成下列问题：
(一)知识探究
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)化——化二次项系数为________；
(2)配——________，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；
(3)移——移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(4)开——如果n≥0，就可左右两边开平方得________；
(5)解——方程的解为x＝________.
(二)自学反馈
1．解方程2x2－4x－1＝0.
解：将方程两边同时除以2，得________．
把方程的左边配方，得________，
即(x－________)2－＝0.
x－1＝________，
∴x1＝，x2＝.
当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质将方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解．21教育网
2．用配方法解下列关于x的方程：
(1)2x2－4x－8＝0； (2)2x2＋2＝5.
解一元二次方程的实质是：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．21世纪教育网版权所有
活动1 小组讨论
例1 用配方法解方程：
(1)2y2－4y－126＝0； (2)3x(x＋3)＝.
解：原方程可化为 解：原方程可化为
y2－2y－63＝0. x2＋3x－＝0.
∴y2－2y＋12－12－63＝0, ∴x2＋3x＋()2＝＋()2，
即(y－1)2＝64. 即(x＋)2＝3.
∴y－1＝±8. ∴x＋＝±.
解得y1＝9，y2＝－7. ∴x1＝，x2＝.
例2 用配方法解方程：－3y2＋12y＋36＝0.
解：方程两边同时除以－3，得y2－4y－12＝0，
即(y－2)2＝16.
∴y－2＝±4.
∴y1＝6，y2＝－2.
(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数．21·cn·jy·com
(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方．
(3)注意：配方时一定要在方程两边同加．
活动2 跟踪训练
1．用配方法解方程2x2－4x－3＝0，把二次项系数化为1后，方程两边都应加上( )
A．1 B．2 C．4 D．8www.21-cn-jy.com
2．解一元二次方程2x2＋2x－3＝0，配方正确的是( )
A．(x＋)2＝ B．(x＋1)2＝4
C．(x＋1)2＝4 D．(x＋)2＝
3．在下列各式中填上适当的数，使等式成立：
(1)2x2＋4x＋______＝2(x＋______)2；
(2)3x2＋6x－1＝3(x＋______)2＋______.
4．用配方法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0； (2)2x2－4x－3＝0；
(3)3x2－4x＋1＝0; (4)6x2－x－12＝0.
活动3 课堂小结
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)形式；②把二次项系数化为1；③配方，得到方程(x＋m)2－n＝0的形式；④利用平方根的意义求解．2·1·c·n·j·y
【预习导学】
知识探究
(1)1 (2)配方 (4)x＋m＝± (5)－m±
自学反馈
1．x2－2x－＝0 x2－2x＋1－1－＝0 1 ±
2．(1)x1＝1＋，x2＝1－.(2)x1＝，x2＝－.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.A 3.(1)2 1 (2)1 －4 4.(1)x1＝1，x2＝－.(2)x1＝1＋，x2＝1－.(3)x1＝1，x2＝.(4)x1＝，x2＝－.21cnjy.com
