1.相似三角形的判定
课后篇巩固探究
一、A组
1.如图,AD∥EF∥BC,GH∥AB,则图中与△BOC相似的三角形有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:图中与△BOC相似的三角形有△HGC,△AOD,△EOF,共3个.
答案:C
2.如图,△ABC∽△AED∽△AFG,DE是△ABC的中位线,△ABC与△AFG的相似比是3∶2,则△ADE与△AFG的相似比是( )
A.3∶4
B.4∶3
C.8∶9
D.9∶8
解析:因为△ABC与△AFG的相似比是3∶2,所以AB∶AF=3∶2.又△ABC与△AED的相似比是2∶1,所以AB∶AE=2∶1.故△AED与△AFG的相似比k=AE∶AF=.
答案:A
3.
如图,已知锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,则图中与△ODB相似的三角形有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
解析:与△ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC,共有3个.
答案:B
4.如图,在△ABC中,点M在BC上,点N在AM上,CM=CN,且,则下列结论正确的是( )
A.△ABM∽△ACB
B.△ANC∽△AMB
C.△ANC∽△ACM
D.△CMN∽△BCA
解析:由CM=CN,得∠CMN=∠CNM,∴∠AMB=∠ANC.∵,∴,∴△AMB∽△ANC.
答案:B
5.如图,在△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB,其中能满足△APC和△ACB相似的条件是( )
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
解析:当满足①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB时,△APC和△ACB相似.
答案:D
6.如图,△ABC∽△AFE,EF=8,且△ABC与△AFE的相似比是3∶2,则BC= .
解析:∵△ABC∽△AFE,且相似比为3∶2,∴.
又EF=8,∴BC=12.
答案:12
7.如图,已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点,BE,CF相交于点G,FG=2,则CF的长为 .
解析:∵E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点,
∴FE∥BC,EF=BC.由相似三角形的预备定理,得△FEG∽△CBG,∴.
又FG=2,∴GC=4,∴CF=6.
答案:6
8.
如图,已知∠ACB=∠E,AC=6,AD=4.求AE的长.
解:因为∠ACB=∠E,
∠DAC=∠CAE,
所以△DAC∽△CAE.
所以.
所以AE==9.
9.
如图,在△ABC中,D是BC边的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.求证:△ABC∽△FCD.
证明:因为BD=DC,DE⊥BC,
所以△BEC为等腰三角形.
所以∠B=∠1.
又因为AD=AC,
所以∠2=∠ACB.
所以△ABC∽△FCD.
10.如图,AB=AC,AD⊥BC,EF⊥AD,交AD的延长线于点F.求证:EF·AC=AE·CD.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF⊥AD,BC⊥AD,
∴BC∥EF.
∴∠ADC=∠AFE=90°.
∴△AEF∽△ACD.
∴.
∴EF·AC=AE·CD.
二、B组
1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DE⊥AB,垂足为E,则图中与△ADE相似的三角形个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:题图中Rt△CBA,Rt△CAD,Rt△ABD,Rt△DBE均与Rt△ADE相似.
答案:D
2.
导学号52574010如图,每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
解析:在△ABC中,∠B=135°,tan
C=,
tan
A=tan(180°-∠B-∠C)=tan(45°-∠C)
=.
选项A中,若三角形有一个角为135°,则与∠B相等,若三角形有一个角的正切值为,则与∠A相等,故选项A中的三角形与△ABC相似.可以判断选项B,C,D中的三角形与△ABC均不存在两个角对应相等,即都不相似.
答案:A
3.如图,在 ABCD中,直线EH与CB,CD的延长线分别交于点H,E,EH与AD,AB分别交于点F,G,则图中的相似三角形有( )
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
解析:由三角形相似的判定定理可知△EDF∽△ECH,△EDF∽△GAF,△GBH∽△GAF,△ECH∽△GAF,△GBH∽△EDF,△GBH∽△ECH,一共有6对相似三角形.
答案:D
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC.若AD=12,BC=20,则EF= .
解析:由题意,得AD∥EF∥BC,则△AOD∽△COB,
所以,
所以,所以EO=12×.
同理FO=20×,所以EF=15.
答案:15
5.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证:FD2=FB·FC.
证明:∵E是Rt△ACD斜边AC的中点,
∴DE=EA,∴∠A=∠2.
又∠1=∠2,∠1=∠A,∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,
∴∠FDC=∠FBD.
又∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC,∴,
∴FD2=FB·FC.
6.导学号52574011如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE是∠CAB的平分线,CD与AE相交于点F,EG⊥AB于点G.求证:EG2=FD·EB.
证明:∵∠ACE=90°,CD⊥AB,
∴∠CAE+∠AEC=90°,∠FAD+∠AFD=90°.
∵∠AFD=∠CFE,∴∠FAD+∠CFE=90°.
又∠CAE=∠FAD,
∴∠AEC=∠CFE,∴CF=CE.
∵AE是∠CAB的平分线,EG⊥AB,EC⊥AC,
∴EC=EG,∴CF=EG.
∵∠B+∠CAB=90°,∠ACF+∠CAB=90°,
∴∠ACF=∠B.∵∠CAF=∠BAE,
∴△AFC∽△AEB,∴.
∵CD⊥AB,EG⊥AB,∴Rt△ADF∽Rt△AGE.
∴,∴.
∴CF·EG=FD·EB,∴EG2=FD·EB.第三讲圆锥曲线性质的探讨
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.圆在平面上的平行射影可能是( )
A.线段
B.圆
C.椭圆
D.以上都有可能
答案:D
2.过球面上一点可以作球的( )
A.一条切线和一个切平面
B.两条切线和一个切平面
C.无数条切线和一个切平面
D.无数条切线和无数个切平面
解析:过球面上一点可以作球的无数条切线,并且这些切线在同一个平面内,过球面上一点可以作一个球的切平面.
答案:C
3.若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线与这条斜线的位置关系是( )
A.垂直
B.异面
C.相交
D.不能确定
解析:当这条直线在平面内时,则A成立;当这条直线是平面的垂线时,则B或C成立,故选D.
答案:D
4.如图,平面截圆柱,截面是一个椭圆.若截面与圆柱底面所成的角为60°,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:依题意,得截面与圆柱母线的夹角为30°,因此椭圆离心率e=cos
30°=.
答案:C
5.方程x2-3x+2=0的两根可作为( )
A.两个椭圆的离心率
B.一双曲线、一条抛物线的离心率
C.两双曲线的离心率
D.一个椭圆、一条抛物线的离心率
解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,而椭圆离心率满足0
1,抛物线的离心率e=1,故可以作为一双曲线、一条抛物线的离心率.
答案:B
6.给出以下结论:①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的射影不可能是圆;②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形(平行四边形所在平面与投射线不平行);③圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.
其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析:因为平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,所以①是错误的;③是正确的;因为当平行四边形所在平面与投射线不平行时,平行线的平行射影仍然是平行线,所以平行四边形的平行射影仍然是平行四边形,故②也正确.
答案:B
7.
如图,用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱,给出下列结论:①截面呈正方形;②AD∥BC,AB∥CD;③AB⊥BC,AD⊥AB;④AD=BC,AB=CD.
其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①只能判断截面ABCD为矩形,故错误;②AD∥BC,AB∥CD,故正确;③AB⊥BC,AD⊥AB,故正确;④AD=BC,AB=CD,故正确.综上可得②③④正确,故正确的有3个.
答案:C
8.一个圆锥的底面半径为3,高为4,用一个不经过圆锥顶点且与圆锥轴的夹角为60°的平面截该圆锥,所得圆锥曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得圆锥母线长为5.若设圆锥母线与轴的夹角为α,则cos
α=.又平面与圆锥轴的夹角β=60°,所以所得圆锥曲线的离心率e=.
答案:A
9.已知一个平面与一个等边圆锥(轴截面为正三角形)的轴的夹角为75°,则该平面与圆锥面交线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:由已知得圆锥母线与轴的夹角为30°,而平面与轴的夹角为75°,即β>α,故该平面与圆锥面交线是椭圆.
答案:B
10.若双曲线=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,则点P到左准线的距离为( )
A.
B.
C.16
D.8
解析:由双曲线=1,
得a=8,b=6,c==10,
∴准线方程为x=±=±=±.
设点P到右准线的距离为d,则由双曲线的第二定义知=e=,∴d=.
∴点P到左准线的距离为d+=16.
答案:C
11.已知平面与圆锥轴线夹角为45°,圆锥母线与轴线夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为( )
A.
B.2
C.4
D.
解析:∵e=,∴.∴c=,2c=2.
答案:B
12.
导学号52574056如图,一个圆柱被一个平面所截,截面椭圆的长轴长为5,短轴长为4,被截后的几何体的最短母线长为2,则这个几何体的体积等于( )
A.42π
B.28π
C.21π
D.14π
解析:圆柱的底面直径为椭圆的短轴长4,几何体的最长母线长为2+=5.
用一个同样的几何体补在上面,可得底面半径为2,高为
5+2=7的圆柱,其体积的一半为所求几何体的体积,即π×22×7×=14π.
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.两个大小不等的球相交,交线是 .
答案:圆
14.将两个半径均为2
cm的球嵌入底面半径为2
cm的圆柱中,使两球心的距离为6
cm;用一个平面分别与两个球相切,所成的截线为一个椭圆,则该椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,焦距为 ,离心率为 .
答案:6 4 2
15.已知圆面积为5,该圆与平行射影方向垂直,其射影面积为10,则平行射影方向与射影面的夹角是 .
解析:如图,BC为射影方向,显然AB所在平面为圆所在平面,AC所在平面为射影面,设α为射影方向与射影面的夹角,利用sin
α=,解得α=45°,即夹角是45°.
答案:45°
16.如图,设椭圆两个焦点的距离F1F2=2c,两个端点的距离G1G2=2a,则l1与l2之间的距离为 .
解析:如图,设椭圆上任意一点P,过P作PQ1⊥l1于点Q1,过P作PQ2⊥l2于点Q2.连接PF1,PF2.
因为e=,所以PF1=PQ1,PF2=PQ2.由椭圆定义,知PF1+PF2=2a,所以PQ1+PQ2=2a.所以PQ1+PQ2=,即l1与l2之间的距离为.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为半径为3的圆,另一截面与圆柱的轴线的交角为60°,求椭圆截线的两个焦点之间的距离.
解:如图所示,已知斜截面与圆柱的轴线的交角为60°,
即与圆柱母线的交角为60°,
故椭圆的长半轴长a==2,
又椭圆的短半轴长b=r=3,
故椭圆的焦距2c=2=2.
即椭圆截线的两个焦点之间的距离为2.
18.(本小题满分12分)平面内两个定点的距离为8,动点M到两个定点的距离的和为10,求动点M的轨迹方程.
解:以两点的连线段所在的直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由椭圆的定义知,动点的轨迹是椭圆.
设所求椭圆方程为=1(a>b>0).
因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,则b2=9,
故所求椭圆的方程为=1.
19.(本小题满分12分)求证:在同一直线上的两条线段的平行射影(不是点)的比等于这两条线段的比.
解:已知:如图,C是线段AB上任一点,C',A',B'分别是C,A,B在平面α上沿直线l方向的平行射影.
求证:.
证明:由平行射影的定义知,AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,
∴AA'∥BB'∥CC'.由平行线分线段成比例定理,得.
20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为2,焦距为2,右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交椭圆于B点,若FA=3FB,求AF的长.
解:因为2a=2,所以a=.又因为2c=2,所以c=1.设B在l上的射影为B1,F在l上的射影为H,如图.
因为=e=,
所以BB1=BF.
又FA=3FB,所以AB=2BF.
在Rt△ABB1中,cos∠ABB1=,
所以cos∠BFH=.
因为FH=-c=2-1=1,
所以在Rt△AFH中,AF=.
故线段AF的长等于.
21.(本小题满分12分)如图,圆柱被平面α所截.已知AC是圆柱口在平面α上最长的投影线段,BD是最短的投影线段,EG=FH,EF⊥AB,垂足在圆柱的轴上,EG和FH都是投影线,分别与平面α交于点G,H.
(1)比较EF,GH的大小;
(2)若圆柱的底面半径为r,平面α与母线的夹角为θ,求CD.
解:(1)∵EG和FH都是投影线,
∴EG∥FH.
又EG=FH,
∴四边形EFHG是平行四边形,
∴EF=GH.
(2)如图,过点D作DP⊥AC于点P.
则在Rt△CDP中,有sin∠DCP=,
又∠DCP=θ,DP=2r,∴CD=.
22.导学号52574057(本小题满分12分)如图,已知圆锥的母线与轴线的夹角为α,圆锥嵌入半径为R的Dandelin球,平面π与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.
解:设F为抛物线的焦点,A为顶点,FA的延长线交准线m于B,AF的延长线与PO交于点C.连接OF,OA.
∵平面π与圆锥轴线和圆锥母线与轴线的夹角相等,
∴∠APC=∠ACP=α.
由切线长定理知,OA平分∠PAC,
∴OA⊥PC.
∴∠OCA+∠OAC=90°,∠AOF+∠OAC=90°,
∴∠OCA=∠AOF=α.
在Rt△OAF中,AF=OF·tan∠AOF=Rtan
α.
又由抛物线结构特点,
∴AF=AB.
∴FB=2Rtan
α,即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtan
α.第二讲直线与圆的位置关系
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在圆内接四边形的4个角中,如果没有直角,那么一定有( )
A.2个锐角和2个钝角
B.1个锐角和3个钝角
C.1个钝角和3个锐角
D.都是锐角或都是钝角
解析:由于圆内接四边形的对角互补,因此圆内接四边形的4个角中若没有直角,则必有2个锐角和2个钝角.
答案:A
2.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )
A.2
B.3
C.2
D.4
解析:连接OC,则OC⊥EF.在直角梯形OCDA中,CD2=AO2-(OC-AD)2=8,故AC==2.
答案:C
3.圆内接三角形ABC的角平分线CE延长后交外接圆于点F.若FB=2,EF=1,则CE等于( )
A.3
B.2
C.1
D.4
解析:∵∠ACF=∠ABF,∠ACF=∠FCB,∴∠EBF=∠FCB.又∠EFB=∠BFC,∴△FBE∽△FCB,
∴,即,
∴CF=4,∴CE=4-1=3.
答案:A
4.如图,四边形ABCD内接于☉O.若∠BCD=2∠BOD,则∠A等于( )
A.72°
B.60°
C.45°
D.36°
解析:设∠A=x,则∠BCD=180°-x,∠BOD=2x,于是有180°-x=4x,则x=36°.
答案:D
5.
如图,A,B是☉O上的两点,AC是☉O的切线,∠B=65°,则∠BAC等于( )
A.25°
B.35°
C.50°
D.65°
解析:在△OAB中,OA=OB,
∴∠O=180°-2∠B=50°.
∴∠BAC=∠O=25°.
答案:A
6.
如图,已知A,B,C,D,E均在☉O上,且AC为☉O的直径,则∠A+∠B+∠C等于( )
A.90°
B.120°
C.180°
D.60°
解析:∵AC为☉O的直径,∴的度数为180°.∵∠A,∠B,∠C的度数分别为度数的一半,∴∠A+∠B+∠C=90°.
答案:A
7.
如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若,则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,∴△PCB∽△PAD.∴.∵,
∴,故.
答案:D
8.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC为直径的圆交AB于D,则BD的长为( )
A.4
B.
C.
D.
解析:由题意得AC=3,又AC2=AD·AB,故AD=,BD=5-.
答案:D
9.
如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,∠DAE=80°,则∠ACD的度数为( )
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
解析:连接AO,并延长交☉O于点F,连接BF,则∠ABF=90°.因为AB=OA=AF,所以∠F=30°,所以∠ACB=∠F=30°.又∠BCD=∠DAE=80°,所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.
答案:C
10.如图,AB是☉O的直径,MN与☉O切于点C,AC=BC,则sin∠MCA等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由弦切角定理,得∠MCA=∠ABC,sin∠ABC=.
答案:B
11.
如图,圆O的割线PAB经过圆心O,C是圆上一点,PA=AC=AB,则下列结论不正确的是( )
A.CB=CP
B.PC·AC=PA·BC
C.PC是圆O的切线
D.BC2=PA·AB
解析:
连接OC,因为AC=AB,所以∠B=30°.
又AB为直径,∠ACB=90°,所以∠BAC=60°,则AC=AO=PA,所以A是OP的中点,且AC=PO,所以∠OCP=90°,即PC是圆O的切线,所以C正确.又∠B=∠P=30°,则CB=CP,所以A正确.
因为AC=PA,CB=CP,所以PC·AC=PA·BC,所以B正确.又PC2=PA·PB,BC=CP,所以BC2=PA·PB,所以D错误.
答案:D
12.
导学号52574042如图,已知EB是半圆O的直径,A是BE延长线上一点,AC切半圆O于点D,BC⊥AC于点C,DF⊥EB于点F.若BC=6,AC=8,则DF=
( )
A.1
B.3
C.4
D.6
解析:
设圆的半径为r,AD=x,连接OD,则OD⊥AC.∵BC⊥AC,
∴OD∥BC,
∴,即,故x=r.在Rt△ABC中,BC=6,AC=8,∴AB=10.又由切割线定理得AD2=AE·AB,即r2=(10-2r)×10,故r=.由三角形相似得,则DF=3.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD= .
解析:由题意,得OC=CA=1,OB=2,BC=.由相交弦定理,得(2+1)×(2-1)=BC·CD,故CD=.
答案:
14.如图,PT切圆O于点T,PA交圆O于A,B两点,且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB= .
解析:由相交弦定理,得CD·DT=AD·DB,因此DT=9.由切割线定理,得PT2=PB·(PB+9).
在Rt△DTP中,PT2=PD2-DT2=(PB+6)2-92,解得PB=15.
答案:15
15.
如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离等于 .
解析:由相交弦定理,得PA·PB=PD·PC,得PC=4,所以弦长CD=5,故圆心O到弦CD的距离为.
答案:
16.
如图,AB是圆O的直径,直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE于D.若AD=1,∠ABC=30°,则圆O的面积是 .
解析:∵在☉O中,∠ACD=∠ABC=30°,且在Rt△ACD中,AD=1,∴AC=2,AB=4.∵AB是☉O的直径,∴☉O的半径为2,∴圆O的面积为4π.
答案:4π
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
如图,PA是圆O的切线,切点为A,过PA的中点M作割线交圆O于B和C.求证:∠MPB=∠MCP.
证明:因为MA2=MB·MC,且MP=MA,
所以MP2=MB·MC,即.
因为∠PMB=∠PMB,所以△PMB∽△CMP,故∠MPB=∠MCP.
18.(本小题满分12分)如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.
(1)求证:△DEF∽△EAF;
(2)如果FG=1,求EF的长.
(1)证明:
△DEF∽△EAF.
(2)解:△EAF∽△DEF FE2=FD·FA,又因为FG为切线,所以FG2=FD·FA,所以EF=FG=1.
19.(本小题满分12分)如图,AB是☉O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
(1)求证:BE·DE+AC·CE=CE2.
(2)若D是BE的中点,求证:E,F,C,B四点共圆.
证明:(1)由割线定理,得EA·EC=DE·BE,
∴BE·DE+AC·CE=EA·CE+AC·CE=CE2,
故BE·DE+AC·CE=CE2.
(2)如图,连接CB,CD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ECB=90°,
∴CD=EB.
∵EF⊥BF,
∴FD=BE.
∴E,F,C,B四点与点D等距离.
∴E,F,C,B四点共圆.
20.(本小题满分12分)
如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过点C的直线交直线AB的延长线于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.
(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)如果AD=AB=2,求EB的长.
(1)证明:连接AC,OC.
由AB是半圆O的直径,得BC⊥AC.
由BC∥OD,得OD⊥AC,
∴OD是AC的中垂线,
∴∠OCA=∠OAC,∠DCA=∠DAC,∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°,
∴OC⊥DE,∴DE是圆O的切线.
(2)解:∵BC∥OD,∴∠CBA=∠DOA.
又∠BCA=∠DAO=90°,
∴△ABC∽△DOA,∴,
∴BC=.
∵BC∥OD,∴,
∴,故BE=.
21.导学号52574043(本小题满分12分)如图,BC为☉O的直径,,过点A的切线与CD的延长线交于点E.
(1)试猜想∠AED是否等于90° 为什么
(2)若AD=2,ED∶EA=1∶2,求☉O的半径;
(3)求∠CAD的正弦值.
解:(1)∠AED=90°.理由如下:连接AB.
∵BC为☉O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AE切☉O于A,
∴∠EAD=∠ACD.
又,
∴∠ACB=∠ACD,
∴∠EAD=∠ACB.
又四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADE=∠B.
∴△AED∽△CAB,∴∠AED=∠CAB=90°.
(2)∵AD=2,ED∶EA=1∶2,∠AED=90°,
∴ED=2,EA=4.
又,∴AB=AD=2.
又△EAD∽△ACB,
∴,∴BC==10.
故☉O的半径为5.
(3)过D作DF⊥AC于F.
∵在△ABC中,AC=4;在△AEC中,CE=8,
∴CD=6.
又易知△CDF∽△CBA,∴,
∴DF=.
∴sin∠CAD=.
22.(本小题满分12分)如图,☉O内切于△ABC的边于D,E,F三点,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
(1)求证:圆心O在AD上;
(2)求证:CD=CG;
(3)若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.
(1)证明:由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,
而AB=AC,∴CD=CF=BE=BD.
∴D为BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴圆心O在AD上.
(2)证明:
连接DF.
∵O在AD上,
∴DH为直径,
∴∠DFH=90°.
∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,
∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,
∴CG=CF,
∴CG=CD.
(3)解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,
又∠FAD为公共角,则△AHF∽△AFD.
∴.
∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF,
∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.
又CG=10,∴GD=20.
∴DF=3×20×=12,∴FH=FD=9.二 平行线分线段成比例定理
课后篇巩固探究
一、A组
1.若,则下列各式一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由,得ad=bc,而由,得ac=bd,故A不正确;由,得ad=bc,故B正确;同理知C,D均不正确.
答案:B
2.在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,下列条件不能判定DE∥BC的是( )
A.AD=5,AB=8,AE=10,AC=16
B.BD=1,AD=3,CE=2,AE=6
C.AB=7,BD=4,AE=4,EC=3
D.AB=AC=9,AD=AE=8
解析:在C项中,,故DE与BC不平行.
答案:C
3.如图,AD是△ABC的中线,E是CA边的三等分点,BE交AD于点F,则AF∶FD等于( )
A.2∶1
B.3∶1
C.4∶1
D.5∶1
解析:因为D是BC的中点,过点D作DG∥AC交BE于点G,所以DG=EC.又AE=2EC,所以AF∶FD=AE∶DG=2EC∶EC=4∶1.
答案:C
4.
如图,DE∥AB,DF∥BC.若AF∶FB=m∶n,BC=a,则CE=( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵DF∥BC,∴.
∵DE∥AB,∴.
∴EC=.
答案:D
5.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是DC的延长线上一点,AE分别交BD,BC于点G,F,有下列结论:①;②;③;④.其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:在△ADE中,CF∥AD,故①和④正确;
又由BF∥AD,得②正确;
由BF∥AD,得,故③不正确.
答案:C
6.如图,在△ABC中,MN∥DE∥BC.若AE∶EC=7∶3,则DB∶AB的值为 .
解析:由AE∶EC=7∶3,得EC∶AC=3∶10.
由MN∥DE∥BC,得DB∶AB=EC∶AC,
即DB∶AB=3∶10.
答案:3∶10
7.如图,l1∥l2∥l3.若CH=4.5
cm,AG=3
cm,BG=5
cm,EF=12.9
cm,则DH= ,EK= .
解析:由l1∥l2∥l3,得,故DH==7.5(cm).同理可得EK的长度为34.4
cm.
答案:7.5
cm 34.4
cm
8.如图,∠ACB=90°,以BC为边作正方形BEDC,连接AE交BC于点F,过点F作FG∥AC,交AB于点G.求证:FC=FG.
证明:∵FG∥AC∥BE,∴.
∵FC∥DE,∴.∴.
又BE=DE,∴FC=FG.
9.如图,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1,AD与CE相交于点F.求的值.
解:过点D作DG∥AB交EC于点G,则,而,即,
所以AE=DG,从而AF=DF,EF=FG=CG,
故+1=.
10.如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使AE=AF.求证:.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD.
延长AD到G,使得DG=AD,连接BG,CG,则四边形ABGC为平行四边形,
∴AB=GC.
∵CM∥EF,∴,∴.
又AB∥GC,AM=AC,GC=AB,
∴.∴.
二、B组
1.如图,BD,CE是△ABC的中线,P,Q分别是BD,CE的中点,则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:延长QP交AB于点M,连接ED.
因为P,Q分别是BD,CE的中点,
所以M是BE的中点.
所以MQ=BC,MP=ED=BC.
所以PQ=MQ-MP=BC-BC=BC,
即.
答案:B
2.
如图,在 ABCD中,N是AB延长线上一点,则的值为( )
A.
B.
C.1
D.
解析:∵DC∥BN,∴.
又BM∥AD,∴.
∴=1.
答案:C
3.导学号52574006如图,D是△ABC中BC边上一点,点E,F分别是△ABD,△ACD的重心,EF与AD交于点M,则= .
解析:连接AE,AF,并分别延长交BC于点G,H.因为点E,F分别是△ABD,△ACD的重心,所以=2,所以EF∥GH,所以=2.
答案:2
4.如图,E,F分别是梯形ABCD的腰AD,BC上的点,其中CD=2AB,EF∥AB.若,则= .
解析:过A作AH∥BC,交EF,CD于点G,H.
设AB=a,则CD=2a.由,得EF=a.
由EF∥AB∥CD,得-1.又AD=AE+ED,故-1,得.
答案:
5.导学号52574007如图,AC∥BD,AD,BC相交于点E,EF∥BD.求证:.
证明:∵AC∥EF∥BD,
∴.
两式相加,得=1,
即.
6.
如图,在 ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交AC于点G,交BC于点F.
求证:(1)DG2=GE·GF;
(2).
证明:(1)∵CD∥AE,∴.
又AD∥CF,∴.
∴,即DG2=GE·GF.
(2)∵BF∥AD,∴.
又CD∥BE,∴.∴.第一讲相似三角形的判定及有关性质
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如图,AB∥GH∥EF∥DC,且BH=HF=FC.若MN=5
cm,则BD等于( )
A.15
cm
B.20
cm
C.
cm
D.不能确定
解析:∵AB∥GH∥EF∥DC,且BH=HF=FC,∴由平行线等分线段定理,得DM=MN=NB.
∵MN=5
cm,
∴BD=3MN=15
cm.
答案:A
2.
如图,已知,DE∥BC.若DE=3,则BC等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵,∴.
又DE∥BC,∴.
∴BC=DE=×3=.
答案:D
3.如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,要使△ABC∽△CDB,则BD=( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为∠ABC=∠CDB=90°,所以当时,△ABC∽△CDB,
即当,即BD=时,△ABC∽△CDB.
答案:D
4.如图,A,B,C,D把OE五等分,且AA'∥BB'∥CC'∥DD'∥EE'.如果OE'=20
cm,那么B'D'等于( )
A.12
cm
B.10
cm
C.6
cm
D.8
cm
解析:∵A,B,C,D把OE五等分,AA'∥BB'∥CC'∥DD',∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'.
又OE'=20
cm,
∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'=4
cm.
∴B'D'=B'C'+C'D'=8
cm.
答案:D
5.如图,CD是Rt△ACB斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A=( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
解析:由题意知,BC=EC.在Rt△ACB中,∵E是斜边AB的中点,∴EC=EB=EA.∴EC=EB=BC,
∴△ECB为正三角形,∴∠B=60°,故∠A=30°.
答案:A
6.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上.若∠ADE=∠C,且AB=5,AC=4,AD=x,AE=y,则y与x之间的关系式是( )
A.y=5x
B.y=x
C.y=x
D.y=x
解析:∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACB,∴.
∵AB=5,AC=4,AD=x,AE=y,
∴,∴y=x.
答案:C
7.若三角形的三条边之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边为21
cm,则其余两边的长度之和为( )
A.24
cm
B.21
cm
C.19
cm
D.9
cm
解析:设其余两边的长度分别为x
cm,y
cm,
则,解得x=15,y=9.故x+y=24.
答案:A
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于F,则DF∶FE等于
( )
A.5∶2
B.2∶1
C.3∶1
D.4∶1
解析:
过D作DG∥AC,交BC于G,
则DG=DB=3CE,
即CE∶DG=1∶3.
又DF∶FE=DG∶CE,
所以DF∶FE=3∶1.
答案:C
9.在△ABC中,DE∥BC,DE交AB于D,交AC于E,且S△ADE∶S梯形DECB=1∶2,则梯形的高与△ABC的高的比为( )
A.1∶
B.1∶(-1)
C.1∶(-1)
D.(-1)∶
解析:由S△ADE∶S梯形DECB=1∶2,得S△ADE∶S△ABC=1∶3.
所以梯形的高与△ABC的高的比为(-1)∶.
答案:D
10.
如图,在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=BD,延长AE交BC于点F,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图,取FC的中点M,连接DM,则DM∥EF,所以.又FC=2FM,所以.
答案:C
11.如图,∠B=∠D,AE⊥BC于点E,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=( )
A.4
B.4
C.6
D.8
解析:在Rt△ADC中,CD==8.在Rt△ADC与Rt△ABE中,∠B=∠D,
∴△ADC∽△ABE,∴,
∴BE=·DC=4.
答案:B
12.
某社区计划在一块上、下底边长分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当△AMD地带种满花后,已经花了500元.请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,还需资金( )
A.500元
B.1
500元
C.1
800元
D.2
000元
解析:在梯形ABCD中,AD∥BC,
∴△AMD∽△CMB.∵AD=10米,BC=20米,
∴.
∵S△AMD=500÷10=50(米2),∴S△BMC=200米2.
故还需要资金200×10=2
000(元).
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图,在空间四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,则= .
解析:因为EF∥BC,FG∥AD,
所以,
于是=1.
答案:1
14.如图,在矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为 .
解析:根据题意得Rt△ABE∽Rt△ECD,则,可得AB=2.
答案:2
15.一个直角三角形的两条直角边长度之比为1∶4,则它们在斜边上的射影的长度之比为 .
解析:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC∶AC=1∶4,过点C作CD⊥AB于点D.由射影定理,得AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,故BC2∶AC2=BD∶AD=1∶16.
答案:1∶16
16.导学号52574020如图,在四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠ABC=∠D=90°,BC=2,AD=2,则四边形ABCD的面积是 .
解析:
因为∠B=∠D=90°,所以设想构造直角三角形,延长BA与CD的延长线交于点E,则得到Rt△BCE和Rt△ADE.
由题目条件知,△ADE为等腰直角三角形,
所以DE=AD=2,S△ADE=×2×2=2.
又可证Rt△EBC∽Rt△EDA,
所以=3.
因此S△EBC=3S△EDA.
故S四边形ABCD=S△EBC-S△ADE=4.
答案:4
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
如图,在△ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=AB,连接EM,并延长交BC的延长线于点D.求证:BC=2CD.
证明:过点C作CF∥AB交ED于点F.
∴.
∵AM=CM,∴CF=AE=AB.∴CF=BE.
∵CF∥AB,∴.
∴BD=3CD,即BC+CD=3CD.∴BC=2CD.
18.(本小题满分12分)如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,E为CD延长线上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE于点G,交CE于点F.求证:CD2=ED·FD.
证明:在Rt△ABC中,CD⊥AB,易知△ADC∽△CDB.
∴,即CD2=AD·DB.
∵∠E+∠EAD=90°,∠ABG+∠EAD=90°,
∴∠E=∠DBF.
∴Rt△AED∽Rt△FBD.
∴.∴ED·FD=AD·BD.
∴CD2=ED·FD.
19.(本小题满分12分)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,DE是Rt△BCD斜边BC上的高.若BE=2,CE=6,求AD的长.
解:∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.
∵DE⊥BC,∴由射影定理可知DE2=CE·BE=12,∴DE=2.
又CD2=CE·BC=48,∴CD=4.
∵BD2=BE·BC=16,∴BD=4.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
由射影定理可得CD2=AD·BD,
故AD==12.
20.(本小题满分12分)如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,CE⊥CD于点C,CE=,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=3.求证:
(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.
证明:(1)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5.
∵D为斜边AB的中点,
∴AD=BD=CD=AB=2.5.
∴,∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知,∠B=∠CDF.
∵BD=CD,∴∠B=∠DCF,
∴∠CDF=∠DCF.∴DF=CF.
①
由(1)知,∠A=∠CEF.
∵∠ACD+∠DCF=90°,∠ECF+∠DCF=90°,
∴∠ACD=∠ECF.
由AD=CD,得∠A=∠ACD.
∴∠ECF=∠CEF,∴CF=EF.
②
由①②,知DF=EF.
21.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于点F.
(1)求的值;
(2)若△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值.
解:(1)如图,取AF的中点G,连接DG,则DG∥FC,且DG=FC.
∵E是BD的中点,
∴BE=DE.
又∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,
∴△BEF≌△DEG,则BF=DG.
∴BF∶FC=DG∶FC.
又DG∶FC=1∶2,则BF∶FC=1∶2,
即.
(2)由(1)知,则.
设△BEF的边BF上的高为h1,△BDC的边BC上的高为h2,则,所以,即S△BDC=6S△BEF,
故,
即S1∶S2=1∶5.
22.导学号52574021(本小题满分12分)如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A,D),Q是BC边上的任意一点,连接AQ,DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值 最大值为多少
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小 (必须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
(1)证明:因为PE∥DQ,所以∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD,所以△APE∽△ADQ.
(2)解:由(1)得△APE∽△ADQ,所以.因为AD∥BC,所以△ADQ的高等于AB,
则S△ADQ=3,所以S△APE=x2.
同理,由PF∥AQ,可证得△PDF∽△ADQ,
所以.
因为PD=3-x,所以S△PDF=(3-x)2.
因为PE∥DQ,PF∥AQ,所以四边形PEQF是平行四边形.所以S△PEF=S PEQF=(S△ADQ-S△APE-S△PDF)=-x2+x=-.
所以当x=,即P是AD的中点时,S△PEF取得最大值,最大值为.
(3)解:作点A关于直线BC的对称点A',连接DA'交BC于Q,则点Q就是使△ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点.一 平行线等分线段定理
课后篇巩固探究
1.如图,DE是△ABC的中位线,F是BC上任一点,AF交DE于点G,则( )
A.AG>GF
B.AG=GF
C.AGD.AG与GF的大小不确定
解析:∵DE是△ABC的中位线,
∴在△ABF中,DG∥BF.
又AD=DB,∴AG=GF.
答案:B
2.在梯形ABCD中,M,N分别是腰AB与腰CD的中点,且AD=2,BC=4,则MN等于( )
A.2.5
B.3
C.3.5
D.不确定
解析:由梯形中位线的性质,得MN=(AD+BC)=3.
答案:B
3.已知三角形的三条中位线长分别为3
cm,4
cm,6
cm,则这个三角形的周长是( )
A.13
cm
B.26
cm
C.24
cm
D.6.5
cm
解析:由题知,三条中位线所对的三边的长分别为6
cm,8
cm,12
cm,故三角形的周长为6+8+12=26(cm).
答案:B
4.若AD是△ABC的高,CD=BD,M,N在AB上,且AM=MN=NB,ME⊥BC于E,NF⊥BC于F,则FC=
( )
A.BC
B.BD
C.BC
D.BD
解析:由AD⊥BC,ME⊥BC,NF⊥BC,得AD∥ME∥NF.
因为AM=MN=NB,所以DE=EF=FB.又CD=BD,所以DE=EF=FB=DC,故FC=BC.
答案:C
5.导学号52574002若顺次连接等腰梯形各边的中点,则得到的四边形是( )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:如图,由等腰梯形的性质,得AC=BD.因为EH=AC,且EH∥AC,FG=AC,且FG∥AC,所以EH=FG,且EH∥FG.同理EF=GH,且EF∥GH.
又因为AC=BD,EF=BD,EH=AC,
所以EF=EH,故四边形EFGH为菱形.
答案:B
6.
如图,AD是△ABC的高,E为AB的中点,EF⊥BC于点F.如果DC=BD,那么FC是BF的( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.
又E为AB的中点,由推论1知F为BD的中点,
即BF=FD.
∵DC=BD,∴DC=BF.
∴FC=FD+DC=BF+DC=BF.
答案:A
7.
如图,在△ABC中,点E是AB的中点,EF∥BD,EG∥AC交BD于点G,CD=AD.若EG=5
cm,则AC= cm;若BD=20
cm,则EF= cm.
解析:∵E为AB的中点,EF∥BD,
∴F为AD的中点.
∵E为AB的中点,EG∥AC,
∴G为BD的中点.当EG=5
cm时,AD=10
cm.
又CD=AD=5
cm,
∴AC=15
cm.当BD=20
cm时,EF=BD=10
cm.
答案:15 10
8.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,CM交AB于点P,DN∥CP.若AB=6
cm,则AP= .
解析:由已知得D是BC的中点,而DN∥CP,所以N是PB的中点.
同理,P是AN的中点,
因此AP=AB=2
cm.
答案:2
cm
9.
如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF= .
解析:连接DE,由于E是AB的中点,因此BE=.
因为CD=,AB∥DC,CB⊥AB,
所以四边形EBCD是矩形.在Rt△ADE中,AD=a,F是AD的中点,故EF=.
答案:
10.
如图,从△ABC的顶点A向∠ABC,∠ACB的平分线作垂线,垂足分别为D,E,连接DE,交AB于点F,交AC于点G.求证:
(1)DE∥BC;
(2)F,G分别是AB,AC的中点.
证明:(1)延长AD交BC的延长线于点M,延长AE交CB的延长线于点N.
∵BD平分∠ABC,BD⊥AD,
∴△ABM是等腰三角形.
∴AD=DM.同理AE=EN.
∴DE∥MN,即DE∥BC.
(2)由(1)知EF∥NB,AE=EN,
∴F是AB的中点.
同理可证G是AC的中点.
11.如图,以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED,DC的延长线交BE于点F.
求证:EF=BF.
证明:如图,连接AE交DC于点O.
∵四边形ACED是平行四边形,
∴O是AE的中点.
∵在梯形ABCD中,DC∥AB,在△EAB中,OF∥AB,又O是AE的中点,∴F是EB的中点,
∴EF=BF.
12.
导学号52574003如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°,AB=BC,E为AB的中点.求证:△ECD为等边三角形.
证明:连接AC,过点E作EF∥AD,交DC于点F.
因为AD∥BC,
所以AD∥EF∥BC.
又因为E是AB的中点,
所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰).
因为DC⊥BC,
所以EF⊥DC,
所以ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),所以△EDC为等腰三角形.
因为AB=BC,∠B=60°,
所以△ABC是等边三角形,
所以EC⊥AB,且EC为∠BCA的平分线.
所以∠BCE=∠ECA=30°.
又EF∥BC,
所以∠BCE=∠CEF=30°,
所以∠CED=2∠CEF=60°.
所以△ECD为等边三角形.二 平面与圆柱面的截线
课后篇巩固探究
1.已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱斜截口图形的离心率为,则椭圆的长半轴长是( )
A.2
B.
C.4
D.
解析:由题意,得短半轴长b=2,,即,解得a=.
答案:B
2.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°),现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切,若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则截线椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点,圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长.
∵由题意可知2b=2c,
∴e=.故选B.
答案:B
3.如图,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,P,Q在椭圆上,有PD⊥l于D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是:①;②;③;④;⑤.
其中正确的是( )
A.①②
B.①③④
C.②③⑤
D.①②③④⑤
解析:①符合离心率定义;②过点Q作QC⊥l于C,
∵QC=FB,∴符合离心率定义;
③∵AO=a,BO=,
∴,故也是离心率;
④∵AF=a-c,AB=-a,∴,
∴是离心率;
⑤∵FO=c,AO=a,∴是离心率.
答案:D
4.如图,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,则PQ的长为( )
A.6
B.
C.7
D.8
解析:设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由已知可得a=10,b=6,c==8,e=.由椭圆定义PF1+PF2=G1G2=20.∵PF1∶PF2=1∶3,
∴PF1=5,PF2=15.由椭圆离心率定义,,
∴PQ=PF1=.
答案:B
5.
如图,过F1作F1Q⊥G1G2,垂足为F1,△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.2-
D.-1
解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.因为△QF1F2为等腰直角三角形,所以QF1=F1F2=2c,QF2=2c.由椭圆定义得QF1+QF2=2a,所以e=-1.
答案:D
6.已知椭圆的离心率e=,焦距为8,则长轴长为 .
解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意,得2c=8,故c=4.
又e=,故长轴长2a==10.
答案:10
7.一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆,若椭圆的两焦球球心的距离为10,则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为 .
解析:因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长,
所以2a=10,即a=5.又椭圆短轴长b=3,
所以c=4,故e=cos
φ=.
答案:
8.已知椭圆两准线间的距离为8,离心率为,则Dandelin球的半径是 .
解析:由题意,得
所以b=,故Dandelin球的半径即为椭圆的短半轴的长,等于.
答案:
9.导学号52574050已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线的夹角为30°,在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是 .
解析:由题意,得椭圆短轴长为2b,长轴长2a==4b,∴c=b,因此离心率e=或e=cos
30°=.设点P到焦点F1的距离为d,则,
∴d=b,又PF1+PF2=2a=4b,
∴PF2=4b-PF1=4b-b=b.
答案:
10.导学号52574051已知圆柱底面半径为,平面β与圆柱母线夹角为60°,在平面β上以G1G2所在直线为横轴,以G1G2的中点为原点,建立平面直角坐标系,求平面β与圆柱截口椭圆的标准方程.
解:过G1作G1H⊥BC于H.
∵圆柱底面半径为,∴AB=2.∵四边形ABHG1是矩形,∴AB=G1H=2.在Rt△G1G2H中,G1G2==4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径2,故椭圆的标准方程为=1.四 直角三角形的射影定理
课后篇巩固探究
1.如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,NQ=3,则MN等于( )
A.3PN
B.PN
C.
D.9PN
解析:∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.
又NQ=3,∴MN=.
答案:C
2.在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于( )
A.1
B.3
C.9
D.27
解析:由射影定理,得MN2=NQ·NP,
即32=9NQ,解得NQ=1.
答案:A
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,AD=5,BD=8,则S△CDA∶S△CDB等于( )
A.5∶8
B.25∶64
C.25∶39
D.25∶89
解析:由题意知△CDA∽△BDC,
则.
根据射影定理,得AC2=AD·AB,CB2=BD·AB,
故.
答案:A
4.导学号52574018在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若BC=m,∠B=α,则AD的长为( )
A.msin2α
B.mcos2α
C.msin
αcos
α
D.msin
αtan
α
解析:由射影定理,得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,即m2cos2α=BD·m,m2sin2α=CD·m,即BD=mcos2α,CD=msin2α.∵AD2=BD·DC=m2cos2αsin2α,
∴AD=msin
αcos
α.
答案:C
5.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为( )
A.2∶3
B.4∶9
C.∶3
D.不确定
解析:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理,得CD2=AD·BD,即.
∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD.
又AD∶BD=2∶3,令AD=2x,BD=3x(x>0),
∴CD2=6x2,∴CD=x.
∴△ACD与△CBD的相似比为,即相似比为∶3.
答案:C
6.在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D.若AD=27,BD=3,则AC= ,BC= ,CD= .
解析:由射影定理,得CD2=AD·BD,则CD=9.
根据勾股定理,得AC==9,BC==3.
答案:9 3 9
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=,AB=5,则AD= .
解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB.
∵CD=,∴AD·DB=6.
又AB=5,∴DB=5-AD.
∴AD·(5-AD)=6,解得AD=2或AD=3.
答案:2或3
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,a-b=1,tan
A=,其中a,b分别是∠A和∠B的对边,则斜边上的高h= .
解析:由tan
A=和a-b=1,得a=3,b=2,则c=(c为∠C的对边),故h=.
答案:
9.导学号52574019如图,已知Rt△ABC的周长为48,AD平分∠BAC,且与BC交于点D,BD∶DC=5∶3.
(1)求Rt△ABC的三边长;
(2)求两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长.
解:(1)如图,设CD=3x,则BD=5x,BC=8x.
过点D作DE⊥AB于点E,易知Rt△ADC≌Rt△ADE,∴DE=3x,BE=4x,
∴AE+AC+12x=48.
又AE=AC,
∴AC=24-6x,AB=24-2x,
∴(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2,
解得x1=0(舍去),x2=2,
∴AB=20,AC=12,BC=16,
∴Rt△ABC的三边长分别为20,12,16.
(2)过点C作CF⊥AB于点F,则AC2=AF·AB,
∴AF=.
同理得BF=.∴两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长分别为.
10.如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=AD,N是AB的中点,NF⊥CE于点F.求证:FN2=EF·FC.
证明:如图,连接NE,NC.
设正方形的边长为a.∵AE=a,AN=a,
∴NE=.
∵BN=a,BC=a,∴NC=.
∵DE=a,DC=a,∴EC=.
∴NE2=,NC2=,EC2=.
∴NE2+NC2=.∴NE2+NC2=EC2.
∴EN⊥NC,△ENC是直角三角形.
又NF⊥EC,∴NF2=EF·FC.一 平行射影
课后篇巩固探究
1.直角三角形在平面上的正射影不可能是( )
A.一个点
B.线段
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析:当直角三角形与投影面垂直时,正射影是线段;当直角三角形斜边与投影面平行,三角形与投影面不平行时,正射影是钝角三角形;当直角三角形与投影面平行时,正射影是直角三角形.但直角三角形在平面上的正射影不可能是一个点.
答案:A
2.两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是( )
A.一条直线和直线外一个点
B.两条相交直线
C.两条平行直线
D.以上都有可能
解析:当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.
答案:D
3.若一个三角形的平行投影仍是一个三角形,则下列结论正确的是( )
A.内心的平行投影还是内心
B.重心的平行投影还是重心
C.垂心的平行投影还是垂心
D.外心的平行投影还是外心
解析:如果三角形的平行投影仍是三角形,但三角形的形状通常将发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化,而内心则始终是原先角平分线的交点,所以仍是新三角形的内心.
答案:A
4.已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是( )
A.一条线段
B.一个锐角三角形
C.一个钝角三角形
D.一条线段或一个钝角三角形
解析:(1)当顶点A在平面α内的正射影A'在BC所在直线上时,两条直角边在平面α内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图①.
(2)当顶点A在平面α内的正射影A'不在BC所在直线上时,如图②.
∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.
∴A'B在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,
∴BC2>A'B2+A'C2.
∴A'B2+A'C2-BC2<0.
∴∠BA'C为钝角,
∴△A'BC为钝角三角形.
答案:D
5.
导学号52574046如图,设四面体ABCD各棱长相等,E,F分别为AC,AD的中点,则△BEF在该四面体的面ABC上的正射影是图中的( )
解析:本题的解题关键是探寻点F在平面ABC上的正射影.因为BE=BF,所以△BEF为等腰三角形,
故点F在平面ABC上的正射影不在AC上而在△ABC内部.又因为EF与CD平行,而CD与平面ABC不垂直,所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上,从而B成立.故选B.
答案:B
6.两条相交直线的平行射影是 .
解析:两条相交直线的平行射影,仍然有一公共点,因为两条相交直线的交点的平行射影必在两条直线的平行射影上,从而有两条相交直线的平行射影为两条相交直线,或者是一条直线.
答案:两条相交直线或一条直线
7.用平面α截圆柱OO',当OO'与平面α所成的角等于 时,截面是一个圆.
答案:90°
8.若P为△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC与平面ABC所成角均相等,又PA与BC垂直,则△ABC的形状可能是 .(将你认为正确的序号全填上)
①正三角形;②等腰三角形;③非等腰三角形;④等腰直角三角形.
解析:设点P在底面ABC上的射影为O,由PA,PB,PC与平面ABC所成角均相等,得OA=OB=OC,即点O为△ABC的外心.又由PA⊥BC,得OA⊥BC.
又OB=OC,得直线AO垂直平分BC,所以AB=AC,即△ABC必为等腰三角形,故应填①②④.
答案:①②④
9.导学号52574047已知点P是△ABC所在平面α外一点,点O是点P在平面α内的正射影.
(1)若点P到△ABC的三个顶点等距离,则点O是△ABC的什么心
(2)若点P到△ABC的三边距离相等,且点O在△ABC的内部,则点O是△ABC的什么心
(3)若PA,PB,PC两两相互垂直,则点O是△ABC的什么心
解:
如图.
(1)若PA=PB=PC,O点为点P在平面ABC上的正射影,则OA=OB=OC,故点O为△ABC的外心.
(2)由点P到△ABC的三边距离相等,则点O到△ABC的三边距离相等,故点O为△ABC的内心.
(3)PO⊥平面ABC,PA⊥BC,因此OA⊥BC,同理可证OB⊥AC,OC⊥AB,故点O为△ABC的垂心.
10.
如图,△ABC是边长为2的正三角形,BC∥平面α,A,B,C在平面α的同侧,它们在α内的正射影分别为A',B',C'.若
△A'B'C'
为直角三角形,BC与α间的距离为5,求A到α的距离.
解:∵BC∥平面α,且△ABC是正三角形,
∴A'B'=A'C',B'C'=BC=2.
又△A'B'C'为直角三角形,∴∠B'A'C'=90°.
∴2A'C'2=B'C'2=BC2=4.∴A'C'2=2.
设A到α的距离AA'=x,
过点C作CD⊥AA',垂足为D.
由题意知CD∥C'A',CD=A'C',
AD=AA'-CC'=x-5.
在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,
∴(x-5)2+2=22.
∴x=5±.
故A到α的距离为5±.模块综合测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.
如图,已知AB∥A'B',BC∥B'C',则下列比例式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵AB∥A'B',∴,同理,
∴,故A不成立;,
∴,故B成立;∵,∴AC∥A'C',∴,故C不成立;,故D不成立.
答案:B
2.已知△ABC的一边在平面α内,一顶点在平面α外,则△ABC在面α内的射影是( )
A.三角形
B.一直线
C.三角形或一直线
D.以上均不正确
解析:当△ABC所在平面平行于投影线时,射影是一线段;不平行时,射影是三角形,故选D.
答案:D
3.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
解析:设平面β与母线夹角为φ,则cos
φ=,故φ=45°.
答案:C
4.
如图,在☉O中,弦AB与弦CD相交于点P,∠B=38°,∠APD=80°,则∠A等于( )
A.38°
B.42°
C.80°
D.118°
解析:∵∠B=38°,∠APD=80°,
∴∠D=∠APD-∠B=80°-38°=42°,
∴∠A=∠D=42°.
答案:B
5.
如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,D为垂足,若CD=6
cm,AC∶BC=1∶,则AD的长是( )
A.6
cm
B.3
cm
C.18
cm
D.3
cm
解析:∵AC∶BC=1∶,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴AD∶DB=1∶2,∴可设AD=t
cm,DB=2t
cm,又CD2=AD·DB,∴36=t·2t,∴2t2=36,∴t=3,即AD=3
cm.
答案:B
6.已知三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,则这个三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似.
答案:D
7.
如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
解析:
连接OC,因为AB为圆O的直径,所以∠ACB=90°.因为BC=3,AB=6,所以△OBC为正三角形,所以∠B=60°,所以∠DCA=60°.因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,所以∠DAC=30°.
答案:B
8.导学号52574058如图,球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切,用一平面去截圆柱和球,得到的截面图有可能是( )
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
解析:
如图,连接AB,AB为圆柱的轴,当平面与AB垂直且过AB中点时,截得图形是图①;当平面与AB垂直不过AB中点时,截得图形是两个同心圆,是图②;当平面经过轴AB时,截得的图形是图③;当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时,截得的图形是图④,故有可能的图形是①②③④.
答案:D
9.
如图,PAB,PCD为☉O的两条割线.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD等于( )
A.1∶3
B.5∶12
C.5∶7
D.5∶11
解析:由割线定理,得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC·(PC+11),∴PC=4或PC=-15(舍去).
又PA·PB=PC·PD,即,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PDB,故.
答案:A
10.
如图,两个等圆☉A,☉B分别与直线l相切于点C,D,连接AB,与直线l相交于点O,∠AOC=30°,连接AC,BD.若AB=4,则圆的半径为
( )
A.2
B.1
C.
D.
解析:因为两个等圆☉A,☉B分别与直线l相切于点C,D,所以AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD,所以∠ACO=∠BDO=90°,因此△ACO≌△BDO,所以AO=BO=AB=×4=2.又因为∠AOC=30°,所以AC=AO=1.
答案:B
11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.2
解析:作出如图图形,在椭圆上取一点P(x,y),设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则·2c·|y|=c|y|.
当点P为短轴顶点时,|y|最大为b.所以Smax=bc.又bc=1,
所以a2=b2+c2≥2bc=2,即2a≥2.
答案:D
12.
如图,在△ABC中,,AD,BE交于F,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
过D作DG∥BE交AC于G.
∵,∴,
∴,于是DG=BE.又,∴EG=EC.而,
∴EC=AE,因此,于是FE=DG=BE=BE,则,故.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若一个直角三角形在平面α上的平行射影是一个与原三角形全等的直角三角形,则该直角三角形所在平面与平面α的位置关系是 .
答案:平行
14.
如图,☉O中的弦AB与直径CD相交于P,M为DC延长线上一点,MN为☉O的切线,N为切点.若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则MN的长为 .
解析:由相交弦定理,得CP·PD=AP·PB,
所以CP==12.又由切割线定理,得MN2=MC·MD=6×22,故MN=2.
答案:2
15.已知一平面与半径为4的圆柱面相截,截面的Dandelin双球的球心距离为12,则截线椭圆的离心率e= .
解析:依题意,得Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长,即2a=12,所以a=6,又b=r=4,因此c==2,故椭圆的离心率e=.
答案:
16.
如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且,AE=BE,DE=3,则BD= .
解析:∵△ABC是正三角形,∴AB=BC=AC,
∴.又,∴.
∴.∵∠A=∠C=60°,
∴△AED∽△CBD,且DE=3,则BD=6.
答案:6
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
如图,已知DE∥BC,四边形DEFG是平行四边形.求证:AH∥DG.
证明:∵DE∥BC,∴.
∵GF∥DE,∴GF∥BC,
∴.
∵GF=DE,∴,∴,∴AH∥DG.
18.(本小题满分12分)
如图,自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B,C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
解:因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB·MC.
又M为PA的中点,所以MP2=MB·MC.
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC,
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,
解得∠MPB=20°.
19.(本小题满分12分)
如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.
证明:(1)B,D,H,E四点共圆;
(2)CE平分∠DEF.
证明:(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线,
所以∠HAC+∠HCA=60°.故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,
所以B,D,H,E四点共圆.
(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.
由(1)知B,D,H,E四点共圆,
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°,
由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.
20.(本小题满分12分)
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,底边BC上的高AD=10
cm,腰AC上的高BE=12
cm.
(1)求证:;
(2)求△ABC的周长.
(1)证明:在△ADC和△BEC中,∵∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,∴.∵AD是等腰三角形ABC底边BC的高线,∴BC=2BD,又AB=AC,∴,故.
(2)解:设BD=x
cm,则AB=x
cm,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,由勾股定理得AB2=BD2+AD2,∴=x2+102,解得x=7.5.
∴BC=2x=15
cm,AB=AC=x=12.5
cm,
故△ABC的周长为40
cm.
21.(本小题满分12分)
如图,AC为☉O的直径,B为圆上一点,D为的中点,E为弦BC的中点.
求证:(1)DE∥AB;
(2)AC·BC=2AD·CD.
证明:
(1)连接OE,因为D为的中点,E为弦BC的中点,所以O,E,D三点共线.
因为E为BC的中点,且O为AC的中点,所以OE∥AB,故DE∥AB.
(2)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,因此∠DAC=∠DCB.
又因为AC为☉O的直径,所以AD⊥DC.
又易知DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD,
于是,因此AD·CD=AC·CE,
所以2AD·CD=AC·2CE,
故AC·BC=2AD·CD.
22.导学号52574059(本小题满分12分)
如图,已知ABCD是矩形纸片,E是AB上一点,BE∶EA=5∶3,EC=15,把△BCE沿折痕EC翻折,若B点恰好落在AD边上,设这个点为F,
(1)求AB,BC的长度各是多少;
(2)若☉O内切于以F,E,B,C为顶点的四边形,求☉O的面积.
解:(1)设BE=5x,EA=3x.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=8x,AD=BC,∠B=∠A=∠D=90°.∵△CBE≌△CFE,∴EF=5x,FC=BC,∠CFE=90°.
∵∠AEF+∠EFC+∠DFC=180°,∴∠AFE+∠DFC=90°.又∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF=∠DFC,∴sin∠AEF=sin∠DFC,即.
∴,则FC=10x.
∴CE==5x=15.
∴x=3.∴AB=24,BC=30.
(2)∵CE平分∠FCB和∠FEB,
∴O在EC上.
设☉O和BC切于M,和AB切于N,连接OM,ON,设☉O的半径为r,∴OM⊥BC,ON⊥AB.∴OM∥AB,ON∥BC.∴OM=BN=ON=BM=r.∴,即,解得r=10.
∴☉O的面积为100π.2.相似三角形的性质
课后篇巩固探究
一、A组
1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=4,A'B'=3,则BC和B'C'上对应中线的比等于( )
A.
B.
C.
D.无法确定
解析:由题意,得相似比为,则BC和B'C'上对应中线的比等于相似比.
答案:A
2.如图,设AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1,且AB=A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1,则△A1OB1的外接圆的直径为( )
A.1
B.2
C.4
D.
解析:∵AB∥A1B1,且AB=A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比,
∴△A1OB1的外接圆直径为2.
答案:B
3.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,CD=2,则AC∶BC的值是( )
A.3∶2
B.9∶4
C.
D.
解析:∵∠B为公共角,∴Rt△BCD∽Rt△BAC.
同理Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴Rt△ACD∽Rt△CBD.
∴.
∵AD=3,CD=2,
∴,即AC∶BC=3∶2.
答案:A
4.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,则△MON与△AOC面积的比是( )
A.1∶2
B.1∶9
C.4∶9
D.1∶4
解析:∵M,N分别是AB,BC中点,
∴MN∥AC,且MN=AC,
∴△MON∽△COA,∴.
答案:D
5.
如图,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:①△AOB∽△COD;②△AOD∽△ACB;③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;④S△AOD=S△BOC.
其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,故①正确;由①知,.利用三角形的面积公式可知S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,故③正确;∵S△ADC=S△BCD,∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,∴S△AOD=S△BOC,故④正确.故①③④都正确.易知②错误.
答案:C
6.如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则等于 .
解析:在Rt△DAO和Rt△DEA中,∠ADO为公共角,∴Rt△DAO∽Rt△DEA,
∴,即.
∵点E为AB的中点,
∴,
∴.
答案:
7.在比例尺为1∶500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12
cm,面积为6
cm2,则这块土地的实际周长是 m,实际面积是 m2.
解析:这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为,则实际周长是12×500=6
000(cm)=60(m);实际面积是6×5002=1
500
000(cm2)=150(m2).
答案:60 150
8.如图,在△ABC中,BC=m,DE∥BC,DE分别交AB,AC于E,D两点,且S△ADE=S四边形BCDE,则DE= .
解析:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB.
又S△ADE+S四边形BCDE=S△ABC,S△ADE=S四边形BCDE,
∴S△ADE=S△ABC.∴.
∴.∴DE=m.
答案:m
9.如图,D,E分别是AC,AB上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F.若AD=3,AB=5,求:
(1)的值;
(2)△ADE与△ABC的周长比;
(3)△ADE与△ABC的面积比.
解:(1)在△ADE与△ABC中,
因为∠ADE=∠B,∠BAD为公共角,
所以△ADE∽△ABC,所以.
(2)△ADE与△ABC的周长比等于它们的相似比AD∶AB=3∶5.
(3)△ADE与△ABC的面积比等于它们相似比的平方,即.
10.
如图,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC,且交AC于点E,EF∥AB,且交BC于点F,且S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于多少
解:因为AD∥EF,DE∥FC,
所以△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
所以△ADE∽△EFC.
又因为S△ADE∶S△EFC=1∶4,
所以AE∶EC=1∶2.
所以AE∶AC=1∶3.
所以S△ADE∶S△ABC=1∶9.
因为S△ADE=1,
所以S△ABC=9.
所以S四边形BFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC=9-1-4=4.
二、B组
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG内接于△ABC(点G与点C重合),DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于( )
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶2
D.2∶3
解析:由题意,得△AEF∽△ABC,所以,所以AF∶CF=AC∶BC=1∶2.
答案:C
2.导学号52574014在 ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=( )
A.4∶10∶25
B.4∶9∶25
C.2∶3∶5
D.2∶5∶25
解析:由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25.
而△BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5,故S△BED∶S△BEA=2∶5,即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5,由比例的性质可得S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.
答案:A
3.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE= .
解析:由∠B=∠D,AE⊥BC及∠ACD=90°,得Rt△ABE∽Rt△ADC,
则,故AE==2.
答案:2
4.如图,已知边长为12的正三角形ABC,DE∥BC,S△BCD∶S△BAC=4∶9,求CE的长.
解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,过点A作AG⊥BC于点G,
S△BCD=BC·DF,S△BAC=BC·AG.
∵S△BCD∶S△BAC=4∶9,
∴DF∶AG=4∶9.
易知△BDF∽△BAG,
∴BD∶BA=DF∶AG=4∶9.
∵AB=12,∴CE=BD=.
5.如图,D,E分别是AC,AB上的点,,△ABC的面积为100
cm2,求四边形BCDE的面积.
解:∵,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,∴.
∵S△ABC=100
cm2,
∴,∴S△ADE=36
cm2.
∴S四边形BCDE=S△ABC-S△ADE=100-36=64(cm2).
6.
导学号52574015如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD相交于点O,AO=2
cm,AC=8
cm,且S△BCD=6
cm2,求△AOD的面积S△AOD.
解:因为AO=2
cm,AC=8
cm,
所以OC=6
cm.
因为AD∥BC,所以△AOD∽△COB.
所以AD∶BC=OA∶OC=1∶3.
所以S△AOD∶S△BOC=1∶9.
设梯形ABCD的高为h,则
S△ACD=AD·h,S△BCD=BC·h=6
cm2,
所以S△ACD=2
cm2.
设S△AOD=x
cm2,S△COD=y
cm2,
由由此解得x=.
故△AOD的面积S△AOD=
cm2.