三 简单曲线的极坐标方程
课后篇巩固探究
A组
1.在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是
( )
A.ρ=2
B.θ=
C.ρcos
θ=1
D.ρsin
θ=
解析极坐标为的点的直角坐标为(1,),过该点且与极轴平行的直线的直角坐标方程为y=,其极坐标方程为ρsin
θ=,故选D.
答案D
2.极坐标方程sin
θ=(ρ≥0)表示的曲线是( )
A.余弦曲线
B.两条相交直线
C.一条射线
D.两条射线
答案D
3.在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos
θ=2的距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcos
θ=2化为直角坐标方程为x=2.
因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcos
θ=2的距离为3.
答案C
4.若极坐标方程ρ=ρ(θ)满足ρ(θ)=ρ(π-θ),则ρ=ρ(θ)表示的图形( )
A.关于极轴对称
B.关于极点对称
C.关于直线θ=对称
D.不确定
解析由ρ(θ)=ρ(π-θ)可知ρ=ρ(θ)表示的图形关于直线θ=对称.
答案C
5.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是
( )
A.
B.
C.1
D.
解析因为直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,
即x-y=0,点F(1,0)的直角坐标也为(1,0),
所以点F(1,0)到直线x-y=0的距离为.
答案A
6.两条直线ρsin=2
016,ρsin=2
017的位置关系是 .(填“垂直”“平行”或“斜交”)
解析两条直线方程化为直角坐标方程分别为x+y=2
016,y-x=2
017,故两条直线垂直.
答案垂直
7.在极坐标系中,若曲线C1:ρcos
θ=1与C2:ρ=4cos
θ的交点分别为A,B,则|AB|= .
解析依题意知两条曲线相应的直角坐标方程分别是x=1与x2+y2=4x,而圆x2+y2=4x的圆心坐标是C2(2,0)、半径是2,圆心C2(2,0)到直线x=1的距离为1,因此|AB|=2=2.
答案2
8.在极坐标系中,过点A引圆ρ=4sin
θ的一条切线,则切线长为 .
解析先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,将点的极坐标转化为直角坐标,再利用解直角三角形求其切线长.圆的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,点A的直角坐标为(0,-4),点A与圆心的距离为|-4-2|=6,所以切线长为=4.
答案4
9.在极坐标系中,直线l的方程是ρsin=1,求点P到直线l的距离.
解点P的直角坐标为(,-1).
直线l:ρsin=1可化为ρsin
θ·cos-ρcos
θ·sin=1,
即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
则点P(,-1)到直线x-y+2=0的距离为d=+1.
故点P到直线ρsin=1的距离为+1.
10.导学号73574015在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解连接OP,PC,在ρsin=-中,
令θ=0,得ρ=1,
则圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,
所以圆C的半径
|PC|==1,
于是圆C过极点,
所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos
θ.
11.导学号73574016已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;
(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.
解(1)将x=ρcos
θ,y=ρsin
θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程分别为C:ρ=2,l:ρ(cos
θ+sin
θ)=2.
(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ)(ρ≠0),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=(ρ≠0).
又ρ2=2,ρ1=,
所以=4(ρ≠0).
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos
θ+sin
θ)(ρ≠0).
B组
1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是
( )
A.两个圆
B.两条直线
C.一个圆和一条射线
D.一条直线和一条射线
解析由(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),得ρ=1或θ=π,其中ρ=1表示以极点为圆心,半径为1的圆,θ=π(ρ≥0)表示以极点为起点与Ox反向的射线.
答案C
2.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是
( )
A.ρ=2cos
B.ρ=2sin
C.ρ=2cos(θ-1)
D.ρ=2sin(θ-1)
解析如图所示,设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上除极点外的任意一点,连接OP,CP,过点C作CD⊥OP于点D.
∵|CO|=|CP|,
∴|OP|=2|DO|.
在Rt△CDO中,∠DOC=|θ-1|,
∴|DO|=cos(θ-1).
∴|OP|=2cos(θ-1),
因此ρ=2cos(θ-1).
∵极点适合上述方程,
∴圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ-1).
答案C
3.在极坐标系中,圆O:ρ2+2ρcos
θ-3=0的圆心到直线ρcos
θ+ρsin
θ-7=0的距离是 .
解析先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,再由点到直线的距离公式求距离的大小.圆的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4,圆心为(-1,0),直线的直角坐标方程为x+y-7=0,所以圆心到直线的距离为=4.
答案4
4.在极坐标系中,曲线ρ=2sin
θ与ρcos
θ=-1的交点的极坐标为 .(ρ>0,0≤θ<2π)
解析由ρ=2sin
θ,得ρ2=2ρsin
θ,其直角坐标方程为x2+y2=2y,ρcos
θ=-1的直角坐标方程为x=-1.
联立解得
点(-1,1)的极坐标为.
答案
5.在极坐标系中,A,B分别是直线3ρcos
θ-4ρsin
θ+5=0和圆ρ=2cos
θ上的动点,则A,B两点之间距离的最小值是 .
解析由题意得直线的直角坐标方程为3x-4y+5=0,圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,则圆心(1,0)到直线的距离d=,所以A,B两点之间距离的最小值为d-1=-1=.
答案
6.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标;
(2)设线段MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解(1)由ρcos=1,
得ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y-2=0.
当θ=0时,ρ=2,所以点M的极坐标为(2,0);
当θ=时,ρ=,
所以点N的极坐标为.
(2)因为点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为,所以点P的直角坐标为,
则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈R.
7.导学号73574017求过点A,且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程.
解如图所示,设M(ρ,θ)是直线l上除点A外的任意一点,连接OM.
∵A,∴|OA|=3,∠AOB=.
由已知得∠MBx=,
∴∠OAB=.∴∠OAM=π-.
又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中,根据正弦定理,得.
①
∵sin
=sin,将sin展开,化简①式得ρ(sin
θ+cos
θ)=.
显然点A的坐标适合该式.
故过点A且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程为ρ(sin
θ+cos
θ)=.
8.导学号73574018在极坐标系中,从极点O作直线与另一条直线l:ρcos
θ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹的极坐标方程;
(2)设R为l上任意一点,试求|RP|的最小值.
解(方法一)(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ≠0),则点M为(ρ0,θ).
因为|OM|·|OP|=12,
所以ρ0ρ=12,即ρ0=.
因为点M在直线ρcos
θ=4上,
所以ρ0cos
θ=4,即cos
θ=4,ρ=3cos
θ.
于是ρ=3cos
θ(ρ>0)为所求的点P的轨迹的极坐标方程.
(2)由于点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cos
θ=2×cos
θ(ρ>0),
所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉极点).
又直线l:ρcos
θ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知|RP|的最小值为1.
(方法二)(1)直线l:ρcos
θ=4的直角坐标方程为x=4,
设点P(x,y)(x>0)为轨迹上的任意一点,
点M(4,y0),由,得y0=(x>0).
又|OM|·|OP|=12,则|OM|2·|OP|2=144,
所以(x2+y2)=144,
整理得x2+y2=3x(x>0),
化为极坐标方程为ρ=3cos
θ(ρ>0).
故点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cos
θ(ρ>0).
(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).
又点R在直线l:x=4上,所以|RP|的最小值为1.模块综合测评(B)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知点M的极坐标为,下列坐标中不能表示点M的是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
2.曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上
B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上
D.在直线y=x+1上
解析由已知得消去参数θ得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).
显然该点在直线y=-2x上.故选B.
答案B
3.已知点P的极坐标为(1,π),则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是( )
A.ρ=1
B.ρ=cos
θ
C.ρ=-
D.ρ=
解析由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴所在直线的直线的直角坐标方程为x=-1,化成极坐标方程为ρcos
θ=-1,故选C.
答案C
4.若a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )
A.-2
B.-
C.-3
D.-
解析不妨设(α为参数),则a+b=cos
α+sin
α=3sin(α+φ),其中tan
φ=.
所以a+b的最小值为-3.
答案C
5.在极坐标系中,曲线ρ=2cos
θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.-1
B.-1
C.1
D.
解析将ρ=2cos
θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),
则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即-1.
答案A
6.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos
θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B.2
C.
D.2
解析由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,
圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,半径r=2.
则圆心到直线的距离d=,故弦长为2=2.
答案D
7.若曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),则它的普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1
B.y=
C.y=-1
D.y=
解析由x=1-,得=1-x.由y=1-t2,得t2=1-y.所以(1-x)2·(1-y)=·t2=1,进一步整理得到y=.
答案B
8.极坐标方程ρ=cos
θ与ρcos
θ=对应的图形是( )
解析把ρcos
θ=化为直角坐标方程,得x=.
又圆ρ=cos
θ的圆心坐标为,半径为,故选项B正确.
答案B
9.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),
则x=6sin
cos
=6×,
y=6sin
sin
=6×=-,
z=6cos
=6×=3.
故点M的直角坐标为.
答案B
10.导学号73574073若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=cos
θ+sin
θ
D.ρ=cos
θ+sin
θ
解析由x=ρcos
θ,y=ρsin
θ,y=1-x可得ρsin
θ=1-ρcos
θ,即ρ=.
再结合线段y=1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知θ∈.
因此线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ=.故选A.
答案A
11.经过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析设倾斜角为α,则倾斜角α满足tan
α=,
∴sin
α=,cos
α=.
∴所求的参数方程为(t为参数).
答案A
12.导学号73574074已知曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin
=5.设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
解析∵可化为=1,
整理可得x2+(y-1)2=2,其图象为圆,且圆心坐标为(0,1),半径为.
∴曲线C1的普通方程为x2+(y-1)2=2.
∵ρsin=5可化为=5,
∴ρsin
θ+ρcos
θ=5,即x+y=5.
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y=5,其图象为直线.
由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d==2,
∴|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即d-.
故选A.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为 .
解析由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=<3,所以所求交点的个数为2.
答案2
14.参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是 .
解析因为y2=(sin
θ+cos
θ)2=sin2θ+2sin
θcos
θ+cos2θ=1+2sin
θcos
θ=1+x,
又因为x=sin
2θ∈[-1,1],
所以曲线的普通方程是y2=x+1(-1≤x≤1).
答案y2=x+1(-1≤x≤1)
15.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
解析由题意得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.故直线l的极坐标方程为ρ(cos
θ-sin
θ)=1.
答案ρ(cos
θ-sin
θ)=1
16.导学号73574075若直线(t为参数)与圆x2+y2=36交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为 .
解析把x=3-t,y=2t代入x2+y2=36中,得t2+3t-15=0.
设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-3.
故线段AB的中点对应的参数为t0=(t1+t2)=×(-3)=-,将t0=-代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)参数方程(θ为参数)表示什么曲线
解∵x=cos
θ·sin
θ+cos2θ=,
∴x-.
∵y=sin2θ+sin
θcos
θ=,
∴y-.
∴
=.
∴原参数方程表示的曲线是圆心为,半径为的圆.
18.(本小题满分12分)已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与半圆C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解(1)由已知得点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为,A(1,0),
故直线AM的参数方程为
(t为参数).
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin
θ+cos
θ)=3,射线OM:θ=(ρ≥0)与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解(1)圆C的普通方程是(x-1)2+y2=1,
又x=ρcos
θ,y=ρsin
θ,
所以圆C的极坐标方程是ρ=2cos
θ.
(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有
解得
设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有
解得
由于θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2,所以线段PQ的长为2.
20.(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意,得
由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,
所求直线的斜率为k=,
于是所求直线的方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得
2ρcos
θ-4ρsin
θ=-3,即ρ=.
21.导学号73574076(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρ
·cos+6=0,求:
(1)圆的直角坐标方程和参数方程;
(2)在圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.
解(1)原方程可化为
ρ2-4+6=0,
即ρ2-4ρcos
θ-4ρsin
θ+6=0.
①
因为ρ2=x2+y2,x=ρcos
θ,y=ρsin
θ,
所以①式可化为x2+y2-4x-4y+6=0,
即(x-2)2+(y-2)2=2.
故所求圆的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
设
所以所求圆的参数方程为(θ为参数).
(2)由(1)可知xy=(2+cos
θ)·(2+sin
θ)=4+2(cos
θ+sin
θ)+2cos
θ·sin
θ=3+2(cos
θ+sin
θ)+(cos
θ+sin
θ)2.
令t=cos
θ+sin
θ,
则t=sin,t∈[-
].
所以xy=3+2t+t2=(t+)2+1.
故当t=-时,xy取最小值1;当t=时,xy取最大值9.
22.导学号73574077(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0)与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.
(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(2)设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
解(1)C1是圆,C2是椭圆.
当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0).
因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当α=时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b).
因为这两点重合,所以b=1.
(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和+y2=1.
当α=时,射线l与C1的交点A1的横坐标为x=,与C2的交点B1的横坐标为x'=.
当α=-时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,
因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为.一 平面直角坐标系
课后篇巩固探究
A组
1.若点P(-2
015,2
016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )
A.1
B.-1
C.2
016
D.-2
016
解析因为点P(-2
015,2
016),所以将其代入y'=,得k=x'y'=-1.
答案B
2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为( )
A.49x2+128y2=1
B.49x2+64y2=1
C.49x2+32y2=1
D.x2+y2=1
解析将伸缩变换代入x'2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.
答案A
3.曲线y=sin经过伸缩变换后的曲线方程是( )
A.y'=5sin
B.y'=sin
C.y'=5sin
D.y'=sin
解析由伸缩变换
将其代入y=sin中,
得y'=sin,
即y'=5sin.
答案C
4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是( )
A.
B.
C.2
D.3
解析以AB的中点O为原点,
AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.
∵2c=4,∴c=2.∵2a=3,
∴a=.∴b2=c2-a2=4-.
∴点P的轨迹方程为=1.
由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.
答案A
5.点(2,3)经过伸缩变换后得到的点的坐标为 .
解析由伸缩变换公式即变换后的点的坐标为(1,9).
答案(1,9)
6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为 .
解析设动点的坐标为(x,y),则依题意有,整理得x2+6xy-y2=0.
答案x2+6xy-y2=0
7.将椭圆=1按φ:变换后的曲线围成图形的面积为 .
解析设椭圆=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后对应的点的坐标为P'(x',y'),由φ:将其代入椭圆方程,得=1,即x'2+y'2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为π.
答案π
8.导学号73574003已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是 .
解析如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F.
设C(x,y),则E,
所以kBE=-,kCF=.
由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,
即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2],
整理得2y2=(2x-c)(2c-x).
所以kBE·kCF==-1.
所以BE与CF互相垂直.
答案垂直
9.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,求证:|AC|=|BD|.
证明取BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(-a,h),B(-b,0),
则D(a,h),C(b,0).
所以|AC|=,
|BD|=.
所以|AC|=|BD|.
10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=2.
解(1)由伸缩变换
得
将其代入5x+2y=0,得10x'+6y'=0,
即5x'+3y'=0.
故经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成了直线5x'+3y'=0.
(2)将代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是=2,即=1.
故经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成了椭圆=1.
11.导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.
(1)曲线y=2sin变换为正弦曲线y=sin
x;
(2)圆x2+y2=1变换为椭圆=1.
解(1)将变换后的曲线方程y=sin
x改写为y'=sin
x'.
设满足题意的伸缩变换为将其代入y'=sin
x'得μy=sin
λx.
将其即y=sin
λx,与原曲线的方程比较系数得
所以满足题意的伸缩变换为
即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sin
x,再将其纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到正弦曲线y=sin
x.
(2)将变换后的椭圆方程=1改写为=1.
设满足题意的伸缩变换为
将其代入=1,
得=1,
即x2+y2=1.
将其与x2+y2=1比较系数得
即
所以满足题意的伸缩变换为
即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到椭圆=1.
B组
1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.正方形、菱形或矩形
解析正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形;若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.
答案D
2.到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是
( )
A.椭圆
B.抛物线
C.圆
D.直线或圆
解析以两定点A,B所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),|PA|=k|PB|.显然当k=1时,点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线);当k≠1,且k≠0时,代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆.
答案D
3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换φ:的作用下,仍是其本身的点的坐标为 .
解析设点P(x,y)在伸缩变换φ:的作用下得到点P'(λx,μy),依题意得因为λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1,所以x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案(0,0)
4.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上的一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,则点M的轨迹E的方程是 .
解析如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.
因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x轴的负半轴上.设M(x,y),
①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x≥-1).
②当M在x轴的负半轴上时,y=0(x≤-1).
综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).
答案y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)
5.已知B村庄位于A村庄的正西方向1
km处,原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l,但在A村庄的西北方向400
m处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100
m内的范围划为禁区.试问,埋设地下管线l的计划需要修改吗
解以A为坐标原点,正东方向和正北方向分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,0),B(-1
000,0).
由W位于A的西北方向及|AW|=400,
得W(-200,200).
由直线l经过点B且倾斜角为90°-60°=30°,得直线l的方程是x-y+1
000=0.
点W到直线l的距离为
d=
=500-100()≈114>100,
所以埋设地下管线l的计划不需要修改.
6.导学号73574005圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为,在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变.
(1)求压缩后的曲线方程.
(2)过圆C上一点P()的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系
解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P'(x',y'),
则
(1)将其代入x2+y2=4,得(x')2+(2y')2=4,
即x'2+4y'2=4,
则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.
(2)因为点P()满足()2+()2=4,
所以点P在圆上.
故过点P的切线方程为x+y=4,
压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,
即压缩后的方程为x+2y=2.
由联立得x2-2x+2=0,
由Δ=8-4×2=0,
得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.
7.导学号73574006由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6
km处,丙舰在乙舰北偏西30°,两舰相距4
km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4
s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1
km/s.若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少
解设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.
以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
由题意,得|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=-,线段BC的中点D(-4,),
所以直线PD的方程为y-(x+4).
①
又因为|PB|-|PA|=4,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为=1(x≥2).
②
联立①②,解得点P的坐标为(8,5).
所以kPA=.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.第一讲坐标系
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.将曲线y=sin
3x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A.y=3sinx
B.y=3sin
3x
C.y=3sin
6x
D.y=sinx
解析由伸缩变换,得将其代入y=sin
3x,有=sinx',即y'=3sinx'.所以变换后的曲线方程为y=3sinx.
答案A
2.在极坐标系中,已知M,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=rsin
φcos
θ=5·sincos=-,y=rsin
φsin
θ=5sinsin,z=rcos
φ=5cos=-,所以直角坐标为.
答案A
4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为
( )
A.ρ=-4cos
θ
B.ρcos
θ-1=0
C.ρsin
θ=-
D.ρ=-sin
θ
解析设M(ρ,θ)为直线上除以外的任意一点,则有ρcos
θ=2·cos,则ρcos
θ=1,经检验符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos
θ-1=0.
答案B
5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin
θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( )
A.
B.
C.(1,0)
D.(1,π)
解析由ρ=-2sin
θ,得ρ2=-2ρsin
θ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.
答案B
6.可以将椭圆=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是
( )
A.
B.
C.
D.
解析将x2+y2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为将其代入x'2+y'2=4,得λ2x2+μ2y2=4,即=1,与椭圆=1,比较系数得解得
故满足题意的伸缩变换为
即
答案D
7.在极坐标系中,圆ρ=22sin
θ的圆心到极轴的距离为( )
A.11
B.11
C.11
D.22
解析由圆的极坐标方程ρ=22sin
θ,
得ρ2=22ρsin
θ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,
标准方程为x2+(y-11)2=121,
所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.
答案A
8.在极坐标系中,圆ρ=2cos
θ与直线2ρcos=-1的位置关系为( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
解析圆ρ=2cos
θ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d==1=r,所以直线与圆相切.
答案B
9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin
θ,则它的直角坐标方程为( )
A.x2+(y+4)2=16
B.x2+(y-4)2=16
C.(x-4)2+y2=16
D.(x+4)2+y2=16
解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos
θ,y=ρsin
θ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.
答案B
10.导学号73574029在球坐标系中,集合M=(r,φ,θ)2≤r≤6,0≤φ≤,0≤θ<2π表示的图形的体积为( )
A.
B.
C.
D.
解析由球坐标中r,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=×63-×208=.
答案A
11.在极坐标系中,圆ρ=2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcos
θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos
θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos
θ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcos
θ=1
解析由题意可知圆ρ=2cos
θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos
θ=2,故选B.
答案B
12.导学号73574030圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A.2ρ(sin
θ+cos
θ)=r
B.2ρ(sin
θ+cos
θ)=-r
C.ρ(sin
θ+cos
θ)=r
D.ρ(sin
θ+cos
θ)=-r
解析圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,① 圆ρ=-2rsin=-2r=-r(sin
θ+cos
θ),两边同乘ρ,得ρ2=-r(ρsin
θ+ρcos
θ),所以x2+y2+rx+ry=0,② 由①-②,并化简得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cos
θ+sin
θ)=-r.
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线θ=对称,则|PQ|= .
解析直线θ=的直角坐标方程为y=x.设点P到直线的距离为d,则|PQ|=2d==2.
答案2
14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos
θ=3,ρ=6sin
θ,则曲线C1与C2交点的极坐标为 .
解析∵
将②代入①,得6sin
θcos
θ=3,
∴sin
2θ=1.
∵0≤2θ<π,∴θ=.
代入①得ρ=3.
∴C1与C2交点的极坐标为.
答案
15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为 ,球坐标为 .
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ).
由
由
得
即
所以点M的直角坐标为,球坐标为.
答案
16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos
θ+ρsin
θ=1围成的图形的面积是 .
解析因为三条直线θ=0,θ=,ρcos
θ+ρsin
θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=x,x+y=1.
三条直线围成的图形如图阴影部分所示.
则点A(1,0),B.
所以S△AOB=×1=.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为曲线C在此变换下变为椭圆+y'2=1,求曲线C的方程.
解因为
所以将其代入方程+y'2=1,
得=1,
即x2+=1.
故曲线C的方程为x2+=1.
18.(本小题满分12分)已知定点P.
(1)将极点移至O'处,极轴方向不变,求点P的新坐标;
(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.
解(1)设点P的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,
|OO'|=2,|OP|=4,∠POx=,∠O'Ox=,
所以∠POO'=.
在△POO'中,ρ2=42+(2)2-2×4×2×cos=16+12-24=4,则ρ=2.
又,
所以sin∠OPO'=×2,
即∠OPO'=.
所以∠OP'P=π-,则∠PP'x=,∠PO'x'=.
故点P的新坐标为.
(2)如图所示,
设点P的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=.
故点P的新坐标为.
19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:ρ=2cos
θ-4sin
θ,C2:ρsin
θ-2ρcos
θ+1=0.
(1)将C1的方程化为直角坐标方程;
(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.
解(1)由ρ=2cos
θ-4sin
θ,得ρ2=2ρcos
θ-4ρsin
θ.
∴x2+y2=2x-4y.
∴C1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
(2)C2:ρsin
θ-2ρcos
θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.
∵圆心(1,-2)到直线的距离d=,
∴|AB|=2.
20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.
解设点Q,P的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),
则θ=θ1.
在△POA中,|OP|=ρ1=·sin,
|PA|=.
又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得
ρ=2acos.
故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2acos.
21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.
解(1)设M(ρ,θ)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.
在△OCM中,∠COM=,
由余弦定理得
|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM,
即32=ρ2+32-2×3×ρcos,
ρ=6cos.
因为极点适合上式,所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos.
(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),
由=2,得=2(),
即,所以ρ1=ρ,θ1=θ.
因为点Q在圆C上,所以有ρ1=6cos.
将ρ1=ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos的方程,得ρ=6cos,
即ρ=9cos.
故动点P的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos.
22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρsin交于不同的两点A,B.
(1)求|AB|的值;
(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.
解(1)(方法一)∵ρ=2,
∴x2+y2=4,半径r=2.
又ρsin,
∴y=x+2.
∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=,
∴|AB|=2=2=2.
(方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),
则sin,sin.
∵θ1,θ2∈[0,2π),
∴|θ1-θ2|=,
即∠AOB=.
又|OA|=|OB|=ρ=2,
∴|AB|=2.
(2)∵曲线C2的斜率为1,
∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,
∴直线l的极坐标方程为ρsin
θ=ρcos
θ-1,
即ρcos.一 曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
答案D
2.圆(θ为参数)的半径等于( )
A.2
B.4
C.3
D.
解析圆的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3.
答案C
3.参数方程(t为参数)表示的曲线是
( )
A.双曲线x2-y2=1
B.双曲线x2-y2=1的右支
C.双曲线x2-y2=1,且x≥0,y≥0
D.双曲线x2-y2=1,且x≥,y≥1
解析由已知得x2-y2=1,且x=,y=≥1,故选D.
答案D
4.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )
A.
B.
C.1
D.
解析曲线上的点到两坐标轴的距离之和d满足d2=(|sin
θ|+|cos
θ|)2=1+|sin
2θ|≤2,且当θ=时上式取等号,故d的最大值为.
答案D
5.参数方程(t为参数)表示的图形为( )
A.直线
B.圆
C.线段(但不包括右端点)
D.椭圆
解析从x=中解得t2=,将其代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),它表示一条线段,但不包括右端点.
答案C
6.若曲线(θ为参数)经过点,则a= .
解析依题意知1+cos
θ=,则cos
θ=,于是sin
θ=±,a=2sin
θ=±.
答案±
7.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为 .
解析x2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cos
θ,y=sin
θ,则参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).
答案(0≤θ<2π,θ为参数)
8.指出下列参数方程分别表示什么曲线:
(1);
(2)(t为参数,π≤t≤2π);
(3)(θ为参数,0≤θ<2π).
解(1)由(θ为参数)得x2+y2=9.
又由0<θ<,得0
所以其对应的普通方程为x2+y2=9(0这是一段圆弧(圆x2+y2=9位于第一象限的部分).
(2)由(t为参数)得x2+y2=4.
由π≤t≤2π,得-2≤x≤2,-2≤y≤0.
所求圆的普通方程为x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0).
这是一段半圆弧(圆x2+y2=4位于y轴下方的部分,包括端点).
(3)由参数方程(θ为参数),得(x-3)2+(y-2)2=152,由0≤θ<2π知这是一个圆.
9.已知点P(2,0),点Q是圆上一动点,求线段PQ中点的轨迹的参数方程,并说明轨迹是什么曲线.
解设线段PQ的中点为M(x,y),
由题意知Q(cos
θ,sin
θ),
则(θ为参数),
即所求轨迹的参数方程为(θ为参数),它是以(1,0)为圆心,以为半径的圆.
10.导学号73574036设点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围.
解圆的参数方程可表示为(θ为参数).
(1)因为2x+y=2cos
θ+sin
θ+1=sin(θ+φ)+1(其中tan
φ=2),
所以1-≤2x+y≤1+.
(2)若x+y+c≥0恒成立,即c≥-(cos
θ+sin
θ+1)对一切θ∈R成立,且-(cos
θ+sin
θ+1)的最大值是-1,
则c≥-1时,x+y+c≥0恒成立.
B组
1.参数方程(α为参数)的普通方程为
( )
A.y2-x2=1
B.x2-y2=1
C.y2-x2=1(|x|≤,y≥0)
D.x2-y2=1(|x|≤,y≥0)
解析x2==1+sin
α,y2=2+sin
α,所以y2-x2=1.
又x=sin+cossin∈[-],y=≥0,即|x|≤,y≥0.故应选C.
答案C
2.导学号73574037点P(x,y)是曲线(0≤θ<2π,θ为参数)上的动点,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析曲线是以(-2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.
设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取得最小值与最大值.
由=1,解得k2=.
故的取值范围是.
答案B
3.若圆(θ为参数,r>0)的直径为4,则圆心坐标是 .
解析可化为
两式平方相加,得(x-r)2+=r2.
∵2r=4,∴r=2,
∴圆心坐标为(2,1).
答案(2,1)
4.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρcos=0,则圆C截直线所得的弦长为 .
解析圆C:(θ为参数)表示的曲线是以点(,1)为圆心,以3为半径的圆,将直线ρcos=0化为直角坐标方程为x-y=0,圆心(,1)到直线x-y=0的距离d==1,故圆C截直线所得的弦长为2=4.
答案4
5.导学号73574038已知圆C:(θ为参数)与直线x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为 .
解析(方法一)∵
消去θ,得x2+(y+1)2=1.
∴圆C的圆心坐标为(0,-1),半径为1.
∴圆心到直线的距离d=≤1.
解得1-≤a≤1+.
故实数a的取值范围是[1-,1+].
(方法二)将圆C的方程代入直线方程,得cos
θ-1+sin
θ+a=0,
即a=1-(sin
θ+cos
θ)=1-sin.
∵-1≤sin≤1,
∴1-≤a≤1+.
故实数a的取值范围是[1-,1+].
答案[1-,1+]
6.已知动点P,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),点M为线段PQ的中点.
(1)求点M的轨迹的参数方程;
(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.
解(1)依题意有P(2cos
α,2sin
α),Q(2cos
2α,2sin
2α),
因此M(cos
α+cos
2α,sin
α+sin
2α).
故点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)点M到坐标原点的距离d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
7.在一次军事演习中,一台轰炸机以150
m/s的速度作水平直线飞行,在离地面飞行高度为490
m时向目标投弹(不计阻力,重力加速度g取9.8
m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).
(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程.
(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标
解(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设A为投弹点,B为轰炸目标.
已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间t作为参数,建立参数方程.
设曲线上任一点的坐标为(x,y),其对应的时刻为t,
则有(t为参数).
又由y≥0,得0≤t≤10,
所以参数方程为(t为参数,且0≤t≤10).
(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程490-4.9t2=0,解得t0=10.
因此,x=150t=1
500(m),即飞机在离目标的水平距离1
500
m处投弹才能命中目标.
8.导学号73574039如图,已知定点A(2,0),点Q是圆O:x2+y2=1上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于点M,当Q在圆O上运动时,求点M的轨迹的参数方程.
解设点O到AQ的距离为d,则|AM|·d=|OA|·|OM|·sin
∠AOM(∠AOM≠0),|QM|·d=|OQ|·|OM|·sin
∠QOM(∠QOM≠0).
又∠AOM=∠QOM,所以.
所以.因为点Q是圆x2+y2=1上的点,则设点Q的坐标为(cos
θ,sin
θ)(θ为参数,θ≠0),M(x,y),所以(x-2,y-0)=(cos
θ-2,sin
θ-0),
即x-cos
θ,y=sin
θ.故点M的轨迹的参数方程为(θ为参数,θ≠0).四 柱坐标系与球坐标系简介
课后篇巩固探究
A组
1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为
( )
A.(3,0,0)
B.(0,3,0)
C.(0,0,3)
D.(3,3,0)
解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).
答案B
2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.
答案C
3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的( )
A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
D.以原点为球心,半径为3的球面
答案D
4.导学号73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为( )
A.2
B.
C.2
D.4
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),
因为(r,φ,θ)=,
所以
即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.
答案A
5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A.
B.
C.
D.
解析由点P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.
答案A
6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是 .
答案
7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|= .
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.
答案3
8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为 ,OM与平面xOy所成的角为 .
答案2
9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.
解以正方体的顶点O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.
则有O(0,0,0),A,B,
C,D(1,0,0),E,
F,
G.
10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:
P,Q.
(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:
A,B,C.
解(1)设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),
则x1=ρcos
θ=cos,y1=ρsin
θ=sin,z1=,
故点P的直角坐标为.
设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,
故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).
(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=rsin
φcos
θ=4sin×cos=4×1×=2,y1=rsin
φsin
θ=4sinsin=4×1×=-2,z1=rcos
φ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).
设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sincos
π=8××(-1)=-4,y2=8sinsin
π=0,z2=8cos=8×=-4.
故点B的直角坐标为(-4,0,-4).
设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).
11.导学号73574022在直三棱柱ABC
-
A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.
解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.
因为ABC
-
A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.
过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.
故点M的直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,
故点M的柱坐标为.
B组
1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示( )
A.圆
B.与xOy平面垂直的平面
C.球面
D.与xOy平面平行的平面
答案D
2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有( )
A.φ=
B.θ=
C.φ=
D.θ=
解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.
答案D
3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为 .
解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.
答案2π
4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为 .
解析由题意知长方体的长、宽、高分别为8,6,10,则其外接球的半径为5.
故其外接球的体积为×(5)3=.
答案
5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.
解过点P作PP'垂直于底面,垂足为P',
因为P,
所以点P'的柱坐标为.
因此圆柱的底面半径为6,高为5.
故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.
6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200
m,每相邻两排的间距为1
m,每层看台的高度为0.7
m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.
解以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203
m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8
m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.
所以点A的柱坐标为.
7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.
分析建系以尽量过最多点为宜,找到相应坐标.
解以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.
过点A作AA'垂直于平面BCD,垂足为A',连接BA',
则|BA'|=3×,
|AA'|=,∠A'Bx=,
则A,B(0,0,0),C,D.三 直线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.已知以t为参数的直线方程为点M0(-1,2)与M(x,y)分别是曲线上的定点和动点,则t的几何意义是( )
A.t=·a(a=(1,0))
B.t=·a(a=(1,0))
C.|t|=||
D.|t|=2
解析由于所给参数方程表示直线参数方程的标准形式,所以t的几何意义是|t|=||.
答案C
2.直线(t为参数)与坐标轴的交点坐标是
( )
A.
B.
C.(0,-4),(8,0)
D.,(8,0)
解析令x=0得t=,于是y=,即直线与y轴的交点坐标为;令y=0得t=,于是x=,即直线与x轴的交点坐标为.
答案B
3.若直线的参数方程为(t为参数),则该直线的倾斜角为( )
A.60°
B.120°
C.300°
D.150°
解析y-y0=-(x-x0),斜率k=-,倾斜角为120°.
答案B
4.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为( )
A.
B.
C.2
D.
解析直线的参数方程为(t为参数),将其代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-,t2=.
所以所求弦长为|t1-t2|=|-|=2.
答案C
5.导学号73574050若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是( )
A.λ=5t
B.λ=-5t
C.t=5λ
D.t=-5λ
解析由得-3λ=tcos
α.
由得4λ=tsin
α,消去α的三角函数,
得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.
答案C
6.直线(t为参数)过定点 .
解析由得-(y+1)a+(4x-12)=0,该式对于任意的a都成立,则x=3,y=-1,即直线过定点(3,-1).
答案(3,-1)
7.直线l:(t为参数)上的点P(-4,1-)到l与x轴的交点Q的距离是 .
解析在直线l:中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1-,0).
所以|PQ|=
==2-2.
答案2-2
8.若直线(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k= .
解析由已知可得直线的斜率为-,因此直线4x+ky=1的斜率等于,于是k=-6.
答案-6
9.设直线的参数方程为(t为参数).
(1)求直线的普通方程;
(2)化参数方程为标准形式.
解(1)由y=10-4t,得t=,将其代入x=5+3t,得x=5+3×.
化简得普通方程为4x+3y-50=0.
(2)把方程变形为
令t'=-5t,
则参数方程的标准形式为(t'为参数).
10.导学号73574051已知直线l经过点P(-1,2),且方向向量为n=(-1,),圆的方程为ρ=2cos.
(1)求直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.
解(1)∵n=(-1,),∴直线l的倾斜角为.
∴直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
(2)∵ρ=2=cos
θ-sin
θ,
∴ρ2=ρcos
θ-ρsin
θ.∴x2+y2-x+y=0.
将直线的参数方程代入得t2+(3+2)t+6+2=0.
∴|t1t2|=6+2,即|PM|·|PN|=6+2.
11.导学号73574052求经过点(1,1),倾斜角为120°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.
解由直线经过点(1,1),倾斜角为120°,可得直线的参数方程为(t为参数),
将其代入椭圆的方程,得=1,整理,得13t2+4(4-1)t+4=0.设方程的两实根分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=.
|t1-t2|=.
所以直线被椭圆所截得的弦长为.
B组
1.直线(t为参数)上与点A(2,-3)的距离等于1的点的坐标是( )
A.(1,-2)或(3,-4)
B.(2-,-3+)或(2+,-3-)
C.
D.(0,-1)或(4,-5)
解析根据题意可设直线上任意一点的坐标为P(2-t,-3+t),则|PA|=2t2=1,解得t=±.
当t=时,点P的坐标为;
当t=-时,点P的坐标为.故所求的点的坐标为,-3-.
答案C
2.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长是( )
A.16
B.3
C.
D.
解析抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),又倾斜角为,所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数).将其代入抛物线方程y2=4x,得=4,整理得3t2-8t-16=0.设方程的两个实根分别为t1,t2,则有
所以|t1-t2|=.故弦AB的长为.
答案C
3.对于参数方程(t为参数)和(t为参数),下列结论正确的是( )
A.它们表示的是倾斜角为30°的两条平行直线
B.它们表示的是倾斜角为150°的两条重合直线
C.它们表示的是两条垂直且相交于点(1,2)的直线
D.它们表示的是两条不垂直但相交于点(1,2)的直线
解析因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理,参数方程可化为标准形式所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.
答案B
4.已知直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,若将该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为 .
解析由|PM0|=知t=±,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
答案±1
5.已知一条直线的参数方程是(t为参数),另一条直线的方程是x-y-4=0,则两条直线的交点到点(7,-5)的距离是 .
解析把直线的参数方程(t为参数)代入另一条直线方程x-y-4=0,得7+t--4=0,解得t=8.
故交点到点(7,-5)的距离为|t|=8.
答案8
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos
2θ=3.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
解(1)由曲线C:ρ2cos
2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,
得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=3,化成直角坐标方程为x2-y2=3.
①
(2)(方法一)把直线的参数方程化为标准参数方程(t'为参数,t'=6t),②
把②代入①得=3,
整理,得t'2-4t'-2=0.
设其两根为t1',t2',则t1'+t2'=4,t1'·t2'=-2.
从而弦长为|t1'-t2'|=
==2.
(方法二)把直线l的参数方程化为普通方程为y=(x-2),代入x2-y2=3,得2x2-12x+15=0.
设l与C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1·x2=.
所以|AB|=
=2=2.
7.导学号73574053过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
解设直线的参数方程为(t为参数),
将其代入x2+2y2=1,
得(1+sin2α)t2+tcos
α+=0.
设点M,N对应的参数分别为t1,t2,
则|PM|·|PN|=|t1t2|=.
因为直线与曲线相交,
所以Δ=10cos2α-4×·(1+sin2α)≥0.
得sin2α≤.而当sin
α=(0≤α<π),
即α=或α=时,|PM|·|PN|有最小值.
8.导学号73574054已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的参数方程.
解设直线l的倾斜角为α,
则l的参数方程为(t为参数),
由题意知,A(xA,0),B(0,yB).由0=2+tsin
α,
得|PA|=|t|=.由0=3+tcos
α,得|PB|=|t|=-.
故|PA|·|PB|==-.
∵<α<π,
∴当2α=,即α=时,|PA|·|PB|有最小值,此时直线l的参数方程为(t为参数).四 渐开线与摆线
课后篇巩固探究
A组
1.下列说法正确的是( )
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;
③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.
其中正确的说法有( )
A.②③
B.②
C.③
D.①③
答案B
2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是( )
A.(π,0)
B.(π,1)
C.(2π,2)
D.(2π,0)
解析依次将点代入验证即可.
答案D
3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是( )
A.(6,0)
B.(6,6π)
C.(6,-12π)
D.(-π,12π)
解析当φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得
即所求的坐标为(6,-12π).
答案C
4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是 .
答案(6π+4,4)
5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为 .
解析因为r=3,
所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).
把φ=代入得x=π-,y=3-.
故该点的坐标为.
答案
6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,
所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).
7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系
(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.
解(1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).
8.导学号73574057当φ=,π时,求出渐开线(φ为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离.
解将φ=代入
得
所以A.
将φ=π代入
得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.
9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.
解由题意知xM=r·φ-r·cos=r(φ-sin
φ),yM=r+r·sin=r(1-cos
φ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).
B组
1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析图象关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.
答案B
2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为( )
A.-1
B.
C.
D.
解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,
所以|AB|=.
答案C
3.导学号73574058如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是( )
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
解析根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.
答案C
4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .
解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.
故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).
答案(7,0)和(-7,0)
5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.
解令y=0,可得r(1-cos
φ)=0,由于r>0,即得cos
φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin
φ),
得x=r(2kπ-sin
2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin
2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N
).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为
(φ
为参数).
6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.
解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.
易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.二 圆锥曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A.
B.(1,0)
C.(0,1)
D.
解析曲线的普通方程为y2=4x,这是抛物线,故焦点坐标为(1,0).
答案B
2.双曲线(α为参数)的两个焦点坐标是
( )
A.(0,-4),(0,4)
B.(-4,0),(4,0)
C.(0,-),(0,)
D.(-,0),(,0)
解析双曲线的普通方程为=1,因此其焦点在y轴上,c==4,故焦点坐标为(0,-4)和(0,4).
答案A
3.已知椭圆(a>b>0,θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ为( )
A.π
B.
C.2π
D.
答案A
4.双曲线=1的参数方程是( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
答案C
5.若抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的参数方程是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析由于抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,
故p=4,抛物线的普通方程为y2=8x(x≥0).
根据x≥0,排除A,C;
再根据=8,排除B.故选D.
答案D
6.二次曲线(θ为参数)的左焦点的坐标是 .
解析该方程表示焦点在x轴上的椭圆,且a=5,b=3,故c=4,因此左焦点的坐标为(-4,0).
答案(-4,0)
7.导学号73574043若点M(x,y)在椭圆=1上,则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为 ,此时点M的坐标是 .
解析椭圆的参数方程为(θ为参数),设点M的坐标为(2cos
θ,2sin
θ),则点M到直线x+y-4=0的距离d=.当θ+时,dmax=4.此时,点M的坐标为(-3,-1).
答案4 (-3,-1)
8.已知双曲线(θ为参数),则它的两条渐近线所成的锐角的度数是 .
解析因为所以
②2-①2,得y2-=1,其渐近线方程为y=±x,
故两条渐近线所成的锐角的度数是60°.
答案60°
9.求以椭圆=1的焦点为焦点,以直线(t为参数)为渐近线的双曲线的参数方程.
解椭圆=1的焦点坐标为(,0),(-,0),即为(3,0),(-3,0),
则双曲线的方程可设为=1(a,b>0),
直线(t为参数),即为直线y=2x,
所以=2.
由题意得,c=3,a2+b2=32,所以a=1,b=2.
故双曲线的标准方程为x2-=1.
因为sec2θ-tan2θ=1,
所以双曲线的参数方程为(θ为参数).
10.导学号73574044椭圆=1上一动点P(x,y)与定点A(a,0)(0解设动点P(3cos
θ,2sin
θ)(θ为参数),则|PA|2=(3cos
θ-a)2+4sin2θ=5a2+4.
因为0于是若0则当cos
θ=a时,|PA|min==1,得a=(舍去);
若1θ=1时,由|PA|min==1,得|a-3|=1,所以a=2,
故满足要求的a值为2.
11.导学号73574045已知A,B是椭圆=1与坐标轴正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解椭圆的参数方程为(θ为参数).
设点P的坐标为(3cos
θ,2sin
θ),其中0<θ<.
因为SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,所以只需S△APB最大即可.又AB为定长,故只需点P到AB所在直线的距离最大即可.直线AB的方程为2x+3y-6=0,点P到直线AB的距离为d=.
所以当θ=时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为.
B组
1.曲线C:(φ为参数)的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题设得曲线C的普通方程为=1,
所以a2=9,b2=5,c2=4.
因此e=.
答案A
2.当θ取一切实数时,连接A(4sin
θ,6cos
θ)和B(-4cos
θ,6sin
θ)两点的线段的中点的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.线段
解析设线段AB的中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sin
θ-2cos
θ,y=3cos
θ+3sin
θ,即=sin
θ-cos
θ,=sin
θ+cos
θ,两式平方相加,得=2,即所求中点的轨迹是椭圆.
答案B
3.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .
解析将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解.
∵∴消去参数t,得2x+y-3=0.
又∴消去参数θ,得=1.
在方程2x+y-3=0中,令y=0,得x=.
将代入=1,得=1.
又a>0,∴a=.
答案
4.对任意实数,直线y=x+b与椭圆(0≤θ<2π,θ为参数)恒有公共点,则b的取值范围是 .
解析将(2cos
θ,4sin
θ)代入y=x+b,
得4sin
θ=2cos
θ+b.
①
∵直线与椭圆恒有公共点,
∴方程①有解.
令f(θ)=4sin
θ-2cos
θ=2sin(θ-φ).
∴-2≤f(θ)≤2,
即-2≤b≤2.
答案[-2,2]
5.已知圆O1:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P,Q两点间距离的最小值.
解设Q(sec
θ,tan
θ)(θ为参数),
由题意知|O1P|+|PQ|≥|O1Q|.
|O1Q|2=sec2θ+(tan
θ-2)2
=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tan
θ+4)
=2tan2θ-4tan
θ+5
=2(tan
θ-1)2+3,
当tan
θ=1时,|O1Q|2取得最小值为3,
此时有|O1Q|min=,
因为|O1P|=1,
所以|PQ|min=-1.
6.已知椭圆+y2=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值.
证明设M(2cos
φ,sin
φ)(φ为参数),B1(0,-1),B2(0,1).
则MB1的方程:y+1=·x,
令y=0,则x=,
即|OP|=.
MB2的方程:y-1=x,
令y=0,则x=.
∴|OQ|=.
∴|OP|·|OQ|==4.
故|OP|·|OQ|=4为定值.
7.导学号73574046如图,动线段PQ的一个端点Q在椭圆x2+=1上运动,另一端点P在x轴上运动,且|PQ|=2,由此条件能否求出线段PQ的中点M的轨迹方程 若能,求出其方程;若不能,说明理由.
解设Q(cos
θ,2sin
θ),P(t,0),
则PQ的中点坐标为
因为|PQ|=2,所以(t-cos
θ)2+4sin2θ=4,
从而(t-cos
θ)2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
所以t=cos
θ±2cos
θ,即t=3cos
θ或t=-cos
θ.
若t=3cos
θ,则由得点M的轨迹方程为+y2=1.若t=-cos
θ,则由得点M的轨迹方程为x=0(-1≤y≤1).
故点M的轨迹方程为+y2=1或x=0(-1≤y≤1).
8.导学号73574047如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于原点的两个动点,且OA⊥OB于点O,求当点A,B在什么位置时,△AOB的面积最小,最小值是多少
解根据题意设点A,B的坐标分别为A(2p,2pt1),B(2p,2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),则|OA|==2p|t1|,|OB|==2p|t2|.
因为OA⊥OB,所以=0,
即2p·2p+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-1.
△AOB的面积为S△AOB=|OA|·|OB|
=·2p|t1|·2p|t2|
=2p2|t1t2|
=2p2
=2p2≥2p2=4p2,
当且仅当,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.
所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p2.模块综合测评(A)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.极坐标方程8ρ=sin
θ表示的曲线是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
解析方程8ρ=sin
θ可化为8x2+8y2-y=0,所以它表示圆.
答案B
2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为
( )
A.y=x-1
B.y=x+1
C.y=x-1(-1≤x≤0)
D.y=x+1(-1≤x≤0)
解析把cos2θ=y代入x=cos2θ-1,得x=y-1,即y=x+1.因为-1≤cos2θ-1≤0,所以-1≤x≤0.
答案D
3.将曲线x2+4y=0作如下变换:则得到的曲线方程为( )
A.x'2=-y'
B.x'=-y'2
C.y'=-x'2
D.y'2=-x'
解析由可得将其代入x2+4y=0得x'2+y'=0,即y'=-x'2.
答案C
4.极坐标方程ρ=4cos表示的图形的面积是
( )
A.4
B.4π
C.8
D.8π
解析因为ρ=4cos=4=4cos
θ+4sin
θ,所以ρ2=4ρcos
θ+4ρsin
θ,即x2+y2=4x+4y,(x-2)2+(y-2)2=8,故方程表示的图形是圆,半径为2,其面积为8π.
答案D
5.已知点P1的球坐标是,P2的柱坐标是,则|P1P2|=( )
A.
B.
C.
D.4
解析点P1的直角坐标为(2,-2,0),点P2的直角坐标为(,1,1),由两点间的距离公式得|P1P2|=.
答案A
6.已知A(4sin
θ,6cos
θ),B(-4cos
θ,6sin
θ),当θ为一切实数时,线段AB的中点的轨迹为( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析设线段AB的中点为M(x,y),
则(θ为参数),
所以
消去参数θ,得(3x+2y)2+(3x-2y)2=144,整理得=1,它表示椭圆.
答案C
7.参数方程(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.2
解析由
所以-x2=1,即曲线为双曲线,其中a=2,b=1,
故c=,e=.
答案B
8.导学号73574069若点M的极坐标是,则它关于直线θ=的对称点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析如图,描点时,先找到角-的终边,因为ρ=-2<0,所以再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点.
直线θ=就是极角为的那些点构成的集合.故点M关于直线θ=的对称点为M',但是选项中没有这样的坐标.又因为点M'还可以表示为,所以选B.
答案B
9.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos
θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=( )
A.
B.5
C.2
D.
解析直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得解得所以直线l与曲线C的公共点的坐标为(1,2).
所以公共点的极径为ρ=.
答案A
10.设曲线C的参数方程为(t为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为( )
A.ρcos2θ-sin
θ=0
B.ρcos
θ-sin
θ=0
C.ρcos
θ-sin2θ=0
D.cos2θ-ρsin
θ=0
解析把曲线C的参数方程化为普通方程是y=x2,把曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程是ρsin
θ=ρ2cos2θ.由于曲线经过极点,则极坐标方程可简化为ρcos2θ-sin
θ=0.故选A.
答案A
11.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①
③(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A.①③⑤
B.①⑤
C.①②④
D.②④⑤
解析由双曲线的参数方程知a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件.
答案A
12.导学号73574070若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为( )
A.
B.
C.+4
D.2b
解析设动点(x,y)的坐标为(2cos
θ,bsin
θ),将其代入x2+2y,得4cos2θ+2bsin
θ=-+4+,当04时,(x2+2y)max=-+4+=2b.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .
解析将参数方程化为普通方程为y2=4x,它表示开口向右,焦点在x轴正半轴上的抛物线,由2p=4 p=2,则焦点坐标为(1,0).
答案(1,0)
14.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .
解析把直线和椭圆的参数方程分别化为普通方程为l:y=x-a,C:=1.椭圆的右顶点坐标为(3,0),将其代入l的方程得0=3-a,a=3.
答案3
15.将方程(t为参数)化为普通方程是 .
解析由y==tan2t,将tan
t=x代入上式,得y=x2,即所求的普通方程为y=x2.
答案y=x2
16.在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆ρ=4sin
θ和直线ρsin
θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
解析由ρ=4sin
θ得ρ2=4ρsin
θ,所以x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,设圆心为点C,则圆心为C(0,2),半径r=2.
由ρsin
θ=a,得直线的直角坐标方程为y=a.
由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心.
设AB的中点为D(如图),连接CB.
则|CD|=|CB|·sin
30°=2×=1,
即a-2=1,所以a=3.
答案3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,求极点在直线l上的射影的极坐标.
解把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,
得x+y-4=0,过极点且与l垂直的直线方程为y=x.
由得射影的直角坐标为(1,),
将其化成极坐标为.
故极点在直线l上的射影的极坐标为.
18.(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,
所以圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,
解得-2≤a≤2.
故实数a的取值范围为[-2,2].
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin
θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
解(1)由ρ=2sin
θ,
得ρ2=2ρsin
θ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
故☉C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.
(2)设P,
又C(0,),
所以|PC|=,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,点P的直角坐标为(3,0).
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标.
(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R,t为参数),求a,b的值.
解(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为.
(2)由(1)可得,点P与点Q的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1.
所以解得
21.导学号73574071(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos
θ,θ∈.
(1)求半圆C的参数方程;
(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的直角坐标.
解(1)半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
由此可得半圆C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos
t,sin
t).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为半圆C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan
t=,t=.
故点D的直角坐标为,
即.
22.导学号73574072(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,3),底边BC在横轴上,|BC|=2,当BC在横轴上移动时,求:
(1)△ABC外接圆圆心的轨迹的普通方程;
(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为的直线方程.
解(1)设B(t-2,0),C(t,0),AC的垂直平分线方程为y=,BC的垂直平分线方程为x=t-1,△ABC的外心为O',
则O'的轨迹方程是(t为参数),
O'的轨迹的普通方程为y=x2+.
(2)过点(0,2)的直线方程为y=kx+2,
联立
消去y,得x2-6kx-4=0.
设该方程的两根是x1,x2,则(x1-x2)2=36k2+16.
所以弦长的平方为(1+k2)(36k2+16)=,
解得k=±.
故所求直线方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.二 极坐标系
课后篇巩固探究
A组
1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析ρ==2,tan
θ=1,且点在第三象限,可取θ=,故极坐标可以是.
答案D
2.下列的点在极轴所在直线的上方的是( )
A.(3,0)
B.
C.
D.
解析由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,点在极轴所在直线的下方,点在极轴所在直线的上方,故选D.
答案D
3.将点的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是( )
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(3,5)
D.(5,6)
解析x=ρcos
θ,y=ρsin
θ,对选项A来说,x=3cos
4<0,y=3sin
4<0,满足在第三象限,故选A.
答案A
5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知点A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).
由ρ2=x2+y2,得ρ=2.
因为tan
θ==1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=.故线段AB的中点的极坐标为.
答案A
6.在极坐标系中,点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 .
解析依题意知所求的点满足ρ=3,θ=,所以所求极坐标是.
答案
7.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M表示的点在第 象限.
解析由于x=ρcos
θ=2
016cos=1
008,y=ρsin
θ=2
016sin=-1
008,故点(1
008,-1
008)在第四象限.
答案四
8.导学号73574008若点M的极坐标为,则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为 .
解析∵点M的极坐标为,
∴x=6cos=6×=3,
y=6sin=6×=-3,
∴点M的直角坐标为(3,-3).
故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).
答案(-3,-3)
9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:
(1);(2);(3)(5,π).
解(1)x=·cos=1,y=·sin=1,
所以点的直角坐标为(1,1).
(2)x=6·cos=3,y=6·sin=-3,
所以点的直角坐标为(3,-3).
(3)x=5·cos
π=-5,y=5·sin
π=0,
所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).
10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
(1)(,3);(2)(-3,0).
解(1)ρ==2,tan
θ=.
又因为点在第一象限,所以θ=.
所以点(,3)的极坐标为.
(2)ρ==3,由题易知极角为π,
所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).
11.导学号73574009在极坐标系中,B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).
解由B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.
所以点B,D关于极轴对称.
设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F即为所求.
B组
1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在( )
A.x轴上
B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
答案C
2.导学号73574010在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A,B,则顶点C的坐标可能是( )
A.
B.
C.(2,π)
D.(3,π)
解析如图所示,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.
设点C的极坐标为(ρ,θ),
又|AB|=4,△ABC为等边三角形,
所以ρ=|OC|=2.
因为∠AOC=,所以在[0,2π)内点C的极角θ=或θ=,即点C的极坐标为.
答案B
3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为 .
解析∵点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.
又tan
θ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=.
因此,点P的极坐标为.
答案
4.如图,点P的极坐标为 .
解析如图所示,连接OP.
∵OQ是圆的直径,∴∠OPQ=90°.
又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=.
∴|OP|=|OQ|cos=2×.
故点P的极坐标为.
答案
5.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P,将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标,并判断M,N,P三点是否在同一条直线上.
解∵点M的极坐标为,
∴点M的直角坐标为,
即为M(1,-).
同理可得点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).
∵kMN=,kPN=,∴kMN=kPN.
∴M,N,P三点在同一条直线上.
6.导学号73574011已知两点的极坐标A,B,求:
(1)A,B两点间的距离;
(2)△AOB的面积;
(3)直线AB与极轴正方向所成的角.
解如图所示,
∵|OA|=|OB|=3,∠AOB=,
∴△AOB为等边三角形.
(1)A,B两点间的距离为3.
(2)△AOB的面积S=×3×3×sin.
(3)直线AB与极轴正方向所成的角为π-.
7.导学号73574012已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,点M是线段PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定|OM|的最小值 若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.
解以O为极点,OB为极轴建立如图所示的极坐标系.
设P,Q(ρ2,0),M(ρ,θ),则由题意知ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.
因为S△POM=ρρ1sin=4,
S△QOM=ρρ2sin
θ=4,
所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sinsin
θ=64.
所以ρ2=.当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值8.
故|OM|的最小值为2.第二讲参数方程
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的斜率等于( )
A.3
B.-3
C.
D.-
解析由参数方程可得直线l的斜率k==-.
答案D
2.直线3x-4y-9=0与圆:(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
解析由圆的参数方程可知圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.
答案D
3.参数方程为(t为参数)表示的曲线是( )
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线
解析y=2表示一条平行于x轴的直线,而由x=t+知x≥2或x≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.
答案D
4.已知椭圆的参数方程为(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为( )
A.
B.-
C.2
D.-2
解析当t=时,x=1,y=2,则M(1,2),所以直线OM的斜率k=2.
答案C
5.已知圆的渐开线(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为( )
A.π
B.3π
C.4π
D.9π
解析把已知点(3,0)代入参数方程得
由②得φ=tan
φ,即φ=0.
再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.
答案D
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与点P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1|
B.2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析由题意知点P1的坐标为(a+t1,b+t1),则点P1与点P之间的距离为|t1|.
答案C
7.直线(t为参数)和圆x2+y2=16相交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为( )
A.(3,-3)
B.(3,-)
C.(,-3)
D.(-,3)
解析由题意知=16,得t2-8t+12=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,=4.
所以线段AB的中点的坐标满足
即
故所求的中点坐标为(3,-).
答案B
8.已知经过曲线(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P与原点O的直线PO,若它的倾斜角为,则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析将曲线化成普通方程为=1(y≥0),将其与直线PO:y=x
联立可得点P的坐标为.利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P的极坐标为.
答案D
9.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程是( )
A.(t为参数)
B.(φ为参数)
C.(t为参数)
D.(θ为参数)
解析选项A中,由于普通方程x2+y-1=0中x可以取得一切实数,但A中x大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C中,由偶次根式的定义可知,x不可能取得一切实数,故错误;选项D中,结合余弦函数的有界性可知x不能取得一切实数,错误.故选B.
答案B
10.已知直线l:(t为参数)和抛物线C:y2=2x,l与C分别交于点P1,P2,则点A(0,2)到P1,P2两点的距离之和是( )
A.4+
B.2(2+)
C.4(2+)
D.8+
解析把直线的参数方程化为(t'为参数,t'=-2t),将其代入y2=2x,得t'2+4(2+)t'+16=0.
设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP1|+|AP2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+).
答案C
11.若曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=,且3-,
故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
答案B
12.导学号73574066过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
解析将抛物线的参数方程化成普通方程为y2=x,它的焦点坐标为.设弦所在直线的方程为y=k,由消去y,得64k2x2-48(k2+2)x+9k2=0.设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则|x1-x2|=,解得k=±.故倾斜角为.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为 .
解析l1的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=a·,即x=y+,
因为l1∥l2,所以2=,故a=4.
答案4
14.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=4上的动点,记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C的参数方程为 .
解析圆C的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最小正角为2θ,所以圆C的参数方程为(θ为参数).
答案(θ为参数)
15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos
θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .
解析将极坐标方程ρcos
θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x3=y2,
所以y2=43=64,
即y=±8.
所以|AB|=|8-(-8)|=16.
答案16
16.若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α= .
解析将直线的参数方程化为普通方程为y=x·tan
α,圆(x-4)2+y2=4,如图所示,sin
α=,则α=或α=.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
(1)(φ为参数);
(2)(t为参数).
解(1)因为
所以
两边平方相加,得=cos2φ+sin2φ=1,
故所求的普通方程为=1,
它表示焦点在x轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆.
(2)因为所以将t=代入x=1-5t,得x=1-5·,即7x+5y-7=0.
故所求的普通方程为7x+5y-7=0,
它表示过和(1,0)的一条直线.
18.(本小题满分12分)已知直线l1的方程为
(t为参数),直线l2的方程为x-y-2=0.求直线l1和直线l2的交点P的坐标及点P与点Q(2,-5)间的距离.
解将代入x-y-2=0,得t=2,
∴点P的坐标为(1+2,1).
又点Q为(2,-5),
∴|PQ|=.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
解(1)消去参数t,得圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
由ρsin=m,
得ρsin
θ-ρcos
θ-m=0.
所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,
即=2,解得m=-3±2.
20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)若A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
解(1)因为圆C的参数方程为(θ为参数),
所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
将x=ρcos
θ,y=ρsin
θ代入,得(ρcos
θ-3)2+(ρsin
θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos
θ+8ρsin
θ+21=0.故圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos
θ+8ρsin
θ+21=0.
(2)由题意知直线AB的方程为x-y+2=0,点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,
△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos
θ-2sin
θ+9|=.
所以△ABM面积的最大值为9+2.
21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中
0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin
θ,C3:ρ=2cos
θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立
解得
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A的极坐标为(2sin
α,α),点B的极坐标为(2cos
α,α).所以|AB|=|2sin
α-2cos
α|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,且最大值为4.
22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解(1)由已知可得A,B,C,D的直角坐标分别为
A,
B,
C,
D,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)设P(2cos
φ,3sin
φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,
所以S的取值范围是[32,52].