函数的图象练习
1．下列四个图形中，可能是函数y＝f(x)的图象的是__________．
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是__________．
3．下图是某容器的侧面图，如果以相同的速度向容器中注水，则容器中水的高度与时间的函数关系为下图中的__________．
4．如图，正△ABC的边长为1，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是________．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的对称轴为x＝3，则f(2)与f()的大小关系是__________．
7．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示，则下列四种说法中正确的是________．
①前三年中产量增长速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．
8．水池有2个进水口，1个出水口，每个进出水口进出水速度如图①②所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③所示(至少打开一个水口)．给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断是__________．
9．在同一直角坐标系中，分别作出函数y1＝x＋1和y2＝x2－3x－4的图象，并回答x为何值时，y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2？
10．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点．试求由函数和直线x＝10及x轴所围成的三角形内部及边上的格点有多少个？
参考答案
1．答案：①②③
2．答案：0或1
3．答案：③
4．答案：③
5．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
6．答案：f(2)＞f()
7．答案：②③④
8．答案：①
9．解：作出两函数的图象如图所示，
由方程组得或
所以两图象交点坐标为(－1,0)和(5,6)．
从而当x∈(－1,5)时，y1＞y2；
当x＝－1或5时，y1＝y2；
当x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)时，y1＜y2．
10．解：作出如图所示的图象，
则共有1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＝37(个)格点．对数的概念练习
1．将指数式63＝216化为对数式为________．
2．计算的结果为__________．
3．满足等式logx8＝3的x值为__________．
4．要使log(a－1)a有意义，则a的取值范围是________．
5．完成下列指数式、对数式之间的互化：
(1)＝5.73__________.
(2)log0.516＝－4__________.
6．求下列对数的值：
(1)log2.56.25＝__________；
(2)＝__________.
7．计算：(1)＝__________；
(2)＝__________.
8．计算log2[log3(log5125)]＝__________.
9．已知f(10x)＝x，试求f(3)．
10．已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
11．已知x＝log23，求的值．
12．设方程x2－＋2＝0的两根为α，β，试求的值．
参考答案
1．答案：log6216＝3
2．答案：
3．答案：2
4．解析：由条件得解得a＞1且a≠2.
答案：(1,2)∪(2，＋∞)
5．答案：(1)5.73＝m (2)0.5－4＝16
6．解析：(1)因为6.25＝2.52，所以原式＝2.
(2)因为(－1)2＝3－，
又(3－2)(3＋)＝1，
所以(－1)－2＝3＋，原式＝－2.
答案：(1)2 (2)－2
7．答案：(1)18 (2)4
8．答案：0
9．解：设10x＝t，则x＝lg
t，所以f(t)＝lg
t，f(3)＝lg
3.
10．解：由条件得am＝2，an＝3，
所以a2m＋n＝22×3＝12.
11．解：由条件得2x＝3，
所以原式＝＝＝.
12．解：由条件得α＋β＝，αβ＝2，
从而α2－αβ＋β2＝(α＋β)2－3αβ＝()2－3×2＝4，(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝()2－4×2＝2.
故原式＝log42＝.函数的最值练习
1．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是__________．
①y＝－3x＋1；②y＝|x＋2|；③；④y＝x2－4x＋3．
2．函数f(x)＝|x－2|－2在区间［0,3］上有最小值__________，最大值__________．
3．设f(x)＞0是定义在区间D上的单调递减函数，则下列函数：①y＝3－f(x)；②；③y＝［f(x)］2；④中单调增函数的个数为__________．
4．若函数f(x)＝x2－ax＋3在区间［1,3］上有最小值－1，则a的值为__________．
5．函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．
6．函数在区间［1,3］上有最大值3，则k＝__________．
7．已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)＝ax2＋1(a＜0)，求满足f(x)＜f(2－x)的x的取值范围是__________．
8．对任意函数f(x)，g(x)在公共定义域内，规定f(x)g(x)＝min{f(x)，g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝，则f(x)g(x)的最大值为______．
9．求证：函数y＝f(x)＝x2＋在(0，＋∞)上的最小值为2．
10．设x∈R，求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值．
11．设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|．
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
12．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a，b］D，使f(x)在［a，b］上的值域为［a，b］，那么把y＝f(x)(x∈D)叫闭函数．
(1)求闭函数y＝－x3符合条件②的区间［a，b］．
(2)判断函数(x＞0)是否为闭函数？并说明理由．
参考答案
1．答案：②
2．答案：－2 0
3．答案：3
4．答案：4
5．答案：－1
6．答案：5
7．答案：(1,2)
8．答案：1
9．证明：任取x1，x2∈(0,1］，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，x1＋x2＞0,0＜＜1，＞1，
∴1－＜0．
＝
＝
＝(x2＋x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在(0,1］上是单调减函数．
同理可得f(x)在［1，＋∞)上是单调增函数．
故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1)＝2．
10．解法一：去掉绝对值符号后可得：
故可得图象如下图．
由图可知当x＝0时，ymax＝2．
解法二：当x≥1时，y≤－3；
当0≤x＜1时，－3＜y≤2；
当x＜0时，y＜2．从而可得当x＝0时，ymax＝2．
11．解：(1)若f(0)≥1，
则－a|a|≥1 a≤－1．
(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，
f(x)min＝＝
当x＜a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，
f(x)min＝＝
综上，f(x)min＝
12．解：(1)由题意，y＝－x3在［a，b］上递减，
则解得
所以，所求的区间为［－1,1］．
(2)取x1＝1，x2＝10，
则f(x1)＝＜＝f(x2)，
即f(x)不是(0，＋∞)上的减函数．
取x1＝，x2＝，f(x1)＝＋10＜＋100＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的增函数．
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．课后训练
千里之行
始于足下
1．给出下列关系
①{3}∈{3,4}；②；③{3,5}＝{3,1,5}；④{2}；⑤{1}{x|x＜2}；⑥．其中正确的序号是________．
2．设集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A，B，C之间的关系是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是______________．
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则M＝________.
5．若集合M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，则集合M与N的关系是________．
6．设全集为R，A＝{x|x＜0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若A?B，则a的取值范围是________．
7．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且P＝{－1}，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，全集U＝R.
（1）当x∈N
时，求集合A的子集个数．
（2）若，求实数m的取值范围．
百尺竿头
更进一步
已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x＜2，x∈P}，B＝{x|－a＜x≤1，x∈P}（－1＜a＜1）.
（1）若P＝R，求A中最大元素m与B中最小元素n的差m－n；
（2）若P＝Z，求B和A中所有元素之和及（B）．
参考答案与解析
千里之行
1．②④⑥
2．A＝BC
3．7 解析：当n＝0,1,2时，得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．其真子集有23－1＝7个，分别是?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}．
4．{x|x＜－2，或x＞2} 解析：因为集合M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，全集U＝R，∴．
5．M＝N 解析：方法一：∵M＝{…，－5，－3，－1,1,3,5，…}，N＝{…，－5，－3，－1,1,3,5…}，∴M＝N.
方法二：∵n∈Z，∴当n为偶数时，令n＝2m，m∈Z.则M＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，当n为奇数时，令n＝2m－1，m∈Z，则M＝{x|x＝2（2m－1）＋1，m∈Z}＝{x|x＝4m－1，m∈Z}．∴M＝N.
方法三：M为奇数集合，而N中元素均为奇数，∴有，任取x∈M，则x＝2n＋1，当n为偶数2m时，有x＝4m＋1∈N，当n为奇数2m－1时，仍有x＝4m－1∈N，∴.∴且，故M＝N.
6．a≥1 解析：∵A＝{x|x＜0，或x≥1}，∴A＝{x|0≤x＜1}，∵B＝{x|x≥a}，∴B＝{x|x＜a}，将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∵A?B，∴a≥1.
7．解：∵P＝{－1}，∴－1∈U，且.
∴解得a＝2.经检验，a＝2符合题意．
故实数a的值为2.
8．解：（1）∵A＝{x|－1≤x≤6}．
∴当x∈N
时，A＝{1,2,3,4,5,6}．
∴集合A的子集个数为26＝64（个）．
（2）∵BA，∴分与讨论．
①当时，m－1＞2m＋1，即m＜－2.
②当时，由BA，借助数轴（如图所示）．
得
解得.
综上所述，m的取值范围是m＜－2或.
百尺竿头
解：（1）由已知得A＝{x|－1≤x＜0，或x＝2}，B＝{x|－1≤x≤－a，或1
（2）∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x＜2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．∴B＝{0}或．即B中元素之和为0，又A＝{－1,2}．其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.∵B＝{0}，或，∴（B）＝{－1,1,2}或（B）＝＝U＝{－1,0,1,2}．幂函数练习
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．
①；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x－2.
2．下列函数中不是幂函数的是__________．
①；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
3.下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是__________．
①y＝2x＋1；②；③y＝－(x－1)2；④(x－1)．
4．函数的定义域为__________．
5．比较下列各组数中两数的大小：
(1)0.61.3__________0.71.3；
(2)__________.
6．幂函数y＝f(x)的图象过点(3,27)，则f(2)＝__________.
7．函数y＝xα＋3的图象必过定点__________．
8．已知，则a的取值范围是________．
9．某市高考模拟考试阅卷点数学阅卷教师共有50人，要完成文、理科数学试卷的阅卷任务．阅卷安排时，需将50人分成两组，一组完成55捆理科数学试卷，另一组完成21捆文科数学试卷．据历年阅卷测得，阅卷一天，理科阅完一捆需要3人，文科阅完一捆需要2人，请你合理安排文、理科数学阅卷教师的人数，使完成全市文、理科数学阅卷任务的时间最短．
10．已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴无交点．
(1)求函数f(x)的解析式，并画出它的图象；
(2)讨论函数的奇偶性(a，b∈R)．
参考答案
1．解析：由幂函数的性质，可知y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
答案：②
2．解析：根据幂函数的定义可知③不是幂函数．
答案：③
3.
答案：①②
4．解析： x＞，由此得，函数的定义域为.
答案：
5．解析：(1)因为y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以0.61.3＜0.71.3.
(2)因为在(0，＋∞)上单调递减，
所以.
答案：(1)＜ (2)＞
6．解析：设f(x)＝xα，
则3α＝27，α＝3.
从而f(x)＝x3，f(2)＝23＝8.
答案：8
7．解析：取x＝1，得y＝4，定点为(1,4)．
答案：(1,4)
8．解析：幂函数的图象如图所示．
①若解得a＜－1.
②若解得.
③若解集为∈.
综上可知，a∈(－∞，－1)∪.
答案：a∈(－∞，－1)∪
9．解：设安排文科阅卷教师x人，则安排理科阅卷教师(50－x)人，又设完成文科阅卷时间为f(x)，完成理科阅卷时间为g(x)，完成全市阅卷时间为H(x)．由题意，得
f(x)＝(0＜x＜50，x∈N
)，g(x)＝(0＜x＜50，x∈N
)，
则H(x)＝
H(x)的图象如图所示，由图象可知，当f(x)＝g(x)时，H(x)存在最小值，此时完成全市阅卷任务的时间最短．由，得x≈10.1，
∵H(10)＝f(10)＝4.2，H(11)＝g(11)≈4.23，
∴x＝10.
故应安排10人阅文科数学试卷，40人阅理科数学试卷．
10．分析：求解本题的关键是先确定m的值，写出f(x)的解析式，再把f(x)代入g(x)的解析式，判断g(x)的奇偶性．
解：(1)∵幂函数的图象与x轴、y轴无公共点，
∴m2－2m－3＜0，即(m＋1)(m－3)＜0.
解得－1＜m＜3.
又m∈Z，得m＝0,1,2.又幂函数的图象关于y轴对称，
∴它是偶函数．把m＝0,1,2分别代入得f(x)＝x－3，f(x)＝x－4，f(x)＝x－3，
只有f(x)＝x－4符合条件，故m只能取1.
∴f(x)＝x－4.
其图象如图所示．
(2)把f(x)＝x－4代入g(x)的解析式，得
(x≠0)．
∴g(－x)＝－b(－x)3＝＋bx3.
∴当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数；
当a＝0，b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0，b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝b＝0时，g(x)既为奇函数又为偶函数．课后训练
千里之行
始于足下
1．下列对象能构成集合的序号是________．
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．
2．给出下列6个关系：，,0∈{0}，tan45°∈Z，0∈N
，π∈Q，其中，正确的个数为________．
3．（1）“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．
（2）设集合，用列举法表示为____________．
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是________．
5．下列结论中，正确的个数是________．
①cos30°∈Q；②若，则a∈N；③方程x2＋4＝4x的解集中含有2个元素；④若a∈N
，b∈N，则a＋b的最小值为2；⑤|－3|∈N
.
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x＞x的实数x组成一个集合；③方程的解集为{2，－2}；④方程（x－1）2（x＋5）（x－3）＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．
7．已知二元素集A＝{a－3,2a－1}，若－3∈A，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值；
（2）若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则，请解答下列问题：（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a∈S，则；（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．②③ 解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．
2．3 解析：,0∈{0}，tan45°＝1∈Z正确；，0∈N
，π∈Q不正确．
3．（1）{x|x＝3n＋1，n∈Z} （2）{0,1,2}
4．±1 解析：由A＝B得x2＝1，∴x＝±1.
5．1 解析：只有⑤正确．∵
?Q，∴①不正确．取a＝0.1，则－0.1?N,0.1?N，∴②不正确；∵方程x2＋4＝4x的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a∈N
，∴a的最小值为1，∵b∈N，∴b的最小值为0，∴a＋b的最小值为1，故④不正确．
6．①②④ 解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x＞x，得x为全体实数．故x构成实数集R，②正确；方程的解为x＝2且y＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．
7．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时A＝{－3，－1}，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时A＝{－4，－3}，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
8．解：（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0.此时，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0时，
即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
（2）A中最多含有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，原方程无实数解，结合（1）知，
当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
（3）A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ＞0得a＜1，结合（1）可知，a≤1.
百尺竿头
解：（1）∵2∈S,2≠1，∴.∵－1∈S，－1≠1，∴.∵，，∴，∴－1，，即集合S中另外两个数分别为－1和.
（2）证明：∵a∈S，∴，∴（a≠0，若a＝0，则，不合题意）．
（3）集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴.因此集合S不能只有一个元素．交集、并集练习
1．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N等于________．
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N等于________．
3．设集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于________．
4．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则B∪C__________A．
5．设M＝{1,2,4,5}，P＝{1,2,3}，则有________(M∩P)．
6．如图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是__________．
7．满足条件{1,2,3}∪B＝{1,2,3,4,5}的集合B的个数是__________．
8．已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
9．某市政府对水、电提价，召开听证会，如记对水提价为事件A，对电提价为事件B．现向100名市民调查其对A、B两事件的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余不赞成；另外，对A、B都不赞成的市民人数比对A、B都赞成的市民人数的多1人，问对A、B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？
10．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，集合B＝{x|m≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试用区间符号表示实数m的取值范围．
参考答案
1．答案：{x|x＜－5或x＞－3}
2．答案：{(3，－1)}
3．答案：{y|y≥1}
4．答案：＝
5．答案：
6．答案：S∩M∩P
7．答案：8
8．答案：{a|a≤－1或a＝1}
9．解：赞成A的人数为100×＝60，赞成B的人数为60＋3＝63．
如图所示，记100名市民组成的集合为U，赞成事件A的市民为集合A，赞成事件B的市民为集合B．
设对事件A、B都赞成的市民人数为x，则对A、B都不赞成的市民人数为＋1．依题意可得，(60－x)＋(63－x)＋x＋＋1＝100，解得x＝36，
即对A、B两事件都赞成的市民有36人，对A、B两事件都不赞成的市民有13人．
10．解：∵A∪B＝A，
∴BA．
又∵A＝{x|0≤x≤5}≠，
∴B＝，或B≠．
当B＝时，有m＞2m－1，
∴m＜1．
当B≠时，如图，
由图可得解得1≤m≤3．
综上所述，实数m的取值范围为(－∞，3］．课后训练
千里之行
始于足下
1．对于定义在R上的任意奇函数f（x），下列式子中恒成立的序号是________．
（1）f（x）－f（－x）≥0；（2）f（x）－f（－x）≤0；（3）f（x）·f（－x）≤0；（4）f（x）·f（－x）≥0；（5）f（x）＋f（－x）＝0；（6）.
2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝________.
4．已知奇函数f（x）在x<0时，函数解析式为f（x）＝x（x－1），则当x>0时，函数解析式f（x）＝______________.
5．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是单调减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）<0的x的取值范围是______．
6．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＝－f（x），给出下列4个结论：①f（2）＝0；②f（x）＝f（x＋4）；③f（x）的图象关于直线x＝0对称；④f（x＋2）＝f（－x），其中所有正确结论的序号是______．
7．判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）；（4）
（a∈R）．
8．设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f（x）的图象是顶点为P（3,4）且过点A（2,2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（－∞，－2）上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域．
百尺竿头
更进一步
设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x>0时，f（x）<0，f（1）＝－2.
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在R上为单调减函数；
（3）若f（2x＋5）＋f（6－7x）>4，求x的取值范围．
参考答案与解析
千里之行
1．（3）（5） 解析：由奇函数的定义知，f（－x）＝－f（x），∴f（x）·f（－x）＝f（x）·[－f（x）]＝－[f（x）]2≤0，且f（x）＋f（－x）＝0，∴（3）（5）正确，（1）（2）（4）错，（6）当f（－x）≠0时成立，故不恒成立．
2. 0 解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴，又对于f（x）有f（－x）＝f（x）恒成立，∴b＝0.
3．－26 解析：方法一：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）是奇函数．∴f（－2）＝g（－2）－8＝－g（2）－8＝10，∴g（2）＝－18，∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26.
方法二：∵f（－x）＋f（x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f（－2）＋f（2）＝－16，又f（－2）＝10，∴f（2）＝－16－f（－2）＝－16－10＝－26.
4．－x（x＋1） 解析：设x>0时，则－x<0，由条件，得f（－x）＝－x（－x－1）∵函数为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－f（x）＝－x（－x－1），∴f（x）＝－x（x＋1）（x>0）．
5．（－2,2） 解析：方法一：f（2）＝0，f（－2）＝0，f（x）在（－∞，0]上单调递减，又∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，当x∈（－2,0]时，f（x）方法二：∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0]上是单调减函数，∴f（x）在[0，＋∞）上是单调增函数，∵f（2）＝0，∴f（－2）＝f（2）＝0，由单调性易知使f（x）<0的x的取值范围是（－2,2），借助图形更直观，如图．
6．①②④ 解析：由题意，知f（0）＝－f（2），∴f（2）＝－f（0），又f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴f（2）＝0，故①正确；∵f（x）＝－f（x＋2）＝f（x＋4），∴②正确；∵f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f（－x）＝－f（x）＝f（x＋2），∴④正确．
7．解：（1），但f（x）的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故此函数是非奇非偶函数．
（2）f（x）的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有，∴函数f（x）为奇函数．
（3）f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）3＋3（－x）2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）．当x<0时，－x>0，则f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）∴对定义域内的任意x，都有f（－x）＝－f（x）∴函数f（x）为奇函数．
（4）当a＝0时，f（x）＝x2，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．当a≠0时，（a≠0，x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1），∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
8．解：（1）当x>2时，设f（x）＝a（x－3）2＋4.又因为过A（2,2），所以f（2）＝a（2－3）2＋4＝2，解得a＝－2，所以f（x）＝－2（x－3）2＋4.设x∈（－∞，－2），则－x>2，所以f（－x）＝－2（－x－3）2＋4.又因为f（x）在R上为偶函数，所以f（－x）＝f（x），所以f（x）＝－2（－x－3）2＋4，即f（x）＝－2（x＋3）2＋4，x∈（－∞，－2）．
（2）图象如图所示，
（3）由图象观察知f（x）的值域为{y|y≤4}．
百尺竿头
（1）证明：∵x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．令x＝y＝0，∴f（0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.令y＝－x，代入f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（0）＝f（x）＋f（－x），而f（0）＝0，∴f（－x）＝－f（x）（x∈R），∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任意x1，x2∈R，且x10，
∴f（x2－x1）<0，且f（x）为奇函数，∴f（－x1）＝－f（x1），
∴f（x2）＋f（－x1）＝f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）<0，即f（x2）（3）解：∵f（2x＋5）＋f（6－7x）＝f（2x＋5＋6－7x）＝f（11－5x）．而f（1＋1）＝f（1）＋f（1）＝－2－2＝－4，即f（2）＝－4，∴4＝－f（2）＝f（－2）．∴f（2x＋5）＋f（6－7x）>4等价于f（11－5x）>f（－2）．由（2）知，f（x）在R上为单调减函数，∴11－5x<－2，解得，∴x的取值范围为.课后训练
千里之行
始于足下
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
①
（x>0）；②；③；④.
2．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），使得x1②定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1③若f（x）在区间I1上是单调增函数，在区间I2上也是单调增函数，则f（x）在I1∪I2上也一定是单调增函数．
④若f（x）在区间I上单调递增，g（x）在区间I上单调递减，则f（x）－g（x）在区间I上单调递增．
4．已知函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图：
则函数y＝f（x）的单调增区间是________；函数y＝g（x）的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目：写出满足在（－∞，0）上递减，在[0，＋∞）上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.
6．有下列四个命题：
①函数y＝2x2＋x＋1在（0，＋∞）上不是单调增函数；②函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是单调减函数；③函数的单调增区间是（－∞，＋∞）；④已知f（x）在R上为单调增函数，若a＋b>0，则有f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）．
其中正确命题的序号是________．
7．已知函数f（x）＝x2＋2（1－2a）x＋6在（－∞，－1）上是单调减函数．
（1）求f（2）的取值范围；
（2）比较f（2a－1）与f（0）的大小．
8．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数．
百尺竿头
更进一步
已知函数，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．④ 解析：在（0，＋∞）上是单调减函数在[0，＋∞）上是单调减函数，.在（0，＋∞）上也是单调减函数，
在[0，＋∞）上为单调增函数．
2． 解析：函数的对称轴为，且开口向上，所以单调减区间为．，∴当时，.所以函数的最小值为.
3．④ 解析：由单调增函数的定义，知x1，x2必须是区间（a，b）上的任意两个值且x1对④设x1，x2∈I,
且x1g（x2），∴－g（x2）>－g（x1），∴f（x2）－g（x2）>f（x1）－g（x1），故f（x）－g（x）在I上单调递增，∴④正确．
4．（－∞，－2]，[0，＋∞） （－∞，0]，（0，＋∞）
5．y＝x2＋2或y＝|x|＋2 解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y＝ax2＋2，y＝a|x|＋2（a>0）．
6．④ 解析：①因为函数在上为单调增函数，所以在（0，＋∞）上也是单调增函数，故①错．②函数在区间（－∞，－1）和（－1，＋∞）上各自是单调减函数，但不能说函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上为单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1故③错．④∵f（x）在R上为单调增函数，又a＋b>0，∴有a>－b，或b>－a，则有f（a）>f（－b），或f（b）>f（－a）．两式相加得f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b），故④正确．
7．解：（1）∵二次函数f（x）＝x2＋2（1－2a）x＋6的图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴此函数在区间（－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f（x）在（－∞，－1）上为单调减函数，其对称轴x＝2a－1必须在x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，∴a≥0.∴f（2）＝22＋2（1－2a）×2＋6＝－8a＋14≤14，即f（2）∈（－∞，14]．
（2）∵当x＝2a－1时，二次函数f（x）取得最小值，
∴f（2a－1）≤f（0）．
8．解：（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[－5,5]．
∵f（x）的对称轴为x＝1，∴当x＝1时f（x）取得最小值为1；当x＝－5时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝f（－5）＝37.
（2）f（x）＝x2＋2ax＋2＝（x＋a）2＋2－a2的对称轴为x＝－a.∵f（x）在[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5，∴a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}．
百尺竿头
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x1，x2∈[2,6]，且x1.由2≤x10，x2－1>0，∴（x1－1）（x2－1）>0，又∵x10，∵f（x1）>f（x2），∴函数在区间[2,6]上是单调减函数．
∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x＝2时，取最大值，且最大值为2；在x＝6时，取最小值，最小值为0.4.函数的表示方法练习
1．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为__________．
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈［－2,2］)的图象的是__________．
3．设，则＝__________．
4．设则等于__________．
5．设则的值为________，f(x)的定义域是__________．
6．函数的最大值为______．
7．已知f(x＋1)＝x2－2x，则＝__________．
8．A、B两地相距150
km，某汽车以每小时50
km的速度从A地到B地，在B地停留2
h之后，又以每小时60
km的速度返回A地．则该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式为________．
9．作函数y＝|x＋3|＋|x－5|的图象，并求出函数的值域．
10．如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0)，A(6,0)，B(4,2)，C(2,2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域以及的值．
参考答案
1．答案：(x＞0)
2．答案：②
3．答案：f(x)
4．答案：
5．答案： ［－1,0)∪(0，＋∞)
6．答案：4
7．答案：
8．答案：
9．解：因为函数y＝|x＋3|＋|x－5|可以化为
所以函数的图象如图所示．
由图可知函数的值域为［8，＋∞)．
10．解：当0≤x≤2时，图形为等腰直角三角形，此时y＝·x·x＝x2；
当2＜x≤4时，图形为一个直角梯形，它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形，此时y＝×2×2＋(x－2)×2＝2x－2；当4＜x≤6时，
图形为一个五边形，它可看做是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，
此时y＝×(6＋2)×2－(6－x)2＝－x2＋6x－10．于是
并且函数y＝f(x)的定义域是［0,6］．
又当0≤x≤2时，0≤x2≤2；
当2＜x≤4时，2＜2x－2≤6；
当4＜x≤6时，6＜－x2＋6x－10≤8．
所以函数y＝f(x)的值域为［0,2］∪(2,6］∪(6,8］，即为［0,8］．
由于∈(2,4］，故＝2×－2＝5．
又5∈(4,6］，故f(5)＝－×52＋6×5－10＝．于是＝f(5)＝．对数函数的图象与性质练习
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝lg
x的图象上所有的点向__________平移3个单位长度，再向__________平移1个单位长度．
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的条件是________________________________________________________________________．
3．下图是对数函数y＝logax当底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是__________．
4．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是__________．
5．函数f(x)＝log(a－1)x是减函数，则a的取值范围是________．
6．若loga2＜logb2＜0，则a，b与0,1的大小关系是__________．
7．函数(1－x)的单调递增区间是__________．
8．已知偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝lg(x＋1)，则当x＜0时，f(x)的表达式是__________．
9．已知函数f(x)＝lg(x－1)，
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数．
参考答案
1．解析：＝lg(x＋3)－1.
答案：左 下
2．解析：由图象易知a＞1，
所以0＜a－1＜1.
又取x＝0得f(0)＝logab＜0且logab＞－1，
所以0＜a－1＜b＜1.
答案：a＞1，＜b＜1
3．解析：因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴．
答案：，，，
4．解析：注意g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图象是由y＝2－x的图象右移1个单位而得，本题考查函数图象的平移法则．
答案：③
5．解析：注意到a－1既受a－1＞0且a－1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0＜a－1＜1，∴1＜a＜2.
答案：(1,2)
6．解析：方法一：由底数与对数函数的图象关系(如下图)，可知y＝logax，y＝logbx图象的大致走向．
再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大．
方法二：取特殊值法．
∵，＝，
∴＜＜0.
∴可取，，则0＜b＜a＜1.
答案：0＜b＜a＜1
7．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设，u＝1－x，由于函数是减函数，函数u＝1－x是减函数，则函数(1－x)的单调递增区间是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
8．解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝lg(－x＋1)，
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝lg(1－x)．
答案：lg(1－x)
9．分析：(1)结合对数函数的性质易得知函数f(x)的定义域和值域；(2)可用定义法证明f(x)在定义域上的单调性．
(1)解：要使函数有意义，x的取值需满足x－1＞0，则有x＞1，即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．
由于函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函数f(x)的值域是R.
(2)证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)＝，∵1＜x1＜x2，∴0＜x1－1＜x2－1.
∴0＜＜1.又∵当0＜x＜1时，y＝lg
x＜0，
∴.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在定义域上是增函数．指数函数的应用练习
1．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为__________．
2．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是pn＝p0(1＋k)n(k为常数，k＞－1)，其中pn为预测期内n年后人口数，p0为初期人口数，k为预测期内年增长率，如果－1＜k＜0，那么在这期间人口数__________．
3．某商品价格前两年每年增长20%，后两年每年下降20%，则四年后的价格与原来价格比较变化的情况是__________．
4．下图是表示某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述，其中正确的是__________．
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
5．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2
KB，然后每3分钟自身复制一次，复制所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64
MB(1
MB＝210
KB)内存需要经过的时间为______分钟．
6．一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，则此种规格电子元件的年产量y随年数x变化的函数关系式为________．
7．某市2006年有常住人口54万，如果人口按每年1.2%的增长率增长，则2012年该市常住人口约为__________万人．(精确到0.01万)
8．一种产品原来成本为1万元，计划在今后几年中，按照每年平均6%的速度降低成本，则成本y与年数x之间的函数关系式是__________，其中8年后的成本是__________．(精确到0.01万元)
9．已知函数y＝|x＋2|，(1)作出图象；(2)指出单调增区间；(3)求值域．
10．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性，并试用定义证明；
(3)求g(x)的值域．
参考答案
1．解析：∵y＝ax在R上是单调函数，
∴a0＋a1＝3.解得a＝2.
答案：2
2．解析：由－1＜k＜0得0＜1＋k＜1，从而原函数pn为单调递减函数．
答案：呈下降趋势
3．解析：设原来价格为a，
则四年后变为y＝a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921
6a.
答案：下降7.84%
4．解析：由图象，得点(1,2)在函数的图象上，则2＝a1，
即a＝2.所以函数解析式应为y＝2t，所以①正确；
当t＝5时，y＝25＝32＞30，所以②正确；
当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝23.5＝，所以③不正确；
第(n＋1)个月比第n个月增加的面积为2n＋1－2n＝2n≠常数，所以④不正确；
对于⑤，2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，
由于2t1＋t2＝2t12t2＝2×3＝6＝2t3，
所以t1＋t2＝t3，所以⑤正确．
答案：①②⑤
5．解析：设开机t分钟后，该病毒占据y
KB内存，
由题意得，则有＝64×210，
又64×210＝26×210＝216，
所以有＋1＝16，解得t＝45.
答案：45
6．答案：y＝a(1＋p%)x(x≤m，x∈N
)
7．解析：由条件得54×(1＋1.2%)6≈58.01(万)．
答案：58.01
8．答案：y＝1×(1－6%)x 0.61万元
9．解：(1)由函数解析式可得y＝|x＋2|＝其图象分成两部分，如下图．
(2)由图象可知，函数的单调增区间是(－∞，－2]．
(3)由图可知，当x＝－2时，函数y＝|x＋2|有最大值1，无最小值，所以函数的值域为(0,1]．
10．解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝3a＋2＝18，∴3a＝2.
∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，
∴g(x)＝2x－4x.
(2)∵g(x)的定义域为[0,1]，令t＝2x.
∴t∈[1,2]，则g(t)＝t－t2＝－(t2－t)＝，t∈[1,2]．
∵函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数g(t)＝t－t2在[1,2]上单调递减，
∴g(x)在区间[0,1]上单调递减．
证明：设x1，x2为区间[0,1]上任意两值，
且x1＜x2，则g(x2)－g(x1)＝2x2－4x2－2x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(4x2－4x1)＝(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)．∵0≤x1＜x2≤1，
∴2x2＞2x1，且1≤2x1＜2,1＜2x2≤2.
∴2＜2x1＋2x2＜4.
∴－4＜－2x1－2x2＜－2，
可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)＜0.
∴g(x2)＜g(x1)．
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
(3)∵g(x)在区间[0,1]上是减函数，
则x∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)，
∵g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，
∴－2≤g(x)≤0，
故函数g(x)的值域为[－2,0]．课后训练
千里之行
始于足下
1．设，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
2．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为______________．
①y＝x2 ② ③
④ ⑤
3．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
4．已知幂函数f（x）＝（2n2－n）xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则f（x）在区间上的最小值为________．
5．已知函数f（x）＝xα＋m的图象经过点（1,3），又其反函数图象经过点（10,2），则f（f（1））＝________.
6．设，，，则a，b，c的大小关系是________．
7．已知幂函数y＝f（x）过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
8．已知幂函数y＝（m2＋2m－2）xm＋2在（0，＋∞）上是单调增函数，求满足的实数a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
已知幂函数
（p∈Z）在（0，＋∞）上是单调增函数，且是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝－qf[f（x）]＋（2q－1）f（x）＋1，问是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，且在[－4,0）上是单调增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．1,3 解析：当α＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当α＝1或α＝3时满足题中条件．
2．3 解析：①⑤中函数定义域为R，值域为[0，＋∞），②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞），③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
3．2，，，－2 解析：由题图，知C1、C2表示的幂函数在（0，＋∞）上都是单调增函数，对应n值为正；C3、C4表示的幂函数在（0，＋∞）上都是单调减函数，对应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，，，，∴对应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，，－2.
4. 解析：∵f（x）为幂函数，∴2n2－n＝1，解得或n＝1，当时，符合题意；当n＝1时，f（x）＝x2在定义域上不具有单调性，舍去，∴，.f（x）在[0，＋∞）上是单调增函数，∴在上也为单调增函数．∴
5．29 解析：由互为反函数的两个函数图象之间的关系知，反函数过点（10,2），则（2,10）必在原函数f（x）的图象上，∴2α＋m＝10，①
又f（x）过点（1,3），∴1α＋m＝3，②
由②得m＝2，代入①得α＝3，∴f（x）＝x3＋2.
∴f（1）＝3，f（f（1））＝f（3）＝33＋2＝29.
6．a＞c＞b 解析：构造幂函数，∵该函数在（0，＋∞）上是单调增函数．
∴，即a＞c；构造指数函数，∵该函数在R上是单调减函数，∴，即b＜c，∴a＞c＞b.
7．解：设幂函数为y＝xα，又过点，得，∴.∴函数解析式为，定义域为（0，＋∞）．∴f（x）是非奇非偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上为单调减函数，图象为
8．解：由幂函数的定义知，m2＋2m－2＝1，即m2＋2m－3＝0.
解得m＝1或m＝－3，当m＝1时，y＝x3在（0，＋∞）上单调增函数．符合题意，当m＝－3时，y＝x－1在（0，＋∞）上是单调减函数，不合题意（舍）．
∴m＝1. ∵在（－∞，0）和（0，＋∞）上为单调减函数．
∴由，可得a＋1＞3－2a＞0，
或3－2a＜a＋1＜0，或a＋1＜0＜3－2a，
∴a＜－1或.
∴a的取值范围是．
百尺竿头
解：（1）幂函数在（0，＋∞）上是单调增函数，则，解得－1＜p＜3.又p∈Z，所以p＝0,1,2.
当p＝0或p＝2时，不是偶函数；
当p＝1时，f（x）＝x2是偶函数，所以p＝1，此时f（x）＝x2.
（2）存在．g（x）＝－qx4＋（2q－1）x2＋1，
令t＝x2，则g（x）＝h（t）＝－qt2＋（2q－1）t＋1（t≥0）．
因为t＝x2，在（－∞，0）上是单调减函数，
当x∈（－∞，－4]时，t∈[16，＋∞），当x∈[－4,0）时，t∈（0,16]．
当h（t）在[16，＋∞）上是单调增函数，在（0,16]上是单调减函数时，
g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，在[－4,0）上是单调增函数．
此时二次函数h（t）的图象的对称轴为直线t＝16，即，解得.所以存在实数q，使得g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，且在[－4,0）上是单调增函数．映射的概念练习
1．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d．例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．
2．下列说法中正确的是__________．
①对于任意两个集合A和B，都可以建立一个从A到B的映射；
②对无限集A和有限集B，一定不能建立一个从A到B的映射；
③对于单元素集合A和非空集合B，只能建立一个从A到B的映射；
④对于非空集合A和单元素集合B，只能建立一个从A到B的映射．
3．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素(x，y)为__________．
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于__________．
5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则__________是映射．(写出一个即可)
6．已知集合M＝P＝{1,2,3,4,5}，则下列从M到P的对应关系f为映射的是__________．
7．已知A＝N
，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则在f：A→B中，A中元素9与B中元素__________对应；与集合B中元素9对应的A中元素为__________．
8．设集合A＝{a，b，c}，B＝{p，q}，那么集合A到B的不同映射最多可以有__________个．
9．集合A、B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f：(x，y)→(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5,2)所对应A中的元素．
10．现代社会对破译密文的难度要求越来越大，有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组)，例如：
Wish
you
success，分组为Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到其中英文的a，b，c，…，z这26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见表格：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下一个变换公式将明文转换为密文．如→→，即ce变成mc(说明：29÷26余数为3)；
又如→→，即wi变成oa(说明：41÷26余数为15,105÷26余数为1)．
(1)按上述方法将明文star译成密文；
(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文．
参考答案
1．解析：由题意得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23，4d＝28，解之，得d＝7，c＝1，b＝4，a＝6．
答案：6,4,1,7
2．解析：紧扣映射的概念，当A＝或B＝时，①不正确；②也不正确，因为至少可以建立A中的元素全与B中某一个元素对应的映射；③的说法不正确，因B中有n个元素时，则可以建立n个从A到B的映射；④是正确的，因为A中的任一元素都只能和B中的惟一元素对应．
答案：④
3．解析：，
．
答案：(，－1)
4．解析：A×B＝10×11＝110,110÷16＝6余14，而14在16进制中用E表示，故A×B＝6E．
答案：6E
5．答案：f：x→y＝x(不惟一)
6．解析：在(1)(4)中，集合M中都存在元素在集合P中找不到元素与之对应，(3)中，集合M中的一个元素在集合P中有两个元素与之对应，也不是映射．
答案：(2)
7．解析：根据映射的定义，在f：A→B中，A中元素9与B中元素2×9－1＝17对应．在这个映射中，设A中元素a与B中元素9对应，则2a－1＝9，解得a＝5．
答案：17 5
8．解析：8个，分别是
答案：8
9．分析：正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题的关键．利用对应法则找到元素间的关系，建立关于x和y的方程组是求解的关键．
解：依题可得
①＋2×②，得(x＋y)2＝9，
∴x＋y＝±3．
于是，原方程组可化为如下的两个方程组：
或
解得
∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．
10．分析：根据题中的概念和基本框架，可以进行较为深入的探索——题中所给变换公式可以人为设定，这样任意两个人之间都可以用密文交流．本题在解决时，要注意两点：一是正确运用公式，设x′，y′代表密文，x，y代表明文；二是“模取”运算——即取余运算．
解：(1)将star分组：st，ar，对应的数组分别为，由得
→→，
→→．
∴star翻译成密文为ggkw．
(2)由得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为，，由得
→→，
→→．
∴密文kcwi是由明文good翻译来的．课后训练
千里之行
始于足下
1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．
2．下列结论中，正确的序号是________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab（a>0且a≠1）；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
3．（1）已知loga2＝m，loga3＝n（a>0且a≠1）则a2m－n＝________；
（2）若a>0，，则________；
（3）若5lgx＝25，则x＝________.
4．已知lg（log2x）＝0，，则logxy＝________.
5．已知，logn8＝blogn56（m、n>0且m≠1，n≠1），则a＋b＝________，________.
6．（1）已知11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，则________.
（2）若2a＝5b＝10，则________.
7．求下列各式的值：
（1）2log525＋log264－2
011logπ1；
（2）log155·log1545＋（log153）2；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
8．2010年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？（lg2≈0.301
0，lg3≈0.477
1，lg1.08≈0.033
4，精确到1年）
百尺竿头
更进一步
（1）已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
（2）已知a>0且a≠1，若log2a＋loga8＝4，则①判断函数f（x）＝xa＋3的奇偶性；②计算的值；③判断函数g（x）＝ax的单调性．
参考答案与解析
千里之行
1. 解析：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴
2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga（M＋N）＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．
3．（1） （2）3 （3）100 解析：（1）∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴
（2）法一：∵a>0，，∴
∴，即，∴
法二：∵a>0，∴，∴ ∴
（3）∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.
4．－3 解析：∵lg（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，
又∵，
∴，∴，∴.
∴.
5．1 56 解析：由换底公式得.
，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴.
∴.
6．（1）1 （2）1 解析：（1）法一：用指数解：由已知得.
，两式相除得：，
∴.
法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011
2＝3，∴.
法三：综合法解．∵11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，∴a＝log11.21
000，b＝log0.011
21
000.∴
（2）法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴.
法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，
∴.
7．解：（1）原式＝2log552＋log226－2011×0＝4＋6－0＝10.
（2）原式＝log155（1＋log153）＋（log153）2＝log155＋log153（log155＋log153）＝log155＋log153＝log1515＝1.[或原式＝（1－log153）（1＋log153）＋（log153）2＝1－（log153）2＋（log153）2＝1]
（3）原式＝（－2）×（－4）×（－2）＝－16.
（4）设，则＝（1＋lg2）lg7＋（lg7－1）（－lg2）＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.
（5）原式＝（1－lg2）（3＋3lg2）＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3（1－lg2）（1＋lg2）＋3lg22－2＝3（1－lg22）＋3lg22－2＝3－2＝1.
（6）原式.
8．解：设经过x年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a（1＋8%），经过2年，总产值为a（1＋8%）2，……经过x年，总产值为a（1＋8%）x.
由题意得a（1＋8%）x＝2a，即1.08x＝2.
方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即．
方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴
．
答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．
百尺竿头
解：（1）∵18b＝5，∴log185＝b，又∵log189＝a，∴log182＝1－log189＝1－a.
∴.
2）∵loga8＋log2a＝4，∴3loga2＋log2a＝4，∴，
∴（log2a－1）（log2a－3）＝0，即log2a＝1或log2a＝3，∴a＝2或a＝8.
①当a＝2时，f（x）＝x2＋3是偶函数；当a＝8时，f（x）＝x8＋3也是偶函数．
∴f（x）是偶函数．
②当a＝2时，原式；当a＝8时，原式.
③∵g（x）＝2x或g（x）＝8x，且2与8都大于1，∴g（x）＝ax在R上是单调增函数．课后训练
千里之行
始于足下
1．函数的定义域为________．
2．已知a>0且a≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y＝ax与y＝loga（－x）的大致图象的序号是________．
3．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则a、b、c的大小关系是________．
4．（1）若函数f（x）＝logax（0（2）已知函数若f（a）≥2，则a的取值范围是________．
5．对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是________．
6．（1）已知log0.7（2m）（2）函数的值域是________．
（3）方程的解是________．
7．已知函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1），如果对于任意x∈[3，＋∞）都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范围．
8．在同一直角坐标下，画出函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝2－x＋1的图象．
百尺竿头
更进一步
求函数在2≤x≤4范围内的最值．
参考答案与解析
千里之行
1．
解析：要使解析式有意义，只需
即0<4x－3<1，
∴，∴函数的定义域为．
2．② 解析：y＝ax的图象只能在上半平面，y＝loga（－x）只能在左半平面，又因为函数y＝ax与y＝loga（－x）的增减性正好相反，所以只有②符合．
3．b又c＝log45>log44＝1
∴b4．（1） （2）（－∞，－1]∪[2，＋∞）
解析：（1）f（x）＝logax（0当x∈[a,2a]时，f（x）max＝f（a）＝1，f（x）min＝f（2a）＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即，
所以，即.
故由得.
（2）当a≤0时，，∴－a≥1，∴a≤－1；当a>0时，f（a）＝log2（a＋2）≥2＝log24. ∴a＋2≥4. ∴a≥2. ∴a的取值范围是a≤－1或a≥2.
5．（0，－2） 解析：法一：函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数为g（x）＝ax－3，而g（0）＝a0－3＝－2.
∴g（x）的图象都过点（0，－2）．
法二：∵f（－2）＝loga1＝0，∴函数f（x）的图象都过点（－2,0），
又∵原函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴其反函数的图象经过点（0，－2）．
6．（1）（1，＋∞） （2）[－2，＋∞） （3）x＝2
解析：（1）考查函数y＝log0.7x，它在（0，＋∞）上是单调减函数，
∵log0.7（2m）m－1>0.
由得m>1，即m的取值范围是（1，＋∞）．
（2）令t＝4x－x2，则t＝－（x－2）2＋4≤4，而在（0,4]上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值，∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞）（也可认为当x＝2时，t有最大值4，而为单调减函数，∴y有最小值且）．
（3）原方程可化为
即 ∴x＝2.
7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞）上：当a>1时，|f（x）|≥1?f（x）≥1?loga3≥1，
∴1当0∴.
综上可知，a的取值范围是．
8．解：∵f（x）的图象是由y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到的，的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y＝log2x与的图象，再经平移即得f（x）与g（x）的图象，如图所示．
百尺竿头
解：，令，则由于t关于x的函数在[2,4]上是单调减函数，∴，，即t∈[－2，－1]．
∴函数
其图象的对称轴为，开口向下．
∴g（t）在[－2，－1]上为单调增函数．
∴，
.函数的概念练习
1．若的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，则M∩N等于__________．
2．已知集合M＝{－1,2,1}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①x→x2；②x→x＋1；③x→；④x→．
其中能构成从M到N的函数的是__________．
3．下列函数中，与函数y＝x是同一函数的是________________________________．
①；
②；
③；
④；
⑤s＝t．
4．函数y＝＋1的值域是__________．
5．函数的定义域是__________．
6．设，则等于__________．
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f［g(1)］的值为__________；当g［f(x)］＝2时，x＝__________．
8．求下列函数的定义域和值域．
(1)；(2)．
9．已知，x∈R且x≠－1，g(x)＝x2＋2，x∈R．
(1)求f(2)和g(a)；
(2)求g［f(2)］和f［g(x)］．
10．换元思想是高中数学中的重要数学思想．我们在求函数定义域时，也有换元思想，如函数y＝f(x)的定义域为(1,3)，则函数y＝f(2x－1)的定义域，可由1＜2x－1＜3得(1,2)．试根据上述方法，解决下列问题：
(1)已知函数y＝f(x)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(3x－1)的定义域；
(2)已知函数y＝f(3x－1)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(x)的定义域；
(3)已知函数y＝f(3x－1)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(1－x)的定义域．
参考答案
1．解析：由题意，得M＝{x|x＞0}，N＝R，
则M∩N＝{x|x＞0}＝M．
答案：M
2．解析：因22＝4N，所以①不是函数．
因2＋1＝3N，所以②不是函数．
因，，，所以③是函数，显然④不是函数．
答案：③
3．解析：因为y＝＝|x|，所以①不是．
因为x－1≥0，x≥1，所以②不是．
因为＝x，所以③是．
因为x≠0，所以④不是．
因为s＝t的定义域和对应法则与y＝x的完全相同，所以⑤是．
答案：③⑤
4．解析：因为x≥0时，≥0，所以y≥1．
答案：［1，＋∞)
5．答案：{x|x＜0}
6．解析：，．
所以原式＝－1．
答案：－1
7．解析：f［g(1)］＝f(3)＝1；当g［f(x)］＝2时，f(x)＝2，x＝1．
答案：1 1
8．解：(1)由x－2≠0得定义域为{x|x≠2}，
由＝＝3＋≠3，
得值域为{y|y≠3}．
(2)由4－2x≥0得定义域为{x|x≤2}，
由≥0，－2≥－2，
得值域为［－2，＋∞)．
9．解：(1)，g(a)＝a2＋2．
(2)∵，
∴g［f(2)］＝，
f［g(x)］＝f(x2＋2)＝．
10．解：(1)由条件得－1≤3x－1≤3,0≤x≤，
所求定义域为．
(2)设t＝3x－1，由条件知－1≤x≤3，
所以－4≤3x－1≤8，
即－4≤t≤8．
所以y＝f(x)的定义域为［－4,8］．
(3)由(2)可知y＝f(x)的定义域为［－4,8］，
从而－4≤1－x≤8，
解得－7≤x≤5，
所求定义域为［－7,5］．函数的单调性练习
1．函数的单调递增区间为__________．
2．已知函数f(x)在R上是减函数，则满足＜f(1)的实数x的取值范围是__________．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且a＞0，则下列不等式成立的是__________．
①f(1)＞f(0)；②f(π)＞f(1)；③f(－)＜f(π)；④＞f(π)．
4．已知下列函数：①；②y＝－2x＋1；③y＝－2x2＋4x－1；④．则在区间［1，＋∞)上单调递增的函数是__________．
5．已知二次函数y＝2x2－(m－2)x＋m2－m在(1，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
6．若函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x＋2)＜f(3x－6)的解集为__________．
7．若f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)的单调增区间是__________．
8．已知函数则不等式f(x)＞2的解集为__________．
9．作出函数f(x)＝x2＋x－6的图象，并回答下列问题：
(1)当x取何值时f(x)≥0？
(2)写出函数的单调区间．
10．若二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，求f(2)的取值范围．
11．判断函数(a∈R，且a≠0)在区间(－1,1)内的单调性．
12．已知f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝x2－3．
(1)试求f(x)的单调区间；
(2)试判断x∈(2，＋∞)时，f［g(x)］的单调性；
(3)试猜想f［g(x)］的单调区间(不必写过程，只写结果)．
参考答案
1．答案：
2．答案：(－1,0)∪(0,1)
3．答案：②
4．答案：①④
5．答案：(－∞，6］
6．答案：(4，＋∞)
7．答案：(－∞，1)
8．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．解：由f(x)＝x2＋x－6＝得顶点坐标，
又与坐标轴交点坐标为(－3,0)，(2,0)和(0，－6)，
所以作出如下图所示的图象．
(1)从图象可知，当x≥2或x≤－3时，f(x)≥0．
(2)对于，其定义域为(－∞，－3］∪［2，＋∞)，所以单调增区间为［2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－3］．
10．解：二次函数f(x)在区间上是增函数，且抛物线开口向上，
故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，
故，解得a≤2，
f(2)＝22－(a－1)×2＋5＝11－2a．
所以f(2)≥7．
11．解：设x1，x2为区间(－1,1)内的任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝．
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x?2?1－1＜0，x?2?2－1＜0．
①当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
因此函数在区间(－1,1)上为减函数；
②当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
因此函数在区间(－1,1)上为增函数．
12．解：(1)由f(x)＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，
可知函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)设x1＞x2＞2，
则g(x1)＝－3，g(x2)＝－3，
从而g(x1)＞g(x2)＞1．
由(1)可知f［g(x1)］＜f［g(x2)］，
从而f［g(x)］在(2，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(－2,0)或x∈(2，＋∞)时函数f［g(x)］单调递减，
当x∈(－∞，－2)或x∈(0,2)时函数f［g(x)］单调递增．指数函数的定义及性质练习
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是______．
①y＝(－2)x ②y＝5x
③y＝－2x ④y＝ax＋2(a＞0且a≠1)
2．设a＝40．9，b＝80．48，，则a，b，c的大小关系是__________．
3．若指数函数的图象经过点，则f(2)＝__________．
4．函数的定义域是__________．
5．若0＜a＜1，记m＝a－1，，，则m，n，p的大小关系是__________．
6．已知集合M＝{－1,1}，，则M∩N＝__________．
7．如图是指数函数：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是__________．
8．已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0．其中不可能成立的关系式有__________．
9．若函数求不等式|f(x)|≥的解集．
10．设0≤x≤2，求函数y＝4x－2·2x＋1＋1的值域．
参考答案
1．答案：②
2．解析：因为a＝40．9＝21．8，b＝80．48＝21．44，＝21．5，
所以由指数函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增知a＞c＞b．
答案：a＞c＞b
3．解析：设f(x)＝ax，则a－3＝，a＝2，
所以f(x)＝2x，f(2)＝22＝4．
答案：4
4．解析：由条件得2x－1－8≥0，即x－1≥3，x≥4．
所求定义域为［4，＋∞)．
答案：［4，＋∞)
5．解析：∵0＜a＜1，
∴y＝ax在R上为单调递减函数．
∵－＜－1＜－，
∴p＜m＜n．
答案：p＜m＜n
6．解析：由＜2x＋1＜4，得－1＜x＋1＜2，－2＜x＜1．
又x∈Z，∴x＝－1或0．所以N＝{－1,0}．
从而M∩N＝{－1}．
答案：{－1}
7．解析：利用特殊值法判断．
答案：b＜a＜d＜c
8．解析：在同一坐标系中作出与的图象，如下图所示，由图象可知当a＜b＜0，或0＜b＜a，或a＝b＝0时才有可能成立，故不成立的关系式为③0＜a＜b和④b＜a＜0．
答案：③④
9．解：当x＜0时，原不等式化为，
即|x|≤3，－3≤x＜0；
当x≥0时，原不等式化为，
即3－x≥3－1,0≤x≤1．
综上所述，所求解集为［－3,1］．
10．解：设2x＝t，因为0≤x≤2，所以1≤t≤4．
所以原函数可化为y＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3，1≤t≤4．
因为对称轴t＝2∈［1,4］，
所以当t＝2，即2x＝2，x＝1时，y有最小值－3．
又因为端点t＝4较t＝1离对称轴t＝2远，
所以当t＝4，即2x＝4，x＝2时，y有最大值1．
故函数的值域为［－3,1］．指数函数的图象及性质练习
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向右平移__________个单位长度，再向下平移__________个单位长度．
2．若函数y＝ax－b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有__________．
3．函数y＝－ex的图象与y＝e－x的图象关于__________对称．
4．已知函数y＝4x－3·2x＋3的值域为［1,7］，则x的取值范围是__________．
5．若a＞1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过第__________象限．
6．把函数y＝ex的图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到图象对应的解析式是________．
7．函数y＝ax－3＋3(a＞0且a≠1)恒过定点________．
8．若函数f(x)＝2－|x－1|－m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是__________．
9．已知函数，
(1)判断该函数的奇偶性；
(2)证明函数在定义域上是增函数．
10．求下列函数的单调区间：
(1)y＝|2x－2|；(2)y＝2－|x|．
11．已知函数f(x)＝·x3(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性．
12．是否存在实数m，使得函数f(x)＝x2·为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．答案：3 1
2．解析：根据题意作出如图所示的图象，
从而0＜a＜1，且b＋1＞1，即b＞0．
答案：0＜a＜1且b＞0
3．解析：若点(x，y)在函数y＝－ex上，
则－y＝ex＝e－(－x)，说明点(－x，－y)在函数y＝e－x的图象上．
答案：坐标原点
4．解析：y＝(2x)2－3·2x＋3＝，所以当x∈(－∞，0］时，2x∈(0,1］，此时y∈［1,3)，符合题意．当x∈［1,2］时，2x∈［2,4］，此时y∈［1,7］，符合题意．
答案：(－∞，0］∪［1,2］
5．解析：作出如图所示的图象，可知图象不经过第二象限．
答案：二
6．答案：y＝ex＋2－3
7．解析：令x－3＝0，即x＝3，
则ax－3＋3＝a3－3＋3＝4，
所以函数y＝ax－3＋3恒过定点(3,4)．
答案：(3,4)
8．解析：∵－|x－1|≤0，
∴0＜2－|x－1|≤1．
要使函数f(x)与x轴有交点，只需0＜m≤1即可．
答案：(0,1］
9．(1)解：因为＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)证明：定义域为x∈R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因此f(x)在R上单调递增．
10．解：(1)y＝|2x－2|＝其图象如下图所示．由图象可得函数y＝|2x－2|的单调递增区间为［1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
(2)y＝2－|x|＝其图象如下图所示．
由图象可得函数y＝2－|x|的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为［0，＋∞)．
11．解：(1)由题意得ax－1≠0，x≠0，
所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)因为f(－x)＝(－x)3＝(－x3)＝x3＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
12．解：因为g(x)＝x2为R上的偶函数，故要使f(x)为奇函数，只需h(x)＝为奇函数．
假设h(x)为奇函数，则h(x)＋h(－x)＝0，
即＋＝0，＋＝0．
去分母，得(3x－m)(1＋m·3x)＋(3x＋m)(1－m·3x)＝0．
整理得2·3x·(1－m2)＝0，解得m＝±1．
经检验，当m＝±1时，f(x)为奇函数．
故存在m＝±1，使函数f(x)为奇函数．子集、全集、补集练习
1．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0且y＜0}，则集合M与P的关系是________．
2．已知集合{2x，x2－x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是________．
4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N
}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N
}，则M与P的关系是________．
5．已知全集U＝Z，A＝{x|x＝2k，k∈Z}，则U
A＝________．
6．设A，B为两个集合，下列四种说法：
①AB对任意x∈A，有xB；②ABA和B无公共元素；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB．
其中正确的是__________．
7．设集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是________．
8．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1A，且k＋1A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有________个．
9．设全集U＝{2,4，－(a－3)2}，A＝{2，a2－a＋2}，若UA＝{－1}，试求实数a的值．
10．已知非空集合P满足：①P{1,2,3,4,5}，②若a∈P，则(6－a)∈P，符合上述条件的非空集合P有多少个？写出这些集合来．
11．集合P＝{x|x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，x∈R}．
(1)若b＝4，存在集合M使得PMQ，求出这样的集合M．
(2)P能否成为Q的一个子集？若能，求b的值或取值范围；若不能，请说明理由．
参考答案
1．答案：M＝P
2．答案：{x|x≠0，且x≠3，x∈R}
3．答案：7
4．答案：MP
5．答案：{x|x＝2k＋1，k∈Z}
6．答案：④
7．答案：{a|a≤－2}
8．答案：6
9．解：由条件得－(a－3)2＝－1，
解之，得a＝2或4．
当a＝2时，a2－a＋2＝4∈U，成立；
当a＝4时，a2－a＋2＝14U，不合题意．
综上所述，a＝2．
10．分析：若1∈P，则6－1＝5∈P，故1,5这两个元素必须同时属于P或同时不属于P；
若2∈P，则6－2＝4∈P，故2,4这两个元素必须同时属于P或同时不属于P；
若3∈P，则6－3＝3∈P，故3这个元素属于P或不属于P．
解：符合条件的非空集合P有：{1,5}，{2,4}，{3}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．
11．解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×1×4＜0，故P＝，且Q＝{－4，－1,1}，
由已知M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．
(2)①当P＝时，P显然是Q的一个子集，
此时Δ＝9－4b＜0，∴b＞．
②当P≠时，Q＝{－4，－1,1}，可以通过假设存在性成立，逐一验证来判断b的取值．
即，若当－1∈P时，(－1)2－3×(－1)＋b＝0，b＝－4，此时x2－3x－4＝0，得x1＝－1，x2＝4．
∵4Q，∴P不是Q的一个子集．
若－4∈P时，(－4)2－3×(－4)＋b＝0，得b＝－28，此时由x2－3x－28＝0，得x1＝－4，x2＝7，
∵7Q，∴P不是Q的一个子集．
若1∈P时，12－3×1＋b＝0，b＝2，此时由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2．
∵2Q，∴P不是Q的一个子集．
综上，满足题意的b的取值范围是．课后训练
千里之行
始于足下
1．下列对应中，能构成集合A到集合B的映射的序号是________．
①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2；③A＝R，B＝{y|y>0}，f：；④A＝B＝R，f：x→2x＋1.⑤A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}；f：x→x2－2x＋2.
2．已知映射f：A→B，其中，集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是________．
3．已知f：x→|x|＋1是集合A＝R到集合B＝{x|x>0}的一个映射，则B中的元素8在A中的原象是________．
4．已知A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________．
5．给出下列两个集合间的对应关系
①A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：x→2x；
③A＝B＝R，f：；
④A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→x4；
⑤A＝{江苏，浙江、山东、广东}，B＝{南京、杭州、济南、广州}，f：A中每个省对应B中的一个省会城市，其中映射的个数是________，是函数的序号为________．
6．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到的密文为14,9,23,28时，对应的明文为________．
7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
8．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B.
百尺竿头
更进一步
设集合A＝B＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，f是A到B的映射，并满足f：（x，y）→（－xy，x－y）．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求当B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
参考答案与解析
千里之行
1．①④⑤ 解析：∵A中元素0在B中无对应元素，
∴②不是集合A到B的映射，
∵0无倒数．
∴0∈A,0在B中无象，
∴③不能构成映射．
2．4 解析：由题意，知对应法则是f：a→|a|，
∴A中的3和－3对应的象是3，－2和2对应的象是2，－1和1对应的象是1,4对应的象是4，
∴B＝{1,2,3,4}，故B中元素有4个．
3．±7 解析：设原象为x，则|x|＋1＝8，即|x|＝7，∴x＝±7即8对应A中的原象为±7.
4．9 解析：∵A中有2个元素，B中有3个元素，∴A到B的映射共有32＝9个．
5．4 ②④ 解析：①⑤是映射，由于A、B不是数集，故不是函数，②④是映射，也是函数，③A中非正实数在B中无象，所以不是映射，更不是函数．
6．6,4,1,7 解析：由题意知 解得
∴对应明文为6,4,1,7.
7．解：（1）是A到B的映射．
（2）∵A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
（3）该对应是A到B的映射．
（4）A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
8．解：∵1的象是4,7的原象是2，
∴可以判断A中的元素3的象要么是a4，要么是a2＋3a.
由a4＝3×3＋1＝10，且a∈N知，a不存在．
∴a2＋3a＝10，解得a＝－5（舍去），a＝2.
又集合A中的元素k的象3k＋1＝a4＝16.，
∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
百尺竿头
解：（1）设（x，y）是（3，－4）的原象，于是解之，得或
∴（3，－4）在A中的原象是（－1,3），（－3,1）．
（2）设任意（a，b）∈B，在A中有原象（x，y）应满足
由②式可得y＝x－b.代入①式得 x2－bx＋a＝0. ③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，③式有实数根，因此只有当B中元素满足b2－4a≥0时，在A中才有原象．
（3）由以上（2）的解题过程，知只有当B中元素满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原象，故a、b所满足的关系式为b2＝4a.课后训练
千里之行
始于足下
1．设A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝________.
2．设全集U＝{x∈N
|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则（A∪B）＝________.
3．设集合A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则满足C?（A∩B）的集合C的个数为________．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
5．已知S＝{x|x2－px＋6＝0}，M＝{x|x2－2x＋q＝0}，且S∩M＝{3}，则p＋q＝________，S∪M＝________.
6．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的值为________．
7．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，，求A∩B，A∪B，（B）∪P，（A∩B）∩（P），并用区间表示．
8．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
百尺竿头
更进一步
已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足BA，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的取值；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．（－1,0） 解析：A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜0}＝{x|－1＜x＜0}．
2．{2,4} 解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴（A∪B）＝{2,4}．
3．2 解析：．
∵C?A∩B，∴集合C的个数有2个，分别为?，{（1,2）}．
4．（2,4] 解析：∵A∪B＝A，∴B?A，又B≠?，∴
解得2＜m≤4.∴实数m的取值范围是（2,4]．
5．2 {－1,2,3} 解析：∵3∈S，∴32－3p＋6＝0，解得p＝5，
由3∈M，得32－2×3＋q＝0，∴q＝－3. ∴p＋q＝2，将p＝5，q＝－3.
代入原方程，得S＝{2,3}，M＝{－1,3}，∴S∪M＝{－1,2,3}．
6．0或 解析：∵A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}．
∴A∪B＝A，即B?A ∴x2＝3，或x2＝x.
①当x3＝3时，，，则，B＝{1,3}，符合题意；
若，则，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，x＝0，或x＝1，若x＝0；则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．综上可知，x的值为0或.
7．解：A∩B＝{x|－1＜x＜2}，用区间表示为A∩B＝（－1,2）；
A∪B＝{x|－4≤x≤3}，用区间表示为A∪B＝[－4,3]；
∵B＝{x|x≤－1，或x＞3}，，
∴，用区间表示为；
（A∩B）∩（P）＝{x|0＜x＜2}，用区间表示为（A∩B）∩（P）＝（0,2）．
8．解：∵A∩B＝{9}．∴9∈A ∴2a－1＝9，或a2＝9.
（1）若2a－1＝9，则a＝5.此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}．
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
（2）若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}．
B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．
综上可知，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
百尺竿头
解：存在．∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|（x－1）[x－（a－1）＝0]}，
又∵B?A，∴a－1＝1，∴a＝2.
∵A∪C＝A，∴C?A.∴有以下三种情况：
①当C＝?时，方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8＜0，∴.
②当C＝{1}或C＝{2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－8＝0，∴.此时，或，不符合题意，舍去．
③当C＝{1,2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个不相等的实数根，由根与系数的关系知，b＝1＋2＝3.两根之积为2.
综上所述，存在a＝2，b＝3，或满足条件．对数的运算性质练习
1．下列四个命题中，是真命题的有__________．
①lg
2lg
3＝lg
5；
②lg23＝lg
9；
③若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab；
④若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
2．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是__________．
①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
3．已知f(x5)＝lg
x，则f(2)＝__________.
4．已知lg
2＝a，lg
3＝b，则log36＝__________.
5．已知logbx－logby＝a，则logb5x3－logb5y3＝______.
6．设a＞0，，则＝__________.
7．已知11.2a＝1
000,1.12b＝1
000，则＝____.
8．已知函数f(x)满足：当x≥4时，；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.
9．若函数y＝x2＋(log2N)x＋log2N有最小值，求正数N.
10．设p，q满足log9p＝log12q＝log16(p＋q)，求的值．
11．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出声压级y与声压P的函数关系式．
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
(3)假设某会场内掌声的声压级为90分贝，求声压P.
参考答案
1．解析：本题易错选①或②或③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是lg
2＋lg
3＝lg
5；②中的lg23表示(lg
3)2，它与lg
32＝lg
9意义不同；③中的logaM＋N表示(logaM)＋N，它与loga(M＋N)意义不同；④中等式可化为log2M－log2N＝log3M－log3N，
即，所以M＝N.
答案：④
2．解析：在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
在②中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立．
在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.
在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以只有②正确．
答案：②
3．解析：令x5＝t，则.
所以．则f(2)＝lg
2.
答案：lg
2
4．解析：log36＝.
答案：
5．解析：原式＝(logb5＋logbx3)－(logb5＋logby3)＝3logbx－3logby＝3a.
答案：3a
6．解析：由条件得，
所以
答案：3
7．解析：由条件得a＝log11.21
000＝，
b＝log1.121
000＝，
从而＝.
答案：
8．解析：∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝＝.
答案：
9．解：y＝x2＋(log2N)x＋log2N＝(x＋log2N)2－(log2N)2＋log2N.所以x＝－log2N时，
ymin＝log2N－(log2N)2，
即log2N－(log2N)2＝.
所以(log2N＋1)(log2N－5)＝0.
所以log2N＝－1或log2N＝5.
从而N＝或N＝32.
10．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于的一元二次方程，再由求根公式求得的值．
解：设log9p＝log12q＝log16(p＋q)＝k，
∴p＝9k，q＝12k，p＋q＝16k.∴16k＝12k＋9k.
∴＝1＋.∴－－1＝0.
设＝x，x＞0，则x2－x－1＝0，
解得.∵x＞0，∴.
又∵，∴.
11．分析：(1)由已知条件即可写出声压级y与声压P之间的函数关系式；(2)由函数关系式求得当P＝0.002帕时，声压级y的值，由此可判断所在区的声音环境；(3)实际上是已知y的值求P的值，代入函数关系式，解对数方程可得声压．
解：(1)由已知得(其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002帕时，＝20lg
102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为无害区，环境优良．
(3)由题意，得90＝20lg，则＝104.5，
所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．集合的含义及其表示练习
1．给出下列关系：①∈R；②Q；③4.5∈Q；④0∈N
，其中正确的个数为________．
2．已知集合S＝{a，b，c}中三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是__________三角形．
3．由实数a，－a，|a|所组成的集合最多含有________个元素．
4．下列四个集合中，表示空集的是__________．
①{0}；
②{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}；
③{x||x|＝5，x∈Z，xN}；
④{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}．
5．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则有17__________A，－5__________A．
6．下列给出的5种说法中，正确说法的序号是________(填上所有正确说法的序号)．
①任意一个集合的正确表示方法都是惟一的；
②集合{0，－1,2，－2}与集合{－2，－1,0,2}相等；
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1(x∈R)的x的集合，则这个集合是无限集；
④已知a∈R，则aQ；
⑤集合{x|x＝2k－1，x∈Z}与集合{y|y＝2s＋1，s∈Z}相等．
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，试用列举法表示集合A＝{x|x2－4x－a＝0}为__________．
8．定义集合A
B＝{x|x∈A且xB}．已知A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A
B＝__________．
9．已知集合A＝{2，a，b}与集合B＝{2a,2，b2}恰好相等，试求a，b的值，并写出这个集合．
10．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
11．用集合的形式表示不等式组的解集．
12．已知集合A＝{x∈R|m2x2－n＝0}，当m，n满足什么条件时，集合A是有限集、无限集、空集？
参考答案
1．答案：3
2．答案：等腰
3．答案：2
4．答案：④
5．答案：∈
6．答案：②③⑤
7．答案：A＝{2}
8．答案：{1,7}
9．解：由条件可得或
解得或或
其中舍去．
从而这个集合为A＝B＝{2,0,1}或A＝B＝．
10．解：当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，，符合题意；
当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得，
即当时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实根，符合题意；
综上可知，m＝0或．
11．解：由不等式(x＋1)(x－1)＞(x－2)2，得，
由不等式－3＜＋1，得x＜24，
从而原不等式组的解集为．
12．解：∵m2x2－n＝0，∴m2x2＝n．
当m＝0，n＝0时，x∈R，A就是实数集，集合A是无限集．
当m≠0，n＝0时，x＝0，A＝{0}，集合A是有限集．
当m≠0，n＜0时，方程m2x2－n＝0无实根，集合A是空集．
当m≠0，n＞0时，方程m2x2－n＝0有两个不等的实根，，，集合A是有限集．
当m＝0，n≠0时，方程无实根，集合A为空集．
综上所述，当m＝0，n＝0时，集合A是无限集；
当m≠0，n＜0或m＝0，n≠0时，集合A是空集；
当m≠0，n≥0时，集合A是有限集．对数函数的概念与性质练习
1．设a＝lg
e，b＝(lg
e)2，，则a，b，c的大小关系是__________．
2．下列函数中，与函数有相同定义域的是__________．
①f(x)＝ln
x；②；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ex.
3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x|1＜x＜3}，那么P－Q＝__________.
4．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是__________．
①3y＜3x；②logx3＜logy3；③log4x＜log4y；④.
5．函数的定义域为__________．
6．函数y＝lg(x2＋4x＋14)的值域为__________．
7．函数＋log2(x－1)的值域是__________．
8．设a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则a，b，c的大小关系是__________．
9．设函数试求方程f(x)＝4的解集．
10．解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
11．求函数y＝()2－＋5在x∈[2,4]上的值域．
12．设x≥0，y≥0，且x＋2y＝，求函数T＝(8xy＋4y2＋1)的最大值与最小值．
参考答案
1．答案：a＞c＞b
2．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，而函数f(x)＝ln
x的定义域也是(0，＋∞)．
答案：①
3．解析：先解不等式，得P＝{x|0＜x＜2}．
由P－Q定义，得P－Q＝{x|0＜x≤1}．
答案：{x|0＜x≤1}
4．答案：③
5．解析：由得0＜x≤，且x≠.
所以所求函数的定义域是∪.
答案：∪
6．解析：因为x2＋4x＋14＝(x＋2)2＋10，
所以y∈[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
7．解析：由得x≥3，
此时x－1≥2.log2(x－1)≥1，
所以所求值域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
8．解析：因为c＝log0.76＜0,0＜0.76＜1,60.7＞1，
所以a＞b＞c.
答案：a＞b＞c
9．解：由得x＝2；由得x＝16.
所以所求方程的解集为{2,16}．
10．解：当a＞1时，原不等式等价于无解；
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解之，得x＞4.
∴当a＞1时，原不等式的解集为；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
11．解：y＝()2－＋5＝(－1)2＋4.
当x∈[2,4]时，∈.
所以值域为.
12．解：∵x＋2y＝，∴2y＝－x.
设P＝8xy＋4y2＋1
＝
＝－3x2＋x＋＝，
又∵x≥0，y≥0，x＋2y＝，
∴－x＝2y≥0，即x≤.
∴0≤x≤，在此范围内，当x＝时，P的最大值为；当x＝时，P的最小值为1.
∵0＜＜1，∴是减函数．
因此，函数(8xy＋4y2＋1)的最大值是，最小值是.分数指数幂练习
1．下列说法中正确的有__________个．
①－2是16的四次方根；
②正数的n次方根有两个；
③a的n次方根就是；
④＝a(a≥0)．
2．下列各数中，最大的数是__________．
①；②；③?；④2－1．
3．以下各式中错误的是__________．
①＝1(a＞0)；
②＝a－4b6(a，b＞0)；
③＝24y(x，y＞0)；
④(a，b，c＞0)．
4．当a＜b时，的值是__________．
5．将用分数指数幂表示的结果是____．
6．若am＝2，an＝3，则＝________．
7．已知a＋＝3，则＝__________．
8．化简：(1)＝________；
(2)(a＞0，b＞0)＝________．
9．计算：(1)
(2)．
10．已知，，求的值．
11．已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)；(3)a3＋a－3．
12．已知a＞0，对于0≤r≤8，r∈N
，式子能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？
参考答案
1．解析：从n次方根和n次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系．此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据．
①正确，由(－2)4＝16可验证．
②不正确，要对n分奇偶讨论．
③不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值．
④正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时＝a是正确的；当n为偶数时，若a≥0，则有＝a．综上，当a≥0时，无论n为何值均有＝a成立．
答案：2
2．解析：因为，，，，所以最大．
答案：③
3．解析：对于①，因为＝a0＝1，
所以正确．
对于②，原式＝a－4b6，正确．
对于③，原式＝，正确．
对于④，原式＝．
答案：④
4．解析：原式＝|a－b|＋(a－b)＝0．
答案：0
5．解析：原式＝
＝＝．
答案：
6．解析：a3m－n＝，
∴＝．
答案：
7．解析：∵a和的符号相同，a＋＝3＞0，
∴a＞0．
∴＞0．
又＋2＝3＋2＝5，
∴．
答案：
8．解析：(1)原式＝＝＝＝；
(2)原式＝＝＝ab－1．
答案：(1) (2)ab－1
9．分析：指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算．
解：(1)原式＝
＝；
(2)原式＝
＝2＋4×27＝110．
10．分析：先化简，后求值．
解：＝＝＝1．
11．解：(1)方法一：由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23；
方法二：a2＋a－2＝a2＋2＋a－2－2＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23．
(2)∵＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴．∴．
(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)
＝(a＋a－1)(a2＋2＋a－2－3)
＝(a＋a－1)［(a＋a－1)2－3］
＝5×(25－3)＝110．
12．
分析：把化为指数式，再分类讨论其指数为整数的有哪几种情形．
解：∵＝＝，∴是整数．∵0≤r≤8，r∈N
，∴r＝4或8．
∴式子能化为关于a的整数指数幂，有2种情形．函数的奇偶性练习
1．奇函数f(x)在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f(x)在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．
2．函数f(x)是R上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．
①f(－2)＞f(0)＞f(1)；②f(－2)＞f(1)＞f(0)；
③f(1)＞f(0)＞f(－2)；④f(1)＞f(－2)＞f(0)．
3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．
①f(x)＝x＋；②f(x)＝x2－；
③；④f(x)＝x|x|．
4．下列函数是奇函数的是__________．
①；②y＝－3x2；③y＝－|x|；④y＝πx3－x；⑤y＝x3·|x|．
5．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有__________．(填最值情况)
6．设函数为奇函数，则a＝__________．
7．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为__________．
8．已知f(x)＝x3＋，且f(a)＝1，则f(－a)＝____．
9．判断函数的奇偶性．
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性并说明理由．
11．若函数当a为何值时，f(x)是奇函数？
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3．
(1)求f［f(－1)］的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)求函数f(x)在区间［t，t＋1］(t＞0)上的最小值．
参考答案
1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．
答案：增 大 －5
2．解析：由条件得f(－2)＝f(2)，
因为f(x)在［0，＋∞)上单调递增，
所以f(0)＜f(1)＜f(2)，
即f(－2)＞f(1)＞f(0)．
答案：②
3．解析：由定义可知①④是奇函数，
但对于函数f(x)＝x＋来说，
当x＝时，＝，
当x＝时，＝，
所以①不是递增函数．
答案：④
4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f(－x)与－f(x)的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R，可得f(－x)＝－f(x)，则它们是奇函数．
答案：④⑤
5．解析：由条件得f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＝－aφ(x)－bg(x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，它的图象关于原点对称．
答案：最小值－5
6．解析：由f(－x)＋f(x)＝0得＝0，解得a＝－1．
答案：－1
7．解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x．
综上所述，
答案：
8．解析：f(x)＝x3＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因此f(－a)＝－f(a)＝－1．
答案：－1
9．解：f(x)的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．
当x∈(－6，－1］时，－x∈［1,6)，
f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈［1,6)时，－x∈(－6，－1］，
f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－6，－1］∪［1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
10．解：当a＝0时，f(x)＝x2对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，不妨取x＝±1，
f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
所以函数既不是奇函数又不是偶函数．
11．解：假设f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x．
又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，
∴－f(x)＝x2－x．
∵f(－x)＝－f(x)，
即ax2－x＝x2－x，
∴a＝1．
下面证明是奇函数．
证明：当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)
＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x≤0时，－x≥0，
则f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
于是
∴f(－x)＝－f(x)．
∴假设成立，a＝1．
12．解：(1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，故f［f(－1)］＝f(0)，
由奇函数的性质知f(0)＝0，
从而有f［f(－1)］＝0．
(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，
故f(x)＝－f(－x)
＝－［(－x)2－4(－x)＋3］
＝－x2－4x－3．
综上所述，
(3)当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，对称轴为x＝2．
当0＜t≤1时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的左侧，此时f(x)min＝f(t＋1)＝t2－2t；
当1＜t≤2时，对称轴在区间［t，t＋1］(t＞0)内部，此时f(x)min＝f(2)＝－1；
当t＞2时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的右侧，此时f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3．
综上所述，