湖南省醴陵二中、醴陵四中2017-2018学年高二上学期期中联考数学（理）试题

醴陵二中，醴陵四中
2017年下学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷
命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、已知椭圆的方程为，则此椭圆的长轴长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D.
2、若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．-5
4、等比数列的前n项和为，已知，则=（ ）
A． B. C. D.
5、由给出的数列的第54项为（ ）
A． B． C． D．
6、在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7、下列说法错误的是（ ）
A．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．若且为假命题，则、均为假命题．
D．命题：存在使得．则：任意， 均有．
8、已知中，分别是角的对边，若，则（ ）
A． B． C． D．
9、不等式的一个充分不必要条件是( )
A．－10、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
11、已知点P为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，且。 则 ( )
A． B、 C、 D、
12、将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律,第100 行从右向左的第20个数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、方程,化简的结果是 。
14、若满足约束条件，则的取值范围为 。
15、已知,方程为的曲线关于直线对称,则的最小值为 。
16、记项正项数列为，其前项积为，定义为“相对叠乘积”，如果有项的正项数列的“相对叠乘积”为，则有项的数列的“相对叠乘积”为 。
三、解答题：（共70分）
17、（本小题满分10分）已知的周长为，且．
（1）求边长的值；
（2）若，求的值．
18、( 本小题满分12分)设命题p：实数满足，其中，
命题q：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19、( 本小题满分12分) 已知是正项等差数列，的前项和记为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的通项为，为数列的前项和，证明：．

20、(本小题满分分)如图，是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线上找一点，修一条长为米的观光大道，在边角线上.
（1）若，求的值；
（2）现保洁需要，在内的一点添置垃圾箱及修条通道、，由美化要求
,求通道的最大路径。
21、(本小题满分12分)已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
22、（本题满分12分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，
试证明：当时，弦的长为定值.
醴陵二中，醴陵四中
2017年下学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷
命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、已知椭圆的方程为，则此椭圆的长轴长为（ A ）
A. 8 B. 9 C. 10 D.
2、若，则下列不等式中正确的是（ D ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( D )
A．79 B．69 C．5 D．-5
4、等比数列的前n项和为，已知，则=（ A ）
A． B. C. D.
5、由给出的数列的第54项为（ B ）
A． B． C． D．
6、在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为（ A ）
A． B．2 C． D．4
7、下列说法错误的是（ C ）
A．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．若且为假命题，则、均为假命题．
D．命题：存在使得．则：任意， 均有．
8、已知中，分别是角的对边，若，则（ C ）
A． B． C． D．
9、不等式的一个充分不必要条件是( B )
A．－10、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ C ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
11、已知点P为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，且。 则 ( D )
A． B、 C、 D、
12、将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律,第100 行从右向左的第20个数为（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、方程,化简的结果是
14、若满足约束条件，则的取值范围为 .
15、已知,方程为的曲线关于直线对称,则的最小值为7+4
16、记项正项数列为，其前项积为，定义为“相对叠乘积”，如果有项的正项数列的“相对叠乘积”为，则有项的数列的“相对叠乘积”为
三、解答题：（共70分）
17、（本小题满分10分）已知的周长为，且．
（1）求边长的值； （2）若，求的值．
解: （1）根据正弦定理，可化为． 2分
联立方程组，解得． 5分
（2）， ． 7分
又由（1）可知，，
∴由余弦定理得 10分
18、( 本小题满分12分)设命题p：实数满足，其中，
命题q：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：(1)由得.
当时，，
即为真命题时，实数的取值范围是. 2分
由解得. 4分
所以为真时，实数的取值范围是.
若为真，则，所以实数的取值范围是(2,3). 6分
(2) 是的必要不充分条件，
设， 8分
则真包含于,所以且，即. 10分
所以实数的取值范围是(1,2]. 12分
19、( 本小题满分12分) 已知是正项等差数列，的前项和记为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的通项为，为数列的前项和，证明：．
解：（1）设的公差为，由已知得 2分
解得，或（与题意“是正项等差数列”不符，舍去） 4分
的通项公式为 5分
（2）由⑴得 6分
8分

10分
又,, ,
成立。 12分
20、(本小题满分分)如图，是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线上找一点，修一条长为米的观光大道，在边角线上.
（1）若，求的值；
（2）现保洁需要，在内的一点添置垃圾箱及修条通道、，由美化要求
解：设,
6分
8分
10分
11分
所以的最大路径是米。 12分
21、(本小题满分12分)已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
解:(1)证明：由题意知，an＝n(n∈N＋)，
∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，
∴bn＋1－bn＝3logan＋1－3logan＝3log＝3logq＝3，
∴数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝3的等差数列． 4分
(2)由(1)知，an＝n，bn＝3n－2(n∈N＋)，
∴cn＝(3n－2)×n(n∈N＋)，
∴Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－5)×n－1＋(3n－2)×n；
于是Sn＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1，
6分
两式相减得
Sn＝＋3－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1.
∴Sn＝－×n＋1(n∈N＋)． 8分
(3)∵cn＋1－cn＝(3n＋1)·n＋1－(3n－2)·n＝9(1－n)·n＋1(n∈N＋)，
∴当n＝1时，c2＝c1＝，
当n≥2时，cn＋1＜cn，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞cn，
∴当n＝1或2时，cn取得最大值是. 10分
又cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，
∴m2＋m－1≥，
即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.
故实数m的取值范围为{m|m≥1或m≤－5}． 12分
22、（本题满分12分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，
试证明：当时，弦的长为定值.
解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，
则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为. 4分
（2）证明：①当弦轴时，交点关于轴对称，又则，可设，得，此时原点到弦的距离；
6分
②当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，
联列方程组 代入消元得： 7分
由可得 8分
由得即
， 所以 10分
此时成立，
则原点到弦的距离
综上得原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值.
12分