1 简谐运动
主动成长
夯基达标
1.简谐运动属于（ ）
A.匀速直线运动 B.匀加速运动 C.变速运动 D.匀变速运动
思路解析：由简谐运动的位移?时间图象是正弦函数图象可知：物体的速度大小和方向都做周期性变化，远离平衡位置时加速度逐渐增大，由此可判定简谐运动是变速运动.
答案：C
2.一个弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A.加速度最大时，速度也最大 B.速度最大时，位移最大
C.位移最大时，加速度最大 D.位移最小时，速度最大
思路解析：由弹力表达式F=kx可知，做简谐运动的物体位移最大时，所受弹力最大，由F=ma知，物体的加速度最大;由简谐运动特点知，位移最大时，速度为零;当振子回到平衡位置时，物体速度最大，加速度等于零，故CD正确.21·世纪*教育网
答案：CD
3.下列运动中属于机械振动的有（ ）
A.树枝在风的作用下的运动 B.竖直向上抛出的物体的运动
C.说话时声带的运动 D.爆炸声引起窗扇的运动
思路解析：物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动.故A、C、D选项正确.
答案：ACD
4.物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体（ ）
A.在A点和A′点的位移相同 B.在两点处的速度可能相同
C.在两点处的加速度可能相同 D.在两点处的动能一定相同
思路解析：由于A、A′关于平衡位置对称，所以物体在A、A′点时位移大小相等方向相反；速率一定相同，但速度方向可能相同也可能相反；加速度一定大小相等方向相反；动能一定相同.正确选项B、D.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：BD
5.一质点做简谐运动的图象如图11-1-6所示，在4 s内具有最大负方向速度和具有最大正方向加速度的时刻分别是（ ）2-1-c-n-j-y
图11-1-6
A.1 s 4 s B.3 s 2 s C.1 s 2 s D.3 s 4 s
思路解析：质点具有最大速度处是在平衡位置，由图中看是1 s处和3 s处，在1 s处振子将向负最大位移处移动，所以此处速度为负，而3 s处速度为正向最大.在2 s和4 s处都有最大位移，所以此二处都有最大加速度，又因为加速度方向应指向平衡位置，所以在2 s处有正方向的最大加速度，4 s处有负方向最大加速度，正确答案为C.
答案：C
6.如图11-1-7所示是一弹簧振子的振动图象，开始在0.1 s内振子的平均速率和每秒钟通过的路程为（ ）21·cn·jy·com
图11-1-7
A.4 m/s 4 m B.4 m/s 4 cm C.0.4 m/s 0.4 m D.4 m/s 0.4 m
思路解析：由图象知，0—0.1 s内振子的位置由距平衡位置为2 cm的正向最大位置处运动至距平衡位置为-2 cm的负向最大位置处，由=0.4 m/s;1 s通过的路程s=20A=40 cm=0.4 m.www.21-cn-jy.com
答案：C
7.在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图象如图11-1-8所示.假设向右的方向为正方向，则物体加速度向右且速度向右的时间段是（ ）2·1·c·n·j·y
图11-1-8
A.0 s到1 s内 B.1 s到2 s内 C.2 s到3 s内 D.3 s到4 s内21*cnjy*com
思路解析：加速度方向与位移方向相反，故位移方向为负值时，加速度方向为正值，由图知应在2 s到4 s内；由x—t图象斜率知3 s到4 s内速度方向为正.故加速度和速度均向右（正值）的时间段是3 s到4 s内.D选项正确.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：D
8.如图11-1-9所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
图11-1-9 图11-1-10
（1）如图11-1-10所示的振子振动的起始位置是________，从初始位置开始，振子向________（填“右”或“左”）运动.www-2-1-cnjy-com
（2）在图11-1-10中，找出图象中的O、A、B、C、D各对应振动过程中的哪个位置？即O对应_________，A对应_________，B对应_________，C对应________，D对应________.
（3）在t=2 s时，振子的速度的方向与t=0时速度的方向_________.
（4）质点在前4 s内的位移等于_________.
思路解析：（1）由x-t图象知，在t=0时，物体在平衡位置，故起始位置为E；从t=0时刻开始，振子向正的位置处运动，即向右运动.【出处：21教育名师】
（2）由x-t图象知：O点、B点、D点对应平衡位置的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点.【版权所有：21教育】
（3）t=2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t=0时，斜率为正，速度方向为正方向.故两时刻速度方向相反.21教育名师原创作品
（4）4 s末振子回到平衡位置，故位移为零.
答案：（1）E 右 （2）E G E F E （3）相反 （4）0
走近高考
9.一简谐运动的图象如图11-1-11所示，在0.1 s—0.15 s这段时间内（ ）
图11-1-11
A.加速度增大，速度变小，加速度和速度的方向相同
B.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
思路解析：由图象可知，在0.1 s—0.15 s这段时间内，位移为负且增大，表明物体远离平衡位置运动，则加速度增大，速度减小，二者反向.21世纪教育网版权所有
答案：B
10.一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振子的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻弹簧振子的（ ）21教育网
A.速度一定大小相等，方向相反 B.加速度一定大小相等，方向相反
C.位移一定大小相等，方向相反 D.以上三项都不对
思路解析：由弹簧振子的运动规律知，当弹簧弹力大小相等、方向相反时，这两时刻振子的位移也大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，B、C正确.由于物体的运动方向在两时刻可能为同向，也可能为反向，故A、D错误.21cnjy.com
答案：BC
1 简谐运动
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基础·巩固
1.关于简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A.位移的方向总是指向平衡位置
B.加速度的方向总是跟位移的方向相反
C.位移的方向总是跟速度的方向相反
D.速度的方向总是跟位移的方向相反
解析：位移的方向总是由平衡位置开始，一般规定平衡位置向右为正；加速度的方向总是与位移的方向相反，速度的方向可以与位移的方向相反也可以与位移的方向相同.
答案：B
2.下列振动是简谐运动的是（ ）
A.手拍篮球的运动
B.弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定，这样组成的振动系统
C.摇摆的树枝
D.从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动
解析：从简谐运动的定义判断，振动物体在平衡位置附近的往复运动，位移与时间的关系遵从正弦函数的规律.
答案：B
3.做简谐运动的质点在通过平衡位置时，下列物理量中具有最大值的物理量是（ ）
A.动能 B.加速度 C.速度 D.位移
解析：质点在通过平衡位置时速度最大，故动能最大.这里讲的位移都是以平衡位置为参考的，故此时位移为零.21cnjy.com
答案：AC
4.弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ）
A.振子所受的力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
解析：根据弹簧振子做简谐运动的特点可知，在振子向平衡位置运动的过程中位移逐渐减小，所受的力逐渐减小，故A、B两项错；振子的速度逐渐增大，故C选项错;振子的加速度逐渐减小，故D选项正确.21教育网
答案：D
5.一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的有（ ）
A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析：加速度的方向与位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为物体运动方向，与位移方向无关，可正可负，A选项错；通过平衡位置时，加速度为零，速度为最大值，且每次经过平衡位置时速度大小相等，但方向不一定相同，B、C两项错；每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相同，但方向不一定相同，D选项对.21·cn·jy·com
答案：D
综合·应用
6.以弹簧振子为例，物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体（ ）
A.在A点和A′点的位移相同 B.在两点处的速度可能相同
C.在两点处的加速度可能相同 D.在两点处的动能一定相同
解析：由于A、A′关于平衡位置对称，所以物体在A、A′点时位移大小相等方向相反，速率一定相同，但速度方向可能相同也可能相反，加速度一定大小相等方向相反，动能一定相同.正确选项为B、D选项.www.21-cn-jy.com
答案：BD
7.一质点做简谐运动的图象如图11-1-9所示，在4 s内具有最大负方向速度和具有最大正方向加速度的时刻分别是（ ）2·1·c·n·j·y
图11-1-9
A.1 s，4 s B.3 s，2 s C.1 s，2 s D.3 s，4 s
解析：质点具有最大速度处是在平衡位置，由图中看是1 s处和3 s处，在1 s处振子将向负最大位移处移动，所以此处速度为负，而3 s处速度为正向最大，在2 s处和4 s处都有最大位移，所以此二处都有最大加速度，又因为加速度方向应指向平衡位置，所以在2 s处有正方向的最大加速度，4 s处有负方向最大加速度，正确答案为C选项.
答案：C
8.一简谐运动的图象如图11-1-10所示，在0.1—0.15 s这段时间内( )
图11-1-10
A.加速度增大，速度变小，加速度和速度的方向相同
B.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
解析：由图象可知，在0.1 s—0.15 s这段时间内，位移为负且增大，表明物体远离平衡位置运动，则加速度增大，速度减小，二者反向.21世纪教育网版权所有
答案：B
9.如图11-1-11所示，在弹簧振子的小球上安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线，为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
图11-1-11
解析：运动曲线可以用描点法画出，也可以用在振动物体上固定一记录装置方法画出，由于纸带的运动是匀速的，纸带的运动距离x=vt，时间t=，即时间t的大小可以用x的大小来表示.21·世纪*教育网
答案：用纸带的运动方向代表时间轴的方向，纸带的运动距离x可以代表时间t=，小球振动时，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线.www-2-1-cnjy-com
2 简谐运动的描述
主动成长
夯基达标
1.弹簧振子由最大位移处向平衡位置运动时，下列物理量中变大的有（ ）
A.位移 B.振幅 C.速度 D.周期
思路解析：简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，故越接近平衡位置的地方，位移越小，A错.对于一个确定的简谐运动，其振动的周期和振幅不变，故B、D均错.在平衡位置，弹簧振子振动的能量表现为振子的动能，振子的速度最大，故C正确.
答案：C
2.如图11-2-4所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让振子从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时（ ）21cnjy.com
图11-2-4
A.小球位于BO之间，运动方向向右 B.小球位于BO之间，运动方向向左
C.小球位于CO之间，运动方向向右 D.小球位于CO之间，运动方向向左
思路解析：频率为5 Hz，则周期为0.2 s,0.12 s=,,故0.12 s时，振子位于CO之间，且向右加速运动.21世纪教育网版权所有
答案：C
3.一个在水平方向做简谐运动的物体，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，物体经过平衡位置开始计时，再经过21 s，此时它对平衡位置的位移大小和路程分别为（ ）
A.0,840 cm B.0,210 cm C.4 cm,840 cm D.4 cm,210 cm
思路解析：由题意知：,则21 s=52.5T,故物体从平衡位置开始运动21 s后，振子又回到平衡位置，则位移大小为0，运动路程s=52.5×4A=840 cm.
答案：A
4.如图11-2-5所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA=1 cm，然后释放振子，经过0.2 s，振子第一次到达O点；如果把振子拉到A′点，OA′=2 cm，则振子释放后，振子第一次到达O点所需时间为（ ）2·1·c·n·j·y
图11-2-5
A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s
思路解析：简谐运动的周期只与振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第一次到达平衡位置所需时间都是振动周期的，时间相等.【出处：21教育名师】
答案：A
5.质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O，质点经过a点（xa=-5 cm）和b点（xb=5 cm）时速度相同，所用时间tab=0.2 s,质点由b回到a点所用最短时间tba=0.4 s，则该质点做简谐运动的频率为（ ）
A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz
思路解析：本题考查简谐运动的周期和频率概念，充分利用简谐运动的对称性是解题关键.
设质点在AA′间运动，O为平衡位置，tAa=t1,taO=t2，如图1所示.
图1
情形1：计时时刻质点从a点沿x轴正向运动，
则2t2=0.2 s ①
2t1+2t2=0.4 s ②
又T=4(t1+t2) ③
④
解①②③④得f=1.25 Hz.
情形2：计时时刻质点从a点沿x轴负向运动，
则4t1+2t2=0.2 s
2t2=0.4 s
显然上述情形不成立.
综上所述，答案为B.
答案：B
6.在光滑水平面内做简谐运动的弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置沿x正方向运动到x=处所用的最短时间为t1,第一次从最大正位移处运动到x=处所用最短时间为t2，则（ ）21·世纪*教育网
A.t1=t2 B.t1＜t2 C.t1＞t2 D.无法确定
思路解析：弹簧振子所做的简谐运动为变速运动，在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零，且振子由最大位移处向平衡位置靠近时，速度逐渐增大，可知t1时间对应的平均速度v1大于t2时间内对应的平均速度v2,故t1＜t2.www-2-1-cnjy-com
答案：B
7.物体做简谐运动，其图象如图11-2-6所示，在t1和t2两时刻，物体的?（ ）
图11-2-6
A.相位相同 B.位移相同 C.速度相同 D.加速度相同
思路解析：由简谐运动的相位φ=ωt+φ0知时间不同，相位不同，故A错.t1和t2两个时刻位移大小相等、方向相反，故B错.在x-t图象中t1和t2两时刻斜率相同，故速度相同，C项正确.两时刻加速度大小相等、方向相反，故D错.21·cn·jy·com
答案：C
8.一个质点做简谐运动的图象如图11-2-7所示，下列说法正确的是（ ）
图11-2-7
A.质点振动频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.在5 s末，质点做简谐运动的相位为
D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
思路解析：由振动图象可直接得到周期为4 s，频率=0.25 Hz，故选项A是错误的.
一个周期内简谐运动的质点经过的路程是4A=8 cm，10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B是正确的.2-1-c-n-j-y
由图象知，位移与时间的关系x=Asin(ωt+φ0)=0.02sin() m
当t=5 s时，其相位ωt+φ0=,故C不正确.
在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x=A·sin135°=,故D正确.
答案：BD
9.劲度系数为20 N/m的弹簧振子，它的振动图象如图11-2-8所示，在图中A点对应的时刻（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
图11-2-8
A.振子所受弹力大小为0.5 N，方向指向x轴负方向
B.振子的速度方向指向x轴正方向
C.在0—4 s内振子做了1.75次全振动
D.在0—4 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移为零
思路解析：由图象可知A在t轴上方，位移x=0.025 cm,所以弹力F=kx=20×0.025 N=0.5 N,即弹力大小为0.5 N，方向指向x轴负方向，选项A正确.21*cnjy*com
由图可知若在A点作图线的切线，该切线与x轴正方向的夹角小于90°，切线的斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴正方向，选项B正确.【来源：21cnj*y.co*m】
由图象可看出，t=0时刻振子的位移最大，在t轴上方；t=4 s时刻振子的位移也最大，也在t轴上方；在0—4 s内相对平衡位置振动的位移为零.在0—4内振子完成了两次全振动，选项C错误.21教育名师原创作品
由于t=0时刻和t=4 s时刻振子都在最大位移处，故在0—4 s内振子完成了两次全振动，所以这段时间内振子通过的路程为2×4×0.05 cm=0.4 cm,选项D错误.
答案：AB
10.如图11-2-9所示是一个质点的振动图象，根据图象回答下列各问题：
图11-2-9
（1）振动的振幅；
（2）振动的频率；
（3）在t=0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
（4）质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
（5）质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
（6）在0.6 s到0.8 s这段时间内质点的运动情况.
思路解析：（1）振幅为最大位移的绝对值，从图象可知振幅A=5 cm.
（2）从图象可知周期T=0.8 s，则振动的频率：=1.25 Hz.
（3）由各时刻的位移变化过程可判断：t=0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿正方向；t=0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿负方向.21教育网
（4）质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值.
（5）质点在0.2 s处于正向最大位移处时，首次具有加速度负方向的最大值.
（6）在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图象上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速运动.
答案：（1）5 cm (2)1.25 Hz （3）0.1 s、0.7 s时沿正方向，0.3 s、0.5 s时沿负方向 （4）0.4 s,平衡位置 （5）0.2 s，正向最大位移处 （6）由负向最大位移处向平衡位置做加速运动www.21-cn-jy.com
11.一简谐运动的振动方程为x=5sin(314t+)，试求：
（1）该运动的初相是多少？
（2）如何用余弦函数来表示其振动方程？其初相变为多少？
解：（1）由振动方程可知，该运动的初相
(2)x=5sin(314t+)=5cos(-314t-)?=5cos(-314t+)=5cos(314t-),φ0=-.
答案：（1） （2）5cos(314t-),-
12.已知某人心电图记录仪的出纸速度（纸带移动的速度）为2.5 cm/s，如图11-2-10所示是用此仪器记录下的某人的心电图（图中每个大格的边长为0.5 cm）
图11-2-10
（1）由图11-2-10可知此人的心率是_______________次/分，它的心脏每跳一次所需的时间是______________ s.21*cnjy*com
（2）如果某人的心率是75次/分，他的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3的血液，他的血压（可看作他的心脏跳动时压送血液的压强）的平均值是1.5×104 Pa，据此估算此人的心脏跳动时做功的平均功率约为多大？
解：（1）由图知两次心跳间隔为4小格，每小格边长为0.5 cm，所以心脏每跳一次的时间=0.8 s.此时人的心率×60次/分=75次/分.
则 s=0.8 s.
(2)每心跳一次心脏压缩血液做功：
W=pΔV=1.5×104×8×10-5 J=1.2 J
故心脏跳动做功的平均功率=1.5 W.
答案：（1）75 0.8 (2)1.5 W
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13.一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点，图11-2-11中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图11-2-11给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的有（ ）
图11-2-11
A.若规定状态a时t=0,则图象为① B.若规定状态b时t=0,则图象为②
C.若规定状态c时t=0，则图象为③ D.若规定状态d时t=0，则图象为④
思路解析：振子在状态a时t=0，此时的位移为3 cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确.振子在状态b时t=0，此时的位移为2 cm，且向规定的负方向运动，图象②中初始位移不对，选项B错；振子在状态c时t=0，此时的位移为-2 cm，且向规定的负方向运动，图象③中运动方向不对，选项C错；振子在状态d时t=0，此时的位移为-4 cm，速度为零，故选项D正确.【版权所有：21教育】
答案：AD
14.如图11-2-12，图中的实线表示做简谐运动的质点的振动图象，则虚线可表示该质点的（ ）
图11-2-12
A.速度和时间的关系 B.加速度和时间的关系
C.机械能与时间的关系 D.振幅与时间的关系
思路解析：该题较综合地考查认识图象和判断振动过程中所受合外力，能量等的变化.
由振动图象知从t=0时刻，振动质点从平衡位置开始沿正方向运动，则从此时刻开始速度减小，加速度增大，且方向沿负方向，故A错，B对，做简谐运动的物体在振动中机械能守恒、振幅不变，故C、D均错.
答案：B
15.某同学设计了一个测物体质量的装置，如图11-2-13所示，其中P是光滑水平面，k是轻质弹簧的劲度系数，A是质量为M的带夹子的标准质量金属块，Q是待测物体，已知该装置的弹簧振子做简谐振动的周期为，其中，m是振子的质量，k是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后振动周期为T2，则待测物体的质量为多少？这种装置比天平优越之处是什么？
图11-2-13
思路解析：本题是一个信息题，考查弹簧振子的周期公式在生产、生活中的具体应用.
（1）由题意知： ①
设物体Q质量为m，则
②
解①②得.
(2)由于天平在完全失重状态下无法测量物体的质量，而此装置可以在完全失重状态下测量物体的质量.
答案：（1）
（2）可在完全失重状态下使用
2 简谐运动的描述
更上一层楼
基础·巩固
1.对于简谐运动，下述说法中正确的是（ ）
A.振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B.振幅增大，周期也必然增大，而频率减小
C.物体离开平衡位置的最大距离叫振幅
D.周期和频率的乘积是一常数
解析：振幅是标量，所以选项A错误.周期和频率只与系统本身有关，与振幅无关，所以选项B错误.物体离开平衡位置的最大距离叫振幅，所以选项C正确，周期和频率互为相反数，其乘积等于1，所以选项D正确.21世纪教育网版权所有
答案：CD
2.如图11-2-7所示，小球m连着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把m拉到A点，OA=1 cm，轻轻释放，经0.2 s运动到O点,如果把m拉到A′点,使OA′=2 cm,弹簧仍在弹性限度范围内,则释放后运动到O点所需要的时间为（ ）21*cnjy*com
图11-2-7
A.0.2 s B.0.4 s C.0.3 s D.0.1 s
解析：不论将m由A点或A′点释放，到达O点的时间都为四分之一周期，其周期与振幅大小无关，由振动系统本身决定，所以选项A正确.21cnjy.com
答案：A
3.一振子做简谐运动振幅是4.0 cm，频率为1.5 Hz，它从平衡位置开始振动，1.5 s内位移的大小和路程分别为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.4.0 cm 10 cm B.4.0 cm 40 cm
C.4.0 cm 36 cm D. 0 cm 36 cm
解析：振子在1.5 s内完成2.25次全振动，即从平衡位置运动到最大位移处，所以位移为4.0 cm，路程为9A=36 cm，所以选项C正确.www-2-1-cnjy-com
答案：C
4.一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图11-2-8所示，由图可知（ ）
图11-2-8
A.质点振动的频率是4 Hz
B.质点振动的振幅是2 cm
C.t=3 s时，质点的速度最大
D.在t=3 s时，质点的振幅为零
解析：由图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，选项B正确.t=3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确.振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t=3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误.21教育网
答案：BC
5.一个做简谐振动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，若从平衡位置开始计时，则经过2 s，质点完成了______________次全振动，质点运动的位移是______________，通过的路程是______________.www.21-cn-jy.com
解析：由于频率是2.5 Hz，所以周期为0.4 s，质点经过2 s完成了5次全振动，一次全振动质点通过的路程为4A，所以5次全振动质点通过的路程为5×4A=20A=80 cm=0.8 m.质点经过5次全振动应回到原来位置，即位移为零.21·世纪*教育网
答案：5 0 0.8
6.甲、乙两个做简谐运动的弹簧振子，在甲振动20次的时间里，乙振动了40次，则甲、乙振动周期之比为___________________；若甲的振幅增大而乙的不变，则甲、乙振动频率之比为______________.2-1-c-n-j-y
解析：由于甲振动20次的时间里，乙振动了40次，所以甲的振动周期是乙振动周期的2倍，所以甲、乙振动周期之比为2∶1，甲、乙振动频率之比为1∶2.
答案：2∶1 1∶2
综合·应用
7.如图11-2-9所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，AB间距为10 cm.振子从O点运动到P点历时0.2 s，从此时再经A点再一次回到P点又历时0.4 s，下列说法中正确的是（ ）21·cn·jy·com
图11-2-9
A.它的振幅为10 cm B.它的周期为1.6 s
C.它的频率为0.5 Hz D.它由P点经O点运动到B点历时0.8 s
解析：振子从P点经A点再一次回到P点又历时0.4 s，根据对称性可知由P到A所用时间为0.2 s，又因为由O到P历时0.2 s，所以从O到A所用时间为四分之一个周期0.2 s+0.2 s=0.4 s，即周期为4×0.4 s=1.6 s.2·1·c·n·j·y
答案：B
8.如图11-2-10所示，一质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点通过O点时开始计时，经过0.9 s质点第一次通过M点，再继续运动，又经过0.6s质点第二次通过M点，该质点第三次通过M点需再经过的时间可能是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
图11-2-10
A.1 s B.1.2 s C.2.4 s D.4.2 s【版权所有：21教育】
解析：根据题意可以判断质点通过MB之间的距离所用时间为0.3 s，质点通过O点时开始计时，经过0.9 s质点第一次通过M点，应分两种情况考虑：（1）质点由O点向右运动到M，则OB之间所用时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s，根据对称性，OA之间所用时间也为1.2 s，第三次通过M点所用时间为2tMO+2tOA=2×0.9 s+2×1.2 s=4.2 s，所以选项D正确；（2）质点由O点先向左运动再到M，则从O→A→O→M→B所用时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s，为3/4个周期，得周期为1.6 s，第三次经过M点所用时间为1.6 s-2tMB=1.6 s-0.6 s=1.0 s.
答案：AD
9.如图11-2-11所示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是10 cm，B→C运动时间是1 s，则（ ）21教育名师原创作品
图11-2-11
A.振动周期是1 s，振幅是10 cm
B.从B→O→C振子做了一次全振动
C.经过两次全振动，通过的路程是40 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：振子从B→O→C是半次全振动，故周期T=2×1 s=2 s，振幅A=OB=BC/2=5 cm，故选项A错.从B→O→C→O→B是一次全振动，故选项B错误.经过一次全振动，振子通过的路程是4A，两次全振动通过的路程是40 cm，故选项C正确.T=3 s为1.5全振动，路程是s=4A+2A=30 cm，故选项D正确.【出处：21教育名师】
答案：CD
10.一质点在平衡位置附近做简谐运动，从它经过平衡位置开始计时，经过0.13 s质点首次经过M点，再经过0.1 s第二次经过M点，则质点做往复简谐运动的周期的可能值是多大？
解析：可就所给的第一段时间Δt1=0.13 s分两种情况进行分析.
答案：（1）当Δt1＜，如图下所示，=Δt1+Δt2，得T=0.72 s.
（2）当＜Δt1＜T，如图下所示，T=Δt1+Δt2，得T=0.24 s.
3 简谐运动的回复力和能量
主动成长
夯基达标
1.关于简谐运动中的回复力，下列说法正确的是（ ）
A.一定是恒力 B.可以是方向不变而大小变化的力
C.可以是大小不变而方向变化的力 D.一定是变力
思路解析：由简谐运动的回复力F=-kx知：回复力大小时刻发生变化；由于做简谐运动的物体是在平衡位置两侧做往复运动，回复力始终指向平衡位置，故其方向做周期性变化.
答案：D
2.一个弹簧振子总能量为E，如果简谐振动的振幅增加为原来的2倍，重物质量增加为原来的4倍，是总能量变为原来的（ ）21·世纪*教育网
A.2倍 B.4倍 C. D.
思路解析：弹簧振子总能量为动能和势能之和，当弹簧振子运动到最大位移处时，总能量等于其势能，如振幅增加到原来的2倍时，势能增加为原来的4倍，即总能量为原来的4倍；而质量增加不会影响到振子的总能量.www-2-1-cnjy-com
答案：B
3.关于振动物体的平衡位置，下列说法正确的是（ ）
A.加速度改变方向的位置 B.回复力为零的位置
C.速度最大的位置 D.加速度最大的位置
思路解析：简谐运动是振动物体在平衡位置两侧所做的往复运动.当振动物体在平衡位置时，回复力为零，回复力的加速度为零，速度最大.2-1-c-n-j-y
答案：ABC
4.一个弹簧振子振动过程中的某段时间内，其加速度数值越来越大，即在这段时间内（ ）
A.振子的速度越来越大 B.振子正在向平衡位置运动
C.振子的弹性势能越来越大 D.振子的速度方向与位移方向相反
思路解析：在弹簧振子运动的过程中回复力、加速度、弹性势能均随位移的增大而增大，速度、动能随位移的增大而减小.21*cnjy*com
某段时间内加速度数值增大，可见位移增大，物体在远离平衡位置，速度方向与位移方向相同，速度正在减小，弹性势能增大.21教育名师原创作品
答案：C
5.卡车在平直道路上行驶，卡车车厢装满货物，由于路面不是很平，车厢发生上下振动，货物也随车厢上下振动但不脱离车厢底板，假如货物上下做简谐运动，运动位移图象如图11-3-5所示，在图象上取a、b、c、d四点，货物对车厢底板的压力小于货物的重力的是（ ）
图11-3-5
A.a B.b C.c D.d
思路解析：货物在振动过程中，合外力始终指向平衡位置，在平衡位置处加速度为0，压力大小等于重力；在a点，加速度向下，mg-F=ma,F=mg-ma,则F小于重力；在c点，加速度向上，F-mg=ma,F大于重力.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
6.如图11-3-6所示，轻质弹簧一端固定在地面上，另一端与一薄板连接，薄板的质量不计，板上放一重物，用手将重物往下压，然后将手撤去，则重物被弹离之前的运动情况是（ ）
图11-3-6
A.加速度一定增大 B.加速度一直减小
C.加速度先减小后增大 D.加速度先增大后减小
思路解析：竖直方向的弹簧振子的振动也是简谐运动，但它们的平衡位置不是弹簧原长的自由端，而是将弹簧压缩（或伸长）一段长度后的平衡位置，因此从这一位置再将弹簧压缩（或伸长）以后放手，它的加速度是先减小，到达平衡位置以后再增大.21*cnjy*com
答案：C
7.如图11-3-7所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（ ）
图11-3-7
A.0 B.kx C. D.
思路解析：当物体离开平衡位置的位移为x时，振动物体的加速度大小为,由于物体A所受回复力由静摩擦力提供，所以Ff=ma=
答案：D
8.如图11-3-8所示，一物体自某一高度处自由下落，恰好落在直立于地面的轻弹簧上的a点处，到b点处弹簧被压缩到最短，并又将物体弹回.设弹簧始终处于弹性形变范围内，以下判断正确的是（ ）
图11-3-8
A.物体从a下降到b的过程中，动能不断变小
B.物体从b上升到a的过程中，动能不断变大
C.物体从a下降到b，以及从b上升到a的过程中，动能都是先增大后减小
D.物体在b点时，所受合力不为零
思路解析：物体在压缩弹簧过程中，速度最大的位置在合力为零的位置，此位置在ab之间，由上升和下降过程的对称性可知A、B均错，C、D项正确.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：CD
9.甲、乙两弹簧振子质量相等，弹簧也相同，其振动图象如图11-3-9所示，则它们振动的机械能大小关系是E甲____________E乙（填“＞”“=”或“＜”）；振动频率的大小关系是f甲____________f乙；在0—4 s内，甲的加速度正向最大的时刻是___________，乙的速度正向最大的时刻是___________.
图11-3-9
思路解析：想象甲、乙两弹簧振子沿x轴振动，O为其平衡位置，则联系图象可知，甲的振幅大于乙的振幅，故有E甲＞E乙；甲的周期大于乙的周期，故有f甲＜f乙.
联系甲弹簧振子在第一周期内沿x轴的振动情形可知，在3 s时刻，甲正在负向极端位置，弹簧伸长最长，故此刻有最大的正向加速度.
当物体通过平衡位置时速度最大，联系乙弹簧振子沿x轴振动的前两个全振动的情景，由图象知乙在1 s、3 s末两个时刻沿x轴正向通过平衡位置，故这两时刻有正向最大速度.
答案：＞ ＜ 3 s 1 s、3 s
10.如图11-3-10所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端连一质量为m的物体，先托住物体使弹簧没有发生形变，然后将物体无初速度释放而做简谐运动，在物体从开始运动到最低点的过程中物体的重力势能___________，弹性势能___________，动能____________________，而总的机械能___________.
图11-3-10
思路解析：固定在天花板上的弹簧做简谐运动，选地面为重力势能的零势能面，物体从开始运动到最低点这一过程中，物体离地面的距离不断减小，则重力势能不断减小，弹簧的长度变长，因此，弹性势能不断增大.物体向下运动过程中，速度先增大后减小，故动能也是先增大后减小，但总机械能不变.【出处：21教育名师】
答案：减小 增大 先增大后减小 不变
11.如图11-3-11所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直弹簧上，若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是_________________，当A的速度达到最大值时，A对B的压力大小为___________.www.21-cn-jy.com
图11-3-11
思路解析：对A受力分析，它受到重力和B对它的支持力.即A的回复力是由重力和支持力的合力提供的.
答案：重力和支持力的合力 mg
12.已知弹簧振子的质量是2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm 时受到的回复力是4 N，求：当它运动到平衡位置右侧4 cm时，受到的回复力的大小和方向以及加速度的大小和方向.【版权所有：21教育】
解：由F=kx，当弹簧振子运动到平衡位置左侧x1=2 cm时，其回复力F1=4 N，则.
当它运动到平衡位置右侧x2=4 cm时，受到的回复力应向左，大小F2=kx2=2×4 N=8 N.由牛顿第二定律知加速度方向也向左，大小=4 m/s2.21cnjy.com
答案：8 N，方向向左 4 m/s2,方向向左
13.如图11-3-12所示，一质量为M的无底木箱放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，ma=mb=m.剪断A、B间的细线后，A正好做简谐运动.则当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为多大？
图11-3-12
解：未剪断细线前，弹簧弹力F1=2mg,剪断细线后瞬间A物体受力为向上的弹力F1=2mg和向下的重力mg，故其加速度a1=（F1-mg）/m=g,方向向上.
由简谐运动的对称性知，当A物体做简谐运动运动到最高点时，加速度a2=g、方向向下，此时弹簧弹力为零，则木箱对地面压力FN=Mg.
答案：Mg
走近高考
14.（经典回放）图11-3-13为一弹簧振子的振动图象，由此可知（ ）
图11-3-13
A.在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大
B.在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小
C.在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小
D.在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大
思路解析：在t1、t3时刻，振子位于最大位移处，速度最小，动能最小，所受弹力最大；t2、t4时刻，振子位于平衡位置，速度最大，动能最大，弹力最小，故正确选项为B.
答案：B
15.如图11-3-14所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，图11-3-15中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图线应为（ ）
图11-3-14
图11-3-15
思路解析：在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体，设A、B的质量为ma、mb，弹簧的劲度系数为k，则有（mA+mB）a=-kx,,A受摩擦力Ff=mAa=,所以Ff与位移的关系是21教育网
答案：C
16.一个振子在平衡位置O点附近做简谐运动，它离开O点2.5 s，第一次到达位置P，又经过2 s后，第二次经过位置P，那么再经过____________ s后，它第三次到达P点.
思路解析：振子的振动有两种可能性，第一种由O点直接向P运动，如图2所示，由题意知P→M（最大位移处）所用时间为1 s，所以=（1+2.5）s,所以周期T=14 s；第三次到P的时间t=T-2 s=12 s.第二种可能是振子先到N再向右到P，如图3所示，根据运动的对称性，由O直接到P点的时间为，所以振子第三次到P点的时间t=2.5 s+=2.67 s.振子的运动情况由于题中没有说明，所以应注意多解的情况.21·cn·jy·com
答案：12或2.67
17.(2006年江苏高考，9)如图11-3-16所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连.在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止.则下列说法正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
图11-3-16
A.A和B均作简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功
思路解析：A选项，因AB保持相对静止，所以AB可看作整体，AB所受到的回复力f=-kx(k为弹簧劲度系数，x为AB对平衡位置的位移)，故A和B均做简谐运动，A正确.
B选项，由牛顿第二定律，,对A则有，f=mAa=,故B正确.
C选项，B对A的静摩擦力与A对B的静摩擦力是一对作用力和反作用力，A、B做简谐运动过程中，在两力的方向上均发生位移，故两力分别对两物体A、B做功，故C错误.
D选项，因当AB向平衡位置运动时，B对A的静摩擦力对A做正功，A对B的静摩擦力对B做负功；当A、B远离平衡位置运动时，B对A的静摩擦力对A做负功，A对B的静摩擦力对B做正功，故D错误.21世纪教育网版权所有
答案：AB
3 简谐运动的回复力和能量
更上一层楼
基础·巩固
1.关于做简谐运动的物体，完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的是( )
A.回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
B.速度第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
C.动能或势能第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
D.速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程
解析：物体第一次回到原来位置时回复力一定回复到原来的大小和方向，但速度的方向不一定相同，所以所经历的过程不一定完成一次全振动，所以选项A错误；物体从某位置运动到其对称点时，速度的大小和方向都可能相同，但不一定完成一次全振动，所以选项B错误；动能和势能是标量，没有方向，所以选项C错误；物体的速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向，所经历的过程一定是一次全振动，所以选项D正确.21cnjy.com
答案：D
2.关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是（ ）
A.在某一时刻，它的速度和回复力的方向相同，与位移的方向相反
B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D.在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小
解析：根据F=-kx可知，位移和回复力的方向始终相反，某点的速度方向是不确定的，可以与位移方向相同，也可以与位移方向相反，所以选项A正确；质点的位移方向与加速度方向始终相反，所以选项B错误；质点振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，所以选项C错误；当质点的势能减小时，位移减小，回复力减小，质点的加速度大小也减小，所以选项D正确.21·cn·jy·com
答案：AD
3.如图11-3-10所示，在不滑水平桌面上有弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后，第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为（ ）www.21-cn-jy.com
图11-3-10
A.等于 B.等于
C.大于 D.等于不为零某值，但由题设条件无法求出
解析：由于振子从A→O的运动不是匀变速直线运动，而是加速度减小的变速直线运动，故＜，即A、C选项不对;由F回=kx知，A→O位移大小为，据平均速度定义==，故B选项对.2·1·c·n·j·y
答案：B
4.对于弹簧振子,其回复力和位移的关系,在图11-3-11中正确的是( )
图11-3-11
解析：根据公式F=-kx，可以判断回复力与位移的图象为一条直线，斜率为负，所以选项C正确.
答案：C
5.一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图11-3-12（a）所示，它的振动图象如图11-3-12（b）所示，设向右为正方向，则OB=_______________cm，第0.2 s末质点的速度方向是_________________，加速度大小为_______________；第0.4 s末质点加速度方向是_______________；第0.7 s时，质点位置在_______________区间，质点从O运动到B再到A需时间t=_______________s，在4 s内完成_______________次全振动.
图11-3-12
解析：（1）从图象上看出振幅是5 cm，所以OB=5 cm.
（2）根据正方向的规定及振动图象知，质点从位置B开始计时，第0.2s末，质点回到平衡位置O，向负方向运动，所以此时速度方向从O指向A，位移为0.由F=-kx可知F=0，所以加速度ａ=0.www-2-1-cnjy-com
（3）第0.4 s末质点到达A点，位移为负，回复力F应为正，此时加速度方向由A指向O.
（4）第0.7 s时，位移为正，质点在OB之间.
（5）从图象中读出T=0.8 s，则从O经B到A需时间t=3T/4=0.6 s.
（6）由于T=0.8 s，则4 s内完成全振动ｎ=4/0.8次=5次.
答案：5 O→A 0 OB 0.6 5
6.一个小孩在蹦床上做游戏,他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度,小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中,他的速度随时间变化的图象如图11-3-13所示,图中Oa段和de段为直线,则根据此图象可知:小孩和蹦床相接触的时间为______________________；加速度最大的时刻是_______________.21教育网
图11-3-13
解析：由图可以看出直线ｏａ表示与蹦床接触前，即自由落体过程，直线ｄｅ表示与蹦床接触后，即竖直上抛过程.所以小孩与蹦床接触的时间为t5-t1，加速度最大应对应最低点，即速度为零的t3时刻.21世纪教育网版权所有
答案：t5-t1 t3
综合·应用
7.(2004天津理综)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板.一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T.取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t=0，其振动图象如图11-3-14所示，则( )
图11-3-14
A.t=T时，货物对车厢底板的压力最大
B.t=T时，货物对车厢底板的压力最小
C.t=T时，货物对车厢底板的压力最大
D.t=T时，货物对车厢底板的压力最小
解析：当货物有竖直向上的最大加速度时，处于超重状态，货物的车厢的压力最大，即在t=T时，货物对车厢底板的压力最大，所以选项C正确，选项A错误；当货物有竖直向下的最大加速度时，处于失重状态，即t=T时，货物对车厢底板的压力最小，所以选项B、D错误.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：C
8.(经典回放)如图11-3-15所示，为一弹簧振子的振动图象，由此可知（ ）
图11-3-15
A.在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
B.在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
C.在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
D.在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
解析：从图象的横坐标和纵坐标可以知道此图是机械振动图象，图中所描述的是一个质点在不同时刻的位置，t2、t4是在平衡位置，t1、t3是在最大位移处，头脑中应出现一个弹簧振子的实物图，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力最大，所以选项B正确.
答案：B
9.已知弹簧振子的质量是2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm时受到的回复力是4 N，求：当它运动到平衡位置右侧4 cm时，受到的回复力的大小和方向以及加速度的大小和方向.
解析：由F=-kx，所以力F1的大小：F1=kx1，由此可解得:k=200 N/m则：F2=kx2=200×4×10-2 N=8 N，由于位移向右，回复力F2方向向左.根据牛顿第二定律:a2==4 m/s2，方向向左.21·世纪*教育网
答案：回复力大小为8 N，方向向左；加速度的大小为4 m/s2，方向向左.
10.一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400 N/m，弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图11-3-16所示，A和B的质量均为1 kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变大小（g取10 m/s2,阻力不计）求：
图11-3-16
（1）物体A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）在最高点和最低点A对B的作用力.
解析：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx
(mA+mB)g=kΔx
Δx=(mA+mB)g/k=5 cm
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A为：
A=5 cm+5 cm=10 cm.
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹簧势能相等，设振子的最大速率为v，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律：mg·A=mv2/2
v==1.4 m/s
即B的最大速率为1.4 m/s.
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律：
a==20 m/s2
A对B的作用力方向向下，其大小FN1为：
FN1=mBa-mBg=10 N
在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律：
a==20 m/s2
A对B的作用力方向向上，其大小FN2为：
FN2=mBa+mBg=30 N.
4 单摆
主动成长
夯基达标
1.发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（ ）
A.增大摆球质量 B.缩短摆长 C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移至山顶
思路解析：由单摆周期公式知，T与单摆的摆球质量与振幅都无关，缩短摆长，l变小，T变小；单摆由山下移到山顶，g变小，T变大.www.21-cn-jy.com
答案：D
2.关于单摆做简谐运动的回复力，以下说法中正确的是（ ）
A.等于线的拉力 B.等于球的重力
C.等于线的拉力与球所受重力的合力 D.等于重力沿圆弧切线方向的分力
思路解析：做简谐运动的物体的回复力是指使物体回到平衡位置的力，它是重力沿圆弧切线方向的分力.
答案：D
3.利用单摆测重力加速度时，若测得g值偏大，则可能是因为（ ）
A.单摆的摆锤质量偏大
B.测量摆长时，只考虑了悬线长，忽略了小球的半径
C.测量周期时，把n次全振动误认为是（n+1）次全振动
D.测量周期时，把n次全振动误认为是(n-1)次全振动
思路解析：由单摆的周期可知：，即周期与摆锤质量无关，只与摆长和当地重力加速度有关，即A错.测量摆长时，忽略小球的半径，则测得g值会偏小，B错.若把n次全振动误认为是（n+1）次全振动，则周期会变小，即重力加速度g会变大.
答案：C
4.关于单摆，下列说法中正确的是（ ）
A.摆球运动回复力是摆线张力和重力的合力
B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度相等
C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
D.摆球经过平衡位置时，加速度为零
思路解析：单摆摆动过程中，摆球运动的回复力是重力沿垂直摆线方向的分量，A错.摆球经过同一点时，速度大小相同，受力情况相同，因而加速度是不变的，B对.摆球运动的加速度除了有指向平衡位置的加速度分量外，当摆球速度不为零时，摆球做圆周运动，还有指向圆心的向心加速度，此二分量之和一般情况下不指向平衡位置，故C错.摆球经过平衡位置时，速度不为零，此时，摆球有向心加速度，故D错.21世纪教育网版权所有
答案：B
5.已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长la与lb分别为（ ）21·cn·jy·com
A.la=2.5 m,lb=0.5 m B.la=0.9 m,lb=2.5 m21*cnjy*com
C.la=2.4 m,lb=4.0 m D.la=4.0 m,lb=2.4 m【版权所有：21教育】
思路解析：单摆完成一次全振动所需的时间叫单摆振动周期，据题设可知a、b两摆的周期之比为：,由单摆周期公式得：，据题设lb-la=1.6 m,联立解得la=0.9 m，lb=2.5 m.21*cnjy*com
答案：B
6.图11-4-4中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆球所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开，各自做简谐运动.以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（ ）
图11-4-4
A.如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
思路解析：A、B两球碰撞后，B球一定向右摆动，A球可能向右，也可能向左摆，还可以停下来.
由于两球摆长相同，因此摆动的周期相同，它们在时回到平衡位置而发生第二次碰撞.
答案：CD
7.如图11-4-5所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处.今使两球同时释放，则在不计空气阻力时有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
图11-4-5
A.A球先到达C点 B.B球先到达C点
C.两球同时到达C点 D.无法确定哪一个球先到达C点
思路解析：A球做自由落体运动，很容易求出到达C点的时间，而B球在MN上摆动，在振幅很小的情况下，做简谐振动，周期与单摆周期类似，为，其中l为MN所在圆的半径，所以B球从B到C的时间为，从而比较A、B两球到达C点时间的长短.
答案：A
8.某同学要利用单摆测定重力加速度，但因无游标卡尺而没有办法测定摆球直径，他将摆球用不可伸长的细线悬挂起来后，改变摆线的长度测了两次周期，从而算出了重力加速度.则计算重力加速度的公式是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A. B.
C. D.
思路解析：设摆球重心到球与摆线连接点距离为d，两次测得摆长分别为l1和l2，对应周期为T1和T2.
则有,两式联立可得,B正确.
答案：B
9.用单摆测定重力加速度的实验中，有如下器材供选用，请把应选用的器材填在横线上_________.（填字母）21教育网
A.1 m长的粗绳
B.1 m长的细绳
C.半径为1 cm的小木球
D.半径为1 cm的小铅球
E.时钟
F.秒表
G.最小刻度为mm的米尺
H.最小刻度为cm的米尺
I.铁架台
J.附砝码的天平
思路解析：测摆长时是从悬点到球心的距离，若用粗绳，粗绳质量不能忽略，则摆长无法测定，故选B.铅球密度大，摆动中阻力的影响相对小些，摆长的测定也相对准确，故选D.计时时，使用秒表方便，故选F.测长度时，应准确到mm，故选G.本实验中不需测质量，但必须将小球悬挂，故选I.21cnjy.com
答案：BDFGI
10.利用单摆测重力加速度时，测出几组摆长和相应周期T，并作出T2-l图象，如图11-4-6所示.已知图象与横轴间的夹角为θ，图线上的A、B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)，则可得重力加速度g=____________.21·世纪*教育网
图11-4-6 图11-4-7
思路解析：在T2-l图线中，由知：
即图线的斜率
得
答案：
11.在用单摆测重力加速度的实验中，某同学画的l-T2图象如图11-4-7，不过原点的原因是____________.www-2-1-cnjy-com
思路解析：此题考查了数学中一次函数的截距问题.由知L-T2应该过原点，而现在图线上有了负截距，说明L测小了，故答案应为：没有将摆球半径计入摆长.
答案：没有将摆球半径计入摆长
12.该实验中，实际上要改变摆长多次测量，求g的平均值，下表是两个同学设计的记录计算表，正确的是_____________.21教育名师原创作品
思路解析：根据由平均值法求重力加速度的原理，设实验得到多组l、T值，根据得到多组g值，取平均值的g值为：，故符合题意的为乙图表.
答案：乙
13.一位同学用单摆做测定重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A.测摆长l：用米尺测量出摆线长度；
B.测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间，算出单摆周期；
C.将所测得的l和T值代入单摆的周期公式中，算出g，将它作为实验结果写入报告中去.
请指出上述步骤中遗漏或错误的地方，并加以改正.
思路解析：A项：单摆的摆长定义是悬点到摆球重心的距离，摆线长并不是摆长，摆长等于摆线长加上摆球半径，摆球直径可用游标卡尺来测量.
B项：摆球在某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次作为第一次通过最低点，到60次停表时，实际是29个半周期，周期T应为.
C项：应重复实验（改变摆长，重新测量），取g的平均值作为实验结果.
答案：略
14.如图11-4-8所示，摆长为L的单摆，当摆球由A经平衡位置O向右运动的瞬间，另一小球B以速度v同时通过平衡位置向右运动，B与水平面无摩擦，与竖直墙壁碰撞无能量损失.问OC间距离x满足什么条件，才能使B返回时与A球相遇？2·1·c·n·j·y
图11-4-8
解：本题考查单摆运动的周期性、重复性，相遇时时间相等，则
①
由单摆周期公式， ②
解①②得：(n=1,2,3…).
答案：(n=1,2,3…)
走近高考
15.(2006河北石家庄模拟，2)细长轻绳下端拴一个小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长的中点处有一个能挡住摆线的钉子A，如图11-4-9所示.现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速释放.对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）
图11-4-9
A.摆球往复运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度相同
C.摆球在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长相等
D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
思路解析：摆线与钉子相碰以后，摆长变短，设原来摆长为L，碰后摆长为L′，则碰前,碰后，则T＞T′,故A对.【出处：21教育名师】
摆球在摆动过程中机械能守恒，故上升的最大高度相同，B对.
摆球的运动轨迹如下图所示，由图4知左、右两侧弧长不相等，C错.
图4
与钉子碰后，设最大摆角为θ，碰前最大摆角为α，则θ=2β，又β＜α,故θ＜2α，D错.
答案：AB
16.如图11-4-10所示为一单摆及其振动图象，由图回答，当在悬点正下方O处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且,则单摆周期为________ s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.
图11-4-10
思路解析：由振动图象知放钉前周期为T=2 s，由,知；放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，T左==1 s,钉右侧的半个周期，T右==0.5 s,2-1-c-n-j-y
所以T=T左+T右=1.5 s.
由受力分析，张力，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的，所以挡后绳张力变大.
答案：1.5 s 钉挡绳后张力变大
17.(2004江苏高考，6)两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为4∶1，若它们在同一地点做简谐运动，则它们的周期之比T甲∶T乙=__________；在甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为__________.
思路解析：本题考查了单摆的周期公式，应注意对于同一地点的重力加速度为一定值，所以同一地点，由单摆的周期公式得T甲：T乙==2∶1.甲摆完成10次全振动的时间t=10T甲，在这些时间内乙完成的全振动次数为=20.
答案：2∶1 20
18.如图11-4-11所示是演示沙摆振动图象的实验装置，沙摆的运动可看作简谐运动.若用手向外拉木板的速度是0.20 m/s，木板的长度是0.60 m，那么这次实验所用的沙摆的摆长为__________ m.（答案保留两位有效数字，计算时可取π2=g）
图11-4-11
思路解析：由题意知：在木板以0.20 m/s的速度行驶0.60 m过程中，经历的时间为2T,则得T=1.5 s.
又得=0.56 m.
答案：0.56
19.(经典回放)有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面处的周期是T0.当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体.
解：根据单摆周期公式
其中l是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度.根据万有引力公式得
其中G是万有引力常量，M是地球质量，由以上各式解得
答案：
4 单摆
更上一层楼
基础·巩固
1.关于单摆，下列认识中正确的是（ ）
A.一根线系着一个球悬挂起来，这样的装置就是单摆
B.可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多
C.单摆的振动总是简谐运动
D.两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同
解析：单摆是实际摆的理想化模型，实际摆只有在不计绳的伸缩、质量和阻力，小球可以看作质点时才能看作单摆，所以选项A错误，选项B正确；单摆的运动只有在摆角很小时才能近似看作简谐运动，所以选项C错误；两个单摆结构相同，固有周期相同，但振动步调不一定相同，所以选项D错误.2·1·c·n·j·y
答案：B
2.下列说法正确的是（ ）
A.单摆的等时性是由惠更斯首先发现的
B.单摆的等时性是由伽利略首先发现的
C.惠更斯首先将单摆的等时性用于计时
D.伽利略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时
解析：首先发现单摆等时性的是伽利略，首先将单摆的等时性用于计时的是惠更斯.
答案：BC
3.下述哪种情况下，单摆的周期会增大（ ）
A.增大摆球质量 B.缩短摆长
C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移到山顶
解析：由单摆的周期公式T=2π可知，g减小时周期会变大，正确答案为D.
答案：D
4.单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力( )
A.指向地面 B.指向悬点 C.数值为零 D.垂直于摆线
解析：做简谐运动的质点，只有在离开平衡位置时才受到回复力，“平衡位置”的意义就是回复力为零的位置，此处的合力却不一定为零.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：C
5.下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是( )
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆过平衡位置的合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
解析：单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，选项D错误；单摆过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误.
答案：B
6.单摆做简谐运动的回复力是（ ）
A.摆球的重力
B.摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力
C.悬线对摆球的拉力
D.摆球所受重力在圆弧切向上的分力
解析：单摆做简谐运动时，摆球如同做圆周运动，摆球重力的切向分力充当回复力，摆球重力的径向分力与摆线拉力的合力充当向心力.21·cn·jy·com
答案：D
7.将秒摆（周期为2 s）的周期变为1 s，下列措施可行的是（ ）
A.将摆球的质量减半 B.振幅减半
C.摆长减半 D.摆长减为原来的
解析：单摆的振动周期与摆球的质量、振幅无关，故选项A、B错；由T=2π知选项D正确.
答案：D
8.甲、乙两个单摆,甲的摆长为乙的4倍,甲摆的振幅是乙摆的3倍,甲摆球的质量是乙的2倍,那么甲摆动5次的时间里,乙摆动__________________次.21世纪教育网版权所有
解析：单摆的振动周期与振幅和摆球的质量无关，根据公式T=2π可以判断甲的周期是乙的2倍，甲在摆动5次的时间内，乙摆动了10次.www-2-1-cnjy-com
答案：10
综合·应用
9.A、B两个单摆,在同一地点A全振动N1次的时间内B恰好全振动了N2次,那么A、B摆长之比为( )21·世纪*教育网
A. B. C.()2 D.()2
解析：A、B两个物体在相同的时间内振动周期之比为，在同一地点重力加速度相同，根据公式T=2π可以判断摆长之比为周期之比的平方，所以选项D正确.
答案：D
10.（经典回放）如图11-4-5所示，一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N，它们只能在图示平面内摆动，某一瞬时出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是( )2-1-c-n-j-y
图11-4-5
A.车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止
B.车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动
C.车厢做匀速直线运动，M静止，N在摆动
D.车厢做匀加速直线运动，M静止，N也静止
解析：车厢做匀速直线运动或静止时，都是处于平衡状态，N可以是静止，也可以是在摆动中；M只能在摆动中，因为M所受的外力不为零；车厢做匀加速直线运动时，M可能相对车厢静止，也可能是在摆动中某一瞬时所在位置，N只可能是在摆动中经过最低点的瞬间，因为此时N在水平方向所受合力为零，不可能与车厢相对静止.21教育网
答案：AB
11.(2006天津理综)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图11-4-6，以下说法正确的是（ ）21cnjy.com
图11-4-6
A.t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B.t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析：在t1时刻，摆球处于最大位移处，速度为零，在t2时刻，摆球处于平衡位置，速度最大，所以A、B选项错误，在t3时刻摆球处于最大位移处，速度为零，T-mgcosθ=m=0,T=mgcosθ，在t4时刻，摆球处于平衡位置，速度最大，T-mgcosθ=m,T=mgcosθ+m，所以D选项正确.www.21-cn-jy.com
答案：π
12.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，如果摆球质量分布不均匀，某同学设计了下面一种测量方法：第一次量得悬线长为l1，测得周期T1；第二次改变悬线的长度为l2，测得周期为T2，由此可以推算出g=__________________.21*cnjy*com
解析：题述为一种解决不知球的重心位置（或不便测量小球直径）时测重力加速度的方法，设球的重心位置离摆线下端距离为h，由实验原理知，g=,g=，利用以上二式，消去h即得g=.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
13.某人用单摆测定山顶高度（海拔高度），在山顶用标准计时装置记录单摆（等幅振动）振动1 000次的时间.再将该单摆移到海拔高度为零、g=9.8 m/s2的低处，在同一时间内，单摆振动了1 001次.地球半径R取6 400 km，求此山的海拔高度.【出处：21教育名师】
解析：根据题意可知周期之比为=，根据公式T=2π可得：c=()2=()2.又因为G=mg0，G=mg，所以()2==()2，解得h=R/1 000=6.4 km.
答案：6.4 km
14.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因（如转移到其他星球）重力加速度变为原来的，振幅变为原来的，摆长变为原来的，摆球质量变为原来的，它的周期变为多少？【版权所有：21教育】
解析：单摆的周期与振幅和摆球质量无关，只与摆长和重力加速度有关，可以根据公式T=2π进行计算.
答案：由单摆周期公式T=2π，由于g′=，l′=，所以T′=2π=T.
15.周期是2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6m/s2,它在月球上做50次全振动要用多少时间？
解析：由公式T=2π得：l=()2 g，当T=2 s，ｇ=10 m/s2时，摆长约为1m.t=50T′=50 T，所以在月球上做50次全振动要用250 s.21教育名师原创作品
答案：250 s
5 外力作用下的振动
主动成长
夯基达标
1.A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f,B的固有频率为4f，若它们均在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动.则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.A的振幅较大，振动频率为f B.B的振幅较大，振动频率为3f
C.A的振幅较大，振动频率为3f D.B的振幅较大，振动频率为4f
思路解析：由于B的固有频率4f与驱动力频率接近，受迫振动时的振幅较大，其振动频率与驱动力频率相同为3f.www-2-1-cnjy-com
答案：B
2.关于阻尼振动，以下说法中正确的是（ ）
A.机械能不断减小 B.动能不断减小
C.振幅不断减小 D.一定不是简谐运动
思路解析：阻尼振动是振幅不断减小的振动，故阻尼振动一定不是简谐运动，而振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中机械能也不断减小，但动能在振动过程中是不断变化的，无法比较其大小，故答案为ACD.
答案：ACD
3.一列队伍过桥时不能齐步走，这是为了（ ）
A.减小对桥的压力 B.使桥受力均匀
C.减小对桥的冲量 D.使桥避免共振
思路解析：当齐步走的队伍的振动频率与桥的固有频率相同时，桥容易共振而塌陷发生事故.
答案：D
4.铁路上每根铁轨长12 m，若支持车厢的弹簧固有周期是0.6 s,列车以下列哪一速度行驶时，车厢振动最厉害（ ）
A.20 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.12 m/s
思路解析：为了防止热胀冷缩造成铁轨变形，两根相接的铁轨之间有一缝隙，列车每经过缝隙时就会振动一次，因此使列车振动的驱动力的周期为，其中l为一根铁轨长，v为列车行驶的速度.21·世纪*教育网
当T1与弹簧固有周期T2相等时，列车振动最厉害，即,v=20 m/s.
答案：A
5.图11-5-4中，两小球质量分别为M和m（M＞m），悬挂在同一根水平拉紧的绳上.先使M摆动，则以下说法正确的有（ ）
图11-5-4
A.m的摆动周期几乎与M的周期相等 B.m的振幅随l1的长短改变而改变
C.l1=l2时,m有最大振幅 D.l1=l2时，m的振幅有可能大于M的振幅
思路解析：M摆动过程中，通过水平绳给m加周期性的驱动力，使m受迫振动，所以m的摆动周期与驱动力周期相等.当l1=l2时，m的固有周期与驱动力周期相等，m发生共振，故A、B、C、D四个选项都是对的.21cnjy.com
答案：ABCD
6.一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（ ）
A.振动能逐渐转化为其他形式的能
B.后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D.后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
思路解析：单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动能逐渐转化为内能，A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能（或势能）一定小于前一时刻的动能（或势能），故B、C不对.2-1-c-n-j-y
答案：AD
7.如图11-5-5所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振起来，则（ ）【版权所有：21教育】
图11-5-5
A.其他各摆振动周期跟A摆相同
B.其他各摆振动的振幅大小相同
C.其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D.B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
思路解析：A摆动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆振动，它们做受迫振动.由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同.21教育名师原创作品
驱动力的频率等于A摆的固有频率，A摆的固有频率,其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系是：
可见fB与fA相差最大，故B摆的振幅最小
答案：ACD
8.如图11-5-6，轻直杆OC的中点悬挂一个弹簧振子，其固有频率为2 Hz.杆的O端有固定光滑轴，C端下边由凸轮支持，凸轮绕其轴转动，转速为n.在n从0逐渐增大到5 r/s的过程中，振子M的振幅变化情况将是____________，当n=____________ r/s时振幅最大.若转速稳定在5 r/s，M的振动周期是____________.【来源：21·世纪·教育·网】
图11-5-6
思路解析：振子在杆对它的驱动力作用下做受迫振动，当凸轮的转速等于弹簧振子的固有频率2 Hz时，振幅最大；发生共振.故转速n从0到5 r/s过程中，振子的振幅先变大后变小，当n=2 r/s时，振幅最大；转速为5 r/s时，M的振动频率为5 Hz，周期为0.2 s.
答案：先变大后变小 2 0.2 s
9.如图11-5-7所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和最大加速度各为多少？（取g=10 m/s2）
图11-5-7
解：从共振曲线可知，单摆的固有频率f=0.5 Hz
因为，所以,代入数据解得l=1 m.
由共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅Am=8 cm，设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得21教育网
又h=l(1-cosθ),当θ很小时,1-cosθ=2sin2
解得vm==0.25 m/s
摆球在最高点时加速度最大，有
mgsinθ=mam,am=gsinθ=g·,代入数据可得
am=0.8 m/s2
答案：1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
走近高考
10.(2006广东高考，6)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A.列车的危险速率为40 m/s
B.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行
思路解析：火车在行驶过程中与铁轨间隙间的碰撞，给火车施加了一个周期性的驱动力，要使火车不发生危险，应使驱动力的周期远离火车的固有周期，因固有周期T0=0.315 s.所以驱动力周期T=T0=0.315 s时使火车发生共振，振幅最大，最为危险，则由得危险速度为=40 m/s,所以A项正确.列车过桥时应防止桥梁发生共振导致桥梁坍塌，基本的做法是减小火车速度而不是防止列车发生共振，所以B项错误.物体受迫振动时的振动频率总等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，所以C项错误.增加铁轨的长度，同时增大列车速度，使驱动力频率远离火车的固有频率，是提高火车车速的一种措施.所以D项正确.21·cn·jy·com
答案：AD
11.在矿山采出的矿石还要经过选矿这一道工序，选矿时主要用到共振筛，共振筛用四根硬弹簧支起，并装有一电动偏心轮，偏心轮每转动一周就给筛子一个驱动力.当筛子做自由振动时，完成10次全振动的时间为15 s，在某电压下，电动偏心轮的转速为30 r/min(转/分).已知：如果增大电压可使偏心轮的转速提高；增加筛子的质量，可增大筛子的固有周期，那么要使共振筛的振幅增大，下列做法中正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A.适当提高输入电压 B.适当降低输入电压
C.增加筛子的质量 D.减少筛子的质量
思路解析：筛子的振幅由驱动力f与固有频率f0的差值决定，即Δf=｜f-f0｜越小，振幅越大，要判断振幅能否增大，就要确定Δf是否减小.21*cnjy*com
筛子的固有频率
驱动力的频率=n=30 r/min==0.5 Hz.
因增大电压可提高转速，可使驱动力频率增加，则Δf减小，可增大振幅；增加筛子的质量，可使固有周期增大，则固有频率减小，从而Δf减小，可使振幅增大.
答案：AC
12.(2006全国高考理综Ⅰ，19)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子.图11-5-8甲所示装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动曲线如图11-5-8乙所示.当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图11-5-8丙所示.【出处：21教育名师】
图11-5-8
若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则（ ）21*cnjy*com
A.由图线可知T0=4 s
B.由图线可知T0=8 s
C.当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D.当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
思路解析：由两振动图象可知T0=4 s，T=8 s，由受迫振动知识知，当T=T0时，弹簧振子发生共振，振子振幅最大，T值离T0越远，振子的振动幅度越小.21世纪教育网版权所有
答案：AC
13.汽车的质量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k=1.5×105 N/m，汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足（l为弹簧压缩的长度）.若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受？
解：人体的固有频率f固=2 Hz,当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受.
即，得：，把f固=2 Hz,g=9.8 m/s2代入求得：l=0.062 5 m.
由胡克定律kl=(m1+nm2)g,=5(人).
答案：5人
5 外力作用下的振动
更上一层楼
基础·巩固
1.下列现象中，利用共振现象的是____________，防止共振产生危害现象的是___________(填序号).
①秋千越荡越高 ②火车过桥时要慢开 ③喇叭常放在音箱内 ④建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别
答案：①③ ②④
2.一物体做阻尼振动，下列说法正确的是( )
A.振幅随时间减小 B.周期随时间减小
C.机械能随时间减小 D.频率随时间减小
解析：物体做阻尼振动，振幅减小，机械能也将减小，但周期和频率与振幅无关，只与其本身的因素有关，所以周期和频率不变.所以选项A、C正确，B、D错误.
答案：AC
3.如图11-5-4所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中，正确的是( )
图11-5-4
A.只有A球、C球振动周期相等
B.C球的振幅比B球小
C.C球的振幅比B球的振幅大
D.A球、B球、C球的振动周期相等
解析：A球振动充当驱动力，B、C两球的振动周期都应当等于A的振动周期，所以选项A错误，D正确.C的摆长与A的摆长相同，周期也相同，所以C做受迫振动的振幅大，所以选项B错误，选项C正确.www.21-cn-jy.com
答案：CD
4.如图11-5-5所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇把,让振子上下自由振动,测得振动频率为2 Hz,然后匀速转动摇把,转速为240 r/min当振子振动稳定后,振子的振动周期是（ ）21·世纪*教育网
图11-5-5
A.0.5 s B.0.25 s C.2 s D.4 s21cnjy.com
解析：匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与原自由上下振动频率无关.21*cnjy*com
摇把匀速转动的转速为240 r/min=4 r/s，角速度ω=8π rad/s，所以驱动力的周期T== s=0.25 s.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
5.一个弹簧振子做受迫运动，它的振幅A与驱动力频率f之间的关系如图11-5-6所示.由图可知( )
图11-5-6
A.频率为f2时，振子处于共振状态
B.驱动力频率为f3时，受迫振动的振幅比共振小，但振子振动的频率仍为f2
C.振子如果做自由振动，它的频率是f2
D.振子可以做频率为f1的等幅振动
解析：由图可以看出，当频率为f2时，振子处于共振状态，说明振子的固有频率为f2,所以选项A、C正确.2-1-c-n-j-y
答案：AC
6.如图11-5-7所示,为某物体做受迫振动的共振曲线,从图中可知该物体振动的固有频率是________________ Hz，在驱动力频率由150 Hz增大到250 Hz的过程中,物体振动的振幅变化趋势是________________.【出处：21教育名师】
图11-5-7
解析：当驱动力频率等于固有频率时振幅最大，所以由图可以判断固有频率为200 Hz，当驱动力频率与固有频率差值越大时，振幅越小，所以在驱动力频率由150 Hz增大到250 Hz的过程中,物体振动的振幅变化趋势是由小到大,再由大到小.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：200 Hz 由小到大,再由大到小
综合·应用
7.一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A.正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大
B.正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小
C.正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率
D.当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
解析：洗衣机切断电源，波轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时波轮的频率与洗衣机固有频率相同，发生了共振.此后波轮转速减慢，则驱动力频率小于固有频率，所以共振现象消失，洗衣机的振动随之减弱，所以选项A、D正确.
答案：AD
8.(2006北京理综)某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10 s内上下振动了6次.鸟飞走后，他把50 g的砝码挂在P处，发现树枝在10 s内上下振动了12次.将50 g的砝码换成500 g的砝码后，他发现树枝在15 s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近（ ）
图11-15-8
A.50 g B.200 g C.500 g D.550 g21世纪教育网版权所有
解析：振动周期公式T=2π，鸟在树枝上，T1=2π= s；50 g的砝码在树枝上，T2=2π s，鸟的质量为50 g的砝码的4倍，所以最接近200 g，所以B选项正确.21教育名师原创作品
答案：B
9.(2006全国理综Ⅰ)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图丙所示.
若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则（ ）
图11-5-9
A.由图线可知T0=4 s
B.由图线可知T0=8 s
C.当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D.当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
解析：若保持把手不动，砝码以一初速度做简谐振动，为自由振动，图乙为砝码的自由振动的图象，由图读出的周期T0=4 s，为砝码的固有周期.当把手以某一速度匀速转动，砝码为受迫振动，此时砝码振动的周期T为驱动力的周期，图丙为砝码的受迫振动的图象，由图读出的周期T=8 s，为砝码受迫振动的周期，也为驱动力的周期.当驱动力的周期越靠近砝码的固有周期时，砝码的振动越强烈，振幅越大.当驱动力的周期越偏离砝码的固有周期时，砝码的振动越弱，振幅越小.所以A、C选项正确.21教育网
答案：AC
10.某工厂的一个车间里，机器一开动，整个车间就灰尘四起，既对工人的健康有害，也影响产品的质量，为此，厂里请来了一个建筑工程师，他到车间看后，叫人在车间里建了几根水泥立柱，问题就解决了.请你解释其中的奥秘.21*cnjy*com
解析：根据题意可知，机器的振动相当于驱动力，使车间发生共振，说明驱动力的频率接近固有频率.要解决问题，只需改变机器的驱动频率或车间的固有频率.
答案：建几根水泥立柱，改变了车间的固有频率，使之不再与机器的振动频率接近，避免车间产生共振现象.
11.如图11-5-10所示，为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长.21·cn·jy·com
图11-5-10
解析：本题主要考查单摆周期公式与共振曲线的综合应用.由图象可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振.由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz，由T=2π=可得,l==1.56 m.2·1·c·n·j·y
答案：1.56 m
12.火车在铁轨上行驶时，由于在铁轨接头处车轮受到撞击而上下振动.如防震弹簧每受104 N的力将被压缩20 mm，而每根弹簧的实际负荷为5 000 kg.问车速多大时，列车振动得最强烈？（设铁轨长为12.5 m，g=10 m/s2,弹簧的固有周期T固=2π）
解析：由题意可知弹簧振子在做受迫振动，要使振动最强烈，必然是弹簧振子发生共振，此时必须满足：T驱=T固.【版权所有：21教育】
答案：根据题意知，防震弹簧的劲度系数为k= N/m=5×105 N/m
由于每根弹簧的实际负荷为m=5 000 kg，所以弹簧的固有周期为
T固=2π=2πs=0.2π s
当振动最强烈时有T驱= s=0.2π s
可得火车的速度为v= m/s≈19.9 m/s.
