3.1.1 空间向量的线性运算
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法．
2．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．
3．能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
1．空间向量的概念
(1)向量：在空间中，具有______和______的量．
(2)相等的向量(同一向量)：同向且等长的有向线段．
(3)零向量：起点与终点____的向量．(手写记作)
(4)向量a的长度或模：表示向量a的有向线段的长度，记作________．
(5)向量的基线：表示向量的有向线段所在的______．
(6)共线向量或平行向量：基线________的空间向量，规定：零向量与任意向量______．
在空间中，A为向量的起点，B为向量的终点．
【做一做1】正方体ABCD－A′B′C′D′中与向量相等的向量有__________个．
2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算
(1)加法：a＋b＝______.
(2)减法：a－b＝______.
(3)数乘：λa：
|λa|＝______，
当λ＞0时，λa与a方向______；
当λ＜0时，λa与a方向______；
当λ＝0时，λa为____向量．
(4)线性运算律
①加法交换律：a＋b＝______；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝________；
③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝__________.
(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立．
(2)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．
【做一做2－1】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b＋c B．a＋b－c
C．a－b－c D．－a＋b＋c
【做一做2－2】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，|－＋|＝__________.
1．如何理解空间向量的有关概念？
剖析：(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样．
(2)零向量的方向是任意的，而不是零向量没有方向．
(3)向量只是用有向线段来表示，但向量不是有向线段，如速度是向量．
(4)共线向量或平行向量，其基线平行或重合均可．共线向量的起点和终点未必共线，平行向量的基线未必平行(可能重合)，应特别注意零向量与任意向量共线．
2．空间向量加法的运算要注意什么？
剖析：(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
如：＋＋＋…＋＝.
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．
即：＋＋＋…＋＋＝0.
(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立．
题型一 空间向量的概念
【例1】下列命题是真命题的序号是__________．
①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与这两个向量不是共线向量．
②若向量a与b平行，则a，b的方向相同或相反．
③若向量，满足||＞||，且与同向，则＞.
④若向量a＝b，则|a|＝|b|.
反思：注意空间向量概念的理解，注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体．
题型二 空间向量的线性运算
【例2】已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，M为CC′的中点(如图)，用图中向量表示运算结果．
(1)+；
(2)++.
分析：(1)利用＝；
(2)利用＝.
反思：注意结合图形使用相等向量转化．
题型三 化简向量表达式
【例3】化简向量－＋＋.
分析：注意使用相反向量－＝.
反思：空间向量的减法运算注意使用相反向量，无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律，同时注意运算结果是0，而不是0.
1 两向量共线是两向量相等的__________条件．
2 M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点，则＝________(＋)．
3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，分别写出与向量共线的向量和相等的向量．
4在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中化简下列各式：
(1)－；
(2)＋＋.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)大小 方向 (3)重合 (4)|a| (5)直线 (6)平行或重合 共线
【做一做1】3
2．(1) (2) (3)|λ||a| 相同 相反 零 (4)①b＋a ②a＋(b＋c) ③λa＋λb
【做一做2－1】C 画图可得＝－＝－(＋)＝－(＋)＝a－b－c.
【做一做2－2】
典型例题·领悟
【例1】④ ①因为与基线平行，所以这两个向量是共线向量；
②若向量a＝0，则a与b平行，但是不能说零向量与某一向量方向相同或相反，否则与零向量的方向是任意的矛盾；
③向量不能比较大小；
④根据向量相等的定义，知此命题正确．
【例2】解：(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
【例3】解：－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
随堂练习·巩固
1．必要不充分 2．
3．解：与向量共线的向量有：，，，，，，；
与向量相等的向量有：，，.
4．解：(1)－＝－＝；
(2)＋＋＝＋＝＋＝.
3.1.1 空间向量的线性运算
课堂导学
三点剖析
一、向量求和的三角形法则
【例1】 已知三棱椎O-ABC中,G为△ABC的重心,=a,=b,=c,试用a,b,c来表示.
思路分析:先在△OBC中考虑中线OD,然后在△OAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2∶1,再次使用向量的运算性质即可.
解：=+
=a+·（+）
=a+(-+-)=(a+b+c)
温馨提示
(1)把平面内的三角形法则推广到空间也有
（2）常用的结论：若AD是△ABC的中线，则有=（+）
二、在平行六面体中的向量问题
【例2】 已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′,点M是棱AA′的中点,点G在对角线A′C上且CG∶GA′=2∶1,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,、.
思路分析:要想用a,b,c表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加法和运算律得到.
解:如下图所示
(1)=+=a+b.
(2)=+=a+b+c.
(3)=+
=++=a+b+c.
(4)==(a+b+c).
温馨提示
在平行六面体内,经常会用到平行四边形法则,另外,“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量”这一结论也经常使用.
三、利用向量解决其他问题
【例3】 证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三倍.
思路分析:要证四面体的顶点与对面重心连线共点,且到顶点的距离是它到对面重心的距离的三位,只须在这4条直线AG1,BG2,CG3,DG4上分别取满足条件的4点H1,H2,H3,H4,然后证明H1,H2,H3,H4四点重合即可.
证明:设G1,G2,G3,G4分别是四面体D—ABC中四个面的重心（如下图），取四点H1、H2、H3、H4,满足
=；=；
=；=；
则=++
=++
=［（++）］++［（++）］
=0
所以，H1与H2重合.
同理可证,H1与H3、H1与H4重合,故H1、H2、H3、H4是同一点,且此点到某顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.
温馨提示
要证明A,B两点共点,只需证明=0即可;或者引入第三个点C,证明=,也可说明点A,B共点.
各个击破
类题演练1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ）
①（+）+
②（）+
③（+）+
④（）+
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：D
变式提升1
已知空间四边形ABCD（如下图），连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则+（+）等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
类题演练 2
已知正方体ABCD—A′B′C′D′(如右图),点E,F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心,求下列各题中x、y的值:
(1)=x(++)
(2)=+x+y;
(3)=+x+y.
解析：(1),
∴x=1.
(2)
∴x=y=.
(3)=+=++,
∴x=y=.
变式提升2
已知平行六面体OABC—O′A′B′C′,且OA=a,=b,=c, 用a,b,c表示如下向量：
（1），；
（2）(G为侧面BC′的对角线交点).
解析：对(1)主要用平行四边形法则,结合图形容易得出=a+b,=c-b.
对(2)主要运用三角形法则的推广形式.
+(+)
=b+(c+a)=a+b+c.
类题演练3
设互不共线的向量a,b,c满足a+b+c=0,证明顺次将它们的始点和终点相连结构成一个三角形.
证明:作=a,=b,=c,则=++=a+b+c=0,所以A、D重合,即a,b,c可以构成三角形.
变式提升3
若G是△ABC的重心,O为空间任意一点,求证: =().
证明:因为G是△ABC的重心，
所以=2(D是BC的中点).
=
=
=(-)+
=［()-］+
=(+).
3.1.1 空间向量的线性运算
课堂探究
探究一 空间向量的概念
解决有关向量概念的问题，要熟练掌握空间向量的有关概念，注意区分向量与向量的模以及数量．相等向量只需方向相同，长度相等，与向量的起点和终点没有必然的联系．
【典型例题1】 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要熟练掌握空间向量的有关概念．
答案：C
探究二 空间向量的线性运算
对于无图形的向量线性运算要注意加、减、数乘向量运算的法则和运算律的应用，还要灵活地通过将一个向量化为它的相反向量进行加减转化；对于有图形的向量运算，则应在运用线性运算知识的基础上更关注图形本身的特征性质．
【典型例题2】 已知在平行六面体ABCD - A′B′C′D′中，M为CC′的中点(如图)．化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)＋；
(2)＋＋.
思路分析：(1)利用＝；
(2)利用＝.
解：(1)＋＝＋＝.向量结果表示如图．
(2)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.向量结果表示如图．
3.1.1 空间向量的线性运算
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法．
2．学会空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律．
3．能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.
1．向量的有关概念
思考1空间向量与平面向量的关系是怎样的？
提示：平面向量的集合是空间向量集合的子集，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如相反向量的概念、向量等式中的移项法则、零向量的性质在空间向量中仍然成立．
思考2零向量是没有方向的吗？
提示：不是，零向量的方向是任意的．
2．空间向量的线性运算
(1)加法：a＋b＝.
(2)减法：a－b＝.
(3)数乘：λa，
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa为零向量．
(4)线性运算律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考3首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，它们的和向量有什么特点？
提示：和向量为0.
点拨空间向量的线性运算中，加法满足三角形法则和平行四边形法则，减法满足三角形法则．
(1)在△ABC中，＋＋＝0.
(2)以向量a，b为邻边的平行四边形中，a＋b与a－b所表示的是两条对角线所对应的向量，|a＋b|与|a－b|为两对角线的长度．
(3)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．
3.1.2 空间向量的基本定理
1．了解共线或平行向量的概念，向量共面的意义，掌握它们的表示方法．
2．了解空间向量共线、共面和分解定理，会选择适当基底表示空间向量．
3．会用本节知识解决简单的立体几何中的问题．
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________的实数x，使________．
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b?存在唯一实数x使a＝xb；②存在唯一实数x，使a＝xb?a∥b.
【做一做1】m＝a＋b，n＝－3b－3a，则m与n共线吗？
2．共面向量定理
(1)向量a平行于平面：向量a的基线平行于平面α或________，则称向量a平行于平面α，记作________．
(2)共面向量定义：__________的向量，叫做共面向量．
【做一做2－1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．
(3)共面向量定理．
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：________的一对实数x，y，使______________．
(4)三个向量共面，又称这三个向量________．
(1)a∥α是指a的基线在平面α内或平行于平面α.(2)共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面．(3)共面向量的定理给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便向量的运算．(4)利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等．
【做一做2－2】若向量a，b不共线，p＝2b，m＝a＋b，n＝a－b，那么p，m，n共面吗？
3．空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个______的有序实数组x，y，z，使p＝__________.这时不共面的三个向量a，b，c叫做空间向量的一个______，记作________．
【做一做3】已知空间向量的一个基底{a，b，c}，m＝a＋b，n＝a－b，则a，b，c中能与m，n构成空间向量的一个基底的是__________．
(1)用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
(4)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
1．如何理解共线向量定理与共面向量定理？
剖析：(1)共线向量定理中注意b≠0，否则当b＝0时，若a≠0，显然a∥b，但是不存在唯一的实数x，使a＝xb，从而“存在唯一的实数x，使a＝xb”不再是a∥b的充要条件．
(2)向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
(3)共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
(4)空间中任意两个向量一定是共面向量．零向量与任意向量共面．
2．如何理解空间向量分解定理？
剖析：(1)只有三个向量a，b，c不共面，其线性组合xa＋yb＋zc才能生成所有的空间向量，否则，若向量a，b，c共面，由数乘向量和向量加法的几何意义，可知其线性组合xa＋yb＋zc表示的只是与a，b，c共面的向量，而不是空间的任意向量．
(2)零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．
(3)注意区分基底与基向量，一个基底{a，b，c}中的a，b，c都叫基向量．
(4)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的．
(5)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1.
题型一 空间向量的共线共面概念
【例1】下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面
C．若向量a，b是非零向量，则a＋b可成为空间向量的一个基向量
D．若存在唯一的一对实数x，y，使p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面
反思：注意理解空间向量共线、共面的意义，重视零向量与任意向量共线、共面，弄清构成空间向量的一个基底的条件．
题型二 判定空间向量共面
【例2】如图所示，设E，F为AB，CD的中点，求证：与，共面．
分析：在图中找封闭的四边形，建立向量相等的关系式．
反思：判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
题型三 空间向量分解定理
【例3】已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试求向量在基底{a，b，c}下的分解式．
分析：在△OMG中，将用和表示出来，然后再逐步将和用向量a，b，c来表示．
反思：要求某向量m在给定基底{a，b，c}下的分解式，就是要找到一组有序实数x，y，z，使m＝xa＋yb＋zc，一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形，通过向量的线性运算，先建立向量的关系式，将目标向量初步表示出来，然后再逐步将各个向量用给定的基向量a，b，c来表示即可．
1．已知向量a，b不共线，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共线，则k的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )
A．共面 B．不共面
C．共线 D．无法确定
3．在四面体ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝，则＝( )
A．－a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
4．如图，ABCD–A1B1C1D1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( )
A．存在唯一的实数对x，y，使得＝x＋y
B．存在唯一的实数对x，y，使得＝x＋y
C．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得＝x＋y＋z
D．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得＝x＋y＋z
5．已知a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．
答案：
基础知识·梳理
1．存在唯一 a＝xb
【做一做1】解：∵存在唯一的实数x＝－，使m＝－n，
∴m∥n，∴m与n共线．
2．(1)在平面α内 a∥α (2)平行于同一平面
【做一做2－1】解：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．
例如：对于空间四边形ABCD，，，这三个向量就不是共面向量．
(3)存在唯一 c＝xa＋yb
(4)线性相关
【做一做2－2】分析：利用向量共面的条件，存在唯一的一对实数x＝1，y＝－1，使p＝xm＋yn.
解：由于p＝m－n，所以p，m，n共面．
3．唯一 xa＋yb＋zc 基底 {a，b，c}
【做一做3】c
典型例题·领悟
【例1】D 对于选项A，当b＝0时，a与b共线，b与c共线，但a与c未必共线；
对于选项B，直线共面是指直线在同一平面内，而向量共面其基线可平行于平面α而不在平面α内，即其基线可以是异面直线；
对于选项C，当a＝－b时，a＋b＝0，不能成为空间向量的一个基向量；
选项D符合共面向量定理．特别地，如果向量a，b共线，则p与向量a，b共线，仍有p与向量a，b共面．
【例2】证明：由题意知，＝＋＋，①
又＝＋＋，②
∵E，F为AB，CD的中点，∴＝－，＝－，
∴①＋②得：2＝＋，
即＝＋，∴与，共面．
【例3】解：如图所示，
由线段中点的向量表达式，得
＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋＝a＋b＋c.
随堂练习·巩固
1．C 若p，q共线，则存在唯一的实数x，使p＝xq，ka＋b＝xa－xk2b.?k＝－1.
2．A 3．A
4．A 若选项A中命题为真，则可得到，，共面．而由图可知，，不共面．
5．证明：∵a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，
∴c＝－2a＋b，故a，b，c这三个向量共面．
3.1.2 空间向量的基本定理
课堂导学
三点剖析
一、三点共线的判定
【例1】 已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,αOA+βOB,求α+β的值.
思路分析:A、B、P三点共线,即满足AP=tAB,
因此有..
解：∵A,B,P三点共线,
∴存在实数t,使.
又∵,∴α=1-t,β=t.
∴α+β=1-t+t=1.
温馨提示
点P,A,B共线的充要条件可写成的形式,或写成的形式.
二、四点共面问题
【例2】O为空间任一点,A,B,C,D四点共面,若,确定x,y,z的关系.
解析:∵A,B,C,D四点共面,
∴存在实数a,b使
即.
于是
所以x=,
y=,
z=
因此x+y+z=1.
温馨提示
四点A,B,C,D共面的充要条件是对空间任一点O,有,且x+y+z=1.
三、空间向量基本定理的应用
【例3】 如下图,已知ABCD,从平面AC外一点O引向量,,求证:
(1)四点E,F,G,H共面;
(2)平面AC∥平面EG.
思路分析:
本题考查利用空间向量基本定理证四点共面及用共线向量定理证线线平行.
证明:（1）因为四边形ABCD是平行四边形,所以
=
=
所以E,F,G,H共面.
(2),且由第(1)小题证明中知,于是EF∥AB,EG∥AC.
所以平面EG∥平面AC.
各个击破
类题演练 1
已知A,B,C三点共线,O为空间任意一点,若,则x的值为多少?
解析：∵A、B、C三点共线,
∴=+(1-t).
∴
解得：x=.
变式提升 1
已知向量,若点A的坐标为(1,2),B点坐标(3,4),求直线MA的斜率.
解析：∵=+,
则M、A、B三点共线,∴kMA=kAB
∵kAB==1.
∴kMA=1.
∴直线MA的斜率为1.
类题演练2
已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外一点,则在下列各条件中,能得到点M与A,B,C一定共面的是（ ）
A.=++
B.=-+
C.=++
D.=2--
答案：B
变式提升 2
若M,P,Q,L四点共面,又=x+(x+1),求x的值.
解析:利用x+x+1+1=1,得x=-.
类题演练3
已知非零向量e1、e2不共线，如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证：A、B、C、D共面.
证明：令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,
则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.
∵e1、e2不共线,∴
易知是其中一组解.
则-5++=0,
∴A、B、C、D共面.
变式提升 3
已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如右图)，并且,.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)=k.
证明:(1)由=+,=+知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵=+=+=k()+km()=k+km=k(+)=k,∴∥.
(3)由(2)知===k()=.
∴
3.1.2 空间向量的基本定理
课堂探究
探究一 共线向量定理的应用
判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．
【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断与是否共线？
思路分析：由共线向量定理，要判断与是否共线，即看能否找到x，使＝x成立．
解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，
∴∥，即与共线．
探究二 共面向量定理的应用
判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
【典型例题2】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数x，y，使＝x＋y，证明了三个向量共面，点M就在平面内．
解：(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，
∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
探究三 空间向量分解定理的应用
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解，空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是唯一的．
【典型例题3】 如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
思路分析：结合图形，从向量出发利用向量运算法则不断进行分解，直到全部用，，表示出来，即可求出x，y，z的值．
解：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则＝＋，
而＝－＝－＝＝(－)，
＝＝B＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
3.1.2 空间向量的基本定理
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解并记住共线向量、共面向量定理及空间向量分解定理．
2．熟记基底、基向量、向量的线性组合的概念．会选择恰当的基底表示空间向量．
3．会用共线向量、共面向量定理和空间向量分解定理解决空间几何中的简单问题.
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
思考1a＝xb是向量a，b共线的充要条件吗？
提示：不是．由a＝xb可得a，b共线，而a，b共线不能得出a＝xb，如当b＝0，a≠0时．
2．向量共面的条件
思考2共面向量定理与平面向量的基本定理有什么关系？
提示：空间向量的共面向量定理与平面向量的基本定理实质相同．
思考3向量与平面平行和直线与平面平行相同吗？
提示：不相同．向量与平面平行，向量所在直线可以在平面内，而直线与平面平行时，两者是无公共点的，即排除直线在平面内的情况．
3．空间向量的分解定理
思考4零向量可以作为基向量吗？
提示：不能．零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．
点拨(1)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的．
(2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1.
3.1.3 两个向量的数量积
1．理解空间向量夹角的概念及表示方法．
2．理解两个向量的数量积的概念．
3．会利用数量积的定义及运算律，计算两个向量的数量积及向量的模．
1．两个向量的夹角
(1)定义及表示：
已知两个______向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角________叫做向量a与b的夹角，记作__________；
(2)范围和性质：
规定____________，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；
如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作________．
【做一做1】向量a，b不共线且模相等，m＝a＋b，n＝a－b，则〈m，n〉＝__________
两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹角为π.
2．异面直线
(1)定义：不同在________平面内的两条直线；
(2)两条异面直线所成的角：把异面直线______一个平面内，这时两条直线的夹角(________)叫做两条异面直线所成的角；如果所成的角是______，则称两条异面直线互相垂直．
【做一做2】正四面体ABCD中，AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．不垂直 D．不能确定
对异面直线定义的理解需注意的问题：①“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
3．向量的数量积
已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的______(或______)，记作a·b，即，a·b＝____________.
【做一做3】|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则a·b＝__________.
4．空间向量数量积的性质
(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(e为单位向量)；
(2)a⊥b?________；
(3)|a|2＝__________；
(4)|a·b|≤______.
两个向量的数量积的性质的作用：
性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角．
性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直．
性质(3)主要用于计算向量的模．
性质(4)主要用于不等式的证明．
5．两个空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)·b＝____________；
(2)a·b＝__________(交换律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【做一做4】下列各式中不正确的是__________．
①＝a；
②a·b＝0?a＝0，或b＝0；
③|a·b|＝|a||b|；
④a·(b＋c)＝(b＋c)·a.
1．如何理解空间向量的夹角？
剖析：(1)只有两非零向量才定义夹角，求向量夹角注意把向量平移到同一起点；
(2)向量夹角的范围是[0，π]，向量同向时夹角为0，向量反向时夹角为π；
(3)注意零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂直．
2．如何理解异面直线？
剖析：(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线，异面直线是不同在任何一个平面内，异面直线既不平行也不相交；
(2)注意异面直线所成角的范围是；
(3)在空间中两直线垂直但未必相交．
3．如何理解空间向量的数量积？
剖析：(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广；
(2)空间向量的数量积运算符号是“·”，不能省略，更不是“×”；
(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量；
(4)因为a·(b·c)没意义，所以空间向量的数量积不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；
(5)若a·b＝k，不能得出a＝；
(6)a⊥b的充要条件是a·b＝0，这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“a·b＝0?a＝0，或b＝0”的错误性．
题型一 求空间向量的夹角
【例1】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求下列各向量的夹角：
(1)与；
(2)与.
分析：结合图形，利用空间向量的夹角定义求．
反思：求两个向量的夹角一种方法是结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义通过解三角形来求，但要注意向量夹角的范围．另一种方法是先求a·b，然后利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
题型二 求空间向量的数量积
【例2】已知长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.
反思：求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性．二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积，通过运算转化为基向量之间的数量积来求．
题型三 空间向量的数量积的应用
【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
分析：可选基底表示出，利用性质|a|2＝a·a来求||.
反思：通过向量数量积的性质，可证明空间中的垂直关系，求空间中两点的距离，求空间中角的度数．
1．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝( )
A．22 B．48 C． D．32
2．若cos〈a，b〉＝，则〈a，b〉＝( )
A．60° B．30° C．45° D．90°
3．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________.
4．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝__________.
5．根据下列等式，求〈a，b〉．
(1)cos〈a，b〉＝1；
(2)cos〈a，b〉＝0；
(3)a·b＝－|a||b|.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)非零 ∠AOB 〈a，b〉 (2)0≤〈a，b〉≤π a⊥b
【做一做1】 用向量加减法的几何意义及菱形的性质可求得〈m，n〉＝.
2．(1)任何一个 (2)平移到 锐角或直角 直角
【做一做2】B
3．数量积 内积 |a||b|cos〈a，b〉
【做一做3】3
4．(2)a·b＝0 (3)a·a (4)|a||b|
5．(1)λ(a·b) (2)b·a
【做一做4】①②③ ①∵＝|a|，∴命题错误；
②∵a·b＝0?a⊥b，∴命题错误；
③∵|a·b|＝|a||b|cos〈a，b〉，∴命题错误；
④正确．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)∵＝，∴〈，〉＝90°.
(2)在BA的延长线上作＝，易知∠EAC＝135°，
∴〈，〉＝135°.
【例2】解：设＝a，＝b，＝c，
则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，||＝2，〈，〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴(1)·＝||||cos〈，〉＝2×2×＝4；
(2)·＝b·＝|b|2＝16；
(3)·＝·(b＋a)
＝－|a|2＋|b|2＝2.
【例3】解：∵∠ACD＝90°，
∴·＝0，同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2×1×1×cos〈，〉，
∴当〈，〉＝60°时，||2＝3＋2cos 60°＝4，
当〈，〉＝120°时，||2＝3＋2cos 120°＝2.
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
随堂练习·巩固
1．A 利用|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)可得|a－b|2＝484，故|a－b|＝22.
2．A
3．－ ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×＝－12，
m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λ|b|2＋(1＋λ)a·b＝0，
∴(3)2＋42λ＋(1＋λ)×(－12)＝0，解得λ＝－.
4． ∵cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.
5．解：(1)∵cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0°；
(2)∵cos〈a，b〉＝0，∴〈a，b〉＝90°；
(3)∵a·b＝－|a||b|，
∴＝－1＝cos〈a，b〉，
∴〈a，b〉＝180°.
3.1.3 两个向量的数量积
课堂导学
三点剖析
一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值
【例1】 如右图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值.
思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求OA·BC的数量积.
解：∵
∴
=||||cos〈,〉-|||AB|cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°
=24-16.
∴cos〈,〉=.
∴OA与BC夹角的余弦值为.
温馨提示
由数量积公式可知cos〈a·b〉=因此要求角的余弦值可先求a·b.
二、利用数量积的性质解决问题
【例2】 如下图，已知平行四边形ABCD中，AD＝４，CD＝３，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长．
思路分析：可将表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a2=|a|2求出长度.
解:∵,
∴||2＝·
=()2
＝
＝62＋42＋32＋2｜｜||cos120°
＝61-12＝49．
∴PC＝7．
温馨提示
求PC的长，先把PC转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模
及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求．
三、证明垂直问题
【例3】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
思路分析:要证EF⊥平面B1AC,可证EF与平面B1AC内的两条相交直线垂直,因此只需证·=0及·B1C=0,即可.
证明：设AB=a,=c,=b,则
=+
=(+)
=()
=()
=(-a+b+c),
=a+b.
∴
=(-a+b+c)5(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b2|-|a|2+0+0)=0.
∴,即EF⊥AB1.
同理EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
温馨提示
要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.
各个击破
类题演练 1
四面体ABCD的各棱长都相等，E、F分别是BC、AD的中点，求异面直线AE、CF所成角的余弦值.
解析：如右图，设边长为a.
∵=(),
=
=,
∴·=（）（）
=（a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°-a2）
=.
又||=||=,∴cos〈·〉=.
∴余弦值为.
变式提升 1
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为e,求向量与向量的夹角.
解：设基向量=a,=b,=c,
则
=-a-b，
=-a+c，
∴=(-a-b)·(-a+c)=e2
∴cos〈,〉==.
∴夹角为60°.
类题演练 2
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60°.则AC1长是多少?
解析：
∴||2=（）2
=+·+·+2·
=1+1+1+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°=6.
∴||=.
变式提升 2
已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC′的长.
解析：，
则||=||2=85，
则||=.
类题演练 3
已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB=CD，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.
解析：，，均可用，，表示，只要证·=0，·=0即可.
变式提升 3
如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
证明：连接DB，取=a,=b,=c,
且|a|=|b|=|c|=1.
则有=+=a+b,
=+=+
=()+=a-b+c,
∴·=（a+b）·（a-b+c）
=|a|2+a·b-a·b-|b|2+a·c+b·c
=-=0.
∴⊥,即AC⊥OB1.
又=+=b+c,
∴·=（a-b+c）·（b+c）
=a·b-|b|2+c·b+a·c-b·c+|c|2
=-+=0，
∴⊥，即OB1⊥AP.∴OB1⊥平面ACP.
3.1.3 两个向量的数量积
课堂探究
探究一 求向量的数量积
求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求．
【典型例题1】 已知长方体ABCD - A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.
解：如图，设＝a，＝b，＝c，
则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，||＝2，〈，〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0，
(1)·＝||||cos〈，〉＝2×2×＝4；
(2)·＝b·＝|b|2＝16；
(3)·＝·＝－|a|2＋|b|2＝2.
探究二 求夹角和距离
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的范围是，故〈a，b〉∈时它们相等，而当〈a，b〉∈时，它们互补．
【典型例题2】 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点．
(1)求MN的长；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用．
解：设＝p，＝q，＝r.由题意|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
(1)＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]
＝
＝×2a2＝.
∴||＝a，∴MN的长为a.
(2)设向量与的夹角为θ，
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－A＝q－p，
∴·＝(q＋r)
＝
＝
＝＝a2.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||·||·cos〈，〉＝a·acos θ，
∴cos θ＝，∴向量与夹角的余弦值为，
从而异面直线AN与CM夹角的余弦值也为.
探究三 数量积性质的应用
1．对于空间两个非零向量a，b，由夹角公式得a⊥ba·b＝0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中的垂直问题．
2．证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零．
【典型例题3】 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
思路分析：解答本题即要证PM⊥QN，只要证明·＝0，需将，用其他向量表示后再进行计算即可．
证明：如图，设＝a，＝b，＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，
∴＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c]．
同理，＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c]．
∴·＝[(b－a)＋c]·＝－(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴·＝0，∴⊥，即PM⊥QN.
探究四 易错辨析
易错点 将向量的夹角与直线夹角混淆
【典型例题4】 如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，计算·.
错解：·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
错因分析：〈，〉＝120°，错解写成了〈，〉＝60°.忽视了向量的方向，混淆了向量夹角与直线夹角．
正解：·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－.
3.1.3 两个向量的数量积
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算规律．
2．会利用向量的数量积求两个向量的夹角及向量的模．
3．会用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
1．两个向量的夹角
思考1两向量共线时，其夹角分别是多少？
提示：两个非零向量共线且同向时，〈a，b〉＝0，两个非零向量共线且反向时，〈a，b〉＝π.
2．异面直线
思考2分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？
提示：不一定，因为这两条直线也可能平行或相交．
思考3在空间中，两直线垂直，那么这两条直线一定相交吗？
提示：不一定，可以是异面直线．
3．两个向量的数量积
思考4两个向量的数量积与数乘向量有何不同？
提示：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a＝0，而0·a＝0.
特别提醒(1)空间向量的数量积的运算符号是“·”，不能省略，更不能写成“×”；
(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量；
(3)空间向量的数量积不满足结合律，即a(b·c)≠(a·b)c；
(4)若a·b＝k，不能得出a＝；
(5)a⊥b的充要条件是a·b＝0，这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“a·b＝0a＝0或b＝0”是错误的．
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
1．了解空间向量坐标的定义．
2．掌握空间向量的坐标运算．
3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．
4．会计算向量的长度及两向量的夹角．
1．空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底．
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．
单位向量i，j，k都叫做________．
【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.
(2)空间向量的坐标表示．
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.
【做一做1－2】向量0的坐标为__________．
向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如
向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到
a＋b＝____________；
a－b＝____________；
λa＝______________；
a·b＝____________.
(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.
3．空间向量平行和垂直的条件
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b(b≠0)?__________?__________，
当b1，b2，b3都不为0时，a∥b?__________；
(2)a⊥b?__________?__________.
【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
|a|＝____________，
|b|＝____________，
cos〈a，b〉＝＝________________________.
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝____________.
【做一做4】向量a＝(2，－1，－1)，b＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，＝__________.
(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；
(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．
如何理解空间向量的坐标及其运算？
剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．
(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标．
(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】设向量a＝(3,5,－4)，b＝(2,1,8)，计算3a－2b，(a＋b)·(a－b)．
分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b，a＋b，a－b；再进行相关运算．
反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．
题型二 空间向量的平行与垂直问题
【例2】设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
分析：解答本题可先由a∥b，a⊥b分别建立x的方程，再解方程即可．
反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a∥b?＝＝??x＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x都不是0.
题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用
【例3】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1,－1,5)，求以，为邻边的平行四边形面积．
分析：已知三点A，B，C的坐标，先求，，||，||，·，再求cos〈，〉，sin〈，〉，从而得到结论．
反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是：
①建立空间坐标系；
②求出相关点的坐标和向量坐标；
③结合公式进行计算；
④将计算的向量结果转化为几何结论．
1．若A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，令a＝，b＝，则a＋b对应的坐标为( )
A．(5,－9,2) B．(－5,9,－2)
C．(5,9,－2) D．(5,－9,－2)
2．下面各组向量不平行的是( )
A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B．c＝(0,1,0)，d＝(1,0,1)
C．e＝(0,1,－1)，f＝(0,－1,1)
D．g＝(1,0,0)，h＝(0,0,0)
3．(2010·广东高考，理10)已知a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)且(c－a)·2b＝－2，则x的值为( )
A．3 B．4 C．2 D．1
4．若A(2,0,1)，B(3,4，－2)，则||＝__________.
5．向量a＝(2，－3，)，b＝(1,0,0)，则cos〈a，b〉＝__________.
6．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a且n⊥b.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)单位 垂直 坐标向量
【做一做1－1】3
(2)唯一 (a1，a2，a3) (a1，a2，a3)
【做一做1－2】(0,0,0)
2．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
【做一做2】(3,5,7)
3．(1)a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ＝＝
(2)a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
【做一做3】
4．＝ ＝
【做一做4】
典型例题·领悟
【例1】解：3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a＋b＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a－b＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，
(a＋b)·(a－b)＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.
【例2】解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，满足a∥b.
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，不满足a∥b，
∴x≠1.
③当x≠0，x≠1时，由a∥b?＝＝??x＝2.
综上所述，当x＝0，或x＝2时，a∥b.
(2)a⊥b?a·b＝0，
∴(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0?1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±.
∴当x＝±时，a⊥b.
【例3】解：∵A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，
∴＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，
＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．
∴||＝＝，
||＝＝，
·＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.
∴cos〈，〉＝＝，
∴sin〈，〉＝，
以，为邻边的平行四边形的面积
S＝||||sin〈，〉＝7.
随堂练习·巩固
1．B a＝＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)，
b＝＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，
故a＋b＝(－5,9，－2)．
2．B A项中b＝－3a，a∥b，C项中f＝－e，f∥e，D项中h＝0，
∴h∥g.
3．C ∵(c－a)·2b＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，
∴2(1－x)＝－2，x＝2.
4． ||＝＝.
5． cos〈a，b〉＝
＝
＝.
6．解：设n＝(x，y，z)，
则n·a＝(x，y，z)·(－2,2，0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
解方程组可得y＝x，z＝x.
于是向量n＝(x，x，x)＝x(1,1,1)，x∈R.
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课堂导学
三点剖析
一、空间向量坐标的表示
【例1】 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，建立如下图坐标系，写出B，C，D，B1，C1，D1点的坐标.
解析:由空间向量坐标的定义可知.
B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2).
温馨提示
求空间向量的坐标要严格按照定义.
二、空间向量坐标运算
【例2】 已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),求a·b,|a|,|b|及（2a+3b）·(a-2b).
思路分析：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.
解：（1）a·b
=4×6+(-2)×(-3)+(-4)×2
=22;
(2)|a|=
=
=36=6;
(3)|b|===7;
(4)(2a+3b)·(a-2b)
=2a2+3a·b-4a·b-6b2
=2×62-22-6×72=-244.
温馨提示
空间向量的坐标运算应把握好新向量的坐标与原坐标的对应关系.
三、向量坐标运算的应用
【例3】 已知空间三点A（0，2，3）、B（-2，1，6）、C（1，-1，5）.
(1)求以、为边的平行四边形的面积；
（2）若|a|=3，且a分别与、垂直，求向量a的坐标.
思路分析：（1）根据公式S=absinθ(θ为a、b边夹角)知首先必须求出、夹角；（2）向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标值决定，我们需要找到三个方程列一个方程组才能求得，依题意这是容易办到的.
解：（1）=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∵cosθ=
=
∴sinθ=.
∴S=|AB|·|AC|·sinθ=.
(2)设a=(x,y,z)，由题意，得
解方程组得
∴a=(1,1,1)或（-1，-1，-1）.
温馨提示
用向量的坐标解决实际问题时，往往与前面所学的知识相结合，构造方程组是求解坐标的一种很好的办法.
各个击破
类题演练 1
与点P(1,3，5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是（ ）
A.(-1,-3,-5) B.(-1,-3,5)
C.(1,-3,5) D.(-1,3,5)
答案：A
变式提升 1
已知i、j、k是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且=-i+j-k,则B点的坐标为 ( )
A.(-1，1，-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.（1，1，1）
答案：A
类题演练2
若a=(1,1,2),b=(3,0,-2),c=(2,-1,0),则a+b+c为（ ）
A.（0，0，6） B.（6，0，0）
C.（6，6，6） D.（0，6，0）
答案：B
变式提升2
下列各项中为单位向量的是（ ）
A.a=(0,0,-1) B.b=(1,2,3) C.c=(1,1,1) D.d=(,,)
答案：A
类题演练 3
已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则|b-a|的最小值是_________________.
答案：
变式提升3
如果三点A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（a，3，b+2）在同一条直线上，那么( )
A.a=3，b=-3 B.a=6，b=-1
C.a=3，b=2 D.a=-2，b=1
答案：C
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课堂探究
探究一 空间向量的坐标运算
解决空间向量的坐标运算问题，首先要正确记忆空间向量的直角坐标运算公式，其次要结合向量的运算法则，先化简，再代入坐标运算．
【典型例题1】 已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b；
(2)a－b；
(3)a·b；
(4)2a·(－b)；
(5)(a＋b)·(a－b)．
思路分析：利用空间向量的直角坐标运算求解．
解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)
＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)方法1：2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
方法2：2a·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝|a|2－|b|2
＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
探究二 空间向量的平行与垂直问题
要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
【典型例题2】 设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
思路分析：解答本题可先由a∥b，a⊥b分别建立关于x的方程，再解方程即可．
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，满足a∥b.
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，不满足a∥b，
∴x≠1.
③当x≠0，x≠1时，a∥b＝＝x＝2.
综上所述，当x＝0，或x＝2时，a∥b.
(2)a⊥ba·b＝0，
∴(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝01－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±.
∴当x＝±时，a⊥b.
探究三 空间向量的夹角及长度公式的应用
空间向量的夹角及长度公式除直接应用在向量的计算中外，经常利用其求异面直线所成的角以及线段的长度，通过应用向量的坐标运算使立体几何中复杂的角与距离的计算简单化．
【典型例题3】 已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a.
思路分析：(1)由公式S＝absin θ(θ为a，b边的夹角)知，需首先求出与的夹角．(2)向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标的值确定，这就需要找到三个方程列出方程组求得a.
解：(1) ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
设θ为，的夹角，
则cos θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
∴S＝||||sin θ＝7.
∴以，为边的平行四边形面积为7.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意，得
解得或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
探究四 易错辨析
易错点 忽视参数的取值范围
【典型例题4】 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c的夹角的余弦值．
错解：(1)c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
|c|＝＝＝，
所以当t＝时，|c|的最小值为.
(2)当t＝时，c＝，
所以cos〈b，c〉＝＝＝0，
即b和c的夹角的余弦值为0.
错因分析：(1)题设中关于x的方程有两实根，应考虑t的限制，而不是t∈R.
(2)向量夹角和直线夹角既有联系又有区别．
正解：(1)因为关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，
即－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)
＝(－1＋t,1,3－2t)，
所以|c|＝＝.
因为t∈时，上述关于t的函数单调递减，
所以当t＝－时，|c|取最小值.
(2)当t＝－时，c＝，
所以cos〈b，c〉＝
＝
＝－
＝－.
所以向量b与c夹角的余弦值为－.
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．
3．能够用向量工具将几何问题转化为代数问题来解决.
1．空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底．
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．
单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标表示．
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．
思考1空间向量a＝(a1，a2，a3)平行于坐标平面xOy时其坐标有何特点？
提示：a3＝0.
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
思考2空间向量的坐标与向量终点的坐标有什么区别？
提示：向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量其坐标才等于向量终点的坐标．
3．空间向量平行和垂直的条件
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b(b≠0)a＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，
当b1，b2，b3都不为0时，a∥b＝＝；
(2)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
|a|＝＝，
|b|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝.
思考3空间向量模的坐标计算公式与平面向量模的计算公式是否一致，有怎样的几何意义？
提示：空间向量的模表示向量的长度，计算公式与平面向量的长度计算公式一致，其几何意义是指以原点为起点的有向线段的长度．
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课堂探究
探究一 利用向量方法判定线、面的位置关系
解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．
【典型例题1】 (1)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u，v分别是两个不重合的平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α，l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，
∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝0，∴u⊥a，∴l∥α或lα.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
探究二 平面法向量的求法
求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可．
【典型例题2】 已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
思路分析：设平面ABC的一个法向量为n，则n垂直于平面ABC内的任意向量，不妨取，，然后将向量垂直转化为数量积为0，求得n.
解：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
因为n⊥，n⊥，
所以
令x＝1，得y＝z＝1，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
归纳求法向量的步骤为：
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量．
探究三 利用向量法证明空间中的平行关系
用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：
(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行．
【典型例题3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
思路分析：证明线面平行有三种方法：一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理．
证法一：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，∴MN∥平面A1BD.
证法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面A1BD.
证法三：∵＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝＋－－
＝＋＋(－)
＝＋＋＝＋0·D.
即可以用与线性表示，
∴与，是共面向量，
∴∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD.
探究四 向量法证明垂直关系
证两直线垂直可转化为证两直线的方向向量垂直．
(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法．
(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.
向量法证明线面垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明．而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成．
【典型例题4】 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
思路分析：(1)建立空间直角坐标系→确定，的坐标→计算·→AE⊥CD；
(2)求平面ABE的法向量n→判断满足＝kn(k∈R)→PD⊥平面ABE或确定，，的坐标→计算·，·→→PD⊥平面ABE.
证明：(1)∵AB，AD，AP两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，
∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)证法一：∵＝(1,0,0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
证法二：∵P(0,0,1)，
∴＝.
又·P＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
又∵＝(1,0,0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
【典型例题5】 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
思路分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则B(0,0,0)，D(0，a,0)，A(0,0，a)，C，E，F.
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
∴＝为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，得x＝y.
由n·＝0得z＝－y，取y＝1，
得n＝(1,1，－)．
∵n·＝0，∴n⊥，∴平面BEF⊥平面ABC.
探究五 三垂线定理及其逆定理
1．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：
(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”．
(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反．
2．三垂线定理及逆定理应用中的三个环节
用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．
【典型例题6】 如图，空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内的射影 O1是△BCD的垂心，求证：B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心．
思路分析：应用三垂线定理一定要分清斜线与射影，并注意第三条垂线要与射影在同一平面内．
证明：连接DO1，BO1，AO2，CO2.
∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.
又AO1⊥平面BCD，
∴BC⊥AD(三垂线定理)．
∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影，
∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．
同理，AO2⊥CD.
∴O2是△ACD的垂心．
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解直线的方向向量与平面的法向量．
2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．
4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理.
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量
给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l，向量a称为该直线的方向向量．
(2)空间直线的向量参数方程
点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量＝ta.①
对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta.②
如果在l上取＝a，则②式可化为＝＋t＝＋t(－)，即＝(1－t)＋t.③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．
(3)线段AB的中点M的向量表达式
设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则＝(＋)．
思考1空间一条直线的方向向量唯一吗？
提示：不唯一．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合v1∥β，且v2∥β.
思考2如何用向量的方法证明空间中的平行关系？
提示：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a∥b，即a＝λb(λ∈R)．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3．用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补；
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为θ，则
l1⊥l2v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.
思考3两直线所成的角与这两直线方向向量的夹角有何关系？
提示：两直线方向向量的夹角为锐角时，两直线所成的角与其相等，两直线方向向量的夹角为钝角时，两直线所成的角与其互补．
4.平面的法向量及其应用
思考4一个平面的法向量是否唯一？
提示：不唯一，一个平面的法向量有无数多个．
5．三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
思考5三垂线定理及其逆定理有何区别与联系？
提示：联系：都是一面四线，三种垂直关系．
区别：①从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”，而逆定理恰好相反；②从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直异面直线垂直”，而逆定理恰好相反．
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
课堂导学
三点剖析
一、直线的方向向量
【例1】 已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得∶ =1∶3.
思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式.
解：设P(x,y,z)，
由已知=3，
∴=3()，
∴4=+3，
=+，
∴(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)
=(,,).
∴x=,y=,z=,
即点P(,,).
温馨提示
求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解.
二、平行与垂直
【例2】已知三棱锥O—ABC中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB？
思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.
解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).
由BD∥AC,DC∥AB∥,∥,因此
即D点的坐标为(-1,1,2).
温馨提示
将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.
三、角和距离问题
【例3】 如下图,SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC,求异面直线SC与AB所成角的余弦值.
思路分析:可先建立空间直角坐标系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.
解:以点A为坐标原点,AC为y轴的正向建立空间直角坐标系.
设SA=AB=BC=a,
则B(a,a,0),C(0,a,0),S(0,0,a)
那么AB=(a,a,0),
=(0,,-a).
由cos〈,〉
=.
故SC与AB所成角的余弦值为.
温馨提示
在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.
各个击破
类题演练 1
已知A(1,1,0),B(2,2,3),且=,求点C坐标.
解析:设C(x,y,z).
由=,
得=,=+,
∴(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(,,3),
∴C(,,3).
变式提升 1
已知梯形ABCD中,AB∥CD,其中A(1,1,2),B(2,3,4),若C点(0,1,1),D点为(2,x,y),试求D点坐标.
解析:=(1,2,2),=(2,x-1,y-1),
则.
得x=5,y=5.
∴D点坐标为(2,5,5).
类题演练 2
已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，
确定P、Q的位置，使得QB1⊥PD1.
解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,设BP=t,
得CQ=,DQ=2，
那么B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),
Q(2,2,0).
从而=(,-2,2),
=(-2,2-t,2).
由QB1⊥PD1·=0，
即-2(2-t)+4=0t=1.
故P、Q分别为BC、CD的中点时，QB1⊥PD1；
变式提升 2
棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.
求证：EF⊥CF.
证明:建立空间直角坐标系O—xyz,
则D（0，0，0）,E(0,0,),F(,,0),G(1,1,),C(0,1,0),
∴=(,,-),=(,-,0),
∴·=×+×()+0=0.
∴CF⊥EF.
类题演练 3
知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,求PO的中点M到△PBC的重心N的距离.
解：建立如右图所示的空间直角坐标系，则B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6）,由题意得M（0，0，3），N（0，，2）.
于是|MN|
=
=.
故M到△PBC的重心N的距离为.
变式提升 3
正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.
(1)求与所成角的余弦;
(2)求CE的长.
解析：建立空间直角坐标系，=（，，-），=（1，0，），=（0，-1，）.
(1)∵·=,
||=，||=.
∴cos〈,〉=
(2)||=.
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
1．理解直线的方向向量与平面的法向量．
2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．
4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理．
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量．
给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，这时点P的位置被t的值完全________，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且________向量a的一条________，向量a称为该直线的________．
一条直线有无数个方向向量．
(2)空间直线的向量参数方程．
点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量＝ta.①
对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta.②
如果在l上取＝a，则②式可化为＝＋t＝＋t(－)，即＝(1－t)＋t.③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．
(3)线段AB的中点M的向量表达式
设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则＝__________.
【做一做1】若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
空间三点P，A，B满足＝m＋n，且m＋n＝1，则P，A，B三点共线．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合?__________.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内?存在两个实数x，y，使__________．
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合?__________.
【做一做2】l1的方向向量v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝__________.
3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ__________；
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为θ，则
l1⊥l2?__________，cos θ＝__________.
【做一做3】设直线l1和l2的方向向量夹角为120°，则l1和l2这两条直线所成的角为__________．
两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．
4．法向量的概念
已知平面α，如果向量n的________与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量，或说向量n与平面α正交．
【做一做4】若n＝(2,2,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作平面α的法向量的是( )
A． B．(2,3,1)
C． D．(2,2,2)
5．平面的向量表示式
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，________通常称为一个平面的向量表示式．
【做一做5】n为空间任一非零向量，若·n＝0，·n＝0，则向量A，M，B，N四点是否在同一平面内？
6．利用法向量判断平面与平面的平行与垂直
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到
平面α∥平面β或α与β重合?n1______n2；
平面α⊥平面β?________?________.
【做一做6】平面α，β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α，β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判断
(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．
(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：
①建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)．
②通过向量运算研究垂直关系问题．
③根据运算结果解释相关问题．
7．三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理：如果在______的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在平面内的______垂直．
定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．
【做一做7】斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b__________垂直．(填”一定”或”不一定”)
1．空间直线的向量参数方程有什么作用？
剖析：直线的向量参数方程＝ta是＝＋ta和＝(1－t)＋t的基础．空间中P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ(λ＋μ＝1)．
2．如何用向量的方法证明空间中的平行关系？
剖析：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a∥b即a＝λb(λ∈R)．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可；证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法．
3．如何理解平面的法向量？
剖析：平面的法向量并不唯一，并且垂直于平面内的所有向量．
设n1，n2分别是平面α，β的法向量：
平面α∥平面β或α与β重合?n1∥n2；
平面α⊥平面β?n1⊥n2?n1·n2＝0.
题型一 利用向量方法判定线、面的位置关系
【例1】(1)设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，判断l1，l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u，v分别是平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α，l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
反思：解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．在向量问题转化为几何问题时，注意两者的区别，如第(3)问中的①题，直线的方向向量和平面平行，则直线可能在平面内，也可能与平面平行．
题型二 平面的法向量的求法
【例2】四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面SCD和平面SAB的法向量．
分析：解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内不共线的两个向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．
反思：平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解一个三元一次方程组，求得其中的一个即可．构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中的法向量的设法值得借鉴．
题型三 利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
求证：CE∥平面C1E1F.
反思：此类题目，能建坐标系的先建立坐标系，找出相应直线的方向向量和平面的法向量，并确定它们对应的坐标，进行求解、证明；不方便建系的可以用基向量法．
题型四 向量法证明线线垂直、线面垂直
【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
分析：(1)建立空间直角坐标系→确定，的坐标→计算·→AE⊥CD；
(2)求平面ABE的法向量n→判断满足＝kn(k∈R)→PD⊥平面ABE或确定，，的坐标→计算·，·→→PD⊥平面ABE.
反思：(1)证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量数量积为零．
(2)证明线面垂直有两种方法．
一是用线面垂直的判定定理证明；
二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证．
题型五,向量法证明面面垂直
【例5】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直即数量积为零即可．
反思：证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直，另一种方法是证明两个平面的法向量垂直．应用后一种方法的关键是①建立适当的空间直角坐标系；②求出平面的一个法向量；③判断两个法向量的关系；④由法向量的关系转化为平面关系．
1两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
2已知动点P的竖坐标为0，则动点P的轨迹是( )
A．平面 B．直线
C．不是平面也不是直线 D．以上都不对
3已知两条异面直线l1，l2的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v2〉＝－，则l1与l2所成角的余弦值为__________．
4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为__________．
5已知v＝(－2,2,5)，u＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，则α与β__________.
6求证：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，是平面ACD1的法向量．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)确定 平行于 直线l 方向向量
(2)(＋)
【做一做1】A
2．(1)v1∥v2 (2)v＝xv1＋yv2 (3)v1∥β且v2∥β
【做一做2】2
3．(1)相等或互补 (2)v1⊥v2 |cos〈v1，v2〉|
【做一做3】60°
4．基线 垂直
【做一做4】A
5．平面 ·n＝0
【做一做5】解：不一定．
6．∥ n1⊥n2 n1·n2＝0
【做一做6】B
7．平面内 射影 斜线 斜线 射影
【做一做7】不一定(因为a不一定在平面α内)
典型例题·领悟
【例1】解：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b.∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0.
∴a⊥b.∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，
∴u＝－v.∴u∥v.∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝0.∴u⊥a.∴l∥α或l?α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a.∴u∥a.∴l⊥α.
【例2】
解：∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，
∴＝(1,0,0)是平面SAB的法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.
又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.
∴n＝即为平面SCD的法向量．
【例3】证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1，
设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，
∴即取n＝(1,2,1)．
∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
∴⊥n，且?平面C1E1F.
∴CE∥平面C1E1F.
【例4】证明：(1)∵AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得A·C＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，
∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)证法一：∵P(0,0,1)，∴＝.
又·＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
又∵＝(1,0,0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
证法二：∵＝(1,0,0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
【例5】证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝a，则B(0,0,0)，D(0，a,0)，A(0,0，a)，C，E，F.
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∴＝为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，得x＝y.
由n·＝0得z＝－y，取y＝1，
得n＝(1,1，－)．∵n·＝0，∴n⊥，
∴平面BEF⊥平面ABC.
随堂练习·巩固
1．A
2．A 点P在坐标平面xOy内．
3． 因为l1与l2所成角的范围是且cos〈v1，v2〉＝－，所以l1与l2所成角的余弦值为.
4．± 设单位法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
解得n＝±.
5．垂直 由v·u＝(－2)×6＋2×(－4)＋5×4＝0可得．
6．证明：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)．
＝(1,1,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，·＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，所以⊥.同理，⊥.又因为AD1∩AC＝A，所以⊥平面ACD1，从而是平面ACD1的法向量．
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课堂导学
三点剖析
一、直线的方向向量
【例1】如下图,四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.
分析：此题是立体几何的一个综合题型,运用全等三角形和三垂线定理也可以证明,但思路不易找出,作辅助线较多,容易在解题中受阻,而出错,甚至放弃,此题若用空间直角坐标系和向量知识,很易解决.
证明：以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如下图所示的直角坐标系.
设E(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,,).
=(0,,),
=(2a,1,-1),=(2a,0,0).
·=0，
所以⊥即⊥.
·=0,
所以⊥即EF⊥AB.
又PB平面PAB,AB平面PAB,PB∩AB=B,
所以EF⊥平面PAB,命题得证.
温馨提示
坐标运算证明向量垂直的关键在于建立适当的坐标系并且正确的求出坐标.
二、平面的法向量
【例2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量.
证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如右图所示的空间直角坐标系D—xyz,则各点的坐标为
A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1).
所以=(1,1,1),
=(-1,1,0),
=(-1,0,1)
因为·=1×(-1)+1×1+1×0=0，
所以⊥.
同理⊥.
又AC∩AD1=A,
所以⊥平面ACD1,
从而是平面ACD1的法向量.
温馨提示
利用平面法向量证垂直平行问题.
三、直线、平面向量的应用
【例3】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
证明：建立如右图所示坐标系，不妨假定正方体每边长为2，则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）.
于是=(1,1,2),=(-2,2,0),=(-2,0,1).由于·=-2+2=0,及·=-2+2=0，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∴OB1⊥平面PAC.
温馨提示
立体几何中的向量方法——“三步曲”.
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系.
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
各个击破
类题演练 1
如右图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
答案：(1)证明:建立题图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),
F(,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4).
=(-,,0),=(2,2,0),
=(0,0,4),
∴·=0，·=0.
∴EF⊥DB,EF⊥DD1,∴EF⊥平面BDD1B1.
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)解:设平面B1EF的法向量
n=(x,y,z),则n⊥,n⊥.
又=(0,,4),
∴n·=-+y=0,n·=y+4z=0.
∴x=y,z=y,
取y=1,得n=(1,1,).
又=（2，2，0），
∴点D1到平面B1EF的距离为d=.
变式提升1
已知棱锥P—ABCＤ的底面是菱形，∠BCD=60°,PD⊥AD,点E是BC边的中点.
求证：AD⊥平面PDE.
证明：连结BD.如右图;
∵底面ABCD是菱形,∠BCD=60°,
∴△BCD是正三角形.
∵点E是BC边的中点,
∴DE⊥BC.
∵AD∥BC,
∴AD⊥DE.
∵PD⊥AD,PD∩DE=D,
∴AD⊥平面PDE.
类题演练 2
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a,AB=2a.
求证：MN∥面ADD1A1.
证明:建立如右图的坐标系，则=(,0,).
取n=(0,1,0),显然n⊥面ADD1A1.
·n=0,∴⊥n.
又MN面ADD1A1，
∴MN∥面ADD1A1.
变式提升 2
若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则（ ）
A.l∥α B.l⊥α
C.lα D.l与α斜交
答案：B
类题演练 3
如右图，ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点.
求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.
证明：取AB1的中点M，则
=++.
又=++,
两式相加得2=+=+.
由于2·=(+)·=0,
2·=(+)·(-)=||2-||2=0,
∴DM⊥AA1,DM⊥AB.
∴DM⊥平面ABB1A1.
而DM平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
变式提升 3
若直线l1、l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则（ ）
A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1、l2相交不平行 D.不能确定
3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量
课堂探究
探究一 用定义法求直线与平面所成的角
利用定义法求直线与平面所成的角，首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小．其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”．
【典型例题1】 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．
思路分析：在求解斜线和平面所成的角时，确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题．
解：如图，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足．
则AO∥GE，AO＝2GE.
连接GC，则∠ECG为EC和平面BCD所成的角．
因为AB＝AC＝AD，所以OB＝OC＝OD.
因为△BCD是正三角形，
所以O为△BCD的中心．
连接DO并延长交BC于F，
则F为BC的中点．
令正四面体ABCD的棱长为1，
可求得CE＝，DF＝，OD＝，
则AO＝＝＝，
所以EG＝.
在Rt△ECG中，sin∠ECG＝＝.
归纳找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．
探究二 向量法求直线与平面所成的角
利用向量法求直线与平面所成角的优势在于不用找角，只需求出直线的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量s和平面的法向量n；(3)设线面角为θ，由sin θ＝得出θ的值，需注意的是θ的范围是.
【典型例题2】 如图所示，在直三棱柱ABO-A1B1O1中，OO1＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A1B1的中点．P是侧棱BB1上的一点，若BD⊥OP，求OP与底面AOB所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)
思路分析：由于题中所给图形是直三棱柱，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
解：如图所示，以O点为原点，，，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
由题意有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)．
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
因为BD⊥OP，所以·＝－＋4z＝0，所以z＝.
因为平面PBO⊥平面ABO，所以OB为OP在平面ABO内的射影，所以∠POB为OP与平面ABO所成的角．
又因为BB1⊥平面AOB，
所以是平面AOB的一个法向量，且＝(0,0,4)，
所以sin∠POB＝|cos∠BPO|＝＝＝.
所以OP与底面AOB所成的角为arcsin.
探究三 定义法求二面角的大小
所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有：
(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；
(2)在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；
(3)在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．
【典型例题3】 已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B-AP-C的大小．
思路分析：本题可考虑利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可考虑用射影面积公式求出二面角的大小．
解法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
∴BE⊥平面PAC.
由三垂线定理有BF⊥PA，
∴∠BFE是二面角B-PA-C的平面角．
设PC＝1，由E是AC中点，
得BE＝，EF＝×sin 45°＝，
∴tan∠BFE＝＝，∴∠BFE＝arctan.
解法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
∵PC⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
∴△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1，
∴△PAB中AB边上的高h＝.
∴S△PAB＝，又S△PAE＝S△PAC＝.
设二面角B-PA-C的大小为θ，
由射影面积公式有cos θ＝＝，∴θ＝arccos.
探究四 向量法求二面角
利用向量法求二面角常有如下两种方法：
方法一：分别在二面角α-l-β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．
cos〈n1，n2〉＝，n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上．
方法二：通过法向量求解
设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．
此方法的运用适宜于：
(1)在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．
(2)二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．
(3)具体求解过程中，先求m1与m2所成锐角θ，cos θ＝.
若二面角为锐角，则为θ；
若二面角为钝角，则为π－θ.
【典型例题4】 在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD.SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．
思路分析：解答本题可建立空间直角坐标系，转化为求法向量的夹角．
解：以A为原点建立空间直角坐标系如图．
则D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A(0,0,0)，＝，＝(1,1，－1)，＝.
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴
∴∴
令z＝1，得n＝(－1,2,1)，而是平面SAB的法向量．
∴cos〈，n〉＝＝.
观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角为锐角，其余弦值为.
探究五 易错辨析
易错点 混淆直线的方向向量和平面法向量的夹角与线面角
【典型例题5】 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与底面ABCD所成角的正弦值．
错解：由向量加法知＝＋＝＋＝(＋)＋，设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可求出||＝，∴·＝－，∴cos〈，〉＝＝＝－，∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为＝.
错因分析：用向量法求线面角时，sin θ＝|cos〈a，n〉|，而不是说直线的方向向量与平面的法向量的夹角即是线面角．
正解：由向量加法知＝＋＝＋＝(＋)＋.
设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可得||＝，∴·＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.
3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2．掌握最小角定理及公式cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．
3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．
4．会利用向量法解决二面角的计算问题.
1．直线与平面所成的角
思考1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？
提示：直线与平面的夹角的取值范围是，斜线与平面的夹角的取值范围是.
2．最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式：
cos θ＝cos_θ1cos_θ2，
如图，θ是OA与OM所成的角，
θ1是OA与OB所成的角，
θ2是OB与OM所成的角．
(2)最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？
提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？
提示：不成立．
3．二面角及其度量
思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？
提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；
(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．
2．二面角的范围是[0，π]．
3.2.3 直线与平面的夹角
课堂导学
三点剖析
一、最小角定理的应用
【例1】 已知四棱锥P-ABCD（如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱PA⊥底面ABCD，PA=a,M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q.
(1)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为.求PA的长；
(2)PA=2,求PM与平面PCD所成角的正弦值.
解：(1)=（2，2，-a），平面PBA的一个法向量为n==(0,1,0).
∵直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，
∴|cos〈,n〉|=,
即
∴a=2,即PA=2.
(2)=（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),则
解得∴n=(0,1,1).
∴cos〈,n〉=.
∴PM与平面PCD所成角的正弦值为.
温馨提示
最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置.
二、利用三垂线定理求线面角
【例2】 如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
(1)证明：PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值.
(1)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点.
在△PAC中,EO是中位线,
∴PA∥EO.
而EO平面EDB且PA平面EDB.
所以,PA∥平面EDB.
(2)解：作EF⊥DC交DC于F.连结BF.
设正方形ABCD的边长为a,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∴EF∥PD,F为DC的中点.
∴EF⊥底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.
在Rt△BCF中,
BF=.
∵EF=PD=,∴在Rt△EFB中,
tan∠EBF=,则BE与面ABCD所成角的正切值为.
温馨提示
解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷.
三、利用向量求线面角
【例3】 如右图所示的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1∶AB=2∶1,E、F分别为面A1C1和面BC1的中心.求
（1）异面直线CE与AF所成的角；
（2）A1F与平面BCC1B1所成的角；
解：如右图，以D为原点，DA为Ox轴正方向，DC为Oy轴正方向，DD1为Oz轴正方向建立空间直角坐标系.
∵A1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A1（2，0，4），B1（2，2，4），∴=（1，-1，4），=（-1，2，2），=（-1，2，-2），=（-1，0，-2），=（0，0，-4），=（1，1，-4）.
(1)设异面直线CE和AF所成的角为α,则
cosα＝
∴α=arccos,此即异面直线CE和AF所成的角.
(2)∵A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1F与平面BCC1B1，所成的角为∠A1FB1（设为β）.
则cosβ=
=
=.
∴β=arccos.
此即为A1F与平面BCC1B1所成的角.
温馨提示
充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.
各个击破
类题演练 1
PA、PB、PC从P引出三条射线每两条的夹角都是，则直线PC与面PAB所成角的余弦值为多少？
解析：设点C在面PAB上的射影为H，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH即为所求的线面角，有
cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=.
变式提升 1
面α垂直面β,交线为CD，A∈CD,APα,∠DAP=30°,QAβ,∠DAQ=30°,求∠PAQ的大小.
解析：过P作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM为直线AP与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=,得θ=∠PAQ=arccos.
类题演练 2
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA1=AC=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
求AB与平面ABD所成角的大小.
解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连结EF、FC，因为D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，所以CDEF为矩形.连结DF,G是△ADB的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=,则FC=ED=,BE=,则sin∠EBG==,所求的角为arcsin.
变式提升 2
如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.
若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,
∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB.
∴NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,
连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH=.
类题演练 3
如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求CD与平面ADMN所成的角.
解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，,1），D（0，2，0）.
(1）∵·=（2，0，-2）·（1，-，1）=0，
∴PB⊥DM.
(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，
∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，
∴PB⊥平面ADMN.∵〈PB，DC〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.
∵cos〈，〉=.
∴CD与平面ADMN所成的角为arcsin.
变式提升 3
如右图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧 棱长为a，求AC1与侧面AB1所成的角.
解:=(0,0,a).设侧面A1B的法向量n=(λ,x,y),所以n·=0，且n·=0，∴ax=0,且ay=0,∴x=y=0,故n=(λ,0,0).
∵=(a,,a).
∴cos〈,n〉===.
∴sinθ=|cos 〈,n〉|=,∴θ=30°.
3.2.4 二面角及其度量
1．理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．
2．会求直线与平面所成的角．
3．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．
4．掌握求二面角大小的基本方法．
1．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为______；
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为______；
(3)斜线和它在平面内的______所成的角叫做斜线和平面________(或斜线和平面的夹角)；
(4)直线与平面的夹角的范围是.
【做一做1】直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°，则直线l与平面α的夹角为( )
A．135° B．45°
C．75° D．以上均错
2．最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式：
cos θ＝________，
如图，θ是OA与OM所成的角，
θ1是OA与OB所成的角，
θ2是OB与OM所成的角．
(2)最小角定理：
斜线和它在平面内的________所成的角，是斜线和这个平面内________________中最小的角．
【做一做2】一条直线与平面的夹角为30°，则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．150°
3．二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做________．
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作________．
(3)二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做________________．
(4)二面角的范围是[0，π]．
(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．
(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．
(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．
(3)两个平面相交，构成四个二面角．
【做一做3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1C－A1的平面角的正切值为( )
A．1 B．
C． D．
4．设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与二面角α－l－β____________________.
【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3，－6,5)，则这个二面角的余弦值是( )
A．0 B． C． D．
1．如何理解直线与平面所成的角？
剖析：此概念应分三种情况：
(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；
(2)直线与一个平面垂直时，直线与平面的夹角为90°；
(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0°.
2．如何用向量求线面角？
剖析：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
3．如何理解二面角的平面角？
二面角的平面角必须具备三个条件：
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；
(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关．
4．如何求二面角？
(1)作出二面角的平面角；
(2)利用法向量的夹角．
题型一 用定义求直线与平面所成的角
【例1】已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小．
分析：解答本题可找出点A在平面内的射影位置，作出线面角，然后解三角形求出线面角．
反思：用定义法求直线与平面所成角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．
题型二 向量法求直线与平面所成的角
【例2】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值．
分析：因为是直三棱柱，所以本题可建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解．
反思：利用向量法求斜线与平面的夹角优势在于不用找角，只需建立适当的坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再用公式求解即可．但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系．
题型三 定义法求二面角的大小
【例3】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DC＝BC＝a，AB＝a.
(1)求证：平面ABC垂直于平面ADC；
(2)求二面角C－AB－D的大小．
分析：(1)可利用面面垂直的判定定理证明；
(2)利用平面ABC垂直于平面ADC，作出所求二面角的平面角，然后解三角形求角．
反思：所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有：①找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；②在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；③在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．
题型四 向量法求二面角的大小
【例4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的大小．
分析：本题可建立空间直角坐标系，分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量，然后通过法向量的夹角获得二面角的大小．
反思：向量法求二面角有如下方法：
(1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量，转化为这两个向量的夹角，但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上．
(2)建空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量m，n，根据cos θ＝求得锐角θ，若二面角为锐角，则为θ，若二面角为钝角，则为π－θ.
1正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
2正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角是( )
A．arctan B．arctan
C．arctan D．arctan
3若BC在平面α内，斜线AB与平面α所成的角γ，∠ABC＝θ，AA′⊥平面α，垂足为A′，∠A′BC＝β，那么( )
A．cos θ＝cos γ·cos β B．sin θ＝sin γ·sin β
C．cos γ＝cos θ·cos β D．cos β＝cos γ·cos θ
4已知正四面体ABCD，则二面角A－BC－D的余弦值为( )
A． B． C． D．
5设a＝(0,1,1)，b＝(1,0,1)分别是平面α，β的两个法向量，则锐二面角α－l－β的大小是( )
A．45° B．90° C．60° D．120°
答案：
基础知识·梳理
1．(1)90° (2)0° (3)射影 所成的角
【做一做1】B 直线与平面的夹角的范围是，所以直线l与平面α的夹角为180°－135°＝45°.
2．(1)cos θ1cos θ2 (2)射影 所有直线所成角
【做一做2】A
3．(1)半平面 (2)二面角 棱 面 α－l－β A－l－B (3)二面角α－l－β的平面角
【做一做3】B 设A1D，B1C的中点分别为E，F，可知∠AFE是所求二面角的平面角．在Rt△AEF中，tan∠AFE＝＝＝.
4．相等或互补
【做一做4】A 4×3＋2×(－6)＋0×5＝0，∴二面角的两个半平面的法向量垂直．故这个二面角的余弦值是0.
典型例题·领悟
【例1】
解：∵OA＝OB＝OC＝a，
∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．同理，△BOC也为等腰直角三角形．过点A作AH⊥α于点H，连OH，则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
∵AO＝AB＝AC，
∴OH＝BH＝CH，H为△BOC的外心，
∴点H在BC上，且为BC的中点．
∵在Rt△AOH中，AH＝a，
∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝45°，
∴OA与平面α所成角的大小为45°.
【例2】解：取C为原点，，，为x，y，z轴的正方向，建立直角坐标系Cxyz，设|BC|＝2，|CC1|＝a，则A(4,0,0)，A1(4,0，a)，B(0,2,0)，B1(0,2，a)．
∵A1B⊥B1C，∴·＝0，∴a＝2.
设n＝(x，y，z)是平面A1ABB1的一个法向量，
则n·＝－4x＋2y＝0.
n·＝2z＝0，∴n取(1,2,0)，＝(0,2,2)，
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为.
【例3】
解：(1)证明：因为AD⊥平面BCD，
所以AD⊥DB，AD⊥BC.
又AD＝a，AB＝a，
所以DB＝a.
又DC＝BC＝a，因此BD2＝CD2＋BC2，即∠DCB＝90°，所以DC⊥BC，因此BC⊥平面ADC.又BC在平面ABC内，所以平面ABC垂直于平面ADC.
(2)作DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，连EF，因为平面ABC垂直于平面ADC，因此DE⊥平面ABC，AB⊥平面DEF，所以EF⊥AB，则∠DFE为二面角C－AB－D的平面角，在直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，DF＝＝a，DE＝a，sin∠DFE＝，所以∠DFE＝60°，故二面角C－AB－D的大小为60°.
【例4】解：建立空间直角坐标系Dxyz，则＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，设平面C1BD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n1＝(1，－1,1)是平面C1BD的一个法向量．同理，得n2＝(－1,1,1)是平面A1BD的一个法向量．
因为|n1|＝，|n2|＝，所以cos〈n1，n2〉＝－，由题知二面角的大小为arccos.
随堂练习·巩固
1．C 设BC中点为E，则∠OAE就是AO与平面ABCD所成角．
2．B 设底面正三角形BCD中心为O，则∠ACO就是侧棱AC与底面BCD所成的角．
3．A 利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2求解．
4．B 如图，设BC的中点为E，底面正三角形BCD的中心为O，则∠AEO就是二面角A－BC－D的平面角．在Rt△AOE中，AE＝AB，OE＝AB，则cos∠AEO＝＝.
5．C 设锐二面角α－l－β的大小是θ，cos θ＝＝＝，故θ＝60°.
3.2.4 二面角及其度量
课堂导学
三点剖析
一、利用三垂线定理及逆定理作二面角的平面角
【例1】 三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=,求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小.
解：∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥面ABC.
∴AC为SC在底面ABC上的射影.
又∠ACB=90°，
∴SC⊥BC.
∴∠SCA为二面角S-BC-A的平面角.
在Rt△SCB中，
SC=.
在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得
cos∠SCA=.
∴∠SCA=60°.
即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.
温馨提示
本题考查三垂线定理、线面垂直的判定、二面角度数的计算.其解法提供了一个用三垂线定理及其逆定理来作二面角平面角的方法.其作法是：从半平面上一点P作另一个半平面的垂线段PA，A为垂足，由P向棱作垂直相交的直线PB，B为垂足，边AB，则∠PBA为所求二面角的平面角（也可由A作AB与棱垂直，连BP），用这种作法就得寻找题目中有没有半平面的垂线、有没有棱的垂线，看能不能可利用.
二、利用定义求二面角平面角
【例2】在四面体S-ABC中，已知SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以△BDE与△BDC为面的二面角的大小.
分析：求二面角的大小，关键是找出二面角的平面角，利用题设条件，结合线面垂直和线线垂直的有关定理即可确定所求二面角的平面角，并在相应的三角形中求出其大小.
解：∵SB=BC且E是SC的中点（如右图），
∴SC⊥BE，又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥平面BDE.
∴SC⊥BD.
又SA⊥底面ABC，BD面ABC，
∴SA⊥BD.
而SA∩SC=S，∴BD⊥平面SAC.
∵面SAC∩面BDE=DE，
∴BD⊥DE，BD⊥DC.
∴∠EDC为所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，
设SA=a，则AB=a,BC=SB=a,
又AB⊥BC，∴AC=a,在Rt△SAC中，
tan∠ACS，
∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC，
∴∠FDC=60°，即所求二面角的大小为60°.
温馨提示
求作二面角的平面角的方法较多，本题采用的实质上找到一个与棱BD垂直的平面EDC，而此时正好DE、DC分别在二面角的两个面上,由此根据平面角定义便知，∠EDC为二面角的平面角.
三、利用向量求二面角的平面角
【例3】 如右图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为m的正方形，侧棱AA1的长为n,且∠A1AB=∠A1AD=120°，求二面角A1-AB-D的余弦值.
解：如下图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E，
∵ABCD为正方形，
∴AD⊥AB，则向量与所成的角的大小即为二面角A1-AB-D的大小.
∵,
∴
=||·||·cos〈,〉+||·| |·cos〈,〉=nm·cos120°+0=mn.
∵∠A1AB=120°,∠A1AE=60°,
又A1A=n,
∴AE=n,A1E=n.
∵||=n,||=m,
∴cos〈,〉=
=
∴二面角A1-AB-C的余弦值为.
温馨提示
将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决.
利用两个向量的数量积运算求其夹角.此时要注意平面的法向量有两种指向，应结合图形决定取向，或由图形决定两个法向量所成的角与二面角是相等还是互补.
各个击破
类题演练 1
如右图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G.
求二面角B1-EF-B的大小.
解：∵AC⊥BD,EF∥AC,则BG⊥EF,又B1B⊥面 AC,则B1G⊥EF,∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角.BG=BD=a,tan∠B1GB=22.
∴二面角B1-EF-B的正切值为.
变式提升 1
△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的正切值.
解：作OE⊥BD于E,连AE,由三垂线定理可得BD⊥AE.
∴∠AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角.
在Rt△ABO中,
∵∠ABO=60°,
∴AO=AB·sin60°=AB,OB=AB,
在Rt△BOE中,
∵∠EBO=60°，
∴OE=OB·sin60°=AB.
在Rt△AOE中,tan∠AEO==2.
∴二面角A-BD-C的正切值为-2.
类题演练 2
已知∠AOB=90°,过点O引∠AOB所在平面的斜线OC与OA、OB分别成45°、60°的角，求二面角A-OCB的大小.
解：在OC上任取一点D,在面COB内作DE⊥OC,在面AOC内作DF⊥OC交OA于F,则∠EDF为二面角A-OC-B的平面角,连结EF,设OD=a,
∵∠DOF=45°,DF=a,OF=a,又∠DOE=60°,
∴DE=a,OE=2a.
∴EF=a,cos∠EDF=.
∴二面角A-OC-B的大小为π-arccos.
变式提升 2
过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=α，求二面角B-PC-D的大小.
解:∵PA⊥平面ABCD,BD⊥AC,∴BD⊥PC.
在平面PBC内作BE⊥PC于E,连结DE,得PC⊥平面BED,从而DE⊥PC,即∠BED是二面角B-PC-D的平面角.
在Rt△PAB中,由PA=AB=a，得PB=a.
∵PA⊥平面ABCD,BC⊥AB,
∴BC⊥PB,∴PC==a.
在Rt△PBC中，BE=a.
同理DE=a.
在△BDE中,cos∠BED==-.
则二面角B-PC-D为120°.
类题演练 3
如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°,M是AA1的中点，N是BC1中点.
求二面角B-C1M-A1的大小.
解:三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥BC,又∠ACB=90°,
∴BC⊥平面A1MC1,=(-2,0,0),
设垂直于平面BMC1的向量n=(a,b,1),=(-2,0,2),=(-2,2,),
∴n·=0,n·=0,
即
解得a=,b=.
∴n=(,,1).
cos〈,n〉==,
即二面角B-C1M-A1的大小为π-arccos.
变式提升3
如右图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形.
(1)求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的大小.
答案：(1)证明:作AH⊥面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如右图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).
=(-1,1,0),=(1,1,1),
∴·=0,则BC⊥AD.
(2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),
则由n1⊥知n1·=-x+y=0;
同理由n1⊥知n1·=x+z=0.
可取n1=(1,1,-1).
同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2=(1,0,-1).
由图可以看出,二面角B-AC-D的大小应等于〈n1,n2〉,则cos〈n1,n2〉= =,
即所求二面角的大小是arccos.
3.2.5 距离（选学）
课堂导学
三点剖析
一、由定义求距离
【例1】 棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAC都垂直于底面，另两侧面与底面成45°角，M、N分别为BC、CD的中点，最长的侧棱为15 cm.求：
（1）棱锥的高；
（2）底面中心O到平面PMN的距离.
解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.
(1)设高为h,由平面PAB，平面PAC都垂直于底面，得PA⊥底面AC.又∠PBA=45°，
∴PA=AB=h,AC=h.
由PA2+AC2=PC2及PC=15，得PA=5（cm）;
(2)∵BD⊥AC，BD⊥PA，z
∴BD⊥平面PAQ.
又MN∥BD，
∴MN⊥平面PAQ，
∴平面PAQ⊥平面PMN.
做OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求.
做AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，AQ=AC=h,
PQ=.
∴AG= h.
再由，得
OH=AG=h=(cm).
温馨提示
由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.
二、通过转化求距离
【例2】如左下图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1D1与平面C1BD的距
离.
解：如右上图，可证得A1C⊥平面AB1D1，A1C⊥面C1BD.设A1C和平面AB1D1及平面C1BD分别交于P、Q两点.则PQ就是两平行平面AB1D1和平面C1BD的公垂线段.连结A1C1交B1D1于点O1，连结AC交BD于点O，由对角面A1C1CA与两平行平面AB1D1和平面C1BD分别相交于AO1和C1O知AO1∥OC1.由正方体的特性易计算对角面A1C1CA中，O1A1=a,A1A=a,A1C=a,于是在Rt△AA1O1中，AO1=a.
由面积关系得
A1P=.
同理可求得CQ=a,
∴PQ=A1C-2A1P=a-a=a.
温馨提示
本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法，注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得A1P=PQ，CQ=PQ知A1P=PQ=QC，即先证明P、Q两点三等分对角线A1C后再计算.该例还有多种解法.
三、利用向量求距离
【例3】如下图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求证：平面B1AD1∥平面BC1D；
（2）求平面B1AD1与平面BC1D间的距离.
(1)证明：由正棱柱的性质知B1BDD1与AB1C1D分别为矩形，∴AB1∥DC1，D1B1∥DB，故面B1AD1∥BC1D.
(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面B1AD1与面BC1D间的距离等于B1到面BC1D的距离.
设B1M⊥面BC1D，M为垂足，且B1M延长后交面ABCD于N，以，，分别为x,y,z轴的非负轴建立空间直角坐标系，则B1（a,0,a）,设N（x,y,0）,
=(x-a,y,-a),=(-a,a,0),=(0,a,a).
由⊥，得
·=-a(x-a)+ay=0. ①
由⊥，得·=ay-a2=0. ②
解①②得y=a，x=2a.于是
=（a,a,-a）.
记〈,〉=θ,则|B1M|=||·cosθ.
由B1B·=||·||·cosθ,
∴||===33a.
故点B1到面BDC1的距离为a，亦即所求距离为a.
温馨提示
利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标确定出来；二是求与公垂线平行的向量n,然后求端点在两异面直线上的向量在n上的射影即可.
各个击破
类题演练 1
设AC、BD分别是夹在两个平行平面α、β间的两条线段，且AC=13 cm，BD=15 cm，AC、BD在平面β上的射影长的和是14 cm，求AC、BD分别在平面β上的射影长以及平面α和平面β间的距离.
解：过A、B分别作AA1⊥β,BB1⊥β,A1、B1为垂足，连结A1C、B1D，则A1C、B1D为AC和BD在平面β内的射影，且∠AA1C、∠BB1D均为直角.∵α∥β，
∴AA1⊥α,BB1⊥α,AA1(或BB1)就是α与β的公垂线段.设AA1=BB1=z,A1C=x,B1D=y.
由题意得解得
∴AC、BD在β的射影长分别是5 cm、9 cm；两平面α、β间距离为12 cm.
变式提升 1
如下图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′=5,AB=12,求直线B′C′和平面A′BCD′的距离.
解：∵B′C′∥BC,BC平面A′BCD′，∴B′C′∥平面A′BCD′.于是B′C′到平面A′BCD′的距离等于点B′到平面A′BCD′的距离.过点B′在平面A′B′BA中作B′E⊥A′B于点E.
∵BC⊥平面A′B′BA，B′E平面A′B′BA，
∴B′E⊥BC.又B′E⊥A′B，而A′B∩BC=B,
∴B′E⊥平面A′BCD′.即B′E为B′点到平面A′BCD′的距离.在Rt△A′B′B中，BB′=5，A′B′=12，
∴A′B=13.由面积关系A′B′·B′B=B′E·A′B，
∴B′E=.所以B′C′和平面A′BCD′的距离为6013.
类题演练 2
如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点.
求点D到平面B1EF的距离.
解：由于平面B1EF的法向量n1=(2,2,-1),又DB1=（a,a,a）.
∴点D到平面B1EF的距离d===a.
∴点D到平面B1EF的距离为a.
变式提升 2
如右图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠B=60°，PC⊥面ABCD，PC=a,E是PA的中点.
求E到面PBC的距离.
解：EO∥PC，PC面PBC，EO∥面PBC，
所以点O到面PBC的距离等于E的面PBC的距离，
作OF⊥BC于F.
因为PC⊥面ABCD，PC面PBC，
所以面PBC⊥面ABCD，
于是OF⊥面PBC，OF的长等于O到面PBC的距离.
由条件可得OB=a,
OF=a×=a,
所以E到面PBC的距离为a.
类题演练 3
如下图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,AD=b,AA1=c,求顶点C到体对角线AC1的距离.
解：分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，记点C在直线AC1的射影为G，则=（a,b,c）,=(0,0,c).由数量积的几何意义得| |=|·|=·|·|=.
在Rt△GCC1中，||===c·,这就是顶点C到对角线AC1的距离.
变式提升 3
如右图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求：异面直线B1E与D1F的距离.
解：设与的公垂向量为m=(1,λ′,μ′).则由·m=0,·m=0,得m=(1,2,23).
又=（0,2,3）,所求与的距离
d=.
3.2.5 距离(选学)
1．理解图形F1与图形F2的距离的概念．
2．掌握四种距离的概念．
3．会解决一些简单的距离问题．
1．距离的概念
一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．
此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．
【做一做1】空间直角坐标系中，已知A(2,3,4)，B(－2,1,0)，C(1,1,1)，则C到AB中点的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
2．点到平面的距离
一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．
求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．
【做一做2】在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A1到平面BB1D1D的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
3．直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．
求线面距离时，注意在l上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．
【做一做3】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则BC到AB1C1D的距离为( )
A．1 B．
C． D．
4．两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．
(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．
【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )
A．2 B．6 C．2或6 D．以上都错
如何求点到平面的距离？
剖析：如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．
若AB是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA中，||＝||·cos∠ABO.
如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到点B到平面α的距离为||＝.
因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|.
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
题型一 用向量求两点间的距离
【例1】已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求A与C′的距离．
分析：解答本题可先用基底表示′，然后平方求|′|.
反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．
题型二 求点到平面的距离
【例2】直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．
反思：点到平面的距离的求法：
①定义法即直接求所作公垂线段的长；
②等体积转化法；
③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d＝|·n0|＝，其中d为点P到平面的距离，A为平面内的一点，n0为平面的单位法向量，n为平面的法向量．
题型三 求平行平面的距离
【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1与平面BDC1的距离．
反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．
1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为( )
A．a B．a C．a D．a
2已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为( )
A． B． C． D．3
3已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为( )
A． B．1 C．2 D．2
4把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C，则点A到直线BC的距离等于________．
5平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°，则点P到α的距离为________．
答案：
基础知识·梳理
1．最小值
【做一做1】B 用空间两点间的距离公式可求得距离为.
2．正射影
【做一做2】D 设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝a.
【做一做3】C 设AB1中点为O，则BO即为BC到AB1C1D的距离．
4．(1)同时垂直 (2)夹在
【做一做4】C 这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．
典型例题·领悟
【例1】
解：如图，因为′＝＋＋′，所以||2＝(＋＋′)·(＋＋′)＝||2＋||2＋|′|2＋2(·＋·′＋·′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|′|＝.
【例2】
解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)．则＝(0，－1,0)，＝(－1,0，－)．设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即－x－z＝0，－y＝0，令x＝－，则y＝0，z＝1，所以平面A1BC的一个法向量为n＝(－，0,1)．所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
【例3】解：建立坐标系如图，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)．
∴＝(0，a，a)，＝(－a，0，a)，＝(－a,0，a)，＝(0，a，a)．
设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，
则得
取z＝1，则n＝(1，－1,1)．
又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
∴两平面间的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.
∵＝(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1,1)，
∴d＝＝＝a.
随堂练习·巩固
1．D 点A1到平面MBD的距离等于点A到平面MBD的距离，利用VM－ABD＝VA－MBD求解．
2．A 如图，作AE⊥α于点E，由三垂线逆定理可得ED⊥DC，AC＝＝2，AE＝ACsin 60°.
3．B
4．a 5．
3.2.5 距离（选学）
课堂探究
探究一 用向量求两点间的距离
用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝||＝，或利用|a|＝求解．
【典型例题1】 已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求B，D间的距离．
思路分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解．
解法一：过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
则由已知条件可知AC＝5，
∴DE＝＝，BF＝＝.
∵AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝.
∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∵平面ADC⊥平面ABC，DE⊥AC，
∴DE⊥平面ABC，
∴DE⊥BF，即⊥，
∴||2＝2＋2＋2＝＋＋＝，
∴||＝.
故B，D间距离是.
解法二：过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
由解法一知DE＝FB＝，EF＝，
∴D，B，
∴＝，
∴||＝＝.
探究二 求点到平面的距离
利用点到平面的距离定义，求点到平面的距离，就是过点作平面的垂线，点与垂足间的线段长就是点到平面的距离，从而转化到可解三角形中求解．
用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d＝||·|cos〈n，〉|.
【典型例题2】 直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
思路分析：直接作平面的垂线较困难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．
解：如图，建立空间直角坐标系，
由已知得直三棱柱各顶点坐标：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，则＝(－1,1,0)，＝(0，－1,0)，＝(－1,0，－)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即－x－z＝0，－y＝0.令x＝－，则y＝0，z＝1，
所以平面A1BC的一个法向量为n＝(－，0,1)，
所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
探究三 求平行平面之间的距离
当两个平面互相平行时，其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等，且都等于这两个平行平面间的距离，因此，两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解．
【典型例题3】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
思路分析：平面A1BD与平面B1CD1间的距离就等于平面A1BD内任意一点到平面B1CD1的距离，即转化为求点到平面的距离．
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
3.2.5 距离（选学）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解图形与图形的距离的概念．
2．了解空间中两条异面直线的距离的概念，在给出共垂线的条件下会求异面直线的距离．
3．能利用公式求出异面直线上两点间的距离．
4．理解并掌握点与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的距离的概念及它们之间的相互转化，会用法向量求距离.
距离的有关概念
思考1空间距离有几种形式，它们之间有何关系？
提示：空间距离有6种形式，它们分别是点点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距．它们一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．
思考2能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？
提示：能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离．
