2.1.1 曲线与方程的概念
课堂导学
三点剖析
一、曲线与方程关系的判定
称曲线C的方程是f（x，y）=0或称方程f（x，y）=0的曲线是C意指：曲线C上的点的坐标都是这个方程的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上.
【例1】 证明圆心为P（a,b）、半径等于r的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2.
证明:（1）设M（x0，y0）是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于r，
即=r，也就是（x0-a）2+（y0-b）2=r2，
因此（x0，y0）是方程（x-a）2+（y-b）2=r2的解.
（2）设（x0，y0）是方程（x-a）2+（y-b）2=r2的解，则有（x0-a）2+（y0-b）2=r2，两边开方取算术根，得=r，于是点M（x0，y0）到点（a，b）的距离等于r，点（x0，y0）是这个圆上的点.
由（1）（2）可知，（x-a）2+（y-b）2=r2是圆心为P（a，b），半径等于r的圆的方程.
温馨提示
证明方程的曲线或曲线的方程需证明两条：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
二、由方程画曲线
将方程通过化简变为我们熟悉的形式，然后由其特点和性质作出其图形.
【例2】 作出曲线y=|x-2|-2的图象,并求它与x轴所围成的三角形的面积.
解析:(1)当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.
(2)当x-2<0时,原方程可化为y=-x,故原方程表示两条共端点的射线,易得其端点为B(2,-2),与x轴交于点O(0,0)、A(4,0),它与x轴围成的三角形的面积为S△AOB=|OA|、5|yb|=4.
温馨提示
已知方程研究曲线,首先要对所给的方程进行同解变形,化为我们所熟悉的方程,进一步研究曲线的特点和性质,进而作出图形.
三、由曲线方程讨论字母系数
方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
【例3】已知方程（x-a）2＋（y－b）2＝３６的曲线经过点O(0，0)和点A(0，-12)，求a、b的值.
解析:∵点O、A都在方程（x-a）2＋（y-b）2＝36表示的曲线上，
∴点O、A的坐标都是方程（x-a）2＋（y-b）2＝36的解.
∴
解得
即a=0,b=-6为所求.
温馨提示
若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程
各个击破
类题演练 1
设A（2，0）、B（0，2），能否说线段AB的方程是x+y-2=0？为什么？
解析：不能说线段AB的方程是x+y-2=0，因点(-3,5)的坐标是方程x+y-2=0的一个解，但点(-3,5)不在线段AB上，所以线段AB的方程不是x+y-2=0.
变式提升 1
下列命题正确吗？为什么？
（1）过点P（2，0）且平行于y轴的直线l的方程是|x|=2；
（2）以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y=.
解：(1)不对.因只具备条件①，而不具备条件②，故|x|=2不是直线l的方程,l也不全是方程|x|=2的直线.
（2）不对.设（x0,y0）是方程y=的解，则y0=,即,
两边开平方取算术根，得=r.
即点（x0,y0）到原点的距离等于r，点（x0,y0）是这个圆上的点.
因此满足条件②.但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(,r)在圆上，却不是y=的解，这就不满足条件①.所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y=(而应是y=±).
类题演练 2
方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是（ ）
A.两个点 Ｂ.四个点 Ｃ.两条直线 Ｄ.四条直线
答案：B
变式提升 2
已知方程x2+(y-1)2=10.
(1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点M(,-m)在此方程表示的曲线上，求m的值.
解：（1）∵12+(-2-1)2=10,
()2+(3-1)2=6≠10,
∴P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上，Q(,3)不在此曲线上.
（2）∵M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,
∴（）2+(-m-1)2=10.
解得m=2或m=.
类题演练 3
下列命题中，真命题的个数是（ ）
①若曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，则C的方程是f(x,y)=0
②若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，则方程f(x,y)=0的曲线是C
③若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，则曲线C的方程是f(x,y)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
变式提升 3
曲线f(x，y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为（ ）
A.f(x-3，y)=0 B.f(y+3，x)=0
C.f(y-3，x+3)=0 D.f(y+3，x-3)=0
答案：D
2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质
课堂导学
三点剖析
一、利用五步法求曲线的方程
求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.
根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系,结合基本公式列出等式，并进行化简.
【例1】 设A、B两点的坐标分别是(1，0)、(-1，0)，若kMA·ｋＭＢ＝－１，求动点M的轨迹方程.
解析:设M的坐标为(x，y)，M属于集合P=｛Ｍ｜ｋＭＡ·ｋＭＢ＝－１｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为·=-1(x≠±1)，整理后得x2+y2=1(x≠±1).
下面证明x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.
(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程x2+y2=1(x≠±1)的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程x2+y2=1(x≠±1)的解，
即x12+y12=1(x1≠±1)，y12=1-x12(x1≠±1)，·=-1，
∴kＭ1Ａ·ｋＭ1Ｂ＝－１.
由上述证明可知，方程x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.
温馨提示
(1)所求的方程x2＋y2＝１后面应加上条件ｘ≠±１.
(2)证明可以省略不写.
二、坐标法在平面几何中的应用
【例2】用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和.
证明:如右图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P（x，y）为任意点，矩形四个顶点为A(x1，y1)、C(x2，y2)、B(x1，y2)、D(x2，y1)，则有
｜PA｜2+｜PC｜2=（x1-x）2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2，
｜PB｜2+｜PD｜2=(x1-x)2+(y2-y)2+(x2-x)2+(y1-y)2.
∴｜PA｜2+｜PC｜2=｜PB｜2+｜PD｜2.
温馨提示
在上述证明中，若选取矩形的邻边AB、BC所在直线分别为y轴和x轴，那么矩形的四个顶点坐标为A(0，y1)，B(0，0)，C(x1，0)，D(x1，y1),这样数据更简单，运算更简便了.因此用坐标法解题，坐标系选取得适当，可以简化运算过程.
三、求曲线方程的常用方法
【例3】 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB，求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.
解析:设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得kAB==，
∴直线AB的方程lAB∶y-y1=（x-x1）.
注意到y12=4x1，y1y2=-16（∵kOA·kOB=-1，∴·=-1=-1y1y2=-16），
即得（y1+y2）y+16=4x.
又直线OM的方程为y=，
由（x2+y2-4x=0（x≠0）即为所求的轨迹方程.
温馨提示
由（*）消去y1+y2所得方程为所求，是因为由（*）解出x、y（用y1+y2作已知）得到的是点M的坐标，而点M的坐标的关系式（即消去y1+y2得x、y的关系）为动点M的轨迹方程.显然这样做与直接过渡其关系式是一样的.另外本题还可以设OA的斜率为k，类似于上面的方法求M的轨迹方程.
各个击破
类题演练 1
若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.
解析：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如右图所示.设点M的坐标为（x，y），点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M||MR|=|MQ|}，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|，即x±y=0.①
下面证明①是所求轨迹的方程.
（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，那么x1±y1=0，
即|x1|=|y1|，而|x1|、|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离相等，点M1是曲线上的点.
由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.
变式提升 1
已知A(2，5)、B(3，-1)，则线段AB的方程是（ ）
A.6x+y-17=0 Ｂ.6x+y-17=0(x≥3)
Ｃ.6x+y-17=0(x≤3) Ｄ.6x+y-17=0(2≤x≤3)
答案：D
类题演练 2
若点M到两坐标轴的距离的积为2 006，求点M的轨迹方程.
答案：xy=±2 006
变式提升 2
在△ABC中，已知顶点A（1，1）、B（3，6）且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程.
解析：如右图，设顶点C的坐标为(x，y)，作CH⊥AB于H，则动点C属于集合
P=｛C｜｜AB｜·｜ＣＨ｜＝3｝.
∵ｋ下标ＡＢ＝，
∴直线AB的方程是y-1=(x-1)，即5x-2y-3=0.
∴｜ＣＨ｜＝.
∵｜ＡＢ｜＝，
∴，
化简，得｜5x-2y-3｜=6，
即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0，这就是所求顶点C的轨迹方程.
类题演练 3
已知△ＡＢＣ，A（－２，0）、B（0，－２），第三个顶点C在曲线ｙ＝3ｘ2－１上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.
解析:设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(ｘ1，ｙ1），由重心坐标公式得
∴
代入ｙ1＝3ｘ12－１，得3ｙ＋２＝3（3ｘ＋２）2－１.
∴ｙ＝９ｘ2＋１２ｘ+3，即为所求轨迹方程.
变式提升 3
求抛物线y=2x2的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.
解析：设弦端点坐标为P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点M(x,y),
则y1=2x12,y2=2x22,
∴y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2).
∴=2×2x,
∴x=.
2.1 曲线与方程
1．了解曲线与方程的对应关系．
2．了解两条曲线交点的求法．
3．了解用坐标法研究几何性质．
4．掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质．
1．点的轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成________________的轨迹，所以曲线的方程又常称为____________的点的轨迹方程．
【做一做1】到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
2．曲线的方程与方程的曲线的定义
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①__________________________________；
②__________________________________.
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系①可知A?B，由关系②可知B?A；若同时具有关系①和②，就有A＝B.
(2)曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C＝{M(x，y)|F(x，y)＝0}．
【做一做2】下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝与x＝y2
B．y＝x与＝1
C．＝与x2－y2＝0
D．y＝lg x2与y＝2lg x
3．两曲线的交点
已知两条曲线C1：F(x，y)＝0和C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的________就可以得到．
曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识，都是求两曲线交点的基本依据和方法．
【做一做3】曲线y＝x2＋1和y＝x＋m有两个不同的交点，则( )
A．m∈R B．m∈
C．m＝ D．m∈
1．曲线与方程的定义的理解
剖析：(1)定义中的第①条“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．
(2)定义中的第②条“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程F(x，y)＝0的解集{(x，y)|F(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以由曲线求它的方程．
2．曲线方程的求法
剖析：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M︱p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；
(4)化方程F(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
题型一 曲线与方程的概念
【例1】若曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
反思：(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转换和特值讨论．它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性．
(2)处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法，也可采用特值法．
题型二 曲线方程的求法
【例2】已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
分析：在这个问题中，动点C与点G之间有关系，写出C与G之间的坐标关系，并用G的坐标表示C的坐标，然后代入C的坐标所满足的关系式中，化简整理即得所求．
【例3】长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，求动点C的轨迹方程．
分析：A，B分别在x，y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足＝2，代入即可得方程．
反思：求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律，并利用坐标把这种规律翻译成代数方程．
1方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
2已知方程2x2－xy＋1＝0表示的图形为C，则下列点不在C上的为( )
A． B．(－3,5)
C． D．
3在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4.则点P的轨迹方程是____________．
4点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a＝__________.
5已知k∈R，则直线y＝x＋k与圆x2＋y2＝16无公共点时，k的取值范围为__________．
答案：
基础知识·梳理
1．动点依某种条件运动 满足某种条件
【做一做1】C
2．(1)①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解 ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
【做一做2】C
3．实数解
【做一做3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解，即方程x2－x＋1－m＝0的判别式大于零，即(－1)2－4(1－m)＞0，解得m＞.
典型例题·领悟
【例1】C 方法一：上述说法写成命题的形式为“若点M(x，y)是曲线C上的点，则点M的坐标适合方程F(x，y)＝0”．其逆否命题为：“若点M的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则点M不在曲线C上”．故选C.
方法二：本题亦可考虑特值法，作直线l：y＝1.考查l与F(x，y)＝y2－1＝0的关系，知选项A，B，D三种说法均不正确．故选C.
【例2】解：设△ABC的重心坐标为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得?代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.则有y＝9x2＋12x＋3，故所求轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.
【例3】解：∵长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，
故可设A(x0,0)，B(0，y0)．
又动点C(x，y)满足＝2，
∴(x－x0，y)＝2(0－x，y0－y)，
即(x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，
∴?
又∵|AB|＝3，即x＋y＝9，
∴(3x)2＋2＝9.
整理得动点C的轨迹方程为x2＋＝1.
随堂练习·巩固
1．C x2＋xy＝x因式分解得x(x＋y)＝x，
即x(x＋y－1)＝0，
即x＝0或x＋y－1＝0.
2．B
3．x＋2y＝4 设P(x，y)，由·＝4知x＋2y＝4.
4． 将点P的坐标代入方程中即可求得a＝.
5．k＞8或k＜－8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径，即＞4，∴k＞8或k＜－8.
2.1 曲线与方程
课堂探究
探究一 曲线与方程的概念问题
曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．
判断点与曲线关系的方法
(1)从点的坐标角度
若点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)＝0；或若f(x0，y0)≠0，则点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上．
(2)从方程的解的角度
若f(x0，y0)＝0，则点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上；或若点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0.
【典型例题1】 如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是( )
A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解
D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．
据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的．
答案：D
探究二 曲线方程的求法
解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：
(1)建立恰当的坐标系：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简)．
(2)利用题目条件，建立等量关系：根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，常用到一些基本公式，如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点M有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简．
(3)挖掘题目隐含条件，避免“少解”与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点，或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上．
【典型例题2】 已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
思路分析：因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(－a,0)，B(a,0)，然后求解．
解：如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．
由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a,0)，M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以∶＝2∶1，
所以＝2.
化简，得2＋y2＝a2，
所以所求动点M的轨迹方程为
2＋y2＝a2.
【典型例题3】 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，求动点C的轨迹方程．
思路分析：A，B分别在x轴、y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足＝2，代入即可得轨迹方程．
解：因为长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，
故可设A(x0,0)，B(0，y0)．
又因为动点C(x，y)满足＝2，
所以(x－x0，y)＝2(0－x，y0－y)，
即(x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，
所以
又因为|AB|＝3，
即＝9，
所以(3x)2＋2＝9.
整理得动点C的轨迹方程为x2＋＝1.
方法总结 求曲线方程常见方法的注意点
(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求．
(2)相关点代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，有时也称代入法．其基本思想是，如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某一条已知的曲线C：f(x，y)＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可求得动点轨迹方程．
(3)待定系数法：根据题意正确设出曲线方程，明确待定系数，寻找待定系数的方程时一定要充分挖掘题中条件，特别注意隐含条件．
探究三 求曲线的交点问题
已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P(x0，y0)是曲线C1，C2的交点点P的坐标(x0，y0)满足方程组且方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
【典型例题4】 试讨论圆x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数．
思路分析：只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可．
解：由
得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，
Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝4(12k－5)．
当Δ＞0，即k＞时，直线与圆有两个不同的交点；
当Δ＝0，即k＝时，直线与圆有一个交点；
当Δ＜0，即k＜时，直线与圆没有交点．
探究四 易错辨析
易错点 忽视验证造成增解
【典型例题5】 求以A(－2,0)，B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程．
错解：设点C的坐标为(x，y)．
△ABC为圆内接三角形且以AB为直径．
∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1.
∵kAC＝，kBC＝，
∴·＝－1.
化简，有x2＋y2－4＝0.
即点C的轨迹方程为x2＋y2－4＝0.
错因分析：(1)在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况．
(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
正解：设C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，
∴⊥，即·＝0.
又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又当x＝±2时，A，B，C共线，不构成三角形，
∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
2.1 曲线与方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系，并能根据点的坐标是否适合方程，来判断该点是否在曲线上．
2．能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点．
3．初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及由曲线的方程研究曲线的性质的方法.
1．点的轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
2．曲线的方程与方程的曲线的定义
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
(2)曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C＝{M(x，y)|F(x，y)＝0}．
思考1 若曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗？
提示：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少．即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系．
思考2 如果说曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，那么，F(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线C上的什么条件？
提示：充要条件；承认了曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，就承认了方程F(x，y)＝0是曲线C的方程．所以点P(x0，y0)的坐标适合方程F(x，y)＝0(F(x0，y0)＝0)与点P(x0，y0)在曲线C上是等价的，即充要条件．
3．两曲线的交点
已知两条曲线C1：F(x，y)＝0和C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．
2.2.1 椭圆及其标准方程
课堂导学
三点剖析
一、求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10;
(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(,).
解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).
∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.
∴b2=a2-c2=52-42=9.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知,2a=+ =2,
∴a=.又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
温馨提示
求椭圆的标准方程就是求a2及b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为=1;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为=1.
二、应用椭圆的定义解题
【例2】一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
解析:两定圆的圆心半径分别为
O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9
设动圆圆心为M（x，y），半径为R
由题设条件知：
|MO1|=1+R，|MO2|=9-R
∴|MO1|+|MO2|=10
由椭圆的定义知：
M在以O1，O2为焦点的椭圆上，
且a=5，c=3，
∴b2=a2-c2=25-9=16
故动圆圆心的轨迹方程为 =1.
温馨提示
两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.
三、利用椭圆的标准方程解题
【例3】 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2）则k=_____________.
解析:将椭圆方程化为标准方程
可得x2+=1，
由其中一个焦点为（0，2），知a2=，b2=1，且
a2-b2=c2即-1=4得k=1.
温馨提示
先将椭圆方程化为标准形式，再由其中一个焦点确定a2，b2，最后通过a、b、c之间的关系确定k的值.
各个击破
类题演练 1
求经过两点P1(,),P2(0,)的椭圆的标准方程.
解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.
(1)焦点在x轴上时:
设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0).
依题意知解得.
∵＜,∴方程组无解.
(2)焦点在y轴上时:
设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0).
依题意可得,解得.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
解法二:设所求椭圆方程的一般式为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0).
依题意可得解得
∴所求椭圆的方程为5x2+4y2=1.
∴标准方程为=1.
变式提升 1
椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求此椭圆的标准方程.
解析：由题意知：∴
∴b2=9
∴所求椭圆的标准方程为
=1
类题演练 2
若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A′(1,0)的距离和为定值m,试求P点的轨迹方程.
解:∵|PA|+|PA′|=m,|AA′|=2,|PA|+|PA′|≥|AA′|,
∴m≥2.
(1)当m=2时,P点的轨迹就是线段AA′.
∴其方程为y=0(-1≤x≤1).
(2)当m＞2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆.
∵2c=2,2a=m,
∴a=,c=1,b2=a2-c2=-1.
∴点P的轨迹方程为=1.
变式提升 2
已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.
解析：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10，
即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10.
∴c=3,a=5,b2=52-32=16.
但当点A在直线BC上，即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形，
∴点A的轨迹方程是=1(y≠0).
类题演练 3
方程x=所表示的曲线为_________________.
答案：表示椭圆在y轴右侧的部分（包括端点）
变式提升 3
椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距
C.有相同的焦点 D.有相同的顶点
答案：B
2.2.1 椭圆的标准方程
1．理解椭圆的定义．
2．掌握椭圆的标准方程的定义．
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的__________等于常数(__________)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个______叫做椭圆的焦点，________的距离叫做椭圆的焦距．
在椭圆的定义中，
(1)当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2.
(2)当常数小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
【做一做1－1】到两定点F1(－5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
【做一做1－2】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1，F2的距离之和等于10，且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3，则点Q到焦点F2的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
________________
________________
焦点坐标
________________
________________
a，b，c
的关系
____________
______________
由求椭圆的标准方程的过程可知：只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，才能得到椭圆的标准方程．反之亦成立．
【做一做2】椭圆＋＝1的焦点坐标为______．
1．椭圆的定义
剖析：(1)用集合语言叙述为：点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}；
(2)在椭圆的定义中，若定长不大于|F1F2|，则动点轨迹不是椭圆．如：动点P到两定点F1(1,0)和F2(－1,0)的距离之和为1.此时定长1小于|F1F2|，由平面几何知识知这样的点不存在．
2．椭圆的标准方程
剖析：＋＝1(a＞b＞0)为椭圆的标准方程，其焦点在x轴上，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，且a，b，c满足a2＝b2＋c2.当焦点在y轴上时，标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，且a，b，c满足a2＝b2＋c2(当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式)．
在椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以a＞b，a＞c且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半，叫做半焦距．
方程Ax2＋By2＝C(A，B，C均不为0)可化为
＋＝1，即＋＝1.
只有A，B，C同号，且A≠B时，方程表示椭圆．当＞时，椭圆的焦点在x轴上；当＜时，椭圆的焦点在y轴上．
题型一 利用椭圆的定义解题
【例1】设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
反思：凡涉及动点到两定点距离和的问题，首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，再确定其轨迹．一定要注意2a与两定点间距离的大小关系．
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，注意“定位”与“定量”的确定．
反思：(1)椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时，椭圆的方程是标准的．
(2)求椭圆的标准方程分两步：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴，写出椭圆的标准方程．
(3)已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴．
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1,0)，A′(1,0)的距离和为定值m，试求点P的轨迹方程．
分析：∵|PA|＋|PA′|＝m，|AA′|＝2，|PA|＋|PA′|≥|AA′|，∴m≥2，然后分m＝2和m＞2两种情况来讨论，即可求轨迹方程．
反思：在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，然后写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法．
题型四 易错题型
【例4】若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
错解：由题意知，得3＜k＜5.
错因分析：错解中没有注意椭圆方程中的a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
反思：解椭圆的标准方程等相关问题时，常见的误区有：
(1)忽略定义中的条件2a＞|F1F2|；
(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程可能有两个；
(3)忽略标准方程中a＞b＞0这一条件．
1到两定点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之和为6的点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在
D．不存在
2焦点在x轴上，且过点(－5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为__________．
3如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．
4已知B，C是两个定点，|BC|＝4，且△ABC的周长等于10，则三角形的顶点A的轨迹方程为__________．
5已知点P在椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
答案：
基础知识·梳理
1．距离的和 大于|F1F2| 定点 两焦点
【做一做1－1】B 由题意可知：|MF1|＋|MF2|＝10＝|F1F2|，故点M的轨迹是线段F1F2.
【做一做1－2】D 由椭圆的定义得：点Q到另一个焦点的距离为10－3＝7.
2．＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c，0) F2(c，0) F1(0，－c) F2(0，c) a2＝b2＋c2
a2＝b2＋c2
【做一做2】(0，)，(0，－) 由椭圆的方程知焦点在y轴上，故a2＝9，b2＝4，c2＝5.
所以焦点坐标为(0，)，(0，－)．
典型例题·领悟
【例1】C 比较常数a与|F1F2|的大小可知动点P的轨迹．
当a＜6时，轨迹不存在；
当a＝6时，轨迹为线段；
当a＞6时，轨迹为椭圆．
【例2】解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴2a＝＋＝10.
∴a＝5.又c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
代入上述方程得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【例3】解：∵|PA|＋|PA′|＝m，|AA′|＝2，|PA|＋|PA′|≥|AA′|，∴m≥2.
(1)当m＝2时，点P的轨迹是线段AA′，其方程为y＝0(－1≤x≤1)．
(2)当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A，A′为焦点的椭圆．
∵2c＝2，2a＝m，
∴a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
【例4】正解：由题意知，??3＜k＜4或4＜k＜5.
随堂练习·巩固
1．D ∵|MF1|＋|MF2|＝6＜|F1F2|＝8，
∴轨迹不存在．
2．＋＝1
3．0＜k＜1 方程可化为＋＝1，焦点在y轴上，则
?0＜k＜1.
4．＋＝1(y≠0) 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，由|BC|＝4，可知B(－2,0)，C(2,0)，由|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，可知|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，
因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝6，但A不在x轴上，由a＝3，c＝2得b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
5．分析：由点P到两焦点的距离分别为5,3，得2a＝5＋3；由过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，得(2c)2＝52－32，然后可求得a，b，c.从而得到方程．
解：设所求的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
2.2.1 椭圆及其标准方程
课堂探究
探究一 利用椭圆的定义解题
椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
【典型例题1】 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值．
解：因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
所以有
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
探究二 求椭圆的标准方程
解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
【典型例题2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
所以2a＝＋＝10.
所以a＝5，所以a2＝25.又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以?
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
因为点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
所以
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．
探究三 求与椭圆有关的轨迹方程
求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定；(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．
【典型例题3】 如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
思路分析：根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10.由于点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题．
解：设|PB|＝r.
因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10,2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
探究四 易错辨析
易错点 对椭圆的标准方程认识不清
【典型例题4】 若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
错解：由得3＜k＜5.
错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
正解：由题意，得
所以k的取值范围是3＜k＜4或4＜k＜5.
2.2.1 椭圆及其标准方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握待定系数法求椭圆的标准方程.
1．椭圆的定义
思考1 椭圆的定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？
提示：不一定是．当2a＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．当2a＝|F1F2|时，动点M的轨迹为线段F1F2.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
a2＝b2＋c2
思考2 椭圆的标准方程具有怎样的特征？
提示：椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等的正数．
思考3 如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置？
提示：依据分母的大小来判断．焦点所在轴的对应分母大．
特别提醒 在已知椭圆的标准方程解题时，应特别注意a＞b＞0这个条件．
2.2.2 椭圆的几何性质
1．掌握椭圆的几个性质．
2．掌握椭圆的标准方程中a，b，c，e的几何意义及其之间的相互关系．
焦点在x轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
______________
______________
范围
____________
______________
顶点
____________
__________________
轴长
长轴长为______，短轴长为______
焦点
________
________
焦距
______________
对称性
对称轴为________，对称中心为______
离心率
______________，其中c＝______________
(1)判断曲线关于原点，x轴，y轴对称的依据．
若把方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称．
若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称．
若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．
(2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点．
【做一做1－1】椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．5 B．3 C．6 D．12
【做一做1－2】椭圆＋＝1的离心率为______．
椭圆的离心率
剖析：(1)椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率．记作e＝.
(2)因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0＜e＜1.
当e＝0时，曲线就变为圆了．
题型一 利用椭圆的方程研究其几何性质
【例1】分别求出椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴的长，离心率，焦点坐标和顶点坐标．
分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a，b，c，即可求出答案．
反思：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，求出c，才能正确地得出椭圆的有关性质．
题型二 利用性质求椭圆的方程
【例2】已知＋y2＝1(a＞0，a≠1)表示离心率为的椭圆，求椭圆的标准方程．
分析：椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由e＝即可求得．
反思：在求椭圆的标准方程时，首先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后利用条件求出a2.本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同．
题型三 椭圆几何性质的应用
【例3】已知椭圆的中心在原点，离心率为，F为左焦点，A为右顶点，B为短轴一顶点，求∠ABF的余弦值．
分析：已知离心率为，即＝，即a＝c，再由a，b，c的关系可得b＝c，在△ABF中，由余弦定理可求得结果．
反思：知道离心率就知道a，b，c中任意两个字母间的关系．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不正确
3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1
D．＋＝1
4．(2012·浙江名校联考，文9)已知P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆离心率为( )
A． B． C． D．
5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为__________．
6．椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
答案：
基础知识·梳理
1．＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b (±c,0) (0，±c) 2c(c2＝a2－b2) x轴，y轴 原点 e＝∈(0,1)
【做一做1－1】D 椭圆的长轴长为2a，由方程可知a＝6，所以2a＝12.
【做一做1－2】
典型例题·领悟
【例1】解：将椭圆方程变形为＋＝1，
由方程知a＝5，b＝4，所以c＝3，
所以长轴长为10，短轴长为8.
离心率e＝＝，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0)．
【例2】解：当焦点在x轴上，即a＞1时，
由b＝1，得c＝，所以＝，
解得a2＝，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当焦点在y轴上，即0＜a＜1时，
由题意得c＝，
所以＝，解得a2＝，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
【例3】解：设长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则有＝，即a＝c，
又∵b2＝a2－c2，∴b＝c，
∴|AB|＝＝c，|BF|＝a＝c，|AF|＝a＋c＝(＋1)c，
∴cos∠ABF＝＝.
随堂练习·巩固
1．D
2．D 由于＋＝1中长半轴，短半轴不明确，故需分类讨论，分焦点在x轴，y轴两种情况求解．
3．C 由题意可知焦点在x轴或在y轴上，所以标准方程有两个．而2a＝12，∴a＝6.
又∵＝，∴c＝2，∴b2＝32，
∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4．B 解析：设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，
又P在椭圆上，所以＋＝1，
所以a2＝2b2，故e＝.
5．3或 若m＜5，则＝，解得m＝3.
若m＞5，则＝，解得m＝.
6．分析：应用待定系数法，列出关于a，b，c的方程组求解．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a＝3，＝，
∴c＝.从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，＝，
∴＝，∴a2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂探究
探究一 利用标准方程研究几何性质
解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a，b的值，并求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
【典型例题1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．
解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
探究二 利用椭圆的几何性质求它的方程
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：
【典型例题2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为＋＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．
解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得
所以椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
探究三 与离心率有关的问题
求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用定义e＝求解或构造关于a，c的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的不等式求解．
【典型例题3】 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
思路分析：由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．
解：如图所示，
由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2+y2=c2上，
又点P在椭圆上，
所以圆x2+y2=c2与椭圆=1有公共点，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2-c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤＜1，所以e∈.
点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e＜1.
探究四 易错辨析
易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上
【典型例题4】 若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
错解：由已知得a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝＝，
所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
错因分析：忽视了椭圆的焦点在y轴上的情况．
正解：(1)若焦点在x轴上，即当k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8.
又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，
解得k＝－.
综上可知，k＝4或k＝－.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝∈(0,1)，其中c＝
思考1 焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆的范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）
课堂导学
三点剖析
一、椭圆的几何性质
【例1】 已知椭圆x2+（m+3）y2=m（m＞0）的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解析：椭圆的方程可化为：=1
∵m-＞0，∴m＞
即a2=m，b2=，
c=
由e=得=，
∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+=1.
∴a=1，b=，c=.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1（-，0），F2（，0）四个顶点分别为A1（-1，0），A2（1，0），B1（0，），B2（0，）.
二、求椭圆的离心率
【例2】 2006山东潍坊一模，8 在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. B.-1 C. D.
解析:设另一个焦点为C′，则有
AC+AC′=2a，BC+BC′=2a，
又∵BC=，BC′=1-AC′，
∴，
解得AC′=，a=，
c===，
∴离心率e==，故选A.
答案：A
温馨提示
本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.
三、离心率的应用
【例3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,求椭圆的方程.
解:∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝,
∴点A不是长轴的端点（是短轴的端点）.
∴｜OF｜＝c，｜AF｜＝a＝３.
∴＝.∴c＝2，b2＝32-22＝５.
∴椭圆的方程是＝１或＝１.
温馨提示
△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c，斜边的长为a，∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.
各个击破
类题演练 1
求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
解:把已知方程化成标准方程：+x2=1，
这里a=5,b=1,所以c==2.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是
2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).
变式提升 1
已知点P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P点除外）？这几个点的坐标是什么？
解:根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.
类题演练 2
设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是__________________.
答案：
变式提升 2
椭圆=1和=k（k＞0）具有（ ）
A.相同的长轴长 B.相同的焦点
C.相同的离心率 D.相同的顶点
答案：C
类题演练 3
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.
解：∵e=，∴=1-e2=.
∴可设所求椭圆方程为=1（t＞0），
∴c2=9t-8t=t，c=，M（，4）.
∵M在椭圆上，∴=t，
∴t=.
故所求椭圆的方程是=1.
变式提升 3
若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.2.3 椭圆的简单几何性质（二）
课堂导学
三点剖析
一、椭圆的第二定义
【例1】椭圆=1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，求P到右焦点的距离.
解法一:如右图，设P到左、右准线的距离分别为d1，d2，则d1+d2==12.5.
又d1=2.5，∴d2=10.
又，
∴|PF2|=·d2=×10=8.
解法二：由及d1=2.5，
得|PF1|=·d1=2.
又|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴|PF2|=10-|PF1|=8.
温馨提示
根据椭圆的第二定义，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离.
二、焦半径
【例2】 对于椭圆=1.（a＞b＞0）它的左、右焦点分别是F1（-c，0）和F2（c，0），P（x0，y0）是椭圆上的任一点，求证：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，其中e是椭圆的离心率.
证明:椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点：
F1（-c，0）、F2（c，0），相应的准线方程分别是：
x=和x=.
∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.
∴=e，=e.
化简得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0.
温馨提示
|PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点.
三、利用椭圆第二定义求最值
【例3】 已知定点A（-2，），点F为椭圆=1的右焦点，点M的椭圆上移动时，求|AM|+2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标.
解:如右图，由椭圆方程，得a=4，b=2，c=2，
∴e=，右焦点F（2，0），右准线l：x=8.
设点M到右准线l的距离为d，则=e=，即|2MF|=d.
∴|AM|+2|MF|=|AM|+d.
由于A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|+d的最小值，其值为8-（-2）=10.
此时M点纵坐标为，得横坐标为2.
∴|AM|+2|MF|的最小值为10，这时点M的坐标为（2，）.
温馨提示
（1）转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了.
（2）本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律.
各个击破
类题演练 1
在椭圆=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.
解析：设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.
∵椭圆的准线方程为x=±，
∴.
∵|PF1|=2|PF2|，
∴,
∴x=.
把x=代入方程=1，
得y=±.
因此，P点坐标为（，±）.
变式提升 1
点M（x，y）与定点（3，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数
，求点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l：x=的距离.
由题意：点M的轨迹就是集合
P={M|=}.
由此得.
化简得16x2+25y2=400.
即=1.
所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别为10、8的椭圆.
类题演练 2
设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过F的弦，试判断以AB为直径的圆与左准线的位置关系.
解：如下图，设M为弦AB的中点（即圆心），A′、B′、M′分别是A、B、M在准线l上的射影，由椭圆第二定义，得|AB|=|AF|+|BF|=e（|AA′|+|BB′|）.
∵0＜e＜1，
∴|AB|＜|AA′|+|BB′|=2|MM′|，
∴＜|MM′|，
∴以AB为直径的圆与左准线相离.
变式提升 2
椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A.（5，0）和（-5，0） B.（，）和（，-）
C.（0，3）和（0，-3） D.（，）和（，）
答案：C
类题演练 3
设P（x0，y0）是椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点，F1为其左焦点.
（1）求|PF1|的最小值和最大值；
（2）在椭圆=1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.
解：（1）对应于F1的准线方程为x=，根据椭圆的第二定义：=e，
∴|PF1|=a+ex0.又-a≤x0≤a.
∴当x0=-a时，|PF1|min=a+（-a）=a-c；
当x0=a时，|PF1|max=a+·a=a+c.
（2）∵a2=25，b2=5，∴c2=20，e2=.
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2.
将数据代入得25+x02=40.
∴x0=±.代入椭圆方程得P点的坐标为（，），（，-），（-，），（-，-）.
变式提升 3
椭圆=1的右焦点为F，设A（，），P是椭圆上一动点，则|AP|+|PF|取最小值时，P的坐标为（ ）
A.（5，0） B.（0，2） C.（，） D.（0，-2）或（0，2）
答案：C
2.3.1 双曲线及其标准方程
课堂导学
三点剖析
一、双曲线的定义
【例1】 已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.
解：若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.
由题意得2a=24,2c=26.
∴a=12,c=13，
b2=132-122=25.
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为=1.
若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为=1.
温馨提示
求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系.求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正、负.
二、求双曲线的标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）经过点A（1，），且a=4;
(2)经过点A（2，）、B（3，-2）.
解析:（1）若所求双曲线方程为
=1（a＞0，b＞0），
则将a=4代入，得=1，
又点A（1，）在双曲线上，
∴=1，
解得b2＜0，不合题意，舍去.
若所求双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），同上，解得b2=9，
∴双曲线的方程为=1.
（2）设双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），
∵点A（2，）、B（3，）在双曲线上，
∴.
解之，得.
∴所求双曲线的方程为.
三、确定方程表示的曲线类型
【例3】 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
解：（1）当k=0时，y=±2，表示两条与x轴平行的直线.
（2）当k=1时，方程为x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.
（3）当k＜0时，方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线.
（4）当0＜k＜1时，方程为=1，表示焦点在x轴上的椭圆.
（5）当k＞1时，方程为=1，表示焦点在y轴上的椭圆.
温馨提示
本题是判定方程所表示的曲线类型题目.对参数k讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x轴和y轴的情况.
各个击破
类题演练 1
(2006辽宁高考，9) 已知点F1(-,0)、F2(,0)，动点P满足|PF2|-|PF1|=2.当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（ ）
A. B. C. D.2
答案：A
变式提升 1
在△MNG中，已知NG=4.当动点M满足条件sinG-sinN=sinM时，求动点M的轨迹方程.
解析：如右图所示，以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
∵sinG-sinN=sinM，
∴由正弦定理，得|MN|-|MG|=×4.
∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
∴2c=4,2a=2,即c=2,a=1.
∴b2=c2-a2=3.
∴动点M的轨迹方程为x2-=1(x＞0，且y≠0).
类题演练 2
双曲线=1(a>0,b>0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20,求该双曲线的方程.
解:将x=6代入双曲线方程,得-=1,
则y=±,
设一个交点P的坐标为(6,),
则由题意,得,
解之得a=5,b2=.
故所求的双曲线方程为=1.
变式提升 2
在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=,tan∠MNP=2,建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程.
解:以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设P（x0,y0)、M(-c,0)、N(c,0)(y0＞0,c＞0),（如右图）
则
解得.
设双曲线方程为=1（y＞0）,
将点P（，）代入，可得a2=.
∴所求双曲线方程为=1（y＞0）.
类题演练 3
试一试：已知F1（-8，3）、F2（2，3），动点P适合|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，P点的轨迹为（ ）
A.双曲线和一直线 B.双曲线和一射线
C.双曲线一支和一直线 D.双曲线一支和一射线
答案：D
变式提升 3
如果=-1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是…（ ）
A.（1，+∞） B.（0，2）
C.（2，+∞） D.（1，2）
答案：A
2.3.1 双曲线的标准方程
1．理解双曲线的定义．
2．掌握双曲线的标准方程的定义．
1．双曲线的定义
平面内与两个______F1，F2的______________等于常数(________________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点的距离叫做双曲线的__________．
在双曲线的定义中，
(1)当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支．
【做一做1】已知定点F1(－3,0)，F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5
B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7
D．|PF1|2－|PF2|2＝±6
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
______________
________________
焦点坐标
________________
__________________
a，b，c的关系
______________
______________
(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程．反之亦成立．
(2)在双曲线的标准方程中，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
【做一做2－1】双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
【做一做2－2】若双曲线的焦点在x轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为__________．
1．椭圆与双曲线的区别
剖析：
椭圆
双曲线
＋＝2a
－＝±2a
因为a＞c＞0，所以令a2－c2＝b2(b＞0)
因为c＞a＞0，所以令c2－a2＝b2(b＞0)
＋＝1，
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1，
－＝1(a＞0，b＞0)
2．求双曲线方程的常用方法
剖析：(1)待定系数法．即先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．
(2)定义法．
题型一 双曲线的定义及应用
【例1】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
分析：可利用双曲线的定义来求解．
反思：遇到动点到两定点的距离之差的问题时，应联想到能否用双曲线的定义来解，并要注意x的范围．
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)，，求双曲线的标准方程．
分析：可根据已知条件，设出双曲线方程，再把点的坐标代入即可．
反思：双曲线的标准方程有两种形式，即－＝1，－＝1(a＞0，b＞0)，方程＋＝1表示双曲线的充要条件是m·n＜0.
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
【例3】在△MNG中，已知NG＝4，当动点M满足条件sin G－sin N＝sin M时，求动点M的轨迹方程．
分析：条件给的是角的关系，可用正弦定理，化角的关系为边的关系，再考虑用定义求轨迹方程．
反思：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点，这种情况一般在求得方程的后面应给以说明，并把说明的内容加上括号．
题型四 易错题型
【例4】已知双曲线4x2－9y2＋36＝0，求它的焦点坐标．
错解：将双曲线方程化为标准方程－＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝，∴双曲线的焦点坐标为(－，0)，(，0)．
错因分析：这种解法是错误的．原因在于：双曲线的焦点在x轴或y轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的．
反思：判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是1，方程左边是“x2”和“y2”项的差，若“y2”的系数为正，则焦点在y轴上；若“x2”的系数为正，则焦点在x轴上．
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足－＝10，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
2．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4 B．2
C．10 D．与m有关
3．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是( )
A．P到左焦点的距离是8
B．P到左焦点的距离是15
C．P到左焦点的距离不确定
D．这样的点P不存在
4．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是__________．
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
(2)a＝b，经过点(3，－1)．
答案：
基础知识·梳理
1．定点 距离的差的绝对值 小于|F1F2|且不等于零 焦点 焦距
【做一做1】A 因为|F1F2|＝6，所以与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值应小于6，故选A.
2．－＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2 c2＝a2＋b2
【做一做2－1】D 由已知有c2＝a2＋b2＝12，
得c＝2，故双曲线的焦距为4.
【做一做2－2】－＝1 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知a＝2，则－＝1，将点(4,3)代入得－＝1，解得b2＝3，故双曲线的标准方程为－＝1.
典型例题·领悟
【例1】解：∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
∵圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有＝R＋1，＝R＋4，
∴－＝3.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线左支，且a＝，c＝5.∴动圆圆心M的轨迹方程为x2－y2＝1.
【例2】解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将点(3，－4)，分别代入方程得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
【例3】解：以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵sin G－sin N＝sin M，
∴由正弦定理得：－＝×4＝2.∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N，G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵2c＝4,2a＝2，∴c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3.
∴动点M的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．
【例4】正解：将双曲线方程化为标准方程－＝1，可知焦点在y轴上，∴a＝2，b＝3，∴c2＝a2＋b2＝13，
∴c＝.
∴双曲线的焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)．
随堂练习·巩固
1．D 由双曲线的定义可得，∵F1，F2是两定点，＝10，∴满足条件－＝10的点P的轨迹为一条射线．
2．C 由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，所以c＝5，所以2c＝10.
3．D 选项A和选项C易判断是错误的，对选项B而言，若＝15，＝5，则＋＝20，而＝26，即有＋＜＝26，这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾，即这样的点P不存在．
4．k＜2 因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以所以k＜2.
5．分析：灵活应用双曲线方程，要注意讨论焦点的位置，不要漏解．
解：(1)因为a＝4，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，又因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x2－y2＝a2，将点(3，－1)代入得，32－(－1)2＝a2，所以a2＝b2＝8.
因此，所求的双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2－x2＝a2，将点(3，－1)代入得(－1)2－32＝a2，则a2＝－8不符合实际，所以焦点不可能在y轴上．
综上，所求的双曲线的标准方程为－＝1.
2.3.1 双曲线及其标准方程
课堂探究
探究一 双曲线的定义及应用
若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．
【典型例题1】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．
解：由－＝1，知a＝3，b＝4，
所以c＝5.
由双曲线定义及勾股定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
探究二 求双曲线的标准方程
解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.
【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(4)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．
解：(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设方程为－＝1.
又因为过点(－5,2)，
所以－＝1.
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以方程为－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线方程为－＝1.
(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
因为P，Q两点在双曲线上，
所以
解得
所以所求双曲线方程为－＝1.
点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1有公共焦点的双曲线系方程－＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．
探究三 易错辨析
易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号
【典型例题3】 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.
由题意知焦点在y轴上，
所以a2＝，b2＝，
所以c＝＝＝3，
即＝9，
所以k＝.
错因分析：上述解法有两处错误：一是a2，b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a，b，c的关系式用错了，在双曲线中应为c2＝a2＋b2.
正解：将双曲线方程化为kx2－y2＝1，
即－＝1.
因为一个焦点是(0,3)，
所以焦点在y轴上，
所以c＝3，a2＝－，b2＝－，
所以a2＋b2＝－－＝c2＝9，
所以k＝－1.
2.3.1 双曲线及其标准方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法确定双曲线的方程．
3．与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分.
1．双曲线
思考1 在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，则点的轨迹是怎样的？
提示：在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，
(1)当2a等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)当2a大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(3)当2a等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
思考2 在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？
提示：不是．去掉“绝对值”后，点的轨迹是双曲线的一支．
2.双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
c2＝a2＋b2
思考3 在双曲线的标准方程中，怎样判断焦点在哪条坐标轴上？
提示：如果含x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果含y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
名师点拨 双曲线与椭圆的比较
椭圆
双曲线
定义
|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)
||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
a2＋b2＝c2
标准方程
焦点在x轴上
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点在y轴上
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
2.3.2 双曲线的几何性质
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
______________
__________________
对称性
对称轴：________
对称中心：______
对称轴：________
对称中心：______
顶点
顶点坐标
A1____，A2____
顶点坐标
A1____，A2____
渐近线
__________
__________
离心率
e＝______，e∈______，其中c＝______
实虚轴
线段________叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝______；线段______叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝______；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为__________
a，b，c的
关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a，b只限制a＞0，b＞0，二者没有大小要求．若a＞b＞0，a＝b＞0,0＜a＜b，双曲线的离心率受到影响．因为e＝＝，故当a＞b＞0时，1＜e＜，当a＝b＞0时，e＝(亦称等轴双曲线)，当0＜a＜b时，e＞.
【做一做1－1】已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【做一做1－2】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．
1．对有共同渐近线的双曲线系方程的理解
剖析：若双曲线－＝±1与双曲线－＝±1有相同的渐近线，即两对直线±＝0与±＝0分别重合，则必有＝＝(k＞0)．故a′＝ka，b′＝kb.
反之，易求得双曲线－＝±1与－＝±1有相同的渐近线y＝±x，故与双曲线－＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为－＝±1.上述方程可简化为－＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系－＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便．
2．已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率的方法
剖析：设双曲线的渐近线方程为y＝±x，其中y＝x的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x轴上，则e＝；若双曲线的焦点在y轴上，则e＝.显然a，b，c可以看成一个直角三角形的三条边．
题型一 已知双曲线方程求其几何性质
【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．
反思：求双曲线几何性质必须先把方程化为标准形式，作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．
题型二 已知双曲线的几何性质求双曲线方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(1，)，求双曲线的方程．
分析：应先根据渐近线方程设出双曲线方程，再代入点M的坐标求解．
反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为±＝0或y＝±x时，设双曲线方程为＝m(m≠0)．
题型三 与双曲线的渐近线有关的问题
【例3】双曲线－＝1的渐近线方程为______．
反思：求双曲线－＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即
①代入y＝±x得渐近线方程．
②令－＝0得±＝0，
即y＝±x.此法简明有效．
题型四 求双曲线的离心率
【例4】双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边三角形MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A．＋1 B．4＋2
C．2－2 D．2＋2
反思：双曲线的离心率e＝＝，因此要求离心率，只要找到a，b，c三者之间任意两者的关系式即可．
1．(2010·安徽高考，文5)双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A． B．
C． D．
2．双曲线－＝1的顶点坐标是( )
A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3)
C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3)
3．双曲线－＝1的离心率是( )
A． B． C． D．
4．若双曲线－＝1的一条渐近线方程为＋y＝0，则此双曲线的离心率为______．
5．已知以原点O为中心，F(，0)为右焦点的双曲线C的离心率e＝.求双曲线C的标准方程及其渐近线方程．
答案：
基础知识·梳理
1．x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a)
(0，a) y＝±x y＝±x (1，＋∞)
A1A2 2a B1B2 2b a b
【做一做1－1】C 双曲线的方程可化为－＝1，
∴a＝，c＝，
∴e＝.
【做一做1－2】－＝1 ∵＝2，c＝4，
∴a＝2，b＝2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
典型例题·领悟
【例1】解：将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.作出草图如下：
【例2】解：渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为(y＋x)(y－x)＝m，即y2－3x2＝m.
将M(1，)代入上式，得m＝12，
所以双曲线的方程为y2－3x2＝12，即－＝1.
【例3】y＝±x 利用渐近线的定义求解．
方法一：方程－＝1，即为－＝1，
∴a＝2，b＝2.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
方法二：令－＝0，即＋＝0，或－＝0，即y＝－x，或y＝x.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
【例4】A |F1N|＝c，|NF2|＝c，
又∵|NF1|－|NF2|＝2a，
即c－c＝2a.
∴e＝＝＝＋1.
随堂练习·巩固
1．C 由双曲线的方程，可知a2＝1，b2＝，c2＝，
从而c＝，
所以双曲线的右焦点为.
2．A
3．C 利用双曲线的标准方程求得a，b，c，即可得到离心率的值．
4． 渐近线方程为＋y＝0，∴＝.
又a2＋b2＝c2，从而＝，即e＝.
5．分析：由题意可知焦点在x轴上，所以可设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，再由离心率知＝，又因为c＝，从而可求得a，b，即可求得双曲线C的标准方程及其渐近线方程．
解：设双曲线C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则由题意c＝，e＝＝，得a＝2，b＝＝1，
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课堂探究
探究一 由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据a，b的值(注意分母分别为a2，b2，而不是a，b)求出c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．
【典型例题1】 求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．
思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．
解：把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程－＝1，由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e＝＝；渐近线方程为y＝±x.作草图．
探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a，b，c的方程，解方程组求出待定系数．
【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(3)与椭圆＋＝1有公共焦点，且率心率e＝.
思路分析：根据题设条件确定a，b的关系式，利用解方程的方法求得a，b的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．
解：(1)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.
由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.
又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
解法二：由渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.
由a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，
所以|λ|＝5，所以λ＝±5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
所以可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又因为双曲线过点M，
所以λ＝4×－9＝72.
所以双曲线方程为4x2－9y2＝72，
即标准方程为－＝1.
(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5.
又e＝＝，
所以a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线方程为－＝1(24＜λ＜49)．
又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的双曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．
探究三 双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．
【典型例题3】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为__________．
思路分析：分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．
解析：方法1：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，故e＝＝.当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，即e＝＝.方法2：由e＝＝得：当＝时，e＝；当＝时，e＝.
答案：或
规律小结求双曲线的离心率的常用方法：
(1)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)利用a，b求．若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程(p，q，r为常数，且p≠0)，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．
探究四 双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程±＝0或y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上．
【典型例题4】 已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的渐近线方程．
思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a，b间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求a，b间的关系．
解：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±，
所以|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
所以|F1F2|＝|PF2|，
即2c＝×.①
将c2＝a2＋b2代入①式，
解得b2＝2a2或b2＝－a2(舍去)，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．能够运用双曲线的性质解决一些简单问题．
3．正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴对称中心：原点
对称轴：x轴、y轴对称中心：原点
顶点
顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响？
提示：双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．
思考2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上？
提示：实轴．
思考3 一条直线与双曲线的渐近线平行时，它与双曲线有几个公共点？
提示：1个．
名师点拨 双曲线与椭圆的六个不同点：
双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课堂导学
三点剖析
一、双曲线的渐近线
【例1】求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.
解:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程=1,
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,c==5.
焦点坐标为(0,-5),(0,5);
离心率e=;
顶点坐标为(0,-4),(0,4);
渐近线方程为y=±.
温馨提示
双曲线=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线=1的渐近线为x=±y,即y=±x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.
二、双曲线的离心率
【例2】双曲线=1(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点（a,0）和(0,b)，且点(1,0)到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.
解:直线l的方程为=1，即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=.
同理得到点（-1，0）到直线l的距离：
d2=,s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,
即5a≥2c2.于是得5≥2e2,
即4e4-25e3+25≤0.
解不等式，得≤e2≤5.
由于e＞1＞0,
所以e的取值范围是≤e≤.
温馨提示
本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想.本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.
三、直线与双曲线的位置关系
【例3】 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.
（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=ｘ对称?若存在，请求出a的值;若不存在，请说明理由.
解:(1)由消去y,得
（3－a2）x2－2ax－2=0.①
依题意
即－＜a＜且ａ≠±３.②
设A(ｘ1，ｙ1），Ｂ（ｘ2，ｙ2）,
则
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB.
∴ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2＝０.
但y1y2＝ａ2ｘ1ｘ2＋ａ（ｘ1＋ｘ2）＋１,
由③④,x1+x2＝，ｘ1ｘ2＝.
∴（a2+1）·＋ａ·+1＝０.
解得ａ＝±１且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于ｙ＝ｘ对称，则直线y=a
x+1与y＝ｘ垂直，
∴a·=-1,即ａ＝-2.
直线l的方程为ｙ＝-3ｘ＋１.
将a=-2代入③得ｘ1＋ｘ2＝４.
∴ＡＢ中点横坐标为2，
纵坐标为ｙ＝-2×2＋１＝-3.
但AB中点(2，-3）不在直线ｙ＝12ｘ上,
即不存在实数ａ,使A、B关于直线ｙ＝12ｘ对称.
各个击破
类题演练 1
求满足下列条件的双曲线方程.
（1）以2x±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）；
（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.
解：（1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ，点（1，2）在双曲线上点的坐标代入方程可得λ=-32.
∴所求双曲线方程为4x2-9y2=-32，
即=1.
（2）由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为（±2,0)，又双曲线的一条渐近线方程为yx=0，则另一条渐近线方程为y+x=0.所求双曲线方程为3x2-y2=λ（λ＞0），则a2=，b2=λ.
∴c2=a2+b2==4，即λ=3.
故所求的双曲线方程为x2-=1.
变式提升 1
(2004天津) 设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于（ ）
A.1或5 B.6 C.7 D.9
答案：C
类题演练 2
(2006陕西高考，12) 已知双曲线=1(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
答案：D
变式提升 2
(2004重庆) 已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C.2 D.
答案：B
类题演练 3
已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点（4，-).
(1)求双曲线的标准方程；
（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.
答案：（1）解：由双曲线的离心率为，即=,则
=2,
∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0).
由于双曲线过点（4，），
则42-（）2=λ.
∴λ=6.∴双曲线方程为=1.
(2)证明：由（1）可得F1、F2的坐标分别为（-2，0）、（2，0），M、N的坐标分别为（3，）、（3，-）.
∴kF1M=,kF2M=.
故kF1M·kF2M=·=-1.
∴F1M⊥F2M.
变式提升 3
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P（-2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距的取值范围.
解析：由方程.消去y，整理得（1-k2）x2+2kx-2=0.
由题设得
解得：-＜k＜-1.
设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）.
则.
∴Q(
∴直线l的方程为y=（x+2），
令x=0，得直线l在y轴上截距b=.
∵-＜k＜-1，
∴截距b的取值范围是：（-∞，-2）∪（2+，+∞）
2.4.1 抛物线的标准方程
1．掌握抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义．
2．能够根据已知条件写出抛物线的标准方程．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的________的点的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．
抛物线定义中的定点F不在定直线l上，否则点的轨迹不是抛物线，而是过点F与l垂直的一条直线．
2．抛物线的标准方程
方程y2＝±2px，x2＝±2py(p＞0)叫做抛物线的______方程．
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(2)抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(3)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(4)抛物线x2＝－2py(p＞0)的焦点坐标是，它的准线方程是y＝，它的开口方向______．
抛物线y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)的焦点在一次项字母所对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定，当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
【做一做】若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．无法确定
1．抛物线的图象是双曲线的一支吗？
剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支．
当抛物线上的点趋向于无穷远时，曲线上点的切线接近于和对称轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上的点的切线接近于与渐近线平行；抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别．
2．如何确定抛物线的标准方程？
剖析：确定焦点在哪个坐标轴上或平行于坐标轴的哪条直线上，开口方向，焦参数p.
过焦点作准线的垂线段，垂线段的中点为抛物线的顶点．
题型一 抛物线的标准方程
【例1】已知抛物线C过点(2，－4)，求抛物线的标准方程．
分析：已知抛物线过一个点，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上来讨论．
反思：题目没有明确焦点在x轴上还是在y轴上，所以可以不考虑开口方向，设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay，将点(2，－4)代入求出a.
题型二 抛物线定义的应用
【例2】过抛物线y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，求线段AB的长．
分析：先把方程化为标准方程，即x2＝y，再由抛物线的定义得到答案．
反思：过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦，焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径．抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0，y0)，过该点的焦半径为x0＋.
题型三 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线
【例3】已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝8x；(2)x＝ay2(a≠0)．
分析：将方程化为标准形式，求p，结合图形，从而求得焦点坐标与准线方程．
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A． B． C．|a| D．－
2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A． B． C．－ D．－
3．(2010·福建高考，理2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
4．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是__________．
5．已知点P(1，－2)在抛物线y2＝2px上，求点P到抛物线焦点的距离．
答案：
基础知识·梳理
1．距离相等 定点F 定直线l
2．标准 (1) x＝－ 向右 (2) x＝ 向左 (3) y＝－ 向上 (4)向下
【做一做】C ∵焦点(1,0)在x轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.
典型例题·领悟
【例1】解：当焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2＝ax，
将(2，－4)代入得a＝8，故所求方程为y2＝8x；
同理，当焦点在y轴上时，求得抛物线方程为x2＝－y.
所以满足条件的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.
【例2】解：将抛物线方程化为x2＝y，设焦点为F，
|AF|＝y1＋，
|BF|＝y2＋，p＝，
|AB|＝|AF|＋|BF|
＝y1＋＋y2＋
＝y1＋y2＋p＝.
【例3】解：(1)因为2p＝8，所以p＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.
(2)因为原抛物线的方程可化为y2＝x，
所以2p＝，所以＝.
当a＞0时，焦点坐标为，准线方程为x＝－；
当a＜0时，焦点坐标仍为，准线方程仍为x＝－.
随堂练习·巩固
1．B 由已知焦点到准线的距离为p＝.
2．C 准线方程为y＝，由定义知－yM＝1?yM＝－.
3．D ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D.
4．2 由抛物线定义可知，A，B到准线x＝－的距离之和是5，从而线段AB中点到准线距离是，故AB中点到y轴的距离是－＝2.
5．分析：由点P在抛物线上可求得p值，再结合定义求得点P到焦点的距离．
解：∵点P在抛物线上，
∴(－2)2＝2p·1.∴p＝2.
∴点P(1，－2)到抛物线焦点的距离为1＋＝1＋1＝2.
2.4.1 抛物线的标准方程
课堂导学
三点剖析
一、求抛物线的方程
【例1】 分别求适合下列条件的抛物线方程.
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
（3）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x+3y+15=0上.
解：(1)由题意,方程可设为y2=mx或x2=ny,将点A(2,3)的坐标代入,得
32=m52或22=n53,∴m=或n=.
∴所求的抛物线方程为y2=x或x2=y.
(2)由焦点到准线的距离为,可知p=,
∴所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.
∴所求抛物线的标准方程为
y2=60x或x2=-20y.
温馨提示
(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.
(2)抛物线的标准方程中只有一个参数p,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.
二、求动点的轨迹方程
【例2】 平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
解法一：设P点的坐标为（x，y），则有
=|x|+1，两边平方并化简得y2=2x+2|x|.
∴y2=
即点P的轨迹方程为
y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）.
解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1.由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=-1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，方程为y2=4x.
故所求动点P的轨迹方程为
y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）.
温馨提示
求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.
三、利用抛物线的定义解题
【例3】如右图，若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上一动点，则｜PA｜+｜PF｜取得最小值时点P的坐标是…（ ）
A.(0，0) B.(1，1) C.(2，2) D.(12，1)
解析:∵｜PF｜等于P点到准线的距离，
A在抛物线内部，
∴｜PA｜+｜PF｜的最小值是由A点向抛物线的准线x=-作垂线(垂足为B)时垂线
段AB的长度.
∴｜PA｜+｜PF｜最小时，P点的纵坐标为2，从而得点P的横坐标为2.
∴P点的坐标为(2，2).
答案:C
温馨提示
本题根据抛物线的定义，运用数形结合的方法简捷地得出了答案.
各个击破
类题演练 1
抛物线y2=2px(p＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长是53，求此抛物线方程.
解:设△AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y=2x,
则OB边方程为y=-x.
由可得A点坐标为（，ｐ）.
由,可得B点坐标为（8p,-4ｐ）.
∵｜ＡＢ｜＝５，
∴.
∵p＞0,解得p=,
∴所求的抛物线方程为y2=x.
变式提升 1
根据下列条件，求出抛物线的标准方程.
（1）过点（-3，2）.
（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5.
解：（1）设所求的抛物线方程为
y2=-2px，或x2=2py（p＞0）.
∵抛物线过点（-3，2），
∴4=-2p（-3），或9=2p×2，
∴p=或p=，
∴所求抛物线方程为y2=x，或x2=y.
（2）由题意，可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）.A（3，m）到焦点距离为5，∴+3=5.即p=4.
∴所求抛物线方程为y2=8x.
类题演练 2
过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
答案：D
变式提升 2
已知圆A：（x+2）2+y2=1与定直线l：x=2，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解析：依题意可知，P到圆心A（-2，0）的距离和到定直线x=2的距离相等.
∴P点轨迹为抛物线，且p=4.
∴P点轨迹方程为y2=-8x.
类题演练 3
求到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1的动点的轨迹方程.
解析：∵动点到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1.
∴动点到点（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，则动点轨迹是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线.
故动点的轨迹方程为y2=4x.
变式提升 3
抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=_________________.
答案：13
2.4.1 抛物线的标准方程
课堂探究
探究一 抛物线的定义及应用
抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点F；一条定直线l；一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．
【典型例题1】 设P为抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路．
解：(1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
因为点P到准线x＝－1的距离等于点P到F(1,0)的距离，
所以问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．
连接AF，如图(1)所示，
图(1)
显然P是AF与抛物线的交点，
最小值为|AF|＝.
(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等．
如图(2)所示，
图(2)
过B作BQ⊥准线于Q，交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|＝|P1F|，
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
所以|PB|＋|PF|的最小值为4.
点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．
探究二 求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数p即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p的值后，再写出焦点和准线方程．
【典型例题2】 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值．
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出p的关系式，求出p的值，再用代入法求m的值．
解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，则
3＋＝5，解得p＝4.
因此抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，
所以m2＝24，
解得m＝±2.
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
(2)因为p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，
准线方程是x＝－2.
探究三 易错辨析
易错点 忽略抛物线中变量的取值范围
【典型例题3】 设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝4x上的点到点A的距离的最小值为多少？
错解：设曲线上的任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
因为a∈R，
所以当x＝a－2时，d2取最小值4a－4.
所以dmin＝2.
错因分析：在求与抛物线有关的最值时，要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围．错解中既忽略了抛物线中x的取值范围，也忽略了对a的讨论．
正解：设曲线上任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
由题意知x∈[0，＋∞)，
所以当a≥2时，d＝4a－4，dmin＝2；
当a＜2时，d＝a2，dmin＝|a|.
2.4.1 抛物线的标准方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.知道抛物线的定义，能推出抛物线的标准方程．
2．能根据条件，求出抛物线的标准方程.
1．抛物线的定义
思考1 定义中为什么加上条件“l不经过F”？
提示：若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线．
思考2 抛物线的图形是双曲线的一支吗？
提示：不是．当抛物线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于和x轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于与渐近线平行．抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别．
2．抛物线的标准方程
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是；它的准线方程是x＝－，其中p是焦点到准线的距离，叫做抛物线的焦参数．
思考3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗？
提示：抛物线对应的方程不一定是二次函数．如y2＝4x是抛物线，但不是函数，更不是二次函数．
思考4抛物线的标准方程中，p的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．
2.4.2 抛物线的几何性质
1．掌握抛物线的几何性质．
2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．
1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质
(1)范围．
因为p＞0，所以______，抛物线在y轴的______，当x值增大时，|y|也______，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性．
关于______对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的____．
(3)顶点．
抛物线和______的交点叫做抛物线的顶点，这条抛物线的顶点为________．
(4)离心率．
抛物线上的点到______与到____的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝______.
【做一做1－1】已知抛物线的方程为y2＝16x，则抛物线的准线方程为( )
A．x＝－2 B．x＝4
C．x＝8 D．x＝－4
【做一做1－2】抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．四种标准形式的抛物线几何性质的比较
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形
范围
________
________
对称轴
______
顶点
原点O(0,0)
焦点坐标
________
________
准线方程
________
________
离心率
e＝1
标准方程
x2＝________
x2＝________
图形
范围
________
________
对称轴
______
顶点
原点O(0,0)
焦点坐标
________
________
准线方程
y＝______
y＝______
离心率
e＝1
四种位置的抛物线标准方程的对比
剖析：(1)共同点：①原点在抛物线上；
②焦点在坐标轴上；
③焦点的非零坐标都是一次项系数的.
(2)不同点：①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．
题型一 抛物线中的最值问题
【例1】若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则点P的坐标为__________．
反思：求抛物线中的最值时，应从分析图形的性质入手，将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合，从而使问题简单化．
题型二 求抛物线的标准方程
【例2】分别求适合下列条件的抛物线方程．
(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
分析：根据条件，结合抛物线的定义，求出焦参数p，从而求得方程．
反思：(1)抛物线的标准方程有四种形式，主要看其焦点位置或开口方向．(2)抛物线的标准方程只有一个参数p，即焦点到准线的距离，常称为焦参数．
题型三 抛物线几何性质的应用
【例3】已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．
(1)x2＝4y；(2)2y2＋5x＝0.
分析：先根据抛物线的标准方程形式，求出p，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．
反思：由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，首先判断开口方向，求出参数p，然后再求解．
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( )
A． B．
C． D．
3．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为( )
A． B．
C． D．
4．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为__________．
5．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为__________、__________、__________.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)x≥0 右侧 增大 (2)x轴 轴 (3)它的轴 坐标原点 (4)焦点 准线 1
【做一做1－1】D ∵2p＝16，∴－＝－4.
∴抛物线的准线方程为x＝－4.故选D.
【做一做1－2】D ∵抛物线准线为y＝－1，且点A的纵坐标为4，
∴点A到准线的距离为5.
又∵点A到准线的距离与到焦点的距离相等，
∴点A到焦点的距离为5.
2．x≥0，y∈R x≤0，y∈R x轴 x＝－ x＝ 2py(p＞0) －2py(p＞0) y≥0，x∈R y≤0，x∈R y轴 －
典型例题·领悟
【例1】(2,2)由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示．
因此，当且仅当点P，A，P′在同一条直线上时，有|PF|＋|PA|＝|PP′|＋|PA|最小，
此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标，即y＝2，故此时点P的坐标为(2,2)．
【例2】解：(1)由题意，方程可设为y2＝mx或x2＝ny，将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m×2或22＝n×3，
解得m＝或n＝.
故所求的抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
(2)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
故所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
【例3】解：(1)由抛物线标准方程，知抛物线焦点在y轴正半轴上，开口向上，且2p＝4.
∴p＝2，
∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x.
∴2p＝，p＝，开口向左．
∴焦点坐标为，准线方程为x＝.
随堂练习·巩固
1．B ∵＝7，∴p＝14.∵焦点在x轴上，
∴抛物线的标准方程为y2＝28x.
2．B y＝－x2化为标准方程为x2＝－y，∴p＝.
∴焦点坐标为.故选B.
3．B y2＝x的准线为x＝－，焦点为，
设P(x1，y1)，由抛物线定义知
x1＋＝2，∴x1＝2－＝.
由y＝，得y1＝±，
故点P的坐标为.
4．y2＝8x或y2＝－16x 当m＞0时，准线方程为x＝－＝－2，
∴m＝8，
此时抛物线方程为y2＝8x；
当m＜0时，准线方程为x＝－＝4，∴m＝－16，
此时抛物线方程为y2＝－16x.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
5．y2＝6x x＝－ 由已知，得p＝3，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝6x.
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课堂探究
探究一 由抛物线的性质求标准方程
确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；
(3)抛物线上点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.
思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量．
解：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2)，知4＝－2p1·(－3)或9＝2p2×2，得p1＝，p2＝，故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．
依题意＝6，所以2p＝24.
所以抛物线方程为y2＝±24x.
(3)由已知＝6，
整理得x2＋10x＋9＝0，即(x＋1)(x＋9)＝0，
所以x＝－1或x＝－9.
所以F(－1,0)，p＝2，y2＝－4x；
或F(－9,0)，p＝18，y2＝－36x.
显然，若抛物线为y2＝－36x，则它的准线方程为x＝9.
由抛物线的定义，点A(－5,2)到F(－9,0)的距离是6，而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，矛盾．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.
探究二 抛物线的实际应用
涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．
【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一条小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？
思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．
解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝1.6.
所以x2＝－3.2y.
当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．
由22＝－3.2yA，得yA＝－.
又知船面露出水面部分为 m，
所以h＝|yA|＋＝2(m)．
答：水面上涨到距抛物线拱顶2 m时，小船不能通航．
探究三 直线与抛物线相交问题
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
【典型例题3】 设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小．
(2)求证：·是一个定值．
思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．
(1)解：依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一：所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝5.
方法二：所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，所以·是一个定值．
【典型例题4】 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．
解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
由题意知y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由方程组
得ky2－6y－24k＋6＝0.
设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝.
因为P1P2的中点为(4,1)，所以＝2.所以k＝3.
所以所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值，这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．
探究四 易错辨析
易错点 不理解抛物线的标准方程的形式
【典型例题5】 设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解：由y＝mx2(m≠0)可知其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2，解得m＝8，
故所求抛物线的标准方程为y＝8x2.
错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解．
正解：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解抛物线的简单几何性质．
2．了解抛物线的简单应用．
3．归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.
1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质
思考1 掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么？
提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向．
思考2 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？
提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线．它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
思考3 怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？
提示：一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
如果y是一次项，负时向下，正时向上．
如果x是一次项，负时向左，正时向右．
名师点拨 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的；(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
2．只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课堂导学
三点剖析
一、利用抛物线定义求最值
【例1】在抛物线x2=8y上求一点P，使得P点到焦点的距离与P点到定点A（1，3）的距离之和最小，并求出这个最小距离.
解析：过A作直线l与准线垂直交于点A′，与抛物线交于点P，则P点即为所求.
将P（1，y）代入x2=8y中，则y=.
且最小距离d=5.
温馨提示
要充分利用抛物线的定义和几何知识.
二、焦点弦问题
【例2】已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.
分析:弦所在的直线经过焦点（1，0），只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.
解析:由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点.
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
∴直线方程为y=k（x-1）.
由
整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.
∴x1+x2=.
∴|AB|=|AF|+|BF|
=x1+x2+2=+2.
又|AB|=36，
∴+2=36，
解得k2=，即k=±.
∴所求直线方程为y=（x-1）或y=-（x-1）.
温馨提示
（1）此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k，但是计算复杂，一般不采用.
（2）也可以利用弦长公式|AB|=|x1-x2|来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.
（3）因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p，解起来更简捷.
三、直线与抛物线的位置关系
【例3】直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时l与C有（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.
解析:将l和C的方程联立消去y，得k2x2+（2k-4）x+1=0.（*）
当k=0时，方程（*）只有一个解x=，
∴y=1.
∴直线l与C只有一个公共点（，1），此时直线l平行于对称轴.
当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程.
（1）当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称直线l与C相交；
（2）当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切；
（3）当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离.
综上所述，可知：当k=1或k=0时，直线l和C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，直线l和C有两个公共点；当k＞1时，直线l和C没有公共点.
温馨提示
一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的（如右图）.因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.
各个击破
类题演练 1
给定抛物线y2=2x,设A(a,0)（a＞０），P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d,试求d的最小值.
解:设P(x0,y0)（x0≥0），
则y02=2x0.
∴d=|PA|
=
∵a＞０,x0≥0，∴(1)当0＜a＜1时，1-a＞0，
此时当x0=0时，dmin==a.
（2）当a≥1时，1-a≤0，此时当x0=a-1时，
dmin=.
变式提升 1
抛物线y2=2px动弦AB长为a（a≥2p），弦AB中点到y轴最短距离是（ ）
A. B. C.+ D.-
答案：D
类题演练 2
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.求证：.
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=x1+，|FB|=x2+，|AB|=x1+x2+p，当AB⊥x轴时，结论显然成立；当AB不垂直于x轴时，.
消去y得k2x2-p（k2+2）x+=0，
则x1+x2=，x1x2=，
==
=.
变式提升 2
A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
证明:（1）设A（x1,y1)、B(x2,y2),
则y12=2px1，y22=2px2.
∵OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0,
∴y12·y22=4p2x1·x2=4p2·（-y1y2).
∴y1·y2=-4p2,
∴而x1·x2=4p2.结论成立.
（2）∵y12-y22=（y1-y2）（y1+y2）=2p(x1-x2),
∴.
则直线AB的方程为
y-y1=(x-x1),
∴y=x-·+y1
=x+,
又∵y1·y2=-4p2.
∴y=x-=(x-2p).
∴直线AB过定点(2p,0).
类题演练 3
设双曲线-y2=1（a＞0）与直线x+y=1相交于两个不同的点A、B，求a的取值范围.
解析：由C与l相交于两个不同的点，
知方程组有两个不同的实数解.
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①
所以.
解得0＜a＜且a≠1.
故a的取值范围是（0，1）∪（1，）.
变式提升 3
设抛物线y2=2px（p＞0）上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值.
解法一：设M（x0，y0）为抛物线y2=2px上任意一点，则M到直线3x+4y+12=0距离为d=|
=|（y0+）2+8p-|.
因为dmin=1，所以8p-＞0，
即0＜p＜且（8p）=1，
所以p=.
解法二：由题意可知，抛物线必在直线3x+4y+12=0的上方.
则直线3x+4y+12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x+4y+7=0.
由题意.只有一解.
消去x得：+4y+7=0.
由Δ=16-4××7=0，所以p=.
2.5 直线与圆锥曲线
1．能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题．
2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断，弦长问题，中点弦及相关问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
(ⅰ)Δ____0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
(ⅱ)Δ____0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
(ⅲ)Δ____0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
如果直线和圆锥曲线只有一个公共点，那么它们不一定相切．如，当直线和双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，它们只有一个公共点，它们是相交的位置关系，而不是相切．
【做一做1－1】过原点的直线l与双曲线－＝1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．∪
【做一做1－2】直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝______________或|P1P2|＝________________.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
【做一做2】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．
1．解决直线与圆锥曲线位置关系问题中有哪些常用的数学思想方法？
剖析：(1)方程的思想．笛卡儿在创立解析几何时，他大胆设想：所有的数学问题都可以化为方程(组)问题，然后通过解方程(组)得到数学问题的解决，因此，直线和圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线相关的弦长等，都需要方程(组)来解决．
(2)数形结合的思想．由于几何研究的对象是图形，而图形的直观会帮助我们发现问题，启发我们的思路，得到解决问题的有效方法，所以在解决本类题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来．
(3)设而不求与整体代入的技巧与方法．解析几何的运算具有明确的几何意义，是带有几何特色的代数计算，在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时，常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决．
2．在直线与圆锥曲线的位置关系中，常见问题的处理方法有哪些？
剖析：(1)在解析几何中，直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论，但直线与曲线只有一个交点中须除去两种情况，此直线才是曲线的切线：一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行．
(2)运用圆锥曲线弦长公式时，注意结合中点坐标公式和根与系数的关系求解．
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
分析：(1)联立方程组
得到(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
再由即可求得k的取值范围．
(2)由(1)可得x1＋x2和x1·x2，再由面积公式即可得到．
反思：一般地，在讨论直线和圆锥曲线位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程．如果是直线与圆或椭圆，则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考虑Δ的情况即可；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，这是要特别注意的问题．另外注意直线斜率不存在时的情形．
题型二 点关于直线对称的问题
【例2】设椭圆C的方程为＋＝1，试确定m的范围，使C上的不同两点A，B关于直线y＝4x＋m对称．
分析：利用对称性，设AB的中点为C′(x0，y0)，则A(x0－s，y0－t)，B(x0＋s，y0＋t)．
再利用点A，B在椭圆上，寻找中点坐标x0，y0的关系后求解．
反思：(1)解决点关于直线对称，主要利用“斜率之积为－1”，“点与对称点的中点在对称轴上”两个条件．
(2)本题中，求取值范围是利用了中点C′在椭圆内得到的不等式来解的．
题型三 易错题型
【例3】已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使其与已知双曲线交于P，Q两点，且A是线段PQ的中点，这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
错解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入双曲线方程，得
①－②得，(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．
因为A(1,1)为PQ的中点，所以直线l的斜率
k＝＝＝2.
所以满足条件的直线存在，其方程为y＝2x－1.
错因分析：事实上，不存在这样的直线，由得2x2－4x＋3＝0，
Δ＝－8＜0，错解中忽略了Δ＞0这一条件．
1．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A． B．2 C． D．15
2．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(k∈R，k≠0)的公共点的个数是( )
A．－1 B．2 C．3 D．4
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
4．如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＝2上，则弦AB的长为__________．
5．已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，求双曲线C的离心率．
答案：
基础知识·梳理
1．(2)＞ ＝ ＜
【做一做1－1】A 设l：y＝kx，代入－＝1中，
得x2－x2＝1，
即x2－1＝0，
由Δ＞0知，－＜k＜.
【做一做1－2】A 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
2．(1)
【做一做2】y2＝4x 设抛物线方程为y2＝ax，
则由得x2－ax＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由x1＋x2＝a，又＝2，∴a＝4，即y2＝4x.
典型例题·领悟
【例1】解：(1)联立方程组
消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由
得k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又l过点D(0，－1)，当l与左右两支相交时，
S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|
＝|x1－x2|＝，
同理，当l与其中一支相交时，S△OAB＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，即2＋＝8，
∴k＝0或k＝±.
【例2】解：设椭圆上两点A(x0－s，y0－t)，B(x0＋s，y0＋t)，AB的中点为C′(x0，y0)．
∵点A，B关于直线y＝4x＋m对称，
∴kAB＝＝－.
又
①－②得，＝－，∴y0＝3x0.
而点C′在直线y＝4x＋m上，∴
∵点C′在椭圆＋＝1内，
∴＋＜1，
∴m∈.
【例3】正解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入双曲线方程得，
①－②得，(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
因为A(1,1)为PQ的中点，所以直线的斜率为k＝＝＝2.所以直线方程为y＝2x－1，再把直线与双曲线联立，即得2x2－4x＋3＝0，
上式中Δ＝－8＜0，不符合题意，所以这样的直线不存在．
随堂练习·巩固
1．A
2．D 由题意联立方程组
消去y得9x2－18|x|＋4＝0，解得|x|＝1±＞0，
故x有4个解，即直线与曲线有4个交点．
3．C 由抛物线的定义知AF＝AK，
又∠KAF＝60°，∴△AFK是正三角形．
联立方程组消去y得3x2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝.由题意得A(3,2)，
所以△AKF的边长为4，面积为×4×2＝4.
4．2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，将y＝8x1和y＝8x2相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∵kPM＝kAB，∴kAB＝＝＝.
令y1＋y2＝2b，则得b2－2b－8＝0，
∴b＝4或b＝－2，
于是点M的坐标为(2,4)或(2，－2)．
∵M(2,4)在抛物线上，舍去，
∴M的坐标是(2，－2)．
从而kAB＝－2，∴AB的方程为y＝－2x＋2，
将其代入抛物线的方程得x2－4x＋1＝0，
∴|AB|＝
＝＝2.
5．分析：由题意可知，直线的斜率为1，且M(1,3)在直线上，即可求出直线l的方程，再联立l与C的方程，得到x1＋x2＝，又因为M为BD的中点，所以＝1，从而得到b2＝3a2，再由c＝，即可求出离心率．
解：由题设知，l的方程为y＝x＋2.
代入C的方程，并化简，得
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－.①
由M(1,3)为BD的中点知＝1，故
×＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，所以双曲线C的离心率e＝＝2.
2.5 直线与圆锥曲线
课堂导学
三点剖析
一、利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母的取值或取值范围
【例1】 已知曲线C:x2－y2＝１及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值.
解:(1)由
消去y，得(1－ｋ2)ｘ2＋２ｋｘ－２＝０.
由
得k的取值范围为
（－，－１）∪（－１，１）∪（１，）.
（2）设Ａ（ｘ1，ｙ1）、Ｂ（ｘ2，ｙ2），
由（1）得ｘ1＋ｘ2＝，ｘ1ｘ2＝.
又l过点D(0，-1),
∴Ｓ△ＯＡＢ＝Ｓ△ＯＡＤ＋Ｓ△ＯＢＤ
＝｜ｘ1｜＋１２｜ｘ2｜
＝｜ｘ1－ｘ2｜＝.
∴（ｘ1－ｘ2）2＝（２）2,
即＝８.
∴ｋ＝０或k=±.
温馨提示
一般地,在讨论直线和圆锥曲线位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑Δ的情况即可;如果是直线与双曲线或抛物线则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,这是要特别注意的问题.另外注意直线斜率不存在时的情形.
二、有关曲线的弦长问题
【例2】椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为,求椭圆的方程.
解析:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.
而 =-1, =kOC=,代入上式可得b=a.
再由|AB|=|x2-x1|=2,其中x1x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根,
故()2-4·=4,
将b=a代入得a=,
∴b=.∴所求椭圆的方程是x2+y2=3.
温馨提示
利用设点代入、作差借助斜率的解题方法，称作“差点法”，是解决直线与圆锥曲线位置关系常用方法.
三、最值问题
【例3】 已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
分析:先求出弦长|AB|，再求出P点到直线AB的距离，从而可表示出△PAB的面积，再求最值即可.
解:由解得A（4，4），B（1，-2），
知|AB|=3，设P（x0，y0）为抛物线AOB这条曲线上一点，d为P到直线AB的距离.
d=
=|y02[]2-y0-4|
=|（y0-1）2-9|，
∵-2＜y0＜4，∴（y0-1）2-9＜0.
∴d=［9-（y0-1）2］.
从而当y0=1时，dmax=，S最大=××3=.
因此，当P（，1）时，△PAB取得最大值，最大值为.
温馨提示
解决本题的关键是弦AB为定值.将P到AB的距离的最值转化为二次函数问题求解.在应用配方法求最值时，一定要注意变量的取值范围.
各个击破
类题演练 1
直线y=ax+1和双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点,问a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?
解:设A(x1,y1)、B(x2,y2).
∵∠AOB=90°,∴kOA·kOB=-1.
∴x1x+y1y2=0,即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.①
又(3-a2)x2-2ax-2=0,
∴代入①式得a=±1.
变式提升 1
过点（1，0）的直线与双曲线=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围（ ）
A.|k|≥1 B.＜|k|≤2 C.|k|≤ D.|k|＜1
答案：B
类题演练 2
已知斜率为2的直线经过椭圆=1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长.
解：椭圆的右焦点F1的坐标为（1，0），直线AB的方程为y=2（x-1）.
由方程组消去y，整理，得3x2-5x=0.
设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得
x1+x2=，x1x2=0.
则|AB|=
=
=
=.
变式提升 2
已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P（4，2），且OA⊥OB（O为坐标原点），求弦AB的长.
解：由A、B两点在抛物线y2=6x上，可设A（，y1），B（，y2）.
因为OA⊥OB，所以·=0.
由OA=（，y1），OB=（，y2），
得+y1y2=0.
∵y1y2≠0，∴y1y2=-36.①
∵点A、B与点P（4，2）在一条直线上，
∴，化简，得，
即y1y2-2（y1+y2）=-24.
将①式代入，得y1+y2=-6.②
由①和②，得y1=-3-3，y2=-3+3，从而点A的坐标为（9+3，-3-3），点B的坐标为（9-3，-3+3）.
所以|AB|==6.
类题演练 3
从椭圆=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且其长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，若Q为椭圆上任一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的最大值.
解：如右图，点M的坐标为（-c，），因为OM∥AB，所以kOM=kAB，
∴=，即b=c，a=c.
设|QF1|=m，|QF2|=n，∠F1QF2=θ，由余弦定理，得
cosθ=
=
=
=
=-1≥2-1
=-1=0.
当|QF1|=|QF2|时，等号成立，
∴0≤cosθ≤1.
∴θ的最大值为，即∠F1QF2的最大值为.
变式提升 3
已知焦点为F1（-2，0），F2（2，0）的椭圆与直线l：x+y-9=0有公共点，求椭圆长轴长的最小值.
解：依题意，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），且c=2，则b2=a2-4.将椭圆方程与直线方程联立，得
消去参数y，整理得（2a2-4）x2-18a2x+85a2-a4=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以Δ≥0，
即（18a2）2-4（2a2-4）（85a2-a4）≥0，
2a4-93a2+340≥0.
解得a2≥8，或a2≤4（舍去），
∴2a≥.
即椭圆长轴长的最小值为.
2.5 直线与圆锥曲线
课堂探究
探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，若Δ＞0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ＜0，则直线l与曲线C相离．
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．
【典型例题1】 已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
思路分析：直线与圆锥曲线的公共点的个数，就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数．因此本题可转化为方程组解的个数的判定，从而确定参数的取值．
解：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①
要使l与C无公共点，即方程①无实数解，
则有1－4k2≠0，且Δ＜0，即
64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.
解得k＞或k＜，
故当k＞或k＜时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一解；
当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝时，方程①只有一解，
故当k＝±或k＝时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，方程①有两个不同的解，即l与C有两个不同的公共点，于是可得，当＜k＜，且k≠±时，l与C有两个不同的公共点．
探究二 相交弦长问题
若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．
(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．
设直线方程为y＝kx＋m，与圆锥曲线F(x，y)＝0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝
＝
＝·；
或当k≠0时，|AB|＝|y1－y2|＝·.
当k＝0时，直线平行于x轴，∴|AB|＝|x1－x2|.
【典型例题2】 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|＝，求椭圆的方程．
思路分析：设出椭圆方程，将椭圆方程和直线方程联立消去y，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解．
解：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，
Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)＞0，
即m＋n－mn＞0.
由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，
∴－＋1＝0，∴m＋n＝2.①
又|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝＝2，
将m＋n＝2代入得mn＝.②
由①②式，得或
故椭圆方程为＋y2＝1或x2＋＝1.
探究三 中点弦问题
对中点弦问题，常用的解题方法——平方差法，其解题步骤为：(1)设点，即设出弦的两端点坐标；(2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3)作差，即两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理．
【典型例题3】 已知椭圆＋＝1，求：
(1)以P(2，－1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
分析：可利用平方差法求解，在求轨迹方程时要注意变量的范围．
解：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为R(x，y)，则2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2.
又A，B两点均在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)．
故kAB＝＝－＝－.
(1)由kAB＝－＝，得所求轨迹方程为x－2y－4＝0.
(2)由kAB＝－＝2，得所求轨迹方程为x＋8y＝0(－4≤x≤4)．
(3)由kAB＝－＝，得所求轨迹方程为(x－4)2＋4(y－1)2＝20(－4≤x≤4)．
探究四 易错辨析
易错点 混淆直线与圆锥曲线相切和直线与圆锥曲线只有一个公共点
【典型例题4】 过点(1,3)作直线与抛物线y＝x2－2x＋交于一点，求此直线的方程．
错解：设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，把它代入抛物线方程y＝x2－2x＋中，得x2－(2＋k)x＋k＋＝0.
由题意知，直线与抛物线相切，
∴Δ＝(2＋k)2－4×＝0，解得k＝±1.
∴所求的直线方程为y－3＝±1×(x－1)，
即x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.
错因分析：对于抛物线，一条直线若与它相切，则直线与抛物线只有一个公共点，反过来并不一定成立．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，但它不是抛物线的切线，因此，直线与抛物线相切，并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件．上述解答把直线与抛物线只有一个公共点问题完全转化为切线问题，显然是错误的．
正解：过平面上一点的直线与抛物线交于一点，则此直线或者是抛物线的切线，或者是一条与对称轴平行的直线，又因为抛物线的对称轴的斜率不存在，因此按上述解法可知，当斜率存在时，所求直线的方程为x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.当斜率不存在时，直线与抛物线对称轴平行，直线x＝1与抛物线也只有一个公共点．
∴所求的直线方程为x－y＋2＝0或x＋y－4＝0或x＝1.
2.5 直线与圆锥曲线
预习导航
课程目标
学习脉络
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系．
2．会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题．
3．加强数形结合思想的训练与应用.
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
思考1 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，直线与圆锥曲线一定是相切吗？
提示：不一定．对于直线与椭圆来说，是一定相切的．但对于直线与双曲线、直线与抛物线来说，则不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个公共点，但它们是相交的．
思考2 椭圆与圆类似，是封闭曲线，能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系？
提示：不能．椭圆虽然与圆类似，但中心到椭圆上各点的距离不完全相等．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝(k≠0)．
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
